函数的极值条件
多元函数极值条件的充分及必要条件
多元函数极值条件的充分及必要条件一、引言在数学中，多元函数的极值问题是一个重要的研究方向。
求解多元函数的极值可以帮助我们了解函数的性质和优化问题。
本文将介绍多元函数极值的充分条件和必要条件，并通过数学推导和具体案例进行说明。
二、充分条件对于一个多元函数，如果它在某一点处取得极值，那么该点的梯度向量为零。
这是多元函数极值的充分条件之一，也称为驻点条件。
假设函数为$f(x_1,x_2,...,x_n)$，我们定义其梯度向量为：$$\n ab la f=\l ef t(\f ra c{{\pa rt ia lf}}{{\p ar ti al x_1}},\f ra c {{\p ar ti al f}}{{\p a rt ia lx_2}},...,\fr ac{{\p ar ti alf}}{{\pa r t i al x_n}}\ri gh t)$$如果存在一个点$(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)$，使得$\na bl af(x_1^*,x_2^*,...,x_n^*)=\m at hb f{0}$，那么该点为函数$f$的驻点。
然而，驻点并不一定是极值点。
还需要进一步考察该点的二阶偏导数信息。
三、必要条件1.H e s s i a n矩阵H e ss ia n矩阵是多元函数在某个点处的二阶偏导数构成的矩阵。
对于函数$f(x_1,x_2,...,x_n)$，其He ssi a n矩阵定义为：$$H(f)=\be gi n{bma t ri x}\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_1^2}}&\f ra c{{\par t ia l^2 f}}{{\pa rt ia lx_1\p ar ti al x_2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_1\par t ia lx_n}}\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_2\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_2^2}}&\cd o ts&\fr ac{{\p art i al^2f}} {{\p ar ti al x_2\par t ia lx_n}}\\\v do ts&\vd ot s&\dd o ts&\vd ot s\\\f ra c{{\pa rt ia l^2f}}{{\p ar ti al x_n\pa rt ia lx_1}}&\f r ac{{\p a rt ia l^2f}}{{\pa r ti al x_n\p a rt ial x_2}}&\cd ot s&\fr a c{{\pa rt i al^2f}}{{\pa rti a lx_n^2}}\e nd{b ma tr ix}$$2.S y l v e s t e r定理S y lv es te r定理给出了判别He ss ia n矩阵正定、负定和不定的条件。
判断极值点的第三充分条件
判断极值点的第三充分条件判断极值点的第三充分条件引言在数学中，我们经常需要判断函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
其中，第一充分条件是判断极值点的必要条件，而第三充分条件则是判断极值点的额外条件。
本文将介绍判断极值点的第三充分条件及其应用。
第三充分条件的描述判断函数的极值点的第三充分条件可以通过二阶导数来表示。
具体而言，设函数f(x)在某区间上连续，且在该区间的某一点x=a处存在一阶导数f’(a)=0。
若函数在x=a处满足以下条件，则极值点的第三充分条件成立：1.如果f’’(a) > 0，则f(x)在x=a处取得极小值。
2.如果f’’(a) < 0，则f(x)在x=a处取得极大值。
第三充分条件的证明为了了解第三充分条件的证明过程，我们可以回顾二阶导数的几何意义。
二阶导数表示函数曲线的变化率，即曲线的弯曲程度。
当二阶导数为正时，函数曲线在该点凹向上，此时函数取得局部极小值。
反之，当二阶导数为负时，函数曲线在该点凹向下，此时函数取得局部极大值。
因此，第三充分条件能够通过二阶导数的正负确定极值的类型。
应用举例判断函数 f(x)=x3-3x2+4x 的极值点的第三充分条件：1.首先，求导数f’(x)=3x^2-6x+4。
2.求得导数f’(x)=0 的零点，即解方程3x^2-6x+4=0。
求解得x=1±√3/3。
3.然后，求导数的二阶导数f’’(x)=6x-6。
4.将零点x=1±√3/3 代入二阶导数f’‘(x) 中，得到f’’(1±√3/3)=±2√3-6。
5.根据第三充分条件的描述，我们可以得出以下结论：–当f’’(1+√3/3) = 2√3-6 > 0 时，函数 f(x) 在x=1+√3/3 处取得极小值。
–当f’’(1-√3/3) = -2√3-6 < 0 时，函数 f(x) 在x=1-√3/3 处取得极大值。
结论通过判断极值点的第三充分条件，我们可以更准确地确定函数的极值类型。
函数的极值与最值的求解方法
函数的极值与最值的求解方法在数学中，函数的极值与最值是我们经常遇到的问题。
极值是指函数在某一区间内达到的最大值或最小值，而最值则是函数在整个定义域内的最大值或最小值。
正确地求解函数的极值与最值对于解决实际问题和优化算法具有重要意义。
本文将介绍一些常见的函数极值与最值的求解方法。
一、导数法求函数极值导数法是求解函数极值的常用方法之一。
对于一元函数，我们可以通过求取其导数来确定函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求取函数的导数。
根据函数的表达式，求取其一阶导数。
对于高阶导数存在的情况，可以继续求取导数直到找到导数不存在的点。
2. 解方程求取导数为零的点。
导数为零的点对应着函数的极值点。
将导数等于零的方程进行求解，找到函数的极值点。
3. 判断极值类型。
在找到导数为零的点后，可以通过二阶导数或借助函数图像来判断该点处的极值类型。
若二阶导数大于零，则为极小值；若二阶导数小于零，则为极大值。
二、边界法求函数最值边界法是求解函数最值的一种有效方法。
当函数在闭区间上连续且有界时，最值一定是在该闭区间的端点处取得的。
具体步骤如下：1. 确定函数定义域的闭区间。
根据函数表达式或实际问题，找到函数定义域所对应的闭区间。
2. 计算函数在端点处的取值。
将函数在闭区间的端点处依次带入函数表达式，计算函数的取值。
3. 比较函数取值找到最值。
对于最大值，选取函数取值最大的端点；对于最小值，选取函数取值最小的端点。
三、拉格朗日乘数法求函数约束条件下的极值当函数需要满足一定的约束条件时，可以使用拉格朗日乘数法来求解函数的极值。
该方法适用于带有约束条件的最优化问题，具体步骤如下：1. 设置拉格朗日函数。
将原函数与约束条件构建为一个拉格朗日函数，其中拉格朗日乘子为未知数。
2. 求取拉格朗日函数的偏导数。
对拉格朗日函数进行偏导数运算，得到一组方程。
3. 解方程求取极值点。
将得到的偏导数方程组求解，找到满足约束条件的极值点。
4. 判断极值类型。
求极值的方法与技巧
求极值的方法与技巧求极值（即最大值或最小值）是数学中的一个重要问题，对于实际问题的解决非常有帮助。
在解决求极值问题时，有几种方法和技巧可以帮助我们找到最优解。
一、导数法导数法是求取函数极值的一种重要方法。
它的基本思想是通过求取函数的导数来研究函数的增减性，从而得到函数的最值。
1.确定函数的定义域：首先需要确定函数的自变量范围，即函数是定义在哪个区间上的。
2.求导数：对于给定的函数，求取其导函数。
3.找到导数为零的点：求解导函数等于零的方程，在这些点处函数的导数为零，也就是函数的极值点。
4.检查极值：计算极值点的函数值，比较得出最大值或最小值。
例如，对于函数f(x)=x^2-4x+3，我们可以通过求导数的方法来求取极值。
首先求导函数f'(x)=2x-4，然后将导函数等于零，得到方程2x-4=0，解出x=2接下来，将x=2代入原函数中，得到f(2)=(2)^2-4(2)+3=-1所以，函数f(x)的极小值为-1，当且仅当x=2时。
二、二次型矩阵法对于二次型矩阵，我们可以通过计算其特征值和特征向量来求取极值。
1.构造二次型矩阵：将函数转化为一个二次型矩阵，即通过展开函数，并将其写成矩阵的形式。
2.求取特征值和特征向量：计算二次型矩阵的特征值和特征向量。
3.判断极值：根据特征值的正负情况来判断函数的极值。
如果特征值都大于零，那么函数有一个极小值。
如果特征值都小于零，那么函数有一个极大值。
如果特征值既有正数又有负数，那么函数没有极值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种求解约束问题的极值方法，可用于求解带有约束条件的极值问题。
1.确定函数和约束条件：首先需要将函数和约束条件写出来。
2.构造拉格朗日函数：将约束条件乘以一个拉格朗日乘子，并与原函数相加，形成一个新的函数。
3.求取梯度：对构造的拉格朗日函数求取梯度，得到等于零的方程组。
4.解方程组：求解方程组，得到自变量的值。
5.检查极值：将求得的自变量代入原函数中，求取函数的极值。
极值判别法知识点总结
极值判别法知识点总结极值判别法是数学分析中的一种重要的方法，用于求解函数的最大值和最小值问题。
在高等数学、微积分等课程中，极值判别法是一个重要的内容，对于理解函数的性质和求解实际问题都具有重要意义。
下面将对极值判别法的相关知识点进行总结。
一、极值的概念在解析几何中，极值通常指的是函数的最大值和最小值。
设函数f(x)在区间(a,b)上有定义，在点x0处取得了极值的情况，分别称x0为函数f(x)的极大值点和极小值点。
如果在x0处左极限和右极限都存在，且f(x)在x0处取得了极大值或极小值，则称f(x)在x0处有极值，x0为极值点。
如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最大值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最大值，简称最大值；如果f(x0)是f(x)在区间(a,b)上的最小值，则称f(x0)是f(x)在(a,b)上的最小值，简称最小值。
二、函数的极值判别法1.必要条件与充分条件如果函数f(x)在点x0处可导，并且取得了极值，则f'(x0)=0。
这是函数极值的一个必要条件。
但是，对于函数的充分条件来说，如果函数f(x)在某点x0可导并且f'(x0)=0，那么极值不一定存在，即可以是极值也可能不是极值点。
所以f'(x0)=0只是极值的一个必要条件，而不是充分条件。
2.李松法求极值设函数f(x)在区间(a,b)上可导，x0为开区间(a,b)上的驻点，则有：（1）若x0为极大值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)<0；（2）若x0为极小值点，且f"(x0)存在，则f"(x0)>0。
3.二阶导数判别法设函数f(x)在点x0处二阶可导，如果满足以下条件：（1）f'(x0)=0；（2）f"(x0)>0，那么f(x)在x0处取得极小值；（3）f"(x0)<0，那么f(x)在x0处取得极大值。
4.5 函数的极值与最值
: x1 , x 2 , x 3 : x4 , x5
极值点或为f ( x )为零的点或为f ( x )不存在的点 .
极值点的必要条件
二.函数极值的求法
定理1(极值点的必要条件)点 x 0 是函数 f ( x )的极值点的
必要条件是：
f ( x 0 ) 0 或者 f ( x 0 ) 不存在
故总利润 L R C 3720 P 40 P 2 77250 令 L 3720 80 P 0 , 得 P 46 . 5
又 L 80 0 , 故当 P 46 . 5 ( 元 )时 , L 有唯一极大值
,
即最大值 . 所以商品单价定为 46 . 5 元时利润最大
(极值的可疑点或临界点) 判定极值点的充分条件
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定理2(极值第一判别法) 设函数 f ( x ) 在点 x 0 的某一空心
邻域内可导，且在点 x 0 连续 .
( 1 )如果在点 x 0的左邻域内有
f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 0，在点 x 0的右 f ( x ) 恒为正或恒为
f (1 ) 7 .
例4
求下列函数的最大值和最小值：
3
(1 ) y x 3 x ,
x [ 2 , 2 ];
因此最大值是 最小值是
(2) y xe
x
y ( 1) y ( 2 ) 2 , y (1 ) y ( 2 ) 2 .
x [0 , 2 ];
x 2 x 在 x 0 点取得极小值
在 x 1 点取得极大值
y (1 ) 1 .
例2 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 24 x 20 的极值.
函数极值充分条件
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因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
y
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 于是得极值的必要条件： 可微函数的极值点一定是导数为零. 下面给出极值的充分条件.
O
x
定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
定理 6.10 的几何说明
y
y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x0
x
o
y
x
o
y
x0
x0 是极值点情形
x0
o
x0
x
o
x
x0 不是极值点情形
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根据导函数的符号判别函数单调性的方法， 可 以知道定理的几何意义十分明显. 出 (i) 的证明， (ii) 的证明类似. 在这里仅给
证明 利用导函数符号得出函数的单调性方法.
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
条件极值
一、极值
二、 条件极值拉格朗日乘数法
一、极值
若函数 f ( x, y) 在点 M 0 ( x0 , y0 ) 的某个邻域内成立
不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )
则称 f ( x, y) 在点 M 0 取到极大值 f ( x0 , y0 ) ，点 M 0
称为函数 f ( x, y) 的极大点；
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x, y) 0 下的极值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数
L( x , y, ) f ( x , y ) ( x, y )
2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察稳定点是否是极值点
3. 函数的最值问题
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 第二步 判别 • 比较驻点及边界点上函数值的大小 • 根据问题的实际意义确定最值
练习题 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
x y z 2 ,
2z y y z 0
解方程组
⑴ ⑵ ⑶
2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x yz V 0
⑷
( y x )(1 z ) 0 1 z 0, 于是 z 1 , 代入⑴式得 若 2 0, 不合题意. 若 y x 0 y x , 代入⑶式得 y x 4 ,
这是交于 Y 轴的两个平面。虽然， x 0 的点都是函数的极 小点，但是当 x 0 时，偏导数不存在。 综上所述，函数的极值点只可能在偏导数等于零的点和偏导数
函数的最值
令 得 极小点 , 从而为最小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
400 x 又
y 5 ) ( 3) , k 为某一常数 k 2
400
2 32 x )
(400 所以 x 15 为唯一的
小
1.函数极值的确定方法
结
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 过 由正变负 由负变正 为极大值
在给定条件的情况下， 要求效益最佳的问题， 就是最大值问题； 而在效益一定的情况下， 要求消耗资源最少的问题， 是最小值问题； 在解决实际问题时，首先要把问题的要求作为目标， 建立目标函数，并确定函数的定义域； 其次，应用极值知识求目标函数的最大值或最小值； 最后应按问题的要求给出结论。
例5 将边长为a的一块正方形铁皮，四角各截取一个大小相同的小正方形， 然后将四边折起做一个无盖的方盒。问截掉的小正方形边长为多大时， 所得方盒的容积最大？ 而方盒的最大容积为多少？
a x 0, 2
a-2x a-2x
因为
dV dV a a a 当x 0, 时， 当x , 时， 0, 0, 6 6 2 dx dx
所以
a x 是极大值点。 6
由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点， 这也就是取得最大值的点。
求函数最值时，常遇到下述情况：
(1)若函数f(x)在连续区间I内有一个极值，是极大(小)值时， 它就是函数f(x)在该区间上的最大(小)值， 解极值应用问题时，此种情况较多。 x x y=f(x) y=f(x)
o
a
x0
b x
o
a
x0
b x
(2)若函数f(x)在连续区间[a,b]上是单调增加(减少)的， 则最值在区间端点取得。
极值存在的必要条件
现在要求曲面 G( x, y, z) 0 上的点 ( x, y, z) 使得 F 最小。
因此问题归结为求函数 F ( x, y, z) 在条件 G( x, y, z) 0
的限制下的最小值问题。 这类问题叫做条件极值问题。
中将 u, v 解出来：
u u ( x, y) v v( x, y)
代入目标函数，问题就化为求函数
f ( x, y, u( x, y), v( x, y))
的直接极值问题。
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于是可以用前面求极值的方法求函数
f ( x, y, u( x, y), v( x, y))
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下一页 v) 具有连续偏导数，求
f ( x, y, u, v)
在条件
g ( x, y, u, v) 0, h( x, y, u, v) 0
的限制下的极值。
过去遇到这类极值问题时，通常用消元法化为 无条件极值问题来求解。
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假如能从方程组 g ( x, y, u, v) 0, h( x, y, u, v) 0
0,
x x0
f ( x, y0 ) x
f ( x0 , y ) y
0
x x0
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上述条件不是充分的，例如 函数 z xy 在原点 （0，0）有
f x (0,0) y ( 0, 0 ) 0, f y (0,0) x ( 0,0 ) 0
但此函数的图形是一马鞍面，
因而在原点没有极值。
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极值的判定条件
极值的判定条件
极值是函数在某一点上取得的最大值或最小值，判定函数在某一点上的极值需要满足以下条件：
1. 导数为0或不存在：函数在极值点上的导数为0或不存在，即f'(x0)=0或f'(x0)不存在。
2. 导数变号：当函数从单调递增变为单调递减或从单调递减变为单调递增时，函数在该点上取得极值。
3. 二阶导数的符号：当函数在极值点上的二阶导数f''(x0)为正时，函数在该点上取得极小值；当f''(x0)为负时，函数在该点上取得极大值。
需要注意的是，以上三个条件只是判定极值的必要条件，不一定是充分条件。
因此，在判定极值时，还需要进行综合分析，结合函数的图像和实际问题进行判断。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
高中数学讲义：函数的极值
函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。
函数极值充分条件
的证明方法更简单且具有一般性.
证明 要点
用f 在点 x0二阶泰勒公f式 (x)， f(x0确 ) 定 的符. 号
注：①只有二阶导数存在且不为零的驻点才可以 用本定理判别法；
②使用本定理时，一般要求二阶导数的计算相对 较为容易；
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③对于二阶导数 fx不存在的点、不可导的点，
只能用第一充分条件进行判别。 例1 求函 f(x )3 数 arx c ltn x a 的 n 极 . 值 解由
数学分析
§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理和不定积分 §3 泰勒公式 §4 函数的极值和最大(小)值 §5 函数的凸性和拐点 §6 函数图像的讨论
第六章 微分中值定理 及其应用
§4 函数的极值和最大(小)值
§4 函数的极值与最大(小)值
教学内容：函数的极值与最值． 教学重点：函数极值与最值的确定． 教学难点：函数极值充分条件． 教学要求：掌握函数极值的第一、第二充分条
件，学会求闭区间上连续函数的最 值的基本方法．
§4 函数的极值与最大(小)值
极大(小)值是局部的最大(小)值, 它 有着很明显的几何特征. 在本节中,我 们将逐一研究函数的这些几何特征.
一、极值判别 二、最大值与最小值
函数的极值不仅在实际问题中占有重要的地位，而 且也是函数性态的一个重要特征．
费 马 定 理 告 诉 我 们函：数若f 在 点x0 可 导 ， 且x0 是 f 的 极 值 点 ，f则(x0) 0， 即 可 导 函 数 在x0有 点极 值 的 话 ， 必 有f (x0) 0.
试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
例4 求出函 f(x)数 x2x x0的极 . 值 x1 x0
解 x 0 时 f(x ) ， 2 x 2 x (1 lx n )
第14-1章 极值和条件极值隐函数
第十四章 极值和条件极值在工程技术领域，经常会遇到诸如用料最省、收益最大、效率最高等问题，尽管这些问题具体背景不同，但其实质是函数的极值问题，在单变元微积分学中，我们已经建立了一元函数的极值理论。
本章我们采用类似的思想，以二元函数为例，建立多元函数的极值理论。
§1 无条件极值一、基本概念：设),(y x f u =定义在区域D 上，D y x M ∈),(000。
定义1：若在0M 的某领域)(0M U 内成立：≤),(y x f ),(00y x f ，对任意(,)x y ∈)(0M U ，称),(y x f 在0M 点达到极大值),(00y x f ，点),(000y x M 称为),(y x f 的极大值点。
注：类似可定义极小值（点）。
注：极值是一个局部概念，且只有区域的内点才有可能成为极值点。
类似一元函数的极值理论，我们先建立极值点的必要条件。
设),(000y x M 为),(y x f 的极值点且设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在。
考虑一元函数),(0y x f ，则),(0y x f 在0x 点取得极值，因而：00(,)|x df x y dx=0， 由多元函数偏导数的定义，则0(,)|0M f x y x∂=∂。
类似：0(,)|0M f x y y∂=∂。
故，若0M 是极值点，则必有0(,)|M f x y x∂=∂0， 0(,)|0M f x y y ∂=∂。
定义2：若),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，且满足0(,)|M f x y x∂=∂0，0(,)|0M f x y y ∂=∂，称0M 为函数),(y x f 的驻点。
定理1：设),(y x f 在),(000y x M 点的偏导数存在，则点0M 是)(M f 的极值点的必要条件是0M 是)(M f 的驻点。
上述定理1给出了偏导数存在的条件下点),(000y x M 成为极值点的必要条件。
函数的极值及其必要条件
由极限的保号性可得：
f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x ) lim 0 , 0 0 x x x x 0
f ( x ) f ( x ) 0 f ( x ) f ( x ) lim 0 , 0 0 x x x x 0 0
f ( x ) M f ( x ) 0 故 ， 从 而 ，
设 f () M ，由 Fermat 引理知 f () 0 ，
定理得证 .
例 1．不求函数 f ( x )( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说 明方程 f ( x ) 0 有几个根，并指出它们所在的区间.
②不论 a b 或 b a ，都有 f (b) f (a) f ()(b a)
(在 a 与 b 之间 ).
③ 微分中值定理的另一种 形式为
f ( b ) f ( a ) f ( a ( b a ))( b a )( 0 1 ).
④ x , x x ( a , b ) ， 有
且 ( 0 ) 0 ,( 1 ) f ( 1 ) 0 ,
由 Rolle 定理知， ( 0 , 1 ), 使 ( ) 0 ,
f ( ) 即 f ( ) f ( ) 0 , 从而 f ( ) .
思考题
若将例 2 改为： “设 f ( x )在[0, 1]上连续 , 在(0, 1) 内可导 , 且 f (1) 0 ，
f ( x ) 0 即 方 程 至 少 有 两 个 实 根 .
f ( x ) 0 ∵ 是 一 个 一 元 二 次 方 程 ， 最 多 有 两 个 实 根 ，
一轮复习：函数的极值与最值问题
一轮复习 函数的极值一 基础知识1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。
请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点 （2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理（大学内容 了解即可）：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点⇒()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点⇒导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值的步骤：（1）筛选： 令()'0fx =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'fx 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性： 通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、检验导数零点：对于在定义域中处处可导的函数，极值点是导函数的一些零点，所以涉及到极值点个数或所在区间的问题可转化成导函数的零点问题。
费马定理极值必要条件
费马定理极值必要条件1.引言1.1 概述费马定理是数学中的一个重要定理，它关于极值问题给出了一个必要条件。
极值问题是数学中研究函数在一定区间上取得最大值或最小值的问题，它在经济学、物理学、工程学等领域中都有着广泛的应用。
费马定理通过对函数的导数进行分析，给出了一个在极值点附近的特殊性质。
本文将首先介绍费马定理的背景和相关概念，然后从数学推导的角度解释极值必要条件，并最终利用费马定理推导出极值必要条件的表达式。
通过本文的阐述，读者将能够更加深入地理解极值问题以及费马定理的作用。
1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的三个小节。
概述部分将简要介绍费马定理的极值问题及其重要性。
文章结构部分将详细说明本文按照怎样的顺序和方式来讨论费马定理的极值必要条件。
目的部分将阐明本文的写作目的，即通过对费马定理的极值必要条件的推导和讨论，帮助读者更好地理解和运用该定理。
正文部分主要分为费马定理的介绍与极值问题的背景两个小节。
费马定理的介绍将回顾费马定理的基本定义和主要内容，介绍其在求解极值问题中的重要作用。
极值问题的背景将探讨极值问题的起源和应用领域，并举例说明极值问题在实际生活和科学研究中的重要性。
结论部分主要包括极值必要条件的推导和费马定理的极值必要条件两个小节。
极值必要条件的推导将详细推导出费马定理的极值必要条件，通过对导数的分析和运用，解释为什么该定理能够有效地帮助我们找到极值点。
费马定理的极值必要条件将阐述该定理在实际问题中的应用，并列举一些实例进行说明。
综上所述，本文将通过分析费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解和运用该定理，并展示该定理在求解极值问题中的重要性和应用价值。
1.3 目的本文旨在探讨费马定理在极值问题中的应用，并推导出极值条件的必要性。
通过深入研究费马定理的原理和极值问题的背景，我们将阐述费马定理的极值必要条件，帮助读者更好地理解极值问题的求解过程。
可导函数取极值的充分条件
可导函数取极值的充分条件
在数学中，我们经常需要研究函数的极值点，即函数取得最大值或最小值的点。
对于可导函数，想要判断它的极值点，我们有一些充分条件可以使用。
首先，我们知道一个函数在取得极值时，它的导数必须等于零或不存在。
这是
因为函数在极值点处的斜率要么为零（对于最大值或最小值），要么不存在（对于拐点）。
因此，我们首先要确定函数的导数。
其次，我们需要找到导数为零或不存在的点，即函数的临界点。
这些点是候选
的极值点，其中可能包含最大值、最小值以及拐点。
我们可以通过求解方程 f'(x) = 0 来找到导数为零的点。
注意，我们还需要包含导数不存在的点，如分段函数的转
折点。
然后，我们需要进行额外的分析来确定这些临界点的分类。
我们可以使用二阶
导数来进行判断。
如果二阶导数 f''(x) 存在并且大于零，那么该临界点是一个局部
极小值点；如果二阶导数 f''(x) 存在并且小于零，那么该临界点是一个局部极大值点。
最后，我们还需要考虑函数在临界点附近的行为。
如果临界点是函数的端点或
者定义域的边界，那么它可能是全局极值点。
此外，如果函数在临界点处是不连续的，那么该临界点也可能是极值点。
综上所述，可导函数取极值的充分条件包括：导数为零或不存在的临界点、临
界点附近的二阶导数符号以及函数的边界行为。
通过分析这些条件，我们可以判断函数的极值点，并进一步深入研究函数的性质和特点。
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拉格朗日乘子法
• 拉格朗日函数极值存在的必要条件为：
拉格朗日乘子法
• 引入p个乘子λv (v=1，2，…，p)，构 造此问题的拉格朗日函数：
拉格朗日乘子法
• 极值存在的必要条件：
不等式约束优化问题
• 多元函数不等式约束； • 同时具有等式和不等式约束。
多元函数不等式约束
… ������������ ������������ ]������ • 设计变量 ������ = [������1 ������2 为n维向量，受有m 个不等式约束的限制。
函数的极值条件
函数极值条件的分类
• 无约束优化问题的极值条件
• 有约束优化问题的极值条件
无约束优化问题的极值条件
• 一元函数的极值条件
• 二元函数的极值条件
• 多元函数的极值条件
一元函数的极值条件
一元函数的极值条件
一元函数的极值条件
二元函数的极值条件
二元函数的极值条件
二元函数的极值条件
• 则K—T条件可写成：
同时具有等式和不等式约束
• 对于此类问题：
同时具有等式和不等式约束•K—T条件可表示为：总结
• 函数的极值条件共有六种情况： • • • • • • 1.无约束的一元函数的极值条件 2.无约束的二元函数的极值条件 3.无约束的多元函数的极值条件 4.等式约束的优化问题 5.不等式约束的优化问题 6.等式与不等式共同约束的优化问题
二元函数的极值条件
多元函数的极值条件
• 将之前的推导推广至n元函数：
有约束优化问题的极值条件
• 等式约束问题 • 不等式约束问题
等式约束优化问题
• 降维法：消元法 • 升维法：拉格朗日乘子法
消元法
消元法
消元法
消元法
• 其实质是利用等式约束消去某些变量， 把等式约束优化问题变成无约束优化问 题。 • 若约束条件是比较简单的函数，消元法 是十分方便的； • 但若约束条件是复杂的多维高次隐函数， 这种方法就显得相当不便。
•谢谢！
拉格朗日乘子法
• 其实质也是将有约束优化问题转换成无 约束优化的问题；
• 引进了一个待定系数（乘子），简化了 数学变化过程； • 通过增加变量，将等式约束优化问题变 成无约束优化问题，所以又称升维法。
拉格朗日乘子法
• 引入乘子λ，构造等式约束优化问题的拉 格朗日函数：
• 将约束优化问题转化成无约束优化问题
多元函数不等式约束
• 拉格朗日乘子法推导出相应的极值条件：
• μ是对应于不等式约束的拉格朗日乘子向 ������ = [������1 ������2 … ������������ … ������������ ] ������ 量 • 这就是著名的K—T条件。
多元函数不等式约束
• 若引用约束的下标集合：