天津市南开中学2013届高三统练(10)数学文试题 扫描版
2013届高三模拟试卷(10)数学文参考答案
2012届高三模拟试卷数学（文）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 二、填空题（本大题共7小题，每小题４分，共28分）11．50 12．21 13 (,8)(2,)-∞-⋃+∞．14．4或8315．① 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．解：（1）1cos 21()2sin(2)1226x f x x x π+=--=-- …………2分 所以，()f x 的最大值为0，最小正周期为T=2ππ=； …………4分11sin 122222ABC S ab C ∴==⋅⋅⋅=V …………………12分17.解：（1）由题意，记数列的前五项分别为1,2,3,4,5，则抽取两项后剩下的三项有123,124,125,134,135，145,234,235,245,345共10种情况。
……6分（2）记事件A 为“取出的三项分别为{},(,,1,2,3,4,5,a a a p q r p q r ∈，使得()()224f x x a x a a p q r=+++恰有一个零点”，由题意()()201640,f x a a a p q r =⇔∆=-+=a a a p q r =+即2 ……8分所以,,a a a q p r 成等差数列，包含的基本事件有123,135,234,345共4种情况 …10分 所以()42105P A == …..12分 18.（１）证明：∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴//CD BE ，//BC DE ∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥．…………….….（2分） ∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C =I∴BC ⊥平面ADC ． ∵DE//BC ∴DE ⊥平面ADC…………….….（4分） 又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE …………………….….（5分）（2）∵DE//BC ∴ADC ∠为异面直线AD 与BE 所成角.即tan ADC ∠=在R ｔ△ADC 中, CD BE ==tan AC ADC CD ∠==∴AC =.….（8分）∵13C ADE A CDE CDE V V S AC --∆== = 33…………………….….（12分）19．解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1,a 公差为,d25,a =Q 3416a a +=115,2516,a d a d ∴+=+= ……………………2分解得13,2,a d ∴== ……………………4分221,2.n n a n S n n ∴=+=+ ……………………6分（2）2211(),11n n f x b x a ==--， 21,n a n =+Q 214(1)na n n ∴-=+1111()4(1)41n b n n n n ∴==-++ ……………………8分123111111(1)42231n n T b b b b n n ∴=++++=-+-++-+L L ……………………10分11(1)414(1)n nT n n ∴=-=++ 所以数列{}n b 的前n 项和 4(1)n nT n =+ ……………………12分20解：（Ⅰ）由题意，2222222221b a a b a a c e =⇒=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=， ......1分 又1,2111222==⇒=+=b a b ， ......3分所以椭圆C 的方程为1222=+y x ； ......4分 （Ⅱ）由题意知，设直线l 的方程为()1≥+=m m ky x ，()⎩⎨⎧=-+++⇒+==-+022202222222m kmy y k mky x y x ......6分 设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则22,222221221+-=+-=+k m y y k km y y ......7分又由l 与圆.1,11||,122222+==+=+k m k m y x 即得相切 ......8分所以2121224)(1||y y y y kAB --+=))2(1688)(1(2222++-+=2k m k k .1||222+=m m......10分又原点O 到直线l 的距离1=d ， 所以d AB S OAB .21=∆()11||22≥+=m m m . ......11分 又,22||1||2122≤+=+m m m m 当且仅当时取等号即1,1±==m m m ， 所以1±=m 时，OAB ∆的面积的最大值为22。
南开中学高三数学模拟试卷(文科)(参考答案).doc
南开中学高三数学模拟试卷（文科）参考答案一、选择题:（共8小题,每小题5分,共40分）题号 1 2 3 4 5 67 8答案D C D C C A B B二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）题号9 10 11 12 13 14答案611兀+471?兀292[9,+ 8)三、解答题：（本大题共6小题，共80分）. （15）（本小题满分13分）解:(I) /(兀)=V^sin2兀一cos2x = 2sin(2x --------------- )67T TT S(II ) ill 2k7T + — < 2x ------- < lk7l + —7l伙W z),2 6 271 5得k/r——< x < k7r + — 7r(k e z)3 6n5/r•••单调递减区间为[尿+ =、k兀七—](k ez). ................................... 8分3 6(III)因为-~^x^~，贝ij-兰W2x —兰 W兰，6 4 2 6 3当2x-- = -,即x =-时，/(兀)取得最大值为馆；6 3 4当2%--=--,即兀―仝时,/⑴取得最小值为_2 •.................................. 13分6 2 3（16）（木小题满分13分）解：（I ）由条形图得第七组频率为1-（0.04x2 + 0.08x2 + 0.2x2 + 0.3） = 0.06,0.06x50 = 3 1 分・••第七组的人数为3人组别 1 2 3 4 5 6 7 8 样本中人数 2 4 10 10 15 4 3 2 (II )由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)x5=0.82,.......................................................... 4分=71后三组频率为1一0.82=0.18 ................................................... 5分估计这所学校高三年级身高在180cm以上（含180cm）的人数800x0.18=144 （人）. 7分（皿）第二组四人记为a、b、c、d,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其屮1、2为男生，3为女生，基木事件列表如下：abed1\a \b \c \d22a 2b 2c 2d3 3 a 3b 3c 3d所以基本事件有12个...................................... 10分恰为一男一女的事件有",lc, Id, 2b, 2c, 2d, 3a；共7个..... 12分7因此实验小组中，恰为一男一女的概率是一................... 13分12（17）（本小题满分13分）（I）证明：因为菱形ABCD,所以3D丄AC,又因为平而ACEF丄平面ABCD ,EC丄AC，平面ACEF Q平面ABCD = AC故EC丄平面ABCDEC 丄BD所以BD丄平面ACEF-------------- 5分BDu平面BDE,所以平面BDE丄平面ACEF ；---------------- 6分（II）连结EO, EO//AM ,ZBEO为界面直线BE与AM所成的角或补角，由（I）知，AEOB = 90°,在直角三角形EOB 中，EO = AM=4i,BO = &所以界而直线BE与4M所成的角的正切值心. -------------- 10分2（III）由已知易得BF = FD,BE = ED，所以EO丄BD, FO丄BD,ZEOF为二面角E-BD-F的平而角13分所以二面角E-BD-F为90°.（18）（本小题满分13分）解：（I ）点A （0,2）代入圆C 方程， 得.（2-加尸=9*.* m < 2 ,・*. m = -1 .......... 1 分圆 C ：异+（〉，+ 1）2 =9,圆心（0,-1）・ 设直线的斜率为心，P （3,8）当K 不存在时，PF I ：x = 3,显然不合题意舍去. 当人存在时，PF“ y -8 = k l （x-3）f 即 k }x- y-3« + 8 = 0 .・••号f .解得k }=- ..................................................... 3分W + 1 3 直线 PF ]: 4x-3.y + 12 = 0总线PF 】与x 轴的交点横他标为一3,・・・c=3. F| (—3, 0), F 2(3, 0)............................... 4 分2« = P4F|| + |AF 2|= VB + V13 =2>/13 , a =屈,«2=13, //=4.椭圆E 的方程为：—+ ^- = 1............................. 6分13 4(II)由|丽冃丽|知点A 在线段MN 的垂直平分线上， y = kx-2由]兀2 2 消去y 得(4 + 13/)兀2 一52也=0 (*) —+ —= 1 〔13 4由Id 得方程（*）的A = （52^）2 >0,即方程（*）有两个不相等的实数根…8分 设N （兀2小），线段MN 的中点卩（兀0，儿），26k 4 + 13 衣52k 4 + 13f•宀0,直线仲的斜率为宁=桔由AP 丄MN,得 土竺 xk = _l,解得：k = ±—f……12分13R13・・・存在直线/满足题意，方程为：V5x-V13y-2ji3 =0«KV5x + V13y + 2Vi3 =0 -------------------------------- 13 分 (19) (本小题满分14分)解：(I)方法一：由S 曲=3S “得：数列｛S”｝是等比数列，公比为3,首项为1…2分.•.S” =1・3心=3心 ......... 3分当 n>2 时,a n = S n - S n _{ = 3 心 一 3W '2 = 2 • 3n '2................... 4 分fl (n = 1)•5=\.................. 5 分[2・3心(n > 2)方法一：•** S“+] = 3S“，「. S n = 3S”](M ' 2) 以上两式相减得：Q “+]=3% (n > 2),.................. 2分在 S n+[ = 3S n 中,取 〃 =1 得：a {+a 2= 3a }即 a 2 = 2a } = 2 ,.................. 3 分.・.｛%｝为第二项起的等比数列，公比为3 .................. 4分fl (n = l)/. ci = \.................. 5 分26k 24 + 13p—8 4 + 13/即卩為為)10分2・3宀(n > 2)由(I )知：⑺”｝为第二项起的等比数列，公比为3, s=2t0? + 1)(72 + 2) n(n +1)(/? + 1)(1-/?)① 若r 〉0,则 b n+i -b n <0 HP b n+i < b n (n > 2) .・.数列｛仇｝是从第二项起的递减数列ifij b 、= —, b 2 = — t b 2 >b } 3•••(—b2「 ..................................... 9 分•・•对任意 n e TV * ,都冇 A>/7(Z7 + 1)a“t②若/v0,则b n+} - b n > 0即b n+x > b n (n > 2)・•・数列{仇}是从第二项起的递增数列・・・11 分Ifij/, =-<0,当n >2 时，化=W o't n2r-3w_2b n e (-oo, 0).................. 12 分•• •对任意n e TV * ,都有2>/7(Z7 + 1), > 0 ...................13 分%3综合上面：若/>0,则A>-；若/<0,则A>0o .............................................. 14分t(20) (木小题满分14分)解：(I )当 a = -3ll 寸，/(x) = —x 3 -兀2-3X + 3,所以 广(兀)=x 2 -2x-3 = (x-3)(x + l).令/'(兀) = 0,得 比=_1,兀2=3.当xv-l 时，广(x)〉0,则/(x)在(-oo,-l) ±单调递增； 当一1 v 尢<3时,/'(X )<0 ,则f (x)在(-1,3)上单调递减;・••当心2时,廿2心巴汗畔 “ “ It • 3n_2b n +l ~b n 2r3n-I『•3"10分当x>3时，广(兀)>0 , /(兀)在(3,+00)上单调递增. 所以，当x = -\时，/&)取得极大值为/(-1)=-1-1 + 3 + 3 =—； 当*3时,/(x)取得极小值为/*(3)=丄x27-9-9 + 3 =-6.(II )广(兀)=/-2x + d , △ = 4-4° = 4(1-°) •⑴若dhl,则在心上恒有广(兀)》0,于⑴在R 上单调递增，且值域为R.函 数/(x)的图象少兀轴有且只有一个交点.(2)若a<l,则△>(), /'(%) = 0有两个不等的实根，不妨设为x l9x 2 (x t <x 2).当x 变化吋，广(x)J(x)的取值情况如下表：X(-°°眄)(西，兀2)厶（兀2，+°°）广(刃+—+极大值极小值由兀]2—2 兀]+a = 0 ,得兀]+兀2=2, x l x 2 = a , JL x ）2= 2x, - <7.f （xj = £ 兀1‘ _ X |2 + ax \ 一 a = * £ （2旺 _ d ） — 壬2 + ax }-同理/(x 2) =|［(n-l)x 2-t/_ •函数子(x)的图象与x 轴有且只有一个交点，等价于/(x 2)< f (x,) <0或0</(X2)</(X l)» 即 /(壬)丁(兀2)>0 •又/(西)丁(兀2)=害［(。
2013年高考文科数学天津卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013天津，文1)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )．A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．[－2,2]D ．[－2,1]2．(2013天津，文2)设变量x ，y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )．A ．－7B ．－4C ．1D ．2 3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为( )．A ．7B ．6C ．5D ．44．(2013天津，文4)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．(2013天津，文5)已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )．A ．12-B ．1C ．2D ．126．(2013天津，文6)函数()πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为( )．A ．－1 B．2-C．2 D ．07．(2013天津，文7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋12(log )f a ≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(0,2]8．(2013天津，文8)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )．A ．g(a)＜0＜f(b)B ．f(b)＜0＜g(a)C ．0＜g(a)＜f(b)D ．f(b)＜g(a)＜0第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．(2013天津，文9)i 是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________. 10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________．11．(2013天津，文11)已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE＝1，则AB 的长为__________．13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC .过点A 作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为__________．14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则1||2||aa b+的最小值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y ＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b sinA＝3c sin B，a＝3，cos B＝23.(1)求b的值；(2)求πsin23B⎛⎫-⎪⎝⎭的值．17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ；(2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x y a b (a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过点F 且与x (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC ·DB＋AD ·CB＝8，求k 的值．19．(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明1136n n S S +≤(n ∈N *)．20．(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a ∈[－2,0]，已知函数()3325030.2x a x x f x a x x ax x ⎧-(+)≤⎪⎨+-+>⎪⎩，，＝，(1)证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；(2)设曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，且x 1x 2x 3≠0.证明x 1＋x 2＋x 3＞13-.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：解不等式|x |≤2，得－2≤x ≤2，即A ＝{x |－2≤x ≤2}，A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，故选D. 2． 答案：A解析：作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如图所示，z ＝y －2x 可化为y ＝2x ＋z ，z 表示直线在y 轴上的截距，截距越大z 越大，作直线l 0：y ＝2x ，平移l 0，当l 0过点A (5,3)时，z 取最小值，且为－7，选A. 3． 答案：D解析：由程序框图可知，n ＝1时，S ＝－1；n ＝2时，S ＝1；n ＝3时，S ＝－2；n ＝4时，S ＝2≥2，输出n 的值为4，故选D. 4． 答案：A解析：因为a 2≥0，而(a －b )a 2＜0，所以a －b ＜0，即a＜b ；由a ＜b ，a 2≥0，得到(a －b )a 2≤0可以为0，所以“(a－b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分而不必要条件． 5． 答案：C解析：由题意知点P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，设切线的斜率为k ，则2021k -⋅-＝－1，解得12k =-，直线ax －y ＋1＝0的斜率为a ，其与切线垂直，所以12a -＝－1，解得a ＝2，故选C.6． 答案：B解析：因为x ∈π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，当ππ244x -=-，即x ＝0时，f (x )取得最小值-.7． 答案：C解析：因为12log a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋12(log )f a ＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1， 解得12≤a ≤2，故选C. 8．答案：A解析：由f (a )＝e a＋a －2＝0得0＜a ＜1.由g (b )＝ln b ＋b 2－3＝0得1＜b ＜2.因为g (a )＝ln a ＋a 2－3＜0， f (b )＝e b ＋b －2＞0，所以f (b )＞0＞g (a )，故选A.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i ＋i －2i 2＝5－5i. 10．解析：由题意知349ππ32V R ==球，32R =.设正方体的棱长为a＝2R ，a11．答案2213y x -= 解析：抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c ＝2，离心率e ＝ca＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝3，所以双曲线的方程为2213y x -=. 12．答案：12解析：取平面的一组基底{AB ，AD}，则AC ＝AB ＋AD ，BE ＝BC ＋CE ＝12-AB＋AD ，AC ·BE ＝(AB ＋AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝12-|AB |2＋|AD |2＋12AB ·AD ＝12-|AB |2＋14|AB |＋1＝1，解方程得|AB |＝12(舍去|AB |＝0)，所以线段AB 的长为12. 13．答案：152解析：因为在圆内接梯形ABCD 中，AB ∥DC ，所以AD ＝BC ，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，∠ABE ＝∠BCD .所以∠BAD ＋∠ABE ＝180°. 又因为AE 为圆的切线，所以AE 2＝BE ·EC ＝4×9＝36，故AE ＝6. 在△ABE 中，由余弦定理得cos ∠ABE ＝222128AB BE AE AB BE +-=⋅， cos ∠BAD ＝cos(180°－∠ABE )＝－cos ∠ABE ＝18-， 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos∠BAD ＝2254，所以BD ＝152.14．答案：34解析：因为a ＋b ＝2， 所以2a b+＝1， 1||2||a a b +＝||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a aa a +=，，当且仅当b ＝2|a |时，等号成立．当a ＞0时，5+1=4||4a a ，故1||52||4a a b +≥； 当a ＜0时，3+1=4||4a a ，1||32||4a ab +≥.综上可得最小值为34.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．解：(1)其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝62105=. 16．解：(1)在△ABC 中，由sin sin a bA B=，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ， 又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，2cos 3B =，可得b =(2)由2cos 3B =，得sin Bcos 2B ＝2cos 2B －1＝19-，sin 2B ＝2sin B cos B所以πsin 23B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππsin 2cos cos 2sin 33B B -=17．(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ， 又因为F 为A 1C 1的中点，可得A 1F ＝DE ，且A 1F ∥DE ，即四边形A 1DEF 为平行四边形， 所以EF ∥DA 1.又EF ⊄平面A 1CD ，DA 1⊂平面A 1CD ， 所以EF ∥平面A 1CD .(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ， 又由于侧棱A 1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以A 1A ⊥CD ， 又A 1A ∩AB ＝A ，因此CD ⊥平面A 1ABB 1，而CD ⊂平面A 1CD ，所以平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1.(3)解：在平面A 1ABB 1内，过点B 作BG ⊥A 1D 交直线A 1D 于点G ，连接CG . 由于平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1，而直线A 1D 是平面A 1CD 与平面A 1ABB 1的交线， 故BG ⊥平面A 1CD .由此得∠BCG 为直线BC 与平面A 1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A 1D， 由△A 1AD ∽△BGD ，易得BG.在Rt△BGC 中，sin ∠BCG＝BG BC =. 所以直线BC 与平面A 1CD18．解：(1)设F (－c,0)，由3c a =，知a =. 过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=，解得3y =±，于是33=，解得b又a 2－c 2＝b 2，从而ac ＝1，所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.求解可得x 1＋x 2＝2262k -，x 1x 2＝223623k k-+. 因为A (0)，B0)，所以AC ·DB ＋AD·CB＝(x 1y 1x 2，－y 2)＋(x 2y 2x 1，－y 1)＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2＝22212623k k +++.由已知得22212623k k+++＝8， 解得k ＝19． (1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是4312a q a ==-.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭. (2)证明112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，11112112n n nn S S ⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭1122212.221n n n nn n +⎧+⎪()⎪=⎨⎪+⎪(-)⎩，为奇数，，为偶数 当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以111113=6n n S S S S +≤+.当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以221125=12n n S S S S +≤+.故对于n ∈N *，有1136n n S S +≤.20．证明：(1)设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝3232a x x ax +-+(x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由a ∈[－2,0]，从而当－1＜x ＜0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)＜3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减．②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈[－2,0]，所以当0＜x ＜1时，f 2′(x )＜0；当x ＞1时，f 2′(x )＞0.即函数f 2(x )在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．综合①，②及f 1(0)＝f 2(0)，可知函数f (x )在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增． (2)由(1)知f ′(x )在区间(－∞，0)内单调递减，在区间306a +⎛⎫ ⎪⎝⎭，内单调递减，在区间36a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，内单调递增．因为曲线y ＝f (x )在点P i (x i ，f (x i ))(i ＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝f ′(x 3)．不妨设x 1＜0＜x 2＜x 3，由213x －(a ＋5)＝223x －(a ＋3)x 2＋a ＝233x －(a ＋3)x 3＋a ， 可得222333x x -－(a ＋3)(x 2－x 3)＝0，解得x 2＋x 3＝33a +，从而0＜x 2＜36a +＜x 3. 设g (x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ，则36a g +⎛⎫⎪⎝⎭＜g (x 2)＜g (0)＝a . 由213x －(a ＋5)＝g (x 2)＜a，解得x 1＜0，所以x 1＋x 2＋x 3＞33a +， 设ta ＝2352t -，因为a ∈[－2,0]，所以t∈⎣⎦， 故x 1＋x 2＋x 3＞2231111(1)6233t t t +-+=--≥-，即x 1＋x 2＋x 3＞13-.。
2013年天津高考语文、数学(文史类)、文综、英语真题及答案解析汇总word版
2013年天津高考语文、数学（文史类）、文综、英语真题及答案解析汇总2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)语文本试卷分第I卷和第II卷两部分，共150分，考试用时150分钟，第I卷１至６页，第II卷７至１２页。
答卷前，考生务必奖自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净以后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共１２小题，每小题３分，共３６分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、（15分）1.下列词语中加点字的读音,全都正确的一组是A.裨．(bì)益窠．(kē)臼偌．(nuò)大潜．(．qián)移默化B.发轫．(rěn) 烘焙．(péi) 禀．(bǐng)赋既往不咎．(jiù)C.臧否．(pǐ) 契．(qiè)合澄．(chéng)澈乳臭．(xiù)未干D.造诣．(．yì) 编纂．(zuǎn) 泊．(bó)位游目骋．(chěng)怀2.下列词语中没有．．错别字的一组是A.膏梁青涩雍容华贵豆寇年华B.缴纳戍边平心而论得鱼忘筌C.桀骜羁旅摩肩接踵励精图治D.袅娜覆盖开城布公呕心沥血3.下面语段横线处应填入的词语,是恰当的一组是长期以来,人们把图书馆当成“知识宝库”，当成“知识殿堂”，似乎对图书馆_________有㖙，然而，“宝库”和“殿堂”虽好，但它们离普通百姓很远，甚至很遥远，普通百姓往往_______。
一些人从不进图书馆，恐怕同这种心态不无关系，图书馆_________“宝库”“殿堂”，______“知识公园”。
A.崇敬望而生畏不仅是而且是B.尊崇望而生畏不应是而应是C.崇敬敬而远之不应是而应是D.尊崇敬而远之不仅是而且是4.下列各句中没有．．语病的一句是A.在学校开设的各种选修课中，同学们尤其更喜欢“生活中的法律”“电脑音乐整理”等体验性强、新鲜有趣的课程。
2013年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.2．（5分）（2013•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的，3．（5分）（2013•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）25．（5分）（2013•天津）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线axB=26．（5分）（2013•天津）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值．∈，[在区间的最小值为7．（5分）（2013•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log2a）+f（log a）≤2f（1），则a的取值范围是（），即≤8．（5分）（2013•天津）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）（，∴二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）（2013•天津）i是虚数单位．复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i．10．（5分）（2013•天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．，所以正方体的体对角线长为：a，．故答案为：11．（5分）（2013•天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．，可得的一个焦点为（﹣曲线的离心率的计算公式可得=2，可得由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣，∴∴双曲线的方程为．故答案为．12．（5分）（2013•天津）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．，=+﹣，，∴故答案为13．（5分）（2013•天津）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E．若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为．，．故答案为：．14．（5分）（2013•天津）设a+b=2，b＞0，则的最小值为．由题意得，，1的最小值为故答案为：．三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2013•天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．件，故样本的一等品率为=16．（13分）（2013•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．中，有正弦定理，b=（Ⅱ）由sinB=﹣=17．（13分）（2013•天津）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．ACD=BG==，所成角的正弦值18．（13分）（2013•天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若=8，求k的值．代入求出弦长使其等于，由，再由韦达定理进行求解．求得（Ⅰ）根据椭圆方程为，得±，=∵离心率为，∴=b=；﹣（﹣（，，（k=19．（14分）（2013•天津）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入，，∴；为奇数时，=，=，，且综上，有20．（14分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．（Ⅰ）令，）内单调递减，在区间单调递减，在区间利用导数的几何意义可得根据以上等式可得，从而，解得，于是可得t=，已知，①②时，时，，即函数在区间内单调递减，在区间互不相等，且．，解得，从而，则，解得，t=，则，，∴。
2013年天津市高考数学试卷及解析(文科)
2013年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1、（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A、（﹣∞，2]B、[1，2]C、[﹣2，2]D、[﹣2，1]2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A、﹣7B、﹣4C、1D、23、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A、7B、6C、5D、44、（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件5、（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A、B、1 C、2 D、6、（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A、﹣1B、﹣C、D、07、（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A、 B、[1，2]C、 D、（0，2]8、（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3、若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A、g（a）＜0＜f（b）B、f（b）＜0＜g（a）C、0＜g（a）＜f（b）D、f（b）＜g（a）＜0二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位、复数（3+i）（1﹣2i）=、10、（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上、若球的体积为，则正方体的棱长为、11、（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为、12、（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点、若，则AB的长为、13、（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E、若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为、14、（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为、三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级、若S≤4，则该产品为一等品、现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）质量指标（x，y，z）产品编号A6A7A8A9A10（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）质量指标（x，y，z）（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率、16、（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c、已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=、（1）求b的值；（2）求sin（2B ﹣）的值、17、（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值、18、（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点、若=8，求k的值、19、（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明、20、（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明、参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.共8小题,每小题5分,共40分.1、（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A、（﹣∞，2]B、[1，2]C、[﹣2，2]D、[﹣2，1]分析：先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可、解答：解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选：D、点评：本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题、2、（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=y﹣2x的最小值为（）A、﹣7B、﹣4C、1D、2分析：先根据条件画出可行域，设z=y﹣2x，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距最小，只需求出直线z=y﹣2x，过可行域内的点B（5，3）时的最小值，从而得到z最小值即可、解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，平移直线y﹣2x=0经过点A（5，3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣7，则目标函数z=y﹣2x的最小值为﹣7、故选：A、点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想、线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定、3、（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A、7B、6C、5D、4分析：利用循环结构可知道需要循环4次方可得到S←2，因此输出的n←4、解答：解：由程序框图可知：S=2=0+（﹣1）1×1+（﹣1）2×2+（﹣1）3×3+（﹣1）4×4，因此当n=4时，S←2，满足判断框的条件，故跳出循环程序、故输出的n的值为4、故选：D、点评：正确理解循环结构的功能是解题的关键、4、（5分）设a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是“a＜b”的（）A、充分而不必要条件B、必要而不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件分析：根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解、解答：解：∵a，b∈R，则（a﹣b）a2＜0，∴a＜b成立，由a＜b，则a﹣b＜0，“（a﹣b）a2≤0，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，b∈R，则“（a﹣b）a2＜0”是a＜b的充分不必要条件，故选：A、点评：本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题、5、（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A、B、1 C、2 D、分析：由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可、解答：解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2、故选：C、点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力、6、（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A、﹣1B、﹣C、D、0分析：由题意，可先求出2x取值范围，再由正弦函数的性质即可求出所求的最小值、解答：解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为、故选：B、点评：本题考查正函数的最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值、7、（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A、 B、[1，2]C、 D、（0，2]分析：由偶函数的性质将f（log2a）+f（）≤2f（1）化为：f（log2a）≤f （1），再由f（x）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a的取值范围、解答：解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log2a）=f（log2a），则f（log2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A、点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于基础题、8、（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3、若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A、g（a）＜0＜f（b）B、f（b）＜0＜g（a）C、0＜g（a）＜f（b）D、f（b）＜g（a）＜0分析：先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可、解答：解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a＜1、同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴、∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0、∴g（a）＜0＜f（b）、故选：A、点评：熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键、二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、（5分）i是虚数单位、复数（3+i）（1﹣2i）=5﹣5i、分析：利用复数的运算法则即可得出、解答：解：（3+i）（1﹣2i）=3﹣6i+i﹣2i2=5﹣5i、故答案为5﹣5i、点评：熟练掌握导数的运算法则是解题的关键、10、（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上、若球的体积为，则正方体的棱长为、分析：设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长、解答：解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，球的体积为：，解得a=、故答案为：、点评：本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力、11、（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为、分析：利用抛物线的标准方程y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2、由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），即可得到c=2、再利用双曲线的离心率的计算公式可得=2，得到a=1，再利用b2=c2﹣a2可得b2、进而得到双曲线的方程、解答：解：由抛物线y2=8x，可得，故其准线方程为x=﹣2、由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣2，0），∴c=2、又双曲线的离心率为2，∴=2，得到a=1，∴b2=c2﹣a2=3、∴双曲线的方程为、故答案为、点评：熟练掌握双曲线抛物线的标准方程及其性质是解题的关键、12、（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点、若，则AB的长为、分析：利用向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算即可得出、解答：解：∵，、∴===+﹣==1，化为，∵，∴、故答案为、点评：熟练掌握向量的三角形法则和平行四边形法则和数量积得运算是解题的关键、13、（5分）如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E、若AB=AD=5，BE=4，则弦BD的长为、分析：连结圆心O与A，说明OA⊥AE，利用切割线定理求出AE，通过余弦定理求出∠BAE的余弦值，然后求解BD即可、解答：解：如图连结圆心O与A，因为过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E、所以OA⊥AE，因为AB=AD=5，BE=4，梯形ABCD中，AB∥DC，BC=5，由切割线定理可知：AE2=EB•EC，所以AE==6，在△ABE中，BE2=AE2+AB2﹣2AB•AEcosα，即16=25+36﹣60cosα，所以cosα=，AB=AD=5，所以BD=2×ABcosα=、故答案为：、点评：本题考查切割线定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力以及计算能力、14、（5分）设a+b=2，b＞0，则的最小值为、分析：由题意得代入所求的式子，进行化简后，再对部分式子利用基本不等式求出范围，再由a的范围求出式子的最小值、解答：解：∵a+b=2，∴，∴=，∵b＞0，|a|＞0，∴≥1（当且仅当b2=4a2时取等号），∴≥1，故当a＜0时，的最小值为、故答案为：、点评：本题考查了基本不等式的应用，需要根据条件和所求式子的特点，进行变形凑出定值再进行求解，考查了转化和分类讨论的能力、三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15、（13分）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级、若S≤4，则该产品为一等品、现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编号A1A2A3A4A5（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）质量指标（x，y，z）产品编号A6A7A8A9A10质量指标（x，y，（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）z）（Ⅰ）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，（i）用产品编号列出所有可能的结果；（ii）设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率、分析：（Ⅰ）用综合指标S=x+y+z计算出10件产品的综合指标并列表表示，则样本的一等品率可求；（Ⅱ）（i）直接用列举法列出在该样品的一等品中，随机抽取2件产品的所有等可能结果；（ii）列出在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4的所有情况，然后利用古典概型概率计算公式求解、解答：解：（Ⅰ）计算10件产品的综合指标S，如下表：A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10产品编号S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9共6件，故样本的一等品率为、从而可估计该批产品的一等品率为0.6；（Ⅱ）（i）在该样本的一等品种，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}共15种、（ii）在该样本的一等品种，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7、则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种、所以p（B）=、点评：本题考查了随机事件，考查了用样本的数字特征估计总体的数字特征，考查了古典概型及其概率计算公式，是基础题、16、（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c、已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=、（1）求b的值；（2）求sin（2B ﹣）的值、分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值、解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1、由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=、（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===、点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力、17、（13分）如图，三棱锥ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线B1C1与平面A1CD所成角的正弦值、分析：（I）连接ED，要证明EF∥平面平面A1CD，只需证明EF∥DA1即可；（II）欲证平面平面A1CD⊥平面A1ABB1，即证平面内一直线与另一平面垂直，根据直线与平面垂直的判定定理证得CD⊥面A1ABB1，再根据面面垂直的判定定理得证；（III）先过B作BG⊥AD交A1D于G，利用（II）中结论得出BG⊥面A1CD，从而∠BCG为所求的角，最后在直角△BGC中，求出sin∠BCG即可得出直线BC与平面A1CD所成角的正弦值、解答：证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点、∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值、点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，以及直线与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题、18、（13分）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F 且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为、（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点、若=8，求k的值、分析：（Ⅰ）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程、（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y 得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，再由韦达定理进行求解、求得，利用=8，即可求得k的值、解答：解：（Ⅰ）根据椭圆方程为、∵过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，∴当x=﹣c时，，得y=±，∴=，∵离心率为，∴=，解得b=，c=1，a=、∴椭圆的方程为；（Ⅱ）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，又A（﹣，0），B（，0），∴=（x1+，y1）•（﹣x2、﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1、﹣y1），=6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2，=6+=8，解得k=、点评：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质等，考查方程思想、在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率、准线方程等基本性质、19、（14分）已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且﹣2S2，S3，4S4成等差数列、（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明、分析：（Ⅰ）由题意得2S3=﹣2S2+4S4，变形为S4﹣S3=S2﹣S4，进而求出公比q的值，代入通项公式进行化简；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，代入再对n分类进行化简，判断出S n随n的变化情况，再分别求出最大值，再求出的最大值、解答：（Ⅰ）解：设等比数列{a n}的公比为q，∵﹣2S2，S3，4S4等差数列，∴2S3=﹣2S2+4S4，即S4﹣S3=S2﹣S4，得2a4=﹣a3，∴q=，∵，∴=；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S n==1﹣，∴，当n为奇数时，==，当n为偶数时，=，∴随着n的增大而减小，即，且，综上，有成立、点评：本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力、20、（14分）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明、分析：（Ⅰ）令，、分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增、已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得、不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而、设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得、由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，故，即可证明、解答：解：（Ⅰ）令，、①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；当x＞1时，，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增、综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增、因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且、不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=、可得，解得，从而、设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a ，则、由，解得，所以，设t=，则，∵a∈[﹣2，0]，∴，故，故、点评：本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力、21/ 21。
da2013年高考数学试卷答案 天津文
2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。
每小题5分。
满分40分。
1.D2.A3.D4.A5.C6.B7.C8.A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分30分。
9.5-5i 11.2213y x -= 12.12 13.152 14.34三、解答题15.本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。
考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。
满分13分。
其中S ≤4的有1A ，2A ，4A ，5A ，7A ，9A ，共6件，故该样本的一等品率为610=0.6， 从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（2）①解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,4A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}1,9A A ，{}24,A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}29,A A ，{}45,A A ，{}47,A A ，{}49,A A ，{}57,A A ，{}59,A A ，{}79,A A ，共15种.②解：在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为1A ，2A ， 5A ，7A ，则事件B 发生的所有可能结果为{}1,2A A ，{}1,5A A ，{}1,7A A ，{}25,A A ，{}27,A A ，{}57,A A 共6种。
所以P(B)= 62155=.16.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式 、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。
（1）解：在ABC ∆中，由s i n a A =sin bB，可得s i n s i n b A a B =,又由s i n 3s i n b A c B =，可得a=3c ，又a=3，故c=1.由2222cos b a c ac B =+-，cos B =23，可得b =（2）解：由cos B =23，得sin B =，进而得cos 2B =22cos 1B -=19-，sin 22sin cos B B B ==.所以sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin 2cos 3B πcos 2sin 3B π-=17.本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。
天津市南开中学高三数学统练10 立体几何 文
天津市南开中学2015届高三数学统练10 立体几何 文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知a 、b 是异面直线，直线//c 直线a ，则c 与b( ).A 一定是异面直线 .B 一定是相交直线 .C 不可能是平行直线.D 不可能是相交直线若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β .B 若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β .C 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α .D 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）.A 6π.B 4π.C 3π .D 2π已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yx y x ，则y x 311+的最小值是（ ） .A 4 .B 22 .C 2 .D 32如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( ).A PB ⊥AD .B 平面PAB ⊥平面PBC .C ．直线BC ∥平面PAE.D 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E 、F ，且 EF ＝12，则下列结论中错误的是( ).A AC ⊥BE .B EF ∥平面ABCD.C 三棱锥A －BEF 的体积为定值.D △AEF 的面积与△BEF 的面积相等如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ､EC 向上折起,使A ､B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )436. . 27266..A B D C ππππ把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ).A 2 .B 22 .C 1 .D 33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比________.在三棱锥A BCD-中,AC ⊥底面,,,BCD BD DC BD DC AC a ⊥==, 030ABC ∠=,则点C到平面ABD 的距离是________.给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则当M 满足条件_____________时，有MN ∥平面B1BDD1.已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成的角大小为__________.正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分13分)已知在锐角ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且3tan acB =；（Ⅰ）求B∠；（Ⅱ）求函数()sin2sin cosf x x B x=+,0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域及单调递减区间．(本小题满分13分)已知向量(,cos2)a m x=r，(sin2,)b x n=r，设函数()f x a b=⋅r r，且()y f x=的图象过点(12π和点2(,2)3π-,（Ⅰ）求,m n的值；（Ⅱ）将()y f x=的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x=的图象,若()y g x=的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x=的单调增区间. (本小题满分13分)如图：在三棱锥P ABC-中，PB⊥面ABC，ABC∆是直角三角形，90ABC∠=o，2AB BC==，45PAB∠=o，点D E F、、分别为AC AB BC、、的中点,⑴求证：EF PD⊥；⑵求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；(本小题满分13分)已知数列{}na的前n项和*∈+=NnnnSn，22.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设()nnanab n12-+=，求数列{}nb的前n2项和.(本小题满分14分)FEDCBAP如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，CD =E F ,分别是AB ,PD 的中点． （Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求四面体PEFC 的体积．(本小题满分14分) 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514a =，720a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n n c a b =⋅，12 3 n =L ，，，，n T 为数列{}n c 的前n 项和．求证：72n T <．2015届高三数学文科统练10 答案一、选择题 CACA DCCB 二、填空题9. 1∶5 10. 11. ②④ 12. M ∈线段FH 13. 45︒ 14. 2＋ 6三、解答题15.代入tan B =得，sin B =，而ABC ∆是锐角三角形，所以角3B π=，（Ⅱ）()sin 22sin cos 2f x x B x =+sin 22x x =+=2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域， 因为3222232k x k πππ+π≤+≤+π，所以722266k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，，DPMOFEDCBA当0k =时，71212x ππ≤≤，又02x π≤≤； 所以，()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16.（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =•=+r r. 根据()y f x =的图象过点(,3)12π和2(,2)3π-，得到3sin cos 66442sin cos 33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩， 解得3,1m n ==.17.⑴连结BD 。
天津市南开中学高三数学统练10 立体几何 文
天津市南开中学2015届高三数学统练10 立体几何 文一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．已知a 、b 是异面直线，直线//c 直线a ，则c 与b( ).A 一定是异面直线 .B 一定是相交直线 .C 不可能是平行直线.D 不可能是相交直线若m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中真命题是( ).A 若m ⊥β，m ∥α，则α⊥β .B 若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β .C 若m ⊂β，α⊥β，则m ⊥α .D 若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）.A 6π.B 4π.C 3π .D 2π已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>yx y x ，则y x 311+的最小值是（ ） .A 4 .B 22 .C 2 .D 32如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是( ).A PB ⊥AD .B 平面PAB ⊥平面PBC .C ．直线BC ∥平面PAE.D 直线PD 与平面ABC 所成的角为45°如图，正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E 、F ，且 EF ＝12，则下列结论中错误的是( ).A AC ⊥BE .B EF ∥平面ABCD.C 三棱锥A －BEF 的体积为定值.D △AEF 的面积与△BEF 的面积相等如图,在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°,E 为AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿ED ､EC 向上折起,使A ､B 重合于点P,则三棱锥P —DCE 的外接球的体积为( )436. . 27266..A B D C ππππ把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ，则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ).A 2 .B 22 .C 1 .D 33二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上． 如图所示，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，用截面截下一个棱锥C －A ′DD ′，求棱锥C －A ′DD ′的体积与剩余部分的体积之比________.在三棱锥A BCD-中,AC ⊥底面,,,BCD BD DC BD DC AC a ⊥==, 030ABC ∠=,则点C到平面ABD 的距离是________.给出下面四个命题：①“直线a ∥直线b”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a 、b 为异面直线”的充分而不必要条件是“直线a 、b 不相交”；④“平面α∥平面β”的必要而不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC1、C1D1、D1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则当M 满足条件_____________时，有MN ∥平面B1BDD1.已知AB 为平面α的一条斜线，B 为斜足，AO α⊥，O 为垂足，BC 为α内的一条直线，60ABC ∠=︒，45OBC ∠=︒，则斜线AB 和平面α所成的角大小为__________.正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(本小题满分13分)已知在锐角ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为a b c ,,，且3tan acB =；（Ⅰ）求B∠；（Ⅱ）求函数()sin2sin cosf x x B x=+,0,2xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域及单调递减区间．(本小题满分13分)已知向量(,cos2)a m x=r，(sin2,)b x n=r，设函数()f x a b=⋅r r，且()y f x=的图象过点(12π和点2(,2)3π-,（Ⅰ）求,m n的值；（Ⅱ）将()y f x=的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x=的图象,若()y g x=的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x=的单调增区间. (本小题满分13分)如图：在三棱锥P ABC-中，PB⊥面ABC，ABC∆是直角三角形，90ABC∠=o，2AB BC==，45PAB∠=o，点D E F、、分别为AC AB BC、、的中点,⑴求证：EF PD⊥；⑵求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值；(本小题满分13分)已知数列{}na的前n项和*∈+=NnnnSn，22.(1)求数列{}na的通项公式；(2)设()nnanab n12-+=，求数列{}nb的前n2项和.(本小题满分14分)FEDCBAP如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，2AD PA ==，CD =E F ,分别是AB ,PD 的中点． （Ⅰ）求证：//AF 平面PCE ； （Ⅱ）求证：平面PCE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求四面体PEFC 的体积．(本小题满分14分) 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且514a =，720a =．（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若n n n c a b =⋅，12 3 n =L ，，，，n T 为数列{}n c 的前n 项和．求证：72n T <．2015届高三数学文科统练10 答案一、选择题 CACA DCCB 二、填空题9. 1∶5 10. 11. ②④ 12. M ∈线段FH 13. 45︒ 14. 2＋ 6三、解答题15.代入tan B =得，sin B =，而ABC ∆是锐角三角形，所以角3B π=，（Ⅱ）()sin 22sin cos 2f x x B x =+sin 22x x =+=2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，值域， 因为3222232k x k πππ+π≤+≤+π，所以722266k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，，DPMOFEDCBA当0k =时，71212x ππ≤≤，又02x π≤≤； 所以，()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16.（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =•=+r r. 根据()y f x =的图象过点(,3)12π和2(,2)3π-，得到3sin cos 66442sin cos 33m n m n ππππ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩， 解得3,1m n ==.17.⑴连结BD 。
天津市南开区2013届高三第一次模拟考试 文科数学
2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试用时l20分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 (选择题共40分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)计算(2+i)(-2+i)(i 是虚数单位)的值等于 (A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5 (2)3()2x f x x =+的零点所在区间为(A)(0，1) (B)(-1，0) (C)(1，2) (D)(-2，-l)(3) 已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，S 7=28，S 11=66，则S 9的值为 (A)47 (B)45 (C)38 (D)54(4)设变量x ，y 满足制约条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数z =3x +5y 的最大值为(A)9 (B)-11 (C)17 (D)21(5)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c 值为(A)50 (B)55 (C)52 (D)89(6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+bc ，sinC=2sinB ，则tanA 的值为 (A)3 (B)33(C)3 (D)13(7)已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8) 已知直线l 为抛物线22y px =(p >0)的准线，F 为其焦点，直线AB 经过F 且与抛物线交于A ，B 两点。
天津市南开区2013届高三第一次模拟考试 文科数学
2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试用时l20分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 (选择题共40分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考、科目涂写在答题卡．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标．答在试卷上的无效．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)计算(2+i)(-2+i)(i 是虚数单位)的值等于(A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5(2)3()2x f x x =+的零点所在区间为(A)(0，1) (B)(-1，0) (C)(1，2) (D)(-2，-l)(3) 已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，S 7=28，S 11=66，则S 9的值为(A)47 (B)45 (C)38 (D)54(4)设变量x ，y 满足制约条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数z =3x +5y 的最大值为(A)9 (B)-11 (C)17 (D)21(5)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c值为(A)50 (B)55(C)52 (D)89(6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+bc ，sinC=2sinB ，则tanA 的值为(C)2 (D)13(7)已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8) 已知直线l 为抛物线22y px =(p >0)的准线，F 为其焦点，直线AB 经过F 且与抛物线交于A ，B 两点。
2013年天津市高考数学试卷(文科)学生版
2013 年天津市高考数学试卷（文科）一．选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .共 8 小题,每题 5 分,共 40 分.1．（5 分）（2013?天津）已知会合A={ x ∈ R|| x| ≤2} ，B={ x ∈ R| x ≤1} ，则 A ∩B=（）A ．（﹣∞， 2]B ．[ 1， 2]C ．[ ﹣2，2]D ．[ ﹣2，1]2．（ 5 分）（2013?天津）设变量 x ，y 知足拘束条件，则目标函数z=y ﹣2x 的最小值为（ ）A ．﹣ 7B ．﹣ 4C ．1D ．23．（5 分）（2013?天津）阅读如下图的程序框图，运转相应的程序，则输出n的值为（ ）A ．7B ．64．（5 分）（2013?天津）设C ．5D ．4a ，b ∈R ，则 “（a ﹣b ）a 2＜ 0”是“a＜b ”的（）A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件 5．（5 分）（ 天津）已知过点 （ ， ）的直线与圆（ x ﹣1） 2+y 2 相切，2013? P 2 2 =5且与直线 ax ﹣y+1=0 垂直，则 a=（ ）A．B．1C．2D．6．（5分）（2013?天津）函数f（ x） =sin（2x﹣）在区间 [ 0， ] 上的最小值是（）A．﹣ 1B．﹣C．D．07．（5 分）（2013?天津）已知函数 f（x）是定义在R 上的偶函数，且在区间 [ 0，+∞）上单一递加，若实数 a 知足 f （log2a）+f（）≤ 2f（ 1），则 a 的取值范围是（）A．，B．[ 1，2]C．，．（，D 02]8．（5 分）（2013?天津）设函数 f（x）=e x+x﹣ 2， g（x）=lnx+x2﹣3．若实数 a，b 知足f（ a） =0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜ 0＜f（b）C．0＜g（a）＜ f（b）B．f （b）＜ 0＜g（a）D．f（b）＜ g（a）＜ 0二．填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9．（5 分）（2013?天津） i 是虚数单位．复数（ 3+i）（1﹣2i） =．10．（ 5 分）（2013?天津）已知一个正方体的全部极点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为．11．（ 5分）（2013?天津）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线＞，＞的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．12．（ 5 分）（2013?天津）在平行四边形的中点．若，则 AB 的长为ABCD中， AD=1，∠ BAD=60°，E为．CD13．（ 5 分）（2013?天津）如图，在圆内接梯形A BCD中， AB∥DC，过点的切线与 CB的延伸线交于点E．若 AB=AD=5，BE=4，则弦 BD 的长为A 作圆．14．（ 5 分）（2013?天津）设 a+b=2，b＞0，则的最小值为．三．解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）（ 2013?天津）某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S=x+y+z 评论该产品的等级．若 S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取 10 件产品作为样本，其质量指标列表如表：产品编A12345A A A A质量指标（1，1，2）（2，1，1）（2，2，2）（1，1，1）（1，2，1）（x，y，z）产品编A6A7A8A9A10质量指标（1，2，2）（2，1，1）（2，2，1）（1，1，1）（2，1，2）（x，y，z）（Ⅰ）利用上表供给的样本数据预计该批产品的一等品率；（Ⅱ）在该样品的一等品中，随机抽取 2 件产品，（i）用产品编列出全部可能的结果；（ii）设事件 B 为“在拿出的 2 件产品中，每件产品的综合指标 S 都等于 4”，求事件 B 发生的概率．16．（13 分）（2013?天津）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c．已知 bsin A=3csin B， a=3，cos B= ．（1）求 b 的值；（2）求 sin（2B﹣）的值．17．（13 分）（2013?天津）如图，三棱锥 ABC﹣A1B1C1中，侧棱 A1A⊥底面 ABC，且各棱长均相等， D， E， F 分别为棱 AB， BC， A1C1的中点（Ⅰ）证明 EF∥平面 A1CD；（Ⅱ）证明平面A1CD⊥平面 A1ABB1；（Ⅲ）求直线 B1C1与平面 A1CD所成角的正弦值．18．（ 13 分）（2013?天津）设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点 F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设 A，B 分别为椭圆的左，右极点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D 两点．若=8，求 k 的值．．（14分）（天津）已知首项为的等比数列 { a n} 的前 n 项和为 S（n n∈N*），192013?且﹣ 2S2， S3，4S4成等差数列．（Ⅰ）求数列{ a n}的通项公式；（Ⅱ）证明．20 ．（ 14分）（2013?天津）设 a ∈ [ ﹣ 2 ， 0]，已知函数，，＞（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单一递减，在区间（1，+∞）内单一递增；（Ⅱ）设曲线 y=f（x）在点 P i（x i，f（ x i））（i=1， 2，3）处的切线互相平行，且x1x2x3≠0，证明＞．。
天津市南开区2013届高三数学第一次模拟考试 文(南开一模)新人教A版
2013年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一)数 学(文史类)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分l50分，考试用时l20分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 (选择题共40分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的无效．3．本卷共8小题，每小题5分，共40分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)计算(2+i)(-2+i)(i 是虚数单位)的值等于(A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5(2)3()2x f x x =+的零点所在区间为(A)(0，1) (B)(-1，0) (C)(1，2) (D)(-2，-l)(3) 已知n S 为等差数列{n a }的前n 项和，S 7=28，S 11=66，则S 9的值为(A)47 (B)45 (C)38 (D)54 (4)设变量x ，y 满足制约条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩则目标函数z =3x +5y的最大值为(A)9 (B)-11 (C)17 (D)21(5)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的c 值为(A)50 (B)55(C)52 (D)89(6)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2=b 2+bc ，sinC=2sinB ，则tanA 的值为 (A)3 (B)33(C)32 (D)13(7)已知A={||21|5x x -<}，B={2|540x x x -+<}，C=(1，3)，则“x A B ∈”是“x C ∈”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(8) 已知直线l 为抛物线22y px =(p >0)的准线，F 为其焦点，直线AB 经过F 且与抛物线交于A ，B 两点。
天津市2013届高三高考压轴卷数学(文)试题
天津市2013届高考压轴卷 数学文试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数122ii+=- A.i -B.iC.5iD.45i + （2）设变量x ，y 满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．9 （3）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是A ．3B ．4C ．5D ．6 （4）三个数0.760.760.7log 6，，的大小顺序是 A.0.76＜log 0.76＜60.7B.0.76＜60.7＜log 0.76 C.log 0.76＜60.7＜0.76D.60.70.7log 60.76<<（5）已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A B C ．32D （7）已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于（ ）A ．13B ．1C ．32D ．2（8）若()1,2,a b a a b ==⊥-且，则向量,a b 的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题，共110分.二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =（10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（11）等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 的值为（12）设0,0.a b >>是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值 （13）如右图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB（14已知函数2cos ,11()21,||1xx f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是___ _三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15题）（本小题满分13分）某普通高中共有教师360人，分为三个批次参加研修培训，在三个批次中男、女教师人数如下表所示：已知在全体教师中随机抽取1名，抽到第二、三批次中女教师的概率分别是0.15、0.1． （Ⅰ）求,,x y z 的值；（Ⅱ）为了调查研修效果，现从三个批次中按1:60的比例抽取教师进行问卷调查，三个批次被选取的人数分别是多少？（Ⅲ）若从（Ⅱ）中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈，求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次”的概率． （16）（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知向量),2(),cos ,(cos a b c n B A m +==，且n m ⊥.（Ⅰ） 求角A 的大小；A（Ⅱ） 若a =8b c +=，求△ABC 的面积.17.（本小题满分13分）如图，在四棱锥ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC＝45o，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1． （Ⅰ）求PD 与BC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PAC ； （Ⅲ）求二面角A -PC -D 的大小．（18）（本题满分13分） 在数列{}n a 中，已知)(log 32,41,41*4111N n a b a a a n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .（19）（本小题满分14分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程为.13+=x y （1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.（20）（本小题满分14分）设21F F ，分别是椭圆：)0(2222>>+b a by a x 的左、右焦点，过1F 倾斜角为45的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且a PQ 34||=. （Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设点)10(-，M 满足||||MQ MP =，求该椭圆的方程.参考答案： 1.【答案】B 【解析】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i +++===--+，选B. 2.【答案】B【解析】做出可行域如图，设2z x y =+，即2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线经过点C 时，直线2y x z =-+的截距最小，此时z最小.由2y x x y =⎧⎨+=⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)B ，代入得23z x y =+=，所以最小值为3，选B.3.【答案】B【解析】第一次循环得0021,1S k =+==；第二次循环得1123,2S k =+==；第三次循环得33211,3S k =+==，第四次循环得111122059,4S k =+==，但此时100S <,不满足条件，输出4k =，所以选B.【答案】C 4.【答案】D【解析】0.761>,600.71<<,0.7log 60<，所以60.70.7log 60.76<<，选D.5.【答案】B【解析】由11x<得，0x <或1x >，所以q ⌝：01x ≤≤，所以p 是q ⌝成立的必要不充分条件，选B. 6.【答案】A【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d ==，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以29,5e e ==A. 7.【答案】C 【解析】由图象可知153122888T πππ=-=,所以3T π=，又23T ππω==，所以23ω=，选C.8.【答案】A 【解析】因为()a a b⊥-，所以()0a ab -=，即20a a b -=，即2a b a =，所以向量,a b的夹角为2cos ,2aa b a b a ba b<>====，所以,45a b <>=，选A. 9.【答案】{}0,1【解析】因为{}24{22}A x x x x =<=-<<，所以{0,1}A B =.10.【答案】54【解析】由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱.棱柱的高为4，，底面梯形的上底为4，下底为5，腰CD ==,所以梯形的面积为(45)32722S +⨯==，所以该几何体的体积为274542⨯=.11.【答案】65【解析】由125a a +=，得125a d +=，由349a a +=得1259a d +=，解得11,2d a ==，所以1011091020+45=652S a ⨯=+=.12.【答案】4【解析】由题意知233a b ⨯=，即33a b +=，所以1a b +=.所以11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=，当且仅当b a a b =，即12a b ==时，取等号，所以最小值为4. 13.【答案】4【解析】因为根据已知条件可知，连接AC ，32=PC ，︒=∠30CAP ，根据切线定理可知,2()PC PB PA PB PB BA ==+,可以解得为4.14.【答案】5 【.解析】由2()3()20f x f x -+=得()1f x =或()2f x =.当11x -≤≤时，222xπππ-≤≤，此时0()1f x ≤≤，由()1f x =，得0x =.当1x >时，若()1f x =，得211x -=，即22x =，此时x =.若()2f x =，得212x -=，即23x =，此时x =所以关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数共有5个.15. 【答案】解：（Ⅰ）3600.1554,3600.136x y =⨯==⨯=360865436946624z =-----= -----------3分（Ⅱ）由题意知，三个批次的人数分别是180,120,60，所以被选取的人数分别为3,2,1.-------------5分（Ⅲ）第一批次选取的三个教师设为123,,A A A ,第二批次的教师为12,B B ,第三批次的教师设为C ，则从这6名教师中随机选出两名教师的所有可能组成的基本事件空间为{1213111212321222313231212,,,,,,,,,,,,,,}A A A A AB A B AC A A A B A B A C A B A B A C B B B C B C Ω=共15个 ------------8分“来自两个批次”的事件包括{111121212223132312,,,,,,,,,,}A B A B AC A B A B A C A B A B A C B C B C Ω=共11个，---11分所以“来自两个批次”的概率1115p =． -----13分 16. 【答案】解：（Ⅰ）n m ⊥∴ 0),2()cos ,(cos =+∙=∙a b c B A n m （2分） 即0cos cos )2(=++B a A b c由正弦定理可得0cos sin cos )sin sin 2(=++B A B B C整理得0cos sin 2sin =+A C C （5分）32,21cos 0sin ,0ππ=∴-=∴>∴<<A A C C （6分）（II ）由余弦定理可得 ,cos 2222A bc c b a -+= （8分）22248()64b c bc b c bc bc =++=+-=- 即16bc = （11分）故11sin 1622S bc A ∆==⨯= （13分） 17.【答案】（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD =CD …………………1分所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH所以∠PDH 为PD 与BC 所成角………………………………………………2分 因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC =45o ， 所以DA ⊥AB又因为AB =2DC =2，所以AD =1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、Rt △PAH 都为等腰直角三角形，所以PD =DH =PH，故∠PDH =60o………………………4分（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH =DC 又AB =2，∴BH =1 在Rt △BHC 中，∠ABC =45o， ∴CH =BH =1，CB∴AD =CH =1，AC∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC ……6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……7分∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC ………………………………………8分（Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，∴AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1) ………………………………………… 9分 设m =(a ，b ，c )为平面PAC 的一个法向量， 则0AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) ………………………………………10分 同理设n =(x ，y ，z ) 为平面PCD 的一个法向量，求得n =(1，1，1) ………11分∴1cos ,2===m n m n m n …………………………… 12分 所以二面角A -PC -D 为60o………………………………………………… 13分18.【答案】解：（Ⅰ）∵411=+n n a a ∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列， ∴)()41(*N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）∵2log 341-=n n a b …………………………………………………………………… 4分∴232)41(log 321-=-=n b n n .…………………………………………………………… 5分∴11=b ，公差d=3∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，n n a )41(=，23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)41()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分 ∴n n n n n S )41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ① 于是1432)41()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② …………………………………………………………………………………………… 10分 两式①-②相减得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S =1)41()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………12分∴ )()41(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+.………………………………………………………13分. 19.【答案】解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ，故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++30241323c b a b a c b a b a 即 ………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………5分 (2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或 ………7分 列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……10分（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2， 由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x x b ……12分而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……14分 20.【答案】解：（Ⅰ）直线PQ 斜率为1，设直线l 的方程为c x y +=，其中22b a c -=.…………2分设),(),,(2211y x Q y x P ，则Q P ,两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax c x y 化简得0)(2)(2222222=-+++b c a cx a x b a ，…………………………4分 则222212b a c a x x +-=+，.2222221b a b c a x x +-= 因为，所以a x x x x x x PQ 34]4)[(2||2||2122112⋅-+=-=.………………6分 得222434ba ab a +=，故222b a =， 所以椭圆的离心率2222=-==a b a a c e . ……………………8分 （Ⅱ）设PQ 的中点为),(00y x N ，由（1）知.3,32200222210c c x y c ba c a x x x =+=-=+-=+=………………10分由||||MQ MP =得1-=MN k . ……………………12分 即1100-=+x y ，得3=c ，从而3,23==b a .故椭圆的方程为191822=+y x …………14分。