概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第一节：随机变量
1. 随机变量: 设 Ω 是随机试验的样本空间, 若对试验的每一个可能结果 ωϵΩ, 都有唯一的实数 X(ω) 与之对应, 于是就得到定义于 Ω 上的实值函数 X(ω), 称 X(ω) 为一维随机变量, 简记为 X.
简记为 r.v. (Random Variables)
ω.
X(ω)
s
R
概率论
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
概率论
这个定义表明，随机变量 X是样本点 的一个函 数，这个函数可以是不同样本点对应不同的实数，也 允许多个样本点对应同一个实数. 这个函数的自变量 （样本点）可以是数，也可以不是数，但因变量一定 是实数.
根据讨论可知，对实验结果 本身就是一个数的随 机试验，可令 X X ，则 X 就是一个随机变量，
例如 掷一颗骰子，出现的点数X是一个随机变量.
每天进入某超市的顾客数Y；顾客购买商品的件数 U；顾客排队等候付款的时间V. Y，U，V是三个不同 的随机变量. 电不是数的随机试验，这时可根据需 要设计随机变量。
例 1 检验一个产品，只考察其合格与否，则其样本 空间为 合格品，不合格品 . 这时可设计一个随机 变量 X 如下：
事件及 事件概率
随机变量及其 取值规律
三、随机变量的分类
两类随机变量： 随 机 变 量
概率论
离散型随机变量 如, “取到次品的个数”， (discrete) “收到的呼叫数” 等.
连续型随机变量 如, “电视机的寿命”， “测量误差” 等. (continuous)
概率论
例4 一报童卖报, 每份 0.15 元, 其成本为 0.10 元. 报馆每天给报童 1000 份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设 X 为报童每天卖出的报纸份数， 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示. 解: 分析 {报童赔钱} {卖出的报纸钱不够成本} 当 0.15 X<1000× 0.1时，报童赔钱 故{报童赔钱} {X 666}
概率统计第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布
1
§1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
P{X xi} pi ， i 1, 2, ．
就称上式为离散型随机变量 X 的分布律或概率分布．
14
10P1X 2
离散型随机变量 X 的分布律或概率分布也记为
X
x1
x2
xi
P
p1
p2
pi
或
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
其中 x1, x2 , , xi , 互不相同，且可能为有限个 x1, x2 , , xn ．
P{X 2} C42 0.62 0.42 0.3456 ，
P{X 3} C43 0.63 0.41 0.3456 ，
P{X 4} C44 0.64 0.40 0.1296 。
O 1234 x
例 2.5 设某机械产品的次品率为 0.005，试分别求任意1000 个产品中恰有10个次品的概率和不多于 5 个次品的概率．
所以 X 取奇数的概率为
1
i 1
P{X
2i 1}
1 2
1 23
2 2． 1 (1)2 3
20
2
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布 1． 0 1两点分布
定义 2.3 如果随机变量 X 的分布律为 P{X k} pk (1 p)1k , k 0,1 ， 0 p 1
即
X
0
概率论与数理统计：2-1 一维随机变量及其分布
o• o
x0 x
•
2
o
x
x
小结一下：
1. 随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数. 2. 两类重要的随机变量:离散型、连续型. 3. 随机变量的分布函数描述随机变量的取值规律.
F(x) P{X x}, x R.
4. 分布函数的性质： 有界性、单调不减、规范性、处处右连续.
三、离散型随机变量的分布律
四、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布(单点分布）
若随机变量X取常数值C的概率为1,即
P(X C) 1
则称X服从退化分布.
2.两点分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 (0-1) 分布或两点分布.记为X~B(1,p)
3.均匀分布
如果随机变量 X 的分布律为
(2) F(x1) F(x2), (x1 x2); (单调不减性)
(3) F() lim F(x) 0, F() lim F(x) 1;
x
x
(4)
lim
xx0
F
(x)
F
( x0
),
( x0 ).(右连续性)
反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是
某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(4)是鉴
X
a1
a2 an
pk
1 11 nn n
其中(ai a j ), (i j) ,则称 X 服从均匀分布.
实例 抛掷匀质骰子并记出现的点数为 X,
则有 X pk
12 11
66
34 11
66
56 11 66
第2章一维随机变量及其分布
{ 16} {灯泡寿命不超过 16} ;
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第二章 一维随机变量及其分布
例2.4 袋中有红球二个, 黄球四个, 它们的标号是1, 2, 3, 4, 5, 6. 现从中任取一个球, E1: 观察标号数; E2: 观 察颜色. 解： 在E1中，样本空间S1 {1,2,3,4,5， 6}
只要有事件{ x}的概率(即已知分布函数), 就可计算 其它事件的概率.
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第二章 一维随机变量及其分布
例2.5 设袋中有标号为-1, 1, 1, 2, 2, 2的六个球,
从中任取一个球, 求所取得的球的标号数
函数, 并画出函数图象. 解:
X 的分布
X是一维随机变量, 它的可能取值是-1, 1, 2.
x1 p 1
x2
p2
xn pn
或
X
x1 p1
x2 … xi
...
P
p2 … pi …
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第二章 一维随机变量及其分布
二、分布律的性质
1. 非负性 2. 规范性
0 pi 1, (i 1,2...)
pi 1
i
注意:
(1)凡满足 1 与 2 的函数P{X=xi}=pi一定是个
x
（3）F ( x)右连续，即F ( x 0) F ( x)
(4)
0 F（x） 1
机变量X的分布函数.
xR
注 意: 凡满足(1)—(4)的实函数F(x)一定是某个随
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第二章 一维随机变量及其分布
易证以下关系成立
（5）P( X x) F ( x) F ( x 0)
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第二章 一维随机变量及其分布
2一维随机变量及其分布
注 ： 后 两 条 性 质 做 直 观 理 解 即 可 ！
M.T.
例1:设随机变量的有分布为 X -1 2
3
pk
1 4
1 2
1 4
求 X的分布函数，并求
P(X
1 ),
P(3
X
5), P(2
X
3)
22
2
解: X的分布函数为 0
1
F
(x)
1
4
1
4 2
x 1 1 x 2 2 x3
X ~ B(n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布 M.T.
例2 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15 件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的15件产品中恰有2件次品 }
C={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近 似看作是15重Bernoulli试验．
P p 1–p
0<p<1
或写成 P( X k) pk (1 p是试验的目的只考虑两个可能的结果，
常用0 – 1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、
人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负
荷等等.－－简单且普便
M.T.
(2) 二项分布 B(n, p)
X ~ U (a,b)
0,
X 的分布函数为
F
(x)
-10
-5
a
5
x
M.T.
例1 设随机变量 具X 有概率密度函数
试确定常数A，
以及 X的分布函数.
Ae3x , x 0; f (x)
第二章概率论与数理统计
例5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从 5.设电话总机在某段时间内接收到的呼唤次数服从 参数为3的泊松分布。 参数为3的泊松分布。求： 恰好接收到5次呼唤的概率； （1）恰好接收到5次呼唤的概率； 接收到不超过5次呼唤的概率。 （2）接收到不超过5次呼唤的概率。
表示电话总机接收到的呼唤次数， 解:设X表示电话总机接收到的呼唤次数，则 设 表示电话总机接收到的呼唤次数
P{ X
P{ X = 0} = P ( A1 A2 A3 A4 A5 ) = (1-p)5 = 5 p (1 − p ) 4 = 1} = P{ A1 A 2 A 3 A 4 A 5 ∪ A1 A2 A 3 A 4 A 5 ∪ ...
2 P{ X = 2} = P{ A1 A2 A 3 A 4 A 5 ∪ A1 A 2 A3 A 4 A 5 ∪ ... = C5 P 2 (1 − P ) 3
泊松定理设随机变量 泊松定理设随机变量 n~B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 定理设随机变量X ＝ 很大， 很小 很小， 且n很大，p很小，记λ=np，则 很大 ，
P{ X = k } ≈
λk
k!
e
−λ
,
k = 0,1,2,...
上题用泊松定理 取λ =np＝(400)(0.02)＝8, 故 近似地有 P{X≥2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981. （3） 泊松(Poisson)分布 λ) ） 泊松 分布P(λ 分布
X
1
0
pk
p
1− p
（2）设将试验独立重复进行n次，且在每次试验 中，事件A发生的概率均为p。若用X表示n重贝努 里试验中事件A发生的次数，则称X服从参数为 n,p的二项分布。记作X~B（n,p),其概率分布律 为：
概率论与数理统计课件 2.2第二章 一维随机变量及其分布
随机变量
1 X 0
（取得红球） （取得白球）
其概率分布为 P( X 1) 3 10
P(X 0) 7 10
即X服从两点分布。
二项分布
P{ X k} Cnk pk qn k ,其中, q 1 p, k 0,1,2,, n
P(X k) b(k;n, p). X ~ B(n, p)
X
0
1
P
1－p
p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
△背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。
如：上抛一枚硬币。
例 设一个袋中装有3个红球和7个白球，现在从中
随机抽取一球，如果每个球抽取的机会相等，
并且用数“1”代表取得红球，“0”代表取得
白球，则随机抽取一球所得的值是一个离散型
有百分之一的希望，就要做百分之百的努力
例 设有同类设备８０台，各台工作相互独立
的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的 故障可由一个人来处理，试求
（１）一个人负责维修２０台设备时，设备发 生故障而不能及时维修的概率；
（２）由三个人共同负责维修８０台设备时， 设备发生故障而不能及时维修的概率。
利用概率测度的上下连续性，易知
分布函数的性质
分布函数的这三个性质称为随机变量 分布函数的特征性质。
柯尔莫哥洛夫存在性定理：
F (x) 1 是不是某一随机变量的分布函数？ 1 x2
不是
因为 lim F(x) 0 x
1
函数
G(
x)
1
x2
1
(x 0) 可作为分布函数 (x 0)
分布函数是一种分析性质良好的函数， 便于处理，而且给定了分布函数就可以算出 各种事件的概率，因而引进分布函数使许多 概率问题得以简化为函数的运算，这样就能 利用数学分析的许多结果，这就是引入随机 变量的好处之一。
第二章 一维随机变量及其分布
第二章一维随机变量及其分布第一节随机变量及其分布函数一、内容精要（一）随机变量1.随机变量的引入的背景2.随机变量的严格定义（二）分布函数1.分布函数的定义2.分布函数的性质3.分布函数表示的概率计算公式二、 常考题型分析（一） 与分布函数有关的性质1. 判定给定函数是否为分布函数例1 ()下列函数中，可以做随机变量的分布函数的是()()21.1A F x x =+ ()()31arctan .42B F x x π=+ ()()0,0,,0.1x C F x xx x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ()()2arctan 1.D F x x π=+2. 含参数的分布函数形式已知，求未知参数例2 ()()1212F x F x X X 设与分别为随机变量和的分布函数.为使 ()()()12=F x aF x bF x -()是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取()32,.55A a b ==- ()22,.33B a b == ()13,.22C a b =-= ()13,.22D a b ==-例3 ()()0,1,11,11,84,11,1,1,x x X F x P X ax b x x <-⎧⎪⎪=-⎪===⎨⎪+-<<⎪≥⎪⎩设随机变量的分布函数且,.a b 求未知参数3. 分布函数的连续性例4 ()000X x P X x ==设随机变量对于任意实数有的充要条件为()A X 为离散随机变量. ()B X 不是离散随机变量.()()C X F x 的分布函数为连续函数.()()D X f x 的概率密度为连续函数.例5 ()()()()1221F x X P x X x F x F x <<=-设为随机变量的分布函数，则()()F x 成立的充要条件是在()1A x 处连续. ()2B x 处连续. ()12C x x 和至少一处连续. ()12D x x 和都不连续.例6 ()()1F x F x --设为某个随机变量的分布函数，讨论函数是否为分布.函数（二） 已知分布函数求区间或某点的概率例7 ()()()00,1=01,121,1,xx F x x P X e x <⎧⎪⎪≤<=⎨⎪-≥⎪⎩，设随机变量的分布函数，则为()0.A ()1.2B ()11.2C e -- ()11.D e --例8 3164一个边长为的正立方体容器盛有的液体，假设一个小孔出现在容器 个表面的任何一个部位是等可能的，现在表面出现了一个小孔，液体经此小孔流出，试求()X F x （1）容器中剩余液体液面的高度的分布函数； 3().4P X =（2）例9 ()=()X x R F x P X x ∈<设为随机变量，对于任意，定义函数，且00,1()=01,21,1,x x F x x e x -≤⎧⎪⎪<≤⎨⎪->⎪⎩，，(1)_____________.P X ==则第二节一维随机变量及其分布一、内容精要（一）一维离散型随机变量及其分布1.分布律和性质2.分布函数3.常见分布（二）一维连续型随机变量及其分布1.概率密度及其性质2.分布函数的性质3.常见分布二、 常考题型分析（一） 与概率分布的性质相关的问题1. 判断函数是否为概率密度例1 12()()F x F x 设，为分别两个随机变量的分布函数，其相应的概率密度()12()()f x f x 分别为，，这两个函数均是连续函数，则必为概率密度的是()12()()A f x f x ()21()()B f x F x()12()()C f x F x ()1221()()()()D f x F x f x F x +2. 概率分布已知，求分布中的位置参数 例2 X 设随机变量的概率分布为()()()11,2,,,n kk kn P X k A C p p k n -==⋅-=,01___________.n Z p A +∈<<=其中为已知，则例3 ()1()1,2,2k kP X k k X θ-==⋅= 设为随机变量的分布律的充要条件 为__________.例4 []12()()1,3f x f x -设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的()()12(),0,()0,0,(),0,af x x f x a b a b bf x x ≤⎧=>>⎨>⎩概率密度，若为概率密度，则应满足例5 2,0,()______.0,0,x ax e x X f x a x -⎧>==⎨≤⎩设随机变量的概率密度函数为则例6 22(),______.x xX f x ae a -+==设随机变量的概率密度函数为则（二） 已知随机试验中的随机变量，求分布律和分布函数例7 413设有三个盒子，第一盒子有个红球，个黑球；第二个盒子装有个红 223球，个黑球；第三盒子装有个红球，个黑球，现在从三个盒子中任取一盒，然后从中任取3个球，试求所取到的红球个数的分布律与分布函数.例8 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为2X 记随机变量为第次射中目标所进行的射击的次数.求X 得分布律.（三） 已知分布函数求分布律或已知概率密度函数求分布函数1. 已知分布函数求分布律例9 X 设随机变量的分布函数为()0,1,0.4,11,0.8,13,1,3,x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ .X 试求的分布律例10 X 已知随机变量的概率分布律为()()22123211X P θθθθ--()()32.4P X X F x θ≥=且，求未知参数及的分布函数2. 已知概率密度函数求分布函数例11 X 设连续型随机变量的密度函数为()12,0,211,1,2332,1,20,,x x x f x x x ⎧≤<⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪⎩其它 ().X F x 试求的分布函数（四） 与常见分布有关的概率问题1. 离散型常见分布例12 ()()12~,,X P p p X λ设分别为随机变量取偶数和奇数的概率，则()12.A p p = ()12.B p p < ()12C p p > ()12,D p p 大小关系不定.例13 X 设随机变量的概率密度函数为()()+1,01,0,k k x x f x ⎧<<=⎨⎩其它， 137264Y X A X ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭以表示对的三次独立的重复观察中，事件至少发生一次的概率为，,95%n A X 试求常数使得事件至少发生的一次的概率超过，对至少要做多少次独立重 .复的观察例14 ()01,p p <<某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中概率为.X X 直至射中目标为止，记随机变量为射击的次数.求为偶数的概率例15 ()(),,.X B n p k P X k =设随机变量服从二项分布当取何值时，最大2. 连续型常见分布例16 ()()()~,0,0,X E s t P X s t X sλ>>>+>设则对于任意则().A t s 与无关，随的增大而增大 ().B t s 与无关，随的增大而减少 ().C s t 与无关，随的增大而增大 ().D st 与无关，随的增大而减少例17 ()()()2~,1X N P X μσμ<+设，则().A μ随的增大而增大 ().B μ随的增大而减少 ().C σ随的增大而不变 ().D σ随的增大而减少例18 ()211,X N Y μσ设随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布()12.A σσ< ()12.B σσ> ()12.C μμ< ()12.D μμ>例19 ()()21,0,0,03X Y N P X Y σ≤>设随机变量均服从，若概率=， ()0,0______.P X Y ><则=例20 1009010有个零件，其中个一等品，个二等品，随机地取两个，安装在 ()20,1,2i i =一台设备上，若个零件中有个二等品，则该设备的使用寿命服从参数 =1i λ+为的指数分布，试求()11设备寿命超过的概率；()212.若已知该设备寿命超过，则安装在该设备上的个零件均为一等品的概率第三节 一维随机变量函数的分布一、 内容精要（一） 一维离散型随机变量函数的分布律（二） 一维连续型随机变量函数分布求解二、 常考题型分析（一） 求可列无穷多取值的离散型随机变量函数的分布律例1 ()1,1,2,,sin .22n X P X n n Y X π⎛⎫==== ⎪⎝⎭设的分布律为求的分布律（二） 已知连续型随机变量的概率密度，求非单调函数的概率密度例2 X 设随机变量的概率密度为()1,10,21,02,40,.X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其它2.Y X Y =令，求的概率密度函数例3 ()20,423X Y X X Y =--设服从区间上的均匀分布，随机变量，试求的 .密度函数例4 1X =max ,.Z X X λ⎛⎫ ⎪⎝⎭设随机变量服从参数为指数分布，求的分布函数（三） 抽象的随机变量函数的分布例5 ()(),,X F x Y F x =设连续型随机变量的分布函数为令求随机变量函数 .Y 的概率分布例6 (),1__________.X F x Y X =-随机变量的分布函数为则的分布函数为。
概率论与数理统计 --- 第二章{一维随机变量及其分布} 第五节：随机变量的函数的分布
概率论
用
y X
y 代替 X y
2
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率.
这是求r.v.的函数的分布的一种常用方法.
概率论 定理: 设 X是一个取值于区间 [a, b], 具有概率密度 f(x)的连续型随机变量, 又设 y=g(x)处处可导, 且对于任意 x, 恒有 g'(x)>0 或恒有 g'(x)<0, 则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为：
y
f X ( x)
1
( x ) 2
2
2
概率论
2
1
e
,
x
yb fY ( y ) fX , a a
y
2
即：fY ( y )
1 a
1 2
yb a 2
2
e
dh( y ) , f X [h( y )] fY ( y ) dy 0,
a x b
y
其它
其中， min g ( x ), max g ( x ),
a x b
x=h(y) 是 y=g(x) 的反函数 .
概率论 2x 2 0 x 例4: 设随机变量X的概率密度为: f X ( x ) 求 Y = sinX 的概率密度. 1 Y 1 0 其它 解: 当 0 x 时, 0 y 1 FY y P Y y
当 y 0时，FY ( y ) 0,
当 y 1时，FY ( y ) 1，
《概率论与数理统计》第2章 随机变量及其分布
第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (2)
第11页
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.
23 April 2012
第二章 随机变量及其分布
例2.2.1 已知 X 的分布列如下：
0,
x 0, x 0.
求 (1) 常数 k. (2) F(x).
解：
(1) k =3.
(2)
1 e3x , x 0,
F(x) 0,
x 0.
23 April 2012
第20页
第二章 随机变量及其分布
第21页
例2.2.4
1 x,
设
X
~
p(
x)
1
x,
0,
1 x 0 0 x1
其它
第二章 随机变量及其分布
第8页
2.2.1 离散随机变量的分布列
设离散随机变量 X 的可能取值为： x1，x2，……，xn，……
称 pi=P(X=xi)， i =1, 2, …… 为 X 的分布列. 分布列也可用表格形式表示：
X x1 x2 …… xn …… P p1 p2 …… pn ……
23 April 2012
第二章 随机变量及其分布 y
第35页
O
μ
x
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第二章 随机变量及其分布
第36页
正态分布的性质
(1) p(x) 关于 是对称的. 在 点 p(x) 取得最大值.
p(x)
σ 小
(2) 若 固定, 改变,
p(x)左右移动,
明德概率论与数理统计第二章第一节(1)
即任一分布函数处处右连续.
如：对例1,
0 , x 0, 1 F ( x ) , 0 x 1, 2 1, x 1.
1
1 2
F (x )
o
1
x
一个函数若具有上述性质, 则此函数一定是某个随 机变量的分布函数.
例2： 已知随机变量X 在整个实轴上取值, 其分布
X x
x
x
F ( x ) P ( X x ),
F(x) 是随机变量 X 取值不大于 x 的概率.
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
P ( a X b) P ( X b) P ( X a )
] （
a
]
b
请 填 空
P ( X a ) F (a ) F (a 0) P ( X a ) 1 P ( X a ) 1 F (a ) P (a X b) F (b) F (a 0)
而X在xk（k=1,2, · ）处的概率就是F(x) · ·
在这些间断点处的跃度.
2º P{a X b}
F ( b 0) F ( a 0) F (b) F (a )
例3 一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，
3个新的，从中任取2个，求取得的新球 个数X的分布律与分布函数，并计算： P{0 X 2}, P{0 X 2}. 解 X={ 取得的新球个数 }，其分布律为
方法1. P{0 X 2}
P{ X 1} P{ X 2}
0.6 0.3 0.9
P{0 X 2} P{ X 0} P{ X 1}
F ( x) 0.7, 1 x 2 1, x2
概率论与数理统计 第2章
§2.2 一维离散型随机变量及其分布律
一、一维离散型随机变量的分布律
定义：设 ～离散型r.v.，它可能取的数值是 x1,x2,…,xn,…，又设
P xi pi i 1,2,, n,
则称下表
P
x1 p1
x2 p2
… …
xk pk
… …
为离散型r.v.的分布律或概率分布。
k
k!
e
e
k!
k 0
k
e e 1
13
⑶ 泊松分布亦是一个重要分布，它是一种散
点子分布，如布匹上的瑕疵点数；放射粒子
数；一段时间内的电话呼唤数及侯车人数等都
服从泊松分布。 例7：设书的某页中印刷错误的个数 服从 0.1 的泊松分布，试求该页中有印刷错误的概率。 例8：设 服从参数为 的泊松分布，已知
1
2、具体而言： 变量的值取决于试验的结果～随机变量，用 希腊字母 , , 表示。 以前所学的变量～普通变量，用英文字母 x,y,z,a,b,c等表示。 随机变量所取的值用普通变量表示。 3、～随机变量；a～数；
a 或 a ～随机事件，或发生或不发生； P a ～它的概率。
3
4、按取值的不同，随机变量可分为两类： ⑴ 离散型随机变量～它可能取的值是有限数 组和可数无穷多个值。 ⑵ 连续型随机变量～它可以在一个区间或数 轴上任意取值。 二、二维随机变量 在某些实际问题中，需用两个或两个以上的随 机变量来描述随机试验的结果。
4
定义：设某个随机试验的基本事件空间为
， 和 是定义在该基本事
19
§2.3 二维离散型随机变量及其分布律 一、联合分布律与边缘分布律 定义：设二维r.v. , 只能取有限对或者最多
概率学 第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布§1随机变量随机试验有各种不同的可能结果，有些情况下，这些可能的结果都可以用数量表示。
【例1】 在含有3件次品的20件产品中，任意抽取2件观察出现的次品数。
如果用 X 表示出现的次品数，则X 可能取的值有0、1、2，取不同的值代表不同事件的发生。
“0=X ”表示事件“没有次品” “1=X ”表示事件“有一件次品” “2=X ”表示事件“有两件次品”。
有些试验结果并不直接表现为数量，但可以使其数量化。
【例2】 抛掷一枚硬币，观察出现正面还是反面。
我们规定：变量X 取值如下“0=X ”表示事件“出现反面” “1=X ”表示事件“出现正面”这样便把试验结果数量化了。
无论哪一种情形，都体现出这样的共同点：对随机试验的每一个可能结果，有唯一一个实数与它对应。
这种对应关系实际上定义了样板空间Ω上的函数，通常记作)(ωX X =，Ω∈ω。
定义 设随机试验的样板空间为}{ω=Ω，)(ωX X =是定义在样板空间Ω上的实单值函数，称)(ωX X =为一维随机变量，通常用大写字母,,,X Y Z 等表示。
随机变量的取值随试验的结果而定，在试验前不能预知它取什么值，即随机变量的取值是随机的，具有偶然性；但随机变量取某一值或某一范围内值的概率是确定的，具有必然性。
如，例1中(P “有一件次品”268.0/}1{)22011713====C C C X P ；例2中P (“出现正面”)2/1}1{===X P 。
这显示了随机变量与普通函数有着本质的差异。
引入随机变量，可以将对随机事件的研究转化为对随机变量的研究，进一步有可能用数学分析的方法对随机试验的结果进行深入的研究。
根据随机变量取值情况的不同，最常见的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种。
§2离散型随机变量定义 如果随机变量的全部可能取值是有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。
例如，“掷骰子出现的点数”， “某班数学的及格人数”只能取有限个值，“命中目标前的射击次数”可取可列无穷多个值，它们都是离散型随机变量。
概率论与数理统计2
x0 x0
1 ( 2)当 x 时, f 2 ( x ) cos x 0, 不是 2 2
( 3)
f 3 ( x )dx 2,
不是
例
设随机变量X的概率密度为
ke 3 x f ( x) 0 x0 x0
试确定常数k, 并求X的分布函数及 P(X>0.1)。
第二章 随机变量及其分布
第一节 一维随机变量及分布
第二节 第三节 第四节 离散型随机变量 连续型随机变量 随机变量函数的分布
第三节、 连续型随机变量
第三节 连续型随机变量
一 连续型随机变量及其概率密度函数
二 常见的连续型随机变量的分布
1 均匀分布 2 指数分布
3 正态分布
1、概率密度的概念与性质
S1
x1
f ( x)d x
1
o
x1 x2
S1
x
1.2 概率密度函数的性质
(1) f(x)0, xR, 表明密度曲线在 x轴上方。
f ( x)
1
o
（2）
x
f ( x)dx 1
这表明介于密度曲线 y f ( x)与x轴之间的面积为1。
（ 3 ）
P ( x 1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x1 )
x
U(a,b)的分布函数为
x a, 0, x a F ( x) , a x b, b a x b. 1,
F ( x)
应用模型 在区间上“等可能投 点”“随机投点”的试 验的数学模型。
1
a o
b
x
第二章 一维随机变量及其分布
第二章 一维随机变量及其分布考试内容随机变量 随机变量分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布考试要求1． 理解随机变量的概念，理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
(){}()F x P X x x =≤-∞<<+∞2． 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0—1分布、二项分布B （n,p ）、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布P （λ）及其应用。
3． 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4． 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布U （a,b ）、正态分布N （2,μσ）、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布E （λ）的概率密度为,0,()0,0.x e f x x λλ-⎛⎫= ⎪≤⎝⎭若x>若会求随机变量函数的分布。
本章的核心内容是8大分布函数及其对应的模型；如何根据定义求的函数分布一般方法。
介绍了作者用于分布函数求一维分布的直角分割法秘技。
分布函数的定义历来是使读者感到迷茫的知识点，如为什么要求分布函数必须右连续等问题？目前的教材和参考书的讲法都不清晰，作者系统地揭开了这一神秘数学面纱。
一、 随机变量1概 念随机试验的每一个可能的结果e （即每一基本事件），对应样本间的集合{}e Ω=中每一元素，我们都可以设令一个实数()X e 来表示该元素，显然，()X e 为实值单值函数()X X e =，称X 为随机变量。
对e ，我们试验前无法确定，也就无法事先确定X 的值，只有在试验后才会知道X 的值，但X 取值一定服从某种确定的分布。
随机变量与普通函数区别有三，第一，随机变量定义域为样本空间的基本事件；第二，随机变量取值是随机的，只有它取每一个可能值有确定的概率；第三，随即变量是随机事件的人为数量化，而且这种数值只是一种符号表示。
概率论与数理统计第二章_随机变量及其分布
概率论与数理统计第⼆章_随机变量及其分布第⼆章随机变量及其分布⼀、学习要求、重点难点1、随机变量的概念、类型、引⼊随机变量的意义;2、离散型随机变量的概率分布，⼏种常⽤的离散型分布;3、连续型随机变量的概率分布，⼏种常⽤的连续型分布;4、分布函数的概念及计算;5、随机变量函数的分布;6、随机变量的⼏种数字特征：期望、⽅差等的概率及其计算;7、⼆元随机变量的概念及相关计算;8、⼤数定理及中⼼极限定理。
⼆.内容提要随机变量及其分布通过随机事件及其概率的讨论，使我们对随机现象的统计规律有了初步的认识。
但是⼀个随机现象常常涉及很多事件，如果孤⽴地、静⽌地去研究某个事件，很难对随机现象的整体有所了解。
为此，可引⼊随机变量的概念，这样就能⾮常⽅便地研究随机现象的各种可能结果，以及各种可能结果能以多⼤的概率发⽣等问题。
引⼈随机变量的基本思想就是为了更好地研究随机现象,对随机现象的结果（即样本空间中每⼀个样本点）进⾏量化处理,这样⼀来对随机现象的研究就转为对随机变量的研究。
第⼀节随机变量⼀、随机变量及其类型1.概念⼀般地，设A 为某个随机事件，则⼀定可以通过如下⽰性函数使它与数值发⽣联系每⼀个随机试验的结果⾃然地对应着⼀个实数，⽽在后两个例⼦中，这种对应关系是⼈为地建⽴起来的。
这样⼀来，随机事件的研究就可化为对随机变量的研究。
因此事件的运算就可化为数值的运算。
特别是进⾏了这样⼀步数学抽象以后，许多随机试验就可统⼀起来概括成各种数学模型加以研究。
例如，统计上“正态模型”、“指数模型”、“贝努利实验模型”等可以概括现实⽣活中⼤批实际问题，我们通过对这些典型的数学模型的研究就能更加深⼊研究随机现象，对随机现象的研究成果具有很强的现实和理论意义。
由此可见，⽆论哪⼀种性质，所谓随机变量，不过是随机试验的结果（即样本点）和实数之间的⼀⼀对应关系。
这与数学分析中函数的概念本质上是⼀致的。
只不过在函数概念中，f(x)的⾃变量x 为实数，⽽随机变量的概念中，随机变量)(ωξ的⾃变量为样本点ω，因为对每个试验结果ω都有函数)(ωξ与之对应，所以)(ωξ的定义域是样本空间，值域是实数域。
概率论与数理统计 第二章 一维随机变量及其分布
分布函数的性质：
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1 且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
一、离散型随机变量的概念
定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即
P( X xk ) pk , k 1,2,
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
第二章
一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
2.1
2.1.1 2.1.2
随机变量及其分布
随机变量的概念 随机变量的分布函数
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的 不同结果．
请 填 空
P(a X b) F (b 0) F (a) P(a X b) F (b 0) F (a 0)
例2.1.1 设随机变量的 分布律为 :
x
pk
-1
1 4
2
1 2
3
1 4
1 求 X 的分布函数，并求: P ( X ), P ( 3 X 5 ), P (2 X 3) 2 2 2
k
1k
(2) 离散型均匀分布
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"
其中p
他答对题数" m这个随机变量 ~ B(5,1 / n) n k n k pk P ( m k ) p ( 1 p ) , ( k 0,1, ,5) k 1
5 1 3 5 1 3 5 1 p3 p4 p5 3 4 4 4 4 4 5 4 0.10
求: (1) P ( X 3), ( 2) P ( X 2), ( 3) P ( X 1), 14 (4) P ( X 1), (5) P (1 X ). 3
2.2-2.3
随机变量的分布函数
一、离散型随机变量的概念 二、离散型随机变量的分布函数 三、常见的离散型随机变量的概率分布
n
, 于是当n 4时, 此人及格的概率是:
3 2 4 5
(4) Poisson 分布 ( ) 或 P ( )
k! 其中 0 是常数，则称 X 服从参数为 的Poisson 分布，记作 ( ) 或 P ( )
应用场合:
若 P( X k ) e
k
, k 0,1,2,
t x0
利用分布函数可以计算
P ( a X b) P ( X b) P ( X a ) F (b) F (a)
] （ （
a
]
b
P( X a ) 1 P( X a ) 1 F ( a )
P( X a) F (a) F (a 0) P(a X b) F (b) F (a 0)
P(X=1)=(3 ×5)/(8× 7)=15/56,类似有 P(Y=1)=5/8, P(Y=2)=P(X=1)=15/56, 类似有： P(X=2)=(3 ×2×5)/(8 ×7 ×6)=5/56,
P(Y=3)=P(X=2)=5/56, P(X=3)=1/56, P(Y=4)=P(X=3)=1/56, X 0 1 所以,X的概率分布为 2 3 所以Y的概率分布为： (3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56 P 5/8 15/56 1/56
k k Pn (k ) P( X k ) Cn p (1 p) nk , k 0,1,, n
称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
X ~ B(n, p)
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布.
例3.1.1 一大批产品的次品率为0.1，现从中取 出15件．试求下列事件的概率： B ={ 取出的15件产品中恰有2件次品 } C ={ 取出的15件产品中至少有2件次品 }
5/56
三、常见的离散型随机变量的概率分布
(1)
Pk
应用场合
0 – 1 分布
1 0 0 < p < 1
X = xk
p
1-p
凡是随机试验只有两个可能的结果，
常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注:其分布律可写成
P( X k ) p (1 p) , k 0,1
随机变量是 如下的特点：
R
上的映射，这个映射具有
定义域 :
随机性 : 随机变量X 的可能取值不止一个， 试验前只能预知它的可能的取值但不能预知 取哪个值．
概率特性 : X 以一定的概率取某个值或某些 值． 引入随机变量后，用随机变量的等式或不 等式表达随机事件．
如，若用X 表示电话总机在9:00＿10:00接到的 电话次数， 则
在一定时间间隔内：
电话总机接到的电话次数；
一匹布上的疵点个数； 大卖场的顾客数；
市级医院急诊病人数； 一个容器中的细菌数； 某一地区发生的交通事故的次数; 放射性物质发出的粒子数； 一本书中每页印刷错误的个数； 等等.
例3.1.3 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson分布， 且已知 PX 1 PX 2
注意: 离散型随机变量的概率分布分以下几步来求 :
(1)确定随机变量的所有可能取值;
(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的 概率.
(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率 函数）.
例2.2.1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令 X：取出的5个数字中的最大值．试求X的分布律．
求分布率一定要说 并且 解：X 的可能取值为 5，6，7，8，9，10． 明 k 的取值范围！ 4 C k 1 PX k=—— k 5， 6， ， 10. 5
解 : X的分布函数为
F ( x)
即
0 1 4 1 1 4 2 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x
0 1 4 F ( x) 3 4 1
x 1 1 x 2 2 x3 3 x
1 1 1 又, P ( X ) F ( ) 2 2 4
例3.1.2 一个完全不懂英语的人去参加英语考试. 假设此考试有5个选择题，每题有n重选择，其中只 有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及 格的概率. 解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案 对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题 也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试验
k
1k
(2) 离散型均匀分布
X
x1
1 n
x2
1 n
xn
pk
1 n
i 表示事件｛出现
{ X i} 如在“掷骰子”的试验中，用 点｝， 则随机变量 X是均匀分布．
X
pk
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
(3) 二项分布
B (n, p )
背景：n 重Bernoulli 试验中，每次试验感兴 趣的事件A 在 n 次试验中发生的次数 —— X是一离散型随机变量 若P ( A ) = p , 则
分布函数的性质：
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F ( x1 ) F ( x2 )
0 F ( x) 1 且
x
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
F ( x ) 右连续，即
F ( x 0) lim F (t ) F ( x)
第二章
一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布 二、离散型随机变量的分布函数 三、离散型随机变量的概率函数 四、连续型随机变量及其概率密度 五、随机变量的函数的分布
2.1
2.1.1 2.1.2
随机变量及其分布
随机变量的概念 随机变量的分布函数
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学 工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的 不同结果．
C 10
具体写出，即可得 X 的分布律：
X P
5
1 252
6
5 252
7
15 252
8
35 252
9
70 252
10
126 252
例2.2.2 袋内有5个黑球3个白球,每次抽取一个不放 回,直到取得黑球为止。记X为取到白球的数目,Y为抽 取次数，求X、Y的概率分布及至少抽取3次的概率。 解: (1)X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=5/8, (2) Y的可能取值为1,2,3,4,
{ X 100} 或 ( X 100)
—— 表示“某天9:00 ＿ 10:00 接到的电话次 数超过100次”这一事件．
再如，用随机变量 1, 正面向上 X ( ) 0, 反面向上 描述抛掷一枚硬币可能出现的结果, 则
( X ( ) 1) — 表示正面向上．
也可以用
0, 正面向上 Y ( ) 1, 反面向上
2
3
4
5
6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为 止，ω表示射击次数，则 Ω:射击1次 X(ω): 1 射击2次 2 ...... ...... 射击n次 n ...... ......
(3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意 时间到达车站,ω表示该旅客的候车时间, Ω: 候车时间 X(ω): [0, 10]
定义: 设E是一随机试验， 是它的样本空间，若
实数 X ( )
按一定法则
则称 上的单值实值函数 X ( )为随机变量． 随机变量一般用 X, Y , Z ,或小写希腊字母, , 表示. 特别
离散型 连续型
取值为有限个和至多可列个的 随机变量. 可以取区间内一切值的随机变量.
一、离散型随机变量的概念
定义: 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或无穷 可列多个，则称 X 为离散型随机变量. 描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布 或分布律，即
P( X xk ) pk , k 1,2,
概率分布的性质
pk 0, k 1,2,
非负性
pk 1
3 5 5 3 3 1 1 P( X ) F ( ) F ( ) 2 2 2 2 4 4 2
P (2 X 3) F (3) F (2) P ( X 2)
3 1 3 1 4 2 4
课堂练习 设随机变量X的分布函数为:
x0 0 x 2 0 x1 F ( x) 2 3 1 x 3 x3 1
请 填 空
P(a X b) F (b 0) F (a) P(a X b) F (b 0) F (a 0)
例2.1.1 设随机变量的 分布律为 :
x
pk