人教版高中数学《二项式定理》教学课件 全国一等奖
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二项式定理ppt课件

1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
点击进入
课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项
[例 1] ( -
10
) 的展开式中,所有的有理项为
.
解析:二项展开式的通项为
-
Tk+1= (- ) .
-
由题意知
令
∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-
=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
8
答案:1
2 6
8
4
4
课堂探究·素养培育
6
6
人教版高中数学选修2-3二项式定理 (共16张PPT)教育课件

人
的
一
生
说
白
了
,
也
就
是
三
万
余
天
,
贫
穷
与
富
贵
,
都
是
一
种
生
活
境
遇
。
懂
得
爱
自
己
的
人
,
对
生
活
从
来
就
没
有
过
高
的
奢
望
,
只
是
对
生
存
的
现
状
欣
然
接
受
。
漠
漠
红
尘
,
芸
芸
众
生
皆
是
客
,
时
光
深
处
,
流
年
似
水
,
转
瞬
间
,
光
阴
就
会
老
去
,
留
在
心
头
的
,
只
是
弥
留
在
时
光
深
处
的
无
边
落
寞
。
轻
拥
沧
桑
,
淡
看
流
年
,
掬
一
捧
岁
月
,
握
一
份
懂
得
,
红
尘
口
罗
不
–■
① 项: a 3
a 2b ab 2 b 3
a3kbk
《二项式定理》课件

详细讲解证明二项式定理的思路。
3
关键步骤
介绍证明过程中的理解
通过具体的例子加深对二项式定理的理解。
3 应用场景
介绍二项式定理在实际问题中的应用场景。
2 二项式系数计算
介绍如何计算二项式系数。
拓展应用
单项式展开
讨论二项式定理在单项式展开 中的应用。
多项式展开
讨论二项式定理在多项式展开 中的应用。
《二项式定理》PPT课件
概述
• 二项式定理是数学中的一个重要定理。 • 本节将介绍二项式定理的概念及其历史背景。
公式表达
正式表达式
二项式定理的数学公式形式。
常见的形式
常见形式的二项式定理示例。
组合意义的解释
解释二项式定理中组合的概念。
数学证明
1
数学归纳法的证明
使用数学归纳法证明二项式定理。
2
阐述思路
字母代数式应用
介绍二项式定理在字母代数式 中的应用。
总结
• 介绍二项式定理的重要作用。 • 分享学习的心得体验。 • 推广与应用二项式定理相关的知识。
6.3.1二项式定理PPT课件(人教版)

①
①式中的每一项都含有82这个因数,故原式能被64整除.
反思 感悟
利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题,通常需将底 数化成两数的和与差的情势,且这种转化情势与除数有密切 的关系.
跟踪训练4 (1)已知n∈N*,求证:1+2+22+…+25n-1能被31整除.
证明 1+2+22+23+…+25n-1=11--225n=25n-1=32n-1=(31+1)n-1 =31n+C1n×31n-1+…+Cnn-1×31+1-1=31×(31n-1+C1n×31n-2+… +Cnn-1), 显然括号内的数为正整数,故原式能被31整除.
反思 感悟
求多项式积的特定项的方法——“双通法”
所 谓 的 “ 双 通 法 ” 是 根 据 多 项 式 与 多 项 式 的 乘 法 法 则 得 到 (a + bx)n(s+tx)m 的展开式中一般项为:Tk+1·Tr+1=Cknan-k(bx)k·Crmsm-r(tx)r,再 依据题目中对指数的特殊要求,确定 r 与 k 所满足的条件,进而求 出 r,k 的取值情况.
跟踪训练 2
在2
x-
1
6
x
的展开式中,求:
(1)第3项的二项式系数及系数;
解 第 3 项的二项式系数为 C26=15,
又 T3=C26(2
x)4-
1x2=240x,
所以第3项的系数为240.
(2)含x2的项.
解
Tk+1=Ck6(2
x)6-k-
1xk=(-1)k26-kCk6x3-k,
令3-k=2,解得k=1,
(2)(1+2x)3(1-x)4的展开式中,含x项的系数为
A.10
B.-10
√C.2
D.-2
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文

展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1(2)中,请思考: ①展开式中的第3项的系数为多少? ②展开式中的第3项的二项式系数为多少? ③你能直接求展开式的第3项吗?
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗?
解:④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数: 展开式共有n+1项.
②次数: 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列,由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列,由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式; x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项:Tk1 Cnk ankbk
思想方法:
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业: 课本36页习题1.3A组第2,4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
二项式定理课件(公开课)

b4 都 不 取 b 取 一 个 b 取 两 个 b 取 三 个 b 取 四 个 b
系数
C0 4
C1 4
2 C4
C3 4
C4 4
(a+b)4 = C40 a4 +C41 a3b +C42 a2b2 +C43 ab3 +C44 b4
归纳提高 将(a + b) n展开的结果又是怎样呢? 发现规律 (a b)( a b) (a b) n 对于(a+b) =
问题一: 的展开式共 有多少项?为什么?每一项是怎么构成的?
共 2 2 2 8 项
问题二 :
若 , 式中又是什么? ,则展开
(a+b)3 = C30a3 + C31a2b + C32ab2 + C33 b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
问题三:
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)=? 问题:
1 4 例1:展开(1+ ) x
x 系数和第六项的系数.
例二:展开 (2 x
1
) ,并求x 1) 解: ( 2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 [(2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x 3 3 4 2 5 1 6 0 C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) ]
n个
的展开式中an-rbr的系数是在n个括号中,恰有r 个括号中取b(其余括号中取a)的组合数 Cnr.那 么,我们能不能写出(a+b)n的展开式? 引出定理,总结特征 (a+b)n = Cn0an + Cn1an-1b + Cn2an-2b2 +
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)

其展开式的第k+1项为Tk+1=Ck4(x2+x)4-kyk,
因为要求x3y2的系数,所以k=2, 所以T3=C24(x2+x)4-2y2=6(x2+x)2y2. 因为(x2+x)2的展开式中x3的系数为2, 所以x3y2的系数是6×2=12.
法二 (x2+x+y)4表示4个因式x2+x+y的乘积,在 这4个因式中,有2个因式选y,其余的2个因式中有一个 选x,剩下的一个选x2,即可得到含x3y2的项,故x3y2的系 数是C24·C12·C11=12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题, 只需依据二项展开式的通项,从每一项中分别得到特定 的项,再求和即可.
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x-3) 1+1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A.-73 B.-61 C.-55 D.-63 (2)已知(x-1)(ax+1)6的展开式中含x2项的系数为0, 则正实数a=________. 解析:(1)(2x-3)1+1x6的展开式中所有项的系数和为 (2-3)(1+1)6=-64,(2x-3)1+1x6=
为( )
A.-1
B.1
C.32
解析:由题意可得CC6162aa54bb=2=-13158,,
D.64
解得ab==1-,3,或ab==-3. 1,则(ax+b)6=(x-3)6, 令x=1得展开式中所有项的系数和为(-2)6=64,故选D. 答案:D
2.(2020·包头模拟)已知(2x-1)5=a5x5+a4x4+a3x3+
[例2] (1)若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5,则|a0|-|a1|+|a2|-|a3|+|a4|-|a5|=( )
二项式定理课件ppt

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ,例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理,我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开,从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数,我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中,C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ,它具有与组合数相同的性 质,例如
1. 对称性:对于任何自然数n ,C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性:C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式:C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现,用于解决一些特殊的数学问题。
之后,许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广,使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础,可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中,二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上,通过解决 一些相对复杂的进阶题目,帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式,进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣
人教课标版《二项式定理》PPT精品课件1

1.5二项式定理
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项?各项系数 各是什么?
(a b)4
展开式中有哪些项?各项系数各 是什么?
问题
(a b)n
展开式中有哪些项?各项系数各 是什么?
(a+b)2 =a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)2 = ( a + b ) ( a + b ) =a2+2ab+b2
an-rbr+…+
Cnnbn
二项式定理
(a+b)n=(a+b) (a+b) (a+b) …… (a+b)
=C0nan+C1n an-1b+C2n an-2b2+ C3nan-3b3+…+ C rnrnann--rrbrr+…+ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,展开式共有n+1项.
x
Tr+1= C1r0 (3x2)10-r(-
1 x
)r
=C
r 10
·
310-
r·
x20- 2r·
(-1)r ·x-2r
=
(-1)r ·
310- r·Cr10
·
x20-
5r 2
令
20-
5r 2
=0
∴r=8 r∈N
∴ (3x2-1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 P32 : 1、2、3、 4、5、6、
a2 ab ab b2 (a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b ) =a3+3a2b+3ab2+b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =C03 a3+ C13a2b+ C23ab2+C33 b3
问题:
(ab)2和(ab)3
展开式中各有哪些项?各项系数 各是什么?
(a b)4
展开式中有哪些项?各项系数各 是什么?
问题
(a b)n
展开式中有哪些项?各项系数各 是什么?
(a+b)2 =a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)2 = ( a + b ) ( a + b ) =a2+2ab+b2
an-rbr+…+
Cnnbn
二项式定理
(a+b)n=(a+b) (a+b) (a+b) …… (a+b)
=C0nan+C1n an-1b+C2n an-2b2+ C3nan-3b3+…+ C rnrnann--rrbrr+…+ Cnnbn
其右端的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,展开式共有n+1项.
x
Tr+1= C1r0 (3x2)10-r(-
1 x
)r
=C
r 10
·
310-
r·
x20- 2r·
(-1)r ·x-2r
=
(-1)r ·
310- r·Cr10
·
x20-
5r 2
令
20-
5r 2
=0
∴r=8 r∈N
∴ (3x2-1 )10 的展开式中第9项为常数项。
x
练习 P32 : 1、2、3、 4、5、6、
a2 ab ab b2 (a+b)3=( a+b )( a+b )( a+b ) =a3+3a2b+3ab2+b3
C03a3 C13a2b C23ab2 C33 b3
共有四项
(a+b)2 =a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =C03 a3+ C13a2b+ C23ab2+C33 b3
6.3.1 《二项式定理》课件ppt

2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
2 6
C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +C8 (2x ) ·(3 ) -8 (2x ) ·(3 ) +8 (2x ) ·(3 ) -C8
项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有
关.
微判断
(1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(
)
答案 ×
解析 二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等,只有当a,b的系数
都为1时两者相等.
(2)(x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.(
答案 √
解析 (x-1)5的展开式中x4项的系数为-5.
3
Tk+1=C ·( √ )n-k· -
1
2 3√
=
1
C ·( 3 )n-k·
1
1 - · 3
2
∵第 6 项为常数项,∴k=5,且 n-5×2=0,∴n=10.
10-2
1
(2)由(1)知 Tk+1= - 2 ·C10
· 3 .
10-2
令
=2,则 k=2.
3
2
1
1
45
2
因为含 x3 的项是展开式中的第 4 项,所以二项式系数为C93 =84.
探究三
利用二项式定理解决整除和余数问题
例3试判断7777-1能否被19整除.
思路分析由于76是19的倍数,因此可将7777转化为(76+1)77,并用二项式定
理展开.
解 7777-1=(76+1)77-1
1
2
76
77
=7677+C77
2
人教版数学选择性必修三6.3.1二项式定理课件

2
5
8
10
(-3)2x2,10
(-3)5,10
(-3)8x-2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8-4
T5=8 ·(2x ) ·− 3
提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
问题2:上述两个等式的右侧有何特点?
提示:(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;
(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4.
问题3:你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
3
为有理数
k能被2整除,且20-k能被3整除
0≤k≤20
k=2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A,则A=_______.
-10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
=0,得k=3,
所以A=-53 =-10.
=
5
−1
5 5
−
5
8
10
(-3)2x2,10
(-3)5,10
(-3)8x-2.
10−2
3
典例精析
题
型
三
求
二
项
式
系
数
与
项
的
系
数
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开式中,求:
(1)第5项的二项式系数及第5项的系数;
(2)倒数第3项.
利用通项公式求解
例3
在
2 2
1
−3
8
的展开
(1)
1 4
4
2
8-4
T5=8 ·(2x ) ·− 3
提示:(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
问题2:上述两个等式的右侧有何特点?
提示:(a+b)3的展开式有4项,每项的次数是3;
(a+b)4的展开式有5项,每一项的次数为4.
问题3:你能用组合的观点说明(a+b)4是如何展开的吗?
3
为有理数
k能被2整除,且20-k能被3整除
0≤k≤20
k=2,8,14,20
例2
(2)设二项式
1
−3
5
的展开式中常
数项为A,则A=_______.
-10
+1 =
5
令
2
5
5
−
6
5−
1
−3
=0,得k=3,
所以A=-53 =-10.
=
5
−1
5 5
−
二项式定理一等奖完整ppt课件

在数学中的地位和作用
二项式定理是组合数学中的基本定理之一,它描述了两个向量的和的n次幂的展 开式。
在组合数学中,二项式定理被广泛应用于排列、组合、概率论等领域。同时,它 也是多项式定理的基础之一。
03
二项式定理的证明方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 数学归纳法
数学归纳法是一种证明二项式定理的有效方法。首先,我们需要证明当n=1时,二项式定理成立。然 后,假设当n=k时,二项式定理成立,再证明当n=k+1时,二项式定理也成立。通过这个递推关系, 我们可以得出结论:当n为任意正整数时,二项式定理都成立。
二项式系数的应用
举例说明二项式系数在解决实际问题中的应用,如概率计算、统计 学等。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和影响
重要的数学工具
二项式定理是数学中重要的工具 之一,在代数学、数论、组合数
学等学科中都有广泛的应用。
解决问题的关键
二项式定理可以解决一些经典的 数学问题,如组合问题、概率问 题等,为人们提供了重要的解题
思路和方法。
对其他学科的影响
二项式定理不仅在数学学科中有 重要的地位,还对其他学科如物 理学、工程学、计算机科学等产
生了深远的影响。
与其他数学分支的联系和相互渗透
01
与代数学的联系
二项式定理与代数学中的多项式理论密切相关,可以看作是多项式的一
种推广和应用。
02
与组合数学的相互渗透
二项式定理与组合数学有着密切的联系,它可以用来解决一些组合问题
数学归纳法的关键步骤是:第一步,证明基础情况(n=1)成立;第二步,假设归纳基础(n=k)成 立,并由此推断归纳步骤(n=k+1)成立。第三步,根据归纳步骤得出结论,证明二项式定理对所有 正整数n都成立。
二项式定理获奖课件

变形 1 x px2 10 的展开式中x4的系数最小,求p
变形
2x-
1 x
n
的展开式中含
1 x2
的系数与含
1 x4
的系数比
为 5,求n?
变形 f x 1 2xm 1 3xn 的展开式中x
的系数为13,求x2的系数?
5。求
x 2
1 x
5
2
的展开式中的常数项?
变形
4x2 2x 5
③展开式中旳有理项C10
1 2
C
1 n
1 3
C
2 n
n
1
1
Cnn
31 n1
求 1 x 2n 的展开式中系数最大的项?
Tr 1
C9r
( x )9r 3
(
3 )r x
C9r
32r9
9 3 r
x2
( x 2 )5 2x
求:有理项 第四项 第三项旳系数
1.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4。 2.化简 (x 1)4 4(x 1)3 6(x 1)2 4(x 1) 1 x4.
4。求 1+x+x2 8 的展开式中x5的系数
变形求 1+2x-3x2 5 的展开式中x5的系数
变形求 x y 2z7 的展开式中x2y3z2项的系数
变形求 1 x3 1 x10 的展开式中x5的系数
变形求 2 x 2 1 x5 的展开式中x3的系数
变形求 1 x3 1 x4 1 x20 的x3的系数
二项展开式各项旳系数 不同于二项式系数
(1
x)n
1
C
1 n
x
C
2 n
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k
个
b,有
C
k n
种;
……
b
n
项是从
n
个因式中都取
b,有
C
n n
种.
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n k a n k b k C n n b n ( n N * )
( a b ) n C n 0 a n C 1 n a n 1 b C k n a n k b k C n n b n ( n N * )
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab ab ab
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a4
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b ) a 3b a 3b a 3b a 3b
注意 某项的二项式系数与该项的系数的区别
练习: 求 ( x 1 ) 9的展开式中 x 3 的系数. x
解:
T k1C 9 kx9k(1 x)k= (1)kC 9 kx92k
令 9 2k 3 ,可得 k 3
所以
x3
的系数是
(
1)3
C
3 9
84
.
回顾总结
二项式定理,通项,二项式系数;
由特殊到一般;观察、归纳、类比、 猜想、证明.
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab ab ab ab aaaa aaab aab b ab b b
bbbb
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)n (1a4b4)(4a42b)4L4(a443b)
n
展开式的每一项都是从这 n 个因
aaaababbbba各式aa项中ab是各ab取关bb一于ba个aaa字,abb母a的b相bnb乘ab次a得a单到ab项.ab式bbbaaaababbbb
问题4:请写出 (a b)n 的展开式.
(ab)n( a b ) a ( b ) (a b)
证明: (项的系数)
n
a
n
项是从
n
个因式中都不取
b,有
C
0 n
种;
a
n1b
项是从
n
个因式中取
1
个
b,有
C
1 n
种;
a b n2 2
项是从
n
个因式中取
2
个
b,有
C
2 n
种;
……
a nk bk
项是从
n
个因式中取
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
a3 a2b ab2 b3 字母相乘得到.
各项是关于 a, b 的三次单项式
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab ab ab
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(12x)5 C 5 0C 5 1( 2x)C 5 2( 2x)2C 5 3( 2x)3C 5 4( 2x)4C 5 5( 2x)5 110x40x280x380x432x5
例2:求 ( x 1)10展开式中第6项的二项式系数.
解:
二项式系数为
C
5 10
=
2
5
2
.
求展开式第6项的系数. T 6 C 1 5 0 x 1 0 5 ( 1 )5 2 5 2 x 5 所以系数为-252.
艾萨克·牛顿 Isaac Newton (1643—1727) 英国科学 家.他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一 位物理学家、天文学家,还是一位伟大的数学家.
(a b)2 a22abb2
(a b)3 a33 a2b3 a b2b3 (a b)4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2:展开式中各项是如何得到的?
( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
展开式的每一项都是从 这四个因式中各取一个
a4 a3b a2b2 ab3 b4 字母相乘得到.
各项是关于 a, b 的四次单项式
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到.
b3 1个b3
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
aa3b4 4个1个a3ab4
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)2 a22abb2
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到.
a2b
a2b
a2b
3个a2b
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个
字母相乘得到.
ab2 ab2
ab2
3个ab2
(1)展开式共有n+1项. (2)各项的次数都等于二项式的次数n;
字母a按降幂排列,次数由n递减到0; 字母b按升幂排列,次数由0递增到n. (3)二项展开式的通项:
Tk1Cn kankbk 其 中 k { 0 ,1 ,L ,n }
(4)二项展开式中,系数 C n k(k0,1,,n)叫作二项式系 数,即 C n 0,C 1 n,C n 2,,C n n
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
a2b
a2b
a2b
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
ab2
ab2
ab2
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
b3
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)3 a33 a2b3 a b2b3
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a2b2 C 462 个a2b2
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)4
( a b ) ( a b ) ( a b ) ( a b )
a4
a3b
a2b2
M
(a b)9
M
? (a b)n
问题1:归纳猜想 (a b)n 的展开式有什么规律?
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2:展开式中各项是如何得到的?
二项式定理
( a b ) n C n 0 a n C n 1 a n 1 b L C n k a n k b k L C n n b n n N
(1 x )n 1 C n 1 x L C n k x k L x n
例1: 求 (1 2 x)5 的展开式. 解:
课下作业
一、P36: 1~3
二、1.求 ( x 3 )12 的展开式的中间一项; 3x
2.求 (1
1 )10 2x
展开式中含
1 x5
的项的系数.
思维延伸:
探究 (a b c)5 的展开式中 a2b2c 的系数.
谢 谢!
(ab)(ab)
a2 ab ba b2 1个a2 2个ab 1个b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到.
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )展开式的每一项都是从
这三个因式中各取一个 字母相乘得到.
a3 1个a3
问题3:展开式中各项的系数是如何确定的?
(ab)2a22abb2 (a b )3 a 3 3 a 2 b 3 a b 2 b 3 ( a b ) 4 a 4 4 a 3 b 6 a 2 b 2 4 a b 3 b 4
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)2 a22abb2
(ab)(ab) a2 ab ba b2
展开式的每一项都是从 这两个因式中各取一个 字母相乘得到.
各项是关于 a, b 的二次单项式
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab ab ab ab ab ab ab ab
问题2:展开式中各项是如何得到的?
(a b)3
(a b )(a b )(a b )
a3
问题2:展开式中各项是如何得到的?
ab3
b4
C
10 个a4
4
C
41 个a3b
4
C 462 个a2b2
C 443 个ab3
C
14 个b4
4
问题4:请写出 (a b)n 的展开式.
(ab)n( a b ) a ( b ) (a b)
n
证明: (项的结构) 各项是从 n 个因式中各取一个字母相乘得到关于 a, b