中考复习 教材知识特训5 几何相似模型 (2)
最全相似模型专题(中考数学必考)
几何模型09——相似模型三角形相似是每一年中考必考的知识点，相似模型主要包括：“A”型和“X”型相似，母子模型相似（共边共角型），一线三等角，双垂直模型和旋转相似，中考命题者经常把这些模型放在圆，四边形，或函数图象当中，特别要留意母子模型相似的一种特殊情况：射影定理中的知二求四和一线三垂直（k型相似），下面对这些类型做如下总结：一、“A”型和“X”型相似例1.如图，在△ABC中，点D是AC上的点，且AD＝2CD，过D作DE∥BC交AB于E，过D作DF∥AB交BC于F．（1）若BC＝15，求线段DE的长．（2）若△ADE的面积为16，求△CDF的面积．变式1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．变式2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝14，AC＝7，D是BC上一点，BD＝8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．变式3.如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连接OD．作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F．已知CE＝12，BE＝9．（1）求证：△COD∽△CBE．（2）求半圆O的半径r的长．变式4.如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC＝2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．变式5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN 交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．变式6.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；变式7.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在CB上，⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为E．（1）求证：DE∥OA；（2）若AB＝10，tan∠DEO＝2，求⊙O的半径．例2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝9，BC＝15．（1）求BC边上的高AD的长度；（2）正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上，求正方形EFGH 的边长．（相似比等于高之比）例3.如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．求证：PA•PB＝PD•PC（割线定理）；变式1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．变式2.如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是的中点，连接DE ．（1）求证：△ABC 是等腰三角形．（2）若BC ＝10，CE ＝6，求线段AD 的长．变式3.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的半圆O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，连结EB ，OD ，DE ．（1）求证：OD ⊥EB ．（2）若DE ＝，AB ＝10，求AE 的长．例4.如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE ． 求证：2OE CO OD BO ==变式1.如图，AB 、CD 相交于点O ，连接AC 、BD ，点E 、F 分别为AC 、BD 的中点，连接OE 、OF ，若∠A ＝∠D ，OA ＝OF ＝6，OD ＝9，求OE 的长．变式2.如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（相交弦定理）（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．变式3.如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△P AD∽△PCB；（2）若P A＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．例5.如图，过△ABC的边AC的中点D作直线交AB于E，交BC的延长线于F．求证：＝；（梅捏劳斯定理特殊情况）变式1.如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE．DE 交AC于点F，试证明：AB•DF＝BC•EF．变式2.如图，△ABC中，D为BC的中点，过D的直线交AC于E，交AB的延长线于F．求证：＝．变式3.如图，△ABC中，D是BC边的中点，过点D的直线交AB于点E，交AC的延长线于点F，且BE＝CF．求证：AE＝AF．二、共边共角型相似例1.如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且∠CAD＝∠B．（1）求证：；（2）若AC＝2，BC＝4，设△ADC面积为S1，△ABD面积为S2，求证：S2＝3S1．变式1.如图，在△ABC中，D为边AB上一点，∠ACD＝∠B，若AC＝6，BC＝5，CD＝4，求AD，AB的长．变式2.如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，交AC、AB分别于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD．若CD＝1，BC＝2，求AD 的长度．例2.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E．（1）求证：AG＝CG．（2）求证：AG2＝GE•GF．变式1.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：PC2＝PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE＝2，EF＝6，求FB的长．例3.如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（切割线模型）（1）求证：∠CAD＝∠BDC；（2）若BD＝AD，AC＝3，求CD的长．变式1.如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C 在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．若AB＝3P A，求的值．例4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．（1）（射影定理）求证：AC2＝AD•AB；BC2＝BD•BA；CD2＝AD•BD；（2）若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD的长；（知二求四）（3）若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC的长；（知二求四）（4）求证：AC•BC＝AB•CD．（等面积法）变式1.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，连接AC和BC，过点C作CD⊥AB于点D．若CD＝4，BD＝3，求⊙O的半径长．（直径所对的圆周角为直角）变式2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAD＝∠C，点D在BC边上，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F．已知：AB＝6，AC＝8，求AF的长．变式3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．例4.如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E．（1）求证：DE⊥AC；（2）若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）（3）若AB＝5CE，求tan∠ACB的值．（射影定理知二求四）变式1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．三、双垂直例1.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，AF⊥DE，垂足为F，AD＝4，CE＝2，DE ＝2，求DF的长．变式1.如图，点P是正方形ABCD边AD上一点，Q是边BC延长线上一点，若AB＝12，P A＝5，PQ⊥BP．求CQ的长．变式2.如图，△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，若AE＝5，AD＝6，CD＝2．求EB的长．变式3.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．四、一线三等角例1.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；例2.如图，E是正方形ABCD的边AB上的点，过点E作EF⊥DE交BC于点F．（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）若AB＝6，AE＝2，求线段CF的长．变式1.如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E．且AD＝8，DC＝6，则＝．五、旋转相似例1.如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．变式1.如图，△ABC和△CEF中，AB＝BC，CF＝EF，∠CBA＝∠CFE＝90°，E在△ABC 内，∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE＝1，AE＝2，求EF的长．。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
初中几何相似专题训练教案
初中几何相似专题训练教案教学目标：1. 理解相似图形的概念，掌握相似图形的性质和判定方法。
2. 能够运用相似图形解决实际问题，提高解决问题的能力。
教学内容：1. 相似图形的定义和性质2. 相似图形的判定方法3. 相似图形的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾之前学过的图形变换知识，如平移、旋转等。
2. 提问：同学们，你们知道吗？我们今天要学习的内容，可以帮助我们更好地理解和解决图形变换问题。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解相似图形的定义：在平面几何中，如果两个图形的形状相同，但大小不一定相同，那么这两个图形叫做相似图形。
2. 讲解相似图形的性质：a. 相似图形的对应边成比例。
b. 相似图形的对应角相等。
c. 相似图形的大小不一定相同，但形状相同。
3. 讲解相似图形的判定方法：a. 如果两个图形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个图形相似。
b. 如果两个三角形的一组对边成比例，夹角相等，那么这两个三角形相似。
三、例题解析（15分钟）1. 出示例题：已知两个三角形相似，求证它们的对应边成比例。
2. 引导学生分析例题，解答例题。
3. 出示例题：已知两个矩形相似，求证它们的对应边成比例。
4. 引导学生分析例题，解答例题。
四、巩固练习（15分钟）1. 出示练习题：判断两个图形是否相似，并说明理由。
2. 学生独立完成练习题，老师进行讲解和解答。
五、应用拓展（10分钟）1. 出示应用题：一个正方形和一个矩形相似，已知正方形的边长为4cm，求矩形的长和宽。
2. 引导学生运用相似图形的性质和判定方法解决实际问题。
六、总结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生总结相似图形的定义、性质和判定方法。
2. 强调相似图形在实际问题中的应用价值。
教学评价：1. 课后作业：布置一道相似图形的应用题，让学生独立完成。
2. 课堂练习：观察学生的练习情况，了解学生对相似图形的理解和掌握程度。
3. 学生反馈：听取学生的意见和建议，不断改进教学方法。
人教版初中数学九年级中考复习专题(中考复习) 相似三角形的模型总结(39张ppt)【完美版】
∴AADE＝BCDE，AADE＝AABC，BCDE＝AABC.
方法提炼
2.
双A型 ∵DE∥BC，∴DEFF＝BCGG，BDGF＝CEGF .
双X型
方法提炼
3.
反 A 共角型 若已知∠1＝∠B(或∠ADE＝∠C)． 可证得△ADE∽△ACB. ∴AADC＝AABE＝DCBE(或 AD·AB＝AE·AC)．
(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)当 DE∥AB 时(如图 2)，求 AE 的长； (3)点 D 在 BC 边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF＝CF？若存 在，求出此时 BD 的长；若不存在，请说明理由．
人教版初中数学九年级中考复习专题 （中考 复习） 相似三角形的模型总结（39张ppt ）【完 美版】
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6.
方法提炼
燕尾型 过 A，B，C，D，E 和 F 每个点可以作 2 条平行线，共作 12 条辅 助线．每条辅助线得到两个“A 字型”或“X 字型”．
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课堂精讲
【解】(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠ADE＋∠CDE＝∠B＋∠ BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE.∴△BAD∽△DCE.
(2)如图，作 AM⊥BC 于 M.在 Rt△ABM 中，设 BM＝4k，
人教版初中数学九年级中考复习专题 （中考 复习） 相似三角形的模型总结（39张ppt ）【完 美版】
2020年数学中考 专题复习 万能解题模型(五) 相似三角形中常见基本模型
万能解题模型(五)相似三角形中常见基本模型前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。
通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。
但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。
结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。
这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。
做好试卷分析和总结是十分有必要的。
那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。
只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。
二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。
转变，让我们从一轮复习开始。
按照上面两点认真完成后面练习题。
希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。
基本模型1 A 字型及其变形1．(2019·遵义)如图，已知⊙O 的半径为1，AB ，AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，延长BO 交AC 于点D ，连接OA ，OC.若AD 2＝AB·DC ，则OD ＝5－12．2．(2019·娄底)如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E.求证：(1)直线CD 是⊙O 的切线； (2)CD·BE ＝AD·DE.证明：(1)连接OD. ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAD ＝∠BAD.∵OA ＝OD ，∴∠BAD ＝∠ADO. ∴∠CAD ＝∠ADO.∴AC ∥OD. ∵CD ⊥AC ，∴CD ⊥OD. 又∵OD 为⊙O 的半径， ∴直线CD 是⊙O 的切线． (2)连接BD.∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径， ∴∠ABE ＝∠BDE ＝90°.∵CD ⊥AC ，∴∠C ＝∠BDE ＝90°. ∴∠CAD ＝∠BAE ＝∠DBE.∴△ACD ∽△BDE.∴CD DE ＝ADBE.∴CD·BE ＝AD·DE.基本模型2 X 字型及其变形3．(2018·巴中)如图，⊙O 的两弦AB ，CD 相交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝4∶3．4．(2018·扬州)如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M.对于下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②MP·MD ＝MA·ME ；③2CB 2＝CP·CM.其中正确的是(A)A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③基本模型3 双垂直型相关结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，CD 2＝BD·AD ，BC 2＝BD·AB ，AC 2＝AD·AB.5．(2019·宜宾)如图，已知Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝165．6．(2018·安顺)如图，点P 1，P 2，P 3，P 4均在坐标轴上，且P 1P 2⊥P 2P 3，P 2P 3⊥P 3P 4.若点P 1，P 2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P 4的坐标为(8，0)．7．(2019·南充)如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接CD ，∠BCD ＝∠A. (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝5，BD ＝3，求点O 到CD 的距离．解：(1)证明：∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°.∴∠A ＋∠ACD ＝90°. ∵∠BCD ＝∠A ，∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACB ＝90°.又∵OC 是⊙O 的半径， ∴BC 是⊙O 的切线．(2)过点O 作OH ⊥CD 于点H. ∵∠ACB ＝∠BDC ＝90°，∠B ＝∠B ， ∴△ACB ∽△CDB. ∴BC BD ＝AB BC .∴53＝AB 5. ∴AB ＝253.∴AD ＝163.∵OH ⊥CD ，∴CH ＝DH.∵AO ＝OC ，∴OH ＝12AD ＝83.∴点O 到CD 的距离是83.基本模型4 一线三等角型(1)如图1，△CAP ∽△PBD(此图又叫做“三垂图”)； (2)如图2、图3，有以下结论： ①△CAP ∽△PBD ；②连接CD ，当点P 为AB 的中点时，△CAP ∽△PBD ∽△CPD.8．(2019·凉山州)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，AE ＝14AB ，点P 在BC 上运动(不与B ，C 重合)，过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为4．9．如图，在边长为9的等边△ABC 中，BD ＝3，∠ADE ＝60°，求AE 的长．解：∵△ABC 是边长为9的等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝9. ∴∠BAD ＋∠ADB ＝120°. ∵∠ADE ＝60°，∴∠CDE ＋∠ADB ＝120°. ∴∠BAD ＝∠CDE. ∴△ABD ∽△DCE. ∴AB DC ＝BD CE ，即99－3＝3CE.∴CE ＝2.∴AE ＝9－2＝7.【变式】 点D ，E 分别变到CB ，AC 的延长线上．如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在CB ，AC 的延长线上，∠ADE ＝60°.求证：△ABD ∽△DCE.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∴∠ABD ＝∠DCE ＝120°.∵∠ABC ＝∠DAB ＋∠BDA ，∠ADE ＝∠EDC ＋∠BDA ，∠ABC ＝∠ADE ＝60°， ∴∠DAB ＝∠EDC. ∴△ABD ∽△DCE.10．如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP>AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．(1)判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝35，求AB 的长．解：(1)有三对相似三角形：△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.(2)设AP ＝x ，由折叠的性质，得BP ＝AP ＝EP ＝x.∴AB ＝DC ＝2x.由△AMP ∽△BPQ ，得AM BP ＝APBQ ，∴BQ ＝x 2.由△AMP ∽△CQD ，得AP CD ＝AMCQ，∴CQ ＝2.AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2＋2，MD ＝AD －AM ＝x 2＋2－1＝x 2＋1.在Rt △FDM 中，sin ∠DMF ＝35，DF ＝DC ＝2x ，∴2x x 2＋1＝35. 解得x 1＝3，x 2＝13(不合题意，舍去)．∴AB ＝2x ＝6.。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
专题5.2相似---A字形及其变形-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
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∵ ∠ = ∠ + ∠，∠ = ∠ + ∠ ，
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针对训练
“A字形”及其变形
查漏补缺
A
13.已知△ABC中,∠AEF=∠ACB,
求证：(1)AE·AB=AF·AC；
(2)∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD；
E
(3)∠DEF=∠DBC,∠DFE=∠DCB.
5
5.如图,将弧BC沿弦BC折叠,交直径AB于点D,若AD=4,DB=5,则BC的长是___
3 7
6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90º,BD⊥AC于D.若AB=6,AD=2,则AC=____.
18
7.如图,D是△ABC一边BC上一点,连接AD,使△ABC∽△DBA的条件是(
A.AC:BC=AD:BD
旋转型
A
A
E
D
B
D
E
CB
DE∥BC
射影型
A
D
E
B
条件
母子型
知识梳理
C B
C
B
C
∠AED=∠B
∠ACD=∠B
CD⊥AB,AC⊥BC
△ADE∽△ACB
△ADC∽△ACB
△CAD∽△BCD∽△BAC
AC2=AD·AB
(斜射影)
CD2=AD·BD；
AC2=AD·AB；
BC2=BD·BA.
D
A
C
E
C
B
D
△ABC∽△ADE
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中考数学必考几何模型：相似模型
相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC=．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OE DEOC BC==．同理：12OFOA=，12ODOB=．∴12 OF OE ODOA OC OB===．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12 GF BFAD BC==．∵AD＝CD，∴12GFAD=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OF GFOA AD==．同理12OEOC=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A∴12HD DF HFAB AF FB===，∴HD＝1．5a，13FHBH=，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HG HD aGB EB a===，∴47BGHB=∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==跟踪练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC 的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF=，12EG OE DEFC OC BC===，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB AC BD CD=．方法一：过点C CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴AB BD CE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴AB BD AC CD=方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDS BD h=Vg，12ACDS CD h=Vg过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDS AB DE=Vg，12ACDS AC DF=Vg11221122ABD ACDBD h AB DES S CD h AC DF ==V V g g g g ，又∵1=2，∴DE=DF ，∴AB BD AC CD =5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边BC 的中点，E 在AB 上，且AE ：EB ＝2:1，求证：CE ⊥AD ．证明：过点B 做BF//AC ，交CE 延长线于点F ，则∠CBF=90°，△AEC ∽△BEF ∵AE ：EB=2：1，∴BF=12AC=12BC=CD ，又AC=CB ，∠ACD=∠CBF=90° ∴△ACD ≌△CBF ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90° ∴∠4=90°，∴CE ⊥AD模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABCDAC B12模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以得到：AC 2=AD g AB 模型实例例1 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15．那么△ACD 的面积为 ．CDB解答：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA．∵AB=4，AD=2，∴14ACDABCSS∆∆=，∴13ACDABDSS∆∆=，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5例2如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BD g BC，AC2=CD g CB，AD2=BD g CD（3）求证：AB g AC=BC g ADD CBA解答（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴AB BDBC AB=．∴AB2=BD g BC，∵△ACD∽△BCA∴AC CDCB AC=．∴AC2=CD g CB，∵△ABD∽△CAD，∴AD BDCD AD=，∴AD2=BC g CD（3）1122ABCS AB AC BC AD==Vg g，∴AB g AC=BC g AD跟踪练习：1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有．①∠B=∠DAC②∠BAC=∠ADC③AC2=DC g BC④AD2=BD g BCBDC【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC =120o ．求证： （1）AB 2=BM g BC ； （2）AC 2=CN g CB ； （3）MN 2=BM g NC ．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形， ∴∠B +∠1=∠AMN =60o，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM g BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN g CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM g CN =AN g AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM g BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D ，AC=AD :DB =4:1．求CD 的长．OB【答案】连接BC ，设AD =4x ，则DB =x .∴AB =5x .∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =90o又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD g AB ，即2(210)45x x =g，解得：x =2（舍负）. ∴AD =42.∴CD =2222AC AD -=4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD g AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ． （1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO g BD . ∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF g BE .∴BO g BD =BF g BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE 2226+=210 在Rt △OBC 中，OB =2322BC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即324210OF =，∴65OF =.模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D 结论：△ABC ∽△CDE模型分析如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型实例例1 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=23．则△ABC的边长为．60oDP CA解答∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴DC PC BP AB=．设AB=x，则PC=x－1，2131xx-=，解得x=3．例2 如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△P AD与△PBC相似，则这样的P点共有个．PCBDA解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED BA1.解答：0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===Q 中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=Q ，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=Q 又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆:22222,.,...1) 1.1ABD DCE AB BDCD CE BD x CD BC BD x x CE CE x AE AC CE x x y x ∆∆∴==∴=-==∴=-∴=-=--=+=-+Q :Q （）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE.,.1.1.,2ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴=-=∴=-=-Q :Q 又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA . 0045,90.ADE DEA ∠=∴∠=Q 此时有即△ADE 为等腰直角三角形.11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去.12.2AE 因此的长为或2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上）2.解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADE ACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆Q Q :（）又故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆Q （）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .PA BDC O004cos 108.59090.4cos ,10,54cos .525.2ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=Q Q 且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长． 3.解答1,,,90.,,,.90.90,,,.214,1.22,2,ABCDAD BC DC AB DAB B C DAP AB PO BO PAO BAO APO B APOAPD CPO POCD C APD POCOCP PDAOCP PDAOC OP CPPD PA DAPD OC PA OP D∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴====∴==QQ:Q（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为2222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CPADCP BCOP x OB x CO xRt PCDC CP OP x CO xx xxAB AP OP==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===QQ，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF∥DE∥BC结论：111AF BC DE+=模型分析∵AF∥DE∥BC，∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC∴DE BDAF AB=，DE ADBC AB=．∴1DE DE BD AD ABAF BC AB AB AB+=+==AB CD EF即1DE DEAF BC += ∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE ） 仔细观察，会发现模型中含有两个A 型相似模型，它的结论是由两个A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型实例如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BC k FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=g Q g g ∽∽设 跟踪练习1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+= 答案：1、证明：ABCDEFE图1CGHAB方法一：如图①∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥AB ∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ， ∴ △AEF ∽△ACD . ∴EF AECD AC=① ∵ EH ∥AB ， ∴ △CEH ∽△CAB ∴EH CEAB AC=∵ EH =EF ， ∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴111.AB CD EF+= 方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K ，依题意有，CK ∥EH ∥AB ，∴ 111.AB CK EH+= ∵,,EH AE EFEH EF CK AC CD=== ∴ CK =CD . ∴111.AB CD EF+=EE图2E2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证：(1) AF +BF =EF ； (2) 111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ， ∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600.∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF .∴ △EAH ≌△BAF . ∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF .（2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF . ∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ， ∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似POCDBACCDC图3图2图1DPAOABD BEB模型分析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900.又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C . 从而△BAD ∽△BCA .模型实例如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． 求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .答案：证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ， ∴ △PBC ∽△PDA . ∴.PB PCPD PADC∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2 证明： 连接AD 、B C ．∵四边形ADCB 内接于⊙O ， ∴∠1＝∠2． 又∵∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PCB ． ∴PA PDPC PB=． ∴PA PB PD PC ⋅=⋅．练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =．求证：22PA PB r d ⋅=-．答案证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ． （1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．ABBA答案 解：（1）连接OC 、O D ． ∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴»»»AC CD DB ==． ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形． ∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°． ∴∠E ＝60°． （2）连接BC ， ∵2EM EB CE ⋅=，∴EM CE CE EB．∵∠E＝∠E，∴△CEM∽△BE C．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠ECB＝90°，∴∠EMC＝∠ECB＝90°．∵C、D是半圆三等分点，∴∠AOC＝∠DOB＝60°，∴OC∥BE．∴∠OCM＝∠EMC＝90°．∴OC⊥CM．∴CM为⊙O的切线．模型6 相似和旋转如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．结论：△ABD∽△ACE．BCPAEACBEDA模型分析∵DE ∥BC ， ∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型实例如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC 内，且PA =PB ＝5，PC ＝2． 求ABC S V ．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ．∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC=． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°，∴△AQP ∽△ACB∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP ＝23PQ 3＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==． ∴22225BP BQ PQ ==+． ∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ． ∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()222222883AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+ 故21367373sin 6032ABC S AB AC +=⋅︒==V ． 练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ． （1）求证：△CAE ∽△CBF ； （2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．EABFC解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形．∴AC CEBC CF= ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． （2）∵△CAE ∽△CBF ，∴∠CAE ＝∠CBF ，AE ACBF BC==又∵AE ACBF BC==，AE ＝2．∴2BFBF 又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°．∴2222213EF BE BF =+=+=．∴EF = ∵2226CE EF ==，∴CE2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数；（3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且P A PB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出ABCP图②图①PCBA图③PCBAPC 的长．解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°．∴△ADP 为等边三角形．∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°，∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．DQABCP（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ．∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°， ∴△DAP 是等边三角形． ∴PD ＝3，∠1＝60°，∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ， ∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝3BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ．∴∠DPQ＝∠DQP＝30°．∴∠APQ＝90°．∴PQ＝3．∴∠BQP＝∠AQB－∠AQP＝120°－30°＝90°．根据勾股定理得，224BQ PB PQ=-．∴122PC BQ==．。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模 相似模型-母子型(共角共边模型)和A(X)字型(解析版)
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中，
，∴ ，∴DE=DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的 绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若 ，求证： ；
1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC， ，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
∴ ，∴ ∴ ，
∵ ，DE=BF，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F分别为 上的点， 交 于点G，求证： ．
中考必会几何模型：相似模型
OE
OD
1
．
OA OC OB 2
解答：证法一：如图①，连接 DE．∵D、E 是中点，∴ DE 1 ．，DE//BC BC 2
OE
∴△EOD∽△COB（8 模型）∴
DE
1
OF
．同理：
1 OD
，
1
．
OC BC 2
OA 2 OB 2
∴ OF OE OD 1 ． OA OC OB 2
1
wang
证法二：如图②，过
E，DFAC
于
F，则
S ABD
1 2
AB DE
，
S ACD
1 2
AC DF
S ABD S ACD
1 BDh 2 1 CDh
1 ABDE 2 1 ACDF
，又∵1=2，∴DE=DF，∴
AB AC
BD CD
2
2
5．如图，△ABC 为等腰直角三角形，D 是直角边 BC 的中点，E 在 AB 上，且 AE：EB＝2:1， 求证：CE⊥AD．
2 x CE CE 2x x2. AE AC CE 1 ( 2x x 2) x 2 2x 1. 即y x2 2x 1 （3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是 AD=DE.
9
wang
又 ABD DCE, ABD DCE. CD AB 1.
BD 2 1. BD CE, AE AC CE 2 2. 当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是 ED=EA.
证明：连接 DE 交 AF 于点 G，则 DE//BC，DE= 1 BC，∴G 为 AF 中点 2
∴ EG 1 ， EG OE DE 1 ，∴BF=FC，即点 F 是 BC 的中点 BF 2 FC OC BC 2
相似五大考点串讲 五种基本模型初中数学模型
3 2
.
【思路分析】找出相似三角形，应用相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比” 列出方程求解．
知识串讲
考点3. 相似三角形的性质
【例 10】已知：如图，在 Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE∥AB. (1)当△CDE 的面积与四边形 DABE 的面积相等时，求 DE 的长； (2)当△CDE 的周长与四边形 DABE 的周长相等时，求 DE 的长．
＝CADC＋＋BCCE＝76.∴DE＝67AB＝370.
知识串讲 考点4. 相似三角形的应用
(1) 测高 (不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在 同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.
(2) 测距 (不能直接测量的两点间的距离) 测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形 求解.
知识串讲 考点2. 相似三角形的判定
【例 6】如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，若 AD·AB＝AC·AE， 试判断△ADE 与△ACB 是否相似？并说明理由．
【思路分析】先将已知的等积式转化为比例式．
【规范解答】△ADE∽△ACB.理由如下：∵AD·AB＝AC·AE，∴AADC＝AABE. 又∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
【思路分析】由题中的条件可得△ABC∽△DEC，由相似三角形的对应边 的比相等可求出 AB 的值．
知识串讲 考点4. 相似三角形的应用
【例 12】如图所示，有一池塘，要测量两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直 接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝12CA，连接 BC 并延长到点 E， 使 CE＝12CB，连接 ED，如果测量出 DE 的长为 25m，那么池塘宽 AB 是多少？为什么？
中考相似模型知识点总结
中考相似模型知识点总结一、相似概念相似是指两个图形，在形状上虽然不同，但其形状结构、比例尺寸、角度大小等方面存在一定的对应关系，因而可以通过某种变换，将一个图形变为另一个图形。
相似图形具有诸如角对应相等、对应边成比例等性质。
相似是几何中的重要概念，不仅在理论研究中有重要应用，而且在实际生活和各类工程设计中也有广泛应用。
二、相似三角形的判定1. AAA判定若两个三角形的对应角相对应相等，则这两个三角形是相似的。
2. AA相似判定若两个三角形中各对应角都相等，则这两个三角形是相似的。
3. SAS相似判定若两个三角形中有一对对应的角相等，而他们的对应的两边成比例，则这两个三角形是相似的。
4. SSS相似判定若两个三角形的对应边成比例，则这两个三角形是相似的。
三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角相等在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，对应角A和A′、对应角B和B′、对应角C和C′是相等的。
2. 相似三角形的对应边成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，AB/AC=A′B′/A′C′、BC/AC=B′C′/A′C′、AB/BC=A′B′/B′C′。
3. 相似三角形的高成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，AA′/BB′=CC′/A′C′。
4. 相似三角形的面积成比例在两个相似三角形ABC和A′B′C′中，S(ABC)/S(A′B′C′)=AB²/A′B′²。
四、相似折线的性质1. 相似折线的顶角相等在相似折线中，对应顶点的角相等。
2. 相似折线的对应边成比例在相似折线中，对应边的长度成比例。
五、相似几何图形的相似比相似图形的对应边的成比例值叫做相似比。
相似比在数学中有重要的应用，通过相似比我们可以计算图形的缩放比例、面积比例等。
六、相似变换相似变换是指一个原图形经过某种变换，变为另一个图形。
相似变换包括平移、旋转、放缩等，通过这些变换我们可以得到相似图形。
七、相似图形的应用1. 在建筑设计中在建筑设计中，通过相似图形的知识可以实现建筑设计的比例缩放，确保建筑的各个部分比例协调，美观大方。
相似模型(二)：子母型(斜A图)
感受相似的基本模型之二（子母型）熟悉已知与结论，熟练套路与思路 编制人：平生曜曜三、子母型（斜A 小套图，斜A 大套图）（一）、斜A 型小套图（特征：大⊿被分割为，小⊿和四边形） 1、如右图，已知: 在⊿ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，若∠ADE=∠C ，（1）、求证：⊿ADE ∽⊿ACB ；（2）、若AD=5，AE=7，AC=10，BC=12，求DE 、AB. 解：（1）、∵C ADE ∠=∠，又∵ ， ∴ ⊿ADE ∽ ⊿ （理由： ）；（2）、由⊿ADE ∽ ⊿ACB 得：()()()AEDE==AD，即：ABDE 712105==， ∴=DE ，=AB .2、抗干扰训练如图，若不知道DE 是否平行BC （但显然有∠A ＝∠A ），则： ①、当∠AED ＝∠ 时，可得⊿ADE ∽⊿ACB ； ②、当∠AED ＝∠ 时，可得⊿ADE ∽⊿ABC ； ③、当∠ADE ＝∠ 时，可得⊿AED ∽⊿ACB ； ④、当∠ADE ＝∠ 时，可得⊿AED ∽⊿ABC ；⑤、当()()=AEAD时，⊿ADE ∽⊿ABC ，理由是 （选填AA ，SAS ，SSS ），其中的“A ”指的是∠ ＝∠ ； ⑥、当()()ADAE=时，⊿ADE ∽⊿ACB ，理由是（选填AA ，SAS ，SSS ），其中的“A ”指的是∠ ＝∠ ； ⑦、当()()ABAD=时，可得⊿ADE ∽⊿ACB ，理由是（选填：AA ，SAS ，SSS ）；⑧、当()()=ABAD时，可得⊿ADE ∽⊿ABC ，理由 是 （选填：AA ，SAS ，SSS ）； ⑨、利用()()()AEDEAD==时，可直接得到：⊿ADE ∽⊿ACB ，理由是 （选填：AA ，SAS ，SSS ）； ⑩、利用()()()AEDEAD==时，可直接得到：⊿ADE ∽⊿ABC ，理由是 （选填：AA ，SAS ，SSS ）；〈总结3〉：在“斜A 型小套图”中，究竟有无相似三角形，这需由其他已知条件来定夺。
相似模型中考知识点总结
相似模型中考知识点总结第一章：概率预测模型1.1 概率预测模型的基本概念1.1.1 随机变量1.1.2 概率分布函数1.1.3 期望和方差1.1.4 条件概率和条件概率分布1.1.5 联合概率分布1.1.6 贝叶斯定理1.2 统计推断1.2.1 参数估计1.2.2 点估计和区间估计1.2.3 假设检验1.2.4 置信区间1.2.5 最大似然估计1.2.6 贝叶斯估计1.3 离散型随机变量的分布1.3.1 二项分布1.3.2 泊松分布1.3.3 几何分布1.3.4 超几何分布1.4 连续型随机变量的分布1.4.1 正态分布1.4.2 t分布1.4.3 F分布1.4.4 指数分布1.4.5 均匀分布1.5 多维随机变量及其分布1.5.1 多元正态分布1.5.2 边际分布1.5.3 条件分布1.5.4 独立分布1.5.5 协方差和相关系数1.5.6 贝叶斯分类器第二章：回归分析模型2.1 线性回归2.1.1 线性回归模型的假设2.1.2 最小二乘估计2.1.3 回归系数的性质2.1.4 假设检验及其应用2.1.5 多元线性回归2.1.6 回归模型的诊断2.2 非线性回归2.2.1 多项式回归2.2.2 逻辑斯蒂回归2.2.3 指数函数回归2.2.4 对数函数回归2.2.5 幂函数回归2.3 方差分析2.3.1 单因素方差分析2.3.2 多因素方差分析2.3.3 方差分析的应用2.3.4 方差齐性检验2.4 相关分析2.4.1 直接综合指数法2.4.2 典型相关分析2.4.3 主成分分析2.4.4 因子分析2.4.5 聚类分析2.5 时间序列分析2.5.1 自回归模型2.5.2 移动平均模型2.5.3 ARMA模型2.5.4 ARIMA模型2.5.5 季节性模型2.5.6 时间序列的预测第三章：分类模型3.1 逻辑斯蒂回归3.1.1 二分类逻辑斯蒂回归3.1.2 多分类逻辑斯蒂回归3.1.3 逻辑斯蒂回归的估计方法3.1.4 逻辑斯蒂回归的评价指标3.1.5 逻辑斯蒂回归的应用3.2 决策树3.2.1 基本决策树模型3.2.2 决策树的建立3.2.3 决策树的分支策略3.2.4 决策树的剪枝策略3.2.5 决策树的评价指标3.3 支持向量机3.3.1 线性支持向量机3.3.2 非线性支持向量机3.3.3 支持向量机的核函数3.3.4 支持向量机的优化算法3.3.5 支持向量机的应用3.4 K近邻3.4.1 K近邻的基本思想3.4.2 K近邻的距离度量3.4.3 K近邻的分类与回归3.4.4 K近邻的评价指标3.4.5 K近邻的应用3.5 朴素贝叶斯3.5.1 朴素贝叶斯的基本思想3.5.2 朴素贝叶斯的分类3.5.3 朴素贝叶斯的参数估计3.5.4 朴素贝叶斯的评价指标3.5.5 朴素贝叶斯的应用第四章：聚类模型4.1 K均值聚类4.1.1 K均值聚类的基本思想4.1.2 K均值聚类的算法流程4.1.3 K均值聚类的收敛性4.1.4 K均值聚类的评价指标4.1.5 K均值聚类的应用4.2 层次聚类4.2.1 层次聚类的基本思想4.2.2 自下而上的层次聚类4.2.3 自上而下的层次聚类4.2.4 层次聚类的评价指标4.2.5 层次聚类的应用4.3 密度聚类4.3.1 DBSCAN算法4.3.2 OPTICS算法4.3.3 密度聚类的评价指标4.3.4 密度聚类的应用4.4 模型聚类4.4.1 混合高斯模型4.4.2 高斯混合聚类4.4.3 模型聚类的评价指标4.4.4 模型聚类的应用第五章：关联规则模型5.1 关联规则挖掘的概念5.1.1 关联规则挖掘的基本任务5.1.2 关联规则挖掘的基本方法5.1.3 关联规则挖掘的评价指标5.1.4 关联规则挖掘的应用5.2 频繁模式挖掘5.2.1 频繁项集挖掘5.2.2 频繁序列挖掘5.2.3 频繁模式挖掘的评价指标5.2.4 频繁模式挖掘的应用5.3 关联规则的发现5.3.1 关联规则的基本概念5.3.2 关联规则的发现方法5.3.3 关联规则的评价指标5.3.4 关联规则的应用5.4 关联规则的应用5.4.1 超市销售数据分析5.4.2 在线购物网站的推荐系统5.4.3 医学诊断系统的关联规则应用5.4.4 决策支持系统中的关联规则结语通过对概率预测模型、回归分析模型、分类模型、聚类模型、关联规则模型等知识点的总结，使我们对这些模型的基本概念、各种分布、参数估计、假设检验、模型评价、应用方法等方面有了更深入的理解。
新人教部编版初中九年级数学模型构建专题：相似三角形中的基本模型(二)
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解：∵∠ACD＝∠ABC， ∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. ∴ AD = AC .
AC AB
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∵AC＝ 3 ，AD＝1， ∴ 1 = 3.
3 AB ∴AB＝3. ∴DB＝AB－AD＝3－1＝2.
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∴△ABP∽△PCD. ∴ BP = BA.
CD CP ∴BA·CD＝CP·BP. ∵BA＝AC， ∴AC·CD＝CP·BP.
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(2)当 P 为 BC 的中点时，求证：△ABP∽ △APD；
(2)证明：由(1)△ABP∽△PCD， ∴ AB = AP .
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(2)解：如图②，作 EH⊥AB 于点 H， ∴∠DHE＝90°. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠C＝45°.
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∵△DEF 是△ABC 的子三角形， ∴△DEF∽△ABC. ∴DE＝DF，∠EDF＝90°. ∵∠ADF＋∠AFD＝90°， ∠ADF＋∠EDH＝90°.
∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，
∴∠CEF＝∠BDE.
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∴△BDE∽△CEF. ∴ BE = DE = DE = 2 .
CF EF 2DE 2 2 ∴CF＝2.
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4．如图，在△ABC 中，AB＝AC Nhomakorabea点 P、D 分 别是 BC、AC 边上的点，且∠APD＝∠B.
中考必会几何模型：相似模型
相似模型模型1：A、8模型已知∠1＝∠2结论：△ADE∽△ABC模型分析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形．模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：12 OF OE ODOA OC OB===．解答：证法一：如图①，连接DE．∵D、E是中点，∴12DEBC=．，DE//BC∴△EOD∽△COB（8模型）∴12OE DEOC BC==．同理：12OFOA=，12ODOB=．∴12 OF OE ODOA OC OB===．证法二：如图②，过F作FG//AC交BD于点G，∵F是中点，∴12GF BFAD BC==．∵AD＝CD，∴12GFAD=．∵FG//AD，∴△GOF∽△DOA（8模型）∴12OF GFOA AD==．同理12OEOC=，12ODOB=．∴12OF OE ODOA OC OB===．【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若AFDF＝2，求HFBG的值．解答：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD．设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝2a．∵HD//AB，∴△HFD∽△BF A∴12HD DF HFAB AF FB===，∴HD＝1．5a，13FHBH=，∴FH＝13BH∵HD//EB，∴△DGH∽△EGB，∴1.5324HG HD aGB EB a===，∴47BGHB=∴BG＝47HB，∴1734127BHHFBG BH==跟踪练习：1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BD E与S△CDE的比是____________．解答：∵DE//AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，∴15 DE AC=∵DE//AC，∴15BE DEBC AC==，∴14BEBC=，∴的比是1：4.2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB；（4）△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形.3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．证明：连接DE交AF于点G，则DE//BC，DE=12BC，∴G为AF中点∴12EGBF=，12EG OE DEFC OC BC===，∴BF=FC，即点F是BC的中点4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：AB AC BD CD=．方法一：过点C CE//AB交AD延长线于点E，∴∠1=∠3，∴△ABD∽△ECD，∴AB BDCE CD=∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，AC=CE，∴AB BDAC CD=方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，12ABDS BD h=，12ACDS CD h=过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则12ABDS AB DE=，12ACDS AC DF=11221122ABDACDBD h AB DESS CD h AC DF==，又∵1=2，∴DE=DF，∴AB BDAC CD=5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．证明：过点B做BF//AC，交CE延长线于点F，则∠CBF=90°，△AEC∽△BEF∵AE ：EB=2：1，∴BF=12AC=12BC=CD ，又AC=CB ，∠ACD=∠CBF=90° ∴△ACD ≌△CBF ，∴∠1=∠2，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3-90°∴∠4=90°，∴CE ⊥AD模型2 共边共角型已知：∠ 1=∠2 结论：△ACD ∽△ABCDAC B12模型分析上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC 进而可以得到：AC 2=AD AB 模型实例例1 如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB =4，AD =2，∠DAC =∠B ，如果△ABD 的面积为15．那么△ACD 的面积为 ．AC DB解答：∵∠DAC =∠B ，∠C =∠C ，∴△ACD ∽△BCA ．∵AB =4，AD =2， ∴14ACD ABC S S ∆∆=，∴13ACD ABD S S ∆∆=，∵S △ABD =15，∴S △ACD =5 例2如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ． （1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD BC ，AC 2=CD CB ，AD 2=BD CD （3）求证：AB AC =BC ADDC BA解答（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CAD （2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC CD （3）1122ABCSAB AC BC AD ==，∴AB AC =BC AD跟踪练习：1．如图所示，能判定△ABC ∽△DAC 的有 ． ①∠B =∠DAC ②∠BAC =∠ADC③AC 2=DC BC④AD 2=BD BCB DC A【答案】①②③2．已知△AMN 是等边三角形，∠BAC =120o ．求证：（1）AB 2=BM BC ；（2）AC 2=CN CB ；（3）MN 2=BM NC ．CNM BA【答案】证明：∵∠BAC =120o，∴∠B +∠C =60o.∵△AMN 是等边三角形，∴∠B +∠1=∠AMN =60o ，∠C +∠2=∠ANM =60o.∴∠1=∠C ，∠2=∠B . (1)∵∠1=∠C ，∠B =∠B ，∴△BAM ∽△BCA .∴BM AB AB BC=.∴AB 2=BM BC （2）∵∠2=∠B ，∠C =∠C ，∴△CAN ∽△CBA .∴CN AC AC CB =.∴AC 2=CN CB （3）∵∠1=∠C ，∠2=∠B ，∴△BAM ∽△ACN .∴BM AMAN CN=. ∴BM CN =AN AM ∵AN =AM =MN ，∴AB 2=BM BC3．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D ，AC =210，AD :DB =4:1．求CD 的长．OCB【答案】连接BC ，设AD =4x ，则DB =x .∴AB =5x .∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =90o又∵CD ⊥AB .∴△ACD ∽△ABC .∴AC 2=AD AB ，即2(210)45x x =，解得：x =2（舍负）.∴AD =42.∴CD =2222AC AD -=4．如图①，R t △ABC 中，∠ACB =90o ，CD ⊥AB ，我们可以利用△ABC ∽△ACD 证明AC 2=AD AB ，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD 的边长为6，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 在CD 上，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ．（1）试利用射影定理证明△BOF ∽△BED ； （2）若DE =2CE ，求OF 的长．图①DCBA【答案】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴OC ⊥BO ，∠BCD =90o .∴BC 2=BO BD . ∵CF ⊥BE ，∴BC 2=BF BE .∴BO BD =BF BE .即BO BFBE BD =，又∵∠OBF =∠EBD ，∴△BOF ∽△BED .（2）∵BC =CD =6，而DE =2CE ，∴DE =4，CE =2.在Rt △BCE 中，BE 2226+=210 在Rt △OBC 中，OB 232BC =BOF ∽△BED ， ∴OF BODE BE =，即324210OF =∴65OF .模型3 一线三等角型已知，如图①②③中：∠B =∠ACE =∠D结论：△ABC ∽△CDE模型分析如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．模型实例例1 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=23．则△ABC的边长为．60oDP CA解答∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60o．∵∠APC=∠B＋∠BAP，即∠APD＋∠DPC=∠B＋∠BAP，又∵∠APD=∠B=60o，∴∠DPC=∠BAP．又∵∠B=∠C，∴△PCD∽△ABP．∴DC PC BP AB=．设AB=x，则PC=x－1，2131xx-=，解得x=3．例2 如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△P AD与△PBC 相似，则这样的P点共有个．P C BDA 解答设AP ＝x ，则有PB ＝AB －AP ＝7－x ，当△PDA ∽△CPB 时，DA PB AP BC =，即273xx -=， 解得：1x =或6x =，当△PDA ∽△PCB 时，AD AP BC PB =，即237xx=-， 解得：145x =，则这样的的点P 共有3个．练习：1．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，点D 是BC 边上一动点（不与B 、C 点重合），∠ADE ＝45°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．ED CBA1.解答： 0(1)901ABC BAC AB AC ∆∠===中，，，045.ABC ACB ∴∠=∠=045ADE ∠=，0135BDA CDE ∴∠+∠=，0135BDA BAD ∠+∠=又，.BAD CDE ∴∠=∠.ABD DCE ∴∆∆22222,.,...1) 1.1ABD DCE AB BD CD CE BD x CD BC BD x x CE CE x AE AC CE x x y x ∆∆∴==∴=-==∴=-∴=-=--=-+=+（）即（3）当△ADE 是等腰三角形时，第一种可能是AD =DE .,.1.2 1.,2 2.ABD DCE ABD DCE CD AB BD BD CE AE AC CE ∆∆∴∆≅∆∴==∴=-=∴=-=-又当△ADE 是等腰三角形时，第二种可能是ED =EA . 0045,90.ADE DEA ∠=∴∠=此时有即△ADE 为等腰直角三角形.11.22AE DE AC ∴=== 当AD =EA 时，点D 与点B 重合，不合题意，所以舍去. 122.2AE -因此的长为或2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，点D 是边BC 上一动点（不与B 、C 重合），∠ADE ＝∠B ＝a ，DE 交AC 于点E ，且4cos 5α=．下列结论： ①△ADE ∽△ACD ；②当BD ＝6时，△ABD 与△DCE 全等； ③△DCE 为直角三角形时，BD 等于8或252； ④0 6.4≤CE <其中正确的结论是 ．（把你认为正确的序号都填上） 2.解答：1,.,..AB AC B C ADE B ADE C ADE ACD =∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∆∆（）又 故①正确.4210,,cos .542cos 21016.56,10..,().AB AC ADE B a a BC AB B BD DC AB DC ABD DCE BAD CDE B C AB DC ABD DCE ASA =====∴==⨯⨯==∴=∴=∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆（）在和中故②正确.（3）当∠AED =900时，由可知：△ADE ∽△ACD . ∴ ∠ADC =∠AED . ∵ ∠AED =900， ∴ ∠ADC =900. 即 AD ⊥BC. ∵ AB =AC ， ∴ BD =CD .4cos 108.5ADE B a a AB BD ∴∠=∠====且，，当∠CDE =900时，易得△CDE ∽△BAD .004cos 108.59090.4cos ,10,54cos .525.2ADE B a a AB BD CDE BAD B a a AB AB B BD BD ∴∠=∠====∠=∴∠=∠===∴∠==∴=且，，，且故③正确.（4）易证△CDE ∽△BAD ，由②可知BC=16，22,,.10.1616646410.(8)6410.0 6.4BD y CE x AB BD DC CE y y xy y x y x x ==∴=∴=--+=--=-∴≤设整理得：即＜故④正确，故答案为：①②③④.P A BD C O3．如图，已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处，折叠与边BC 交于O ，连接AP 、OP 、OA ． （1）求证：△OCP ∽△PDA ； （2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1∶4，求边AB 的长．3.解答0001,,,90.,,,.90.90,,,.214,1.22,2,ABCD AD BC DC AB DAB B C D AP AB PO BO PAO BAO APO B APO APD CPO POC D C APD POC OCP PDA OCP PDA OC OP CPPD PA DAPD OC PA OP D ∴==∠=∠=∠=∠===∠=∠∠=∠∴∠=∴∠=-∠=∠∠=∠∠=∠∴∆∆∆∆:∴===∴==（）四边形是矩形由折叠可得：（）与的面积比为02222.848.,,8.,90,4,,8,(8)4.5.210.A CP AD CP BC OP x OB x CO x Rt PCDC CP OP x CO x x x x AB AP OP ==∴=====-∆∠====-∴=-+=∴===，，设则在中解得：模型4 倒数型条件：AF ∥DE ∥BC 结论：111AF BC DE+=模型分析∵AF ∥DE ∥BC ，∴△BDE ∽△BAF ，△ADE ∽ABCABCDEFB∴DE BD AF AB =，DE ADBC AB=． ∴1DE DE BD AD AB AF BC AB AB AB +=+== 即1DE DE AF BC += ∴111AF BC DE+=（两边同时除以DE ） 仔细观察，会发现模型中含有两个A 型相似模型，它的结论是由两个A 型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．模型实例如图，AF ∥BC ，AC 、BF 相交于E ，过E 作ED ∥AF 交AB 于D ． 求证：111ABFABCABES S S ∆∆∆+=．证明： 分别过点C 、E 、F 作直线AB 的垂线，垂足分别是K 、H 、G则111AF BC DE+=（模型结论）． ,.,,.111.111.111.111222111.ABF ABC ABEDEH BCK AF DE BC k FG EH CKAFG AF kFG DE kEH BC kCK kFG kCK kEH FG CK EHAB FG AB CK AB EH S S S ∆∆∆∆∆∴===∴===∴+=∴+=∴+=∆∴+=∽∽设跟踪练习1． 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，正方形EFGH 的四个顶点都在△ABC 的边上.求证：111.AB CD EF+= 答案：1、证明： 方法一：如图①ABCDEFE图1CGHABGFD CA EG F4321H DEA∵ 四边形EFGH 是正方形， ∴ EF ⊥AB ∵ CD ⊥AB ， ∴ EF ∥CD ，∴ △AEF ∽△ACD . ∴EF AECD AC =① ∵ EH ∥AB ，∴ △CEH ∽△CAB∴EH CEAB AC =∵ EH =EF ，∴EF CEAB AC=② ①+②得，1,EF EF AE CECD AB AC AC+=+= ∴111.AB CD EF+= 方法二：如图②，构造模型4过点C 作AB 的平行线交AH 的延长线于点K ， 依题意有，CK ∥EH ∥AB ，∴ 111.AB CK EH+= ∵,,EH AE EFEH EF CK AC CD === ∴ CK =CD .∴111.AB CD EF+=2．正方形ABCD 中，以AB 为边作等边三角形ABE ，连接DE 交AC 于F ，交AB 于G ，连接BF ．求证：(1) AF +BF =EF ； (2)111.AF BF GF+=答案：（1）如图①，在EF 上截取FH =AF . ∵ ∠EAB =600，∠BAD =900，AE =AD ， ∴ ∠1=∠2=150. ∠3=∠2+∠4=600. ∴ △AFH 为等边三角形. ∴ ∠EAH =∠BAF . ∴ △EAH ≌△BAF . ∴ EH =BF .∴ AF +BF =FH +EH =EF.G F图2123KH CA EPOCDB A（2），如图②，过点G 作GK ∥BF 交AC 于点K . 由①可得∠BFC =600， ∴ AH ∥GK ∥BF .∴ 由模型4，得111.AH BF GK+= ∵ AH =AF ，GK =GF ，∴ 111.AF BF GF+=模型5 与圆有关的简单相似CCDC图3图2图1DPAOABD BEB模型分析图①中，由同弧所对的圆周角相等，易得△P AC ∽△PDB .图②中，由圆的内接四边形的一个外角等于它的内对角，易得△ABD ∽△AEC . 图③中，已知AB 切⊙O 于点A ，如下图，过A 作直径AE ，连接DE ，则有∠EAD +∠E =900. 又∠BAD +∠EAD =900，∠BAD =∠E =∠C . 从而△BAD ∽△BCA .模型实例如图，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． 求证：P A ﹒PB =PD ﹒PC .答案：证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、AD .∵ ∠B =∠D ，∠C =∠A ，∴ △PBC ∽△PDA .∴.PB PCPD PA= ∴ P A ﹒PB =PD ﹒PC =（r +d ）（r -d ）= r 2-d 2DC连接AD 、B C ．∵四边形ADCB 内接于⊙O ， ∴∠1＝∠2． 又∵∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PCB ． ∴PA PD PC PB=． ∴PA PB PD PC ⋅=⋅．练习1．如图，P 是⊙O 内的一点，AB 是过点P 的一条弦，设圆的半径为r ，OP d =．求证：22PA PB r d ⋅=-．答案证明：作直线OP 交⊙O 于C 、D 两点，连接BC 、A D ． ∵∠A ＝∠D ，∠C ＝∠A ， ∴△PBC ∽△PD A ． ∴PB PCPD PA=． ∴()()22PA PB PC PD r d r d r d ⋅=⋅=+-=-2．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 是半圆的三等分点，延长AC 、BD 交于点E ． （1）求∠E 的度数；（2）点M 为BE 上一点，且满足2EM EB CE ⋅=，连接CM ，求证：CM 是⊙O 的切线．BA答案ABMDE CO（1）连接OC 、O D ．∵C 、D 是半圆的三等分点， ∴AC CD DB ==．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∴OA ＝OC ＝OD ＝OB ，∴△AOC 、△DOB 为等边三角形． ∴∠EAB ＝∠EBA ＝60°． ∴∠E ＝60°． （2）连接BC ，∵2EM EB CE ⋅=， ∴EM CE CE EB =． ∵∠E ＝∠E ，∴△CEM ∽△BE C ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°． ∴∠ECB ＝90°，∴∠EMC ＝∠ECB ＝90°． ∵C 、D 是半圆三等分点， ∴∠AOC ＝∠DOB ＝60°， ∴OC ∥BE ．∴∠OCM ＝∠EMC ＝90°． ∴OC ⊥CM ．∴CM 为⊙O 的切线．模型6 相似和旋转如图①，已知DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转一定的角度，连接BD 、CE ，得到如图②． 结论：△ABD ∽△ACE ．绕点A 旋转△ADEEDCBACBEDA模型分析BCPA∵DE ∥BC ，∴AD AEAB AC=， 如图②，∠DAE ＝∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ．该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．模型实例如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝60°，点P 在△ABC 内，且3PA =，PB ＝5，PC ＝2． 求ABCS．解答：如图，作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ， 则△ABQ ∽△ACP ．∴AQ AB AP AC =，即AQ APAB AC =． 又∠QAP ＝∠BAC ＝60°， ∴△AQP ∽△ACB∴∠APQ=∠ACB ＝90°．∴AQ ＝2AP ＝23，PQ ＝3AP ＝3． ∴△APQ 与△APC 的相似比为2AQAP=． ∴24BQ CP ==． ∴22225BP BQ PQ ==+．∴∠BQP ＝90°．过A 点作AM ∥PQ ，延长BQ 交AM 于点M ． ∴AM ＝PQ ，MQ ＝AP ．∴()()222222883AB AM QM BQ PQ AP BQ =++=++=+ 故21367373sin 6032ABCSAB AC AB +=⋅︒===+． 练习1．如图，△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形，E 在△ABC 内，∠CA E ＋∠ CBE ＝90°，连接BF ．（1）求证：△CAE ∽△CBF ；（2）若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．解：（1）∵△ABC 和△CEF 均为等腰直角三角形．∴AC CEBC CF== ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ． ∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°． ∴∠ACE ＝∠BCF ． ∴△CAE ∽△CBF ．（2）∵△CAE ∽△CBF ， ∴∠CAE ＝∠CBF，AE ACBF BC=又∵AE ACBF BC=，AE ＝2．∴2BF=BF又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°． ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°． ∴∠EBF ＝90°．∴2222213EF BE BF =+=+=．∴EF ∵2226CE EF ==，∴CE =2．已知，在△ABC 中，∠BAC ＝60°．（1）如图①．若AB ＝AC ，点P 在△ABC 内，且∠APC ＝150°，P A ＝3，PC ＝4，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B 处，得到△ADB ，连接DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；（2）如图②，若AB ＝AC ，点P 在△ABC 外，且P A ＝3，PB ＝5，PC ＝4，求∠APC 的度数；（3）如图③，若AB ＝2AC ，点P 在△ABC 内，且P APB ＝5，∠APC ＝120°，请直接写出PC 的长．EBFCA B C P 图②图①PC B A 图③PCBADQAB CP解：（1）如图，由旋转有，AD ＝AP ，BD ＝PC ，∠DAB ＝∠P AC ， ∴∠DAP ＝∠BAC ＝60°．∴△ADP 为等边三角形．∴DP ＝P A ＝3，∠ADP ＝60°． ∴∠ADB ＝∠APC ＝150°， ∴∠BDP ＝90°，在Rt △BDP 中，BD ＝4，DP ＝3． 根据勾股定理得：PB ＝5．（2）把△APC 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，得到△ADB ，连接PD ， ∴△APC ≌△AD B ．∴AD ＝AP ＝3，DB ＝PC ＝4，∠P AC ＝∠DAB ，∠APC ＝∠2． ∴∠DAP ＝∠BAC ， ∵∠BAC ＝60°， ∴∠DAP ＝60°，∴△DAP 是等边三角形． ∴PD ＝3，∠1＝60°，∴222222345PD DB PB +=+==． ∴∠PDB ＝90°． ∴∠2＝30°． ∴∠APC ＝30°．（3）作△ABQ ，使得∠QAB ＝∠P AC ，∠ABQ ＝∠ACP ，则△ABQ ∽△ACP ，∴∠AQB ＝∠APC ＝120°． ∵AB ＝2AC ，∴△ABQ 与△ACP 的相似比为2． ∴AQ ＝2AP ＝23，BQ ＝2CP ，∠QAP ＝∠QAB ＋∠BAP ＝∠P AC ＋∠BAP ＝∠BAC ＝60°． 取AQ 中点D ，连接PD ， ∵AQ ＝2AP ，∴AD ＝AP ．∴△APD 是等边三角形．∴DP ＝DQ ． ∴∠DPQ ＝∠DQP ＝30°．∴∠APQ ＝90°． ∴PQ ＝3．∴∠BQP ＝∠AQB －∠AQP ＝120°－30°＝90°．根据勾股定理得，224BQ PB PQ-=．∴122PC BQ==．赠送—高中数学知识点第一章空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
中考相似模型大全（附20道绝妙好题）
中考相似模型大全（附20道绝妙好题）
“射影定理”
“一线三等角相似”
“手拉手相似模型”
两相似，共顶点，等顶角，则必有手拉手相似（口诀）
“对角互补相似模型”
“三平行模型”
证明方法：
“内接矩形相似模型”
“线束模型”
以下为中考超纲内容，仅供有兴趣的同学研究
看了这么多，来几道好题热热身吧！第一题：A字相似模型的构造
第二题：相似三角形的性质与判定
第三题：8字相似模型的构造
第四题：线束模型的构造
（此题如果学过四点共圆的同学应该可以秒杀）第五题：内接矩形相似模型的构造
第六题：三平行模型
第七题：反A模型的构造
第十、十一题：斜射影模型
第十二题：射影模型应用
第十三题：射影模型应用
第十四题：射影模型的构造
第十五题：三垂直模型的应用
第十六题：一线三等角模型的构造
第十七题：手拉手相似模型的构造（1）
第十八题：手拉手相似模型的构造（2）
第十九题：对角互补类旋转相似应用
第二十题：对角互补类旋转相似的构造
本篇推文从定内容到选题、排版、编辑，耗时近十个小时，希望能对大家有所帮助，如有错误辛苦指正，欢迎大家一起探讨！。
中考数学常见几何模型专题05 一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)(解析版)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论； ②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF=，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠=，△2DE AD AE =+=．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________． 【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．A BADE BFDAE BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AED△△BDF(AAS) 答案为：△BDF；②△△ABC是等边三角形△△B=△C=60゜△△BDE+△BED=180゜−△B=120゜△△EDF=60゜△△BDE+△CDF=180゜−△EDF=120゜△△BED=△CDF在△BDE和△CFD中B CBED CDFBD CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△BDE△△CFD(AAS)故答案为：△CFD；③△四边形ABCD是正方形△△ABC=90゜，AB=BC△△ABE+△CBF=180゜−△ABC=90゜△AE△l，CF△l△△AEB=△CFB =90゜△△ABE+△EAB=90゜△△EAB=△CBF在△ABE和△BCF中AEB CFBEAB CBFAB BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABE△△BCF(AAS)△AE=BF=1，BE=CF=2△EF=BE+BF=2+1=3 故答案为：3；（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC△△COE+△AOD=180゜−△ACO=90゜△AD△x轴，CE△x轴△△CEO=△ADO =90゜△△ECO+△COE=90゜△△ECO=△AOD模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC中，AB AC=，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA AEC BACα∠=∠=∠=．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，(060)B Cαα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？ （3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ；②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．3．（2022·山东菏泽·三模）（1）问题：如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=ADP ∴∽△（3）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =4DF =，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC CD∴=5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴=【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ． (1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM +的最小值为5． ②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM=， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<<，036<，△3DE =或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____ (2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC，DC为边作正方形ACEF和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT =，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =； （3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =，在DCB和△3）解：过3.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE 绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NOOE ME MO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，ON33NF OF33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =．（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形2．（2022·广东·汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC 中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO，AB=5m，）可证得CDB∆3．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =，△直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下： △AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________． （2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ；（2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m ，垂足分别是D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α， 补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明； （3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM7．（2022·湖北武汉·模拟预测）[问题背景]（1）如图1，ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．∽AMF BGM，即可求出长度，即可求出FG(1)解：ABP PDC△≌△△中在ABP△和PDC Array在AOB和△Rt AOB 中，AOD △中，12OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠B =∠△∽AMF BGM △AM BG 45B ∠=︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、同角的余角相等、勾股定理、相似三角形9．（2022•郑州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中．边长为4的等边△OAB 的边OA 在x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，， ∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°， 又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ，∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF 的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】 （1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆； （2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=，180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===， 由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8)y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan2α=，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．NF OF NO90△△ABE△△EFP 12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE 于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为。