四川省成都某重点中学2014～2015学年高二上期期中考试数学理 Word版含答案

四川省成都某重点中学2014～2015学年高二上期期中考试数学理本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，只将答题卷交回．第I 卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卷上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1．直线y =+的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒ 2．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++= 3．圆22(4)9x y -+=和圆22(3)4x y +-=的公切线有A ．条B ．2条C ．条D ．4条4．已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域内运动，则z x y =-的最大值是A ．1-B ．C ．2-D ．25．已知α，β，γ，δ表示不同的平面，为直线，下列命题中为真命题的是 A ．,αγβγαβ⊥⊥⇒P B ．,αββγαγ⊥⊥⇒⊥ C ．,,αγβδαβγδ⊥⇒P P P D ．,,l l αγβγαβγ⊥⊥=⇒⊥I6．若点(5,)b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为A ．4-B ．4C ．5-D ．57．过点(1,0)P -作圆22:(1)(2)1C x y -+-=的两切线，设两切点为A 、B ，圆心为C ，则过A 、B 、C 的圆方程是A ．22(1)2x y +-=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)4x y -+=D ．22(1)1x y -+=8．二面角l αβ--为60︒，A 、B 是棱上的两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC l ⊥，BD l ⊥且1AB AC ==，2BD =，则CD 的长为A ．BC ．2 D9．已知AC ，BD 为圆22:9O x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为A． B ．15 C． D ．1810．在直角ABC V 中，30ACB ∠=︒，90B ∠=︒，D 为AC 中点（左图）．将ABD V 沿BD 折起，使得AB CD ⊥（右图），则二面角A BD C --的余弦值为A ．13-B ．13C． D第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分． 11．已知向量(2,1,3)a =-r，(4,2,)b x =-r ，若a b r r P 则x = ▲ ．12．空间四边形ABCD 的对角线10AC =，6BD =，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，7MN =，则异面直线AC 和BD 所成的角等于 ▲ ．13．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为 ▲ ．14．已知PA 垂直于边长为的正六边形ABCDEF 所在的平面，且1PA =，则P 到直线CD 的距离是 ▲ ．15．直线:2l y kx k =+曲线:C y =有两个不同的交点，平面区域02y y kx k⎧⎪≤≤⎨≥+⎪⎩的面积为S ．若2S π≥-，则实数k 的取值范围为▲ ．三、解答题：本大题共6小题，合计75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）直线34120x y -+=与坐标轴的交点是圆C 一条直径的两端点． （I ）求圆C 的方程；（II ）圆C 的弦AB1(1,)2，求弦AB 所在直线的方程．17．（本小题满分12分）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1DD 的中点． （I ）求证：1BD P 平面AEC ； （II ）求异面直线1BC 与AC 所成的角．18．（本小题满分12分）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 23cos()1A B C -+=． （I ）求角A 的大小；（II ）若ABC V 的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值．19．（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面相互垂直，AB CD P ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥．（I ）求证：AB DE ⊥； （II ）求直线EC 与平面ABE 所成的角的正弦值；（III ）线段EA 上是否存在点F ，使得EC P 平面FBD ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点（左图），现将梯形ABCG 沿着AG 折起到AFEG ．直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒（右图）．（I ）求证：FG ⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B EF A --的平面角的正切值．21．（本小题满分14分）点P 到(2,0)A -的距离是点P 到(1,0)B 的距离的2倍． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）点P 与点Q 关于点(2,1)对称，点(3,0)C ，求22||||QA QC +的最大值和最小值． （III ）若过A 的直线从左向右依次交第（II ）问中Q 的轨迹于不同两点E ，F ，FA EA λ=uu r uu r，判断k 的取值范围并证明．高2016届2014—2015学年度上期期中考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：1．C ． 2．B ． 3．C ． 4．D ． 5．D ． 6．B ． 7．A ． 8．C ． 9．B ． 10．A ． 二、填空题：11．6-． 12．60︒． 13．． 14．2． 15．[0,1]．三、解答题： 16．解：（I ）直线34120x y -+=与两坐标轴的交点分别为(4,0)A -，(0,3)B ．（2分） 所以线段AB 的中点为3(2,)2C -，||5AB =．（4分）故所求圆的方程为22235(2)()()22x y ++-=．（6分）（II ）设直线AB 到原点距离为d ，则1d ==．（8分） 若直线AB 斜率不存在，不符合题意．若直线AB 斜率存在，设直线AB 方程为1(1)2y k x -=-，则1d ==，解得0k =或34k =-．（11分） 所以直线AB 的方程为210y -=或3450x y +-=．（12分）17．解：（I ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．因为E ，O 分别是1DD 与BD 的中点，所以1OE BD P ．（3分）又因为OE 在平面AEC 内，1BD 不在平面AEC 内，所以1BD P 平面AEC ．（6分）（II ）连结11,A C A B ，由于11AA CC P 且11AA CC =四，所以边形11ACC A 为平行四边形，11AC A C P ，异面直线1BC 与AC 所成的角为11A C B ∠或其补角．（9分）而11A BC V 为正三角形，所以异面直线1BC 与AC 所成的角为60︒．（12分）18．解：（I ）由cos 23cos()1A B C -+=，得22cos 3cos 20A A +-=．（2分） 即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）．（4分） 因为0A π<<，所以3A π=．（6分）（II）由1sin 2S bc A ===20bc =．又5b =，知4c =．（8分） 由余弦定理得2222cos 21a b c bc A =+-=，故a =．（10分） 从而由正弦定理得22sin sin 2035sin sin sin 2147b Ac A bc B C A a a a =⋅==⨯=．（12分）19．解：（I ）取AB 的中点O ，连结EO ，DO ．因为EB EA =，所以EO AB ⊥．因为四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB OD ⊥．因为EO DO O =I ，所以AB ⊥平面EOD ，所以AB ED ⊥．（4分）（II ）因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO AB ⊥，所以EO ⊥平面ABCD ，所以EO OD ⊥．由OB ，OD ，OE 两两OEC 1CD 1B 1DA 1BAz yxFODCEAB垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为EAB V 是等腰直角三角形，所以OA OB OD OE ===．设1OB =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)D ，(0,0,1)E ．所以(1,1,1)EC =-uu u r ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =uuu r ．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ⋅=<>==⋅uu u r uuu ruu u r uuu r uu u r uuu r EC 与平面ABE 所成的角．（8分） （III ）存在点F ，且13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（9分） 证明如下：由111(,0,)333EF EA ==--uu u r uu r ，12(,0,)33F -，所以42(,0,)33FB =-uu r ，(1,1,0)BD =-uu u r ．设平面FBD 的法向量为(,,)v a b c =r ，则有00v BD v FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uu r ，所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩．取1a =，得(1,1,2)v =r ．因为0EC v ⋅=uu u r r 且EC ⊄平面FBD ，所以EC P 平面FBD ．即点F 满足13EF EA =时，有EC P 平面FBD ．（12分）20．解：（I ）在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，6AB =，3AD =，G 为CD 中点，得BG AG ⊥，所以FG AG ⊥．（2分）又因为直线GE 与平面ABCD 所成角为30︒，所以直线AF 与平面ABCD 所成角为30︒，所以F 到平面ABCD 的距离为．所以FG ⊥平面ABCD ．（6分）（II ）由（I ）知FG BG ⊥，所以BG ⊥平面ABCD ．（8分）过点G 作GH EF ⊥，垂足为H ，则BH EF ⊥，所以BHG ∠为所求二面角的平面角．（11分） 在直角BGH V 中，3BG =，GH =，tan BHG ∠=13分）H EFG C DBA21．解：（I ）设点(,)P x y ，由题意可得||2||PA PB ==．化简可得22(2)4x y -+=．（4分）（II ）设00(,)Q x y ，由题可得4)2(22=+-y x ，⎩⎨⎧⨯=+⨯=+122200y y x x 代入上式消去可得4)2()2(2020=-+-y x ，即Q 的轨迹为4)2()2(22=-+-y x ，即y x y x 44422+=++．（6分） 令222222||||(2)(3)z QA QC x y x y =+=+++-+2222213685x y x x y =+-+=++．所以0586=-++z y x ，21033=≤-=r z d ，所以1353z ≤≤．因此22||||QA QC +的最大值为53，最小值为13．（9分） （注：用参数方程计算的参考给分） （III ）λ的取值范围是．（10分） 证明：设11(,)E x y ，22(,)F x y 且12y y <．因为FA EA λ=uu r uu r ，所以21212(2)x x y y λλ+=+⎧⎨=⎩，且1λ>．（11分）设过A 的直线方程为2x ty =-（一定存在），与Q 的轨迹方程联立，2224440x ty x y x y =-⎧⎨+--+=⎩．消去x 得22(1)(84)160t y t y +-++=．22(84)64(1)0t t ∆=+-+>，解得34t >．而122841t y y t ++=+，122161y y t =+，212122112()2y y y y y y y y +++=，因此2143162445251(43)6(43)t t t t λλ-++=+=+≤+-++-，当且仅当2t =时等号成立．所以130λλ+-≤（1k >），解得1λ<≤（14分） （注：用平面几何方法得出结论的参考给分．）。