2015年武汉外国语学校高中招生资格综合能力测试题(附答案)

武汉市外国语学校2015年高中招生资格考试数学试题

一、填空题（共13题，每小题5分，满分65分）

1．化简：)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2)12)(12(2655

544

433

322

211

++++++++++++++＝____

2．对于任意的有理数a ，方程2x 2－(a ＋1)x －(3a 2－4a ＋b )＝0的根总是有理数，则b 的值为____

3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，在AB 、BC 、CD 和DA 上分别取点E 、F 、G 、H ，使得AE ＝AH ＝CF ＝CG ，则四边形EFGH 面积的最大值为_______

4．口袋A 中装有标号分别为1到10的10个红球，口袋B 中装有标号分别为1到8的8个黑球．现在从两个口袋中随机各取出一个球，则红球标号比黑球标号大的概率为__________

5．如图，直线三角形ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝4∶3，圆O 是三角形ABC 的内切圆，点D

是斜边AB 的中点，则sin ∠ODA ＝__________

6．已知a ＋b ＝2，4)1()1(22-=-+-a

b b a ，则ab ＝__________7．已知实数x 、y 满足：x 4＋x 2＝3，32424=+y y ，则444y

x +＝_______8．如图，在等边三角形内，三个半径相等的圆两两外切，并且每个圆

都和等边三角形的两条边相切．若三角形的边长为4，则图中夹在三个

圆之间的阴影部分的面积为__________（用含π的代数式表示）

9．已知A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数x

y 16=（x ＞0）图象上的五个整点（即横纵坐标都是整数的点），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分）．若取圆周率π为3.14，则这五个橄榄形的面积总和是__________

10．下列四张图中，只有一张图的曲线满足拿住曲线的两端拉直后不会打结，请将该图对应的序号填在横线上__________

11．如图，在三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠CBE ，BE ＝DE ．若BC ＝1，则点C 到BD 所在直线的距离为__________

12．对于正整数n ，记n !＝1×2×3×……×(n －1)×n ，例如：4!＝24，5!＝120，则2015!的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是__________

13．1789年的发过巴黎，一位对后世有深重影响的伟大数学家在这里诞生，他的名字叫柯西，

柯西的一生对数学领域有着很高的建树和造诣，很多数学定理和公式都用他的名字来命名，如著名的柯西不等式：(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，在该式中a 、b 、c 、d 可以是任意实数，当且仅当ad ＝bc 时等号成立，根据该式，对于有意义的实数x ，则x x 221-++的最大值为__________

三、解答题（共2题，第14题10分，第15题15分，满分25分）

14．已知函数1312+-=x y ，当a ≤x ≤b 时，y 的最小值为2a ，最大值为2b ，求a 、b 的值15．平面直角坐标系中，点F 坐标为(0，1)，点A 是抛物线24

1x y =

上异于原点O 的任意一点(1)过A 作直线l ：y ＝－1的垂线，垂足为M ，求证：AF ＝AM (2)设直线AF 与抛物线的另一交点为B ，判断以AB 为直径的圆与直线l ：y ＝－1的位置关系并证明

(3)过B 作直线l ：y ＝－1的垂线，垂足为N ，求证：A 、O 、N 三点共线

(4)若AF ＝3BF ，求△AOB 的面积

求x x 221-++的最大值