概率论与数理统计 条件概率

设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则 6 0.6 （1） P ( A) 10
课堂练习：
5.某实验室收到10包土壤标本，其中3包是从甲地采 集的，7包是从乙地采集的．现从中任取2包，一次 一包，不放回.问： （1）两次都取到乙地标本的概率是多少？ （2）第二次取到乙地标本的概率是多少？ （3）第二次才取到乙地标本的概率是多少？ 6. 一箱中有100只灯泡，其中有5个次品．甲、乙、 丙三人各从中取走一只，甲先取，乙其次，丙最后. 求甲、乙都取到正品而丙取到次品的概率．
70 P( A B) 0.7368 95
方法2：
P( AB) 70 100 P( A B) 0.7368 P( B) 95 100
例2： 考虑恰有两个小孩的家庭. 若已知某一家有 男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第 一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个 也是男孩）的概率.（假定生男生女为等可能）
二、乘法公式
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B) P( A B)
乘法公式的推广
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
解
设A {确实患肺结核}, 则A {未患肺结核}, B {透视诊断有肺结核}, P( A) P( B A) P( A B) P( A) P( B | A) P( A) P( B A)
故所求概率为
而由题意知P( A) 0.001, P( A) 0.999, P( B A) 0.95, P( B A) 0.002, 则得 : P( A B) 0.001 0.95 0.00095 0.32225 0.001 0.95 0.999 0.002 0.002948
四、贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
后验概率
AB AB
P( AB) P( A) P( B | A)
B
P( AB) P( A) P( B | A)
P( AB) P( A | B) P( B)
P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
A ( A )
AB (AB )
B ( B )

(n)
一、条件概率 1.定义:设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个事件 , 且Ｐ（Ａ）＞０， 则称
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
为在事件Ａ发生的条件下，事件Ｂ发生的条件概率．
2、条件概率的性质
(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B) 0; (3) P ( A1 A2 B) P ( A1 B) P ( A2 B) P ( A1 A2 B);
解 : 设A1 {所取电子管由甲厂生产}, A2 {所取电子管由乙厂生产}, A3 {所取电子管由丙厂生产}, B {抽出的电子管为次品}, 由题意, P( A1 ) 0.2, P( A2 ) 0.5, P( A3 ) 0.3, 而P( B A1 ) 0.01, P( B A2 ) 0.02, P( B A3 ) 0.03, 显然, A1 , A2 , A3为S S {任抽一电子管为甲,乙, 丙中某一厂生产的} 的一个划分, 故由全概率公式得 P( B) P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( A3 ) P( B A3 ) 0.2 0.01 0.5 0.02 0.3 0.03 0.021
96% 45% 4黑球，从中不放 回地每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得 白球的概率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．
解
6 5 （2）P ( AB ) P( A) P( B A) 0.33 10 9 4 6 （3）P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.27 10 9
P( Ai ) P( B | Ai )
i 1 n
证明：由于 B BS B( A1 A2 An ) BA1 BA2 BAn , 又由于
P( Ai ) 0, i 1, 2,, n,
( BAi )( BAj ) (i j),
得到
P( B) P( BA1 BA2 BAn )
课堂练习 7.甲箱中有3个白球，2个黑球，乙箱中有1个白球， 3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从 乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率 是多少？ 8.设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四 个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％， 用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以 上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批 种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率．
三、全概率公式 引例：一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中 不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取 到白球的概率 解： A={第一次取到白球} B={第二次取到白球}
B BS B A A AB AB


P( B) P( AB) P( AB)
P( A) P( B A) P( A) P( B A)
贝叶斯（Bayes）公式
设S为试验E的样本空间， B为E的事件， A1，A2，…, An为S的一个划分，且P（ B）>0 诸P（Ai）>0, 则
P( Ai | B)
P ( Ai ) P ( B | Ai )
P( A ) P( B | A )
j 1 j j
n
证明
P( Ai B) P( Ai B) P( B)
课堂练习：
9.设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品， 已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它 是由甲车间生产的概率．
10.已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25% 患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子 的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。
( i =1 , 2 , … , n)

P( Ai ) P( B Ai )
P( A ) P( B
j 1 j
n
Aj)
例 (肺结核的诊率问题) 假定患肺结核的人通过接受胸部透视, 被诊断出 的概率为0.95.而未患肺结核的人通过透视, 被诊断为有病的概率为0.002, 又设某 城市成年居民患肺结核的概率为0.1%.若现从该城居民中随机选出一个人来, 通 过透视被诊断为有肺结核, 求这个人确实患有肺结核的概率是多少 ?
解： Ω={ (男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) , (女 , 女) }
则 Ｂ={(男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) } 设 Ｂ= “有男孩” ， Ａ= “有两个男孩” ， Ａ={(男, 男) }，
B1 =“第一个是男孩” B1 ={(男, 男) , (男 , 女) }
于是得
P B 3 4
P AB P A
1 4
1 P B1 2
1 P AB1 P A 4
故两个条件概率为
P( AB) 1/ 4 1 P( A | B) P( B) 3/ 4 3
P( AB1 ) 1 P( A | B1 ) P( B1 ) 2
讨论
爱滋病普查：使用一种血液试验来检测人体内是 否携带爱滋病病毒.设这种试验的假阴性比例为5% （即在携带病毒的人中，有5%的试验结果为阴 性），假阳性比例为1%（即在不携带病毒的人中， 有1%的试验结果为阳性）.据统计人群中携带病毒 者约占1‰，若某人的血液检验结果呈阳性，试问该
定理（全概率公式）设 S 为试验 E 的样本空间, B 为 E 的任意事件，A1, A2, … , An 为 S 的一个划分，且 P(Ai) > 0 ( i=1,2, … ,n ), 则有全概率公式
P( B) P( A1 ) P( B A1 ) P( A2 ) P( B A2 ) P( An ) P( B | An )
课堂练习： 1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁 的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的 概率。 提示： 设A表示“活到20岁”，B表示“活到25 岁” 2.某厂生产的100件产品中，一等品有60个，二等品 有35个，废品有5个。 （1）若从这100件产品中任取一件，是一等品和合 格品的概率各是多少？ （2）若从合格品中任取一件，是一等品的概率是 多少？
品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 ： (1)取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
解： 设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以
70 P ( A) 0.7 100
（2）方法1： 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以
模块4
条件概率
条件概率Conditional Probability

在实际问题中，我们往往会遇到求在事件B 已发生的条件下，事件A发生的概率，由于 增加了新的条件“事件B已发生”，所以称 之为条件概率，记为Ｐ（Ａ｜Ｂ）.
例如：抛掷一颗骰子,观察出现的点数。
A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3，求出现的点 数是奇数的概率。 即事件 B 已发生，求事 件 A 的概率Ｐ（Ａ｜Ｂ） A B 都发生，但样本空间 缩小到只包含Ｂ的样本点 AB 2 P( A | B) B 3