§4.1.2_实数指数幂及其运算法则
2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.1.1n次方根与分数指数幂4.1.2
4．1 指数4．1.1 n次方根与分数指数幂4．1.2 无理数指数幂及其运算性质内容标准学科素养1.理解方根及根式的概念．数学抽象2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义．3.掌握幂的运算.授课提示：对应学生用书第50页[教材提炼]知识点一n次方根及根式预习教材，思考问题如果x2＝4，x3＝8中的x可以是多少？知识梳理(1)n次方根定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N＋.个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为naa＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为±naa＜0x不存在,(2)根式①定义：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②性质：(n ＞1，且n ∈N ＋)(ⅰ)(na )n ＝a .(ⅱ)na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.知识点二 指数幂及运算 知识梳理 (1)分数指数幂的意义 ①规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)． ②规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1amn＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N ＋，且n ＞1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s ； ②(a r )s ＝a rs ； ③(ab )r ＝a r b r . (3)无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．[自主检测]1．已知x 5＝6，则x 等于( )A.6B.56C ．－56D ．±56答案：B2．234化成根式形式为( )A.324B.423C.432D.243答案：B3．(0.027)－23的值是( )A.1009B.9100C.103D.310解析：(0.027)－23＝[(0.3)3]－23＝0.33×(－23)＝0.3－2＝10.32＝10.09＝1009. 答案：A4．当8<x <10时，x －82＋x －102＝________.解析：由8<x <10， 得x －82＋x －102＝|x －8|＋|x －10|＝(x －8)＋(10－x )＝2. 答案：2授课提示：对应学生用书第51页探究一 利用根式的性质化简求值[例1](1)化简a ＋41－a 4的结果是( )A ．1B ．2a －1C ．1或2a －1D ．0(2)当a 、b ∈R 时，下列各式总能成立的是( )A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b 10＝a ＋b(3)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．[解析](1)a ＋41－a 4＝a ＋|1－a |＝1或2a －1，故选C.(2)取a ＝0，b ＝1，A 不成立． 取a ＝0，b ＝－1，C 、D 不成立． ∵a 2＋b 2≥0，∴B 正确，故选B. (3)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|. ∵－3＜x ＜3， ∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.[答案](1)C (2)B (3)见解析(1)开偶次方根时，往往涉及绝对值问题．(2)在含有多个绝对值的式子中，常利用零点分段法，结合数轴完成，去绝对值，如图所示：从而把数轴分成(－∞，－3)，[－3,1)，[1，＋∞)三段来研究．由于－3＜x ＜3，因此只研究(－3,1)及[1,3)两个区间便可．若n <m <0，则 m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( )A ．2mB ．2nC ．－2mD ．－2n 解析：m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2 ＝m ＋n2－m －n 2＝|m ＋n |－|m －n |.∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0，∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－m －n －m ＋n ＝－2m . 答案：C第四章 指数函数与对数函数 数学 必修 第一册 探究二 根式与分数幂的转化 [例2]用分数指数幂形式表示下列各式(式中a >0)：(1)a 2·a ；(2)a 3·3a 2；(3) a a ；(4)y 2xx 3y3y 6x 3.[解析](1)a 2·a ＝a 2·a12＝a 2＋12＝a 52.(2)a3·3a2＝a3·a23＝a3＋23＝a113.(3) a a＝(a·a12)12＝(a32)12＝a34.(4)y2xx3y3y6x3＝y2xx3y⎝⎛⎭⎪⎫y6x313＝y2xx3y·y2x＝y2xx2·y12＝⎝⎛⎭⎪⎫y2x·xy1212＝y54＝y4y.(1)当所求根式含有多重根号时，要按照由里向外用分数指数幂写出，然后借助运算性质化简．(2)化简过程中，要明确字母的X围，以防错解．1．2－23等于( )A.322B.223C．－322D.1322答案：D2．计算：23×31.5×612＝________.解析：23×31.5×612＝2×312×⎝⎛⎭⎪⎫3213×(3×22)16＝21－13＋13×312＋13＋16＝2×3＝6.答案：6探究三 指数幂的运算[例3]计算：(1)[12523＋⎝ ⎛⎭⎪⎫116－12＋34313]12；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤140.02723＋50×0.001 634－12. [解析](1)原式＝[(53)23＋(2－4)－12＋(73)13]12＝(52＋22＋7)12＝3612＝6. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫271 00023＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫1610 00034－12＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3103×23＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2104×34－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫3102＋14×50×⎝ ⎛⎭⎪⎫2103－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋110－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫9400＋40400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49400－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7202×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫720－1＝207.利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．化简求值：(1)0.000 1－14＋2723－(4964)－12＋(19)－1.5；(2)(0.064)－13－(－78)0＋(8116)14＋|－0.01|12.解析：(1)原式＝(0.14)－14＋(33)23－[(78)2]－12＋[(13)2]－32＝0.1－1＋32－(78)－1＋(13)－3 ＝10＋9－87＋27＝3147.(2)原式＝(0.43)－13－1＋[(32)4]14＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3.1.授课提示：对应学生用书第52页一、条件求值的整体代换策略 (教材探究：教材P 110第8题拓展探究)1．求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．2．在进行整体代换时常用的一些公式： (1)完全平方公式：(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2， (a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.(2)平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )． (3)立方和公式：a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)． (4)立方差公式：a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)． (5)完全立方公式：(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3， (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3.[典例] 1.已知a 12＋a －12＝3，求a 3＋a －3的值．[解析]∵a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2＋a －2－1)，由a 12＋a －12＝3得a ＋a －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋a －122－2＝7，a 2＋a －2＝(a ＋a －1)2－2＝72－2＝47，∴a 3＋a －3＝7×(47－1)＝322. 2．如果a ＋a －1＝3，求a 12＋a －12的值． [解析]∵(a 12＋a －12)2＝a ＋a －1＋2＝5，且a 12＋a －12＞0，∴a 12＋a －12＝ 5.二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题 常用指数幂的变换技巧则a k 积：3k 乘方：(a k )3＝a 3k[典例] 设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：c ＝a ＋b.[证明]令3a ＝4b ＝6c ＝t ，则.因为3×2＝6，所以，即1a ＋12b ＝1c，所以2c ＝2a ＋1b.。
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.1 实数指数幂及其运算学案(含解析)新人教B版
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1 指数与指数函数4.1.1 实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0x＝__na__x＝__±na__0不存在思考：对于式子na中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当n a 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②nan＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(na )n与na n中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n ＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝n a m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的m n有什么规定？提示：m n为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数． 知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s＝__ar ＋s__．(2)(a r )s ＝__a rs__． (3)(ab )r＝__a r b r__．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题┃┃典例剖析__■典例1 (1)求使等式a －3a 2－9＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号． [解析] (1)a －3a 2－9＝a －32a ＋3＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]．(2)原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． ┃┃对点训练__■1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__；(2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6x －26＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6x －26＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化┃┃典例剖析__■典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15 ；a 34 ；a －23 ；(2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解．[解析] (1)a 15 ＝5a ；a 34 ＝4a 3；a －23 ＝1a 23 ＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63 ＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23 ．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．┃┃对点训练__■2．(1)用根式表示下列各式：x 35 ；x －13 ； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35 ＝5x 3；x －13 ＝13x．(2)①b 3a 2·a 2b 6＝b 3a 2·a b 3＝a －12 ． ②a －4b23ab 2＝a －4b 2·ab213 ＝a －4b 2a 13 b 23 ＝a －113 b 83 ＝a －116 b 43 ．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用┃┃典例剖析__■典例3 化简：(1)(5x －23 y 12 )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)；(2)0.064－13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75；(3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×－14×－56·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ．(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33 ＝32＋3×(33)－33 ＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12 ＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12 ＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14 ]＋2＝(2)14 ＋2＝2＋218 ．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．┃┃对点训练__■ 3．化简与求值(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·a－5－12 ·a －1213．[解析] (1)原式＝(－1) －23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32 ·a －23 )13 ·[(a －5)－12 ·(a －12 )13] 12 ＝(a 0) 13 ·(a 52 ·a －23 )12＝(a －4) 12 ＝a －2．易错警示┃┃典例剖析__■典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12 ．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14 ．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12 存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14 ＝1 (－a)4．。
新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.1.2 无理数指数幂及其运算性质
所以
1
x2
1
x2
6，
所以
x2 x2
1
1
4
2.
x2 x 2
ax )(a2x 1 ax ax
a 2x
)
a 2x
1 a 2x
1
2 1
1 1 2 2 1. 2 1
【素养·探】 在指数式的化简求值中,经常利用核心素养中的数学
运算,通过对式子的等价变形,体现了良好的先化简后 求值的数学运算习惯. 将本例中的式子改为 a3x a3x ,试求值.
ax ax
【解析】
(1)底数相同时直接对指数上的无理数进行加减运算. (2)若式子中含有根式,则先化为指数式再进行运算,一 般指数中的根式可以保留.
【习练·破】
计算下列各式:
1( 3 )2 3.
3
2
(m
3
m
6
)12
.
【解析】(1)原式=
(
3
3
2 )2
3
(
3
2 )2
3
3.
(2)原式=
(m
3
6
)12
(m 6 )12
x的指数升高,再代入求值.
【解析】由已知可得:x+x-1=(
x
1 2
x -12 2) 2=(
)2-25 =3.
x2+x-2=(x+x-1)2-2=32-2=7.
原式= 7 6 1 .
35 2
【类题·通】 解决条件求值问题的步骤
【习练·破】
1.已知a+a-1=7(a>1),求
a
1 2
1
a2
所以 3 a b 1 .
实数指数幂及运算法则教案
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则；（3）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的推导和理解；（2）运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
三、教学准备1. 教师准备：（1）实数指数幂的相关知识；（2）实数指数幂的运算法则的例题和练习题；（3）实数指数幂的实际问题。
2. 学生准备：（1）掌握实数的基本概念；（2）具备一定的数学运算能力。
四、教学过程1. 导入：（1）复习实数的基本概念；（2）引导学生思考实数指数幂的概念。
2. 知识讲解：（1）讲解实数指数幂的概念；（2）推导和讲解实数指数幂的运算法则；（3）运用实际例子解释实数指数幂及运算法则的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成练习题；（2）讲解练习题的解题思路和方法。
4. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容；（2）强调实数指数幂及运算法则的重要性和应用。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容；2. 完成课后练习题；3. 思考和解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：（1）观察学生对实数指数幂概念的理解程度；（2）评估学生对实数指数幂运算法则的掌握情况；（3）评价学生的课堂参与度和提问回答情况。
2. 课堂练习评估：（1）检查学生练习题的完成情况；（2）分析学生解题思路和方法的正确性；（3）针对学生易错点进行讲解和辅导。
七、教学反思1. 反思教学内容：（1）是否全面讲解了实数指数幂的概念和运算法则；（2）是否结合实际例子让学生更好地理解实数指数幂的应用；（3）是否注重了学生的课堂参与和思维能力的培养。
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的性质。
2. 掌握实数指数幂的运算法则，能够熟练进行相关计算。
3. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
二、教学重点与难点1. 教学重点：实数指数幂的概念，有理数指数幂的性质，实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：实数指数幂的运算法则的应用。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的概念、性质和运算法则。
2. 利用例题解析，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
3. 开展小组讨论，引导学生探索实数指数幂的运算法则的应用。
四、教学内容1. 实数指数幂的概念2. 有理数指数幂的性质3. 实数指数幂的运算法则4. 实数指数幂的运算法则在实际问题中的应用五、教学安排1. 第一课时：实数指数幂的概念、有理数指数幂的性质2. 第二课时：实数指数幂的运算法则、例题解析3. 第三课时：实数指数幂的运算法则的应用、小组讨论4. 第四课时：课堂小结、作业布置5. 第五课时：作业批改与讲解、课后辅导六、教学过程1. 导入新课：回顾上一节课的内容，引出实数指数幂的运算法则。
2. 讲解实数指数幂的运算法则：引导学生通过观察、分析、归纳实数指数幂的运算法则。
3. 例题解析：讲解典型例题，让学生掌握实数指数幂的运算方法。
4. 小组讨论：让学生探讨实数指数幂的运算法则的应用，分享解题心得。
5. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调实数指数幂的运算法则的重要性。
七、课后作业1. 复习实数指数幂的运算法则。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考实际问题，运用实数指数幂的运算法则解决问题。
八、作业批改与讲解1. 及时批改学生作业，了解学生掌握情况。
2. 针对学生作业中出现的问题，进行讲解和辅导。
3. 鼓励学生提问，解答学生心中的疑惑。
九、课后辅导1. 针对学习有困难的学生，进行个别辅导。
2. 组织课后讨论小组，帮助学生巩固实数指数幂的运算法则。
(完整)实数指数幂及其运算法则
． (3 2) 23
a 5 5 b5 5
a1b
1 5
(完整)实数指数幂及其运算法则 学生 理解 指数 幂的 运算 法则
引导 学生 体会 化同 的的 数学 思想
注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 可以 适当 交给 学生 自我 探究
说明 作为运算的结果,一般不能同时含有根号和分数 指数幂．（3）题的结果也可以写成 1 ，但是不能写成
（2） 3 3 6 ．
3 93 2
主动
分析 （1）题中的底为小数，需要首先将其化为分数， 求解
有利于运算法则的利用；(2）题中，首先要把根式化成
领会
分数指数幂，然后再进行化简与计算．
解
（1）
1
0.1253
(1
1
)3
1
(23 )3
31
23
21
1
；
8
2
了解
（2）
1
1
111
3 3 6 32 (3 2)3 32 33 23
用有理数指数幂性质进行化简、求值。
谈谈自己的收获 总评
八、板书设计
教学效果还不错，教学方法还可改进 这是一节成功的教学,基本上达到了教学相长的 效果
运算法则：
整数指数幂的运算法则为：
（1） am an =
；
(2) am n =
；
（3） abn =
．
其中 (m、n Ζ) ．
当 p 、 q 为有理数时，
．
建构 基础
其中 m、n N*且n ＞1．当 n 为奇数时，a R ；当 n 为
了解
偶数时, a 0 ．
思考
学生
问题
1.将下列各根式写成分数指数幂：
实数指数幂及其运算
24=16 (-2)4=16 25=32
2,-2叫16的4次方根; 2叫32的5次方根;
………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.
2n = a
xn =a
2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.
1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根,其中n>1,且 n∈N*. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根.
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数 2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.
a a
n
m n
m
(a>0,m,n∈N*,且n>1)
等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意：底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱，例如， (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义，但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果：
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解实数指数幂的概念；（2）掌握实数指数幂的运算法则；（3）能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引入实数指数幂的概念；（2）引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；（3）运用运算法则进行变形和求解。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生主动探索、合作学习的意识；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数指数幂的概念：（1）引入平方根、立方根的概念；（2）引导学生理解实数指数幂的概念，即a^n 表示n 个a 相乘。
2. 实数指数幂的运算法则：（1）同底数幂的乘法：a^m a^n = a^(m+n)；（2）同底数幂的除法：a^m / a^n = a^(m-n)；（3）幂的乘方：a^m^n = a^(mn)；（4）积的乘方：(ab)^n = a^n b^n；（5）零指数幂：a^0 = 1（a ≠0）；（6）负指数幂：a^-n = 1 / a^n（a ≠0）。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）实数指数幂的概念；（2）实数指数幂的运算法则。
2. 教学难点：（1）实数指数幂的运算法则的应用；（2）解决实际问题中指数幂的运用。
四、教学方法1. 实例引入：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 引导发现：引导学生发现并归纳实数指数幂的运算法则；3. 练习巩固：运用运算法则进行变形和求解；4. 实际应用：解决实际问题，巩固知识。
五、教学步骤1. 导入新课：通过实际问题引入实数指数幂的概念；2. 讲解与演示：讲解实数指数幂的概念，演示运算法则的运用；3. 练习与讨论：学生独立练习，小组讨论，共同解决问题；4. 总结与拓展：总结实数指数幂的运算法则，拓展相关知识；5. 作业布置：布置练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问了解学生对实数指数幂概念和运算法则的理解程度；2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握运算法则的情况；3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力；4. 课后作业：检查课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握和运用能力。
第章实数指数幂及其运算【新教材】人教B版高中数学必修第二册课件
[跟进训练]
1．(1)4 －34的值是( )
A．3
B．－3
C．±3
D．81
(2)若 x6＝2 021，则 x＝________.
(3)已知4 a＋14＝－(3 a＋1)3，则实数 a 的取值范围是 ________．
(1)A (2)±6 2 021 (3)(－∞，－1] [(1)4 －34＝|－3|＝3. (2)因为 x6＝2 021，所以 x＝±6 2 021. (3)因为4 a＋14＝|a＋1|，(3 a＋1)3＝a＋1， 所以|a＋1|＝－(a＋1)，所以 a＋1≤0，即 a≤－1.]
[解] (1)
(2) 614－ 3 338－( 2－1)0＋(－1)2 021＋2－1 ＝ 245－ 3 287－1－1＋21 ＝52－32－32＝－12.
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法 (1)化负指数幂为正指数幂． (2)化根式为分数指数幂． (3)化小数为分数进行运算．
所以 1－6x＋9x2＝ 1－3x2＝|1－3x|＝1－3x. (2)因为(±9)2＝81，所以 81 的平方根为±9，即 a＝±9，又(－2)3 ＝－8， 所以－8 的立方根为－2，所以 b＝－2， 所以 a＋b＝－9－2＝－11 或 a＋b＝9－2＝7.
(3)要使 4 a－1 3有意义，则a－1 3＞0，且 a－3≠0，即 a＞3.]
角度二 指数式的条件求值问题
[探究问题]
1．把
a＋ 1a2，a＋1a2 分别展开是什么？
[提示]
a＋ 1a2＝a＋1a＋2，a＋1a2＝a2＋a12＋2.
2.a＋1a2 和a－1a2 有什么关系？ [提示] a＋1a2＝a－1a2＋4.
【例 4】 已知 a＋a－1＝5，求下列各式的值： (1)a2＋a－2；(2)a －a . [解] (1)因为 a＋a－1＝5， 所以 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2 ＝52－2＝23. (2)因为a －a 2＝a＋a－1－2＝5－2＝3， 所以 a －a ＝± 3.
4.1.2中职数学-实数指数幂的运算法则
4.1.2 实数指数幂及其运算法则一、教材分析本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章实数指数幂第二课时，也是指数函数的入门课程。
指数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。
而实数指数幂的运算是指数函数的基础，是认识指数函数的先遣队。
我们通过初中学习整数指数幂的运算，进一步推广到实数指数幂的运算，为我们的指数函数铺路搭桥。
实数指数幂的运算是高中数学中的一类重要运算，需要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，是培养学生具备运算能力的重要载体。
通过本节课的学习，可以让学生重新认识幂运算，为指数函数做铺垫。
从而更清晰，深刻地认识和理解指数函数模型，培养学生的逻辑思维能力。
二、学情分析学生进入高中学习时间短，运算能力，逻辑思维能力，探究能力，合作学习能力还不够成熟。
需要在我们的教学过程中继续强化，引导。
初中已经学习《整数指数幂及其运算法则》。
本节课是在初中学习基础上继续深入学习，将幂指数的限定由整数推广到实数，运算法则不变，所以学生有前面的基础，我们的探究过程会显得更加从容，学生能够通过合作交流完成猜想与探究。
通过对不等式的学习，已有一定的运算基础，同时对相互转化的思想，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。
因此，学生已具备了探索发现研究新知的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、团结协作、大胆猜测和灵活运用类比、转化、归纳等学习方法。
三、教学设计0．，且a≠时，规定四、板书设计：五、课后反思学生是教学的主体,为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，本节课给学生提供各种参与机会。
为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。
本节课我采用学生独立完成加小组合作交流，分享小组成果等方式调动学生主动参与的积极性。
在教学重难点上，循序渐进、启发学生的思维,通过课堂练习、学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
《实数指数幂及其运算法则》ppt课件
$(uv)^n = u^n times v^n$
积的运算性质
$(u^n)v = u times u times ldots times u times v$（共n个u相乘）
积的运算性质2
$(u^n)v = u times (u^n)v$
积的运算性质3
$(ab)^{-n} = frac{1}{(ab)^n} = frac{1}{a^n times b^n}$
积的运算性质
$frac{a^m}{b^m} = (a/b)^m$
商的指数运算性质
$frac{a^m}{b^{-m}} = (a/b)^{m-n} = frac{a^{m-n}}{b^{m-n}}$
总结与回顾
卑鄙！只要 your question mark keeps track of keeping your work. OMRC
Cited from: "https://www.bokephases"
总结与回顾
* "
" 输入: 6th Party View : 尾声 (疏影)
# 2nd Party View
幂运算在数学、物理、工程等领域有广泛应用。
幂的应用
积运算可以用于计算多个数的乘积，简化计算过程。
在统计学中，积运算可以用于计算样本方差、标准差等统计量。
在物理学中，积运算可以用于计算多个物理量的乘积，如力矩、功等。
积的应用
商的应用
商运算可以用于计算两个数的比值，用于比较大小、排序等。
在经济学中，商运算可以用于计算成本效益比、投资回报率等。
尾声 (疏影): 6th Party View : 尾声 (疏影)
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案第一章：实数指数幂的概念与性质1.1 实数指数幂的定义解释实数指数幂的概念，如a^n 表示a 乘以自身n 次。
强调正实数指数幂表示正数的乘方，负实数指数幂表示分数的概念。
1.2 实数指数幂的性质介绍实数指数幂的基本性质，如a^n a^m = a^(n+m)，(a^n)^m = a^(nm)，以及a^n / a^m = a^(n-m)。
解释零指数幂和无穷大指数幂的性质，如a^0 = 1 和a^∞= ∞。
第二章：实数指数幂的运算规则2.1 同底数幂的乘法讲解同底数幂相乘的规则，即a^n a^m = a^(n+m)。
提供多个例子进行解释和练习。
2.2 同底数幂的除法解释同底数幂相除的规则，即a^n / a^m = a^(n-m)。
提供多个例子进行解释和练习。
第三章：幂的乘方与积的乘方3.1 幂的乘方介绍幂的乘方规则，即(a^n)^m = a^(nm)。
提供多个例子进行解释和练习。
3.2 积的乘方解释积的乘方规则，即(ab)^n = a^n b^n。
第四章：实数指数幂的指数函数4.1 指数函数的定义解释指数函数的概念，如f(x) = a^x，其中a 是底数，x 是指数。
强调指数函数的图像和性质，如当a > 1 时，函数是增函数；当0 < a < 1 时，函数是减函数。
4.2 指数函数的性质介绍指数函数的性质，如f(x) = a^x 的导数为f'(x) = a^x ln(a)。
提供多个例子进行解释和练习。
第五章：实数指数幂的应用5.1 指数幂在科学计算中的应用解释指数幂在科学计算中的应用，如放射性衰变、人口增长等。
提供实际例子进行解释和练习。
5.2 指数幂在代数表达式求值中的应用讲解如何使用指数幂的性质和运算法则来求解代数表达式。
提供多个例子进行解释和练习。
第六章：对数与指数幂的关系6.1 对数与指数幂的定义解释对数的概念，如log_a(b) 表示以a 为底数，b 的对数。
4.1.2无理数指数幂及其运算性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1.0130 ≈ 1.35<
>
m
>
/m
， 1
m
<
>.01365 ≈ 37.8<
>， <
/m
1.01730 ≈ 1427.6<
>
m
>”
/m
形象地向我们展示了通过努力每天进步 <
1%<
>
m
>，就会在一
/m
个月、一年以及两年后产生巨大差异.虽然这是一种理想
化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和
的值，视察变化趋势；
x
1
（2）x 取正实数，使得 x 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 ( x R )
的值，视察变化趋势.
2
解:（1）
由此可以看出，x 取负实数，使得 |x| 的值逐渐增大并趋向于无穷大时, 2 x趋向于0.
课堂练习
解：（2）
由此可以看出，x
取正实数，使得 x 的值逐渐增大，当 x 的值趋向于无穷
9.738 517 862
1.414 213 562
9.738 517 736
1.414 213 563
9.738 517 752
…
…
…
…
探究新知
通过视察，可以发现：
⟶ 2⟵
5 ⟶ ⟵ 5
A是一个确定的数，就是5 2
可以发现，当 2 的不足近似值 x 和过剩近似值 y 逐渐逼近 2 时，5 x 和5 y 都
时间累积的力量”.
上面我们将 a x (a 0) 中指数x的取值范围从整数拓
实数指数幂运算法则
n
当n为奇数时， n a a;
当n为偶数时， n a
n
a
as at ast
运
算 法
as t ast
则
abs as bs
化负指数为正指数
化根式为分数指数幂
方
法
化小数为分数
规
律
遇乘积化同底或同指数幂
结果不能同时含有根号和分数指数幂
an
n a m n am
2
86
6 82
2
2
86 6 8 无意义
a为正数,用分数指数幂表示下列根式:
(1) 6 a 4 ; (2) 1 ; 3 a2
2
(1)6 a4 a 3 ;
(2)
1
2
a 3;
3 a2
复习初中学过的整数指数幂的运算法则： (1)a m a n a mn 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
为 n a，负的方根记为 n a;负数的偶数次方根
在实数范围内不存在。 (3)任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记
为 n a，正数的奇数次方根是一个正数，负数的
奇数次方根是一个负数。
根式具有以下性质
(1)(n a )n a （a>0,n∈N+）
a
(2)n an
|a|
当n为奇数时 当n为偶数时
(2) am n amn
幂的乘方，底数不变，指数相乘
(3) ab n an bn 积的乘方，等于把积的各个因式分别乘方
其中（m、n Z）
计算练习 a3 a2 a5
a3 1 a3
3x3 2 9x6
a3 a5
1 a2
由 3 3 3
1
即32
1
实数指数幂及运算法则教案
实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
2. 利用案例分析法，分析实数指数幂在实际问题中的应用。
3. 组织学生进行小组讨论，分享学习心得。
五、教学步骤：1. 引入实数指数幂的概念，讲解实数指数幂的定义与性质。
2. 讲解有理数指数幂的运算性质，引导学生进行实际例子的计算。
3. 分析实数指数幂在实际问题中的应用，引导学生运用所学知识解决实际问题。
5. 对本节课的内容进行复习，布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂讲解的准确性，学生的理解程度。
2. 学生作业的完成情况，对实数指数幂及运算法则的掌握程度。
3. 学生小组讨论的活跃程度，对实际问题分析的能力。
七、教学资源：1. 教材《数学》2. 教案3. PPT4. 习题八、教学时间：1课时（45分钟）九、课后作业：1. 复习实数指数幂及运算法则，整理课堂笔记。
2. 完成课后习题，巩固所学知识。
3. 思考实数指数幂在实际问题中的应用，准备课堂分享。
十、板书设计：实数指数幂及运算法则教案一、教学目标：1. 理解实数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质。
2. 能够运用实数指数幂及运算法则解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的运用能力。
二、教学内容：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 实数指数幂的定义与性质2. 有理数指数幂的运算性质3. 实数指数幂在实际问题中的应用四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解实数指数幂的定义与性质，有理数指数幂的运算性质。
4.1指数(第2课时)(教案)
可以看出：5√2可以由√2的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近.
追问3：如何在数轴上找到与5√2对应的点？
无论是认识√2还是认识5√2，为了认识这些数的意义，我们在数轴上先选取这个数附近一个小区间内的数，通过不断缩小区间的长度，让区间端点的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定√2，5√2不仅在数轴上确实存在，而且唯一. 这个过程可以用下图表示：
一般地，无理数指数幂aα（a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．
注意：在指数幂a x中，通常要限定a＞0这个条件. 这是为了保证后续的指数函数y=a x对于任意实数x都有意义．因为只有正数的任何实数次幂才都有意义。
如果底数是0，
a3
通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？。
4.1.2 指数幂的拓展
4.1.2指数幂的拓展课标要求素养要求通过对有理数指数幂a mn(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂a x(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.通过对有理数指数幂a mn、实数指数幂a x 含义的认识，提升数学抽象素养；通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.自主梳理1.分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：a mn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的运算性质(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a s a t＝a s＋t(a>0，s，t∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，s，t∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q).(2)拓展：a sa t＝as－t(a>0，s，t∈Q).3.无理数指数幂一般地，当a＞0且x是一个无理数时，a x也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.分数指数幂与根式有什么关系？(1)与根式的关系：分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相互转化.(2)底数的取值范围：由分数指数幂的定义知a≤0时，a mn可能会没有意义.当a mn有意义时可借助定义将底数化为正数，再进行运算.自主检验1.思考辨析，判断正误(1)(－2)64＝(－2)32.(×)提示(－2)64>0，而(－2)32无意义，故错误.(2)a2·a 12＝a.(×)提示a2·a 12＝a52.(3)22∈R.(√)(4)3－32＝－332.(×)提示3－32＝1332＝133＝39.2.将3－22化为分数指数幂为()A.212B.－212C.2－12D.－2－12答案 B解析3－22＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×21213＝⎝⎛⎭⎪⎫－23213＝－212.3.2－23等于()A.322 B.223 C.－322 D.1322答案 D解析2－23＝1223＝1322.4.化简2723＝________.答案9解析2723＝(33)23＝33×23＝32＝9.题型一根式与分数指数幂的互化角度1分数指数幂化根式【例1－1】用根式的形式表示下列各式(x>0).(1)x 25；(2)x－53.解(1)x 25＝5x2；(2)x－53＝13x5.角度2根式化分数指数幂【例1－2】把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a>0，b>0.(1)5a6；(2)13a2；(3)4b3a2；(4)（－a）6.解(1)5a6＝a65.(2)13a2＝1a23＝a－23.(3)4b3a2＝⎝⎛⎭⎪⎫b3a214＝b34a－24＝a－12b34.(4)（－a）6＝a6＝a62＝a3.思维升华根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为分数指数的分母， 被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.【训练1】 用分数指数幂表示下列各式： (1)b 3a ·a 2b 6(a >0，b >0)； (2)a －4b23ab 2(a >0，b >0).解 (1)b 3a ·a 2b 6＝b 3a ·ab 3＝1. (2)a－4b23ab 2＝a－4b 2·（ab 2）13＝a －4b 2a 13b 23＝a－113b 83＝a －116b 43.题型二 有理数指数幂的运算 【例2】 计算下列各式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋0.1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23－3π0＋3748； (2)614－3338＋40.062 5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫0.06413－2.525－π0. 解 (1)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫5320.5＋102＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫433－23－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25412－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813＋⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00013×（－2.5）×25－1＝52－32＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫25－1－1＝3.思维升华 1.有理数指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数.(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用有理数指数幂的运算法则. 2.根式化简的步骤(1)将根式化成分数指数幂的形式. (2)运用分数指数幂的运算法则求解. 3.对于化简或求值结果的要求对化简或求值的结果，一般保留为分数指数幂的形式；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序.【训练2】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝________.(2)计算下列各式(式中字母均为正数)：①⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －23y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x －1y 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x 13y －16； ②0.064－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－780＋[]（－2）3－43＋16－0.75.(1)答案 278解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1681－34＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278. (2)解 ①原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－56x －23＋(－1)＋13·y 12＋12－16＝2524x －43y 56. ②原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716. 题型三 用乘法公式化简含指数幂的代数式【例3】 (1)若x 12－x －12＝1，则x ＋x －1＝________；x 2＋x －2＝________.(2)化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ·3a . (1)答案 3 7解析 将x 12－x －12＝1两边平方得x ＋x －1－2＝1，则x ＋x －1＝3.将x ＋x －1＝3两边平方得x 2＋x －2＋2＝9，所以x 2＋x －2＝7. (2)解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13 ＝a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 1334b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－2b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＋2a 13b 13＋4b 234b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a 13·a 13·a 13＝a .思维升华 引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方和与差、完全平方公式就有了新的形式，被赋予了新的活力，如a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，a 3－b 3＝(a－b )(a 2＋ab ＋b 2)这两个公式用分数指数幂表示就是a ±b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13±b 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23∓a 13b 13＋b 23，再如a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12＋b 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－b 12，a ±2a 12b 12＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12±b 122等，巧用这些公式的变形，可将所求代数式恰当地变形构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入”巧妙地求出代数式的值.【训练3】 (1)已知a ＝－827，b ＝1771，则a 23＋3a 13b 13＋（33b ）2a 43－27a 13b÷a 133a －33b＝________.(2)已知x 12＋x －12＝3，求x 2＋x －2－2x ＋x －1－2的值. (1)答案 94解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132a 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 133－⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 133÷a 13a 13－3b 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－3b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 132＋3a 13b 13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 132 ÷a 13a 13－3b 13＝1a 13⎝ ⎛⎭⎪⎫a 13－3b 13·a 13－3b 13a 13＝1a 23. 由题意得a 13＝－23，∴a 23＝49.∴原式＝94.(2)解 由x 12＋x －12＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋x －122＝9，即x ＋2＋x －1＝9，∴x ＋x －1＝7.两边平方得x 2＋2＋x －2＝49， ∴x 2＋x －2＝47.∴x 2＋x －2－2x ＋x －1－2＝47－27－2＝9.1.掌握2个知识点(1)分数指数幂的意义；(2)分数指数幂的运算性质. 2.掌握2种方法(1)对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律.(2)解决较复杂的条件求值问题时，“整体思想”是简化求解的“利器”. 3.规避1个易错点在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.一、选择题1.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( ) A.R B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 D解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <12.2.化简[3（－5）2]34的结果为( ) A.5 B. 5 C.－ 5 D.－5答案 B解析 [3（－5）2]34＝(352)34＝523×34＝512＝ 5.3.⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( ) A.94 B.49 C.－94D.－49答案 A解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫811612－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫34－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6427－23＝94－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫276423＝94－916＋916＝94.4.化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是( )A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2答案 C解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫3a 964·⎝⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝⎛⎭⎪⎫a 32×134·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3×164＝a 2·a 2＝a 4. 5.(多选题)下列各式中一定成立的有( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m 17B.12（－3）4＝33C.4x 3＋y 3＝(x ＋y )34 D.39＝33答案 BD解析 A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12（－3）4＝1234＝33，B 正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 正确.故选BD. 二、填空题6.已知3a ＝2，3b ＝5，则32a －b ＝________. 答案 45解析 32a －b ＝（3a ）23b ＝45. 7.设a >0，将a 2a 3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是________.答案 a 76 解析a 2a 3a 2＝a 2aa 23＝a 2a 53＝a 2a 53×12＝a 2a －56＝a 2－56＝a 76.8.2－12＋（－4）02＋12－1－（1－5）0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 三、解答题 9.求下列各式的值：(1)481×923；(2)325－12545.解 (1)原式＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤34×⎝ ⎛⎭⎪⎫3431214＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋2314＝376＝363.(2)原式＝523－532514＝523－14－532－14＝5512－554＝1255－545.10.计算：(1)(2－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫169－12＋(8)－43；(2)0.027－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＋2560.75－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫190.解 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫432－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232－43＝1＋34＋14＝2.(2)原式＝(0.33)－13－1⎝ ⎛⎭⎪⎫162＋(44)34－13＋1＝103－36＋64－13＋1＝32.11.已知m ＝2，n ＝3，则⎝ ⎛⎭⎪⎫3m 2n －3n ·3m －2÷m n －4n m －23的值是________. 答案 227解析 因为m ＝2，n ＝3， 所以原式＝＝(m 43n －52m －1n 32)3＝mn －3＝2×3－3＝227.12.已知32a ＋b ＝1，则9a ·3b3a ＝________. 答案 3解析 原式＝32a 3b 3a 2＝332a ＋b ＝31＝3.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求16x ＋16－x 的值； (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x <y ，求x 12－y 12x 12＋y 12的值.解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴(4x ＋4－x )2＝16x ＋16－x ＋2＝(a 2－2)2＝a 4－4a 2＋4，∴16x ＋16－x ＝a 4－4a 2＋2.(2)x 12－y 12x 12＋y 12＝（x 12－y 12）2（x 12＋y 12）（x 12－y 12）＝（x ＋y ）－2（xy ）12x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x <y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 12－y 12x 12＋y 12＝12－2×912－63＝－33.14.对于正整数a ，b ，c (a ≤b ≤c )和非零实数x ，y ，z ，w 有a x ＝b y ＝c z ＝70w ，且1w＝1x ＋1y ＋1z ，求a ，b ，c 的值.解 ∵a x ＝70w 且x ，w 为非零实数，∴(a x )1x w ＝(70w )1x w ，∴a 1w ＝701x . 同理可得b 1w ＝701y ，c 1w ＝701z ，即(abc )1w ＝701x ＋1y ＋1z ＝701w . a ，b ，c 均为正整数，∴abc ＝70＝2×5×7，又a ，b ，c 为正整数且a ≤b ≤c ，∴a ＝2，b ＝5，c ＝7.。
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6.正数的负分数指数幂的意义：
a
m n
1
m
an
1 n am
(a 0, m, n N ,且n 1)
7.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数 幂没有意义.
下列说法中正确的序号是_(5__) _(_6_)_(_7_)_(8__) .
(1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个;
(3)a的n次方根就是 n a ;
3.三个公式
n
(1) n a a;
(2) n an a;
(3) n an | a | .
4.如果xn=a,那么
n a , n为奇数, x n a , n为偶数,a ≥ 0,
不存在, n为偶数,a 0.
5.正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am (a 0, m, n N, 且n 1)
计算和化简:
11
12
(1)(2a 3b 4 )(5a 2b 3 )
(2)(3 a 4 b )12
3
(3)81 16 4
(5) b a a 3 b2
(4)(3)5 ( 49)2(9)4 7 81 7
(6)(
8a 3 27 b 9
)
1 3
P74 练习 第1、2、3题
本节课学了哪些知识？ 本节课学了哪些方法？
(4) 4 81 3; (5) ( 3 5)3 5; (6) ( 4 81)4 81;
(7) 3 (8)3 8.
整数指数幂有那些运算法则?
(1) am an amn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z)
(3) (ab)n anbn(m, n Z)
(4) am an amn(a 0 ,m,n Z, 且m n)
(5)
( a )n b
an bn
(b
0, n
Z)
这些运算法则当指数是实数时也适用.
求下列各式的值.
2
(1) 83 ,
(2)25
1 2
,
(3)(
1 2
)5
,
(4)
(
16 81
)
3 4
.
解
:
(1)
8
2 3
(23
)
2 3
23
2 3
22
4;
(2)25
1 2
(52
)
1 2
52(
1 2
)
51
1 5
;
(3)
(
1 2
)5
(
21 )5
25
32;
. (4)
(
16 81
)
3 4
[(
2 3
)4
]
3 4
(பைடு நூலகம்
)2
4(
3 4
)
3
(
2 3
)3
27 8
用分数指数幂的形式表示下列各式:
(1)a3 a
(2)3 3 3 3 6 3
11
(3)(a 3b 4 )3
(4) b a a 3 b2
11
12
(5)(2a 3b 4 )(5a 2b 3 )
§4.1.2 实数指数幂及运算
1.n次方根定义 一般地，如果 xn =a，则称 x为a的n次方根.
2.n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数. 负数的奇次方根是负数. 零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数， 负数没有偶次方根， 零的偶次方根是零.