(整理)第十二讲微分方程
高等数学第12章 微分方程
y Ox
通解的图象: 积分曲线族.
初始条件: 用来确定n阶微分方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
特解的条件：
y( x0 ) = y0 , y′( x0 ) = y0′ ,L, y(n−1)( x0 ) = y0(n−1).
6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的 解的问题.
F ( x,ϕ ( x),ϕ′( x),L,ϕ (n)( x)) ≡ 0, (∀x ∈ I )
则称 y = ϕ ( x) ( x ∈ I )为方程
F
(
x
,
y
,
d d
y x
,L,
dn dx
y
n
)
=
0
(12.1)
的解；若方程(12.1)的解 y = ϕ ( x)由方程：
Φ(x, y) = 0
所确定，则称 Φ( x, y) = 0为(12.1)式的隐式解 .
x
.
L
P
Q
解 依题设，知 ∂P = ∂Q , 即 [sin x − ϕ ( x)] 1 = ϕ′( x)
∂y ∂x
x
得 ϕ′(x) + 1ϕ(x) = sin x , ϕ(π ) = 1, ϕ ( x) = ?
x
x
∑∞
引例2 求
x 3n 的和函数 .
n = 0 ( 3 n )!
s′′ + s′ + s = e x s(0) = 1, s′(0) = 0.
一阶:
⎧ y′ = f ( x, y)
高等数学第十二章微分方程
x, y'
而 OM x2 y2 . 于是得微分方程
y x x2 y2 ,
y'
或
ydx (x x2 y2 )dy.
这是齐次方程。我们把 x 看作未知函数，把 y看作自
变量，并令 x v,则x yv, dx vdy ydv. y
代入上式得
y(vdy ydv) ( yv | y | v2 1)dy.
y
x
所以这是全微分方程。可取 x0 0, y0 0, 根据
公式（3），有u( x, y) 0x(5x4 3xy2 y3 )dx 0y y2dy
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3.
2
3
于是，方程的通解为
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C.
这就是方程（8）的通解。以初始条件代入上式，得
所以
M M
0 Ce 0 M0e
t
C ,
,
这就是所求铀的衰变规律。
例3 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与 速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t = 0)速度为零。 求降落伞下落速度与时间的函数关系。
解 设降落伞下落速度为 v(t).降落伞在空中下落时，
第十二章微分方程
第一微分方程的基本概念
一般地，凡表示未知函数的导数与自变量之间 的关系的方程，叫做微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数 的阶数，叫做微分方程的阶。
例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一 点处的切线的斜率为，求这曲线的方程。
解 根据导数的几何意义，可知所求曲线应满足
例2 列车在平直线路上以20米/秒（相当于 72公里/小时）的速度行驶；当制动时列车获得 加速度-0.4米/秒.问开始制动后多少时间列车才能 停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
【2019年整理】复习第12讲微分方程(统考汇集)(1990～1998)
第十二章微分方程 一、解一阶微分方程要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式, 相应解法。
例题(华工1990)求定解问题tgx 曳_2ecosxIL dx cosx .解法 1：业.竺y=2e cosx , e —*)dX =e —Edx sin xQ(x)e ("'dx = 2sinxe cosxdx = -2ecosx1 c。
0y=^[C —2e];s i nx代入初始条件：-1=(C-2)得 C=1 ；故 y=^(1-2e co>s).s i rx角牟法 2: sin x-d ^ cosx y =2sin xecosx ,dx即 -^ (y sin x) =2sinxe cosx，积分得：ysin x = C - 2e cosx ,dx代入初始条件：-1=C-2 即 C=1, 故 y=^(i_2e cox;).s i rx例题(华工1991)求微分方程sec 2 x ，y' + 2sec 2x ，y =sin2x 满足初始条件 y|x 出=2的特解。
2 2 1解法 1: (ysec 2 x) =sin2x,积分得 ysec 2x = —— cos2x + c ;2当 x=0时，y=2代入得 2=_l+cn c=§; 2 2•'•特解为 ysec 2x = -2cos2x 。
2 2y = 0,y|肝=-1的解。
x =一sin xC;解法2： y 2tgx y =2sinxcos3xy = e 一，网妙(c + f2sin x cos3xe)sin xdx 3 2cosx(c 2 sin xcos xe sin xdx cosx dx)2=cos x(c，12 sin xcosxdx)2 / . 2 、=cos x(c sin x)当x = 0 , y = 2代入：2=c+0=> c = 2. •特解y = cos2x(2 cos2x)解法3:先解得方程曳+2tgx 7=0的通解y = ccos2x。
第十二讲常微分方程和差分方程
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
y P( x) y Q( x) y f1( x) y P( x) y Q( x) y f2 ( x) 的特解, 那么 y1* y2*就是原方程的特解.
５.二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
（2）二阶非齐次线性方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y f ( x)
(2)
定理 3 设 y*是(2) 的一个特解, Y 是与(2)对应 的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y* 是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f ( x) 是几个函 数之和, 如 y P( x) y Q( x) y f1 ( x) f2 ( x) 而 y1* 与 y2* 分别是方程,
而 y1* 与 y2* 分别是方程,
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f1 x yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f2 x
的特解,
那么 y1*
y
* 2
就是原方程的特解.
9.一阶常系数齐次线性差分方程的求解
差分方程解题思路
一阶方程 二阶方程
代入法 特征根法 待定系数法
特征方程法
1.微分基本概念
高等数学第十二章《微分方程》
第十二章 微分方程一、内容提要（一）主要定义【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.一般形式为： ()(),,,,,0n F x y y y y '''=.标准形式为：()()()1,,,,n n yf x y y y -'=.【定义12.3】 微分方程的解 若将函数()y x ϕ=代入微分方程使其变成恒等式 即 ()()()(),,0,n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎣⎦或者 ()()()()()()1,,,,n n x f x x x x ϕϕϕϕ-⎡⎤'=⎣⎦则称()y x ϕ=为该方程的解.根据()y y x =是显函数还是隐函数 ,分别称之为显式解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件. （二）主要定理与公式1 可分离变量的方程一般形式()()12dyf x f y dx= 或 ()()()()12120M x M y dx N x N y dy +=. 解法： 先分离变量()()g y dy f x dx =, 再两边积分()()g y dy f x dx =⎰⎰,可得通解 ()()G y F x C =+.2.齐次方程 一般形式⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y dx dy ϕ 解法(变量替换): 令xy u =⇒ux y =, dy duu x dx dx =+，于是，原方程⇒()du u xu dx ϕ+=⇒分离变量()du dx u u x ϕ=- ⇒两边积分()du dxu u xϕ=-⎰⎰⇒积分后再用xyu =回代，便得通解. 3. 一阶线性微分方程 一般形式 ()()dyP x y Q x dx+= 解法： 常数变易法 （1） 先解出对应的齐次方程()0dyP x y dx+=的通解()P x dx y Ce -⎰=； （2） 作变换将C 换成u ，令()()P x dxy u x e -⎰=代入方程，求出u ，即得通解为()()()()P x d xP x d xP x d xy e Q x ed xC e --⎰⎰⎰=+⎰.4. 伯努利方程()()n y x Q y x P dxdy=+ ()1,0≠≠n n 解法: 变量替换法令nyz -=1,化为一阶线性微分方程.***************************************************** 5. 全微分方程 当Q px y∂∂=∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 是全微分方程. 即 ()()(,),,0du x y P x y dx Q x y dy =+= 解法: (1)第二类曲线积分; (2)公式法()()()00,,,x y x y x y pdx Qdy μ=+⎰; (3)凑微分法.通解为 C y x u =),(.当Q px y∂∂≠∂∂时，()()0,,=+dy y x Q dx y x P 不是全微分方程. 方程两边乘上积分因子(),x y μ（(),0x y μ≠）后所得的方程()(),,0P x y dx Q x y dy μμ+=是全微分方程.经常用到的微分倒推公式有()dx dy d x y ±=± (),xdy ydx d xy +=222()x y xdx ydy d ++=d =22arctan ()ydx xdy xd x y y -=+2()ydx xdy yd x x -=-ln ()ydx xdy xd xy y-=221ln 2()xdy ydx x yd x y x y-+=-- 6. 可降阶的高阶微分方程 1) ()()n yf x =型解法: 对方程两边连续积分n 次,便可得到其含有n 个任意常数的通解. 2) (),y f x y '''=型(无y 项)解法: 令()x P y =',()x P y '='',代入原方程(),y f x y '''=,则有()P x f P ,=',设其解为()1,C x P ϕ=,则()1,C x y ϕ=',得通解()21,C dx C x y +=⎰ϕ.3) (),y f y y '''=型（无x 项）解法: 令()y P y =',则dy dP dx dP y ==''dydPPdx dy =, 有()P y f dydPP,=——自变量为y ,函数为P 的微分方程.设其解为()1,C y P ϕ=代回原变量,()1,C y y ϕ='变量分离得通解()21,C x C y dy+=⎰ϕ.7. 线性微分方程解的理论1) 设21,y y 是二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=的解,则2211y C y C +也是它的解.2) 二阶齐次线性方程()()0y p x y q x y '''++=一定有两个线性无关的特解,且这两个解的线性组合是该方程的通解.3) 设1y 为()(1)111()()()n n n y P x yP x y f x --+++=的解,2y 为()(1)1()n n y P x y-+++12()()n P x y f x -=的解,则21y y +为()(1)1112()()()()n n n y P x yP x y f x f x --+++=+的解.4)设*y 为()()()y p x y q x y f x '''++=的一个特解,Y 为对应的齐次方程()y p x y '''++()0q x y =的通解，则*Y y +为()()()y p x y q x y f x '''++=的通解.8. 二阶常系数线性微分方程1) 二阶常系数齐次线性方程0y py qy '''++=.2）n 阶常系数齐次线性方程()()()121210n n n n n yp y p y p y p y ---'+++++=)sin k k C x D x+++3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解()y py qy f x '''++=通解为*y Y y =+.其中Y 为对应齐次方程的通解,*y 为该方程的一个特解.4) 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式 1°()()xm f x e P x λ=型2°()()()cos sin xl n f x e P x x P x x λωω⎡⎤=+⎣⎦型 (其中{}max ,m l n =)二、典型题解析（一） 填空题【例12.1】2234331x y xy y x y x ''''''+++=-是 阶微分方程.解 微分方程的阶是方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，所以此方程是三阶的微分方程.【例12.2】 微分方程0xy y '+=满足初始条件()12y =的特解为 .解 分离变量，得 1y y x'=-. 两边积分，得 ln ln ln y x C =-+. 通解为 Cy x=. 将初始条件()12y =代入，得所求特解为2y x=. 【例12.3】若()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程，则函数M N 、应满足 .解 函数M N 、应满足M Ny x∂∂=∂∂时，()(),,0M x y dx N x y dy +=是全微分方程.【例12.4】 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为 .解 设()()tan ,cos P x x Q x x ==，所以所求微分方程的通解为tan tan cos xdx xdx y e xe dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰[]cos x x C =+. 【例12.5】与积分方程0(,)xx y f x y dx =⎰等价的微分方程初值问题是 .解 方程两边求导得(),,y f x y '=当0x x =时0y =.所以等价的初值问题是()0,0x x y f x y y ='⎧=⎪⎨= ⎪⎩. 【例12.6】 已知21231,,y y x y x ===是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 .解 221311,1y y x y y x -=--=-是对应的齐次方程的两个线性无关的解，所以原方程的通解为()()212111y C x C x =-+-+.【例12.7】 微分方程22xy y y e '''-+=的通解为 . 解 原方程相应的齐次线性方程为220y y y '''-+=.其特征方程为2220r r -+=.特征根为1,21r i =±.故齐次方程的通解为()12cos sin xY e C x C x =+.因 1λ=，不是特征根，从而设其特解为*xy ae =，把它代入原方程，得1a =，由此原方程的通解为()12cos sin xxY e C x C x e =++.（二） 选择题【例12.8】 微分方程0dy xdx y+=的通解为 [ ] （A ）()22x y c c R +=∈ （B ） ()22x y c c R -=∈ （C ）()222x y cc R +=∈ （D ）()222x y c c R -=∈解 分离变量得到：0ydy xdx +=，积分得：22x y c +=，这里常数c 必须满足0c ≥，于是可以将方程同解写为：()222x y a a R +=∈.则应选C.【例12.9】 设非齐次线性微分方程()()y P x y Q x '+=有两个不同的解12(),(),y x y x C 为任意常数，则该方程通解是 [ ]（A ）()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦ （C ）()()12C y x y x +⎡⎤⎣⎦ （D ）()()()112y x C y x y x ++⎡⎤⎣⎦解 ()()12y x y x -是齐次的方程()0y P x y '+=的解，()()12C y x y x -⎡⎤⎣⎦是齐次方程()0y P x y '+=的通解.非齐次方程的通解为齐次方程的通解加非齐次方程的特解，所以()()()112y x C y x y x +-⎡⎤⎣⎦是非齐次方程的通解. 则应选B.【例12.10】 若方程()0y p x y '+=的一个特解为cos 2y x =,则该方程满足初值条件()02y =的特解为 [ ]（A ）cos 22x + （B ）cos 21x + （C ）2cos x （D ）2cos 2x .解 一阶线性齐次方程()0y p x y '+=的通解为()P x dxy Ce -⎰=,任意两个解只差一个常数因子，所以A,B,C 三项都不是该方程的解.故应选D.【例12.11】 设()p x 在(),-∞+∞连续且不恒等于零，()1y x 和()2y x 是微分方程()0y p x y '+=的两个不同特解，则下列结论中不成立的是 [ ] （A ）()()21y x y x ≡常数；（假设其中()10y x ≠）； （B ） ()12c y y -构成方程的解. （C ）12y y -=常数； （D ）()()12y x y x -在任何一点不等于零. 解 因为，在()p x 不恒等于零的条件下，非零常数不可能是微分方程()0y p x y '+=的解，如果()1y x 和()2y x 是两个不同的解，那么12y y -也是这个方程的解，从而12y y -不能等于非零的常数,故应选C.【例12.12】 微分方程2221d yy dx+=的通解是 [ ]（A ）121sin 2c c ++ （B ） 1212c c e ++（C ） 12c c + （D ）12c c e +.解 直接看出12y *=是方程的一个特解，12c c +是相应的齐次方程的通解,应选A.【例12.13】 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的一个特解是 [ ]（A ）x aebx c -++ （B ）x axe bx c -++（C ）()x axe x bx c -++ （D ）()x ae x bx c -++.解 微分方程23x y y y e x -'''+-=+的特解等于下列两个微分方程23x y y y e -'''+-=,23y y y x '''+-=的特解之和.非齐次微分方程23x y y y e -'''+-=具有形如xaxe -的特解； 非齐次方程23y y y x '''+-=具有形如bx c +的特解， 因此，非齐次微分方程23xy y y e x -'''+-=+具有形如xaxe bx c -++的特解，于是应当选B.【例12.14】 设12,2x y e y x -==是三阶齐次线性常系数微分方程ay by '''''++0cy =的两个解，则,,a b c 的值分别为 [ ]（A ）2,1,0a b c === （B ）1,1,0a b c ==-=（C ）1,0,1a b c === （D ）1,0,0a b c =-==.解 该微分方程的特征方程为320ar br c ++=.由于该微分方程有特解1x y e -=，说明11λ=-是该方程的一个特征根；又由于该微分方程有特解22y x =，说明20λ=是该方程的一个特征根，而且是重根.于是特征方程0ay by cy '''''++=有一个单根11λ=-和一个二重根20λ=，由此得到1,1,0a b c ==-=，从而选择B.（三） 非客观题1.可分离变量的微分方程【例12.15】求下列微分方程的通解. （1）23dyxy xy dx=+. （2）221y x y xy '=+++. (3) ()()112xy xy x yy y ''-=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解 （1）将变量分离,23dyxdx y y=+, 两边积分,得()2111ln ln 332y y x c -+=+，解出 213323x C y e e y=+.记 13,C C e =± 则 2323x y Ce y =+.（2）将221y x y xy '=+++右端分解因式，得，()()211y x y '=++，分离变量，有()211dyx dx y =++.积分得 2a r c t a n 2x y x C =++ 即通解为 2arc tan 2x y x C =++. （3）直接可以看出,1y ≡是方程的一个特解.当1y ≠时, 可以将方程写成 211ydy xdxy x =-+, 两端积分得到 ()211ln 1ln 12y y x C +-=++.两端取指数得 ()1221ln1ln 1xy y C eee ++-=.当1y >时, ()1Cyey e -=当1y <时,1C y e y e-=-记1C C e =±,上两式又可写作())10yey C -=≠.由于1y ≡是方程的一个解,故上式中常数C 也可以为零,于是方程通解为 ())1yey C R -=∈.将()12y =代入通解得到 2C =,所求解为 ()1yey -=【注】在(1)解题过程中，把任意常数13c e ±改写为C .适当地进行改写，使解的形式更为简便.2.可化为可分离变量的方程【例12.16】求满足方程()222120x y dx x dy ++=且过点()1,2的积分曲线.解 不能直接分离变量，令xy u =, 则 du ydx xdy =+. 原方程化为()2120u u dx x du dx x ⎛⎫++-=⎪⎝⎭, 即()221dudx x u =--.积分得 11ln 12x C u -=-+-回代得方程的通解11ln 21x C xy -=-再代入1,2,1x y C ===-得.故所求积分曲线为11ln 1.21x xy -=--【例12.17】求方程()21y x y '=-的通解.解 不能直接分离变量，令x y u -=，则y x u =-, 且 1dy du dx dx=-, 代入原方程，得222111,du du u dx u dx u--==分离变量，得 221u du dx u =-， 即 2111du dx u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭. 积分，得 111ln 21u u x C u -+=++， 将u x y =-回代，即得通解211y x y Ce x y --=-+.3.齐次方程或可化为齐次方程的微分方程【例12.18】求ln dy yxy dx x =的通解. 解 方程变形为ln dy y y dx x x =, 此方程为齐次方程,令,yu y xu x==则,方程化为 ln du x u x xu u dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,整理且分离变量得()ln 1du dxu u x=-.积分得 ()ln ln 1ln ln u x C -=+ .即 ln 1u Cx -=,1Cx u e +=,通解为 1Cx y xe+=.【例12.19】求21241dy x y dx x y ++=+-的解.解 此方程为可化为齐次的微分方程.因为12024=,故作变换2z x y =+, 则原方程化为111221dz z dx z +⎛⎫-= ⎪-⎝⎭， 4121dz z dx z +=-即. 当410z +≠,分离变量,得该方程的通解为843ln |41|x z z c -++=(c 为任意常数).将2z x y =+代入上式得原方程的通解为483ln 481x y x y c -+++=(c 为任意常数)另外410z +=,即14z =-是方程的特解. 故原方程由特解为 4810x y ++=.【例12.20】求24dy y x dx x y --=++的解. 解 此方程为可化为齐次的微分方程 ，一般形式为111dyax by c f dx a x b y c ⎛⎫++= ⎪++⎝⎭. 因为112011-=-≠,作变换x X hy Y k=+⎧⎨=+⎩,则,dx dX dy dY ==,代入原方程得, 24dY Y X k h dX X Y h k -+--=++++, 解方程组2040k h h k --=⎧⎨++=⎩得3,1h k =-=-. 令 31x X y Y =-⎧⎨=-⎩,原方程化为 11Y dY Y X XY dX X Y X--==++, 令Y u X =， 则 1,1d u u u XdX u -+=+ 分离变量 211u dXdu u X +=-+, 得 ()21ln 1arctan ln 2u u X C ++=-+,原方程的通解为1a r c t a n3y x Ce+-+=.4.一阶线性微分方程 【例12.21】解下列方程 （1）1sin dy x y dx x x +=. （2）()tan 5dy x y dx-=. （3）2.y xdy ydx y e dy -= （4）()()21arctan y dx y x dy +=-.解 （1）（解法一）公式法 在方程中，()1,P x x =()sin x Q x x= 方程的通解为 ()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 11sin dx dx x x x e edx C x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()1cos x C x=-+. （解法二）常数变易法 对应的齐次方程10dy y dx x+=，得通解ln ln c cy y x x ==或者.令()c x y x=，并代入原方程得，()()sin ,cos c x x c x x c '==-+,代入得原方程的通解为 ()1cos y x c x=-+. （2）将方程化为标准形式cot 5cot y y x x '-=,这里cot ,5cot P x Q x =-=，所以方程的通解为()()()p x dx p x dx y e e Q x dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ cot cot 5cot xdx xdx e e xdx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ ()sin 5csc x x C =-+.即原方程的通解为 sin 5y C x =-.（3）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程改写成 y dx xye dy y-=-， 这是一阶线性方程.对应的齐次方程0dx xdy y-=的通解是 x cy =, 然后用常数变异法得原方程的通解 yx cy ye =-.（4）将y 看作自变量,将x 看作y 的未知函数,方程变形为 22arctan 11dx x ydy y y+=++ 这是一阶非齐次线性方程,它的通解是2211112arctan 1dy dyy y y x e e dy C y -++⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎰ arctan arctan [arctan arctan ]yy ey e d y C -=⋅+⎰ 分部积分求出原方程的解为 arctan arctan 1y x y Ce -=-+.5.伯努利方程【例12.22】求下列方程的通解.（1）26dy y xy dx x =-； （2）232y x y xy+'=. 解 （1）化为标准形式26dy y xy dx x -=-，此方程是伯努利方程. 两边除以2y ，得 216dy yy x dx x---=-. 令1z y -=， 则 2dz dy y dx dx -=- 方程变为6dz z x dx x+=， 这是一阶线性微分方程.解得 268c x z x =+还原y 得原方程的通解2686188c x x x c y x y =+-=或者. （2）方程化为标准形式2122y x y y x -'-=，此方程是伯努利方程. 以y 乘两端，得 22122x yy y x '-=. 令2z y =，得 21z z x x'-=，这是一阶线性微分方程，解得 22x z x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将2z y =代回，得原方程的通解为222x y x C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.********************************************************************6.全微分方程与可化为全微分方程的方程 【例12.23】求下列方程的通解.（1）()()220x y dx x y dy ++-=. （2）(1)(1)0x x y yx e dx e dy y++-=.（3）()()120y dx x y dy ++--=. （4）()3230ydx x x y dy +-=. （5）()210xdy ydx x dx ---=解 （1）方法一 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微, 且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 由公式，得 ()()()00,,0,xyu x y P x dx Q x y dy=+⎰⎰ ()()202x yxdx x y dy=++-⎰⎰3213x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. 方法二 设 2,2P x y Q x y =+=-,因为,P Q 在全平面连续可微,且1Q Px y∂∂==∂∂,知原方程为全微分方程. 用不定积分求解.因为()2,uP x y x y x∂==+∂ 对上式两边对x 积分，得()()()()2,,u x y P x y dx x y dx y ϕ==++⎰⎰()313x xy y ϕ=++. 又因为 (),u Q x y y ∂=∂ ,()3123x xy y x y y ϕ∂⎡⎤++=-⎢⎥∂⎣⎦()2y y ϕ'=-，故()2.y y ϕ=-从而 ()321,.3u x y x xy y =+- 所以此方程的通解是3213x xy y C +-=. （2） 设1, (1).x x yyx P e Q e y=+=-2xy Q x Pe x y y ∂∂=-=∂∂所以此方程为全微分方程. 方法一 （用公式计算）设此方程的通解为(),u x y c =,在平面上取一确定点()0,1,则 ()()()1,0,,y xu x y Q y dy P x y dx =+⎰⎰10011x y x yye dy e dxy ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰101xyxydy e dx⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ 1x yx ye =+-.因此方程的通解为 x yx ye C +=.方法二 （用分项组合法求解） 将方程各项重新组合为 0x x yyx dx e dy ye d y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭, 0x x yyydx xdy dx e dy e y ⎛⎫-++=⎪⎝⎭积分，得 ()0x yd x ye +=， 故通解为 x yx ye C +=.（3）在方程()()120y dx x y dy ++--=中， 设()(),1,,2P x y y Q x y x y =+=--，易知 1P Q y x∂∂==∂∂，此方程为全微分方程. 现将方程写成20ydx xdy dx ydy dy ++--=， 或 ()21202d xy dx dy d y ⎛⎫+--=⎪⎝⎭.积分得通解 2112,2xy x y y C +--= 或 2224xy x y y C +--=.（4）设32,3P y Q x x y ==-, 因为22119P Qx y y x∂∂=≠-=∂∂,所以此方程不是全微分方程.原方程改写为 3230ydx xdy x y dy +-= (1), 取()31xy 为积分因子.方程(1)两端同乘以()31xy ,原方程变为()33,ydx xdydyyxy +-即 ()()213ln 02d d y xy ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭,积分，得原方程的通解为 ()213ln 2y C xy +=. （5）本题不是全微分方程.需要寻找积分因子使其化为全微分方程,对于微分形式xdy ydx -,乘以函数22221111,,,x y xy x y+中的每一个都可成为一个全微分方程,如果同时使后面一项也成为全微分,可取积分因子()21,x y xμ=,将原方程变成全微分方程22110xdy ydx dx x x -⎛⎫--= ⎪⎝⎭,积分得到原方程通解21.y x Cx ++= 7.可降阶的高阶微分方程（1）()ny f x =型【例12.24】求微分方程cos y x x '''=-的通解. 解 两边积分，得 211sin ,2y x x C ''=-+ 两边再积分，得 3121cos ,6y x x C x C '=+++ 两边再积分，得通解 421231sin .242C y x x x C x C =++++ （2）(,)ny f x y '=型【例12.25】解初值问题()()ln 101xy y y y y e⎧''''=⎪=⎨⎪'=⎩.解 令()dy y p x dx '==, 22d y dpdx dx =, 代入方程,则原方程化为ln dp x p p dx=, 这是可分离变量方程,解出 1C xp e =,于是原方程的通解为 ()1121C xC y p x dx e C ==+⎰,由初值条件()1121110,C x C x y e C =⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得到 11210CC e C +=,再由初值条件 ()111C x x y ee ='==又得到 ()11C y ee '==,于是 121,C C e ==-.所求特解为x y e e =-.在解可降阶的二阶微分方程的初值问题时，一出现任意常数，就应及时利用初值条件确定它，这样可以简化后面的求解过程.（3）(,)y f y y '''=型【例12.26】求微分方程22212dy d y dx dx y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=的通解.解 令(),dy p p y dx ==则22d y dp dy dp p dx dy dx dy =⋅=,代入原方程，得212dp p p dy y+=， 是一阶线性齐次微分方程. 分离变量221pdp dy p y=+, 积分得 ()21ln 1ln ln p y C +=+即 211dy C y dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,分离变量dx =两端积分 ，得2x C =+, 化简得通解 ()()2122141C y x C C -=+.8.二阶和高阶常系数线性微分方程【例12.27】设μ为实数,求方程0y y μ''+=的通解. 解 此方程为二阶常系数线性微分方程.其特征方程为20r μ+=,可以分三种情况讨论:(1) 0μ>,此时特征方程有一对复根r =±因此方程的通解为12y C C =+(2) 0μ=,此时特征方程有两个相等的重根120r r ==,于是方程的通解为12y C C x =+.(3) 0μ<,此时特征方程有两个单实根r =于是方程的通解为12y C C e =+,()12,C C R ∈.【例12.28】求方程221y y x '''+=+的通解.解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()x m P x eλ型（其中()221,0m P x x λ=+=）.与所给方程对应的齐次方程为 0y y '''+=,它的特征方程为 20r r +=. 有两个实根120,1r r ==-,于是与所给方程对应的齐次方程的通解为12x Y C C e -=+.因为0λ=是特征方程的一个单根,所以应设特解为()*2y x ax bx c =++.把它代入所给方程，得()()22326221ax b a x c b x ++++=+.比较两端x 的同次幂的系数,得3226021a b a c b =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩,解此方程组，得 2,2,53a b c ==-=.于是求得一个特解为 *322253y x x x =-+. 从而所求的通解为 32122253xy C C ex x x -=++-+. 【例12.29】求方程244x y y y e -'''++=满足初始条件()()00,01y y '==的特解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()1,2m P x λ==-）.与所给方程对应的齐次方程为对应齐次方程为 440y y y '''++=.它的特征方程 2440r r ++=有两个重根122r r ==-，于是与所给方程对应的齐次方程的通解为()212x Y C C x e-=+. 由于2λ=-是特征方程的重根,所以应设方程的一个特解为*22x y ax e -=.把它代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 12a =, 因此求得一个特解为 *2212x y x e -=从而原方程的通解为 ()2221212xx y C C x e x e --=++. 代入初始条件()()00,01y y '==，得120,1C C ==-.原方程所求的特解为 22212xx y xex e --=-+. 【例12.30】求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.解 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，非齐次项为两项之和.根据定理，它的特解是下面两个方程的特解之和.y y x ''+= （1）cos y y x ''+= （2）所给方程对应的齐次方程 0y y ''+= 它的特征方程 210r +=, 特征根为 r i =±, 于是与所给方程对应的齐次方程的通解为:12cos sin Y C x C x =+.设方程y y x ''+=的特解1y *,因为0λ=不是特征根，所以该方程具有形如1y ax b *=+的特解，将其代入方程，比较等式两端同次幂的系数,得 1,0,a b ==所以方程（1）的特解为 1y x *=设方程cos y y x ''+=的特解为2y *,因为i λ=是特征根,所以该方程具有形如2(cos sin )y x a x b x *=+的特解, 将其代入方程比较等式两端同次幂的系数,得10,,2a b ==所以方程（2）的特解为 *21sin 2y x x =.从而原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++. 【例12.31】求三阶常系数非齐次线性微分方程2441y y y x ''''''-+=-的通解.解 这是一个三阶常系数非齐次线性微分方程，且函数()f x 是()xm P x e λ型（其中()21,0m P x x λ=-=）.所给方程对应的齐次方程为 440y y y ''''''-+=.它的特征方程为 32440,r r r -+=特征根为 1230,2r r r ===，所以对应齐次线性微分方程的通解为()2123x Y C C C x e =++.因为0λ=是方程的特征根，所以其特解设为 ()2y x A x B x C *=++，代入方程，解得111,,.1248A B C ===于是32111.1248y x x x *=++ 因此方程的通解为()2321231111248x y C C C x e x x x =+++++.9.微分方程的应用【例12.32】设曲线l 过点()1,1，曲线上任一点(),P x y 处的切线交x 轴于点T ，若,P T O T =求曲线l 的方程.解 （1）列方程 设曲线l 的方程为()y y x =，则曲线l 在点(),P x y 的切线方程为()Y y y X x '-=-，切线与x 轴的交点T 的坐标为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭.P (1,1)故PT ==y OT x y =-'. 由 PT OT =，有()22222212,y y y y x x y y y '+=-+'''即 222.xyy x y '=-（2）初值问题 由题意，曲线l 过点()1,1，得初值问题22121y dx x y dy xyx =⎧-=⎪⎨⎪= ⎩ （1） （3）解方程 方程（1）为齐次微分方程，令x uy =，（1）可化为变量分离的方程221u dydu u y-=+，解得21.1Cy u =+代回x uy =，得通解221.x y C y +=由初值条件11y x ==，得12.C =故所求曲线l 的方程为()222 0.x y y x +=>【例12.33】 某湖泊的水量为V ,每年排入湖泊内的含污染物A 的污水量为6V ,流入湖泊内不含污染物A 的水量为6V ,流出湖泊的水量为3V,已知1999年底湖中A 的含量为05m ,超过国家规定指标。
第十二章第1节微分方程的基本概念(1)
s 0.2 t 2 C1 t C2 ( C1 , C2 为任意常数 )
利用后两式可得 C1 20 , C2 0 , 因此所求运动规律为
s 0.2 t 2 20 t.
说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能
停住, 以及制动后行驶了多少路程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
引例1
dy 2x, dx y x 1 2.
引例2
d 2s 0.4, d t2
ds s t 0 0 , d t t 0 20.
几个基本概念
1.含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程,
如 y xy2 , xdy ydx 0.
2. 只有一个自变量的微分 方程称为常微分方程 .
3.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. x2( y)2 xy y 0 二 阶
由①得
2
引例2 列车在平直线路上以 20 m s 的速度行驶,制动时 2 获得加速度 a 0.4 m s ,求制动后列车的运动规律. 解 设列车在制动后t秒行驶了s 米,即求s = s (t) . 已知
由前一式两次积分,可得
d 2s 0.4 2 dt ds 20. s t 0 0 , d t t 0
12
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
三、 yy 2 x 0 . 四、 y y 1 x .
13
第一节
微分方程的基本概念
引例1 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切 线斜率为2x,求该曲线的方程. 解 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法
初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。
本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
在初中数学中，我们主要学习常微分方程。
1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。
一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。
1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。
高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。
二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。
2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。
2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。
具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。
2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。
解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。
第十二章 微分方程幻灯
高等数学主要研究对象是函数，它是客观事物的内部联 系在数量方面的反映。利用函数关系可以对客观事物的 规律性进行研究。所以寻找函数关系非常重要。但在许
多实际中不能直接找到所需的函数关系，而有时可以列
出函数及其导数（或微分）的关系式。这种关系式就是 微分方程，通过求解微分方程，便可以得到所要寻找的 函数关系。本章主要介绍微分方程的一些基本概念，讨 论几种常见的微分方程的解法，并通过举例介绍微分方
个数等于阶数）
特解：通解中任意常数取定值后的解。
解的几何意义：通解—— 一族曲线，成为积分曲线
特解—— 一条曲线
5.初始条件：确定任意常数的条件：
一般的：一阶初始条件，y 二阶初始条件，y n阶初始条件，y
x x0
y0 y0 , y
x x0
x x0
y0
x x0
x x0
又C1 , C2是相互独立的两个任意常数， 是通解
(2)由y
x 0
0, y
x 0
1得
1 1 C1 C2 0 解得C1 , C2 ， 4 4 2C1 2C2 1 初值条件特解y 1 2x (e e 2 x ) 4
程在几何，物理等实际中的一些简单应用——数学建模
第一节 微分方程的基本概念
实际 ＝ 微分方程 解是否符合实际
建模 转化 求解
一 引例
例1 一曲线通过点（1，2）且曲线上任意一点P( x, y )处的切线 斜率为3x 2，求这条曲线方程
解： 设曲线为y y ( x)
y c 1 (1, 2) c 0 c 1
F [ x, ( x), ( x),..., ( n ) ( x)] 0则称y ( x)是该方程的解。
同济第六《高等数学》教案word-第12章 微分方程
第十二章 微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4． 会用降阶法解下列微分方程：()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、可降阶的高阶微分方程()()n yf x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''=3、二阶常系数齐次线性微分方程；4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程§121 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究找出未知函数来 这就是解微分方程例1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点M (x y )处的切线的斜率为2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为y y (x ) 根据导数的几何意义 可知未知函数y y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy2= (1)此外 未知函数y y (x )还应满足下列条件 x 1时y2 简记为y |x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) ⎰=xdxy 2 即y x 2C (3)其中C 是任意常数 把条件“x 1时 y 2”代入(3)式 得212C由此定出C 1 把C 1代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x12的解)y x 21例 2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数s s (t )应满足关系式4.022-=dts d (4)此外 未知函数s s (t )还应满足下列条件t 0时 s0 20==dtds v 简记为s |t 0=0 s |t 0=20 (5)把(4)式两端积分一次 得 14.0C t dtds v +-==(6)再积分一次 得 s02t2C 1t C 2 (7)这里C 1 C 2都是任意常数 把条件v |t20代入(6)得20C 1 把条件s |t0代入(7)得0C 2把C 1 C 2的值代入(6)及(7)式得 v 04t 20 (8) s02t220t (9)在(8)式中令v 0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504.020==t (s ) 再把t 50代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s 025022050500(m )解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米 s 04 并且s |t 0=0s|t 0=20把等式s 04两端积分一次 得 s04t C 1即v04t C 1(C 1是任意常数)再积分一次 得 s 02t2C 1t C 2 (C 1 C 2都C 1是任意常数) 由v |t 020得20C 1 于是v04t 20由s |t0得0C 2 于是s 02t220t令v 0 得t 50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m )几个概念微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x 3y x 2 y4xy3x2y (4) 4y 10y12y5y sin2xy(n )10一般n 阶微分方程 F (x y y y(n ))0y(n )f (x y yy (n1))微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数y (x )在区间I 上有n 阶连续导数 如果在区间I 上F [x (x )(x )(n )(x )]0 那么函数y (x )就叫做微分方程F (x y yy(n ))0在区间I 上的解通解如果微分方程的解中含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同这样的解叫做微分方程的通解初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 x x 0 时 y y 0 y y一般写成0y y x x == 00y y x x '='=特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程yf (x y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例3 验证 函数 x C 1cos kt C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解解 求所给函数的导数kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=)sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程 得 k 2(C 1cos kt C 2sin kt ) k 2(C 1cos kt C 2sin kt )0 这表明函数x C 1cos kt C 2sin kt 满足方程0222=+x k dt x d 因此所给函数是所给方程的解例4 已知函数x C 1cos kt C 2sin kt (k 0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解 求满足初始条件 x | t 0A x | t的特解解 由条件x | t 0A 及x C 1 cos kt C 2 sin kt 得C 1A 再由条件x | t0 及x (t ) kC 1sin kt kC 2cos kt 得C 20把C 1、C 2的值代入x C 1cos kt C 2sin kt 中 得 x A cos kt§12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程y2x 的通解 为此把方程两边积分 得y x 2C一般地 方程y f (x )的通解为C dx x f y +=⎰)((此处积分后不再加任意常数)2 求微分方程y2xy 2的通解因为y 是未知的 所以积分⎰dx xy 22无法进行 方程两边直接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为xdx dy y 212= 两边积分 得 C x y+=-21 或Cx y +-=21可以验证函数Cx y +-=21是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程y(x , y )能写成g (y )dy f (x )dx形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )F (x )C由方程G (y )F (x )C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P (x y )dx Q (x y )dy在这种方程中 变量x 与y 是对称的若把x 看作自变量、y 看作未知函数 则当Q (x ,y )0时 有),(),(y x Q y x P dx dy -=若把y 看作自变量、x 看作未知函数 则当P (x ,y )0时 有),(),(y x P y x Q dy dx -=可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成g (y )dy f (x )dx (或写成y(x )(y ))的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy 另一端只含x 的函数和dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y 2xy 是 y 1dy 2xdx(2)3x 25x y0 是 dy (3x 25x )dx(3)(x2y 2)dx xydy =0 不是(4)y 1x y 2xy 2 是 y(1x )(1y 2)(5)y 10x y是 10ydy 10xdx(6)xy y x y +=' 不是可分离变量的微分方程的解法第一步 分离变量 将方程写成g (y )dy f (x )dx 的形式 第二步 两端积分⎰⎰=dxx f dy y g )()( 设积分后得G (y )F (x )C第三步 求出由G (y )F (x )C 所确定的隐函数y (x )或x(y )G (y )F (x ) C y(x )或x(y )都是方程的通解 其中G (y )F (x )C 称为隐式(通)解例1 求微分方程xy dxdy2=的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得xdx dy y21=两边积分得⎰⎰=xdx dy y 21即 ln|y |x 2C 1从而 2112xC C xe e e y ±=±=+因为1C e ±仍是任意常数 把它记作C 便得所给方程的通解 2xCe y =解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得xdx dy y 21=两边积分得⎰⎰=xdxdy y 21即 ln|y |x 2ln C 从而 2xCe y =例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比 已知t 0时铀的含量为M 0 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是M (t )对时间t 的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 M dtdM λ-=其中(>0)是常数 前的曲面号表示当t 增加时M 单调减少 即0<dtdM由题意 初始条件为 M |tM 0将方程分离变量得dt MdM λ-=两边积分 得⎰⎰-=dt M dM )(λ即 ln Mt ln C 也即M Cet由初始条件 得M 0CeC所以铀含量M (t )随时间t 变化的规律M M 0et例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v (t )降落伞所受外力为F mg kv ( k 为比例系数) 根据牛顿第二运动定律F ma 得函数v (t )应满足的方程为 kv mg dtdv m-= 初始条件为 v |t方程分离变量 得mdt kv mg dv =-两边积分 得⎰⎰=-mdt kv mg dv1)ln(1C m t kv mg k +=--即 t m k Cek mg v -+=(ke C kC 1--=) 将初始条件v |t 00代入通解得kmgC -=于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(t m k e kmgv --=例4 求微分方程221xy y x dxdy+++=的通解解 方程可化为)1)(1(2y x dxdy++=分离变量得dx x dy y )1(112+=+两边积分得⎰⎰+=+dx x dy y )1(112 即Cx x y ++=221arctan于是原方程的通解为)21tan(2C x x y ++=例4 有高为1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h 随时间t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算 gh S dtdV Q 262.0==其中0 62为流量系数 S 为孔口横截面面积g 为重力加速度现在孔口横截面面积S 1cm 2 故gh dtdV 262.0= 或dtgh dV 262.0=另一方面 设在微小时间间隔[t t d t ]内 水面高度由h 降至h dh (dh 0)则又可得到 dVr 2dh其中r 是时刻t 的水面半径右端置负号是由于dh 0而dV 0的缘故又因222200)100(100h h h r -=--=所以 dV(200h h 2)dh通过比较得到dhh h dt gh )200(262.02--=π这就是未知函数h h (t )应满足的微分方程此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数h h (t )还应满足下列初始条件 h |t100将方程dh h h dt gh )200(262.02--=π分离变量后得 dhh h gdt )200(262.02321--=π两端积分 得 ⎰--=dhh h gt )200(262.02321π即 Ch h g t +--=)523400(262.02523π其中C 是任意常数 由初始条件得C g t +⨯-⨯-=)100521003400(262.02523π5101514262.0)52000003400000(262.0⨯⨯=-=g g C ππ因此 )310107(262.0252335h h gt +-⨯=π上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系§12 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程),(y x f dxdy=中的函数f (x , y )可写成 xy的函数 即)(),(x y y x f ϕ= 则称这方程为齐次方程下列方程哪些是齐次方程？(1)022=---'x y y y x 是齐次方程1)(222-+=⇒-+=⇒xyx y dx dy x x y y dx dy(2)2211y y x -='-不是齐次方程2211x y dx dy --=⇒(3)(x2y 2)dx xydy 0是齐次方程 xyy x dx dy xy y x dx dy +=⇒+=⇒22(4)(2x y 4)dx (x y 1)dy 0不是齐次方程142-+-+-=⇒y x y x dx dy(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xy x dx x y y x yx 是齐次方程x y x y dx dy xy x x y y x y x dx dy +=⇒+=⇒th 32ch 3ch 3sh 2齐次方程的解法在齐次方程)(x ydx dy ϕ=中 令x y u = 即y ux 有)(u dxdu xu ϕ=+分离变量 得x dx u u du =-)(ϕ两端积分 得⎰⎰=-xdx u u du )(ϕ求出积分后 再用xy代替u 便得所给齐次方程的通解 例1 解方程dxdyxydx dy x y =+22 解 原方程可写成1)(222-=-=xy x y xxy ydx dy因此原方程是齐次方程 令u xy = 则 y ux dxdu x u dx dy+=于是原方程变为12-=+u u dx du x u 即 1-=u u dx du x 分离变量 得 xdx du u =-)11(两边积分 得uln|u |Cln|x |或写成ln|xu |u C以xy代上式中的u 便得所给方程的通解C xy y +=||ln例2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy 面上曲线L yy (x )(y >0)绕x 轴旋转而成 光源在原点 在L 上任取一点M (x , y ) 作L 的切线交x 轴于A 点O 发出的光线经点M 反射后是一条平行于x 轴射线 由光学及几何原理可以证明OA OM 因为 x y y OP PM OP AP OA -'=-=-=αcot而 22y x OM +=于是得微分方程22y x x y y+=-'整理得1)(2++=yx y x dy dx 这是齐次方程问题归结为解齐次方程1)(2++=yx y x dy dx令vyx = 即x yv 得12++=+v v dydv yv 即 12+=v dydv y分离变量 得ydy v dv =+12两边积分 得 C y v v ln ln )1ln(2-=++, C yv v =++⇒12, 1)(22+=-⇒v v Cy , 1222=-CyvC y 以yv x 代入上式 得)2(22C x C y +=这是以x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕x 轴旋转所得旋转曲面的方程为)2(222C x C z y +=+这就是所求的旋转曲面方程例3 设河边点O 的正对岸为点A 河宽OA h 两岸为平行直线 水流速度为a 有一鸭子从点A 游向点O 设鸭子的游速为b (b >a ) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程例3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为a有一鸭子从岸边点A 游向正对岸点O 设鸭子的游速为b (b >a ) 且鸭子游动方向始终朝着点O 已知OA h 求鸭子游过的迹线的方程解 取O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻t 鸭子位于点P (x , y ) 则鸭子运动速度) ,() ,(dtdy dt dx v v y x ==v 故有yx v v dy dx =另一方面 ) ,()0 ,(2222y x y y x x b a +-+-+=+=b a v ) ,(2222y x by y x bx a +-+-=v因此yxy x b a v v dy dx y x ++-==1)(2 即yxy x b a dy dx ++-=1)(2问题归结为解齐次方程yxy x b a dy dx ++-=1)(2令uyx = 即x yu 得12+-=u ba dy du y分离变量 得dy bya u du -=+12两边积分 得 )ln (ln arsh C y ab u +-=将yx u =代入上式并整理 得])()[(2111b ab aCy Cy C x +--= 以x |yh0代入上式 得hC 1=故鸭子游过的轨迹方程为])()[(211b a b a hy h y h x +--= 0y h 将y x u =代入)ln (ln arsh C y a b u +-=后的整理过程)ln (ln arsh C y a b y x +-=a bCy y x -=⇒)ln(sh ])()[(21a ba bCy Cy y x -=⇒- ])()[(2a b a b Cy Cy y x -=⇒-])()[(2111a b a b Cy Cy C x +--=⇒§ 线性微分方程一、 线性方程 线性方程 方程)()(x Q y x P dxdy=+叫做一阶线性微分方程 如果Q (x )0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程0)(=+y x P dx dy 叫做对应于非齐次线性方程)()(x Q y x P dxdy=+的齐次线性方程 下列方程各是什么类型方程？ (1)y dxdyx =-)2(021=--y x dx dy 是齐次线性方程 (2) 3x 25x 5y0y3x25x 是非齐次线性方程(3) y y cos x e sin x是非齐次线性方程(4)y x dxdy+=10 不是线性方程(5)0)1(32=++x dxdy y 0)1(23=+-y x dx dy 或32)1(x y dy dx +-不是线性方程齐次线性方程的解法 齐次线性方程0)(=+y x P dxdy是变量可分离方程 分离变量后得dx x P ydy)(-=两边积分 得1)(||ln C dx x P y +-=⎰或 )( 1)(C dxx P e C Ce y ±=⎰=-这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例1 求方程y dxdyx =-)2(的通解 解 这是齐次线性方程 分离变量得2-=x dx y dy两边积分得ln|y |ln|x 2|lnC方程的通解为y C (x 2) 非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成x 的未知函数u (x )把⎰=-dxx P e x u y )()(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得)()()()()()()()()(x Q e x u x P x P e x u e x u dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---化简得 ⎰='dxx P e x Q x u )()()(Cdx e x Q x u dxx P +⎰=⎰)()()(于是非齐次线性方程的通解为])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-或 dx e x Q e Ce y dx x P dx x P dx x P ⎰⎰⎰+⎰=--)()()()(非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和例2 求方程25)1(12+=+-x x y dx dy 的通解 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程012=+-x y dx dy 的通解 分离变量得12+=x dx y dy两边积分得ln y 2ln (x 1)ln C齐次线性方程的通解为 y C (x 1)2用常数变易法 把C 换成u 即令y u (x 1)2代入所给非齐次线性方程 得2522)1()1(12)1(2)1(+=+⋅+-+⋅++⋅'x x u x x u x u21)1(+='x u两边积分 得C x u ++=23)1(32再把上式代入y u (x1)2中即得所求方程的通解为])1(32[)1(232C x x y +++=解 这里12)(+-=x x P 25)1()(+=x x Q 因为 )1ln(2)12()(+-=+-=⎰⎰x dx x dx x P2)1ln(2)()1(+==⎰+-x e e x dxx P2321225)()1(32)1()1()1()(+=+=++=⎰⎰⎰⎰-x dx x dx x x dx e x Q dx x P所以通解为 ])1(32[)1(])([232)()(C x x C dx e x Q ey dxx P dxx P +++=+⎰⎰=⎰-例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为E E m sin t (E m 、都是常数) 电阻R 和电感L 都是常量 求电流i (t )解 由电学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势dtdi L - 由回路电压定律得出0=--iR dtdi L E 即LE i L R dt di =+把E E m sin t 代入上式 得t LE i L R dt di m sin ω=+初始条件为 i |t 0方程t LE i L R dt di m sin ω=+为非齐次线性方程 其中LR t P =)( t LE t Q msin )(ω=由通解公式 得 ])([)()()(C dt e t Q et i dtt P dtt P +⎰⎰=⎰-) sin (C dt e t LE e dt L Rm dt L R +⎰⎰=⎰-ω)sin (C dt te e LE t L R t L Rm +=⎰-ωt LR mCe t L t R LR E -+-+=) cos sin (222ωωωω其中C 为任意常数 将初始条件i |t0代入通解 得222 L R LE C m ωω+=因此 所求函数i (t )为) cos sin ( )(222222t L t R L R E e L R LE t i m t L R m ωωωωωω-+++=-二、伯努利方程 伯努利方程 方程n y x Q y x P dxdy)()(=+ (n 0 1) 叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？(1)4)21(3131y x y dx dy -=+ 是伯努利方程 (2)5xy y dx dy += 5xy y dxdy=- 是伯努利方程(3)x y y x y +='11-=-'xy y xy 是伯努利方程(4)x xy dxdy42=- 是线性方程 不是伯努利方程伯努利方程的解法 以y n除方程的两边 得 )()(1x Q y x P dxdyy n n =+-- 令z y1n得线性方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+例4 求方程2)(ln y x a xydx dy -+的通解 解 以y 2除方程的两端 得 x a y xdx dy y ln 112=+-- 即 xa y xdx y d ln 1)(11=+---令z y1则上述方程成为x a z xdx dz ln 1-=-这是一个线性方程 它的通解为 ])(ln 2[2x a C x z -=以y 1代z 得所求方程的通解为 1])(ln 2[2=-x a C yx经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 例5 解方程yx dx dy+=1解 若把所给方程变形为y x dydx +=即为一阶线性方程则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程令x y u 则原方程化为udx du 11=- 即uu dx du 1+=分离变量 得dx du u u =+1两端积分得 u ln|u1|x ln|C |以u x y 代入上式 得 y ln|x y 1|ln|C | 或x Ceyy 1§125 全微分方程全微分方程 一个一阶微分方程写成P (x , y )dx Q (x , y )dy 0形式后 如果它的左端恰好是某一个函数u u (x , y )的全微分du (x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy那么方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0就叫做全微分方程 这里),(y x P xu =∂∂),(y x Q yu =∂∂而方程可写为 du (x , y )0全微分方程的判定 若P (x , y )、Q (x , y )在单连通域G 内具有一阶连续偏导数 且xQ y P ∂∂=∂∂则方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0是全微分方程 全微分方程的通解若方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0是全微分方程 且du (x , y )P (x , y )dx Q (x , y )dy 则 u (x , y )C 即)),(( ),(),(0000G y x C dx y x Q dx y x P yy xx∈=+⎰⎰是方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0的通解 例1 求解(5x 43xy2y 3)dx (3x 2y 3xy 2y 2 )dy 0解 这里xQ y xy y P ∂∂=-=∂∂236所以这是全微分方程 取(x 0, y 0)(0, 0)有⎰⎰+-+=y xdy y dx y xy x y x u 020324)35(),(332253123y xy y x x +-+=于是 方程的通解为Cy xy y x x =+-+332253123积分因子 若方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0不是全微分方程 但存在一函数(x , y ) ((x , y )0) 使方程(x , y )P (x , y )dx(x , y )Q (x , y )dy 0是全微分方程 则函数(x , y )叫做方程P (x , y )dx Q (x , y )dy 0的积分因子例2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx xdy 0(2)(1xy )ydx (1xy )xdy 0 解 (1)方程ydx xdy 0不是全微分方程 因为 2)(y xdy ydx yx d -=所以21y 是方程ydx xdy 0的积分因子 于是 02=-y xdy ydx 是全微分方程 所给方程的通解为C y x =(2)方程(1xy )ydx (1xy )xdy 0不是全微分方程将方程的各项重新合并 得(ydx xdy )xy (ydx xdy )0再把它改写成 0)()(22=-+ydy x dx y x xy d这时容易看出2)(1xy 为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为0)()(2=-+ydyx dx xy xy d 积分得通解C y x xy ln ||ln 1=+- 即xyCe yx 1=我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程y P (x )y Q (x )可以验证⎰=dxx P e x )()(μ是一阶线性方程y P (x )y Q (x )的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以⎰=dxx P e x )()(μ得⎰=⎰+⎰'dxx P dxx P dxx P e x Q e x yP e y )()()()()( 即 ⎰='⎰+⎰'dxx P dxx P dx x P e x Q e y e y )()()()(][亦即 ⎰='⎰dxx P dxx P e x Q ye )()()(][ 两边积分 便得通解 Cdx e x Q ye dxx P dxx P +⎰=⎰⎰)()()( 或 ])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰=⎰-例3用积分因子求x xy dxdy42=+的通解 解 方程的积分因子为 22)(xxdxe e x =⎰=μ方程两边乘以2x e 得 22242xx x xe y xe e y =+' 即224)(xx xe y e ='于是 Ce dx xe y e x x x +==⎰22224因此原方程的通解为2224xx Ce dx xe y -+==⎰§126 可降阶的高阶微分方程一、y (n )f (x )型的微分方程 解法 积分n 次1)1()(C dx x f y n +=⎰-21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-例1 求微分方程y e 2x cos x 的通解解 对所给方程接连积分三次 得 12sin 21C x e y x +-=''212cos 41C x C x e y x +++='3221221sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解或 122sin 21C x e y x +-=''2122cos 41C x C x e y x +++='32212sin 81C x C x C x e y x ++++=这就是所给方程的通解例 2 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动 设力F 仅是时间t 的函数F F (t ) 在开始时刻t 0时F (0)F 0 随着时间t 的增大 此力F 均匀地减小 直到t T 时 F (T )0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设x x (t )表示在时刻t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为)(22t F dtx d m =由题设 力F (t )随t 增大而均匀地减小 且t 0时 F (0)F 0所以F (t )F 0kt 又当t T 时 F (T )0 从而 )1()(0TtF t F -=于是质点运动的微分方程又写为)1(022T t m F dtx d -=其初始条件为0|0==t x0|0==t dt dx把微分方程两边积分 得120)2(CTt t m F dt dx +-=再积分一次 得21320)621(C t C Tt t m F x ++-= 由初始条件x |t 00 0|0==t dtdx 得C 1C 20于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -= 0t T解 设x x (t )表示在时刻t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 mxF (t )由题设 F (t )是线性函数 且过点(0 F 0)和(T 0) 故1)(0=+T tF t F 即)1()(0Tt F t F -=于是质点运动的微分方程又写为 )1(0Tt m F x -='' 其初始条件为x |t 00 x |t把微分方程两边积分 得 120)2(C Tt t m F x +-=' 再积分一次 得2320)621(C Tt t m F x +-= 由初始条件x |t 00 x |t得C 1C 20于是所求质点的运动规律为)621(320Tt t m F x -= 0t T二、y f (xy )型的微分方程解法 设yp 则方程化为p f (x p ) 设p f (x p )的通解为p (x C 1) 则),(1C x dxdyϕ=原方程的通解为21),(C dx C x y +=⎰ϕ例3 求微分方程 (1x 2)y 2xy 满足初始条件y |x1y|x3的特解解 所给方程是y f (x y )型的 设yp 代入方程并分离变量后 有dx x x p dp 212+=两边积分 得ln|p |ln(1x 2)C即 p y C 1(1x 2) (C 1e C )由条件y |x 03 得C 13所以 y 3(1x 2)两边再积分 得 y x 33x C 2 又由条件y |x 01 得C 21于是所求的特解为y x 33x 1例4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线?三、yf (y y )型的微分方程解法 设y p 有dydpp dx dy dy dp dx dp y =⋅==''原方程化为),(p y f dy dpp = 设方程),(p y f dydpp =的通解为y p (y C 1) 则原方程的通解为21),(C x C y dy+=⎰ϕ例5 求微分yy y20的通解解 设y p 则dydp py =''代入方程 得02=-p dydp yp在y 0、p 0时 约去p 并分离变量 得ydy p dp =两边积分得ln|p |ln|y |ln c即 p Cy 或yCy (C c )再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y |Cx ln c 1 或 y C 1e Cx(C 1c 1)例5 求微分yy y 20的通解解 设y p 则原方程化为02=-p dydp yp当y 0、p 0时 有01=-p ydy dp 于是 yC e p dyy 11=⎰=即 yC 1y 0从而原方程的通解为 xC dxC e C e C y 1122=⎰=例6 一个离地面很高的物体受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）§12 7 高阶线性微分方程一、二阶线性微分方程举例例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点给物体一个初始速度v 00后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x 是t 的函数 x x (t ) 设弹簧的弹性系数为c则恢复力fcx又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为则dtdx R μ-由牛顿第二定律得 dt dxcx dt x d mμ--=22移项 并记mn μ=2 mck =2则上式化为 02222=++x k dt dx n dtx d这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 F H sin pt 的作用 则有pt h x k dt dx n dt x d sin 2222=++其中mH h =这就是强迫振动的微分方程例2 设有一个由电阻R 、自感L 、电容C 和电源E 串联组成的电路 其中R 、L 、及C 为常数电源电动势是时间t 的函数 E E m sin t 这里E m 及也是常数设电路中的电流为i (t ) 电容器极板上的电量为q (t )两极板间的电压为u c 自感电动势为E L 由电学知道 dtdqi =Cq u c =dtdi LE L -=根据回路电压定律 得0=---Ri C q dt di L E 即 tE u dt du RC dt u d LC m c cc ωsin 22=++或写成t LC E u dt du dt u d m cc c ωωβsin 22022=++ 其中L R 2=β LC10=ω 这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E 0) 则上述成为022022=++c c c u dt du dtu d ωβ二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为y P (x )y Q (x )y f (x )若方程右端f (x )0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 yP (x )yQ (x )y 0 即0)()(22=++y x Q dx dyx P dxy d定理1 如果函数y 1(x )与y 2(x )是方程 yP (x )yQ (x )y 0的两个解 那么y C 1y 1(x )C 2y 2(x )也是方程的解 其中C 1、C 2是任意常数齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C 1y 1C 2y 2]C 1 y 1C 2 y 2[C 1y 1C 2y 2]C 1 y 1C 2 y 2因为y 1与y 2是方程y P (x )y Q (x )y 0 所以有y 1P (x )y 1Q (x )y 10及y 2P (x )y 2Q (x )y 20从而 [C 1y 1C 2y 2]P (x )[ C 1y 1C 2y 2]Q (x )[ C 1y 1C 2y 2]C 1[y 1P (x )y 1Q (x )y 1]C 2[y 2P (x )y 2Q (x )y 2]000这就证明了y C 1y 1(x )C 2y 2(x )也是方程y P (x )yQ (x )y 0的解函数的线性相关与线性无关设y 1(x ) y 2(x ) y n (x )为定义在区间I 上的n 个函数 如果存在n 个不全为零的常数k 1 k 2k n使得当x I 时有恒等式k 1y 1(x )k 2y 2(x ) k n y n (x )0成立 那么称这n 个函数在区间I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关例如 1 cos 2x sin 2x 在整个数轴上是线性相关的 函数1 x x 2在任何区间(a ,b)内是线性无关的定理2 如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y P(x)y Q(x)y0的两个线性无关的解那么y C1y1(x)C2y2(x) (C1、C2是任意常数)是方程的通解例3 验证y1cos x与y2sin x是方程y y0的线性无关解并写出其通解解因为y1y1cos x cos x0y2y2sin x sin x0所以y1cos x与y2sin x都是方程的解因为对于任意两个常数k1、k2要使k1cos x k2sin x0只有k1k20所以cos x与sin x在(, )内是线性无关的因此y1cos x与y2sin x是方程y y0的线性无关解方程的通解为y C1cos x C2sin x例4 验证y1x与y2e x是方程(x1)y xy y0的线性无关解并写出其通解解因为(x1)y1xy1y10x x0(x1)y2xy2y2(x1)e x xe x e x0所以y1x与y2e x都是方程的解因为比值e x/x不恒为常数所以y1x与y2e x在(, )内是线性无关的因此y1x与y2e x是方程(x1)y xy y0的线性无关解方程的通解为y C1x C2e x推论如果y1(x)y2(x)y n(x)是方程y(n)a1(x)y(n1)a n1(x)y a n(x)y0的n个线性无关的解那么此方程的通解为y C1y1(x)C2y2(x) C n y n(x)其中C1C2C n为任意常数二阶非齐次线性方程解的结构我们把方程y P(x)y Q(x)y0叫做与非齐次方程y P(x)y Q(x)y f(x)对应的齐次方程定理3 设y*(x)是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解Y(x)是对应的齐次方程的通解那么y Y(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解证明提示 [Y(x)y*(x)]P(x)[ Y(x)y*(x)]Q(x)[ Y(x)y*(x)][Y P(x)Y Q(x)Y ][ y* P(x)y* Q(x)y*]0 f(x) f(x)例如Y C1cos x C2sin x是齐次方程y y0的通解y*x22是y y x2的一个特解因此y C1cos x C2sin x x22是方程y y x2的通解定理4 设非齐次线性微分方程y P(x)y Q(x)y f(x)的右端f(x)几个函数之和如y P(x)y Q(x)y f1(x)f2(x)而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y P(x)y Q(x)y f1(x)与y P(x)y Q(x)y f2(x)的特解那么y1*(x)y2*(x)就是原方程的特解证明提示[y1y2*]P(x)[ y1*y2*]Q(x)[ y1*y2*][ y1*P(x) y1*Q(x) y1*][ y2*P(x) y2*Q(x) y2*]f1(x)f2(x)§129 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypy qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看能否适当选取r 使y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程y py qy 0得(r2pr q )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解特征方程 方程r2pr q 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-= 求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数xr ey 11=、xr ey 22=是方程的解 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 xr x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r xr ==1112不是常数 因此方程的通解为 xr x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e(i )x、y e (i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e xcos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e(i )x和y 2e(i )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )x e x (cos x i sin x ) y 2e(i )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e x cos x 、y 2e xsin x 也是方程解可以验证 y 1e x cos x 、y 2e xsin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为y e x(C 1cos x C 2sin x ) 求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程 r2pr q 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为。
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精品文档第十二章 微分方程一、学习目的与要求1、会识别下列类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程、一阶线性微分方程、贝努利方程及全微分方程，并会通过适当变换化成上述微分方程。
2、熟练掌握可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程的解法，以及掌握齐次微分方程是本次习题课的难点.3、会利用微分方程解决几何与物理上的简单应用问题，（由实际问题建立微分方程是本次习题课的难点，应通过各种教学环节来提高分析问题与解决问题的能力。
）4、熟悉下列几种特殊的高阶方程：)',(''),',(''),()(y y f y y x f y x f y n ===的降阶法。
5、了解二阶线性微分方程解的结构。
6、熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法。
7、掌握自由项的二阶常及])(cos )([)()()(1x son x P x x P e x f x P e x f n xm x ωωλλ+==系数非齐次线性微分方程的解法。
8、知道欧拉方程及其解法。
9、会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。
二、学习重点可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
可降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。
三、内容提要1、 基本理论（ⅰ）微分方程解的基本定理（存在唯一性定理）二阶线性微分方程 )()(')(''x f y x Q y x p y =++ (1) 及初始条件 0000')(',)(y x y y x y == （2）如果在)(),(x Q x p 区间I 上连续，则一定存在唯一的函数)(x y ,它在I 上满足方程（1）及初始条件（2）。
注：此定理的作用是保证方程（1）在初始条件（2）下解的存在与唯一性。
由于（1）的通解中有任意常数出现，这往往使通解的形式不唯一。
但是对于满足初始条件（2）的特解则是唯一的。
即使有所不同，那也只是表达方式有别而已。
（ⅱ）二阶线性微分方程解的结构定理 设方程（1）对应的齐次线性微分方程为：0)(')(''=++y x Q y x p y （3）如果)(1x y ,)(2x y 是方程（3）的两个线性无关的解，则y=C 1y 1+C 2y 2是方程（3）的通解精品文档（其中C 1、C 2 为相互独立的任意常数,）如果y *(x)是(1)式的一个特解,则*2211y y c y c y ++=是方程（1）的通解。
注:此定理说明在求出方程(3)的两个线性无关的解后,可以方便地写出方程(3)的通解,在求方程(1)的通解时首先应求出相应的齐次方程的通解,还要求出方程(1)的一个特解,最后将二者结合起来,就构成方程(1)的通解.因此有以上定理的保证,在求解微分方程时,我们将集中精力寻找（3）的线性无关解y 1和y 2以及方程(1)的特解y*,而不用操心通解的表达方式. 2、基本方法(I) 一阶微分方程基本类型与计算方法。
(1) 直接积分型：⎰=⇒=dx x f y x f y )()('⎰+=⇒xx y dx x f y 00)((2) 可分离变量型：⎰⎰=⇒=⇒=dx x f y g dydx x f y g dy y g x f y )()()()()()(' (3) 齐次方程：变量型代入原方程化为可分离则换元'':)('y xu u xyu x y f y =+=⇒=(4) 全微分方程：dy y x Q dx y x p ),(),(+。
满足c y x u y x du xQy p =⇒=⇒∂∂=∂∂),(0),((5) 线性方程：dx e x Q c ey x Q y x p y dx x p dxx p ⎰+⎰=⇒=+'⎰-)()()(()()(）伯努里方程：))()1(()()(')()1()()1(1dx e x Q n c e yy x Q y x p y dxx p n dxx p n nn⎰-+⎰=⇒=+----⎰(II) 高阶微分方程基本类型与计算方法：（1） 积分降阶型：次积分求解通过n x f y n ⇒=)()(（2） 不显含y 可降阶型：),('''',')',(''p x f p p y p y y x f y ===⇒=降阶换元 (3). 不显含x 可降阶型：,')',(''p y y x f y =⇒=换元),(''p y f dydpp dy dp p dx dy dy dp dx dp y =⇒=⋅==（4）、二阶常系数线性方程.,0''':)('''为原方程的一个特解的通解为对应齐次方程其中解的结构**=+++=⇒=++y qy py y Y y Y y x f qy py y上述计算中常用到的计算方法有：特征方程特征根法，待定系数法，常数变易法，分离精品文档变量法，换元法以及全微分方程积分因子法等，虽然不同类型的微分方程有不同的计算方法，但由于不同方程类型可以适当转换，故同一个方程可以有不同的求解方法，希望读者在学习中灵活运用！四、思考题1、0''2=+y y ω是几阶微分方程？函数)sin(ϕω+=x A y （ω、A 为任意常数，ϕ为常数）是微分方程的解吗？是通解吗？2、微分方程的通解是否包含了所有特解？3、函数cx y +-=1（c 为任意常数）是不是微分方程2y y ='的通解？方程2y y ='除此解外还有其它解吗？4、 线族422=+Cy x （C 为任意常数）满足什么微分方程？ 5、 可分离变量的微分方程一定是全微分方程。
对吗？ 6、 识别下列微分方程的类型：（1）;ln '2y xye y x = （2）0)()(=++-++dy e e dx e e y y x x y x （3）0)(=-+dx dy y x （4）;325'2234y x xy x y -=（5）y ˊ;ln ln xx xy x +=(6)0)2(2=+-xdy dx y xy(7).0)4()3(2=---dy x y dx x y7、 对微分方程)',('')',('y y f y y x f y ==及利用降阶法求解时均设p y ='，试问，前一个方程在所作变量代换下，二阶导数dxdpy =''；而第二个方程，二阶导数y ''则必须表示成dydppy =''，这是为什么？ 8、 易观察到函数 均为线性微分方程及x x e y e y 221==0)1(=+'-''-y y x y x 的特解，试问：（1）2211y c y c y +=是否为上述方程的解？是通解吗？为什么？（2）如不是通解。
你能否再找出一个与y 1或y 2是线性无关的特解？并写出方程的通解。
9、 对于常系数齐次线性微分方程：0)(=-y y n ,当n 分别是2、3、4时，请考虑对应方程的通解。
10、对下列各常系数齐次线性微分方程，所设特解哪个是正确的？ （1）12'''''2-=-x y y精品文档特解：（1）;2*c bx ax y ++= （2）);(2*c bx ax x y ++= （3）);(22c bx ax x y ++=∙ （2）x y y 3sin )4(=-特解：（1）;3sin *x A y =（2）;3sin 3cos *x B x A y +=（3）);3sin 3cos (*x B x A x y += （3）x e y y x sin 3)4(+=-特解：（1）;sin *x B Ae y x+= （2）;cos sin *x C x B Ae y x++=（3）);cos sin (*x C x B Ae x y x++=五、典型例题分析例1、求微分方程：3'-=+y ctgx y 的通解 解：将方程分离变量，得tgxdx y dy-=+3两边积分有：1ln )ln(cos )3(1c x y n +=+ 所以微分方程的通解为 3cos -=x C y 说明：如将微分方程化为,3'tgx ytgx y =+这是线性微分方程，于是也可按线性微分方程求解。
例2、设连续函数y(x)满足方程：⎰=++xx xy dt t y t t y 022)(])()(2[,且y(1)=0,试求函数y(x).分析：此题所求未知函数y(x)出现在积分号下，这样的方程称为积分方程，根据条件与所给方程知y(x)可导，为此将积分方程两边对x 求导，把问转化为求微分方程满足一定初始条件的解。
解：将方程两边对x 求导得'222xy y y x y +=++即：2)(1xy x y dx dy ++= 这是齐次微分方程，令ux y =得21u dxdux += 为可分离变量的微分方程,分离变量并积分有：⎰⎰=+=+,1,122xdxu du xdx u du ,ln ln )1ln(2C x u u +=++即： Cx u u =++21 或：222Cx y x y =++ 由初始条件：1,0)1(==C y 得所以 ,222x y x y =++精品文档故所求函数为：).1(212-=x y 例3、求微分方程x y y x =+-')1(满足初始条件2)0(=y 的特解分析：方程x y y x =+-')1(是一阶非齐次线性微分方程，可采用公式解法及常数变易法，在使用公式解法时，要注意将线性微分方程化成标准型:)()(x Q y x P y =+'解法1： x xy x y -=-+111'与标准型微分方程比较有：,11)(xx P -=x x x Q -=1)(故其通解为： ]1[11⎰+⎰-⎰=---c dx e xx ey xdx xdx=]1[)1()1ln(c dx e xx ex In x +----⎰ =])1()[1(2⎰+--c dx x xx ])11)1(1()[1(2⎰+----=c dx xx x =])1ln(11)[1(c x xx +-+-- 由初始条件2)0(=y ，得C=1，于是所求特解为：]1)1ln(11)[1(+-+--=x xx y解法2、常数变易法先求对应齐次线性微分方程解为的通解,0')1(=+-y y x ：)1(x c y -=又由常数变易法，设所求特解为：),1)((*x x C y -= )()1)((')(*x C x x C y --='将它们代入非齐次线性微分方程。