北京航空航天大学 线性代数 课件 空间向量
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线性代数课件6第三章向量空间
线性代数课件6第三章向量空间第三章向量空间3.13.23.33.4n维向量概念及其线性运算线性相关与线性无关向量组的秩向量空间3.1n维向量概念及其线性运算3.1.1n维向量及其线性运算3.1.2向量的线性组合3.1.1n维向量及其线性运算定义3.1.1由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组(a1,a2,……,an)称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量i=1,2,…,n向量的维数指的是向量中分量的个数.向量写成一行(a1,a2,……,an)列向量写成一行(a1,a2,……,an)T列向量写成一列a1a2.an行向量用小写的黑体字母:α,β,某,y,…表示向量用带下标的白体字母:ai,bi,某i,yi,…表示向量1行、列不同不等：1,22次序不同不等：1,22,1n维向量——矩阵定义一个n维行向量a1,a2,,an.可以定义为一个1n的矩阵b1b2一个n维列向量bn.可以定义为一个n1的矩阵既然向量是一个特殊的矩阵则：1.向量相等=矩阵相等2.零向量=零矩阵3.负向量=负矩阵4.向量运算=矩阵运算a1,a2,,ana1,a2,,an几个定义(1)定义3.1.2所有分量都是0的n维向量称为n维0向量记作：0=(0,0,…,0).向量α=(a1,a2,…,an)的所有分量都取相反数组成的向量，称为α负向量-α=(-a1,-a2,…,-an)如果n维向量α=(a1,a2,…,an)与n维向量β=(b1,b2,…,bn)的对应分量都相等，即ai=bi,(i=1,2,…,n)则称向量α与β相等，记作α=β定义3.1.3几个定义(2)定义3.1.4(向量的加法)设n维向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则α与β的和是向量α+βα+β=(a1+b1,a2+b2,…,an+bn);α与β的差是向量α-βα-β=α+(-β)=(a1-b1,a2-b2,…,an-bn)定义3.1.5(数与向量的乘法)设α=(a1,a2,…,an)是n维向量，k为一个数,则数k与α的乘积称为数乘向量，简称数乘，记作kα,并且kα=(ka1,ka2,…,kan).约定：kα=αk.线性运算律设α,β,γ都是n维向量，k,l是数，则(1)α+β=β+α;(加法交换律)(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);(加法结合律)(3)α+0=α;(4)α+(-α)=0;(5)1某α=α;(6)k(α+β)=kα+kβ;(数乘分配律)(7)(k+l)α=kα+lα;(数乘分配律)(8)(kl)α=k(lα).(数乘向量结合律)例1设α=(2,1,3),β=(-1,3,6),γ=(2,-1,4).求向量2α+3β-γ.解2α+3β-γ=2(2,1,3)+3(-1,3,6)-(2,-1,4)=(4,2,6)+(-3,9,18)-(2,-1,4)=(-1,12,20).例2设α=(1,0,-2,3),β=(4,-1,-2,3),求满足2α+3β+3γ=0向量γ.解γ=-1/3(2α+β)=-1/3[2(1,0,-2,3)+(4,-1,-2,3)]=-1/3[(2,0,-4,6)+(4,-1,-2,3)]=-1/3(6,-1,-6,9)=(-2,1/3,2,-3).练习习题3.1P862.(2)答案P184解某=3α-β=3(2,0,1)-(3,1,-1)=(6,0,3)-(3,1,-1)=(3,-1,4).3.1.2向量的线性组合1.向量的线性组合2.向量的线性表出关系的几何解释3.线性组合的——矩阵表示法4.表出系数的求法1.向量的线性组合定义3.1.6设α1,α2,…,αm是一组n维向量，k1,k2,…,km是一组常数，则称k1α1+k2α2+…+kmαm为的一个线性组合.常数k1,k2,…,km称为该线性组合的组合系数.若一个n维向量β可以表示成β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则称β是α1,α2,…,αm的线性组合，或称β可用α1,α2,…,αm线性表出(线性表示).仍称k1,k2,…,km为该线性组合的组合系数，或表出系数显然，零向量可以用任意一组α1,α2,…,αm(同维向量)线性表出：0=0α1+0α2+…+0αm(k1=0,k2=0,…,km=0)零向量的平凡表出式表出系数全为0——必是0向量向量组若干同维数的向量组成的集合——向量组m个向量α1,α2,…,αm组成的向量组——记为R:α1,α2,…,αm或R={α1,α2,…,αm}例3:矩阵——向量组表示法Aaija11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamjmna1na11,a12,,a1na2na21,a22,,a2nA的行向量组量m个n维行向ainai1,ai2,,ain(i1,2,,m)amnam1,am2,,amnAaijmna11a21ai1am1a12a22ai2am2a1ja2jaijamja1na2nainamnA的列向量组a1ja11a12a1na2ja21a22a2naijai1ai2ainaaaam1m2mnmjn个m维列向量(j1,2,,n)n维标准单位向量组Eaij100010nn01,0,01第i个分量为其余01,分量为00,1,,02i0,,0,1,0,,00i1,2,,n10,0,,1n。
线性代数课件 第三章——向量 3 向量组的秩、向量空间简介
, m
, m 线性无关； , m 线性表示.
ii) V中任意向量都可由 1 , 2 ,
§3 向量组的秩、向量空间简介
注.向量空间V的维数实际上就是向量组的秩.
dim L(1 , 2 , , m ) R{1 , 2 , , m }.
定理5：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r+1
, m 线性
, s )是 L(1 , 2 ,
, m ) 的子空间.
பைடு நூலகம்
§3 向量组的秩、向量空间简介
2.基变换与坐标变换
定义4. 向量空间V的一个极大线性无关组称为V的一 个基，基所含向量的个数称为V的维数，记作dimV. 规定：零向量空间没有基，维数定义为0. 判别.设 1 , 2 , , m是V中m个向量,则 1 , 2 , 是V的一个基的充要条件是 i) 1 , 2 ,
向量都线性相关.
推论：设V是向量空间，若dimV=r，则V中任意r个
线性无关的向量组都是V的一个基.
§3 向量组的秩、向量空间简介
定义5. 若 1 , 2 , , m是向量空间V的一个基,则
V中任意向量 可唯一表示为
k1 k2 , m ) k m
k11 k2 2
第三章 向量
§1 n维向量的线性相关性 §2 线性相关性的结论、极大线性无关组 §3 向量组的秩、向量空间简介 §4 向量的内积
一、向量组的秩 二、向量空间简介
一、向量组的秩
定义1 向量组 1 , 2 , , m 的极大无关组所含向量
的个数，称为该向量组的秩，记作 R{1 , 2 , 规定：零向量组的秩为0.
4 (1,2, k ,6)T , 5 (1,1,2,4)T ， 求向量组1 , 2 , 3 , 4 , 5
北京航空航天大学 线性代数 课件 空间向量
2009工科高等代数
刘敬伟 博士 jwliu_2005@
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相 关 事 宜
学习辅导用书：
《高等代数方法指导》姚幕生编---复旦大学出版社 参考书： 1.《高等代数》第三版,北京大学数学系编—高教出版社 2.《线性代数》第三版,同济大学数学系编—高教出版社 作业规格：16开作业纸，注明姓名、学号 交作业时间：每周四上完《高代》课后 答疑时间：每周三、四、五 19:00---21:00
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2. 向量的减法
规定: b a = b + ( a ) 特别地，当 b = a 时
b a = a a = a + ( a ) = 0
a
b b a b + ( a )
a
三角不等式:
ab a b
ab a b
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推论2. 向量a, b, c 不共面的充分必要条件是: 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 例2. 设向量a, b, c , 证明 a + b, b + c, c a 共面. 证: 因为 1(a + b) + (1)(b + c) + 1(c a)=0, 且 1, 1, 1 不全为零, 由命题3可知, a + b, b + c, c a 共面.
c=a+b.
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相 关 事 宜
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2. 向量的减法
规定: b a = b + ( a ) 特别地，当 b = a 时
b a = a a = a + ( a ) = 0
a
b b a b + ( a )
a
三角不等式:
ab a b
ab a b
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推论2. 向量a, b, c 不共面的充分必要条件是: 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 例2. 设向量a, b, c , 证明 a + b, b + c, c a 共面. 证: 因为 1(a + b) + (1)(b + c) + 1(c a)=0, 且 1, 1, 1 不全为零, 由命题3可知, a + b, b + c, c a 共面.
c=a+b.
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4-5向量空间北京邮电大学 陈曦 线性代数
第五节 向量空间
向量空间的概念
定义 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且
集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间。
说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若α∈V，β ∈V，则α＋ β∈V ； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V 。 2.全体n维向量的集合是向量空间，记作Rn。
11
例 设矩阵
⎛ 2 2 −1⎞
A
=
(a1
,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
2 −1
−1 2
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 4⎞
B
=
(b1 ,
b2
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
验证a1,a2,a3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性
表示。
12
6
解 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证a1,a2,a3线
因为a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs线性表示，故x可由 b1,b2,…,bs线性表示，所以x∈V2 。 也就是说，若 x∈V1 ，则x∈V2 ，因此 V1 ⊆ V2 类似的可证：若 x∈V2 ，则x∈V1，因此 V2 ⊆ V1 因为 V1 ⊆ V2 ，V2 ⊆ V1 ，所以V1＝ V2 。
则有x1 ＋ x2 ＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b ∈ V， kx1 ＝ (kλ1)a＋(kμ1)b ∈ V。 所以V是一个向量空间。 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。
6
3
一般的，由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间为 V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm|λ1, λ2,…,λm∈R}
向量空间的概念
定义 设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且
集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集 合V为向量空间。
说明 1.集合V对于加法及乘数两种运算封闭指
若α∈V，β ∈V，则α＋ β∈V ； 若α∈V，λ∈R，则λα∈V 。 2.全体n维向量的集合是向量空间，记作Rn。
11
例 设矩阵
⎛ 2 2 −1⎞
A
=
(a1
,
a2
,
a3
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
2 −1
−1 2
2 2
⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 1 4⎞
B
=
(b1 ,
b2
)
=
⎜ ⎜⎝⎜
0 −4
3 2
⎟ ⎟⎟⎠
验证a1,a2,a3是R3的一个基，并把b1,b2用这个基线性
表示。
12
6
解 要证a1,a2,a3是R3的一个基，只要证a1,a2,a3线
因为a1,a2,…,am可由b1,b2,…,bs线性表示，故x可由 b1,b2,…,bs线性表示，所以x∈V2 。 也就是说，若 x∈V1 ，则x∈V2 ，因此 V1 ⊆ V2 类似的可证：若 x∈V2 ，则x∈V1，因此 V2 ⊆ V1 因为 V1 ⊆ V2 ，V2 ⊆ V1 ，所以V1＝ V2 。
则有x1 ＋ x2 ＝(λ1＋λ2)a＋(μ1＋μ2)b ∈ V， kx1 ＝ (kλ1)a＋(kμ1)b ∈ V。 所以V是一个向量空间。 这个向量空间称为由向量a,b所生成的向量空间。
6
3
一般的，由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间为 V＝{x＝λ1α1＋λ2α2＋…＋λmαm|λ1, λ2,…,λm∈R}
线性代数第-章向量空间PPT课件
3
子空间在映射下的变化
线性映射可以导致子空间中的向量发生旋转、平 移或拉伸等变化。
子空间与线性映射的相互影响
子空间对线性映射的限制
子空间的性质可以影响线性映射的作用范围和结果。
线性映射对子空间的构造
通过选择特定的线性映射，可以构造出具有特定性质的子空间。
子空间与线性映射的关系
子空间和线性映射之间存在密切的关系，它们在许多数学问题中都 扮演着重要的角色。
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，这个子集中的向量之间同样可以进行加法运算和数乘运算，并且这些运算也 满足封闭性、结合性和交换性等性质。子空间的定义是为了研究向量空间的一个特定部分，以便更好地理解和应 用向量空间。
向量空间的基与维数
总结词
基是向量空间中线性无关的向量组，它能够生成整个向量空间；维数则是向量空间的基 所包含的向量个数。
向量空间的推广到矩阵空 间
将向量空间中的元素推广到矩阵，形成矩阵 空间，使得线性变换和矩阵运算的结合更加 紧密，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的推广到函数空 间
将向量空间的元素推广到函数，形成函数空 间，使得函数的线性组合、内积等运算成为 可能，为解决实际问题提供更多数学工具。
向量空间的应用前景
判定条件二
如果存在一个线性映射f：V→W，使得V和W的基底之间存在一一对应关系，并且 这种对应关系保持向量加法和标量乘法的运算关系，则称V和W同构。
同构的应用场景
线性变换
几何变换
同构映射可以应用于线性变换中，将 一个向量空间中的线性变换转移到另 一个向量空间中。
同构映射可以应用于几何变换中，如 旋转、平移等，将一个向量空间中的 几何变换转移到另一个向量空间中。
线性代数课件向量空间的基和维
线性无关
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
如果只有当$k_1 = k_2 = ldots = k_s = 0$时，才有$k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + ldots + k_salpha_s = 0$，则称向量组$V$线性无关。
极大线性无关组
极大线性无关组的定 义：如果向量组$V$ 的一个部分组$V_1$ 满足
2. 向量组$V$中任意 一个向量都可以由 $V_1$线性表示。
特征值与特征向量的性质
不同特征值对应的特征向量线性无关；k重特征 值至多对应k个线性无关的特征向量。
3
特征值与特征向量的应用
在矩阵对角化、矩阵的幂运算、微分方程求解等 问题中，特征值与特征向量具有重要作用。
二次型化标准型及规范型
二次型的标准型
通过可逆线性变换，将二次型化为只含有平方项的二次型，称为二次型的标准型。
正交矩阵的性质
正交矩阵的行列式为±1；正交矩阵 的逆和转置都是正交矩阵；正交矩阵 保持向量的长度和夹角不变。
正交变换与正交矩阵的关系
正交变换在标准正交基下的矩阵表示 是正交矩阵；正交矩阵对应的线性变 换是正交变换。
06
向量空间的应用举例
线性方程组解的结构
线性方程组解的存在性
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性方程组有解。
子空间的交与和
子空间的交
两个子空间的交集仍是一个子空 间，它包含同时属于两个子空间
的所有向量。
子空间的和
由两个子空间中所有向量线性组 合生成的向量空间，称为这两个
子空间的和。
性质
子空间的交与和都是子空间，但 两个子空间的和不一定等于它们
所在的向量空间的全部。
05
向量空间中的正交性
2019北京航空航天大学线性代数课件第一章行列式的定义-文档资料
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
朱立永
线性代数
这一讲的主要内容
• 这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及考核方式 • 行列式的定义
线性代数
线性代数课程简介
• 英文名字：Linear Algebra • 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； • 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； • 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。
2.
线性代数
本门课程的特点
• 具有较强的抽象性和逻辑性
• 各部分内容有紧密的联系
线性代数
课程安排及考核方式
• 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 • 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90％ 2．平时作业占10％
线性代数
其它要注意的几点
线性代数
本章的主要内容
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆（Cramer）法则
§1.5 数域
线性代数
§1.1
n阶行列式
1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义
线性代数
1.1.1 排列与逆序
•
定义1.1.1
• 课前一定要做好预习 • 课后要认真完成作业 • 有问题要及时问（/google），（答疑时间 和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：
线性代数
第一章 行列式
• 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。
朱立永
线性代数
这一讲的主要内容
• 这门课程的主要内容 • 这门课程的特点及考核方式 • 行列式的定义
线性代数
线性代数课程简介
• 英文名字：Linear Algebra • 线性代数是讨论有限维空间中线性关系经 典理论的课程； • 它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科 大学本科各专业的重要基础理论课； • 本课程不仅是学生必须掌握的数学基础， 同时也在现代科学技术的各个领域有着十 分广泛的应用。
2.
线性代数
本门课程的特点
• 具有较强的抽象性和逻辑性
• 各部分内容有紧密的联系
线性代数
课程安排及考核方式
• 总学时：48=36课内学时 + 12学时习题课 课内教师讲授，课外学生自学与作习题 • 考核方式及成绩评定 1. 期末闭卷笔试，占总成绩的90％ 2．平时作业占10％
线性代数
其它要注意的几点
线性代数
本章的主要内容
§1.1 n阶行列式 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与计算 §1.4 克莱姆（Cramer）法则
§1.5 数域
线性代数
§1.1
n阶行列式
1.1.1 排列与逆序 1.1.2 二阶与三阶行列式 1.1.3 n阶行列式的定义
线性代数
1.1.1 排列与逆序
•
定义1.1.1
• 课前一定要做好预习 • 课后要认真完成作业 • 有问题要及时问（/google），（答疑时间 和地点?) 办公室：学院路校区图书馆西配楼519室， Email：
线性代数
第一章 行列式
• 行列式是由解线性方程组引进的，是研究 线性代数的重要工具，它在自然科学的许 多领域有着广泛的应用。
北邮矩阵论 1. 第一讲 线性空间与线性变换
矩阵分析与应用
v
参考书：
›《矩阵论》第二版 程云鹏主编 西北工业大学
出版社 2004年8月 ›《矩阵分析与应用》 张贤达 清华大学出版社 2004年9月 ›“Matrix Analysis”, Roger A. Horn 机械工业出版 社影印版 ›《矩阵计算》，G.H.戈卢布等，科学出版社
v
编程工具
就是二维的，数1 与i 就是一组基.
基变换与坐标变换
n
设 x1 , x2 ,L , xn 是Vn 的旧基， y1 , y2 ,L , yn 是新基。新基可以用旧基表示出来
cn1 xc y1 = c11 x1 + c21 x2 + L+ n c11 L c1n 12 y = c x + c x + L+ c x 2 12 1 22 2 2 n n c c L c 21 22 2n , x ( y1 , y2 ,L , yn ) = ( x1 , x2 ,L n) M M M M + c x y x x L c c = + + n 1n 1 2 n 2 cn1 nn cnn 2 L cnn ( x1 , x2 ,L, xn ) C
线性空间
n
线性空间 线性变换与矩阵 线性子空间指一些对象的总体 元素:这些对象称为集合的元素
n整数集 n线性方程组的解集 n由某个平面上所有的点构成的点集
用S表示集合,a是S的元素
a∈S
a不是S的元素
a∉S
集合的表示
1.列举全部元素
如 N = {1,3,5, 7,9}
2.给出集合中的元素的性质
›Matlab、C
矩阵分析与应用
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
线性代数第11讲向量空间
推论 若 n 维向量组 1 , 2 , , s 可由 n 维向量组 , m ).
2
1 , 2 ,
, m 线性表示,则 R( 1 , 2 , , s ) R(1 , 2 ,
例 第三章1三2
定义3.3.4 向量组的极大线性无关组所含向量个数， 称为该向量组的秩，记为 R{1 , 2 , , m }.
, m 是向量空间 V 的两组
不同基，在上例的条件下，称矩阵 A (aij )mm 为基
1 , 2 ,
, m 到基 1 , 2 , , m 的过渡矩阵.
16
i a1 j1 a2 j2
amjm (1 , 2 ,
a1 j a2 j ,m ) a mj
两个特点：W 是V 的子集；本身是向量空间
注 任意向量空间 V 具有它自身和零空间这 两个子空间，它们也称为 V 的平凡子空间. 其它的子空间称为非平凡子空间.
7
例 2 设1 , 2 , s是向量空间V中的s个n维向量, 则 W { x k11 k22 k s s | k1 , k2 ,, ks R}
构成V的子空间 ,因为设
x k11 k22 k s s W y l11 l22 l s s W
则 x y (k1 l1 )1 (k2 l2 ) 2 (k s l s ) s W
kx kk11 kk2 2 kks s W
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 : (1) x , y y , x ;
( 2) ( 3)
x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
2
1 , 2 ,
, m 线性表示,则 R( 1 , 2 , , s ) R(1 , 2 ,
例 第三章1三2
定义3.3.4 向量组的极大线性无关组所含向量个数， 称为该向量组的秩，记为 R{1 , 2 , , m }.
, m 是向量空间 V 的两组
不同基，在上例的条件下，称矩阵 A (aij )mm 为基
1 , 2 ,
, m 到基 1 , 2 , , m 的过渡矩阵.
16
i a1 j1 a2 j2
amjm (1 , 2 ,
a1 j a2 j ,m ) a mj
两个特点：W 是V 的子集；本身是向量空间
注 任意向量空间 V 具有它自身和零空间这 两个子空间，它们也称为 V 的平凡子空间. 其它的子空间称为非平凡子空间.
7
例 2 设1 , 2 , s是向量空间V中的s个n维向量, 则 W { x k11 k22 k s s | k1 , k2 ,, ks R}
构成V的子空间 ,因为设
x k11 k22 k s s W y l11 l22 l s s W
则 x y (k1 l1 )1 (k2 l2 ) 2 (k s l s ) s W
kx kk11 kk2 2 kks s W
其中 x, y, z 为n维向量, 为实数 : (1) x , y y , x ;
( 2) ( 3)
x, y x, y; x y, z x, z y, z ;
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故
AMB
MA MB 1 1 0 0 2 2 2
3
机动
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结束
例3. 设均匀流速为 v 的流体流过一个面积为 A 的平面域 , 且 v 与该平面域的单位垂直向量 n 的夹角为 , 求单位时间内流过该平面域的流体的 质量P (流体密度为 ) . 解:
P A v cos
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k
i
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j
结束
向量积的行列式计算法
a Байду номын сангаас b ( a y bz a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j
( a x b y a y bx ) k
i j ax a y bx ay by by
k az bz
a ax i a y j az k b bx i b y j bz k ax az , bx bz ay by
a ( a x , a y , a z )
a b a x bx a y b y a z bz i j k a b ax a y az bx b y bz
2. 性质
(1) a a a
a 0, b 0 则 a b 0
ab
机动
2
(2) a , b 为两个非零向量, 则有
a b 0
( a , b)
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2
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3. 运算律 (1) 交换律 a b b a (2) 结合律 ( , 为实数 ) ( a ) b a ( b ) ( a b ) ( a ) ( b ) a ( b ) (a b) (3) 分配律 a b c a c b c
F
O
OP F M 符合右手规则 M OP M F F
P
Q
L
o
M
P
OQ OP sin
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1. 定义 设 a , b的夹角为 ，定义
方向 : c a , c b 且符合右手规则 向量 c 模 : c a b sin 称 c 为向量 a 与 b 的 向量积 , (叉积) 记作 c ab 引例中的力矩 M OP F 思考: 右图三角形面积 1 S＝ 2 a b
b
a c
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机动
提示:
(1) n (n = 2,3) 元一次齐次方程组
a11 x1 a1n xn 0 a x a x 0 nn n n1 1 a11 a1n D 0. an1 ann
有非零解的充分必要条件是系数行列式
a
b
(a b) c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c b ac bc a c Pr jc c Pr jc
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事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
例1. 证明三角形余弦定理 2 2 2 c a b 2ab cos 证: 如图 . 设
C B a , C A b , AB c
A
c
B
b
a
C
则
c
2
c a b
(a b)(a b) a a bb 2a b a b
i i j j k k 1, i j j k k i 0
a b a x bx a y b y a z bz
两向量的夹角公式 当a , b 为非零向量时, 由于 a b a b cos , 得 a x bx a y b y a z bz ab cos 2 2 2 2 2 a b ax a2 a b b b y z x y z
ax a y az bx b y bz cx c y cz
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cz
3. 性质 (1) 三个非零向量 a , b , c 共面的充要条件是
a b c
(2) 轮换对称性 :
0
[ a b c ] [ b c a ] [ c a b]
(可用三阶行列式性质推出)
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i b y j b z k )
a x bx ( i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) a y bx ( j i ) a y b y ( j j ) a y b z ( j k ) a z bx ( k i ) a z b y ( k j ) a z bz ( k k ) ( a y bz a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y bx ) k
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(2) 行列式性质: 交换行列式的两行(或两列), 行列式的值 将改变符号, 即 a a a11 a1n
11 1n
ai 1 ain
a j 1 a jn
. ai 1 ain a j 1 a jn an1 ann
机动
an1 ann
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内容小结
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , b y , bz ) , c (c x , c y , c z ) 1. 向量运算 加减: 数乘: 点积: 叉积:
a b ( a x bx , a y b y , a z bz )
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例7. 证明四点 A(1,1,1) , B ( 4 , 5 , 6 ), C ( 2 , 3 , 3 ) ,
D(10 ,15 ,17 ) 共面 .
解: 因
B C
[ AB AC AD ] 3 1 9 4 2 14 5 2 0 16
A
D
故 A , B , C , D 四点共面 .
A
C
k 2 4
1 ( 4, 6, 2 ) 2
1 2 4 (6) 2 2 2 14 2
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例5. 设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转, 导出 刚体上 一点 M 的线速度 v 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 , 使 , 其方向与旋转方向符合右手法则 , 在 l 上任取 一点 O,则 向径 OM r , 它与 v 的夹角为 , 点 M离开转轴的距离 a M a r sin , v a r sin l r 且 r v 符合右手法则 v r
c
a
b
故平行六面体体积为 V A h a b c cos ( a b ) c
a b c
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2. 混合积的坐标表示
设 a (a x , a y , a z ) , b (bx , b y , bz ) , c (c x , c y , c z )
az ax , bz bx
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例4. 已知三点 A( 1 , 2 , 3 ) , B ( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求 三角形 ABC 的面积 . B 解: 如图所示, 1 S ABC AB AC sin
2 1 AB AC 2 i j 1 2 2 2 1 2
a
b
a c ab
b
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2. 性质
(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b 0 a∥ b 证明: 当 a 0 , b 0 时, a b sin 0 ab 0 即 0 或 sin 0， a∥ b 3. 运算律 (1) a b b a
i j k ax a y ax az a y az , a b ax a y az , b x bz bx b y b y bz bx b y bz ax a y ax az a y az cy cx a b c ( a b ) c bx b y bx bz b y bz
n 为单位向量
A vn
v n
A
单位时间内流过的体积 A v cos
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二、两向量的向量积
引例. 设O 为杠杆L 的支点 有 , 一个与杠杆夹角为 的力 F 作用在杠杆的 P点上 ,则力 F 作用在杠杆 上的力矩是一个向量 M :
M OQ F OP F sin
(2) 分配律 ( a b ) c a c b c (3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )
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(证明略)
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4. 向量积的坐标表示式
设 a a x i a y j a z k , b bx i b y j bz k , 则
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O
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*三、向量的混合积
1. 定义 已知三向量 a , b , c , 称数量
( a b )c