17届高考文科数学第7次周练(导数)
2017年高考数学真题导数专题
2017 年高考真题导数专题一．解答题（共 12 小题）1．已知函数 f （x ）=ae 2x +（a ﹣2）e x ﹣x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）有两个零点，求 a 的取值范围．2．已知函数 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且 f （x ）≥0．（1）求 a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．3．已知函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ．（1）若 f （x ）≥0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m ，求m 的最小值．4．已知函数 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数 f′（x ）的极值点是 f （x ）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 2＞3a ；（3）若 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围．5．设函数 f （x ）=（1﹣x 2）e x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）当 x ≥0 时，f （x ）≤ax +1，求 a 的取值范围．6．已知函数 f （x ）=（x ﹣ ）e ﹣x （x ≥ ）．（1）求 f （x ）的导函数；（2）求 f （x ）在区间[ ，+∞）上的取值范围．7．已知函数 f （x ）=x 2+2cosx ，g （x ）=e x （cosx ﹣sinx +2x ﹣2），其中 e ≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线 y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（Ⅱ）令 h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）（a ∈R ），讨论 h （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．8．已知函数 f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数 f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．9．设 a ∈Z ，已知定义在 R 上的函数 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a 在区间（1，2）内有一个零点 x 0，g （x ）为 f （x ）的导函数．（Ⅰ）求 g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设 m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证： h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 p ，q ，且 ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足| ﹣x 0|≥．10．已知函数 f （x ）= x 3﹣ ax 2，a ∈R ，（1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程；（2）设函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，讨论 g （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．设 a ，b ∈R ，|a |≤1．已知函数 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，g （x ）=e x f（x ）．（Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y=g （x ）和 y=e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）若关于 x 的不等式 g （x ）≤e x 在区间[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立，求 b 的取值范围．12．已知函数 f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，min∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）=f（﹣min lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当 a ∈（0，1）时，1﹣ ﹣ln ＜0，f （﹣lna ）＜0，由 f （﹣2）=ae ﹣4+（a ﹣2）e ﹣2+2＞﹣2e ﹣2+2＞0，故 f （x ）在（﹣∞，﹣lna ）有一个零点，假设存在正整数 n 0，满足 n 0＞ln （ ﹣1），则 f （n 0）=（a +a ﹣2）﹣n 0＞﹣n 0＞ ﹣n 0＞0，由 ln （ ﹣1）＞﹣lna ，因此在（﹣lna ，+∞）有一个零点．∴a 的取值范围（0，1）．2．（2017•新课标Ⅱ）已知函数 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx ，且 f （x ）≥0．（1）求 a ；（2）证明：f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为 f （x ）=ax 2﹣ax ﹣xlnx=x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0）， 则 f （x ）≥0 等价于 h （x ）=ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知 h′（x ）=a ﹣ ． 则当 a ≤0 时 h′（x ）＜0，即 y=h （x ）在（0，+∞）上单调递减，所以当 x 0＞1 时，h （x 0）＜h （1）=0，矛盾，故 a ＞0．因为当 0＜x ＜ 时 h′（x ）＜0、当 x ＞ 时 h′（x ）＞0，所以 h （x ）min =h （ ），又因为 h （1）=a ﹣a ﹣ln1=0，所以 =1，解得 a=1；（2）证明：由（1）可知 f （x ）=x 2﹣x ﹣xlnx ，f′（x ）=2x ﹣2﹣lnx ，令 f′（x ）=0，可得 2x ﹣2﹣lnx=0，记 t （x ）=2x ﹣2﹣lnx ，则 t′（x ）=2﹣ ，令 t′（x ）=0，解得：x= ，所以 t （x ）在区间（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，所以 t （x ）min =t （ ）=ln2﹣1＜0，从而 t （x ）=0 有解，即 f′（x ）=0 存在两根x 0，x 2，且不妨设 f′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正，所以 f （x ）必存在唯一极大值点 x 0，且 2x 0﹣2﹣lnx 0=0，所以 f （x 0）=﹣x 0﹣x 0lnx 0= ﹣x 0+2x 0﹣2 =x 0﹣ ，由 x 0＜ 可知 f （x 0）＜（x 0﹣ ）max =﹣+ = ；由 f′（ ）＜0 可知 x 0＜ ＜ ，所以 f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0， ）上单调递减，所以 f （x 0）＞f （ ）=；综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点 x 0，且 e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ．（1）若 f （x ）≥0，求 a 的值；（2）设 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m ，求m 的最小值．【解答】解：（1）因为函数 f （x ）=x ﹣1﹣alnx ，x ＞0，所以 f′（x ）=1﹣ =，且 f （1）=0．所以当 a ≤0 时 f′（x ）＞0 恒成立，此时 y=f （x ）在（0，+∞）上单调递增，这与 f （x ）≥0 矛盾；当 a ＞0 时令 f′（x ）=0，解得 x=a ，所以 y=f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增，即 f （x ）min =f（a ），又因为 f （x ）min =f （a ）≥0，所以 a=1；（2）由（1）可知当 a=1 时 f （x ）=x ﹣1﹣lnx ≥0，即 lnx ≤x ﹣1，所以 ln （x +1）≤x 当且仅当 x=0 时取等号，所以 ln （1+）＜，k ∈N *．（一方面，ln （1+ ）+ln （1+即（1+ ）（1+） (1)）+…+ln （1+）＜e ；）＜ + +…+ =1﹣ ＜1，另一方面，（1+ ）（1+） (1)）＞（1+ ）（1+）（1+）=＞2；从而当 n ≥3 时，（1+ ）（1+）…（1+ ）∈（2，e ），因为 m 为整数，且对于任意正整数 n ，（1+ ）（1+）…（1+ ）＜m 成立，所以 m 的最小值为 3．4．（2017•江苏）已知函数 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，且导函数f′（x ）的极值点是 f （x ）的零点． 极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b 2＞3a ；（3）若 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，求 a 的取值范围．【解答】（1）解：因为 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1，所以 g （x ）=f′（x ）=3x 2+2ax +b ，g′（x ）=6x +2a ，令 g′（x ）=0，解得 x=﹣ ．由于当 x ＞﹣ 时 g′（x ）＞0，g （x ）=f′（x ）单调递增；当 x ＜﹣ 时 g′（x ）＜0，g （x ）=f′（x ）单调递减；所以 f′（x ）的极小值点为 x=﹣ ，由于导函数 f′（x ）的极值点是原函数 f （x ）的零点，所以 f （﹣ ）=0，即﹣+ ﹣ +1=0，所以 b=+ （a ＞0）．因为 f （x ）=x 3+ax 2+bx +1（a ＞0，b ∈R ）有极值，所以 f′（x ）=3x 2+2ax +b=0 的实根，所以 4a 2﹣12b ≥0，即 a 2﹣所以 b= + （a ≥3）．+ ≥0，解得 a ≥3，（2）证明：由（ 1）可知 h （a ）=b 2﹣3a=﹣27），由于 a ＞3，所以 h （a ）＞0，即 b 2＞3a ；﹣ + = （4a 3﹣27）（a 3（3）解：由（1）可知 f′（x ）的极小值为 f′（﹣ ）=b ﹣，设 x 1，x 2 是 y=f （x ）的两个极值点，则 x 1+x 2= ，x 1x 2= ，所以 f （x 1）+f （x 2）=++a （+）+b （x 1+x 2）+2=（x 1+x 2）[（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2]+a [（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2]+b （x 1+x 2）+2=﹣+2，又因为 f （x ），f′（x ）这两个函数的所有极值之和不小于﹣ ，所以 b ﹣+ ﹣+2= ﹣ ≥﹣ ，因为 a ＞3，所以 2a 3﹣63a ﹣54≤0，所以 2a （a 2﹣36）+9（a ﹣6）≤0，所以（a ﹣6）（2a 2+12a +9）≤0，由于 a ＞3 时 2a 2+12a +9＞0，所以 a ﹣6≤0，解得 a ≤6，所以 a 的取值范围是（3，6]．5．（2017•新课标Ⅱ）设函数 f （x ）=（1﹣x 2）e x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）当 x ≥0 时，f （x ）≤ax +1，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）因为 f （x ）=（1﹣x 2）e x ，x ∈R ，所以 f′（x ）=（1﹣2x ﹣x 2）e x ，令 f′（x ）=0 可知 x=﹣1± ，当 x ＜﹣1﹣ 或 x ＞﹣1+时 f′（x ）＜0，当﹣1﹣ ＜x ＜﹣1+ 时 f′（x ）＞0，所以 f （x ）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+ ，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知 f （x ）=（1﹣x ）（1+x ）e x ．下面对 a 的范围进行讨论：①当 a ≥1 时，设函数 h （x ）=（1﹣x ）e x ，则 h′（x ）=﹣xe x ＜0（x ＞0），因此 h （x ）在[0，+∞）上单调递减，又因为 h （0）=1，所以 h （x ）≤1，所以 f （x ）=（1﹣x ）h （x ）≤x +1≤ax +1；②当 0＜a ＜1 时，设函数 g （x ）=e x ﹣x ﹣1，则 g′（x ）=e x ﹣1＞0（x ＞0），所以 g （x ）在[0，+∞）上单调递增，又 g （0）=1﹣0﹣1=0，所以 e x ≥x +1．因为当 0＜x ＜1 时 f （x ）＞（1﹣x ）（1+x ）2，所以（1﹣x ）（1+x ）2﹣ax ﹣1=x （1﹣a ﹣x ﹣x 2），取 x 0=∈（0，1），则（1﹣x 0）（1+x 0）2﹣ax 0﹣1=0，所以 f （x 0）＞ax 0+1，矛盾；③当 a ≤0 时，取 x 0=∈（0，1），则 f （x 0）＞（1﹣x 0）（1+x 0）2=1≥ax 0+1，矛盾；综上所述，a 的取值范围是[1，+∞）．6．（2017•浙江）已知函数 f （x ）=（x ﹣）e ﹣x （x ≥ ）．（1）求 f （x ）的导函数；（2）求 f （x ）在区间[ ，+∞）上的取值范围．【解答】解：（1）函数 f （x ）=（x ﹣ ）e ﹣x （x ≥ ），导数 f′（x ）=（1﹣ • •2）e ﹣x ﹣（x ﹣）e ﹣x=（1﹣x +）e ﹣x =（1﹣x ）（1﹣ ）e ﹣x ；（2）由 f （x ）的导数 f′（x ）=（1﹣x ）（1﹣可得 f′（x ）=0 时，x=1 或 ，）e ﹣x ，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．7．（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g（x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．0 （∴x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．（2）a ＞0 时，令 h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）=0．解得 x 1=lna ，x 2=0．①0＜a ＜1 时，x ∈（﹣∞，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调 递增；x ∈（lna ，0）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＜0，函数 h （x ）单调递减；x ∈（0，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增．∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos（lna ）+2]．②当 a=1 时，lna=0，x ∈R 时，h′（x ）≥0，∴函数 h （x ）在 R 上单调递增．③1＜a 时，lna ＞0，x ∈（﹣∞，0）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增；x ∈（0，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＜0，函数 h （x ）单调递减；x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数 h （x ）单调递增．∴当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna 时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos（lna ）+2]．综上所述：a ≤0 时，函数 h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0 时，函数 h （x ）在（﹣∞，0）单调递减．x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1 时，函数 h （x ）在 x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数 h （x ）在 x ∈（lna ，0）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna时，函数 h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．当 a=1 时，lna=0，函数 h （x ）在 R 上单调递增．a ＞1 时，函数 h （x ）在（﹣∞， ）， lna ，+∞）上单调递增；函数h （x ）在（0，lna ）上单调递减．当 x=0 时，函数 h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当 x=lna时，函数 h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a [ln 2a ﹣2lna +sin （lna ）+cos （lna ）+2]．（8．（2017•北京）已知函数 f （x ）=e x cosx ﹣x ．（1）求曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求函数 f （x ）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数 f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为 f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，可得曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线斜率为 k=e 0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e 0cos0﹣0），即为（0，1），曲线 y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为 y=1；（2）函数 f （x ）=e x cosx ﹣x 的导数为 f′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，令 g （x ）=e x （cosx ﹣sinx ）﹣1，则 g （x ）的导数为 g′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x •sinx ，当 x ∈[0，]，可得 g′（x ）=﹣2e x •sinx ≤0，即有 g （x ）在[0，则 f （x ）在[0，]递减，可得 g （x ）≤g （0）=0，]递减，即有函数 f （x ）在区间[0，最小值为 f （）=ecos]上的最大值为 f （0）=e 0cos0﹣0=1；﹣ =﹣ ．9．（2017•天津）设 a ∈Z ，已知定义在 R 上的函数 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a 在区间（1，2）内有一个零点 x 0，g （x ）为 f （x ）的导函数．（Ⅰ）求 g （x ）的单调区间；（Ⅱ）设 m ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），求证： h （m ）h （x 0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0 的常数 A ，使得对于任意的正整数 p ，q ，且 ∈[1，x 0）∪（x 0，2]，满足| ﹣x 0|≥．【解答】 Ⅰ）解：由 f （x ）=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x +a ，可得 g （x ）=f′（x ）=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6，进而可得 g′（x ）=24x 2+18x ﹣6．令 g′（x ）=0，解得 x=﹣1，或 x= ．当 x 变化时，g′（x ），g （x ）的变化情况如下表：xg′（x ）g （x ）（﹣∞，﹣1）+↗ （﹣1， ）﹣↘ （ ，+∞）+↗所以，g （x ）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（ ，+∞），单调递减区间是（﹣1， ）． （Ⅱ）证明：由 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ），得 h （m ）=g （m ）（m ﹣x 0） ﹣f （m ），h （x 0）=g （x 0）（m ﹣x 0）﹣f （m ）． 令函数 H 1（x ）=g （x ）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则 H′1（x ）=g′（x ）（x ﹣x 0）．由（Ⅰ）知，当 x ∈[1，2]时，g′（x ）＞0，故当 x ∈[1，x 0）时，H′1（x ）＜0，H 1（x ）单调递减； 当 x ∈（x 0，2]时，H′1（x ）＞0，H 1（x ）单调递增．因此，当 x ∈[1，x 0）∪（x 0，2]时，H 1（x ）＞H 1（x 0）=﹣f （x 0）=0，可得 H 1（m ）＞0 即 h （m ）＞0，令函数 H 2（x ）=g （x 0）（x ﹣x 0）﹣f （x ），则 H′2（x ）=g′（x 0）﹣g （x ）．由（Ⅰ） 知，g （x ）在[1，2]上单调递增，故当 x ∈[1，x 0）时，H′2（x ）＞0，H 2（x ）单 调递增；当 x ∈（x 0，2]时，H′2（x ）＜0，H 2（x ）单调递减．因此，当 x ∈[1， x 0）∪（x 0，2]时，H 2（x ）＞H 2（x 0）=0，可得得 H 2（m ）＜0 即 h （x 0）＜0，． 所以，h （m ）h （x 0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数 p ，q ，且，令 m= ，函数 h （x ）=g （x ）（m ﹣x 0）﹣f （m ）．由（Ⅱ）知，当 m ∈[1，x 0）时，h （x ）在区间（m ，x 0）内有零点； 当 m ∈（x 0，2]时，h （x ）在区间（x 0，m ）内有零点．所以 h （x ）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为 x 1，则 h （x 1）=g （x 1）（﹣x 0）﹣f （ ）=0．由（Ⅰ）知 g （x ）在[1，2]上单调递增，故 0＜g （1）＜g （x 1）＜g （2），于是| ﹣x 0|=≥=．因为当 x ∈[1，2]时，g （x ）＞0，故 f （x ）在[1，2]上单调递增，所以 f （x ）在区间[1，2]上除 x 0 外没有其他的零点，而 ≠x 0，故 f （ ）≠0．又因为 p ，q ，a 均为整数，所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数，从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1．所以| ﹣x 0|≥ ．所以，只要取 A=g （2），就有| ﹣x 0|≥ ．10．（2017•山东）已知函数 f （x ）= x 3﹣ ax 2，a ∈R ，（1）当 a=2 时，求曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程；（2）设函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，讨论 g （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（1）当 a=2 时，f （x ）= x 3﹣x 2，∴f′（x ）=x 2﹣2x ，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f （3）= ×27﹣9=0，∴曲线 y=f （x ）在点（3，f （3））处的切线方程 y=3（x ﹣3），即 3x ﹣y ﹣9=0（2）函数 g （x ）=f （x ）+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx= x 3﹣ ax 2+（x ﹣a ）cosx ﹣sinx ，∴g′（x ）=（x ﹣a ）（x ﹣sinx ），令 g′（x ）=0，解得 x=a ，或 x=0，①若 a ＞0 时，当 x ＜0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，当 x ＞a 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（a ，+∞）上单调递增，当 0＜x ＜a 时，g′（x ）＜0 恒成立，故 g （x ）在（0，a ）上单调递减，∴当 x=a 时，函数有极小值，极小值为 g （a ）=﹣ a 3﹣sina当 x=0 时，有极大值，极大值为 g （0）=﹣a ，②若 a ＜0 时，当 x ＞0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，当 x ＜a 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，a ）上单调递增，当 a ＜x ＜0 时，g′（x ）＜0 恒成立，故 g （x ）在（a ，0）上单调递减，∴当 x=a 时，函数有极大值，极大值为 g （a ）=﹣ a 3﹣sina当 x=0 时，有极小值，极小值为 g （0）=﹣a③当 a=0 时，g′（x ）=x （x +sinx ），当 x ＞0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（0，+∞）上单调递增，当 x ＜0 时，g′（x ）＞0 恒成立，故 g （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∴g （x ）在 R 上单调递增，无极值．11．（2017•天津）设 a ，b ∈R ，|a |≤1．已知函数 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，g （x ）=e x f （x ）． （Ⅰ）求 f （x ）的单调区间；（Ⅱ）已知函数 y=g （x ）和 y=e x 的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）若关于 x 的不等式 g （x ）≤e x 在区间[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立，求 b 的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由 f （x ）=x 3﹣6x 2﹣3a （a ﹣4）x +b ，可得 f'（x ）=3x 2﹣12x﹣3a （a ﹣4）=3（x ﹣a ）（x ﹣（4﹣a ）），令 f'（x ）=0，解得 x=a ，或 x=4﹣a ．由|a |≤1，得 a ＜4﹣a ．当 x 变化时，f'（x ），f （x ）的变化情况如下表：xf'（x ）f （x ）（﹣∞，a ）+↗ （a ，4﹣a ）﹣↘ （4﹣a ，+∞）+↗∴f （x ）的单调递增区间为（﹣∞， a ），（4﹣a ，+∞），单调递减区间为（ a ，4﹣a ）；（Ⅱ）（i ）证明：∵g'（x ）=e x （f （x ）+f'（x ）），由题意知，∴，解得 ．∴f （x ）在 x=x 0 处的导数等于 0；（ii ）解：∵g （x ）≤e x ，x ∈[x 0﹣1，x 0+1]，由 e x ＞0，可得 f （x ）≤1． 又∵f （x 0）=1，f'（x 0）=0，故 x 0 为 f （x ）的极大值点，由（I ）知 x 0=a ．另一方面，由于|a |≤1，故 a +1＜4﹣a ，由（Ⅰ）知 f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当 x 0=a 时，f （x ）≤f （a ）=1 在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而 g （x ）≤e x 在[x 0 ﹣1，x 0+1]上恒成立．由 f （a ）=a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b=1，得 b=2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1． 令 t （x ）=2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，∴t'（x ）=6x 2﹣12x ，令 t'（x ）=0，解得 x=2（舍去），或 x=0．∵t （﹣1）=﹣7，t （1）=﹣3，t （0）=1，故 t （x ）的值域为[﹣7，1]．∴b 的取值范围是[﹣7，1]．12．（2017•新课标Ⅰ）已知函数 f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x ．（1）讨论 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）≥0，求 a 的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）=e x （e x ﹣a ）﹣a 2x=e 2x ﹣e x a ﹣a 2x ，∴f′（x ）=2e 2x ﹣ae x ﹣a 2=（2e x +a ）（e x ﹣a ），①当 a=0 时，f′（x ）＞0 恒成立，∴f （x ）在 R 上单调递增，②当 a ＞0 时，2e x +a ＞0，令 f′（x ）=0，解得 x=lna ，当 x ＜lna 时，f′（x ）＜0，函数 f （x ）单调递减，当 x ＞lna 时，f′（x ）＞0，函数 f （x ）单调递增，③当 a ＜0 时，e x ﹣a ＞0，令 f′（x ）=0，解得 x=ln （﹣ ），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）=f（lna）=﹣a2lna≥0，min∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）﹣a2ln（﹣）≥0，=f（ln（﹣））=min∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]P。
导数专题训练(含答案)
导数专题训练及答案专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x0，f(x0))，P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k＝f′(x0)．解题方法:(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法．(2)解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0，y0)，然后求其切线斜率k＝f′(x0)，写出其切线方程．而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点．(3)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确．[例1]已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为4的曲线的切线方程．[变式训练]已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．专题二导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形结合思想．这类问题要注意的是f(x)为增函数⇔f′(x)≥0且f′(x)＝0的根有有限个，f(x)为减函数⇔f′≤0且f′(x)＝0的根有有限个．解题步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.②若已知函数f(x)的单调性，则将原问题转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题，再进行求解．[例2]设函数f(x)＝x e a－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间．[变式训练]设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．专题三 导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围．该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容．解题方法：(1)运用导数求可导函数y ＝f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y ＝f(x)的导数f ′(x)；②求方程f ′(x)＝0的根；③检查f ′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．(3)当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值．[例3] 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx 在区间(－2，1)内，当x ＝－1时取极小值，当x ＝23时取极大值．(1)求函数y ＝f (x )在x ＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y ＝f (x )在[－2，1]上的最大值与最小值．[变式训练] 设函数f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程与x 轴平行，求a ；(2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围．专题四 导数在证明不等式中的应用在用导数方法证明不等式时，常构造函数，利用单调性和最值方法证明不等式．解题方法：一般地，如果证明f(x)＞g(x)，x ∈(a ，b)，可转化为证明F(x)＝f(x)－g(x)＞0，若F ′(x)＞0，则函数F(x)在(a ，b)上是增函数，若F(a)≥0，则由增函数的定义知，F(x)＞F(a)≥0，从而f(x)＞g(x)成立，同理可证f(x)＜g(x)，f(x)＞g(x)．[例4] 已知函数f (x )＝ln x －（x －1）22. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1.[变式训练] 已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0.专题五 定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功．高考中要求较低，一般只考一个小题．解题方法：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数，这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数．(2) 利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积．(3)利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果．[例5] 已知抛物线y ＝x 2－2x 及直线x ＝0，x ＝a ，y ＝0围成的平面图形的面积为43，求a 的值．[变式训练] (1)若函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，则∫20f (x )d x ＝ ____；(2)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝a (a ＞0)与抛物线y ＝x 2所围成的封闭图形的面积为823，则a ＝____．专题六 化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答．解题方法：与函数相关的问题中，化归与转化思想随处可见，如，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符号不变，不等式的证明可转化为最值问题等．[例6] 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数． (1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．[变式训练] 如果函数f(x)＝2x2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案例1 解：(1)因为P (2，4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，所以在点P (2，4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.所以曲线在点P (2，4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y －13x 3＋43与过点P (2，4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20，所以切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2，4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝x 21＝4，得x 0＝±2.所以切点为(2，4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－43， 所以切线方程为y －4＝4(x －2)和y ＋43＝4(x ＋2)，即4x －y －4＝0和12x －3y ＋20＝0.变式训练 解：(1)因为f (2)＝23＋2－16＝－6，所以点(2，－6)在曲线上．因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝3×22＋1＝13，所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16.又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得x 30＝－8，所以x 0＝－2，y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，所以k ＝3×(－2)2＋1＝13，所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．例2 解：(1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e.(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x ＋e x .由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．变式训练 解：(1)f ′(x )＝(1＋kx )e kx (k ≠0)， 令f ′(x )＝0得x ＝－1k (k ≠0)．若k >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 若k <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减． (2)由(1)知，若k >0时，则当且仅当－1k ≤－1，即k ≤1，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．若k <0时，则当且仅当－1k ≥1，即k ≥－1时，函数f (x )在(－1，1)上单调递增．综上可知，函数f (x )在(－1，1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．例3 解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b .又x ＝－1，x ＝23分别对应函数取得极小值、极大值的情况，所以－1，23为方程－3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根．所以a ＝－12，b ＝2，则f (x )＝－x 3－12x 2＋2x . x ＝－2时，f (x )＝2，即(－2，2)在曲线上． 又切线斜率为k ＝f ′(x )＝－3x 2－x ＋2， f ′(－2)＝－8，所求切线方程为y －2＝－8(x ＋2)， 即为8x ＋y ＋14＝0.(2)x 在变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表： ↘↗↘则f (x )在[－2，1]上的最大值为2，最小值为－32.变式训练 解：(1)因为f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x .所以f ′(1)＝(1－a )e.由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. 所以a 的值为1.(2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .若a >12，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值．若a ≤12，则当x ∈(0，2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，所以f ′(x )>0.所以2不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.例4 (1)解：f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－x 2＋x ＋1＞0，解得0＜x ＜1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)． 则有F ′(x )＝1－x 2x .当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0， 所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1.变式训练 (1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x .由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x . 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增． (2)证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x . 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0. 所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.例5 解：作出y ＝x 2－2x 的图象如图所示．(1)当a ＜0时，S ＝∫0a (x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0a ＝－a 33＋a 2＝43，所以(a ＋1)(a －2)2＝0， 因为a ＜0，所以a ＝－1. (2)当a ＞0时， ①若0＜a ≤2，则S ＝－∫a 0(x 2－2x )d x ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|a 0＝a 2－a 33＝43， 所以a 3－3a 2＋4＝0， 即(a ＋1)(a －2)2＝0. 因为a ＞0，所以a ＝2. ②当a ＞2时，不合题意． 综上a ＝－1或a ＝2.变式训练 解析：(1)因为f (x )＝x 3＋x 2f ′ 所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(x )， 所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)， 所以f ′(1)＝－3，所以∫20f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫14x 4＋13x 3f ′（1）|20＝－4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝a 可得A (－a ，a )，B (a ，a )，S ＝ (a －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －13x 3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －13a a ＝4a 323＝823， 解得a ＝2. 答案：(1)－4 (2)2例6 解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax （1＋ax 2）2.①当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0， 解得x 1＝32，x 2＝12. 综合①，可知： ↗↘↗所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点． (2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a ＞0， 知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立， 因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0， 由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.变式训练 解析：显然函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， y ′＝4x －1x ＝4x 2－1x .由y ′＞0，得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞； 由y ′＜0，得函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，12，由于函数在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以⎩⎨⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32。
高考数学真题导数专题及答案
2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题）1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．2017年高考真题导数专题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x ﹣1，当a=0时，f′（x）=﹣2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln，当f′（x）＞0，解得：x＞ln，当f′（x）＜0，解得：x＜ln，∴x∈（﹣∞，ln）时，f（x）单调递减，x∈（ln，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，当a＞0时，f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，当x→﹣∞时，e2x→0，e x→0，∴当x→﹣∞时，f（x）→+∞，当x→∞，e2x→+∞，且远远大于e x和x，∴当x→∞，f（x）→+∞，∴函数有两个零点，f（x）的最小值小于0即可，由f（x）在（﹣∞，ln）是减函数，在（ln，+∞）是增函数，∴f（x）min=f（ln）=a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0，∴1﹣﹣ln＜0，即ln+﹣1＞0，设t=，则g（t）=lnt+t﹣1，（t＞0），求导g′（t）=+1，由g（1）=0，∴t=＞1，解得：0＜a＜1，∴a的取值范围（0，1）．方法二：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=﹣lna，当f′（x）＞0，解得：x＞﹣lna，当f′（x）＜0，解得：x＜﹣lna，∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f（x）单调递减，x∈（﹣lna，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣lna）是减函数，在（﹣lna，+∞）是增函数；（2）①若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，②当a＞0时，由（1）可知：当x=﹣lna时，f（x）取得最小值，f（x）min=f（﹣lna）=1﹣﹣ln，当a=1，时，f（﹣lna）=0，故f（x）只有一个零点，当a∈（1，+∞）时，由1﹣﹣ln＞0，即f（﹣lna）＞0，故f（x）没有零点，当a∈（0，1）时，1﹣﹣ln＜0，f（﹣lna）＜0，由f（﹣2）=ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣lna）有一个零点，假设存在正整数n0，满足n0＞ln（﹣1），则f（n0）=（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0，由ln（﹣1）＞﹣lna，因此在（﹣lna，+∞）有一个零点．∴a的取值范围（0，1）．2．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．3．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【解答】解：（1）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣=，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f （a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（2）由（1）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+）＜，k∈N*．一方面，ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+=1﹣＜1，即（1+）（1+）…（1+）＜e；另一方面，（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）=＞2；从而当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），因为m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m成立，所以m的最小值为3．4．（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0的实根，所以4a2﹣12b≥0，即a2﹣+≥0，解得a≥3，所以b=+（a≥3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．5．（2017•新课标Ⅱ）设函数f（x）=（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=（1﹣x2）e x，x∈R，所以f′（x）=（1﹣2x﹣x2）e x，令f′（x）=0可知x=﹣1±，当x＜﹣1﹣或x＞﹣1+时f′（x）＜0，当﹣1﹣＜x＜﹣1+时f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递减，在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）=（1﹣x）（1+x）e x．下面对a的范围进行讨论：①当a≥1时，设函数h（x）=（1﹣x）e x，则h′（x）=﹣xe x＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，所以f（x）=（1﹣x）h（x）≤x+1≤ax+1；②当0＜a＜1时，设函数g（x）=e x﹣x﹣1，则g′（x）=e x﹣1＞0（x＞0），所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，又g（0）=1﹣0﹣1=0，所以e x≥x+1．因为当0＜x＜1时f（x）＞（1﹣x）（1+x）2，所以（1﹣x）（1+x）2﹣ax﹣1=x（1﹣a﹣x﹣x2），取x0=∈（0，1），则（1﹣x0）（1+x0）2﹣ax0﹣1=0，所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1﹣x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．6．（2017•浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（2）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）=e，f（1）=0，f（）=e，即有f（x）的最大值为e，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[，+∞）上的取值范围是[0，e]．7．（2017•山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（1）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h（x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos （lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．8．（2017•北京）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos﹣=﹣．9．（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，）（，+∞）g′（x）+﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0，2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0，2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0，2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0，2]时，h（x）在区间（x0，m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是|﹣x0|=≥=．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以|﹣x0|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x0|≥．10．（2017•山东）已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=x3﹣x2，∴f′（x）=x2﹣2x，∴k=f′（3）=9﹣6=3，f（3）=×27﹣9=0，∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程y=3（x﹣3），即3x﹣y﹣9=0（2）函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx=x3﹣ax2+（x﹣a）cosx﹣sinx，∴g′（x）=（x﹣a）（x﹣sinx），令g′（x）=0，解得x=a，或x=0，①若a＞0时，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＞a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（a，+∞）上单调递增，当0＜x＜a时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（0，a）上单调递减，∴当x=a时，函数有极小值，极小值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极大值，极大值为g（0）=﹣a，②若a＜0时，当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x＜a时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，a）上单调递增，当a＜x＜0时，g′（x）＜0恒成立，故g（x）在（a，0）上单调递减，∴当x=a时，函数有极大值，极大值为g（a）=﹣a3﹣sina当x=0时，有极小值，极小值为g（0）=﹣a③当a=0时，g′（x）=x（x+sinx），当x＞0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，g′（x）＞0恒成立，故g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴g（x）在R上单调递增，无极值．11．（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，可得f'（x）=3x2﹣12x ﹣3a（a﹣4）=3（x﹣a）（x﹣（4﹣a）），令f'（x）=0，解得x=a，或x=4﹣a．由|a|≤1，得a＜4﹣a．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，a）（a，4﹣a）（4﹣a，+∞）f'（x）+﹣+f（x）↗↘↗∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，a），（4﹣a，+∞），单调递减区间为（a，4﹣a）；（Ⅱ）（i）证明：∵g'（x）=e x（f（x）+f'（x）），由题意知，∴，解得．∴f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）解：∵g（x）≤e x，x∈[x0﹣1，x0+1]，由e x＞0，可得f（x）≤1．又∵f（x0）=1，f'（x0）=0，故x0为f（x）的极大值点，由（I）知x0=a．另一方面，由于|a|≤1，故a+1＜4﹣a，由（Ⅰ）知f（x）在（a﹣1，a）内单调递增，在（a，a+1）内单调递减，故当x0=a时，f（x）≤f（a）=1在[a﹣1，a+1]上恒成立，从而g（x）≤e x在[x0﹣1，x0+1]上恒成立．由f（a）=a3﹣6a2﹣3a（a﹣4）a+b=1，得b=2a3﹣6a2+1，﹣1≤a≤1．令t（x）=2x3﹣6x2+1，x∈[﹣1，1]，∴t'（x）=6x2﹣12x，令t'（x）=0，解得x=2（舍去），或x=0．∵t（﹣1）=﹣7，t（1）=﹣3，t（0）=1，故t（x）的值域为[﹣7，1]．∴b的取值范围是[﹣7，1]．12．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣ae x﹣a2=（2e x+a）（e x﹣a），①当a=0时，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上单调递增，②当a＞0时，2e x+a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，当x＜lna时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞lna时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，③当a＜0时，e x﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），当x＜ln（﹣）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞ln（﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，综上所述，当a=0时，f（x）在R上单调递增，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递减，在（ln（﹣），+∞）上单调递增，（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]。
17年高考真题—文科数学2：导数
2017高考真题分类汇编：导数1．【2017浙江 7】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）2．【2017天津 10】已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为__________。
3．【2017课标I 14】曲线21y x x=+在点()1,2处的切线方程为__________________。
4．【2017天津 19】设,a b R ∈，||1a ≤。
已知函数()()32634f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =。
⑴求()f x 的单调区间；⑵已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点()00,x y 处有相同的切线，①求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；②若关于x 的不等式()x g x e ≤在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围。
5．【2017北京 20】已知函数()cos xf x e x x =-。
⑴求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 在区间[]0,2π上的最大值和最小值。
6．【2017江苏 20】已知函数()()3210,f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）。
⑴求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；⑵证明：23b a >；⑶若()(),f x f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围。
7．【2017山东 20】已知函数()()321132f x x ax a R =-∈。
⑴当2a =时，求曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线方程；⑵设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。
2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟七数学文试题
核 心 八 模2017年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（文科）（七） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设非空集合,P Q 满足P Q P = ，则 A.,x Q x P ∀∈∈ B. ,x Q x P ∀∉∉ C.00,x Q x P ∃∉∈ D. 00,x P x Q ∃∈∉2.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：2123:2;:2,:p z p z i p z ==的共轭复数为41;:i p z +的虚部为-1，其中的真命题为A. 23,p pB. 12,p pC. 24,p pD. 43,p p3.某学校高一、高二、高三年级分别有720、720,800名学生，现从全校随机抽取56人参加防火防灾问卷调查.先采用分层抽样确定各年级参加调查的人数，再在各年级内采用系统抽样确定参加调查的同学，若将高三年级的同学依次编号为001,002，…，800，则高三年级抽取的同学的编号不可能为A. 001,041，…，800B. 031，-71，…，791C.027,067，…，787D.055,095，…，7954.已知一组数据()()()()001,2,3,5,6,8,,,x y 的线性回归方程为ˆ2yx =+，则00x y -的值为A. 3-B. 5-C. 2-D.1-5.已知长方体1111ABCD A BC D -中，12,AB BC BB ==在长方体的外接球内随机抽取一点M ，则落在长方体外的概率为A.4π B. 44ππ- C. 12π D.212ππ-6.已知点P 为曲线3:C y x x =-上一点，曲线C 在点P 处的切线1l 交曲线C 于点Q （异于点P ），若直线1l 的斜率为1k ，曲线C 在点Q 处的切线2l 的斜率为2k ，则124k k -的值为 A. -5 B. -4 C. -3 D. 27.设,a b为非零向量，2a b = ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344,,,,x y x y x y x y +++ 所有可能取值中的最小值为24a ，则,a b的夹角为A.23π B. 3π C. 6πD.0 8.已知等差数列{}n a 中，n S 为前n 项和，公差为d ，若201717100201717S S -=，则d 的值为 A.120 B. 110C. 10D.20 9.执行如图所示的程序框图，则输出的值是A.5B. 4C. 3D.210.已知函数()2232f x x ax a =+-，其中(]()0,3,0a f x ∈≤，对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和a 两数间插入2017个数，使之与1，a 构成等比数列，设插入的这2017个数的乘积为T,则T= A.20172B. 20173C. 201723D.20172211.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，定点()0,2A ，若射线FA 与抛物线C 交于点M,与抛物线C 的准线交于点N,则:MN FN 的值是A.)21:(1+12.已知函数()xF x e =满足()()()F x g x h x =+，且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数，若(]0,2x ∀∈使得不等式()()20g x ah x -≥恒成立，则实数a 的取值范围是A. (,-∞B. (,-∞C. (0,D.()+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足40300x y x y y --≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为 .14.已知双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线的方程为3y x =，则双曲线的离心率为 .15.已知三棱锥的三视图的正视图是等腰三角形，俯视形，则三棱锥的四个面中面积最大值为 .16.已知ABC ∆的面积为S,三内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若2224S a b c +=+，则sin cos 4C B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值时，C = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（1）请将上表补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式 （2）将()y f x =图象上所有点向左平移6π个单位长度，得到()y g x =的图象，求()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心.18.（本题满分12分）如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC ====（1）证明：//BC 平面PDA ； （2）证明：BC PD ⊥;（3）求点C 到平面PDA 的距离.19.（本题满分12分）某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一次幸福感指数的问卷调查，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于7，说明孩子的幸福感弱；幸福指数不低于70，说明孩子的幸福感强）.（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关？（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，1,2A ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，AF 交y 轴于点M ，且M 为AF 的中点.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点A,平行于OA 的直线l 交于P ，交椭圆C 于不同的两点D,E,问是否存在常数λ，使得2PA PD PE λ=⋅，若存在，求出λ的值若不存在，请说明理由.（已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=）21.（本题满分12分）已知函数()()()()2ln ln 1.f x ax xx x a R =--+∈（1）若2ln ax x >，求证：()2ln 1f x ax x ≥-+；（2）若()()2000000,,1ln ln x f x x x x ∃∈+∞=+-，求a 的最大值.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
河北省献县第一中学2017届高考数学复习导数(文科专用)
2017年河北省献县第一中学高考数学复习导数（文科专用)一、总体定位：导数在高中阶段只是研究函数性质的工具，所以我们要做得就是认识它,会计算，能应用。
二、指导思想：导数问题也属于函数问题范畴，它的研究方法与解题流程也需要函数问题的三个问题，即首先要搞清楚对谁运算，运算法则和运算结果。
五种方法，即换元、分类、图像、解方程、互逆运算。
要抓住函数的本质是运算，处理函数问题的核心方法是化归（换元法)的方法与图象（数形结合法)的方法。
三、基础知识和基本方法 （一）认识导数 1、导数即变化率.（1)除法的含义：除法的含义有两种情况，一是分子与分母单位相同时，表示分子中包含多少个分母;一是分子与分母不同时，一份分母对应多少份分子，即分子对分母的变化率.（2）一段时间∆t 内，物体的位移为∆s ，那么平均速度就是∆s/∆t ，即位移对时间的变化率,物体在某一时刻t 0的瞬时速度，即位移对时间的瞬时变化率。
用极限与逼近的思想，让时间的变化量趋于0，我们可以用平均速度来求瞬时速度.抛开背景，引进函数的平均变化率∆y/∆x （竖直位置对水平位置的变化率)和瞬时变化率（∆y/∆x 当∆x 趋于0时的极限）的概念，抽象概括出导数概念—-函数平均变化率的极限。
2、导数的几何意义.(1）知识准备：xy ∆∆=k ，它表示一份水平位置对应K 份竖直位置变化，即竖直位置对水平位置的变化率. （2）如图，当点Q 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线PQ 趋近于确定的位置PT.我们把直线PT 称为曲线在点P 处的切线. 那么当Δx→0时，割线PQ 的斜率就无限趋近于切线PT 的斜率.导数的几何意义，从直观上解释了函数的平均变化率和瞬时变化率的关系,也为我们以下求切线方程打下了理论基础。
导图：备注:1. 知识准备:除法的意义. 2。
函数的平均变化率符号化xy ∆∆，瞬时变化率即平均变化率的极限，符号化xyx ∆∆→∆lim 0=A=)('0x f （二）计算导数平均速度瞬时速度函数的平均变化率瞬时变化率导数割线的斜率切线的斜率导数的计算分三个层次，基本基本初等函数的导数公式,四则运算法则，复合函数求导.1、基本初等函数的导数公式2、四则运算法则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧3设)(u f y =，而u=)]([x f y ϕ=的导数为外导乘内导，即： ()()y f u x ϕ'''=(三)导数的应用导数的应用主要在高考中体现在两个方面,一是切线问题，一是单调性极值问题。
2017全国高考导数解答题文科
2017文(全国高考导数解答题) 科．高考如是考1、2017年全国一卷21．（12分）xx2xaa已知函数=e(e﹣)﹣．)f(x（1）讨论的单调性；)(xf a的取值范围．，求（2）若0?xf()2、2017全国二卷（21）（12分）x2xf(x). 设函数)e=(1-f(x) 1（）讨论的单调性；axf(x)ax. ）当0时，，求+1的取值范围2（??）（本小题20（文）数学北京卷（3、2017年分）13．已知函数x x ecos x??f(x)（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；(0)))(?yfx(0,fπ上的最大值和最小（Ⅱ）求函数在区间)(fx][0,2值．高考如是考参考答案年全国一卷21．（12分）1、2017xx2xaa )﹣﹣．已知函数=e(e)f(x（1）讨论的单调性；)f(x a）若，求的取值范围．（20f(x)?，为义域的解析】（1）函数定【),??(x)(??f，. ，在单调递增①若，则xx2xx2?)??ef?(x)2eea?aea?a)(?(2.x2e)?xf()(??,??0a?得，则由②若?0)f?(x ax?a?0ln，所时，当时，；当??0)?()?0?x(ln a,??)x?x(??,ln a)ff(x. 以在单调递减，在单调递增)a(x),(??,ln a)??(ln f a. ③若，则由得?)ln(?x?0f(x)?0a?2aa，当时，时，；当??)???x?(ln(?x?(??,ln(),))0f)(x?x0)f?(22aa单调递减，在在单调递增故. )),??))?(ln(??(,ln(?)f(x22（2）①若，则，所以.②若，则由（1）得，当时，取得最2x e?x)(f0(x)?f0a?小)xf(a ln xa?0?值，最小值为.从而当且仅当，.22a ln)f(ln a??a0?a ln a?时，即0?)x(f1?aa取得最时，）得，当，则由（③若1)?x?ln()(xf0?a2a3a 从而当且仅当.小值，最小值为2)]?ln(a[(ln(f??))?224.3a3，即时22e a??0?)]?ln(a[?0(fx)?4243的取值范围为综上，.a,1]e2[?42、2017全国二卷（21）（12分）2x xf(x). =(1-)e设函数f(x)的单调性； 1）讨论（xf(x)axa.时，）当（20的取值范围，求+1??．分））（本小题1320（（文）数学北京卷、32017年．已知函数x xx)?ecos x?(f在点（Ⅰ）求曲线处的切线方程；(0))(0,fxy?f()π[0,]上的最大值和最小（Ⅱ）求函数在区间)x(f2值．?. 1)(【答案】Ⅰ；最小值；（Ⅱ）最大值?1y?2。
高考数学真题导数专题及答案
高考数学真题导数专题及答案2017年高考真题：导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数f(x) = ae^(2x) + (a-2)e^x - x。
1) 讨论f(x)的单调性；2) 若f(x)有两个零点，求a的取值范围。
2.已知函数f(x) = ax^2 - ax - xlnx，且f(x) ≥ 0.1) 求a；2) 证明：f(x)存在唯一的极大值点x，且e^-2 < f(x) < 2^-2.3.已知函数f(x) = x^-1 - alnx。
1) 若f(x) ≥ 0，求a的值；2) 设m为整数，且对于任意正整数n，(1+1/n)^m 的最小值。
4.已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 (a。
0，b∈R)有极值，且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点。
1) 求b关于a的函数关系式，并写出定义域；2) 证明：b^2.3a；3) 若f(x)和f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于 -1，求a的取值范围。
5.设函数f(x) = (1-x^2)e^x。
1) 讨论f(x)的单调性；2) 当x≥1时，f(x) ≤ ax+1，求a的取值范围。
6.已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)。
1) 求f(x)的导函数；2) 求f(x)在区间(-1.+∞)上的取值范围。
7.已知函数f(x) = x^2 + 2cosx，g(x) = e^x(cosx-sinx+2x^-2)，其中e≈2.…是自然对数的底数。
I) 求曲线y=f(x)在点(π。
f(π))处的切线方程；II) 令h(x) = g(x) - af(x) (a∈R)，讨论h(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。
8.已知函数f(x) = e^x*cosx - x。
1) 求曲线y=f(x)在点(0.f(0))处的切线方程；2) 求函数f(x)在区间[0.π]上的最大值和最小值。
9.设a∈Z，已知定义在R上的函数f(x) = 2x^4 + 3x^3 -3x^2 - 6x + a在区间(1.2)内有一个零点x，g(x)为f(x)的导函数。
高三一轮复习第七次数学周练习
高三下学期第七周数学周测试题一．选择题（共8小题，每小题5分）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0 5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈Z D．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|三．填空题（共4小题，每小题5分）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z ＝．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．高三下学期第七周数学周测试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为（）A．[﹣3，2]B．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）【分析】可求出A＝{x|﹣2≤x≤2}，然后根据A∩B＝∅可得出a的范围．【解答】解：A＝{x|4﹣x2≥0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a+1}，且A∩B＝∅，∴a＞2或a+1＜﹣2，∴a＜﹣3或a＞2，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．当1＜m＜2时，复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：（3+i）+m（2﹣i）＝3+2m+（1﹣m）i，∵1＜m＜2，∴3+2m＞0，1﹣m＜0，∴复数（3+i）+m（2﹣i）在复平面内对应的点（3+2m，1﹣m）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．3．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿．中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦、赛场、冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为O1，O2，O3，O4，O5，若双曲线C以O1，O3为焦点、以直线O2O4为一条渐近线，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】建立平面直角坐标系，可得双曲线的渐近线方程，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得a，b的关系，即可求得离心率．【解答】解：如图建立平面直角坐标系，依题意，可得双曲线的渐近线方程为，由O4（﹣13，﹣11）在渐近线上，可得﹣11＝•（−13）即可得，则双曲线C的离心率为＝．故选：B．【点评】本题考查了双曲线的渐近线、离心率，属于中档题．4．已知m，n，s，t∈R*，m+n＝4，+＝9，其中m，n是常数，且s+t的最小值是，点M（m，n）是曲线﹣＝1的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x﹣4y+6＝0B．4x﹣y﹣6＝0C．4x+y﹣10＝0D．x+4y﹣10＝0【分析】由已知求出s+t取得最小值时m，n满足的条件，再结合m+n＝4求出m，n，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【解答】解：∵，当且仅当，即取等号，∴，又m+n＝4，又m，n为正数，∴可解得，设弦两端点分别为（x1，y1），（x2，y2），则，两式相减得，∵x1+x2＝4，y1+y2＝4，∴，∴直线方程为，即x﹣4y+6＝0．故选：A．【点评】本题考查了直线与双曲线的综合运用，属于中档题．5．已知0.5a＝5b＝3，则（）A．ab＜0＜a+b B．ab＜a+b＜0C．a+b＜ab＜0D．a+b＜0＜ab 【分析】化简得a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，从而可得ab＜0，化简＝+，从而比较大小．【解答】解：∵0.5a＝5b＝3，∴a＝log0.53＜0，b＝log53＞0，∴ab＜0，＝+＝log35+log30.5＝log32.5，又∴0＜log32.5＜1，∴0＜＜1，∴ab＜a+b＜0，故选：B．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化及对数的运算，属于基础题．6．如图所示，△ABC的面积为，其中AB＝2，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则λ+2μ的值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角形的面积公式可求得BC，再根据AD为BC边上的高，求出BD，从而可得出点D的位置，再根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理求出λ，μ，即可得解．【解答】解：，所以BC＝3，因为AD为BC边上的高，所以，因为M为AD的中点，所以＝，又因为，所以，所以．故选：C．【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查学生的运算能力，属于中档题．7．单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为（）A．B．C．D．【分析】由题意首先求得外接球半径，然后计算外接球内接的最大正三角形边长即可．【解答】解：如图为单位正四面体A﹣BCD．过点A作面BCD的垂线交面于点E，F为外接球球心，则E为△BCD的中心，，∴．不妨设AF＝R．在Rt△BEF中，由勾股定理，得．即，解得．∴最大正三角形的边长为．故选：C．【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．8．已知函数在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解．【解答】解：，因为x∈（0，1），所以，又f（x）在（0，1）内恰有3个极值点和4个零点，所以，解得，所以实数ω的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了根据函数的零点和极值点求参数的取值范围，考查了转化思想，属中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知函数f（x）＝|sin x||cos x|，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的周期为C．（π，0）是f（x）的一个对称中心D．f（x）在区间上单调递增【分析】化简函数f（x），根据函数的单调性与对称性和周期性，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：函数f（x）＝|sin x||cos x|＝|sin x cos x|＝|sin2x|，画出函数图象，如图所示；所以f（x）的对称轴是x＝，k∈Z；所以x＝是f（x）图象的对称轴，A正确；f（x）的最小正周期是，B正确；f（x）是偶函数，没有对称中心，C错误；x∈[，]时，2x∈[，π]，sin2x≥0，所以f（x）＝|sin2x|是单调减函数，D错误．故选：AB．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．（多选）10．下列选项中正确的是（）A．若平面向量，满足，则的最大值是5B．在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，则的值为4C．函数f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为，k∈ZD．已知P为△ABC内任意一点，若，则点P为△ABC的垂心【分析】对A选项，根据平面向量数量积的定义与性质，函数思想即可求解；对B选项，根据三角形外心的性质，向量的线性运算及向量数量积的几何定义即可求解；对C选项，根据正切函数的图象性质即可求解；对D选项，根据向量数量积的性质，三角形垂心的概念即可求解．【解答】解：对A选项，∵，∴＝＝＝＝≤＝5，∴的最大值是5，∴A选项正确；对B选项，∵在△ABC中，AC＝3，AB＝1，O是△ABC的外心，∴＝＝＝＝4，∴B选项正确；对C选项，令，可得x＝，k∈Z，∴f（x）＝tan（2x﹣）的图象的对称中心坐标为（，0），k∈Z，∴C选项错误；对D选项，∵，∴，∴，∴PB⊥CA，同理P A⊥BC，PC⊥AB，∴点P为△ABC的垂心，∴D选项正确．故选：ABD．【点评】本题考查平面向量数量积的定义与性质，函数思想，三角形外心的性质，正切函数的图象性质，三角形垂心的概念，属中档题．（多选）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n+1＝S n+2a n+1，数列的前n项和为T n，n∈N*，则下列选项正确的是（）A．数列{a n+1}是等比数列B．数列{a n+1}是等差数列C．数列{a n}的通项公式为D．T n＞1【分析】由a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1可得，，可判断A，B的正误，再求出a n，可判断C的正误，利用裂项相消法求T n，可判断D的正误．【解答】解：因为S n+1＝S n+2a n+1，所以a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1，a n+1+1＝2a n+2，即，且a1+1＝2，所以数列{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确，B错误；所以，即，故C正确；因为，所以，故D错误；故选：AC．【点评】本题考查了等比数列的判断和裂项相消求和，属于中档题．（多选）12．如图，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于M，N 两点，过点M，N分别作准线l的垂线，垂足分别为M1，N1，准线l与x轴的交点为F1，则（）A．直线F1N与抛物线C必相切B．C．|F1M|•|F1N|＝|F1F|•|MN|D．|FM1|•|FN1|＝|FF1F|•|M1N1|【分析】选项A，联列方程，整理成y的一元二次方程，用判别式判定是否恒为零即可；选项B，由•＝4m2≥0知，选项B正确；选项C，计算得|F1F||MN|＝8m2+8，|F1M||F1N|＝4m2+8，两式不恒等，故C不正确；选项D，先计算•，从而得⊥，由等面积法知选项D正确．【解答】解：由已知F（1，0），F1（﹣1，0），设过点F的直线方程为：x＝my+1，设点M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），则M1（﹣1，y1），N1（﹣1，y2），F1（﹣1，0），由，得y2﹣4my﹣4＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，选项A：直线F1N的方程为y＝（x+1），联立方程组得：，所以y2﹣4[（m+）y﹣1]＝0，Δ＝16（m+）2﹣16不恒为零，故选项A不正确；选项B：由题得＝（my1+2，y1），＝（my2+2，y2），而•＝m2y1y2+2m（y1+y2）+4+y1y2＝4m2≥0，所以cos＜•＞＝≥0，所以∠MF1N≤，故B正确；选项C：|F1F|＝2，|MN|＝|x1+x2+2|＝|m（y1+y2）+4|＝4m2+4，所以|F1F||MN|＝8m2+8；|F1M|2＝（my1+2）2+y12，|F1N|2＝（my2+2）2+y22，所以|F1M|2•|F1N|2＝[（my1+2）（my2+2）]2+y22（my1+2）2+y12（my2+2）2+y12y22＝（4m2+4）2﹣32m2+64m2+48＝16（m2+2）2，所以|F1M||F1N|＝4（m2+2）＝4m2+8，所以选项C不正确；选项D：∵＝（﹣2，y1），＝（﹣2．y2），∴•＝4+y1y2＝4﹣4＝0，∴⊥，在△M1FN1中，S＝|M1N1|•|F1F|＝|FM1||FN1|，故D正确．故选：BD．【点评】本题考查抛物线的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项和的最大值为8．【分析】由题意，分类讨论，求出数列的前5项，从而得出结论．【解答】解：已知数列{a n}满足a1＝a5＝0，|a n+1﹣a n|＝2，则{a n}前5项分别为0，﹣2，0，﹣2，0；或0，﹣2，﹣4，﹣2，0；或0，2，0，2，0；或0，2，4，2，0；故当{a n}前5项分别为0，2，4，2，0 时，前5项的和最大，为0+2+4+2+0＝8，故答案为：8．【点评】本题主要考查等差数列的定义，数列求和，属于基础题．14．《九章算术》中的“商功“篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中，M是A1C1的中点，AB＝2AA1＝2AC，，，若，则x+y+z＝．【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解．【解答】解：由图可知：，又因为，所以，所以，所以，所以，．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题．15．已知函数f（x）＝在区间（a，a+）上存在极值，则实数a的取值范围是（，1）．【分析】求函数f（x）的导数，利用f′（x）＝0求出极值点，再结合题意列出不等式求解集即可．【解答】解：因为函数f（x）＝，x＞0，所以f′（x）＝﹣，令f′（x）＝0，解得x＝1，当f′（x）＞0，即0＜x＜1，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x＞1，函数单调递减，所以1是函数的极值点，又因为函数f（x）在区间（a，a+）（a＞0）上存在极值，所以a＜1＜a+，解得＜a＜1，所以实数a的取值范围是（，1）．故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．16．过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交于点A，B，O是坐标原点，且满足，S△AOB＝，则p＝（）A．2B．C．4D．【分析】过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，由AB＝3FB，丨AC丨＝2丨BD丨，求得丨BE丨，可得直线AB的方程，与抛物线联立方程，表示|AB|的长，进而可表示三角形的面积，根据面积求得p的值【解答】解：不妨设直线AB的斜率k＞0，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，过B作BE⊥AC于E，由AB＝3FB，∴＝2，丨丨＝2丨丨，即丨AC丨＝2丨BD丨，∴E为AC的中点，即丨AE丨＝丨AB丨，∴丨BE丨＝＝丨AB丨，由S△OAB＝S OAF+S OBF＝丨BE丨•丨OF丨＝p丨AB丨，S△OAB＝丨AB丨，∴由丨AE丨＝丨AB丨，则直线AB斜率为k AB＝±2，直线AB的方程y＝2（x ﹣1），，整理得：8x2﹣10px﹣8p2＝0，则x1+x2＝，则丨AB丨＝x1+x2+p＝+p，∴S△OAB＝（+p），∴（+p）＝，解得p＝2．【点评】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属中档题．。
高二数学第七次周练试卷(文科A卷)含答案
高二数学第七次周练试卷（文科A 卷）（试卷总分：100分 考试时间：80分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设点A(－1,2),B(2,－2),C(0,3),且点M （a,b ）(a ≠0)是线段AB 上一点，则直线MC 的斜率k 的取值范围是( ) A . []1,25-B.[－1,]25- C. [)1,0(]0,25⋃- D.(－),1[)25,+∞⋃-∞2、如果直线沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是( ) A. －31 B. －3 C. 31D . 3 3、∆ABC 的三个顶点为A(4,1),B(－1,－6),C(－3,2),R 为这个三角形三边围成的区域(包括边界)，当P(x,y)在R 中变动时，S=4x －3y 的最大值及最小值为( ) A. 14和－18 B. 18和－14 C.13和－18 D. 14和－134、如果直线l 1,l 2的斜率为k 1,k 2，二直线的夹角为θ，若k 1,k 2分别为二次方程x 2－4x+1=0的两根，那么θ为( ) A.,3πB.4π C.6π D.8π 5、直线4x －3y －2=0与圆x 2+y 2－2ax+4y+a 2－12=0总有两个交点，则a 应满足( )A.－3<a<7B.－6<a<4C.－7<a<3D. －21<a<196、若直线ax+by －3=0与圆 x 2+y 2+4x －1=0切于点P(－1,2)，则ab 的积为( ) A. 3 B. 2 C.－3 D. －27、过Q(2,3)引直线与圆x 2+y 2+8x+2y+8=0交于R,S 两点，那么弦RS 的中点的轨迹为( ) A.圆(x+1)2+(y －1)2=49 B.圆x 2+y 2+2x －2y 41-=0的一段弧 C.圆x 2+y 2+2x －2y －11=0的一段弧 D. 圆(x+1)2+(y －1)2=138、两圆外切于P ，AB 是它们的一条公切线(切点为A,B),若∆PAB 的周长为40,面积为60,则点P 到AB 的距离为( ) A.217B.1760C. 17120D. 179、若圆C 1:(x －a)2+(y －b)2=b 2+1始终平分圆C 2: (x+1)2+(y+1)2=4的周长，则实数a,b 应满足的关系式是( )A. a 2－2a －2b －3=0B. a 2+2a+2b+5=0 C.a 2+2b 2+2a+2b+1=0 D. 3a 2+2b 2+2a+2b+1=010、直线0323=-+y x 截圆x 2+y 2=4得劣弧对的圆心角为( )A.6π B. 4π C. 3π D. 2π二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分.)11、由方程x 2+xy －6y 2=0所确定的两条直线的斜率为12、若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:x+y－7=0和l2:x+y－5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为≥恒成立，则m的取值13、设P(x,y)为圆x2+(y－1)2=1上任意一点，欲使不等式x+y+m0范围是 .14、圆C:(x－cosθ)2+(y－sinθ)2=25与直线l:(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R)的位置关系是姓名班级学号得分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）11． 12． 13． 14．三、解答题（34分）15．（ 10分）过点P （3，0）作直线l 与两直线l 1:2x －y-2=0,l 2:x+y+3=0分别相交于A 、B 两点，且P 平分线段AB ，求直线的方程。
江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷(七)文科数学试题含答案
绝密★启用前江西省2017年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学(七）本试题卷共!语法错误，＊2页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知()2iiiab a b+=+∈R，，其中i为虚数单位,则a b+等于( ）A．－1 B．1 C．2 D．3 【答案】B【解析】由题意得,()2i i ia b+=+，即2i1ia b+=-+，所以 1 2a b=-=，,所以1a b+=，故选B．2．已知集合{}|15A x x=<<，{}2|320B x x x=-+<，则AB =（）A．{}|25x x<<B．{}|25x x<≤C．{}|25x x≤≤D．∅【答案】B【解析】{}{}2|320|12B x x x x x=-+<=<<,所以{}|25AB x x=<≤,故选B．3．函数xxy2cos32sin-=的图象的一条对称轴方程为（）A．π12x=B．π12x=-C．π3x=D．π6x=-【答案】B【解析】由题意得，函数πsin222sin(2)3y x x x==-，令ππ232x-=-解得π12x=-,所以函数的其中一条对称轴的方程为π12x=-，故选B．4．已知x与y之间的一组数据：12343.24。
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.如果物体做2)1(2)(t t S -=的直线运动，则其在s t 4=时的瞬时速度为（）A.12B.12-C.4D.4-2.已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.[0,4π]B.[,)42ππC.3(,]24ππD.3[,)4ππ3.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x .()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（）A.()()f x g x =B.()()f x g x -为常函数C.()()0f x g x ==D.()()f x g x +为常函数4.过点(2,1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有（）条A.1B.2C.3D.45.已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（）. A.0B.1C.0或16D.1或166.已知221()x f x x+=的导函数为'()f x ，则'()f i =（i 为虚数单位）（） A.12i --B.22i --C.22i -+D.22i - 7.已知点P 处在曲线41x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[0,)4π B.[,)42ππ C.3(,]24ππD.3[,)4ππ8.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）A.32B.34C.38D.3129.若曲线()()a f x g x x ==在点(1,1)P 处的切线分别为12l l 、,且2l l ⊥,则a 的值为( )A.2-B.2C.12D.12-10.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( ) A.4 B.14- C.2D.12-11.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-12.已知函数2()1f x ax =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，则2010S 的值为（）A.20102011 B. 10052011 C. 40204021D.20104021二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =. 14.曲线y x =在4x π=处的切线的倾斜角是15.在同一平面直角坐标系中，已知函数()y f x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =对应的曲线在点（,()e f e ）处的切线方程为.16.与直线2610x y -+=垂直,且与曲线32()31f x x x =+-相切的直线方程是 三 、解答题（本大题共6小题，第1小题10分，其余每题12分，共70分） 17.本小题满分16分。
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练6
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.如果物体做2)1(2)(t t S -=的直线运动，则其在s t 4=时的瞬时速度为（）A.12B.12-C.4D.4-2.已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.[0,4π]B.[,)42ππC.3(,]24ππD.3[,)4ππ3.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x .()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（）A.()()f x g x =B.()()f x g x -为常函数C.()()0f x g x ==D.()()f x g x +为常函数4.过点(2,1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有（）条A.1B.2C.3D.45.已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（）. A.0B.1C.0或16D.1或166.已知221()x f x x +=的导函数为'()f x ，则'()f i =（i 为虚数单位）（） A.12i --B.22i --C.22i -+D.22i - 7.已知点P 处在曲线41x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[0,)4π B.[,)42ππ C.3(,]24ππD.3[,)4ππ8.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）A.32B.34C.38D.3129.若曲线()()a f x g x x ==在点(1,1)P 处的切线分别为12l l 、,且2l l ⊥,则a 的值为( )A.2-B.2C.12D.12-10.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A.4B.14-C.2D.12-11.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-12.已知函数2()1f x ax =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，则2010S 的值为（）A.20102011 B. 10052011 C. 40204021D.20104021二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =. 14.曲线y x =在4x π=处的切线的倾斜角是15.在同一平面直角坐标系中，已知函数()y f x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =对应的曲线在点（,()e f e ）处的切线方程为.16.与直线2610x y -+=垂直,且与曲线32()31f x x x =+-相切的直线方程是 三 、解答题（本大题共6小题，第1小题10分，其余每题12分，共70分） 17.本小题满分16分。
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练2
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.如果物体做2)1(2)(t t S -=的直线运动，则其在s t 4=时的瞬时速度为（）A.12B.12-C.4D.4-2.已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.[0,4π]B.[,)42ππC.3(,]24ππD.3[,)4ππ3.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x .()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（）A.()()f x g x =B.()()f x g x -为常函数C.()()0f x g x ==D.()()f x g x +为常函数4.过点(2,1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有（）条A.1B.2C.3D.45.已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（）. A.0B.1C.0或16D.1或166.已知221()x f x x +=的导函数为'()f x ，则'()f i =（i 为虚数单位）（） A.12i --B.22i --C.22i -+D.22i - 7.已知点P 处在曲线41x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[0,)4π B.[,)42ππ C.3(,]24ππD.3[,)4ππ8.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）A.32B.34C.38D.3129.若曲线()()a f x g x x ==在点(1,1)P 处的切线分别为12l l 、,且2l l ⊥,则a 的值为( )A.2-B.2C.12D.12-10.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A.4B.14-C.2D.12-11.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-12.已知函数2()1f x ax =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，则2010S 的值为（）A.20102011 B. 10052011 C. 40204021D.20104021二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =. 14.曲线y x =在4x π=处的切线的倾斜角是15.在同一平面直角坐标系中，已知函数()y f x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =对应的曲线在点（,()e f e ）处的切线方程为.16.与直线2610x y -+=垂直,且与曲线32()31f x x x =+-相切的直线方程是 三 、解答题（本大题共6小题，第1小题10分，其余每题12分，共70分） 17.本小题满分16分。
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练3
高考数学万卷周测卷十七文数导数周测专练姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.如果物体做2)1(2)(t t S -=的直线运动，则其在s t 4=时的瞬时速度为（）A.12B.12-C.4D.4-2.已知点P 在曲线y =41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A.[0,4π]B.[,)42ππC.3(,]24ππD.3[,)4ππ3.()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x .()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（）A.()()f x g x =B.()()f x g x -为常函数C.()()0f x g x ==D.()()f x g x +为常函数4.过点(2,1)引直线与抛物线2x y =只有一个公共点,这样的直线共有（）条A.1B.2C.3D.45.已知函数321()22f x x x m =-+的图象上A 点处的切线与直线30x y -+=的夹角为45°，则A 点的横坐标为（）. A.0B.1C.0或16D.1或166.已知221()x f x x +=的导函数为'()f x ，则'()f i =（i 为虚数单位）（） A.12i --B.22i --C.22i -+D.22i - 7.已知点P 处在曲线41x y e =+上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )A.[0,)4π B.[,)42ππ C.3(,]24ππD.3[,)4ππ8.如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）A.32B.34C.38D.3129.若曲线()()a f x g x x ==在点(1,1)P 处的切线分别为12l l 、,且2l l ⊥,则a 的值为( )A.2-B.2C.12D.12-10.设函数2()()f x g x x =+,曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为( )A.4B.14-C.2D.12-11.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（）A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-12.已知函数2()1f x ax =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nS ，则2010S 的值为（）A.20102011 B. 10052011 C. 40204021D.20104021二 、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =. 14.曲线y x =在4x π=处的切线的倾斜角是15.在同一平面直角坐标系中，已知函数()y f x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称，则函数()y f x =对应的曲线在点（,()e f e ）处的切线方程为.16.与直线2610x y -+=垂直,且与曲线32()31f x x x =+-相切的直线方程是 三 、解答题（本大题共6小题，第1小题10分，其余每题12分，共70分） 17.本小题满分16分。
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：导数及其应用含答案
北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编导数及其应用1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知函数()ln (0)f x x mx m =->. (I) 若1=m ，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程；(II ）求函数)(x f 的最大值()g m ,并求使()g m >2-m 成立的m 取值范围.2、（朝阳区2017届高三上学期期末） 设函数2()(1)e ,xf x x ax a =-+∈R .(Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ)若函数()f x 有两个零点，试求a 的取值范围； （III)设函数()ln e1,xg x x x =+-+当0a =时，证明()()0f x g x -≥。
3、（朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数1()e xax f x +=,a ∈R .(Ⅰ）若曲线y f x =（)在点()0,0f （）处切线斜率为2-,求函数()f x 的最小值； （Ⅱ)若函数f x （)在区间()0,1上无极值，求a 的取值范围。
4、（东城区2017届高三上学期期末)设函数ax x x x f +⋅=ln )(，a ∈R 。
（Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ)求函数)(x f y =在],1[e e上的最小值；（Ⅲ)若x a axx f x g )12(21)()(2+-+=，求证：0≥a 是函数)(x g y =在)2,1(∈x 时单调递增的充分不必要条件。
5、（丰台区2017届高三上学期期末) 已知函数3()3f x x ax =-()a ∈R ．(Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0(0)),f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()f x 在区间(12)-，上仅有一个极值点，求实数a 的取值范围； (Ⅲ）若1a >，且方程()f x a x =-在区间[0],a -上有两个不相等的实数根，求实数a 的最小值．6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知函数ln 1()x f x x +=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ)若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <,求证：2111x x a->-．7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知函数3()9f x x x =-,2()3g x x a =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处具有公共切线,求a 的值；（Ⅱ）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若方程()()f x g x =有三个不同的解123,,x x x ，且它们可以构成等差数列，写出实数a 的值. (只需写出结果)8、（石景山区2017届高三上学期期末)已知函数()321(21)()3f x x ax a x a R =++-∈． (Ⅰ）若()f x 在点(0,0)处的切线方程为y x =，求a 的值； (Ⅱ）求()f x 的单调区间;(Ⅲ）当1a =-时，设()f x 在1212,()x x xx <处取到极值,记11(,())M x f x ．(0,(0))A f ，(1,(1))B f ，(2,(2))C f ，判断直线AM 、BM 、CM 与函数()f x 的图象各有几个交点（只需写出结论）．9、（通州区2017届高三上学期期末）已知函数233)(x xx f -=，4)(2-=ax x g ．（Ⅰ）求函数)(x f 的极值；（Ⅱ）若对任意的[0)x ∈+∞，，都有)()(x g x f ≥，求实数a 的取值范围；(Ⅲ）函数)(x f 的图象是否为中心对称图形，如果是，请写出对称中心；如果不是，请说明理由．10、(西城区2017届高三上学期期末）对于函数()f x ，若存在实数0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点． 已知函数32()3f x x ax bx =+++，其中,a b ∈R ．（Ⅰ)当0a =时，(ⅰ）求()f x 的极值点；(ⅱ）若存在0x 既是()f x 的极值点,又是()f x 的不动点，求b 的值；（Ⅱ）若()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，试问：是否存在a ，b ,使得1x ，2x 均为()f x 的不动点？证明你的结论．11、(北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知：函数2()()(0)x f x ax bx c e a =++>的导函数'()y f x =的两个零点为3-和0．（Ⅰ）求()f x 的单调区间;（Ⅱ）若()f x 的极小值为1-,求()f x 的极大值．12、(朝阳区2017届高三上学期期中）已知函数1()(1)ln ,f x ax a x a x=--+∈R .（I ）若2a =-,求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ）若1a ≥,且()1f x >在区间1[,e]e上恒成立，求a 的取值范围；（III)若1ea >，判断函数()[()1]g x x f x a =++的零点的个数.参考答案1、解：（I ）若1=m ,则x x x f -=ln )(.所以1'()1(0)f x x x=->。
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17届文科第7次周练（导数）
2016.5.13
时间：60分钟 满分：100分
1.（2006年天津）函数)(x f 的定义域为),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数
)(x f 在),(b a 内有极小值点 （ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ． 4个
2.【2012高考辽宁文8】函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为( ) （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C ）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 3.(2005全国文)若函数93)(23-++=x ax x x f 在3-=x 取得极值,则a =( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
4.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2
x
+lnx 则 （ ）
A ．x=12为f(x)的极大值点
B ．x=1
2为f(x)的极小值点
C ．x=2为 f(x)的极大值点
D ．x=2为 f(x)的极小值点 5. 函数x x y -=ln 的最大值为（ ）
A ．1-
B ．1-e
C ．0
D ．1
6.（2013新课标Ⅱ文11）函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论错误的是（ ）
A ．0x ∃∈R,0()0f x =
B.函数()y f x =的图像是中心对称图形
C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减
D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =
7．(2008福建文)函数()y f x =的图像如图,那么()y f x '=的图像可能是（ ）
8.（2007北京文9）若3
1()213
f x x x =
++，则(1)f '-的值是 9.（2007湖北文13）已知函数)(x f y =的图象在M （1，f （1））处的切线方程是
x y 2
1=
+2，则＝)1()1('
+f f 10. 函数x e y -=1的单调减区间为 q 11．若函数53
123
-++=
ax x x y 的单调递减区间是（-3，1），则a 的值是 12.（11辽宁文）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是___________ 13.（2005北京） 已知函数f (x )=－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a . （I ）求f (x )的单调递减区间；
（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
14.（2005全国II 文）设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+． （I ）求()f x 的极值；
（II ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．
17届文科第7次周练（导数）答案
ABDD ACA 3 3 (,)-∞+∞ -3 (,2ln 22]-∞-
13. 解：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．
由f ‘(x )<0，得x <－1或x >3，
所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II ）因为f (－2)=2＋a ，f (2)＝22＋a ， f (－1)＝=-5＋a
所以f (2)>f (－2)> f (－1)．
因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，
于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．
故f (x )=－x 3＋3x 2
＋9x －2，因此f (－1)＝-5－2＝－7，
即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7．
14.解：（1）2()321f x x x '=--，若()0f x '=，则1
,13
x =-
当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
所以()f x 的极大值是()3
27
f a -=+，极小值是(1)1f a =-. （2）由()f x 图像可知： 当()f x 的极大值
5027a +<，或()f x 的极小值10a ->即527a <-或1a >时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点， 所以，当5
(,)(1,)27
a ∈-∞-
+∞ 时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点.。