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黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三数学(理科)压轴考试

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湖北省黄冈中学2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学理科(含答案)

湖北省黄冈中学2020届高三普通高等学校招生全国统一考试数学理科(含答案)

|
AF
|
⋅
|
BF
|
.”那么对于椭圆
E，问否存在实数
λ，使得 |
AF2
|
+
|
BF2=|
λ | AF2 | ⋅ | BF2 | 成
立,若存在求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
21. (12 分)已知函数 f (= x) ex−2 +1.
(1)求函数 f(2x)在 x=1 处的切线方程; (2)若不等式 f(x+y)+ f(x-y)≥mx 对任意的 x∈[0,+∞), y∈[0,+∞) 都成立,求实数 m 的取值范围.
2x)
2sin(2x
)
6
6
，由
2k≤2x ≤3 2k , k Z
k≤x≤ 5 k ,k Z
2
62
，解得 3
6
，即函数的增区间为
[
k , 5
k ], k Z
[, ]
3
ห้องสมุดไป่ตู้
6
，所以当 k 0 时，增区间为 3 2 ，选 D.
9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22. (10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
x=
1+
3t
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 2
(t 为参数).以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极
y = 1+ t
坐标系,圆 C 的极坐标方= 程为 ρ 2 cos(θ − π ) . 4
则
|
z |2 z

黄冈市黄州区西湖中学2008年5月高三压轴考试

黄冈市黄州区西湖中学2008年5月高三压轴考试

黄冈市黄州区西湖中学2008年5月高三压轴考试文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 1．集合{}12A x Nx *=∈-<的真子集的个数为 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 ２．函数)23(log 52-=x y 的定义域为Ａ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32Ｂ．⎥⎦⎤⎝⎛1,32 Ｃ．（1，+∞） Ｄ．⎪⎭⎫⎝⎛54,323．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-a y y x y x 00,且y x z 2+=的最大值是3，则a 的值为Ａ．1 Ｂ．-1 Ｃ．0 Ｄ．24.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( )A . 135B . 270C . 540D . 1215 5．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6．已知)1(3cos3)1(3sin)(+-+=x x x f ππ，则(1)(2)(2008)+++= f f f （ ）A ．23B ．3C ．1D ．07．已知O ，A ，B ，C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λOA ＋2λOB＋3λ= 0，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA （ ）A ．都是锐角B ．至多有两个钝角C ．恰有两个钝角D ．至少有两个钝角。

8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ）A ．2512 B ．52 C ．256 D ．10021 9．如图过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线与圆()1122=+-y x 于A ，B ，C ，D ，则AB CD ⨯=Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2110．函数a ax x x f +-=2)(2在区间(∞-，1)上有最小值，则函数xx f x g )()(=在区间(1，)∞+上一定Ａ．有最小值 Ｂ．有最大值 Ｃ．是减函数 Ｄ．是增函数第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,21), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y )满足： 0≤OP ⋅OM≤1,0≤⋅≤1,则⋅的最大值为＿＿＿＿＿．12. 已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log 5x 的图象交点的个数是 13．函数xx y sin 51sin 41+-+=的值域为 .14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿． 15．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，直线l 与抛物线交于A,B 两点，且以弦AB为直径的圆M 与抛物线的准线相切，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为 ；当直线l 的倾斜角为3π时，圆M 的半径为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷(理科)(二)(附详解)

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷(理科)(二)(附详解)

2020年湖北省黄冈中学高考数学冲刺试卷（理科）（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x2−2x−3≤0}，B={x|x−1>0}，则集合A∩B=()A. {2,3}B. {−1,1}C. {1,2，3}D. ⌀=n+i(m,n∈R)，其中i为虚数单位，则m+n=()2.己知m−2iiA. −1B. 1C. 3D. −33.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，则|b⃗ |=()A. 1B. 3C. √3D. √54.已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，则S7=()A. 42B. 21C. 7D. 35.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980−1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是()A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%(其中e为自然对数的底数)的图象大致为()6.函数f(x)=e x+1x3(e x−1)A. B.C. D.7.已知抛物线y2=4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN的中点到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 5 D. 528.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为()A. 57B. 47C. 27D. 179.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x=π6对称，则θ的最小值为()A. π6B. π3C. π2D. π10.设α是给定的平面，A，B是不在α内的任意两点．有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB异面；②在α内存在直线与直线AB相交；③存在过直线AB的平面与α垂直；④存在过直线AB的平面与α平行．其中，一定正确的是()A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右支于点M，若∠F1MF2=45°，则双曲线的渐近线方程为()A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±xD. y=±2x12.已知球O是正四面体A−BCD的外接球，BC=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是()A. 89π B. 11π18C. 512π D. 4π9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.如图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n的值为6，则输出i的值为______．14.已知cos(2α+π6)=−25，则sin(2α−π3)=______．15.若(3+ax)(1+x)4展开式中x的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)．16.已知函数f(x)={e x−1−e1−x,x≤1|x−2|−1,x>1(其中e为自然对数的底数)，则不等式f(x)+ f(x−1)<0的解集为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}中，a1=1且2a n+1=6a n+2n−1(n∈N∗).(1)求证：数列{a n+n2}为等比数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n．18.如图，在四棱锥S−ABCD中，已知四边形ABCD是边长为√2的正方形，点S在底面ABCD上的射影为底面ABCD的中心点O，点P在棱SD上，且△SAC的面积为1．(1)若点P是SD的中点，求证：平面SCD⊥平面PAC；(2)在棱SD上是否存在一点P使得二面角P−AC−D的余弦值为√5？若存在，求出5点P的位置；若不存在，说明理由．19.已知椭圆的一个顶点A(0,−1)，焦点在x轴上，离心率为√3．2(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N.当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的2×2列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i)X表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X的概率分布列及期望E(X)；(ii)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率．参考公式：k2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=e2x+mx，x∈(0,+∞)(其中e为自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调性；(2)若m=−2，g(x)=a2x2e x，对于任意a∈(0,1)，是否存在与a有关的正常数x0，使得f(x02)−1>g(x0)成立？如果存在，求出一个符合条件x0；否则说明理由．22.在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为x2+y2−4x−6y+5=0.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=−3√22．(1)写出圆C的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P在C上，点Q在l上，求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−2|．(1)解不等式f(x)≤1；(2)记函数f(x)的最大值为s，若√a+√b+√c=s(a,b，c>0)，证明：√a b√c≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x∈Z|−1≤x≤3}={−1,0，1，2，3}，B={x|x>1}，∴A∩B={2,3}．故选：A．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D=n+i，得m−2i=i(n+i)=−1+ni，【解析】解：由m−2ii∴m=−1，n=−2．则m+n=−3．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得m，n的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|2a⃗+b⃗ |=√7，∴4a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=7．又a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴4+4⋅1⋅|b⃗ |⋅cos60°+|b⃗ |2=7，则|b⃗ |=1，或|b⃗ |=−3(舍去)，故选：A．由题意利用两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a6+a3−a5=3，∴a1+5d+a1+2d−a1−4d=a1+3d=3，∴S7=7(a1+a7)=7(a1+3d)=21．2故选：B．利用等差数列通项公式求出a1+3d=3，再由S7=72(a1+a7)=7(a1+3d)，能求出结果．本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图，知：在A中，互联网行业从业人员中90后占56%，故A正确；在B中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后不一定比80后多，故B错误；在C中，互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多，故C正确；在D中，互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%，故D正确．故选：B．利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图直接求解．本题考查例题真假的判断，考查整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】D【解析】解：f(−x)=e −x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．故选：D．由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】【分析】考查抛物线的定义的应用，属于基础题．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．【解答】解：由抛物线方程得，准线方程为：x=−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的定义得，MF+NF=x+x′+p=x+x′+2=5，线段MN的中点的横坐标为x+x′2=32，线段MN的中点到y轴的距离为：32．故选：B．8.【答案】A【解析】解：我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，∴至少含有一颗上珠的概率为P=mn =2535=57．故选：A．从某一档的7颗算珠中任取3颗，基本事件总数n=C73=35，至少含有一颗上珠包含的基本事件个数m=C22C51+C21C52=25，由此能求出至少含有一颗上珠的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2sin(2x+π6)，将f(x)的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y=f(x−θ)=2sin[2(x−θ)+π6]=2sin(2x−2θ+π6)；又函数y的图象关于直线x=π6对称，即2×π6−2θ+π6=kπ+π2，k∈Z；解得θ=−12kπ，k∈Z；又θ>0，所以θ的最小值为π．2故选：C．根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式，再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了图象平移问题，是基础题．10.【答案】B【解析】解：对于①，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都在α内存在直线与直线AB异面，所以①正确；对于②，当直线AB与α平行时，平面α内不存在直线与直线AB相交，所以②错误；对于③，无论直线AB与α平行，还是直线AB与α相交，都存在过直线AB的平面与α垂直，所以③正确；对于④，若直线AB与α相交，则不存在过直线AB的平面与α平行，所以④错误；综上知，正确的命题序号是①③．故选：B．根据空间中的直线与平面、以及平面与平面的位置关系，判断题目中的命题真假性即可．本题考查了空间中的直线与平面以及平面与平面的位置关系应用问题，是基础题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的定义和三角形的中位线定理，考查运算能力，属于中档题．设切点为N，连接ON，作F2作F2A⊥MN，垂足为A，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作F 2作F 2A ⊥MN ，垂足为A ， 由|ON|=a ，且ON 为△F 1F 2A 的中位线，可得 |F 2A|=2a ，|F 1N|=√c 2−a 2=b ， 即有|F 1A|=2b ， 因为∠F 1MF 2=45°，所以在等腰直角三角形MF 2A 中，可得|MF 2|=2√2a ， 即有|MF 1|=2b +2a ，由双曲线的定义可得|MF 1|−|MF 2|=2b +2a −2√2a =2a ， 可得b =√2a ，则双曲线的渐近线方程为y =±√2x. 故选A ．12.【答案】A【解析】解：作AO′⊥面BCD ，垂足为O′连接BO′并延长交CD 于F ，由题意得F 时CD 的中点，且O′为三角形BCD 的外接圆的圆心，设三角形BCD 的外接圆半径为r ，则r =BO′=23BF =23⋅√32BC =√33⋅2=2√33，高ℎ=AO′=√AB 2−BO′2=(2√33)=2√63，设外接球的球心为O ，设外接球的半径为R ，则由题意知O 在AO′上，连接OB ，R =OB ，在三角形BOO′中：R 2=r 2+(ℎ−R)2，所以2Rℎ=r 2+ℎ2，将r ，h 值代入可得：R =√62，所以OO′=AO′−R =2√63−√62=√66， 因为点E 在线段BD 上，且BD =3BE ，BD =2，所以BE =23，在三角形BEO′中，由余弦定理：O′E =√BO′2+BE 2−2⋅BO′⋅BE ⋅cos30°=√(2√33)2+(23)2−2⋅2√33⋅23⋅√32=23，正三角形OEO′中，OE 2=O′E 2+OO′2=(23)2+(√66)2=1118当过E 的截面与OE 垂直时，截面的面积最小，设截面的半径为r′则r′2=R 2−OE 2=(√62)2−1118=1618=89，所以截面的面积S =πr′2=89π，故选：A．由正四面体的棱长求出底面外接圆的半径即棱锥的高，再由外接球的半径与高和底面外接圆的半径之间的关系求出外接球的半径，在△BEO′，由余弦定理求出EO′的值，当过E的截面与OE垂直时，截面的面积最小，求出OE，再求求出截面的半径，进而求出截面的面积．考查正四面体的外接球的半径与棱长的关系，及截面面积最小时的情况．属于中档题．13.【答案】8【解析】解：i=0，n=6；n为偶数，n=3，i=1；n为奇数，n=10，i=2；n为偶数，n=5，i=3；n为奇数，n=16，i=4；n为偶数，n=8，i=5；n为偶数，n=4，i=6；n为偶数，n=2，i=7；n为偶数，n=1，i=8；跳出循环，输出结果8，故答案为：8．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算n的值并输出相应变量i 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．14.【答案】25【解析】解：因为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)=25．故答案为：25．直接根据诱导公式把所求问题转化为sin(2α−π3)=cos[π2−(2α−π3)]=cos(5π6−2α)=cos[π−(2α+5π6)]=−cos(2α+π6)即可求解．本题主要考查诱导公式在解题中的应用，属于基础题目．15.【答案】64【解析】解：∵(3+ax)(1+x)4展开式中x 的系数为：3C 41+aC 44=12+a =13，∴a =1， 令x =1，得：(3+x)(1+x)4展开式中各项系数和为：(3+1×1)(1+1)4=64， 故答案为：64．依题意，可得3C 41+aC 44=12+a =13，求得a =1，再赋值x =1，即可求得展开式中各项系数和．本题考查二项式定理，依题意，求得a =1是关键，考查赋值法的灵活应用，属于中档题．16.【答案】(−∞,72)【解析】解：因为f(x)={e x−1−e 1−x ,x ≤1|x −2|−1,x >1，∴当x ≤1时，x −1≤0，∴由f(x)+f(x −1)<0，得e x−1−e 1−x +e x−2−e 2−x <0，∴x ≤32，又x ≤1，∴x ≤32； 当1<x ≤2时，0<x −1≤1，∴由f(x)+f(x −1)<0， 得|x −2|−1+e x−2−e 2−x <0，∴|x −2|<1−e x−2+e 2−x ， ∵当1<x ≤2时，|x −2|∈[0,1)，1−e x−2+e 2−x ∈[1,1+e +1e )， ∴当1<x ≤2时，f(x)+f(x −1)<0成立，∴1<x ≤2， 当x >2时，由f(x)+f(x −1)<0，得|x −2|−1+|x −3|−1<0，∴|x −2|+|x −3|<2， ∴32<x <72，又x >2，∴2<x <72， 综上，不等式的解集为(−∞,72)． 故答案为：(−∞,72)．根据f(x)+f(x −1)<0，分x ≤1，1<x ≤2和x >2三种情况解不等式即可． 本题考查了指数不等式和绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想和计算能力，属中档题．17.【答案】(1)证明：∵2a n+1=6a n +2n −1(n ∈N ∗)∴a n+1=3a n+n−12；∴a n+1+n+1 2a n+n2=3a n+n−12+n+12a n+n2=3a n+32na n+n2=3；∴{a n+n2}为等比数列，首项为32，公比为3．(2)解：由(1)得：a n+n2=(a1+12)×3n−1=32×3n−1=12×3n；∴a n=12×3n−n2；S n=a1+a2+a3+⋯…+a n=12(31+32+33+⋯…+3n)−12(1+2+3+⋯…+n) =123(1−3n)1−3−12n(n+1)2=3(3n−1)4−n2+n4=3n+1−n2−n−34．【解析】(1)把已知的递推关系式整理即可证明结论；(2)先利用(1)的结论求出通项公式，再直接利用分组求和即可求解．本题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项以及分组求和的应用，是对数列知识的综合考查，属于中档题目．18.【答案】解：(1)∵点S在底面ABCD上的射影为点O，∴SO⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是边长为√2的正方形，∴AC=2；∵三角形SAC的面积为1，∴12×2×SO=1，即SO=1，∴SC=√2，∵CD=√2，点P是SD的中点，∴CP⊥SD，同理可得AP⊥SD；又因为AP∩CP=P，AP，CP⊂平面PAC；∴SD⊥平面PAC，∵SD⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面PAC．(2)如图，连接OB，易得OB，OC，OS两两互相垂直，分别以OB，OC，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，则A(0,−1,0)，C(0,1，0)，S(0,0，1)，D(−1,0，0)；假设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，不妨设SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又点P 在棱SD 上，∴0≤λ≤1， 又SD⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)， ∴SP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,0，−λ)，∴P(−λ,0，1−λ)， 设平面PAC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ,1，1−λ)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， ∴{−λx +y +(1−λ)z =02y =0， 令z =λ，可得x =1−λ，∴平面PAC 的一个法向量为n⃗ =(1−λ,0，λ)， 又平面ACD 的一个法向量为OS⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，二面角P −AC −D 的余弦值为√55； ∴|cos <OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|OS ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||OS ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√(1−λ)2+λ2=√55， 即3λ2+2λ−1=0，解得λ=13或λ=−1(不合题意，舍去)；所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点．【解析】(1)根据题意证明CP ⊥SD ，AP ⊥SD ，得出SD ⊥平面PAC ，即可证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)连接OB ，易知OB ，OC ，OS 两两互相垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，设存在点P 使得二面角P −AC −D 的余弦值为√55，SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λSD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则0≤λ≤1； 利用法向量表示二面角的余弦值，求出λ的值，从而求出点P 的位置．本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了利用空间向量求出二面角余弦的计算问题，是中档题．19.【答案】解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a +y2b =1(a >b >0)， 则{b =1ca =√32,a 2=b 2+c 2,解之得：a =2,b =1,c =√3．故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设P(x 0,y 0)弦MN 的中点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{y =kx +m,x 24+y 2=1,得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0， 因为直线与椭圆相交，所以x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1，△=(8km)2−16(4k 2+1)(m 2−1)>0⇒m 2<1+4k 2，① ∴x 0=x 1+x 22=−4km4k 2+1，所以y 0=kx 0+m =m4k +1． ∴k AP =y 0+1x 0=−m+1+4k 24km，又|AM|=|AN|，∴AP ⊥MN ，则−m+1+4k 24km=−1k，即3m =4k 2+1，②把②代入①得m 2<3m ，解得0<m <3， 由②得k 2=3m−14>0，解得m >13．综上可知m 的取值范围为(13,3)．【解析】(1)根据顶点、离心率建立方程求出椭圆的标准方程；(2)先由直线与椭圆方程联立方程组，由判别式得出不等关系，根与系数关系，再将条件|AM|=|AN|转化为A 在线段MN 的垂直平分线上，建立等量关系，最后将它们相结合进行求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的综合问题，有一定难度，属于中档题目．20.【答案】解：(1)2×2列联表如下：根据上表数据代入公式可得K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关． (2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30， P(X =5)=110，P(X =8)=110，P(X =11)=15， P(X =15)=15，P(X =19)=720，P(X =30)=120．所以X 的分布列为：∴E(X)=5×110+8×110+11×15+15×15+19×720+30×120=14.65． (ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35， ∴ξ～B(3,35)，∴P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=C 32(35)2(25)+(35)3=3×925×25+27125=81125．【解析】(1)作出2×2列联表，求出K 2=100×(20×30−10×40)230×70×60×40=5063≈0.794<2.706，从而没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关．(2)(i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，分别求出相应的概率，由此有求出X 的分布列和数学期望．(ii)由题意得P(X >14.65)=15+720+120=35，从而ξ～B(3,35)，由此能求出P(ξ≥2)的概率．本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2e 2x +m ，①当m ≥0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增；②当−2≤m <0时，x ∈(0,+∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上的单调递增； ③当m <−2时，由f′(x)=0得x =12ln(−m2)>0，x ∈(0,12ln(−m2))时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x ∈(12ln(−m 2),+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 综上所述：当m ≥−2时，f(x)在(0,+∞)上的单调递增；当m <−2时，f(x)在(0,12ln(−m2))上单调递减，f(x)在(12ln(−m2),+∞)上单调递增；(2)f(x02)−1>g(x 0)⇒e x 0−x 0−1>a2x 02e x 0⇒1−x 0+1e x 0>a2x 02⇒a2x 02+x 0+1e x 0−1<0(∗)，需求一个x 0，使(∗)成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，∵t′(x)=x(a −1e x )∴t(x)在(0,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增， ∴t(x)min =t(−lna)=a2ln 2a +a(−lna +1)−1，只需证明a2ln 2a +a(−lna +1)−1<0在a ∈(0,1)内成立即可，令φ(a)=a 2ln 2a +a(−lna +1)−1⇒φ′(a)=12ln 2a >0， ∴φ(a)在a ∈(0,1)单调递增，∴φ(a)<φ(1)=12ln 21+1×(−ln1+1)−1=0，所以t(x)min <0，故存在与a 有关的正常数x 0=−lna(0<a <1)使(∗)成立．【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可判断， (2)需求一个x 0，满足结论成立，只要求出t(x)=a2x 2+x+1e x−1的最小值，满足t(x)min <0，结合函数的性质及导数即可证明．本题考查了导数的综合应用，考查了一定的推理与运算的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程可化为(x −2)2+(y −3)2=8，圆心为C(2,3)，半径为2√2，∴圆C 的参数方程为{x =2+2√2cosαy =3+2√2sinα(α为参数)直线l 的极坐标方程可化为ρsinθ+ρcosθ=−3， ∵{ρcosθ=x ρsinθ=y， ∴直线l 的直角坐标方程为x +y +3=0． (2)：曲线C 是以C(2,3)为圆心，半径为2√2的圆， 圆心C(2,3)到直线l ：x +y +3=0的距离d =22=4√2，所以|PQ|min =4√2−2√2=2√2，此时直线PQ 经过圆心C(2,3)，且与直线l ：x +y +3=0垂直，k PQ ⋅k l =−1， 所以k PQ =1，PQ 所在直线方程为y −3=x −2，即y =x +1． 联立直线和圆的方程{y =x +1x 2+y 2−4x −6y +5=0，解得{x =0y =1或 {x =4y =5当|PQ|取得最小值时，点P 的坐标为(0,1) 所以|PQ|min =2√2，此时点P 的坐标为(0,1)．【解析】(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和方程组的解法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，方程组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)f(x)={−3,x ≤−12x −1,−1<x <23,x ≥2，①当x ≤−1时，−3≤1恒成立，所以x ≤−1；②当−1<x <2时，2x −1≤1，即x ≤1，所以−1<x ≤1； ③当x ≥2时，3≤1显然不成立，所以不合题意； 综上，不等式的解集为(−∞,1]． (2)证明：由(1)知f(x)max =3=s ， 于是√a +√b +√c =3， 所以√a√a √b√b +√c+√c≥2√b +2√c +2√a =6，当且仅当a =b =c =1时取等号， 所以√a √b √c ≥3．【解析】(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤1分别解不等式即可； (2)先由(1)得到f(x)的最大值s ，然后利用基本不等式即可证明√a √b √c ≥3成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

2020届湖北省黄冈中学高三5月二模考试数学(理)试卷word版有答案(精品)

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黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}223,1,0,1,2,3A x y x x B ==--=-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A ．1623+ B ．1625+C ．2023+D ．2025+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x yΓ-=上任意点P作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B两点，若O为坐标原点，则AOB∆的面积为( )A．4 B．3 C．2 D．17. 函数2sin()xxf xe=在[,]ππ-的图像大致为( )8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m=，则输出的S为（）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC∆所在平面内有两点,P Q，满足0,PA PC QA QB QC BC+=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC==u u u r u u u r，23APQS∆=,则2AB AC BC⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )n=1,S=01结束是n为奇数?否输入正整数ma=n22开始n=n+1 a=n2-12S=S+an≥m?输出S是否图二A. ±B. 8±C. 12±D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )A.27B.9C.27D.2711.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据： 20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.0250.01 0.005 0.00120.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. 43±B. 843±C. 1243±D. 2043±【答案】D【解析】因为0PA PC +=u u u r u u u r r，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即QA QB BC QC BQ +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2QA BQ =u u u r u u u r ，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABCS AB AC A ∆==u u u r u u u r ，所以1sin 2A =，3cos A =或3-．故cos 43AB AC AB AC A ⋅=⋅=±u u u r u u u r u u u r u u u r .10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.86π B.43π C.43π D.323π 【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D 的面积为33320233d 63x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰，故2112612p ==，所以121224133p p -=-=．12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________. 【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】 Q (3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，Q 6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆=，当且仅当3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．【解析】（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，22DH a =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r 为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r 得202260424x x y z =-+=⎩ 取1z =得3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r 得202260424y x y z ⎧'=⎪'''-+=⎪⎩，取1z '=得，()3,0,1m =-u r ， 所以17cos ,724n mn m n m⋅===⋅⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为77.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879302040103K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====g10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====g20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C ===g g 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C ===g g 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===g g50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===g g60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====g70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====g费用X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70 P241088108361081210818108610831081108故：108542EX ===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2212123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：221112211212k k x k k x +-=+- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k ≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,)t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++2222149(142)22b a a b ≥++⋅=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<． 综上，9922x -≤≤． （2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。

【附加15套高考模拟试卷】湖北省黄冈市2020届高三5月适应性考试理科数学试题含答案

【附加15套高考模拟试卷】湖北省黄冈市2020届高三5月适应性考试理科数学试题含答案

湖北省黄冈市2020届高三5月适应性考试理科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，若输入的,a b 的值分别为1，2，则输出的S 是（ ）A ．70B ．29C ．12D ．52．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．-20183．设12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，若1290F PF ︒∠=，c=2,213PF F S ∆=，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）A ．5πB ．4πC ．6πD ．3π4．已知,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．33a b > B ．11a b <C ．22a b > D ．||a b b >+5．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．5B ．5C ．25D ．256．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点与抛物线220y x =的焦点重合，且其渐近线方程为34y x =±，则该双曲线的方程为（ ）A．221 916x y-=B．221169x y-=C．2216436x y-=D．2213664x y-=7．定义区间[],a b，(),a b，(],a b，[),a b的长度为b a-.如果一个函数的所有单调递增区间的长度之和为m（其中(]0,m e∈，e为自然对数的底数），那么称这个函数为“m函数”.下列四个命题：①函数()lnxf x e x=+不是“m函数”；②函数()ln xg x x e=-是“m函数”，且1mme=；③函数()ln xh x e x=是“m函数”；④函数()lnxxxeϕ=是“m函数”，且ln1m m=.其中正确的命题的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．已知实数x，y满足约束条件133xx yy x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=-+的最小值为( ）A．-6 B．-4 C．-3 D．-19．某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是''''A B C DY，如图2所示.其中24A'B'A'D'==，则该几何体的表面积为（）A．1612+πB．168+πC．1610+π D．8π10．已知()f x是定义在[2,1]b b-+上的偶函数，且在[2,0]b-上为增函数，则(1)(2)f x f x-≤的解集为（）A．2[1,]3-B．1[1,]3-C．[1,1]-D．1[,1]311．已知锐角ABCV的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1c=，三角形ABC的面积1ABCS=△，则22a b+的取值范围为()A．17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．()9,+∞C．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．17,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．若a，b，c，满足23a=，2log5b=，32c=，则（）A．c a b<<B．b c a<<C．a b c<<D．c b a<<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省黄冈中学2020届高三5月二模考试数学(理)试卷(含答案)

湖北省黄冈中学2020届高三5月二模考试数学(理)试卷(含答案)
D.
27
11. 实数 x ， y 满足约束条件
x 3y≤3 x y≥1 ，它表示的平面区域为 y≥0
C ，目标函数 z
x 2y
的最小值为 p1 . 由曲线 y2 3x y≥0 ，直线 x 3 及 x 轴围成的平面区域为 D ，向区域
D 内任投入一个质点，该质点落入 C 的概率为 p2 ，则 2 p1 4 p2 的值为 ( )
的值为
(
)
3
A. 4 3
B. 8 4 3
C. 12 4 3
D. 20 4 3
10. 已 知 三 棱 锥 S ABC 的 底 面 是 以 AB 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 且 AB SA SB SC 2 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ( )
A. 8 6 27
43
B.
9
43
C.
27
32 3
19. （本小题满分 12 分） IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作
IC 芯片
核心部分首先需要制造单晶的晶圆， 此过程主要是加入碳， 以氧化还原的方式， 将氧
化硅转换为高纯度的硅 . 为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门
子制程（ Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人
作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生
产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为
2 ，每个环节出错 3
需要修复的费用均为 20 元，第四环节生产正常的概率为
3 ，此环节出错需要修复的
4
费用为 10 元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多

2019-2020年湖北省黄冈中学高三5月二模考试数学(理)试卷word版有答案

2019-2020年湖北省黄冈中学高三5月二模考试数学(理)试卷word版有答案

黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）试卷试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}223,1,0,1,2,3A x y x x B ==--=-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 2. 若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15-B ．95-C ．95D ．95i -3. 设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<4．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( ) A ．1623+ B ．1625+C ．2023+D ．2025+5. 下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1 7. 函数2sin()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 1909．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若n=1,S=0 1 结束是n 为奇数?否 输入正整数ma=n 22开始 n=n+1a=n 2-12S=S+an ≥m? 输出S是否图二4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. ±B. 8±C. 12±D. 20±10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( )11.实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．23C ．35D ．4312. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e --B. 1[1,]1e e e --C. 1(,1)1e e e ---D. 1[,1]1e e e ---二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13.若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________.14．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（一）必考题17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22()(23)a b c bc --=-． （1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==.（1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．19.（本小题满分12分）IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++参考数据：20.（本小题满分12分）已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y fx =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围；（2）证明：5511()()4a b a b++≥．黄冈中学高三5月第二次模拟考试数学（理科）答案 试卷满分：150分一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{{},1,0,1,2,3A x y B ===-，则()R C A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}0,1,2C ．{}1,0,1-D ．{}1,3- 【答案】B2.若复数232018|34|134i z i i i i i-=++++++-…，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A ．15- B ．95-C ．95D ．95i -【答案】B3.设537535714(),(),log 755a b c -===，则c b a ,,的大小关系是( )A ．c a b <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D4. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是( )A ．16+B ．16+C ．20+D ．20+【答案】B5.下列命题正确的个数是（ ）1:p 若,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，若,,,m n m n ααββ⊂⊂∥∥，则αβ∥【错误】2:p 命题“32000,10x x x ∃∈-+≤R ”的否定是“32,10x R x x ∀∈-+≥”【错误】3:p 函数sin()6y x πω=+在2x =处取得最大值，则正数ω的最小值为6π【正确】4:p 若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<≤+=，()220.9544P Z μσμσ-<≤+=.已知随机变量()~6,4X N ，则()280.8185P X <≤=【正确】 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B6. 过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D 7. 函数2sin ()xxf x e=在[,]ππ-的图像大致为( )8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的 推论，如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理. 数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪 数量总和.它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数 列题，0，2，4，8，12，18，…，如图二，是求大衍数列 前n 项和的程序框图，执行该程序框图，输入10m =，则输 出的S 为（ ）A. 100B. 250C. 140D. 190【答案】D9．已知ABC ∆所在平面内有两点,P Q ，满足0,PA PC QA QB QC BC +=++=u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r，若4,2AB AC ==u u u r u u u r ，23APQ S ∆=,则2AB AC BC ⋅+u u u r u u u r u u u r的值为( )A. 43±B. 843±C. 1243±D. 2043±【答案】D【解析】因为0PA PC +=u u u r u u u r r，所以P 为AC 中点，又因为QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 即QA QB BC QC BQ +=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以2QA BQ =u u u r u u u r ，所以Q 为线段AB 的靠近B 的三等分点．所以13APQ ABC S S ∆∆=，所以1sin 22ABCS AB AC A ∆==u u u r u u u r ，所以1sin 2A =，3cos A =或3-．故cos 43AB AC AB AC A ⋅=⋅=±u u u r u u u r u u u r u u u r .10.已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，且2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的体积为( ) A.86π B.43π C.43π D.323π 【答案】D11．实数x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤≥≥，它表示的平面区域为C ，目标函数2z x y =-的最小值为1p .由曲线()230y x y =≥，直线3x =及x 轴围成的平面区域为D ，向区域D 内任投入一个质点，该质点落入C 的概率为2p ，则1224p p -的值为( )A ．12B ．35C ．23D ．43【答案】C【解析】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点31,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最小值，且最小值为12z =，即112p =．区域C 的面积为1112222⨯⨯=，平面区域D 的面积为33320233d 63x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰，故2112612p ==，所以121224133p p -=-=．12. 若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. 1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- 【解析】由题意可得ln ,(0,)ln x xa x x x x=-∈+∞-有3个不同解，令ln (),ln x xg x x x x=--22221ln 1ln ln (1ln )(2ln )(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x x g x x x x x x x ----∈+∞=-=--则当(0,)x ∈+∞时，令2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；当1(,),'0,2x y y ∈+∞>递增，则min 11ln1ln 20,(0,)2y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为1(),1e g e e e=--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e--.[答案]A 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13. 若()6111ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11-，则实数a 的值为_________. 【答案】214．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=相交的，则椭圆的离心率为_________.15.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________. 【解析】由题意可得：9101112128a a a a S S +++=-,由8426S S -=可得8446S S S -=+,由等比数列的性质可得：484128,,S S S S S --成等比数列,则()()2412884S S S S S -=-,综上可得：249101112128444(6)361224S a a a a S S S S S ++++=-==++≥当且仅当46S =时等号成立.综上可得,则9101112a a a a +++的最小值为24.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6a c +=，(3cos )tan sin 2BA A -=，则ABC ∆的面积的最大值为 ．【答案】 Q (3cos )tansin 2B A A -=，∴sin (3cos )sin 1cos B A A B-=+，整理得 3sin sin sin B A C =+，则3b a c =+ 又6a c +=，∴2b =.又2222cos b a c ac B =+-，则24()22cos 362(1cos )a c ac ac B ac B =+--=-+,∴16cos 1B ac=-∴11cos 22ABC S ac B ∆===，Q 6a c +=，∴9ac ≤∴ABC S ∆=，当且仅当3a c ==时取等号.三.解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且22()(2a b c bc --=．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，且1sin 1=A a ，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【解析】（1）由22()(23)a b c bc --=-，2223a b c bc --=-，所以2223cos 2b c a A bc +-==6A π∴=（2）设{}n a 的公差为d ，由得21=a ，且2428a a a =，∴2111(3)()(7)a d a d a d +=++．又0d ≠，∴2d =，∴2n a n =．∴14111(1)1n n a a n n n n +==-++， ∴11111111(1)()()()122334111n n S n n n n =-+-+-++-=-=+++… 18. 如图，在四棱锥S ABCD -中，SCD ∆为钝角三角形，侧面SCD 垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （1）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60o ，求二面角B MD C --余弦值．【解析】（1）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =， 依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD . 又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD （2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（1）得，2SD a =，所以在Rt SHD ∆中，2SD a =，22DH a =，6SH =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得22AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uuu r 为x 轴正方向，DC uuu r 为y 轴正方向，DF uuu r为z轴正方向建立空间直角坐标系，则()2,0,0Ba ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，22,,022A a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，226,42M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r 得202260424x x y z =-+=⎩ 取1z =得3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r 得202260424y x y z ⎧'=⎪'''-+=⎪⎩，取1z '=得，()3,0,1m =-u r ， 所以17cos ,724n mn m n m⋅===⋅⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为77.19. IC 芯片堪称“国之重器”，其制作流程异常繁琐，制作IC 芯片核心部分首先需要制造单晶的晶圆，此过程主要是加入碳，以氧化还原的方式，将氧化硅转换为高纯度的硅.为达到这一高标准要求，研究工作人员曾就是否需采用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片单晶的晶圆进行研究，结果发现使用了该工艺的30片单晶的晶圆中有28片达标，没有使用该工艺的20片单晶的晶圆中有12片达标．（1）用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为单晶的晶圆的制作效果与使用西门子制程（Siemens process ）这一工艺标准有关？（2）在得到单晶的晶圆后，接下来的生产制作还需对单晶的晶圆依次进行金属溅镀，涂布光阻，蚀刻技术，光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程.如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修复才能成为合格品.在实验的初期，由于技术的不成熟，生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均为20元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为10元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用？（假设质检与检测过程不产生费用）参考公式：22()=,()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=+++++++ 参考数据：【解析】（1）由题意列列表为：故250(288212)257.879302040103K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯ 故有99.5%的把握认为晶圆的制作效果与使用西门子制程这一工艺技术有关（2）设i A 表示检测到第i 个环节有问题，(1,2,3,4)i =，X 表示成为一个合格的多晶圆需消耗的费用，则X 的可能取值为：0,10,20,30,40,50,60,700X =，表明四个环节均正常312342324(0)()()34108P X P A A A A ====g10X =表明第四环节有问题31234218(10)()()34108P X P A A A A ====g20X =表明前三环节有一环节有问题12312336(20)()()334108P X C ===g g 30X =表明前三环节有一环节及第四环节有问题12312112(30)()()334108P X C ===g g 40X =，表明前三环节有两环节有问题22312318(40)()()334108P X C ===g g50X =表明前三环节有两环节及第四环节有问题2231216(50)()()334108P X C ===g g60X =表明前三环节有问题31234133(60)()()34108P X P A A A A ====g70X =四环节均有问题31234111(70)()()34108P X P A A A A ====g费用X 分布列为：X 0 10 20 30 40 50 60 70 P241088108361081210818108610831081108故：108542EX ===（元）故大约需要耗费452元20. 已知抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线C 上一点(),2Q a 到焦点的距离为3，线段AB 的两端点()11,A x y ， ()22,B x y 在抛物线C 上. （1）求抛物线C 的方程；（2）在抛物线C 上存在点()33,D x y ，满足312x x x <<，若ABD ∆是以角A 为直角的等腰直角三角形，求ABD ∆面积的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）最小值为16.【解析】（1）设抛物线的方程为22x py =，抛物线的焦点为F ，则322pQF ==+，所以1p =，则抛物线C 的方程为24x y =.（2）如图所示，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233(,)4x D x ，根据抛物线关于y 轴对称，取10x ≥，记1AB k k =， 2AD k k =，则有2114x x k +=， 3124x x k +=，所以2114x k x =-， 3214x k x =-， 121k k ⋅=-， 又因为ABD ∆是以A 为顶点的等腰直角三角形，所以AB AD =，2212123111k x x k x x +-=+-，将23,x x 代入得：221112211212k k x k k x +-=+- 化简求出1x ，得： 3112114422k x k k -=+，则()2222112114411||122ABDk S AB k k k ∆⎛⎫+=⋅=⨯+⨯ ⎪+⎝⎭，可以先求AB 的最小值即可， 2211211441k AB k k k +=+⋅+，令()3222222111t t y t t t t t++=+⋅=++， 则()()()()()1322222223122112t t t t t t y t t+⋅⋅+-+++'=()()()()()()11233223222222213322111t tt t t t tt t t t tt t ++----+-+-==++()()()()122222111tt t t t +-+=+所以可以得出当1t =即11k =时， AB 最小值为42，此时10x =，即当()0,0A ， ()4,4B ， ()4,4D -时， ABD ∆为等腰直角三角形，且此时面积最小，最小值为16.21. 已知函数2()ln ,()().2a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （1）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x = 在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；（2）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.0,x x λ>>已知 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.【解析】（1）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.……………………2分方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只须.a k ≤令切点为000000ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000ln 1,x x x =解得01,x e k e ==于是，所以1.a e≤………………………………………5分（2）2()()()ln (0),'()ln .2a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--+>=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===-作差得……………………………6分因为120,0,,x x λ>>>所以112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔>-++⇔112122(1)(1)ln .x xx x x x λλ+->+……8分令12x t x =，则(1,)t ∈+∞，由题意知，不等式(1)(1)ln (1,)t t t t λλ+->∈+∞+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则 （ⅰ）若21,(1,),'()0,t t λϕ≥∈+∞>对一切所以()(1,)t ϕ+∞在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以()0t ϕ>(1,)+∞在上恒成立，符合题意.……………………………10分（ⅱ）若221,(1,)t λλ>∈当时，2'()0;(,),t t ϕλ<∈+∞当时2'()0,()(1,)t t ϕϕλ>所以在上单调递减，在2(,)λ+∞上单调递增，又(1)0,())t ϕϕ=∞所以在(1,+上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综合（ⅰ）（ⅱ）得，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，只须21.0,1λλλ≤>≤又所以0<.………12分（二）选考题 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为1()2x y ααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩为参数，直线1:0l x =，直线 2:0l x y -=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.（1）求曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求线段AB 的长.23. 选修4-5：不等式选讲已知0a >，0b >，且222a b +=． （1）若2214|21||1|x x a b+≥---恒成立，求x 的取值范围； （2）证明：5511()()4a b ab++≥．【解析】（1）设,1,1|21||1|32,1,21,.2x x y x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=---=-≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩由222a b +=，得221()12a b +=，故22222222221411414()()(14)22b a a b a b a b a b +=++=+++2222149(142)22b a a b ≥++⋅=， 所以9|21||1|2x x ≥---． 当1x ≤时，92x ≤，得912x ≤≤； 当112x ≤<时，9322x -≤，解得136x ≤，故112x ≤<； 当12x <时，92x -≤，解得92x ≥-，故9122x -≤<． 综上，9922x -≤≤． （2）55554411()()b a a b a b a b a b ++=+++5522222222()2()=4b a a b a b a b a b=+++-≥+。

理数答案

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2020年黄冈市五月调考题参考答案（理科）一，选择题A 卷1﹑C 2﹑B 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑B 7﹑B 8﹑B 9﹑A 10﹑A B 卷1﹑C 2﹑A 3﹑C 4﹑D 5﹑D 6﹑A 7﹑A 8﹑A 9﹑B 10﹑B简解：10 解：设()a B e a A AM ,0,0,,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=由题意得λ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=a b y c x b ya x a ex y 22222,1得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴a ab e ac e a a e a a b e a c AB AM a b c M λλλλ222,,,,,,即Θ，而 222221,011,e ABAMe e b a c -=>--=∴-=故且λ 二，填空题 11﹑ 6512﹑ 9 13﹑(,0))λ∈-∞+∞U 14﹑33或210 15﹑ 6 14 解： 当b >0时由2721a b a b +=⎧⎨-=⎩，得a =2，b =3，此时e =3331=； 当b <0时，由2127a b a b +=⎧⎨-=⎩，得a =2，b =-3，此时e =21025=． 三，解答题16 解：⑴在ACE ∆中，215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ACAE CE AE AC A ， 在ABC ∆中，2110321032cos 222222-=⨯⨯-+=-+=BC ACAB BC AB AC A 139=∴BC ……………6分⑵∵2222cos b a c ac B =+-，∴224a c ac =++，23ac ac ac ≥+=.∴43ac ≤，………………8分∴114sin 22323ABC S ac B ∆=≤⨯⨯=．………………10分当且仅当3a c ==时取得等号．……………………12分 17 解：（1）所求的概率为1P =1－(1－50％)• (1－90％)•(1－80％)＝1－0．01＝0．99 …………………… (6分)（2）P 2=(1－50％)（1－90％）（1－80％）＝0．01,因为每人从三种乳制品中各取一件，三件恰好都是不合格乳制品的概率为0．01，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到三件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题．∴P=123(10.01)0.01c -•=0．027403…………………………12分18解：⑴取CD 的中点F ，连结BF 并延长交AD 的延长线于G 点．设正方体棱长为a 2，则a DF DE ==，a DG 2=，过D 点作FG DH ⊥于H ，有a DH 52=，连EH ，由三垂线定理知，FG EH ⊥， 即DHE ∠为所求二面角的平面角．其正切值为25=DH ED ．……………… 6分 ⑵分别取111D C CC 的中点M ﹑N 并连结MN ，有MN ∥B A 1,M B 1∥E A 1,从而，平面BE A MN B 11//平面，由题意知：P 点在线段MN 上移动．又a P C a ≤≤122，直线P B 1与平面11C CDD 所成角的正切值为P C C B 111，[]222111，∈PC CB …………………… 12分 19 解:(1)由已知,得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)＝1(n ≥2,n ∈N *),即a n+1-a n ＝1(n ≥2,n ∈N *),且a 2-a 1＝1,∴数列{a n }是以a 1＝2为首项,公差为1的等差数列.∴a n ＝n+1. ………………………………… 5分 (2)∵a n ＝n+1,∴b n ＝4n +(-1)n-1λ·2n+1,要使b n+1＞b n 恒成立.∴b n+1-b n ＝4n+1-4n +(-1)n λ·2n+2-(-1)n-1λ·2n+1＞0恒成立, 即3·4n -3λ·(-1)n-12n+1＞0恒成立.∴(-1)n-1λ＜2n-1恒成立. ……………………………9分 ①当n 为奇数时,即λ＜2n-1恒成立,当且仅当n ＝1时,2n-1有最小值为1,∴λ＜1. ②当n 为偶数时,即λ＞-2n-1恒成立,当且仅当n ＝2时,-2n-1有最大值-2,∴λ＞-2, 即-2＜λ＜1.又λ为非零整数,则λ＝-1.综上所述,存在λ＝-1,使得对任意n ∈N *,都有b n+1＞b n . ………………12分20 解：⑴易知)0,1(1-F ，)0,1(2F ，)1,0(-A 设点),(11y x P ， 则212121212122)2(2121)1()1(-=-+-=+-=x x x y x PF ，又⊙M 的面积为8π，所以21)2(88-=x ππ 解得11=x )22,1(±∴P 故PA 所在直线的方程为1)221(-+=x y 或1)221(--=x y …………… 4分 ⑵直线1AF 的方程为01=++y x ，且)2,21(11y x M +到直线1AF 的距离为： 111422221221x y x -=+++ 化简得1121x y --= 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1221212111y x x y 解得01=x 或981-=x 当01=x 时， 可得)21,21(-M ， ∴⊙M 的方程为21)21()21(22=++-y x 当981-=x 时，可得)187,181(M ，∴⊙M 的方程为162169)187()181(22=-+-y x ；………………9分⑶⊙M 始终和以原点为圆心，半径为21=r （长半轴）的圆（记作⊙O ）相切．证明：12121212142228414)1(44)1(x x x y x OM +=-++=++=，又⊙M 的半径1224222x MF r -==， 21r r OM -=∴，即⊙M 与⊙O 相切． …………………13分（3）法二 122PF PF a +=，∴2OM MF a +==∴2OM MF =∴⊙M 总与以原点为圆心以椭圆半长轴为半径的圆相内切21 解：⑴假设函数xx f 1)(=有派驻点0x ，则111100+=+x x ，即01020=++x x ，而此方程无实根，矛盾．所以函数xx f 1)(=没有派驻点． ………………… 4分 ⑵令)12(2122)1(2)1()()1()(1221-+=----++=--+=-+x x x f x f x f x h x x x ，又1)0(-=h ，2)1(=h ， ∴0)1()0(<⋅h h ，所以0)(=x h 在()1,0上至少有一个实根0x ，即函数22)(x x f x+=有派驻点0x ． ……………………………… 9分 ⑶若函数1ln)(2+=x ax f 有派驻点0x ，即有：2ln 1ln 1)1(ln 2020a x a x a ++=++成立．211)1(2020ax a x a ⋅+=++∴ 又0>a 22)1(202020+++=∴x x x a 设22)1(2)(22+++=x x x x g ，则由0)22()1(4)(222=++-+='x x x x x g 得251±-=x ，列表：又极大值为53)251(+=--=g y ；极小值为53)251(-=+-=g y ； 222)1(2lim 22=+++→∝x x x n ，所以)(x g 的值域为[]53,53+-， 即a的范围是[]53,53+-． …………………………… 14分命题人 黄梅一中 王卫华 方耀光 审稿人 黄冈教科院 丁明忠黄冈中学 张智 程继承y=2。

湖北省黄冈中学2020届高三数学5月第三次模拟考试试题 理

湖北省黄冈中学2020届高三数学5月第三次模拟考试试题 理

湖北省黄冈中学2020届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．根据复数的几何意义，复数z 都可以表示为)20)(sin (cos ||πθθθ<≤+=i z z ，其中||z 为z 的模，θ称为z 的辐角.已知i z 33-=，则z 的辐角为（ ）A ．32π B ．34π C ．5 D ．611π 2．已知:p “100>a ”，q ：“2110log <a ”，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，1510=a ，且72S S =，则=8a （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．下图是某企业产值在2020年~2020年的年增量（即当年产值比前一年产值增加的量）统计图（单位：万元），下列说法正确的是（ ）A. 2020年产值比2020年产值少B. 从2020年到2020年，产值年增量逐年减少C. 产值年增量的增量最大的是2020年D. 2020年的产值年增长率可能比2020年的产值年增长率低5．已知点)4,1(-P ，过点P 恰存在两条直线与抛物线C 有且只有一个公共点，则抛物线C 的标准方程为（ ）A ．y x 412=B ．y x 42=或x y 162-=C ．x y 162-=D ．y x 412=或x y 162-=6．已知)2,2(,ππβα-∈，βαtan ,tan 是方程010122=++x x 的两根，则=+2tan βα（ ）A ．34B ．2-或21C ．21D ．2-7．陶艺选修课上，小明制作了空心模具，将此模具截去一部分后，剩下的几何体三视图如图所示，则剩下的模具体积为（ ）A ．π312-B ．π212-C ．π38-D ．π+88．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ）（参考数据：1161.0)320sin(,3420.020sin 0≈≈）A ．24,180sin210n n S ⨯⨯= B ．18,180sin 210n n S ⨯⨯= C ．54,360sin210n n S ⨯⨯= D ．18,360sin 210nn S ⨯⨯= 9．对33000分解质因数得115323300033⨯⨯⨯=，则33000的正偶数因数的个数是（ ） A ．48 B ．72 C ．64 D ．96 10．已知函数a x ax e ex f +--+=)(，若c b a ==3log 3，则（ ）A.)()()(c f b f a f <<B. )()()(a f c f b f <<C.)()()(b f c f a f <<D. )()()(a f b f c f <<11．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰∆Rt ，2=AB ，2π=∠=∠CBD BAD ，且二面角C BD A --的大小为65π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．π12B ．π20C ．π24D ．π3612．直角梯形ABCD 中，AD AB ⊥，CD AD AB 22==.若P 为ABC ∆边上的一个动点，且AD n AB m AP +=，则下列说法正确的是（ ）A ．满足21=m 的P 点有且只有一个 B ．n m 21-的最大值不存在 C ．n m +的取值范围是]23,0[ D ．满足1=+n m 的点P 有无数个二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知n x x )12(32-展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值是 .14．某旅行团按以下规定选择E D C B A ,,,,五个景区游玩：①若去A ，则去B ；②C B ,不能同时去；③D C ,都去，或者都不去；④E D ,去且只去一个；⑤若去E ，则要去A 和D .那么，这个旅游团最多能去的景区为 .15．已知双曲线)0(1:2222>>=-b a by a x C 的左右焦点分别为21,F F ，以虚轴为直径的圆O 与C 在第一象限交于点M ，若2MF 与圆O 相切，则双曲线C 的离心率为 .16．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1,2,2,4,2；….若第n 次“扩展”后得到的数列为1，1x ，2x ，…，t x ，2，并记)21(log 212⋅⋅⋅⋅=t n x x x a Λ，其中12-=n t ，*N n ∈，则数列}{n a 的前n 项和为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，角C B A ,,对边分别为c b a ,,，且满足22)(,1c b bc a bc -=-= （1）求ABC ∆的面积； （2）若41cos cos =C B ，求ABC ∆的周长. 18．如图，矩形ABCD 中，42==AB AD ，E 为BC 的中点，现将BAE ∆与DCE ∆折起，使得平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直.（1）求证：//BC 平面ADE ； （2）求二面角C BE A --的余弦值.19.随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过kg 1的包裹收费10元；重量超过kg 1的包裹，在收费10元的基础上，每超过kg 1（不足kg 1，按kg 1计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率； （2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？20．如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的左、右焦点分别为21,F F ，⊥2MF x 轴，直线1MF 交y 轴于H 点，42||=OH ，Q 为椭圆E 上的动点，Q F F 21∆的面积最大值为1. （1）求椭圆E 的方程；（2）如图，过点)0,4(S 作两条直线与椭圆E 分别交于D C B A ,,,，且使x AD ⊥轴，问四边形ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.21．已知函数x ae ax x x f -+=221)(，)(x g 为)(x f 的导函数. （1）求函数)(x g 的单调区间；（2）若函数)(x g 在R 上存在最大值，求函数)(x f 在),0[+∞上的最大值； （3）求证：当0≥x 时，)sin 23(3222x e x x x-≤++.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点O 重合，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同.曲线C 的极坐标方程是)4sin(22πθρ-=.直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x （t 为参数，πα<≤0）.设)2,1(P ，直线l 与曲线C 交于B A ,两点. （1）当0=α时，求||AB 的长度； （2）求22||||PB PA +的取值范围. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数aa x x f 21||)(+-=（0≠a ）. （1）若不等式1)()(≤+-m x f x f 恒成立，求实数m 的最大值； （2）当21<a 时，函数|12|)()(-+=x x f x g 有零点，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．10 14．C 和D 15．3 16．43231-+=+n S n n三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．解：（1）∵bc a c b =-+222，∴21cos =A ，即060=A ， ∴43sin 21==∆A bc S ABC ；（2）∵21)cos(cos =+-=C B A ，∴21cos cos sin sin =⋅-⋅C B C B 由题意，41cos cos =⋅C B ，∴43sin sin =⋅C B ， ∵34sin sin )sin (2==C B bc A a ，∴1=a ， ∴3)(12)(22222-+=--+=-+c b bc c b a c b ∵1222=-+a c b ，∴2=+c b ． ∴ABC ∆的周长为321=+=++c b a ．18.解：（1）分别取DE AE ,中点N M ,，分别连接MN CN BM ,,，则AE BM ⊥且DE CN ⊥∵平面BAE 及平面DEC 都与平面ADE 垂直， ∴⊥BM 平面⊥CN ADE ,平面ADE ，由线面垂直性质定理知CN BM //，又CN BM =， ∴四边形BCNM 为平行四边形，MN BC // 又⊄BC 平面ADE ，∴//BC 平面ADE .（2）如图，以E 为原点，EA ED ,为x ，y 正半轴，建立空间直角坐标系xyz E -，则)2,0,2(),2,2,0(C B .平面ABE 的一个法向量)0,0,1(1=n ，设平面CBE 的法向量),,(2z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅02202222z x EC n z y EB n ，取1-=y 得)1,1,1(2--=n ∴3331||||,cos 212121-=-=<n n n n ，注意到此二面角为钝角， 故二面角C BE A --的余弦值为33-. 19. 解：（1）样本中包裹件数在101~300之间的天数为36，频率363605f ==， 故可估计概率为35， 显然未来5天中，包裹件数在101~300之间的天数X 服从二项分布，即3~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求概率为32252314455625C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：故样本中每件快递收取的费用的平均值为830415100+⨯=，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为26015310010003⨯⨯-⨯=（元）； 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为2351521009753⨯⨯-⨯=（元） 因9751000<，故公司不应将前台工作人员裁员1人.20．解：（1）设)0,(c F ，由题意可得12222=+b y a c ，即ab y M 2=∵OH 是12F F M ∆的中位线，且4OH =∴2MF =，即2b a =，整理得242a b =.①又由题知，当Q 在椭圆E 的上顶点时， 12F F M ∆的面积最大， ∴1212c b ⨯⨯=，整理得1bc =，即()2221b a b -=，② 联立①②可得1246=-b b ，变形得0)12)(1(242=++-b b b ，解得12=b ，进而22=a∴椭圆E 的方程为1222=+y x （2）设),(),,(2211y x C y x A ，则由对称性可知),(),,(2211y x B y x D -- 设直线AC 与x 轴交于点)0,((t ，直线AC 的方程为)0(≠+=m t my x ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1222y x t my x ，消去x ，得022)2(222=-+++t mty y m ，∴22,222221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，由A B S 、、三点共线AS BS k k =，即121244y y x x -=--， 将11x my t =+， 22x my t =+代入整理得()()122140y my t t y my t +-++-=， 即()()1212240my y t y y +-+=，从而()()22222402m t mt t m ---=+，化简得()2420m t -=，解得12t =，于是直线AC 的方程为12x my =+， 故直线AC 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭.同理可得BD 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭， ∴直线AC 与BD 的交点是定点，定点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭. 21．解：（1）由题意可知，xae a x x f x g -+==)(')(，则xae x g -=1)('当0)('>x g ，∴)(x g 在),(+∞-∞上单调递增；当0>a 时，解得a x ln -<时，0)('>x g ，a x ln ->，0)('<x g ，∴)(x g 在)ln ,(a --∞上单调递增，在),ln (+∞-a 上单调递减.综上，当0≤a 时，)(x g 的单调递增区间为),(+∞-∞，无递减区间；当0>a 时，)(x g 的单调递增区间为)ln ,(a --∞，单调递减区间为),ln (+∞-a . （2）由（1）可知，0>a 且)(x g 在a x ln -=处取得最大值，1ln ln )ln (1ln--=-+-=-a a aea a a g e，即01ln =--a a ，观察可得当1=a 时，方程成立令)0(1ln )(>--=a a a a h ，aa a a h 111)('-=-= 当)1,0(∈a 时，0)('<a h ，当),1(+∞∈a 时，0)('>a h∴)(a h 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，∴0)1()(=≥h a h ，∴当且仅当1=a 时，01ln =--a a ， 所以x e x x x f -+=221)(，由题意可知0)()('≤=x g x f ，)(x f 在),0[+∞上单调递减， 所以)(x f 在0=x 处取得最大值10021)0(02-=-+⨯=e f . （3）由（2）可知，若1=a ，当0≥x 时，1(-≤fx ，即1212-≤-+x e x x ，可得2222-≤+x e x x ，)sin 23(322)sin 23(32222x e e x e x x x x x --+-≤--++令1]2)3sin 2([12)3sin 2()(2++-=++-=x e e e x e x F x x x x ，即证0)(≤x F令2)3sin 2()(+-=x e x G x ，]3)4sin(22[)3cos 2sin 2()('-+=-+=πx e x e x G x x ∵1)4sin(≤+πx ∴03)4sin(22<-+πx ，又0>x e ，∴ 0]3)4sin(22[<-+πx e x ，∴0)('<x G ，)(x G 在),0(+∞上单调递减，1)0()(-=≤G x G ，∴01)(≤+-≤x e x F ，当且仅当0=x 时等号成立所以)sin 23(3222x e x x x -≤++.22．解：（1）曲线C 的方程是)4sin(22πθρ-=，化为)cos 22sin 22(222θθρρ-= 化为)cos 2sin 22θρθρρ-=，∴x y y x 2222-=+曲线C 的方程为2)1()1(22=-++y x当0=α时，直线2:=y l代入曲线C 可得11±=+x ，解得0=x 或2-∴2||=AB .（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 1t y t x 代入到2)1()1(22=-++y x 得，03)sin 2cos 4(2=+++t t αα由0>∆，得012)sin 2cos 4(2>-+αα 化简得1)(sin 532≤+<ϕα（其中2tan =ϕ）， ∴3),sin 2cos 4(2121=++-=+t t t t αα∴212212221222)(||||t t t t t t PB PA -+=+=+ 6)(sin 206)sin 2cos 4(22-+=-+=ϕααα∴22||||PB PA +]14,6(∈.23．解：（1）∵)21|(|21||)()(a a m x a a x m x f x f +-+-+-=+- ||||a m x a x -+--=|||)()(|m a m x a x =-+--≤，∴1||≤m即m 的最大值为1.（2）ax a x x x f x g 21|12||||12|)()(+-+-=-+= 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥--+<≤+-+-<+++-=21,121321,121,1213)(x a a x x a a a x a x a a x x g ∴)(x g 在]21,(-∞上是减函数，在),21[+∞上是增函数， ∴a a a a g x g -+=--+⨯==2121121213)21()(min 由题意得02121≤-+a a 解得021<≤-a 或1≥a 又21<a ， ∴a 的取值范围是}021|{<≤-a a .。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．43．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．37．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．15．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M ．求的最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|log2x＜0}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣∞，2）D．（﹣1，1）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|log2x＜0}＝{x|0＜x＜1}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜2}＝（01，2）．故选：A．2．（5分）设z＝，是z的共轭复数，则z＝（）A．﹣1B．i C．1D．4【解答】解：∵z＝＝，∴z＝|z|2＝1．故选：C．3．（5分）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值【解答】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A 错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．4．（5分）将函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．y＝cos x D．y＝sin4x【解答】解：函数图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到：y＝sin[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos（2x+），再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数解析式为y＝cos（x+）．故选：A．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是（）A．（30，42）B．（30，42]C．（42，56]D．（42，56）【解答】解：∵该程序的功能是计算2+4+6+…值，由循环变量的初值为1，步长为1，第1次循环：S＝0+2＝2 k＝1+1＝2第2次循环：S＝2+4＝6 k＝2+1＝3第3次循环：S＝6+6＝12 k＝3+1＝4第4次循环：S＝12+8＝20 k＝4+1＝5第5次循环：S＝20+10＝30 k＝5+1＝6第6次循环：S＝30+12＝42 k＝6+1＝7由题意，退出循环．此时S＝42，不满足条件，跳出循环，输出k＝7，则判断框内m的取值范围是m∈（30，42]．故选：B．6．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π+48，则r＝（）A．2B．4C．1D．3【解答】解：由题意，直观图为圆锥与三棱锥的组合体，该几何体的体积为×π×9r2×4r+×3r×3r×4r＝24π+48，∴r＝2．故选：A．7．（5分）已知抛物线C：，定点A（0，2），B（0，﹣2），点P是抛物线C上不同于顶点的动点，则∠PBA的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知抛物线的图形如图：当PB与抛物线相切时，∠PBA最大，设直线PB的方程为y＝kx﹣2，联立可得：x2﹣8kx+16＝0，令△＝64k2﹣64＝0，解得k＝±1．此时，∠PBA＝，所以∠PBA的取值范围为：．故选：A．8．（5分）如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：设大圆的半径为2，则S大圆＝4π，又S阴＝8×（）＝2π﹣4，所以在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是＝＝，故选：D．9．（5分）设{a n}（n∈N*）是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列结论错误的是（）A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值【解答】解：∵{a n}是各项为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n项的积，由K6＝K7可得a7＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＞1，∴q＝∈（0，1），故A正确；由{a n}是各项为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列单调递减，∴K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．故选：C．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）＝f（x﹣1），则f（2 017）+f（2 019）的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法计算【解答】解：∵f（﹣x﹣1）＝g（﹣x）＝﹣g（x）＝﹣f（x﹣1），又f（x）为偶函数，∴f（x+1）＝f[﹣（x+1）]＝f（﹣x﹣1），于是f（x+1）＝﹣f（x﹣1），∴f（x+1）+f（x﹣1）＝0．∴f（2017）+f（2020）＝f（2018﹣1）+f（2018+1）＝0，故选：C．11．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，在对角线A1D上取点M，在CD1上取点N，使得线段MN平行于对角面A1ACC1，则线段MN长的最小值为（）A．B．1C．D．【解答】解：作MM1⊥AD于点M1，作NN1⊥CD于点N1，∵线段MN平行于对角面ACC1A1，∴M1N1∥AC．设DM1＝DN1＝x，则MM1＝x，NN1＝1﹣x，在直角梯形MNN1M1，，∴当时，MN的最小值为．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），若y＝f（x）与y＝f（f （x））的值域相同，则a的最小值是（）（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln5≈1.6094）A．5B．6C．7D．8【解答】解：函数f（x）＝alnx﹣x+2（a为大于1的整数），那么f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，可得x＝a，当x∈（0，a），f′（x）＞0，当x∈（a，+∞），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（a）＝alna﹣a+2．即f（x）的值域为（﹣∞，alna﹣a+2）．∴f[f（x）]的值域为（﹣∞，alna﹣a+2），∴alna﹣a+2≥a，∴alna﹣2a+2≥0，设g（a）＝alna﹣2a+2，∴g′（a）＝lna﹣1，当1＜a＜e时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当a＞e时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∵g（2）＝2ln2﹣4+2＝2（ln2﹣1）＜0，g（3）＝3ln3﹣4≈3×0.6931﹣4＜0 g（5）＝5ln5﹣8＝5×1.6094﹣8＞0∴a的最小值为5，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为8．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图形知，当目标函数z＝2x+3y过点A时，z取得最小值；由，求得A（1，2）；∴z＝2x+3y的最小值是2×1+3×2＝8．故答案为：8．14．（5分）现将6张连号的门票分给甲、乙等六人，每人1张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有240种不同的分法（用数字作答）．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将电影票分成5组，其中1组是2张连在一起，有5种分组方法，②、将连在一起的2张票分给甲乙，考虑其顺序有A22＝2种情况，③、将剩余的4张票全排列，分给其他四人，有A44＝24种分法，则共有5×2×24＝240种不同分法，故答案为：24015．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点M，若，则双曲线的离心率为．【解答】解：如图：|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2＝＝，在△MF1F2中，由正弦定理得＝，即＝，∴t＝2a，∴|MF2|＝2，|MF1|＝（2+2）a，由余弦定理得4c2＝8a2+（12+8）a2﹣2××）a×4c2＝12a2，∴c2＝3a2，∴e＝．故答案为：．16．（5分）已知，是两个非零向量，且，，则的最大值为．【解答】解：因为，所以2+4+42＝16，又||＝2，所以+2＝3，令||＝t，t＞0则＝＝+t≤2＝2，当且仅当即t＝时取等号，故答案为：2．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）已知在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对应边，点D为边BC的中点，△ABC的面积为．（Ⅰ）求sin∠BAD•sin∠BDA的值；（Ⅱ）若BD＝2AB，，求b．【解答】解：（Ⅰ）由△ABC的面积为且D为BC的中点，可知：△ABD的面积为，由三角形的面积公式可知，由正弦定理可得：2sin∠BAD•sin∠BDA＝1，所以．（Ⅱ）由于BD＝2AB，所以在△ABD中，由正弦定理可得，所以sin∠BAD＝2sin∠BDA，由（1）可知，所以sin∠BAD＝1，，∵∠BAD∈（0，π），∴，在直角△ABD中，，，所以BD＝2，AB＝1．∵BC＝2BD，BC＝4，在△ABC中用余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，解得：．18．（12分）设矩形ABCD中，AD＝4，，点F、E分别是BC、CD的中点，如图1．现沿AE将△AED折起，使点D至点M的位置，且ME⊥MF，如图2．（Ⅰ）证明：AF⊥平面MEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知：AM⊥ME，又ME⊥MF，AM∩MF＝M，AM、MF⊂面AMF，∴ME⊥面AMFAF⊂面AMF，∴AF⊥ME，在矩形ABCD中，AD＝4，，E、F为中点，∴AE2＝42+2＝18，EF2＝22+2＝6，AF2＝8+22＝12，∴AE2＝EF2+AF2，∴AF⊥EF，又∵ME，EF⊂面MEF，∴AF⊥面MEF．解：（2）AF⊂面ABCE，由（1）知面MFE⊥面AFE，且∠AFE＝90°∴以F为原点，FE为x轴，FA为y轴，建立如图的空间直角坐标系，在Rt△MFE中，过M作MN⊥EF于N，，，MF＝2，∴．FN＝MF cos∠MFE＝，∴、、F（0，0，0）、，面AFE的一个法向量为设面AME的一个法向量为，、，则，令x＝1，则，，∴，∴，∴二面角M﹣AE﹣F的余弦值为．19．（12分）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，A为相圆C上一点，AF1与y轴交于B，|AB|＝|F2B|，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线y＝k（x﹣2）（k≠0）交椭圆于P、Q两点若PQ的中点为N，O为原点，直线ON交直线x＝3于点M．求的最大值．【解答】解：（Ⅰ）连接AF2，由题意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，则BO为△F1AF2的中位线，∵BO⊥F1F2，∴AF2⊥F1F2，且，又，a2＝b2+c2，得a2＝6，b2＝2，故所求椭圆方程为；（Ⅱ）联立，可得（3k2+1）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，∴，∴PQ的中点N坐标为，．因此直线ON的方程为，从而点M为，则，设，令u＝3k2+1，则＝＝，因此当u＝4，即k＝±1时l有最大值为3，即取得最大值．20．（12分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表手机店A B C D E6613811W型号手机销量1291364T型号手机销量（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部）满足关系η＝3ξ+4．若表中W 型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差S2的值．（用m表示，结论不要求证明）【解答】解：（I）设事件M1为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，设事件M2为从A店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W型号手机，则事件M1，M2相互独立，且P（M1）＝＝，P（M2）＝＝，∴抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为P ＝++＝．（II）由表格可知W型号手机销售量超过T型号手机的店有2个，故X的肯取值有0，1，2．且P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝．∴X的分布列为：X012P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．（III）∵D（ξ）＝s02＝m，η＝3ξ+4，∴S2＝D（η）＝9D（ξ）＝9m．21．（12分）已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣lnx（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）比较与的大小（n∈N+且n＞2），并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）可化f（x）＝，当0＜x＜a时，，从而f（x）在（0，a）上总是递减的，当x≥a时，，此时要考虑a与1的大小．若a≥1，则f'（x）≥0，故f（x）在[a，+∞）上递增，若0＜a＜1，则当a≤x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在[a，1）上递减，在（1，+∞）上递增，而f（x）在x＝a处连续，所以当a≥1时，f（x）在（0，a）上递减，在[a，+∞）上递增；当0＜a＜1时，f（x）在（0，1）上递减，在[1，+∞）上递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a＝1，x＞1时，x﹣1﹣lnx＞0，即lnx＞1﹣x，所以．所以，＝，，＝，＝，＝．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4，直线l1的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝3．（Ⅰ）写出曲线C和直线l1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l2过点P（﹣1，0）与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l1与l2的交点为N，求|PM|•|PN|．【解答】解：（Ⅰ）曲线C：ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ+4的直角坐标方程为：x2+y2＝2x﹣4y+4，即（x﹣1）2+（y+2）2＝9，l1：ρ（cosθ﹣sinθ）＝3的直角坐标方程为：x﹣y﹣3＝0；（Ⅱ）直线l2的参数方程（t为参数），将其代入曲线C的普通方程并整理得t2﹣4（cosα﹣sinα）t﹣1＝0，设A，B两点的参数分别为t1，t2，则t1+t2＝4（cosα﹣sinα）．∵M为AB的中点，故点M的参数为，设N点的参数为t3，把代入x﹣y﹣3＝0，整理得．∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|ax﹣2|．（1）当a＝4时，求不等式f（x）+|4x+2|≥8的解集；（2）若x∈[2，4]时，不等式f（x）+|x﹣3|≤x+3成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝4时，原不等式即|4x﹣2|+|4x+2|≥8，即|2x﹣1|+|2x+1|≥4，当x时，原不等式等价于（2x﹣1）+（2x+1）≥4，解得x≥1，当﹣＜x＜时，原不等式等价于（1﹣2x）+（2x+1）≥4，不等式无解；当x≤﹣时，原不等式等价于（1﹣2x）﹣（2x+1）≥4，解得x≤﹣1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）（2）由f（x）+|x﹣3|≤x+3得|ax﹣2|+|x﹣3|≤x+3（*），当x∈[2，3]时，（*）等价于|ax﹣2|+3﹣x≤x+3，即|ax﹣2|≤2x，即|a﹣|≤2，所以﹣2+≤a≤2+，因为≤，所以2+的最小值为，﹣2+最大值为﹣1．所以﹣1≤a≤，当x∈（3，4]时，原不等式等价于|ax﹣2|+（x﹣3）≤x+3，所以|ax﹣2|≤6，所以﹣6≤ax﹣2≤6，即﹣4≤ax≤8．所以﹣≤a≤，因为≤，所以的最小值为2，﹣的最大值为﹣1，所以﹣1≤a≤2，综上，a的取值范围是[﹣1，2]．。

2024届湖北省黄冈市西湖中学中考数学押题试卷含解析

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2024届湖北省黄冈市西湖中学中考数学押题试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x＝12，且经过点(2，0)，下列说法：①abc＜0；②a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－2，y1)，(52，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.其中说法正确的有( )A．②③④B．①②③C．①④D．①②④2．益阳市高新区某厂今年新招聘一批员工，他们中不同文化程度的人数见下表：文化程度高中大专本科硕士博士人数9 17 20 9 5关于这组文化程度的人数数据，以下说法正确的是：（）A．众数是20 B．中位数是17 C．平均数是12 D．方差是263．下列图形中，周长不是32 m的图形是( )A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A ．AB=ADB ．AC 平分∠BCD C ．AB=BDD ．△BEC ≌△DEC5．下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中，是中心对称图形的卡片是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若分式11a -有意义，则a 的取值范围是（ ） A ．a≠1B ．a≠0C ．a≠1且a≠0D ．一切实数7．如图，在ABC ∆中，90,4,3C AC BC ︒∠===,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转,使点C 落在线段AB 上的点E 处,点B 落在点D 处，则,B D 两点间的距离为（ ）A ．10B ．22C ．3D ．58．如图，圆O 是等边三角形内切圆，则∠BOC 的度数是（ ）A ．60°B ．100°C ．110°D ．120°9．如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，点P 是AD 上一点，连接PB 、PC ，若AD=2AB ，则cos ∠BPC 的值为（ ）A 5B 25C 3D 3510．下列实数中，为无理数的是（ ） A ．13B 2C ．﹣5D ．0.3156二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，一根直立于水平地面的木杆AB在灯光下形成影子AC（AC＞AB），当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5m，在旋转过程中，影长的最大值为5m，最小值3m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为_____ m．12．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，7），（3m﹣1，7），若线段AB与直线y＝﹣2x﹣1相交，则m 的取值范围为__．13．如图，已知正八边形ABCDEFGH内部△ABE的面积为6cm1，则正八边形ABCDEFGH面积为_____cm1．14．因式分解：9a3b﹣ab＝_____．15．若一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是_____．（写出一个即可）．16．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是（0，a），（﹣3，2），（b，m），（c，m），则点E的坐标是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想 转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解．问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ；拓展：用“转化”思想求方程23x x +=的解；应用：如图，已知矩形草坪ABCD 的长AD=8m ，宽AB=3m ，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点B ，沿草坪边沿BA ，AD 走到点P 处，把长绳PB 段拉直并固定在点P ，然后沿草坪边沿PD 、DC 走到点C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C ．求AP 的长．18．（8分）先化简，再求值：（m+2﹣52m -）•243m m --，其中m=﹣12． 19．（8分）已知抛物线y=ax 2+bx+2过点A （5，0）和点B （﹣3，﹣4），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线y=ax 2+bx+2的函数表达式； （2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 是点B 关于y 轴的对称点，连接AE 、BE ，点P 是折线EB ﹣BC 上的一个动点， ①当点P 在线段BC 上时，连接EP ，若EP ⊥BC ，请直接写出线段BP 与线段AE 的关系；②过点P 作x 轴的垂线与过点C 作的y 轴的垂线交于点M ，当点M 不与点C 重合时，点M 关于直线PC 的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P 的坐标．20．（8分）如图,在中，,点是上一点．尺规作图：作，使与、都相切．（不写作法与证明，保留作图痕迹）若与相切于点D ，与的另一个交点为点，连接、，求证：．21．（8分）如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC 的中点，作DE ⊥AC ，交AB 的延长线于点F ，连接DA ．求证：EF 为半圆O 的切线；若DA ＝DF ＝3，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）22．（10分）观察下列等式：22﹣2×1＝12+1①32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③…第④个等式为；根据上面等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示，n是正整数），并说明你猜想的等式正确性．23．（12分）（2016山东省烟台市）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润=销售收入﹣投入总成本）24．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；求恒温系统设定的恒定温度；若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1、D 【解题分析】根据图象得出a <0, a +b =0,c >0,即可判断①②;把x =2代入抛物线的解析式即可判断③,根据(－2，y 1)，(52，y 2)到对称轴的距离即可判断④. 【题目详解】∵二次函数的图象的开口向下, ∴a <0,∵二次函数的图象y 轴的交点在y 轴的正半轴上, ∴c >0,∵二次函数图象的对称轴是直线x =12, ∴a =-b , ∴b >0,∴abc <0,故①正确; ∵a =-b , ∴a +b =0,故②正确; 把x =2代入抛物线的解析式得， 4a +2b +c =0,故③错误; ∵()151-2222->- , 12,y y <∴故④正确; 故选D.. 【题目点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用,题目比较典型,主要考查学生的理解能力和辨析能力. 2、C 【解题分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的概念求解．【题目详解】A、这组数据中9出现的次数最多，众数为9，故本选项错误；B、因为共有5组，所以第3组的人数为中位数，即9是中位数，故本选项错误；C、平均数=91720955++++=12，故本选项正确；D、方差=15[（9-12）2+（17-12）2+（20-12）2+（9-12）2+（5-12）2]=1565，故本选项错误.故选C．【题目点拨】本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．3、B【解题分析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【题目详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【题目点拨】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.4、C【解题分析】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，BE=DE．∴∠BCE=∠DCE．在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．∴选项ABD都一定成立．故选C．5、C【解题分析】试题分析：由中心对称图形的概念可知，这四个图形中只有第三个是中心对称图形，故答案选C．考点：中心对称图形的概念．6、A【解题分析】分析：根据分母不为零，可得答案详解：由题意，得10a-≠，解得 1.a≠故选A.点睛：本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．7、A【解题分析】先利用勾股定理计算出AB，再在Rt△BDE中，求出BD即可；【题目详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△DBE中，=故选A.【题目点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8、D【解题分析】由三角形内切定义可知OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，所以可得到关系式∠OBC+∠OCB=1 2（∠ABC+∠ACB），把对应数值代入即可求得∠BOC的值．【题目详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵圆O 是等边三角形内切圆，∴OB 、OC 是∠ABC 、∠ACB 的角平分线， ∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°﹣60°）=60°， ∴∠BOC=180°﹣60=120°， 故选D ． 【题目点拨】此题主要考查了三角形的内切圆与内心以及切线的性质．关键是要知道关系式∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）．9、A 【解题分析】连接BD ，根据圆周角定理可得cos ∠BDC=cos ∠BPC ，又BD 为直径，则∠BCD=90°，设DC 为x ，则BC 为2x ，根据勾股定理可得，再根据cos ∠BDC=DCBD，即可得出结论.【题目详解】 连接BD ，∵四边形ABCD 为矩形， ∴BD 过圆心O ，∵∠BDC=∠BPC （圆周角定理） ∴cos ∠BDC=cos ∠BPC ∵BD 为直径， ∴∠BCD=90°， ∵DC BC =12, ∴设DC 为x ， 则BC 为2x ，∴，∴cos ∠BDC=DCBD，∵cos ∠BDC=cos ∠BPC ，∴cos ∠. 故答案选A.【题目点拨】本题考查了圆周角定理与勾股定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理与勾股定理的应用.10、B【解题分析】根据无理数的定义解答即可.【题目详解】选项A、13是分数，是有理数；选项B、2是无理数；选项C、﹣5为有理数；选项D、0.3156是有理数；故选B．【题目点拨】本题考查了无理数的判定，熟知无理数是无限不循环小数是解决问题的关键.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、7.5【解题分析】试题解析：当旋转到达地面时，为最短影长，等于AB，∵最小值3m，∴AB=3m，∵影长最大时，木杆与光线垂直，即AC=5m，∴BC=4，又可得△CAB∽△CFE，∴BC AB EC EF=，∵AE=5m，∴4310EF=，解得：EF=7.5m.故答案为7.5.点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例.12、﹣4≤m≤﹣1【解题分析】先求出直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），再分类讨论：当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，然后分别解关于m的不等式组即可．【题目详解】解：当y＝7时，﹣2x﹣1＝7，解得x＝﹣4，所以直线y＝7与直线y＝﹣2x﹣1的交点为（﹣4，7），当点B在点A的右侧，则m≤﹣4≤3m﹣1，无解；当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤﹣4≤m，解得﹣4≤m≤﹣1，所以m的取值范围为﹣4≤m≤﹣1，故答案为﹣4≤m≤﹣1．【题目点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据直线y＝﹣2x﹣1与线段AB有公共点找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．13、14【解题分析】取AE中点I，连接IB，则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IDE全等的三角形构成．【题目详解】解：取AE中点I，连接IB．则正八边形ABCDEFGH是由8个与△IAB全等的三角形构成．∵I是AE的中点，∴===3,则圆内接正八边形ABCDEFGH的面积为：8×3=14cm1．故答案为14．【题目点拨】本题考查正多边形的性质，解答此题的关键是作出辅助线构造出三角形．14、ab（3a+1）（3a-1）．【解题分析】试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．试题解析：原式=ab（9a2-1）=ab（3a+1）（3a-1）．考点: 提公因式法与公式法的综合运用．15、1【解题分析】由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，﹣1＜0，在范围内确定k的值即可．【题目详解】解：因为一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，﹣1＜0，所以k可以取1．故答案为1．【题目点拨】根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围．16、（3，2）．【解题分析】根据题意得出y轴位置，进而利用正多边形的性质得出E点坐标．【题目详解】解：如图所示：∵A（0，a），∴点A在y轴上，∵C，D的坐标分别是（b，m），（c，m），∴B，E点关于y轴对称，∵B 的坐标是：（﹣3，2），∴点E 的坐标是：（3，2）．故答案为：（3，2）．【题目点拨】此题主要考查了正多边形和圆，正确得出y 轴的位置是解题关键．三、解答题（共8题，共72分）17、 (1)-2，1；（2）x=3；（3）4m.【解题分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；（3）设AP 的长为xm ，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，【题目详解】解：（1）3220x x x +-=，()220x x x +-=， ()()210x x x +-=所以0x =或20x +=或10x -=10x ∴=，22x =-，31x =；故答案为2-，1；（223x x +=，方程的两边平方，得223x x +=即2230x x --=()()310x x -+=30x ∴-=或10x +=13x ∴=，21x =-，当1x =-11==≠-，所以1-不是原方程的解．x =的解是3x =；（3）因为四边形ABCD 是矩形，所以90A D ∠=∠=︒，3AB CD m ==设AP xm =，则()8PD x m =-因为10BP CP +=，BP =CP =∴ 10=∴ 10=两边平方，得()22891009x x -+=-+整理，得49x =+两边平方并整理，得28160x x -+=即()240x -=所以4x =．经检验，4x =是方程的解．答：AP 的长为4m ．【题目点拨】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．18、-2（m+3），-1．【解题分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算．【题目详解】解：（m+2-5m-2）•243m m--，=() 22245•23mmm m-----，=-()22 (3)(3)•23mm mm m-+---，=-2（m+3）．把m=-12代入，得，原式=-2×（-12+3）=-1．19、（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【解题分析】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；（3）①AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2即可求解；②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM′=PM即可求解．【题目详解】（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，解得：a=﹣，b=，故函数的表达式为y=﹣x2+x+2；（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b，解得：k=2，b=2，故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），则AE直线的斜率k AE=2，而直线BC斜率的k AE=2，∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②设点P的横坐标为m，当P点在线段BC上时，P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，直线MM′⊥BC，∴k MM′=﹣，直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），由题意得：PM′=PM=2m，PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，解得：m=﹣4±2，故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；当P点在线段BE上时，点P坐标为（m，﹣4），点M坐标为（m，2），则PM=6，直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m），则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，解得：m=0，或﹣；或PM′2=42+42=（6）2，无解；故点P的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；综上所述：点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．【题目点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．20、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】（1）利用角平分线的性质作出∠BAC的角平分线，利用角平分线上的点到角的两边距离相等得出O点位置，进而得出答案．（2）根据切线的性质，圆周角的性质，由相似判定可证△CDB∽△DEB，再根据相似三角形的性质即可求解．【题目详解】解：（1）如图，及为所求．（2）连接．∵是的切线，∴，∴，即，∵是直径，∴，∴，∵，∴，∴，又∴∽∴∴．【题目点拨】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作是解决此类题目的关键．21、（1）证明见解析（2）32﹣6π【解题分析】（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．【题目详解】（1）证明：连接OD，∵D为弧BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠ADO，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，∴OD⊥EF，∴EF为半圆O的切线；（2）解：连接OC与CD，∵DA＝DF，∴∠BAD＝∠F，∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∵OD⊥EF，∠F＝30°，∴∠DOF＝60°，在Rt△ODF中，DF＝，∴OD＝DF•tan30°＝6，在Rt△AED中，DA＝，∠CAD＝30°，∴DE＝DA•sin30°＝EA＝DA•cos30°＝9，∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，由CO＝DO，∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠DCO ＝∠AOC ＝60°，∴CD ∥AB ，故S △ACD ＝S △COD ，∴S 阴影＝S △AED ﹣S 扇形COD ＝216093362360π⨯⨯-⨯＝27362π-．【题目点拨】此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S △ACD ＝S △COD 是解题关键．22、（1）52﹣2×4＝42+1；（2）（n +1）2﹣2n ＝n 2+1，证明详见解析．【解题分析】（1）根据①②③的规律即可得出第④个等式；（2）第n 个等式为（n +1）2﹣2n ＝n 2+1，把等式左边的完全平方公式展开后再合并同类项即可得出右边．【题目详解】（1）∵22﹣2×1＝12+1① 32﹣2×2＝22+1②42﹣2×3＝32+1③∴第④个等式为52﹣2×4＝42+1，故答案为：52﹣2×4＝42+1， （2）第n 个等式为（n +1）2﹣2n ＝n 2+1．（n +1）2﹣2n ＝n 2+2n +1﹣2n ＝n 2+1．【题目点拨】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．23、（1）甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；（2）安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只，可获得最大利润91万元．【解题分析】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12（20﹣x ）=300，解方程即可；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据公司六月份投入总成本（原料总成本+生产提成总额）不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y 的范围，再根据利润=售价﹣成本列出W 与y 的一次函数，根据y 的范围确定出W 的最大值即可．【题目详解】（1）设甲型号的产品有x 万只，则乙型号的产品有（20﹣x ）万只，根据题意得：18x+12（20﹣x ）=300，解得：x=10，则20﹣x=20﹣10=10，则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；（2）设安排甲型号产品生产y 万只，则乙型号产品生产（20﹣y ）万只，根据题意得：13y+8.8（20﹣y ）≤239，解得：y≤15，根据题意得：利润W=（18﹣12﹣1）y+（12﹣8﹣0.8）（20﹣y ）=1.8y+64，当y=15时，W 最大，最大值为91万元．所以安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5万只时，可获得最大利润为91万元.考点：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用.24、（1）y 关于x 的函数解析式为210(05)20(510)200(1024)x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩；（2）恒温系统设定恒温为20°C ；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．【解题分析】分析：（1）应用待定系数法分段求函数解析式；（2）观察图象可得；（3）代入临界值y=10即可．详解：（1）设线段AB 解析式为y=k 1x+b （k≠0）∵线段AB 过点（0，10），（2，14）代入得110214b k b ⎧⎨+⎩＝＝解得1210k b ⎧⎨⎩＝＝ ∴AB 解析式为：y=2x+10（0≤x ＜5）∵B 在线段AB 上当x=5时，y=20∴B 坐标为（5，20）∴线段BC 的解析式为：y=20（5≤x ＜10）设双曲线CD 解析式为：y=2k x （k 2≠0） ∵C （10，20）∴k 2=200∴双曲线CD 解析式为：y=200x（10≤x≤24） ∴y 关于x 的函数解析式为：()210(05)20(510)2001024x x y x x x⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C （3）把y=10代入y=200x 中，解得，x=20 ∴20-10=10答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．点睛：本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．。

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学模拟试卷（理科）（四）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B ＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．（5分）设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．（5分）命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx04．（5分）已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．7．（5分）木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+188．（5分）函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，] 9．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4] 10．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m。

【附加15套高考模拟试卷】黄冈中学2020届高三五月模拟考试数学试卷(理)含答案

【附加15套高考模拟试卷】黄冈中学2020届高三五月模拟考试数学试卷(理)含答案

黄冈中学2020届高三五月模拟考试数学试卷（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是一个长方体1111ABCD A B C D -截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．202．如图，过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．23y x ＝ 3．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，点E 在CD 上，且点E 是三等分点，靠近点D ，BE 与AC 的交点为F ，则BF AB ⋅u u u r u u u r=（ ）A ．445-B ．445 C ．4- D ．44．若4cos 5α=-,α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．-25．已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6．执行如图所示的程序框图，输出n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．已知12,F F 是焦距为8的双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左右焦点，点2F 关于双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A ，若14F =，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．38．已知函数31()1(,f x x a x e e e=-++≤≤是自然对数的底数）与()3ln g x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3[0,4]e - B ．3[1,4]e - C ．3[1,3]e - D ．3[,3]e e - 9．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x π=对称 B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数3sin 2cos 2y x x =- 的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D ．若方程()f x m =在[,0]2π-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,3⎤--⎦ 10．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若42,,tan 43a C B π===，则ABC V 的面积等于（ ）A ．87B ．37C ．47D ．2711．已知1a >，过(,0)P a 作22:1O x y +=e 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点，则经过,,P A B 三点的圆的半径为A ．212a -B ．12a +C ．aD ．2a12．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12 D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学理科压轴考试 试题

高三数学理科压轴考试 试题

黄州区西湖中学2021年5月高三压轴考试理科数学试卷本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷〔非选择题〕两局部．第一卷50分，第二卷100分，卷面一共计150分，时间是120分钟.第一卷〔选择题 一共50分〕一．选择题：此题一共有10个小题，每一小题5分，一共50分;在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项正确的 1．集合{}12A x Nx *=∈-<的真子集的个数为 〔 〕A ．3B ．4C ．7D ．82．复数〔ii -12〕2〔其中i 为虚数单位〕的虚部等于 〔 〕 A ．－i B ．1 C ．－1 D ．03．设函数()()()()2 01 153 1x x f x a x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤<==->在区间[)+∞,0上连续，那么实数a 的值是 ( ) A ．2B ．1C ．0D ．34. n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，那么展开式中的常数项等于 ( ) A . 135B . 270C . 540D . 12155．下面四个命题：①“直线a ∥直线b 〞的充要条件是“a 平行于b 所在的平面〞；②“直线l ⊥平面α内所有直线〞的充要条件是“l ⊥平面α〞； ③“直线a 、b 为异面直线〞的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交〞；④“平面α∥平面β〞的必要不充分条件是“α内存在不一共线三点到β的间隔 相等〞；其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6．)1(3cos 3)1(3sin )(+-+=x x x f ππ，那么(1)(2)(2008)+++=f f f 〔 〕A ．23B ．3C ．1D ．07．O ，A ，B ，C 是不一共线的四点，假设存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λOA ＋2λOB ＋3λOC = 0，那么三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA 〔 〕 A ．都是锐角 B ．至多有两个钝角 C ．恰有两个钝角 D ．至少有两个钝角。

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷(理科)

2020年湖北省黄冈中学高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=R，A={x|y=ln(1−x2)}，B={y|y=3x−1}，则A∩(∁U B)=()A. (−1,0)B. [0,1)C. (0,1)D. (−1,0]2.若复数z满足z(1+i)=|1+√3i|，则复数z的共轭复数的模为()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为()A. 10B. 20C. 40D. 804.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗⋅b⃗ =−1，则a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=()A. 0B. 2C. 3D. 45.已知a=(tan2π5)0.1,b=log32,c=log2(cos3π7)，则()A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. a>c>b6.2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．现有四名志愿者医生被分配到A、B、C三所不同的乡镇医院中，若每所医院至少分配一名医生，则医生甲恰好分配到A医院的概率为()A. 112B. 16C. 14D. 137.把函数f(x)=sin(2x−π6)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递减区间为()A. [π,2π]B. [π3,4π3] C. [π12,π3] D. [π4,5π4]8.已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. √32B. √155C. √105D. √339.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过左焦点F作斜率为12的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若|OA|=|OF|，则双曲线C的离心率为()A. 53B. √5+12C. 2D. √510.方程：2(x−1)(x−3)=y(e x−2+e2−x)的曲线有下列说法：①该曲线关于x=2对称；②该曲线关于点(2,−1)对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是()A. ②③B. ①④C. ②④D. ①③11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且BC边上的高为√36a，则cb+bc的最大值是()A. 8B. 4C. 3√2D. 612.在三棱锥A−BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥A−BCD的表面积最大时，其内切球的半径是()A. 2√2−√6B. 2−√3C. √2D. √66二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =______． 14. 若α∈(0,π2)，sin(α−π4)=35，则cos2α=______．15. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，点M ，N 为抛物线准线上相异的两点，且M ，N 两点的纵坐标之积为−8，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，F ，B 三点共线，则p =______． 16. 已知不等式x −3lnx +1≥mlnx +n(m,n ∈R ，且m ≠−3)对任意正实数x 恒成立，则n−3m+3的最大值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列．已知a 1=1，b 1=2，b 2=2a 2，b 3=2a 3+2．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ={1,n =2ka n ,n ≠2k (k ∈N)，设数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 2n ．18. 如图，已知四棱锥P −ABCD ，底面ABCD 为菱形，AB =2√3，∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点． (1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成的角最大值为60°，求二面角E −AF −C 的余弦值． 19. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，T 为椭圆上一点，O 为坐标原点，椭圆的离心率为√22，且△TFO 面积的最大值为12．(1)求椭圆的方程；(2)设点A(0,1)，直线l ：y =kx +t(t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM|⋅|ON|=2，求证：直线l 经过定点．20. 某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通(年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出(单位：百元)，并制成如图频率分布直方图：由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布N(μ,3.22)，其中μ近似为样本平均数x −(同一组数据用该组区间的中点值作代表)． (1)若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；(2)现依次抽取n 个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件A 表示“连续3人的旅游消费支出超出μ”.若P n 表示A −的概率，P n =aP n−1+14P n−2+bP n−3(n ≥3,a ，b 为常数)，且P 0=P 1=P 2=1． (i)求P 3，P 4及a ，b ；(ii)判断并证明数列{P n }从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．(参考数据：P(μ−σ<X <μ+σ)≈0.6826，P(μ−2σ<X <μ+2σ)≈0.9544，P(μ−3σ<X <μ+3σ)≈0.9973)21. 已知函数f(x)=√x −a −sinx(a ∈R)．(1)当a =0时，证明：f(x)≥0；(2)若a <−14，证明：f(x)在(0,π2)有唯一的极值点x 0，且f(x 0)>1π−2x 0−x 0．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).M 为曲线C 1上的动点，点P 在射线OM 上，且满足|OM|⋅|OP|=20． (Ⅰ)求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设C 2与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为5π6的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，求|DA|⋅|DB|的值．23.已知a，b，c为正数，且满足a+b+c=3，证明：(1)1ab +1bc+1ca≥3；(2)a2b2+b2c2+c2a2≥3abc．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题得：A={x|1−x2>0}={x|−1<x<1}，B={y|y>0}=(0,+∞)，∴∁U B={x|x≤0}=(−∞,0]；∴A∩(∁U B)=(−1,0]．故选：D．根据已知求出B的补集，再结合交集的定义求解结论即可．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合|z−|=|z|求解．【解答】解：由z(1+i)=|1+√3i|，得z=|1+√3i|1+i =21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴|z−|=|z|=√2．故选B．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，是基础题．由二项式定理得(x2+2x )5的展开式的通项为：T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2r C5r x10−3r，由10−3r=4，解得r=2，由此能求出(x2+2x)5的展开式中x4的系数．【解答】解：由二项式定理得(x2+2x)5的展开式的通项为：T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=2r C5r x10−3r，由10−3r=4，解得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为22C52=40．故选：C．4.【答案】C【解析】解：a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=2a⃗2−a⃗⋅b⃗ =2×1−(−1)=3．故选：C．根据平面向量数量积的运算法则即可得解．本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：a=(tan2π5)0.1>(tan2π5)0=1，b∈(0,1)，c<0．∴a>b>c．故选：A．利用指数函数、对数函数三角函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数、对数函数三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：基本事件总数n=C42A33=36，医生甲恰好分配到到A医院包含的基本事件个数m=A33+C32A22=12，所以医生甲恰好分配到A医院的概率为p=mn =1236=13，故选：D．基本事件总数n，然后得到甲被选中包含的基本事件有m，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π6)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得y=sin(x−π6)的图象；再向左平移π3个单位，得到函数g(x)=sin(x+π3−π6)=sin(x+π6)的图象．令2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，求得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，可得函数g(x)的减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z，故选：B．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性，求出g(x)的一个单调递减区间．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题．设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．【解答】解：如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，BB 1和B 1C 1的中点， 则MN//AB 1，NP//BC 1，则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP 夹角或其补角(因异面直线所成角为(0,π2])， 可知MN =12AB 1=√52，NP =12BC 1=√22；作BC 中点Q ，则△PQM 为直角三角形，PQ =1，MQ =12AC ， △ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cos∠ABC =4+1−2×2×1×(−12)=7，∴AC =√7，∴MQ =√72，MP =√MQ 2+PQ 2=√112； 在△PMN 中，由余弦定理得cos∠MNP =MN 2+NP 2−PM 22⋅MN⋅NP=(√52)2+(√22)2−(√112)22×√52×√22=−√105； 又异面直线所成角的范围是(0,π2]， ∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为√105．故选C ．9.【答案】A【解析】解：由题意可得直线l 的方程为：y =12(x +c)，与渐近线y =ba x 联立，可得x =12⋅acb−a 2，y =bc2b−a ，因为|OA|=|OF|，即(ac 2b−a )2+(bc2b−a )2=c 2，整理可得3b =4a ，9b 2=9(c 2−a 2)=16a 2，即9c 2=25a 2， 因为e =ca >1， 解得e =53．故选：A ．求出直线l 的方程，以及渐近线方程联立，求出A 的坐标，通过|OA|=|OF|，转化求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基本知识的考查．10.【答案】D【解析】解：将方程2(x−1)(x−3)=y(e x−2+e2−x)整理可得y=2(x−1)(x−3)e x−2+e2−x，令y=f(x)将x换成4−x时，即f(4−x)=2[(4−x)−1][(4−x)−3]e(4−x)−2+e2−(4−x)=2(x−3)(x−1)e2−x+e x−2，所以f(x)=f(4−x)，所以曲线关于x=2对称，所以①正确，②不正确；当x<0时，f(x)>0，所以该曲线不经过第三象限，故③正确，曲线过的整数点(1,0)，(3,0)(2,−1)三个整数点，故④不正确，故选：D．将方程整理可得y=2(x−1)(x−3)e x−2+e2−x，令y=f(x)，可得f(4−x)=f(x)所以可得曲线关于x=2对称，不关于(2,−1)点对称，且x<0时f(x)>0，故不过第三象限，只有3个整数点，可得答案．本题考查曲线与方程的关系，及函数的对称性，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：cb +bc=c2+b2bc，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA=b2+c2−a22bc①而条件中的“高”容易联想到面积，a⋅√36a=bcsinA，即a2=2√3bcsinA②，将②代入①得：b2+c2=2bc(cosA+√3sinA)，∴cb +bc=2(cosA+√3sinA)=4sin(A+π6)，当A=π3时取得最大值4，故选：B．利用三角形的面积公式、余弦定理，化简cb +bc，再利用辅助角公式，即可求得结论．本题考查余弦定理及其应用，考查辅助角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：在三棱锥A−BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，三棱锥A−BCD的表面积为S，S=2√3+S△ABD+S△ACD=2√3+4sin∠ABD故当AB⊥BD时，表面积最大，为4+2√3，过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，三棱锥A−BCD的体积为V，V=V B−AED+V C−AED=13⋅√2⋅2=2√23设内切球的半径为r，因为13Sr=V，所以r=2√2−√6．故选：A．画出图形，求出表面积，判断表面积取得最大值时的情况，然后求解体积，设出内切球的半径，转化求解即可．本题考查棱锥表面积的计算，解决本题的关键在于表面积最大时的情况以及求解内切球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题．13.【答案】2.91【解析】解：一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则X～(100,0.03)，∴DX=100×0.03×0.97=2.91．故答案为：2.91．X～(100,0.03)，由此能求出DX．本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．14.【答案】−2425【解析】解：若α∈(0,π2)，∴α−π4∈(−π4,π4)，∵sin(α−π4)=35∈(0,√22)，∴α−π4∈(0,π4)，∴cos(α−π4)=√1−sin2(α−π4)=45，∴cos2α=−sin(2α−π2)=−2sin(α−π4)cos(α−π4)=−2425．故答案为：−2425．由已知可求范围α−π4∈(0,π4)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(α−π4)=√1−sin2(α−π4)=45，进而根据诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15.【答案】2√2【解析】解：由抛物线焦点弦的性质可知，y A=y N，y B=y M，∴y A⋅y B=y M⋅y N=−8∴−p2=−8，∴p=2√2．故答案为：2√2．利用抛物线的焦点弦的性质，列出方程，求解p即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．16.【答案】−ln2【解析】解：令f(x)=x−3lnx+1−mlnx−n，则f′(x)=1−m+3x(x>0)，若m+3<0，则f′(x)>0，f(x)单调递增，由当x→0时，f(x)→−∞，不合题意；∴m+3>0，由f′(x)=0，得x=m+3，当x∈(0,m+3)时，f′(x)<0，当x∈(m+3,+∞)时，f′(x)>0，∴当x=m+3时，f(x)有最小值，则f(m+3)=m+3−3ln(m+3)+1−mln(m+3)−n≥0，即n−3≤m+4−(m+3)ln(m+3)，∴n−3m+3≤m+1m+3−ln(m+3)，令g(x)=x+1x+3−ln(x+3)，则g′(x)=2(x+3)2−1x+3=−x−1(x+3)2．当x∈(−3,−1)时，g′(x)>0，当x∈(−1,+∞)时，g′(x)<0，所以当x=−1时，g(x)有最大值为−ln2.即n−3m+3的最大值为−ln2．故答案为：−ln2．构造函数f(x)=x −3lnx +1−mlnx −n ，利用导数f′(x)判断f(x)的单调性，求f(x)的最值，可得n−3m+3≤m+1m+3−ln(m +3)，令g(x)=x+1x+3−ln(x +3)，利用导数求其最大值得答案．本题考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题． 17.【答案】解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列， 由a 1=1，b 1=2，b 2=2a 2，b 3=2a 3+2， 可得2q =2(1+d)，2q 2=2(1+2d)+2， 解得d =1，q =2，则a n =1+n −1=n ，b n =2n ，n ∈N ∗； (2)由于数列{c n }满足c n ={1,n =2ka n ,n ≠2k(k ∈N)，所以S 2n =c 1+c 2+⋯+c 2n =(a 1+a 2+a 3+⋯+a 2n )−(a 21+a 22+⋯+a 2n )+n ， =(1+2+3+⋯+2n )−(2+22+⋯+2n )+n ， =12(1+2n )2n −2(2n −1)2−1+n ，═2n−1(1+2n )−2n+1+2+n ， =22n−1−3⋅2n−1+n +2，【解析】(1)利用已知条件求出数列的通项公式． (2)利用分组法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式，数列的求和，分组法求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， ∴△ABC 为正三角形，∵E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ， 又BC//AD ，∴AE ⊥AD ．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AE ． ∵AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，且PA ∩AD =A ， ∴AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD ，∴AE ⊥PD ．(2)解：以A 为原点，AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AP =a ，则A(0,0，0)，P(0,0，a)，E(3,0，0)，C(3,√3,0)，D(0,2√3,0)，F(32,√32,a2)，设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点H 为(x,y ，z)，则(x,y ，z −a)=λ(0，2√3，−a)，∴H(0,2√3λ,(1−λ)a)， ∴EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2√3λ,(1−λ)a)． 设EH 与平面PAD 所成角为θ， ∵平面PAD 的法向量为n ⃗ 0=(1,0,0)，∴sinθ=|cos <EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 0⃗⃗⃗⃗ >|=|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗⃗|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 0⃗⃗⃗⃗⃗ ||=222=√(12+a 2)(λ−12+a 2)2+12+a 2∵EH 与平面PAD 所成的角最大值为60°，∴√21a2+12⋅912+a 2=√32，解得a=2，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32,1)． ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，∴设平面AEF 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{32x 1+√32y 1+z 1=03x 1=0， 令y 1=2，则x 1=0，z 1=−√3，∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−√3)． 同理可得，平面ACF 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,0)， ∴cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ，n 2⃗⃗⃗⃗ >=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√37×2=−√217． 由图可知，二面角E −AF −C 为锐二面角， 故二面角E −AF −C 的余弦值为√217．【解析】(1)易知AE ⊥AD ，由线面垂直的性质定理可得PA ⊥AE ，再由线面垂直的判定定理可推出AE ⊥平面PAD ，从而有AE ⊥PD ．(2)以A 为原点，AE 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AP =a ，逐一写出A 、P 、E 、C 、D 、F的坐标；设PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点H 为(x,y ，z)，从而可用含a 和λ的式子表示EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；设EH 与平面PAD 所成角为θ，易知平面PAD 的法向量n 0⃗⃗⃗⃗ ，则sinθ=|cos <EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n 0⃗⃗⃗⃗ >|，结合配方法进行化简可列出关于a 的方程，求得a 的值后，再根据法向量的性质分别求得平面AEF 和平面ACF 的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 与n 2⃗⃗⃗⃗ ，最后由空间向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角和二面角的求法，熟练掌握空间中线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)设T(x 0,y 0)，F(c,0)，由c a =√22，可得a 2=2c 2，依题意S max =12⋅cb =12，所以a =√2，b =1， 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{x 22+y 2=1y =kx +t(t ≠1)，得(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−2=0， △>0，x 1+x 2=−4kt 1+2k 2，x 1x 2=2t 2−21+2k 2，直线AP ：y −1=y 1−1x 1x ，令y =0得x =−x 1y1−1，即|OM|=|−x 1y1−1|；同理可得|ON|=|−x2y 2−1|.又|OM||ON|=2， 所以|−x 1y 1−1||−x 2y 2−1|=|x 1x2y 1y 2−(y 1+y 2)+1|=2化简，得|t 2−1t 2−2t+1|=1，解得只有t =0满足题意，所以直线方程为y =kx ，所以直线l 恒过定点(0,0)．【解析】(1)设T(x 0,y 0)，F(c,0)，通过椭圆的离心率以及三角形底面积求a ，b 的值，然后求出椭圆C 的方程．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立{x 22+y 2=1y =kx +t(t ≠1)，利用韦达定理得到关系式，然后求出|OM|和|ON|，再通过|OM||ON|=2，求出t ，推出直线l 恒过的定点．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．20.【答案】解：(1)直方图可得x −=(0.0125×4+0.05×8+0.1375×12+0.375×16+0.125×20)×4=11.8，∵μ=x −=11.8，σ=3.2，μ+2σ=1820元， ∴旅游费用支出不低于1820元的概率为P(x ≥μ+2σ)=1−P(μ−2σ<x<μ+2σ)2=1−0.95442=0.0228，∴500×0.022=11.4，估计2019年有11.4万的游客在本市的年旅游费用支出不低于1820元． (2)(i)P 3=1−18=78，P 4=1−2+116=1316，由{P 3=aP 2+14P 1+bP 0P 4=aP 3+14P 2+bP 1，即{78=a +14+b 1316=78a +14+b ， 解得{a =12b =18；(ii)数列{P n }从第三项起单调递减． P n =12P n−1+14P n−2+18P n−3(n ≥3)，故P n+1−P n =(12P n +14P n−1+18P n−2)−(12P n−1+14P n−2+18P n−3)=12P n −14P n−1−18P n−2−18P n−3 =12(12P n−1+14P n−2+18P n−3)−14P n−1−18P n−2−18P n−3=−116P n−3， 又P n >0，∴−116P n−3<0，即从第三项起数列{P n }单调递减．由此，可知随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小． (即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)．【解析】(1)由直方图可得x −，即可得到μ，结合已知的σ=3.2，可知旅游费用支出不低于1820元的概率为P(x ≥μ+2σ)，求得概率后乘以500得答案．(2)(i)先由题意求得P 3与P 4的值，再列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值；(ii)由P n =12P n−1+14P n−2+18P n−3(n ≥3)，利用作差法可得从第三项起数列{P n }单调递减．其实际意义为随着抽查人数n 的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出μ”的可能性会越来越小．(即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出μ这一事件)．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想． 21.【答案】解：(1)若x >1，则√x >1≥sinx ；若0≤x <1，则√x ≥x ． 令g(x)=x −sinx(x ≥0)，可知g′(x)=1−cosx ≥0，故g(x)≥g(0)=0， 即x ≥sinx(x ≥0)，故√x ≥sinx(x ≥0)．(2)证明：f′(x)=2√x−a −cosx ，令g(x)=2√x−a cosx ，g′(x)=−14(x−a)32+sinx ，∵a <−14，∴g′(x)是(0,π2)上的增函数，又g′(0)=−14(−a)32<0，g′(π2)=1−14(π2−a)32>0，故存在唯一实数t 0∈(0,π2)，使g′(t 0)=0，当x ∈(0,t 0)时，g′(x)<0，g(x)递减；当x ∈(t 0,π2)时，g′(x)>0，g(x)递增， ∵g(0)=2√−a1<0，g(π2)=2√2−a >0．故存在唯一实数x 0∈(0,π2)，使g(x 0)=2x −a cosx 0=0． 当x ∈(0,x 0)时，f′(x)=g(x)<0，f(x)递减； 当x ∈(x 0,π2)时，f′(x)=g(x)>0，f(x)递增．∴f(x)在(0,π2)有唯一极小值点x 0，且极小值为f(x 0)=√x 0−a −sinx 0． 又由g(x 0)=2√x −a cosx 0=0，得√x 0−a =12cosx 0，∴f(x 0)=12cosx 0−sinx 0，又f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0．以下只需证明12cosx 0>1π−2x 0，0<2cosx 0<π−2x 0．∵x 0∈(0,π2)，∴2cosx 0=2sin(π2−x 0)<2(π2−x 0)=π−2x 0．则f(x 0)+x 0=12cosx 0+(x 0−sinx 0)>12cosx 0>1π−2x 0，f(x 0)>1π−2x 0−x 0．【解析】(1)代入a 的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(2)求出函数的导数，根据函数的单调性求出f(x)在(0,π2)有唯一极小值点x 0，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题． 22.【答案】解：(Ⅰ)设P(ρ,θ)，M(ρ0,θ)， |OM|⋅|OP|=20，可得ρ0ρ=20， 即有4ρcosθ=20，即ρcosθ=5，可得点P 的轨迹C 2的直角坐标方程为x =5；(Ⅱ)C 2与x 轴交于点D(5,0)，过点D 且倾斜角为5π6的直线l 的参数方程设为 {x =5−√32t y =12t(t 为参数)，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)，即为ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x 2+y 2=4x ， 将直线l 的参数方程代入x 2+y 2=4x ， 可得t 2−3√3t +5=0，设A 、B 对应的参数分别为t 1，t 2， 即有t 1t 2=5，|DA|⋅|DB|=|t 1t 2|=5．【解析】本题考查极坐标方程的运用，以及直线的参数方程的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题． (Ⅰ)设P(ρ,θ)，M(ρ0,θ)，由曲线C 1的极坐标方程，再由直角坐标和极坐标的互化，可得所求方程；(Ⅱ)求得D 的坐标，以及直线l 的参数方程，圆的直角坐标方程，联立两个方程，结合参数的几何意义，计算可得所求值．23.【答案】证明：(1)∵a ，b ，c 为正数，且满足a +b +c =3，∴3=a +b +c ≥3√abc 3，当且仅当a =b =c =1时取等号，∴0<abc ≤1，∴1ab +1bc +1ca =a+b+c abc=3abc≥3，∴1ab +1bc +1ca ≥3；(2)∵a 2b 2+b 2c 2≥2√a 2b 2c 2=2ab 2c ，当且仅当a =c 时取等号， 同理a 2b 2+c 2a 2≥2a 2bc ，b 2c 2+c 2a 2≥2abc 2， ∴2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2abc(a +b +c)=6abc ，∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥3abc ，当且仅当a =b =c 时取等号， ∴a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2≥3abc ．【解析】(1)根据条件可得3=a +b +c ≥3√abc 3，然后由1ab +1bc +1ca =a+b+c abc可证明结论；(2)利用基本不等式可得2(a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2)≥2abc(a +b +c)=6abc ，从而证明结论． 本题考查了利用综合法证明不等式和基本不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

浙江省杭州市西湖高级中学高三数学理科5月问考卷 人教版

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浙江省杭州市西湖高级中学高三数学理科5月问考卷 人教版一、选择题1．已知函数()f x 的反函数为=y ()1f x -，且=y ()f x 的图像经过第三、四象限，那么函数=y ()1f x -的图像必经过的象限是 （ ）A.第一、二象限B.第二、三象限C.第一、三象限D.第二、四象限2. 如果a,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程ax 2+bx+c=0 （ ） A ．一定有两个不相同的实数根 B.一定有两个相同的实数根 C.一定没有实数根 D.以上三种情况均可出现 3.设复数z=ii +-11+(1+i)2,则(1+z)7展开式的第五项是 （ ） A.-21 B.35 C.-21i D.-35i4. 已知α、β表示不同的平面，m 、n 表示不同的直线，则下列命题中不．正确．．的是( ) A ．若m ⊥α，n α⊂，则m n ⊥ B ．//m n ，m α⊥，则n α⊥C ．若//m α，n αβ=，则//m n D ．若m ⊥α，n ⊥α，则//m n5．以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （ ）A ．221090x y x +-+= B ．221090x y x +--= C ．221090x y x +++= D ．221090x y x ++-= 6. 命题:p 函数()sin(2)16f x x π=-+满足()()33f x f x ππ+=-,命题:q 函数()sin(2)1g x x θ=++可能是奇函数（θ为常数）；则复合命题“p 或q ”，“p 且q ”“非p ”为真命题的个数为 （ ）A.0个B.1个C.2个D.3个 7. 如果数列}{n a 满足1111211,2++---=-==n n n n n n n n a a aa a a a a a a 且，则此数列的第10项为（ ）A.1021 B.921 C.101 D.518． 设曲线21y x =+在其上任一点(,)x y 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 ( )A ．B ．C ．D ．9.三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6人排成一排合影，要求同校任何两名学生不能相邻，那么不同的排法有 ( )A.36种B.72种C.108种D.120种10. 若直线1y kx =+与圆2240x y kx my +++-=相交于P 、Q 两点,且点P 、Q 关于直线0x y +=对称，则不等式组10,0,0kx y kx my y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是 ( )A.14 B.12 C. 15 D. 13二、填空题11．在三角形ABC 中，sin A : sin B : sin C =2:3:4，则cos C 的值为______▲_________. 12． 已知函数)(,1sin 21sin 2R x x x y ∈+-=，若当y 取最大值时，a x =；当y 取最小值时，)sin(],2,2[,,βαππβαβ--∈=则且x = ▲_ . 13．右图为一个简单多面体的表面展开图 （沿虚线适当折叠即可还原），则这个多面 体的顶点个数为 ▲_ 。

2020-2021学年浙江省杭州市市西湖中学高三数学理模拟试卷含解析

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2020-2021学年浙江省杭州市市西湖中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知R上的不间断函数满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。

又函数满足：对任意的，都有成立，当时，。

若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )A. B. C. D.参考答案：A2. 设函数，若时，有，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D3. 已知等差数列{a n}满足：a2=2，S n﹣S n﹣3=54（n＞3），S n=100，则n=（）A．7 B．8 C．9 D．10参考答案：D【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质得a n﹣1=18．（n≥2），由此利用等差数列的通项公式能求出n．【解答】解：∵等差数列{a n}满足：a2=2，S n﹣S n﹣3=54（n＞3），S n=100，∴a n+a n﹣1+a n﹣2=54（n＞3），又数列{a n}为等差数列，∴3a n﹣1=54（n≥2），∴a n﹣1=18．（n≥2），又a2=2，S n=100，∴S n===100，∴n=10．故选：D．4. 已知函数f(x)＝，则f(f())＝()A．4 B．C．－4 D．－参考答案：B5. 已知，则（）A．B．-1 C．1 D．参考答案：A6. x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为( ) A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数参考答案：D【考点】函数的周期性；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】计算题；新定义．【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案．【解答】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：D．【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题．7. 已知等差数列{a n}中，|a3|=|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取最大值的正整数n是( )A. 4或5B. 5或6C. 6或7D. 8或9参考答案：B8. 已知双曲线的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5参考答案：C9. 在长为12cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是几何概型，我们要求出以线段AM为边作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，先求得对应线段AM的长，然后代入几何概型公式即可求解．【解答】解析：正方形的面积介于36cm2与81cm2之间，所以正方形的边长介于6cm到9cm之间．线段AB的长度为12cm，则所求概率为=．故选C．【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解．10. 偶函数在区间上单调递减，则有（）A. B.C. D.参考答案：A.试题分析：由题意得，，故选A.考点：函数性质的综合运用.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知+6，则__________.参考答案：120略12. 若、满足，则的最小值为.参考答案：13. 对任意的都有,且满足:,则（1） ; （2）．参考答案：（1）2 （2）1914. 在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点.若是等边三角形，则的值为___________.参考答案：315. 已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C 的大小为．参考答案：60°【考点】正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC 的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC 的值，然后根据C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C的大小．【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C ＜90°，∴C=60°．故答案为60°．16. 若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为．参考答案：1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求导数可得切线的斜率，由点斜式方程进而可得切线的方程，可得其截距，运用三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：对y=求导数可得y′=，∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=，∴切线方程为：y﹣=（x﹣a），令x=0，可得y=，即直线的纵截距为，令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a，∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为：S=||?|﹣a|=，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属基础题．17. 直线是曲线的一条切线，则实数b=参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

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黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三压轴考试理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分;在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的 1．集合{}12A x Nx *=∈-<的真子集的个数为 （ ）A ．3B ．4C ．7D ．8 2．复数（ii -12）2（其中i 为虚数单位）的虚部等于 （ ） A ．－i B ．1 C ．－1 D ．03．设函数()()()()2 01 153 1x x f x a x x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤<==->在区间[)+∞,0上连续，则实数a 的值为 ( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．34.已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中的常数项等于 ( ) A . 135 B . 270 C . 540 D . 12155．下面四个命题：①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”； 其中正确命题的序号是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④6．已知)1(3cos 3)1(3sin )(+-+=x x x f ππ，则(1)(2)(2008)+++=L f f f （ ）A ．23B ．3C ．1D ．07．已知O ，A ，B ，C 是不共线的四点，若存在一组正实数1λ，2λ，3λ，使1λ＋2λ＋3λ= 0r，则三个角∠AOB ，∠BOC ，∠COA （ ）A ．都是锐角B ．至多有两个钝角C ．恰有两个钝角D ．至少有两个钝角。

8．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，所得的数是大于20000的偶数的概率为 （ ） A ．2512 B ．52 C ．256 D ．100219．如图过抛物线x y 42=焦点的直线依次交抛物线与圆()1122=+-y x 于A ，B ，C ，D ，则AB CD ⨯=Ａ．4 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．2110．f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ，且满足()()'≤xf x f x ，对任意的正数 a ﹑b ，若a ＜ b ，则必有 （ ） A ．a f (a )≤b f (b ) B ．a f (a )≥b f (b ) C ．a f (b )≤b f (a ) D ．a f (b )≥b f (a )第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．已知在平面直角坐标系中，O (0,0), M (1,21), N (0,1), Q (2,3), 动点P (x,y )满足： 0≤OPu u r⋅OM u u u r≤1,0≤OP ⋅ON ≤1,则OP ⋅OQ 的最大值为＿＿＿＿＿．12. 已知函数y ＝f(x) (x ∈R)满足f(x ＋3)＝f(x ＋1)，且x ∈[－1,1]时，f(x)＝|x|，则y ＝f(x)与y ＝log 5x 的图象交点的个数是 13．已知0lim→x x xsin ＝1，则2lim π→x x x 2cos -π＝＿＿＿＿＿．14．若两条异面直线所成的角为600，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为＿＿＿＿＿． 15．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，直线l 与抛物线交于A,B 两点，且以弦AB为直径的圆M 与抛物线的准线相切，则弦AB 的中点M 的轨迹方程为 ；当直线l 的倾斜角为3π时，圆M 的半径为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知220()2cos 3sin 2()f x a x a x a a a =+++为不等于的常数（1）若x R ∈，求()f x 的最小正周期；（2）若对任意x R ∈时，()12f x <恒成立，求a 的取值范围。

17．（本小题满分12分）某大型体育网站对2020年北京奥运会部分体育竞技项目进行预测，其中进入女子羽毛球团体决赛的队伍可能是中国女羽与印尼女羽，由于奥运会女羽冠军争夺是以“五局三胜”制进行，根据以往战况，中国女羽每一局赢的概率为34，倘若在比赛中，第一局印尼女羽先胜一局，在这个条件下：（1）求中国女羽取胜的概率（用分数作答）；（2）设决赛中比赛总的局数ξ，求ξ的分布列及E ξ（用分数作答）。

18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 为等腰直角三角形，∠B = 900，D 为棱BB 1上一点，且面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C . （1）求证：D 点为棱BB 1的中点； （2）若二面角A －A 1D － C 的平面角为600，求ABAA 1的值。

19．（本小题满分12分）设正项数列｛n a ｝的前项和为S n ，q 为非零常数。

已知对任意正整数n , m ，当n ＞ m时，m n mm n S q S S -⋅=-总成立。

（1）求证数列｛n a ｝是等比数列； （2）若正整数n , m , k 成等差数列，求证： n S 1＋k S 1≥mS 2。

20．（本小题满分13分）已知椭圆C ：22ax ＋22b y ＝1（a ＞b ＞0）的离心率为36，过右焦点F 且斜率为1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，N 为弦AB 的中点。

（1）求直线ON （O 为坐标原点）的斜率K ON ； （2）对于椭圆C 上任意一点M ，试证：总存在角θ（θ∈R ）使等式：＝cos θ＋sin θOB 成立。

21．（本小题满分14分）我们知道：函数y ＝f (x )如果存在反函数y ＝f -1 (x )，则y ＝f (x)的图像与y ＝f -1 (x )图像关于直线y ＝x 对称。

若y ＝f (x)的图像与y ＝f -1 (x )的图像有公共点，其公共点却不一定都在直线y ＝x 上；例如函数f (x )＝1x。

（1）若函数y ＝f (x )在其定义域上是增函数，且y ＝f (x)的图像与其反函数y ＝f -1 (x )的图像有公共点，证明这些公共点都在直线y ＝x 上；（2）对问题：“函数f (x )＝a x (a ＞1)与其反函数f -1 (x )＝log a x 的图像有多少个公共点？”有如下观点： 观点①：“当a ＞1时两函数图像没有公共点，只有当0＜a ＜1时两函数图像才有公共点”。

观点②：“利用（1）中的结论，可先讨论函数f (x )＝a x (a ＞1)的图像与直线y ＝x 的公共点的个数，为此可构造函数F (x )＝a x－x (a ＞1)，然后可利用F (x )的最小值进行讨论”。

请参考上述观点，讨论函数f (x )＝a x (a ＞1)与其反函数f -1 (x )＝log a x 图像公共点的个数。

黄冈市黄州区西湖中学2020年5月高三压轴考试参考答案一．选择题1-10．ACACD BDBCC 二．填空题11. 4. 12. 4个13.21。

14. 24. 15. )2(2P x P y -=（3分）、34P（2分）。

三．解答题16．解：（1）由已知，有;2)62sin(22sin 3)2cos 1()(22ππ最小正周期为∴+++=++++=aa x a a a x a x a x f（2）依题意得：⎩⎨⎧<++-<⎩⎨⎧<++>122201222022a a a a a a a a 或 ).2,0()0,32(.03220:Y -∴<<-<<的取值范围为或解得a a a17．解：（1）中国女羽取胜的情况有两种： ①中国女羽连胜三局②中国女羽在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢故中国女羽取胜的概率为2561894341)43()43(2233=⨯⋅+=C P 故所求概率为256189； （2）比赛局数ξ：.64274341)43(41)43(41)5(,2:33:2,5;6433)43(414143)4(,1:33:1,4;161)41()3(,3:0,32232133122=⋅⋅+⋅⋅⋅====+⋅⋅⋅=======C C P C P P ξξξξξξ赢输或中国女羽以时当则赢输或中国女羽以时当则输中国女羽以时当ξ的分布列为：.64645644163=⨯+⨯+⨯=ξE18．解： 1）过点D 作DE ⊥ A 1 C 于E 点，取AC 的中点F ，连BF ﹑EF 。

∵面DA 1 C ⊥面AA 1C 1C 且相交于A 1 C ，面DA 1 C 内的直线DE ⊥ A 1 C∴直线DE ⊥面AA 1C 1C ………3分 又∵面BA C ⊥面AA 1C 1C 且相交于AC ，易知BF ⊥AC ， ∴BF ⊥面AA 1C 1C由此知：DE ∥BF ，从而有D ，E ，F ，B 共面，又易知BB 1∥面AA 1C 1C ，故有DB ∥EF ，从而有EF ∥AA 1， 又点F 是AC 的中点，所以DB ＝ EF ＝21 AA 1 ＝ 21BB 1， 所以D 点为棱BB 1的中点； ………6分2）解法1：延长A 1 D 与直线AB 相交于G ，易知CB ⊥面AA 1B 1B ，过B 作BH ⊥A 1 G 于点H ，连CH ，由三垂线定理知：A 1 G ⊥CH ，由此知∠CHB 为二面角A －A 1D － C 的平面角； ………9分 设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ；在直角三角形A 1A G 中，易知 AB ＝ BG 。

在直角三角形DB G 中，BH ＝DG BGBD ⋅ ＝ 22ba ab +⋅，在直角三角形CHB 中，tan ∠CHB ＝ BH BC＝ b b a 22+，据题意有：bb a 22+ ＝ tan 600 ＝3 ，解得：22=ab， 所以ABAA 1＝2 。

………12分 2）解法2：建立如图所示的直角坐标系，设AA 1 ＝ 2b ，AB ＝BC ＝a ，则D （0,0,b ）, A 1 (a ,0,2b ), C (0,a ,0)所以，),,0(),,0,(1b a b a DA -==8分A 1 C 1B 1 A CB D H EF GA 1设面DA 1C 的法向量为),,(z y x = 则0,00=-+⋅=+⋅+bz ay x bz y ax可取),,(a b b --=又可取平面AA 1DB 的法向量)0,,0(a ==cos 〈,〉222222200ab b aa b a ba b +-=⋅+⋅--⋅==………10分据题意有：21222=+a b b，解得： AB AA 1＝22=ab ………12分 说明：考生的其他不同解法，请参照给分。

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