《高等数值分析》讲义L13-strum
数值分析讲义
存在正数 ε∗, 使得
|x∗ − x| ≤ ε∗
称 ε∗ 为近似值的绝对误差限，简称误差限。
记作 x = x∗ ± ε.
朱升峰 (ECNU)
x∗ − ε∗ ⩽ x ⩽ x∗ + ε∗,
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
2021.03 14 / 31
相对误差
定义 3
近似值的误差与准确值的比值 e∗ x∗ − x x= x
称为近似值 x∗ 的相对误差，记作 e∗r 。
定义 4
若存在正数 ε∗r , 使得 |e∗r | ≤ ε∗r , 则称 ε∗r 为相对误差限。
实际计算中，准确值未知，一般取
e∗ x∗ − x x∗ = x∗
理论研究 实验研究 科学计算 科学计算: 现今体现国家科学技术核心竞争力的重要标志 计算数学是各种计算性学科的共性基础。
朱升峰 (ECNU)
数值分析
. . . .... .... .... . . . . .
. . . .... .... .... . .
. ..
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计算方法与计算机
面向计算机的算法: 串行算法: 只有一个进程的算法适合于串行计算机 并行算法: 有两个以上的算法适合于并行计算机
算法 “好”: 可靠的理论分析且良好的数值表现 (计算复杂性好) 数值分析研究数值问题的算法
1 面向计算机 2 可靠的理论分析: 近似算法的收敛性, 数值稳定性, 误差分析等 3 好的计算复杂性: 时间复杂性, 空间复杂性 4 要有数值实验: 算法的数值验证
作为 x∗ 的相对误差，ε∗r = ε∗/|x∗|.
高等数值分析
数值积分方法小述一、背景数值积分方法发展的前提是在17世纪以牛顿和莱布尼茨为首的一批数学家发展起来的微积分。
在最初的研究中，求解积分的方法便是找到求解原函数的方法，得到原函数，以此为基础解决其他问题。
但是在深入的研究中，逐渐发现一些函数的原函数求解极其困难，甚至无法表示出来，是超越函数，还有的根本没有原函数，比如对于延拓函数：sin ,0()1,0xx f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩无法求出它的原函数，这时要求它的积分就无法使用牛顿-莱布尼茨公式了，解决积分的问题便受到阻碍。
这种情况下就需要寻求一种新的求积分的方法来解决这些问题了。
数值积分方法便在数学家们的需求下发展起来。
二、发展历程等距节点的多项式插值求积法的观点最早是1676年出现在Newton 给Leibniz 的一封信中。
1711年，Cotes 在总结了牛顿的观点后，系统归纳了小于10个节点的插值求积方法，并发表了一篇相关论文。
1743年，Simpson 发表他所研究的求积方法。
但是从历史上看，对于辛普森的方法，数学家Cavalieri 和Gregory 似乎研究的更早，而且Cotes 也早就得到了这种方法。
1814年，数学王子Gauss 在研究这个问题时，通过优化那些求积节点得到一种更高精度的数值求积分方法，随后便发表了他的第一篇关于数值求积分的论文。
时间过了100多年，数学家Fejer 于1933年，将Chebyshev 点作为节点应用于数值求积分中，得到了一种新的方法。
1960年，数学家Clenshaw 和Curtis 研究得到一种更为高效的数值求积公式。
Kronrod 在1964年发表了他自己的数值求积方法，4年后的Patterson 对这种方法进行了推广，得到的方法也为世人所知。
值得一提的是Richardson 在1927年发现的外推法，当时并没有用来做数值积分问题。
而数学家Romberg 在1955年将它应用到数值积分上，取得不小的成果。
《数值分析》完整版讲义
2.1.3 多项式插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.4 基函数插值法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 为什么要插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 什么是插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.2 数值分析的研究内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 学习建议 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
i
· ii ·
目录
2.2 Lagrange 插值 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Lagrange 基函数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Lagrange 插值多项式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 插值余项 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4 Lagrange 基函数性质 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
数值分析1.1讲义.
方程求根问题
在科学计算中常要遇到求解各种方程， 例如：
高次代数方程
超越方程
x 5－ 3 x ＋ 7 ＝ 0
x e cos 0 3
x
高次线性方程和超越方程看似简 单，但难于求其精确解。对于高次 代数方程，由代数基本定理知多项 式根的数目和方程的阶相同，但对 超越方程就复杂的多，如果有解， 其解可能是一个或几个，也可能是 无穷多个。
用计算机解决科学计算问题通常经历以 下过程
应 用 数 学 计 算 数 学
实际问题
数值计算方法
程序设计
数学模型
上机计算结果
2.数值分析研究的内容 — 函数的数值逼近(插值与拟合)
— 数值积分与数值微分
— 非线性方程数值解 — 数值线性代数
— 常微和偏微数值解，……
数值分析实质上是以数学问题为研 究对象，不像纯数学那样只研究数 学本身的理论，而是把理论与计算 紧密结合，着重研究数学问题的数 值方法及理论。
y ' 1 2 xy y (0) 0
常微分方程的一般解(解析解) 对一些典型的微分方程 ( 可分离变 量方程，一阶线性方程等等 ) ，有可 能找出它们的一般解表达式，然后 用初始条件确定表达式中的任意常 数，这样解即能确定。
y ' 2 x 例如 求解 y (0) 0
数值分析
Numerical Analysis
教
《数值分析》(第2版)
材 朱晓临 主编
中国科学技术大学出版社
《数值分析》（第5版） 李庆阳，王能超，易大义编著 清华大学大学出版社
参 考 书 目
《数值分析》（第3版） 颜庆津著， 北京航空航天大学 出版社 《Numerical Analysis》(Ninth ed.)
高等数值分析法
xi+1 xi tf ( xi ,ti ) xi t ( xi )
x(t) 1.0000 1.2500 1.5625 1.9531 2.4414
exp(t) 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183
第一节 拉格朗日插值
一般插值问题
拉格朗日线性插值
拉格朗日插值公式 算法设计
一、微分方程导论
dy 1 et dt
是一个微分方程，因为它包含“未知函数”y=y( t )的 导数dy/dt .
由于只有独立变量t出现在上式的右端，因此 的 不定积分就是方程的一个解。可由积分公式求解 y( t )
error 0.0000 0.0265 0.0523 0.0774 0.1019
区间离散化 求y
t
y
t0
y0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
…
tn
Euler’s Method
t
x(t) Initial condition
t0
t1
t2
t
x(ti)
t3
t4
t5
t6
…
tn
x
x0
Solution known to here x(t0)
x(ti+1) Solution desired at this point
error
xi
t
ti ti+1 t
Example
First-order initial value problem
大连理工大学高等数值分析主要内容总结
高等数值分析主要内容总结1. 矩阵部分(1) 矩阵变换a) Householder 变换（反射变换/镜像变换）定义设ωϵC n是一个单位向量，令H(ω)=I−2ωωH(1)则称H是一个Householder矩阵或Householder变换。
H具有以下性质：H H=H (Hermite矩阵),H H H=I (酉矩阵)H2=I (对合矩阵), H−1=H (自逆矩阵)det(H)=−1, diag(I,H)也是一个Householder矩阵定理设uϵC n是一个单位向量，则对于任意的xϵC n，存在Householder矩阵H=I−2ωωH，使得Hx=au，其中|a|=‖x‖2（a不唯一）。
当x=0时，ω可任取；当x=au≠0时，取ωH x=0；当x≠au时，应取ω=x−au。
‖x−au‖2b) Givens 变换（旋转变换）定义 设c,sϵC ，|c |2+|s |2=1，记n 阶矩阵T kl =[1⋱1c̅s̅1⋱1−sc1⋱1](k ) (l)(2)称为Gives 矩阵或初等旋转矩阵。
Givens 矩阵为酉矩阵，且det (T kl )=1。
定理 对于任意向量xϵC n ，存在Givens 变换T kl ，使得y =T kl x 的第k 个分量为非负实数，第l 个分量为0，其余分量不变。
当|x k |2+|x l |2=0时，取c =1，s =0，则T kl =I 。
当|x k |2+|x l |2≠0时，取c =k √|x k |2+|x l |2，s =l√|x k |2+|x l |2。
(2) 矩阵分解-QR 分解（正交三角分解/酉三角分解）定义 设AϵC n×n ，如果存在n 阶酉矩阵（酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广）Q 和n 阶上三角矩阵R ，使得A =QR ，则称A =QR 为A 的QR 分解。
当AϵR n×n 时，则称为A 的正三角分解。
定理 任意一个满秩实（复）矩阵A ，都可唯一地分解为A =QR 。
《高等数值分析》讲义L01survey
科学计算中的基本概念误差计算地球的表面积模型误差：地球被看成是一个球 地球的简单理想模型测量仪器误差和前面的计算误差 地球的半径要经过测量和计算得到π截断误差：公式中的是无理数 舍入误差：浮点数的计算浮点数一般2进制数L≤s≤U. 而任意的浮点数其中浮点数取t=3，L=-4，U=3，浮点数的集合为特点：分布不均匀浮点数如果取t=4，L=-4，U=3，这时采用对数坐标，则集合Ｆ为能够精确表达的数总是有限的！浮点数复杂度回忆: 2阶问题, 3阶问题 考虑一般矩阵的行列式计算需要的乘法次数复杂度指数型算法算法计算量是问题规模的指数函数只能够处理规模很小的问题多项式型算法算法计算量是问题规模的多项式函数 可以处理规模较大的问题ComplexityDescriptor Data Set Size in Bytes Storage ModeTiny 102Piece of PaperSmall104 A Few Pieces of Paper Medium 106 A Floppy DiskLarge 108Hard DiskHuge 1010Multiple Hard Disks Massive1012Robotic Magnetic TapeStorage SilosSuper-massive1015 Distributed Data Archives The Huber-Wegman Taxonomy of Data Set SizesComplexityAlgorithmic ComplexityO( n1/2 )Plot a Scatter-plotO( n )Calculate Means, Variances, Kernel Density Estimates O(n log(n))Calculate Fast Fourier TransformsO(n c)Calculate Singular Value Decomposition of anr x c Matrix; Solve a Multiple Linear RegressionO( n 2 ) Solve most Clustering AlgorithmsO( a n )Detect Multivariate Outliers复杂度----对于直接方法的度量标准Ax=b 的Gauss 消去法线性规划问题的Simplex方法组合优化的问题和方法病态性-----刻划模型的概念考虑如下的问题f(x)=(x-1)(x-2)…….(x-20)显然方程f(x)=0 的解是1 2 3 4 ………19 20请问: 如下方程的解是什么？xf=xfεx)()+(18=εMatlab programp=poly(1:20);ep=zeros(1,21);ep(3)=1.0e-5;re=roots(p+ep)plot(re,'b+');hold onplot(1:20,0,'r*');hold offε=10e-5ε=10e-6ε=10e-8稳定性-----刻划算法的关键概念 考虑如下的序列 可以证明",2,1,10==∫n dx e x E x n n )1/(01+<<−=−n e E nE e E n n n两个算法----有什么差别，哪个可以用??Algorithm 1 Algorithm 2",3,2111=−==−nnEeEEnn1,2,1,/)(,01"−=−==−NNnnEeEEnnNProgram of algorithm 1clearep(1)=1for n=2:100ep(n)=exp(1.0)-n*ep(n-1) endplot(ep,'b*');Algorithm 1with n=15Algorithm 1with n=100Program of algorithm 2clearep(100)=0for n=100:-1:2ep(n-1)=(exp(1.0)-ep(n))/n;endplot(ep,'b*');Algorithm 2with n=100Algorithm 2with n=500科学结论的取得，不能依靠感觉简单的计算发现，可以使用的算法是--Algorithm 2！计算中误差并不可怕，重要的是误差在算法中的传播。
《数值分析教程》课件
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问 题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以 有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定 积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小 区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和 ，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程 、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学 和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预 测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等 。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题 ，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金 融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。 在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和 治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺 的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列 行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组 得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角 矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高 的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。
数值分析第一章课件
E( x ) x x 为近似值 x *的绝对误差 , 简称误差 , 可简记为 E .
20
*
*
因为准确值 x 往往是未知甚至是无法 知道的
因此 E ( x ) x x 往往也无法求出 而只能知道 E ( x * ) x * x 绝对值的某个上界 , 即 | E ( x )| | x x| ( x ) 数值 ( x * )称为 x *的 绝对误差限或误差限, 简记为
26
* * 考察 y *的误差与 x1 , x2 的误差的关系
* * 函数 f ( x1 , x 2 ) 在点 ( x1 , x2 )处的 Taylor 展开式为
** * * ff ff ** ** ** * * ff ((x x11,,x x22)) ((x ( ff ((x x11 x x11 ) ) (x22 x2 x11,,x x22)) 2 ) x x11 x x22
能否正确制定算法是科学计算成败的关键
12
C、什么是算法
例1：证明二次方程
x 2 2bx c
0
至多有两个不同的实根。 书中提出了三种解法（p2） 所谓算法：不仅仅是指单纯的数学公式， 而是指解题方案的准确和完整的描述 例如： 多项式求值的秦九韶算法（P3） 方程求根的二分法（P5）
13
研究数值算法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差 分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微 分方程、数据拟合等问题寻找行之有效的数值 算法。
数值分析1-3
+1.912x + 2.1296
解：如果先计算各项然后相加，则 如果先计算各项然后相加， 乘法次数=4+3+2+1=10，加法次数=4 ，加法次数 乘法次数
但如改用下式计算
P (x) = 0.0625x + 0.425x +1.215x 4
4 3 2
+1.912x + 2.1296 = (((0.0625x + 0.425)x +1.125)x +1.912)x + 2.1296
1−cos x − 接近于0时 例：当x接近于 时， 接近于 sin x 的分子、分母都接近0， 的分子、分母都接近 ，为避免绝对 值小的数作除数， 值小的数作除数，可将原式变形为
1−cos x sin x = sin x 1+cos x
x 很大时， 例：当x很大时， 很大时 x +1 − x 的分母接近0， 的分母接近 ，为避免绝对值小的数 作除数， 作除数，可将原式变形为
二、设计算法的若干原则 (一) 要避免相近两数相减 一
例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有 位有 ， ，各有5位有 效数字。 效数字。 而 a2 − a1 = 0.00001，只剩下 位有效数 ，只剩下1位有效数 字。
数值分析全套课件
Ln n si n
ˆ L2n (4L2n Ln ) / 3
n L error 192 3.1414524 1.4e-004 384 3.1415576 3.5e-005 3.1415926 4.6e-010
3/16
通信卫星覆盖地球面积
将地球考虑成一 个球体, 设R为地 球半径,h为卫星 高度,D为覆盖面 在切痕平面上的 投影(积分区域)
( x1 x2 ) | x1 | ( x2 ) | x2 | ( x1 )
15/16
例3.二次方程 x2 – 16 x + 1 = 0, 取
求 x1 8 63 使具有4位有效数
63 7.937
解:直接计算 x1≈8 – 7.937 = 0.063
( x1 ) (8) (7.937) 0.0005
5/16
误差的有关概念
假设某一数据的准确值为 x*,其近似值 为 x，则称
e(x)= x - x*
为 x 的绝对误差 而称
e( x) x x er ( x ) , x x
*
( x 0)
为 x 的相对误差
6/16
如果存在一个适当小的正数ε
，使得
e( x) x x
计算出的x1 具有两位有效数
1 0.062747 修改算法 x1 8 63 15.937 4位有效数 (15.937) 0.0005 ( x1 ) 0.000005 2 2 (15.937) (15.937)
16/16
1
参考文献
[1]李庆扬 关治 白峰杉, 数值计算原理(清华) [2]蔡大用 白峰杉, 现代科学计算 [3]蔡大用, 数值分析与实验学习指导 [4]孙志忠,计算方法典型例题分析 [5]车刚明等, 数值分析典型题解析(西北工大) [6]David Kincaid,数值分析(第三版) [7] John H. Mathews,数值方法(MATLAB版)
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
高等数值分析大纲
高等数值分析大纲绪言（1学时）一、样条函数及其应用（11学时，参[1]，[2]，[3]，[8]）1．样条函数空间2．B样条函数3．样条函数的性质(1)极小范数性质(2)最佳逼近性质(3)变缩性质(4)B样条函数的性质4．具有重节点的B样条函数5．三次样条插值的B样条表示6．样条函数的应用(1)数值微分(2)数值积分(3)常微分方程的样条函数解法二、最佳逼近（7学时，参[3]，[4]）1．契比晓夫多项式2．线性赋范空间的最佳逼近3．最佳一致逼近4．里米兹方法三、有限Fourier分析（6学时，参[4]，[3]）1．Fourier分析2．离散Fourier变换3．快速Fourier变换4．FFT在卷积中的应用四、迭代法和离散动力系统*（6学时，参[5]）1．基本概念2．Logestic模型3．符号动力系统和拓扑共轭4．Newton法和动力系统五、常微分方程差分方法（8学时，参[5]，[6]）1．单步法2．多步法3．刚性方程4．微分方程数值算法的动力学性质六、变分原理与边值问题（6学时，参[5]，[6]，[7]）1．变分问题举例2．变分法的基本概念3．Euler方程4．边值问题的等价变分问题5．里兹-加辽金（Ritz-Galerkin）方法6．有限元方法简介参考文献[1] 王省富．样条函数及其应用．西安：西北工业大学出版社，1989[2] 李岳生，齐东旭．样条函数方法．北京：科学出版社，1979[3] 黄友谦，李岳生．数值逼近(第二版)．北京：高等教育出版社，1987[4] 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海：复旦大学出版社，1996[5] 蔡大用，白峰衫．高等数值分析．北京：清华大学出版社，1997[6] 武汉大学，山东大学．计算方法．北京：高等教育出版社，1979[7] 南京大学．偏微分方程数值解法．北京：科学出版社，1979[8] 李岳生．样条与插值．上海：上海科技出版社，1983。
数学模型-高等数值分析(2)
A
（8 ）
其中 x
证明
A
= ( x, Ax)1/ 2 ， 且可以证明 x A 也是一种向量范
设 y1 , y2 ,⋯, yn 为对应于 λ1 , λ2 ,⋯, λn 的特征向
范数. 数，称为 A-范数.
中的一组标准正交基， 量构成的 R n 中的一组标准正交基，
故∀x ∈ R ，有
n
≤ ( xk −1 + α rk −1 − x* )T A( xk −1 + α rk −1 − x* ) = ( xk −1 + α ( Ax* − Axk −1 ) − x* )T A( xk −1 + α ( Ax* − Axk −1 ) − x* )
= [( I − α A)( xk −1 − x* )]T A[( I − α A)( xk −1 − x* )]
*
ϕ ( x) 在 xk 点下降最快的方向搜索下一个近似点 xk +1， 在该方向上达到极小值.这就是最速下降 使得ϕ ( xk +1 ) 在该方向上达到极小值.这就是最速下降
法的基本思想. 的基本思想.
由多元函数微分学的知识得知， ( x) 在 xk 下降最 由多元函数微分学的知识得知， ϕ 快的方向是在该点的负梯度方向. 快的方向是在该点的负梯度方向. 是在该点的负梯度方向 点负梯度的计算： 以下是对ϕ ( x) 在 xk 点负梯度的计算：
即
α k = (rk , rk ) ( Ark , rk )
最速下降法算法描述 最速下降法算法描述 算法
1） 给定 x0 ∈ R , r0 = b − Ax0 ；
n
2） 对于 k = 0,1, 2,⋯ 若 rk ≤ ε ，则停止； 则停止；
高等数值分析48课时教案(2021年整理)
高等数值分析48课时教案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高等数值分析48课时教案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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高等数值分析48课时教案南华大学教案2010 ~ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师（职称）:王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版 (李庆扬主编）南华大学教案2010 ~ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师(职称）:王礼广（副教授）班级: 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版 (李庆扬主编)南华大学教案2010 ～ 2011 学年第 1 学期课程:高等数值分析授课教师（职称):王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生教材: 清华大学《数值分析》第4版（李庆扬主编)南华大学教案2010 ～ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级: 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版（李庆扬主编)南华大学教案2010 ~ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师(职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版 (李庆扬主编）南华大学教案2010 ～ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师(职称）：王礼广(副教授）班级： 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版 (李庆扬主编)南华大学教案2010 ～ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师(职称）：王礼广(副教授)班级: 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版（李庆扬主编）南华大学教案2010 ～ 2011 学年第 1 学期课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广(副教授）班级： 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版（李庆扬主编)南华大学教案2010 ~ 2011 学年第 1 学期课程:高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授)班级： 2010级理工科研究生教材：清华大学《数值分析》第4版（李庆扬主编）。
高等数值分析作用欧拉法与阿达姆斯法
求解常微分方程初值问题的方法分为单步法和多步法，单步法主要有欧拉法和Runge- Kutta 法，多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以最常用的Runge- Kutta 法和Adams 法分别作为单步法和多步法的例子，对两种方法进行分析比较。
Euler 法是最简单的一种求解常微分方程初值问题的数值方法，但其局部截断误差仅为，是一阶方法，为了达到更高的精度，我们构造了RK 法．通过构造高阶单步法来提高精度，而较高的精度意味着计算结果更加精确，误差随着的减小迅速减小，考虑常微分方程：常用的多步法主要有Adams 法和Milne 法，本文仅以Adams 法为例介绍多步法，其中Adams 法又包括显式Adams 法和隐式Adams 法。
显式Adams 法:Adams- Bashforth 公式：公式（2.7）又称为Adams 外插公式[2]。
为方便计算，改用函数值表示后差：因（2.7）或（2.8）是显式公式，所以又称它们为显式Adams 公式, 易见显式Adams 公式（2.7）或（2.8）是线性步公式。
常用的四阶显式Adams 公式为[2]隐式Adams 法称（2.10）为Adams-Moulton 公式．所用的牛顿向后插值多项式基点为，而积分区间为，故上式又称为Adams 内插公式，该式为隐式公式，故又称为隐式Adams 公式。
这是一个关于的隐式方程，在计算中，需要将式（2.12）写成显式格式，但一些方程难以求出其显式格式，这就需要将四阶显式Adams 法和四阶隐式Adams 法结合起来，用显式公式（2.9）作为预测，然后用隐式公式（2.12）作校正，构造Adams预测- 校正公式[2]式（2.13）为四阶公式，式中的初始值除y0 已给定，y1，y2，y3 常用四阶RK法计算．四级RK 法每前进一步需要计算四个函数值，对N级RK法，每计算一步，函数f 需要计算N次。
因此，对给定的N，我们总是希望构造阶数最高的方法，记是N级RK法所能达到的最高的阶数，已经得到下面的结果[4]：由此可见，当时，，从而四级四阶RK法是较受欢迎的方法。
高等数值分析 大纲
高等数值分析Advanced Numerical Analysis32学时（其中，讲授： 32 学时；实验： 0学时；实习： 0 学时）； 2 学分一、课程简介本课程是应用数学学科研究生的学位课程。
本课程在本科《数值分析》的基础上进一步讲授现代科学与工程计算中的数值计算方法及原理。
主要内容包括数值计算原理，数值逼近与数值积分，数值代数，常微分方程数值方法等。
本课程的任务是使学生了解现代的大规模问题的科学计算方法，掌握相应算法的基本理论、基本技能。
目的是拓广应用数学等理工类学科研究生的知识面，提高学生的科学计算能力。
二、预修课程及适用专业预修课程：数学分析（高等数学）、高等代数（线性代数）、计算方法。
适应专业：基础数学、应用数学、计算数学、概率论与数理统计三、课程内容及学时分配§1 数值计算原理与计算精确度（讲课4学时）数值计算的一般原理，数值计算的精度分析，并行算法。
§2 数值逼近与数值积分（讲课8学时）多项式逼近与有理逼近；多项式插值与样条插值；三角插值与快速Fourier变换；高斯型求积公式；奇异积分、多重积分简介。
§3 线性方程组的数值解法（讲课8学时）病态方程组与条件数；大型稀疏线性方程组的直接方法；超松弛迭代法；极小化方法。
§4 非线性方程组的数值解法（讲课4学时）基本概念：压缩映射原理；牛顿法和拟牛顿法。
§5 矩阵特征值问题的计算方法（讲课4学时）基本概念；正交变换与矩阵分解；幂迭代法；QR算法；豪斯霍尔德方法。
§6 常微分方程数值方法（讲课4学时）基本概念；初值问题数值方法；刚性方程组数值解法；边值问题数值方法。
四、教学方式及要求本课程以课堂讲课为主，以Matlab软件为平台，教学中穿插数值试验。
每一教学章节后加一节讨论课，作为辅助教学手段。
基本要求是掌握现代数值计算的基本原理和常用方法。
五、考核方法该课程考核分为三部分：考试、考查和平时考核。