2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解答题新题好题专题汇编
2018年高考数学不等式选讲分类汇编
2018年高考数学不等式选讲分类汇编 解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．3.【2018全国三卷23】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a ()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b+4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．参考答案解答题1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解：（1）当时， 可得的解集为．（2）等价于．1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥而，且当时等号成立．故等价于． 由可得或，所以的取值范围是．3.解：（1）的图像如图所示．（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， |||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x=()y f x =y 233a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5所以222++的最小值为4．x y z。
2018届高三数学(文理通用)不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三理科数学不等式选讲解题方法规律技巧详细总结版【简介】不等式选讲是新课标的新增内容，也是选考内容.从能力要求上看，主要考查学生了解不等式、应用不等式的能力，分析问题和解决问题的能力.（1）考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数的最值、恒成立问题;（2）考查了不等式的证明，会用综合法，分析法等证明不等式，往往难度不大，加以适当的训练是完全可以掌握的.【3年高考试题比较】不等式选讲内容，在高考题中以选作的形式出现，难度一般不大，比较这三年的高考题，出现频率较高的有：解绝对值不等式，作含绝对值的函数图像，含参的绝对值恒成立有解问题，不等式证明，一般以分析法证明为主.【必备基础知识融合】1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.3.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法. (2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法. (3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.4.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.【解题方法规律技巧】典例1：(1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值. (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值.【规律方法】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|；(3)利用零点分区间法.典例2：设a，b，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：(1)a＋b＋c≥ 3.(2)abc＋bac＋cab≥3(a＋b＋c).【规律方法】当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.典例3：已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab≥8；(2)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4b a ×ab＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.【规律方法】(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.典例4：已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.【规律方法】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.典例5：已知不等式.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）是【解析】试题分析：试题解析：（1）由已知，可得当时，若，则，解得若，则，解得若，则，解得综上得，所求不等式的解集为；（2）不妨设函数，则其过定点，如图所示，由（1）可得点，由此可得，即. 所以，所求实数的范围为.【规律方法】(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.典例6：（1）解关于的不等式（2）关于的不等式有解，求实数的范围。
2018年高考数学总复习不等式选讲
第三节不等式选讲(选修4-5)考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式与其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法与数学归纳法证明不等式.命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（1）；（2）；（3）.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）；（2）；（3）.（变形后为充要条件）3.作差比较法二、含绝对值的不等式（1）；（2）（3）零点分段讨论三、基本不等式（1）（当且仅当等号成立条件为）（2）（当且仅当等号成立条件为）；（当且仅当时等号成立）（3）柯西不等式（当且仅当时取等号）①几何意义：②推广：.当且仅当向量与向量共线时等号成立.四、不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.题型归纳即思路提示题型201 含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：；；.有时去绝对值也可根据来去绝对值.例16.14 在实数范围内，不等式的解集为 .解析由于，即，即，所以，所以.所以不等式的解集为.变式1 不等式的解集是（）A. B. C. D.变式2 已知函数.（1）证明：；（2）求不等式的解集.二、含绝对值不等式恒成立，求参数问题例16.15 （2012辽宁理24）已知,不等式的解集为.(1)求的值；(2)若恒成立，求的取值范围.解析（1）由得，又的解集为，所以当时，不合题意.当时，得.(2)记，则，所以，因此，即的取值范围是.变式1 （2012新课标理24）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求的取值范围.变式 2 (2013重庆理16) 若关于实数的不等式无解，则实数的取值范围是 .变式 3 (2013全国新课标I理24) 已知函数,.(1)当时，求不等式的解集；(2)设，且当时，，求的取值范围.三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例16.16 若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 .解析不等式有解，则，故实数的取值范围是.变式1 (2012陕西理15)若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .变式2 已知，关于的方程有实根，求的取值范围.四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例16.17 （2013福建理23）设不等式的解集为，且 .(1)求的值；(2)求函数的最小值.分析先根据不等式的情况求出字母取值，在利用不等式求解最值.解析（1）因为且，所以，且，解得.又，所以.(2)因为，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.变式1 设函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求的值.变式2 (2013辽宁理24) 已知函数，其中.(1) 当时，求不等式的解集；(2) 已知关于的不等式的解集为，求的值.变式 3 (2012山东理13) 若不等式的解集为，则实数= .题型202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法）思路提示将待比较的两个代数式通过作差或作商，与与进行比较，得到大小关系.例16.18 已知均为正实数，且，求证：.分析比较与的大小可通过作差法.解析.因为，，所以,,.故.所以.评注作差比较的基本步骤为：（1）作差.（2）变形.（3）判断符号.变式 1 已知，且,. 求证：.二、利用函数的单调性证明思路提示使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的.解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为，另一端为所作辅助函数.（2）求并验证在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为或已知符号，作比较即得所证.例16.19 已知，求证：.分析属于在某区间上成立的不等式，通过移项使得一端为，另一端为所作的辅助函数，利用函数的单调性证明.解析原不等式等价于.令，.令，则，故在上是减函数，所以当时，，故. 故，所以在上是增函数.又，所以当时，成立.于是成立.变式1 证明：当时，.三、综合法与分析法思路提示字母分别表示一组不等式，其中为已知不等式，为待证不等式.若有，综合法是由前进式地推导，分析法是由倒退式地分析到.用分析法时，必须步步可逆.1.综合法（由因到果）例16.20 证明：.分析观察到与是负数，被开方数分别为，显然满足，这样可以考虑将分子有理化.解析，，，故，即.评注类似的问题可以总结为d的形式或者更广泛的形式.变式1 设，求证：.2.分析法（由果索因）例16.21 设，求证：.分析利用分析法将证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口.解析要证明，只要证，即证.因为，所以.故原不等式成立.评注在证明不等式时，经常用分析法探寻证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边分析，一边综合，在使用分析法证明时，要注意分析过程步步可逆.变式1 若，且，求证：.四、反证法思路提示从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.它的依据是原命题与逆否命题同真假.例16.22 已知为不小于的正数，求证：不可能同时大于.分析假设三式都大于，经过推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论的正确性.解析假设三式都大于，即，有①同理②③三式相加得，矛盾，故原命题成立.评注对于从正面证明不易着手，但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便.这也体现了数学中“正难则反”的思想.变式1 已知，,求证：.五、放缩法思路提示预证，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得或，再利用传递性，达到证明目的，常见的放缩途径有“添舍”放缩、“分母”放缩和“单调”放缩.例16.23 已知正数满足，求证：.分析采用“添项”放缩法解析①同理②③①+②+③得.评注放缩法的主要依据是不等式的传递性，通常，若所证不等式两边形式差异较大，则应考虑用放缩法.本题也可用柯西不等式证明：，所以.变式1 证明：.例16.24 求证：.分析采用“分母”放缩法证明.解析由题意，，则，.所以原不等式成立.例16.25 设，且满足，问取何值时，以为边可构成三角形，并判断该三角形的形状.解析由幂函数性质可知，，要构成三角形，只需，故，即证明，只需证明，即. ①由，且，由指数函数单调递减可知，要使得式①成立，只需.因此可知，要成立.只需成立.当时，，三角形为直角三角形；当时，即，此时三角形为钝角三角形；当时，即，此时三角形为锐角三角形.六、三角换元法思路提示若，等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较容易，但是务必注意换元前后参数的范围变化.例16.26 设实数满足，，求证：.分析由，联想到三角换元.解析令，，.当，即时，取得最大值，证毕.评注三角换元在不等式证明以与求函数的最值、解析几何中参数的范围与最值方面有着极大的作用，常常可化难为易.变式1 设，，求证：.七、构造法思路提示一般说来，用构造法证明不等式，常见的构造方法如下：（1）构造辅助函数.（2）构造辅助数列.（3）构造几何图形.例16.27 设，，若，求证：.分析构造一次函数证明.解析即.若视为未知数，并用代替，即证明时，.即证.设,即证时，.而是关于的一次函数，且，，因此当时，成立，从而原不等式成立.评注本题也可利用如下解法：，，即证，，即证，即，由，得，故成立.例16.28 已知为三角形的三边长，求证：.分析不等式左右两边的个式子具有相同的结构形式，故考虑构造函数.解析，，说明函数在上单调递增，又为三角形的三边长，故，则.变式1 证明：.变式2 已知且，，求证：.例16.29 证明：当且时，有.分析本题通过构造辅助数列证明.解析构造数列，因为，所以数列为单调递减数列.所以，即.评注本题将看作参数构造辅助数列，判断数列的单调性从而证明结论.例16.30 设，求证：.分析根据已知式的形式特征联想勾股定理，构造几何图形证明.解析如图16-34所示，构造正方形，设，则，则.变式 1 设，求证：.八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不仅具有优美的代数表现形式与向量表现形式，而且有明显的几何意义，它与基本不等式具有密切的关系，其作用类似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，不过它的特点更明显应用更直接.1.二维形式的柯西不等式设，.等号成立图.证明设，由，得，又，即，，故等号成立即.2.一般形式的柯西不等式设与为任意实数，则，当且仅当（规定时，）时等号成立.证法一：当全为时，命题显然成立.否则，考查关于的二次函数，显然恒成立.注意到，而恒成立，且，故的判别式不大于零，即，整理后得.证法二：向量的内积证法.令，，为与的夹角.因为，且，所以，即，等号成立或平行.柯西不等式提示了任意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它可以简单地证明许多复杂的不等式，下面举例说明.例16.31 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.解析①因为，等价于.由有解，得，且其解集为.又的解集为，故.②由①知，又，由柯西不等式得.变式 1 已知，，求证：.变式2 已知，.求证：.例16.32 设实数满足，求证：.解析由柯西不等式，.所以，所以.评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当的变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、直觉、猜测、推理等.变式1 已知,且，求证：.变式 2 已知正实数满足，求证：.最有效训练题61(限时45分钟)1.不等式的解集是（）A. B. C. D.2.设，则（）A. 都不大于B. 都不小于C. 至少有一个不大于D. 至少有一个不小于3.若，，则的大小关系是（）A. B. C. D. 由的取值决定4.用数学归纳法证明某不等式，左边，“从到”应将左边加上（）A. B. C. D.5. 的最大值为（）A. B. C. D.6.若正数满足，则①的取值范围是；②的取值范围是 .7.在实数范围内，不等式的解集为 .8.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .9.已知,.求证：.10.已知函数.(1) 当时，求不等式的解集；(2)若的解集包含，求的取值范围.11. 已知函数，且的解集为.①求的值；②若，且，求证：.12.已知函数.设数列满足，，数列满足，.（1）用数学归纳法证明：；（2）证明：.。
高三数学《不等式选讲》专题复习题含答案
高三数学《不等式选讲专题复习题》含答案典型题一【母题原题1】【2018「新课标1,理23］已知月行=|支+1|-|四-4.(1)当口 = 1时，求不等式》1的解集；(2)若尤E(OJ；时不等式『(X)Ax成立，求a|的取值范围.工解析】分析二1代人函数解析式，求得/5)二|工七11 —口-1|,利用零点分段符解析式化为'—乙x M —L代工)二2工-1《工< L a然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式又外8 1的解集为骁|工> ；)J ，2.XV1.⑵根据题中所给的IE GU),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式FCOAX可以化为时分情况讨论即可求得姑果.r—乙X£—L详解：a)当a= 1时，rw= k + ii - |X-II,即= 2x-i<x< iL 25之1.故不等式100 > 1的解量为毯w > H◎)当苒E寸I1+ 1| - I做一1| A1成立等价于当了曰〔0/冲tl© -II <工成立.若& w 口，贝虺3 E GU对陋-l|>b若比2―1|<1的解集为口《工匕巳所以;之和故口<口且2.综上,口的取值范围为@司，点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号, 之后进行分类讨论，求得结果 .【母题原题2】【2017「新课标1,理23］已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+ 1|+|x-1|.⑴当a=1时，求不等式f(x)福(x)的解集；(2)若不等式f(x)到x)的解集包含卜-1,1］,求a的取值范围.【解析】(1 )当u=l时不等式加冰M痔价于好工+,+11 +gT9 ①当爪-1时⑪式化为由3x4口无解；当4a口时XD式化为壮-工-25人而-1勺aL：当I>1时。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(不等式)
取得最大值， zmax 3 2 2 0 6 .
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5．（2018
天津文、理）已知 a，b∈R，且
a–3b+6=0，则
2a+
1 8b
的最小值为__________．
5．【答案】 1 4
【解析】由 a 3b 6
0 可知 a
3b
6
，且 2a
1 8b
2a
2 3b
，因为对于任意
y y
4，
则目标函数
1，
z
3x
5
y
的最大值为
y 0，
（）
（A）6 （B）19 （C）21 （D）45
2．【答案】C
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标
函数在点
A
处取得最大值，联立直线方程：
x y x
5 y 1
，可得点
A
的坐标为
A
2,
3
，
据此可知目标函数的最大值为 zmax 3x 5 y 3 2 5 3 21 ．故选 C．
二、填空
1．（2018 北京文）能说明“若 a b ，则 1 1 ”为假命题的一组 a ， b 的值依次为_________． ab
1．【答案】1， 1 （答案不唯一）
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【解析】使“若 a b ，则 1 1 ”为假命题，则“若 a b ，则 1 1 ”为真命题即可，只需取 a 1，b 1
x ，2x
0 恒成立，结
合均值不等式的结论可得： 2a 23b 2 2a 23b 2 26 1 ． 4
当且仅当
2a
23b
a 3b 6
2018高考数学(理)专题突破——选考系列：不等式选讲
【题型突破】
题型一、绝对值不等式的解法 【例1】已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|. (1)在图中画出y＝f(x)的图象； (2)求不等式|f(x)|>1的解集.
x－4，x≤－1， 【解析】(1)f(x)＝3x－2，－1<x≤ 32，
－x＋4，x>32， 故 y＝f(x)的图象如图所示. (2)由 f(x)的解析式及图象知，当 f(x)＝1 时，可得 x＝1 或 x＝数，且 a＋b＝c＋d，证明： (1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d； (2) a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件.
【解析】证明 (1)∵a，b，c，d 为正数，且 a＋b＝c＋d， 欲证 a＋ b> c＋ d，只需证明( a＋ b)2>( c＋ d)2， 也就是证明 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd， 只需证明 ab> cd，即证 ab>cd. 由于 ab>cd，因此 a＋ b> c＋ d.
【对点训练】
已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集； (2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. 【解析】(1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解； 当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1； 当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2.
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.∵a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)得 a＋ b> c＋ d. ②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2， ∴a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd.∵a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2. 因此|a－b|<|c－d|. 综上， a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件.
2018--2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲附答案详解
2018-2020年高考数学试题分类汇编不等式选讲1、（2018年高考全国卷1文理科第23题）（10分）已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，由f（x）＞1，∴或，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x＜，∴a＜∵＞2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．2、（2018年高考全国卷II文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=．当x≤﹣1时，f（x）=2x+4≥0，解得﹣2≤x≤1，当﹣1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即﹣1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=﹣2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[﹣2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1，∴|x+a|+|x﹣2|≤4，∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|，∴|a+2|≤4，即﹣4≤a+2≤4，解得﹣6≤a≤2，故a的取值范围[﹣6，2]．3、（2018年高考全国卷III文理科第23题）[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=﹣（2x+1）﹣（x﹣1）=﹣3x，当﹣＜x＜1，f（x）=（2x+1）﹣（x﹣1）=x+2，当x≥1时，f（x）=（2x+1）+（x﹣1）=3x，则f（x）=对应的图象为：画出y=f（x）的图象；（2）当x∈[0，+∞）时，f（x）≤ax+b，当x=0时，f（0）=2≤0•a+b，∴b≥2，当x＞0时，要使f（x）≤ax+b恒成立，则函数f（x）的图象都在直线y=ax+b的下方或在直线上，∵f（x）的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，不等式f（x）≤ax+b在[0，+∞）上成立，即a+b的最小值为5．4、（2018年高考江苏卷第24题）[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z=6，求x 2+y 2+z 2的最小值．【解答】解：由柯西不等式得（x 2+y 2+z 2）（12+22+22）≥（x +2y +2z ）2， ∵x +2y +2z=6，∴x 2+y 2+z 2≥4 是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x 2+y 2+z 2的最小值为45、（2019全国III 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-. 解：（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. （2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．6、（2019全国II 卷文理科）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1]x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---.当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥. 所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞. （2）因为()=0f a ，所以1a ≥.当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x ----- 所以，a 的取值范围是[1,)+∞.7、（2019全国I 卷文理科）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．解：（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++.所以222111a b c a b c++≤++. （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥. 8、（2019江苏卷21C ）C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或. 9、（2020•全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 答案：（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭. 解析：（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．解：（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭． 10、（2020•全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 答案：（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 解：（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤； 当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解； 当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭. （2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥， a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.11、（2020•全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c =0，abc =1． （1）证明：ab +bc +ca <0；（2）用max{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max{a ，b ，c ． 答案：（1）证明见解析（2）证明见解析.解析：（1）由2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=结合不等式的性质，即可得出证明；（2）不妨设max{,,}a b c a =，由题意得出0,,0a b c ><，由()222322b c b c bc a a a bcbc+++=⋅==，结合基本不等式，即可得出证明. 解：（1）2222()2220a b c a b c ab ac bc ++=+++++=，()22212ab bc ca a b c ∴++=-++. 1,,,abc a b c =∴均不为0，则2220a b c ++>，()222120ab bc ca a b c ∴++=-++<； （2）不妨设max{,,}a b c a =，由0,1a b c abc ++==可知，0,0,0a b c ><<，1,a b c a bc =--=，()222322224b c b c bc bc bc a a a bc bc bc++++∴=⋅==≥=.当且仅当b c =时，取等号，a ∴≥，即3max{,,}4a b c .12、（2020•江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤． 答案：22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析：根据绝对值定义化为三个方程组，解得结果解：因为1224x x x <-⎧⎨---≤⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-≤⎩或0224x x x >⎧⎨++≤⎩21x ∴-≤<-或10x -≤≤或203x <≤所以解集为22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。
专题8 不等式选讲-2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案
专题八 不等式选讲2018年高考数学备考关键问题对策及新题好题训练含答案【高考考场实情】不等式选讲为高考选考内容之一。
一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。
【考查重点难点】主要考查解绝对值不等式，根据给定条件求参数的取值范围，用基本不等式研究代数式的最值及不等式证明的比较法、综合法、分析法等，交汇考查集合的概念、绝对值的概念、函数的概念、函数的图像与性质、二次不等式、基本不等式等.下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策。
【存在问题分析】（一）绝对值不等式求解技能掌握不到位【例题1】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数4)(2++-=ax x x f ，11)(-++=x x x g ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；【名师点睛】本题主要的易错点在于分类后的“整合”.其一是“整合”错误，误以为得到解集为所分类各不等式解集的交集.另一是没有进行“整合”，认为解集为三种情况：当1-<x 时，原不等式的解集为{}41≤≤-x x ；当11≤≤-x 时，原不等式的解集为{}21≤≤-x x ；当1>x 时，原不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+-≤≤--21712171x x ，错因在于与因参数对解集的影响而分类讨论的问题混淆，对解绝对值不等式的基本原理认识不到位所致.（二）不能对条件进行正确的等价转化 【例题2】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（Ⅱ）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-，求a 的取值范围．【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、函数图像与性质等基础知识. 解答中的主 要问题在于题意的理解与问题的等价转化. 不能将条件“不等式)()(x g x f ≥的解集包含]1,1[-”等价转化为“不等式)()(x g x f ≥在]1,1[-上恒成立”的问题来处理，反映出学生对于解集的概念理解还不透彻，导致对“解集包含]1,1[-”的含义不理解.【例题3】（2017高考全国Ⅲ卷23）已知函数21)(--+=x x x f . （Ⅱ）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围.【解析】（Ⅱ）原式等价于存在x R ∈，使2()f x x x m -+≥成立，即2max [()]f x x x m -+≥ 设2()()g x f x x x =-+ 由已知得2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--<<⎨⎪-++≥⎩当1x ≤-时，22111()3()(1)524=-+-=---≤-=-g x x x x g ， 当21<<-x 时，22355()31()244=-+-=--+≤g x x x x ，当2≥x 时，1)2(413)21(3)(22=≤+--=++-=g x x x x g ， 综上述得45)(max =x g ，故m 的取值范围为]45,(-∞.【名师点睛】本题主要考查不等式解集的概念、绝对值的意义、二次函数区间上最值等基础知识. 解答中的主要问题还是在题意的理解与问题的等价转化. 错点一，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为max ()f x ≥)2f x x x m ≥-+解集非空，忽略了右边的代数式也是随着x 的变化而变化，左右两边的x 表示的是同一个数；错点二，将“不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空”等价转化为“min ()m g x ≤”，错在对“解集非空”的理解上. 所谓“解集非空”即存在x 使得不等式()2f x x x m ≥-+成立，等价于存在x 使得不等式212x x x x m +---+≥成立，等价于2max (12)x x x x m +---+≥即可. （三）不等式证明思路不清，无法迅速找到切合题意的证明方法. 【例题3】（2017高考全国Ⅱ卷23）已知2,0,033=+>>b a b a ，证明： （Ⅰ）4))((55≥++b a b a ； （Ⅱ）2≤+b a ．（Ⅱ）因为33223()33a b a a b ab b +=+++()()()()ab a b a b a b a b =+≤=+2323+3+3+2++244所以()3+8≤a b ，因此a+b ≤2.【名师点睛】本题主要考查证明不等式的基本方法、均值不等式及其应用. 难点在于寻找突破口，如何发现欲证不等式左边的代数式与已知条件之间的联系，从而迅速寻得解题思路. （四）知识掌握不到位，无法优选算法化简求解过程【例题4】（2014高考全国Ⅱ卷24）设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；【解析】法一：因为0a >，所以12,11(),112.x a x a a f x ax a aa x a x a a ⎧+-≥⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩法二：因为111x x a x a x a a a a++-=++-≥+，又0a >所以1()2f x a a≥+≥. 【名师点睛】法二根据绝对值不等式的性质直接证得结论，相比法一快捷明了.本题的主要问题在于对绝对值不等式的性质掌握不到位，导致无法快速求解. 【解决问题对策】（一）强化绝对值不等式的求解训练【指点迷津】高考全国卷从2007年起，除了2014年外每年都涉及绝对值不等式求解问题的考查，应加强这一方面的专项训练，让学生熟练掌握零点分段法解绝对值不等式的方法、步骤，做到既能正确分类，又能合理整合，准确快捷解答，同时注意引导学生对求解过程等价性的关注. 【例题5】（2007年高考全国课标卷24）设函数()214f x x x =+--． （I ）解不等式()2f x >；【解析】（Ⅰ）1521()334254x x f x x x x x ⎧---⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪+⎪⎩， ，， ，， ．≤≥当12x ≤-时，原不等式可化为52x -->，解得7x <-，此时原不等式的解是7x <-；当142x -<<时，原不等式可化为332x ->，解得53x >，此时原不等式的解是543x <<；当4x ≥时，原不等式可化为52x +>，解得3x >-，此时原不等式的解是4x ≥；综上可知，原不等式的解集为5(,7)(,)3-∞-+∞U（二）加强对不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”几种模型的识别及求解能力.【指点迷津】不等式“恒成立”、“能成立”、“恰成立”是高考的常见模型，解决问题的关键是对其进行恰当的等价转换，并借助函数与方程思想，数形结合思想，利用函数图象、函数最值等来解决问题.复习教学中可通过一题多变强化对上述各种模型的识别，掌握其解决方案.【例题6】(2017高考全国Ⅰ卷23）已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（II ）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求a 的取值范围．【变式一】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．若存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f xg x ≥成立，求a 的取值范围．【解析】存在]1,1[-∈x 使得不等式()()f x g x ≥成立，等价于存在]1,1[-∈x 使得不等式242x ax -++≥成立，即存在]1,1[-∈x 使得220x ax --≤，等价于]1,1[-∈x 时0)2(min 2≤--ax x . 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≤≤-0481212a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-->02112a a 或⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-<02112a a解得22≤≤-a 或2>a 或2-<a 所以满足条件的a 的取值范围是R .【变式二】已知函数()24f x x ax =-++，()11g x x x =++-．是否存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-，若存在，求a 的取值范围；若不存在说明理由．【解析】由242x ax -++≥的解集为[]1,1-，即220x ax --≤的解集为[]1,1-，得220x ax --=的两根为-1,1，即⎩⎨⎧=--=-+021021a a 方程无解，所以不存在实数a 的值，使得不等式()()f x g x ≥的解集为[]1,1-.（三）关注均值不等式、绝对值不等式性质的应用【指点迷津】均值不等式、绝对值不等式性质在求最值、证明不等式等方面都有很重要的作用. 应用均值不等式或绝对值不等式性质求最值时，均应注意等号成立的条件是否具备，仅当等号成立的条件具备时方可应用其求最值，这也是用均值不等式或绝对值不等式性质求最值的一个易错点，应提醒学生关注. 【例题7】（2014高考全国课标Ⅰ卷24)若,0,0>>b a 且ab ba =+11 （Ⅰ）求33b a +的最小值；（Ⅱ）是否存在b a ,,使得632=+b a ？并说明理由.（Ⅱ）由623a b =+≥32ab ≤，又由(Ⅰ)知2ab ≥，二者矛盾， 所以不存在,a b ,使得236a b +=成立. 【例题8】已知函数()21f x x =-，x R ∈. （Ⅰ）解不等式()1f x x <+； （Ⅱ）若对于x ，y R ∈，有113x y --≤，1216y +≤求证： ()1f x <.【解析】（Ⅰ）()1f x x <+等价于|21|1x x -<+，即210211x x x -⎧⎨-<+⎩≥或210121x x x -<⎧⎨-<+⎩求得02x <<，故不等式()1f x x <+的解集为(0,2)． （Ⅱ）1|1|3x y --≤Q ，1|21|6y +≤， ∴()|21|f x x =-=|2(1)(21)|x y y --++|2(1)||21|x y y --++≤112136⋅+<≤ 【新题好题训练】 1．设不等式的解集为.（Ⅰ）求集合； （Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】试题分析：试题解析： （Ⅰ）令，由得，解得．∴.（Ⅱ）由不等式，的，令，要使，则，整理得，∴，解得.∴实数的取值范围．点睛：（1）与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数，再求最值． （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．2．已知,a b R +∈且221a b +=．（1）求a b +的最大值M ；（2）若不等式32x t x x -≥-+-对任意22,1x M M ⎡⎤∈+⎣⎦成立，求实数t 的取值范围．【答案】见解析.试题解析：（12a b+≥，得a b +≤a b =取最大值，M ∴=（2）由（1）得[]2,3x ∈，∴()()32321x x x x -+-=--+-=． 故由题意得1x t -≥对[]2,3x ∈恒成立，1t x ∴≤-或1t x ≥+对[]2,3x ∈恒成立，∵当[]2,3x ∈时， ()min 11x -=， ()max 14x +=， ∴1t ≤或4t ≥故实数t 的取值范围][(),14,-∞⋃+∞为． 3．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x =+-，若x R ∀∈， ()f x λ≥成立，且*N λ∈. （1）求λ的值；（2）若,p q R ∈，且0p >， 0q >， 2p q λ+=，求112p q+的最小值. 【答案】（1）1λ=（2）4试题解析：（1）由()1f x x x =+-的最小值为1，根据()f x λ≥对x R ∀∈恒成立可知1λ≤，又∵*N λ∈则1λ=.（2）由（1）可知21p q +=，由()1111222p q p q p q ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 22242q p p q =++≥+=，当且仅当22q p p q =， 2p q =且21p q +=，即12p =， 14q =时112p q+有最小值为4.4．已知0,0,0a b c >>>.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4. (1)求a b c ++的值；(2)求111a b c++的最小值. 【答案】（1）4；（2）94.【解析】试题分析：（1）由()()()f x x a x b c a b c a b c ≥+--+=++=++,结合函数()f x 的最小值为4，即可得结果；(2)利用（1）的结论可得()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据基本不等式即可求得111a b c++的最小值. 试题解析：(1) ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++ , 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，()f x ∴的最小值为,4a b c a b c ++∴++=.(2)法一（基本不不等式处理理）：()1111111344a b c b a c a c b a b c a b c a b a c b c ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19344⎛≥+= ⎝. 当4,,3b ac a c b a b c a b a c b c ===⇒===.等号成立. 法二（柯⻄西不不等式处理理）： ()2111111994a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥=⇒++≥ ⎪⎝⎭. 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()224f x x x =-++. （1）解不等式： ()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 的最小值为a ，且(0,0)m n a m n +=>>，试求2018201810071007m n +++的最小值.【答案】(1) 12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)4试题解析：（1） ()224f x x x =-++32,2,{6,22, 32,2,x x x x x x --<-=+-≤≤+>可得当2x <-时， 3234x x --≥-+，即24-≥，所以无解；当22x -≤≤时， 634x x +≥-+，得12x ≥-，可得122x -≤≤； 当2x >时， 3234x +≥-+，得13x ≥，可得2x >. ∴不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭. （2）根据函数()32,2,{ 6,22,32,2,x x f x x x x x --<-=+-≤≤+>,可知当2x =-时，函数取得最小值()24f -=，可知4a =，4m n +=，∴100710072018m n +++=. ∴2018201810071007m n +++ 100710071007100710071007m n m n m n ++++++=+++ 10071007210071007n m m n ++=++++4≥=， 当且仅当2m n ==时，取得最小值为4.6．选修4-5：不等式选讲已知3a b c ++=，且,,a b c 都是正数.（1）求证： 11132a b b c c a ++≥+++； （2）是否存在实数m ，使得关于x 的不等式22222x mx a b c -++≤++对所有满足题设条件的正实数,,a b c 恒成立？如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）[]2,2m ∈-【解析】（1）第（1）问，利用基本不等式证明11132a b b c c a ++≥+++. (2)第（2）问，由题得22x mx -++≤，再转化成210x mx -+≥恒成立，求出m 的取值范围.试题解析：（1）因为3a b c ++=，且,,a b c 都是正数，所以()()()11111116a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ ()11333222662b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当1a b c ===时，取等号， 所以11132a b b c c a ++≥+++得证.7．已知不等式23x x a +≥－.（1）当0a =，解该不等式；（2）a 取何值时，该不等式成立.【答案】（1）1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）(],2a ∞∈-. 【解析】试题分析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.两边平方，通过一元二次不等式求解；(2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.由绝对值三角不等式可得()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤.即可得到a 的范围.试题解析：(1)当0a =时，原不等式为230x x +-≥.23x x +≥.22449x x x ++≥,2240x x --≤.1x 12-≤≤.∴该不等式的解集为1|12x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. (2)令()23F x x x =+-,依题意，得()max F x a ≥.()F x 2222222x x x x x x x =+--≤+--=-≤ .当且仅当0x =时，上述不等式等号同时成立.()2max F x ∴=.∴当(]a ,2∞∈-时，该不等式成立.8．已知()()2366f x x a a =-+-+. (1)解关于a 的不等式()10f >；(2)若不等式()f x b >的解集为()1,3-，求实数,a b 的值．【答案】（1）{|33a a -<<+；（2）3{3a b =±=-.试题解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－a <3＋∴原不等式的解集为{a |3－a <3＋(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于()61+3=3{ 613=3a ab ----⨯-解得3{3a b =±=-. 9．已知函数()3137f x x x =-++.（1）若不等式()23f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）设0,0a b >>，且3a b +=，求证：≤【答案】(1) 25a -≤≤；(2)证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．（2）利用基本不等式转化证明即可．10．已知函数.(1)求不等式的解集； (2)若函数的最小值记为，设,且有 证明：. 【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得不等式的解集；（2）由(1)可知函数的最小值为，即，，展开多项式，利用基本不等式可得结论.试题解析：(1) 求不等式等价于且；且；且，分别求解不等式组，再求并集即可得到满足不等式的解集为.(2)证明：由(1)可知函数的最小值为，即.所以,当且仅但时，等号成立，即所以得证.。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0， 解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷 若 ， 知足 x ＋ y ≤ 3， 则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析 由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此 ＋ ＝ ＋ 1 1 a b a b ＝ ＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝ ，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋ ＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则 ＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。
2018年高考数学分类汇编：专题14不等式选讲
《2018年高考数学分类汇编》第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a3.【2018全国三卷23】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b+参考答案解答题1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >． （2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解：（1）当时， 可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3.解：（1）的图像如图所示． 1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞U 13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．()y f x =y 233a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5。
2018年高考数学考试大纲解读专题15不等式选讲文版含答案
专题15 不等式选讲选考内容（二）不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：（1）a b a b .（2）a b a c c b .（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ;ax b c ax b c x a x b c .2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.（1）柯西不等式的向量形式：||||||.（2）22222()(+)()a b c d ac bd .（3）222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y .（此不等式通常称为平面三角不等式.）3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4．会用向量递归方法讨论排序不等式.5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等.2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等.3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注.考向一绝对值不等式的求解样题 1 （2017新课标全国Ⅰ文科）已知函数2–4()x ax f x ，11()x x g x ||||. （1）当a =1时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.所以a 的取值范围为[1,1].【名师点睛】形如||||x a x b c (或c )型的不等式主要有两种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值符号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a ，(,]a b ，(,)b (此处设a b )三个部分，将每部分去掉绝对值符号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)图像法：作出函数1||||y x a x b和2y c的图像，结合图像求解．考向二含绝对值不等式的恒成立问题样题 2 已知函数.(1)当时,求的解集;(2)若不等式对任意实数恒成立,求的取值范围.解得,故的取值范围是.样题 3 已知函数.(1)若不等式的解集为,求实数的值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.所以,解得或.考向三不等式的证明样题 4 已知函数的单调递增区间为.（1）求不等式的解集；（2）设，证明：.。
2018年高考数学分类汇编：专题十四不等式选讲
《2018年高考数学分类汇编》第十四篇：不等式选讲解答题1.【2018全国一卷23】已知()|1||1|f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.2.【2018全国二卷23】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．3.【2018全国三卷23】设函数．（1）画出的图像；（2）当，，求的最小值．4.【2018江苏卷21D 】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．()5|||2|f x x a x =-+--1a =()0f x ≥()1f x ≤a ()211f x x x =++-()y f x =[)0x +∞∈，()f x ax b +≤a b+参考答案解答题1.解： （1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a ≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．2.解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．3.解：（1）的图像如图所示．1a =24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩()0f x ≥{|23}x x -≤≤()1f x ≤|||2|4x a x ++-≥|||2||2|x a x a ++-≥+2x =()1f x ≤|2|4a +≥|2|4a +≥6a ≤-2a ≥a (,6][2,)-∞-+∞13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．4.证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．()y f x =y 233a ≥2b ≥()f x ax b ≤+[0,)+∞a b +5。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第六章不等式第1讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x ）＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是（ ）A.f (x ）＝g (x ）B.f (x )＞g （x )C.f （x ）＜g （x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x ）－g （x ）＝x 2－2x ＋2＝（x －1）2＋1＞0⇒f （x )＞g （x )。
答案 B2。
已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ,③a ＞0＞b ，④a ＞b＞0，能推出1a ＜1b成立的有（ ) A.1个 B 。
2个 C 。
3个 D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b,②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C 。
答案 C3。
（2017·宁波十校联考)若集合A ＝{x ｜3＋2x －x 2>0}，集合B ＝｛x |2x 〈2}，则A ∩B 等于（ ）A.(1,3） B 。
（－∞,－1)C。
（－1，1) D。
（－3，1）解析依题意，可求得A＝（－1，3），B＝（－∞，1），∴A∩B ＝（－1,1）。
答案C4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( )A.｛a|0＜a＜4} B。
｛a|0≤a＜4}C。
{a｜0＜a≤4} D.{a｜0≤a≤4｝解析由题意知a＝0时，满足条件。
a≠0时，由错误!得0＜a≤4，所以0≤a≤4。
答案D5。
已知函数f(x）＝－x2＋ax＋b2－b＋1（a∈R，b∈R）,对任意实数x都有f（1－x）＝f（1＋x）成立,若当x∈时,f（x)＞0恒成立,则b的取值范围是（）A。
(－1，0） B.（2，＋∞)C.(－∞,－1）∪（2，＋∞）D.不能确定解析由f(1－x）＝f(1＋x）知f（x）的图象关于直线x＝1对称，即错误!＝1，解得a＝2。
又因为f（x)开口向下,所以当x∈时，f（x）为增函数，所以f（x）min＝f（－1）＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f（x）＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第六章不等式第2讲含答案
基础巩固题组(建议用时：30分钟）一、选择题1.不等式（x－2y＋1）(x＋y－3）≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示）,应是下列图形中的( ）解析法一不等式（x－2y＋1)（x＋y－3)≤0等价于错误!或错误!画出对应的平面区域，可知C正确.法二结合图形，由于点(0，0）和(0，4)都适合原不等式，所以点（0,0）和（0,4）必在区域内，故选C.答案C2。
不等式组错误!所表示的平面区域的面积为（）A.1B.错误!C。
错误! D.错误!解析作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知x B＝1,x C＝2。
由错误!得y D＝错误!,所以S△BCD＝错误!×（x C－x B)×错误!＝错误!.答案D3.（2017·湖州市统检)不等式组错误!的解集记为D，若（a，b)∈D，则z＝2a－3b的最小值是( ）A.－4B.－1C.1D.4解析画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当a＝－2,b＝0，z＝2a－3b取得最小值－4.答案A4.（2016·浙江卷)若平面区域错误!夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示阴影部分,由错误!解得A（1，2）,由错误!解得B(2，1）.由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即｜AB ｜＝错误!＝错误!.答案 B5.x ，y 满足约束条件错误!若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B 。
2或错误! C 。
2或1 D.2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a ＞0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则a ＝2;当a ＜0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.答案 D6。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第六章不等式第3讲含答案
基础巩固题组(建议用时：30分钟）一、选择题1。
下列不等式一定成立的是（)A.lg错误!>lg x(x>0）B。
sin x＋错误!≥2（x≠kπ，k∈Z）C。
x2＋1≥2｜x｜（x∈R) D.错误!＜1(x∈R）解析当x＞0时，x2＋错误!≥2·x·错误!＝x，所以lg错误!≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有错误!＝1,故选项D 不正确.答案C2。
若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )A. B.C。
解析2错误!≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤错误!,即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2。
答案D3。
(2017·浙江省名校协作体联考)若a,b都是正数，则错误!·错误!的最小值为( )A.7B.8 C。
9 D.10解析∵a，b都是正数,∴错误!错误!＝5＋错误!＋错误!≥5＋2错误!＝9，当且仅当b＝2a〉0时取等号。
故选C.答案C4.若a>0,b〉0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )A。
错误!≤错误! B.错误!＋错误!≤1C。
ab≥2 D。
a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2错误!(当且仅当a＝b时，等号成立)，即错误!≤2，ab≤4,错误!≥错误!,选项A，C不成立;错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥1,选项B不成立；a2＋b2＝（a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立。
答案D5。
（2015·湖南卷)若实数a，b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为( ）A。
2 B.2 C.2错误!D。
4解析依题意知a＞0，b＞0，则错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!，即b＝2a时,“＝"成立.因为错误!＋错误!＝错误!，所以错误!≥错误!，即ab≥2错误!,所以ab的最小值为2错误!，故选C。
2018版高考数学(浙江专用文理通用)大一轮复习讲义：第六章不等式第4讲含答案
基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1.不等式|x－5|＋｜x＋3｜≥10的解集是( )A。
B。
C.(－∞，－5]∪∪∪∪8。
（2017·金华调研)已知不等式｜x＋1|－|x－3｜〉a。
（1)若不等式有解，则实数a的取值范围为________.(2)若不等式的解集为R，则实数a的取值范围为________.解析由｜|x＋1｜－|x－3|｜≤｜x＋1－（x－3)|＝4.可得－4≤｜x＋1｜－｜x－3｜≤4。
(1)若不等式有解，则a〈4；(2)若不等式的解集为R，则a〈－4。
答案（1)(－∞,4）(2)（－∞，－4)三、解答题9。
设函数f(x)＝｜2x＋1|－|x－4|。
（1)解不等式f(x）＞2；(2)求函数y＝f(x)的最小值.解（1）法一令2x＋1＝0,x－4＝0分别得x＝－错误!，x＝4.原不等式可化为:错误!或错误!或错误!即错误!或错误!或错误!∴x＜－7或x＞错误!.∴原不等式的解集为错误!.法二f（x）＝|2x＋1｜－｜x－4|＝错误!画出f（x)的图象，如图所示。
求得y＝2与f（x）图象的交点为(－7,2），错误!。
由图象知f（x)＞2的解集为错误!.(2）由（1）的法二图象知:当x＝－错误!时，知：f(x）min＝－错误!.10。
已知函数f（x)＝|2x－a｜＋|2x＋3|，g(x）＝|x－1|＋2。
（1)解不等式：|g(x)｜＜5；(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g（x2)成立，求实数a的取值范围。
解（1）由｜|x－1|＋2｜＜5，得－5＜|x－1｜＋2＜5,所以－7＜|x－1|＜3，解不等式得－2＜x＜4，所以原不等式的解集是｛x|－2＜x＜4｝.(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R,使得f（x1）＝g（x2)成立，所以{y|y＝f(x)｝⊆{y|y＝g(x)｝，又f（x)＝|2x－a|＋｜2x＋3|≥｜2x－a－(2x＋3）｜＝|a＋3｜，g （x)＝｜x－1｜＋2≥2，所以|a＋3｜≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是｛a｜a≥－1或a≤－5｝.能力提升题组（建议用时：25分钟)11.(2016·天津卷）已知f（x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增,若实数a满足f(2｜a－1｜）〉f（－错误!），则a的取值范围是（）A.错误!B。
2018年高考数学提分专练：第23题 不等式选讲(选考题)
2018年高考数学提分专练：第23题不等式选讲（选考题）一、解答题(共12题；共120分)1．（10分）已知函数f(x)=|x−2|+|2x+1|．（1）（5分）解不等式f(x)>5；（2）（5分）若关于x的方程1f(x)−4=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x+3|−|m−x|（m∈R）．（1）（5分）当m=2时，求不等式f(x)≥3的解集；（2）（5分）若不等式f(x)≤6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．3．（10分）已知函数f(x)=|x−2|.（1）（5分）求不等式f(x)+f(2+x)≤4的解集；（2）（5分）若g(x)=f(x)−f(2+x)的最大值为m，对任意不想等的正实数a,b，证明：af(b)+bf(a)≥m|a−b|.4．（10分）已知函数f(x)=k−|x−4|，x∈R，且f(x+4)≥0的解集为[−1，1].（1）（5分）求k的值；（2）（5分）若a，b，c是正实数，且1ka+12kb+13kc=1，求证：19a+29b+39c≥1. 5．（10分）已知f(x)=|x+a|（a∈R）．（1）（5分）若f(x)≥|2x+3|的解集为[−3，−1]，求a的值；（2）（5分）若对任意x∈R，不等式f(x)+|x−a|≥a2−2a恒成立，求实数a的取值范围．6．（10分）设函数f(x)=|x−1|，g(x)=|x−2|．（1）（5分）解不等式f(x)+g(x)<2；（2）（5分）对于实数x，y，若f(x)≤1，g(y)≤1，求证：|x−2y+1|≤5．7．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x−1|．（1）（5分）若不等式f(x+12)≤2m+1(m>0)的解集为[−2,2]，求实数m的值；（2）（5分）若不等式f(x)≤2y+a2y+|2x+3|，对任意的实数x,y∈R恒成立，求实数a的最小值．8．（10分）选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|x−1|+|x+3|.（1）（5分）求不等式f(x)≤4的解集M；（2）（5分）若a,b∈M，证明：(a2+2a−3)(b2+2b−3)≥0.9．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x+1|．（1）（5分）求不等式f(x)≤10−|x−3|的解集；（2）（5分）若正数m，n满足m+2n=mn，求证：f(m)+f(−2n)≥16．10．（10分）已知函数f（x）=|x+1|+|m﹣x|（其中m∈R）．（Ⅰ）当m=3时，求不等式f（x）≥6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥8对任意实数x恒成立，求m的取值范围．11．（10分）已知函数f（x）=|x|+|x+1|．（1）（5分）解关于x的不等式f（x）＞3；（2）（5分）若∀x∈R，使得m2+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．12．（10分）选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+2|+|2x﹣4|（1）（5分）求f（x）＜6的解集；（2）（5分）若关于x的不等式f（x）≥m2﹣3m的解集是R，求m的取值范围．二、真题演练(共3题；共30分)13．（10分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）（5分）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）（5分）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．14．（10分）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．15．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．答案解析部分1．【答案】（1）解：解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣12＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣12时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣43，故不等式的解集是（﹣∞，﹣43）∪（2，+∞）（2）解：f（x）=|x﹣2|+|2x+1|={3x+1，x≥2x+3，−12<x<2−3x+1，x≤12，故f（x）的最小值是52，所以函数f（x）的值域为[ 52，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣32，+∞），进而1f(x)−4的取值范围是（﹣∞，﹣23]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程1f(x)−4=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣23，0]【解析】【分析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，分类讨论求得原不等式解集．|x-a|+|x-b|≥c（c ＞0）和|x-a|+|x-b|≤c（c＞0）型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．（Ⅱ）由分段函数可得f（x）的单调性，得函数f（x）的值域．再根据关于x的方程的解集为空集，求得实数a的取值范围．2．【答案】（1）解：当m=2时，f(x)≥3，即|x+3|−|2−x|≥3，①当x<−3时，得−5≥3，所以x∈∅；②当−3≤x≤2时，得x+3+x−2≥3，即x≥1，所以1≤x≤2；③当x>2时，得5≥3，成立，所以x>2．故不等式f(x)≥3的解集为{x|x≥1}（2）解：因为|x+3|−|m−x|≤|x+3+m−x|=|m+3|，由题意得|m+3|≤6，则−6≤m+3≤6，解得−9≤m≤3，故 m 的取值范围是 [−9，3]【解析】【分析】（1）当m=2时，f （x ）≥3，即 | x + 3 | − | 2 − x | ≥ 3，通过讨论x 的范围，从而求得不等式f （x ）≥3的解集；（2）由绝对值不等式的性质求得f （x ）的最大值为|m+3|，由题意得|m+3|≤6，由此求得m 的范围．3．【答案】（1）解：不等式 f(x)+f(2+x)≤4 ，即 |x −2|+|x|≤4 ，此不等式等价于 {x ≤0,2−x −x ≤4, 或 {0<x ≤2,2−x +x ≤4, 或 {x >2,x −2+x ≤4.解得 −1≤x ≤0 ，或 0<x ≤2 ，或 2<x ≤3 .所以不等式 f(x)+f(2+x)≤4 的解集为 {x|−1≤x ≤3} .（2）解： f(x)=f(x)−f(2+x)=|x −2|−|x| ，因为 |x −2|−|x|≤|(x −2)−x|=2 ，当且仅当 x ≤0 时，取等号，所以 g(x)≤2 ，即 m =2 ，因为 a,b 为正实数，所以 af(b)+bf(a)=a|b −2|+b|a −2|=|ab −2a|+|ab −2b|≥|(ab −2a)−(ab −2b)|=2|a −b|=m|a −b| 当且仅当 (b −2)(a −2)≤0 时，取等号.即 af(b)+bf(a)≥m|(a −b)| .【解析】【分析】(1) 根据题意去绝对值符号得到关于x 的不等式组，解出x 的取值范围即可。
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2018届高三理科数学不等式选讲新题好题专题汇编
【新题好题提升能力】
1. 已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；
(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b a .
(1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.
当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.
综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞). (2)证明 要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a ，
只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2
＞(b －a )2
.
而(ab －1)2
－(b －a )2
＝a 2b 2
－a 2
－b 2
＋1＝(a 2
－1)·(b 2
－1)＞0，从而原不等式成立. 2.已知函数，
，若
恒成立，实数的最大值为．
（）求实数．
（）已知实数、、满足，且
的最大值是
，求的值．
【答案】（1）
（2）
3 设函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
（2），转化为
令，
，
时，,
令得
4.已知函数.
(1)当时，求的解集；
(2)若，当，且时，，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2).
当时，
所以可化为
又的最大值必为、之一
即即
又所以所以取值范围为
5. 已知.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)对于任意实数，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2).
（2）对于任意实数，不等式成立，即恒成立，
又因为，
要使原不等式恒成立，则只需，
当时，无解；当时，，解得；
当时，，解得.
所以实数的取值范围是.
6.已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）讨论x的范围，去掉绝对值，转化为二次不等式问题；
（2）不等式在上恒成立，在上恒成立，转求函数的最值即可.
试题解析：
(1)不等式等价于，①
当时，①式化为，
解得或
；
当时，①式化为，
解得
，
综上所述，不等式的解集为
.
(2)不等式
在上恒成立，
在
上恒成立，
在上恒成立，
在
上恒成立，
由(当且仅当时取等号)，
(当且仅当
时取等号)，
所以，
综上所述，的取值范围是.
7.已知,,x y z 均为实数.
（1）求证：4
3
2
122x x x +≥+；
（2）若236x y z ++=，求222x y z ++的最小值. 【答案】（1）见解析（2）见解析
()()
3=1221x x x x --+-
()()
()2
1211x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦
()()
2
21221x x x =-++
()2
2
1112022x x ⎡⎤
⎛⎫=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以432
122x x x +≥+.
法二：
()
43212)2x x x +-+（ 43242221x x x x x =-++-+ ()()
2
2
2
2
110x x x =-⋅+-≥，
所以432
122x x x +≥+.
（2）证明：因为623x y z =++≤由柯西不等式得）
所以2
2
2
18
7
x y z ++≥， 当且仅当23y z x =
=即369,,777x y z ===时，222x y z ++有最小值187
. 8. 已知0a >，0b >，且22
2a b +=.
(1)若
22
14211x x a b +≥---恒成立，求x 的取值范围；
(2)证明：()
55
114a b a b ⎛⎫++≥
⎪⎝⎭
. 【答案】（1）99
{|}22
x x -
≤≤；（2）见解析.
(2)()
55
11a b a b ⎛⎫++
⎪⎝
⎭ 55
4
4
b a a b a b
=+++
(
)
55
2
22
222b a a b
a b a b
=+++- (
)
()
2
2
22
2222
24a b
a b a b ≥++=+=.
另解：
由柯西不等式，可得(
)()
22
22552
5522
22114a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++=++≥+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
.
9.设函数()()41f x m x =-，()1,1x ∈-. （1）当1m =时，解不等式()2f x <；
（2）当[]
1,1m ∈-时，证明：
()
2415
f x x
+≤.
【答案】(1)1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）见解析. 【解析】【试题分析】（1）当2m =时，利用绝对值不等式的解法：小于在中间，可求得x 的解集.（2）化简原不等式得(
)
2
5
14
m x x -+≤.利用绝对值不等式可将上式左边的绝对值去掉，然后利用二次函数配方法来证得最大值为
54
.
10. 已知a 是常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-恒成立. （1）求a 的取值集合； （2）设0m n >>，求证：22
1
222m a n m mn n
+≥+-+． 【答案】(1) {}3 (2) 见解析
【解析】试题分析:（1）根据绝对值三角不等式求最值，即得a 的取值集合；（2）先变形，将不等式左边转化为三个正数的和，再根据均值不等式证得结果 试题解析：（1）()()12123x x x x ---≤-+-=
()()12123x x x x ++-≥++-=。