高一数学下册同步导学练习题6
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
人教版A高一数学新教材同步课堂精讲练导学案第二册6.2.2 向量的减法运算(原卷版)
6.2.2向量的减法运算导学案编写:XXX 初审:XXX 终审:XXX XXX【学习目标】1.知道相反向量的定义2.记住向量减法法则及其几何意义3.能够用向量减法法则及意义求两向量的差．【自主学习】知识点1 相反向量(1)我们规定,与向量a , 的向量,叫做a 的相反向量,记作－a . (2)－(－a )＝a ,a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. (3)零向量的相反向量仍是 ,即0＝－0. 知识点2 向量的减法及其几何意义 1.向量减法的定义求两个向量差的运算叫做向量的减法．我们定义,a －b ＝a ＋(－b ),即减去一个向量相当于加上这个向量的 ． 2．向量减法的几何意义 (1)三角形法则如图,已知a 、b ,在平面内任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则BA →＝a －b ,即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义．(2)平行四边形法则如图①,设向量AB →＝b ,AC →＝a ,则AD →＝－b ,由向量减法的定义, 知AE →＝a ＋(－b )＝a －b .又b ＋BC →＝a ,所以BC →＝a －b . 如图②,理解向量加、减法的平行四边形法则: 在▱ABCD 中,AB →＝a ,AD →＝b ,则AC→＝a ＋b ,DB →＝a －b .【合作探究】探究一 向量减法的几何意义【例1-1】在△ABC 中,D ,E ,F 分别为AB ,BC ,CA 的中点,则AF →－DB →等于( )A ．FD →B ．FC → C ．FE →D ．BE →【例1-2】如图,已知向量a ,b ,c ,求作a －b －c ．归纳总结:【练习1】如图,设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB →＝a ,AD →＝b ,OD →＝c ,则OB →＝a －b ＋c .探究二 向量的加减法运算【例2】化简AC →－BD →＋CD →－AB →得( )A ．AB →B ．AD →C ．BC →D ．0归纳总结:【练习2】化简:(1)(AB →＋MB →)＋(－OB →－MO →); (2)AB →－AD →－DC →.探究三 向量加减运算几何意义的应用【例3-1】已知非零向量a ,b 满足|a |＝7＋1,|b |＝7－1,且|a －b |＝4,则|a ＋b |的值为 ．【例3-2】如图所示,四边形ACDE 是平行四边形,B 是该平行四边形外一点,且AB →＝a, AC →＝b ,AE →＝c ,试用向量a ,b ,c 表示向量CD →,BC →,BD →．归纳总结:【练习3-1】已知O 为四边形ABCD 所在平面外的一点,且向量OA →,OB →,OC →,OD →满足OA →＋OC →＝OB →＋OD →,则四边形ABCD 的形状为_ __．【练习3-2】如图所示,解答下列各题:①用a 、d 、e 表示DB →; ②用b 、c 表示DB →; ③用a 、b 、e 表示EC →; ④用c 、d 表示EC →．课后作业A 组 基础题一、选择题1．在平行四边形ABCD 中,下列结论错误的是( )A ．AB →－DC →＝0 B ．AD →－BA →＝AC →C ．AB →－AD →＝BD → D ．AD →＋CB →＝02．在△ABC 中,BC →＝a ,CA →＝b ,则AB →等于( )A ．a ＋bB ．－a ＋(－b )C ．a －bD ．b －a3．已知非零向量a 与b 同向,则a －b ( )A ．必定与a 同向B ．必定与b 同向C ．必定与a 是平行向量D ．与b 不可能是平行向量4.化简AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.0C.BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.DA ⃗⃗⃗⃗⃗5.若O ,A ,B 是平面上不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AB⃗⃗⃗⃗⃗ =-OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗6.(多选)化简以下各式,结果为0的有( ) A.AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗7．(多选)下列各式中能化简为AD →的是( )A ．(AB →－DC →)－CB → B ．AD →－(CD →＋DC →)C ．－(CB →＋MC →)－(DA →＋BM →) D ．－BM →－DA →＋MB →8．(多选)若a ,b 为非零向量,则下列命题正确的是( )A ．若|a |＋|b |＝|a ＋b |,则a 与b 方向相同B ．若|a |＋|b |＝|a －b |,则a 与b 方向相反C ．若|a |＋|b |＝|a －b |,则|a |＝|b |D ．若||a |－|b ||＝|a －b |,则a 与b 方向相同二、填空题9．如图,在△ABC 中,若D 是边BC 的中点,E 是边AB 上一点,则BE →－DC →＋ED →＝________.10．如图所示,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,则OD →＝________.(用a ,b ,c 表示)11．已知向量|a |＝2,|b |＝4,且a ,b 不是方向相反的向量,则|a －b |的取值范围是________．三、解答题12．如图,O 为△ABC 内一点,OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c .求作:13．已知△OAB 中,OA →＝a ,OB →＝b ,满足|a|＝|b|＝|a －b|＝2,求|a ＋b|与△OAB 的面积．B 组 能力提升一、选择题1．设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,|BC →|2＝16,|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|,则|AM →|＝( )A ．8B ．4C ．2D ．12.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d,且四边形ABCD 为平行四边形,则( ) A.a +b +c +d =0 B.a -b +c -d =0 C.a +b -c -d =0 D.a -b -c +d =03．(多选)对于菱形ABCD ,下列各式正确的是( )A ．AB →＝BC →B ．|AB →|＝|BC →|C ．|AB →－CD →|＝|AD →＋BC →| D ．|AD →＋CD →|＝|CD →－CB →|4.(多选)下列说法中正确的是( )A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则A ,B ,C ,D 四点构成一个平行四边形B.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cC.互为相反向量的两个向量模相等D.OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗5.(多选)已知a ,b 为非零向量,则下列命题中是真命题的是( ) A.若|a |+|b |=|a +b |,则a 与b 方向相同 B.若|a |+|b |=|a -b |,则a 与b 方向相反 C.若|a |+|b |=|a -b |,则a 与b 有相等的模 D.若||a |-|b ||=|a -b |,则a 与b 方向相同二、填空题6．已知|OA →|＝a ,|OB →|＝b (a ＞b ),|AB →|的取值范围是[5,15],则a ＝________,b ＝________.7．在△ABC 中,|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1,则|AB →－BC →|＝________.8.如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AC 与BD 交于O 点,则BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ = .9.若a ≠0,b ≠0,且|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 所在直线的夹角是 .10.已知非零向量a ,b 满足|a |=√7+1,|b |=√7-1,且|a -b |=4,则|a +b |= .三、解答题11.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB ＝90°,M 是斜边AB 的中点,CM →＝a ,CA →＝b .求证:(1)|a －b |＝|a |;(2)|a ＋(a －b )|＝|b |.。
人教版高一数学下学期必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元达标高分突破基础卷(含解析)
第六章《平面向量及其应用》同步单元必刷卷（基础卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．（2021·全国·高一课时练习）给出如下命题：①向量AB 的长度与向量BA 的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD 是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·全国·高一）设a 、b 是非零向量，则“a 、b 共线”是“a b a b +=+”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2BD DC =．若AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2133a b+r r B ．2133a b-C ．1233a b+D ．1233a b-4．（2021·全国·高一课时练习）已知1a =，2b =，且()a ab ⊥+，则a 在b 上的投影向量为（）A ．b-B ．bC ．14b-D ．14b5．（2021·全国·高一课时练习）设向量()1,2a →=-，(),1b m →=，如果向量2a b →→+与2a b →→-平行，那么a b →→⋅的值为（）A ．72-B ．12-C ．32D ．526．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）若12,e e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法中正确的是（）A ．12(,)e e R λμλμ+∈不可以表示平面α内的所有向量；B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数,λμ有无数多对；C ．若1122,,,λμλμ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使11122122()e e e e λμλλμ+=+；D ．若存在实数,λμ使120e e λμ+=，则0λμ==.7．（2021·江苏宿迁·高一期末）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos sin cos sin b c A Ba c B A-=-，则ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）我国南宋时期数学家秦九韶发现了求三角形面积的“三斜求积”公式：设△ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积2222221[()]42c a b S c a +-=-．若2b =，sin 2sin a B b C =，则△ABC 面积的最大值为（）A ．13B ．23C ．43D ．63二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
【高一】高一数学下册同步导学测试题(附答案)
【高一】高一数学下册同步导学测试题（附答案）(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、(每小题5分，共20分)1．已知角α是第四象限角，则角α的正弦线是______中的P.( )解析：∵α为第四象限角，故其终边与单位圆交点在第四象限．答案：C2．用五点法作y＝2sin2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4π D．0，π6，π3，π2，2π3解析：令2x＝0，π2，π，3π2，2π分别得到x＝0，π4，π2，3π4，π.答案：B3．下列函数图象相同的是( )A．y＝sin x与y＝sin(π＋x)B．y＝sinx－π2与y＝sinπ2－xC．y＝sin x与y＝sin(－x)D．y＝sin(2π＋x)与y＝sin x解析：A中，y＝sin(π＋x)＝－sin x，B中，y＝sin(x－π2)＝－cos x，y＝sin(π2－x)＝cos x，C中，y＝sin(－x)＝－sin x，其解析式不同，图像也不同．答案：D4．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是图中的( )解析：由五点作图法知y＝1－sin x过点(0,1)，(π2，0)，(π，1)，(32π，2)，(2π，1)．答案：B二、题(每小题5分，共10分)5．在“五点作图法”中，函数y＝sin x＋1的“第4点是________．解析：当x＝32π时，y＝sin 32π＋1＝－1＋1＝0，∴第4点为(32π，0)．答案：(32π，0)6．若sin x＝2－1，且x∈R，则的取值范围是________．解析：∵sin x≤1，∴－1≤2－1≤1，∴0≤≤1.答案：[0,1]三、解答题(每小题10分，共20分)7．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：①sin x>0；②sin x<0.(2)直线y＝12与y＝－sin x的图象有几个交点？解析：利用“五点法”作图，(1)根据图象可知图象在x轴上方的部分sin x>0，在x轴下方的部分sin x<0，所以当x∈(－π，0)时， sin x>0；当x∈(0，π)时，sin x<0.(2)画出直线y＝12，可知有两个交点．8．用“五点法”作出函数f(x)＝sinx＋π4一个周期的图像．解析：列表：x＋π40π2π3π22πx－π4π43π45π47π4y＝sinx＋π4010－10图像如图．?尖子生题库?☆☆☆9．(10分)求函数y＝lg sin x＋116－x2的定义域．解析：为使函数有意义，需满足sin x>0，16－x2>0，即2kπ<x<2kπ＋πk∈Z，－4<x<4.如图所示，由数轴可得函数的定义域为{x－4<x<－π或0<x<π}．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学同步练习(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学同步练习学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，已知，，三所学校中分别有，，名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）A.B.C.D.2. 已知一组数据按从小到大的顺序排列为，，，，，，且这组数的中位数是，那么这组数据的众数是( )A.B.C.D.3. 若，，则（ ）A.B.C.D.4. 方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A.甲B.丙A B C 60A B C 18027090C 10121824−8−14x 1013776410θ∈(0,)π2sin θ−cos θ=2–√2cos 2θ=3–√2−3–√2±3–√2±12()C.戊D.庚5. 在直三棱柱中，已知，，，为的中点，点为的中点，点在线段上，且，则线段的长为（ ）A.B.C.D.6. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，，，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为( )A.B.C.D.7. 矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )A.B.C.ABC −A 1B 1C 1∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4E AA 1F BE H CA 1H =3HC A 1FH 23–√413−−√3ABCD AB//CD AB =3CD =1A =4A 1A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCD 252372ABCD AB =4AD =2E CD AE △ADE D P PAE ⊥ABCE AB PC 14122–√2–√D.8. 已知的垂心为，且，，是的中点，则=（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列命题中，正确的命题有( )A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量服从正态分布，若，则D.若某次考试的标准分服从正态分布，则甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率为10. 下列说法正确的有( )A.若离散型随机变量的数学期望为，方差为，则，B.若复数满足，则的最大值为C.份不同的礼物分配给甲、乙、丙三人，每人至少分得一份，共有种不同分法D.个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配一个名额，则共有种不同分法11. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，若平面平面，以下四个结论中正确的是( )A.平面B.C.若是底面圆周上的动点，则的最大面积等于的面积3–√2△ABC H AB =3AC =5M BC ⋅HM −→−BC −→−5678B (n,p)E (X)=30D (X)=20p =23ξN (0,1)P (ξ>1)=p P (−1<ξ≤0)=−p 12X N (90,900)29038X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=9D (2X −1)=8z |z −3−4i|=1|z|6472104C 39S O AB CD AB ⊥CD SAD∩SBC =l AD//SBCl//ADE △SAE △SAB l SCD 45∘D.与平面所成的角为 12.如图，已知点为正六边形的中心，下列结论正确的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 若＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是________．14. 在中，，的面积为，则________.15. 某射击运动员在五次射击中分别打出了，，，，环的成绩，已知这组数据的平均数为，则这组数据的方差为________．16. 已知母线长为 ，侧面积为的圆锥顶点和底面在同一个球面上，则该球的体积为________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.（1）用斜二测画法作出边长为、高的矩形的直观图；（2）画出正四棱锥的三视图．18. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率l SCD 45∘O ABCDEF =CB −→−EF−→−++=OA −→−OC −→−OB −→−0→⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC−→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−iz −1+i z △ABC a =1,cos C =34△ABC 7–√4c =10x 107993–√π323cm 4cm 695010%上一个年度未发生有责任（或发生无责任）道路交通事故下浮 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 上一个年度发生两次及两次以上有责任不涉及死亡的道路交通事故上浮 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮某机构为了研究国内某一品牌某型号普通座以下私家车(以下简称为“研牌车”)的投保情况，随机抽取了辆车龄刚满一年的“研牌车”下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型 数量 4436182求该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率；若任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，求“研牌车”在第二年续保时保费的平均数. 19. 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取次，记录如下：甲 乙 求甲成绩的分位数；现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中选两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．20. 如图，在四边形中， ，，．求；若，求周长的最大值． 21. 如图，正三棱柱中，，，为的中点，为边上的动点．当点为的中点时，证明平面．若，求三棱锥的体积．22. 在如图所示几何体中，已知底面，，，，是的中点.A 110%A 20%A 310%A 430%6100A 1A 2A 3A 4(1)(2)882817978958893849295807583809085(1)80%(2)ABCD CD =33–√BC =7–√cos ∠CBD =−7–√14(1)∠BDC (2)∠A =π3△ABD ABC −A 1B 1C 1AB =2A =3A 1D B C 1P AB (1)P AB DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB B −CDP AE ⊥ABC BF//AE BF =2AE AB =AC D BC证明：平面；证明：平面平面.(1)AD//CEF (2)ADF ⊥BCF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学同步练习一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】分层抽样方法【解析】利用分层抽样的性质直接求解．【解答】为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，，三所中学抽取名教师进行调查，，，三所学校中分别有，，名教师，从学校中应抽取的人数为：．2.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】直接利用中位数的定义列方程求出，再根据众数的定义求解即可．【解答】解：因为，，，，，，的中位数是，所以，解得.因为这组数据有两个，其他数据都是个，所以这组数据的众数是.故选．3.【答案】B【考点】二倍角的余弦公式A B C 60A B C 18027090C 60×=1090180+270+90x =10−8−14x 10137(x +4)=712x =1010110D【解析】通过对表达式平方，求出的值，然后利用二倍角公式求出的值，得到选项．【解答】解：∵ ，∴，∵，∴，，∴，.故选．4.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】本题考查了合理推理的应用．由题设条件进行简单的合情推理既得答案．【解答】解：根据题中给出的条件，七名护士的值夜班顺序为：戊、乙、丁、己、庚、丙、甲．所以周五值夜班的护士为庚．故选．5.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，．可得，，利用空间两点间的距离公式计算即可．【解答】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，cos θ+sin θcos 2θ(sin θ−cos θ=)2122sin θcos θ=12θ∈(0,)π2sin θ>0cos θ>0sin θ+cos θ==(sin θ−cos θ+4sin θcos θ)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√2cos 2θ=θ−θ=(cos θ+sin θ)(cos θ−sin θ)cos 2sin 2=×(−)=−6–√22–√23–√2B D C C(0,0,0)A(0,4,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F(2,2,)3–√m 2H(1,0,)m 2C∵，，，∴，则，，，，．∵点为的中点，∴，∵点在线段上，且，∴∴．故选．6.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设四棱柱的底面梯形的高为，，的中点分别为，，设水面高为，则水的体积即，解得.故选．7.【答案】D【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析∠BCA =90∘∠BAC =60∘AC =4BC =43–√C(0,0,0)A(4,0,0)B(0,4,0)3–√E(4,0,m)(4,0,2m)A 1F BE F(2,2,)3–√m 2H CA 1H =3HC A 1H(1,0,)m 2FH ==(2−1+(2−0+(−)23–√)2m 2m 2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√13−−√C 2a AD BC F E h V 水=⋅A S 四边形ABEF A 1=⋅hS 四边形ABCD ⋅4(2+3)a 2=⋅h (1+3)2a 2h =52B【解答】解：因为，所以异面直线与所成角就是或其补角.在中，，，作，垂足为，如图，则，，所以，所以.故选．8.【答案】D【考点】平面向量数量积余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】正态分布的密度曲线二项分布与n 次独立重复试验的模型极差、方差与标准差【解析】无【解答】AB//CB AB PC ∠PCE △PCE EC =2PE =2DO ⊥AE O DO =2–√OC =10−−√PG ===2P +O O 2C 2−−−−−−−−−−√2+10−−−−−√3–√cos ∠PCE =P +E −P C 2C 2E 22PC ⋅EC==12+−22222×2×23–√3–√2D =1解：．根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，，解得，所以错误；．根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，所以正确；．由正态分布的图象的对称性可得，所以正确；．甲、乙、丙三人恰有人的标准分超过分的概率，所以正确．故选．10.【答案】A,B,D【考点】离散型随机变量的期望与方差命题的真假判断与应用复数的代数表示法及其几何意义排列、组合及简单计数问题【解析】根据离散型随机变量的数学期望和方差的性质即可知正确；根据复数的几何意义可知正确；根据先分组再分配的原则可知错误，利用挡板法可知正确．【解答】解：对于，因为离散型随机变量的数学期望为，方差为，所以，，所以正确；对于，因为，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上，所以表示点与原点的距离，根据圆的几何性质可知，的最大值为，所以正确；对于，份不同的礼物分组的方式只有，，，所以只有种情况，再分配给三人，有种方式，最后根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的方法，所以错误；对于，个数学竞赛名额分配给所学校，每所学校至少分配个名额，采用挡板法可知，共有种不同的分法，所以正确，故选．11.【答案】A,B,D【考点】A E(X)=np =30D(X)=np(1−p)=20p =13A B B C P (−1<ξ≤0)=1−2P(ξ>1)2==−p 1−2p 212C D 290(1−)=C 23()1221238D BCD X A B C D A X E (X)=5D (X)=2E (2X −1)=2E (X)−1=9D (2X −1)=D (X)=822A B |z −3−4i|=1z P (x,y)C (3,4)1|z|P (x,y)O |z||CO|+1=6B C 4112=6C 24A 3336C D 1041C 39D ABD直线与平面所成的角两条直线平行的判定直线与平面平行的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：已知圆锥的顶点为，底面圆的两条直径分别为和，且，所以四边形是正方形，所以，因为 平面， 平面，所以平面，故正确；因为平面平面，平面，平面．所以，故正确；若是底面圆周上的动点，当时，的最大面积等于的面积，当时，的最大面积等于两条母线的夹角为的截面三角形的面积，故错误；因为，与平面所成的角就是与平面所成的角，即，故正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】本题考查平面向量的加减混合运算，考查平面向量的数量积公式，属于基础题．【解答】解：，与长度相等，方向相同，，故正确；，，故错误；，，，∵，∴，故正确；，，，∵，∴，故正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】S O AB CD AB ⊥CD ACBD AD//BC BC ⊂SBC AD ⊂SBC AD//SBC A SAD∩SBC =l AD ⊂SAD AD//SBC l//AD B E ∠ASB ≤90∘△SAE △SAB ∠ASB >90∘△SAE 90∘C l//AD l SCD AD SCD ∠ADO =45∘D ABD A ∵CB −→−EF −→−∴=CB −→−EF −→−A B ++OA −→−OC −→−OB −→−=++=2OA −→−AB −→−OB −→−OB −→−B C ⋅=⋅=||⋅||⋅cos OA −→−FA −→−OA −→−OB −→−OA −→−OB −→−60∘⋅=⋅=||⋅||ED −→−BC −→−AB −→−OA −→−AB −→−OA −→−cos ∘||=||=||OA −→−OB −→−AB −→−⋅=⋅OA −→−FA −→−ED −→−BC −→−C D |+|=||OF −→−OB −→−OA −→−|−|=||OC −→−OB −→−BC −→−||=||OA −→−BC −→−|+|=|−|OF −→−OD −→−OC −→−OB −→−D ACD (1,1)【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结论．【解答】∵＝，∴＝，则复数在复平面内对应的点的坐标是，14.【答案】【考点】三角形的面积公式余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∵的面积为，，∴，解得：，∴，解得：.故答案为：.15.【答案】【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数、百分位数【解析】根据平均数求出的值，再计算方差的值．(1,1)iz −1+i −i ⋅iz −i ⋅(−1+i)z (8,1)2–√cos C =34sin C =7–√4△ABC 7–√4a =1ab sin C =127–√4b =2cos C ==+−a 2b 2c 22ab 34c =2–√2–√65x解：五次射击中分别打出了，，，，环，∴这组数据的平均数为，解得；∴这组数据的方差是．故答案为：.16.【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解：圆锥母线长为 ，侧面积为，底面圆半径为.圆锥的高.圆锥的轴截面如图，设球的半径为，∵圆锥的高，底面圆的半径，∴，即＝，解得：，故该球的体积．故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.10x 1079×(10+x +10+7+9)=159x =9=×[2×(10−9+(7−9+2×(9−9]=s 215)2)2)265654π3∵3–√π32∴r =3–√2∴h ==(−(3–√)23–√2)2−−−−−−−−−−−−√32R h =32r =3–√2=R 2(h −R +)2r 2R 2(−R +32)234R =1V =π×=43134π34π3解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：【考点】斜二测画法【解析】（1）用统一的画图标准：斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作轴，轴使，然后依据平行投影的有关性质逐一作图．（2）直接利用正四棱锥的图形，判断正视图，侧视图，俯视图的形状画图即可．【解答】解：（1），①在已知中取、所在边为轴与轴，相交于点（与重合），画对应轴，轴使②在轴上取，使，在轴上取，使，过作平行的直线，且等于长．③连所得四边形就是矩形的直观图．（2），正四棱锥的正视图与侧视图是相同的等腰三角形，俯视图轮廓是正方形，含有对角线，如图：18.【答案】ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD X'Y '∠X'O'Y '=45∘ABCD AB AD X Y O O A X'Y '∠X'O'Y '=45∘X'A'B'A'B'=AB Y 'D'A'D'=AD 12D'D'C'X'A'D'C'B'A'B'C'D'ABCD 18+21解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数【考点】频数与频率众数、中位数、平均数、百分位数【解析】本题考查数据统计本题考查概率统计，平均数【解答】解：该“研牌车”在第二年续保时保费高于基本保费的频率.任一“研牌车”下一年续保情况与上述机构调查的频率一致，：元，：元，：元，：元，“研牌车”在第二年续保时保费的平均数19.【答案】解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．【考点】众数、中位数、平均数、百分位数极差、方差与标准差【解析】无无(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)=18+210015(2)A1950(1−10%)=855A 2950(1+0%)=950A 3950(1+10%)=1045A 4950(1+30%)=1235=(855×44+950×36+1045×18+1235×2)×=931x ¯¯¯1100(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙解：把甲的成绩按照从小到大的顺序排列可得：因为一共有个数据，所以，不是整数，所以甲成绩的分位数是第个数据．，，，，∵，，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．20.【答案】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．【考点】同角三角函数间的基本关系(1)787981828488939588×80%=6.480%793(2)=(78+79+81+82+84+88+93+95)=85x ¯¯¯甲18=(75+80+80+83+85+90+92+95)=85x ¯¯¯乙18=[(78−85+(79−85+(81−85+s 2甲18)2)2)2(82−85+)2(84−85+)2(88−85+)2(93−85+)2(95−85])2=35.5=[(75−85+(80−85+(80−85+s 2乙18)2)2)2(83−85+)2(85−85+)2(90−85+)2+(92−85)2](95−85)2=41=x ¯¯¯甲x ¯¯¯乙<s 2甲s 2乙(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12余弦定理基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：在中，可知，所以，利用正弦定理得：，∴，又∵为钝角，∴为锐角，∴.在中，由余弦定理得，，解得： 或（舍去），在中，，设，，由余弦定理得，，即，整理得： ，又，，利用基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，即，所以，所以周长的最大值为．21.【答案】证明：连接、．(1)△BCD cos ∠CBD =−7–√14sin ∠CBD ==1−(−)7–√142−−−−−−−−−−−√321−−√14=CD sin ∠CBD BC sin ∠BDC sin ∠BDC ===BC ⋅sin ∠CBD CD ×7–√321−−√1433–√12∠CBD ∠BDC ∠BDC =π6(2)△BCD cos ∠CBD =B +B −C C 2D 2D 22BC ⋅BD =7+B −27D 22⋅BD7–√=−7–√14BD =4BD =−5△ABD ∠A =π3AB =x AD =y cos A =A +A −B B 2D 2D 22AB ⋅AD =+−16x 2y 22xy =12+−16=xy x 2y 2−16=3xy (x +y)2x >0y >0−16=3xy ≤(x +y)23(x +y)24≤16(x +y)24≤64(x +y)2x =y =4=8(x +y)max =8+4=12(AB +AD +BD)max △ABD 12(1)DP AC 1AB B C DP //AC∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵ 平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】证明：连接、．∵为中点，为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面．解：由，得．过点作于，则，且．∵，∴．∵平面，∴平面．边上的高，又∵，∴．22.【答案】证明：取中点，连接，P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABCDE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)DP AC 1P AB D B C 1DP //AC 1A ⊂C 1ACC 1A 1DP ⊂ACC 1A 1DP //ACC 1A 1(2)AP =3PB PB =AB =1412D DE ⊥BC E DE //CC 1DE =C 12C 1C =3C 1DE =32CC 1⊥ABC DE ⊥CBP △ABC ==−(2222)2−−−−−−−−√3–√==××2×=S △CBP 14S △ABC 14123–√3–√4==××=V B−CDP V D−CBP 133–√4323–√8(1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.【考点】平面与平面垂直的判定直线与平面平行的判定【解析】由已知中为的中点，易判断四边形为平行四边形，进而，同时，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．取的中点，连接，以为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角的大小．【解答】证明：取中点，连接，D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AEBF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF (I)F CD ABCD AF //BC EF //SC (II)AB O SO O SAC ACF S −AC −F (1)CF G DG ，EG∵为中点，∴且，又，，∴且,∴四边形为平行四边形，∴，且面，∴平面.∵，为中点，∴.又∵面，∴面.∵面，∴.又∵，∴面.又∵面，∴平面平面.D BC DG//BF DG =BF 12BF//AE BF =2AE DG//AE DG =AE ADGE AD//EG AD ⊂CEF AD//CEF (2)AB =AC D BC AD ⊥BC AE ⊥ABC,BF//AE BF ⊥ABC AD ⊂ABC BF ⊥AD BF ∩BC =B AD ⊥BCF AD ⊂ADF ADF ⊥BCF。
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∴cosπ4-α=cos π4cos α+sin π4sin α =22 乘以(-45)+22 乘以 35=-210. 答案： B 3.cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°的值为( ) A.22 B.6-24 C.32 D.12 解析： cos 80°cos 35°+cos 10°cos 55°=cos 80°cos 35°+cos(90°-80°)cos(90°-35°)=cos 80°cos 35°+sin 80°sin 35°=cos(80°-35°)=cos 45°=22. 答案： A 4.若 sin(π+θ)=-35，θ是第二象限角，sinπ2+φ=-255，φ是第 三象限角，则 cos(θ-φ)的值是( ) A.-55 B.55 C.11525 D.5
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答案： 83 6.已知 cos(π3-α)=18，则 cos α+3sin α的值为___ห้องสมุดไป่ตู้____. 解析： ∵cos(π3-α)=cos π3cos α+sin π3sin α =12cos α+32sin α =12(cos α+3sin α) =18. ∴cos α+3sin α=14. 答案： 14 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 7.已知 sin α=-35，α∈32π，2π，求 cos π4-α的值. 解析： ∵sin α=-35，α∈32π，2π. ∴cos α=1-sin2α=1--352=45. ∴cosπ4-α=cos π4cos α+sin π4sin α=22 乘以 45+22
《高等数学》同步练习册（下）新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高一数学下册同步导学练习题8
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，不是周期函数的是( )A ．y ＝sin x －1B ．y ＝－sin xC ．y ＝|sin x |D ．y ＝sin |x |解析： 画出y ＝sin |x |的图像，易知D 的图像不具有周期性．答案： D2．已知f (x )＝sin(πx －π)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数解析： f (x )＝－sin πx －1，f (－x )≠f (x )，且f (－x )≠－f (x )，T ＝2.答案： D3．函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值分别为( )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析： ∵sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 答案： C4．sin ⎝⎛⎭⎫－π15与sin ⎝⎛⎭⎫－π10的大小关系是( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫－π15＝sin ⎝⎛⎭⎫－π10 B ．sin ⎝⎛⎭⎫－π15>sin ⎝⎛⎭⎫－π10 C ．sin ⎝⎛⎭⎫－π15<sin ⎝⎛⎭⎫－π10 D ．sin ⎝⎛⎭⎫－π15≤sin ⎝⎛⎭⎫－π10 解析： ∵－π2<－π10<－π15<π2，且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2 上是增函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π15. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝－sin x 3的定义域是________． 解析： 由－sin x 3≥0，得sin x 3≤0， 故2k π－π≤x 3≤2k π(k ∈Z )， 即6k π－3π≤x ≤6k π(k ∈Z )．答案： {x |6k π－3π≤x ≤6k π，k ∈Z }6．函数y ＝4sin(2x ＋π)关于________对称．解析： 由于y ＝4sin(2x ＋π)＝－4sin 2x ，所以函数为奇函数，因此它的图像关于原点对称．答案： 原点三、解答题(每小题10分，共20分)7．不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎫－π10； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－235π－sin ⎝⎛⎭⎫－174π. 解析： (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，且函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18， 即sin ⎝⎛⎭⎫－π18－sin ⎝⎛⎭⎫－π10>0. (2)sin ⎝⎛⎭⎫－235π＝－sin 23π5＝－sin 35π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－2π5＝－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4. ∵0<π4<25π<π2， 且y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数， ∴sin π4<sin 2π5.∴－sin π4>－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎫－17π4>sin ⎝⎛⎭⎫－23π5，即sin ⎝⎛⎭⎫－23π5－sin ⎝⎛⎭⎫－17π4<0. 8．求函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的增区间． 解析： ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝2sin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2x －π6 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴2k π＋π2≤2x －π6≤32π＋2k π，k ∈Z ， ∴k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z ， ∵x ∈[0，π]，k ＝0时满足条件，∴π3≤x ≤56π，即x ∈⎣⎡⎦⎤π3，56π. ∴函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3，56π. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若函数y ＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解析： (1)当b >0时，由题意得⎩⎨⎧ a ＋b ＝32，a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1. ∴函数y ＝－4a sin bx ＝－2sin x .此时最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.(2)当b <0时，由题意得⎩⎨⎧ a －b ＝32，a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝12，b ＝－1.∴函数y ＝－4a sin bx ＝2sin x . 此时函数的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.综上所述，函数y ＝－4a sin bx 的最大值为2，最小值为－2，最小正周期为2π.。
高一数学下册同步导学练习题4
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3的最小正周期和最大值分别是( ) A ．π，－2 B ．π， 2 C ．2π，－2 D ．2π， 2解析： T ＝2π2＝π，y max ＝1－3＝－2.答案： A2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝12，φ＝π6B ．T ＝12，φ＝π3C ．T ＝12π，φ＝π6D ．T ＝12π，φ＝π3解析： T ＝2ππ6＝12，将点(0,1)代入得sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.答案： A3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点(π3，0)对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点(π4，0)对称D ．关于直线x ＝π3对称解析： 由2πω＝π，得ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋π3)．∵f (π3)＝sin(2π3＋π3)＝0，∴该函数关于点(π3，0)对称． 答案： A4．下列命题正确的是( )A ．y ＝cos x 的图像向右平移π2得y ＝sin x 的图像B ．y ＝sin x 的图像向右平移π2得y ＝cos x 的图象C ．当φ<0时，y ＝sin x 向左平移|φ|个单位可得y ＝sin(x ＋φ)的图像D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像由y ＝sin 2x 的图像向左平移π3个单位得到 解析： 对于A 、B ，前后函数解析式的名称改变了，因此先统一函数名，使用π2－α的公式进行转化；对于C 、D ，要抓住一点——x 发生了变化，不是2x 发生了变化．答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图像与x 轴的所有交点中，跟原点最近的点的坐标是________． 解析： ∵4x ＋π3＝0，x ＝－π12，∴所求点为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 答案： ⎝⎛⎭⎫－π12，06．正弦函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的定义域为R ，周期为2π3，初相为π6，值域为[－1,3]，则f (x )＝________.解析： 根据正弦函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值和最小值与A 和k 的关系，可求出A 和k ，从而可得出f (x )的表达式．答案： 2sin(3x ＋π6)＋1三、解答题(每小题10分，共20分)7．如何将函数y ＝sin 2x 的图像变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图像． 解析： 法一：y ＝sin 2x――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin x ―――――――――→沿x 轴向左平移π4个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.法二：y ＝sin 2x ――――――――――→沿x 轴向左平移π8个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4――――――――→横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 8．已知函数y ＝3sin(12x －π4)．(1)用“五点法”作函数的图象； (2)求函数的周期；(3)求函数的单调递增区间． 解析： (1)(2)因为3sin[12(x ＋4π)－π4]＝3sin(12x －π4＋2π)＝3sin(12x －π4)，所以由周期函数的定义，知原函数的周期是4π；也可以直接用公式：T ＝2πω＝2π12＝4π.(3)x 的系数为正数，所以把12x －π4视为一个整体，令－π2＋2k π≤12x －π4≤π2＋2k π，解得[－π2＋4k π，3π2＋4k π]，k ∈Z ，即为函数的单调递增区间． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图像上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[0，π12]时，求f (x )的最值．解析： (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2，得A ＝2；由周期T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图像上，得2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以φ＝π6. 所以函数解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值 3.。
高一数学下册同步导学练习题11
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．正弦函数f (x )＝sin x (x ∈R )的最小正周期是( )A ．2k π，k ∈ZB ．πC ．2k π，k ∈Z ，且k ≠0D ．2π答案： D2．下列各余弦值的符号为正的是( )A ．cos 120°B ．cos(－30°)C ．cos 240°D ．cos(－120°)答案： B3．sin 420°的值是( )A.12B.32C ．－32D ．－12解析： sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝32. 答案： B4．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( ) A ．1 B ．0C ．2D ．－2解析： ∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0.∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α－cos α＝2. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围是________．解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案： －2<a ≤36．已知函数f (x )的周期为1.5，且f (1)＝20，则f (10)的值是________．解析： f (10)＝f (6×1.5＋1)＝f (1)＝20答案： 20三、解答题(每小题10分，共20分)7．求值：(1)sin(－1 320°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°＋tan 495°；(2)cos(－233π)＋tan 174π； 解析： (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 135° ＝32×32＋12×12－1＝0.(2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π) ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 8．已知角α的终边与单位圆相交于点P (a ，b )，若sin α＝45，求a 、b 的值，并说明α是第几象限角．解析： 由正弦函数的定义可知b ＝sin α＝45. 又a 2＋b 2＝1，∴a 2＝1－b 2＝925，∴a ＝±35. 故a ＝±35，b ＝45. 当a ＝35，b ＝45时，点P 在第一象限，此时角α是第一象限角； 当a ＝－35，b ＝45时，点P 在第二象限，此时角α是第二象限角． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)若f (x )是以2为周期的奇函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．解析： ∵f (x )是以2为周期的函数，∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－2×2＝f ⎝⎛⎭⎫12. 又f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1.∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0.。
【珍藏】高一数学下册同步导学练习题12.doc
Mas @® ts>] 练考题、验能力、轻巧夺冠!（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）一、选择题（每小题5分，共20分）1 •下列命题中，是真命题的是（）A.一孤度是一度的圆心角所对的孤B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一孤度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位答案：D2. 1 920。
转化为弧度数为（）,16 (32)A-T B T1671 「32兀解析：1 920° = 1 920 X忐弧度=关弧度. iov J答案：D33.圆的半径为r,该圆上长为V的弧所对的圆心角是（）2 3A.^ rad B，2 radC，2 K D，2 713解析：由弧度数公式lal=;W« = 7 = | ,因此圆弧所对的圆心角是§ rad.答案： B4.终边在坐标轴上的角的集合是（）A. {a\a=2kTi, *WZ}B.{ala=k冗，}C." a=foi+* 隹 Z jD." o=*7i,隹 Z j解析：终边在x轴正半轴上的角的集合是{a\a = 2kTi , teZ）,在工轴负半轴上的角的集合为{ala = 2S +兀,虹Z},所以终边在x轴上的角的集合为{cda = 2虹，虹Z}U{c（kz = 2虹 + 71 , feZ} = {a\a = kTt , keZ};同理，终边在y轴上的角的集合是"a = br + ?,虹Z j.故终边在坐标轴上的角的集合为{ala =kji , SZ}u]4（x = k7i +壹,teZ j =J 虹 7 N ]o =万，烂Z r.答案： D三、填空题（每小题5分，共10分）5.下列四个角：1,60。
，―气的大小为.解析：只需把60。
化成弧度数，71 71•'6。
° = 6。
乂面=如.•.四个角为1 -I-71 71:.60° = y>l> - g.答案：60。
高中数学同步导学---(110)高一期中复习解答题专项训练
若A=Φ，则 ，即a>1,
由(1)知，a=0，则A=｛1｝;a=1时，A=｛2｝；若A=｛1,2｝，则a=0且a=1，这是不可能的。
综上得，当若a=0或a≥1时，A∩B=A成立；
2. 解：（1）因为f(-x)= = = ， 所以f(x)是奇函数。
（Ⅱ）证明：函数 在 上是增函数。 （Ⅲ）求 的值域；
7. 若定义在R上的函数 使 对任意 都成立.
(1)证明：函数 为奇函数； (2)若当x>0时， <0, 证明：函数 为R上的减函数。
8．将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个. (1)把利润y（元）表示为实际售价x（元）的函数；
所以f(x)是奇函数。
3．已知函数 。证明：（1） 是奇函数；（2） 是减函数。
3.证明：（1）因为， = = =
所以， 是奇函数；
（2）设 且 ，即 ，
则 = =
因为
所以 =2 >0
于是 ，
即 >1, >0 ,
所以 >0，
所以，函数 在区间（-1,1）上是减函数。
4. 已知奇函数 是定义在R上的奇函数，当 ， ，
6.解：（Ⅰ）因为 = = ，所以函数 是奇函数。
（Ⅱ）证明：设 且 ，
则 = = =
因为 ，所以
所以 ，故
所以 ，
所以，函数f(x)在区间 上是增函数．
（Ⅲ）
由 可知 ， ，
，
所以，函数 的值域为（-1,1）
7. 若定义在R上的函数 使 对任意 都成立.
苏教版高中数学必修一学同步导学综合练习
综合练习1一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，请将答案写在答题纸上相应题号后的横线上） 1．集合{1,1},{0,1,2}P Q =-=，则P Q I = ▲ 2．若函数23y x ax =++为偶函数，则a = ▲ 3．函数1lg y x x =-的定义域为 ▲ 4．=+5lg 38lg ▲5．若,210,410==y x则=-yx 10▲ 6．已知51a -=，函数()xf x a =，若实数m ，n 满足()()f m f n <，则m 、n 的大小关系是 ▲7．幂函数()f x 的图象过点427)，则()f x 的解析式为 ▲8．已知集合2{|log 2},(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ 9．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x = ▲ 10．函数212log (25)y x x =-+的值域是 ▲11．已知3(9)()(4)(9)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f 的值为 ▲12．三个数0.70.7333,log ,0.7a b c ===按从大到小的顺序排列为 ▲ 13．函数22()log (2)f x x x =+的单调递减区间为 ▲14．定义：区间1212[,]()x x x x <的长度为21x x -，已知函数0.5|log (2)|y x =+定义域为[,]a b ，值域为[0，2]，则区间[,]a b 的长度的最大值为 ▲二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
答案和过程写在答题纸上相应位置）15．（本小题14分）已知集合23{|log (33)0},{|20}A x x x B x mx =-+==-=，且A B B =I ，求实数m 的值．16．（本小题14分）已知函数()log (1)log (3)a a f x x x =-++⑴求函数()f x 的定义域；⑵若函数()f x 的最小值为－2，求a 的值．17．（本小题14分）函数()(,xf x k a k a -=⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象过点A （0，1），B （3，8）．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若函数()1()()1f xg x f x -=+，试判断函数()g x 的奇偶性．18．（本小题16分）已知偶函数223()()mm f x x m Z --=∈在（0，+∞）上单调递减．⑴求函数()f x 的解析式；⑵若(21)()f a f a +=，求实数a 的值． 19．（本小题16分）已知函数2211()a f x a a x+=-，],[n m x ∈)(n m <． ⑴用函数单调性的定义证明：函数()f x 在[,m n ]上单调递增； ⑵()f x 的定义域和值域都是[,m n ]，求常数a 的取值范围． 20．（本小题16分）已知函数22()(2)(2)xxf x a a -=-++，x ∈[－1，1]．⑴求()f x 的最小值；⑵关于x 的方程()f x 22a =有解，求实数a 的取值范围．。
《高等数学》同步练习册(下)新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高一数学暑假同步导学练习题
高一数学暑假同步导学练习题这篇高一数学暑假同步导学练习题是查字典数学网特地为大伙儿整理的，期望对大伙儿有所关心!一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列关系式中一定成立的是()A.cos(-)=cos -cosB.cos(-)C.cos(2-)=sinD.cos(2+)=sin答案：C2.sin =35，2，，则cos4-的值为()A.-25B.-210C.-7210D.-725解析：由sin =35，2，，得cos =-45，cos4-=cos 4cos +sin 4sin=22(-45)+2235=-210.答案：B3.cos 80cos 35+cos 10cos 55的值为()A.22B.6-24C.32D.12解析：cos 80cos 35+cos 10cos 55=cos 80cos 35+cos(90-80)cos(90-35) =cos 80cos 35+sin 80sin 35=cos(80-35)=cos 45=22.答案：A4.若sin()=-35，是第二象限角，sin=-255，是第三象限角，则cos(-)的值是()A.-55B.55C.11525D.5解析：∵sin()=-35，sin =35，是第二象限角，cos =-45.∵sin=-255，cos =-255，是第三象限角，sin =-55，cos(-)=cos cos +sin sin=-45-255+35-55=55.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5.若cos(-)=13，则(sin +sin )2+(cos +cos )2=________.解析：原式=2+2(sin sin +cos cos )=2+2cos(-)=83.答案：836.已知cos(3-)=18，则cos +3sin 的值为________.解析：∵cos(3-)=cos 3cos +sin 3sin=12cos +32sin=12(cos +3sin )=18.cos +3sin =14.答案：14三、解答题(每小题10分，共20分)7.已知sin =-35，，2，求cos 4-的值.解析：∵sin =-35，，2.cos =1-sin2=1--352=45.cos4-=cos 4cos +sin 4sin =2245+22-35=210.8.已知a=(cos ，sin )，b=(cos ，sin )，02，且ab=12，求证：3+.证明：ab=cos cos +sin sin =cos (-)=12，∵02，0-2，-3，3+.尖子生题库?☆☆☆9.(10分)已知sin -sin =-12，cos -cos =12，且、均为锐角，求tan(-)的值.解析：∵sin -sin =-12，①cos -cos =12.②①2+②2，得cos cos +sin sin =34.③即cos(-)=34.∵、均为锐角，--2.由①式知，--0.sin(-)=-1-342=-74.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
2020年高一数学下册同步导学练习题18
一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列关于随机数的说法中，正确的是( )A ．计算器只能产生(0,1)之间的随机数B ．计算器能产生指定两个整数值之间的均匀随机数C ．计算器只能产生均匀随机数D ．我们通过命令RAND*(b －a)＋a 来得到两个整数值之间的随机数2．在区间(10,20]内的所有实数中，随机取一个实数a ，则这个实数a <13的概率是( ) A.13 B.17C.310D.710解析： 区间(10,13)与区间(10,20]的长度之比为3∶10，故a <13的概率为310，选C. 答案： C3．下列说法不正确的是( )A ．根据古典概型概率计算公式P (A )＝n A n，求出的值是事件A 发生的概率的精确值 B ．根据几何概型概率计算公式P (A )＝μA μΩ求出的值是事件A 发生的概率的精确值 C ．根据古典概型试验，用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N 和事件A 发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的近似值 D ．根据几何概型试验，用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N 和事件A发生的次数N 1，得到的值N 1N是P (A )的精确值 答案： D4．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2<1”，则P (A )为( )A.π4B.π2C ．πD ．3π解析： P ＝π·124. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．假设你在如右图所示的图形上随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分(等腰三角形)的概率是________．解析： ∵圆的面积为πR 2，等腰三角形的面积为12×2R ·R ＝R 2，∴P ＝R 2πR 2＝1π. 答案： 1π6．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为________．解析： 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x 0∈[－1,2]时，f (x 0)≤0.P ＝310. 答案： 310三、解答题(每小题10分，共20分)7．甲、乙两辆货车都要停靠在同一个站台卸货，它们可能在一个昼夜的任意时刻到达．设甲、乙两辆货车停靠站台的时间分别为6小时和4小时，用随机模拟的方法估算有一辆货车停站台时必须等待一段时间的概率．解析： 由于所求的事件概率与两辆货车到达的时刻有关，故需要产生两组均匀随机数．设货车甲在x 时刻到达，货车乙在y 时刻到达，若有一辆货车需要等待，则需货车甲比货车乙不早到6小时，或货车乙比货车甲不早到4个小时，用数学语言来描述即为－6<x －y <4.记事件A ＝{有一辆货车停靠站台时必须等待一段时间}．(1)利用计算机或计算器产生两组[0,1]上的均匀随机数x 1＝RAND ，y 1＝RAND ；(2)经过伸缩变换：x ＝x 1]n,N )，即为事件A 的概率近似值．8．利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y ＝2x与x 轴、x ＝±1围成的部分)的面积． 解析： (1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机数，a 1＝RAND ，b 1＝RAND.(2)进行平移和伸缩变换，a ＝(a 1－0.5)*2，b ＝b 1]N 1,N )，即为点落在阴影部分的概率的近似值．(5)用几何概型概率公式求得点落在阴影部分的概率为P ＝S 4.∴N 1N ≈S 4，∴S ≈4N 1N即为阴影部分面积的近似值． 尖子生题库☆☆☆9．(10分)假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6～8点之间把报纸送到你家，你每天离家去工作的时间在早上7～9点之间．(1)你离家前不能看到报纸(称事件A )的概率是多少？(2)请你设计一种随机模拟的方法近似计算事件A 的概率(包括手工的方法或用计算器、计算机的方法)．解析：(1)如图，设送报人到达的时间为X，你离家去工作的时间为Y.(X，Y)可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω＝{(X，Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9}一个正方形区域，面积为SΩ＝4，事件A表示你离家前不能看到报纸，所构成的区域为A＝{(X，Y)|6≤X≤8,7≤Y≤9，X>Y}，即图中的阴影部分，面积为S A＝0.5.这是一个几何概型．所以P(A)＝S A/SΩ＝0.5/4＝0.125.答：你离家前不能看到报纸的概率是0.125.(2)用计算机产生随机数模拟试验，X是0～1之间的均匀随机数，Y也是0～1之间的均匀随机数，各产生100个．依序计算，如果满足2X＋6>2Y＋7，那你离家前不能看到报纸，统计满足条件的点(X，Y)的个数M，则M/100即为估计的概率．。
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．角α的终边与单位圆相交于点(12，32
)，则tan α的值为( ) A.12 B.32
C. 3
D.33
答案： C
2．已知P (x,4)是角θ终边上一点且tan θ＝－25
，则x 的值为( ) A ．10 B.45
C ．－10
D ．－15
解析： 由正切函数定义知4x ＝－25
，∴x ＝－10. 答案： C
3．函数f (x )＝tan(x ＋π4
)的单调区间为( ) A ．(k π－π2，k π＋π2
)，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z
C ．(k π－3π4，k π＋π4
)，k ∈Z D ．(k π－π4，k π＋3π4
)，k ∈Z 解析： 由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2
，k ∈Z ， 解得k π－3π4<x <k π＋π4
，k ∈Z . 答案： C
4．函数y ＝1tan x (－π4≤x ≤π4
且x ≠0)的值域是( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[－1，＋∞)
解析： ∵－π4≤x ≤π4
且x ≠0 ∴－1≤tan x <0或0<tan x ≤1
∴1tan x ≤－1或1tan x
≥1. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．不等式tan ⎝
⎛⎭⎫2x －π4≥－1的解集是________． 解析： 由k π－π4≤2x －π4<k π＋π2
，k ∈Z ， 解得k π2≤x <k π2＋38π，k ∈Z .
答案： ⎣⎡⎭⎫k π2，k π2＋3π8(k ∈Z )
6．已知α为三角形的一个内角，且tan α<0，则tan α2
的符号为________． 解析： ∵α为三角形的一个内角，且tan α<0.∴α为钝角即π2<α<π，则π4<α2<π2
，为第一象限角，∴tan α2
>0. 答案： ＋
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．判断下列函数的奇偶性：
(1)y ＝x tan2x ＋x 4；(2)y ＝sin x ＋tan x .
解析： (1)定义域为{x |x ≠k π2＋π4
，k ∈Z }，关于原点对称， ∵f (－x )＝(－x )tan2(－x )＋(－x )4＝x tan2x ＋x 4＝f (x )，
∴它是偶函数
(2)定义域为{x |x ≠k π＋π2
，k ∈Z }，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )
∴它是奇函数．
8．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解析： (1)要使函数y ＝tan 2x 有意义，必须且只需2x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即x ≠π4＋k π2
，k ∈Z ，
∴函数y ＝tan 2x 的定义域为{x ∈R |x ≠π4＋k π2
，k ∈Z }． (2)设t ＝2x ，由x ≠π4＋k π2，k ∈Z }知t ≠π2
＋k π，k ∈Z ， ∴y ＝tan t 的值域为(－∞，＋∞)，
即y ＝tan 2x 的值域为(－∞，＋∞)．
(3)由tan 2(x ＋π2
)＝tan(2x ＋π)＝tan 2x ， ∴y ＝tan 2x 的周期为π2
. (4)函数y ＝tan 2x 在区间[－π，π]内的图象如图．
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)已知－π3≤x ≤π4
，f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2，求f (x )的最值及相应的x 值． 解析： ∵－π3≤x ≤π4，∴－3≤tan x ≤1， f (x )＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1，
当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1，当tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5.。