离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布
解
设 p 为每组信号灯禁止汽车通过的概率, 则有
X0
1
2
3
4
pk p (1 p) p (1 p)2 p (1 p)3 p (1 p)4
将 p 1 代入得 2
X0
1
pk 0.5 0.25
2
0.125
3
4
0.0625 0.0625
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
3.二项分布
(1) 重复独立试验 将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.
(2) n 重伯努利试验
伯努利资料
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A,则称 E 为伯努利试验. 设 P( A) p (0 p 1),此时P( A) 1 p.
正面, 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布.
其分布律为
X
0 1
1
1
pk
2
2
实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那么,若规定
X
1, 0,
取得不合格品, 取得合格品.
X0
1
pk
190 200
10 200
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
P{X = a} = 1 则称 X 服从 a处的退化分布.
2.两点分布（Bernoulli分布)
2.2离散型随机变量及其概率分布
8
5
k
24
小结
离 散 型 随 机 变 量 的 分 布
二项分布 泊松分布
两点分布
两点分布
n1
二项分布
n 10, p 0.1, np
泊松分布
25
二项分布与 (0 1) 分布、泊松分布之间的 关系 .
二项分布是 (0 1) 分 布 的 推 广 , 对 于n 次 独 立重复伯努利试验 ,每 次 试 验 成 功 的 概 率 为 p, 设 , 1, 若 第 i 次 试 验 成 功 Xi ( i 1,2, , n) . 0, 若 第 i 次 试 验 失 败 它们都服从 (0 1) 分 布 并 且 相 互 独 立 , 那末 X X1 X 2 X n 服 从 二 项 分 布 , 参 数 为( n, p).
定义2 如果随机变量 X 只有两个可能取 值，其概率分布为
P{ X x1 } P , P{ X x2 } q 1 p(0 p 1, p q 1)
则称X服从 x1 , x2 处参数为p的两点分布. 特别，若X服从
x1 1, x 0 处参数为p的两点分布，即
p
k 1
5
k
1
1 a . 15
5
关于分布律的说明：
若已知一个离散型随机变量X的概率分布 X P x1 p1 x2 p2 ... ... xn ... pn ...
则可以求X所生成的任何事件的概率，特别地：
P{a X b} P{ { X xi }} pi
a xi b a xi b
26
以 n, p ( np ) 为参数的二项分布 ,当 n 时趋 于以 为参数的泊松分布 ,即
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
2.2离散型随机变量的概率分布(分布律)
一、离散型随机变量的分布律
二、常见离散型随机变量的概率分布 三、小结
2019/2/22
概率统计
北邮概率统计课件
第二节
离散型随机变量的概率分布（分布律）
一.离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示，从中任取 3 个球 取到的白球数 X 是一个随机变量 X可能取的值是0,1,2
取每个值的概率为： 2 1 1 2 C C C C 6 3 C3 1 3 2 3 2 3 P{ X 2} P{ X 0} 3 P{ X 1} 3 3 C5 10 C5 10 C5 10
k C 在哪 k 次发生,所以它应有 n 种不同的发生方式.
而且它们是相互独立的，故在 n 次试验中A发生 k 次的概率 ( 依概率的加法定理) 为:
P{X k } C p (1 p)
k n k
n k
(k 0,1, 2
n)
概率 Pn (k ) 就等于二项式 注 ▲ 显然它满足： [ px (1 p)]n 的展开式中 x k 的系数，这也是二项分布的名称的 P{ X k } 0, 由来. n
记为: 列表:
X ～b(n, p)
X
P (k )
概率统计
0
1
2
n
P(n)
P(0) P(1) P(2)
注 ▲ 特别当n=1时，二项分布即为 ( 0-1 ) 分布 ▲ 二项分布 X~b(n,p) 的图形特点： 对于固定n 及 p，当 k 增加时 ，概率P(X=k) 先是随之增加直至达 到最大值，随后单调 减少.
k 4 k
P { X k } C p (1 p )
k 4
,
k 0,1, 2, 3,4
2.2 离散型随机变量的概率分布
P(X=2)=C (0.05) (0.95) = 0.007125
2 3 2
注:若将本例中的"有放回"改为"无放 将本例中的"有放回"改为" 那么各次试验条件就不同了, 回",那么各次试验条件就不同了,不是贝 努里概型,此时,只能用古典概型求解. 努里概型,此时,只能用古典概型求解
C C P(X=2)= ≈ 0.001 P { X = 0} P { X = 1}
= 1 C 0.01 × 0.99 C 0.01 × 0.99
0 20 0 20 1 20 1
19
≈ 0.0169 重贝努利概型, (2)这是 )这是n=80重贝努利概型,参数为 重贝努利概型 参数为p=0.01,需维 , 修的机床数X~B(80, 0.01),故不能及时维修的概率为 修的机床数 故不能及时维修的概率为
eλ = ∑
k=0
λk
k!
某射手连续向一目标射击, 例4. 某射手连续向一目标射击,直到命中为 已知他每发命中的概率是p, 止 , 已知他每发命中的概率是 , 求所需射击 发数X 的概率函数. 发数 的概率函数 显然, 可能取的值是1,2,… , 解: 显然,X 可能取的值是 为计算 P(X =k ), k = 1,2, …, , , 设 Ak = {第k发命中 ,k =1, 2, …, 发命中}, 第 发命中 , 于是 P(X=1)=P(A1)=p,
P(X=k)=C (0.8) (0.2) , k = 0,1,2,3 把观察一个灯泡的使用
时数看作一次试验, 时数看作一次试验 P(X ≤ =P(X=0)+P(X=1) 1)
k 3 k
3k
"使用到 使用到1000小时已坏" 小时已坏" 使用到 小时已坏 视为事件A,每次试验, 视为事件 )3+3(0.8)(0.2)2 ,每次试验 =(0.2 A发生的概率为 发生的概率为0.8 发生的概率为
离散型随机变量的概率分布
(1) pn 0 n 1, 2,
(2) pn 1
n
凡满足上述两条性质的 任意一组 pn , n 1,2, 都可
以成为一个d .r .v .的概率分布。称之为离 散型 概率分布。
对于集合 xn : n 1,2, 中的任何一个子集 A，事件
“X 在A 中取值”，即事件“ X A”的概率为 P ( X A) Pn
xnA
例1：做一次试验，其结果只有两种，成功和失败，
若令成功的概率为 p，用 X表示试验成功的次，则 X的分
布律为：
X P
0
1 p
1
p
此类试验即为伯努利试验，此分布称为0-1分布。
不难求出X的分布函数
例2：设d.r.v.X的概率分布为：
这样的试验E称为伯努利试验 .
概率论
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称这一串重复 的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这n次试验中P(A)= p 保持不变. “独立”是指各次试验的结果互不影响 . 实际模型 设事件A在一次试验中发生的概率为 p, (0 p 1), 令X = “n次试验中A事件发生的次数”， 现独立地重复试验n次，
X P
-1 0.3
0 0.3
1 0.2
2 0.2
P ( X 1, X 0) P ( X 1 X 0) P ( X 0) P ( X 1) 0.3 3 1 P ( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{ X a } 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
离散型随机变量的概率分布
n次试验中A发生的总次数，则
X的可能值为 0,1,2,…,n, 且
P(X
k)
C
k n
pk (1
p)nk , k
0,1,2,...,
n
称 X ~ B(n, p) 二项分布
n重
A发生的概率
证明：指定的k次（如前k次）让A发生，其余
的（n-k）为 A发生
而事件A在n次试验中发生k次的方式为：C
k n
P(X
§2 离散型随机变量的概率分布
主要内容
一、离散型随机变量的定义及其分布律 二、常用分布 三、常用分布之间的联系
一、离散型随机变量的定义及其分布
1. 定义 如果随机变量X所有可能值是有限个或无限可 列个，则称X为离散型随机变量。 2. 概率分布
要掌握一个离散型随机变量的分布，必须
且只需知道以下两点
(1) X所有可能的取值: x1, x2, , xk ,
例 2 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为 0.8的泊松分布. 求:该城市一天内发生3次以上火灾 的概率.
解: P( X 3) 0.8k e
k3 k!
查表
0.0474
上页 下页 返回
三. 常用分布的联系 1. 0-1分布和B(n,p)
X ~ B(n, p)中，当n 1时，X ~ 0 1分布，且X分解为
2
b 3 2b 1
1
2 3
b 1 2
练习1: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a , k 1,2, ,10. 10
试求常数a. (a 1)
练习2: 设随机变量X的分布律为：
P( X k) a k , k 0,1,2,...., 0为常数。
离散型随机变量的概率分布
例 保险公司为一单位500名员工办理了一年期 医疗保险，每张保单最多理赔一次。假设员工 是否发生医疗费用是相互独立的，理赔概率为 0.01，问保险期内最可能发生几次理赔，并求 相应的概率。
4. 泊松分布
设随机变量所有可能取的值为0, 1, 2, ,而取各个 值的概率为
P{ X k} ke , k 0,1,2, ,
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验.
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬 币抛 n 次,就是n重伯努利试验.
实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验.
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
n pkqnk k
得 X 的分布律为
X0
1
k
n
pk
qn
n pqn1 1
n pkqnk k
pn
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b(n, p).
二项分布 n 1 两点分布
二项分布的图形
例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
设 Ai 表示“抽到的第 i 个产品是正品”, P{ X k} P( A1A2 Ak1 Ak )
P( A1) P( A2 ) P( Ak1) P( Ak )
(1 p)(1 p) (1 p) p qk1 p.
( k 1)
(k 1,2, )
若随机变量 X 的分布律为
X 1 2 k , p q 1, pk p qp qk1 p
k0 k!
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量简介离散型随机变量是指只能取有限个或可数个值的随机变量。
在概率论与数理统计中，离散型随机变量的概率分布描述了该随机变量每个可能取值的概率。
在实际问题中，常用的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布等。
二、伯努利分布伯努利分布是一种表示两个可能结果的离散型概率分布。
它的特点是每次试验只有两个可能结果：成功和失败。
该分布由一个参数p确定，表示成功的概率，成功的概率为p，失败的概率为1-p。
伯努利分布的概率质量函数如下：P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)其中，x为随机变量X的取值（0或1），p为成功的概率。
三、二项分布二项分布是一种多次独立重复实验的离散型概率分布。
它描述了n次重复独立实验中成功次数的概率分布。
每次实验都有两个可能结果：成功和失败。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
二项分布的概率质量函数如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，X为成功次数的随机变量，k为取值，n表示实验的次数，p为每次实验成功的概率。
四、泊松分布泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内某种事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布适用于很多事件发生的情况，例如到达人口数量、电话交换机接收到的呼叫数量等。
泊松分布的特点是事件的发生率稳定且独立。
泊松分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，X为事件发生次数的随机变量，k为取值，λ表示单位时间（或单位空间）内事件的平均发生次数。
五、几何分布几何分布是描述进行独立重复实验，直到第一次成功出现时的实验次数的离散型概率分布。
每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
几何分布的概率质量函数如下：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p其中，X为成功所需的实验次数的随机变量，k为取值，p为每次实验成功的概率。
2.2离散型随机变量及其概率分布
a P X k , k 1,2,, N , N
试确定常数a.
解 由离散型随机变量分布列的性质（2）规范性，
a a P{ X k} N N N 1 k 1 k 1
N
N
a 1
旧书（56页1题）
1. 判断下面各数列是否为随机变量的分布列，并说明理由．
易于验证：
1) P{ X k}
k
k!
e 0, k 0,1,2,, 非负性
2)
P{ X k}
k 0 k 0
k
k!
e
k
规范性
e
k!
k 0
e e
1
例6：某商店根据过去的销售记录,总结出某种商品每 月的销售量可以用参数为 5 的泊松分布来描述,求： (1)下个月该商店销售2件此种商品的概率是多少？
的概率为：
记为
k n k n k
X ~ B(n, p).源自P X k C p (1 p)
(k 0,1 n)
练习：某射手每次射击时命中10环的概率为 p, 现 进行 4 次独立射击，求 恰有 k 次命中10环的概率。
解：用X 表示 4 次射击后, 命中10环的次数, 则
X 的概率分布为
参数为 np 1 的泊松分布近似计算，得
1 解 因为 500 个错字随机分布在 500 页书上，所以错字出现在每一页的概率都是 ． 500 1 )， 设 X 表示在给定的某一页上出现错字的个数，则 X ~ B(500 , 500
1, X ( ) 0,
X
反面, 正面.
1
1.5 概率论——离散型随机变量的概率分布
1
即，kk00
np np
p p
1
因此 np p 1 k0 np p
于是
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
二项分布的概率计算;
B(k;n, p) P( X k) Cnk pk (1 p)nk
1.直接计算; n 较小 2.查表 n 较大时,ｐ不太大或小时 3.利用泊松分布; n 较大, p较小 4.利用中心极限定理; n 较大
二项分布的概率最大值(众数); 二项分布中 X 可以取值 0,1,2, , n,使概率 Pk 取最大值
的 k记作 k0 , 称 k0为二项分布的最可能取值。已知 n, p 来求 k0
np p k0 np p 1
[np p]
当np p是整数时 当np p是整数时
其它
设P( X k0 )为最大，则有下面不等式组：
因此 X概率分布为 X -1
0
1
2
P 0.3 0.3 0.2 0.2
P( X 1 X 0) P( X 1, X 0) P( X 0)
P( X 1) 0.3 3 1 P( X 0) 0.7 7
二、常见离散型随机变量
1.退化分布
P{X a} 1
2.Bernoulli分布(两点分布,0-1分布) 记为X ～ B(1,p)
(1)P( X 10) 0.9510 0.599
(2)P( X 8) C180 0.958 0.052 0.075 (3)P( X 9) C190 0.959 0.05 0.9510 0.914
4.超几何分布
模型: 一般地，如果有 N个元素分为两大类，第一类 N1个 元素，第二类 N2个元素(N1 N2 N ), 采用不重复抽样， 从N个元素中取出n个元素，那么所取到的第一类元素的 个数 X的分布称为超几何分布。
2.2 离散型随机变量的概率分布
xk S
xk S
概率统计（ZYH）
离散型随机变量的概率分布完全由 分布律 反映：
概率统计（ZYH）
例1 袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任 取1个球，直至取得白球为止，若每次取出的黑球 不再放回去，求取球次数X 的分布律．
解 因为每次取出的黑球不再放回去，所以X 的所有可能取值是1, 2, 3, 4．故由古典概型易知
例6 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为 96﹪,问至少需要发射多少枚导弹才能保证有99.9﹪ 的把握击中敌机？
解 将导弹的每次发射看成一次 试验, 设共发射n次, 击中的次数为X, 则X~B(n,0.96). 故击中敌机的概率为
P{X 1} 1 P{X 0} 1 0.960(1 0.96)n 1 0.04n 因此，要保证有99.9﹪的把握击中敌机, n就应满足
概率统计（ZYH）
2) 二项分布
伯努利资料
将试验E重复进行n次, 若各次试验的结果互不 影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它 各次试验的结果, 则称这n次试验是相互独立的.
设试验E只有两个可能结果：事件A或者发生, 或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次,则称这 一串重复独立试验为n重伯努利（Bernoulli）试验. 简称伯努利试验.
k0
故称该分布为二项分布. 记为 X ~ B(n, p).
用矩阵表示即得分布矩阵:
0 1 k n
X ~ qn
Cn1 pqn1
C
k n
pkqnk
pn
特别地: 二项分布 n 1 0-1分布
应用与背景： n重伯努利试验的概率分布就是二项分布
概率统计（ZYH）
二项分布的图形
概率统计（ZYH）
常用离散型随机变量的概率分布
常用离散型随机变量的概率分布一、离散型随机变量的概念及特点离散型随机变量是指在一定条件下，其取值只能是有限个或者可数个的随机变量。
与连续型随机变量相对应，离散型随机变量的取值只能是整数或者某些特定的值。
因此，它们具有以下几个特点：1. 取值有限或可数2. 每个取值的概率都不为03. 不连续4. 概率分布可以用概率质量函数来描述二、常用离散型随机变量的概率分布及其性质1. 伯努利分布伯努利分布是一种最简单的二项分布，它只涉及到一个试验和两种结果。
伯努利分布表示为：X~B(1,p)，其中p表示事件发生的概率，1-p表示事件不发生的概率。
性质：（1）期望：E(X)=p（2）方差：Var(X)=p(1-p)2. 二项分布二项分布是多次独立重复进行相同试验中成功次数的概率分布。
二项分布表示为：X~B(n,p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=np（2）方差：Var(X)=np(1-p)3. 泊松分布泊松分布是描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
泊松分布表示为：X~P(λ)，其中λ表示单位时间内事件发生的平均次数。
性质：（1）期望：E(X)=λ（2）方差：Var(X)=λ4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立重复试验中，第一次成功所需的试验次数的概率分布。
几何分布表示为：X~G(p)，其中p表示每次试验成功的概率。
性质：（1）期望：E(X)=1/p（2）方差：Var(X)=(1-p)/p^25. 超几何分布超几何分布是描述从有限个物品中抽取不放回地抽取n个物品，其中有m个特定类型的物品的概率分布。
超几何分布表示为：X~H(N,M,n)，其中N表示总共有多少个物品，M表示特定类型的物品有多少个，n表示抽取多少个物品。
性质：（1）期望：E(X)=nM/N（2）方差：Var(X)=nM/N*(N-M)/(N-1)三、离散型随机变量的应用离散型随机变量在实际生活中有广泛的应用。
离散型随机变量的概率分布
离散型随机变量的概率分布一、定义与性质1.离散型随机变量：随机变量X的取值是 countable 的，即X的所有可能取值可以构成一个可数集合。
2.概率分布：离散型随机变量的概率分布是指随机变量取每一个可能值的概率。
3.概率的基本性质：a.非负性：概率值非负，即P(X=x)≥0。
b.归一性：所有可能取值的概率之和为1，即ΣP(X=x)=1。
c.互斥性：不同取值之间的概率没有交集，即P(X=x1)∩P(X=x2)=0（x1≠x2）。
二、概率分布的数学描述1.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）：离散型随机变量的概率分布通常用概率质量函数f(x)来描述，定义为P(X=x)=f(x)。
2.概率分布表：将所有可能的取值及其对应的概率列成表格，称为概率分布表。
3.伯努利分布（Bernoulli distribution）：定义在随机试验成功（记为1）和失败（记为0）上的两点分布，其概率质量函数为P(X=1)=p，P(X=0)=1-p。
4.二项分布（Binomial distribution）：在n次独立重复试验中，成功次数的离散型随机变量遵循二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(n,k)p k(1-p)(n-k)，其中，n为试验次数，k为成功次数，p为每次试验成功的概率。
5.几何分布（Geometric distribution）：在伯努利试验中，第一次成功之前试验次数的离散型随机变量遵循几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p。
6.负二项分布（Negative binomial distribution）：在伯努利试验中，试验次数达到r次之前成功次数的离散型随机变量遵循负二项分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(r-1,k-1)(1-p)(r-k)p k。
7.超几何分布（Hypergeometric distribution）：从N个对象中抽取n 个，其中有K个成功对象，抽取k个成功对象的离散型随机变量遵循超几何分布，其概率质量函数为P(X=k)=C(K,k)C(N-K,n-k)/C(N,n)。
离散型随机变量的概率分布
用随机变量表示随机事件:
在灯泡寿命试验中， {灯泡的寿命不低于1000小时} 可用随机变量X表示为{X≥1000}
用随机变量X表示玉米穗位，则{玉米穗位在100到 120厘米之间}可以表示为{100≤X≤120}
在投硬币试验中， {正面朝上}可以表示为{X=1} 一般地：{X=k} ，{X ≤a} ，{a＜X≤b}表示一个随机 事件。
C130
X
0
1
2
3
pk
1
6
1
3
1
2
10
30
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
三、几种常见的离散型随机变量的概率分布
1. 0-1分布 若随机变量 X 只可能取 0 和 1 两个值，概率分布为
P{X 1} p, P{X 0} q 1 p
( 0＜p＜1，p+q=1) 则称 X 服从0-1分布（p为参数）, 也称为贝努里分布.
50次射击试验中命中的次数等都可以用一个随机变量X
来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；
(2) 一个传呼台单位时间内接到的传唤次数，城市某 十字路口一分钟内通过的机动车数、单位时间内到达 某公交车站等车的人数等都可以用随机变量X来表示， 它所有可能的取值为一切非：h）是一个可以在 (0, +∞)上取值的随机变量，{X>10000}表示“电视机使用 寿命超过10000 h”这一事件．类似的，测量的误差X也 是一个随机变量，它可能的取值为(﹣∞,﹢∞)上任意实 数，{︱x︱ <0.1 }表示“测量的误差在(-0.1, 0.1)内”．
山东农业大学
概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
第二节常见离散型随机变量的概率分布
例2.20 某种玻璃器皿在汽车运输中的破损率为2%，现 在一次运送1200件，试求，(1) 破损件数X的概率分布； (2) 最多破损30件的概率α．
解 (1) 为求破损件数X的概率分布，考虑n=1200次伯努 利试验，每次试验成功的概率为p=0.02，可见X的概率 分布是参数为的二项分布．由于n=1200和p=0.02显然满 足泊松定理的条件，可见近似服从参数为np=24的泊松 分布．
第二节、常见离散型随机变 量的概率分布
一、两点分布（0－1分布）
只有两个可能值的随机变量X的概率分布称做两点分布：
X
~
x1 q
x2 p
(q
1
p,
0
p
1)
特别，若x1 =0 , x2 =1,则称X服从参数为p的0-1分布，亦称伯
努利分布．只计“成功”和“失败”两种结局的试验称做伯
努利
试验．设X是试验成1功 , 的若次试数验：成功 ， X ~ 0 , 若试验失败 ,
n})
；
四、泊松分布、泊松定理和泊松流
称随机变量X服从参数为 0 的泊松分布，如果
PX k λ k eλ (k 0,1,2,)
k!
1、泊松定理 假设X服从二项分布，参数年n充分大，而 p充分小，且 n p 适中，则可以利用泊松分布概率近似计 算二项分布概率．
Ckn
pk (1
p)nk
(np)k k!
因此，至少需要安排3个人值班．
例2.15 假设一部设备在一个工作日因故停用的概率为0.2．一
周使用5个工作日可创利润10万元；使用4个工作日可创利润7
万元；使用3个工作日只创利润2万元；停用3个及多于3个工
作日亏损2万元．求所创利润的概率分布．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散型随机变量的概率分布教案
喀左四高 栾静波
一．教学目标：理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。
了解二点分布，超几何分布并能简单应用，理解n 次独立重复试验二项分布，并能解决一些简单问题。
重点：离散型随机变量分布列的概念性质及二点分布，超几何分布，二项分布的应用。
难点：综合运用排列、组合、概率的知识求实际问题中的概率分布。
二．教学过程： 知识点归纳
1.离散型随机变量：在实验中，实验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着实验结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量 ,随机变量常用大写字母X 、Y …表示，也可以用希腊字母ξ、η，…表示.
如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量. 3 离散型随机变量的分布列:
①,2,1(0=≥i p i …)； ②P 1+P 2+…=1
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.二点分布：
其中p+q=1. 其中 0<p .
5.超几何分布 一般地，设总数为N 件的两类物品中，其中一类有M 件，从所有物品中任取 n 件(n ≤N)，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
P(X=m)=
称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从超几何分布.
注意：超几何分布一定满足①不放回抽样；②总体中的任何一个样本被抽到的概率都相等；③总体中的样本一定可区分出两种迥然不同的类别，并且彼此无影响。
6二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k
n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．
注意：二项分布满足条件：
①每次试验中，事件发生的概率是相同的； ②各次试验中的事件是相互独立的；
③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生； ④随机变量是这n 次独立重复试验中事件发生的次数.
),0(中较小的一个和为M n l l m C C C n
N
m
n M
N m
M ≤≤--
基础自测
1．下列四个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是( )
A B
C D
2
____.
典例精讲
例1一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小球，以ξ表示取出球的最大号码，求ξ的分布列．
注意：
1.求一随机变量的分布列，可按下面的步骤进行：
(1)明确随机变量的取值范围；
(2)求出每一个随机变量的取值所对应的概率；
(3)制成表格．
2.关于离散型随机变量的分布列的理解：
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
例2从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，求X的分布列.
点评：此随机变量服从超几何分布。
例3 某工人生产的产品的正品率是0.9，从该工人生产的产品中任抽3件检验，记其中的正
品的件数为X .
(1) 求X 的概率分布；(2)若X =3，2，1，0时，该工人将分别获得200，100，100，0元的
奖励，求该工人所得奖励Y (元)的概率分布.
注意：同样是建立在独立重复试验上，X 服从二项分布，而Y 不服从二项分布，只有在独立重复试验中反映事件 A 在 n 次试验中发生的次数的随机变量才服从二项分布，注意区分. 练习 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列
分析：随机变量ξ可以取0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机
变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析
解：（1）P （ξ=0）=3
10
3
8
C C =
15
7，P （ξ=1）=
3
10
2
812C C C =
15
7，P （ξ=2）=
3
10
2
218C C C =
15
1，
所以ξ的分布列为
（2）P (η=k )=C k
3·08
3－k
·02k
（k =0，1，2，3），所以η的分布列为
二是求出取每一个值时的概率对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．
走进高考
例4（2011山东高考题）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，
乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用 ζ表示红队队员获胜的总盘数，求 ζ 的分布列及数学期望E ζ 。
解题指导：
这道高考题考查了相互独立事件，对立事件和互斥事件的概率。
解决这类问题，透彻理解概念是前提，把较复杂的事件分解成若干个互斥的事件并恰当利用相互独立事件的概率公式是解题的关键。
达标演练（以题篇的形式发给学生，供学生练习巩固使用）。