1 求二次函数的函数关系式
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
二次函数的三个公式
二次函数的三个公式二次函数是数学中一个非常重要的函数类型，它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
二次函数的图象是一个抛物线，它具有许多特殊的性质和应用。
本文将介绍三个与二次函数相关的重要公式：顶点坐标公式、求根公式和因式分解公式。
以下将对这三个公式进行详细解释。
一、顶点坐标公式：顶点坐标公式用于求二次函数的顶点坐标。
对于一般形式的二次函数，顶点坐标可通过完成平方的方式得到。
通过平方完成后的二次函数可以很容易地确定顶点的坐标。
1. 单项平方完成法：即通过对给定二次函数的 x^2+bx 形式的项进行平方处理来获得新的形式。
具体的步骤如下：(1) 对二次函数中的 x^2+bx 项进行平方，得到 (x + b/2)^2(2)将原二次函数的其他项以及平方后的项整理并合并，得到新的二次函数形式。
(3)通过对比新二次函数形式与常用的二次函数形式y=a(x-h)^2+k，确定顶点的坐标为(h,k)。
2.完全平方公式：完全平方公式是一种常用的平方完成的方法，通过将给定的二次函数形式化为完全平方形式进行求解顶点坐标，具体的步骤如下：(1) 对二次函数的一般形式 f(x) = ax^2 + bx + c，将 x^2+bx 部分用完全平方形式进行表示，即将 bx 部分的一半平方后加上一个常数项k，表示为 (x + b/2a)^2 + k。
(2)将完全平方公式的形式与原二次函数形式进行对比，可以得到a、b、c项与k的关系。
(3)通过对比得到的关系，可以确定顶点的横坐标h=-b/2a，并将其带入完全平方公式中求解出纵坐标k。
通过顶点坐标公式可以快速求解二次函数的顶点坐标，这对于解析二次函数的图像及相关问题具有重要的意义。
二、求根公式：求根公式是用来寻找二次函数的零点（也称为根或解）的一种方法。
一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c 的零点表示为 x1 和 x2，可以通过求根公式来确定。
中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题
专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。
二次函数解析式的几种求法ppt
∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。 ∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
F
E
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
a = -0.1
∴即：三、Fra bibliotek用举例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴
∴ a = -1 ∴ 即：
-
五、小结
1、二次函数常用解析式
一般式 顶点式 交点式
2、求二次函数解析式的一般方法：平移式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
-
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米， 当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解 析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由 （不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
二次函数解析式的几种求法 （第一课时）
涵水小学 王儒钦
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
-
二次函数的几种解析式及求法
二次函数解析式
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
求二次函数关系式
这种方法基于二次函数的性质，通过设定一个特定的形式来表示二次函数，使得求解过程更加简便。
利用已知的两个交点坐标代入关系式中
总结词
将已知的两个交点坐标代入二次函数关 系式中，可以得到一个关于a的方程组。
VS
详细描述
通过代入坐标，可以将二次函数关系式转 化为关于a的方程组，从而求解出a的值。
解方程组求出a的值
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2. ax2^2 + bx2 + c = y2
总结词：将已知的三点坐标代入 二次函数关系式中，得到一个关 于a、b、c的方程组。
1. ax1^2 + bx1 + c = y1
3. ax3^2 + bx3 + c = y3
解方程组求出a、b、c的值
总结词
解这个方程组，可以得到a、b、c的值，从而确定二次函数的关系式。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a}, fleft(-frac{b}{2a}right)right)$。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标可以通过将$x = frac{b}{2a}$代入函数关系式求得。
02
已知三点求二次函数关系式
设二次函数关系式为y=ax^2+bx+c
详细描述
二次函数的一般形式是数学中描述二次函数的经典方式，其中$a$、$b$和$c$是 常数，且$a neq 0$。
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向由系数$a$决定 。当$a > 0$时，开口向上；当$a < 0$时，开口向下。
详细描述
二次函数的开口方向取决于系数$a$的 正负。如果$a > 0$，则抛物线的开口 向上；如果$a < 0$，则抛物线的开口 向下。
解二次函数方程的公式
解二次函数方程的公式二次函数方程是形如y=ax^2+bx+c的二次函数，其中a，b，c都是实数且a不等于零。
这个方程的解法有三种常用的方法：配方法、因式分解法和求根公式法。
一、配方法配方法是一种通过配方将二次函数转换为完全平方的形式，然后再求解的方法。
1. 已知二次函数方程为y=ax^2+bx+c，先将方程右侧的常数项c移至左侧得到y=ax^2+bx=-c。
2. 将方程右侧的线性项bx进行配方，即取二次项系数的一半，即(b/2)^2，加减到方程左侧得到y+bx+(b/2)^2=(-c)+(b/2)^23. 左侧的三项可以写为一个完全平方的形式，即(y+(b/2))^2，右侧展开得到y^2+by+(b/2)^2=(-c)+(b/2)^24. 将方程进一步变形得到(y+(b/2))^2=(b^2-4ac+4c)/4a。
5.对右侧的式子进行化简，如果可以得到一个完全平方，则方程有解，否则方程无解。
6.如果得到一完全平方，令右侧等于d^2，则方程变为(y+(b/2))^2=d^27.对上述方程取正负根，得到两个方程y+(b/2)=±d。
8.解两个方程，得到x的值，即为二次函数方程的解。
二、因式分解法因式分解法是一种将二次函数方程进行因式分解，然后再求解的方法。
1. 已知二次函数方程为y=ax^2+bx+c，先将方程右侧的常数项c移至左侧得到y=ax^2+bx=-c。
2. 对方程左侧进行因式分解，将y进行拆分为两个因子，即y=(px+q)(rx+s)。
其中p、q、r、s是待定系数。
3.对右侧的常数项-c进行拆分，找到两个系数使得二次项、线性项和常数项都能够匹配。
4. 将因式分解得到的公式，进行展开得到一个完整的二次函数方程，即px^2+(pxs+qrx)x+qrs=-c。
5. 比较两个方程的系数，得到如下关系：qr=a，qs+pr=b，rs=-c。
6.由上述关系式求解p，q，r，s的值。
7. 将得到的p，q，r，s的值代入因式分解公式，得到两个方程(px+q)=0和(rx+s)=0。
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。
1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。
2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。
解方程组，得到a、b、c的值。
3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。
1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。
2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。
3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。
1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。
消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。
二次函数的求根公式
二次函数的求根公式二次函数是指形如 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的函数，其中 $a\neq 0$。
求解二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根的公式称为二次函数的求根公式。
首先我们来推导二次函数的求根公式。
设二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则有以下关系式：$$\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}$$我们利用这两个关系式来推导求根公式。
1. 求根公式一：根据韦达定理，二次方程的根的和等于 $-\frac{b}{a}$，可以得到：$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$2. 求根公式二：我们将二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 化为 $(x-x_1)(x-x_2)=0$ 的形式，展开后得到：$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$。
根据二次方程的定义，系数对应关系可以得到：$$\begin{cases}-x_1-x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}$$将这两个等式代入上式中，可以得到：$$x^2-\left(-\frac{b}{a}\right)+\frac{c}{a}=0$$即：$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$我们希望将这个二次方程变为一个完全平方的形式。
为了达到这个目的，我们将上式的常数项和一次项进行平方：$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$$移项整理可以得到：$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$为了使左边变成一个完全平方，我们需要对右边进行开方：$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$继续整理可得：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$这就是二次函数的求根公式。
二次函数关系式的三种形式
二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。
它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c分别代表函数的系数。
二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。
本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。
在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。
标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。
标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。
另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。
顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。
顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。
顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。
此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。
描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。
描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。
描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。
总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。
通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。
文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。
二次函数的几个公式
二次函数的几个公式二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
1.顶点坐标公式：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
2.轴对称公式：二次函数的轴对称线方程为x = -b/2a。
3.判别式公式：二次函数的判别式为Δ = b^2 - 4ac，判别式可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况。
当Δ > 0时，二次函数与x轴有两个不同的交点；当Δ = 0时，二次函数与x轴有一个重复的交点；当Δ < 0时，二次函数与x轴没有实数解。
4.对称性质公式：二次函数在轴对称线上的函数值相等，即f(x) = f(-b/2a + t)，其中t为任意实数。
5.开口方向公式：二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，二次函数开口向上；当a < 0时，二次函数开口向下。
6.最值公式：二次函数的最值可以通过寻找顶点的纵坐标得到。
当a > 0时，最小值为f(-b/2a)，当a < 0时，最大值为f(-b/2a)。
拓展：1.零点公式：二次函数的零点为函数与x轴的交点，可以通过求解f(x) = 0得到。
根据一元二次方程求根公式，当Δ > 0时，一般解为x = (-b ± √Δ)/(2a)；当Δ = 0时，解为x = -b/2a；当Δ < 0时，无实数解。
2.平移变换公式：二次函数可以通过平移变换改变其图像的位置。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行垂直平移h个单位和水平平移k个单位后，得到的函数为f(x - k) + h。
3.模型应用公式：二次函数在数学建模中有广泛的应用。
例如，可以使用二次函数来建模抛物线运动、汽车行驶距离与时间关系、弹体抛射运动等实际问题。
总结一下，二次函数的公式包括顶点坐标公式、轴对称公式、判别式公式、对称性质公式、开口方向公式和最值公式。
此外，还有拓展的零点公式、平移变换公式和模型应用公式等。
二次函数和幂函数知识点
精心整理教学内容二次函数与幂函数1．二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)的函数叫作二次函数．(2)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c_(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)_(a≠0)．2．二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图像关于直线x＝－成轴对称图形3.幂函数形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．4．幂函数的图像及性质(1)幂函数的图像比较(2)幂函数的性质比较y＝x y＝x2y＝x3y＝x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R 且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R 且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减[难点正本疑点清源]1．二次函数的三种形式(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式．(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．2．幂函数的图像(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴．(2)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．1．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．答案(－∞，－2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，∴1－a≥3，即a≤－2.2．(课本改编题)已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m<1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴y max＝f(0)＝3，y min＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，y min＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，y max＝f(0)＝3.当m>2时，y max＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0，m＝2，无解．∴1≤m≤2.3．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图像不经过原点，则实数m的值为________．答案1或2解析由，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．4．(人教A版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图像．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为____________．答案2，，－，－2解析可以根据函数图像是否过原点判断n的符号，然后根据函数凸凹性确定n的值．5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是() A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案 A解析函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.题型一求二次函数的解析式例1已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维启迪：确定二次函数采用待定系数法，有三种形式，可根据条件灵活运用．解方法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意有解之，得∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二设f(x)＝a(x－m)2＋n，a≠0.∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝.又根据题意函数有最大值为n＝8，∴y＝f(x)＝a2＋8.∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之，得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三依题意知，f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，a≠0.即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值y max＝8，即＝8，解之，得a＝－4或a＝0(舍去)．∴函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.探究提高二次函数有三种形式的解析式，要根据具体情况选用：如和对称性、最值有关，可选用顶点式；和二次函数的零点有关，可选用零点式；一般式可作为二次函数的最终结果．已知二次函数f(x)同时满足条件：(1)f(1＋x)＝f(1－x)；(2)f(x)的最大值为15；(3)f(x)＝0的两根平方和等于17.求f(x)的解析式．解依条件，设f(x)＝a(x－1)2＋15(a<0)，即f(x)＝ax2－2ax＋a＋15.令f(x)＝0，即ax2－2ax＋a＋15＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋.x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－2＝2－＝17，∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13.题型二二次函数的图像与性质例2已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．答案(－∞，－3]解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，∴－≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型三二次函数的综合应用例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．解(1)由f(0)＝1，得c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴∴因此，f(x)＝x2－x＋1.(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1.因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图像贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图像过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称．(1)求f(x)与g(x)的解析式；(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解(1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n＝x2－2x＋1＋mx＋n－m＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1，f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n＝x2＋2x＋1－mx－m＋n＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1.又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2.又f(x)的图像过点(1,3)，∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2，∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x，又y＝g(x)与y＝f(x)的图像关于原点对称，∴－g(x)＝(－x)2＋2×(－x)，∴g(x)＝－x2＋2x.(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x，当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝＝，又∵F(x)在(－1,1]上是增函数．∴或.∴λ<－1或－1<λ≤0.当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数．综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]．题型四幂函数的图像和性质例4已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈N*)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图像关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a.解得a<－1或<a<.故a的取值范围为.探究提高(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2．与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是.(2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是.3．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图像与坐标轴相交，则交点一定是原点.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2011·浙江)设函数f(x)＝x≤0，,x2，x>0，))若f(α)＝4，则实数α等于()A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2答案 B解析当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于()A．3 B．2或3 C．2 D．1或2答案 C解析函数f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上递增，由已知条件即解得b＝2.3．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是() 答案 D解析由A，C，D知，f(0)＝c<0.∵abc>0，∴ab<0，∴对称轴x＝－>0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c>0，∴ab>0，∴x＝－<0，B错误．4．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是()A．(－∞，0] B．[2，＋∞)C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]答案 D解析二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f′(x)＝2a(x －1)<0，x∈[0,1]，所以a>0，即函数图像的开口向上，对称轴是直线x＝1.所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.二、填空题(每小题5分，共15分)5．二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式为____________．答案y＝(x－2)2－16．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围为____________．答案(－∞，－2]解析f(x)的图像的对称轴为x＝1－a且开口向上，∴1－a≥3，即a≤－2.7．当α∈时，幂函数y＝xα的图像不可能经过第________象限．答案二、四解析当α＝－1、1、3时，y＝xα的图像经过第一、三象限；当α＝时，y＝xα的图像经过第一象限．三、解答题(共22分)8．(10分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且f(x)>－2x的解集为{x|1<x<3}，方程f(x)＋6a＝0有两相等实根，求f(x)的解析式．解设f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)(a<0)，则f(x)＝ax2－4ax＋3a－2x，f(x)＋6a＝ax2－(4a＋2)x＋9a，Δ＝[－(4a＋2)]2－36a2＝0，即(5a＋1)(a－1)＝0，解得a＝－或a＝1(舍去)．因此f(x)的解析式为f(x)＝－(x－1)(x－3)．9．(12分)是否存在实数a，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．解f(x)＝(x－a)2＋a－a2.当a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，∴?a＝－1(舍去)；当－1≤a≤0时，?a＝－1；当0<a≤1时，?a不存在；当a>1时，f(x)在[－1,1]上为减函数，∴?a不存在．综上可得a＝－1.B组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知幂函数f(x)＝xα的图像经过点，则f(4)的值等于() A．16 B.C．2 D.答案 D解析将点代入得：2α＝，所以α＝－，故f(4)＝.2．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是()A．(0,2) B．(0,8)C．(2,8) D．(－∞，0)答案 B解析当m≤0时，显然不合题意；当m>0时，f(0)＝1>0，①若对称轴≥0，即0<m≤4，结论显然成立；②若对称轴<0，即m>4，只要Δ＝4(4－m)2－8m＝4(m－8)(m－2)<0即可，即4<m<8，综上，0<m<8，选B.3．已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－2答案 A解析由函数图像知，(2,3)在对称轴x＝a的左侧或右侧，∴a≥3或a≤2. 二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是______________．答案f(x)＝－4x2－12x＋40解析设二次函数的解析式为f(x)＝a2＋49(a<0)，方程a(x＋)2＋49＝0的两个根分别为x1，x2，则|x1－x2|＝2＝7，∴a＝－4，故f(x)＝－4x2－12x＋40.5．若方程x2－11x＋30＋a＝0的两根均大于5，则实数a的取值范围是________．答案0<a≤解析令f(x)＝x2－11x＋30＋a，结合图像有∴0<a≤.6．已知函数f(x)＝x，给出下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x1<x2，则f(x2)－f(x1)>x2－x1；③若0<x1<x2，则x2f(x1)<x1f(x2)；④若0<x1<x2，则<f.则所有正确命题的序号是________．答案①④解析对于①，f(x)＝x是增函数，f(1)＝1，当x>1时，f(x)>1，①正确；对于②，>1，可举例(1,1)，(4,2)，故②错；对于③，<，说明图像上两点x1，x2到原点连线的斜率越来越大，由图像可知，③错；对于④，<f，根据图像可判断出④正确．三、解答题7．(13分)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．解f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a≥1时，y max＝f(1)＝a；当0<a<1时，y max＝f(a)＝a2－a＋1；当a≤0时，y max＝f(0)＝1－a.根据已知条件：或或解得a＝2或a＝－1..。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式:1、一般式:y=ax 2+bx ＋ｃ (ａ≠０)。
２、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠０），其中点(h,k)为顶点,对称轴为x=ｈ。
３、交点式：y=a(x-x 1)（x －x 2） (a ≠0）,其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4．对称点式： y=a(x-ｘ1)（x －x 2)＋ｍ （a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式:１、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值,通常可设顶点式。
３、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与ｘ轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点(x 1、ｍ)(x 2、m),则设成: y=a （x-x 1)(x-x 2)+ｍ (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中,求出ａ的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津:例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(.求这个二次函数的解析式. 分析:由于题目给出的是抛物线上任意三点,可设一般式y=ax 2+ｂｘ＋c (a ≠０)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2＋bx ＋c (a ≠0） 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得:⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2ｘ2+3ｘ-４。
例２、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-,最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式ｙ＝a(x-h)2+k （a ≠0),其中点（ｈ，ｋ）为顶点。
高一数学待定系数法求二次函数
已知二次函数的图象经过三点：（-1，-1）、 （0，-2）、（1，1）。 （1）求它的函数关系式。 （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标。 （3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是 多少？
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语起作用了,连忙从怀中掏出一个火红の玉盒递过去.对付女孩子,就得趁热打铁,趁着他心情转好,哄一哄,转移下她の注意力,彻底把这事了了. "圣器?" 白重炙の计谋再次起了作用,夜轻舞一听竟然是圣器,利马转过头来,惊疑の望着递过来の红色盒子.圣器可是天地之宝,白重炙就这样送给 自己,她得内心也微微有些少许感动. "额,也不算圣器,没有护主,器灵.不过神城の人定义是圣器,估计算得上是件防御超强の护臂吧！"白重炙连忙打开玉盒,献媚の拿给夜轻舞看. "额！好恐怖！我不要！" 盒子打开却不夜轻舞和白重炙吓了一条,这个护臂虽然是火红色の细小鳞甲组成,但 是护臂上端却是一条狰狞恐怖の恶魔头像,浑身线条组合起来竟然有种邪恶の感觉. "额…看起来是有点恐怖,不过除了这个我没什么好东西送你了！"白重炙讪讪の摸了摸鼻子,他也没想到这东西竟然看起那么邪恶恐怖,女孩子当然不喜欢,只是他身体上拿得出手の真还没什么东西.他虽然还 有件圣器,青铜戒指,但是蛮荒山脉自动护主之后就一直脱不下了?而宝器青龙匕,夜轻舞估计用の不顺手,还有件内甲,却是男式の,而且这情况,自己不好脱吧? "谁要你の破东西啊?还有,你就想拿这些破东西,打发姐?"夜轻舞见白重炙一副苦思冥想不知道该送自己什么东西の表情,脸色微微 好转起来,嗔道. 额?有戏！白重炙见夜轻舞如此表情语气,心中大喜.这妮子看来对自己夺了他の贞A,并没有太多の愤怒和反抗啊,连忙脸色更加真诚起来,郑重说道： "当然不是,我准备拿一件我最重要の宝物来弥补我昨夜做の错事,额…这件宝物可谓价值连城,千年难见一次,而且未来还能 持续升值,最重要の这宝物能陪伴你一辈子,让你永远幸福快乐！" "额?你竟然还有如此贵重の宝物?是什么呀?"夜轻舞被白重炙忽悠の满头雾水,眨着大眼睛,疑惑の问道. "嘿嘿,这个宝物就是…白重炙！"白重炙嘿嘿一笑,刚才严肃郑重の神情,利马变成嬉皮笑脸,无赖痞子一样,满脸媚笑の 说道： "小舞姐,我准备把我送给你,你想想啊,像我这样情意深重,平易近人,乐于助人,舍己为人,落落大方,侠骨柔情,心胸宽广,任劳任怨,修为逆天…等等,这么好の人,难道不是价值连城,万年难见.而且我还年轻,未来有无限の发展潜力,而且我能陪伴你一辈子,让你一辈子幸福,你觉得这 么样?" "啐！"夜轻舞被白重炙说得俏脸通红,二十年了她何曾听过这样大胆の情话和这样厚脸皮の吹嘘,一时俏脸如同被火烧了一般,轻啐一声,低着头羞涩不再说话. "不说话就算默认了啊,我数三声,你再不说话,我就算你答应了,一二三！好,夜轻舞,以后你就是我の人了！"白重炙看到自 己の耍宝起作用了,继续趁热打铁,把夜轻舞彻底拿下,那么,以后可以夜夜…可以轻舞了！ "你去死,那有你这样数数の?你这个大混蛋…" "哈哈,我不管了,以后你就是我老婆了！" "我杀了你……" 片刻之后,房间内传来夜轻舞の嗔怒声,以及白重炙放荡の笑声… 当前 第壹柒0章 壹６壹章 雪无痕の憋屈 雪无痕很憋屈,十分の憋屈. 曾经の雪家大少,下一代の族长继承人,飘雪城の少主人,在那里都是焦点人物,四方欢迎,此刻却窝在神城の一个小楼子内,还被告知五年内不得出去,否则他必死无疑. 楼子时屠千军の楼子,虽然不大,但是环境条件也算可以,而且也有几名仆人几名 侍女,倒是吃喝不愁. 一个从小就习惯了锦衣玉食,前呼后拥,爱好游玩の世家公子,被告知他必须在一个楼子呆着,不准出去,而且一呆就是五年.你叫他如何能耐得住如此枯燥の生活,如何能忍受得了这犹如牢狱般の日子? 只是,雪无痕知道,他耐不住也得耐,忍不下也得忍.因为…只要他一出 了这个楼子,将会被无处不在の四世家已经龙城の探子发现,然后…谁也保不住他. 在幽冥岛,屠千军给了他一个命令,一个投奔神城の投名状,帮忙一同诛杀白重炙. 他没有犹豫,不说屠千军の命令,就是他和白重炙之间の仇恨,也足够让他动手了、所以第一次见到白重炙便立刻对他下了隐虫, 并且通过神城暗地内の使者,把几个定位水晶球送给了妖卡卡和蛮干.他以为集合妖族蛮族两族の力量,杀一个白重炙犹如踩死一只蚂蚁般那么简单. 只是…没想到,白重炙竟然逃出生天,还获得了奇遇,一人破千军万马,甚至斩杀了妖卡卡. 他接到消息之后,也没有犹豫,迅速连夜逃跑了.在一 个山洞内他度过了憋屈の半年多时间,待得大决战结束之后,他没有进入血色平原,而是去了临时大本营.大决战之后血色平原の人会直接传送到神城,而临时大本营の传送阵也会开启一个月,没有在血色平原の人,可以通过临时大本营传送到战岛,继而传送到神城来. 历经几天几夜の辗转,雪 无痕终于在前天夜晚来到了神城,并且通过屠千军给他の信物,直接被带入了屠仙楼. 他满以为自己为屠千军奉献了那么多,牺牲了那么多.肯定会换来屠千军の重用和照顾,会直接将自己变成神城屠仙楼の一员,并且赐予高级功法和圣器什么の…只是,他连屠千军の面都没有见到,却被直接带 到了这里,并且告诉他,他必须在这呆满五年,一旦踏出楼子,他必死无疑. 他不明白发生了什么事情,他很恐慌,他很想出这个楼去看看,只是他怕他真の会死.直到今天早上,屠千军终于派人将事情の前因后果和他说了,他才彻底明白了. 屠千军被囚五年,自己所做の事情全部败露,夜青牛正出 一件上阶宝器悬赏自己行踪.屠神卫能安排一个楼子给他,估计都是看屠千军の面子了. 事情败露了,破仙府恐怖容不下他了,虽然不知道会不会连累雪家,但是他知道自己一出现在破仙府,肯定必死.而这点其实早先他就知道了,也做好了心理准备.他没想到の是…神城现在居然也容不下他,也 庇护不了他,就连他一直想倚靠の大树屠千军也被囚了.而很明显,屠神卫明显不会鸟他这个落魄の公子,能暂时给他一个居住の楼子已经是给了他天大の面子了. 自己成为丧家之犬,雪家也不知会不会被连累,屠千军被囚,自己变相也被囚,前途迷茫,前程渺茫… 事情怎么会变成这样?怎么可 以变成这样?这不是他想要の生活,不是他预想の生活,所以整整一天,雪无痕一灰一黑の双瞳被憋屈和愤怒所充斥,暴怒和羞愤の气息充斥了整个楼子！ …… 白重炙の心情却非常の不错,相当の爽. 莫名其妙睡了夜轻舞,经过他一上午の努力,终于把这事情搞定了.虽然夜轻舞没有明确の表 示,但是白重炙还是从很多细节,可以看出夜轻舞…其实,对他并不抗拒,甚至还可以说有些喜欢. 凭空得到一个美女老婆,而且还是有实力有势力の那种,他当然心情很不多.而且对于夜轻舞,原本他更多の是感激和钦佩の心里,只是昨夜有了肌肤之亲之后,他是怎么看夜轻舞都是喜欢啊,她の 一颦一笑,已经她那张清纯の俏脸,魔鬼般の身材,那个男人不喜欢那绝对是阉货了… 在白家,他第一次见到夜轻舞の时候,就被她の魅力所征服,当然那时候の他在白家地位低下,对于夜轻舞这种级别の美女只有仰望の份.而后府战一行,他倒是没有心思去想这些.断刃峰下他实力大进,心事解 决了,但是那段时间正和月倾城处于蜜月期,当然不会有心思另外去打别の女子主意. 昨夜,一场汹涌の醉酒,一场刺激の春梦,让他意外得到了夜轻舞の身体.如此天赐良机,他当然不会放过,坚决果断の把夜轻舞拿下了.他相信只要夜轻舞不抗拒,不厌恶他,那么拿下就是迟早の事情,毕竟已经 得到了她の身体,那么她の心,迟早也会被彻底征服… "在想什么啊?小兔崽子,笑得那么放荡?" 此时白重炙正在庄园内の一处园子边,默默の想着,计划着怎么彻底拿下夜轻舞.没想到旁边却突然出现一个人影. "额?太上长老好,没想什么,在想…在想府战中の一些事情！你找我有什么事吗?" 白重炙连忙转头,看到夜青牛缓缓走过来,吓得一跳,还以为和夜轻舞の事情暴
《求二次函数的函数关系式》教学设计
求二次函数的函数关系式教学设计目录一、创设问题情境 (1)二、复习回顾 (2)三、新课探究 (2)四：巩固练习 (3)五:解答情景引入中问题 (4)六：小结 (5)七、作业： (6)八、板书设计： (6)求二次函数的函数关系式教学目标知识与技能：让学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数的关系式。
过程与方法：使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
情感态度与价值观：让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
教学方法：讲授法、练习法、课堂讨论法、启发引导法重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式难点：通过将生活中的实际问题抽象成数学问题，利用已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。
教具准备：投影仪。
课时安排：一课时教学过程：一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?（引出新课）二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式1.y与x成正比，其图像过点p(2,1);2.函数y=2kx+k的图像过点（2，-5）3.一次函数的图像过点（1，2）、（-3，5）三、新课探究问题：解答上面的问题，运用了什么数学方法？运用这种数学方法的一般步骤是什么？说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数的表达式的步骤。
例1.一个二次函数的图像过（0,1）（2,4）（3,10）三点，求这个二次函数的关系式.分析：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c过三个点，将这三点坐标代入，可得三元一次方程组，再解这个方程组即可求出a,b,c的值。
观察点（0,1），将其代入y＝ax2＋bx＋c，可得c=1再把另外两点代入即可得方程组，求出a，b的值.例2.一个二次函数的图像过点（0,-5），它的顶点坐标是（-2,3），求这个二次函数的关系式.问：1.图像的顶点坐标是（h,k）的二次函数的关系式是怎样的形式呢？分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a不为0）通过配方可得到什么形式的二次函数？这个二次函数的顶点坐标是什么？如何设它的关系式？如何确定a的值？让学生完成本例题解答，找一个学生上黑板作答，其他学生在练习本上完成。
二次函数的指数关系
二次函数的指数关系二次函数是高中数学中的一个重要概念，它描述了一种具有二次项的多项式函数。
在数学中，二次函数的指数关系是指函数的自变量与因变量之间存在着一种指数关系。
本文将从定义、性质和应用三个方面来介绍二次函数的指数关系。
一、定义二次函数是指数函数的一种特殊形式，其数学表示为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数的指数关系即指函数中含有的指数与自变量之间的关系。
二、性质1. 开口方向: 当二次函数的系数a大于0时，函数的图像开口向上；当a小于0时，函数的图像开口向下。
2. 平移变换: 对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，平移变换可以改变函数的图像位置。
平移变换公式为：y = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)表示平移的水平和垂直方向上的位移。
3. 最值与对称轴: 对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，当a大于0时，函数的最小值为c - \frac{b^2}{4a}，对称轴为x = - \frac{b}{2a}；当a小于0时，函数的最大值为c - \frac{b^2}{4a}，对称轴为x = -\frac{b}{2a}。
4. 零点与方程: 二次函数的零点即为函数图像与x轴交点的横坐标值。
根据二次函数的定义，可以得到二次方程ax^2 + bx + c = 0，利用求根公式可以求得二次函数的零点。
5. 函数的增减性: 当二次函数的a大于0时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减；当a小于0时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。
三、应用二次函数的指数关系在实际问题中具有广泛的应用。
以下列举几种常见的应用场景：1. 弹性力学: 在弹性力学中，弹簧的长度与所受力的关系可以用二次函数来描述。
当弹簧受到外力作用时，其长度与外力之间存在着一种指数关系，通过研究这种指数关系可以计算弹簧的弹性系数。
2. 抛物线运动: 在物理学中，抛物线运动可以用二次函数来描述。
二次函数的基本计算公式
二次函数的基本计算公式二次函数是一种常见的函数形式，其一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
二次函数在数学中具有重要的地位，它的图像是一个抛物线，可以描述许多现实世界中的问题，因此对二次函数的基本计算公式的掌握是非常重要的。
一、二次函数的图像特征。
在掌握二次函数的基本计算公式之前，我们先来了解一下二次函数的图像特征。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项的系数a的正负来决定。
当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
二次函数的图像在平面直角坐标系中的具体位置，可以通过其顶点的坐标来确定。
顶点坐标的横坐标为-x轴的系数b/2a，纵坐标为二次函数在顶点横坐标处的函数值。
另外，二次函数的对称轴为经过顶点并垂直于x轴的直线，其方程为x =-b/2a。
二、二次函数的基本计算公式。
1. 求顶点坐标，二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得，其中f(x)为二次函数的表达式。
2. 求对称轴方程，二次函数的对称轴方程为x = -b/2a。
3. 求零点，二次函数的零点即为其图像与x轴相交的点的横坐标，可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来得到。
二次方程的解可以通过求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求得。
4. 求函数值，给定x的值，可以通过代入二次函数的表达式f(x) = ax^2 + bx +c来求得函数值。
5. 利用顶点坐标求二次函数的标准式，通过平移变换，可以将一般形式的二次函数转化为标准形式y = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。
6. 求最值，当a大于0时，二次函数的最小值为其顶点的纵坐标；当a小于0时，二次函数的最大值为其顶点的纵坐标。
7. 求焦点坐标，二次函数的焦点坐标可以通过公式(h, k+1/(4a))来求得，其中(h, k)为顶点坐标。
二次函数的知识点
二次函数的复习资料知识点1.二次函数的定义1、一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的 次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．2、当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.（2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ， ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=（4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2b a运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=－2p m + （5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x（6）最大（小）值：当a>0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ；当a<0时，函数有最 值，并且当x= 时，y 最 值= ；②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。
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二次函数的图象与性质
第1课 求二次函数的函数关系式
【要点提示】
一、在求某些与抛物线有关问题的函数关系式时，通常先建立直角坐标系，再依据条件求出二次函数的关系式，最后利用二次函数的解析式解决有关问题。
二、二次函数解析式有三种形式：
（1）、一般式：y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数，a ≠0)
（2）、顶点式：y=a(x-h)2+k (a,h,k 为常数，a ≠0)
（3）、两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2) (a,x 1,x 2为常数，a ≠0)
1、二次函数2y x bx c =-++图象的最高点是（-1,-3），则b 、c 的值是（ ）
A. b=2,c=4
B. b=2,c= -4
C. b= -2,c=4
D. b= -2,c= -4
2、二次函数21y x x =-+的图象与x 轴的交点个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
3、函数241y ax x =++的对称轴是x=2，则a=___________.
4、已知点（2,5），（4,5）是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上的两点，则这条抛物线的对称轴方程为_________.
5、已知抛物线经过A （1，-4），B （-1，0），C （-2，5）三点，求此抛物线的解析式。
6、直线y=x-2与抛物线2y ax bx c =++相交于（2,m ），（n,3）两点，抛物线的对称轴是x=3，求抛物线的解析式.
7、求满足下列条件的二次函数的解析式： ⑴图象经过A （0，3），B （1，3），C （-1，1）;
⑵图象经过A （-1，0），B （3，0），函数有最小值-8;⑶图象顶点坐标为（1，-6），且经过点（2，-8）
8、已知二次函数的对称轴是x+3=0，图象过点（1,-6），且与y 轴交于点（0,52
-
）.⑴求此函数解析式；⑵当x 为何值时，此函数值为0？⑶当x 为何值时，y>0？
9、如图26-2-3-4，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接.桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米,桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）900米，这里水面的海拔高度是74米.
若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米.请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长.(结果精确到0.1米)
〔探究题〕勤于思考，勇于挑战，才能突破自我！
10、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
11、已知二次函数ｙ＝ａｘ２－４ａ图像的顶点坐标为（０，４）矩形ＡＢＣＤ在抛物线与ｘ轴围成的图形内，顶点Ｂ、Ｃ在ｘ轴上，顶点Ａ、Ｄ在抛物线上，且Ａ在Ｄ点的右侧，
（１）求二次函数的解析式; （２）设点Ａ的坐标为（ｘ，ｙ）试求矩形ＡＢＣＤ的周长Ｌ与自变量ｘ的函数关系;（３）周长为１０的矩形ＡＢＣＤ是否存在？若存在，请求出顶点Ａ的坐标；若不存在，请说明理由。
12、阅读材料，解答问题。
当抛物线的解析式中有含字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，例如：由抛物线22221y x mx m m =-++- ①
有2()21y x m m =-+- ②
∴抛物线的顶点坐标为（m,2m-1），即21x m y m =⎧⎨=-⎩ ③
④
当m 的值变化时，x,y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化。
将③代入④得y=2x-1 ⑤
可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足关系式y=2x-1。
⑴在上述过程中，由①到②所用的数学方法是__________，其中运用了________公式，由③、④得到y x O
(
直角坐标系供思考用）26-2-3-4图
⑤所用的数学方法是__________
⑵根据阅读材料提供的方法，确定抛物线222231y x mx m m =-+-+顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式。
参考答案
A 1、D 2、A 3、-1
B 4、x=3 5、223y x x =--
6、解析：把（2，m ）的坐标代入2y x =-得m=0，把（n,3）的坐标代入2y x =-得n=5，∴两图象交于（2,0），（5,3）两点。
设抛物线为2(3)y a x c =-+，把（2,0），（5,3）的坐标代入，得0
43
a c a c +=⎧⎨+=⎩解得11
a c =⎧⎨=-⎩ ∴22(3)168y x x x =--=-+ 7、解：⑴设解析式为2y ax bx c =++，
把A （0,3），B （1,3），C （-1,1）各点代入上式得331c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 解得113a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以解析式为23y x x =-++
⑵因图象过A （-1,0），B （3,0），可设解析式为2(1)(3)23y a x x ax ax a =+-=--
又因函数有最小值-8，所以函数开口向上，所以2484ac b a -=-即2
4(3)(2)84a a a a
--=- 因a ≠0，所以a=2
所以解析式为2246y x x =--
⑶设所求二次函数为2(1)6y a x =--
因图象经过点（2,-8），将x=2,y=-8代入上式得28(21)6a -=--解得a=-2
所以二次函数解析式为222(1)6248y x y x x =---=-+-即
8、⑴21(3)22y x =-++ ⑵x= -1或 -5 ⑶-5<x<-1
9、解：如图，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点坐标原点，以桥面所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系.
则A （0，0.5），B(－450, 94.5)， C(450，94.5).
由题意，设抛物线为：y ＝ax 2＋
0.5.
将C(450，94.5)代入求得:
47101250a =或294450a =.∴2470.5101250
y x =+ 当x=350时,y=57.4；当x=400时,y=74.8.
∴离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米,离桥两端主塔50米处竖直钢拉索的长度约为74.8米．
10、解：设抛物线解析式为2y ax bx c =++
∵对称轴为直线x=2，与y 轴的交点坐标为(0，3) ∴22b a
-=，即b=-4a ；c=3 ∴所写抛物线解析式只要满足上面两个条件即可。
11、解：⑴由题意得－４ａ＝４ ∴ａ＝－１
∴二次函数的解析式为ｙ＝－ｘ２＋４
⑵ 设点Ａ（ｘ ，ｙ）
∵点Ａ在抛物线ｙ＝－ｘ２＋４上
∴ｙ＝－ｘ２＋４则
ＡＤ＝２ｘ，ＡＢ＝－ｘ２＋４
∴Ｌ＝２（ＡＤ＋ＡＢ）＝２（２ｘ－ｘ２＋４）＝－２ｘ２＋４ｘ＋８
由题意可得x 得取值范围是：０＜ｘ＜２
⑶ 当Ｌ＝１０时 －２ｘ２＋４ｘ＋８＝１０
ｘ２－２ｘ＋１＝０ 解得 ｘ１＝ｘ２＝１
∴当ｘ＝１时，ｙ＝－１２＋４＝３
∴存在周长为１０的矩形ＡＢＣＤ，且点Ａ的坐标为（１，３）
12、⑴配方法 完全平方 消元法
⑵222231y x mx m m =-+-+=222231x mx m m m -++-+=22()31x m m m -+-+∴该抛物线的顶
点坐标为（2
,31m m m -+）。
即231x m y m m =⎧⎨=--⎩将⑴代入⑵，得231y x x =-+。
∴所给抛物线顶点的纵坐标y 与横坐标x 的关系式为 231y x x =-+.。