数学：第2章2.2.3圆与圆的位置关系 课件(苏教版必修2) 2

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第2章
平面解析几何初步
m＋1 解：将两圆方程相减，得 x＝ . 2 此即两圆公共弦所在直线方程． 圆 C1 的圆心 C1(3，0)到公共弦的距离为|3－ m＋1 |m－5| |＝ . 2 2 |m－5| 2 15 2 ∴( ) ＋( ) ＝4， 2 2 得 m＝4 或 m＝6.
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平面解析几何初步
2．2.3 圆与圆的位置关系
第2章
平面解析几何初步
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学习目标 1.掌握判断两个圆的位置关系的方 法，当两个圆有公共点时能求出它们 的公共点． 2．了解两圆相交时公共弦的概念及其所在直线 方程的求法． 3．了解两圆公切线的概念，会判断所给直线是 否是两圆的公切线． 4．能运用两个圆的位置关系解决有关问题．
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平面解析几何初步
又两圆的圆心距为 1，r1＋r2＝2＋ m， |r1－r2|＝|2－ m|. m＝4，m＝6 均满足|r1－r2|<1<|r1＋r2|. ∴m＝4 或 m＝6.
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第2章
平面解析几何初步
备选例题
1.求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2
＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的 圆的方程．
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平面解析几何初步
【名师点评】
条数．
(1)对于求切线问题，注意不
要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的
(2)求公切线的一般步骤是：①判断公切线的
条数；②设出公切线的方程；③利用切线性 质建立所设字母的方程，求解字母的值；④ 验证特殊情况的直线是否为公切线；⑤归纳 总结．
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第2章
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第2章
平面解析几何初步
【名师点评】
几个步骤：
(1)判断两圆的位置关系或利
用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d； ③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的 位置关系或求参数的范围，必要时可借助于 图形，数形结合．
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平面解析几何初步
其判别式Δ ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0， 所以，方程④有两个不相等的实数根 x1，x2， 把 x1，x2 分别代入方程③，得到 y1，y2， 因此圆 C1 与圆 C2 有两个不同的公共点 A(x1， y1)，B(x2，y2)． 所以两圆相交．
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第2章
平面解析几何初步
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平面解析几何初步
b＋ 3 1 ·（－ ）＝－1， a－3 3 解得 a＝4，b＝0， |a＋ 3b| 1＋（ 3）2＝r， r＝2 或 a＝0，b＝－4 3，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋ 4 3)2＝36.
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第2章
(1)外切；(2)相交；(3)外离？
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平面解析几何初步
【解】
a)2＝4.
将两圆方程写成标准方程：
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－
∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2. 设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－ a)2 ＝2a2＋6a＋5.
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平面解析几何初步
|－k＋3＋b| 5 当 b＝－ 时，代入 ＝1， 2 2 k ＋1 1 得－k＋ ＝ k2＋1. 2 3 解得 k＝－ ，此时公切线方程为 3x＋4y＋10 4 ＝0. 当斜率不存在时，直线 x＝0 与两圆也相切， 综上所述， 所求的公切线方程为 y＋4＝0 或 4x －3y＝0 或 x＝0 或 3x＋4y＋10＝0.
法二： 把圆 C1 的方程化成标准方程， 得(x＋1)2 ＋(y＋4)2＝25.圆 C1 的圆心是点(－1，－4)，半 径长 r1＝5. 把圆 C2 的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y －2)2＝10， 圆 C2 的圆心是点(2，2)，半径长 r2＝ 10. 圆 C1 与 圆 C2 的 连 心 线 的 长 为 （－1－2）2＋（－4－2）2＝3 5，
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平面解析几何初步
解：法一：圆 C1 与圆 C2 的方程联立，得到方程 组 x2＋y2＋2x＋8y－8＝0， ① 2 x ＋y2－4x－4y－2＝0. ② 1－x ①－②得 x＋2y－1＝0，即 y＝ . ③ 2 把③代入①，并整理，得 x2－2x－3＝0, ④
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平面解析几何初步
变式训练 2.求与圆 x2＋y2－2x＝0 外切， 且与直线 x＋ 3y ＝0 相切于点(3，－ 3)的圆的方程．
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平面解析几何初步
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 圆 x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1，0)，半径为 1， 由两圆外切得 （a－1）2＋（b－0）2＝r＋1， 由圆与直线 x＋ 3y＝0 切于点(3，－ 3)，得
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第2章
平面解析几何初步
与两圆相切有关的问题
例2 已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和
圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆O1、圆O2
的公切线方程．
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平面解析几何初步
【解】 圆 O1 的圆心坐标为 O1(－1，－3)，r1 ＝1，圆 O2 的圆心坐标为 O2(3，－1)，r2＝3， 则 O1O2＞r1＋r2， ∴两圆外离， 有四条公切线． 当斜率存在时，设公切线方程为 y＝kx＋b， 即 kx－y＋b＝0. |－k＋3＋b| ＝1， 2 k ＋1 则 |3k＋1＋b| k2＋1 ＝3.
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平面解析几何初步
(2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母
参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心 距与两圆半径的关系．
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平面解析几何初步
变式训练
1.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2： x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的
位置关系．
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第2章
平面解析几何初步
2.将两个相交的圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi
＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直 线方程具有什么样的特殊性呢？
提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆
的公共点，即两圆的公共弦所在的直线．
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平面解析几何初步
做一做
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系 为________．
用经过两圆交点的圆系方程求解．
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平面解析几何初步
【解】 (1)两圆方程相减得 x－2y＋4＝0，此 即公共弦所在的直线方程，(3 分) 又圆 C2 的圆心 C2(－1，－1)到公共弦的距离 |－1＋2＋4| l 2 2 2 d＝ ＝ 5，且 d ＋( ) ＝r2(l 为公共 2 5 弦长)， (6 分) ∴l＝2 r2－d2＝2 5， 2 即公共弦长为 2 5. (8 分) (2)连心线 C1C2 的方程为 2x＋y＋3＝0， (10 分)
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平面解析几何初步
(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.即当a＝－5或a＝2时，两 圆外切．
(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相
交， 此时－5<a<－2或－1<a<2.即当－5<a<－2或 －1<a<2时，两圆相交． (3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离， 此时a>2或a<－5.即当a>2或a<－5时，两圆外 离．
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平面解析几何初步
位置 关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
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位置关系 外离
外切
相交
内切
内含
d与r1、r2 d>r1＋ d＝r1＋ |r1－ d＝|r1－ |r1－r2 d<_____| r1＋r2 r2 r2 r2|<d<_____ r2 | 的关系
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平面解析几何初步
重点难点
重点：根据两圆的方程，判断两
圆的位置关系． 难点：根据两圆的位置关系，求有关直线或
圆的方程．
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平面解析几何初步
新知初探思维启动
1.平面内两圆的位置关系 平面内两圆的位置关系有五种， 外离 外切 即____、 ____、 ____、____、____． 相交 内切 内含 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为 r1、r2，两圆 的圆心距为 d，则两圆的位置关系的判断方法 如下：
答案：内切
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平面解析几何初步
5.与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)3＋y2＝4
都相切的直线共有________条． 解析：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，C2(3，0)，
r2＝2，|C1C2|＝3＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公
切线有3条． 答案：3
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第2章
平面解析几何初步
解析：两圆心的坐标分别为(0，0)，(2，0)，连 心线的长为 2， 又∵2－ 3<2<2＋ 3，故两圆相交．
答案：相交
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平面解析几何初步
4.圆(x＋1)2＋y2＝1与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的
位置关系为________．
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：两圆的圆心分别为(－1，0)，(－1，2)， 连心线的长为 2， 2－r1＝3－1＝2， ∵r ∴两圆相 内切．
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平面解析几何初步
(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判
Δ >0⇒相交 圆C1方程 消元 ― →一元二次方程Δ ＝0⇒内切或外切 断. ― 圆C2方程 Δ <0⇒外离或内含
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想一想
1.两圆没有交点，一定外离吗？ 提示：不一定．两圆内含时也没有交点．
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圆 C1 与圆 C2 的两半径长之和是 r1＋r2＝5＋ 10，两半径长之差 r1－r2＝5－ 10. 而 5－ 10<3 5<5＋ 10， 即 r1－r2<3 5<r1＋r2， 所以圆 C1 与圆 C2 相交， 它们有两个公共点． 所以圆 C1 与圆 C2 相交．
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平面解析几何初步
解：联立两圆方程，解得两圆交点为A(－1，
－1)，B(3，3)，则AB的中垂线方程为y－1＝ －(x－1)，即x＋y－2＝0.与x－y－4＝0联立，
6.以(－2，0)为圆心，并与圆x2＋y2＝1相外切
的圆的方程为________________． 答案：(x＋2)2＋y2＝1
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第2章
平面解析几何初步
典题例证技法归纳
题型探究
两圆位置关系的判定
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例1 a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y ＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
【名师点评】
涉及圆的弦问题，一般都考
虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三 角形求解．而不采取求出弦的两端点坐标，
然后利用两点间的距离求解．
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平面解析几何初步
变式训练 3.若两个圆 C1：(x－3)2＋y2＝4 与 C2：(x－2)2 ＋y2＝m 相交于两点，且这两点之间的距离等 于 15，求 m 的值．
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第2章
平面解析几何初步
名师微博
两圆方程相减得公共弦的方程，你知道为什 么吗？
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第2章
平面解析几何初步
它与公共弦的交点(－2， 1)即为所求圆的圆心， (12 分) l 又所求圆半径为 ＝ 5， 2 ∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5.(14 分)
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第2章
平面解析几何初步
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与两圆相交有关的问题
例3 (本题满分14分)已知两圆C1：x2＋y2－
2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)求两圆公共弦的方程及其长度；
(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．
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平面解析几何初步
【思路点拨】
(1)先求出公共弦所在直线的
方程，再利用半径、弦心距、半弦长构成的 直角三角形求解；(2)求出圆心、半径，也可
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平面解析几何初步
两式相除得|3k＋1＋b|＝3|－k＋3＋b|， 5 化简得 b＝3k－4 或 b＝－ ， 2 |－k＋3＋b| 当 b＝3k－4 时，代入 ＝1，得|2k－ 2 k ＋1 4 2 1|＝ k ＋1，解得 k＝0 或 ，即当 k＝0 时，b 3 4 ＝－4，当 k＝ 时，b＝0， 3 此时公切线方程为 y＋4＝0 或 4x－3y＝0.