正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较

正项级数的常用审敛法和推广比值审敛法的比较摘 要 数项级数是数的加法从有限代数和到无限和的自然推广．由于无限次相加，许多有限次相加的性质便在计算无限和时发生了改变．首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能根本不存在有意义的结果。

这就是说，一个级数可能是收敛或发散的．因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。

在通常的微积分学教程中，审敛正项级数的敛散性有许多有效的方法，比如达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法等，本文就达朗贝尔审敛法和拉贝审敛法与几个新审敛法进行一些适当的比较总结，另对其应用做一些举例验证。

关键词 数学分析 正项级数 推广比值审敛法一.预备知识1.正项级数的定义 如果级数1n n x ∞=∑的各项都是非负实数，即0,1,2,,n x n ≥= 则称此级数为正项级数2..收敛定理 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有上界。

若正项级数的部分和数列无上界，则其必发散到+∞例 级数22(1)(1)n n n n ∞=⎤⎥-+⎦∑是正项级数。

它的部分和数列的通项 2112212ln ln ln 2ln ln 2(1)(1)11n n n k k k k k n s k k k k n ++==⎤++⎡⎤=<-=-<⎥⎢⎥-+-+⎣⎦⎦∑∑， 所以正项级数22(1)(1)n n n n ∞=⎡⎤⎥-+⎦∑收敛。

在正项级数敛散性的各种审敛法中，达郎贝尔比值审敛法是最简单而又最常用的审敛法。

二.常规审敛法：1.达朗贝尔审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim n n nU L U +→∞=，当L<1，级数收敛，当L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例 1 考虑级数22331111111,232322n n x ∞==++++++∑ 则2lim n →∞==； 113lim lim 2nn n n n nx x +→∞→∞+==+∞； 12lim lim 03n n n n n nx x →∞→∞+== 所以级数收敛 2.拉贝审敛法 123U U U +++……n U ++…… 0U >，若1lim (1)n n nU n L U +→∞-=，则当L<1，级数收敛，L>1，级数发散，L=1，不能审敛。

例 2 判断级数 1(21)!!11(2)!!21n n n n ∞=-++∑的敛散性 解设 (21)!!1(2)!!21n n x n n -=+ 则 21(21)lim lim 1(22)(23)n n n nx n x n n →∞→∞++==++，（达朗贝尔审敛法不可用） ()21(65)3lim (1)lim 1221n n n n x n n n x n →∞→∞++-==>+ 所以级数1(21)!!11(2)!!21n n n n ∞=-++∑收敛 三.常规审敛法的比较由以上两种正向级数的审敛法我们不难看出，相对于达朗贝尔审敛法，拉贝审敛法要更加精细，简洁，这两种审敛法中，达朗贝尔审敛法更为基础，拉贝审敛法的应用相比较之下更为广泛。

但是以上两种审敛法只适用于那种收敛较快或发散较快的正项级数。

但实际上，这个审敛法之可能对那些与几何级数的收敛速度或发散速度相当的正项级数有效，而对正项级数a u ∑来说，如果1lim1a n au u +→∞=时，则比值审敛法就无法对级数的敛散性作出审敛。

例如，我们不难证明，当a u 为n 的有历史时，总有1lim1a n au u +→∞=，也就是说此时比值判定法必定失效。

这足以说明比值审敛法的应用范围很窄，因此需要建立一些更细致因而也就更复杂的审敛法。

其中，比较常用的是下面的拉贝审敛法。

拉贝审敛法：设a u ∑是正项级数，如果1lim (1)an a u n p u →∞+-=那么，当p>1时级数收敛：而当p<1时级数发散。

（此证明详见数学分析教材） 但是使用拉贝审敛法的时候，求拉贝数串1(1)aa u n u +-的极限显然一般要比求达朗贝尔数串1a au u -的极限来的复杂。

四.推广比值审敛法：1.推广比值审敛法法1（隔项比值审敛法）：设正项级数a u ∑的项单调递减，如果2liman au p u →∞=则p<12时级数收敛；而当p>12时级数发散。

2.推广比值审敛法2（双比值审敛法）：对于正项级数au∑，如果2211l i m l i m a a n n a a u up u u +→∞→∞+==那么，当p<12时级数收敛；当p>12时级数发散。

推论 对于正项级数a u ∑，如果1lim1a n au u +→∞=且2lim a n a up u →∞=存在，那么当p<12时级数收敛；当p>12时级数发散。

由于这两个审敛法法在内容上又不少相似的地方，我们自然会考虑它们之间的关系问题。

为此先看一个具体例子。

例3 讨论级数!nnn n e∑的敛散性解：首先难验算有1lim 1n n nu u +→∞=，所以达朗贝尔审敛法失效，考虑改用推广比值审敛法。

先用隔项比值审敛法，因为1(1)(1)n n n n e n n +>+=，因此()11!1!n n n n n n n e n e ++>+，即使1n n u u +>。

在利用斯特林公式12!()(01)n n n n e eθθ=<<，有2222222(2)!(2)!(2)1lim lim lim lim (2)!(2)!2n n n n n n n n n n n n n n n n n nu n n e n e n n e u n e n n e n n e →∞→∞→∞→∞⋅=⋅===> 所以所给级数发散。

如果对于本题直接用双比值审敛法，则需要计算两个极限，运算较为繁琐。

由于已知1lim1n n nu u +→∞=，因此改用审敛法的推论，只需要推出21lim 2n n n u u →∞>，计算过程与第一种方法相同。

但免去了证明级数项的递减性。

由此可见，虽然双比值审敛法比隔项审敛法的形式复杂，但是当对于正项数级先试用达朗贝尔审敛法出现1lim1n n nu u +→∞=的情况时，如果改用双比值审敛法的推论，可以不必考虑级数的项是否递减。

也就是说，这时双比值审敛法的实用性更好一些。

反之，当容易证明正项级数的项具有递减性时以及2n n u u 比1n nuu +的极限更容易计算时，就适宜应用隔项比值审敛法。

一般说来，这两种推广比值审敛法不能互相代替，同时也难以比较它们的强弱。

因为，如果2limn n n u p u →∞=且{n u }递减，则一般并不能推出21lim n n n uu +→∞存在并等于p ；反过来，如果2limn n n u p u →∞==21lim n n nuu +→∞=p 存在，则{n u }并不一定递减。

五.推广比值审敛法与常规审敛法的比较我们知道，例3也可以用拉贝审敛法判定其发散性。

因此我们自然要考虑上面的推广比值审敛法与拉贝审敛法之间的强弱问题。

也就是要问，对给定的正项级数。

如果能用某个推广比值判定法判定敛散性，是否一定能用拉贝审敛法？或者反过来，能用拉贝审敛法确定敛散性的正项级数是否必定可用前者判定法判定。

这一问题比较复杂，所以本文只给出下面的一些结果。

命题1 设n u >0，如果1l i m (1)()n n n up p u →∞+-∞⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪+∞⎩则有21l i m (2n p n n u p u →∞+∞⎧⎪⎪=-∞<<+∞⎨⎪⎪⎩）证明 当p -∞<<+∞时，任意取定0ε>，由条件，对一切充分大的n 都有1(1)22n n u p n p u εε+-<-<+（1） 记 'p p ε=-，则不难知道，量1(1)'1lim1n p n n →∞+-等于函数'(1)p x +在点x=0的导数，也就是数'p 。

因为'2p p ε<-，所以对充分大的n ，有1(1)'112p n p nε+-<-从而112(1)(1)'1p p p n nnεε--+=+<+因此由（1）式得1121(1)p nn p u u n nεε-+-≥+>+同理，当n 充分大时，有11(1)p n n u u nε++<+ 现不妨设0ε>充分小，由上述知有自然数N ，使对一切n>N ，有111(1)(1)p p n n u n u n εε-+++<<+1211(1)(1)11p p n n u n u n εε-++++<<+++ ……21211(1)(1)2121p p n n u n u n εε-+-+<<+-- 以上n 个不等式相乘后再倒数得21122n p p n u u εε+-<< 注意到ε得任意性取上式的极限得 21lim2n p n nu u →∞=现在设li m (1)n n nun u →∞-=-∞，则0M ∀>，∃自然数12M N >，当1n N >时，有1(1)nn u n M u +-<- 所以1112n n u M Mu n n +<-<-121112n n u M Mu n n++<-<-+ ……21211212n n u M Mu n n-+<-<-- 又因为 2lim(1)lim(1)22Mn n n M Me n n-→∞→∞-=-<所以∃自然数2N ，当n>2N 时有(1)2n M n -<2M e -,此时 22(1)2Mnn n u M o e u n-<<-<于是0M ∀>，∃自然数12max{,}N N N =，当n>N 时，有22(1)2M n n u Mo e u n-<<-<；由M 的任意性可知：2lim 0n n nu u →∞=，即2l i m n n n u u →∞=+∞，类似可证1lim (1)n n n un u →∞+-=+∞时情形。

由此可见，对正项级数n u ∑来说，如果拉贝数串1(1)nn u n u +-的极限值p 分别为大于（小于）1的数，+∞，-∞；则2l i mnn nu u →∞将分别小于（大于）12的正数，0及+∞，从而可得出下面的结论：如果正项级数n u ∑的项虽然一般未必递减。

但如果1lim (1)0n n n u n p u →∞+-=>，则当n 充分大时，有1(1)0n n un u +->，从而有1n n u u +>，这从另一个侧面说明了拉贝审敛法与隔项比值法具有一定的内在联系。