高等数学同济第六版上_答案解析第四章
高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案
x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
1
3
解 ∫ ( x +1)( x3 −1)dx = ∫ (x 2 − x + x3 −1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
同济大学 第六版 高数练习册答案 上册
高等数学习题解答第一章（7-11） 第六节 极限存在准则 两个重要极限1.0；1；1；0；2；2/32. 1-e ;1432;0;;;--e e e e3. 证明：{n x }显然单调递增，1x 3≤，若31≤-n x ，则n x ≤33+≤3∴ {n x }单调有界，∴{n x }收敛，不妨设∞→n lim n x =a , 则有 a =3+a ,解得，a =(1+13)/2,2)131(-=a∴2)131(lim +=∞→n n x4. 解：1)12111(22222+≤++++++≤+n n nn n n n n n11limlim22=+=+∞→∞→n nn n n n n∴1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n第七节 无穷小的比较1.（B ）2. （A ）3. 证明： 令t x sin = ， 1sin lim arcsin lim00==→→ttx x t x∴当0→x 时，x x ~arcsin 。
4. 解：（1）0lim →x x x 25tan =0lim →x x x 25=25（2）0lim →x ())cos 1(arcsin 2x x x -=0lim →x 222x x x =∞（3）0lim →x x x )sin 21ln(-=0lim→x 2sin 2-=-xx（4）0lim →x =-+1)21ln(3x e x 3232lim 0=→x x x（5）0lim→x x x x 3sin sin tan -=0lim →x =-xx x x cos )cos 1(sin 30lim →x 322xx x=1/2（6）0lim →x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x tan 1sin 1=0lim →x x x sin cos 1-=0lim →x 022=x x （7）431)3tan arctan (lim 220=+=+++→nn n n n a n n第八节 函数的连续性与间断点1. 0 ；2. 充要；3. 2；4. D5. B6. C7. 解：12121lim 1212lim )(lim0=+-=+-=--+∞→+∞→→+t tt t t t x x f1)(lim 0-=-→x f x ∴ )(x f 在x=0 不连续，且x=0 为函数)(x f 的第一类间断点。
同济高等数学第六版上册第四章ppt
5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
目录
上页
下页
返回
结束
从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
目录
上页
下页
返回
结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
目录
上页
下页
返回
结束
dx 例2. 求 3 . x x
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
机动 目录 上页 下页 返回 结束
先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
同济大学第六版高等数学上册课后答案
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
同济大学第六版高等数学上下册课后答案全集word资料104页
同济第六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xxy +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
高等数学同济第六版第四章第2节.ppt
x
dx
d(sec x tan x) sec x tan x
第四章第二节
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
或
ln tan x C (P196 例16 )
2
13
例11.
求
(
x2
x3 a2
3
)2
dx
.
第四章第二节
解:
原式
=
1 2
(
x2 dx2
x
2
a
2
3
)
2
1 2
(x2 a2)
例8. 求 sec6 xdx .
解: 原式 = (tan2 x 1)2dsteacn2 xd x
(tan4 x 2tan2 x 1)dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
第四章第二节
10
例9.
求
1
dx e
x
.
解法1
第四章第二节
(1 e x ) e x
1 e2x
(P203 公式 (22) )
34
例24. 求
第四章第二节
解:
令
x
1 t
,得
原式
t dt a2t2 1
1 2a2
d (a2t2 a 2t 2
1) 1
1 a2
a2t2 1 C
35
例25. 求
第四章第二节
解: 原式 ( x 1)3
dx ( x 1)2 1
令
x
1
1 t
t3
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项; 1 sin2 x cos2 x等
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
3
(2)不同 . 因为对应法则不同 , x<0 时 , g(x) =- x. (3)相同 . 因为定义域、对应法则均相相同 (4)不同 . 因为定义域不同 . ?|sin x | | x|<π ? π π 3 , 求 ? (π 8. 设 ? ( x) = ? ) , ? ( ) , ? (- ) , ?(- 2), 并作出函数 y=?(x) π 6 4 4 | x|≥ ?0 3 ? 的图形 . 解 ? (π) =|sin π|= 1 , ? (π) =|sin π|= 2 , ? (- π ) =|sin(- π ) |= 2 , ? (- 2) = 0 . 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y = x , (- ∞， 1); 1- x : .
素都是 X 中某元素的像 , 所以 f 为 X 到 Y 的满射 . 又因为对于任意的 x1≠ x2 , 必有 f( x1)≠ f(x2 ), 否则若 f(x1)=f (x2 )? g[ f( x1)] =g[ f(x2)] ? x1 =x2 . 因此 f 既是单射 , 又是满射 , 即 f 是双射 . 对于映射 g: Y→ X, 因为对每个 y∈ Y, 有 g(y) =x∈X, 且满足 f(x) =f[g( y)]=I y y=y, 按逆映射的定义 , g 是 f 的逆映射 . 5. 设映射 f : X→ Y, A? X . 证明 : (1)f - 1(f(A))? A; (2)当 f 是单射时 , 有 f - 1 (f( A)) =A . 证明 (1)因为 x∈ A ? f(x)=y∈ f (A) ? f - 1 (y)=x∈ f - 1(f (A)), 所以 f - 1( f( A)) ? A. (2)由 (1) 知 f - 1(f (A))? A. 另一方面 , 对于任意的 x∈ f - 1(f(A))? 存在 y∈f(A), 使 f - 1( y)=x? f(x)=y . 因为 y∈ f (A)且 f 是单射 , 所以 x∈ A. 这就证明了 f - 1 (f(A))? A. 因此 f - 1(f(A)) =A . 6. 求下列函数的自然定义域 : (1) y = 3x + 2 ; 解 由 3x+2≥ 0 得 x >- 2 . 函数的定义域为 [ - 2 , + ∞ ). 3 3 (2) y = 1 2 ; 1- x 解 由 1- x2 ≠ 0 得 x≠± 1. 函数的定义域为 (- ∞， - 1)∪(- 1, 1) ∪ (1 , +∞ ). (3) y = 1 - 1- x2 ; x 解 由 x≠ 0 且 1- x2≥ 0 得函数的定义域 D =[- 1, 0) ∪(0, 1] . (4) y = 1 ; 2 4- x
高等数学同济第六版第四章第4节.ppt
2
2
2
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 P209 例9 .
7
第四章第四节
说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行, 但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法.
例4. 求
解:
I
2x3 5x x4 5x2
4
dx
2x2 5 x4 5x2
dx 4
1 2
4 5
分别令 x 0,1代入等式两端
1 4C 5
1 4 BC 6 15 2
B 2 5
C1 5
第四章第四节
原式
=
1 5
1
4 2
x
2x 1
1 x2
4
四种典型部分分式的积分:
第四章第四节
1.
x
A
a
dx
Aln
xa
C
2.
(
x
A a)n
dx
1
A n
(
x
a)1n
C
(n 1)
3.
x
Mx N 2 px
d sin sin 3
x x
ln tan x
1 2
1 sin 2
x
C
24
第四章第四节
作业
P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21
25
备用题
1.
求不定积分
1 x6(1
x2)dx.
第四章第四节
分母次数较高,
解：令 t 1 ,则
, 故 宜使用倒代换.
d( x4 5x2 5) x4 5x2 4
同济第六版《高等数学》教案-第04章不定积分
高等数学教案第四章不定积分第四章不定积分教学目的：1、理解原函数概念、不定积分的概念。
2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二）与分部积分法。
3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
教学重点：1、不定积分的概念；2、不定积分的性质及基本公式；3、换元积分法与分部积分法。
教学难点：1、换元积分法；2、分部积分法；3、三角函数有理式的积分。
§41不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念定义 1如果在区间 I 上可导函数 F(x)的导函数为 f(x)即对任一 x I 都有F (x) f(x) 或 dF(x)f(x)dx那么函数 F(x)就称为 f(x)( 或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数例如因为 (sin x)cos x所以 sin x 是 cos x 的原函数又如当 x(1)时1 的原函数因为 (x)1所以x 是2 x2x提问 :cos x 和1还有其它原函数吗？2x原函数存在定理如果函数 f( x)在区间 I 上连续那么在区间 I 上存在可导函数F(x) 使对任一 x I都有F (x) f(x)简单地说就是连续函数一定有原函数两点说明第一如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就有无限多个原函数 F(x) C 都是 f(x)的原函数其中C 是任意常数第二f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数即如果(x)和 F(x)都是 f(x)的原函数则(x) F(x) C (C 为某个常数 )高等数学教案第四章 不定积分定义 2在区间 I 上 函数 f(x) 的带有任意常数项的原函数称为f( x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分记作f ( x)dx其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x) dx 称为被积表达式 x 称为积分变量根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数那么 F(x) C 就是 f(x)的不定积分 即f (x)dx F (x) C因而不定积分f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数例 1 因为 sin x 是 cos x 的原函数所以cos xdx sin x C因为x 是 1 的原函数所以2 x1 x dx x C2例 2. 求函数 f (x)1的不定积分x解：当 x>0 时 (ln x)1x1dx ln x C (x>0)x当 x<0 时 [ln(x)]1 ( 1) 1xx1dx ln( x) C (x<0)x合并上面两式得到1dx ln | x| C (x 0)x例 3设曲线通过点 (1 2) 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程解 设所求的曲线方程为 y f(x) 按题设 曲线上任一点 (x y)处的切线斜率为 y f (x) 2x, ,即 f(x)是 2x 的一个原函数因为2xdx x 2 C高等数学教案第四章不定积分故必有某个常数 C 使 f(x) x 2C 即曲线方程为 y x 2C因所求曲线通过点 (1 2) 故2 1 CC 1于是所求曲线方程为y x 2 1积分曲线 函数 f(x)的原函数的图形称为 f(x)的积分曲线从不定积分的定义即可知下述关系 d [ f (x)dx]f (x)dx或d[ f ( x)dx]f (x)dx又由于 F(x)是 F (x)的原函数所以F (x)dx F (x) C或记作dF (x) F (x) C由此可见 微分运算（以记号 d 表示）与求不定积分的运算（简称积分运算以记号表示）是互逆的当记号 与 d 连在一起时 或者抵消或者抵消后差一个常数二、基本积分表(1) kdx kx C (k 是常数 )(2) x dx1 x 1C1(3)1dx ln |x| Cx(4) e x dx e x C(5) a x dxa x Cln a(6) cos xdx sin x C(7) sin xdx cos x C(8)1dx2tan x C2sec xdxcos x(9) 1dx2cot x C2 csc xdxsin x(10)1 dx arctan x C 1 x2 (11) 1 2dxarcsin x C1x(12) secx tan xdx secx C(13) cscxcot dx cscx C(14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C例 41x 3dx 1x 3 1 C1C3 dx2x3 12x2515 172x 3x C例 5xxdx x 2dxC5x 22x 2 C177244 11例 6dx x 3dxx 3C 3x 3C3Cx 3 x4 1 3 x3三、不定积分的性质性质 1函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和即[ f ( x) g( x)]dxf (x)dxg(x)dx这是因为 , [ f ( x)dx g (x)dx] [ f (x)dx] [ g(x)dx]f( x) g(x).性质 2求不定积分时被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来即kf ( x)dx k f (x)dx ( k 是常数 k 0)例 7.x( x 2515)dx (x 2 5x 2 )dx51 51x 2 dx 5x 2 dxx 2 dx 5 x 2 dx732x252x2C73(x 1) 332例 8dxx 3x3x 1dx ( x 3 3 12 )dx22xxx xxdx3 dx 31dx 11 x 23x 3ln |x|1 Cx x dx2x例 9xxx(ex dx e dx3 cos xdxe3sinx C3cos )例 10例 11例 122x e x dx(2e)x dx (2e) x C 2x e x Cln( 2e)1 ln2 1 x x 2 2dxx (1 x 22)dx ( 121)dxx(1 x )x(1 x )1 xx1 12 dx1dx arctanx ln | x| Cxxx 42 dxx 4 1 1 ( x 2 1)( x 2 1) 11 x 1 x2 dx1 x 2dx(x211 2 )dxx 2dx dx1 12 dx1 xx1 x 3 x arctan x C 3例 13tan 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dxtan xx C例 14 sin2x dx1 cos x dx1(1 cos x)dx2221(x sin x) C21 2 x dx1 例 15sin 2 x4 sin 2 x dx4 cot x C2 cos 2§42换元积分法一、第一类换元法设 f(u)有原函数 F(u)u (x) 且 (x)可微 那么 根据复合函数微分法 有d F[ (x) ] d F(u) F (u)d u F [ (x) ] d ( x) F [ (x) ] (x)d x所以F [ ( x)] (x)dx F [ (x)] d (x) F (u)d u d F(u) d F[ (x) ] 因此F [ ( x)] (x)dxF [ (x)]d (x)F (u)dudF (u)dF [ ( x F [ x )] C)] (即f [ ( x)] (x)dxf [ ( x)]d (x) [ f (u)du]u (x)[F(u) C] u( x)F[ ( x)] C定理 1设 f(u)具有原函数 u(x)可导 则有换元公式f [ (x)] (x)dx f [ ( x)] d (x)f (u)du F (u) C F[ (x)]C被积表达式中的dx 可当作变量 x 的微分来对待从而微分等式(x)dx du 可以应用到被积表达式中在求积分 g(x)dx 时 如果函数 g(x)可以化为 g(x)f[ (x)] (x)的形式 那么g( x)dxf [ (x)] (x)dx [ f (u)du]u (x)例 1. 2cos 2xdx cos2x (2x) dxcos2xd(2x)cosudu sin u C sin 2x C例 2.111x dx11(3 2 )3 2 3 2 3 2x2x2x1 1dx 1ln |u | C1ln |3 2x| C2 u 22例 3.x 2x 22x 22xe dxe (x) dxe d (x)2uC e x 2Ce例 4. x 1 x 2 dx11 x2 (x 2) dx1221 1 x2 d (1 x 2)213(1 x 2) 2 C3e u du1 x2 dx 21 31 u 2du1u 2C23例 5.tan xdxsin x dx 1 d cos xcos xcos x1du ln |u | Culn|cos x| C即tan xdxln |cos x| C类似地可得cot xdx ln |sin x| C熟练之后 变量代换就不必再写出了例 6.1x 2dx11 dx a 2a 2x( )21 a1 1 d x 1 arctan xCa1 ( x )2a aaa即1 x2 dx 1arctanxCa 2aa例 7. ch xdx a ch x d xa sh xCa a a a 例 8. 当 a 0 时 ,1dx 11 x dx 1 x d x arcsin xCa 2 x 2 a1 ( ) 21 ( ) 2a aaa即 1x 2 dxarcsinxCa 2a例 9.111111 1dxx 2 a 2dx2a ( x a x a )dx2a[x adxx a]1 [1d (x a)1d( x a)]2a x ax a1[ln | x a| ln |x a |] C1ln |xa | C2a2a x a即1 dx 1ln |xa | Cx 2 a 22ax a例 10.dx d ln x 1 d(1 2ln x)x(12 ln x) 1 2 ln x2 1 2ln x1l n |1 2 ln x| C2例 11.e 3 x dx 2 e 3 x d x 2 e 3 x d3 xx 32 e3 x C3含三角函数的积分例 12. sin 3 xdx sin 2 x sin xdx (1 cos 2x)d cos xd cosxcos 2xd cosxcosx1cos 3 x C3例 13. sin 2 xcos 5xdx sin 2 xcos 4 xd sin xsin 2 x(1 sin 2 x)2 d sin x(sin 2 x 2 sin 4 x sin 6 x)d sin x1sin 3x2sin 5x1sin 7 x C357例 14. cos 2xdx1 cos2 x dx 1 ( dx cos 2xdx)2 2 1 dx 1cos2xd 2x1 x 1sin 2x C2 424例 15.4xdx2x 2dx1 x2 d x21 (1 2cos 2x cos 22x)dx 41 (32cos 2x 1cos4x)dx4221 ( 3 x sin 2x 1sin 4x) C 4 2 8 3 x 1sin 2x1sin 4x C8432例 16.xxdx 1 (cos x cos5x)dxcos3 cos2 21sin x1sin 5x C210例 17. cscxdx1 dx 1dxsin x2sin x cos x22d xd tan xln |tan x| C ln |csc x cot x | Cx2x2tan 2tan x22 cos 22即cscxdx ln |csc x cot x | C例 18. sec xdxx)dxln |csc(x) cot(x)| C222ln |sec x tan x | C即secxdx ln |sec xtan x | C二、第二类换元法定理 2 设 x (t)是单调的、可导的函数 并且 (t) 0 又设 f [ (t)] (t)具有原函数 F(t) 则有换元公式f (x)dxf [ (t)] (t)dt F (t) F [1(x)] C其中 t(x)是 x(t) 的反函数这是因为{ F[1(x)] } F (t)dtf [ (t)] (t) 1f [ (t )] f (x)dx dxdt例 19. 求 a 2 x 2dx (a>0)解 : 设 x a sin tt 那么 a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t acost22dx a cos t d t 于是a 2 x 2 dx acost acostdta 2 cos 2tdt a 2( 1 t 1 sin 2t ) C2 4 因为 t arcsin x, sin 2t 2sin t cost 2xa 2 x 2 所以aa aa2x 2dx a 2(1 t 1sin 2t) C a 2arcsin x 1x a 2 x 2 C2 42 a 2解 : 设 x a sin tt 那么22a 2 x 2 dx acost acostdta 2cos 2 tdt a 2( 1 t 1sin 2t ) Ca 2 arcsin x 1 x a 2 x 2 C2 42a 2提示 : a 2 x 2a 2 a 2 sin 2 t a cost dx acos tdt提示 : t arcsin x, sin 2t2sin t cost 2 xa 2 x 2aa a例 20. 求 dx(a>0) x 2 a 2解法一设 x a tan tt 那么22x 2 a 2a 2 a 2 tan 2 ta 1 tan 2t a sec t dx a sec 2t d t 于是dxa 2 a sec 2 t dt sectdt ln |sec t tan t | Cx 2 a sect因为其中sectx 2 a 2 atantdxx 2a2C 1 C ln ax 所以aln |sec t tan t | C ln(x x 2 a 2 2 a 2) C 1a) C ln(xxa解法一 设 xa tan tt那么22dx asec 2 t dt sectdt ln|sect tant| Cx 2 a 2a sectln(xx 2 a 2 ) C ln( xx 2a 2 ) Caa1其中C 1Cln a提示 : x 2 a 2 a 2 a 2 tan 2 t asect dx a sec 2t dt提示 : sectx 2 a 2 tantx aa解法二 : 设 x a sh t那么dx ach t dt dt t C arsh x Cx2 a 2ach t aln x( x)21C ln( x x2 a2 ) C1 a a其中 C 1 C ln a提示 : x2 a2 a 2sh2t a2 a ch t dx a ch t d tdx例23.求x2a2 (a>0)解 : 当 x>a 时设 x a sec t ( 0 t) 那么2x2 a2 a 2 sec2 t a 2 a sec2 t 1 a tan t于是dx a sect tant dt tdt ln |sec t tan t | Cx2a2 a tant sec因为tant x2 a 2x所以a sect adx ln |sec t tan t |C ln |xx2a2|C ln( x x2 a2 ) C x2 a 2a a1其中 C1C ln a当 x<a时令 x u则 u>a于是dxa 2du ln(u u2a2 )Cx2u2a2ln( x x2a2 )C ln( x x2 a2 ) C1ln x x2a2C ln( x x2a2 )C1a2其中 C1C2ln a综合起来有dxa2ln| x x2a2 |Cx2解 : 当 x>a 时设x a sec t ( 0t)那么2dxa sect tantdt sectdtx 2a 2a tantln |secttant | C ln(xx 2 a 2 ) Caaln( xx 2 a 2 ) C其中 C 1 C ln a当 x< a 时 令 x u 则 u>a 于是dxdu ln(u 2 2Cx 2 a 2u 2 a 2 u a )ln( xx 2 a 2 ) C ln xx 2 a 2 Ca 2ln( xx 2 a 2 ) C 1其中 C 1 C 2ln a提示 : x 2 a 2a 2 sec 2 t a 2a sec 2t 1 atant提示 : tantx 2 a 2sect xaa综合起来有dx a 2ln | xx 2 a 2 | Cx 2 补充公式(16) tan xdxln |cos x| Ccot xdx ln |sin x| C(18) secxdx ln |secx tan x| C(19) cscxdx ln |cscx cot x| C(20)1 x2 dx1arctanxCa 2aa(21)1a 2 dx1ln |xa | Cx 22ax a(22)1 x2 dxarcsinxCa 2a(23)dxa 2 ln( xx 2 a 2 ) Cx 2(24)dx ln |x x22x 2a | Ca 2§43分部积分法设函数 u u(x)及 v v( x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为 (uv) u v uv移项得uv (uv) u v对这个等式两边求不定积分得uv dx uv u vdx 或 udv uvvdu这个公式称为分部积分公式分部积分过程 :uv dx u dv uvvdu uv u vdx例 1 xcos xdx xd sin x xsin x sin xdx x sin x cos x C例 2 xe x dxxde x xe x e x dx xe x e x C例 3 x 2e x dx x 2de x x 2e x e x dx 2x 2e x 2 xe x dx x 2e x 2 xde x x 2e x 2xe x 2 e x dxx 2e x 2xe x 2e x C e x (x 2 2x 2 )C例 4xln xdx 1 ln xdx 21x 2ln x 1 x 21dx2 2 2x1x 2ln x 1 xdx 1x 2 ln x1 x2 C22 2 4例 5 arccosxdx xarccosxxd arccosxxarccosxx1x 2dx111xarccosx(1 x 2 ) 2d (1 x 2) xarccosx 1 x 2C2例 6x arctanxdx1arctanxdx 21x 2 arctan x1x 21 dx2221 x 212112 x arctanx 2 (1 1x 2)dx1x 2arctanx 1 x1arctan x C222例 7 求 e x sin xdx解 因为 e x sin xdx sin xde xe x sin x e x d sin xe x sin xe x cos xdx e x sin x cos xde xe x sin x e x cos x e x d cos x e x sin x e x cos xe x d cosxe x sin x e x cos x e x sin xdx所以e x sin xdx 1e x (sin x cosx) C2例 8求 sec 3 xdx解 因为sec 3 xdx secx sec 2 xdxsecxd tan xsecxtan xsecx tan 2 xdxsecx tanx secx(sec 2 x 1)dxsecx tanxsec 3 xdxsecxdxx tan x ln |sec x x |3xdxsec tan sec所以sec 3xdx1(secxtan x ln |secx tan x|) C2 例 9 求 I ndx其中 n 为正整数(x 2 a 2)n解 I 1x 2 dx 1arctan xCa 2 a a当 n 1 时，用分部积分法 有dxx2(n 1)x 2n dx22 n 122 n 1(x 22 ( x a )( x a )a )高等数学教案第四章不定积分x2(n1) [1a2n ]dx(x 22n 1(x22)n 1(x22)a )a a即I n 1(x 2x2( n 1)(I n 1 a 2 I n ) a 2 ) n1于是I n1[x(2n3) I n 1] 2a2 (n(x2a2) n 11)以此作为递推公式并由 I11xC 即可得 I n arctanaa例 10 求 e x dx解令 x t 2则dx 2tdt于e x dx 2 te t dt2e t (t1)C2e x(x1)C e x dx e x d(x) 2 2xe x d x2xde x2xe x 2 e x d x2xe x2xC2x (x1)Ce e第一换元法与分部积分法的比较:共同点是第一步都是凑微分f [ ( x)] (x)dx f [(x)] d( x)令 (x)u f (u)duu(x)v (x)dx u( x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du( x)哪些积分可以用分部积分法？x cosxdx xe x dx x2 e x dxx ln xdx arccosxdx x arctanxdxe x sin xdx sec3 xdx2x2x22uxe dx e dx e dux2e x dx x2de x x2e x e x dx2高等数学教案第四章不定积分§4 4几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分有理函数的形式有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数即具有如下形式的函数:P(x)a0 x n a1x n 1a n1x a nQ(x)b0x m b1x m 1b m 1x b m其中 m 和 n 都是非负整数a0a1 a2a n及 b0 b1b2b m都是实数并且 a0 0 b0 0当n m 时称这有理函数是真分式而当 n m 时称这有理函数是假分式假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式例如x3x 1x(x21) 1x 1x21x21x2 1真分式的不定积分求真分式的不定积分时如果分母可因式分解则先因式分解然后化成部分分式再积分例1 求x3dx x25x6解x2x 3dx( xx 3dx(635)dx5x62)( x3)x x 263dxx5dx6ln|x 3|5ln| x 2|Cx2提示x3A B(A B) x ( 2 A3B)3)x3x2(x2)( x 3)( x 2)(xA B 13A2B3A6B5分母是二次质因式的真分式的不定积分例2 求x2dx x22x3解x2dx(12x 231)dxx22x 2 x22x323x2x 312x2dx3x21dx2x2 2 x32x31d( x22x3)3d (x1)2x22x3(x1)2( 2)21ln( x22x3)3arctanx1C222x 21(2x2)31x21提示2222322x 3 x2x 3 2 xx2x 3x 2x 3例3 求12dx x(x1)解1 1)2 dx [111 (x 12 ]dxx(xx x 1)1dx1dx1dx ln |x| ln |x 1|1 Cxx 1 ( x 1) 2x 1提示11 xx1 1x(x 1) 2x(x 1) 2x x 1) ( x 1) 2(1 x x1 111x(x 1)( x 1) 2 x x 1 (x 1)2二、三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算由于各种三角函数都可以用sin x 及 cos x 的有理式表示故三角函数有理式也就是sin x 、 cos x 的有理式用于三角函数有理式积分的变换 :把 sin x 、 cos x 表成 tan x的函数然后作变换 u tanx22xx 2 tanx2 tanx2usin x2sin cos222 22 x1 tan2 x1 u 2sec 2 2cos x cos 2xsin 2x1 tan 2x1 u 222 22 x 1 u 2sec2变换后原积分变成了有理函数的积分例 4 求1 sin x dxsin x(1 cosx)x2u1 u 2x 2arctan u2解 令 u tan 2 则 sin x 1 u2cos x 1 u2dx 1 u 2du(1 2u )于是1 sin x1 u2 211sin x(1 cos x)dx2u(1 1 u 2 ) 1 u 2du2 (u 2 u )du1 u21 u 21 ( u 22 ln | |) C 1 tan 2 x tan x 1ln |tan x | C2 2 u u4 2 2 2 2解 令 u tan x则21 sin x(1 2u )21 u2sin x(1 cos x) dx2u(11 u 21 u2 du21 u2 )1 u1 ( u 22u ln |u |) C 1 (u 2 1)du2 22u1 tan2 xtanx1ln | tan x| C4 2 2 2 2说明 : 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过变换化为有理函数的积分例如cos x dx 1 d (1 sin x) ln(1 sin x) C1 sin x 1 sin x三、简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去例 5 求x 1dxx解 设 x 1 u即 x u 2 1 则x 1dxu 2udu2 u 2 duxu 2 1u 2 12 (112 )du 2(u arctanu) C1 u2( x 1 arctan x 1) C例 6 求dx3x 21解 设 3 x 2 u即 x u 3 2 则dx13u 2 du 3u 21 113 x21 u1 duu3 (u 11)du 3(u2u ln |1 u |) C1 u23 3(x 2)2 33 x 2 ln |1 3 x 2 | C2例 7 求dx3x) x(1 解 设 x t 6于是 dx 6t 5d t从而高等数学教案第四章不定积分dx6t 5 dt6 t 2dt 6 (11 )dt 6(t arctant) C(1 3 x) x(1 t 2)t 31 t 21 t 26(6 x arctan 6 x) C例 8 求11xdxxx解 设1 x t 即 x11于是xt 21 1 xdx (t 2 1)t(t 2 2t dtx x 1) 22t 22 (11 )dtt2dtt 211 2t ln |t1 | Ct 1 2 1 x ln 1 xx Cx 1 xx练习1求dx2 cos x解作变换 ttan x则有 dx2dtcos x1 t2 21 t 21 t 22dtdx1 t 221dt21dt2cos x21 t 23t 2 31 (t2 31 t 2)32arctant C2 arctan( 1 x C3 33 tan )3 22求sin 5 xdxcos 4x解sin 5 x dxsin 4 xd cos x(1 cos 2 x) 2cos 4cos 4xcos4xd cos xx(121)d cos xcos 2 xcos 4 xcos x21 Ccos x 3 cos 3x3求3x 1 dxx23 x 2高等数学教案第四章 不定积分解2 3x 1dx3 x 1 dx ( 74)dx x 3x 2(x 2)( x 1) x 2 x 17 1 4 1 dxdx xx 2 17ln|x 2| 4ln|x 1| C§ 4.5积分表的使用积分的计算要比导数的计算来得灵活、复杂为了实用的方便 往往把常用的积分公式汇集成表 这种表叫做积分表 求积分时 可根据被积函数的类型直接地或经过简单变形后在表内查得所需的结果 积分表一、含有 ax b 的积分1．dx1ln |ax b | Cax b a2． (ax b) dx1(ax b)a( 1)3．x dx 1 (ax b b ln |axax b a 21C(1)b |) C4．x 2 dx 1 1(ax b)2 2b(ax b) b 2 ln |ax b | Cax ba 3 25．dx 1ln ax b Cx( ax b)b x6．2 dx1 a2 ln ax bCx (ax b)bx bx7．xb) 2 dx12 ln |ax b| b C(ax aax b 8．x 2 dx 1 ax b 2b ln |ax b|b 2(ax b) 2 3 Caax b 9．dx1 b) 1 ln ax bCx( ax b)2 b(ax b 2x例 1 求x4) 2dx(3x解 这是含有 3x 4 的积分 在积分表中查得公式(ax xdx 1 ln |ax b|b bCb)2a 2ax现在 a 3、 b 4 于是x4)2dx1 ln |3x 4| 4 C(3x 9 3x 4二、含有 ax b 的积分1．ax b dx 2 (ax b)3C3a2． x ax bdx2 (3ax 2b) (ax b)3C15a 23． x 2 ax b dx23(15a 2x 2 12abx 8b 2) (ax b)3 C105a4．x dx2 (ax 2b) ax b Cax b 3a 2x 2 b dx 25．ax15a 3(3a2x 24abx 8b 2) axb Cdx1lnax b b C (b 0)6．b ax b b x ax b2 arctan ax b C (b 0)b b 7．8．dx ax b adxx 2 ax b bx2b x ax b axb dx 2 ax b bdx xx ax b9．ax bdx ax b a x dx bx 2x 2 ax 三、含 x 2 a 2 的积分 1．x 2dx 1arctan xCa 2 aa2．dxx2n 3 dx(x 2 a 2)n 2(n 1)a 2(x 2 a 2)n 1 2(n 1)a 2 ( x 2a 2) n 13．x 2 dx1ln x a Ca 2 2a x a四、含有 ax 2 b(a 0)的积分dx 1 arctan a x C (b 0) 1．ab bax2b1a xblnC (b 0)2 a x bab2．x dx1ln |ax 2 b| Cax 2 b2a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室3．x 2 dx x b dxax 2 ba a ax 2b4．dx 1 ln x 2Cx( ax2b)|ax22b b |5．dx1 a 1 dxx 2(ax 2b)bx bax 2b6．dxa ln|ax 2 b| 1Cx 3 (ax 2 b) 2b 2x 22bx 27．dxx11 dx(ax2b)22b(ax 2b)2b ax 2b五、含有 ax 2 bx c (a 0)的积分 六、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2arshxC 1 ln( xx 2x 2 a 2．dxxC( x 2a 2 )3a 2x 2a23．xdxx 2 a 2 Cx 2 a 24．xdx1C2a 2 )3x 2a 2( x5．x2dx x x2a2a 2ln(xx 2 a 2 226．x2dxxln( x( x 2 a 2 )3x 2a27． dx1lnx 2 a 2 a C x x 2 a 2a| x| 8．dxx 2 a 2 Ca 2a 2 xx 2 x 29．x2a 2dx x x 2 a 2 a 2ln( x 22例 3 求dx4 x29x解 因为dx1dx2x x 2 ( 3) 2x 4x 2 92a 2 ) Cx 2a 2 ) Cx 2 a 2 ) Cx 2 a 2 ) C所以这是含有x 2 a 2 的积分 这里 a3 在积分表中查得公式2内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室xdxa 21ln x 2 a 2a Cx 2 a|x|dx 1 2x 2( 3)23 1 4x 29 3于是ln22 C ln Cx 4x 292 3|x|3 2|x|七、含有 x 2 a 2 (a 0)的积分1．dxa 2x arch |x| C 1 ln |x x 2 a 2 | Cx 2 |x|a2．dxxC( x 2a 2 )3a2x 2a23．x a 2 dx x 2a 2 Cx 24．xdx1C( x 2a 2 )3x 2 a25．x 2dx x x 2 a 2 a 2x 2 a 2| Cx 2 a 22ln |x26．x 2 dx x ln|x x 2 22 a 2 )3 2 a 2 a | C( x x7．dx1arccos aCx x 2 a 2 a |x|8．dx x 2 a 2Cx 2x 2a2a 2x9．x 2 2 dxxx 22a 2 22 | C a 2 a2 ln | xx a八、含有a 2 x 2 (a 0)的积分1．dx arcsinxCa 2 x 2a2．dxxC(a2x 2 )3a 2a2x23．x dxa 2 x 2 Ca 2 x 24．x dx 1 C(a2x 2 )3a2x25．x 2 dxx a 2 x 2a 2 x Ca 22arcsinax 226．x2dx a 2 xx 2arcsinxC(a 2 x 2 )3a内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室7．dx1 ln a a2 x 2 Cx a 2 x 2a| x| 8．dxa 2 x 2 Cx2a2x2a 2x9．a 22dx xa 22a 2arcsin xCx 2x2 a九、含有 ax 2 bx c(a 0) 的积分十、含有x a 或 (x a)( x b) 的积分x b十一、含有三角函数的积分1． secxdx ln |secx tan x| C2． cscxdx ln |cscx cot x| C3． secx tan xdx secx C4． cscx cot xdx cscx C 5． sin 2 xdx6． cos 2 xdx 7． sin n xdxx1 sin 2x C2 4 x1sin 2x C 2 4 1 sin n 1 xcos x n 1 sin n 2 xdx n nn 1 cos n 2xdx n1 cos(a b)x2(a b)1sin(a b) x2(a b)1sin(a b)x2(a b)cos(a b) x C 2(a b)1 sin(a b) x C2(a b)1sin(a b)x C2(a b)12．dxa bsin x2a tanxb2 arctan2 2 C (a 2b 2 )a 2b a 2b9． sin axcosbxdx10． sin axsin bxdx11． cos axcosbxdx8． cos n xdx 1cos n 1 x sin x n内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室高等数学教案第四章 不定积分dx 2a tanxbb 2 a 222213．a bsin xb 2a 2ln a tanxbb 2 a 2 C (ab )214．dx a 2 a barctana b tan xC (a 2 b 2)a b cos x b a b a b 2dx2 a b ln tanxa b14．a 2b a C (a 2 b 2)a b cos x b b atan xa b2b a例 2 求dx5 4cos x解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式dx 2 b a barctana b tan xC (a 2 b 2 )a b cos x a aba b 2这里 a 5、 b 4 a 2b 2 于是5 dx5 2 4) 5 ( 4)arctan 5 ( 4) tan xC4cos x( 5 ( 4) 5( 4)22arctan 3tanxC32例 求 sin 4 xdx解 这是含三角函数的积分在积分表中查得公式sin nxdx1sinn1x cos x n1sinn2xdx sin 2xdxx 1sin 2x Cnn 2 4这里 n 4于是sin 4xdx1sin 3xcos x3sin 2xdx1sin 3xcos x 3 ( x1sin 2 x) C4444 2 4内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室。
同济大学第六版高等数学上册课后答案全集
高等数学第六版上册课后习题答案第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞),A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C .证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明(1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B )⇔ y ∈f (A )⋃f (B ),所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ).(2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明:(1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )),所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域:(1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-. (2)211xy -=; 解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞).(3)211x xy --=; 解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2).(5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=; 解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞).(10)x e y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ;(2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x .解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x .(3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1); (2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xx y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2.因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ),所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2);(2)y =3x 2-x 3;(3)2211xx y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数.(2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数. 13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期:(1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π.(2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l . (3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2.(4)y =x cos x ;解 不是周期函数.(5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误！未指定书签。
最新同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案4-2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1 d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71 d (7x -3).(3) xdx = d (x 2);解xdx = 21 d (x 2). (4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101 d (5x 2). (5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 21 2x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121 d (3x 4-2). (7)e 2x dx = d (e 2x );解e 2x dx = 21 d (e 2x ). (8))1( 22x x e d dx e --+=;解 )1( 2 22x x e d dx e --+-=. (9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=. (10)|)|ln 5( x d x dx =;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 |)|ln 5( 51 x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d x dx -=; 解 |)|ln 53( 51 x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d xdx =+; 解 )3(arctan 31 912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d x dx-=-;解 )arctan 1( )1( 12x d x dx--=-. (14))1( 122x d x xdx-=-. 解 )1( )1( 122x d x xdx--=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数):(1)⎰dt e t 5;解 C e x d e dt e x x t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(;解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x211; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211. (4)⎰-332x dx ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 C x C x x d x x dx +--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax b x )(sin ; 解 C be ax a b x d e b ax d ax a dx e ax b x b x b x +--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin . (6)⎰dt ttsin ; 解 ⎰⎰+-==C t t d t dt t tcos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰x x x dx ln ln ln ; 解 C x x d xx d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln . (9)⎰+⋅+dx x xx 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰ C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222. (10)⎰xx dx cos sin ; 解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx ee x x 1;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9解 ⎰-+dx e e xx 1C e de e dx e e x x x x x +=+=+=⎰⎰arctan 11122. (12)⎰-dx xe x 2;解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx x x232;解 C x C x x d x dx x x +--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132. (15)⎰-dx x x 4313; 解 ⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443. (16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω;解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx xx 3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx xx x x 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin . (19)⎰--dx x x2491;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 dx x x dx x dx x x ⎰⎰⎰---=--22249491491 )49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21. (20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d x x d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212; 解 ⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221. (22)⎰-+dx x x )2)(1(1; 解 C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1. (23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω;解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ;解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (26)⎰dx x x 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos . (27)⎰xdx x 7sin 5sin ;解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅= C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32. (29)⎰-dx x x2arccos 2110;解 C x d x d dx x x x x x+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2. (30)⎰+dx x x x)1(arctan ;解 C x x d x x d x x dx x x x+==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan . (31)⎰-221)(arcsin x x dx ; 解 C x x d x x x dx +-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222. (32)⎰+dx x x x2)ln (ln 1; 解 C x x x x d x x dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx x sin cos tan ln ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 ⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdxx xdx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2 C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx xa x 222(a >0); 解 ⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a x a x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx; 解 C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或 C x x d x dx x x x x dx+=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222. (36)⎰+32)1(x dx;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 解 C t tdt t d t t xx dx+==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解 ⎰⎰⎰=-=-tdt t d t t t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t +--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+x dx 21; 解 C x x C t t dt t tdt t tx x dx++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令. (39)⎰-+211xdx; 解 ⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt t dt t tdt t tx x dx )2sec 211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xx x C t t t C tt +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan .仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (40)⎰-+21xx dx. 解 ⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt t t t t t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令 C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.。
高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题答案解析
![高等数学第六版(同济大学)[上册]课后习题答案解析](https://img.taocdn.com/s3/m/7c8bf073b307e87101f696e5.png)
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式.解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞),A ⋂B =[-10, -5),A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B );(2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ),所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A .(2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解 由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解 由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x x y --=;解 由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解 由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解 由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解 由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2,⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解 由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解 由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解 由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解 由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞).7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ; (3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g .(4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)xx y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln)()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明 对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ),所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？(1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x x y +-=; (4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x a a y -+=. 解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数.(5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(6)因为)(22)()()(x f a a a a x f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解 是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解 是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解 是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解 不是周期函数. (5)y =sin 2x .解 是周期函数, 周期为l =π.14. 求下列函数的反函数:(1)31+=x y 错误!未指定书签。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第4章.不定积分
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
目录
上页
下页
返回
结束
一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
v(t ) ( g ) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得 C1 v0 , 故 v(t ) g t v0
再求
由 知
O
2 g t v0t C2 x(t ) (g t v0 )d t 1 2
由 x(0) x0 , 得 C2 x0 , 于是所求运动规律为
思考与练习
1. 证明
(P193题7)
2. 若
2 x f (ln x) d x
1 2 x C 2
x
提示:
e
f (ln x) e
ln x
1 x
目录 上页 下页 返回 结束
3. 若
是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
1 u2
想到公式 du
arctan u C
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 求
解:
a
dx 1 (
x 2 a)
d( ) 1 (
x 2 a)
x a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
(完整版)高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析
高等数学第六版上册课后习题答案及解析第一章习题1—11. 设A=(-, —5)(5, +)，B=［-10， 3), 写出A B，A B, A\B及A\(A\B）的表达式。
解A B=（-, 3）（5, +)，A B=[-10，—5）,A\B=（—， -10)(5， +），A\（A\B）=[-10, -5）.2. 设A、B是任意两个集合，证明对偶律： (A B）C=A C B C。
证明因为x(A B）C x A B x A或x B x A C或x B C x A C B C，所以（A B)C=A C B C。
3. 设映射f : X Y, A X, B X。
证明（1)f(A B)=f(A）f（B）;（2）f（A B)f(A)f（B）.证明因为y f(A B）x A B, 使f（x）=y(因为x A或x B) y f（A）或y f（B)y f(A）f（B),所以f(A B）=f（A)f(B).(2）因为y f(A B）x A B, 使f(x）=y（因为x A且x B） y f(A)且y f（B)yf (A ）f (B ），所以 f (A B ）f （A )f (B )。
4。
设映射f ： XY , 若存在一个映射g : Y X , 使X I f g = ， Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个xX , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y 。
证明：f 是双射， 且g 是f 的逆映射： g =f —1.证明 因为对于任意的yY ， 有x =g （y )X , 且f （x ）=f [g （y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1x 2, 必有f (x 1)f (x 2), 否则若f (x 1）=f (x 2)g [ f （x 1)]=g [f (x 2）］x 1=x 2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(13)
(1 x) 2
dx ;
ar
3 x2 1 )dx 2 x 2
1 2 2 x3 x 2 x 2 x C . 3 3 5
3
5
n.
3
3 2 3 2 ( x 1)( x 1)dx ( x x x 1)dx x dx x 2 dx x 2 dx dx
w.
tt
le
ar
n.
ne
x 因为 ( 1 e 2 x ) e 2 x , 所以 1 e2 x 是 e 的原函数. 2 2 chx shx 因为 (e x sh x ) e x sh x e x ch x e x (sh x ch x ) x x x x e x ( e e e e ) e2 x , 2 2 x 所以 e x sh x 是 e 的原函数. chx shx 因为 (e x ch x ) e x ch x e x sh x e x (ch x sh x ) x x x x e x ( e e e e ) e2 x , 2 2 x 所以 e x ch x 是 e 的原函数. chx shx
(10)
解
dx d (5 ln | x |) ; x dx 1 d (5 ln | x |) . x 5 dx d (3 5 ln | x |) ; x
(11)
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
w.
解 e 2 dx 2 d (1 e
tt
x 2
);
x 2
).
le
(7)e 2x dx
d(e2x);
ar
(6)x3dx d(3x42); 1 解 x3dx d(3x42). 12
n.
1 d (1 x 2 ) . 2
ne
t
(4) xdx d(5x2); 1 解 xd x d(5x2). 10
此文档由天天learn（）为您收集整理。
此文档由天天learn（）为您收集整理。
习题 41 1. 求下列不定积分: 1 (1) 2 dx ; x 1 1 1 解 2 dx x 2 dx x 2 1 C C . x 2 1 x (2) x x dx ; 解
此文档由天天learn（）为您收集整理。
证明
x x ex x x e x x e x e2x . chx shx e e e e e 2 2
ww
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
(19) 3 x e x dx ;
(20)
23 x 52 x dx ; 3x
2 3 x 5 2 x 3x
解
解
sec x(sec x tan x)dx (sec
ww
x (22) cos 2 dx ; 2
解
cos
2
(23)
解
1 dx ; 1 cos 2 x
(25)
解
cos 2 x dx ; cos 2 x sin 2 x
cos 2 x cos 2 x sin 2 x 1 1 dx cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x dx ( sin 2 x cos 2 x )dx cot x tan x C .
(2)由 t 3360, 得物体走完 360m 所需的时间 t 3 360 7.11 s. ex 1 4. 证明函数 e 2 x , e x sh x 和 e x ch x 都是 的原函数. chx shx 2
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
解
dx 1 d (3 5 ln | x |) . x 5
dx 1 9 x 2 dx
2
(12)
解
d (arctan 3x) ; 1 d (arctan 3x) . 3
1 9 x
(13)
dx 1 x 2 dx 1 x 2
(11) ( x 2 1) 2 dx ;
解
(x
2
1 2 1) 2 dx ( x 4 2 x 2 1)dx x 4 dx 2 x 2 dx dx x 5 x 3 x C . 5 3
解
x
(1 x) 2 x
le
dx ( x
1 2 1 2x 2
ar
1 y dx ln | x | C . x
n.
2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲 线的方程. 解 设该曲线的方程为 yf(x), 则由题意得
ne
t
1 4 1 2 x x dx ( x 4 x 4 ) dx x 4 4 x 4 C . 7 x
1 x2 ) x x dx ;
3 5 7 1
(26) (1
解
1 y f ( x) , x
所以
ww
解 设位移函数为 ss(t), 则 sv3 t2, s 3t 2 dt t 3 C .
因为当 t0 时, s0, 所以 C0. 因此位移函数为 st 3. (1)在 3 秒后物体离开出发点的距离是 ss(3)3327.
ww
解
(2e
x
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
w.
(14)
3 x 4 3 x 2 1 dx ; x 2 1 3 x 4 3 x 2 1 1 解 dx (3 x 2 2 )dx x 3 arctan x C . 2 x 1 x 1 2 x (15) dx ; 1 x 2 x2 x 2 11 1 解 dx dx (1 ) dx x arctan x C . 2 2 1 x 1 x 1 x 2 3 (16) (2e x )dx ; x 3 1 )dx 2 e x dx 3 dx 2e x 3 ln | x | C . x x
1 1 1
1 cos 2 x dx 2 cos 2 x dx 2 tan x C .
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
w.
x 1 cos x 1 1 dx dx (1 cos x)dx ( x sin x) C . 2 2 2 2
5x
3
5 dx 5 x 3 dx x 4 C . 4
(8) ( x 2 3x 2)dx ; 解
(x
2
1 3 3x 2)dx x 2 dx 3 xdx 2 dx x 3 x 2 2 x C . 3 2
天天learn（）为您提供大学各个学科的课后答案、视频教程在线浏览及下载。
1 x
2
x2
1 x
dx x
5 2 dx
(6) m x n dx ; 解
w.
tt
n m x dx
1 3 1 1 x 2 C C . 5 2 x x 1 2
m
x dx
n
1
le
5
n 1 m C x
x
dx ;
ww
n 1 m
(7) 5 x 3 dx ; 解
w.
yln|x|1. 3. 一物体由静止开始运动, 经 t 秒后的速度是 3t2(m/s), 问 (1)在 3 秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完 360m 需要多少时间？
tt
3f(e 2)ln|e 2|C2C, C321. 于是所求曲线的方程为
le
又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有321
解 xdx 1 d(x2). 2
(5) xdx d (1 x 2 ) ;
解 xdx
解 e 2x dx 1 d(e2x). 2
(8) e 2 dx d (1 e
x
x
ww
3 3 (9) sin xdx d (cos x) ; 2 2
3 2 3 解 sin xdx d (cos x) . 2 3 2
t
此文档由天天learn（）为您收集整理。
习题 42
1 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数使等式成立(例如 dx d ( 4 x 7 ) : 4
(1) dxd(ax); 1 解 dx d(ax). a
(2) dx d(7x3); 1 解 dx d(7x3). 7 (3) xdx d(x2);
h
1 2 dh
1 2g
1
2h 2 C
2h C . g
(10) ( x 2) 2 dx ;
解
( x 2)
2
1 dx ( x 2 4 x 4)dx x 2 dx 4 xdx 4 dx x 3 2 x 2 4 x C . 3
ar
m x nm
mn m
n.
C .
ne
t
1
dx x
1 2 dx
1 1 x 2 C 2 x C . 1 1 2
1
此文档由天天learn（）为您收集整理。
(9)
dh 2 gh
(g 是常数);
解
dh 2 gh
1 2g
tt
2
(21) sec x (sec x tan x )dx ;
le
2 ( )x 2 x 5 2 dx [2 5( ) ]dx 2 x 5 3 C 2 x ( ) x C . 2 3 ln 2 ln 3 3 ln 3