固体复习-1

q 的取值可限制在一个倒格子原胞中。但有时不方便。
通常选 第一布里渊区 —— 作由原点出发的各倒格子矢量的垂直平 分面，它们围成的最小体积。 布里渊区 环绕原点更为对称。
二维布里渊区 —— 正方格子的布里渊区
正方格子的基矢 a1 ai
倒格子原胞基矢 第一布里渊区 离原点最近的四个倒格点 垂直平分线方程
简单晶格，任一原子A的位矢
Rl l1a1 l2a2 l3a3
Rl ra l1a1 l2 a2 l3a3 , 1, 2, 3 可以用 l1a1 l2 a2 l3a3 表示一个空间格子（点阵）
复式晶格：
原胞中任一原子 A 的位矢
2π(l1h1 l2 h2 l3h3 ) 2πn
2) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积 3）正格子中一簇晶面 和
(2 ) *
正交
3
可以证明:
Gh1h2h3 CA 0 Gh1h2h3 CB 0
与晶面族正交
或：倒格子矢量
是晶面
的法线方向
单胞基矢用 a , b , c 表示
简单立方晶格 — 单胞是原胞 面心立方晶格 — 单胞不是原胞
二、简单晶格
(1) 简单立方晶格 (简立方)： 原胞为简单立方单元的晶格
a1 ai , a2 aj , a3 ak
a a1 ( j k ) 2 a a2 ( k i ) 2 a a3 (i j ) 2
2
相邻原子位相差
时原子的振动状态相同，故


a
q

a
—— 第一布里渊区内
玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件
2 q h Na
N N h 2 2
即 h 有N个值，所以波矢 q 取 N 个不同的分立值。 每个 q 对应着一个格波—— 第一布里渊区包含N个状态
长波极限下:
(1) 基矢 a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成 h1, h2, h3等份 (2) 以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上 的截 距倒数的比 (互质)
用 (h1h2h3 ) 标记这个晶面系, 叫做 密勒指数！
例2：如图所示 a b c ，I和H
a2 aj 2 b2 j a
ky
第二布里渊区

a
—— 第一布里渊区
第四章 能带理论
电子满足波动方程 晶格周期性势场
V ( r ) V ( r Rn )
2 [ V ( r )] E 2m
2
晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理: 第一步简化 —— 绝热近似：离子实质量比电子大，离子运动速 度慢，讨论电子问题，认为离子是固定在瞬时位置上 第二步简化 —— 利用哈特里一福克自治场方法，多电子问题 简化为单电子问题，每个电子是在固定的离子势场以及其它电子 的平均场中运动 第三步简化 —— 所有离子势场是周期性势场
2） 长光学波
B m ( ) A M
长光学波相邻原子振动相反，同种原子振动位相一致。 是原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动。
§3.4 三维晶格的振动
对应于一个波矢 q ： 有 3 支声学波 和 3n－3支光学波
所以总的格波数目
N (3 3n 3) 3nN
—— 晶体中原子的坐标数目，即晶体总自由度数。
第一布里渊区允许的 q 值的数目：即 晶体中的原胞数目N 对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波 所以 总的格波数目为 2N = 原子的数目（一维情况）
长波极限（
）——实际问题中特别重要
1）长声学波（如图）
q
长声学波中相邻原子的振动：
B ( ) 1 A
即：原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致 —— 代表原胞质心的振动（相邻原子的振动）
—— 布洛赫定理 即当平移晶格矢量 时, 波函数只增加了位相因子
根据布洛赫定理，电子的波函数可写成
ik r ( r ) e uk (r ) — 布洛赫函数 其中晶格周期性函数 u ( r R ) u ( r ) k k
平移算符
的性质 ——
平移算符的本征值
一维单原子晶格的格波可看作是弹性波。 晶格可以看成是连续介质。
一个波长内包含许多原子，而且相邻原子的位相相同，振幅也 几乎相同，所以长波近似下晶格看作是连续介质。
短波极限下:
又： qa → π, 所以相邻两个原子振动的位相相反(如图)
§3.3 一维双原子链 声学波和光学波
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
(2) 面心立方晶格
原胞基矢
单胞基矢
a ai , b aj , c ak
(3) 体心立方晶格
a 基矢 a1 ( i j k ) 2 a a2 (i j k ) 2 a a3 (i j k ) 2
6. 几种化合物晶体的晶格
(1) NaCl晶体的结构 (2) CsCl晶体的结构
(3) ZnS晶体的结构 —— 闪锌矿结构
一、 晶格周期性的描述 —— 原胞和基矢
原胞: 晶格中最小重复单元 基矢：原胞的边矢量
a1 , a2 , a3
重复单元的边长矢量
单胞 —— 为了反映晶格的对称性， 常取最小重复单元的几倍 作为重复单元
——布拉伐格子
晶体可以看作是在布拉伐格子（Lattice）的每一个格点上放上 一组原子（Basis 基元）构成的
简单晶格 —— 基元是一个原子 复式晶格 —— 基元是两个及以上原子
§1.3 晶向 晶面和它们的标志
一、 晶向及其标志
连接格点所形成的一簇 平行直线叫做 晶列。如：
将 化为一组互质整 数，叫做晶向指数，或叫 晶 列指数。记为
2. 晶面方位的表示：
以原胞的 为基矢 建立坐标系
★可用晶面的法线方向标志晶面； ★或用晶面在三个坐标轴上的截距 设 末端上的格点分别落在 的晶面上。 离原点的距离为 —— 互质的整数， 是各个基矢被晶面簇所分的份数。
则 最靠近原点的晶面在 各坐标轴上的截距为
晶面指数 (h1h2h3 ) 表示的意义是：
第一章 晶体结构 §1.2 晶格周期性描述
晶体：在微米量级的范围是有序排列的 ——长程有序。 晶体有一定的熔点（长程序解体）。 物理性质各向异性。 非晶体 不具备长程有序特点
按原子的排列规则，课分为以下几种晶格： 1. 简单立方晶格 2. 体心立方晶格 （Li、Na、K、Rb、Cs、Fe 等 ）
3. 六角密排晶格（Be、Mg、Zn、Cd 等） 4. 面心立方晶格（Cu、Ag、Au、Al 等） 5. 金刚石晶格结构
D
A
c
b
C
B I
G
a
分别为BC，EF之中点，试求晶面
AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密 勒指数。 AEG 在三个坐标 1 轴上的截距 1 1 1:1:1 (111) ABCD 1 1 1 1 : : 1 (001) DIHG 2 1 1 1 1 : : 2 1 (120)
三、复式晶格 (每个原胞包含两个或更多的原子)
(1) 不同原子或离子构成的晶体
NaCl CsCl ZnS等
(2) 相同原子但几何位置不等价的原子构成 的晶体 金刚石结构的C、Si、Ge
(3) 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子 晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成
四、晶格周期性的描述 —— 布拉伐格子
O
E
H
F
以单胞的基矢为参考，所得出的密勒指数，有着重要的意义。
例：立方晶格的几种主要晶面标记 （简单立方、面心立方、体心立方）
截距∞ 则 hi = 0
（110）
（111）
（100） （001） （010）
（100）
§1.4 倒格子
一 根据原胞基矢定义三个新的矢量：倒格子基矢量
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3 a1 a2 b3 2 a1 a2 a3
面间距
上式表明：
2 d h1b1 h2b2 h3b3
密勒指数较小的晶面系，晶面之间的间距较大。这样的晶面上 原子的分布密度比较大。 密勒指数较大的晶面系，晶面之间的间距较小。这样的晶面上 原子的分布密度比较小。
§3.2 一维单原子链
4 2 aq sin ( ) m 2
二、晶面的标志 1. 晶面
在布拉伐格子中作一簇平行、等间距的平面，可将 所有格点包括无遗——晶面
l晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距。 l平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点； l晶面上格点分布具有周期性 l同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同；
所以，每一族晶面中必有一个晶面通过原点。
三 倒格子与正格子间的关系
1)
R l G h 2πn
(n为整数)
其中 R l 和G h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。 证： R l l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
பைடு நூலகம்
G h h1 b1 h2 b 2 h3 b3
R l G h (l1 a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 b1 h2 b 2 h3 b3 )
倒格子每个格点的位置 —— 倒格子矢量 倒格子基矢的性质
2 (i j ) ai b j 2ij 0 (i j )
倒格子基矢的量纲是 [长度]-1，与波矢 k 的量纲相同。 倒格子空间是正格子的倒易空间 。