正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较

摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。 这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。 关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法

一.预备知识

1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞

=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,

n x n ≥= 则称

此级数为正项级数

2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。 若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞

例 级数22(1)(1)

n n n n ∞

=⎤⎥-+⎦

∑是正项级数。它的部分和数列的通项 21

12212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-

=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑， 所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞

=⎡⎤⎥-+⎦

∑收敛。 在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。

二.常规审敛法：

1.达朗贝尔审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1

lim n n n

U L U +→∞=，当

L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例 1 考虑级数22331

111111

,232322

n n x ∞

==

++++++∑ 则

2lim n →∞

==； 113lim lim 2n

n n n n n

x x +→∞→∞+==+∞； 12lim lim 03n n n n n n

x x →∞→∞+== 所以级数收敛 2.拉贝审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1

lim (1)n n n

U n L U +→∞

-

=，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。 例 2 判断级数 1

(21)!!1

1(2)!!21n n n n ∞

=-++∑

的敛散性 解设 (21)!!1(2)!!21

n n x n n -=

+ 则 2

1(21)lim lim 1(22)(23)n n n n

x n x n n →∞→∞++==++，

（达朗贝尔审敛法不可用） ()21(65)3

lim (

1)lim 12

21n n n n x n n n x n →∞

→∞++-==>+ 所以级数1(21)!!1

1(2)!!

21n n n n ∞

=-++∑

收敛 三.常规审敛法的比较

由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。

但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数a u ∑来说，如果1

lim

1a n a

u u +→∞=时，则比值审敛法就无法对级

数的敛散性作出审敛。例如，我们不难证明，当a u 为n 的有历史时，总有

1

lim

1a n a

u u +→∞=，也就是说此时比值判定法必定失效。这足以说明比值审敛法的应用

范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。

拉贝审敛法：设a u ∑是正项级数，如果1

lim (

1)a

n a u n p u →∞

+-=那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。（此证明详见数学分析教材） 但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串1

(

1)a

a u n u +-的极限显然一般要比求达朗贝尔数串

1

a a

u u -的极限来的复杂。 四.推广比值审敛法：

1.推广比值审敛法法1（隔项比值审敛法）：设正项级数a u ∑的项单调递减，如果2lim

a

n a

u p u →∞

=则p<12时级数收敛；而当p>1

2时级数发散。

2.推广比值审敛法2（双比值审敛法）：对于正项级数

a

u

∑，如果

2211

l i m l i m a a n n a a u u

p u u +→∞→∞+==那么，当p<12时级数收敛；当p>12时级数发散。 推论 对于正项级数a u ∑，如果1lim

1a n a

u u +→∞=且2lim a n a u

p u →∞=存在，那么当p<12时

级数收敛；当p>1

2

时级数发散。

由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关系问题。

为此先看一个具体例子。

例3 讨论级数!n

n

n n e

∑的敛散性