2009年杭州市高考教学质量检测数学试题及答案(文科)

2009年浙江省杭州市第一次高考科目教学质量检测数学试题卷（文科）考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷. 参考公式球的表面积公式 棱柱的体积公式24R S π= Sh V =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高334RV π= 棱台的体积公式 其中R 表示球的半径 )(221131S S S S h V ++= 棱锥的体积公式 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积, Sh V 31= h 表示棱台的高 其中S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+;一． 选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．(1) 设集合U={1，2，3，4}, A={2，3}, B={1}, 则)(B C A U 等于 (A) {2}(B) {3} (C) φ(D) {2，3}(2) 已知复数z 满足2)1()1(i z i +=-，则z ＝(A) －1+ i (B) 1+i (C) 1－i (D) －1－i (3) 下列不等式不一定成立的是(A) ),(,222R b a ab b a ∈≥+ (B) ),(,232R b a a a ∈>+(C) )(,21R x x x ∈≥+ (D) ),(,2222R b a b a ba ∈+≤+ (4) 在三角形ABC 中，“B=60°”是“A ，B ，C 成等差数列”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5) 已知数列}{n a 满足12,311-==+n n a a a , 那么数列}1{-n a (A) 是等差数列 (B) 是等比数列(C) 既是等差数列又是等比数列 (D) 不是等差数列也不是等比数列(6) 若向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+ ，则有 (A) c a ⊥(B) b c ⊥(C) // (D) //(7) 执行如图的程序框图，当输入6=n 时，输出的S ＝ (A) 84 (B) 49 (C) 35 (D) 25(8) 已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π(A) 247 (B) －247 (C) 724 (D) －724(9) 已知)(x f = ⎩⎨⎧≤->-,0,)(log ;0,)5(2x x x x f 则f ( 2009 ) 等于(A) –1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (10) 关于x 的函数)sin()(φφ+=x x f 有以下命题： ① R ∈∀φ，)()2(x f x f =+π； ② R ∈∃φ，)()1(x f x f =+; ③ R ∈∀φ，)(x f 都不是偶函数； ④ R ∈∃φ，使)(x f 是奇函数． 其中假命题的序号是(A) ①③ (B) ①④ (C) ②④ (D) ②③（第7题）二．填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．把答案填在答题卷的相应位置．(11) 若数列{}a n 满足条件: 211=-+n n a a ，且1a =23, 则30a = _ __． (12)在△ABC 中，若∠B ＝60°，sinA=31，BC ＝2，则 AC ＝ ___ .(13)某地为了了解该地区10000户家庭用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月均用电量，并根据这500户家庭月均用电量画出频率分布直方图(如图），则该地区10000户家庭中月均用电度数在[70，80]的家庭有________户． (14) 设函数)32sin(2π+=x y 的图象关于点P )0,(0x 成中心对称，若]0,2[0π-∈x ，则0x =_____.(15) 从1,2,3,4,5,6这6个数字中, 任取2个数字相加, 其和为偶数的概率是 ______ . (16) 若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xy y x 23，则y x z 32+=的最大值是 ____ .(17) 在下列五个函数中:①x y 2=; ②x y 2log =; ③2x y =; ④1-=x y ; ⑤x y 2cos =,当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数是____________ （将正确的序号都填上）.三． 解答题: 本大题共5小题,共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (18)（本题14分）已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x x x ==x f ⋅=)(,令.(Ⅰ) 求 f (4π)的值； (Ⅱ)求∈x ]2,2[ππ-时，f (x )的单调递增区间.(19)（本题14分）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，22)(x x f =． (Ⅰ) 求0<x 时，()f x 的表达式；(Ⅱ) 令x x g ln )(=，问是否存在0x ，使得)(),(x g x f 在x = x 0处的切线互相平行？若存在，请求出0x 值；若不存在，请说明理由．(20)（本题14分）设集合}1,{b P =，}2,1,{c Q =，Q P ⊆, 若}9,8,7,6,5,4,3,2{,∈c b ． (Ⅰ) 求b = c 的概率；（Ⅱ）求方程20x bx c ++=有实根的概率．(21) （本题15分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是不为零的常数，123n = ，，，），且123a a a ，，成等比数列． (Ⅰ) 求c 的值；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明数列}{nca n -是等差数列．(22) (本题15分）已知,a R ∈函数)()(2a x x x f -=． （Ⅰ）当a =3时，求f （x ）的零点；（Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间 [ 1,2 ] 上的最小值．2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测数学参考评分标准（文科）一. 选择题 : （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分）二．填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）11.16 12. 33 13. 1200 14. 6π-15. 5216. 8 17. ②三. 解答题: （本大题有5小题, 共72分） 18. (本小题满分14分)(Ⅰ) x x x b a x f 2cos sin cos 2)(+=⋅=x x 2cos 2sin +=, --- 3分12cos 2sin )4(=π+π=π∴f --- 3分(Ⅱ) )42sin(2)(π+=x x f , --- 3分 当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，f(x)单增， --- 2分即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈） ∵∈x ]2,2[ππ-, ∴ )(x f 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-. --- 3分19. (本小题满分14分) (Ⅰ) 当0<x 时，0>-x ，222)(2)()(x x x f x f -=--=--=; --- 6分(Ⅱ)若)(),(x g x f 在0x 处的切线互相平行，则)(')('00x g x f =, --- 4分x x g x x f 1)('4)('000===，解得, 210±=x ∵x > 0 , 得．210=x --- 4分 20 . (本小题满分14分)(Ⅰ) ∵Q P ⊆, 当2=b 时，9,8,7,6,5,4,3=c ；当2>b 时，9,8,7,6,5,4,3==c b ．基本事件总数为14． --- 4分 其中,b = c 的事件数为7种. 所以b=c 的概率为21. ---- 3分 （Ⅱ） 记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则240b c ∆=-≥，即9,8,7,6,5,4==c b ，共6种． --- 4分 ∴73146)(==A P ． --- 3分21．(本小题满分15分)（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =（舍）或2c =． 故2c =; --- 5分 （II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=， 1(1)n n a a n c --=-，所以1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，，．当1n =时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+= ，，; --- 5分 （Ⅲ）1-=-=n nca b n n ；n b n =+1．11=-+n n b b ，∴数列}{nca n -是等差数列． --- 5分 22．(本小题满分15分) (Ⅰ) 由题意)3()(2-=x x x f ,由0)(=x f ，解得0=x 或3=x ; --- 4分 (Ⅱ) 设此最小值为m ，而),2,1(),32(323)(2/∈-=-=x a x x ax x x f （1）当0≤a 时，),2,1(,0)(/∈>x x f则)(x f 是区间[1,2]上的增函数, 所以a f m -==1)1(; --- 3分 （2）当0>a 时，在320a x x ><或时，；a x f x f 上是增函数在区间从而),32[)(,0)(/+∞> 在320a x <<时，；a x f x f 上是单减函数在区间从而]32,0[)(,0)(/< --- 3分① 当232≥a ，即3≥a 时，a f m 48)2(-==;② 当2321<≤a ，即323<≤a 时，.274)32(3aa f m -==③ 当230<<a 时，a f m -==1)1(. 综上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<-≤-=)3(),2(4)323(,274)23(,13a a a a a a m . --- 5分。