大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷

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一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末

的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞

=，则级数

1

n

n a

∞

=∑（ ）；

A.一定收敛，其和为零

B. 一定收敛，但和不一定为零

C. 一定发散

D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）；

A. 623(, , )777

B. 623(, , )777-

C. 623( ,, )777--

D. 623(, , )777--

3、设3

2

()x x y f t dt =

⎰

，则dy dx

=（ ）；

A. ()f x

B. 32()()f x f x +

C. 32()()f x f x -

D.2323()2()x f x xf x -

4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在

C. 必为初等函数

D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1

1

n n n ∞

=+∑

必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1

21sin x xdx -=⎰__________ _。

4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2()

lim ()

x a f x g x →=__________。

三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 )

1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ⎰

2、( 本小题7分 )

若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ⎰。

3、( 本小题7分)

已知函数

1

arctan

1

x

y

x

+

=

-

，求

dy

dx

。

4、( 本小题7分)

将函数

1

()

32

f x

x

=

+

展开为(1)

x-的幂级数。

四、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 )

计算81

⎰

。

2、( 本小题7分 )

求幂级数11

(1)(3)n n

n x n -∞

=-∑的收敛区间。

3、( 本小题7分 )

设0

[()''()]sin 5,()2f x f x xdx f π

π+==⎰，求(0)f 。

4、( 本小题7分 )

五、解答题( 本大题12分)

设()

f x具有连续二阶导数，且(0)0

f=，

()

,0 ()

,0

f x

x

g x x

a x

⎧

≠

⎪

=⎨

⎪=

⎩

（1）a为何值时，()

g x连续。

（2）对（1）中所确定的a值，求'()

g x。（3）讨论'()

g x在0

x=处的连续性。

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷

参考答案

一、选择题：

1、D ；

2、B ；

3、D ；

4、B.

二、填空题：

1、发散；

2、-2；

3、0；

4、0.

三、解答题：

1、求不定积分sin x xdx ⎰； 解：sin x xdx ⎰

cos cos cos sin x x xdx x x x C

=-+=-++⎰

2

、若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ⎰；

解：因为'()1f x =，所以21'()12f x x

=+

则

21'()(1)21

ln 2

f x dx dx x

x x C

=+

=++⎰⎰

3、已知函数1arctan 1x y x +=-，求dy

dx

； 解：

2211()'111()111dy x

x dx x

x

x +=⋅+-+-=

+ 4、将函数1

()32

f x x =+展开为(1)x -的幂级数. 解：

10

1()3211351(1)

53(1)(1)53

1(1)1

5n n n n n f x x x x x ∞

+==

+=⋅

+-=---<-<∑

即2833x -<<。

四、解答题 1

、计算81

⎰

；