浅谈用换元法证明不等式

浅谈用换元法证明不等式

刘景

（茂名学院高州师范分院数学与计算机系 307数学1班）

[摘要]换元法是数学中的一个基本方法。在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中。

[关键词]换元；不等式；化繁为简

不等式的概念：作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。要处理好不等式的证明，必须注意：

1、熟练地掌握不等式的基本性质、重要不等式。

2、扎实的掌握不等式证明的常规方法。

3、注意和其他知识联系和综合运用。

4、不断地总结证明不等式的规律和技巧，不断地从正反两方面汲取解题经验。

我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证明不等式时创造了许多方法（比较法、综合法、分析法、辨别式法、构造函数法、反证法、放缩法等等）,其中有换元法。

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

不等式的证明有三难：证明入口难，条件使用难，变形方向难．如果用换元法，引进恰当的新元素，可将题目中分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来，或变形为熟悉的问题．因此，换元法常常可以攻破三道难关。

下面我们探索怎样用换元法证明不等式的几种方法。

一、几何换元法

例1、在△ABC 中，b CA a BC c AB ===,,,内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，如图1，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,,其中0,0,0>>>z y x 。几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。

设c b a ,,为三角形三边，求证：3≥-++-++-+c

b a

c b c a b a c b a

图1

证明：设,,,x z c z y b y x a +=+=+=，其中0,,>z y x 则c b a c b c a b a c b a -++-++-+=y

x z x z y z y x 222+++++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y y z x y x z z x 21322221=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥y x x y y z z y x z z x 原不等式得证。

在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。

二、利用对称性换元,化繁为简

例2、 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.

分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:

()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.

这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。

证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则

()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=2

1. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；

当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,

0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此

02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z

()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,

综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+

把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥

三、增量换元法

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。从不等式的结构整体把握，适度进行变量代换，可使问题简单明了。

例3、 已知2,2>>b a ，求证：ab b a <+

证明：设n b m a +=+=2,2

显然0,0>>n m

则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222mn n m n m ----++=2244

故ab b a <+

四、三角换元法

三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。

应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。把问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。

例4、（1） 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .

分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变

换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r .

证明:设,sin θr x =θcos r y = ()

πθ20,10<≤≤≤r , 则 222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝

⎛-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤. （2）如果,2111,1,,=++>z

y x z y x 且 证明：.111-+-+-≥++z y x z y x 分析：证此题不但根式不好处理，而且条件”且、、“21111=++>z

y x z y x 也难以派上用场。看来这里的换元既要把不等式的根式化掉，又要把条件式中的分母去掉，因此，这里的换元要有“一石二鸟”的功效。

证明：设γβα、、都是锐角，则

1cos 1cos 1cos 11cos cos cos 0222222>>><<γ

βαγβα且、、