应用多元统计分析：主成分分析共110页

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多元统计的应用主成分分析完整PPT

主成分的数学推导
设 X (X1, , X p ) 为 p 维随机向量，并假定存在二阶矩，
其均值向量与协差阵分别记为：
μ E(X) , Σ D(X)
（3）
考虑如下的线性变换
Y1
t11 X1
t12 X 2
Y2
t21 X1
t22 X 2
t1p X p T1X t2 p X p T2X
Yp t p1 X1 t p2 X 2
t pp X p TpX
用矩阵表示为
Y TX
其中 Y (Y1,Y2, Yp ) ， T (T1,T2, ,Tp ) 。
（4）
我们希望寻找一组新的变量 Y1, ,Ym （ m p ），这组新的变量要求充分地反映原变量 X1, , X p 的信息，而且相互独立。对于 Y1, ,Ym 有
妨设 1 2 p 0 。那么，协差阵 Σ 的最大特征值为 1 ，
其相应的单位化特征向量为 T1 。
在求第二主成分之前，首先明确：
由(6)知 Cov(Y2,Y1) T2ΣT1 T2T1 。
那么，如果 Y2 与 Y1 相互独立，即有 T2T1 0 或 T1T2 0 。这时，我们可以构造求第二主成分的目标函数，即
(Σ I)T2 0
(11)
而且 T2ΣT2
(12)
这样说明，如果 X 的协差阵 Σ 的特征根为 1 2 p 0 。
由(12)知道 Y2 的最大方差值为第二大特征根 2 ，其相应的单位化
的特征向量为 T2 。
一般情形，第 k 主成分应该是在 TkTk 1且 TkTi 0 或 TiTk 0
求第一主成分，构造目标函数为：
1(T1,) T1ΣT1 (T1T1 1)
(5)

(完整word版)应用多元统计分析习题解答主成分分析

主成分分析6.1 试述主成分分析的基本思想。

答：我们处理的问题多是多指标变量问题，由于多个变量之间往往存在着一定程度的相关性，人们希望能通过线性组合的方式从这些指标中尽可能快的提取信息。

当第一个组合不能提取止。

这就是主成分分析的基本思想。

6.2 主成分分析的作用体现在何处？答：一般说来，在主成分分析适用的场合，用较少的主成分就可以得到较多的信息量。

以各个主成分为分量，就得到一个更低维的随机向量；主成分分析的作用就是在降低数据“维数”6.3 简述主成分分析中累积贡献率的具体含义。

答：主成分分析把p 个原始变量12,,,p X X X 的总方差()tr Σ分解成了p 个相互独立的变量p 个主成分的，忽略一些带有较小方差的主成分将不会给总方差带来太大的影响。

这里我们()m p <个主成分，则称11pmm kkk k ψλλ===∑∑ 为主成分1,,m Y Y 的累计贡献率，累计贡献率表明1,,m Y Y 综合12,,,p X X X 的能力。

通常取m ，使得累计贡献率达到一个较高的百分数（如85％以上）。

答：这个说法是正确的。

即原变量方差之和等于新的变量的方差之和6.5 试述根据协差阵进行主成分分析和根据相关阵进行主成分分析的区别。

答：从相关阵求得的主成分与协差阵求得的主成分一般情况是不相同的。

从协方差矩阵出发的，其结果受变量单位的影响。

主成分倾向于多归纳方差大的变量的信息，对于方差小的变量就可能体现得不够，也存在“大数吃小数”的问题。

实际表明，这种差异有时很大。

我6.6 已知X =()’的协差阵为试进行主成分分析。

解：=0计算得当时，同理，计算得时，易知相互正交单位化向量得，,综上所述，第一主成分为第二主成分为第三主成分为6.7 设X=()’的协方差阵(p为, 0<p<1证明：为最大特征根，其对应的主成分为。

证明：==,为最大特征根当时，=所以，6.8利用主成分分析法，综合评价六个工业行业的经济效益指标。

应用多元统计分析实验报告之主成分分析

应用多元统计分析实验报告一、研究目的下表1是2010年各地区6项重要指标的数据，这6项指标分别是：X1—城市用水普及率（%）X2—城市燃气普及率（%）X3—每万人拥有公共交通车辆（标台）X4—人均城市道路面积（平方米）X5—人均公园绿地面积（平方米）X6—每万人拥有公共厕所（座）表1 各地区城市设施水平指标本次实验的研究目的是根据这些指标用主成分分析法对各地区城市设施水平进行综合评价和排序，得出结论并提出建议。

二、研究过程从标准化数据出发，首先计算这些指标的主成分，然后通过主成分的大小进行排序。

1.利用SPSS进行因子分析表2和表3分别是特征根（方差贡献率）和因子载荷阵的信息。

表3 因子载荷阵2.利用因子分析结果进行主成分分析 ⑴．表4是特征向量的信息表4 特征向量矩阵 z1 z2 z3 z4 z5 z6 x1 0.52 0.35 (0.31) (0.00) 0.08 0.70 x2 0.58 0.09 (0.19) 0.45 (0.37) (0.53) x3 0.17 0.67 0.26 (0.36) 0.41 (0.39) x4 0.43 (0.32) 0.32 (0.66) (0.41) 0.03 x5 0.41 (0.51) 0.25 0.21 0.68 (0.01) x6 (0.01) 0.23 0.79 0.43 (0.24) 0.28⑵．利用主成分得分进行综合评价时，从特征向量可以写出所有6个主成分的具体形式：Y1=0.52X1+0.68X2+0.17X3+0.43X4+0.41X5-0.01X6Y2=0.35X1+0.09X2+0.67X3-0.32X4-0.51X5+0.23X6 Y3=-0.31X1-0.19X2+0.26X3+0.32X4+0.25X5+0.79X6 Y4=0.00X1+0.45X2-0.36X3-0.66X4+0.21X5+0.43X6 Y5=0.08X1-0.37X2+0.41X3-0.41X4+0.68X5-0.24X6 Y6=0.70X1-0.53X2-0.39X3+0.03X4-0.01X5+0.28X6⑶．以特征根为权，对6个主成分进行加权综合，得出各地区的综合得分及排序，具体数据见表5.综合得分的计算公式是6161Y Y Y ii ∑∑+⋯+=λλλλ三、结果说明从表5可以看出，北京、天津。

R语言版应用多元统计分析主成分分析

z* n2
z* np
z* (n
)
'
该主成分得分矩阵地第1列为第一主成分在n个样品上地得分,第2
列为第二主成分在n个样品上地得分,如此类推。利用第一主成分得分
或前m个主成分地综合得分,可以对样品进行排序或评估。
6.2 样本主成分
主成分地含义：主成分地含义与所分析问题地实际背景有关,根据主成分载荷对主
p
分
定义6.1
主成分
z
k
地方差在总方差中所占比例 m
zk 地贡献率,而前m个主成分地贡献率之与 k
k p
i
i 称为主成
i称1 为 z1,, zm
地累计贡献率。
k 1
i 1
6.1 总体主成分
通常取尽可能较小地m,使 z1,, zm地累计贡献率达到一个比较高地
百分比,比如75%以上。
定义6.2 原始变量 xi 与主成分 z1,, zm地相关系数地平方与称为前m
其中 x* (x1*,, x*p )' 为原始变量 x (x1,, xp )' 经标准化后地向量。
6.2 样本主成分
令
z*
(z1* ,,
z
* p
)'
U
*'
x*,
其中 U *
(u1*
,
,
u
* p
)
(ui*j ) p p
。对照总体主成分地性质可知,样本主成分
有以下性质。
(1) (2)
Var (zk* )
时对应称设地z1特1 是a征1'x向为量地第。最一称大主特z成2征分值a。2 ',x类则为似相第地应二,地主设单成位a分是2特。征地向第量二大a即1特为征所值求。2此

多元统计分析与主成分分析的关系与应用

多元统计分析与主成分分析的关系与应用多元统计分析和主成分分析是统计学中两个重要的技术手段，它们在数据分析和统计建模中具有广泛的应用。

本文将探讨多元统计分析与主成分分析的关系以及它们在实际问题中的应用。

一、多元统计分析与主成分分析的关系多元统计分析是一种综合运用多种统计学方法和技术，研究多个变量之间关系的分析方法。

它旨在通过对大量的数据进行整合和分析，揭示不同变量之间的潜在结构和规律。

而主成分分析则是多元统计分析中常用的技术之一。

主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种通过降维的方法来简化数据集的技术。

它的基本思想是通过线性组合将原始数据变换为一组新的变量，这些新变量称为主成分，它们能够尽量保留原始数据的信息。

主成分分析通过将原始数据投影到主成分上，实现数据维度的压缩和去除冗余信息。

在多元统计分析中，主成分分析被广泛应用于数据预处理、变量选择和模型建立等环节。

通过主成分分析，可以将原始的高维数据转化为少数几个主成分，从而降低数据的维度，减少模型的复杂度，同时保留了原始数据中的主要信息，有助于提取数据的潜在结构和进行更有效的数据分析。

二、主成分分析的应用1. 数据可视化主成分分析可以帮助我们对高维数据进行可视化分析。

通过将数据投影到低维的主成分上，我们可以将原始数据在二维或三维空间中进行可视化展示。

这样可以更直观地观察数据之间的关系，发现异常值和聚类结构，为后续的模型建立提供重要的参考。

2. 数据预处理在建立统计模型之前，通常需要对数据进行预处理。

主成分分析可以作为一种预处理方法，通过去除原始数据中的冗余信息和噪声，减少数据维度，提高模型的建模效率和精度。

主成分分析还可以用于数据的标准化和归一化，使得不同变量之间具有可比性，更好地满足模型的要求。

3. 变量选择在众多的变量中选择对目标变量具有显著影响的变量是建立高效模型的关键一步。

主成分分析可以通过计算各个主成分的贡献率或者变量的负荷量，来评估每个变量对数据的影响程度。

北师大应用多元统计分析作业——主成分分析

应用多元统计分析作业（一）——主成分分析 8‐1：用主成分分析方法探讨城市工业主体结构。

解：执行SAS程序代码：data dxiti81;input number x1-x8;cards;1 90342 52455 101091 19272 82 16.1 197435 0.1722 4903 1973 2035 10313 34.2 7.1 592077 0.0033 6735 21139 3767 1780 36.1 8.2 726396 0.0034 49454 36241 81557 22504 98.1 25.9 348226 0.9855 139190 203505 215898 10609 93.2 12.6 139572 0.6286 12215 16219 10351 6382 62.5 8.7 145818 0.0667 2372 6572 8103 12329 184.4 22.2 20921 0.1528 11062 23078 54935 23804 370.4 41 65486 0.2639 17111 23907 52108 21796 221.5 21.5 63806 0.27610 1206 3930 6126 15586 330.4 29.5 1840 0.43711 2150 5704 6200 10870 184.2 12 8913 0.27412 5251 6155 10383 16875 146.4 27.5 78796 0.15113 14341 13203 19396 14691 94.6 17.8 6354 1.574;proc princomp data=dxiti81 out=oxiti81;var x1-x8;run;proc sort data=oxiti81;by prin1;proc print;id number;var prin1;run;proc sort data=oxiti81;by prin2;proc print;id number;var prin2;run;proc sort data=oxiti81;by prin3;proc print;id number;var prin3;run;proc plot;plot prin2*prin1=number;run;proc cluster data=oxiti81 method=ave pseudo ccc outtree=tr81;var x1-x8;id number;proc tree data=tr81 horizontal graphics;run;结果分析：◆我们使用原始数据的相关系数矩阵计算特征根矩阵。

多元统计分析——主成分分析知识讲解

28
（二）第二主成分
在约束条件 cov( Y1 , Y2 ) 0 下，寻找第二主成分：
Y2 12 X 1 22 X 2 p 2 X p
因为 cov( Y1 , Y2 ) cov( 1 ' X , 2 ' X ) 2 ' 1 1 2 ' 1 0 所以 2 ' 1 =0，
29
则，对 P 维向量 2 ，有
var( Y2 ) 2 ' 2 i 2 ' i i ' 2
i 1
p
i ( 2 ' i ) 2 ( 2 ' i ) 2 2 ' i i ' 2
2 2 i 1 i 2 i 1
i ( 1i , pi )' i=1,2,3
p
也就是说， 1, 2 , p 为矩阵∑各特征值对应的标准正交特征向量。则第 i 个主成分就是： Yi 1i X 1 2i X 2 pi X p
下面我们来看，是否由P的第一列元素所构成的原始变量的线性组合有最大的方差？
， X p 的一切满足原则 1 的线性组合中方差最大者； Y2 是与 Y1 不相，Y p 是与 Y1 , Y2 ,
， X p 所有的线性组合中方差最大者；， X p 的所有线性组合中方差最大者。
, Yp 1 都不相
11
主成分与原始变量之间有如下基本关系：每一主成分都是各原始变量的线性组合主成分的数目大大少于原始变量的数目主成分保留了原始变量绝大多数的信息各主成分之间互不相关
p
p
p
2 2 ' PP' 2 2 2 ' 2 2

多元应用分析第七章主成分分析报告

多元应用分析第七章主成分分析1.对全国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标作主成分分析。

Spss-分析-描述统计-描述对变量进行标准化如下图分析-降维-因子分析将标准化后的变量添加进变量框在描述中勾选相关矩阵—系数、球形度检验1.在抽取—勾选碎石图以及协方差矩阵2.在抽取—勾选碎石图以及相关性矩阵两个作对比在得分中勾选显示因子得分系数矩阵在选项中系数显示按大小排序其他保持默认状态,点击确定输出结果相关系数矩阵可以看出许多变量存在较强的相关关系,有必要进行因子分析,且相关系数的检验值多数较小。

球面结构检验结果KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。

.585Bartlett 的球形度检验近似卡方203.134 df 28 Sig. .000从下图看,除X2、X4外,如下变量共同度都大于0.8,即三个因子较好的解释了八个变量公因子方差初始提取Zscore<GDP_X1> 1.000 .954Zscore<居民消费水平X2> 1.000 .609Zscore<固定资产投入x3> 1.000 .912Zscore<职工平均工资x4> 1.000 .785Zscore<货物周转量x5> 1.000 .825Zscore<居民消费价格指数X6>1.000 .906Zscore<商品零售价格指数X7>1.000 .907Zscore<工业总产值X8> 1.000 .893提取方法：主成份分析。

提取的三个主成分是：固定资产投入X3、商品零售价格指数X7、居民消费价格Zscore<固定资产投入x3> .923 -.031 .243 .923 -.031 .243 Zscore<工业总产值X8> .868 .295 .228 .868 .295 .228 Zscore<货物周转量x5> .629 .618 -.217 .629 .618 -.217 Zscore<职工平均工资x4> .302 -.772 .314 .302 -.772 .314-.510 .737 .323 -.510 .737 .323 Zscore<商品零售价格指数X7>-.491 .392 .715 -.491 .392 .715 Zscore<居民消费价格指数X6>Zscore<居民消费水平X2> -.028 -.327 .708 -.028 -.327 .708 提取方法 :主成份。

多元统计分析主成分分析

第主成分
二分析的
章基本概念
定义与目的
定义
主成分分析是一种降维技术，通过线性变换将多个具有相关性的变量转化为少数几个互不相关的综合变量，这些综合变量称为主成分。
目的
简化数据结构，降低维度，揭示隐藏在数据中的模式和关系，同时保留原始数据中的大部分变异信息。
原理与步骤
原理与步骤
02 03
碎石图（Scree Plot）
一种可视化工具，用于辅助确定主成分的数量。通过观察特征值的变化趋势，可以判断哪些特征值对应的主成分具有较大的解释力度，从而决定保留的主成分数量。
解释性原则
根据实际问题的需求和背景知识，选择能够解释数据变异性、反映主要结构或关系的主成分。
第主成分
四分析的
转换数据
将原始数据转换为新的主成分坐标系，得到主成分得分。
结果解释与讨论
结果解释
通过主成分分析，我们提取了三个主成分，这三个主成分分别代表了用户购买的商品类别、购买频率和购买金额。这三个主成分解释了原始数据方差的80%。
结果讨论
通过主成分分析，我们可以更好地理解用户购买行为的特点和规律。例如，我们可以发现某些商品类别对用户购买行为的影响较大，而有些商品类别的影响较小。此外，我们还可以发现购买频率和购买金额对用户购买行为的影响程度不同。这些结果可以为电商平台的营销策略提供有价值的参考信息。
因子分析
识别潜在因子
主成分分析可以用于识别潜在的因子，这些因子可能对数据的解释有重要影响。通过主成分分析，可以确定这些因子的数量和性质，从而更好地理解数据的内在结构。
解释变量间的关系
主成分分析可以帮助解释变量间的关系，通过将多个变量转化为少数几个主成分，可以更好地理解变量间的相互作用和依赖关系。

多元统计方法之主成分分析102页文档

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多元统计方法之主成分分析
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应用多元统计分析：主成分分析
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28、目标的坚定是性格中最必要无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。 ——刘向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。 ——海贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦。——杰纳勒尔·乔治·S·巴顿