自主学习01 教材内容 第一章
自主学习01 教材内容 第七章 自旋与角动量
自主学习01 教材内容第七章自旋与角动量知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.自旋算符与泡利矩阵2.轨道自旋耦合及自旋自旋耦合3.两电子体系的自旋波函数4.两个角动量的耦合(CG系数)7.1电子的自旋[教学目标]:理解电子的自旋[重点难点]:自旋[教学内容]:在较强的磁场下（∽T 10），我们发现一些类氢离子或碱金属原子有正常塞曼效应的现象，而轨道磁矩的存在，能很好的解释它但是，当这些原子或离子置入弱磁场（∽T 110-）的环境中，或光谱分辨率提高后，发现问题并不是那么简单，这就要求人们进一步探索。
大量实验事实证明，认为电子仅用三个自由度z ,y ,x 来描述并不是完全的。
我们将引入一个新的自由度—自旋，它是粒子固有的。
当然，自旋是Dirac 电子的相对论性理论的自然结果。
现在我们从实验事实来引入。
(1)电子自旋存在的实验事实（1）Stern-Gerlach 实验（1922年）当一狭窄的原子束通过非均匀磁场时，如果原子无磁矩，它将不偏转；而当原子具有磁矩μ，那在磁场中的附加能量为αμμcos B B U -=⋅-=如果经过的路径上，磁场在z 方向上有梯度，即不均匀，则受力dz dB U F αμcos =-∇=从经典观点看αcos 取值（从11--）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dz dB μ-—dz dB μ所以原子分裂成一个带。
但Stern-Gerlach 发现，当一束处于基态的银原子通 过这样的场时，仅发现分裂成二束，即仅二条轨道（两个态）。
而人们知道，银原子（47z =）基 态0l =，所以没有轨道磁矩，而分成二个状态（二 个轨道），表明存在磁矩，而这磁矩在任何方向上的 投影仅取二个值。
这磁矩既然不是由于轨道运动产生的，因此，只能是电子本身的（核磁矩可忽），这磁矩称为内禀磁矩sμ，与之相联系的角动量称为电子自旋，它是电子的一个新物理量，也是一个新的动力学变量。
七年级地理上册第一章备课教案
七年级地理上册第一章备课教案【教学目标】1.让学生了解地理学科的研究内容和方法，激发学生对地理学习的兴趣。
2.通过对地图的三要素的认识，培养学生地图使用能力。
3.培养学生独立思考和合作学习的能力。
【教学重点】1.地理学科的研究内容和方法。
2.地图的三要素：比例尺、方向、图例和注记。
【教学难点】1.地图的三要素在实际应用中的灵活运用。
2.培养学生独立思考和合作学习的能力。
【教学过程】一、导入新课1.教师以生活中的地理现象为例，引导学生关注地理学科的重要性。
2.学生分享自己对地理学科的认识和了解。
二、自主学习1.学生阅读教材，了解地理学科的研究内容和方法。
2.教师提问，检查学生对教材内容的掌握。
三、课堂讲解1.讲解地理学科的研究内容a.自然地理：气候、地形、水文、土壤等。
b.人文地理：人口、城市、农业、工业等。
c.地理信息系统（GIS）：地图、遥感、数据库等。
2.讲解地理学科的研究方法a.观察法：实地考察、观察。
b.实验法：模拟实验、数据分析。
c.调查法：问卷调查、访谈调查。
3.讲解地图的三要素a.比例尺：表示图上距离与实地距离的比例关系。
b.方向：表示地图上的方向关系。
c.图例和注记：表示地图上的符号和文字说明。
四、案例分析1.教师展示一幅地图，让学生识别地图的三要素。
2.学生分组讨论，分析地图中的信息。
3.各组汇报讨论成果，教师点评。
五、课堂小结2.学生分享自己在课堂上的收获。
六、课后作业1.复习地理学科的研究内容和方法。
2.绘制一幅简单的地图，标注地图的三要素。
【教学反思】本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。
1.学生对地理学科的认识是否清晰？2.学生是否掌握了地图的三要素？3.学生在课堂上的参与度如何？4.课后作业是否有助于巩固所学知识？通过不断反思和调整，使教学更加符合学生的实际需求，提高教学质量。
重难点补充：一、教学过程补充1.导入新课教师展示一张地球仪，问：“同学们，你们知道这个是什么吗？”学生回答：“地球仪。
自主教学教案
自主教学教案
一、教案目标
本节课的主要目标是培养学生的自主学习能力，掌握基础知识和基本技能，同时激发学生的学习兴趣和探究欲望。
通过本节课的学习，学生应该能够掌握以下内容：
1.掌握自主学习的基本方法和策略；
2.了解学科基础知识；
3.培养探究思维和解决问题的能力；
4.形成良好的学习习惯和学习品质。
二、教学内容
本节课的教学内容主要包括学科基础知识和自主学习方法两个部分。
学科基础知识是自主学习的前提和基础，自主学习方法则是实现有效学习的关键。
因此，在教学过程中，我将根据学生的实际情况和学科特点，合理安排教学内容，确保学生能够掌握相关知识和技能。
三、教学方法与策略
为了更好地实现教学目标，我将采用以下教学方法与策略：
1.情境创设：通过创设具体的情境，引导学生进入学习状态，激发学生的学
习兴趣；
2.任务驱动：以任务为驱动，引导学生自主学习、探究和思考，培养学生的
思维能力和解决问题的能力；
3.分层教学：根据学生的实际情况和个体差异，采用分层教学的方法，满足
不同层次学生的学习需求；
4.互动交流：加强师生互动、生生互动，鼓励学生积极参与课堂活动，提高
学生的学习效果。
四、学生自主学习材料准备
为了保障自主学习的效果，学生需要准备以下材料：
1.学习计划：制定具体的学习计划，包括学习目标、学习内容、学习时间和
进度安排等；
2.学习资料：根据学习需要选择适合的学习资料，包括教材、辅导书、网络
资源等；
3.学习笔记：及时记录学习心得和重要知识点，有助于巩固记忆和提高学习
效果。
学生自主学习的教案
学生自主学习的教案自主学习是指学生在教师指导下，以自己的兴趣和需求为导向，主动参与学习活动的过程。
它鼓励学生积极主动地寻求知识、独立思考和解决问题，并培养学生的学习能力和自主学习能力。
本教案将介绍一种促进学生自主学习的有效策略。
第一部分：引言在传统的教育模式中，学生通常是被动地接受教师的讲解和指导。
然而，这种教育方式限制了学生的能动性和主动性，阻碍了他们的发展。
自主学习的教学方法为学生提供了一个自由选择学习内容和方式的机会，激励他们的学习兴趣和动力，培养他们的学习能力和自主学习能力。
第二部分：背景知识在引入自主学习的教学策略之前，教师需要为学生提供必要的背景知识。
在学习某一领域的知识之前，学生需要了解该领域的基本概念、原理和应用。
通过讲解、示范和讨论，教师可以帮助学生建立起必要的知识基础，为后续的学习做好准备。
第三部分：目标设定在引导学生自主学习之前，教师需要设定明确的学习目标。
学习目标应该具体、可量化和可实现，同时考虑学生的个体差异和学习需求。
通过设定学习目标，学生可以明确自己的学习方向，并为实现目标做出相应的努力。
第四部分：资源提供为了促进学生的自主学习，教师需要提供必要的学习资源。
这些资源可以是教材、参考书籍、网络资料、实验器材等。
教师可以向学生介绍这些资源的使用方法，并指导学生如何有效地获取和利用这些资源。
通过提供适当的学习资源，教师可以为学生创设一个良好的学习环境，激发他们的学习热情。
第五部分：学习活动设计在学习活动的设计中，教师应该注重培养学生的学习兴趣和动力。
学习活动可以包括课堂讨论、小组合作、实验探究、项目研究等。
教师可以引导学生选择感兴趣的学习主题，并为他们提供相应的学习任务和活动。
同时，教师还需要监督和指导学生的学习进程，及时给予反馈和评价。
第六部分：评估与反馈在学生完成学习任务后，教师需要进行及时的评估和反馈。
评估可以包括学生的作业、项目成果、口头演讲等形式。
教师可以根据学生的表现，给予积极的鼓励和批评建议，并帮助他们总结经验，改进学习方法。
自主学习ppt课件
网络教育
终身学习
网络教育为自主学习提供了便利的条件，学习者可以在家中或其他地方通过网络进行自主学习。
随着社会的发展和科技的进步，知识更新速度加快，自主学习成为终身学习的必备条件。
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自主学习方法
制定学习计划
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学习者需要明确学习目标，并根据目标制定合理的学习计划。计划应包括学习内容、时间安排、学习方式等，以确保学习有序进行。
总结词：交流互动
详细描述：学习论坛参与案例中，学习者通过参加各种学习论坛，与其他学习者进行交流和互动。他们在论坛中分享学习心得、解答疑问、互相帮助，共同提高学习水平。
感谢您的观看
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设置明确的学习目标：设置明确的学习目标可以激发学习者的内在动力和学习热情。目标应具体、可衡量、可达成，并具有挑战性。通过不断追求目标，学习者可以保持学习的积极性和动力。
分析学习成果
学习者需要定期检查自己的学习成果，如笔记、作业、测试成绩等，分析自己在哪些方面做得好，哪些方面需要改进。通过分析成果，学习者可以更好地了解自己的优点和不足之处。
选择学习资源
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学习者需要选择适合自己学习风格和需求的PPT课件，并充分利用课件中的资源进行学习。同时，也可以结合其他学习资源，如教材、网络资源等，以丰富学习内容。
监控学习过程
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学习者在学习过程中需要时刻关注自己的学习进度和效果，及时调整学习计划和策略，以确保学习目标的实现。同时，学习者还需要记录学习过程和成果，以便进行自我反思和总结。
调整学习策略
学习者需要根据自己的学习需求和目标，选择合适的学习策略。在PPT课件学习中，学习者可以选择适合自己的笔记方法、记忆技巧、思考方式等，以提高学习效果。
自主学习教案
自主学习教案一、教案目标通过本节课的教学，学生应能够：1.了解自主学习的定义和重要性；2.掌握自主学习的方法和技巧；3.培养学习的自觉性和主动性。
二、教学准备1.教材：教材《自主学习指南》第一章；2.教具：黑板、粉笔、投影仪；3.学生准备：提前预习《自主学习指南》第一章。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师出示问题：“你们对自主学习有什么了解？自主学习对你们的学习有什么影响？”引发学生思考并进行讨论。
2.自主学习的定义与重要性（10分钟）通过教师讲解和学生研读教材《自主学习指南》第一章，了解自主学习的定义和重要性，并进行讨论。
自主学习是指学生在教师的指导下，自主选择学习任务、学习方法和学习资源，通过自我管理和自我评价，主动参与学习过程的学习方式。
自主学习能够培养学生的学习能力和解决问题的能力，提高学生的学习效果和学习兴趣。
3.自主学习的方法和技巧（20分钟）教师介绍一些自主学习的常用方法和技巧，如制定学习计划、合理安排时间、独立思考、积极参与讨论等，并结合具体例子进行说明和演示。
学生根据教师的指导，展开小组内讨论，分享自己在自主学习中的经验和方法。
4.自主学习的实践（15分钟）教师布置自主学习任务：要求学生选择一个自己感兴趣的主题，自主学习相关知识，并准备一个小组展示。
学生根据教师布置的任务，进行自主学习，并准备小组展示。
5.小组展示与评价（10分钟）学生按照小组进行展示，并其他小组成员进行评价和提问。
教师在展示结束后，进行总结和点评。
6.作业布置（5分钟）要求学生根据本节课的学习内容，填写学习日志，并提出改进自主学习的建议。
四、教学反思本节课通过导入问题引起学生的思考和讨论，激发了学生对自主学习的兴趣和需求，使学生有了对自主学习的初步了解。
通过教师的讲解和学生的研读，学生对自主学习的定义和重要性有了更深入的了解。
在学生小组的讨论和展示中，学生能够积极参与、主动思考，并分享自己的学习方法和经验。
整节课的教学过程中，学生参与度高，积极性强，达到了预期的教学目标。
初中自主学习教案
初中自主学习教案课时：1课时年级：八年级教材：《语文》教学目标：1. 让学生理解自主学习的概念，认识到自主学习的重要性。
2. 培养学生独立思考、自主探究的能力。
3. 引导学生运用自主学习策略，提高学习效果。
教学内容：1. 自主学习的概念及其重要性。
2. 自主学习策略的种类及应用。
3. 自主学习过程中遇到的问题及解决方法。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师简要介绍自主学习的概念，引导学生认识到自主学习的重要性。
2. 学生分享自己对自主学习的理解和体会。
二、自主学习策略探究（15分钟）1. 教师介绍自主学习策略的种类，如目标设定、时间管理、监控调整等。
2. 学生分组讨论，每组选择一种自主学习策略进行探究。
3. 各组汇报探究成果，分享自主学习策略的应用心得。
三、自主学习过程中遇到的问题及解决方法（15分钟）1. 教师引导学生思考在自主学习过程中遇到的问题，如缺乏动力、自律性差等。
2. 学生讨论解决这些问题的方法，如制定学习计划、寻找学习伙伴等。
3. 教师总结解决问题的方法，并提供相关建议。
四、课堂小结（5分钟）1. 教师总结本节课的主要内容，强调自主学习的重要性。
2. 学生分享自己的学习收获，并表示将在今后的学习中积极运用自主学习策略。
教学评价：1. 观察学生在自主学习过程中的表现，评价其独立思考、自主探究的能力。
2. 收集学生的学习心得，评价其对自主学习策略的理解和应用能力。
3. 通过课后访谈或作业检查，了解学生对课堂内容的掌握情况。
综上所述，本节课旨在引导学生认识自主学习的重要性，学会运用自主学习策略，提高学习效果。
通过课堂讨论、小组合作等形式，激发学生的学习兴趣，培养其独立思考和自主探究的能力。
在教学过程中，教师需关注学生的学习情况，及时提供指导和帮助，确保教学目标的有效达成。
Unit1教案：学生自主学习指南
Unit1教案：学生自主学习指南引言：由于现代化学习的方式和传统教学方式有所不同，越来越多的教育者开始倡导学生自主学习的理念。
自主学习不仅可以帮助学生锻炼自我管理和学习技巧，还可以提高他们的学术成就。
因此，在这篇文章中，我们将专门为您介绍一份学生自主学习指南，帮助学生更好地利用自身能力和资源来达到学业上的目标。
学生自主学习指南：一. 确定自己的学习目标在进行自主学习之前，首先要明确自己的学习目标。
这个目标应该是可行和具体的，例如，通过提高阅读速度来加强阅读能力或通过提高口语水平来加强语言表达能力。
这些目标能够带给你自信，鼓励你在学习过程中更进一步。
二. 像专业人士一样管理时间像专业人士一样管理时间就是要为学习安排足够的时间，确保在规定时间内完成预定的学习任务。
同时，还可以使用简单而可靠的时间安排工具，如日程表、备忘录、闹钟等，来帮助你更好地保持时间管理的纪律性。
三. 坚持阅读和记笔记的好习惯阅读和记笔记是有效学习的关键。
通过对资料的研究和总结，可以有助于了解学习主题的基本知识和关键信息。
同时，可以通过笔记来记录和总结自己的感想和观点，以帮助自己更好地理解上述知识和信息。
四. 利用各种资源学习是一个不断发现和学习新东西的过程。
在这个过程中，必须充分利用各种资源，如图书馆、互联网、电子书、专业书籍等。
这些资源能够帮助你更好地理解主题，并在必要时寻找支持证据。
五. 利用群组资源加入小组或其他形式的学习组织有利于相互帮助和学习支持。
在这个过程中，我们可以与同学分享思想和知识，并利用这些经验来加强个人的学习成果。
此外，还可以利用各种社交媒体、学术论坛和在线教育网站等资源来扩展自己的知识和经验。
六. 不断反思和改进反思和改进是成功自主学习的一部分。
在学习过程中，必须经常检查自己的学习进度和学习计划，发现问题、改进和修正计划，以保证符合个人和目标要求。
总结：学生自主学习指南希望为学生提供一个系统化的自主学习框架。
《自主学习理论》课件
个人自主学习能力提升的案例
个人自主学习能力提升的案例
李女士在工作中不断挑战自己，尝试新 领域和新技能，通过自主学习和努力， 实现了个人职业发展的突破。
案例二：李女士的自我挑战
案例一：王先生的阅读习惯
王先生通过培养阅读习惯，不断拓展知 识面和视野，提高自身综合素质和自主 学习能力。
THANKS
感谢观看
创设良好的学习环境
营造积极的学习氛围
建立积极、支持性的学习环境，鼓励学生之 间的合作与交流，减少竞争压力，增强学习 动力。
提供个性化的学习支持
根据学生的特点和需求，提供个性化的学习 资源和指导，帮助学生克服学习困难，增强
学习信心。
提供丰富的学习资源
要点一
多元化的学习材料
提供多样化的学习材料，包括教材、参考书、网络资源等 ，以满足不同学生的学习需求和兴趣。
促进个性发展
自主学习尊重学习者的个性差异，有助于促进学习者的个性发展和全 面发展。
自主学习理论的历史与发展
历史
自主学习理论可以追溯到古希腊时期的教育思想，如苏格拉底的“产婆术”。到了20世纪，随着认知心理学和建 构主义的发展，自主学习理论逐渐形成和完善。
发展
随着信息技术和网络教育的快速发展，自主学习理论的应用范围越来越广，为个性化教育和终身教育提供了重要 的理论支持和实践指导。同时，自主学习理论也在不断发展和完善中，以适应教育改革和发展的需要。
02
自主学习理论的核心概念
自我激励与目标设定
自我激励
自主学习者能够自我激发学习动力， 对学习持有积极态度，克服困难和挑 战。
目标设定
自主学习者能够明确设定学习目标， 并根据目标制定学习计划，保持学习 方向和进度。
自主学习01 教材内容 第三章 力学量与算符
自主学习01 教材内容第三章力学量与算符知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测重点难点通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。
§3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示[本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示[重点难点] 力学量的算符表示[本节内容]粒子处于波函数)(rψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定的几率分布,因而有确定的平均值.粒子处于归一化状态)(rψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()xd r r r xd r r r r 33ψψψψ⎰⎰**==(1)波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此,不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(rψ后,测得粒子的动量在p 到pd p+之间的几率为pd p 32)(ϕ,其中xd e r p r p i 323)()2(1)(⋅-⎰∞-∞+=ψπϕ (2)其逆变换为()()()p d r p i e p r 32321⎰∞+∞-⋅=ϕπψ (3)因此,可借助)(pϕ来间接计算动量的平均值 ⎰⎰*=>=<)()()(332p p p p d p d p p pϕϕϕ (4)把式(2) 的复共轭代入式(4),得()()()()()()p e i r pxd dp p e r pxd p r p i r p iϕψπϕψπ⋅*⋅*∇-==⎰⎰23333332121d (5)再利用式(3),得()()()r i r x d pψψ⎰∇-=*3 (6)这样,我们就找到一个直接用)(rψ来计算动量平均值的公式.可是,这时就出现了一种新符号—算符.令∇-= i pˆ,称为动量算符,则⎰*=xd r p r p 3)(ˆ)( ψψ (7)在经典力学中, 势能、动能、角动量、哈密顿量等都是坐标和动量的函数, 可推广式(1) 和(7) 到其它有经典对应的力学量. 引进坐标和动量算符∇-== i pr r ˆ,ˆ (8)有经典对应的力学量),(p r A是r 和p 的函数,只需把A 的表达式中的r 和p 用算符r r =ˆ和∇-= i pˆ代替,就构成了相应的可观察量的算符. 例如，势能算符为()r V V=ˆ、动能算符为222ˆ212ˆpmmT=∇-=、角动量算符为p r L ˆˆ ⨯=及哈密顿算符为)(2ˆ22r V m H +∇-=.一般而言,任何一个力学量A 的平均值可表示为⎰=>=<*)ˆ,(ˆ3ψψψψA x d AA (9)式中A ˆ为与力学量A 相应的算符.§3.2 算符的一般运算规则[本节要求] 掌握算符的一般运算法则 [重点难点] 算符的运算法则 [本节内容]1. 线性算符 对任意两个波函数1ψ和2ψ,凡满足下列运算规则的算符O ˆ,称为线性算符22112211ˆˆ)(ˆψψψψO C O C C C O +=+ (1)其中1C 和2C 是两个任意常数.量子力学中的算符不都是线性算符,但用来刻画力学量的算符则都是线性算符,这是态叠加原理的要求.例如,位置算符r r =和动量算符∇-= i pˆ都是线性算符.一个典型的非线性算符是平方根算符,这是由于22112211ψψψψC C C C +≠+ (2)又如取复共轭、时间反演也不是线性算符.2. 算符的基本运算单位算符：对任意波函数ψ,若ψψ=I ˆ,则称I ˆ为单位算符.算符相等：对任意波函数ψ,若ψψB Aˆˆ=,则称两个算符相等,B A ˆˆ=.算符之和：对任意波函数ψ,若ψψψψB A B A Cˆˆ)ˆˆ(ˆ+=+=,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之和.算符之和满足A B B A ˆˆˆˆ+=+ 加法交换律 (3)C B A C B Aˆ)ˆˆ()ˆˆ(ˆ++=++ 加法结合律 (4)算符之积：对任意波函数ψ,若)ˆ(ˆ)ˆˆ(ˆψψψB A B A C==,则称C ˆ为A ˆ与B ˆ之积.一般而言,算符之积不满足交换律,即A B B A ˆˆˆˆ≠ (5)算符的乘幂：对任意波函数ψ,算符A ˆ的n 次幂定义为nn A A A A A ˆˆˆˆˆ⋅⋅= (6)算符的函数：对任意波函数ψ,若)(x F 是x 的解析函数,则算符A ˆ的函数为()()()nnn AF n AF ˆ0!1ˆ0∑∞== (7)3. 算符的复共轭、转置及厄米共轭 定义一个量子体系的两个任意的波函数ψ与ϕ的标积为⎰*=ϕτψϕψd ),( (8)显然),(),(),(),(),(),(),()*,(0),(2211221122112211ϕψϕψϕψψϕψϕψϕϕψψφϕψψψ**+=++=+=≥c c c c c c c c (9)(1) 算符的复共轭：算符O ˆ的复共轭是把O ˆ的表达式中所有复量换成其共轭复量.例如坐标表象中xx x p x i p xi p-=∂∂=∂∂-=*,所以pp ˆ -=* (10)(2) 算符的转置：算符O ˆ的转置算符O ~ˆ定义为），（），（*ˆ*~ˆψϕϕψO O = (11)即⎰**=ψτϕϕτψO d Od ˆ~ˆ例如x x∂∂-=∂∂~(12)因为ϕψϕψψϕxdx xdx ∂∂∞-∞+-∞-∞+=∂∂∞-∞+⎰⎰***设±∞→x 时,0→ψ条件满足,则 ϕψψϕxdx xdx ∂∂-=∂∂∞-∞+⎰⎰∞+∞-**(3) 算符的厄米共轭：算符O ˆ的厄米共轭算符+O ˆ定义为),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O=+ (13)由此可得）ϕψψϕψϕϕψ*+===O O O O ~ˆ,(*)*ˆ*,()*ˆ,()ˆ,(即*+=O O ~ˆˆ (14)例如x x ppˆˆ=+.可证明++++=A B CC B A ˆˆˆˆˆˆ( ） (15)(4) 厄米(Hermite)算符:凡是满足下列条件的算符,称为厄米算符.O O ˆˆ=+,或 ),ˆ()ˆ,(ϕψϕψO O = (16)例如,x pˆ,x 都是厄米算符.两个厄米算符之和仍为厄米算符,但两个厄米算符之积却不一定是厄米算符,除非两者可以对易.这是因为：设A Aˆˆ=+,B B ˆˆ=+,则A B A B B A ˆˆˆˆˆˆ(==+++）,只当0ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[=-=A B B A B A 时,才有B A B Aˆˆ)ˆˆ(=+,即 B A ˆˆ为厄米算符.厄米算符有下列重要性质:定理 在任何状态下,厄米算符的平均值都是实数.反过来,在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.证明：首先证明：厄米算符的平均值都是实数.对任意态ψ,按厄米算符的定义,可知*)*ˆ,(),ˆ()ˆ,(>=<==>=<O O O OO ψψψψψψ下面证明其逆也成立,即在任何状态下平均值均为实数的算符必为厄米算符.按假设,在任意态ψ下,*>>=<<O O ,即()()()ψψψψψψ,ˆ*ˆ,ˆ,O OO ==设1ψ和2ψ是任意的,C 也是任意的,取21ψψψC +=,则())]ˆ,(),ˆ[(*)],ˆ(ˆ,[12122121ψψψψψψψψO O C O O C -=-分别取C=1和i,代入上式,然后相加、减,即得>>=<<>>=<<12122121,ˆˆ,,,ˆˆ,ψψψψψψψψO O O O此即厄米算符定义式所要求的.厄米算符的重要性还在于：实验上可以观测的力学量,当然要求平均值为实数.因此,相应的算符必然要求为厄米算符.§3.3 量子力学的对易式[本节要求] 掌握量子力学的对易式[重点难点] 量子力学中力学量算符的对易关系 [本节内容]1. 量子力学的基本对易关系αββαδ i px =]ˆ,[ (1)证明于下：ψψxx i px x ∂∂-= ˆψψψψxx i i x xi x px ∂∂--=∂∂-= )(ˆ即有()ψψ i x ppx x x =-ˆˆ由于ψ是任意波函数,所以i x p px x x =-ˆˆ类似地还可以证明i z p pz i y p p y z z y y =-=-ˆˆ,ˆˆ0ˆˆˆˆˆˆ=-=-=-z p p z y p p y x p px x x z z y y概括起来,就是αβαββαδ i x p px =-ˆˆ (2) 其中)ˆ,ˆ,ˆ()3,2,1(ˆ),,,()3,2,1(z y x p p p pz y x x ≡=≡=βαβα.引进对易子B A B A B Aˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[-= (3)则式(2) 可改写成基本对易式(1),凡是经典对应的力学量之间的对易式都可由此式导出.2. 对易式满足下列恒等式]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[A B B A -=0]ˆ,ˆ[=A A为平常的数）C C A(0],ˆ[=]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆˆˆ[C A B A C B A，，，+=+ (4)C B A C A B C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+= B C A C B A C B Aˆ]ˆˆ[]ˆˆ[ˆ]ˆˆˆ[，，，+=恒等式），，，，，，Jacobi B AC A C B C B A (0]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[]]ˆˆ[ˆ[=++3. 有关角动量算符的对易关系γαβγβαγαβγβαγαβγβαεεεL i l l p i pl x i x l ˆ]ˆˆ[]ˆˆ[]ˆ[ ===，，， (5)其中αβγε是 Levi-Civita 符号,其定义如下：⎪⎩⎪⎨⎧-+=的奇次交换是同指标中有两个或两个以上相的偶次交换是123,1,0123,1αβγαβγαβγεαβγ证明于下：首先证明角动量算符与坐标算符的对易式.由角动量算符的定义,pr l ˆˆ ⨯=,可知τγαγταεpx l ˆˆ=所以[][][]βτγαγτβτγαγτβαεεx p x x px x l ,ˆ,ˆ,ˆ==[][]{}τβγβτγαγτεp x x x p x ˆ,,ˆ+=()βτγαγτδε i x -=γαβγεx i =即γαβγβαεx i x l =]ˆ[，其次证明角动量算符与动量算符的对易式.因为[][][][]{}()ταβττγβαγττβγβτγαγβτγαγτβαεδεεεp i pi p p x p p x p p x pl z ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ==+==即有[]γαβγβαεpi pl ˆˆ,ˆ =最后证明角动量算符与角动量算符的对易式.由于[][][][]{}τργλρλτγβλραγτρλτγβλραγτβαεεεεp p x x p x p x p x px l l ˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ+==()τλγρργλτβλραγτδδεεp x i px i ˆˆ +-=()()τλβλγατγργβρλαγλργβλραγλτλβλγαγτεεεεεεεεp x px i p x px i ˆˆˆˆ-=-=利用βλαρβραλλργαβγδδδδεε-=,上式可化为[]()αββαβαp x pxi l l ˆˆˆ,ˆ-= (6)又τλγλτγεpx l ˆˆ=,此式两边同乘以αβγε,得()αββατλβλατβταλτλγλταβγγαβγδδδδεεεp x p x p x px l ˆˆˆˆˆ-=-== (7)由式(6) 和(7),得[]γαβγβαεl i l l ˆˆ,ˆ = (8)思考题1. 证明()[]x f i x f px ∂∂-= ,ˆ,()[]x xpxf i xf x f pˆ2,ˆ2222∂∂-∂∂-=2. 令,ˆˆˆy x l i l l ±=± 证明±±±=l l l z ˆ]ˆ,ˆ[ ,zz l l l l l ˆˆˆˆ22±-=±,[]zl l l ˆ2ˆ,ˆ =-+3. 证明[]0ˆ,ˆ2=pl α,[],ˆ2=r l α,[]0ˆ,ˆ=⋅p r l α,0ˆ,ˆ2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡l lα§3.4 厄米算符的本征值与本征函数[本节要求] 掌握厄米算符的本征值与本征函数的概念 [重点难点] 厄米算符的本征值与本征函数[本节内容]对处于ψ态的量子体系, 当人们去测量其力学量O 时, 一般而言, 可能出现各种不同的结果, 各自有一定的几率. 而对都用ψ描述其状态的大量的完全相同的体系, 进行多次测量的结果的平均值将趋于一个确定值. 每一次具体测量的结果, 围绕平均值有一个涨落. 平方涨落可定义为()()τψψd OOOOO 222ˆˆ-=-=∆⎰*(1)因为O 为厄米算符,O 必为实数, 因而O O -ˆ也是厄米算符.()ˆ22≥-=∆⎰τψd O OO(2)如果体系处于一种特殊的状态, 在该状态下测量力学量O 所得结果是完全确定的, 即平方涨落2=∆O,则这种状态称为力学量O 的本征态. 在这种状态下, 由式(2) 可见, 被积函数必须为零,即ψ必须满足()ˆ=-ψO O或ψψC O=ˆ,常数C 即为在ψ态下测量O 所得结果. 为下面讨论方便,记此常数为O , 则ψψO O=ˆ (3)式中O 称为算符O ˆ的本征值,ψ称为算符O ˆ的属于本征值O 的本征函数.若O 取分立值,则全部本征值构成分离谱；若O 连续地取值,则构成连续谱；O ˆ的本征谱也可能部分是分立谱,部分是连续谱.如果一个本征值对应f 个线性无关的本征函数,则称该本征值是简并的,其简异度为f .量子力学的一个基本假定是：测量力学量O 时,所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符O ˆ的本征值.1. 厄米算符的本征值为实数证明：式(3) 的两边左乘*ψ积分,得 ),()ˆ,(ψψψψO O= (4)根据厄米算符的定义),(),ˆ()ˆ,(ψψψψψψ*==O O O(5)比较式(4) 和(5) ,得*O O = (6)2. 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 证明：设O ˆ的本征值取分立值,其本征值方程为ll l k k k O O O O ψψψψ==ˆˆ (7)且lk O O ≠.利用ll O O =*得***=ll l O O ψψˆ (8)右乘kψ积分,得),(),ˆ(kl l k l O O ψψψψ= (9)利用厄米算符的特性),()ˆ,(),ˆ(kl k k l k l O O O ψψψψψψ== (10)从而),)((=-k l k l O O ψψ (11)因此,如kl O O ≠,则必须),(=k l ψψ若本征函数己归一化,则有lkk l δψψ=),( (12)3. 厄米算符的简并本征函数可通过线性组合使之正交归一 证明：设算符O ˆ的本征值nO 是nf 度简并的,即有),,2,1(,ˆn n n n f O O⋯==αψψαα(13)在此情况下,给定nO ,并不能把相应的nf 个本征态确定下来,而且一般而言,nf 个本征函数αψn 不一定彼此正交.令),,2,1(,1n n f n f a n⋯==∑=βψφααβαβ (14)显然,βφn 仍为O ˆ的本征函数,均属于本征值nO ,因为βααβαααβαβφψψφn n n f nn f n O a O O a O nn===∑∑==11ˆˆ (15)选择βαa ,使βφn 具有正交性,即要求ββββδφφ''=),(n n (16)这相当于)1(21)1(21+=+-n n n n n f f f f f 个条件,而系数βαa 共有2nf 个,当nf >1时,)1(212+〉n n n f f f ,因此,总可以找到一组nf 个βαa ,使),,2,1(n n f ⋯=βφβ彼此正交.实际上,当出现简并时,为了要把O ˆ的本征态确定下来,往往是用除O ˆ以外的其它某力学量的本征值来对体系的状态进行分类.此时,正交性问题可自动得到解决.这涉及到两个或多个力学量的共同本征态的问题.4.厄米算符本征函数的完备性和封闭性设)(r nψ是厄米算符O ˆ的属于本征值nO 的本征函数,即nn n O O ψψ=ˆ,则O ˆ的所有本征函数nψ构成完备的本征函数系.函数nψ的完全性是指,体系的任意波函数ψ都可以用n O 的本征函数系n ψ展开,即∑=nn n r C r )()( ψψ (17)其展开系数由正交归一条件确定.以)(*r mψ乘上式两边,再对自变量变化的整个空间积分,可得()()mnmnn n m n n nn n m m C C C C ===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑δψψψψψψ,,,即有()ψψ,n n C = (18)下面讨论本征函数系nψ的封闭性.将式(16)代回式(15) ,得∑⎰∑⎰∑'''='''==nn n nnn n nn d r r r r d r r r C r τψψψψτψψψψ)]()(*[)()(])()(*[()((19)利用δ函数的性质τδψψ'-''=⎰d r r r r )()()((20)比较式(19) 和(20),并由)(r 'ψ的任意性,即有 )()()(*r r r r n nn '-='∑δψψ (21)此即本征函数系nψ的封闭性关系.§3.5力学量完全集[本节要求] 掌握力学量完全集的概念 [重点难点] 力学量完全集的概念 [本节内容]1.力学量同时具有确定值的充要条件是它们的算符彼此对易 首先证明必要性若力学量A 和B 总是同时具有确定值,即它们有共同的完备的本征函数系,则0]ˆ,ˆ[=B A(1)设nψ是A ˆ和B ˆ共同的、完备的本征函数系,则nn n nn nB BA A ψψψψ==ˆˆ (2)任意波函数ψ可用完备集n ψ展开为∑=nnnCψψ (3)则][]ˆˆˆˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[=-=-==∑∑∑n n n n n nnnnnnnnA B B A CA B B A CB A CB Aψψψψ (4)由ψ的任意性,可知：0]ˆ,ˆ[=B A.其次证明充分性若力学量算符A ˆ和B ˆ对易,则它们必有共同的、完备的本征函数系,因而力学量A 和B 同时有确定值.设nψ是A ˆ的相应于本征值A n 的本征态,即nn nA Aψψ=ˆ (5)(a) 考虑A n 不简并情况,利用0]ˆ,ˆ[=B A,可知n n n n n n B A A B A B B A ψψψψˆˆˆˆ)ˆ(ˆ=== (6)即nBψˆ也是A ˆ的本征态,本征值为A n .按假定A n 不简并,所以n B ψˆ与n ψ至多差一常数因子,记为B n ,则nn n B B ψψ=ˆ (7)这样nψ就是A ˆ和B ˆ的共同本征态.本征值分别为A n 和B n .(b) 考虑A n 是nf 重简并的情形,即nn n n f A A ,,2,1,ˆ ==αψψαα(8)假定αψn 已正交归一化,考虑到)ˆ(ˆˆˆˆαααψψψn n n n B A A B B A == (9)即αψn Bˆ仍为A ˆ的本征态,本征值为A n ,因此,αψn B 最普通的表达式为∑'''=αααααψψn n B Bˆ (10)其中)ˆ,(ααααψψn n B B ''=可见,一般而言,αψn 还不是B ˆ的本征态.我们不妨把αψn 作线性迭加∑=ββαβαψφn n C (11)并有ααααβαααβαφψψφn n n nn n A A C AC A ===∑∑ˆˆ (12)即αφn 仍是A ˆ的本征态,而且对应本征值A n.试问αφn 是否可能又是B ˆ的本征态呢？即能否满足βββφφn n B B =ˆ呢？为此αααααβαααβαβψψφ'''∑∑==n n n B C BC B ,ˆˆ (13)而αααββββψφ'''∑=n n C B B (14)则αββαααβα''=∑C B B C (15)或)(=-''∑βαααβαααδC B B (16)这是βαC 的线性齐次代数方程,有非平庸解的充要条件是其系数行列式等于零,即det =-''ααβααδB B (17)左边是nn f f ⨯行列式,上式是βB 的nf 次幂代数方程.由于B B ˆˆ=+,即有*''=ααααB B ,可证明此nf 次代数方程的根是存在的.假定没有重根,将nf 个根),2,1(n f B ⋯=ββ分别代入βαC 的线性齐次代数方程,求出一组解),,2,1n f C ⋯=αβα（,即相应的波函数为∑==nf n n C 1ααβαβψφ (18)这样的波函数βφn 共有nf 个（β=1,2,…,nf ）,满足nn n n n n f B B A A ,,2,1,ˆ,ˆ ===βφφφφβββββ (19)即βφn 是我们要找的A ˆ和B ˆ的共同本征态.2. 力学量完全集设有一组彼此独立而且彼此对易的厄米算符集{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A ,它们的共同本征态为αψ,α实际上表示一组量子数.若给定一组量子数α之后,就能够确定体系的一个可能状态,则称{}⋯≡,ˆ,ˆˆ21A A A 构成体系的一组力学量完全集.体系的任何一个状态ψ均可用αψ展开,即∑=αααψψC (20)利用αψ的正交归一性,可知),(ψψαα=C (21)任意力学量A 在此态的平均值为∑∑∑∑=====><**αααβααβββααββαββααββαβαδψψψψψψA C A C C A C C A C C A A 2,*),()ˆ,()ˆ,( (22)由此可见,2αC 表示在ψ态下,测量力学量A 得到A α值的几率.展开系数C α也称几率幅.几点讨论：(1) 力学量完全集中包含有体系的哈密顿量时,完全集中各力学量都是守恒量,所以又称守恒量完全集.包括H 在内的守恒量完全集的共同本征态是定态,所相应的量子数是好量子数.不论ψ是什么态,在用守恒量完全集的共同本征态展开中,展开系数2αC 是不随时间改变的.(2) 构成力学量完全集的力学量应满足相互独立、彼此对易的条件,且这样的力学量的个数应等于体系的自由度数.§3.6 基本力学量的本征函数系[本节要求] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [重点难点] 掌握基本力学量的本征函数系的概念 [本节内容]1.坐标算符的本征函数系先考虑一维空间,坐标算符的本征方程为)()(ˆx x x xx x '''=ψψ (1)式中x '是算符xˆ的本征值,)(x x 'ψ是算符xˆ的属于本征值x '的本征函数.由于坐标空间中x x =ˆ,易见 )(x x x '-='δψ(2)即)()(ˆx x x x x x'-'='-δδ (3)本征函数系的正交归一条件)()()()()(*x x dxx x x x dx x x x x '-''=''-'-∞-∞+=∞-∞+⎰⎰''''δδδψψ(4)其中利用了δ函数的重要性质)()()(00x f dx xx x f =-∞-∞+⎰δ算符xˆ的本征谱是连续谱,不是平方可积的,因此只能归一化为δ函数. 对三维空间,()z y x ,, 的共同本征函数系为)()()()()()()(ˆz z y y x x r r r r r r r r r r '-'-'-='-='='''δδδδψψψ(5)2.动量算符的本征函数系先考虑一维情形.动量算符x i px ∂∂-= ˆ的本征方程为)()(ˆx p x pxxp x p x ψψ= (6)其解为xp ipxx Aex=)(ψ采用δ归一化⎰⎰'-=∞-∞+=∞-∞+-')'()()(*)'(2x x xp p i pxx p p p dx eAdx x x x x δψψ则21)2(1 π=A归一化的本征函数为xp ipxx e x21)2(1)(πψ= (7)对三维情形,()z y xp ppˆ,ˆ,ˆ 的共同本征函数系为r p i ppper r p r p⋅==23)2(1)(),()(ˆπψψψ (8)3.角动量算符的本征函数系 角动量算符的定义为∇⨯-=⨯=r i p r l ˆˆ,其三维直角坐标系中的分量表达式为()z y x x x i l ,,3,2,1,,,ˆ=∂∂-=γβαεγβαβγα (9)球坐标系中,利用直角坐标与球坐标的关系xy tgzy x z z y x r r z r y r x 12221222,cos,cos ,sin sin ,cos sin --=++=++====ϕθθϕθϕθ (10)并利用复合函数的微商法则,可得：ϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂-∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin sin 1cos cos 1cos sin r r x xx rx rxϕθϕθϕθϕθϕϕθθ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin cos 1sin cos 1sin sin r rryy ry ryθθϕϕϕθθ∂∂-∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂sin 1cos rrzz rz rz推导上述公式（如计算x r∂∂）时,应采用r,θ和φ与x,y,z 的关系,而不是x,y 和z 与r,θ和φ的关系,因为y,z 与x 无关,而θ,φ与x 有关.从而)cos (sin ˆϕϕθθϕ∂∂+∂∂=ctg i l x)sin (cos ˆϕϕθϕϕ∂∂-∂∂-=ctg i l y (12) ϕ∂∂-=i l z ˆ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂-=++=22222222sin 1)(sin sin 1ˆˆˆˆϕθθθθθ z y x l l l l (13)(1) 角动量子分量z l ˆ的本征函数系z l ˆ的本征值方程为)()()(ˆϕφϕϕφϕφ∂∂-== i l l z z (14)解之得ϕϕφz l iAe=)( (15)由于)(ϕφ在空间各点可微.所以)(ϕφ为ϕ的连续函数.考虑到()πϕθ2,,+r 与()ϕθ,,r是空间同一点,故由)(ϕφ的连续性,得)()2(ϕφπϕφ=+ (16)即ϕπϕz z l il iAeAe=+)2(从而12=πz L ie由此得,2,1,0,±±==m m l z (17)A 由归一化条件122=⎰ϕϕφπd ）（确定为π21=A (18)z l ˆ的属于本征值 m L z =的归一化本征函数为ϕπϕφim m e21)(=(19)(2) 角动量平方算符⎪⎭⎫ ⎝⎛z l l ˆ,ˆ2的共同本征函数系 ),(),(]sin1)(sin sin 1[22222ϕθλϕθϕθθθθθY Y =∂∂+∂∂∂∂- (20)令)()(),(ϕφθϕθm Y Θ= (21)代入方程(19),得()πθθλαθθθθ≤≤=Θ-+Θ0,0)sin()(sin sin 122m d d d(22)令θζcos = ()1≤ξ,则上式化为)1(])1[(222=Θ--+Θ-ζλζζζmd d d d (23)或)1(2)1(22222=Θ--+Θ-Θ-ζλζζζζmd d d d (23')此即为连带勒让德（associated Legendre ）方程,在1≤ζ（或0≤θ≤π）范围中,方程有两个正则奇点ξ=±1,其余各点均为常点.可证明() ,2,1,0,1=+=l l l λ (24)情况下,方程有一个多项式解（另一个解为无穷级数,即连带勒让德函数lm p ml ≤),(cos θ (25)它在1≤ζ范围中是有界的,是物理上允许的解.利用正交归一性公式'')!()!()12(2sin )(cos )(cos 0llmlml m l m l l d pp δθθθθπ-++=⎰ (26)可得一个归一化波函数)(),(cos )!()!(212)1()(l m p m l m l l ml mlm ≤+-+-=Θθθ (27)则''sin )()(ll lm ml d δθθθθ=Θ'Θ⎰ (28)利用mlmmlp m l m l p )!()!()1(+--=-,可证lmmm l Θ-=Θ-)1(, (29)这样()l m ep m l m l l Y im m l mlm ≤+-+-=,)(cos )!()!(412)1(),(ϕθπϕθ (30)它们具有性质m m ll m l m l lm mlm d d Y Y Y Y '-*=-=⎰⎰δδϕθθϕθϕθππϕθϕθ'''sin ),(),(02),()1(),(,* (31)且),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y l += (32)),(),(ˆϕθϕθlm lm z Y m Y l =l l l l m l ,1,,1,,,2,1,0-+--==即),(ϕθm Y 是zl l ˆ,ˆ2的共同本征函数,2ˆl 的本征值为2)1( +l l ,z l ˆ的本征值为 m .l 称为轨道角动量量子数,m 称为磁量子数.在给定l 的情况下,m 可以取()12+l 个不同值,即有()12+l 个态,因此对2ˆl 而言,),(ϕθlm Y 是()12+l 重简并的,而lm Y 正是用z l ˆ的本征值来对态进行分类。
自主学习01 教材内容 第二章 波函数与薛定谔方程
自主学习01 教材内容第二章波函数与薛定谔方程知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；明确波函数的意义。
2.理解量子力学的两个基本原理（测不准原理和态迭加原理）的内容，并明确它们从不同侧面反映了微观粒子波动性的本质。
s3.明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
4.领会一维定态的求解方法以及一维定态的基本性质。
5.领会束缚态、一维散射态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振6.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、势、线性谐振子[本章教学难点]明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
掌握定态问题的求解方法，一维定态问题的一般性质。
2.1薛定谔方程的引进[本节要求]掌握一维势箱中粒子的薛定谔方程的求解方法及部分物理量的计算 [重点难点]1． 薛定谔方程的建立 2． 薛定谔方程的求解的过程 3． 物理量的计算 [本节内容]在经典力学中, 力学体系在t 时刻的状态由其坐标r 和相应的动量p 或速度v 决定, 其运动状态随时间的变化规律遵从牛顿运动方程. 如果我们知道力学体系的初始状态, 即可从牛顿方程求出体系在任一时刻的运动状态. 而微观粒子的量子态用波函数),(t r ψ描述,一旦),(t rψ确定,粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率都完全确定, 那么量子态),(t rψ怎样随时间演化以及在各种具体情况下如何求出波函数呢? 薛定谔（E.Schrodinger,1926）提出的波动方程成功地解决了这个问题.下面从一个最简单的途径来引进这个方程.先讨论自由粒子情况.自由粒子能量与动量之间的关系是m p E 22=(1)由德布罗意关系,粒子的能量E 和动量p与跟粒子运动相联系的波的角频率ω和波矢k 之间有k p E==ω(2)也就是说,与具有一定能量E 和动量p 的粒子相联系的是平面单色波()()()()()Et r p i tr k i p ee t r -⋅-⋅==2/32/32121,ππψω (3)由此式可得ψψE t i =∂∂,ψψp i =∇-,ψψ222p =∇- (4)利用式(1),可以得出0)2()2(222=-=∇+∂∂ψψm p E m t i(5)对自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即许多平面单色波的叠加p d e p t r Et r p i 3)(23)()2(1),(-⋅⎰∞-∞+=ϕπψ (6)其中m p E 22=.可证 p d Ee p t i Et r p i 3)(23)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∂∂ϕπψp d e p p Et r p i 3)(22322)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∇-ϕπψ所以0)2)(()2(1)2(3)(22322=-∞-∞+=∇+∂∂-⋅⎰p d e m p E p m t i Et r p iϕπψ可见ψ仍满足方程(5) .所以式(5) 是自由粒子情况下波函数满足的方程.值得注意的是,如在经典能量动量关系(1)中作替换∇-=→∂∂→i p p ti E ˆ (7) 然后作用于波函数,就可得方程(5).其次考虑在势场)(r V中运动的粒子,按经典粒子的能量关系式 ()r V m p E+=22 (8)对上式作替换(7),并作用于波函数上,即得薛定谔方程),(ˆ),()(2),(22t r H t r r V m t r t i ψψψ≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=∂∂ (9)应该强调,薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,但这个方程是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它,其正确性,归根到底只能靠实践来检验. 另一方面, 薛定谔方程只含对时间的一阶导数, 为何可以描述波动过程呢? 在经典力学中, 波动方程022=∇-u a u tt 有周期性的解, 而热传导方程022=∇-u a u t 则描述不可逆过程, 没有周期性的解. 实际上,()t r k A u ω-⋅=cos 或()t r k A ω-⋅sin 都不满足热传导方程, 这是因为(以余弦函数为例)()()()πωωπωωωω+-⋅=-⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-⋅=∂∂=t r k A k t r k A k u t r k A t r k A t u u tcos cos 23cos sin 222 (10)这样t u 使相位增加23π,u 2∇使相位增加π,可见周期函数不可能满足热传导方程. 薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数, 但在t ∂∂ψ前面出现2πi e i =,正好使两者相位一致, 因而有周期性的解, 而且薛定谔方程中i 因子的出现, 使得波函数一般是复函数. 关于薛定谔方程的两点讨论: 1.定域的几率守恒对薛定谔方程(9)取复共轭,并注意到V V =*,得*)2(22ψψV m t i +∇-=∂∂-* (11))11()9(⨯-⨯*ψψ,得*)*(2*)*(2)*(2222ψψψψψψψψψψ∇-∇⋅∇-=∇-∇-=∂∂m mt i (12)令),(),(*t r t rψψρ= (13)*)ˆˆ*(21*)*(2ψψψψψψψψp pm m i j -=∇-∇-= (14)则式(12) 化为0=⋅∇+∂∂j t ρ(15)在空间闭区域V 中对上式积分,并根据高斯（Gauss ）定理,得⎰⎰⋅-=S V s d j x d dt d 3ρ (16)上式左边代表在闭区域V 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增加,而右边代表单位时间内通过封闭曲面S 而流入V 的几率（或粒子数）.所以j具有几率流密度的意义.在式(16)中,让∞→V（全空间）.对任何实际的波函数,是满足平方可积条件的,即∞→r 时,()εψ+-∝23r （0>ε）.可证明,式(16)右边面积分趋于零.所以),(32=∞-∞+⎰x d t r dt d ψ从此式可见=∞-∞+⎰x d t r 32),( ψ常数 (与时间无关) (17)这与预期的一样,在全空间找到粒子的几率的总和应不随时间改变.波函数的归一化不随时间而改变.若在初始时刻波函数是归一化的,则在以后任何时刻都是归一化的.2.定态与能量本征值方程讨论一种常见而且极重要的情形,即势场V(r)不显含t.此时,薛定谔方程存在下列形式的解)()(),(t f r t rψψ= (18)代入薛定谔方程,分离变数后,得E r r V m r dt df t f i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=)()(2)(1)(122 ψψE 是既不依赖于t,也不依赖于r的常数,这样E i t f dt d -=)(ln所以iEt e t f -~)(.因此,得到形如下式的特解Etie r t r -=)(),(ψψ (19)其中)(rψ满足下列方程 ())()()(2ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-≡ (20)此式称为不含时间的薛定谔方程.形如(19)的波函数描述一个简谐振动,它的角频率是E =ω,按德布罗意关系,E 就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量.如果粒子初始时刻(t=0) 处于某一能量本征态()()r r Eψψ=0,,其中()r E ψ满足方程(20),若()r V 或Hˆ不显含时间t,容易验证()()()iEt r t r E -=exp ,ψψ满足含时薛定谔方程(9) ,并与初始时刻一样,()t r ,ψ也满足不含时薛定谔方程(20).也就是说,体系处于形如式(19)所描述的状态时,能量具有确定值.我们把这种具有确定能量值的状态称为定态,方程(20) 称为定态薛定谔方程.容易证明,粒子处于定态时,粒子在空间的几率密度()rρ、几率流密度()r j及任何不显含时间t 的力学量的平均值都不随时间而改变.数学上,把一个算符F ˆ作用于一个函数上而得到一个常数f 乘以该函数的方程,称为f 或算符F ˆ的本征方程,常数f 称为算符F ˆ的本征值.因此,定态薛定谔方程也称为能量或哈密顿算符H ˆ的本征值方程.设ψn 是体系哈密顿算符H ˆ的属于本征值E n 的本征函数,则体系的定态波函数为()()t iE n n ne r t r -=ψψ, (21)它也是含时薛定谔方程(9) 的特解,而含时薛定谔方程(9) 的一般解可表示为()()()t iE n n nn n n ne r c t r c t r -∑∑==ψψψ,, (22)它是若干定态波函数的叠加,按态叠加原理,当体系处于()t r , ψ态时,发现粒子处于()t r n ,ψ的几率为2nc .既然体系处于()t r ,ψ态时,其能量可以取各种不同的值,所以波函数(22) 不是定态波函数.在这种态下,粒子的几率密度()rρ和几率流密度()r j 都要随时间改变.除守恒量外,任何不显含时间t 的力学量的平均值也要随时间改变. 思考题1. 设()()()r c r c r E E 21210,ψ+ψ=ψ,问()0,r ψ是否为定态, 为什么? 求()t r , ψ. 答: ()0,r ψ不是定态.()()()t E iE t E iE e r c e r c t r 221121, ψ+ψ=ψ-.2. 计算r e ikr =ψ1和e ikr-=ψ2相应的几率流密度, 并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.答:re r v mr k j 221==, 描述向外传播的球面波; r e r v j22-=, 描述向内传播的球面波.3. 粒子在一维势场中运动, 若所处的外场均匀但与时间有关, 即()()t V t x V =,,试用分离变量法求解一维薛定谔方程.答:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+λ-μλ±⎰=ψt ds s V t i x ieAe t x 02,, 其中A 和λ为常数, 由归一化条件和初始条件确定.2.2 波函数的统计诠释[本节要求]认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；波函数的平方给出了位置的测量结果；明确波函数的意义。
引导学生自主学习的教案
引导学生自主学习的教案教案：引导学生自主学习一、教学目标通过本课的教学，学生将能够：1.了解自主学习的定义及重要性。
2.掌握自主学习的方法和技巧。
3.培养并提升自主学习的能力。
二、教学准备1.教师准备：• 手机或电脑• 工作PPT• 参考教材和教辅资料2.学生准备：• 学习工具（笔、纸、电子设备等）• 学习资料（教材、笔记等）三、教学过程一、导入（5分钟）教师通过一个有趣的问题或事例，引起学生对自主学习的兴趣和思考。
二、理论讲解（15分钟）教师对自主学习的定义和重要性进行讲解，并对学生进行启发式提问，引导学生思考自主学习对个人发展的影响。
三、方法指导（20分钟）1.教师介绍几种常用的自主学习方法，比如：阅读、思维导图、小组讨论等，并提供实例加以说明。
2.教师引导学生通过阅读和思维导图相结合的方式进行自主学习的实践，让学生在实际操作中体会到方法的有效性。
四、技巧训练（30分钟）1.教师组织学生进行小组讨论，学生可以选择自己感兴趣的主题进行深入探讨，并将讨论结果以展示形式呈现给全班。
2.教师通过点评和鼓励，激发学生学习的积极性，并提出一些学习技巧和策略，帮助学生改进自主学习的方法。
五、自主学习实践（40分钟）教师安排学生根据自己的兴趣爱好选择一个课外学习的主题，通过自主学习的方式独立完成一个小项目，并要求学生在一定时间内向班级进行展示。
六、总结和反思（10分钟）1.教师引导学生回顾学习过程，总结自主学习的经验和收获，并鼓励学生善于反思，不断提高自主学习的能力。
2.教师对学生的学习成果进行肯定，并提出进一步提高的建议和指导。
七、作业布置（5分钟）1.教师布置相应的作业任务，要求学生继续进行自主学习的实践，并书写一篇关于自主学习经验的心得体会。
2.教师提供学习资源和参考资料，供学生进一步学习和研究。
四、教学反思通过本节课的教学，学生在教师的引导下，通过自主学习实践提高了学习的主动性和积极性。
学生通过小组讨论和个人独立学习的方式，培养了自主学习的能力，并通过展示和总结，不断提高自身的学习水平。
电子课件-《自主学习》(第四单元第一课
电子课件-《自主学习》（第四单元第一课）一、课程概述第四单元第一课的主题是《自主学习》。
在这节课中，我们将探讨学习的自主性以及如何培养自主学习的能力。
通过学习本课，我们可以提高学习效率和学术成绩，同时也能够培养自己的自主意识和学习动力。
二、学习目标1.了解自主学习的定义和重要性；2.掌握自主学习的基本原则和方法；3.提高自身的自主学习能力；4.培养自主意识和学习动力。
三、自主学习的定义自主学习是指学习者在独立思考和自主选择的基础上，积极主动地获取、应用和评价知识的一个过程。
自主学习不仅是学习者获取知识的一种方式，更是一种学习的态度和习惯。
四、自主学习的重要性自主学习的重要性体现在以下几个方面：1. 提高学习效率自主学习能够帮助学习者更好地掌握学习内容，提高学习效果。
通过自主选择学习资源和制定学习计划，学习者可以更加有针对性地获取所需知识，并合理安排学习时间，从而提高学习效率。
2. 培养学习能力自主学习培养学习者的自主能力和解决问题的能力。
通过自主选择学习内容和方法，学习者可以培养自己的独立思考和创新能力，提高问题解决的能力。
3. 开拓视野自主学习可以帮助学习者开拓视野，拓宽知识面。
通过自主选择学习资源和拓展学习内容，学习者可以接触到更多的新领域和新知识，提高自己的综合素质。
4. 培养自主意识和学习动力自主学习可以培养学习者的自主意识和学习动力。
通过自主选择学习目标和制定学习计划，学习者可以更好地认识自己的需求和潜力，激发自己的学习动力，增强学习的主动性和积极性。
五、自主学习的基本原则自主学习有以下几个基本原则：1. 自主选择学习者应当自主选择学习内容和学习方法。
通过了解自己的需求和偏好，学习者可以选择适合自己的学习资源和学习方式，以提高学习效果。
2. 自主思考学习者应当发挥自己的主观能动性，独立思考问题。
通过自主思考，学习者可以加深对知识的理解和运用，提高自己的学习能力。
3. 自主评价学习者应当对学习过程和学习成果进行自主评价。
人教版六年级数学上册教材的学生自主学习
人教版六年级数学上册教材的学生自主学习自主学习是一种学习方式，它让学生能够根据自己的兴趣、需求和能力，自主选择学习资料、学习方法和学习进度，培养主动学习的能力。
在人教版六年级数学上册教材中，学生也可以通过自主学习的方式提高数学水平。
本文将介绍一些适合学生自主学习数学的方法和技巧。
首先，学生可以借助教材中的配套练习册进行自主学习。
练习册中的题目通常与教材内容相对应，根据学生的不同水平，可以选择适合自己的题目进行练习。
同时，学生可以利用练习册中的答案和解析，检验自己的答案是否正确，并理解解题思路。
其次，学生还可以通过其他参考书籍进行自主学习。
人教版的教材虽然内容详尽，但有时候学生可能需要更多的练习或者更深入的理解。
选择与教材内容相符的参考书，可以帮助学生更好地理解学习内容，扩展知识面。
除了书籍，现代科技也为学生提供了更多的学习资源。
学生可以通过互联网搜索相关的学习资料，如数学视频教程、网上练习题等。
但在使用互联网资源时，学生要注意选择正规可信的网站，避免受到误导。
另外，学生可以组织学习小组，进行集体学习和讨论。
在小组内，学生可以相互分享学习心得、解题思路和方法，共同解决学习中的问题。
通过合作学习，学生能够互相激励，提高学习效果。
此外，课外辅导班也是提高数学水平的好途径。
在课外辅导班中，学生能够接触到更多的数学知识和解题技巧。
同时，辅导班的老师也能够根据学生的水平和需求，进行有针对性的辅导和指导。
综上所述，人教版六年级数学上册教材的学生可以通过自主学习的方式提高数学水平。
自主学习需要学生有良好的学习计划和时间管理能力，同时要合理选择学习资源和方法，注重理解和实践。
希望学生们能够积极主动地进行自主学习，不断提高数学能力，取得优异的成绩。
第三章自主学习概述
第三章自主学习概述自主学习是指个体根据自身的兴趣、需求和能力主动进行学习的一种学习方式。
相对于传统的教师主导的学习模式，自主学习更加注重学习者的主体地位，鼓励学习者积极主动地参与学习过程，并根据自己的学习目标和方法进行自我管理和调节。
自主学习的重要特征之一是学习者的主动性。
学习者在自主学习中扮演着积极的角色，发挥主体作用。
他们具有自我调控学习的能力，能够根据自己的学习情况和需要制定学习目标和计划，并对学习过程进行监控和评估。
自主学习还鼓励学习者积极主动地获取和处理新的信息、发展自己的学习策略并与他人进行合作和交流。
自主学习还强调学习者的个体差异和多样性。
每个学习者都具有自己的兴趣、需求和能力，因此自主学习应该根据学习者的特点和需求制定个性化的学习方案。
学习者可以选择自己感兴趣的学习内容和方式，并能够根据自己的学习目标和能力进行调整和改进。
在自主学习中，学习者还要具备一定的学习策略和技能。
学习策略包括信息处理策略、记忆策略、问题解决策略等，学习者通过学习策略能够更好地组织和管理学习过程，并提高学习的效果。
学习技能则是指学习者通过学习过程中获得的技能和知识，如信息检索、学习技术、学习方法等。
这些技能和知识可以帮助学习者更好地适应不断变化的学习环境，并开展自主学习的实践。
自主学习对于学习者的发展具有重要意义。
通过自主学习，学习者能够培养自主思考、解决问题和创新的能力。
自主学习还能够提高学习者的学习动机和学习兴趣，增强学习者的学习能力和学习自信心。
自主学习还能够培养学习者的自我管理和自我调节能力，提高学习者的自主学习能力。
在实践中，教师可以通过创设有利于学生自主学习的学习环境和学习机会，如提供多样化的学习资源和学习任务，鼓励学生参与学习小组或社区活动，开展学习分享和合作等。
同时，教师还应该提供指导和支持，帮助学生理解和掌握自主学习的理念和技能。
总而言之，自主学习是一种重要的学习方式，强调学习者的主动性和自主性，鼓励学习者根据自己的兴趣和需求进行学习。
引导学生自主学习的教案
引导学生自主学习的教案第一部分：教学目标本教案旨在引导学生自主学习，通过提供适当的学习资源和指导方式，培养学生的自主学习能力，以便他们能够在学习过程中独立思考、自主解决问题，并成为积极主动的学习者。
具体教学目标如下：1. 帮助学生理解自主学习的概念和重要性；2. 提供学习资源和学习指导，培养学生主动寻找信息和解决问题的能力；3. 培养学生的学习动机和学习兴趣，激发学生的学习潜力；4. 培养学生的批判性思维和创新能力。
第二部分：教学准备1. 确定适合学生自主学习的主题或课程内容；2. 收集和整理相关学习资源，包括书籍、视频、网络资料等；3. 准备学习指南，包括明确的学习目标和任务要求；4. 设计学习评估方式，以便对学生的学习成果进行评价。
第三部分：教学过程1. 提出学习问题在学习开始之前，向学生提出一个或多个开放性的学习问题，让学生自主思考和探索。
例如，如果是关于历史的课程，问题可以是：“为什么发生了某个重要历史事件？”通过这样的问题，学生将被引导进入学习的主题。
2. 提供学习资源为了帮助学生独立学习，提供适当的学习资源是至关重要的。
教师可以为学生提供相关的书籍、文章、视频、网页链接等，以满足学生在学习过程中获取信息的需求。
此外，还可以引导学生运用图书馆、互联网等资源进行深入的研究。
3. 制定学习计划学习计划对学生的自主学习至关重要。
教师可以与学生一起制定一个明确的学习计划，包括学习目标、学习任务和学习进度安排。
这将帮助学生管理好自己的学习时间，以达到更好的学习效果。
4. 进行学习活动学生在教师的指导下进行学习活动。
这些活动可以包括阅读文献、观看视频、进行实地考察等。
另外，教师可以鼓励学生在学习过程中进行讨论、合作和分享。
这将激发学生的思维，促进他们的学习。
5. 学习评估在学习活动结束后，教师需要对学生的学习成果进行评估。
这可以通过写作业、展示成果、进行小组讨论等方式来进行。
同时，教师也应该对学生的学习过程进行评估，例如学习笔记、参与度等。
空间向量基本定理新教材 空间向量 选择性必修一
→ ＋AD
→ ＋AA1
)
＝23
→ AB
＋16
→ AA1
－13
→ AD
，
→ 所以|MN |＝
49|A→B|2＋316|A→A1
|2＋19|A→D|2
＝
21 6
a.
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第一章 空间向量与立体几何
34
→→→ 1．若 O，A，B，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间
的一个基底，则( )
→ 为 B1B 的中点，则|MN |＝( )
√A．
21 6
a
B．
6 6
a
C．
15 6
a
D．
15 3
a
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第一章 空间向量与立体几何
33
解析：因为M→N
＝A→N
－A→M
＝A→N
－13
→ AC1
＝A→B
＋B→N
－13
→ (AB
＋A→D
→ ＋AA1
)
→ ＝AB
＋12
→ AA1
－13
→ (AB
→→→ A．OA ，OB ，OC 共线
→→ B．OA ，OB 共线
C．O→B ，O→C 共线
√D．O，A，B，C 四点共面
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第一章 空间向量与立体几何
35
→→→ 解析：由OA ，OB ，OC 不能构成基底， 知O→A ，O→B ，O→C 三向量共面， 所以O，A，B，C四点共面．
底．
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第一章 空间向量与立体几何
12
促进学生自主学习的课件设计
CHAPTER
06
实际应用与案例分析
应用场景介绍
1 2 3
学校环境
学校是学生学习的主要场所，课件设计应适应不 同学科和年级的需求，为学生提供丰富的学习资 源。
在线教育平台
随着互联网技术的发展，越来越多的在线教育平 台涌现，课件设计需考虑平台的特性和用户习惯 ，确保良好的用户体验。
移动学习
移动设备的普及使得移动学习成为一种新的学习 方式，课件设计需适应移动设备的屏幕尺寸和操 作方式。
意见。
在线客服
02
提供在线客服支持，解答学生在使用课件过程中遇到的问题。
反馈渠道
03
建立有效的反馈渠道，鼓励学生提出建议和意见，不断优化课
件。
持续改进策略
数据分析
对学生的学习数据进行分析，发现学生的学习需求和偏好。
内容更新
根据学生需求和学科发展，定期更新课件内容。
功能升级
根据用户反馈和实际需要，不断优化课件功能，提升用户体验。
目标导向原则
总结词
目标导向原则要求课件内容紧密围绕 教学目标展开，确保学生在学习过程 中能够达到预期的学习效果。
详细描述
课件应明确列出每节课的学习目标， 并根据目标设计相应的学习活动和练 习，以便学生更好地掌握知识和技能 。
个性化原则
总结词
个性化原则强调课件应根据学生的个性化需求和学习风格进行设计，以满足不 同学生的需求。
04
课件交互设计
用户界面设计
界面布局
设计简洁、直观的界面布 局，方便学生快速找到所 需内容。
色彩搭配
选择舒适、对比度适中的 颜色，避免对学生视觉造 成过度刺激。
字体选择
选用清晰易读的字体，确 保学生在长时间使用课件 时不易疲劳。
小朋友自主学习教案
小朋友自主学习教案教案：小朋友自主学习导语：在教育中，自主学习是培养学生主动探索、自我管理和自我评价的重要方法。
本教案旨在帮助小朋友发展自主学习能力，培养他们的学习兴趣和学习技巧。
一、教学目标1. 帮助小朋友了解自主学习的概念，并明确自主学习的重要性。
2. 培养小朋友的学习主动性和独立解决问题的能力。
3. 提供一些实用的方法和技巧，帮助小朋友进行自主学习。
二、教学内容1. 什么是自主学习自主学习是指学生在学习过程中能够主动思考、自我组织、合理安排学习时间和学习内容的学习方式。
自主学习能够培养学生的学习兴趣，提高学习效果。
2. 自主学习的重要性自主学习能够帮助小朋友培养自我管理和解决问题的能力，提高学习效率和学习成果。
同时，自主学习还能激发小朋友的创造力和思维能力。
3. 如何进行自主学习3.1 设定学习目标小朋友在学习前应该明确自己想要学习的内容和学习目标，可以制定一个学习计划，将学习任务分解为小目标，逐一完成。
3.2 寻找适合自己的学习方法不同的小朋友有不同的学习方式和喜好，可以尝试不同的学习方法，如制作思维导图、记忆卡片等，找到适合自己的学习方法。
3.3 独立解决问题在学习过程中遇到问题时，小朋友可以先尝试自己解决，可以通过查阅资料、请教同学或向老师请教等方式找到解决方法，培养解决问题的能力。
3.4 自我评价和反思学习结束后，小朋友应该对自己的学习进行评价和反思，思考自己的学习收获和不足之处，并制定下一步的学习计划。
4. 教学指导4.1 提供必要的学习资源，如书籍、资料、互联网等，引导小朋友进行自主学习。
4.2 给予小朋友适当的学习挑战，激发他们的学习兴趣和学习动力。
4.3 定期组织学习交流，让小朋友相互学习、分享和反思。
三、教学活动1. 演讲比赛组织小朋友进行一次自主学习的主题演讲比赛，鼓励他们通过自主学习获取知识，提高演讲能力。
2. 学习小组将小朋友分成小组，每个小组选择一个学习主题，自主学习并进行成果展示。
少儿自主学习教案
少儿自主学习教案一、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：1. 了解什么是自主学习，明白自主学习的重要性；2. 掌握一些自主学习的方法和技巧；3. 改变对学习的态度和观念，养成积极主动的学习习惯。
二、教学重难点1. 自主学习的概念和重要性；2. 自主学习方法的灵活运用。
三、教学准备1. 教师准备：多媒体设备、课件、教材；2. 学生准备：学习笔记、教材。
四、教学过程1. 导入（5分钟）教师通过引入问题、分享经验或播放相关视频，激发学生对自主学习的兴趣，进而引入今天的主题。
2. 概念讲解（10分钟）教师通过讲解、举例等方式，向学生阐述自主学习的概念和重要性，让学生明白自主学习是培养终身学习能力的基石，并能够体会到自主学习的益处。
3. 自主学习方法介绍（15分钟）教师系统地介绍一些常用的自主学习方法，如制定学习计划、积极思考、自主解决问题、利用资源等。
通过图文并茂的方式，让学生了解这些方法并能够应用于实际的学习中。
4. 讨论与分享（15分钟）教师引导学生围绕自主学习展开讨论，鼓励学生分享自己在学习过程中使用了哪些自主学习方法，并分享了什么样的学习经验和收获。
同时，教师也可以提供一些案例让学生进行分析和讨论，加深对自主学习方法的理解和应用。
5. 实践活动（20分钟）教师组织学生进行一些实践活动，如小组合作完成一份自主学习计划，自主解决一道难题，利用多种资源展开学习等。
通过实践，让学生亲身体验到自主学习的乐趣和效果，并加深对自主学习方法的掌握与应用。
6. 总结（5分钟）教师与学生一起总结这节课学到的内容和经验，回答学生提出的问题，强调自主学习对个人学习和成长的重要性。
同时鼓励学生在今后的学习中积极主动地应用自主学习方法，提高学习效果。
五、课堂延伸为了更好地促进学生的自主学习能力发展，学校和家长可以采取以下措施：1. 学校设立自主学习角，提供多种学习资源供学生自主选择；2. 家长鼓励孩子在家中进行自主学习，提供良好的学习环境和支持；3. 学校和家长共同营造积极向上的学习氛围，引导学生养成良好的学习习惯。
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自主学习01 教材内容第一章量子论基础知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节本章习题本章自测知识框架[教学目标]量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性，德布罗意物质波[教学内容]十九世纪末于二十世纪初，经典物理学理论（牛顿力学（理论力学）、热力学、及统计物理学、电动力学）相当完善，另一方面遇到了主要的困难表现在以下几个问题上：黑体辐射问题，光电效应问题，原子的线状光谱及其规律问题，原子的稳定性问题，固体与分子的比热问题。
重点难点1、了解经典物理学的困难：黑体辐射、光电效应和原子的线状光谱及其规律。
2、理解光的波粒二象性，理解Planck能量子假设、Einstein的光量子理论和Bohr的原子量子论。
3、掌握Compton效应的内容和物理含义。
4、理解德布罗意的物质波思想，熟练掌握德布罗意波的表示和波长的计算方法1.1 黑体辐射与普朗克的能量子[本节要求]了解黑体辐射，理解普朗克能量子假设[重点难点]维恩公式，瑞利－金斯公式，普朗克的能量子假设[本节内容]所有落到（或照射到）某物体上的辐射完全被吸收，则称该物体为黑体。
一般来说，黑色物体吸收光波的能力比白色物体强。
自然界的物体都不是绝对黑体，任何物体的表面或多或少都具有一定的反射能力。
即使象煤烟这样很黑的物体，也只能吸收99%的入射光。
用人工方法可获得十分接近的黑体。
例如，在一空腔的壁上挖上一小孔，一束射入小孔的光很难再从腔中逃离，经过若干次反射，其能量很快被壁吸收，所以腔壁上“小孔”才具有黑体表面的性质。
为了定量地描述物体电磁辐射能力，通常使用辐射本领来定义，以(,)E Tν表示。
所以,在t ∆时间，从s ∆面积上发射出频率在ννν-+∆ 范围内的能量为：(,)E T t s νν∆∆∆。
我们也可以以(,)E T λ来描述。
⎰⎰⎰⎰===λλνλλλνλλννννd cT E d d cdT E d d d T E d T E 2),(),(),(),(2(,)(,)E T E T cνλν=(3⋅焦耳米秒)A. 黑体的辐射本领 实验测得黑体辐射本领(,)E T λ与λ的变化关系，在理论上：① 维恩（Wein ）根据热力学第二定律及用一模型可得出辐射本领322(,)h kTh E T ecνπνν-=2122c h c c h k π⎧=⎨=⎩（k 为Boltzmann 常数：K1038.123焦耳-⋅）② 瑞利―金斯（Rayleigh-Jeans ）根据电动力学及统计力学严格导出辐射本领222(,)E T kTcπνν=(,)u T ν仅当频率足够低，温度足够高时（10110()K s Tν-<<⋅）符合实验（即kT h ν>>）。
而在ν很高，即λ很小时，发生无穷，这即紫外灾难。
而维恩在低波符合，高波不符。
所以，这两个公式并不完全符合实验结果，但理论给出的结论是确切无疑的。
B ．斯忒藩－玻尔兹曼定律（Stefan-Beltzmann law ）他们发现，黑体辐射能量（单位时间，单位面积发射的能量）是与绝对温度4T 成正比4(,)E T d Tννσ=⎰（事实上，2482345ms K 1067.5ch 15k 2⋅⋅⋅==-焦耳πσ）。
显然，维恩或瑞利－金斯公式都得不出这样的结果。
C ．Wein 位移定律维恩发现，对于一确定的T 0，相应地有一波长λ，使00()E T λ达极大，而00T λ=常数。
即20011220.289810T T T K λλλ-====⋅⋅米这一定律也是无法用维恩或瑞利－金斯公式给出回答。
总之，在用经典物理学去解释有关黑体的辐射本领相关的实验规律时，是完全失败了。
为解释黑体辐射现象,普朗克（M.Plank,1900）提出了能量子假设,其核心思想是： 黑体上的振荡原子由带电谐振子组成，原子的振荡能量不是连续地取值，而是只能取一系列的离散值： ε，2ε，3ε，.........n ε, 而能量ε同频率成正比，即ε = h ν。
当振动的原子发射或吸收能量时，是以h ν为单元一份一份进行的，h ν称为能量子(quantum of energy)。
普朗克成功的关键是把黑体看作一组连续振动的谐振子,而振子的能量值只能取最小能量单位hν的整数倍.于是黑体与辐射场交换能量也只能从hν为单位进行.于是,黑体吸收或发射的辐射能量的方式是不连续的,只能“量子”式地进行,每个能量子的能量为hν.普朗克的能量子假说是与经典物理的基本观念根本对立的,因为经典振子的能量正比于振幅的平方,而振幅可以连续变化,所以振子的能量也就可以连续变化.因此这一假说是对经典物理学的革命性突破,导致了量子论的创立.遗憾的是,普朗克在推出公式以后的十多年里,还一直试图抛开,甚至不相信量子的概念,而把它纳入经典理论的框架内.尽管他费尽心血,采用了许多新的技巧,但是都没有成功.直到他自己提出的这个假设在越来越多的其它问题上取得了巨大成功后,才不得不确信他的假说是正确的。
1.2光电效应与爱因斯坦的光量子[本节要求]了解光电效应，理解Einstein的光量子理论。
[重点难点]光电效应的特点，爱因斯坦的光量子理论。
[本节内容]赫兹（G.Hertz,1888）发现用紫外线照射火花隙的阴极时放电现象较易发生.直到汤姆逊(J.J.Thomson,1896) 通过气体放电现象和阴极射线的研究发现电子之后,林纳德(P.Lenard,1902)用实验证明,这是由于紫外光照射金属表面时,大量电子逸出所造成的,这种现象称为光电效应.逸出的电子称为光电子。
左图为光电效应产生装置。
下图为光电效应过程演示图。
插入flash动画光电效应.swf实验表明, 光电效应显现下列特点:(1) 对于给定的金属材料做成的表面光洁的电极,存在一个确定的截止频率n0 ,它与金属材料的性质有关。
若照射光频率n<N0,则不论光的强度多大,都不会有光电子逸出。
< b>(2)光电子的最大动能与入射光的频率有关,而与入射光强度无关。
光电流的强度,即单位时间从金属电极单位面积上逸出的电子的数目与照射光强度成正比。
(3)当光的频率n≥n0时,不论光多微弱,都有光电子发射出来。
其中(3)是定量上的问题,而(1)和(2) 在原则上是经典理论无法解释的,这是因为按照光的电磁理论,光的能量只决定于光的强度,而与光的频率无关。
爱因斯坦（A.Einstein,1905）在普朗克能量子假说的基础上,提出光量子的概念,即光的能量是量子的,光的量子称为光子,而光子的能量和动量分别为(1)式中,是光传播的方向,.从能量与频率的关系及相对论的质能关系式E2=p2c2+m02c4,注意到光子的静止量m0=0,可得到动量与波矢的大小关系.当光射到金属表面上时,能量为hn的光子被电子所吸收。
电子把这一能量的一部分用于克服金属表面对它的吸引力,另一部分就是挣脱金属表面后电子的动能。
这样,爱因斯坦光电效应方程为(2)式中Ek为光电子的动能。
当Ek=0时,可得到光的截止频率(3)爱因斯坦的光量子假说成功地解释了光电效应。
但是,并不是一开始就为所有人接受,其中不乏当时有影响的科学家.密立根(liken,1914)就整整花了九年时间设计了更加精密的实验装置,试否定爱因斯坦方程,结果事与愿违,反尔用实验完全证实了这个方程。
由这个实验也测得h的值为6.57×10-34 J.s,与普朗克的h值非常接近,但测量值来自不同实验。
这对当时确立量子论的地位具有重要的作用。
1.3 康普顿效应[本节要求]掌握Compton效应的内容和物理含义[重点难点]对康普顿效应的解释[本节内容]康普顿（pton,1923）用X射线入射到原子质量较轻的靶上,发现散射后其波长随散射角的增加而增大,即康普顿效应. 下图是康普顿散射实验原理图（也可插入康普顿效应flash动画comptonexy.swf）实验结果可概括如下：1.散射光谱中除了有原入射光的λ0成分外，还有λ>λ0的成分。
2.波长偏移量随散射角的增大而增大。
3.散射物质的原子量越小，康普顿效应越显著，即散射光中波长改变成分的强度越大。
康普顿本人和德拜(P.Debye)同时基于光子的概念予以解释.假定电子是自由的(或弱束缚的),并在碰撞前静止,于是由能量守恒可得2220,201cvc m c m -+=+ωω (1)由动量守恒可得ϕθωωcos 1cos 0220'cvv m cc -+=+ (2)ϕθωsin 1sin 220,cvv m c-=(3)由以上三个方程,消去ϕ和电子速度v 后可得2sin2'20'θωωωωcm =- (4)又ω=2πc/λ,就得康普顿散射公式2sin420'θπλλλcm =-=∆ (5)此式表明,散射波长λ΄随散射角θ的增加而增大,与实验结果符合.cm c 04 πλ=称为静质量m 0的粒子的康普顿波长,并能用作粒子大小的量度.康普顿公式中含有普朗克常数h,这是经典物理学无法解释的.康普顿散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持.此外康普顿实验还证实了: (1)普朗克－爱因斯坦关系νh E =,kp=是正确的.(2)在微观的单个碰撞事件中,动量及能量守恒定律仍然是成立的.“微观的单个碰撞事件中,动能及能量仍然成立”的结论在后来发现的 “正负电子对湮灭” 现象中也得到了证实.安德逊（C.D.Andersun,1932）在宇宙射线中观察到正电子,其质量与电子相同,电荷则同值异号.一个正电子在经过物质时将与原子碰撞而失去大部分能量,逐渐减速,然后可能被某个原子捕获,最后与一个е¯一道湮灭.在适当的条件下,也可能与一个е¯形成与氢原子类似的电子偶素,然后才湮灭.电子对湮灭时,考虑到动量守恒,至少要产生两个γ光子.e ＋+е¯→n γ,n=2,3,…在产生两个光子的情况下,两光子的动量数值相同,但方向相反.设产生的光子角频率为ω,则按能量守恒,有2022cm =ω （m 0为电子静质量） (6)即波长为0243.02Amch c===ωπλ (7)与电子的康普顿波长相同,并与实验观测一致.[思考题]1. 量子统计与经典统计有什么不同？答： 如果有若干个原子处于同一个定态并且每一个原子都有可能跃迁到某几个定态标准的量子力学原则上不能预言原子跃迁的先后次序也不可能确定地预言原子会跃迁到哪一个定态去这就是微观事件的统计决定性只有统计性质概率期望值等是确定的可以预言的而对微观性质的实验测量也只在统计性质期望值上显示出规律性注意统计性质并不意味着单个事件一定是随机的不排除某个物理量以等于一的概率取某一值的极端情况例如氢原子处于第m 个定态测量它的电离能一定得到由1.12 给出的m E 即量子力学能够预言测量到m E 值的概率为一这仍然可以认为是一个统计规律虽然它和经典理论的确定性的对立不象跃迁时间那样尖锐作为比较看一个经典统计的例子在生产中难免出现次品设某工厂印刷书本的次品率为千分之一由历史经验或对本批产品抽样得到今印课本一万册经检验发现次品九册上述次品率0.1%是一经典统计性质9 册次品是随机的测量结果经典的统计性质不是本质性的因为9 册次品之所以是次品原则上可以找出原因有某中确定的因果关系存在如果印刷过程的所有细节都知道原则上可以确定地预言哪几本书会是次品从而变成非随机的结果也就是说统计性质只是对印刷过程的一种粗糙的描述原则上其背后还存在更细致的确定论的规律但是标准的量子力学只能预言统计性质背后再没有确定论的规律如果某物理量取某值的概率小于一量子系统中常常有这样的情况则对此物理量单次测量的结果本质上是随机的不存在更深层次的确定论的描述这一特征尽管难以接受迄今没有实验与之矛盾贝尔J. Bell1964 的里程碑式的工作是找到一条可用实验检验的不等式来判断是否存使量子力学的随机结果确定论化的隐变量近年来很多关于贝尔不等式的精密的实验全部支持标准量子力学的统计性2. 为什么说波粒二象性是统计规律，而不确定原理是二象性的必然结果。