北京高一入学分班考试数学(1)
开学分班考试(一)-2020年秋季高一新生入学分班考试数学试卷及答案(新教材)
2020年秋季高一开学分班考试（衔接教材部分）（一）一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1、下列式子计算正确的是（ ） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）﹣2＝C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 2【答案】C【解析】A 、m 3•m 2＝m 5，故A 错误； B 、（﹣m ）﹣2＝B 错误；C 、按照合并同类项的运算法则，该运算正确．D 、（m +n ）2＝m 2+2mn +n 2，故D 错误． 2、若代数式1x−5有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ． x =0B ． x =5C ． x ≠0D ． x ≠5 【答案】D【解析】分数要求分母不为零。
5,05≠≠-x x3、已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3 D ．6【答案】A ．【解析】设方程的另一个根为t ， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3．故选A ．4、关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A ．图像与轴的交点坐标为B ．图像的对称轴在轴的右侧C ．当时，的值随值的增大而减小D ．的最小值为-3 【答案】D【解析】∵y=2x 2+4x -1=2（x+1）2-3， ∴当x=0时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，2241y x x =+-y ()0,1y 0x <y x y当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．5、若，则（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】将不等式因式分解得，即或，无解或，所以√(2x−1)2+2|x−2|=2x−1+4−2x=3.故选C.6、已知ABC∆的三边a、b、c满足bcbaca-=-22，判断ABC∆的形状( )A.等边三角形B.等腰直角三角形C. 等腰三角形D.直角三角形【答案】C【解析】等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c为非零数，所以a=b，故选C.7、若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是（）A.(-1, +∞)B.(-∞,-1)C.[-1，+∞)D.(-1,0)∪(0,+∞).【答案】B【解析】当{Δ=4+4a＜0a≠0时，一元二次方程无解，解得a＜-1，且a≠0，所以a的取值范围是a＜-1．8、不等式的解集是( )A．{x|1<x≤5}B．{x|1<x<5}C．{x|1≤x<5 }D．{x|1≤x≤5 }【答案】A【解析】原不等式化为−x+5x−1≥0,x−5x−1≤0，解得1<x≤5．9、不等式2560x x+->的解集是（）A．{}23x x x-或B．{}23x x-<<321xx+≥-C ．{}61x x x -或 D ．{}61x x -<<【答案】C【解析】因为2560x x +->，所以(1)(6)01x x x -+>∴>或6x <-，故选C 。
2020-2021学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开学分班考试数学试题(解析版)
A． y x 1和 y x2 1 x 1
B． y x0 和 y 1 x R
C． y = x2 和 y x 12
D． y (
x)2 和 y
x
(
x x )2
【答案】D 【解析】根据函数的定义域和解析式是否相同判断. 【详解】
A. y x 1的定义域为 R， y x2 1 的定义域为x | x 1 ，故错误；
7．设 M 2a(a 2) 7 ， N (a 2)(a 3) ，则 M 与 N 的大小关系是（ ）
A． M N
B． M N
C． M N
D． M N
【答案】A
【解析】利用作差法求解出 M N 的结果，将所求结果与 0 作比较，然后可得 M , N 的
大小关系.
【详解】
因为
M
N
2a a
6
【点睛】 本题考查函数的最值的求法，注意运用单调性，考查运算能力，属于基础题．
14．已知 f (x) 为一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3, 则 f (1) 的值为（）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】设 f (x) kx b ，代入 f [ f (x)] 4x 3, 得到 f (x) 2x 1或
2020-2021 学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期开 学分班考试数学试题
一、单选题
1．已知全集U 0,1, 2,3, 4, M 0,1, 2, N 2,3 则 CU M N ( )
A．2
B．3
C．2,3, 4
D．0,1, 2,3, 4
【答案】B 【解析】先求 M 的补集，再与 N 求交集． 【详解】 ∵全集 U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，2}， ∴∁UM＝{3，4}． ∵N＝{2，3}， ∴（∁UM）∩N＝{3}． 故选 B． 【点睛】 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．
2019-2020学年北京人大附中高一分班考数学试题含解析
2019年人大附中新高一分班考试数学试题真题一､选择题(本大题共17小题，共34分)1. 小雨利用几何画板探究函数()a y x b x c =--图象，在他输λ一组,,a b c 的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足（ ）A. 0,0,0a b c >>= B. 0,0,0a b c <>=C. 0,0,0a b c >== D. 0,0,0a b c <=>【答案】B 2. 大于1的正整数m 的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如33235,37911=+=++，3413151719,=+++⋯若3m 分裂后，其中有一个奇数是103，则m 的值是（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B3. 如图，AB 是半圆O 直径，按以下步骤作图：（1）分别以,A B 为圆心，大于AO 长为半径作弧，两弧交于点P ，连接OP 与半圆交于点C ；（2）分别以,A C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点Q ，连接OQ 与半圆交于点D ；（3）连接,,,AD BD BC BD 与OC 交于点E .根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD 平分ABC ∠；②//BC OD ；③CE OE =；④2AD OD CE =⋅；所有正确结论的序号是（ ）的A. ①②B. ①④C. ②③D. ①②④【答案】D 4. 图1的摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟.若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，9号车厢才会运行到最高点？（ ）A. 10B. 20C. 152D. 452【答案】B 5. 某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用.已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘览车，回程有10人搭乘缆车.若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？（ ）参观方式缆车费用去程及回程均搭乘缆车300元单程搭乘缆车，单程步行200元A. 16B. 19C. 22D. 25【答案】A 6. 如图，坐标平面上有一顶点为A 的抛物线，此拋物线与方程式2y 的图形交于B C ､两点，ABC 为正三角形.若A 点坐标为()3,0-，则此拋物线与y 轴的交点坐标为何?（ ）A. 90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 270,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. ()0,9 D. ()0,19【答案】B7. 如图的七边形ABCDEFG 中，,AB ED 的延长线相交于O 点.若图中1,2,3,4∠∠∠∠的外角的角度和为220 ，则BOD ∠的度数为何？（ ）A. 40B. 45C. 50D. 60【答案】A 8. 如图，菱形ABCD 的边长为10，圆O 分别与AB AD ､相切于､E F 两点，且与BG 相切于G 点.若5AO =，且圆O 的半径为3，则BG 的长度为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C9. 桌面上有甲､乙､丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水.先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升.若过程中水没有溢出，则原本甲､乙两杯内的水量相差多少毫升？（ ）A. 80B. 110C. 140D. 220【答案】B10. 如图，坐标平面上，二次函数24y x x k =-+-的图形与x 轴交于､A B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且0k >.若ABC 与ABD △的面积比为1:4，则k 值为何？（ ）A. 1B. 12C. 43D. 45【答案】D 11. 如图的ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，､E F 在AB 上，直线AG 分别交DE BC ､于M N ､两点.若90,4,3,1B AB BC EF ∠==== ，则BN 的长度为何?（ ）A. 43 B. 32 C. 85 D. 127【答案】D12. 图(一)､图(二)分别为甲､乙两班学生参加投篮测验的投进球数直方图.若甲､乙两班学生的投进球数的众数分别为a b ､；中位数分别为c d ､，则下列关于a b c d ､､､的大小关系，何者正确？（ ）A. ,a b c d>> B. ,a b c d ><C. ,a b c d<> D. ,a b c d<<【答案】A 13. 如图的六边形是由甲､乙两个长方形和丙､丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲､乙的面积和等于丙､丁的面积和.若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. 12 B. 35 C. 2 D. 4-【答案】D14. 如图的矩形ABCD 中，E 点在CD 上，且AE AC <.若P Q ､两点分别在AD AE ､上，:4:1AP PD =，:4:1AQ QE =，直线PQ 交AC 于R 点，且Q R ､两点到CD 的距离分别为q r ､，则下列关系何者正确？（ ）A. ,q r QE RC <=B. ,q r QE RC<<C. ,q r QE RC== D. ,q r QE RC=<【答案】D 15. 下表为小洁打算在某电信公司购买一支MAT 手机与搭配一个号码的两种方案.此公司每个月收取通话费与月租费的方式如下：若通话费超过月租费，只收通话费；若通话费不超过月租费，只收月租费，若小洁每个月的通话费均为x 元，x 为400到600之间的整数，则在不考虑其他费用并使用两年的情况下，x 至少为多少才会使得选择乙方案的总花费比甲方案便宜？（ ）甲方案乙方案号码的月租费(元)400600MAT 手机价格(元)1500013000注意事项：以上方案两年内不可变更月租费A. 500B. 516C. 517D. 600【答案】C 16. 如图的矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，有一圆过,,C D E 三点，且此圆分别与,AD BC 相交于,P Q 两点.甲､乙两人想找到此圆的圆心O ，其作法如下：(甲)作DEC ∠的角平分线L ，作DE 的中垂线，交L 于O 点，则O 即为所求；(乙)连接,PC QD ，两线段交于一点O ，则O 即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列判䉼何者正确？（ ）A. 两人皆正确B. 两人皆错误C 甲正确，乙错误D. 甲错误，乙正确【答案】A17. 如图，正六边形ABCDEF 中，P Q ､两点分别为,ACF CEF △△的内心.若2AF =，则PQ 的长度为何？（ ）.A. 1B. 2C. 2- D. 4-【答案】C 二､填空题(本大题共3小题，共9分)18. 如图，正方形ABCD 的边长是3,,P Q 分别在,AB BC 的延长线上，BP CQ =，连接,AQ DP 交于点O ，并分别与,CD BC 交于点,F E ，连接AE .下列结论：①AQ DP⊥②2OA OE OP=⋅③AOD OECFS S = 四边形④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=其中正确结论的序号是__________.【答案】①③④19. 在等边ABC 中，M N P ､､分别是边AB BC CA ､､上的点(不与端点重合)，对于任意等边ABC ，下面四个结论中：①存在无数个MNP △是等腰三角形；②存在无数个MNP △是等边三角形；③存在无数个MNP △是等腰直角三角形；④存在一个MNP △在所有MNP △中面积最小.所有正确结论的序号是__________.【答案】①②③20. 如图，在Rt ABC 中，90C = ∠，记,x AC y BC AC ==-，在平面直角坐标系xOy 中，定义(),x y 为这个直角三角形的坐标，Rt ABC 为点(),x y 对应的直角三角形.有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点(),x y对应的直角三角形均满足AB =；②在函数2019(0)y x x=>的图象上存在两点边,P Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函2(2020)1(0)y x x =-->图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数22020(0)y x x =-+>的图象上存在无数对点,(P Q P 与Q 不重合)，使得它们对应的直角三角形全等.所有正确结论的序号是__________.【答案】①③④三､解答题(本大题共9小题，第21-26题每题6分，第27-29题，每题7分，共57分)21. 如图，AM 是ABC 的中线，D 是线段AM 上一点(不与点A 重合)//DE AB 交AC 于点,//F CE AM ，连结AE.的（1）如图1，当点D 与M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）如图2，当点D 不与M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.（3）如图3，延长BD 交AC 于点H ，若BH AC ⊥，且BH AM =.①求CAM ∠的度数；②当4FH DM ==时，求DH 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）①30°；②22. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和M ，给出如下定义：若M 上存在两个点,A B ，使AB =2PM ，则称点P 为 的“美好点”.（1）当 M 半径为2，点M 和点O 重合时.①点()()()1232,0,1,1,2,2P P P -中， O 的“美好点"是__________.②若直线2y x b =+上存在点P 为 O 的“美好点”，求b 的取值范围；（2）点M 为直线y x =上一动点，以2为半径作M ，点P 为直线4y =上一动点，点P 为 M 的“美好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围.【答案】（1）①P 1和P 2；②b （2）2≤m ≤6.23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过T e 外一点P 引它的两条切线，切点分别为,M N ，若60≤ 180MPN ∠< ，则称P 为T e 的环绕点.（1）当 O 半径为1时，①在()()()1231,0,1,1,0,2P P P 中，O 的环绕点是__________.②直线2y x b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，若线段AB 上存在 的环绕点，求b 的取值范围；（2）T e 的半径为1，圆心为()0,t ，以(0)m m ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在T e 的环绕点，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）①P 1，P 3；②1b ≤＜或1b ≤-＜；（2）-2<t ≤4.24. 在平面直角坐标系xOy 中，我们称横从坐标都是整数的点为整点，若坐标系内两个整点(),A p q 、()(),B m n m n ≤满足关于x 的多项式2x px q ++能够因式分解为()()x m x n ++，则称点B 是A 的分解点.例如()3,2A 、()1,2B 满足()()23212x x x x ++=++，所以B 是A 的分解点.（1）在点()15,6A 、()20,3A 、()32,0A -中，请找出不存在分解点的点__________；（2）点P 、Q 在纵轴上（P 在Q 的上方），点R 在横轴上，且点P 、Q 、R 都存在分解点，若PQR 面积为6，请直接写出满足条件的PQR 的个数及每个三角形的顶点坐标；（3）已知点D 在第一象限内，D 是C 的分解点，请探究OCD 是否可能是等腰三角形？若可能请求出所有满足条件的点D 的坐标；若不可能，请说明理由.【答案】（1）2A ；（2）答案见解析；（3）OCD 不可能为等腰三角形，理由见解析.25. 已知关于x 的一元二次方程2104x bx c ++=（1）21c b =-时，求证：方程一定有两个实数根.（2）有甲､乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1,2,3,4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b ，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c ，利用列表法或者树状图，求b c ､的值使方程2104x bx c ++=两个相等的实数根的概率.【答案】（1）证明见解析；（2）16.26. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线():10l y kx k =-≠与函数(0)m y x x=>的图象交于点()3,2A .（1）求,k m 的值；（2）将直线l 沿y 轴向上平移(0)t t >个单位后，所得直线与x 轴，y 轴分别交于点,P Q ，与函数y =(0)m x x>的图象交于点C .①当2t =时，求线段QC 的长.②若23QC PQ<<，结合函数图象，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）1,6k m ==；（2）①；②12t <<.27. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2224y x ax a a =-+-+顶点为A ，点,B C 为直线3y =上的两个动点(点B 在点C 的左侧)，且3BC =.（1）求点A 的坐标(用含a 的代数式表示)；（2）若ABC 是以BC 为直角边的等腰直角三角形，求拋物线的解析式；（3）过点A 作x 轴的垂线，交直线3y =于点D ，点D 恰好是线段BC 三等分点且满足3BC BD =，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围.【答案】（1）(),4A a a -；（2）2(2)6y x =++或2(4)y x =-；（3）1a =或25a <≤.28. 如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，点C 关于直线AB 的对称点为D ，连接,BD CD ，过点B 作//BE AC 交直线AD 于点E .（1）依题意补全图形；（2）找出一个图中与CDB △相似的三角形，并证明；（3）延长BD 交直线AC 于点F ，过点F 作FH //AE 交直线BE 于点H ，请补全图形，猜想,,BC CF BH 之间的数量关系并证明.【答案】（1）答案见解析；（2）与CDB △相似的三角形是ABE △，证明见解析；（3）作图见解析；22BH FC BC CF ⋅=+，证明见解析.29. 新定义：在平面直角坐标系xOy 中，若几何图形G 与A 有公共点，则称几何图形G 的叫A 的关联图形，特别地，若A 的关联图形G 为直线，则称该直线为A 的关联直线.如图，M ∠为A 的关联图形，的直线l 为A 的关联直线.（1）已知 O 是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线22y x =+；②直线3y x =-+；③双曲线2y x=，是O 关联图形的是__________（请直接写出正确的序号）；（2）如图1，T e 的圆心为()1,0T ，半径为1，直线:l y x b =-+与x 轴交于点N ，若直线l 是T e 的关联直线，求点N 的横坐标的取值范围；（3）如图2，已知点()0,2B 、()2,0C 、()0,2D -，I 经过点C ，I 的关联直线HB 经过点B ，与I 的一个交点为P ；I 的关联直线HD 经过点D ，与I 的一个交点为Q ；直线HB 、HD 交于点H ，若线段PQ 在直线6x =上且恰为I 的直径，请直接写出点H 横坐标h 的取值范围.【答案】（1）①③；（2）11b +≤≤；（3）60h -≤<或02h <≤.的。
北京市清华附中2020-2021学年高一新生分班考试数学试题含答案
P DA 清华附中高一新生分班考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 ( ) A . 6 B .4 C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动(4题图) O C B A P (6题图) AB CDF E (3题图)D CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
2019年北京八中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析-2019.8
2019年北京八中新高一入学分班考试数学试题2019.8一、选择题（本大题共9小题，共31.0分）1.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是()A.0B.4C.6D.8第1题图第2题图第3题图2.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac>0，②2a+b>0，③4ac<b2，④a+b+c<0，⑤当x>0时，y随x的增大而减小，其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.③④⑤3.如图，边长为√2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则OM=()A.12B.√2C.2√3−1D.√2−14.如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接A M，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，A M交于点N、K：则下列结论：①△ANH△≌GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN：△??ADM=1：4.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个5.关于x的一元二次方程x2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1，x2，若(x1−x2+2)(x1−x2−2)+2x1x2=−3，则k的值()A.0或2B.−2或2C.−2D.26.若关于x的一元一次不等式组{3x−14<x+2x−1(4a−2)≤12的解集是x≤a，且关于y的分式方程2y−a−y−12y−41−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为()A.0B.1C.4D.67.如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD△，把BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC′与AB交于点E，连结AC′，若AD=AC′=2，BD=3，则点D到BC′的距离为()A.3√32B.3√21C.7√7 D.√13第7题图第8题图8.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于()A.as i n x+b s i n xB.ac o s x+bc o s xC.as i n x+bc o s xD.ac o s x+b s i n x9.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A.M=N−1或M=N+1C.M=N或M=N+1B.M=N−1或M=N+2D.M=N或M=N−1二、填空题（本大题共6小题，共22.0分）10.如图，矩形ABCD，∠BAC=60°，以点A为圆心，以任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N两点，再分别以点M，N为圆心，以大于1MN的长作半径作弧交于点P，作射线AP交2BC于点E，若BE=1，则矩形ABCD的面积等于______．11.如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______(结果用含a，b代数式表示)．第11题图12.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM=45°，点F在射线A M上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；②△AEG的周长为(1+√2)a；2③BE2+DG2=EG2；④△EAF的面积的最大值1a2．8其中正确的结论是______.(填写所有正确结论的序号)第12题图第13题图第14题图13.我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|(a≠0，且b2−4a>0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2−2x−3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(−1,0)，(3,0)和(0,3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当−1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=−1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是______．14.某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y(米)与甲出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示(乙给甲手机的时间忽略不计).则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．15.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠(点E，H在AD边上，点F，G在BC边上)，使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°△，A′EP的面积为4△，D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．第15题图三、解答题（本大题共10小题，共108.0分）16.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离．(参考数据：si n41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88)217.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°．(1)求证：△PAB△∽PBC；(2)求证：PA=2PC；(3)若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3，求证ℎ1=ℎ2⋅ℎ3．18.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150m m(含150mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：si n65°≈0.906，cos65°≈0.423)19.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．【模型呈现】我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型应用】如图，在Rt△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，将斜边AB绕点A顺时针旋转一定的角度得到AD，过点D作DE⊥AC于点E，∠DAE=∠ABC，DE=1，连接DO交⊙O于点F．(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)连接FC交AB于点G，连接FB.求证：FG2=GO⋅GB．20.通过对下面数学模型的研究学习，解决问题．我们把这个数学模型成为“K型”．推理过程如下：【模型迁移】二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点(−1,0)，B(4,0)两点，交y轴于点C.动点M从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；(2)连接BD，当t=3时，求△DNB的面积；2，当PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐(3)在直线MN上存在一点P△标；(4)当t=5时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC=90°，求点Q的坐标．421.阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN.求证：∠AMN=60°．点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM.易△证：ABM△≌EBM(SAS)，可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°．问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点(不含端点B1，C1)，N1是正方形A 1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1.求证：∠A1M1N1=90°．22.已知抛物线G：y=mx2−2mx−3有最低点．(1)求二次函数y=mx2−2mx−3的最小值(用含m的式子表示)；(2)将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)记(2)所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．23.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式--利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题“的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图a(a≥0)象．同时，我们也学习了绝对值的意义|a|={−a(a<0)．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1．(1)求这个函数的表达式；(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象井写出这个函数的一条性质；(3)已知函y=1x−3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式|kx−3|+b≤21x−3的解集．224.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S，点E在DC边上，点G在BC1的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1=S2．(1)求线段CE的长；(2)若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD=HG．25.如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．(1)若∠BAC=60°，①求证：OD=1OA．2②当OA=1时，求△ABC面积的最大值．(2)点E在线段OA上，OE=OD，连接DE，设∠ABC=m∠OED，∠ACB=n∠OED(m,n是正数)，若∠ABC<∠ACB，求证：m−n+2=0．2019年北京八中新高一入学分班考试数学试题2019.8答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H，可得点H到点E和点F的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【解答】解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，∴EC=8，FC=4=AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°，∴∠ACM=90°，∴EM=√EC 2+CM2=4√5，则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4√5<9，在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12，∴点P在CH上时，4√5<PE+PF≤12，在点H左侧，当点P与点B重合时，BF=√FN2+BN2=2√10，∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF，∴△ABE△≌CBF(SAS)，∴BE=BF=2√10，2a<1，2a 时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；∴PE+PF=4√10，∴点P在BH上时，4√5<PE+PF<4√10，∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．即共有8个点P满足PE+PF=9，故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由于对称轴可知：−b∴2a+b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2−4ac>0，故③正确；④由图象可知：x=1时，y=a+b+c<0，故④正确；⑤当x>−b故选：C．3.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=√2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，∴BD=√2AB=2，∴OD=BO=OC=1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE=DC=√2，DF⊥CE，∴OE=√2−1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，∴∠ODM=∠ECO，∠EOC=∠DOC=90°与OMD中，{OD=OC，在△OEC△∠OCE=∠ODM△OEC△≌OMD(ASA)，∴OM=OE=√2−1，故选：D．根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=√2，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=√2AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=√2，DF⊥CE，求得OE=√2−1，根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB=2，∴FG=BE=2，∠FGB=90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD=4，AH=2，∠BAD=90°，∴∠HAN=∠FGN，AH=FG，∵∠ANH=∠GNF，∴△ANH△≌GNF(AAS)，故①正确；∴∠AHN=∠HFG，∵AG=FG=2=AH，∴AF=√2FG=√2AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH△≌GNF，∴AN=1AG=1，2∵GM=BC=4，∴AH=GM=2，AN AG∵∠HAN=∠AGM=90°，∴△AHN∽△GMA，2 2 2 2∴ ∠AHN = ∠AMG ，∵ AD//GM ，∴ ∠HAK = ∠AMG ，∴ ∠AHK = ∠HAK ，∴ AK = HK ，∴ AK = HK = NK ，∵ FN = HN ，∴ FN = 2NK ；故③正确；∵延长 FG 交 DC 于 M ，∴四边形 ADMG 是矩形，∴ DM = AG = 2，∵ △?? AFN = 1 AN ⋅ FG = 1 × 2 × 1 = 1，△?? ADM = 1 AD ⋅ DM = 1 × 4 × 2 = 4，∴ △?? AFN ：△?? ADM = 1：4 故④正确，故选：C ．由正方形的性质得到FG = BE = 2，∠FGB = 90°，AD = 4，AH = 2，∠BAD = 90°，求得∠HAN =∠FGN ，AH = FG ，根据全等三角形的定理定理得到△ ANH ≌△ GNF(AAS)，故①正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN = ∠HFG ，推出∠AFH ≠ ∠AHF ，得到∠AFN ≠ ∠HFG ，故②错误；根据全等三角形的性质得到AN = 1 AG = 1，根据相似三角形的性质得到∠AHN = ∠AMG ，根据平行线的性质 2得到∠HAK = ∠AMG ，根据直角三角形的性质得到FN = 2NK ；故③正确；根据矩形的性质得到DM = AG = 2，根据三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．5. 【答案】D【解析】解：∵关于 x 的一元二次方程x 2 − (k − 1)x − k + 2 = 0的两个实数根为x 1，x 2，∴ x 1 + x 2 = k − 1，x 1 x 2 = −k + 2．∵ (x 1 − x 2 + 2)(x 1 − x 2 − 2) + 2x 1 x 2 = −3，即(x 1 + x 2 )2 − 2x 1 x 2 − 4 = −3，∴ (k − 1)2 + 2k − 4 − 4 = −3，解得：k = ±2．∵关于 x 的一元二次方程x 2 − (k − 1)x − k + 2 = 0有实数根，∴ Δ = [−(k − 1)]2 − 4 × 1 × (−k + 2) ≥ 0，于易错题．先解关于 x 的一元一次不等式组{3x−14 x − 1 (4a − 2) ≤ 1 解：由不等式组{3x−14 2得：{ < x + 2 由关于 y 的分式方程 解得：k ≥ 2√2 − 1或k ≤ −2√2 − 1，∴ k = 2．故选：D ．由根与系数的关系可得出x 1 + x 2 = k − 1，x 1 x 2 = −k + 2，结合(x 1 − x 2 + 2)(x 1 − x 2 − 2) +2x 1 x 2 = −3可求出 k 的值，根据方程的系数结合根的判别式Δ ≥ 0可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围，进而可确定 k 的值，此题得解．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合(x 1 − x 2 + 2)(x 1 − x 2 − 2) + 2x 1 x 2 = −3，求出 k 的值．6.【答案】B【解析】【分析】本题综合考查了含参一元一次不等式组的整数解，含参分式方程得问题，需要考虑的因素较多，属x − 1 (4a − 2) ≤ 1 2，再根据其解集是x ≤ a ，得 a 小于 < x + 2 25；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出 a 的值，再求和即可．【解答】x ≤ a x < 5 2∵解集是x ≤ a ，∴ a < 5；2y−a y−1 − y−4 = 1得2y − a + y − 4 = y − 1 1−y∴ y = 3+a ， 2∵有非负整数解，∴ 3+a ≥ 0， 2∴ a ≥ −3，且a = −3，a = −1(舍，此时分式方程为增根)，a = 1，a = 3它们的和为 1．故选：B ．7.【答案】B′ 2 2 【解析】解：如图，连接CC′，交 BD 于点 M ，过点 D 作DH ⊥BC′于点 H ，∵ AD = AC′ = 2，D 是 AC 边上的中点，∴ DC = AD = 2，由翻折知，△ BDC △≌BDC′，BD 垂直平分CC′，∴ DC = DC′ = 2，BC = BC′，CM = C′M ，∴ AD = AC′ = DC′ = 2，∴△ ADC′为等边三角形，∴ ∠ADC′ = ∠AC′D = ∠C′AC = 60°，∵ DC = DC′，∴ ∠DCC′ = ∠DC′C = 1 × 60° = 30°， 2在Rt △ C′DM 中，∠DC′C = 30°，DC′ = 2，∴ DM = 1，C′M = √3DM = √3，∴ BM = BD − DM = 3 − 1 = 2，在Rt △ BMC′中，BC′ = √BM 2 + C′M 2 = √ 22 + (√3)2 = √7，∵ △?? BDC = 1 BC′ ⋅ DH = 1 BD ⋅ CM， ∴ √7DH = 3 × √3，∴ DH = 3√21，7故选：B ．连接CC′，交 BD 于点 M ，过点 D 作DH ⊥ BC′于点 H ，由翻折知，△ BDC △≌BDC′，BD 垂直平分CC′△，证ADC′为等边三角形，利用解直角三角形求出DM = 1，C′M = √3DM = √3，BM = 2，在Rt △ BMC′中，利用勾股定理求出BC′的长，在△ BDC′中利用面积法求出 DH 的长．本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．8.【答案】D【解析】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a⋅c o s x+b⋅s i n x，故选：D．根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用−坡度角问题、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】C【解析】解：∵y=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，∴△=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，∴函数y=(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∴M=2，∵函数y=(ax+1)(bx+1)=abx2+(a+b)x+1，时，=(a+b)2−4ab=(a−b)2>0，函数y=(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交∴当ab≠0△点，即N=2，此时M=N；当ab=0时，不妨令a=0，∵a≠b，∴b≠0，函数y=(ax+1)(bx+1)=bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N=1，此时M=N+1；综上可知，M=N或M=N+1．故选：C．先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x 轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．10.【答案】3√3【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=30°，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴AE=CE，过E作EF⊥AC于F，∴EF=BE=1，∴AC=2CF=2√3，∴AB=√3，BC=3，∴矩形ABCD的面积=AB⋅BC=3√3，故答案为：3√3．根据矩形的性质得到∠B=∠BAD=90°，求得∠ACB=30°，由作图知，AE是∠BAC的平分线，得到∠BAE=∠CAE=30°，根据等腰三角形的性质得到AE=CE，过E作EFAC于F，求得EF=BE=1，求得AC=2CF=2√3，解直角三角形得到AB=√3，BC=3，于是得到结论．本题主要考查矩形的性质，作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质及直角三角形30°角所对边等于斜边的一半．11.【答案】a+8b【解析】解：由图可得，拼出来的图形的总长度=9a−8(a−b)=a+8b．故答案为：a+8b．用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．12.【答案】①④【解析】解：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．∵BE=BH，∠EBH=90°，∴EH=√2BE，∵AF=√2BE，∴AF=EH，∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，∴∠FAE=∠EHC=135°，∵BA=BC，BE=BH，∴AE=HC，∴△FAE△≌EHC(SAS)，∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，，则CBE≌△CDH(SAS)，如图2中，延长AD到H，使得DH=BE△∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE△≌GCH(SAS)，∴EG=GH，∵GH=DG+DH，DH=BE，∴EG=BE+DG，故③错误，∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，2 2 2 2 4 4 22 8∴ △?? AEF = 1 ⋅ (a − x) × x = − 1 x 2 + 1 ax = − 1 (x 2 − ax + 1 a 2 − 1 a 2 ) = − 1 (x − 1 a)2 + 1 a 2 ， ∵ − 1 < 0， 2∴ x = 1 a △时， AEF 的面积的最大值为1 a 2 .故④正确， 28 故答案为①④．①正确．如图 1 中，在 BC 上截取BH = BE ，连接EH.△证明FAE △≌ EHC(SAS)，即可解决问题． ②③错误．如图 2 中，延长 AD 到 H ，使得DH = BE ，则△ CBE △≌CDH(SAS)，再证明△ GCE △≌ GCH(SAS)，即可解决问题．④正确．设BE = x ，则AE = a − x ，AF = √2x ，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．13.【答案】4【解析】解：① ∵ (−1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y = |x 2 − 2x −3|，∴ ①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x = 1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当−1 ≤ x ≤ 1或x ≥ 3时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据y = 0，求出相应的 x 的值为x = −1或x = 3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x < −1或x > 3，函数值要大于当x = 1时的y = |x 2 − 2x − 3| = 4，因此⑤时不正确的；故答案是：4由(−1,0)，(3,0)和(0,3)坐标都满足函数y = |x 2 − 2x − 3|，∴ ①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x = 1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当−1 ≤ x ≤ 1或x ≥ 3时，函数值 y 随 x 值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与 x 轴的两个交点，根据y = 0，求出相应的 x 的值为x = −1或x =3，因此④也是正确的；从图象上看，当x < −1或x > 3，函数值要大于当x = 1时的y = |x 2 − 2x −4a ，理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．14.【答案】6000【解析】解：由题意可得，甲的速度为：4000÷(12−2−2)=500米/分，乙的速度为：4000+500×2−500×2=1000米/分，2+2乙从与甲相遇到返回公司用的时间为4分钟，则乙回到公司时，甲距公司的路程是：500×(12−2)−500×2+500×4=6000(米)，故答案为：6000．根据函数图象和题意可以分别求得甲乙的速度和乙从与甲相遇到返回公司用的时间，从而可以求得当乙回到公司时，甲距公司的路程．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】2(5+3√5)【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，∵△A′EP的面积为4△，D′PH的面积为1，∴A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a，∵△A′EP△∽D′PH，∴D′H=PD′，PA′EA′∴a=xx∴x2=4a2，∴x=2a或−2a(舍弃)，∴PA′=PD′=2a，∵1⋅a⋅2a=1，24a=2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．cos41.3∘=30.75=4(米)，∴x=2，∴AB=CD=2，PE=√22+42=2√5，PH=√12+22=√5，∴AD=4+2√5+√5+1=5+3√5，∴矩形ABCD的面积=2(5+3√5).故答案为2(5+3√5)设AB=CD=x，由翻折可知：PA′=AB=x，PD′=CD=x，因为△A′EP的面积为4△，D′PH的面积为1，推出A′E=4D′H，设D′H=a，则A′E=4a△，由A′EP△∽D′PH，推出D′H=PD′，推出PA′EA′ax=x，可得x本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16.【答案】解：连接CO并延长，与AB交于点D，∵CD⊥AB，∴AD=BD=1AB=3(米)，2在Rt△AOD中，∠OAB=41.3°，∴cos41.3°=AD，即OA=3OAtan41.3°=OD，即OD=AD⋅tan41.3°=3×0.88=2.64(米)，AD则CD=CO+OD=4+2.64=6.64(米)．【解析】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．连接CO并延长，与AB交于点D，由CD与AB垂直，利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出OA，进而求出OD，由CO+OD求出CD的长即可．17.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AB=BC，∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC又∠APB=135°，∴∠PAB+∠PBA=45°∴∠PBC=∠PAB又∵∠APB=∠BPC=135°，∴△PAB△∽PBC(2)∵△PAB△∽PBC∴在Rt△ABC中，AC=BC，∴∴∴PA=2PC(3)如图，过点P作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，过P作PF⊥AB于点F ∴PF=ℎ1，PD=ℎ2，PE=ℎ3，∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°，又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°∴∠EAP=∠PCD，∴Rt△AEP∽Rt△CDP，∴，即，∴ℎ3=2ℎ2∵△PAB△∽PBC，∴∴，2∴即：ℎ1=ℎ2⋅ℎ3．．【解析】(1)利用等式的性质判断出∠PBC=∠PAB，即可得出结论；(2)由(1)的结论得出，进而得出，即可得出结论；(3)先判断出Rt△AEP∽Rt△CDP，得出，即ℎ3=2ℎ2，再由△PAB∽△PBC，判断出，即可得出结论．此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，判断出∠EAP=∠PCD是解本题的关键．18.【答案】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB//CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD⋅cos65°=900×0.423≈381，DM=BD⋅si n65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120<127<150，∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260<272<300，∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．【解析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．19.【答案】证明：(1)∵⊙O为Rt△ABC的外接圆∴O为斜边AB中点，AB为直径∵∠ACB=90°∴∠ABC+∠BAC=90°∵∠DAE=∠ABC∴∠DAE+∠BAC=90°∴∠BAD=180°−(∠DAE+∠BAC)=90°∴AD⊥AB∴AD是⊙O的切线(2)延长DO交BC于点H，连接OC∵DE⊥AC于点E∴∠DEA=90°∵AB绕点A旋转得到AD∴AB=AD在△DEA△与ACB中∠DEA=∠ACB=90°{∠DAE=∠ABCDA=AB∴△DEA△≌ACB(AAS)∴AE=BC=2，AC=DE=1∴AD=AB=√AC2+BC2=√5∵O为AB中点1√5∴AO=AB=22AO√5AD∴==DE2AE∵∠DAO=∠AED=90°∴△DAO△∽AED∴FG∴∠ADO=∠EAD∴DO//EA∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC∵OB=OC∴OH平分∠BOC，即∠BOH=1∠BOC2∵∠FOG=∠BOH，∠BFG=1∠BOC2∴∠FOG=∠BFG∵∠FGO=∠BGF∴△FGO△∽BGFGO=BG GF∴FG2=GO⋅GB【解析】(1)因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证．(2)依题意画出图形，由要证的结论FG2=GO⋅GB联想到对应边成比例，所以需证△FGO∽△BGF.其中∠FGO=∠BGF为公共角，即需证∠FOG=∠BFG.∠BFG为圆周角，所对的弧为弧BC，故连接OC后有∠BFG=1∠BOC，问题又转化为证∠FOG=1∠BOC.把DO延长交BC于点H后，有∠FOG=22∠BOH，故问题转化为证∠BOH=1∠BOC.只要OH⊥BC，由等腰三角形三线合一即有∠BOH=21∠BOC，故问题继续转化为证DH//CE.联系【模型呈现】发现能证△2DEA△≌ACB，得到AE=BC=2，AC=DE=1，即能求AD=AB=√5.又因为O为AB中点，可得到AO=√5=AD，再加上第(1)题DE2AE证得∠BAD=90°，可得△DAO△∽AED，所以∠ADO=∠EAD，DO//EA，得证．本题考查了三角形外心定义，圆的切线判定，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形三线合一，圆周角定理．其中第(2)题证明DO//EA进而得到DO垂直BC是解题关键．20.【答案】解：(1)将点(−1,0)，B(4,0)代入y=ax2+bx+2，∴a=−1，b=3，22132(2)C(0,2)，∴ BC 的直线解析式为y = − 1 x + 2，2当t = 3时，AM = 3，2∵ AB = 5，∴ MB = 2，∴ M(2,0)，N(2,1)，D(2,3)，∴△ DNB 的面积=△ DMB 的面积− △ MNB 的面积=1 2 × MB × DM − 1 × MB × MN = 1 × 2 × 2 = 2； 2 2(3) ∵ BM = 5 − 2t ，∴ M(2t − 1,0)，设P(2t − 1, m)，∵ PC 2 = (2t − 1)2 + (m − 2)2 ，PB 2 = (2t − 5)2 +m 2，∵ PB = PC ，∴ (2t − 1)2 + (m − 2)2 = (2t − 5)2 + m 2，∴ m = 4t − 5，∴ P(2t − 1,4t − 5)，∵ PC ⊥ PB ，∴ 4t − 7 4t − 5 ⋅ = −1 2t − 1 2t − 5∴ t = 1或t = 2，∴ M(1,0)或M(3,0)，∴ D(1,3)或D(3,2)；(4)当t = 5时，M(3 , 0)，42∴点 Q 在抛物线对称性x = 3上，2如图：过点 A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB 为直径构造圆，圆与x = 3的交点分别为Q 1与Q 2，∵ AB = 5，∴ AM = 5，2∵ ∠AQ 1C + ∠OAC = 90°，∠OAC + ∠MAG = 90°，⋅ 4t−5 = −1求出t = 1或t = 2，即可求 D 点坐标；2 22 22 2又∵ ∠AQ 1C = ∠CGA = ∠MAG ，∴ Q 1(3 , − 5)，∵ Q 1与Q 2关于 x 轴对称，∴ Q 2 (3 , 5)，∴ Q 点坐标分别为(3 , − 5)，(3 , 5)；22 2 2【解析】(1)将点(−1,0)，B(4,0)代入y = ax 2 + bx + 2即可；(2)由已知分别求出M(2,0)，N(2,1)，D(2,3)，根据∴△ DNB 的面积=△ DMB 的面积− △ MNB 的面积即可求解；(3)由已知可得M(2t − 1,0)，设P(2t − 1, m)，根据勾股定理可得PC 2 = (2t − 1)2 + (m − 2)2，PB 2 = (2t − 5)2 + m 2，再由PB = PC ，得到 m 与 t 的关系式：m = 4t − 5，因为PC ⊥ PB ，则有4t−7 2t−12t−5(4)当t = 5时，M(3 , 0)，可知点 Q 在抛物线对称性x = 3上；过点 A 作 AC 的垂线，以 M 为圆心 AB42 2为直径构造圆，圆与x = 3的交点分别为Q 1与Q 2，由AB = 5，可得圆半径AM = 5，即可求 Q 点坐标分别为(3 , − 5)，(3 , 5).22 2 2本题考查二次函数的图象及性质，动点问题；能够熟练掌握二次函数解析式与相应点的求法，熟悉等腰直角三角形的性质，应用勾股定理和直线垂直的性质建立坐标之间的联系，借助圆周角的性质，等腰三角形的性质，互余角的性质将角进行转换是解题的关键．21.【答案】解：延长A 1B 1至 E ，使EB 1 = A 1B 1，连接EM 1C 、EC 1，如图所示：则EB 1 = B 1C 1，∠EB 1M 1中= 90° = ∠A 1B 1M 1，∴△ EB 1C 1是等腰直角三角形， ∴ ∠B 1EC 1 = ∠B 1C 1E = 45°，∵ N 1是正方形A 1B 1C 1D 1的外角∠D 1C 1H 1的平分线上一点， ∴ ∠M 1C 1N 1 = 90° + 45° = 135°， ∴ ∠B 1C 1E + ∠M 1C 1N 1 = 180°， ∴ E 、C 1、N 1，三点共线，A 1B1=EB1在△A1B1M1△和EB1M1中，{∠A1B1M1=∠EB1M1B 1M1=B1M1∴△A1B1M1△≌EB1M1(SAS)，∴A1M1=EM1，∠1=∠2，∵A1M1=M1N1，∴EM1=M1N1，∴∠3=∠4，∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°，∴∠1=∠2=∠5，∵∠1+∠6=90°，∴∠5+∠6=90°，∴∠A1M1N1=180°−90°=90°．，【解析】延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A 1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS△证明A1B1M1△≌EB 1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论．此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．22.【答案】解：(1)∵y=mx2−2mx−3=m(x−1)2−m−3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2−2mx−3的最小值为−m−3；(2)∵抛物线G：y=m(x−1)2−m−3∴平移后的抛物线G1：y=m(x−1−m)2−m−3∴抛物线G1顶点坐标为(m+1,−m−3)∴x=m+1，y=−m−3∴x+y=m+1−m−3=−2即x+y=−2，变形得y=−x−2∵m>0，m=x−1法二：{∴x>1∴y与x的函数关系式为y=−x−2(x>1)；(3)法一：如图，函数H：y=−x−2(x>1)图象为射线x=1时，y=−1−2=−3；x=2时，y=−2−2=−4∴函数H的图象恒过点B(2,−4)∵抛物线G：y=m(x−1)2−m−3x=1时，y=−m−3；x=2时，y=m−m−3=−3∴抛物线G恒过点A(2,−3)由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则y B<y P<y A，∴点P纵坐标的取值范围为−4<yP<−3；y=−x−2y=mx2−2mx−3整理的：m(x2−2x)=1−x∵x>1，且x=2时，方程为0=−1不成立∴x≠2，即x2−2x=x(x−2)≠0∴m=1−x x(x−2)∵x>1∴1−x<0∴x(x−2)<0∴x−2<0>0∴x<2即1<x<2∵yP=−x−2∴−4<yP<−3．【解析】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第(3)题结合图象解题体现数形结合的运用．(1)抛物线有最低点即开口向上，m>0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．(2)写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标(m+1,−m−3)，即x=m+1，y=−m−3，x+y=−2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m>0，即求得x的取值范围．(3)法一：求出抛物线恒过点B(2,−4)，函数H图象恒过点A(2,−3)，由图象可知两图象交点P应在|2k−3|+b=−4k=3∴{，得{，b=−4{2点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．23.【答案】解：(1)∵在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1，|−3|+b=−1∴这个函数的表达式是y=|3x−3|−4；2(2)∵y=|3x−3|−4，2∴y=3x−7−3x−21(x≥2)，(x<2)∴函数y=3x−7过点(2,−4)和点(4,−1)；函数y=−3x−1过点(0,−1)和点(−2,2)；22该函数的图象如图所示，性质是当x>2时，y随x的增大而增大(答案不唯一)；(3)由函数图象可得，不等式|kx−3|+b≤1x−3的解集是1≤x≤4．2【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．(1)根据在函数y=|kx−3|+b中，当x=2时，y=−4；当x=0时，y=−1，可以求得该函数的表达式；(2)根据(1)中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；(3)根据图象可以直接写出所求不等式的解集．24.【答案】解：(1)设正方形CEFG的边长为a，第31页，共33页。
2019年北京四中新高一入学分班考试数学试题-真题-含详细解析2019.8
⏜ ⏜2019 年北京四中新高一入学分班考试数学试题 -真题2019.8姓名学校 成绩一、选择题（本大题共 10 小题，共 20 分）1.如图，坐标平面上有一顶点为 A 的抛物线，此抛物线与方程式y = 2的图形交于 B 、C 两点，△ ABC为正三角形．若 A 点坐标为(−3,0)，则此抛物线与 y 轴的交点坐标为何？()A. (0, 9)B. (0, 27)C. (0,9)D. (0,19)22第 1 题图第 2 题图2.已知锐角∠AOB ，如图，(1)在射线 OA 上取一点 C ，以点 O 为圆心，OC 长为半径作PQ ，交射线 OB 于点 D ，连接 CD ；(2)分别以点 C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交PQ 于点 M ，N ；(3)连接 OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A. ∠COM = ∠CODC. MN//CDB. 若OM = MN.则∠AOB = 20°D. MN = 3CD3.如图，直线m ⊥ n ，在某平面直角坐标系中，x 轴//m ，y 轴//n ，点 A 的坐标为(−4,2)，点 B 的坐标为(2, −4)，则坐标原点为( )A. O 1 C. O 3B. O 2 D. O 4C. D.4.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y = ax 2 + bx + c(a ≠ 0).如图记录了某运动员起跳后的 x 与 y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为( )A. 10mB. 15mC. 20mD. 22.5m第 4 题图第 5 题图5.如图，坐标平面上，二次函数y = −x 2 + 4x − k 的图形与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D ，且k > 0.△若ABC △与 ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？( )A. 1B.1 4 42 3 56.小苏和小林在如图 1 所示的跑道上进行4 × 50米折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t (单位：s)的对应关系如图 2 所示．下列叙述正确的是()A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点B. 小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C. 小苏前 15s 跑过的路程大于小林前 15s 跑过的路程D. 小林在跑最后 100m 的过程中，与小苏相遇 2 次7.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型A类B类C类办卡费用(元)50200400每次游泳收费(元)252015例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A.购买A类会员年卡C.购买C类会员年卡B.购买B类会员年卡D.不购买会员年卡8.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为()A.A→O→BB.B→A→CC.B→O→CD.C→B→O9.某旅行团到森林游乐区参观，如表为两种参观方式与所需的缆车费用．已知旅行团的每个人皆从这两种方式中选择一种，且去程有15人搭乘缆车，回程有10人搭乘缆车．若他们缆车费用的总花费为4100元，则此旅行团共有多少人？()参观方式去程及回程均搭乘缆车单程搭乘缆车，单程步行缆车费用300元200元A.16B.19C.22D.2510.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t人数学生类型男性别0≤t<1010≤t<2020≤t<3030≤t<40t≥4073125304女初中8292526363244811学段高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5～25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20～30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A.①③B.②④C.①②③D.①②③④二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．12.某公园划船项目收费标准如下：船型两人船(限乘两人)四人船(限乘四人)六人船(限乘六人)八人船(限乘八人)每船租金(元/小时)90100130150某班18名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为____元．13.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P.(如图1)求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．14.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P′(−y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，….若点A1的坐标为(3,1)，则点A3的坐标为______，点A2014的坐标为______；若点A1的坐标为(a,b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为______．15.在平面直角坐标系xO y中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0,4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m=________(用含n的代数式表示．)116.在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai,j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i,j 规定如下：当i≥j时，a i,j=1；当i<j时，a i,j=0.例如：当i=2，j=1时，a i,j=a2，=1.按此规定，a 1,3=______；表中的25个数中，共有_____个1；计算a 1,1·ai,1+a 1,2·ai,2+a 1,3·ai,3+a 1,4·ai,4+a1，5·ai,5的值为________．a1,1a2,1a3,1a4,1a5,1a1,2a2,2a3,2a4,2a5,2a1,3a2,3a3,3a4,3a5,3a1,4a2,4a3,4a4,4a5,4a1,5a2,5a3,5a4,5a5,517.阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm.现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与AB边夹角为45°的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45°的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45°的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45°的方向作直线运动……如图1所示．问P点第一次与D点重合前与边相碰几次，P点第一次与D点重合时所经过的路径的总长是多少．小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A 1B 1CD.由轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E，P 1A=P 1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1)P点第一次与D点重合前与边相碰________次；P点从A 点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是________cm；(2)进一步探究：改变矩形ABCD中AD，AB的长，且满足AD>AB.动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形A BCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB∶AD的值为________．三、解答题（本大题共10小题，共56分）18.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤x<40，40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；b.国家创新指数得分在60≤x<70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5c.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d.中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线l1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成”小康社会的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．19.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有x i首，i=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(i+1)天背诵第二遍，第(i+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组第4组x4x4x4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入x3补全上表；(2)若x1=4，x2=3，x3=4，则x4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．20.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．(1)求证：GF=GC；(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．21.在平面直角坐标系xOy中，函数y=k(x>0)的图象G经过点A(4,1)，直线l：y=1x+b与图象Gx4交于点B，与y轴交于点C．(1)求k的值；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域(不含边界)为W．①当b=−1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．22.阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1△，在ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小腾发现，过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2)．请回答：∠ACE的度数为______，AC的长为______．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．.23. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y = x 2 − 4x + 3与 x 轴交于点 A 、B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C ．(1)求直线 BC 的表达式；(2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点P(x 1, y 1 )，Q(x 2, y 2)，与直线 BC 交于点N(x 3, y 3)，若x 1 <x 2 < x 3，结合函数的图象，求x 1 + x 2 + x 3的取值范围．24. 有这样一个问题：探究函数y = 1 x 2 + 1的图象与性质．2x小东根据学习函数的经验，对函数y = 1 x 2 + 1的图象与性质进行了探究．2x下面是小东的探究过程，请补充完整：(1)函数y = 1 x 2 + 1的自变量 x 的取值范围是;2x(2)下表是 y 与 x 的几组对应值．x 1 1 1… −3 −2 −1 − −2 3 3 1 2123…y…2563 1 15 53 55 17− − −2 2 8 18 18 83 25 2m…求 m 的值；(3)如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点 根据描出的点，画出该函数的图象;(4)进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是(1, 3) .结合函数的图象，写出该函数的其他性质(一条即可):.2′25.(1)对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点A，B的对应点分别为A′,B′.如图1，若点A表示的数是，则点A′表示的数是_________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_________；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是_________；(2)如图2，在平面直角坐标系xO y中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位(m>0，n>0)，得到正方形A′B′C′D及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′.已知正方形ABCD 内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．26.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．(1)依题意补全图1；(2)求证：∠OMP=∠OPN；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．27.对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d(M,N)．已知点A(−2,6)，B(−2,−2)，C(6,−2)．(1)求d(点O△，ABC)；(2)记函数y=kx(−1≤x≤1,k≠0)的图象为图形G.△若d(G,ABC)=1，直接写出k的取值范围；(3)⊙T的圆心为T(t,0)，半径为1.若d(⊙T,△ABC)=1，直接写出t的取值范围．28.2019年北京四中新初一分班考试数学试题-真题答案和解析1.【答案】B【解析】解：设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)∵A点坐标为(−3,0)，∴BC=2m，∵△ABC为正三角形，∴AC=2m，∠DAO=60°，∴m=2√3 32∴C(−3+√3,2)3设抛物线解析式y=a(x+3)2，a(−3+2√3+3)2=2，3∴a=3，2∴y=3(x+3)2，2当x=0时，y=27；2故选：B．设B(−3−m,2)，C(−3+m,2)，(m>0)，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C(−3+2√3,2)，3设抛物线解析式y=a(x+3)2，将点C代入解析式即可求a，进而求解；本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：由作图知CM=CD=DN，∴∠COM=∠COD，故A选项正确；连接ON，∵OM=ON=MN，∴△OMN是等边三角形，∴∠MON=60°，∵CM=CD=DN，∴∠MOA=∠AOB=∠BON=1∠MON=20°，故B选项正确；3记MN与OA，OB交点为E，F，∵OM=ON，∴∠OME=∠ONF，又∵∠COM=∠DON，∴△MOE△≌NOF，∴OE=OF，∴∠OEF=1×(180°−∠EOF)=1×(180°−∠COD)=∠OCD．22∴MN//CD，故C选项正确；∵MC+CD+DN>MN，且CM=CD=DN，∴3CD>MN，故D选项错误；故选：D．由作图知CM=CD=DN，再根据选项逐一判断可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，圆心角，弧，弦的关系等知识点．3.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面直角坐标系中，画出点A(−4,2)，点B(2,−4)，点A，B关于直线y=x对称，则原点在线段AB的垂直平分线上(在线段AB的右侧)，如图所示，连接AB，作AB的垂直平分线，则线段AB上方的点O1为坐标原点．故选：A．先根据点A、B的坐标求得直线AB在坐标平面内的位置，即可得出原点的位置．本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握关于直线y=x对称的点的坐标特征：点(a,b)关于直线y=x对称的点的坐标为(b,a)．4.【答案】B【解析】解：根据题意知，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)，c=54.0则{1600a+40b+c=46.2400a+20b+c=57.9a=−0.0195解得{b=0.585，c=54.0所以x=−b0.585故选：B．将点(0,54.0)、(40,46.2)、(20,57.9)分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．5.【答案】D【解析】解：∵y=−x2+4x−k=−(x−2)2+4−k，∴顶点D(2,4−k)，C(0,−k)，∴OC=k，∵△ABC的面积=1AB⋅OC=1AB⋅k△，ABD的面积=1AB(4−k)△，ABC△与ABD的面积比为1：4，222∴k=1(4−k)，4解得：k=4．5故选：D．求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．本题考查了抛物线与x轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=路程，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前时间15s跑过的路程小于小林前15s跑过的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答．【解答】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=路程，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故B错误；时间小林在跑最后100m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知2次，故D正确；故选：D．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到y1=30x，y A=50+25x，y B =200+20x，yC=400+15x，当x=45和x=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．【解答】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，y1=30x，当购买A类会员年卡时，y A=50+25x，当购买B类会员年卡时，y B=200+20x，当购买C类会员年卡时，y C=400+15x，当x=45时，y1=1350，yA=1175，yB=1100，yC=1075，此时yC最小，当x=55时，y1=1650，yA=1425，yB=1300，yC=1225，此时yC最小，∵y1，yA，yB，yC均随x的增大而增大，∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合，从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题．【解答】解：由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形，那么行走路线相对于M来说也是对称的，从而排除A选项和D选项．B选项，B→A过程中，寻宝者与定位仪器之间的距离先减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要{ 200x + 300y = 4100解得，{ ， 长，所以 B 选项错误．故选项 C 符合题意．故选 C ．9.【答案】A【解析】解：设此旅行团有 x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有 y 人，根据题意得，(15 − y) + (10 − y) = x ， x = 7 y = 9则总人数为7 + 9 = 16(人)故选：A ．设此旅行团有 x 人单程搭乘缆车，单程步行，其中去程及回程均搭乘缆车的有 y 人，根据题意列出二元一次方程，求出其解．本题是二元一次方程组的应用，主要考查了列二元一次方程组解应用题，关键是读懂题意，找出等量关系，列出方程组．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这 200 名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5 × 97 + 25.5 × 103) ÷ 200 = 25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为 15，60，51，62，12，则中位数在20～30之间，故②正确．③由统计表计算可得，初中学段栏0 ≤ t < 10的人数在大于等于 0 小于等于 15 之间，当人数为 0 时中位数在20～30之间；当人数为 15 时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于 0 小于等于 15，35，15，18，1，当0 ≤间，故④错误．故选：C．11.【答案】①②③【解析】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，易得OM=OP，OQ=ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM=QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ=PQ，∠MQP=90°，易证∠AMQ=∠DQP，则△AMQ△≌DQP，∴AM=QD，AQ=PD，∵PD=BM，∴AB=AD，∴四边形ABCD是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故错误；故答案为：①②③．根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．12.【答案】380【解析】解：∵共有18人，当租两人船时，∴18÷2=9(艘)，∵每小时90元，∴租船费用为90×9=810元，当租四人船时，∵18÷4=4余2人，∴要租4艘四人船和1艘两人船，∵四人船每小时100元，∴租船费用为100×4+90=490元，当租六人船时，∵18÷6=3(艘)，∵每小时130元，∴租船费用为130×3=390元，当租八人船时，∵18÷8=2余2人，∴要租2艘八人船和1艘两人船，∵8人船每小时150元，∴租船费用150×2+90=390元当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船，100+130+150=380元∵810>490>390>380，∴当租1艘四人船，1艘六人船，1艘八人船费用最低是380元，故答案为：380．分四类情况，分别计算即可得出结论．此题主要考查了有理数的运算，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．13.【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在线段PQ的垂直平分线上)【解析】【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在线段PQ的垂直平分线上)，理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB，故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上(A、B都在线段PQ的垂直平分线上. ，{ )．14.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【解析】【分析】本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图 属基础题．【解答】解：由小芸的作法可知，AC = BC ，AD = BD ，所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点 C 、D 在线段 AB 的垂直平分线上，再由“两点确定一条直线”可知直线 CD 就是所求作的垂直平分线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．15.【答案】(−3,1)；(0,4)；−1 < a < 1且0 < b < 2【解析】解：∵ A 1的坐标为(3,1)，∴ A 2(0,4)，A 3(−3,1)，A 4(0, −2)，A 5(3,1)，…，依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，∵ 2014 ÷ 4 = 503余 2，∴点A 2014 的坐标与A 2的坐标相同，为(0,4)；∵点A 1的坐标为(a, b)，∴ A 2(−b + 1, a + 1)，A 3(−a, −b + 2)，A 4(b − 1, −a + 1)，A 5(a, b)，…，依此类推，每 4 个点为一个循环组依次循环，∵对于任意的正整数 n ，点A n 均在 x 轴上方，∴{ a + 1 > 0 −b + 2 > 0 ， −a + 1 > 0 b > 0解得−1 < a < 1，0 < b < 2．故答案为：(−3,1)，(0,4)；−1 < a < 1且0 < b < 2．根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每 4 个点为一个循环组依次循环，用 2014 除以 4，根据商和余数的情况确定点A 2014 的坐标即可；再写出点A 1(a, b)的“伴随点”，然后根据 x 轴上方的点的纵坐标本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．16.【答案】3，46n−3【解析】本题考查作图并且能根据所作图形探索、发现规律的能力，难度较大．当m=3时，考生可通过尝试作出图形，找出符合条件的两个点(3,0)，(4,0).当点B的横坐标是4n(n是正整数)时，考生可作出图形并得到当n=1时，m=3=6×1−3；当n=2时，m=9=6×2−3；当n=3时，m=15=6×3−3；当n=4时，m=21=6×4−3；…，从而找出规律m=6n−3．17.【答案】0151【解析】本题属阅读理解题，难度较大．当i≥j时，a i,j=1，当i<j时，a i,j=0，所以a1，1=1，而i≥1，所以ai,1=1；a1，2=0，所以a1，2·ai,2=0；...，所以a1，1·ai,1+a 1,2·ai,2+a 1,3·ai,3+a 1,4·ai,4+a 1,5·ai,5=1+0+0+0+0=1．18.【答案】解：(1)5，解题思路示意图：.(2)4∶5．【解析】略19.【答案】解：(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元；故答案为：2.7；(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点A、B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线l1的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．20.【答案】解：(1)第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组x1x1x1第2组x2x2x2第3组x3x3x3第4组x4x4x4。
2019-2020学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
（）
A．40° 【答案】C
B．80°
C．20°
2
D．10°
【解析】由 △PAB 为等腰三角形求出 PAB 70 ，再证明 PA AC ，最后由 BAC PAC PA 得出答案.
【详解】
PA PB,P 40
PAB 为等腰三角形，且 PAB 180 40 70 2
PA 是 O 切线， A 为切点， AC 是直径 PA AC 即 BAC PAC PAB 90 70 20
2．分式
x2
x
x 1
2
的值为
0，则
x
的值为（
）
A． 1或 2
B．2
C． 1
【答案】B
x2 x 2 0
【解析】将该分式化为
|
x
|
1
0
，求解即可.
【详解】
x2 x 2 0 x 1
D． 2
x2 | x
x | 1
2 0
0
，解得
x
2
故选：B
【点睛】
本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.
2019-2020 学年北京市清华附中高一新生分班考试数学试题
一、单选题
1．化简 a a2 （ ）
A． a
B． a
C． a
D． a2
【答案】B
【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.
【详解】
1
a
a2
a
a2
1 2 2
a2
1
2 a .
故选：B
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
3．如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C 等于（ ）
北京市海淀区高一新生入学分班考试数学试题及答案
高一新生入学分班考试数 学试 题总分：150分 时量：120分钟第Ⅰ卷一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列运算正确的是（ ）。
A 、a 2·a 3=a 6B 、a 8÷a 4=a 2 C 、a 3+a 3=2a 6 D 、(a 3)2=a 62．一元二次方程2x 2-7x+k=0的一个根是x 1=2,则另一个根和k 的值是 ( )A ．x 2=1 ，k=4B ．x 2= - 1, k= -4C ．x 2=32,k=6 D ．x 2= 32-,k=-6 3．如果关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该二次方程有两个不等实数根的概率P= ( ) A ．23B ．12C ．13D ．164．二次函数y=-x 2-4x+2的顶点坐标、对称轴分别是( )A.(-2,6)，x=-2B.(2,6)，x=2C.(2,6)，x=-2D.(-2,6)，x=25．已知关于023,034,045=+-=+-=+-c x b x a x x 有两个解无解的方程只有一个解，则化简b a bc c a ---+-的结果是 （ ）A 、2aB 、2bC 、2cD 、06. 在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y （单位N ）与铁块被提起的高度x （单位cm ）之间的函数关系的大致图象是 （ ）A BC B 7． 下列图中阴影部分的面积与算式12221(|43|-++-的结果相同的是 （ ）8．已知四边形1S 2S ，顺次连结2S 各边中点得四边形3S ，以此类推，则2006S 为（ ）A ．是矩形但不是菱形； B. 是菱形但不是矩形； C.既是菱形又是矩形； D.既非矩形又非菱形.9．如图 ,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. 若10,αβ=︒则的度数是 A ．40︒B ． 50︒C ． 60︒D ．不能确定10．如图为由一些边长为1cm 正方体堆积在桌面形成的立方体的三视图，则该立方体露在外面部分的表面积是________ cm 2。
精品解析：北京市清华附中2019-2020学年高一新生分班考试数学试题(解析版)
【答案】0 【解析】 【分析】
由甲、乙、丙的图看出，2 和 6,1,3,2 都相邻，可得出 2 的对面的数字和 3 的对面的数字，然后解方程 mx1 n
3. 如图，在四边形 ABCD 中， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点.若 EF 2 ， BC 5 ， CD 3 ，则 tan C
等于（ ）
4
A.
3
3
B.
5
3
C.
4
4
D.
5
【答案】A
【解析】 【分析】
连接 BD ， EF 是 △ABD 的中位线可得 BD 的长，根据边长判断 BDC 90 可得答案.
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据“友好点对”的概念知，函数 y 1 , x 0 的图象关于原点对称的图象与函数 y 2x2 4x 1 x 0 的
2x
图象的交点个数即为函数 y 的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可.
【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数 y 1 ,x 0 的图象关于原点对称的图象与函数 2x
第 2 层正方体的棱长为 2 2 2
2
，每个面的面积为
4
1 2
2
，
第 3 层正方体的棱长为 2
2 2
2
，每个面的面积为
4
1 2
2
1，
，
第 n 层正方体的棱长为 2
2 2
n
1
，每个面的面积为
4
1 2
2019-2020学年北京市101中学高一(上)分班考数学试卷
2019-2020学年北京市101中学高一（上）分班考数学试卷一、选择题（每小题3分，共40分）1．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是( )A ．230cmB ．230cm πC ．215cmD ．215cm π2．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个．A ．45B ．48C ．50D ．553．（3分）已知矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4．（3分）要使分式2939x x -+的值为0，你认为x 可取得数是( ) A ．9 B ．3± C ．3- D ．35．（3分）若0ab >，则一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x =在同一坐标系中的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．6．（3分）如图，点(,)P a a 是反比例函数16y x =在第一象限内的图象上的一个点，以点P 为顶点作等边PAB ∆，使A 、B 落在x 轴上，则POA ∆的面积是( )A ．3B ．4C ．12433-D ．24833- 7．（3分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，则BD的长为( )A ．157B ．125C ．207D ．2158．（3分）如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，则不等式24x ax <+的解集为( )A ．32x <B ．3x <C ．32x >D ．3x >9．（3分）如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<，其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（3分）已知点(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C t +，(3,)D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为( )A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知1|1|0a a b -+++=，则b a = ．12．（4分）如图，ABC ∆中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，AF BC ⊥，则EFC ∠=︒．13．（4分）如图，ABC DEF ∆≅∆，请根据图中提供的信息，写出x = ．14．（4分）下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，⋯那么第n 个数是 ． 15．（4分）如图，一个正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是 ．三、解答题（每小题12分，共60分）16．（12分）（1）计算：2020201(1)()(sin98)32sin6022π--⨯+︒-+-︒．（2）先化简，再求值：231839x x ---，其中103x =-． 17．（12分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图．组别A B C D E 时间t （分钟）40t < 4060t < 6080t < 80100t < 100t 人数 1230 a 24 12 （1）求出本次被调查的学生数；（2）请求出统计表中a 的值；（3）求各组人数的众数；（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．18．（12分）如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，67A ∠=︒，37B ∠=︒．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A D C B →→→去超市B ．求他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675︒≈，3sin375︒≈，4cos375︒≈，3tan37)4︒≈19．（12分）如图，O 的直径6AB =，AD 、BC 是O 的两条切线，2AD =，92BC =． （1）求OD 、OC 的长；（2）求证：DOC OBC ∆∆∽；（3）求证：CD 是O 切线．20．（12分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,0)，(5,0)，(3,4)-．（1）求该二次函数的解析式；（2）当3y >-，写出x 的取值范围；（3）A 、B 为直线26y x =--上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时ABC ∆的面积最小？求出此时点C 的坐标及ABC ∆面积的最小值．21．（10分）如图，已知抛物线经过(2,0)A-，(3,3)B-及原点O，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM x⊥轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC∆相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2019-2020学年北京市101中学高一（上）分班考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共40分）1．（3分）已知圆柱的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则圆柱的侧面积是( )A ．230cmB ．230cm πC ．215cmD ．215cm π【分析】圆柱侧面积=底面周长⨯高．【解答】解：根据圆柱的侧面积公式，可得该圆柱的侧面积为：223530cm ππ⨯⨯=． 故选：B ．【点评】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法，属于基础题．2．（3分）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有( )个．A ．45B ．48C ．50D ．55【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1:9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1:9；即可计算出红球数．【解答】解：小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，∴白球与红球的数量之比为1:9，白球有5个，∴红球有9545⨯=（个)，故选：A ．【点评】本题考查的是利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中红色球所占的比例．3．（3分）已知矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，则y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据题意有：36xy =；故y 与x 之间的函数图象为反比例函数，且根据x 、y 实际意义x 、y 应0>，其图象在第一象限，即可得出答案．【解答】解：矩形的面积为236cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm ，36xy ∴=，∴函数解析式为：36(0,0)y x y x=>>． 故选：A ．【点评】本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．4．（3分）要使分式2939x x -+的值为0，你认为x 可取得数是( ) A ．9 B ．3± C ．3- D ．3【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【解答】解：由分式的值为零的条件得290x -=，390x +≠，由290x -=，得3x =±，由390x +≠，得3x ≠-，综上，得3x =．故选：D ．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．5．（3分）若0ab >，则一次函数y ax b =+与反比例函数ab y x=在同一坐标系中的大致图象是( )A．B．C．D．【分析】根据0ab>，可得a、b同号，结合一次函数及反比例函数的特点进行判断即可．【解答】解：A、根据一次函数可判断0a>，0b>，根据反比例函数可判断0ab>，故符合题意，本选项正确；B、根据一次函数可判断0a<，0b<，根据反比例函数可判断0ab<，故不符合题意，本选项错误；C、根据一次函数可判断0a<，0b>，根据反比例函数可判断0ab>，故不符合题意，本选项错误；D、根据一次函数可判断0a>，0b>，根据反比例函数可判断0ab<，故不符合题意，本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．6．（3分）如图，点(,)P a a是反比例函数16yx=在第一象限内的图象上的一个点，以点P为顶点作等边PAB∆，使A、B落在x轴上，则POA∆的面积是()A．3B．4C 1243-D2483-【分析】如图，根据反比例函数系数k的几何意义求得点P的坐标，则易求4PD=．然后通过等边三角形的性质易求线段433AD =，所以111243248342233POA S OA PD ∆--==⨯⨯=． 【解答】解：如图，点(,)P a a 是反比例函数16y x=在第一象限内的图象上的一个点， 216a ∴=，且0a >，解得，4a =，4PD ∴=．PAB ∆是等边三角形，43tan 603PD AD ∴==︒． 124343OA AD -∴=-=， 111243248342233POA S OA PD ∆--∴==⨯⨯=． 故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，等边三角形的性质．等边三角形具有等腰三角形“三合一”的性质．7．（3分）在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，则BD的长为( )A ．157B ．125C ．207D ．215【分析】根据勾股定理列式求出BC ，再利用三角形的面积求出点A 到BC 上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D 到AB 、AC 上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D 到AB 的长，再利用ABD ∆的面积列式计算即可得解． 【解答】解：90BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，2222345BC AB AC ∴=+=+=， BC ∴边上的高123455=⨯÷=， AD 平分BAC ∠，∴点D 到AB 、AC 上的距离相等，设为h ，则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯，解得127h =， 11211232725ABD S BD∆=⨯⨯=， 解得157BD =． 故选：A ．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．8．（3分）如图，函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，则不等式24x ax <+的解集为( )A ．32x <B ．3x <C ．32x >D ．3x >【分析】先根据函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ，求出m 的值，从而得出点A 的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式24x ax <+的解集．【解答】解：函数2y x =和4y ax =+的图象相交于点(,3)A m ， 32m ∴=， 32m =，∴点A 的坐标是3(2，3)， ∴不等式24x ax <+的解集为32x <； 故选：A ．【点评】此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．9．（3分）如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象中，王刚同学观察得出了下面四条信息：（1）240b ac ->；（2）1c >；（3）20a b -<；（4）0a b c ++<，其中错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：（1）图象与x 轴有2个交点，依据根的判别式可知240b ac ->，正确； （2）图象与y 轴的交点在1的下方，所以1c <，错误； （3）对称轴在1-的右边，12ba∴->-，又0a <，20a b ∴-<，正确； （4）当1x =时，0y a b c =++<，正确； 故错误的有1个． 故选：A ．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10．（3分）已知点(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C t +，(3,)D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为() A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9【分析】分别求出1t =， 1.5t =，2t =，0t =时的整数点，根据答案即可求出答案．【解答】解：当0t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,4)C ，(3,0)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6个点；当1t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,5)C ，(3,1)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，共8个点；当 1.5t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,5.5)C ，(3,1.5)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，共7个点；当2t =时，(0,0)A ，(0,4)B ，(3,6)C ，(3,2)D ，此时整数点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，共8个点；故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确； 故选：C ．【点评】本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力． 二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4分）已知1|1|0a a b -+++=，则b a = 1 ．【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b ，然后代入代数式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，10a -=，10a b ++=， 解得1a =，2b =-， 所以，211b a -==． 故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 12．（4分）如图，ABC ∆中，AB AC =，DE 垂直平分AB ，BE AC ⊥，AF BC ⊥，则EFC ∠= 45 ︒．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE BE =，然后求出ABE ∆是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出45BAE ABE ∠=∠=︒，再根据等腰三角形两底角相等求出ABC ∠，然后求出CBE ∠，根据等腰三角形三线合一的性质可得BF CF =，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BF EF =，根据等边对等角求出BEF CBE ∠=∠，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【解答】解：DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，BE AC ⊥，ABE ∴∆是等腰直角三角形，45BAE ABE ∴∠=∠=︒，又AB AC =，11(180)(18045)67.522ABC BAC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，67.54522.5CBE ABC ABE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， AB AC =，AF BC ⊥， BF CF ∴=， 12EF BC =（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， BF EF CF ∴==， 22.5BEF CBE ∴∠=∠=︒，22.522.545EFC BEF CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：45．【点评】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质并求出ABE ∆是等腰直角三角形是解题的关键．13．（4分）如图，ABC DEF ∆≅∆，请根据图中提供的信息，写出x = 20 ．【分析】先利用三角形的内角和定理求出70A ∠=︒，然后根据全等三角形对应边相等解答．【解答】解：如图，180506070A ∠=︒-︒-︒=︒，ABC DEF ∆≅∆， 20EF BC ∴==， 即20x =． 故答案为：20．【点评】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．14．（4分）下面是按一定规律排列的一列数：14，37，512，719，⋯那么第n 个数是 2213n n -+ ． 【分析】观察不难发现，分子是连续的奇数，分母减去3都是平方数，根据此规律写出第n 个数的表达式即可．【解答】解：分子分别为1、3、5、7，⋯，∴第n 个数的分子是21n -，24311-==，27342-==，212393-==，2193164-==，⋯，∴第n 个数的分母为23n +， ∴第n 个数是2213n n -+． 故答案为：2213n n -+． 【点评】本题是对数字变化规律的考查，从分子与分母两个方面考虑求解是解题的关键． 15．（4分）如图，一个正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，则这个正比例函数的表达式是 2y x =- ．【分析】首先将点P 的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．【解答】解：正比例函数图象与一次函数1y x =-+的图象相交于点P ，P 点的纵坐标为2，解得：1x =-∴点P 的坐标为(1,2)-，∴设正比例函数的解析式为y kx =，2k ∴=-解得：2k =-∴正比例函数的解析式为：2y x =-，故答案为：2y x =-【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是首先求得点P 的坐标． 三、解答题（每小题12分，共60分）16．（12分）（1）计算：2020201(1)()(sin98)2sin6022π--⨯+︒-︒．（2）先化简，再求值：231839x x ---，其中3x ． 【分析】（1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【解答】解：（1）原式1412=⨯++41|=++，410=++， 5=；（2）原式3(3)18(3)(3)x x x +-=+-3918(3)(3)x x x +-=+-39(3)(3)x x x -=+-33x =+．当3x =时，原式==【点评】本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题17．（12分）近年来，中学生的身体素质普遍下降，某校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图． 组别 AB C D E时间t （分钟）40t <4060t <6080t <80100t <100t人数1230a2412（1）求出本次被调查的学生数； （2）请求出统计表中a 的值； （3）求各组人数的众数；（4）根据调查结果，请你估计该校2400名学生中每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数．【分析】（1）根据A 组有12人，占被调查总数的10%，据此即可求得总人数； （2）总人数减去其它各组的人数即可求得； （3）根据众数的定义即可求解；（4）利用2400乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：（1）1210%120÷=（人)； （2）1201230241242a =----=； （3）众数是12人；（4）每天体育锻炼时间不少于1小时的学生人数是：42241224001560120++⨯=（人)．【点评】本题考查的是扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．18．（12分）如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，67A ∠=︒，37B ∠=︒．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A D C B →→→去超市B ．求他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走多少米． （参考数据：12sin 6713︒≈，5cos6713︒≈，12tan 675︒≈，3sin375︒≈，4cos375︒≈，3tan37)4︒≈【分析】（1）设CD 与AB 之间的距离为x ，则在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中分别用x 表示BF ，AE ，又AB AE EF FB =++，代入即可求得x 的值；（2）在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中，分别求出BC 、AD 的长度，求出AD DC CB AB ++-的值即可求解．【解答】解：（1）CD 与AB 之间的距离为x ， 则在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中， tan37CF BF =︒，tan 67DEEA =︒， 4tan373CF BF x ∴=≈︒，5tan 6712DE AE x =≈︒，又62AB =，20CD =， ∴452062312x x ++=， 解得：24x =，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt BCF ∆和Rt ADE ∆中， 24403sin 375CF BC =≈=︒，242612sin 6713DE AD =≈=︒， 4020266224AD DC CB AB ∴++-=++-=（米)，答：他沿折线A D C B →→→到达超市比直接横穿马路多走约24米．【点评】本题考查了解直角三角形，难度适中，解答本题的关键是在直角三角形中运用解直角三角形的知识求出各边的长度．19．（12分）如图，O 的直径6AB =，AD 、BC 是O 的两条切线，2AD =，92BC =． （1）求OD 、OC 的长； （2）求证：DOC OBC ∆∆∽； （3）求证：CD 是O 切线．【分析】（1）由AB 的长求出OA 与OB 的长，根据AD ，BC 为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOD 与三角形BOC 都为直角三角形，利用勾股定理即可求出OD 与OC 的长；（2）过D 作DE 垂直于BC ，可得出BE AD =，DE AB =，在直角三角形DEC 中，利用勾股定理求出CD 的长，根据三边对应成比例的三角形相似即可得证；（3）过O 作OF 垂直于CD ，根据（2）中两三角形相似，利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等，利用AAS 得到三角形OCF 与三角形OCB 全等，由全等三角形的对应边相等得到OF OB =，即OF 为圆的半径，即可确定出CD 为圆O 的切线． 【解答】（1）解：AD 、BC 是O 的两条切线，90OAD OBC ∴∠=∠=︒，在Rt AOD ∆与Rt BOC ∆中，3OA OB ==，2AD =，92BC =， 根据勾股定理得：2213OD OA AD +22313OC OB BC =+=；（2）证明：过D 作DE BC ⊥，可得出90DAB ABE BED ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABED 为矩形，2BE AD ∴==，6DE AB ==，52EC BC BE =-=，在Rt EDC ∆中，根据勾股定理得：22132DC DE EC =+=， 133OD OC DC OB CB OC ===， DOC OBC ∴∆∆∽；（3）证明：过O 作OF DC ⊥，交DC 于点F ， DOC OBC ∆∆∽， BCO FCO ∴∠=∠，在BCO ∆和FCO ∆中， 90OBC OFC BCO FCOOC OC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BCO FCO AAS ∴∆≅∆， OB OF ∴=，则CD 是O 切线．【点评】此题考查了切线的判定与性质，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 20．（12分）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,0)，(5,0)，(3,4)-． （1）求该二次函数的解析式； （2）当3y >-，写出x 的取值范围；（3）A 、B 为直线26y x =--上两动点，且距离为2，点C 为二次函数图象上的动点，当点C 运动到何处时ABC ∆的面积最小？求出此时点C 的坐标及ABC ∆面积的最小值．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）求出3y =时x 的值，结合函数图象，求出3y >-时x 的取值范围；（3）ABC ∆的底边AB 长度为2，是定值，因此当AB 边上的高最小时，ABC ∆的面积最小．如解答图所示，由点C 向直线26y x =--作垂线，利用三角函数（或相似三角形）求出高CE 的表达式，根据表达式求出CE 的最小值，这样问题得解．【解答】解：（1）点(1,0)，(5,0)，(3,4)-在抛物线上，∴02550934a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得165a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴二次函数的解析式为：265y x x =-+．（2）在265y x x =-+中，令3y =-，即2653x x -+=-，整理得：2680x x -+=，解得12x =，24x =．结合函数图象，可知当3y >-时，x 的取值范围是：2x <或4x >．（3）设直线26y x =--与x 轴，y 轴分别交于点M ，点N ，令0x =，得6y =-；令0y =，得3x =-(3,0)M ∴-，(0,6)N -，3OM ∴=，6ON =，由勾股定理得：35MN =，1tan 2OM MNO ON ∴∠==，5sin 5OM MNO MN ∠==． 设点C 坐标为(,)x y ，则265y x x =-+．过点C 作CD y ⊥轴于点D ，则CD x =，OD y =-，6DN y =+．过点C 作直线26y x =--的垂线，垂足为E ，交y 轴于点F ，在Rt CDF ∆中，1tan 2DF CD MNO x =∠=，152sin sin 255x DF DF CF x DCF MNO ====∠∠． 162FN DN DF y x ∴=-=+-． 在Rt EFN ∆中，51sin (6)52EF FN MNO y x =∠=+-． 551(6)252CE CF EF x y x ∴=+=++-， (,)C x y 在抛物线上，265y x x ∴=-+，代入上式整理得：225575(411)(2)555CE x x x =-+=-+， ∴当2x =时，CE 有最小值，最小值为755． 当2x =时，2653y x x =-+=-，(2,3)C ∴-．ABC ∆的最小面积为：11757522255AB CE =⨯⨯=． ∴当C 点坐标为(2,3)-时，ABC ∆的面积最小，面积的最小值为755．【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、解直角三角形（或相似三角形）等知识点．难点在于第（3）问，确定高CE 的表达式是解题的关键所在；本问的另一解法是：直线2y x k =-+与抛物线265y x x =-+相切时，切点即为所求的点C ，同学们可以尝试此思路，以求触类旁通、举一反三．21．（10分）如图，已知抛物线经过(2,0)A -，(3,3)B -及原点O ，顶点为C（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以AO 为边的四边形AODE 是平行四边形，求点D 的坐标．（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形与BOC ∆相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于抛物线经过(2,0)A -，(3,3)B -及原点O ，待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D 的坐标；（3）分两种情况讨论，①AMP BOC ∆∆∽，②PMA BOC ∆∽，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P 的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，将点(2,0)A -，(3,3)B -，(0,0)O ，代入可得：4209330a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：120a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故函数解析式为：22y x x =+．（2）当AO 为平行四边形的边时，//DE AO ，DE AO =，由(2,0)A -知：2DE AO ==， 由四边形AODE 可知D 在对称轴直线1x =-右侧，则D 横坐标为1，代入抛物线解析式得(1,3)D ．综上可得点D 的坐标为：(1,3)．（3）存在．如图：(3,3)B -，(1,1)C --，根据勾股定理得：218BO =，22CO =，220BC =，222BO CO BC +=，BOC ∴∆是直角三角形，假设存在点P ，使以P ，M ，A 为顶点的 三角形与BOC ∆相似，设(,)P x y ，由题意知0x >，0y >，且22y x x =+，①若AMP BOC ∆∆∽，则AM PM BO CO =， 即223(2)x x x +=+，得：113x =，22x =-（舍去）． 当13x =时，79y =，即1(3P ，7)9， ②若PMA BOC ∆∆∽，则AM PM CO BO =， 即：223(2)x x x +=+，得：13x =，22x =-（舍去）当3x =时，15y =，即(3,15)P ．故符合条件的点P 有两个，分别是1(3P ，7)9或(3,15)．【点评】本题考查的是二次函数的综合题，首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，注意分类讨论思想的运用，难度较大．。
北京高一新生分班考试数学卷
2017年初三数学试题 1一、选择题1.已知空气的单位体积质量为31024.1－⨯克/厘米3，31024.1－⨯用小数表示为（ ）A ．0.000124B ．0.0124C ．－0.00124D ．0.001242.如图，由三个相同小正方体组成的立体图形的主视图．．．是（ ）3. 下列代数式变形中，从左到右是因式分解的是（ ）A. 22()22m m n m mn -=- B. 22441(21)x x x --=- C. 232(2)(1)x x x x ++=++ D. 221(21)(21)x x x -=+-4．已知一组数据2，1，x ，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．55. 如图，在ABC ∆中，6==AC AB ，8=BC ，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( )A ．7+5B ．10C ．4+25D ．126. 如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，22.5A ∠=︒，4OC =，CD 的长为（ ）．A ．B ．4C ．D ．8 7. 若一次函数k x k y --=)21(的图象不经过第二象限，则k 的取值范围是（ ）A.21<k B. 210<<k C. 210<≤k D. 210><k k 或 8．如图，AB 是O ⊙的直径，点C 、D 在O ⊙上，110BOC ∠=°，AD ∥OC ，则AOD ∠=（ ）A ．70°B ．60°C ．50°D ．0409. 如图是某一天北京与上海的气温T （单位：C ︒）随时间t （单位：时）变化的图象.根据图中信息，下列说法错误．．的是 A ．12时北京与上海的气温相同B ．从8时到11时，北京比上海的气温高C ．从4时到14时，北京、上海两地的气温逐渐升高D ．这一天中上海气温达到4C ︒的时间大约在上午10时 10.如图，AB 为⊙O 的直径，点T D ,是圆上的两点，且AT平分BAD ∠，过点T 作AD 延长线的垂线PQ ,垂足为C ；若3,4==TC AB ,则线段AD 的长为（ ）A.1B.23C.2D.3二、填空题11. 已知一次函数y kx b =+的图象过点(1,0)-和点(0,2). 若()0x kx b +<，则x 的取值范围是 ． 12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形AOBC 的边长为3．写出一个函数(0)ky k x=≠使它的图象与正方形AOBC 有公共点，这个函数的表达式为______________．13. 如图，圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高AO 为 ；14.点A 的坐标为（2，0），把点A 绕着坐标原点顺时针旋转135o 到点B ，那么点B 的坐标是 ； 15.已知ABC ∆中，BC AC AB ,12,10==边上的高8=AD ，则BC = ； 16. 观察下列方程及其解的特征：（1）12x x +=的解为121x x ==；（2）152x x +=的解为12122x x ==，； （3）1103x x +=的解为12133x x ==，；…… ……（1）请猜想：方程1265x x +=的解为 ；（2）请猜想：关于x 的方程1x x += 的解为121(0)x a x a a==≠，；三、解答题A BC D解答应写出必要的文字说明或推演步骤17. 计算：先化简，再求值：-4-2x x +24-4+4x x ÷-2xx ，其中x18.如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是-4，2235x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等，求x 的值19.如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带 AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．20.甲、乙两位同学用一幅扑克牌中牌面数字分别是3，4，5，6，的4张牌做抽数游戏；游戏规则是：将这4张牌的正面全部朝下、洗匀，从中随机抽取一张，抽得的数作为十位上的数字，然后，将所抽得的牌放回，正面全部朝下、洗匀，再从中随机抽取一张，抽得的数作为个位上的数字，这样就得到一个两位数；若这个两位数小于45，则甲获胜，否则乙获胜；你认为这个游戏公平吗？请你运用概率的有关知识说明你的理由.21.如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理． 22. 阅读下列材料：2016年人均阅读16本书！ 2017年4月23日“世界读书日”之前，国际网络电商亚马逊发布了“亚马逊中国2017全民阅读报告”．报告显示，大部分读者已养成一定的阅读习惯，阅读总量在10本以上的占56%，而去年阅读总量在10本以上的占48%．京东图书也发布了2016年度图书阅读报告．根据京东图书文娱业务部数据统计，2016年销售纸书人均16册，总量叠在一起相当于15000个帝国大厦的高度．（1）在这项调查中，以每年有效问卷1.4万份来计，2017年阅读量十本以上的人数比去年增加了 人； （2）小雨作为学校的图书管理员，根据初二年级每位同学本学期的借书记录，对各个班借阅的情况作出了统计，并绘制统计图表如下：初二年级各班图书借阅情况统计表① 全年级140名同学中有科技社团成员40名，他们人均阅读科普类书籍1.5本，年级其他同学人均阅读科普类书籍1.08本，请你计算全年级人均阅读科普类书籍的数量，再通过计算补全统计表；② 在①的条件下，若要推荐初二某个班级为本学期阅读先进集体，你会推荐哪个班，请写出你的理由．23. 如图,在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，BC AE =,AE DF⊥,F 为垂足，连接DE ;（1）求证：DFA ABE ∆≅∆（2）如果6,10==AB AD ；求EDF ∠sin 的值；24．在四边形中，一条边上的两个角称为邻角. 一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相等，这样的四边形叫做IT 形. 请你根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出IT 形的性质，把你的发现都写出来.25. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22234y x mx m m =-+-+-的对称轴是直线x =1 （1）求抛物线的表达式；（2）点1()D n y ，，2(3)E y ，在抛物线上，若12y y >，请直接写出n 的取值范围；（3）设点()M p q ，为抛物线上的一个动点，当12p -<<时，点M 关于y 轴的对称点形成的图象与直线4y k x =-（0k ≠）有交点，求k 的取值范围.cba cb ac ba cbacc FEDC B A26．如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 垂直平分线上的点，点E 关于BD 的对称点是'E ，直线DE 与直线'BE 交于点F . （1）若点E 是CD 边的中点，连接AF ，则FAD ∠＝︒；（2）小明从老师那里了解到，只要点E 不在正方形的中心，则直线AF 与AD 所夹锐角不变．他尝试改变点E 的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点E 选在正方形内，且△EAB 为等边三角形，求出直线AF 与AD 所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.B27．对于正数x ，用符号[]x 表示x 的整数部分，例如：[0.1]0=，[2.5]2=，[3]3=．点(,)A a b 在第一象限内，以A 为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直. 其中垂直于y 轴的边长为a ，垂直于x 轴的边长为[]1b +，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做点A 的矩形域．例如：点3(3,)2的矩形域是一个以3(3,)2为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6． 图1 图2 根据上面的定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点7(2,)2的矩形域，该矩形域的面积是 ； （2）点77(2,),(,)(0)22P Q a a >的矩形域重叠部分面积为1，求a 的值；（3）已知点(,)(0)B m n m >在直线1y x =+上， 且点B 的矩形域的面积S 满足45S <<，那么m 的取值范围是 ．（直接写出结果）高一新生分班考试数学试卷参考答案及评分建议一、选择题（每题3分，共30分）二、填空题（每题4分，共24分）11. 10x -<<； 12. ； 13. 4； 14.（—1，—1）；15.546+ 或654-（每个2分） 16. 5，aa 12+（每格2分）三、解答题： 17.解：原式=xx x x x 2)2(4242-⨯-+--xx 2-=…………………………………………………………………3分 当2=x 时原式=21222-=-……………………………………………………6分18.解：由题可知：45322=-+x x ………………………………………………………3分即：201222-=+x x解得：511=x ……………………………………………………6分在Rt △ABE中，BE ＝＝11．…………………5分∵ BE ＝BC ＋CE ，∴ BC ＝BE －CE ＝11-5＝6（米）． ……………………6分20.解：当抽取的第一张牌为3时，得到的两位数可能是：33，34，35，36 同理：43，44，45，46；53，54，55，56，63，64，65，66；共有16种情况……………………………………………………………………6分 其中小于45的有6种，大于45的有9种，故游戏不公平；…………8分21. （8分）方法一解：（1）······················································· 3分（2）证明：大正方形的面积表示为2()a b + ·························································· 4分 大正方形的面积也可表示为2142cab +⨯ ································································· 5分 221()42a b c ab ∴+=+⨯，22222a b ab c ab ++=+， 222a b c ∴+=．又可以表示为：214()2ab b a ⨯+- ········································································· 5分 2214()2c ab b a ∴=⨯+-，22222c ab b ab a =+-+， 222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．……………………………………8分 （其它证法，可参照给分）22．（1）1120; ------------------------------1分（2）①初二年级140名同学共阅读科普类书籍的数量为：1.540 1.08100168⨯+⨯=.全年级人均阅读科普类书籍的数量为：168140 1.2÷=.------------------------------3分 （或1.540 1.081001.2140⨯+⨯=.）全年级140名同学共阅读的书籍数量为：16825%672÷=.------------------------------4分 初二2班借阅图书总数为：672182165143182---=.------------------------------5分 注：结论均错，有公式对给1分。
北京高一入学分班考试数学(1)
北京高一入学分班考试数学(1) 北京高一入学分班考试数学（1）一、选择题1.若a+b=8，ab=2，则a^3+b^3=（）A。
128B。
464C。
496D。
5122.把多项式2ab+1-a^2+b^3写成两个一次式的乘积，得到（）A。
(a+b-1)(b-a+1)B。
(a-b+1)(a-b-1)C。
(a+b-1)(a-b+1)D。
(a-b+1)(b-a+1)3.若a+√2b=1，√2a+b=1，则√(a+b+c)=（）A。
1B。
2C。
3D。
44.当a>0时，-ax^3的符号是（）A。
xaxB。
x-axC。
-x-axD。
-xax5.已知方程3x-y-7=0，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k 的值是（）A。
6B。
5C。
4D。
36.关于x的方程ax^2+bx+c（a≠0）中，若a与c异号，则根的情况是（）A。
有两个不相等的实数根B。
有两个相等的实数根C。
没有实数根D。
无法确定7.设x1，x2是方程2x^2-6x+3=0的两根，则x1^2+x2的值是（）A。
15B。
12C。
6D。
38.若A(-4,y1)，B(-1,y2)，C(1,y3)为二次函数y=-x^2+4x+5的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A。
y1<y2<y3B。
y3<y2<y1___<y1<y2D。
y2<y1<y39.函数y=1-|x|和函数y=1-x的图像有一个交点，这个交点的横坐标为a，纵坐标为b，则点(a,b)也在函数y=1+|x|的图像上，那么下列点中一定在函数y=1+|x|的图像上的是（）A。
(a,b)B。
(-a,-b)C。
(a,-b)D。
(-a,b)10.函数y=-2x^2+x（-1≤x≤2）的最小值是（）A。
-1B。
-1/8C。
8D。
-6二、填空题11.若a=1/3，b=2/3，则-1/(b-1)+a-13+22/(3-2b)=_____。
答案：-312.已知方程组2x+4y-z=0，x-2y+3z=0，则x∶y∶z=_____。
北京四中新高一分班考试数学试卷及答案
4
18．（本小题满分 7 分）
先阅读再解答：
若二次函数 f (x) 1 x2 5x 3 ，
2
2
则 f (2) 1 (2)2 5 (2) 3 9 1 ， f (3) 1 32 5 3 3 18 ，
2
22
2
2
已知：二次函数
f
(x)
数学试卷(1)
（试卷满分 120 分，考试时间 90 分钟）
姓名
班级
成绩____________
一、选择题（每小题 4 分，共 24 分）
1．已知 x、y 满足 x2 y 2 5 2x y ，则代数式 xy 的值为（
）
4
x y
2
A．
3
3B．21C．3D．无法确定
2．若 2x 32 ，我们记 x log2 32 5 ，那么以下说法错误的是（ ）
8
参考答案：
CDCC BC
x3
5
11
7
7. x=0 或 4；
8.
；
9. 2 3 ；
10. ；
11. ；
12.
x
3
16
18
3 67
； 2 2 1；
5
13. 90；
5 11 4
5
14. 8； , ； m .
62 3
3
三、解答
1 15. （1） 5 x 2 ； （2） x 或 x>1.
3 16. 15(x y)(2x 3y)(3x 2 y) .
17. （舍掉 x=2），x=22.
18. a=-1，-2.
19. MSR NTR . 1
20. a , N (2 3 1,1) 3
2023-2024学年北京牛栏山一中高一分班考数学试题及答案
2023北京牛栏山一中高一分班考数 学本试卷共100分.考试时90分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 2299x x +−等于（ ） A. ()()911x x −+ B. ()()911x x +− C. ()()911x x −−D. ()()911x x ++2. 已知110x y x y −−+=+≠，则xy 的值为（ ） A. 1− B. 0C. 1D. 23. 一次函数33y x b ，0b ≠的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则ABO ∠=（ ） A. 45︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒4. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，且12x x <，则1x 是（ ）A. 22b a a−−B. 22b a a−+C. 22b a a −−D. 22b a a−−二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 已知关于x 的一元二次方程214x x m −=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______. 6. 将抛物线24y x x =+向右平移2个单位，所得抛物线的表达式是______.7. 计算4sin 60︒+______.8. 设0x <，0y <，则化简为______. 9. 已知点()2,0A ，O 为坐标原点，点B 在第一象限且在反比例函数的图象上，若OAB 为等边三角形，则此反比例函数的解析式是______.10. 对任意两个实数a ，b ，规定一种新运算“*”：()*a b a a b b =++，若已知*2.528.5a =，则实数a 的值是______.11. 若多项式3231x kx −+的一个因式为31x −，则k =______.12. 若方程210x bx ++=与20x x b −−=，有一个公共根，则b =______. 13. 已知关于x 的方程22222x x a x x x x x−−+=−−，只有一个实根，则=a ______. 14. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x ，即当n 为非负整数时，若1122n x n −≤<+，则x n =（如0=0.480=，0.64 1.4931==）. 给出下列关于x 的结论：①若x ，y 为非负实数，则 x y x y +=+； ②若213x −=，则实数x 的取值范围为7944x ≤<； ③当0x ≥，m 为非负整数时，有 x m m x +=+. 其中，正确的结论有______（填写所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，已知平面直角坐标系xoy ，抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B（1）求该抛物线的表达式； （2）画出该抛物线的图像；（3）根据抛物线图像写出0y <时x 的取值范围. 16. 设函数2y x =与4y x=的两个交点为11(,)A x y ，()22,B x y ()12x x >，点C −.求ABC 的面积.17. （1）已知222x x −=，求()()()()()213331x x x x x −++−+−−的值； （2）已知1x =，求221121x x x x x x x+⎛⎫−÷⎪−−+⎝⎭的值. 18. 满足关于x 的不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，求m 的取值范围.19.已知平面直角坐标系xoy ，抛物线224y ax ax =−+（0a >） （1）求证：抛物线经过两个定点；（2）若()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<，求实数m 的取值范围.20. 在“□1□2□3□4□5□6□7□8□9”的小方格中填上“＋”“－”号，如果可以使其代数和为n ，就称数n 是“可被表出的数”，否则，就称数n 是“不可被表出的数”（如1是可被表出的数，这是因为123456789++−−++−−+是1的一种可能被表出的方法）.（1）求证：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数； （2）求25可被表出的不同的方法种数.参考答案一、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 【答案】A【分析】直接因式分解即可.【详解】()()2299911x x x x +−=−+.故选：A 2. 【答案】C【分析】变换11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，得到答案. 【详解】11x yx y x y xy−−++=+=，0x y +≠，故1xy =. 故选：C 3. 【答案】B【分析】确定()0,B b ，),0A，计算得到tan OA ABO OB∠==.【详解】33yx b ，取0x =，则y b =，即()0,B b ，取0y =，则x =，即),0A .tan OA ABO OB∠===，90ABO ︒<∠<︒，故60ABO ∠=︒.故选：B 4. 【答案】C【分析】确定240b ac ∆=−>，得到222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个实根1x ，2x ，故240b ac ∆=−>，20ax bx c ++=，即20b c x x a a ++=，即222424b b ac x a a −⎛⎫+= ⎪⎝⎭，12x x <，故12b a x −=. 故选：C二、填空题（本题共10小题，每小题4分，共40分）5. 【答案】1m >−【分析】确定2104x x m −−=，计算10m ∆=+>得到答案. 【详解】214x x m −=，即2104x x m −−=，10m ∆=+>，解得1m >−. 故答案为：1m >−. 6. 【答案】24y x =−【分析】配方得到顶点式，利用左加右减得到答案. 【详解】()22424y x x x =+=+−，向右平移2个单位得到()222244y x x =+−−=−. 故答案为：24y x =− 7. 【答案】3−【分析】直接计算得到答案.【详解】4sin 60433︒=+=−.故答案为：3−.8. 【答案】−【分析】根据根式的性质即可求解. 【详解】由于0x <，0y <，所以((1y x y=−−==−故答案为：−9. 【答案】()f x x=【分析】设反比例函数为()kf x x=，确定(B ，代入计算得到答案.【详解】设反比例函数为()kf x x=，0k >，()2,0A ，OAB 为等边三角形，故(B ，()1f k ==()f x =.故答案为：()f x x=. 10. 【答案】4或132−【分析】直接根据公式计算即可.【详解】()*2.5 2.5 2.528.5a a a =++=，解得4a =或132a =−. 故答案为：4或132−. 11. 【答案】10【分析】设()323131x kx x A −+=−，取13x =计算得到答案. 【详解】()323131x kx x A −+=−，其中A 是一个二次多项式， 取13x =得到11099k −+=，解得10k =.故答案为：10 12. 【答案】2【分析】联立方程即可求解.【详解】()()22101110x bx bx x b b x b x x b ⎧++=⇒+=−−⇒+=−+⎨−−=⎩， 若10b +=，则两个方程均为210x x −+=，而该方程无解，与题设矛盾， 所以10b +≠，所以=1x −，进而将=1x −代入20x x b −−=可得2b =， 故答案为：2 13. 【答案】72，4或8 【分析】变换得到22240x x a −+−=，考虑Δ0=和0∆>两种情况，考虑方程两个根中有一个是增根，计算得到答案. 【详解】22222x x a x x x x x−−+=−−，即()2222x x a x +−=−，整理得到22240x x a −+−=， ①若()4840a ∆=−−=，解得72a =，此时方程的解为12x =，满足； ②若()4840a ∆=−−>，解得72a >，此时方程有解0或者2， 若有解0x =，则4a =，此时方程的解为0x =（增根）或1x =，满足； 若有解2x =，则8a =，此时方程的解为2x =（增根）或=1x −，满足； 综上所述：72a =，4a =或8a =. 故答案为：72，4或8. 14. 【答案】②③【分析】取0.5x y ==验证①错误，根据定义确定572122x ≤−<，解得②正确，m 为非负整数时，不影响四舍五入，③正确，得到答案.【详解】对①：取0.5x y ==，则 1x y +=，2x y +=，错误； 对②：213x −=，则572122x ≤−<，解得7944x ≤<，正确； 对③：0x ≥，m 为非负整数时，不影响四舍五入，正确； 故答案为：②③三、解答题：本大题共6小题，共48分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 【答案】（1）24y x x =−+ （2）图像见解析 （3）0x <或>4x【分析】（1）将点代入抛物线方程，解得答案； （2）直接画出函数图像即可； （3）根据图像直接得到答案. 【小问1详解】抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A 、()1,3B ， 故0164b c =−++，31b c =−++，解得4b =，0c ，故24y x x =−+；【小问2详解】 函数图像如图所示：【小问3详解】根据图像知：当0x <或>4x 时，0y <. 16.【答案】8【分析】计算交点得到A，(B −，再计算面积得到答案.【详解】24y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩，故A，(B −，C−，画出函数图像，如图所示：11822ABC S BC AC =⨯⨯=⨯=△.17. 【答案】（1）1；（2）12−. 【分析】（1）根据题意，化简原式2365x x =−−，代入即可求解； （2）先化简原式21(1)x =−−，代入即可求解. 【详解】解：（1）由()()()()()2213331365x x x x x x x −++−+−−=−−， 因为222x x −=，所以()223653253251x x x x −−=−−=⨯−=， 即()()()()213311x x x x x −++−+−−=.（2）由2222222111111[]21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++−−⎛⎫−÷=−÷=⋅=− ⎪−−+−−−−⎝⎭，因为1x =，可得211(1)2x −==−−， 即22111212x x x x x x x+⎛⎫−÷=−⎪−−+⎝⎭ 18. 【答案】4m ≤− 【分析】解不等式6154x x+>+得到4x <，确定0m <且4m −≥，解得答案. 【详解】6154x x+>+，故()46520x x +>+，解得4x <， 不等式组261540x xmx m +⎧>+⎪⎨⎪+>⎩的x 的取值范围是4x <，故0m <，20mx m +>得到x m <−，且4m −≥，解得4m ≤−，综上所述：m 的取值范围为4m ≤−. 19. 【答案】（1）()()0,4,2,4 （2）35,23m <<或3m > 【分析】（1）根据题意得到()224044,y a x x a =−+=⋅+=从而确定定点;（2）利用绝对值的几何意义，离对称轴的距离越远，函数值越大,从而得到不等式，解出即可. 【小问1详解】结合题意：()222424,y ax ax a x x =−+=−+当220x x −=时，即0,x =或2x =，此时()224044,y a x x a =−+=⋅+= 所以抛物线经过两个定点()()0,4,2,4. 【小问2详解】()()2222242414,y ax ax a x x a x a =−+=−+=−−+0a >所以对称轴1x =，因为()11,A m y −，()2,B m y ，()323,C m y −为抛物线上三点，且满足123y y y <<， 所以111231m m m −−<−<−−，即1231111m m m m ⎧−<−−⎪⎨−−<−⎪⎩，将上式用平方法解得：3523m <<3m >. 20. 【答案】（1）证明见解析 （2）9【分析】（1）直接列举1234567897++−+++−+−=，再考虑计算结果为奇数，得到证明. （2）计算12345678945++++++++=，故减号后的数和为10，列举得到答案. 【小问1详解】1234567897++−+++−+−=，故7是可被表出的数，5个奇数和4个偶数相加减，结果为奇数，故结果不可能为8，即8是不可被表出的数. 【小问2详解】12345678945++++++++=，要使结果为25，则加号后的数和为35，减号后的数和为10， 考虑减号，不同的方法有9种：()1,9，()2,8，()3,7，()4,6，()1,2,7，()1,3,6，()1,4,5，()2,3,5，()1,2,3,4，故25可被表出的不同的方法种数为9.。
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北京高一入学分班考试数学（1）
一、选择题（本题满分40分，共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1． 若8a b +=，2ab =，则33a b +=（ ）
A ．128
B ．464
C ．496
D ．512
2． 把多项式2321ab a b +-+=（ ）
A ．()()11a b b a +--+
B ．()()11a b a b -+--
C ．()()11a b a b +--+
D ．()()11a b b a -+-+
3． 若11a b +
=，21b c +=，则2
c a +=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4． 当0a >（ ）
A ．
B ．
C ．-
D ．-5． 已知方程370.231x y x y --=+=，9y kx =-有公共解，则k 的值是（ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6． 关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠中，若a 与c 异号，则根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
7． 设1x ，2x 是方程22630x x -+=的两根，则22
12x x +的值是（ ）
A ．15
B ．12
C ．6
D ．3
8． 若()14A y -，，()21B y -，，()31C y ，为二次函数245y x x =-++的图象上有三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系
是（ ） A ．123y y y <<
B ．321y y y <<
C ．312y y y <<
D ．213y y y <<
9． 如果点()a b ，
是函数11y x =-图象上的一点，那么下列点一定在函数1
1y x
=+图象上的是（ ） A ．()a b ，
B ．()a b -，
C ．()a b -，
D ．()a b --，
10．函数()2202y x x x =-+≤≤的最小值为（ ）
A ．0
B ．1-
C ．1
8
D ．6-
二、填空题（本题满分24分，共6小题，每小题4分.） 11
．若a =
，b =11
11b a -=-- .
12．已知方程组20240x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩
，
，则x y z =∶∶ .
13．若关于x 的一元二次方程()()2
222110m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 . 14．已知方程240x x m -+=
的一个根为2，则方程的另一个根为 ，m 的值为 . 15．若抛物线()()4y x c x d =---与x 轴交点为()60，
和()10，，则c = ，d = . 16．若已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++<的解为 ，不等式20ax bx c ++>的
解为 .
三、解答题（本题满分36分，共4小题，每小题9分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）. 17．解下列方程组：
⑴ 432187x y z x y z x y z -+=-⎧⎪
+-=⎨⎪--=⎩
，
，；
⑵ 224310210.x y x y x y ⎧-+++=⎨--=⎩
，
18．画出函数223y x x =--的图象，并通过图象的交换画出下列函数的图象：
⑴ ()
223y x x =---；
⑵ 223y x x =+-；
⑶ 2|23|y x x =--.
223y x x =-- ⑴ ()
223y x x =---
⑵ 223y x x =+- ⑶ 2|23|y x x =-- 19．设1x ，2x 是方程22430x x +-=的两个根，求下列各式的值；
⑴ ()()1211x x ++；
⑵
12
21
x x x x +；
⑶ 12||x x -.
20．⑴ 如图，已知线段AB ，M 为AB 的中点，从A ，M ，B 向线段AB 外一直线l 引垂线AA '，BB '，CC '，GG '，
垂足为A '，B '，C '，G '.（提示：三角形三条中线的交点叫该三角形的重心） ⑴ 求证：3AA BB CC GG ''''++=；
⑵ 若AA '，BB '，CC '，GG '不垂直于l ，但仍保持互相平行时，结论⑴是否还成立？试写出你的猜想，并加以证明.
图(1) 图2
C
A
B
G
G‘ A‘
M‘
B‘ l
B‘
A‘
M‘
M
B
A。