黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三数学(理科)压轴考试

黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三压轴考试

理科数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 1．集合{

}

12A x N

x *

=∈-<的真子集的个数为 （ ）

A ．3

B ．4

C ．7

D ．8 2．复数（

i

i -12）2

（其中i 为虚数单位）的虚部等于 （ ） A ．－i B ．1 C ．－1 D ．0

3．设函数()()()()

2 01 15

3 1x x f x a x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤<==->在区间[)+∞,0上连续，则实数a 的值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．3

4.

已知n

展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开

式中的常数项等于 ( ) A . 135 B . 270 C . 540 D . 1215

5．下面四个命题：

①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；

②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；

③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；

④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( )

A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．②④

6．已知)1(3

cos 3)1(3sin )(+-+=x x x f π

π

，则(1)(2)(2008)+++=L f f f （ ）

A ．23

B ．3

C ．1

D ．0

7．已知O ，A ，B ，C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λ＋2λ＋3λ= 0r

，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA （ ）

A ．都是锐角

B ．至多有两个钝角

C ．恰有两个钝角

D ．至少有两个钝角。 8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的

概率为 （ ） A ．

2512 B ．52 C ．256 D ．100

21

9．如图过抛物线x y 42

=焦点的直线依次交抛物线与圆()1122

=+-y x 于A ，B ，C ，D ，

则AB CD ⨯=

Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．

2

1

10．f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数 a ﹑b ，若a ＜ b ，则必有 （ ） A ．a f (a )≤b f (b ) B ．a f (a )≥b f (b ) C ．a f (b )≤b f (a ) D ．a f (b )≥b f (a )

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,

2

1

), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y )满足： 0≤OP

u u r

⋅OM u u u r

≤1,0≤OP ⋅ON ≤1,则OP ⋅OQ 的最大值为＿＿＿＿＿．

12. 已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与

y ＝log 5x 的图象交点的个数是 13．已知0

lim

→x x x

sin ＝1，则2

lim π→

x x x 2cos -π＝＿＿＿＿＿．

14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正

方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿． 15．已知抛物线的方程为2

2(0)y px p =>，直线l 与抛物线交于A,B 两点，且以弦AB

为直径的圆M 与抛物线的准线相切，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为 ；当直线l 的倾斜角为3

π

时，圆M 的半径为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）

已知22

0()2cos 3sin 2()f x a x a x a a a =+++为不等于的常数

（1）若x R ∈，求()f x 的最小正周期；

（2）若对任意x R ∈时，()12f x <恒成立，求a 的取值范围。

17．（本小题满分12分）

某大型体育网站对2020年北京奥运会部分体育竞技项目进行预测，其中进入女子羽毛球团体决赛的队伍可能是中国女羽与印尼女羽，由于奥运会女羽冠军争夺是以“五局三

胜”制进行，根据以往战况，中国女羽每一局赢的概率为3

4

，倘若在比赛中，第一局印尼女羽先胜一局，在这个条件下：

（1）求中国女羽取胜的概率（用分数作答）；

（2）设决赛中比赛总的局数ξ，求ξ的分布列及E ξ（用分数作答）。

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B = 900，D 为棱BB 1上一点，且面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C . （1）求证：D 点为棱BB 1的中点； （2）若二面角A －A 1D － C 的平面角为600，求AB

AA 1

的值。

19．（本小题满分12分）

设正项数列｛n a ｝的前项和为S n ，q 为非零常数。已知对任意正整数n , m ，当n ＞ m

时，m n m

m n S q S S -⋅=-总成立。