2018届中考数学第1编教材知识梳理篇第7章图形与变换第21讲图形的对称、平移与旋转试题

第二十一讲图形的对称、平移与旋转,考标完全解读)图形的对称、平移与旋转应用,感受宜宾中考)1．(2015宜宾拔尖)在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示．点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E，F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝3.当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标是( B)A．(3，0) B．(1，0) C．(4，0) D．(2，0),(第1题图)) ,(第2题图))2．(2016宜宾中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为( A)A.10 B．2 2 C．3 D．2 53．(2017宜宾中考)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是__60°__．,核心知识梳理)1．概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形__完全重合__，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做__对称轴__，如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够__完全重合__，那么这个图形就叫__轴对称图形__．2．轴对称与轴对称图形的区别与联系3．概念：在平面内，一个图形绕着中心点旋转180°后，与自身重合，我们把这种图形叫做中心对称图形．这个中心点叫做__对称中心__．中心对称图形是旋转角度为180°的__旋转对称图形__．4．中心对称与中心对称图形的区别和联系5．在平面内，将一个图形沿__一定方向__移动__一定距离__，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．6．平移的特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段平行并且相等(对应线段也可能在一条直线上)，图形的__形状与大小__都没有发生变化；平移后对应点所连的线段平行并且相等(对应点所连的线段也可能在一条直线上)．7．平移作图的基本步骤(1)根据题意，确定平移方向和平移距离；(2)找出原图形的关键点；(3)按平移方向和平移距离，平移各个关键点，得到各关键点的对应点；(4)按原图形依次连结得到各关键点的对应点，得到平移后的图形．8．平面内某一个或几个基本的图形绕一个定点沿某__一个方向__(顺时针或逆时针)__转动一个角度__，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做__旋转中心__，这个角度叫做__旋转角__．9．旋转的三大要素：旋转中心在旋转过程中保持不动，图形的旋转由__旋转中心__、__旋转的角度__、__旋转的方向__所决定．10．旋转的特征(1)图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转同样大小的角度；(2)对应点到旋转中心距离相等．对应线段相等，对应角相等；(3)图形的形状与大小都没有发生变化．11．旋转作图的基本步骤(1)根据题意，确定旋转中心及旋转方向、旋转角；(2)找出原图形的关键点；(3)连结关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各个关键点的对应点；(4)按原图形依次连结得到旋转后的图形．,重点难点解析)图形平移、旋转、轴对称【命题规律】主要考查图形平移、旋转、轴对称的概念和特征，有基础题目也有中难度题．【例1】下列图形是中心对称图形的是( C)【解析】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形点对称或中心对称．【答案】C【针对训练】1．(2017福建中考)下列关于图形对称性的命题，正确的是( A)A．圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形2．(2017天津中考)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连结AD.下列结论一定正确的是( C)A．∠AB D＝∠E B．∠CBE＝∠CC．AD∥BC D．AD＝BC3．如图，△ABC中，BC＝5 cm，将△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的对应位置时，A′B′恰好经过AC的中点O，则△ABC平移的距离为__2.5__cm.变换图形的作用【例2】如图，在直角坐标系中，A(0，4)，C(3，0)．(1)①画出线段AC 关于y 轴对称线段AB ；②将线段CA 绕点C 顺时针旋转一个角，得到对应线段CD ，使得AD∥x 轴，请画出线段CD ； (2)若直线y ＝kx 平分(1)中四边形ABCD 的面积，请直接写出实数k 的值．【解析】(1)①根据关于y 轴的对称的点的横坐标互为相反数确定出点B 的位置，然后连结AB 即可；②根据轴对称的性质找出点A 关于直线x ＝3的对称点，即为所求的点D ；(2)根据平行四边形的性质，平分四边形面积的直线经过中心，然后求出AC 的中点，代入直线计算即可求出k 的值．【答案】(1)①如图所示； ②直线CD 如图所示；(2)∵由图可知，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵A(0，4)，C(3，0)，∴平行四边形ABCD 的中心坐标为(1.5，2)， 代入直线得，1.5k ＝2， 解得k ＝43.【针对训练】4．如图，已知：BC 与CD 重合，∠ABC ＝∠CDE＝90°，△ABC ≌△CDE ，并且△CDE 可由△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是__90°__．变换图形性质的运用【命题规律】近几年来，由三角形、四边形通过叠、拼、平移、旋转产生的中考探究性题目，新颖别致，备受青睐．利用图形变换的特殊性质，可解决一些几何问题中证明角、线段相等的问题．【例3】将一副三角尺(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)如图①摆放，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C.(1)求∠ADE 的度数；(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，试判断PM CN 的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PMCN 的值；反之，请说明理由．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，根据等边对等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根据∠ADE＝∠ADC－∠EDF 计算即可得解；(2)根据同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再求出△BCD 是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BCD ＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CPD＝60°，从而得到∠CPD＝∠BCD，再根据两组角对应相等，两三角形相似判断出△DPM 和△D CN 相似，再根据相似三角形对应边成比例可得PM CN ＝PDCD 为定值．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，点D 为AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，∴∠ACD ＝∠A ＝30°，∴∠ADC ＝180°－30°×2＝120°∴∠ADE ＝∠ADC－∠EDF＝120°－90°＝30°； (2)PM CN ＝33.理由如下： ∵∠EDF ＝90°，∴∠PDM ＋∠E′DF＝∠CDN＋∠E′DF＝90°， ∴∠PDM ＝∠CDN， ∵∠B ＝60°，BD ＝CD ， ∴△BCD 是等边三角形， ∴∠BCD ＝60°，∵∠CPD ＝∠A＋∠ADE＝30°＋30°＝60°， ∴∠CPD ＝∠BCD ， 在△DPM 和△DCN 中，∠CPD ＝∠BCD，∠PDM ＝∠CDN， ∴△DPM ∽△DCN ， ∴PM CN ＝PD CD， ∵PD CD ＝tan ∠ACD ＝tan 30°＝33，∴PM CN 的值不随着α的变化而变化，是定值33. 【针对训练】5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连结CF ，求CF 的长．解：连接BF ，交AE 于H 点． ∵BC ＝6，点E 为BC 的中点， ∴BE ＝3， 又∵AB＝4，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝5， ∴BH ＝125，∴BF ＝245，∵FE ＝BE ＝EC ， ∴∠BFC ＝90°， ∴CF ＝BC 2－BF 2＝62－⎝ ⎛⎭⎪⎫2452＝185.,当堂过关检测)1.(2017宜宾中考改编)如图①，一副直角三角板△ABC 和△DEF，将△ABC 和△DEF 按图②放置，已知∠F＝30°，在图③的位置上，△DEF 绕点D 按逆时针旋转至DF 与BC 重合，在旋转过程中，当EF 与△ABC 的边平行，旋转的角度是(1)30°；(2)45°；(3)75°；(4)135°；(5)165°.其中正确的是( B )A ．(1)(3)(4)B ．(1)(3)(5)C ．(1)(4)(5)D ．(2)(3)(5)2．(2017东营中考)如图，把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置，它们重叠部分的面积是△ABC 面积的一半，若BC ＝3，则△ABC 移动的距离是( D )A .32 B .33 C .62 D .3－62,(第2题图)),(第3题图))3．(2017泰安中考)如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB 绕某点逆时针旋转α得到的，点A′与A对应，则α的大小为( C )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．(2017菏泽中考)如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为(－4，5)，点D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( B )A ．(0，43)B ．(0，53)C ．(0，2)D ．(0，103),(第4题图)) ,(第5题图))5．(2017连云港中考)如图，已知等边三角形OAB 与反比例函数y ＝kx (k ＞0，x ＞0)的图象交于A ，B 两点，将△OAB 沿直线OB 翻折，得到△OCB，点A 的对应点为点C ，线段CB 交x 轴于点D ，则BD DC 的值为2．(已知sin 15°＝6－24) 6．(2017荆州中考)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为__4__．7．(2017东营中考)如图，已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，E 为AB 的中点，若P 为对角线BD 上一动点，则EP ＋AP 的最小值为．,(第7题图)) ,(第8题图))8．(2017黄冈中考)已知：如图，在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3 cm ，BO ＝4 cm ，将△AOB 绕顶点O 按顺时针方向旋转到△A 1OB 1处，此时线段OB 1与AB 的交点D 恰好为AB 的中点，则线段B 1D ＝__1.5__cm .9．(2017宜宾中考改编)如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 绕A 点沿顺时针方向旋转得到△ADE，连接BD ，CE 交于点F.(1)求证：△AEC≌△ADB；(2)若AB＝2，∠BAC＝45°，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长．解：(1)由旋转的性质得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC，∴AE＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠BAE＝∠DAE＋∠BAE，即∠CAE＝∠DAB，在△AEC和△ADB中，∵AE＝AD，∠CAE＝∠DAB，AC＝AB，∴△AEC≌△ADB(S.A.S.)；(2)∵四边形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°，∴∠DBA＝∠BAC＝45°，由(1)得：AB＝AD，∴∠DBA＝∠BDA＝45°，∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形，∴BD2＝2AB2，即BD＝22，∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2，∴BF＝BD－DF＝22－2.。