2016-2017学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第二章 数列 12

学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和S 10＝________.
【解析】 因为3a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是以－1
3
为公比的等比数列．
因为a 2＝－43，所以a 1＝4，所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3(1－3－10
)．
【答案】 3(1－3－10)
2．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.
【导学号：91730043】
【解析】 因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－26
1－2
＝63.
【答案】 63
3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则
数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 的前
5项和为________．
【解析】 易知公比q ≠1.
由9S 3＝S 6，得9·a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)
1－q ，
解得q ＝2.
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列，
∴其前5项和为
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
1－12＝31
16. 【答案】 31
16
4．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a ＝______. 【解析】 ∵S n ＝Aq n －A ，∴a ＝－1. 【答案】 －1
5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，
所以⎩⎨⎧
a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝a 1q ＋10a 1，a 1q 4＝9，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
q 2＝9，a 1＝1
9，
所以a 1＝19. 【答案】 1
9
6．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1
＋1a 2
＋1a 3
＋1
a
4
＋1
a 5
＝________. 【解析】 设数列{a n }的公比为q ，则3116＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2
∴1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝31
4， ∴1a 1
＋1a 2
＋1a 3
＋1a 4
＋1a 5
＝1a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫
1q 2＋1q ＋1＋q ＋q 2＝31.
【答案】 31
7．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．
【解析】 每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1
－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝
64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.
【答案】 6
8．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．
【解析】 由题意可知，q ≠1， ∴S n ＝a 1(1－q n )
1－q
.
又∵S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， ∴2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2－2q n ＝2－q n ＋1－q n ＋2， 即2＝q ＋q 2，
∴q ＝－2(q ＝1不合题意舍去)． 【答案】 －2 二、解答题
9．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3. (1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n
2；
(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝1
3n ，
S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝
1－13n 2， 所以S n ＝1－a n
2.
(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)
2. 所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)
2.
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1
5，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长1
4.设n 年内(本年度为第1年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式．
【解】 第1年投入800万元，第2年投入800×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－15万元，…，第n 年
投入800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1万元，所以，总投入a n ＝800＋800×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－15＋…＋
800×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n (万元)． 同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋14万元，…，第n 年收
入400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14n －1万元．所以，总收入b n ＝400＋400×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＋…＋400×⎝ ⎛
⎭
⎪
⎫1＋14n －1
＝1 600×⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.
能力提升]
1．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n －1, 则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n 等
于________．
【解析】 ∵S n ＝a 1(1－q n
)1－q ，∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1
1－q ＝－1，q ＝2，
∴⎩⎨⎧
q ＝2，
a 1＝1，
∵{a n }为等比数列，∴{a 2n }也为等比数列，∴a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2
n ＝
1×(1－4n
)1－4
＝1
3(4n －1)．
【答案】 13(4n
－1)
2．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.
【导学号：91730044】
【解析】
当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a
n
1－a
.即S n ＝⎩⎨⎧
n (a ＝1)，
1－a n
1－a (a ≠1).
【答案】
⎩⎨⎧
n (a ＝
1)，
1－a n 1－a
(a ≠1)
3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．
【解析】 由已知4S 2＝S 1＋3S 3， 即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)， ∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2
＝1
3.
【答案】 1
3
4．已知首项为3
2的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n
≤13
6(n ∈N *)．
【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3
＝－1
2.
又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×3
2n .
(2)证明：S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n
，
S n ＋1S n
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋
1
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2＋1
2n (2n
＋1)，n 为奇数，2＋1
2n (2n －1)，n 为偶数，
当n为奇数时，S n＋1
S n随n的增大而减小，
所以S n＋1
S n≤S1＋1
S1＝
13
6.
当n为偶数时，S n＋1
S n随n的增大而减小，
所以S n＋1
S n≤S2＋1
S2＝
25
12.
故对于n∈N*，有S n＋1
S n≤
13
6.。