2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5阶段质量检测(三) B卷
人教版数学高二-人教A版选修4-5阶段质量检测(三) B卷
阶段质量检测（三） B 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋acb 的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得abc ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋ac a ＋bcc ＝a ＋c ＋b ＝6.3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( )A.78215B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝⎛⎭⎫253＋18＋495＋16[3x 21＋2x 22＋5(－x 3)2＋x 24]≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1， 即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782. 4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2 C.116D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足 a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3， 又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116.5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β＝1，则α＋β等于( )A.π2B.3π4C.π4D.5π12 解析：选A∵(sin 2β＋cos 2β)⎝⎛⎭⎫cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2.7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.3635D ．6解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635. 8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5]解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·(3)2＋(2)2≤10， ∴－10≤3x ＋2y ≤10.9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1.答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b ， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0， ∴x x ＋a ＞y y ＋b . 答案：x x ＋a ＞y y ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ， 由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2 ≤[12＋(22)2＋(－33)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2≤666. 故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2]≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1c )]2 ＝13[1＋(1a ＋1b ＋1c )]2＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )]2≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a＋a 2＋b 2a ＋b.证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2. 故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b.由排序原理知： a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b ， 将上面两个同向不等式相加，得2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥100n. ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n 的最小值为100n .18．(本小题满分14分)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c 2＝1，求a ＋b ＋ 2 c 的最大值． 解：因为a ，b ，c 为正数，所以a ＋b ＋4c 2＝(a )2＋(b )2＋(2c )2， 于是(a ＋b ＋4c 2)⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122 ＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122 ≥(a ＋b ＋2c )2，故(a ＋b ＋2c )2≤1×52＝52，∴a ＋b ＋2c ≤102.等号成立⇔a ＝b ＝22c .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋4c 2＝1，a ＝b ＝22c .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝25，c ＝2020.∴a ＋b ＋2c 的最大值为102.。
2016_2017学年高中数学阶段质量评估1新人教A版选修4_4 题目
2016-2017学年高中数学 阶段质量评估1 新人教A 版选修4-4一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四小选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫4，π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4π3C ．⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2π3D ．⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3 2．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足曲线C 的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝π4表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．在这三个结论中正确的是( )A ．①③B ．①C ．②③D ．③3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换( )A ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝yB ．⎩⎨⎧ 2x ′＝5x y ′＝2yC ．⎩⎨⎧2x ′＝x 5y ′＝2xD ．⎩⎨⎧5x ′＝2x 2y ′＝y4．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4B ．7C ．2 2D ．2 35．在极坐标中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－46．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π4C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π4 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，π47．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P 与定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2的最近距离等于( )A ．2－1B ．5－1C ．1D ． 28．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ9．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(r ＞0)的公共弦所在直线的方程为( ) A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r10．已知曲线C 1，C 2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0,0≤θ<π2)，则曲线C 1与C 2交点的极坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，56πB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6C ．⎝⎛⎭⎪⎫23，7π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，116π 二、填空题(每小题5分，共20分．把正确答案填在题中的横线上)11．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________．12．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成图形的面积是________．13．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且|OA |＝|OB |，则点B 的直角坐标________．14．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为________． 三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(12分)设极点O 到直线l 的距离为d ，由点O 向直线l 作垂线，由极轴到垂线OA 的角度为α(如图所示)．求直线l 的极坐标方程．16．(12分)已知⊙C ：ρ＝cos θ＋sin θ，直线l ：ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.求⊙C 上点到直线l 距离的最小值．17．(12分)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．18．(14分)△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．。
高中数学 全册质量检测 新人教A版选修4-5(2021年整理)
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全册质量检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a＋b〉0，b〈0，那么( )A．a>b〉－a>－b B．a>－a〉b〉－bC．a〉－b>b〉－a D．－a>－b〉a>b解析：∵a＋b>0∴a〉－b，b>－a∵b〈0∴－b>0〉b∴a〉－b〉b〉－a答案：C2．“a＋c>b＋d"是“a〉b且c>d"的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:易得a〉b且c〉d时必有a＋c〉b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a〉d且c〉d，选A。
答案：A3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2,则( ）A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析:由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∵4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.选C。
答案:C4．若不等式|2x－3｜>4与不等式x2＋px＋q>0的解集相同,则p∶q等于（）A．12∶7 B．7∶12C．（－12）∶7 D．（－3）∶4解析：｜2x－3|>4⇔2x－3〉4或2x－3〈－4⇔x〉错误!或x〈－错误!，∴错误!－错误!＝－p，p＝－3,错误!×错误!＝q，q＝－错误!，∴p∶q＝12∶7。
2016-2017学年高中数学 阶段质量检测(二)A卷 新人教A版选修4-5
阶段质量检测（二） A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设t ＝a ＋2b ，S ＝a ＋b 2＋1，则下列t 与S 的大小关系中正确的是( ) A ．t >SB ．t ≥SC ．t <SD ．t ≤S解析：选D t －S ＝a ＋2b －(a ＋b 2＋1)＝－(b 2－2b ＋1)＝－(b －1)2≤0. 2．若a >b ，则必成立的不等关系是( ) A ．a 2>b 2B.b a<1C ．lg(a －b )>0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b解析：选D ∵a ，b 正负不确定，而a >b ⇒a 2>b 2的条件是a ，b 同正；a >b ⇒ba<1的条件是a >0；a >b ⇒lg(a －b )>0成立条件是a >b ＋1，因此A 、B 、C 均不成立；12<1，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数a >b ⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b成立．3．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b 解析：选D3a 与3b 大小包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b 三方面的关系，所以3a >3b的反设应为3a ＝3b 或3a <3b .4．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2解析：选D 因为⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥6，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立， 所以三个数中至少有一个不小于2.5．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x <0)，则a 与b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a >bC ．a ＝bD ．a ≤b解析：选B ∵a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x(x <0)，故b <1，∴a >b . 6．设P ＝3＋22，Q ＝2＋7，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．不确定解析：选A ∵P 2＝9＋8＋122＝17＋122，而Q 2＝11＋47，则 P 2－Q 2＝6＋122－47>6＋122－48＝6＋42>0， ∴P 2>Q 2，∴P >Q (P >0，Q >0)．7．要使x －1<x －1成立，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[2，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：选Cx －1＜x －1⇔0<x －1⇔x >1.8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：选A P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab a ＋b ab＝a ＋b a 2＋b 2－2abab＝a ＋ba －b2ab.∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ， ∴a ＋ba －b2ab>0，∴P >Q .9．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( ) A ．0<a <b <1 B ．0<b <a <1 C ．1<a <bD ．1<b <a解析：选A 法一：∵a ，b 为对数底数，∴a >0，b >0，又a ＋b ＝1，故a <1，b <1.利用对数函数图象的特点，当底数小于1大于0时，底数越小，图象越接近x 轴，∴a <b .法二：由log a 3>log b 3⇒1log 3a －1log 3b >0⇒log 3b －log 3a log 3a ·log 3b>0， 由0<a <1,0<b <1，得log 3a ·log 3b >0， ∴log 3b －log 3a >0，log 3b >log 3a ，故b >a . 10．若a >b >0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b >a b B.b 2＋1a 2＋1>b2a2C ．a ＋1a >b ＋1bD ．a a >b b解析：选B 利用不等式性质，得当a >b >0时，1a <1b，由此可知，C 不恒成立；当0<a <1，a >b 时，可知a a <b b ，D 不能恒成立；选取适当的特殊值，若a ＝2，b ＝1，可知2a ＋b a ＋2b ＝54，ab ＝2，由此可见A 不恒成立．由于本题为单选题，仅有一个结论成立，综上可知排除A 、C 、D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上) 11．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是__________．答案：“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|， 则|f (x 1)－f (x 2)|≥12”12．设a >0且a ≠1，m ＝log a (1＋a )，n ＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，则m ，n 的大小关系为________．解析：当a >1时，1＋a >1＋1a，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n ；当0<a <1时，1＋a <1＋1a，∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ，即m >n .答案：m >n 13．记A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则A 与1的大小关系为________． 解析：∵211－1＝210＋(210－1)，∴A 是210项之和．∴A ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1＜1210＋1210＋…＋1210＝1210×210＝1.答案：A <114．若a >b >c >0，ρ1＝c ＋a2＋b 2，ρ2＝b ＋c2＋a 2，ρ3＝a ＋b2＋c 2，则ρ1ρ2，ρ2ρ3，ρ22，ρ23中最小的一个是________．解析：利用赋值法比较，令a ＝3，b ＝2，c ＝1可得ρ1＝20，ρ2＝18，ρ3＝26，则ρ1ρ2＝360，ρ2ρ3＝468，ρ22＝324，ρ23＝676，易知ρ22最小．答案：ρ22三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)当p ，q 都是正数且p ＋q ＝1时，试比较(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2) ＝p 2x 2＋q 2y 2＋2pqxy －(px 2＋qy 2) ＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . ∵p ＋q ＝1，∴p －1＝－q ，q －1＝－p . ∴(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. ∵p ，q 为正数，∴－pq (x －y )2≤0， ∴(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2.当且仅当x ＝y 时，不等式中等号成立． 16．(本小题满分12分)已知a 2＋b 2＋c 2＝1， 求证：－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.证明：因为(a ＋b ＋c )2≥0， 所以a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥0. 又因为a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以ab ＋bc ＋ca ≥－12.因为ab ≤a 2＋b 22，bc ≤b 2＋c 22，ac ≤a 2＋c 22， 所以ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋a 2＋c 22＝a 2＋b 2＋c 2＝1.所以－12≤ab ＋bc ＋ca ≤1.17．(本小题满分12分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) 中的a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：方程f (x )＝0无整数根．证明：假设方程f (x )＝0有一个整数根k ， 则ak 2＋bk ＋c ＝0. ①∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数， 则a ＋b 必为偶数．当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，则ak2＋bk＝4n2a＋2nb＝2n(2na＋b)必为偶数．ak2＋bk＋c必为奇数，与①式矛盾；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)为一奇数与一偶数之积，必为偶数，也与①式相矛盾，∴假设不正确，即方程f(x)＝0无整数根．18．(本小题满分14分)定义在[0,1]上的函数f(x)，若x1≥0，x2≥0且x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．g(x)＝2x－1(x∈[0,1]是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．解：g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．当x1≥0，x2≥0，且x1＋x2≤1时，f(x1＋x2)＝2x1＋x2－1，f(x1)＋f(x2)＝2x1＋2x2－2，所以f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1＋x2－2x1－2x2＋1＝2x1(2x2－1)－(2x2－1)＝(2x2－1)(2x1－1)，因为x1≥0，x2≥0，所以2x1－1≥0,2x2－1≥0，所以f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]≥0，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．故函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是理想函数．。
2016-2017年数学·选修4-5(人教A版)：评估验收卷(一) Word版含解析
评估验收卷(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a ＞b ，c ＞d ，则下列命题中正确的是( ) A ．a －c ＞b －d B.a d ＞b cC ．ac ＞bdD ．c －b ＞d －a解析：a ＞b ⇒－b ＞－a ，① c ＞d ，②①＋②可得c －b ＞d －a . 答案：D2．若不等式|x －m |＜1成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，43 D ．(－1，3)解析：根据题意，得不等式m －1＜x ＜m ＋1，设此命题为p ，命题13＜x ＜12为q . 则p 的充分不必要条件是q ，即q 表示的集合是p 表示的集合的真子集，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤13，m ＋1≥12(等号不同时成立)．解得－12≤m≤43.答案：B3．(2015·天津卷)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由|x－2|＜1解得1＜x＜3.因为“1＜x＜2”能推出“1＜x ＜3”，“1＜x＜3”推不出“1＜x＜2”，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．答案：A4．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a（a－b）的最小值是()A．1B．2 C．3D．4解析：a2＋1ab＋1a（a－b）＝a2－ab＋ab＋1ab＋1a（a－b）＝a(a－b)＋1a（a－b）＋ab＋1ab≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝1，且ab＝1，即a＝2，b＝22时取等号．答案：D5．设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3·z的大值为() A．1B．2 C．3D．4解析：由x、y、z＞0及a1＋a2＋…＋a nn≥na1a2…a n(其中a1＞0，…a n ＞0)，所以x 2y 3z ＝x 2·x2·y ·y ·y ·4z ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z 66＝1. 答案：A6．不等式|x |＞2x －1的解集为( )A ．{x |x ＞2或x ＜－1}B ．{x |－1＜x ＜2}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |1＜x ＜2}解析：|x |＞2x －1⇒⎩⎨⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎨⎧x ＜21－x ，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2. 答案：C7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C.92D.112解析：因为2xy ＝x ·(2y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22， 所以上式可化为(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0. 又因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋2y ≥4. 当x ＝2，y ＝1时取等号，故选B. 答案：B8．若实数x ，y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值6解析：由题意知，x 2＋2y 2＝(x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋1y 2＝3＋2y 2x 2＋x2y 2≥3＋22，当且仅当x 2y 2＝2y 2x2时，等号成立，故选B.答案：B9．|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，正数a 的取值范围是( )A ．(5－2，＋∞)B ．(0，5－2]C ．[5－2，＋∞)D ．(5－2，5＋2)解析：依题意可知{x ||x －2|＜a }⊆{x ||x 2－4|＜1}， 因为|x －2|＜a ⇔2－a ＜x ＜2＋a ，|x 2－4|＜1⇔3＜x 2＜5⇔－5＜x ＜－3或3＜x ＜5，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥3，2＋a ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－5，2＋a ≤－ 3.又因为(3＋5)2＜16，所以2－3＞5－2. 又因为a ＞0，所以0＜a ≤5－2. 答案：B10．若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＞|a －5|＋1对一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( )A ．RB ．a ＞5C ．4＜a ＜6D ．4≤a ≤5解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x |·1|x |＝2，所以|a －5|＋1＜2，即|a －5|＜1，所以4＜a ＜6. 答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1. 若函数f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，则5－2m ＞1，则m ＜2.故p ⇒q ，q p .答案：A12．不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[－1，0]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)解析：(图象法)：由已知得y ＝|x ＋1|的图象始终位于y ＝kx 图象的上方，如图易知0≤k ≤1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2x ＜1的解集为________． 解析：因为x ≠0，所以|x ＋2|＜|x |， 即(x ＋2)2＜x 2.所以x ＋1＜0.所以x ＜－1.所以原不等式的解集为{x |x ＜－1}． 答案：{x |x ＜－1}14．不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．解析：|2x ＋1|－2|x －1|＞0⇔|2x ＋1|＞2|x －1|⇔(2x ＋1)2＞4(x －1)2⇔12x ＞3⇔x ＞14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞14 15．设a ＞b ＞0，x ＝a ＋b －a ，y ＝a －a －b ，则x ，y 的大小关系是x ________y .解析：因为a ＞b ＞0.所以x －y ＝a ＋b －a －(a －a －b )＝ba ＋b ＋a －b a ＋a －b ＝b （a －b －a ＋b ）（a ＋b ＋a ）（a ＋a －b ）＜0.所以x ＜y . 答案：＜16．已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围是________．解析：f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方， 即为|x －2|＞－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立， 即|x －2|＋|x ＋3|＞m 恒成立． 又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥ |(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m ＜5，即m 的取值范围是(－∞，5)． 答案：(－∞，5)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若0＜a ＜b ＜1，试比较m ＝a ＋1a 与n ＝b＋1b的大小． 解：m －n ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1b ＝(a －b )＋b －a ab ，即m －n ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1ab ，而0＜a ＜b ＜1，则0＜ab ＜1，a －b ＜0， 所以1－1ab＜0. 所以m －n ＞0，即m ＞n .18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值． 解：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ≤－12，3x －3，－12＜x ＜4，x ＋5，x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－7，2)和⎝⎛⎭⎪⎫53，2.所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎪⎫53，＋∞.(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－12时，y ＝|2x＋1|－|x －4|取得最小值－92.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥2的解集；(2)若不等式f (x )≤|a －2|的解集为R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，当x ≤－1时，f (x )≥2不成立；当－1＜x ＜2时，由f (x )≥2得，2x －1≥2， 所以32≤x ＜2.当x ≥2时，f (x )≥2恒成立．所以不等式f (x )≥2的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2)因为f (x )＝|x ＋1|－|x －2|≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以|a －2|≥3. 所以a ≥5或a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]∪[5，＋∞)．20．(本小题满分12分)(2014·课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明：由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ＞2. 所以f (x )≥2.(2)解：f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)＜5得1＋52＜a ≤3.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －1|(a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥2的解集；(2)若f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥2可化为|x ＋1|＋|2x －1|≥2， ①当x ≥12时，不等式为3x ≥2，解得x ≥23，故x ≥23；②当－1≤x ＜12时，不等式为2－x ≥2，解得x ≤0，故－1≤x ≤0；③当x ＜－1时，不等式为－3x ≥2， 解得x ≤－23，故x ＜－1.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0，或x ≥23. (2)f (x )≤2x 的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 不等式可化为|x ＋a |≤1， 解得－a －1≤x ≤－a ＋1，由已知得⎩⎨⎧－a －1≤12，－a ＋1≥1，解得－32≤a ≤0， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，0.22．(本小题满分12分)已知a ，b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)若f (x )＞2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a ，b 都成立，求实数x 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1＜x ≤2，2x －3，x ＞2，由f (x )＞2得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，3－2x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3＞2，11 解得x ＜12或x ＞52.所以所求实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0， 得|a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2.因为f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜12或x ＞52，所以f (x )≤2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤52.所以所求实数x 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5阶段质量检测(三) B卷 Word版含解析
阶段质量检测（三） B 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ≥NB ．M ＞NC ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2，即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2，∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N .2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋ac b的最小值为( ) A ．3B ．5C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋ac a ＋bc c＝a ＋c ＋b ＝6.3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 2＋5x 23＋x 24的最小值是( )A.78215B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16[3x 21＋2x 2＋5(－x 3)2＋x 24]≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1， 即3x 21＋2x 2＋5x 23＋x 24≥15782. 4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x11＋x24＋x39的最小值是( ) A ．1B ．2 C.116 D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132， ∴x 1＋x24＋x39≥1＋12＋13＝116. 5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( )A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2，即(3x ＋4y －11)2≤100.∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21.当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号． 6．已知α，β为锐角，且cos2αsin 2β＋sin2αcos2β＝1，则α＋β等于( ) A.π2 B.3π4 C.π4 D.5π12解析：选A ∵(sin 2β＋cos 2β)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2αsin2β＋sin2αcos2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2. 7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( )A.65B.635C.3635 D ．6解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635. 8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5]解析：选C |3x ＋2y |≤3x2＋2y2·错误!≤错误!， ∴－10≤3x ＋2y ≤10. 9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝( ) A.14 B.13 C.12 D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( )A ．P ≤QB ．P ＜QC ．P ≥QD ．P ＞Q 解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有 a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )．∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知a 21＋a 2＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 2＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________． 解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(x 21＋x 2＋…＋x 2n )＝1.答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2，当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4.答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b的大小关系是________． 解析：∵1a ＞1b， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0，由排序不等式知，bx ＞ay .又x x ＋a －y y ＋b＝错误!＞0， ∴x x ＋a ＞y y ＋b. 答案：x x ＋a ＞y y ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －c a2＋2b2＋3c2的最大值为________． 解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ， 由柯西不等式得(a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2≤[12＋(22)2＋(－33)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a2＋2b2＋3c2. ∴a ＋b －c a2＋2b2＋3c2≤666. 故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c)2] ≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1c )]2＝13[1＋(1a ＋1b ＋1c)]2 ＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)]2 ≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥b2＋c2b ＋c ＋c2＋a2c ＋a ＋a2＋b2a ＋b . 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0.于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2.故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b.由排序原理知： a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥c2b ＋c ＋a2c ＋a ＋b2a ＋b， a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b ≥b2b ＋c ＋c2c ＋a ＋a2a ＋b， 将上面两个同向不等式相加，得2(a2b ＋c ＋b2c ＋a ＋c2a ＋b )≥b2＋c2b ＋c ＋c2＋a2c ＋a ＋a2＋b2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 2＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 2＋…＋a 2n )＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 2＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2，∴a 21＋a 2＋…＋a 2n ≥100n. ∴a 21＋a 2＋…＋a 2n 的最小值为100n. 18．(本小题满分14分)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c 2＝1，求a ＋b ＋2 c 的最大值． 解：因为a ，b ，c 为正数，所以a ＋b ＋4c 2＝(a )2＋(b )2＋(2c )2，于是(a ＋b ＋4c 2)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122 ＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122 ≥(a ＋b ＋2c )2，故(a ＋b ＋2c )2≤1×52＝52， ∴a ＋b ＋2c ≤102. 等号成立⇔a ＝b ＝22c . 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋4c2＝1，a ＝b ＝22c . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝25，b ＝25，c ＝2020.∴a ＋b ＋2c 的最大值为102.。
2016-2017学年高中数学 阶段质量检测(一)A卷 新人教A版选修4-5
阶段质量检测（一）A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，集合B ＝{x ||2x －1|>3}，则集合A ∩B 等于( ) A ．{x |2≤x ≤3} B ．{x |2≤x <3} C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}解析：选C A ＝{x |2≤x ≤3}，B ＝{x |x >2或x <－1}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3|}． 2．(陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析：选A 设甲、乙两地的距离为S ，则从甲地到乙地所需时间为S a，从乙地到甲地所需时间为S b，又因为a <b ，所以全程的平均速度为v ＝2SS a ＋S b＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ，2ab a ＋b >2ab2b ＝a ，即a <v <ab .3．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由|x －a |<b ，得a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.4．下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a ＜c b (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m ＞ab (a ，b ，m 为正数且a ＜b )．其中恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 当x ＜0时，①不成立；由a ＞b ＞c ＞0得1a ＜1b ，所以c a ＜cb成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m b －a b b ＋m ，由a ，b ，m 为正数且a ＜b 知a ＋m b ＋m －ab＞0恒成立，故③恒成立． 5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( )A ．2 B. 2 C ．4 D ．6解析：选A y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2.6．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，则t 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选A |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.7．已知a ＞b ＞0，给出下列三个不等式：①a 2＞b 2；②2a ＞2b －1；③a 3＋b 3＞2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A ．①②B ．①②③C ．①③D ．②③解析：选A 由a ＞b ＞0可得a 2＞b 2，①成立；由a ＞b ＞0可得a ＞b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数，∴f (a )＞f (b －1)，即2a ＞2b －1，②成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3＜2a 2b ，③不成立．故选A.8．函数y ＝4x －92－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x >12的最小值是( )A ．8B ．6C ．9D ．4解析：选A y ＝4x －92－4x ＝4x ＋94x －2＝4x －2＋94x －2＋2，∵x >12，∴4x －2>0，∴y ≥29＋2＝8.当且仅当x ＝54时，等号成立．9．(重庆高考)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：选D 由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ， 得3a ＋4b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，∴a ＝4b b －3. 由a ＞0，得b ＞3，∴a ＋b ＝b ＋4bb －3＝b ＋b －＋12b －3＝(b －3)＋12b －3＋7≥212＋7＝43＋7， 即a ＋b 的最小值为7＋4 3.10．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0 B.98 C ．2D.94解析：选C z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y －3＋4yx≥2x y ·4y x －3＝1，当且仅当x y ＝4yx， 即x ＝2y 时，等号成立．此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝(2y )2－3·2y ·y ＋4y 2＝2y 2， ∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2(y －1)2＋2，∴当y ＝1，x ＝2，z ＝2时，x ＋2y －z 取最大值，最大值为2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．若A ＝(x ＋3)(x ＋7)，B ＝(x ＋4)(x ＋6)，则A ，B 的大小关系为________． 解析：因为(x ＋3)(x ＋7)－(x ＋4)(x ＋6)＝(x 2＋10x ＋21)－(x 2＋10x ＋24)＝－3<0， 所以(x ＋3)(x ＋7)<(x ＋4)(x ＋6)，即A <B . 答案：A <B12．函数f (x )＝3x ＋12x2(x >0)的最小值为________．解析：f (x )＝3x ＋12x 2＝3x 2＋3x 2＋12x 2≥333x 2·3x 2·12x 2＝9，当且仅当3x 2＝12x2，即x ＝2时，等号成立．答案：913．以下三个命题：(1)若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23.其中正确的有__________个．解析：(1)∵|a |－|b |≤|a －b |<1，∴|a |<|b |＋1. ∴(1)正确．(2)∵|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|b －a |＝|a －b |，∴(2)正确．(3)∵|x |<2，|y |>3，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |<23，∴(3)正确．答案：314．若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x ＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5， 故只要－5≥a ＋4a即可．当a ＞0时，不等式－5≥a ＋4a无解；当a ＜0时，得a 2＋5a ＋4≥0， 则有a ≤－4或－1≤a ＜0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)． 答案：(－∞，－4]∪[－1,0)三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)解不等式： |2x －1－x |<2. 解：原不等式⇔⎩⎨⎧2x －1－x <2，2x －1－x >－2.因为2x －1－x <2⇔2x －1<x ＋2 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋2≥0，2x －x ＋2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2＋2x ＋5>0⇔x ≥12.又2x －1－x >－2⇔⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≥0，2x －x －2或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2<0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－6x ＋5<0或12≤x <2， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，1<x <5或12≤x <2⇔2≤x <5或12≤x <2，⇔12≤x <5. 所以，原不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，12≤x <5⇔12≤x <5. 因此，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x <5. 16．(本小题满分12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.②由①②结合不等式的性质，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥33b ×331b ＝9， 当a ＝b ＝1时，等号成立．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋，1－x ，x ∈－∞，当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1，得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1，得x ≥0， 故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43.(2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4， 得(4x ＋1)(4x －3)≤0，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －14≤x ≤34， 故M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝⎛⎭⎪⎫x －122≤14.18．(本小题满分14分)(辽宁高考)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解：(1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}， 所以当a ≤0时，不合题意． 当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)法一：记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k 的取值范围是[1，＋∞)．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|||2x ＋1|－2|x ＋1| ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x ＋1|≤1， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，可知k ≥1， 所以k 的取值范围是[1，＋∞)．。
(人教版)高中数学选修4-5检测全册质量检测 Word版含答案
全册质量检测一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知：＋>，<，那么( )．>>－>－．>－>>－．>－>>－．－>－>>解析：∵＋>∴>－，>－∵<∴－>>∴>－>>－答案：．“＋>＋”是“>且>”的( )．必要不充分条件．充分不必要条件．充分必要条件．既不充分也不必要条件解析：易得>且>时必有＋>＋.若＋>＋时，则可能有>且>，选.答案：．≥，≥，且＋＝，则( )．≤．≥．＋≥．＋≤解析：由≥，≥，且＋＝，∵＝(＋)＝＋＋≤(＋)，∴＋≥.选.答案：．若不等式－>与不等式＋＋>的解集相同，则∶等于( )．∶．∶．(－)∶．(－)∶解析：－>⇔－>或－<－⇔>或<－，∴－＝－，＝－，×＝，＝－，∴∶＝∶.答案：．若不等式＋＋≥对一切∈恒成立，则的最小值为( )．．－．－．－解析：∵＋＋≥∴≥－，∈，又∵－的最大值为－，∴＝－.答案：．如果＝，＝＋，＝＋，那么有( )．>> ．>>．>> ．>>解析：＝，＝＋，＝＋，∴－＝－>，－＝－>，∴最小．－＝＋－，又(＋)＝＋＋＝＋<＋＝，()＝×＝，∴>＋，∴<，∴<，∴选.答案：．用数学归纳法证明“对于任意>和正整数，都有＋－＋－＋…＋＋＋≥＋”时，需验证的使命题成立的最小正整数值应为( )．＝．＝．＝．以上答案均不正确解析：＝时，＋≥＋成立，再用数学归纳法证明．答案：．函数＝(>)的最小值为( )．－．．．－解析：∵>，∴－>，∴＝≥＝＝，当且仅当－＝时等号成立，又>，∴＝时，有最小值，选.。
2016-2017学年高中数学人教A版选修4-5章末综合测评3
章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0 【解析】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 【答案】 B2．已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，则e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，455 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－165，165 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，165 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－455，455 【解析】 ∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2) ≥(a ＋b ＋c ＋d )2， 即4(16－e 2)≥(8－e )2，64－4e 2≥64－16e ＋e 2，即5e 2－16e ≤0， ∴e (5e －16)≤0， 故0≤e ≤165. 【答案】 C3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花( )A ．300元B ．360元C ．320元 D.340元【解析】 由排序原理，反序和最小， ∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元). 【答案】 C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( ) A ．7 B ．9 C ．12 D.18 【解析】 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝9， 所以所求最小值为9. 【答案】 B5．设a ，b ，c 均小于0，且a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为( )【导学号：32750061】A ．0B ．1C ．3 D.333【解析】 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ， 所以ab ＋bc ＋ca ≤3. 【答案】 C6．若x ＋2y ＋4z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．21 B.121 C ．16 D.116 【解析】 ∵1＝x ＋2y ＋4z ≤ x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋16，∴x 2＋y 2＋z 2≥121， 即x 2＋y 2＋z 2的最小值为121. 【答案】 B7．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1 D.2 【解析】 f (x )＝2·sin 2x ＋cos x .又(2·sin 2x ＋cos x )2≤(2＋1)(sin 2x ＋cos 2x )＝3，∴f (x )的最大值为 3.【答案】 A8．已知a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数，若y 1＝ax 1＋bx 2a ＋b ，y 2＝bx 1＋ax 2a ＋b，则y 1y 2与x 1x 2的关系为( )A ．y 1y 2<x 1x 2B ．y 1y 2＝x 1x 2C ．y 1y 2>x 1x 2D.不能确定【解析】 ∵a ，b ，x 1，x 2为互不相等的正数， ∴y 1y 2＝ax 1＋bx 2a ＋b ·bx 1＋ax 2a ＋b＝(ax 1＋bx 2)(ax 2＋bx 1)(a ＋b )2＝[(ax 1)2＋(bx 2)2]·[(ax 2)2＋(bx 1)2](a ＋b )2>(ax 1·ax 2＋bx 2·bx 1)2(a ＋b )2＝(a ＋b )2x 1x 2(a ＋b )2＝x 1x 2.【答案】 C9．已知半圆的直径AB ＝2R ，P 是弧AB 上一点，则2|P A |＋3|PB |的最大值是( )A.6RB.13R C ．213RD.413R【解析】 由2|P A |＋3|PB | ≤(22＋32)(|P A |2＋|PB |2) ＝13|AB |2＝13·2R . 【答案】 C10．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD.P ≤Q【解析】 ∵(a 1＋a 2＋…＋a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≥(1＋1＋…＋1)2n 个＝n 2，∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q . 【答案】 B11．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．>B ．≥C ．< D.≤ 【解析】 不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2， 由排序不等式得，a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.【答案】 B12．设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 的某一排列(a 1，a 2，…，a n 均为正数)，则a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a nc n的最小值是( )A ．n B.1n C.n D.2n【解析】 不妨设0≤a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n，1c 1，1c 2，…，1c n是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排列．再利用排序不等式的反序和≤乱序和求解， 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n ＝n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立．故选A. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设x ，y ，z ∈R ，且满足x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________.【导学号：32750062】【解析】 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.【答案】314714．已知实数m ，n ＞0，则a 2m ＋b 2n ________(a ＋b )2m ＋n .(填“≥”“＞”“≤”或“＜”)【解析】 因为m ，n ＞0，利用柯西不等式，得(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2，所以a 2m ＋b 2n ≥(a ＋b )2m ＋n .【答案】 ≥15．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2的最小值是________．【解析】 由柯西不等式，得y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝⎛⎭⎪⎫1sin α2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α2≥⎝⎛⎭⎪⎫1×1＋1sin α·1cos α2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2α2≥(1＋2)2＝3＋2 2. 当且仅当1cos α＝1sin α，即α＝π4时等号成立． 【答案】 3＋2 216.如图1所示，矩形OP AQ 中，a 1≤a 2，b 1≤b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．图1【解析】 由题图可知，阴影面积＝a 1b 1＋a 2b 2，而空白面积＝a 1b 2＋a 2b 1，根据顺序和≥逆序和可知答案为≥.【答案】 ≥三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设x 2＋2y 2＝1，求u (x ，y )＝x ＋2y 的最值． 【解】 由柯西不等式，有|u (x ，y )| ＝|1·x ＋2·2y |≤1＋2·x 2＋2y 2＝3， 得u max ＝3，u min ＝－ 3.分别在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，33，⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33时取得最大值和最小值．18．(本小题满分12分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1.求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. 【证明】 因为x >0，y >0，z >0，所以由柯西不等式得：[(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )]x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2，又因为x ＋y＋z ＝1，所以x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2z ＋2y ≥(x ＋y ＋z )2(y ＋2z )＋(z ＋2x )＋(x ＋2y )＝13.19．(本小题满分12分)已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab .【证明】 不妨设a ≥b ≥c >0，则a 2≥b 2≥c 2，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，可得a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，①a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a ≥a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c ，② 由(①＋②)÷2，可得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≥a ＋b ＋c . 又因为a ≥b ≥c >0，所以a 3≥b 3≥c 3，1bc ≥1ac ≥1ab . 由排序不等式，得a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ac ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ，③ a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ≥a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ，④由(③＋④)÷2，可得a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ≥a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a22b .综上可知原式成立．20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 大于0，且a cos 2θ＋b sin 2θ<c ，求证：a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.【导学号：32750063】【证明】 由柯西不等式，得(a cos 2θ＋b sin 2θ)2 ≤[(a cos θ)2＋(b sin θ)2](cos 2θ＋sin 2θ) ＝a cos 2θ＋b sin 2θ. 又a cos 2θ＋b sin 2θ<c ， ∴(a cos 2θ＋b sin 2θ)2<c . 因此，a cos 2θ＋b sin 2θ<c 14.21．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c ≥9.【证明】 构造两组数a ，b ，c ；1a ，1b ，1c.于是由柯西不等式有 [(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2，即(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥32.因为a ＋b ＋c ＝1，所以1a ＋1b ＋1c ≥9.22．(本小题满分12分)设a ，b ，c ∈R ＋，利用排序不等式证明： (1)a a b b ＞a b b a (a ≠b )； (2)a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .【证明】 (1)不妨设a ＞b ＞0，则lg a ＞lg b . 从而a lg a ＋b lg b ＞a lg b ＋b lg a ， ∴lg a a ＋lg b b ＞lg b a ＋lg a b ， 即lg a a b b ＞lg b a a b ，故a a b b ＞b a a b .(2)不妨设a ≥b ≥c ＞0，则lg a ≥lg b ≥lg c ， ∴a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ， ∴2a lg a ＋2b lg b ＋2c lg c≥(b ＋c )lg a ＋(a ＋c )lg b ＋(a ＋b )lg c ， ∴lg(a 2a ·b 2b ·c 2c )≥lg (a b ＋c ·b a ＋c ·c a ＋b )． 故a 2a b 2b c 2c ≥a b ＋c b c ＋a c a ＋b .。
2017年高中数学选修4-5全册配套试卷(人教A版共21份含答案)
2017年高中数学选修4-5全册配套试卷（人教A版共21份含答案)单元质量评估(二)(第二讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知a>b>>0,A=a2ab2b2,B=ab+b+aa+b,则A与B的大小关系是()AA>BBA<BA=BD不确定【解析】选A因为a>b>>0,所以A>0,B>0,所以= =aa-baa-bb-bb-a-a-b=因为a>b>0,所以>1,a-b>0,所以>1,同理>1, >1所以>1,即A>B2若实数x,适合不等式x>1,x+≥-2,则()Ax>0,>0Bx<0,<0x>0,<0Dx<0,>0【解析】选Ax,异号时,显然与x>1矛盾,所以可排除,D假设x<0,<0,则x<所以x+<+ ≤-2与x+≥-2矛盾,故假设不成立又x≠0,所以x>0,>0 3(2016•威海高二检测)使不等式+ >1+ 成立的正整数a的最大值是()A10B1112D13【解析】选用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立4设a>0,b>0,a+b=1,= + + ,则与8的大小关系是()A=8B≥8<8D≤8【解析】选B因为a>0,b>0,a+b=1,所以1=a+b≥2 ,所以≤ ,所以≥4所以+ + =(a+b) + ≥2 •2 +4=8所以+ + ≥8,即≥8当且仅当a=b= 时等号成立(2016•石家庄高二检测)已知a>b,则不等式①a2>b2;②< ;③> 中不成立的个数是()A0B12D3【解析】选D因为a>b,①a2-b2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a2>b2不一定成立;②- = 符号不确定,即< 不一定成立;③- = 符号不确定,即> 不一定成立,故三个不等式不成立的个数为36已知△AB中,∠=90°,则的取值范围是()A(0,2)BD【解析】选因为∠=90°,所以2=a2+b2,即= 又有a+b>,所以1< = ≤ =7若x,,a∈R+,且+ ≤a 恒成立,则a的最小值是()A B 1D【解题指南】根据≥ 得到≥ ( + )求解【解析】选B因为≥ ,即≥(x+),所以≥ ( + ),而+ ≤a ,即≥ ( + )恒成立,得≤ ,即a≥8(2016•济南高二检测)已知实数a,b,满足a+b+=0,ab>0,则+ + 的值的情况为()A一定是正数B一定是负数可能是0D正负不能确定【解析】选B因为实数a,b,满足a+b+=0,ab>0,不妨设a>b>,则a>0>b>,+ + = == <0二、填空题(本大题共4小题,每小题分,共20分请把正确答案填在题中横线上)9(2016•菏泽高二检测)已知a>0,b>0,若P是a,b的等差中项,Q是a,b的正的等比中项, 是, 的等差中项,则P,Q,R按从大到小的排列顺序为【解析】由已知得P= ,Q= ,= =所以R= ;所以R≤Q≤P答案:R≤Q≤P10若T1= ,T2= ,则当s,,n∈R+时,T1与T2的大小为【解析】因为- =s• = ≤0所以T1≤T2答案:T1≤T211(2016•湛江高二检测)若函数a,b满足a+b=1,则+ 的最大值是【解析】+ = ==2- ,则a+b=1≥2 知ab≤ ,所以+ =2- ≤2- =当且仅当a=b= 时,取最大值答案:12(2016•太原高二检测)已知a>b>,且+ ≥ 恒成立,则实数的最大值为【解析】因为a>b>,所以a-b,b-,a-均为正数,(a-) =[(a-b)+(b-)]= + +2≥4,当且仅当|a-b|=|b-|时取等号,于是+ ≥所以≤4答案:4三、解答题(本大题共6小题,共60分解答时应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤)13(10分)设a,b,为三角形的三边,求证: + + ≥3【证明】设x=b+-a,=a+-b,z=a+b-,则有a+b+=x++z,a= (+z),b= (x+z), = (x+)此时,原不等式等价于+ + ≥3而+ + =≥=3所以原不等式成立14(10分)已知x,∈R,且<1, <1,求证: + ≥【证明】因为<1, <1,所以>0, >0所以+ ≥故要证明结论成立,只需证≥ 成立,即证1-x≥ 成立即可,因为(-x)2≥0,有-2x≥-x2-2,所以(1-x)2≥(1-x2)(1-2),所以1-x≥ >0,所以不等式成立1(10分)(2016•莱芜高二检测)已知函数f(x)=tanx,x∈若x1,x2∈且x1≠x2求证: [f(x1)+f(x2)]>f【证明】要证[f(x1)+f(x2)]>f即证: (tanx1+tanx2)>tan ,只需证明>tan ,只需证明>由于x1,x2∈,故x1+x2∈(0,π),所以sx1sx2>0,sin(x1+x2)>0,1+s(x1+x2)>0故只需证明1+s(x1+x2)>2sx1sx2即证1+sx1sx2-sinx1sinx2>2sx1sx2即证s(x1-x2)<1由于x1,x2∈且x1≠x2上式函数成立因此[f(x1)+f(x2)]>f16(10分)(2016•盐城高二检测)已知x1,x2均为正数,求证: ≥ 【解题指南】直接证明不易找到切入点,可采用分析法或反证法完成证明【证明】假设< ,两边平方得:<1+即<1+x1x2再两边平方得1+ + + <1+2x1x2+ ,即+ <2x1x2这与+ ≥2x1x2矛盾,所以原式成立17(10分)(201•湖南高考)设a>0,b>0,且a+b= + ,证明:(1)a+b≥2(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立【解题指南】(1)将已知条中的式子可等价变形为ab=1,再由基本不等式即可得证(2)利用反证法,假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,可求得0<a<1,0<b<1,从而与ab=1矛盾,即可得证【证明】由a+b= + = ,a>0,b>0,得ab=1(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2 =2,即a+b≥2(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0<a<1,同理0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾,故a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立18(10分)(201•全国卷Ⅱ)设a,b,,d均为正数,且a+b=+d证明:(1)若ab>d,则+ > +(2) + > + 是|a-b|<|-d|的充要条【解题指南】(1)由a+b=+d及ab>d,可证明( + )2>( + )2,开方即得+ > + (2)本小题可借助第一问的结论证明,但要分必要性与充分性证明【证明】(1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=+d+2由题设a+b=+d,ab>d得( + )2>( + )2因此+ > + (2)(i)若|a-b|<|-d|,则(a-b)2<(-d)2,即(a+b)2-4ab<(+d)2-4d因为a+b=+d,a,b,,d均为正数,所以ab>d由(1)得+ > +(ii)若+ > + ,则( + )2>( + )2,即a+b+2 >+d+2因为a+b=+d,所以ab>d于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(+d)2-4d=(-d)2因此|a-b|<|-d|综上, + > + 是|a-b|<|-d|的充要条。
高中数学人教A版选修4-5阶段质量检测(四) B卷 Word版含解析
阶段质量检测（四）卷（时间分钟，满分分）一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设()＝＋＋＋…＋，则( )．()共有项，当＝时，()＝＋．()共有＋项，当＝时，()＝＋＋．()共有－项，当＝时，()＝＋＋．()共有－＋项，当＝时，()＝＋＋解析：选()共有－＋项，()＝＋＋.．用数学归纳法证明≥(≥，∈*)，第一步应验证( )．＝．＝．＝．＝答案：．用数学归纳法证明当∈*时＋＋＋…＋＝＋－时，当＝时左边为( )．．＋．＋＋＋．＋＋解析：选因为左边为＋项和，所以＝时，左边＝＋＋.．用数学归纳法证明对一切大于的自然数，不等式…>成立时，当＝时验证的不等式是( )．＋>>≥．以上都不对解析：选当＝时，左边＝＋＝＋，右边＝＝，∴＋>.．用数学归纳法证明“凸边形的内角和＝(－)π对于≥的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取( )．．．．解析：选边形的最少边数为，则＝.．已知()是定义在正整数集上的函数，且()满足：“当()≥成立时，总可推出(＋)≥(＋)成立”，那么，下列命题总成立的是( )．若()≥成立，则当≥时，均有()≥成立．若()≥成立，则当≥时，均有()<成立．若()≥成立，则当<时，均有()<成立．若()＝成立，则当≥时，均有()≥成立解析：选∵()≥成立时(＋)≥(＋)成立，当＝时，()＝>＝成立．∴当≥时，有()≥成立．．用数学归纳法证明“当为正奇数时，＋能被＋整除”，第二步归纳假设应该写成()．假设当＝(∈*)时，＋能被＋整除．假设当＝(∈*)时，＋能被＋整除．假设当＝＋(∈*)时，＋能被＋整除．假设当＝－(∈*)时，＋能被＋整除解析：选第个奇数应是＝－(∈*)．．记凸边形的内角和为()，则凸＋边形的内角和(＋)与()的关系是( )．(＋)＝()＋π．(＋)＝()＋．(＋)＝()＋．(＋)＝()＋π解析：选凸多边形每增加一条边，内角和增加π.．下列代数式，∈*，可能被整除的是( )．＋＋＋．＋．＋＋＋．－＋解析：选中，＝时，＋＝，不能被整除；中，＝时，＋＝不能被整除；中，＝时，＋＝亦不能被整除．．用数学归纳法证恒等式＋＋＋…＋＝，由＝到＝＋时，两边应同时加上( )＋解析：选观察等式左边可知＝＋时，应再加上.二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把正确答案填写在题中的横线上)．证明＋＋＋＋…＋>(∈*)，假设＝时成立，当＝＋时，左边增加的项数是．解析：令()＝＋＋＋…＋，则()＝＋＋＋…＋，(＋)＝＋＋＋…＋＋＋…＋，所以(＋)－()＝＋＋…＋，分母首项为＝，分母末项＝＋－，公差＝，∴＝＋＝.。
2017-2018学年高中数学选修4-5阶段质量检测三 B卷 含
阶段质量检测（三） B 卷 （时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N . 2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋acb的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得ab c ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋aca＋bcc＝a ＋c ＋b ＝6. 3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( ) A.78215 B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫253＋18＋495＋16[3x 21＋2x 22＋5(－x 3)2＋x 24]≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1，即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782.4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2 C.116D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3，又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116.5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β＝1，则α＋β等于( ) A.π2 B.3π4 C.π4 D.5π12解析：选A ∵(sin 2β＋cos 2β)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sinα＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2.7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.3635D ．6解析：选 C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x ＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635. 8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5]解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·32＋22≤10，∴－10≤3x ＋2y ≤10.9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选 C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1. 答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b，∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －y y ＋b ＝bx －ayx ＋a y ＋b＞0，∴xx ＋a ＞yy ＋b.答案：xx ＋a ＞yy ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ， 由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2 ≤[12＋(22)2＋(－33)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －c a 2＋2b 2＋3c 2≤666.故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2]≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1c )]2＝13[1＋(1a ＋1b ＋1c)]2 ＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )]2 ≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a＋a 2＋b 2a ＋b. 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2.故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b .由排序原理知： a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b，将上面两个同向不等式相加，得2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥100n.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n 的最小值为100n.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|，f (x )的最小值为m . (1)求m 的值；(2)当a ＋2b ＋3c ＝m (a ，b ，c ∈R)时，求a 2＋b 2＋c 2的最小值．解：(1)法一：f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.法二：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －7，x ≥4，1，3≤x ＜4，7－2x ，x <3.当x ≥4时，f (x )≥1；当x <3时，f (x )>1；当3≤x ＜4时，f (x )＝1，故函数f (x )的最小值为1，即m ＝1.(2)(a 2＋b 2＋c 2)(12＋22＋32)≥(a ＋2b ＋3c )2＝1， 故a 2＋b 2＋c 2≥114， 当且仅当a ＝114，b ＝17，c ＝314时取等号．故a 2＋b 2＋c 2的最小值为114.。
近年-近年学年高中数学阶段质量检测(三)(含解析)新人教A版选修4-5(最新整理)
阶段质量检测(三）（时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,满分50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则错误!＋错误!的最小值是( ）A.错误!B。
错误!C。
116D.错误!解析:选A （a＋b）错误!≥错误!2＝4，∴错误!＋错误!≥错误!。
当且仅当错误!·错误!＝错误!×错误!，即a＝b＝8时取等号．2．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为（)A。
错误!B。
错误!C。
错误!D．6解析：选C 由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)（x2＋y2＋z2）×错误!≥（x ＋3y＋5z)2×错误!＝62×错误!＝错误!，当且仅当x＝错误!＝错误!时等号成立．3．已知a，b,c为正数且a＋b＋c＝3错误!，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为（) A．4 B．4错误!C．6 D．6错误!解析：选C ∵a，b，c为正数．∴错误!错误!＝错误!错误!≥a＋b.同理错误!错误!≥b＋c，错误!错误!≥c＋a，相加得错误! (错误!＋错误!＋错误!)≥2(b＋c＋a)＝6错误!，即错误!＋错误!＋错误!≥6，当且仅当a＝b＝c＝错误!时取等号．4．设a,b，c均大于0，a2＋b2＋c2＝3,则ab＋bc＋ca的最大值为( ）A．0 B．1C．3 D。
错误!解析:选C 设a≥b≥c＞0,由排序不等式得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac,所以ab＋bc＋ca≤3，故选C。
5．已知a,b，c为正数，则(a＋b＋c)错误!的最小值为（)A．1 B。
错误!C．3 D．4解析：选D （a＋b＋c）错误!＝[(错误!)2＋(错误!）2］错误!≥错误!2＝22＝4。
当且仅当a＋b＝c时取等号．6．已知(x－1）2＋(y－2)2＝4,则3x＋4y的最大值为( ）A．21 B．11C．18 D．28解析：选A 根据柯西不等式得[（x－1）2＋(y－2）2][32＋42]≥[3（x－1)＋4(y－2)］2＝(3x＋4y－11）2，∴(3x＋4y－11）2≤100.可得3x＋4y≤21，当且仅当错误!＝错误!＝错误!时取等号．7．设a,b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则错误!＋错误!＋2错误!的最大值是（) A.错误! B.错误!C．2错误! D.错误!解析：选B ∵1＝a＋b＋4c＝（错误!）2＋(错误!)2＋（2错误!)2＝错误
评估验收卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：B2．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花( )A ．300 元B ．360 元C ．320 元D ．340 元 解析：由排序原理，反序和最小．所以最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)． 答案：C3．设a 1，a 2，a 3是数1，2，3的任一排列，b 1，b 2，b 3是数4，5，6的任一排列，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围是( )A ．[28，32]B ．[28，44]C ．[32，44]D ．[44，56]解析：1，2，3与4，5，6反序和是28.顺序和是32，故a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3最小是反序和28，最大是顺序和32.选A.答案：A4．设α，β均为锐角，则1sin 2α＋4cos 2αsin 22β的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．9解析：(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋4cos 2αsin 22β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2β2，因为β为锐角，所以当sin 2β＝1时取最小值32＝9.选D. 答案：D5．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：2x ＋y ＝2×2x ＋1·y ≤（2）2＋12·（2x ）2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当⎩⎨⎧2x ＝2y ，2x 2＋y 2＝1即x ＝y ＝33时，等号成立．答案：C6．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z 的值是( )A.2147B.3147C.4147D.147解析：由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.7．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4解析：a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n≤a 21＋a 22＋…＋a 2n ·x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1.故应选A.答案：A8．已知x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，则x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3的最大值是( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3解析：因为x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，所以(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(y 21＋y 22＋y 23)＝1×2＝2，所以x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3≤ 2.当x 1y 1＝x 2y 2＝x 3y 3＝22时，取“＝”，故选C. 答案：C9．已知x ，y ，z ＞0，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y ·y 2＋3z ·z 32＝9. 所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3min ＝9.故应选D.10．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．＞B ．≥C ．＜D ．≤解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 答案：B11．若a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．9解析：由柯西不等式可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b a ＋b c ·c b ＋c a ·a c 2＝32＝9. 答案：D12．设x 1，x 2，…，x n 取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．1＋12＋13＋…＋1nD ．1＋122＋132＋…＋1n2解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1＜a 2＜…＜a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，所以x 11＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .故应选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________． 解析：y ＝2·4－2x ＋2x －3≤[（2）2＋1]（4－2x ＋2x －3）＝ 3. 当且仅当x ＝53时，等号成立．答案：314．设a ，b ＞0，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为________． 解析：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，即25≥(a ＋2b )2. 所以(a ＋2b )max ＝5. 答案：515．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝9，则x ＋y ＋z 的最大值是________．解析：(x ＋y ＋z )2≤(12＋12＋12)·(x ＋y ＋z )＝3×9＝27.所以x ＋y ＋z ≤3 3. 答案：3 316．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是___________．解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，t 2＝(ab ＋bc ＋ca )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，又a ，b ，c ＞0， 所以s ≤t .a ＝b ＝c ＝1时，等号成立． 但此时S △＝34≠1，矛盾．故等号不成立，即s ＜t . 答案：s ＜t三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，求a ·b 的最大值．解：因为a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )， 所以a ·b ＝x －2z .由柯西不等式[12＋0＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2⇒5×16≥(x －2z )2⇒－45≤x －2z ≤45⇒－45≤a ·b ≤45，故a ·b 的最大值为4 5.18．(本小题满分12分)已知0＜a ≤b ≤c ，求证c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a. 证明：因为0＜a ≤b ≤c ， 所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ， 所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c ＞0，又0＜a 2≤b 2≤c 2，所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c 是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a 是乱序和，由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a 成立．19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.(1)解：因为x ＋y ＋z ≥33xyz ＞0， 1x ＋1y ＋1z ≥33xyz＞0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z 取得最小值3.(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋（x 2＋y 2）＋（y 2＋z 2）＋（z 2＋x 2）3≥x 2＋y 2＋z 2＋2（xy ＋yz ＋zx ）3＝（x ＋y ＋z ）23＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )＜0， 所以3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.20．(本小题满分12分)设不等式|x －2|＞1的解集与关于x 的不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集相同．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＝a x －3＋b 5－x 的最大值，以及取得最大值时x 的值．解：(1)不等式|x －2|＞1的解集为{x |x ＜1或x ＞3}， 所以，不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}， 所以a ＝4，b ＝3.(2)函数的定义域为[3，5]，显然有f (x )＞0，由柯西不等式可得： f (x )＝4x －3＋35－x ≤42＋32·（x －3）2＋（5－x ）2＝52， 当且仅当45－x ＝3x －3时等号成立，即x ＝10725时，函数取得最大值5 2.21．(本小题满分12分)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x 4＋5·y 5＋2·z 22＝(x ＋y ＋z )2， 即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是[－5，5]．22．(本小题满分12分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )]≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝1n 时，等号成立．所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.。
(课堂新坐标)2016-2017学年高中数学人教a版高二选修4-5_模块综合测评_word版有答案AKAKMP
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式|3x －2|>4的解集是( ) A ．{x |x >2}B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－23或x >2D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23<x <2【解析】 因为|3x －2|>4，所以3x －2>4或3x －2<－4，所以x >2或x <－23. 【答案】 C2．能用来表示二维形式的柯西不等式的是( ) A ．a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )B ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )C ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ab ＋cd )2(a ，b ，c ，d ∈R )D ．(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≤(ac ＋bd )2(a ，b ，c ，d ∈R )【解析】 根据柯西不等式的结构特征可知只有B 正确，故选B. 【答案】 B3．若实数x ，y 满足|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则|tan x －tan y |等于( )A ．tan x －tan yB ．tan y －tan xC ．tan x ＋tan yD.|tan y |－|tan x |【解析】 由|tan x |＋|tan y |>|tan x ＋tan y |，得tan x 和tan y 异号，且y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，得tan y >0. 故|tan x －tan y |＝tan y －tan x . 【答案】 B4．已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )【导学号：32750076】A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b【解析】 对于C 中，1ab 2－1a 2b ＝a －ba 2b 2<0， ∴1ab 2<1a 2b . 【答案】 C5．用数学归纳法证明2n >n 2(n ∈N ＋，n ≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是( ) A ．假设n ＝k 时命题成立 B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立 C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立 D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 【答案】 C6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2D.16【解析】 由(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4.因此不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4. 【答案】 B7．某人要买房，随着楼层的升高，上、下楼耗费的体力增多，因此不满意度升高．设住第n 层楼，上下楼造成的不满意度为n ；但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n 层楼时，环境不满意程度为9n ，则此人应选( )A ．1楼B ．2楼C ．3楼D.4楼【解析】 设第n 层总的不满意程度为f (n )，则f (n )＝n ＋9n ≥29＝2×3＝6，当且仅当n＝9n ，即n ＝3时取等号，故选C.【答案】 C8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|>k 恒成立，对k 的取值范围是( ) A ．k <3 B ．k <－3 C ．k ≤3D.k ≤－3【解析】 ∵|x ＋1|－|x －2|≥－|(x ＋1)－(x －2)|＝－3，∴|x ＋1|－|x －2|的最小值为－3.∴不等式恒成立，应有k <－3. 【答案】 B9．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N ＋)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时等号左边应增添的式子是( )A ．2k ＋1 B.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋2k ＋1【解析】 当n ＝k 时，有f (k )＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )， 当n ＝k ＋1时，有f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋k ＋1)(k ＋k ＋2)， ∴f (k ＋1)＝f (k )·(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1.【答案】 B10．对一切正数m ，不等式n <4m ＋2m 2恒成立，则常数n 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，6) C ．(0，＋∞)D.[6，＋∞)【解析】 要使不等式恒成立，只要n 小于4m ＋2m 2的最小值．∵4m ＋2m 2＝2m ＋2m ＋2m 2≥338＝6，∴n <6.【答案】 B11．若n 棱柱有f (n )个对角面，则(n ＋1)棱柱含有对角面的个数为( ) A ．2f (n ) B ．f (n )＋(n －1) C ．f (n )＋nD.f (n )＋2【解析】 由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角面的个数与底面上由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加的对角线一样，设n ＝k 时，底面为A 1A 2…A k ，n ＝k ＋1时底面为A 1A 2A 3…A k A k ＋1，增加的对角线为A 2A k ＋1，A 3A k ＋1，A 4A k ＋1，…，A k －1A k ＋1，A 1A k ，共有(k －1)条，因此对角面也增加了(k －1)个，故选B.【答案】 B12．记满足下列条件的函数f (x )的集合为M ，当|x 1|≤2，|x 2|≤2时，|f (x 1)－f (x 2)|≤6|x 1－x 2|，又令g (x )＝x 2＋2x －1，则g (x )与M 的关系是( )A ．g (x )MB ．g (x )∈MC ．g (x )∉M D.不能确定【解析】 ∵g (x 1)－g (x 2)＝x 21＋2x 1－x 22－2x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)，∴|g (x 1)－g (x 2)|＝|x 1－x 2|·|x 1＋x 2＋2|≤|x 1－x 2|(|x 1|＋|x 2|＋2)≤6|x 1－x 2|， 所以g (x )∈M .故选B. 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上) 13．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________.【导学号：32750077】【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3| ＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]14．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的最小值为________． 【解析】 ∵ab ＝a ＋b ＋8，且a ＞0，b ＞0， ∴ab －8＝a ＋b ≥2ab ， ∴(ab )2－2ab －8≥0， ∴ab ≥4或ab ≤－2(舍去)， ∴ab ≥16，即ab 的最小值为16. 【答案】 1615．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2n(a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)，假设n ＝k 时不等式a k ＋b k2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k(*)成立，再推证n ＝k ＋1时不等式也成立的关键是将(*)式两边同乘________． 【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋12，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2k ＋1. 【答案】 a ＋b216．设a ，b ，c ，d ，m ，n ∈R ＋，P ＝ab ＋cd ，Q ＝am ＋nc ·b m ＋dn，则P ，Q 的大小关系为________．【解析】 由柯西不等式 P ＝am ·b m ＋nc ·d n ≤am ＋nc ·b m ＋d n ＝Q ，∴P≤Q.【答案】P≤Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c≥4a－c.【证明】因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0，所以(a－c)⎝⎛⎭⎪⎫1a－b＋1b－c＝[(a－b)＋(b－c)]1a－b＋1b－c＝a－bb－c＋b－ca－b＋2≥2a－bb－c·b－ca－b ＋2＝4，当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时等号成立．故1a－b＋1b－c≥4a－c成立．18．(本小题满分12分)(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．图1【解】(1)由题意得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－4，x≤－1，3x－2，－1＜x≤32，－x＋4，x＞32，故y＝f(x)的图象如图所示．(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5. 故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}， f (x )＜－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 19．(本小题满分12分)设m ，n ∈R ＋，m ＋n ＝p ，求证：1m ＋1n ≥4p ，并指出等号成立的条件．【证明】 根据柯西不等式，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )≥⎝⎛⎭⎪⎫m ·1m ＋n ·1n 2＝4， 于是1m ＋1n ≥4m ＋n ＝4p ，当m ＝n ＝p2时，等号成立．20．(本小题满分12分)某自来水厂要制作容积为500 m 3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位：m)：①19×19；②30×10；③25×12.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案(要求：①用料最省；②简便易行)．【解】 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a ，b ，c . 由题意，可得abc ＝500，长方体水箱的表面积为S ＝2bc ＋2ac ＋ab . 由均值不等式，知S ＝2bc ＋2ac ＋ab ≥ 332bc ·2ac ·ab ＝334×5002＝3×102＝300.当且仅当2bc ＝2ca ＝ab ，即a ＝b ＝10，c ＝5时，S ＝2bc ＋2ac ＋ab ＝300为最小， 这表明将无盖长方体的尺寸设计为10×10×5(即2∶2∶1)时，其用料最省．如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成长方体水箱的平面展开图．逆向思维，先将无盖长方体展开成平面图：下图(1)进一步剪拼成图(2)的长30 m ，宽10 m(长∶宽＝3∶1)的长方形．因此，应选择规格30×10的制作材料，制作方案如图(3)．(1) (2) (3)可以看出，图(3)这种“先割后补”的方案不但可使用料最省，而且简便易行．21．(本小题满分12分)设f (n )>0(n ∈N ＋)，对任意自然数n 1和n 2总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)f (n 2)，又f (2)＝4.(1)求f (1)，f (3)的值；(2)猜想f (n )的表达式，并证明你的猜想．【解】 (1)由于对任意自然数n 1和n 2，总有f (n 1＋n 2)＝f (n 1)·f (n 2)， 取n 1＝n 2＝1，得f (2)＝f (1)·f (1)，即f 2(1)＝4. ∵f (n )>0(n ∈N ＋)， ∴f (1)＝2，取n 1＝1，n 2＝2，得f (3)＝23.(2)由f (1)＝21，f (2)＝4＝22，f (3)＝23，初步归纳猜想f (n )＝2n . 证明：①当n ＝1时，f (1)＝2成立； ②假设n ＝k 时，f (k )＝2k 成立． f (k ＋1)＝f (k )·f (1)＝2k ·2＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①②得，对一切n ∈N ＋，f (n )＝2n 都成立．22．(本小题满分12分)设数列{a n }的首项a 1∈(0,1)，a n ＝3－a n －12，n ＝2,3,4，….【导学号：32750078】(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n 3－2a n ，求证：b n <b n ＋1，其中n 为正整数． 【解】 (1)由a n ＝3－a n －12，得2a n ＝3－a n －1，即1－a n 1－a n －1＝－12，所以数列{1－a n }是以1－a 1(a 1∈(0,1))为首项，以－12为公比的等比数列， 所以1－a n ＝(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，因此a n ＝1－(1－a 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.(2)证明：由(1)可知0<a n <32，故b n >0.那么b 2n ＋1－b 2n ＝a 2n ＋1(3－2a n ＋1)－a 2n (3－2a n )＝⎝⎛⎭⎪⎫3－a n 22⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2×3－a n 2－a 2n (3－2a n ) ＝9a n4(a n －1)2.又由(1)知a n >0且a n ≠1，故b 2n ＋1－b 2n >0，因此b n <b n ＋1，n 为正整数．。
人教版数学高二-人教A版选修4-5阶段质量检测(四) B卷
阶段质量检测（四） B 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14解析：选D S (n )共有n 2－n ＋1项，S (2)＝12＋13＋14.2．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，第一步应验证( ) A ．n ＝1 B ．n ＝2 C ．n ＝3 D ．n ＝4答案：C3．用数学归纳法证明当n ∈N *时1＋2＋22＋…＋22n ＝22n ＋1－1时，当n ＝1时左边为( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋22D ．1＋2＋22＋23解析：选C 因为左边为2n ＋1项和，所以n ＝1时，左边＝1＋2＋22.4．用数学归纳法证明对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立时，当n ＝2时验证的不等式是( )A ．1＋13>52B.⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15>52C.⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15≥52 D ．以上都不对解析：选A 当n ＝2时，左边＝1＋12×2－1＝1＋13，右边＝2×2＋12＝52，∴1＋13>52.5．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和S＝(n－2)π对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A．2 B．3 C．4 D．5解析：选B n边形的最少边数为3，则n0＝3.6．已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)<k2成立C．若f(7)≥49成立，则当k<7时，均有f(k)<k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：选D∵f(k)≥k2成立时f(k＋1)≥(k＋1)2成立，当k＝4时，f(4)＝25>16＝42成立．∴当k≥4时，有f(k)≥k2成立．7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成()A．假设当n＝k(k∈N*)时，x k＋y k能被x＋y整除B．假设当n＝2k(k∈N*)时，x k＋y k能被x＋y整除C．假设当n＝2k＋1(k∈N*)时，x k＋y k能被x＋y整除D．假设当n＝2k－1(k∈N*)时，x k＋y k能被x＋y整除解析：选D第k个奇数应是n＝2k－1(k∈N*)．8．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋π2B．f(k＋1)＝f(k)＋πC．f(k＋1)＝f(k)＋3π2D．f(k＋1)＝f(k)＋2π解析：选B凸多边形每增加一条边，内角和增加π.9．下列代数式，n∈N*，可能被13整除的是()A．n3＋5n B．34n＋1＋52n＋1C．62n－1＋1 D．42n＋1＋3n＋2解析：选D A中，n＝1时，1＋5＝6，不能被13整除；B中，n＝1时，35＋53＝368不能被13整除；C中，n＝1时，6＋1＝7亦不能被13整除．10．用数学归纳法证恒等式12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n＋2)＝n4(n＋1)，由n＝k到n＝k＋1时，两边应同时加上()A.12k ＋4B.1(2k ＋2)(2k ＋3)＋1(2k ＋3)(2k ＋4) C.12(k ＋1) D.1(2k ＋2)(2k ＋4)解析：选D 观察等式左边可知n ＝k ＋1时，应再加上1(2k ＋2)(2k ＋4).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上) 11．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n2(n ∈N *)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左边增加的项数是________．解析：令f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n －1，则f (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1，f (k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12k ＋1－1，所以f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，分母首项为2k ＝a 1，分母末项a n ＝2k ＋1－1，公差d ＝1， ∴n ＝a n －a 1d ＋1＝2k .答案：2k12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项a n ＝________.解析：法一：分别令n ＝1,2,3求出a 2＝12，a 3＝13，通过不完全归纳法知a n ＝1n .法二：对已知等式因式分解得[(n ＋1)a n ＋1－na n ]·(a n ＋1＋a n )＝0. 由a n >0知a n ＋1a n ＝n n ＋1，再由累乘法求得a n ＝1n .答案：1n13．从1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出：1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：等式的左边符号正负间隔出现，先正后负，所以最后一项系数应为(－1)n ＋1，和的绝对值是前n 个自然数的和，为n (n ＋1)2.答案：(－1)n ＋1·n (n ＋1)214．利用数学归纳法证明“3×5×…×(2n －1)2×4×…×(2n －2)<2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________．解析：n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32<3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.答案：2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立． (2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N *)，命题成立， 即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)，那么当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋[2(k ＋1)－1]2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (2k ＋1)(2k －1)＋(2k ＋1)2 ＝13(2k ＋1)(2k ＋3)(k ＋1) ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]． ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)得：对于任意n ∈N *，等式都成立． 16．(本小题满分12分)求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56，(n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56，则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．17．(本小题满分12分)利用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除． 证明：(1)当n ＝1时，(3×1＋1)×71－1＝27， 能被9整除，所以命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立， 即(3k ＋1)·7k －1能被9整除． 那么当n ＝k ＋1时，[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1＝(3k ＋4)·7k ＋1－1 ＝(3k ＋1)·7k ＋1－1＋3·7k ＋1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋3·7k ＋1＋6·(3k ＋1)·7k ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋7k (21＋6×3k ＋6) ＝[(3k ＋1)·7k －1]＋9·7k (2k ＋3)．由归纳假设知，(3k ＋1)·7k －1能被9整除， 而9·7k (2k ＋3)也能被9整除， 故[3(k ＋1)＋1]·7k ＋1－1能被9整除．这就是说，当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *，(3n ＋1)·7n －1都能被9整除．18．(本小题满分14分){a n}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，a n＋1a n＝(a n －1＋2)(a n－2＋2)，n＝3,4,5，….(1)求a3；(2)证明：a n＝a n－2＋2(n≥3，且n∈N*)．解：(1)由已知a4a3＝(a2＋2)(a1＋2)＝5×2＝10×1，∴a3可能取值1,2,5,10.若a3＝1，a4＝10，从而a5＝(a3＋2)(a2＋2)a4＝1510＝32，显然a5不是非负整数，与题设矛盾．若a3＝10，则a4＝1，从而a5＝60.但再计算a6＝35，也与题设矛盾．∴a3＝2，a4＝5.(因a3＝5，a4＝2⇒a5∉N，舍去)(2)用数学归纳法证明：①当n＝3时，a3＝2，a1＋2＝0＋2，∴a3＝a1＋2，即n＝3时等式成立；②假设n＝k(k≥3)时，等式成立，即a k＝a k－2＋2，由题设a k＋1a k＝(a k－1＋2)(a k－2＋2)，因为a k＝a k－2＋2≠0.所以a k＋1＝a k－1＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式a k＋1＝a k－1＋2成立．则根据①②知，对于n≥3(n∈N*)，有a n＝a n－2＋2.。
2017高中数学选修4-5：综合质量评估含答案
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关闭Word 文档返回原板块.综合质量评估 （第一至第四讲) （90分钟 120分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） 1。
（2016·唐山高二检测）设函数f （x ）={(x +1)2(x <1)4−|x −1|(x ≥1),则使f （x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （ ) A.（—∞,-2］∪ B 。
(-∞,-2]∪ C 。
(—∞，-2]∪ D.∪ 【解析】选A 。
当x<1时， 由(x+1)2≥1得x ≤—2或0≤x<1;当x ≥1时,由4-｜x-1｜≥1得1≤x ≤4.综合上述,使f(x ）≥1的自变量x 的取值范围是 （-∞，—2］∪。
2.（2016·北京高二检测）设a ，b ∈R ，下面的不等式能成立的是 ( ） A.a 2+3ab>b 2B.ab+a 〉b+abC 。
a b 〈a +1b+1 D.a 2+b 2≥2(a —b-1）【解析】选D 。
取a=0，b=1,验证排除A ，B ，再取a=4，b=3时，可排除C.【一题多解】选D 。
a 2+b 2-2(a —b —1)=a 2-2a+1+b 2—2b+1=(a —1）2+(b—1）2≥0,故选D 。
【补偿训练】若a ，b ，c ，d ∈R,且ab>0,—c a 〈-d b ，则下列各式恒成立的是 ( )A 。
bc<ad B.bc>adC. a c 〉b d D 。
a c <b d【解析】选B.对—c a <-d b 两边同乘以-ab,由-ab 〈0,得bc 〉ad 。
3。
（2016·聊城高二检测）“a 〉0且b>0”是“a +b 2≥√a b ”成立的 ( ）A 。
充分不必要条件 B.必要不充分条件 C 。
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阶段质量检测（三） B 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2，N ＝ab ＋bc ＋cd ＋da ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M ≥N B ．M ＞N C ．M ≤ND ．M ＜N解析：选A 取两组数a ，b ，c ，d ；b ，c ，d ，a ，则由柯西不等式有 (a 2＋b 2＋c 2＋d 2)(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， 即(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(ab ＋bc ＋cd ＋da )2， ∵a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥0，∴a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ab ＋bc ＋cd ＋da .∴M ≥N . 2．若a ，b ，c 均为正数且a ＋b ＋c ＝6，则ab c ＋bc a ＋acb的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．6D ．12解析：选C 不妨设a <b <c ，则ab <ac <bc ，1c <1b <1a 由排序不等式得abc ＋ac b ＋bc a ≥ab b ＋ac a ＋bcc ＝a ＋c ＋b ＝6.3．若5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4＝1，则3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24的最小值是( )A.78215B.15782 C ．3 D.253解析：选B ∵⎝⎛⎭⎫253＋18＋495＋16[3x 21＋2x 22＋5(－x 3)2＋x 24]≥(5x 1＋6x 2－7x 3＋4x 4)2＝1， 即3x 21＋2x 22＋5x 23＋x 24≥15782. 4．设x 1，x 2，x 3取不同的正整数，则m ＝x 11＋x 24＋x 39的最小值是( )A ．1B ．2 C.116D.4936解析：选C 设a 1，a 2，a 3是x 1，x 2，x 3的一个排列且满足 a 1＜a 2＜a 3.∴a 1≥1，a 2≥2，a 3≥3， 又∵1＞122＞132，∴x 1＋x 24＋x 39≥1＋12＋13＝116.5．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4.则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．1B ．10C ．11D ．21解析：选D ∵[(x －1)2＋(y －2)2](32＋42)≥[3(x －1)＋4(y －2)]2， 即(3x ＋4y －11)2≤100. ∴3x ＋4y －11≤10,3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时取等号．6．已知α，β为锐角，且cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β＝1，则α＋β等于( )A.π2B.3π4C.π4D.5π12解析：选A ∵(sin 2β＋cos 2β)⎝⎛⎭⎫cos 2αsin 2β＋sin 2αcos 2β≥sin 2α＋cos 2α＝1，当且仅当sin α＝cos β，cos α＝sin β时等号成立，即α＝β＝π4，∴α＋β＝π2.7．已知x ＋3y ＋5z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A.65 B.635 C.3635D ．6解析：选C 由柯西不等式，得x 2＋y 2＋z 2＝(12＋32＋52)·(x 2＋y 2＋z 2)·112＋32＋52≥(1×x＋3×y ＋5×z )2×135＝62×135＝3635. 8．已知3x 2＋2y 2≤2，则3x ＋2y 的取值范围是( ) A ．[0，5]B ．[－5，0]C ．[－10，10]D ．[－5,5]解析：选C |3x ＋2y |≤3x 2＋2y 2·(3)2＋(2)2≤10， ∴－10≤3x ＋2y ≤10.9．(湖南高考)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.10．已知a ，b ，c ∈R ＋，设P ＝2(a 3＋b 3＋c 3)，Q ＝a 2(b ＋c )＋b 2(c ＋a )＋c 2(a ＋b )，则( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选C 取两组数a ，b ，c ；a 2，b 2，c 2.不管a ，b ，c 的大小顺序如何，a 3＋b 3＋c 3都是顺序和；a 2b ＋b 2c ＋c 2a 及a 2c ＋b 2a ＋c 2b 都是乱序和，故有a 3＋b 3＋c 3≥a 2b ＋b 2c ＋c 2a ， a 3＋b 3＋c 3≥a 2c ＋b 2a ＋c 2b ，∴2(a 3＋b 3＋c 3)≥a 2(b ＋c )＋b 2(a ＋c )＋c 2(a ＋b )． ∴P ≥Q .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为________．解析：(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1.答案：112．若x ＋y ＋z ＋t ＝4，则x 2＋y 2＋z 2＋t 2的最小值为________．解析：比较已知条件、待求式子，发现把待求式子乘以一个常量后，可满足四维柯西不等式条件并同时用到已知条件，得(x 2＋y 2＋z 2＋t 2)(12＋12＋12＋12)≥(x ＋y ＋z ＋t )2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝t ＝1时，取最小值4. 答案：413．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a ＞1b ，x ＞y ，则x x ＋a 与y y ＋b 的大小关系是________．解析：∵1a ＞1b ， ∴b ＞a ＞0.又x ＞y ＞0， 由排序不等式知，bx ＞ay . 又x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )＞0， ∴x x ＋a ＞y y ＋b. 答案：x x ＋a ＞y y ＋b14．设a ，b ，c 均为实数，则a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2的最大值为________．解析：∵a ＋b －c ＝a ＋22×2b －33×3c ， 由柯西不等式得 (a ＋b －c )2＝(a ＋22×2b －33×3c )2≤[12＋(22)2＋(－33)2](a 2＋2b 2＋3c 2)， ∴a ＋b －c ≤666a 2＋2b 2＋3c 2. ∴a ＋b －ca 2＋2b 2＋3c 2≤666.故所求的最大值为666. 答案：666三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c 2≥1003. 证明：∵左＝13(12＋12＋12)[(a ＋1a )2＋(b ＋1b )2＋(c ＋1c )2]≥13[1×(a ＋1a )＋1×(b ＋1b )＋1×(c ＋1c )]2 ＝13[1＋(1a ＋1b ＋1c )]2 ＝13[1＋(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )]2≥13(1＋9)2＝1003. ∴原结论成立．16．(本小题满分12分)设a ，b ，c 为正数．求证：2⎝⎛⎭⎫a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a＋a 2＋b 2a ＋b. 证明：由对称性，不妨设a ≥b ≥c >0. 于是a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，a 2≥b 2≥c 2. 故1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b.由排序原理知： a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥c 2b ＋c ＋a 2c ＋a ＋b 2a ＋b ， a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥b 2b ＋c ＋c 2c ＋a ＋a 2a ＋b ， 将上面两个同向不等式相加，得2(a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b )≥b 2＋c 2b ＋c ＋c 2＋a 2c ＋a ＋a 2＋b 2a ＋b. 17．(本小题满分12分)已知a 1，a 2，…a n 为实数，且a 1＋a 2＋a 3＋…a n ＝10，求a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 的最小值．解：由n (a 21＋a 22＋…＋a 2n ) ＝(1＋1＋…＋1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(a 1＋a 2＋…＋a n )2， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n≥100n . ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n的最小值为100n .18．(本小题满分14分)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c 2＝1，求a ＋b ＋ 2 c 的最大值． 解：因为a ，b ，c 为正数，所以a ＋b ＋4c 2＝(a )2＋(b )2＋(2c )2， 于是(a ＋b ＋4c 2)⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122 ＝[(a )2＋(b )2＋(2c )2]⎣⎡⎦⎤12＋12＋⎝⎛⎭⎫122 ≥(a ＋b ＋2c )2，故(a ＋b ＋2c )2≤1×52＝52，∴a ＋b ＋2c ≤102. 等号成立⇔a ＝b ＝22c .解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＋4c 2＝1，a ＝b ＝22c.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝25，c ＝2020.∴a ＋b ＋2c 的最大值为102.。