2020最新高一下册期中考试数学试题word版有答案
(完整word版)高一数学期中考试试卷及答案
高一数学期中考试试卷及答案（考试时间：120分钟）一、 选择题（10⨯5分）1． 下列四个集合中，是空集的是（ ）A ． }33|{=+x xB ． },,|),{(22R y x x y y x ∈-=C ． }0|{2≤x xD ． },01|{2R x x x x ∈=+- 2． 下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2；（4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ）A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个 3． 若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ）A ． 锐角三角形B ． 直角三角形C ． 钝角三角形D ． 等腰三角形4． 若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ． )2()1()23(f f f <-<-B ． )2()23()1(f f f <-<-C ． )23()1()2(-<-<f f fD ． )1()23()2(-<-<f f f5． 下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ． x y = B ． x y -=3C ．xy 1=D ． 42+-=x y 6． 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x ()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ． ⑴、⑵B ． ⑵、⑶C ． ⑷D ． ⑶、⑸ 7 . 以下说法正确的是( ).A.正数的n 次方根是正数B.负数的n 次方根是负数C.0的n 次方根是0(其中n>1且n ∈N *) D .负数没有n 次方根8. 若n<m<0,则错误!未找到引用源。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(三)
范文2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(三)1/ 82020 年高一数学下学期期中试卷及答案（三）考试时间：120 分钟试卷满分：100 分一、选择题 1．点(1，－1)到直线 x－y ＋1＝0 的距离是( )． A． 1 2 B． 3 2 C． 2 2 D． 3 2 2 2．过点(1，0)且与直线 x－2y－2＝0 平行的直线方程是( )． A．x－2y －1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 3．下列直线中与直线 2x＋y＋1＝0 垂直的一条是( )． A．2x―y―1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋ 1 y－1＝0 2 4．已知圆的方程为 x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程是( )． A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x ＋y－1＝0 5．如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为( )．（1）（2）（3）（4）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 C．三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 6．直线 3x＋4y－5＝0 与圆 2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0 的位置关系是( )． A．相离 B．相切 C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心 7．过点 P(a，5)作圆(x＋2)2＋(y－1)2＝4 的切线，切线长为 2 3 ，则 a 等于( )． A．－1 B．－2 C．－3 D．0 8．圆 A : x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0 与圆 B : x2＋y2―2x―6y＋1＝0 的位置关系是( )． A．相交 B．相离 C．相切 D．内含 9．已知点 A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|＝( )． A． 6 B．2 6 C． 2 D．2 2 10．如果一个正四面体的体积为 9 dm3，则其表面积 S 的值为 ( )．3/ 8A．18 3 dm2 B．18 dm2 C．12 3 dm2 D．12 dm2 11．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝2，AD＝1， E，F，G 分别是 DD1，AB，CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成角余弦值是( )． (第 11 题) A． 15 5 D．0 B． 2 2 C． 10 5 12．正六棱锥底面边长为 a，体积为 3 a3，则侧棱与底面所成 2 的角为( )． A．30° B．45° C．60° D．75° 13．直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的 3 ，此梯形 2 绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体表面积为(5＋ 2 )?，则旋转体的体积为( A．2? D． 7 ? 3 )． B． 4＋ 2 ? 3 C． 5＋ 2 ? 314．在棱长均为 2 的正四棱锥 P－ABCD 中，点 E 为 PC 的中点，则下列命题正确的是( )． P A．BE∥平面 PAD，且 BE 到平面 PAD 的距离为 3 E D B．BE∥平面 PAD，且 BE 到平面 PAD 的距A离为 2 6 C 3 B C．BE 与平面 PAD 不平行，且 BE 与平面 PAD 所成的(角第大14 题于) 30° D．BE 与平面 PAD 不平行，且 BE 与平面 PAD 所成的角小于30° 二、填空题 15．在 y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成30°角的直线方程是______________． 16．若圆 B : x2＋y2＋b＝0 与圆 C : x2＋y2－6x＋8y＋16＝0 没有公共点，则 b 的取值范围是________________． 17．已知△P1P2P3 的三顶点坐标分别为 P1(1，2)，P2(4，3)和P3(3，－1)，则这个三角形的最大边边长是__________，最小边边长是_________． 18．已知三条直线 ax＋2y＋8＝0，4x＋3y＝10 和 2x－y＝10 中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 a 的值为____________． 19．若圆 C : x2＋y2－4x＋2y＋m＝0 与 y 轴交于 A，B 两点，且∠ACB ＝90?，则实数 m 的值为__________．三、解答题 20．求斜率为 3 ，且与坐标轴所围成的三角形的面积是 6 的直 45/ 8线方程．21．如图所示，正四棱锥 P－ABCD 中，O 为底面正方形的中心，侧棱 PA 与底面 ABCD 所成的角的正切值为 6 ． 2 (1)求侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角的大小； (2)若 E 是 PB 的中点，求异面直线 PD 与 AE 所成角的正切值； (3)问在棱 AD 上是否存在一点F，使EF⊥侧面 PBC，若存在，试确定点 F 的位置；若不存在，说明理由． P E C B O D A (第 21 题) 22．求半径为 4，与圆 x2＋y2―4x―2y―4＝0 相切，且和直线 y ＝0 相切的圆的方程．7/ 8参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．D 7．B 8．C 9．B 10．A 11．D 12．B 13．D 14．D 二、填空题 15．y＝ 3 x －6 或 y＝― 3 x―6． 16．－4＜b＜0 或 b＜－64． 17． 17 ，10 ． 18．－1． 19．－3．三、解答题 20．解：设所求直线的方程为 y＝ 3 x＋b，令 x＝0，得 y＝b； 4 令 y＝0，得 x＝－4 b，由已知，得1 b·??－ 4 b?? ＝6，即 2 b2＝6，解 3 2 ?。
北京市师大附中2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
2020 学年北京师大附中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10 小题，每题 4 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1.若，以下命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】剖析：依据不等式的基天性质，及函数的单一性，判断四个答案的真假，可得结论.详解：，，故 A 错误；，故 B 错误；，故 C正确；，即，故 D错误.应选： C.点睛：此题以命题的真假判断与应用为载体，考察了不等式的基天性质，属于基础题.2.在内角，，的对边分别是，，，已知，，，则的大小为（）A. 或B.或C.D.【答案】 D【分析】剖析：利用正弦定理即可得出.详解：由正弦定理可得：，解得，，为锐角，.应选： D.点睛：此题主要考察了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.3.在中，若，，，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：直接利用余弦定理即可计算.详解：，，.应选： B.点睛：此题主要考察了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.4.等比数列中，，，的前项和为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：依据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，而后利用等比数列的首项和公比，依据等比数列的前n 项和的公式即可求出的前项和.详解：，解得，又，则等比数列的前项和.应选： B.点睛：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般能够“知三求二”，经过列方程( 组 ) 可水到渠成．5.不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】 A【分析】试题剖析：不等式等价于解得，所以选 A.考点：分式不等式的解法.视频6.等比数列的前项和为，已知，，则（）A. B. C. D.【答案】 C【分析】由题意可知，求得，应选 C.，，解得：，，7.已知变量，知足拘束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】试题剖析：依据题意，拘束条件表示的可行域为以的三角形地区，经过察看可知目标函数在点三点为极点处获得最大值，代入可求得为，应选B．考点：线性规划．8.的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】 B【分析】剖析：由、、成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将代入，即可用表示出，而后利用余弦定理表示出，将表示出的和代入，整理后即可获得的值.详解：依据题意，、、成等比数列，则，又，则，则.应选： B.点睛：此题考察了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的重点是求出、、的关系，从而运用余弦定理求解.9.数列是首项为，公差为的等差数列，那么使前项和最大的值为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】剖析：由等差数列是首项为，公差为写出通项公式，由通项大于等于 0 求出等差数列前 6 项大于 0，从第 7 项起小于0，则答案可求.详解：在等差数列是首项为，公差为得：，由，得，等差数列中，，当时，前项和最大 .应选： C.点睛：此题考察了数列的函数特征，考察了等差数列的通项公式和前n 项和，是基础的计算题.10. 某公司为节能减排，用万元购进一台新设施用于生产．第一年需运营花费第二年起，每年运营花费均比上一年增添万元，该设施每年生产的收入均为万元，从万元．设该设施使用了年后，年均匀盈余额达到最大值（盈余额等于收入减去成本），则等于（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】剖析：依据题意成立等差数列模型，利用等差数列的性质以及乞降公式即可获得结论.详解：设该设施第n 年的运营费为万元，则数列是以 2 为首项， 2 为公差的等差数列，则，则该设施使用n 年的运营花费总和为，设第 n 年的盈余总数为，则，年均匀盈余额，当时，年均匀盈余额获得最大值 4.应选： D.二、填空题（本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分．）11.数列的前项和为，若，则__________ ．【答案】【分析】试题剖析：，所以．考点：数列乞降．12.已知中，，，，则等于__________．【答案】【分析】剖析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离借口 .详解：由题意，，，可知，三角形 ABC是直角三角形，.故答案为： 2.点睛：此题考察三角形形状的判断，勾股定理的应用，考察计算能力，属于基础题.13.若，则的最小值是__________．【答案】【分析】试题剖析：因为，所以，，当且仅当时取等号，故答案为．考点：基本不等式．14.等比数列的各项均为正数，且，则__________．【答案】【分析】剖析：利用等比中项，对数性质可知，从而计算可得答案 .详解：为等比数列，又.，.故答案为： 10.点睛：此题考察等比数列的等比中项及对数的运算法例，注意解题方法的累积，属于中档题.15.在中，若，则的形状为___________．【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】剖析：左侧利用正弦定理，右侧切变弦，对原式进行化简整理从而可得 A 和 B的关系，从而获得答案 .详解：原式可化为，或解得或.故的形状为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.点睛： (1) 三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等．判断三角形的形状，应环绕三角形的边角关系进行思虑，主要看其能否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的差别．(2) 边角转变的工具主假如正弦定理和余弦定理．16.已知数列的前项的和为，，，知足，则__________ ．【答案】【分析】剖析：由，得，即，则，说明数列是以2为公差的等差数列，求其通项公式，而后利用累加法求出的通项公式得答案.详解：由，得，即，则，数列是以为首项，以 2 为公差的等差数列，则，；；；，累加得：，则，.故答案为：.点睛：此题考察数列递推式，考察等差关系确实定，训练了累加法求数列的通项公式，把已知数列递推式变形是重点，是中档题.三、解答题：本大题共 3 小题，共36 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.解对于的不等式．【答案】当时，为或；当时，为或．【分析】剖析：对 a 分类议论，利用一元二次不等式的解法即可得出.详解：不等式对应方程的实数根为和；①当，即时，不等式化为，∴，∴不等式的解集为；②当，即时，解得或，∴不等式的解集为或；③当，即时，解得或，∴不等式的解集为或．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或．点睛：含有参数的不等式的求解，常常需要对参数进行分类议论．(1)若二次项系数为常数，第一确立二次项系数能否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类议论，若不易分解因式，则可依照鉴别式符号进行分类议论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数能否为零，确立不等式能否是二次不等式，而后再议论二次项系数不为零的情况，以便确立解集的形式；(3)对方程的根进行议论，比较大小，以便写出解集．18.在中，，，点在上，且，．（I）求；（Ⅱ）求，的长．【答案】（ I ）；（Ⅱ），.【分析】剖析：（ 1）由和引诱公式求出，由平方关系求出，由内角和定理、两角和的正弦公式求出；（2）在中由正弦定理求出BD、 AD，在中由余弦定理求出AC的值 .详解：（ I ）∵，且，∴，∴，由得，；（Ⅱ）在中，由正弦定理得，∴，由正弦定理得，∴，在中，由余弦定理得，∴．点睛：应娴熟掌握和运用内角和定理：，中互补和互余的状况，联合引诱公式能够减少角的种数．19.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（I）求与；（II）设数列知足，求的前项和．【答案】（ I ），；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）依据，列方程组计算和，从而得出的公差，从而得出，的通项公式；（2）使用错位相减法求出.详解：（ I ）∵为等比数列，公比为，，∴，∴，解得，．∵，∴．∴的公差为．∴，．（II）．∴，①∴，②①②得：．∴．点睛： (1)错位相减法是求解由等差数列{ b n} 和等比数列{ c n} 对应项之积构成的数列{ a n} ，即a n＝b n×c n的前 n 项和的方法．这类方法运算量较大，要重视解题过程的训练．(2)注意错位相减法中等比数列乞降公式的应用范围．四、填空题（本大题共 5 个小题，每题 4 分，共 20 分．）20.已知数列知足，且，则__________．【答案】【分析】剖析：由已知条件得，从而获得是首项为2，公比为 2 的等比数列，由此能求出.详解：数列知足，且，，，又，是首项为2，公比为 2 的等比数列，，，故答案为：.点睛：此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意结构法的合理运用.21.在中，，，，则的面积等于__________．【答案】或【分析】剖析：利用余弦定理列出关系式，将，与的值代入求出 b 的值，再因为b， c 及的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积 .详解：在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：或，则或.故答案为：或.点睛：三角形面积公式的应用原则：(1)对于面积公式 S＝ ab sin C＝ ac sin B＝ bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积相关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转变．22.甲船在岛的正南处，，甲船以每小时的速度速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距近来时，它们所航行的时间是__________ 小时．【答案】【分析】剖析：设经过 x 小时距离最小，而后分别表示出甲乙距离 B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后依据二次函数求最值的方法可获得答案.详解：假定经过x 小时两船相距近来，甲乙分别行至C、 D，如下图，可知，，当小不时甲乙两船相距近来.故答案为：.点睛：求距离问题的注意事项(1)第一选用适合基线，画出表示图，将实质问题转变成三角形问题． (2) 明确所求的距离在哪个三角形中，有几个已知元素． (3) 确立使用正弦定理或余弦定理解三角形．23.正数，知足，则的最小值为__________．【答案】【分析】试题剖析：，当且仅当时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其知足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边一定为定值）、“等”（等号获得的条件）的条件才能应用，不然会出现错误．24.已知数列知足，给出以下命题：①当时，数列为递减数列；②当时，数列不必定有最大项；③当时，数列为递减数列；④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项 .请写出正确的命题的序号__________ ．【答案】③④【分析】剖析：因为，再依据k 的条件议论即可得出.详解：①当时，，，当时，，所以数列不是递减数列，故①不正确；②当时，，因为所以数列必定有最大项，故②不正确；③当时，，，所以数列为递减数列，正确；④当为正整数时，，所以数列必有两项相等的最大项，故正确 .综上可知：只有③④正确.故答案为：③④.属于点睛：此题考察了数列的单一性，分类议论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，难题 .五、解答题：本大题共 3 小题，共30 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25.已知函数．（I ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）若对随意，恒成立，务实数的取值范围．【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）依据基本不等式的性质求出函数的最小值即可；（2）求出函数的导数，经过议论 a 的范围，求出函数的单一区间，获得函数的最小值，解对于 a 的不等式即可 .详解：（I ），，∵，，∴，当且仅当时“”成立，（Ⅱ），，，时，，在递加，∴，解得：，时，令，解得：，令，解得：，∴在递减，在递加，∴成立，综上．点睛：此题考察了函数的单一性、最值问题，考察导数的应用以及分类议论思想，是一道中档题 .26.在中，、、分别为内角、、的对边，且知足．（I）求角的大小；（Ⅱ）若，，求．【答案】（ I ）；（Ⅱ）.【分析】剖析：（ 1）由条件可得，再由正弦定理得，由余弦定理求得，从而求得角的大小；（2）由，求得，再由正弦定理即可求得答案 .详解：（ I ）∵，∴，由正弦定理得，由余弦定理得，∵，∴．（Ⅱ）∵，∴，由正弦定理，求得，解得．点睛：此题主要考察正弦定理和余弦定理、引诱公式的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题 .27.已知函数，此中，.（I）求的分析式；（Ⅱ）若数列知足，，．求证：.【答案】（ I ）；（Ⅱ）证明看法析 .【分析】剖析：（ 1）由求得、、的值，代入原函数可得函数分析式；（2）由求得数列递推式，把数列递推式变形，可得，联合已知放缩得答案 .详解：（ I ）∵，，∴，由，解得．∴，∴；（Ⅱ）证明：由，得，∴，则，∵，则，∴．又∵，∴．∴．侧重考察数列不等式的证明，把已知递推式灵点睛：此题考察三角函数中的恒等变换应用，活变形是重点，是中档题.。
2020年最新高一下册期中联考试题数学word版有答案
高中 一 年 数学 期中试卷完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分 一、选择题（每题5分，共60分）1．已知角α终边过点)4,3(-P ，则)sin(απ+的值为（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-2．设l 为直线，βα,是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ） A ．若α//l ，β//l ，则βα// B ．若α⊥l ，β⊥l ，则βα// C ．若α⊥l ，β//l ，则βα// D ．若βα⊥，α//l ，则β⊥l3．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08 B．02 C ．43D ．244．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩如甲表、乙表所示，则（ ） 甲表： 乙表： A ．甲成绩的方差小于乙成绩的方差 B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数5．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得1551=∑=i i x ，5.1751=∑=i i y ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．5.92ˆ+-=x yB ．5.22ˆ-=x yC ．3.24.0ˆ-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 6．将一枚硬币抛掷三次，则下列为互斥且不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一次正面和至多有一次正面B ．至少有一次正面和至多有两次正面C ．至多有一次正面和至少有两次正面D ．至多有一次正面和恰有两次正面7．设4sin5a π=，cos 10b π=，5tan 12c π=，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>8．袋中有大小相同的黑球，白球，蓝球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则98是下列哪个事件的概率（ ）A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．π816+B ．π88+C ．π168+D ．π1616+10．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被4sin3xy π=(44)x -≤≤的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．361 B ．181 C ．121 D ．81 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234493582003623486969387481环数 4 5 6 7 8 频数1 1 1 1 1环数 5 6 9 频数 3 1 1 学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是（ ）A ．2B ．3-C ．31D ．21-12．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（） A ．254 B ．258 C ．2516 D ．2524二、填空题（每题5分，共20分）13．)625(tan log 3π= ．14．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧»CD、弧»DE 、弧»EF 的圆心依次是A 、B 、C ， 如果AB=3，那么曲线CDEF 的长是 ．15．在区间] 0[π，上随机取一个数x ，则事件“1)2sin(2≥+πx ”发生的概率为 ．16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD //BC ，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．给出下列四个命题：①PD ⊥平面PBC ；②异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55； ③直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55；④三棱锥P-ADC 的体积是332.其中正确命题的序号是 ．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17．某赛季，甲、乙两校篮球队进行了10场训练赛，比赛得分情况记录如下表：训练赛序号（i ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲校队得分（x i ） 55 81 84 61 54 74 82 83 69 57 乙校队得分（y i ）588486715773838568 63第10题图第11题图第9题图(1)根据得分记录表，画出茎叶图．(2)设甲校队10场比赛得分平均值为x ，将该队10场 比赛得分i x 依次输入程序框图（图1）进行运算， 求输出S 的大小，并说明S 的统计意义．18．已知2sin ()cos(2)tan()()tan(3)cos()2f παπαπααπαπα-+-+=-++．(1)若0cos 3sin =-αα，求)(αf 的值．(2)若81)(=αf ，且24παπ<<，求cos sin αα-的值．19．如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1//AA 1，AB=AC ，点E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1)求证：EF //平面A 1B 1BA ．(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1． 20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图．(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．(3)在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率． 21．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日的每天昼夜温差x （°C）与实验室每天每100颗种子中的发芽数y （颗），得到如下资料：(1)请根据12．．月．2．日至．．12．．月．5．日．的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据（选取的检验数据是12．．月．1．日与．．12．．月．6．日．的两组数据）的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠．空气质量指数（μg/m 3） 0﹣50 51﹣100 101﹣150 151﹣200 201﹣250空气质量等级 空气优 空气良 轻度污染 中度污染 重度污染天数 20 40 m 10 5日期12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 12月6日 温差x 10 11 13 12 8 6 发芽数y22 25 29 26 16 12Y图1N Y附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nxay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.22．已知函数22()44f x x ax b =-+，{|13}A x x =≤≤，{|14}B x x =≤≤．（注意:若是古典概型请列出所有基本事件）(1)若a ，b 都是从集合A 中任取的整数，求函数()y f x =有零点的概率． (2)若a ，b 都是从集合B 中任取的实数，①求函数()y f x =在区间[2，4]上为单调函数的概率．②在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>-”恒成立的概率．2高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分）二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 12- 14. 12π 15. 1316. ①②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）茎叶图……………………………………….….…4分（2）558184615474828369577010x +++++++++==……………….6分2221[(5570)(8170)...(5770)]137.810s =-+-++-=……………….8分S 表示甲队10场比赛得分的方差（或10场比赛得分的离散程度）……....…..10分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 答案 C B C A B D C B A D DC18．解：(1) 2sin cos tan ()sin cos tan (sin )f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-…………………...…3分 sin 3cos 0αα-=Q sin tan 3cos ααα∴==………………………….………...…4分 222sin cos tan 3()sin cos tan 110f ααααααα⋅∴===++……….………………………..….7分 (2) 由1()sin cos 8f ααα=⋅=．可知：22213(cos sin )cos 2sin cos sin 12sin cos 1284αααααααα-=-+=-=-⨯=……….………………………..…...9分 又因为42ππα<<，所以cos sin αα<，即cos sin 0αα-<．…………....11分所以3cos sin 2αα-=-．……………………………………………………12分19.证明：（1）连结A 1B ，在△A 1BC 中，∵点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点，∴EF ∥A 1B ，………………………...……..…3分 又∵EF ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ，∴EF ∥平面A 1B 1BA ．……………………..…5分 （2）∵AB=AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． ……….………………………....…6分 ∵A 1A ⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，∴B 1B ⊥平面ABC ，………………………………....…7分 ∵AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ． ……………………………….......…8分 又∵B 1B ⊂平面B 1BC ，BC ⊂平面B 1BC ，B 1B ∩BC=B ，∴AE ⊥平面B 1BC ，………………………………....…10分 ∵AE ⊂平面AEA 1，∴平面AEA 1⊥平面BCB 1． ………..…..…………..…12分20. 解：解：（1）200.00450n⨯=Q ，100n ∴=…………………………...…1分 2040105100m ++++=Q ， 25m ∴=………………………………..…..…2分40251050.008;0.005;0.002;0.001.10050100501005010050∴====⨯⨯⨯⨯ 由此完成频率分布直方图，如下图：………………………………....…4分 （2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………..............…6分∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4 ∴中位数为： 0.50.2505087.50.4-+⨯= ………………….………..…8分 （3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ）， （c ，d ），（c ，e ），（d ，e ）共10种， ……………………….……10分 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共6种， 所以事件A“两天都为良”发生的概率是63()105p A ==. …………………….…12分 21. 解法1：（1）由数据求得1113128114x +++==，25292616244y +++== …………………..…1分521125132912268161092i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯==∑22222521113128498ii x=+++==∑ ……………...………..…3分由公式1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑求得187b =， ……………………..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- …………………..…8分 解法2:1113128114x +++==，25292616244y +++== ………………..…1分521111)(2524)((1311)(2924)(1211)(2624)(811)(1624))()(36iii x x y y =-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯--==-∑22522221111)(1311)(1211)(811))(14(ii x x =-+-+-+-==-∑………………..…3分由公式52522()()()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑求得187b =， ………….…..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分 ∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- ……………………..…8分（2）当x=10时，1507y =，当x=6时，787y =， …………………………..…10分 150422277-=<Q ，78612277-=< ∴该小组所得线性回归方程是理想的． ……………….……………12分22. 解：（1）设函数()f x 有零点为事件A ，由于a ,b 都是从集合{1，2，3}中任取的数字， 依题意得所有的基本事件： （1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为9N =． 若函数22()44f x x ax b =-+有零点，则2216160a b ∆=-≥，化简可得a b ≥． 故事件A 所含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3） 共计6个基本事件，则62()93p A ==.……………………………………….……….4分 （2）解法一：①设a ,b 都是从区间[1，4]中任取的数字，设函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为单调函数为事件B ， 依题意得，所有的基本事件构成的区域{}14(,)14a ab b ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，故所有基本事件构成的区域面积为9S Ω=．若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数，其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的区域9136B S =-⨯=，如图（阴影部分表示事件B 的对立事件）．则62()93p B ==…………………………………………………………………………..8分 解法二：设a 是从区间[1，4]中任取的数字，依题意得，所有的基本事件构成的长度为4-1=3记函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数为事件B ，若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的长度为2-1=1，1()3p B ∴=，12()133p B ∴=-=……………..8分②设在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，记事件C: “222()x y a b +>-恒成立”，则事件C 等价于“229x y +>”，若 (,)x y 可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域{}(,)04,04,,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈而事件C 所构成的区域为{}22(,)9,(,)B x y x y x y =+>∈Ω，如图（阴影部分表示事件C ）4416S Ω=⨯=，9164C S π=-， 91694()11664C S p C S ππΩ-∴===-……………12分。
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高一数学试题一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在中，已知，则角为（ ）A ．A ．C ．D ．或2．若向量，，且，则（ ） A ． B ．C ．D ． 3．复数的共轭复数为（ ）A ．B ．C ．D ．4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ） A ．CD ．5．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ． 16或64 C. 64 D ．以上都不对6．若实数，，满足，则的值是（ ） A ．2B ．-3C ．D.17．在中，若，则的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形8．已知（，为虚数单位），则“”是“为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．)9．给出下列结论，则结论正确的为（ ）A ．若向量，，且，则B ．，，与的夹角为，则ABC △222a b c bc =++A 2π3π3π6π32π3(3,2)=a (1,)m =-b ∥a b m =23-233232-()2019i 12i z =--2i -2i +2i --2i -+a b 2π334+=a b 17x y ()()1i 1i 2x y ++-=xy 2-ABC △2cos sin sin B A C ⋅=ABC △221(32)i z m m m =-+-+m ∈R i 1m =-z (1,3)=a (2,)x =b ∥a b 6x =||2=a ||4=b a b 60°|2|+=a bC ．向量，，m.n=0则 D ．已知向量，，则与的夹角为 10．下列命题中，不正确的是（ ） A ．两个复数不能比较大小；B ．若，则当且仅当且时，为纯虚数；C ．，则；D ．若实数与对应，则实数集与纯虚数集一一对应．11．在中，角的对边分别为，若，且，，则的面积为（ ） A ．3B ．C ．D ．12．对于两个复数，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数，，且是实数，则实数等于 ．14．如图，在斜度一定的山坡上的一点测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进后，又从点测得斜度为，假设建筑物高，设山对于平地的斜度，则 ．(,2)x =m (4,2)x =+n 23x =-=a =b a b π6i(,)z a b a b =+∈R 0a =0b ≠z 221223()()0z z z z -+-=123z z z ==a i a ABC △,,A B C ,,a b c cos cos a A b B =2c =3sin 5C =ABC △231361α=-+122β=--1αβ=2αβ=||2||αβ=337αβ-=134i z =+2i z t =+12z z ×t A C 15︒100m B 45︒50m θcos θ=15．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积等于-------------------16．在中角，，的对边分别是，，，且，，若，则的最小值为 ．四·解答题：(本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．18. (12分）如图，组合体下面是一个直三棱柱．△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，BC ＝CE ＝2.上面是一个三棱锥，且AA 1⊥底面A 1B 1C 1，且AE ＝A1E ＝3，求组合体的表面积和体积．19.(12分）已知复数，m是实数，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．ABC△A B C a b c sin sin sin sin sin 3a Ab B cC B C +-=a =[1,3]b ∈c x 2(2i)2i 0x k x k ++++=k 22(232)(2)i z m m m m =+-++-m z z z 0z =20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 21.(12分)已知a =(1,2),b =(-3,1). (1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值;(3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求实数k 的值.22．（12分）已知向量，，且．（1）求及；（2）若的最小值为，求实数的值．高一数学答案一．AACCB DCC二．9.ACD 10，ACD 11,AC 12,BCD17．（12分）已知关于的方程有实根，求这个实数根以及实数的值．【答案】方程的实根为或值为或．【解析】设是方程的实数根，代入方程并整理得，由复数相等的条件得，解得或∴方程的实根为，相应的值为或．ABC△,,A B C ,,a b c222sin sin sin sin sinA C A CB +-=B ABC △ABC △33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λx 2(2i)2i 0x k x k ++++=k x =x =k k =-k =0x 2000(2)(2)i 0x kx x k ++++=20002020x kx x k ⎧++=⎨+=⎩0x k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩0x k ⎧=⎪⎨=⎪⎩x =x =k k =-k =18.19．（10分）已知复数，，根据下列条件，求值．（1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数； （4）．【答案】（1）或；（2）且；（3）；（4）． 【解析】（1）当，即或时，为实数． （2）当，即且时，为虚数．（3）当，解得，即时，为纯虚数．（4）令，解得，即时，．20．（12分）在中，角所对的边分别为，且．22(232)(2)i z m m m m =+-++-m R Îm z z z 0z =2m =-1m =2m ≠-1m ≠12m =2m =-220m m +-=2m =-1m =z 220m m +-≠2m ≠-1m ≠z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩12m =12m =z 22232020m m m m ⎧+-=⎨+-=⎩2m =-2m =-0z =ABC △,,A B C ,,a b c 222sin sin sin sin sin A C A C B +-=（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，由正弦定理得，，，即，又∵，． （2）由（1）知，且外接圆的半径为，，解得， 由正弦定理得，又，， 21.(10分)已知a =(1,2),b =(-3,1).(1)求a -2b;(2)设a,b 的夹角为θ,求cos θ的值; (3)若向量a +k b 与a -k b 互相垂直,求k 的值.【答案】（1）（7,0），（2）-√5050.（3）k=±√22.【解析】(1)a -2b =(1,2)-2(-3,1)=(1+6,2-2)=(7,0). (2)cos θ=a ·b|a |·|b |=√2√2=-√5050.(3)因为向量a +k b 与a -k b 互相垂直, 所以(a +k b)·(a -k b)=0,即a 2-k 2b 2=0,因为a 2=5,b 2=10,所以5-10k 2=0,解得k=±√22.B ABC △ABC △π3B =(5+⎤⎦222sin sin sin sin sin A C A C B +-=222a c acb +-=222a b b ac +-=222122a b b ac +-=1cos 2B =()0,πB ∈π3B =π3B =323=⨯5b =2sin sin a c A C ===sin )a c A C +=+2π3A C +=2ππsin()]10sin()336a c A A A +=+-=+22．（12分）已知向量，，且． （1）求及；（2）若的最小值为，求的值． 【答案】（1），；（2）． 【解析】（1）由已知可得， ， ，，．（2）由（1）得，，．①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知矛盾； ②当，当且仅当时，取得最小值，由已知可得，解得；③当时，当且仅当时，取得最小值， 由已知可得，解得，与矛盾， 综上所得，． 为锐角三角形，且， 又，得，，， 33(cos ,sin )22x x =a (cos ,sin )22x x =-b π[0,]2x ∈⋅a b +a b ()2f x λ=⋅-+a b a b 32-λcos2x ⋅=a b 2cos x +=a b 12λ=33coscos sin sin cos 22222x xx x x ⋅=⋅-⋅=ab +===a b π[0,]2x ∈Q cos 0x ∴≥2cos x ∴+=a b 222()cos 24cos 2cos 4cos 12(cos )12f x x x x x x λλλλ=-=--=---π[0,]2x ∈Q 0cos 1x ≤≤0λ<cos 0x =()f x 1-01λ≤≤cos x λ=()f x 12λ--23122λ--=-12λ=1λ>cos 1x =()f x 14λ-3142λ-=-58λ=1λ>12λ=ABC △π02A <<π02C <<2π3C A =-ππ62A <<πsin()62A +∈(a c +∈⎤⎦故的周长的取值范围是．ABC△(5+⎤⎦。
高一下册期中考试数学试题word版有答案
高一第二学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( )A ．35B ．35-C ．45D ．45-2. 等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前4项和为（ ） A. 48 B. 60 C.81 D.1243. 将函数sin y x =的图像向右平移6π个单位，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图像，则( )A ．2,3πωϕ==-B ．2,6πωϕ==- C ．1,23πωϕ==- D ．1,26πωϕ==-4. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4,43,30a b A ===︒，则B 等于（ ）A ．60︒或120︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．30︒ 5. 已知数列{}n a 满足111,2(*)n n a a a n N +=-≥∈，则（ ）A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥D. 2n S n ≥6. 已知1cos()123πθ-=， 则5sin()12πθ+=( )A. 13B. 223C.13- D. 223-7. 已知等差数列{}n a 中，263,7a a ==，1n n b na =，则使1299100n b b b +++<成立的最大n 的值为（ ）A.97B.98C.99D.1008. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n S 为等差数列，则等比数列{}n a 的公比q （ ） A ．可以取无数个值 B ．只可以取两个值 C ．只可以取一个值 D ．不存在9. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222018a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅⋅+的值为（ ）A. 1008B. 1009C.2017D.201810. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数0M >，使得对任意的*n N ∈，都有||n S M <，则称数列{}n a 为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )A ．若{}n a 是等差数列，且首项10a =，则{}n a 是“和有界数列”B ．若{}n a 是等差数列，且公差0d =，则{}n a 是“和有界数列”C ．若{}n a 是等比数列，且公比||1q <，则{}n a 是“和有界数列”D ．若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，则{}n a 的公比||1q <二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。
2020-2021学年度第二学期期中考试高一数学试卷含详解
高一数学
一、选择题（共 12 小题）
1.等差数列{an}中， a3 3 ， a2 a10 18 ，则数列{an}的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知 △ABC 中， a 2 ， b 3 ， B 60 ，那么角 A 等于（ ）
A．135
c
，则
a
c
D．若
a
/
/b
，
b
/
/c
，则
a
/
/c
5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差为 d ，且满足 a1 0 ， S11 S18 ，则对 Sn 描述
正确的有（ ）
A. S14 是唯一最小值
B. S15 是最小值
C. S29 0
D. S15 是唯一最大值
6.为了测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 40m 的楼顶处测得塔底 A 的俯角为
第 3页（共 7页）
21.设各项为正数的数列 an的前 n 和为 Sn ,且 Sn 满足: Sn2 (n2 n 3)Sn 3(n2 n) 0, n N .等
比数列 bn满足：
log 2
bn
1 2
an
0
.
(Ⅰ)求数列 an, bn的通项公式;
(Ⅱ)设 cn an bn ，求数列 cn的前 n 项的和 Tn ；
A．
PA
1
BA
2
BC
C．
PA
3 1
BA
3 2
BC
33
B．
PA
2
BA
1
BC
D．
PA
3 2
2020最新高一下册期中数学试卷及答案
第二学期期中试卷数 学学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.cos45cos15sin 45sin15-o o o o =A． BC ．12-D ．122. 已知1tan 3α=，则tan2α=A.34B.38C.1D.12 3. 下列等式中恒成立的是AA. ππ1sin cos()cos sin()662αααα+-+=-B.π1tan tan(+)41tan ααα-=+C. πsin()sin cos 4ααα+=+ D.sin cos sin ααα=4.若数列{}n a 满足212n n a -=，则A. 数列{}n a 不是等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公比为2的等比数列D. 数列{}n a 是公比为1的等比数列5.在△ABC 中，∠B A. 45°6.1135(2n -+++++L A.21n - B.7. 已知△ABC A ．310C ．358.已知钝角．．三角形ABC 的公差d 的取值范围是A.02d << B. 1sin10-o= A ．2 B 10.已知数列{}n a A.C.二、填空题：本大题共611.若等差数列{}n a n 12.在△ABC 中，∠B ＝60°，a ＝2，c ＝3，则b =_________.13.若等比数列{}n a 中，122,6a a ==，则12n a a a +++=L _________.14.已知数列{}n a 满足1112n n a a --=（2,n n ≥∈N ），且313a =，则1a =___________,数列{}n a 的通项公式为___________.15.在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若A B >，给出下列四个结论： ①a b >；②sin sin A B >；③cos cos A B <；④tan tan A B >. 其中所有正确结论的序号是_______________. 16.已知数列{}n a 满足1n n a a n -+=（2,n n ≥∈N ），且11a =-，则10a =___________,其前21k -*()k ∈N 项和21k S -=_______________.三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分）已知等差数列{}n a 满足39a =-，公差3d =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和n S 是否存在最小值？若存在，求出n S 的最小值及此时n 的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()2cos (1tan )f x x x =+. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]4上的值域.19. （本小题共11分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n a S =-()*n ∈N .（Ⅰ）求1a ；（Ⅱ）求证：数列{}n a 是等比数列；（Ⅲ）若数列{}n b 满足22n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题共10分）如图所示，在山顶P 点已测得三点A ，B ，C 的俯角分别为,,αβγ，其中A ，B ，C 为山脚两侧共线的三点，现欲沿直线AC 开通穿山隧道，为了求出隧道DE 的长，至少还需要直接测量出,,AD EB BC 中的哪些线段长？把你上一问指出的需要测量的线段长和已测得的角度作为已知量，写出计算隧道DE 的步骤.解1： 步骤1：还需要直接测量的线段为 步骤2：计算线段 计算步骤：步骤3：计算线段 计算步骤：A C γαβ步骤4：计算线段 计算步骤：答案数 学学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题， 每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.DAABA ACCDB二、填空题：本大题共6小题， 每小题3分，共18分.11.2-31n - 14.1-，123n - 15.①②③ 16. 7，22k - 说明：两空的题目第一空1分，第二空2分；第15题对一个一分，有错误选支0分三、解答题:本大题共4小题，共42分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题共9分） 解：（Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，且39a =-，公差3d =，所以由192a d -=+可得115a =-，-----------------------------------------------------------------1分所以数列{}n a 的通项公式为153(1)n a n =-+-，即318n a n =-.-------------------------3分 （Ⅱ）法1：由等差数列求和公式可得(1)1532n n n S n -=-+⨯--------------------------5分 即223311121(11)[()]2224n S n n n =-=-- ----------------------------------------------------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. -------------------------------------------------9分法2：因为318n a n =-，所以，当6n <时，0n a <；当6n =时，0n a =；当6n >时，0n a >，即当16n <<时，1n n S S -<；当6n =时，1n n S S -=；当6n >时，1n n S S ->，--------6分所以，当5n =或6时，n S 取得最小值45-. --------------------------------------------------9分18.（本小题共12分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为π{|π,}2x x k k ≠+∈Z .-------------------------------------2分（Ⅱ）因为2()2cos (1tan )f x x x =+22cos 2sin cos x x x =+-------------------------------------------------------4分1cos2sin2x x =++------------------------------------------------------------8分π1)4x =++-----------------------------------------------------------10分因为π[0,]4x ∈，所以ππ3π2[,]444x +∈，--------------------------------------------------------11分所以()f x 在区间π[0,]4上的值域为[2,1.------------------------------------------------12分19. （本小题共11分）解：（Ⅰ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124a S =-，即1124a a =-，-------------------1分 解得14a =-.----------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）由24n n a S =-()*n ∈N 可得1124,1,n n a S n n --=->∈N ，--------------------------3分 所以1122,1,n n n n a a S S n n ---=->∈N ，即122,1,n n n a a a n n --=>∈N ，----------------4分整理得12,1,n n a a n n -=>∈N ， --------------------------------------5分 因为140a =-≠， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列.----------------------------------------------------------6分 （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可得数列{}n a 是以4-为首项且公比为2的等比数列，所以11422n n n a -+=-⨯=-， ----------------------------------------------------------------7分所以212222n n n b a n n +=+=-+，---------------------------------------------------------------8分所以数列{}n b 的前n 项和n T 是一个等比数列与等差数列的前n 项和的和-----------------9分由等比数列和等差数列的前n 项和公式可得8(14)(22)142n n n n T --+=+-----------------------------------------------------------11分28(41)3n n n =+-⨯-.20. （本小题共10分）解1： 步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD EB BC -------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PC 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；---------------3分由正弦定理可得sin sin BC PCBPC PBC =∠∠， --------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PC ββγ=-； ---------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AC 的长.计算步骤：在PAC ∆中，PAC α∠=，πAPC αγ∠=--，由正弦定理sin sin AC PCAPC PAC =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PC AC αγα+=； -----------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.sin sin()sin sin()BC DE AC AD EB BC AD EB BC βαγαβγ+=---=----.-----------10分A C γαβ解2：步骤1：还需要直接测量的线段为,,AD BE BC --------------------------------------------2分 步骤2：计算线段PB 的长.计算步骤：在PBC ∆中BPC βγ∠=-，π,PBC PCB βγ∠=-∠=；----------------3分由正弦定理可得sin sin BC PBBPC PCB =∠∠， ---------------------------------5分 整理可得sin sin()BC PB γβγ=-；-----------------------------------------------------6分步骤3：计算线段AB 的长.计算步骤：在PAB ∆中，PAB α∠=，πAPB αβ∠=--，由正弦定理sin sin AB PBAPB PAB =∠∠， ---------------------------------------8分 整理可得sin()sin PB AB αβα+=；------------------------------------------------9分步骤4：计算线段DE 的长.。
2020年高一下册期中考试数学试卷及答案
高一下学期期中考试数学试卷试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（必修模块5） 满分100分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，23=a ，则=b （ ） A. 23 B. 3 C. 32 D. 342. 已知公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16113=a a ，则=5a （ ）A. 1B. 2C. 4D. 8 3. 不等式121+-x x 0≤的解集为（ ） A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C. ),1[21,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-Y D. ),1[21,+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-Y 4. 不等式0)12)(2(2>--+x x x 的解集为（ ）A. )4,2()3,(---∞YB. ),4()2,3(+∞--YC. ),3()2,4(+∞--YD. )3,2()4,(---∞Y5. 已知b a b a ,,0,0>>的等比中项是1，且ba n ab m 1,1+=+=，则n m +的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列}1{1+n n a a 的前100项和为（ ） A. 100101 B.10099 C. 10199 D. 101100 7. 在△ABC 中，若C c B b A a sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ） A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 正三角形 8. 若数列}{n a 满足121,211+-==+n n a a a ，则2013a ＝（ ） A. 31 B. 2 C. 21- D. －3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020新高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)
高一下学期期中质量调查数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b <D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 113.若13,24a b <<<<，则ab的范围是A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,44.在ABC中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=A. 4B. 8C. 16D. 0或86.在ABC 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A. 13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题 共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第 项.10.在ABC 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 .11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 .13.在ABC 中，若120,5,7,A AB BC ===，则ABC 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或.（1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值； （2）若ABC 的面积为3sin sin ,2ABCS B C =求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。
2020年高一下册期中考试数学试题及答案(苏科版)
9．若关于 x 的不等式 1＋ k10．若数列{a n }满足 a 11＝ ， － ＝5(n ∈N *)，则 a 1＝ ．5211．已知正数 a ，b 满足 ＋ ＝2，则 a ＋b 的最小值是．① － ，a ＞b ＞0, m ＞0；tan A tan B c 2B C b c 高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部 分．满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在 答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角 α 的终边经过点 P (1，－2)，则 sin2α＝ ．4．在△ABC 中，若 AC ＝ 3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则 BC ＝ ． 5．在△ABC 中，若 sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则 cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1＝2，S 3＝12，则 a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足 a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则 a 5＋a 7＝ ． 8．若关于 x 的不等式 ax 2＋x ＋b ＞0 的解集是(－1，2)，则 a ＋b ＝ ． x －1≤0 的解集是[－2，1)，则 k ＝．1 1 1 a n+1 a n 1 2a b12．下列四个数中，正数的个数是 ．b ＋m ba ＋m a②( n ＋3＋ n )－( n ＋2＋ n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R；④ x 2＋3 －2，x ∈R.x 2＋2tan C tan C a 2＋b 213．在斜三角形 ABC 中，角 A ， ， 所对的边分别为 a ， ， ，若 ＋ ＝1，则＝ ．14．若数列{a n }的前 n 项和 S n ＝2n ，则 a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分 14 分)设 f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R)． (1)当 t ＝3 时，求不等式 f (x )＞0 的解集；(2)已知 f (x )≥0 对一切实数 x 成立，求 t 的值．16．(本题满分 14 分)设函数 f (x )＝2cos 2 x ＋2 3sin x cos x (x ∈R)．(2)在 0＜x ≤ 的条件下，求 f (x )的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ .如图，扇形 AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角 AOB 的大小等于 ，半径 OA ＝200m ，设正项数列{a n }满足：a 1＝ ，a n ＋1＝ ， n∈N *.2(1)求函数 f (x )的最小正周期；π317．(本题满分 14 分)12(1)求角 A 的大小；(2)当 a ＝5，b ＝4 时，求△ABC 的面积．18．(本题满分 16 分)已知{a n }是等差数列，且 a 1，a 2，a 5 成等比数列，a 3＋a 4＝12． (1)求 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设 b n ＝10－a n ，数列{b n }的前 n 项和为 S n ，若 b 1≠b 2，则 n 为何值时，S n 最大？S n 最大 值是多少？19．(本题满分 16 分)π3点 M 在半径 OA 上，点 N 在 AB 弧上，且 MN ∥OB ，求观光道路 OM 与 MN 长度之和的最大值．AMNOB20．(本题满分 16 分)1 1 1＋a n，则 a n ＋1＞ 2 ｜＋｜a n ＋1－(1)证明：若 a n ＜ 5－1 5－1 2 2；(2)回答下列问题并说明理由：5－1 5－1是否存在正整数 N ，当 n ≥N 时｜a n － 2｜＜0.001 恒成立?1．6 － 2 4 2 5 4 211． (3＋2 2) 12．2 13．3 14． (n －1)2n ＋216．(1)f (x )＝2sin (2x ＋ )＋(2)0＜x ≤ 时， ＜2x ＋≤ 5π6 ]是增函数，函数 y ＝sin x 在区间[ ， ]是增函数，在区间[ ， f (x )的值域是[2sin 5π 17．(1)由 cos(B －C )－2sin B sin C ＝－ 得 cos(B ＋C )＝－∴cos A ＝－ ，∵0＜A ＜π，∴A ＝(2) 由 c 2＋42－2×c×4 cos π 高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．1 4 1 1 2． 3．－ 4．2 5．－ 6．12 7．80 8．1 9．3 10． 12二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．15．(1)当 t ＝3 时，不等式 f (x )＞0 与不等式 x 2－4x ＋3＞0 同解，得(x －1)(x －3)＞ 0， ……………………………………….......................3 分不等式 f (x )＞0 的解集是(－∞，1)∪(3．＋ ∞); …….......................6 分(2)不等式 f (x )≥0 对一切实数 x 成立等价于△＝(t ＋1)2－ 4t ≤0，....................... 10 分即(t －1)2≤0， 即 t ＝1． .......................14 分π61， …… .......................6 分所以，函数 f(x)的最小正周期为 π;....................... 8 分π π π3 6 66 ， ….......................10 分π π π 5π6 2 2 π6 ＋1， 2sin 2 ＋1]，即[2，3]． .......................14 分121 2， .......................4 分12π3 ;....................... 7 分3 ＝52及 c ＞0 得 c ＝2＋13，.......................11 分19．连 ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜ ,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝ ，2π sin θ 3 πsin( －θ)∴MN ＝ sin θ， OM ＝ sin( －3 MN ＋OM ＝400 [ sin θ＋sin( －θ)]3 ＝ ( sin θ＋ cos θ－ sin θ)＝ sin( ＋3 3∵0＜θ＜ ，∴ ＜ ＋θ＜ ，∴当 θ＝ 时，sin( ＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是 3＝ 1 π△ABC 的面积 △S ABC 2×4×(2＋ 13)×sin 3 ＝2 3＋39．........................ 14 分18．(1)设{a n }的公差为 d ，∵a 1，a 2，a 5 成等比数列，∴(a 1 ＋ d )2 ＝ a 1 (a 1 ＋ 4d ) ， ∴d ＝ 0 ， 或 d ＝ 2 a 1， .......................4 分当 d ＝0 时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6，∴a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 ＋ a 4 ＋ a 5 ＝30， .......................6 分当d ≠0 时 ， ∵a 3 ＋ a 4 ＝ 12 ， ∴a 1 ＝ 1 ， d ＝ 2， ........................8 分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0，∴b n ＝ 10 － a n ＝ 10 － (2n － 1) ＝ 11 － 2n ， .......................12 分当 n ≤5 时，b n ＞0， 当 n ≥6 时，b n ＜0， 当 n ＝5 时，S n 最大，S n 最大值是 9＋7＋5＋3＋1＝ 25． .......................16 分π32π3200 MN＝ ＝ sinOM， .......................4 分3400 400 π3 3θ)， .......................8 分π3400 3 1 400 π2 23 θ)， .......................13 分π π π 2π3 3 3 3 π π6 34003m ． .......................16 分20．(1)若 0＜a n ＜ 5－1则 a n ＋1＝ ＞ ＝1＋a n5－1 2，则 0＜1＋a n ＜1＋ 2 2 ｜＋｜a n ＋1－ 1 1 ｜a n －a n －1｜1＋a n 1＋a n －1 (1＋a n ) (1＋a n －1)∵a n ＞0，∴a n ＋1＝ ＜1 ( n ∈N *)，1＋a n －1 2 2 1＋a n －12∴｜a n ＋1－a n ｜＝ ≤ ｜a n －a n －1｜≤( )2｜a n －1－a n －2｜｜ a 2 － a 1 ｜ ＝ 5 6 5 数列{ ×( )n －1}递减， ×( )7－1＜0．001，2 ｜ ＋ ｜ a n ＋ 1 －5－1 2 ， 1 11＋5－12; ....................... 4 分(2)仿(1)可得，若 a n ＞5－1，则 a n ＋1＜5－12， ....................... 6 分则 n ≥2 时｜a n －5－1 5－1 2 2 ｜＝｜a n ＋1－a n ｜＝｜ － ｜＝ ，1 1＋a n1 1 1 1 ∴n ≥2 时， a n ＝ ＞ ，又 a 1＝ ，1 ∴n ≥2 时 ， (1 ＋ a n ) (1 ＋ a n － 1) ＝ (1 ＋ ) (1 ＋ a n － 1) ＝ 2 ＋ a n －5≥ ，.................. 8 分｜a n －a n －1｜ 2 2 (1＋a n ) (1＋a n －1) 5 52 1 2 ≤…≤( )n － 1 ×( )n1， .......................12 分1 2 1 26 5 6 5只要 N ≥7，当 n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，－5－15－1即 ｜ a n －2立． .......................16 分｜ ＜ 0 ． 001 成。
2020年度高一数学第二学期期中试卷及答案(一)
范文2020年度高一数学第二学期期中试卷及答案(一)1/ 72020 年高一数学第二学期期中试卷及答案（一）一、选择题1．已知数列{an}中，an=3n+4，若 an=13，则 n 等于（） A．3 B．4 C．5 D．6 2．在△ABC 中，已知A=60°，C=30°，c=5，则 a=（）A．5 B．10 C． D． 3．已知 =（﹣2，1）， =（﹣1，2），则 ? =（） A．0 B．4 C．﹣3 D．﹣1 4． +2 与﹣2 两数的等比中项是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D． 5．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差 d 等于（） A． B． C．2 D．﹣ 6．已知等比数列{an}中，a5=4，a7=6，则 a9 等于（） A．7 B．8 C．9 D．10 7．设Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 a2=3，a6=11，则 S7 等于（）A．13 B．35 C．49 D．63 8．在△ABC 中，若 a2+b2﹣c2＜0，则△ABC 是（） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 9．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若（a2+c2﹣b2） tanB= ac，则角 B 的值为（） A． B． C．或 D．或 10．设Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 =（）A．1 B．﹣1 C．2 D． 11．已知△ABC 中，D 为边 BC 上靠近 B 点的三等分点，连接 AD，E 为线段 AD 的中点，若，则 m+n=（）A． B． C． D． 12．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S17＜0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（） A． B． C． D．二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 =（1，2），向量 =（x，﹣2），若⊥ ，则 x= ． 14．在△ABC 中，若 b2+c2﹣a2=bc，则 A= ． 15 ．已知数列 {an} 中，，则 a20 的值为． 16．若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足Sn= an﹣3，求数列{an}的通项公式．三.解答题（解答题须写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10 分）已知等差数列{an}中，a2=3，a4+a6=18．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足：bn+1=2bn，并且 b1=a5，试求数列{bn}的前 n 项和 Sn．3/ 718．（12 分）平面内给定三个向量： =（3，2）， b=（﹣1，2）， =（4，1）．（1）求 3 + ﹣2 ；（2）若（ +k ）∥（2 ﹣），求实数 k． 19．（12 分）已知两向量，的夹角为120°，| |=1，| |=3，（Ⅰ）求|5 ﹣ |的值（Ⅱ）求向量 5 ﹣与夹角的余弦值． 20．（12 分）在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asinC= ccosA．（1）求角 A 的大小；（2）若 b=6，c=3，求 a 的值． 21．（12 分）已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前 n 项和为 Sn．（1）求 Sn；（2）令（n∈N+），求数列{bn}的前 n 项和 Tn． 22．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2acosB=3ccosA﹣2bcosA．（1）若 b= sinB，求 a；（2）若 a= ，△ABC 的面积为，求 b+c．参考答案与试题解析一、选择题 1．已知数列{an}中，an=3n+4，若 an=13，则 n 等于（） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】82：数列的函数特性；84：等差数列的通项公式．【分析】由 an=3n+4=13，求得 n 的值即可．【解答】解：由 an=3n+4=13，解得 n=3，故选A．【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题． 2．在△ABC 中，已知A=60°，C=30°，c=5，则 a=（） A．5 B．10 C． D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由 sinA，sinC，以及 c 的值，利用正弦定理求出 a 的值即可．【解答】解：∵在△ABC 中，A=60°，C=30°，c=5，∴由正弦定理 = 得：a= = =5 ．故选 C 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5/ 73．已知 =（﹣2，1）， =（﹣1，2），则 ? =（） A．0 B．4 C．﹣3 D．﹣1 【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的数量积的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意， =（﹣2，1）， =（﹣1，2），则 ? =（﹣2）×（﹣1）+1×2=4；故选：B．【点评】本题考查向量数量积的计算，关键要掌握平面向量数量积的计算公式． 4． +2 与﹣2 两数的等比中项是（） A．1 B．﹣1 C．±1 D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解： +2 与﹣2 两数的等比中项= =±1．故选：C．【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差 d 等于（）A． B． C．2 D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知求得 a6，然后结合 a10=6 代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{an}中，由 a4+a8=10，得 2a6=10，a6=5．7/ 7。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(二)
2020年高一数学下学期期中试卷及答案（二）一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣2．直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0 5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B． C．D．26．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上7．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α8．经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B （2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．A．①③B．②④C．①④D．②③10．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣π B．8﹣πC．8﹣π D．8﹣π11．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．90°12．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为．14．直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为．15．已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC 的面积为．16．已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．18．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P 作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．20．已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．22．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．23．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．直线经过点（0，2）和点（3，0），则它的斜率为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】I3：直线的斜率．【分析】直接利用直线的斜率公式求出直线l的斜率．【解答】解：直线经过点（0，2）和点（3，0），则直线l的斜率是k==﹣故选：C．2．直线x﹣y+a=0（a为常数）的倾斜角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】由直线的倾斜角α与斜率k的关系，可以求出α的值．【解答】解：设直线x﹣y+a=0的倾斜角是α，则直线的方程可化为y=x+a，直线的斜率k=tanα=，∵0°≤α＜180°，∴α=60°．故选：B．3．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】I7：两条直线平行的判定；IG：直线的一般式方程．【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行，所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值【解答】解：设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．4．与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】令x=0，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．可得：与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．利用截距式即可得出．【解答】解：令x=0，则y=，可得直线3x﹣4y+5=0与y轴的交点．令y=0，可得x=﹣，可得直线3x﹣4y+5=0与x轴的交点，此点关于y轴的对称点为．∴与直线3x﹣4y+5=0关于y轴对称的直线经过两点：，．其方程为：=1，化为：3x+4y﹣5=0．故选：A．5．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B． C．D．2【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．【解答】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C6．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行线的传递性得到GF∥EH，再利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．【解答】证明：因为F、G分别是边BC、CD上的点，且==，所以GF∥BD，并且GF=BD，因为点E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH∥BD，并且EH=BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，所以M∈面ABC内，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直线AC上．故选D．7．设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故A 错误．B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故B错误．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α，正确．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α或m⊂α或m∥α，故D错误．故选：C8．经过点P（0，2）的直线l，若直线l与连接A（﹣，﹣1），B （2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】I3：直线的斜率．【分析】直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是：k＜k PB，或k＞k PA．【解答】解：k PA=，k PB=﹣1．∵直线l与连接A（﹣，﹣1），B（2，0）的线段总有公共点，∴直线l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪．故选：D．9．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α∥β的是（）①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α．A．①③B．②④C．①④D．②③【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面垂直的性质判断①，根据几何体模型判断②，举反例判断③，反证法判断④．【解答】解：对于①，由“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”可知①正确；对于②，以直三棱柱为例，直三棱柱的任意两个侧面都与底面垂直，但两个侧面不平行，故②不正确；对于③，若α∩β=l，且m∥l，n∥l，显然符合条件，但平面α，β不平行，故③不正确；对于④，假设α与β相交，交线为l，∵m⊂α，α∩β=l，则m∥l，同理可得n∥l，故m∥n，与m，n为异面直线矛盾，故假设错误，故④正确．故选C．10．图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．8﹣π B．8﹣πC．8﹣π D．8﹣π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知：该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，结合图中数据，计算它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，挖去半个圆锥体，如图所示；结合图中数据，计算它的体积为V=23﹣××π×12×2=8﹣．故选：D．11．正方形ABCD，沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则折后的异面直线AB与CD所成的角的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结AO、CO，以O为原点，OC为x轴，OD 为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出折后的异面直线AB与CD所成的角．【解答】解：取BD中点O，连结AO、CO，设正方形ABCD边长为，∵沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（﹣1，1，0），设折后的异面直线AB与CD所成的角为θ，则cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴折后的异面直线AB与CD所成的角为60°．故选：C．12．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图），则球的半径是（）A．cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据体积公式列方程解出球的r即可．【解答】解：设球的半径为r，则V水=8πr2，V球=4πr3，加入小球后，液面高度为6r，∴πr2•6r=8πr2+4πr3，解得r=4．故选D．二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分）13．两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距离为2．【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】利用直线平行求出m，然后求解平行线之间的距离．【解答】解：两平行直线3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0，可得m=6，则两条平行线之间的距离为：=2．故答案为：2．14．直线l经过点A（3，﹣1），且在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，则直线l的方程为x﹣y﹣4=0．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】设直线l的方程为y+1=k（x﹣3），k＞0，根据题意在第四象限与两坐标轴围成等腰三角形，可得+3=3k+1，由此求得k的值，可得直线l的方程．【解答】解：∵直线l经过点A（3，﹣1），设直线l的方程为y+1=k （x﹣3），k＞0，则直线和x轴的交点为（+3，0），和y轴的交点为（0，﹣3k﹣1 ），根据题意可得+3=3k+1，即3k2﹣2k﹣1=0，求得k=1，或k=﹣（舍去），故直线l的方程为y+1=1（x﹣3），即x﹣y﹣4=0，故答案为：x﹣y﹣4=0．15．已知△ABC的三个顶点A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），则△ABC 的面积为5．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据A（1，3），B（3，1），求出AB的直线方程，和AB的距离，利用点到直线的距离就是AB为底的高，即可得△ABC 的面积．【解答】解：由A（1，3），B（3，1），设AB的直线方程为y=kx+b，则，解得：k=﹣1，b=4．AB的直线方程为x+y﹣4=0．C（﹣1，0）到直线AB的距离h=．AB的距离d==2．则△ABC 的面积S=×=5．故答案为：5．16．已知圆台的上、下底面半径分别是1cm、3cm，且侧面积等于两底面积之和，则圆台的母线长为cm．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据侧面积公式列方程解出．【解答】解：S=π，S′=9π，∴π（1+3）l=π+9π=10π，∴l=．故答案为：．17．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体对角线AC1的长是．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；L2：棱柱的结构特征．【分析】设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，由题意建立方程组，三式相加可得结论．【解答】解：设长方体具有公共顶点的棱长分别为x，y，z，则三式相加可得x2+y2+z2=∴长方体对角线AC1的长是=故答案为：18．如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P 作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为．（埴体积小与体积大之比）【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知可得EH∥AC∥FG，且VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH 的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC的体积和．找出各多面体体积的关系得答案．【解答】解：如图，∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH=FG，且EH ∥FG，∴EH∥平面ABC，又EH⊂平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，∴EH∥AC，则EH∥AC∥FG，∵P为△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，而EH=FG，∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．连接VF、VG、AG、AH，则多面体EFGHVB的体积等于四棱锥V﹣EFGH的体积与三棱锥V﹣BFG的体积和，多面体EFGHAC的体积等于四棱锥A﹣EFGH的体积与三棱锥H﹣AGC 的体积和．∵四棱锥V﹣EFGH的高是四棱锥A﹣EFGH的高的2倍，底面积相等，∴四棱锥V﹣EFGH的体积是四棱锥A﹣EFGH的体积的2倍；∵三棱锥V﹣BFG的底面积是三棱锥H﹣AGC的底面积的倍，高是3倍，∴三棱锥V﹣BFG的体积是三棱锥H﹣AGC的体积的4倍．设棱锥H﹣AGC的体积为V1，则三棱锥H﹣AFG的体积为，有四棱锥A﹣EFGH的体积是．∴多面体EFGHAC的体积等于，多面体EFGHVB的体积等于，∴多面体EFGHAC的体积与多面体EFGHVB的体积比等于．故答案为：．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知两条直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，问a为何值时，l1与l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）通过直线的斜率相等，截距不相等，判断直线平行，求出a的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）直线不平行，直线即可相交，推出a的范围；（Ⅲ）当两条直线的斜率乘积是﹣1时，两条直线垂直，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0的斜率为﹣，直线l2：（a+5）x+2y﹣8=0的斜率为﹣，∴﹣=﹣，解得a=﹣1，或a=﹣7，当a=﹣1时两条直线重合，舍去，∴a=﹣7时两条直线平行；（Ⅱ）两条直线相交，则两条直线不重合，不平行，∴a∈（﹣∞，﹣7）∪（﹣7，﹣1）∪（﹣1，+∞）；（Ⅲ）两条直线垂直，∴（﹣）（﹣）=﹣1，解得a=﹣．20．已知△ABC的顶点A（1，5），AB边上的中线CM所在直线方程为x﹣2y+5=0，AC边上的高BH所在直线方程为2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）顶点C的坐标；（Ⅱ）直线BC的方程．【考点】IK：待定系数法求直线方程．【分析】（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），利用条件以及线段的中点公式、两条直线垂直的性质，求得m、n的值，可得点C的坐标．（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），利用条件线段的中点公式，求得e、f的值，可得B的坐标，再利用式求得直线BC的方程．【解答】解：（Ⅰ）设顶点C的坐标为（m，n），则由点C在直线CM上，可得m﹣2n+5=0 ①．再根据AC⊥BH，可得•2=﹣1 ②，由①②求得，∴C（3，4）．（Ⅱ）设点B的坐标为（e，f），则AB的中点（，）在CM：x﹣2y+5=0上，∴﹣2•+5=0，即e﹣2f﹣4=0 ③．再根据点B的坐标为（e，f）满足BH所在直线方程2x﹣y+5=0，可得2e﹣f+5=0 ④，由③④求得，∴B（﹣，﹣），由两点式求得直线BC的方程为=，即25x﹣23y+17=0．21．如图，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分别是棱BC、CC'上的点（点D不同于点C），且AD⊥BC，F为B'C'的中点．求证：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直线A'F∥平面ADE．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）根据AD⊥BC，AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′，于是平面ADE⊥平面BCC'B'；（II）连结DF，证明四边形ADFA′是平行四边形得出A′F∥AD，于是A'F∥平面ADE．【解答】证明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB′，∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′⊂平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，∴AD⊥平面BCC′B′，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC'B'．（II）连结DF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC的中点，又F是B′C′的中点，∴B′F BD，∴四边形BDFB′是平行四边形，∴DF BB′，又BB′AA′，∴DF AA′，∴四边形ADFA′是平行四边形，∴A′F∥AD，又A′F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴A′F∥平面ADE．22．如图，在正方体ABCD﹣A'B'C'D'中，E为DD'的中点．（Ⅰ）求证BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如图，设F为上底面A'B'C'D'一点，过点F在上底面画一条直线与CF垂直，并说明理由．【考点】LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）连接BD交AC于O，连接EO，则由中位线定理得OE∥BD′，故BD'∥平面AEC；（II）连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线；通过证明FM⊥平面CC′F即可得出结论．【解答】（I）证明：连接BD交AC于O，连接EO，∵四边形ABCD是正方形，∴O是BD的中点，又E是DD′的中点，∴OE∥BD′，又OE⊂平面AEC，BD′⊄平面AEC，∴BD'∥平面AEC．（II）解：连结C′F，在上底面内过F作直线FM⊥C′F，则直线FM即为所求的直线．证明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，FM⊂平面A′B′C′D′，∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，∴FM⊥平面CC′F，又CF⊂平面CC′F，∴FM⊥CF．23．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圆周上不同于A、B的点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）过A作AD⊥PC（D为垂足），过D作DE⊥PB（E为垂足），求证：PB⊥平面ADE．【考点】LW：直线与平面垂直的判定；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，结合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC；（II）由BC⊥平面PAC得BC⊥AD，结合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC，于是AD⊥PB，结合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE．【解答】证明：（I）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（II）由（I）可知BC⊥平面PAC，AD⊂平面PAC，∴BC⊥AD，又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AD⊥PB，又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，∴PB⊥平面ADE．。
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(一)
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[﹣1，6]D．[﹣6，1] 2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（）A．B．C．D．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）4．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（﹣）•=，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°5．已知向量=（2，1），=（1，k）且与的夹角为锐角，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2）6．y=sin（2x+）的图象经过下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A． B．C．7 D．188．在△ABC中，已知，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形9．设a=（sin 17°+cos 17°），b=2cos213°﹣1，c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin 23°，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c10．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B，若f（B）﹣m＜2恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞﹣3 C．m＜3 D．m＞1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=．14．函数y=tan（2x+）+1的图象的对称中心为．15．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于．16．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=；③函数y=是奇函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求向量与的夹角θ；（2）求|+2|．18．已知θ为第二象限角，tan 2θ=﹣2．（1）求tan θ的值；（2）求的值．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E 分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（3）当x∈[﹣，]时，求函数y=f（x+）﹣f（x+）的最值．22．已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg （10a+9）]成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁U M=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[﹣1，6]D．[﹣6，1]【考点】1F：补集及其运算．【分析】先求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x ＞6，∴M=（﹣∞．﹣1）∪（6，+∞），∴∁U M=[﹣1，6]，故选：C2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】G2：终边相同的角．【分析】先确定此点的坐标，判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值，从而得到此角的最小值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为，即（，﹣），此点到原点的距离为1，此点在第四象限，tanα=﹣，故角α的最小值为，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．4．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（﹣）•=，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】求出，再计算cos＜＞即可得出．【解答】解：∵（﹣）•=﹣=，=﹣2﹣8=﹣10，∴=﹣10=﹣，∴cos＜＞===﹣，∴与的夹角为120°．故选D．5．已知向量=（2，1），=（1，k）且与的夹角为锐角，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2）【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为锐角θ，则由题意可得cosθ＞0，且与不平行，可得k＞2，且，由此求得k的取值范围．【解答】解：设与的夹角为锐角θ，则由题意可得cosθ==＞0，且与不平行．∴k＞﹣2，且，解得k＞﹣2，且k≠．故k的取值范围是，故选B．6．y=sin（2x+）的图象经过下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：由于把y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，而函数y=sin（2x+）的图象显然关于点（﹣，0）中心对称，故选：C．7．已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A． B．C．7 D．18【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；93：向量的模．【分析】由D为BD的中点，知|=（）=3﹣．由，||=3，=，能求出．【解答】解：∵D为BD的中点，∴|=（）=+=3﹣．∵，||=3，=，∴=﹣=．∴．故选A．8．在△ABC中，已知，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式求得sin=，可得C=，故△ABC的形状为直角三角形．【解答】解：△ABC中，∵已知，∴cot=sinC，即=2sin cos．又cos≠0，∴sin=﹣（舍去），或sin=，∴=，C=，∴△ABC的形状为直角三角形，故选：C．9．设a=（sin 17°+cos 17°），b=2cos213°﹣1，c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin 23°，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用和、并角公式化简a，用二倍角公式化简b，c，再由函数值的大小比较三数的大小．【解答】解：∵a=（sin 17°+cos 17°）=sin（17°+45°）=sin62°，b=2cos213°﹣1=cos26°=sin63°，c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin 23°=sin 37°•cos23°+cos37°sin 23°=sin （37°+23°）=sin60°，而函数y=sinx在[0°，90°]上但单调递增，故sin60°＜sin62°＜sin63°，即c＜a＜b，故选：C．10．已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，]C．（﹣∞，2]D．[，2）【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则函数f（x）在R上为减函数，∵函数f（x）=，故，解得：a∈（﹣∞，]，故选：B．11．在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．【考点】9V：向量在几何中的应用．【分析】根据向量条件，确定点P是CA边上的三等分点，从而可求△PBC与△ABC的面积之比．【解答】解：由得=，即=2，所以点P是CA边上的三等分点，故S△PBC：S△ABC=2：3．故选C．12．已知A，B，C是△ABC的三个内角，设f（B）=4sinB•cos2（﹣）+cos2B，若f（B）﹣m＜2恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞﹣3 C．m＜3 D．m＞1【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（B）=2sinB+1，由f（B）﹣m＜2恒成立得出m＞f（B）﹣2恒成立，根据B的范围解出f（B）﹣2的最大值极为m的最小值．【解答】解：f（B）=4sinB•+cos2B=2sin2B+2sinB+1﹣2sin2B=2sinB+1．∵f（B）﹣m＜2恒成立，∴m＞f（B）﹣2恒成立．∵0＜B＜π，∴f（B）的最大值为3，∴m＞3﹣2=1．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=﹣．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】运用的诱导公式求出cos（）的值，根据α为钝角，求出的取值范围，确定sin（）的符号，运用同角三角函数的平方关系即可得到结果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，∵α为钝角，即＜α＜π，∴＜﹣，∴sin（﹣α）＜0，∴sin（﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．14．函数y=tan（2x+）+1的图象的对称中心为（，1），k∈Z．．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据正切函数的性质可得答案．【解答】解：由正切函数的性质可得：2x+=，k∈Z，可得：x=，函数y=tan（2x+）+1的图象的对称中心为（，1），k∈Z．故答案为：（，1），k∈Z．15．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于2．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数列出方程转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=，f[f（0）]=4a，可得f[f（0）]=f（20+1）=f（2）=22+2a=4a，解得a=2．故答案为：2．16．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sin α＞sinβ；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=；③函数y=是奇函数；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为④．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①举例说明，令α=30°，β=﹣300°满足均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°＜sin （﹣300°），可判断①错误；②若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，则a=±，可判断②错误；③利用奇函数的定义可判断函数y=f（x）=不是奇函数，可判断③错误；④利用余弦函数y=cosx在[0，π]上是减函数，知y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，可判断④正确；【解答】解：对于①，α=30°，β=﹣300°均为第一象限角，且α＞β，但sin 30°=＜sin（﹣300°）=，故①错误；对于②，若函数y=2cos（ax﹣）的最小正周期是4π，即T==4π，则a=±，故②错误；对于③，因为函数f（﹣x）==≠﹣=﹣f（x），所以函数y=不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0，π]上是减函数，所以函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在[0，π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为：④．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61．（1）求向量与的夹角θ；（2）求|+2|．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】（1）先求出•=﹣6，再根据夹角公式计算即可，（2）先平方，再根据向量的数量积运算即可．【解答】解：（1）∵||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，∴4||2﹣4﹣3||2=61，即64﹣4•﹣27=61，∴•=﹣6，∴cosθ===﹣，∴θ=120°，（2）|+2|2=||2+4+4||2=16﹣24+36=28，∴|+2|2=218．已知θ为第二象限角，tan 2θ=﹣2．（1）求tan θ的值；（2）求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角恒等变换，以及三角函数在各个象限中的符号，求得tan θ的值．（2）利用三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：（1）∵θ为第二象限角，∴tan θ＜0，∵tan 2θ==﹣2．∴tan θ=﹣，或tanθ=（舍去）．（2）=====4+2．19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=AA1=2，D、E 分别为棱AB、BC的中点，点F在棱AA1上．（1）证明：直线A1C1∥平面FDE；（2）若F为棱AA1的中点，求三棱锥A1﹣DEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据题意，证明DE∥AC，再证A1C1∥DE，从而证明直线A1C1∥平面FDE；（2）利用三棱锥A1﹣DEF的体积为﹣V F﹣ADE，即可求出结果．【解答】解：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别为棱AB、BC 的中点，∴DE∥AC，又A1C1∥AC，∴A1C1∥DE；又DE⊂平面FDE，A1C1⊄平面FDE，∴直线A1C1∥平面FDE；（2）如图所示：当F为棱AA1的中点时，AF=AA1=1，三棱锥A1﹣ADE的体积为=S△ADE•AA1=×DE•EC•AA1=×1×1×2=，三棱锥F﹣ADE的体积为V F﹣ADE=S△ADE•AF=×DE•EC•AA1=；∴三棱锥A1﹣DEF的体积为﹣V F﹣ADE=﹣=．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】HM：复合三角函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；HW：三角函数的最值．【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得f（x）=，由此可得函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出f（x）的单调递减区间是，再将此区间与[0，π]取交集，即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：（1）∵=====；∴函数f（x）的最小正周期为T=π，函数f（x）的最大值为；（2）设，解得．∴函数f（x）的单调递减区间是；又∵x∈[0，π]，∴分别取k=0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；（3）当x∈[﹣，]时，求函数y=f（x+）﹣f（x+）的最值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由图得到函数的四分之三周期，进一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五点作图的第二点求得φ，再由f（0）=2求得A的值，则函数解析式可求；（2）由函数的周期变化和平移变换求得g（x），然后再由简单的复合函数单调性的求法求解g（x）的增区间；（3）结合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+）﹣f（x+），利用三角恒等变换变形后根据x的范围求最值．【解答】解：（1）由图可得，，∴T=2π，则．由五点作图的第二点知，φ=，则φ=．∴f（x）=Asin（x+），又f（0）=Asin=2，得A=4．∴f（x）=4sin（x+）；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍所得函数解析式为y=4sin（2x+），再将所得函数图象向右平移个单位，解析式变为y=4sin[2（x﹣）+]，∴g（x）=4sin（2x﹣）．由，解得：．∴g（x）的单调递增区间为；（3）y=f（x+）﹣f（x+）=4sin（x++）﹣4sin（x++）=4sin（x+）﹣4cosx=4sinxcos+4cosxsin﹣=4sin（x﹣）．∵x∈[﹣，]，∴，∴函数y=f（x+）﹣f（x+）的最小值为﹣4，最大值为2．22．已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg （10a+9）]成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；3E：函数单调性的判断与证明；3L：函数奇偶性的性质．【分析】（1）由条件利用函数的奇偶性的性质求得a、b的值，可得a+b的值．（2）由条件利用函数的单调性求得3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，求得3t2﹣2t的最小值，可得k的范围．（3）由题意可得存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，求得g（x）的最大值，可得a的范围．第22页（共24页）【解答】解：（1）由g（0）=0得a=1，则，经检验g（x）是奇函数．由f（﹣1）=f（1）得，则，经检验f（x）是偶函数，∴．（2）∵，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，t∈[0，+∞）恒成立，即3t2﹣2t＞k，t∈[0，+∞）恒成立，令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）上F（x）的最小值为，∴．（3）h（x）=lg（10x+1），h（lg（10a+9））=lg[10lg（10a+9）+1]=lg（10a+10），则由已知得，存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞lg（10a+10）成立，而g（x）在（﹣∞，1]单增，∴，∴，∴．又，∵，∴，∴．第24页（共24页）。
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(九)
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案（九）时间：120分钟 满分：100分一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列1，43-，95，167-，...的一个通项公式是 A.a n =1)1(+-n 212n n - B.a n =n )1(-212n n - C.a n =1)1(+-n 212n n + D.a n =n )1(-212n n + 2.在空间中，下列命题中正确的是 A.垂直于同一条直线的两条直线平行 B.没有公共点的两条直线平行 C.平行于同一平面的两个平面平行 D.平行同一平面的两条直线平行3.已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为2π，那么它的体积为 A.315π B.215π C.15π D.4π4.已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题中正确的是A.2a ＜2bB.a 1＞b 1C.a 2c ＜b 2cD.21ab ＜ba 215，在△ABC 中，若a=1，b=23，A=30︒，则B 等于 A.60︒ B.60︒或120︒ C.30︒ D.30︒或150︒6.设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7等于 A.13 B.35 C.49 D.637.若-9，a 1.a 2，-1成等差数列，-9，b 1，b 2，b 3，-1成等比数列，则b 2（a 1+a 2）等于A.-30B.30C.±30D.15 8.9.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成的角的大小为 A.30︒ B.45︒ C.60︒ D.90︒9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为A.320 B.8 C.322 D.316 10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱形（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16 π B.20π C.24π D.32π11.已知各项均为正数的等比数列{an}满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ，a n 使得n m a a =4a 1，则m 1+n4的最小值为 A.23 B.35 C.49D.不存在12.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面五个命题①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行⑤当容器倾斜如图3所示时，BE·BF是定值其中正确命题的个数为A.2B.3C.4D.513.已知数列{a n}的前n项和为S n=1-5+9-13+17-21+...+1)1-n(-（4n-3），则S15+S22-S31的值是A.13B.-76C.46D.7614.在△ABC中，b=asinC,c=acosB,则△ABC一定是A.等腰三角形但不是直角三角形B.直角三角形但不是等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形x+y-6≤015.设x ，y 满足不等式组 2x-y-1≤0，若z=ax+y 的最大值为2a+4，最小值为a+1，3x-y-2≥0 则实数a 的取值范围为 A.［-1,2］ B.［-2,1］ C.［-3,-2］ D.［-3,1］ 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 答案二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填写在题中的横线上。
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案(一)
2020年高一数学第二学期期中试卷及答案（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则UM=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[﹣1，6]D．[﹣6，1] 2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（）A．B．C．D．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）4．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=，若（﹣）•=，则与的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°5．已知向量=（2，1），=（1，k）且与的夹角为锐角，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2）6．y=sin（2x+）的图象经过下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移C．向右平移7．已知个单位B．向左平移个单位D．向右平移，||=3，=个单位个单位，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）fA ．B ．C ．7D ．18△8．在 ABC 中，已知，则△ABC 的形状为（ ）A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形9．设 a= （sin 17°+cos 17°），b=2cos 213°﹣1，c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin23°，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c10．已知函数 f （x ）=满足对任意的实数 x 1≠x 2 都有＜0 成立，则实数 a 的取值范围为（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，2]D ．[，2）△11．在 ABC 所在的平面内有一点 P ，满足，则△PBC 与△ABC 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．12．已知 A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设 f （B ）=4sinB•cos 2（ ﹣）+cos2B ，若 （B ）﹣m ＜2 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．m ＜1B ．m ＞﹣3C ．m ＜3D ．m ＞1二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知 α 为钝角，sin （+α）= ，则 sin （﹣α）= ．f = f ]14．函数 y= tan （2x +15．已知函数 （x ））+1 的图象的对称中心为 ．，若 f [（0） =4a ，则实数 a 等于 ．16．有下列四个命题：①若 α、β 均为第一象限角，且 α＞β，则 sin α＞sinβ；②若函数 y=2cos （ax ﹣）的最小正周期是 4π，则 a= ；③函数 y=④函数 y=sin （x ﹣是奇函数；）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知| |=4，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=61．（1）求向量 与 的夹角 θ；（2）求| +2 |．18．已知 θ 为第二象限角，tan 2θ=﹣2 ．（1）求 tan θ 的值；（2）求的值．19．在直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1=2，D 、E分别为棱 AB 、BC 的中点，点 F 在棱 AA 1 上．（1）证明：直线 A 1C 1∥平面 FDE ；（2）若 F 为棱 AA 1 的中点，求三棱锥 A 1﹣DEF 的体积．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将所得函数图象向右平移的图象，求g（x）的单调递增区间；个单位，得到函数y=g（x）（3）当x∈[﹣值．，]时，求函数y=f（x+）﹣f（x+）的最22．已知函数（1）求a+b的值．是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg （10a+9）]成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）M=（）1．设集合M={x|x2﹣5x﹣6＞0}，U=R，则∁UA．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[﹣1，6]D．[﹣6，1]【考点】1F：补集及其运算．【分析】先求出集合M，然后进行补集的运算即可．【解答】解：x2﹣5x﹣6＞0即（x﹣6）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x ＞6，∴M=（﹣∞．﹣1）∪（6，+∞），∴∁M=[﹣1，6]，U故选：C2．已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为（）A．B．C．D．【考点】G2：终边相同的角．【分析】先确定此点的坐标，判断此点的终边所在的象限，并求出此角的正切值，从而得到此角的最小值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为，即（，﹣），此点到原点的距离为1，此点在第四象限，tanα=﹣，故角α的最小值为故选：C．，3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（1）=ln（1+1）﹣2=ln2﹣2＜0，而f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（1，2），故选：B．4．已知向量=（1，2），=（﹣2，﹣4），||=则与的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】9R：平面向量数量积的运算．，若（﹣）•=，【分析】求出，再计算cos＜【解答】解：∵（﹣）•=∴=﹣10=﹣，﹣＞即可得出．=，=﹣2﹣8=﹣10，∴cos＜＞===﹣，∴与的夹角为120°．故选D．5．已知向量=（2，1），=（1，k）且与的夹角为锐角，则k的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣2，2）【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】设与的夹角为锐角θ，则由题意可得cosθ＞0，且与不平行，可得k＞2，且，由此求得k的取值范围．【解答】解：设与的夹角为锐角θ，则由题意可得cosθ==＞0，且与不平行．∴k＞﹣2，且故k的取值范围是故选B．，解得k＞﹣2，且k≠．，6．y=sin（2x+）的图象经过下列怎样的平移后所得的图象关于点（﹣，0）中心对称（）A．向左平移C．向右平移个单位B．向左平移个单位D．向右平移个单位个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【解答】解：由于把y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，而函数y=sin（2x+故选：C．）的图象显然关于点（﹣，0）中心对称，7．已知，||=3，=，如图，若，=，D为BC的中点，则|为（）A．B．C．7D．18【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义；93：向量的模．【分析】由D为BD的中点，知|=（）=3﹣．由，||=3，=，能求出【解答】解：∵D为BD的中点，．∴=|=（+）=3﹣．∵，||=3，=，∴=﹣=．∴．故选A．△8．在ABC中，已知，则△ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用诱导公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式求得sin=，可得C=，故ABC的形状为直角三角形．，∴cot=sinC，【解答】解：△ABC中，∵已知即=2sin cos．又cos≠0，∴sin=﹣（舍去），或sin=，，∴△ABC的形状为直角三角形，∴=，C=故选：C．9．设a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°﹣1，c=sin37°•sin67°+sin53°sin 23°，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用和、并角公式化简a，用二倍角公式化简b，c，再由函数值的大小比较三数的大小．【解答】解：∵a=（sin 17°+cos 17°）=sin （17°+45°）=sin62°，b=2cos 213°﹣1=cos26°=sin63°，c=sin 37°•sin 67°+sin 53°sin 23°=sin 37°•cos23°+cos37°sin 23°=sin（37°+23°）=sin60°，而函数 y=sinx 在[0°，90°]上但单调递增，故 sin60°＜sin62°＜sin63°，即 c ＜a ＜b ，故选：C ．10．已知函数 f （x ）=满足对任意的实数 x 1≠x 2 都有＜0 成立，则实数 a 的取值范围为（）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，2]D ．[，2）【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】由已知可得函数 f （x ）在 R 上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数 a 的取值范围．【解答】解：若对任意的实数 x 1≠x 2 都有则函数 f （x ）在 R 上为减函数，＜0 成立，∵函数 f （x ）=故，，解得：a ∈（﹣∞，]，f f f f f故选：B ．△11．在 ABC 所在的平面内有一点 P ，满足，则△PBC 与△ABC 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．【考点】9V ：向量在几何中的应用．【分析】根据向量条件，确定点 P 是 CA 边上的三等分点，从而可求△PBC 与△ABC 的面积之比．【解答】解：由得= ，即 =2 ，所以点 P 是 CA 边上的三等分点，故 S △PBC ：S △ABC =2：3．故选 C ．12．已知 A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设 f （B ）=4sinB•cos 2（ ﹣）+cos2B ，若 （B ）﹣m ＜2 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）A ．m ＜1B ．m ＞﹣3C ．m ＜3D ．m ＞1【考点】GL ：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简 （B ）=2sinB +1，由 （B ）﹣m ＜2 恒成立得出 m ＞ （B ）﹣2 恒成立，根据 B 的范围解出 （B ）﹣2 的最大值极为 m 的最小值．【 解 答】 解： f （ B ） =4sinB•+cos2B=2sin 2B +2sinB +1 ﹣2sin 2B=2sinB +1．∵f （B ）﹣m ＜2 恒成立，∴m ＞f （B ）﹣2 恒成立．∵0＜B＜π，∴f（B）的最大值为3，∴m＞3﹣2=1．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知α为钝角，sin（+α）=，则sin（﹣α）=﹣．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】运用角，求出的诱导公式求出cos（的取值范围，确定sin（）的值，根据α为钝）的符号，运用同角三角函数的平方关系即可得到结果．【解答】解：∵sin（+α）=，∴cos（=sin（﹣α）=cos[+α）=，﹣（+α）]∵α为钝角，即∴＜﹣＜α＜π，，∴sin（∴sin（﹣α）＜0，﹣α）=﹣=﹣=﹣，故答案为：﹣．14．函数y=tan（2x+）+1的图象的对称中心为（，1），k∈Z．．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据正切函数的性质可得答案．【解答】解：由正切函数的性质可得：2x+=，k∈Z，可得：x=，函数y=tan（2x+故答案为：（）+1的图象的对称中心为（，1），k∈Z．，1），k∈Z．15．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于2．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】利用分段函数列出方程转化求解即可．【解答】解：函数f（x）=，f[f（0）]=4a，可得f[f（0）]=f（20+1）=f（2）=22+2a=4a，解得a=2．故答案为：2．16．有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；f =②若函数 y=2cos （ax ﹣ ）的最小正周期是 4π，则 a= ；③函数 y=④函数 y=sin （x ﹣是奇函数；）在[0，π]上是增函数；其中正确命题的序号为 ④ ．【考点】2K ：命题的真假判断与应用．【分析】①举例说明，令 α=30°，β=﹣300°满足均为第一象限角，且α＞β，但 sin 30°＜sin （﹣300°），可判断①错误；②若函数 y=2cos （ax ﹣②错误；）的最小正周期是 4π，则 a=± ，可判断③利用奇函数的定义可判断函数 y=f （x ）=判断③错误；不是奇函数，可④利用余弦函数 y=cosx 在[0，π]上是减函数，知 y=sin （x ﹣ ）=﹣cosx 在[0，π]上是增函数，可判断④正确；【解答】解：对于①，α=30°，β=﹣300°均为第一象限角，且 α＞β，但 sin 30°= ＜sin （﹣300°）=对于②，若函数 y=2cos （ax ﹣则 a=± ，故②错误；对于③，因为函数（﹣x ） ，故①错误；）的最小正周期是 4π，即 T= =4π，= ≠﹣=﹣f （x ），所以函数 y=不是奇函数，故③错误；对于④，因为 y=cosx 在[0，π]上是减函数，所以函数 y=sin （x ﹣）=﹣cosx 在[0，π]上是增函数，故④正确；（综上所述，正确命题的序号为④．故答案为：④．三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知| |=4，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=61．（1）求向量 与 的夹角 θ；（2）求| +2 |．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】 1）先求出 • =﹣6，再根据夹角公式计算即可，（2）先平方，再根据向量的数量积运算即可．【解答】解：（1）∵| |=4，| |=3，（2 ﹣3 ）•（2 + ）=61，∴4| |2﹣4﹣3| |2=61，即 64﹣4 • ﹣27=61，∴ • =﹣6，∴cosθ=∴θ=120°，= =﹣ ，（2）| +2 |2=| |2+4∴| +2 |2=2+4| |2=16﹣24+36=28，18．已知 θ 为第二象限角，tan 2θ=﹣2（1）求 tan θ 的值；．（ （（2）求的值．【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】 1）利用三角恒等变换，以及三角函数在各个象限中的符号，求得 tan θ 的值．（2）利用三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，化简所给的式子，可得结果．【解答】解： 1）∵θ 为第二象限角，∴tan θ＜0，∵tan 2θ==﹣2 ．∴tan θ=﹣（2），或 tanθ= （舍去）．= ====4+2 ．19．在直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，∠ACB=90°，AC=BC=AA 1=2，D 、E分别为棱 AB 、BC 的中点，点 F 在棱 AA 1 上．（1）证明：直线 A 1C 1∥平面 FDE ；（2）若 F 为棱 AA 1 的中点，求三棱锥 A 1﹣DEF 的体积．LS（【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积； ：直线与平面平行的判定．【分析】 1）根据题意，证明 DE ∥AC ，再证 A 1C 1∥DE ，从而证明直线 A 1C 1∥平面 FDE ；（2）利用三棱锥 A 1﹣DEF 的体积为﹣V F ﹣ADE ，即可求出结果．【解答】解：（1）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，D 、E 分别为棱 AB 、BC的中点，∴DE ∥AC ，又 A 1C 1∥AC ，∴A 1C 1∥DE ；又 DE 平面 FDE ，A 1C 1 平面 FDE ，∴直线 A 1C 1∥平面 FDE ；（2）如图所示：当 F 为棱 AA 1 的中点时，AF= AA 1=1，三棱锥 A 1﹣ADE 的体积为= S △ADE •AA 1= × DE•EC•AA 1= ×1×1×2= ，三棱锥 F ﹣ADE 的体积为V F ﹣ADE = S△ADE•AF= × DE•EC• AA 1= ；（∴三棱锥 A 1﹣DEF 的体积为﹣V F ﹣ADE = ﹣ = ．20．已知函数（1）求函数 f （x ）的最小正周期和最大值；（2）求函数 f （x ）在[0，π]上的单调递减区间．【考点】HM ：复合三角函数的单调性；H1：三角函数的周期性及其求法；HW ：三角函数的最值．【分析】 1）利用两角和与差的余弦公式、二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简，得 f （x ）=，由此可得函数 f （x ）的最小正周期和最大值；（2）根据三角函数的单调区间公式解不等式，得出 f （x ）的单调递减区间是，再将此区间与[0，π]取交集，即可得到 f （x ）在[0，π]上的单调递减区间．【解答】解：（1）∵= ====；∴函数f（x）的最小正周期为T=π，函数f（x）的最大值为；（2）设，解得．∴函数f（x）的单调递减区间是；又∵x∈[0，π]，∴分别取k=0和1，取交集可得f（x）在[0，π]上的单调递减区间为和．21．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为个单位，得到函数y=g（x）原来的倍，再将所得函数图象向右平移的图象，求g（x）的单调递增区间；，]时，求函数y=f（x+）﹣f（x+）的最（3）当x∈[﹣值．数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．（ ）﹣4 【分析】 1）由图得到函数的四分之三周期，进一步求得周期，代入周期公式求 ω，然后利用五点作图的第二点求得 φ，再由 f （0）=2求得 A 的值，则函数解析式可求；（2）由函数的周期变化和平移变换求得 g （x ），然后再由简单的复合函数单调性的求法求解 g （x ）的增区间；（3）结合（1）中的 f （x ）的解析式求得 y=f （x +利用三角恒等变换变形后根据 x 的范围求最值．）﹣ f （x + ），【解答】解：（1）由图可得，，∴T=2π，则．由五点作图的第二点知，φ= ，则 φ= ．∴f （x ）=Asin （x +），又 f （0）=Asin=2，得 A=4．∴f （x ）=4sin （x +）；（2）将函数 y=f （x ）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍所得函数解析式为 y=4sin （2x + ），再将所得函数图象向右平移个单位，解析式变为 y=4sin [2（x ﹣）+ ]，∴g （x ）=4sin （2x ﹣ ）．由 ，解得： ．∴g （x ）的单调递增区间为 ；（3）y=f （x + ）﹣ f （x + ）=4sin （x + + sin （x + + ）（ t=4sin （x +）﹣4 cosx =4sinxcos +4cosxsin﹣ =4sin （x ﹣ ∵x ∈[﹣∴）．， ]，， ∴函数 y=f （x +）﹣ f （x + ）的最小值为﹣4，最大值为 2．22．已知函数是奇函数，f （x ）=lg （10x +1）+bx 是偶函数．（1）求 a +b 的值．（2）若对任意的 t ∈[0，+∞），不等式 g （t 2﹣2t ）+g （2t 2﹣k ）＞0恒成立，求实数 k 的取值范围．（3）设，若存在 x ∈（﹣∞，1]，使不等式 g （x ）＞h [lg（10a +9）]成立，求实数 a 的取值范围．【考点】3R ：函数恒成立问题；3E ：函数单调性的判断与证明；3L ：函数奇偶性的性质．【分析】 1）由条件利用函数的奇偶性的性质求得 a 、b 的值，可得a +b 的值．（2）由条件利用函数的单调性求得 3t 2﹣2t ＞k ， ∈[0，+∞）恒成立，求得 3t 2﹣2t 的最小值，可得 k 的范围．（3）由题意可得存在 x ∈（﹣∞，1]，使不等式 g （x ）＞lg （10a +10）成立，求得 g （x ）的最大值，可得 a 的范围．F F h h 【解答】解：（1）由 g （0）=0 得 a=1，则是奇函数．，经检验 g （x ）由 f （﹣1）=f （1）得偶函数，∴．，则 ，经检验 f （x ）是（2）∵，且 g （x ）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g （x ）为奇函数．∴由 g （t 2﹣2t ）+g （2t 2﹣k ）＞0 恒成立，得 g （t 2﹣2t ）＞﹣g （2t 2﹣k ）=g （﹣2t 2+k ），∴t 2﹣2t ＞﹣2t 2+k ，t ∈[0，+∞）恒成立，即 3t 2﹣2t ＞k ，t ∈[0，+∞）恒成立，令 （x ）=3t 2﹣2t ，在[0，+∞）上 （x ）的最小值为，∴ ． （3）（x ）=lg （10x +1），（lg （10a +9））=lg [10lg （10a +9）+1]=lg （10a +10），则由已知得，存在 x ∈（﹣∞，1]，使不等式 g （x ）＞lg （10a +10）成立，而 g （x ）在（﹣∞，1]单增，∴，∴，∴ ．又∵∴，，∴ ． ，。
2020最新高一下册期中考试数学试题及答案(苏科版)
高一(下)期中考试数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分．满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．试题的答案写在答题卡的对应区域内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．cos 75°＝ ．2．sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°＝ ．3．在平面直角坐标系内，若角α的终边经过点P (1，－2)，则sin2α＝ ． 4．在△ABC 中，若AC ＝3，∠A ＝45°，∠C ＝75°，则BC ＝ ．5．在△ABC 中，若sin A ︰sin B ︰sin C ＝3︰2︰4，则cos C ＝ ． 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6＝ ． 7．若等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝5，a 3＋a 5＝20，则a 5＋a 7＝ ．8．若关于x 的不等式ax 2＋x ＋b ＞0的解集是(－1，2)，则a ＋b ＝ ． 9．若关于x 的不等式1＋kx －1≤0的解集是[－2，1)，则k ＝ ．10．若数列{a n }满足a 11＝152，1 a n +1－1 a n ＝5(n ∈N *)，则a 1＝ ．11．已知正数a ，b 满足1a ＋2b＝2，则a ＋b 的最小值是 ．12．下列四个数中，正数的个数是 ．①b ＋m a ＋m －b a，a ＞b ＞0, m ＞0； ②(n ＋3＋n )－(n ＋2＋n ＋1),n ∈N *；③2(a 2＋b 2)－(a ＋b ) 2，a ，b ∈R ； ④x 2＋3x 2＋2－2，x ∈R .13．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan C tan A ＋tan C tan B ＝1，则a 2＋b2c2＝ ．14．若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n，则a 1＋2 a 2＋3 a 3＋…＋n a n ＝ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)设f (x )＝x 2－(t ＋1)x ＋t ( t ，x ∈R )． (1)当t ＝3时，求不等式f (x )＞0的解集；(2)已知f (x )≥0对一切实数x 成立，求t 的值．16．(本题满分14分)设函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在0＜x ≤π3的条件下，求f (x )的取值范围．17．(本题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝5，b ＝4时，求△ABC 的面积．18．(本题满分16分)已知{a n }是等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，a 3＋a 4＝12． (1)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5；(2)设b n ＝10－a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 1≠b 2，则n 为何值时，S n 最大？S n 最大值是多少？19．(本题满分16分)如图，扇形AOB 是某个旅游景点的平面示意图，圆心角AOB 的大小等于π3，半径OA ＝200m ，点M 在半径OA 上，点N 在AB 弧上，且MN ∥OB ，求观光道路OM 与MN 长度之和的最大值．20．(本题满分16分)设正项数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1 1＋a n， n ∈N *.(1)证明：若a n＜5－12，则a n＋1＞5－12；(2)回答下列问题并说明理由：是否存在正整数N，当n≥N时｜a n－5－12｜＋｜a n＋1－5－12｜＜0.001恒成立?高一(下)期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．6 －24 2．12 3．－45 4．2 5．－14 6．12 7．80 8．1 9．3 10．1211．12(3＋22) 12．2 13．3 14． (n －1)2n＋2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．(1)当t ＝3时，不等式f (x )＞0与不等式x 2－4x ＋3＞0同解，得(x －1)(x －3)＞0， ……………………………………… ........................3分不等式f (x )＞0的解集是(－∞，1)∪(3．＋∞); …… ........................6分(2)不等式f (x )≥0对一切实数x 成立等价于△＝(t ＋1)2－4t ≤0，........................10分即(t －1)2≤0， 即t ＝1． ........................14分16．(1)f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋1， …… ........................6分所以，函数f(x)的最小正周期为π; ........................8分(2)0＜x ≤π3时，π6＜2x ＋π6≤5π6， …........................10分 函数y ＝sin x 在区间[π6，π2]是增函数，在区间[π2，5π6]是增函数，f (x )的值域是[2sin 5π6＋1， 2sin π2＋1]，即[2，3]． ........................14分17．(1)由cos(B －C )－2sin B sin C ＝－12得cos(B ＋C )＝－12， ........................4分 ∴cos A ＝－12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3; ........................7分 (2) 由c 2＋42－2×c ×4 cos π3＝52及c ＞0得c ＝2＋13， ........................11分△ABC 的面积S △ABC ＝12×4×(2＋13)×sin π3＝23＋39． .........................14分18．(1)设{a n }的公差为d ，∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴(a 1＋d )2＝a 1 (a 1＋4d )，∴d ＝0，或d ＝2 a 1， ........................4分当d ＝0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝a 3＝6， ∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝30， ........................6分当d ≠0时，∵a 3＋a 4＝12，∴a 1＝1，d ＝2， .........................8分∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25;(2)∵b 1≠b 2，b n ＝10－a n ，∴a 1≠a 2，∴d ≠0， ∴b n ＝10－a n ＝10－(2n －1)＝11－2n ， ........................12分当n ≤5时，b n ＞0， 当n ≥6时，b n ＜0， 当n ＝5时，S n 最大，S n 最大值是9＋7＋5＋3＋1＝25． ........................16分19．连ON ，设∠MON ＝θ，0＜θ＜π3,在△MON 中，ON ＝200， ∠OMN ＝2π3，200sin2π3＝MNsin θ＝OMsin(π3－θ)， ........................4分∴MN ＝4003sin θ， OM ＝4003sin(π3－θ)， ........................8分MN ＋OM ＝4003[ sin θ＋sin(π3－θ)]＝4003( sin θ＋32cos θ－12sin θ)＝4003sin(π3＋θ)， ........................13分∵0＜θ＜π3，∴π3＜π3＋θ＜2π3，∴当θ＝π6时，sin(π3＋θ) 最大，MN ＋OM 最大，最大值是40033m ． ........................16分20．(1)若0＜a n ＜5－12，则0＜1＋a n ＜1＋5－12， 则a n ＋1＝1 1＋a n ＞11＋5－12＝5－12; ........................4分 (2)仿(1)可得，若a n ＞5－12，则a n ＋1＜5－12， ........................6分 则n ≥2时｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＝｜a n ＋1－a n ｜ ＝｜1 1＋a n －1 1＋a n －1｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝1 1＋a n＜1 ( n ∈N *)，∴n ≥2时， a n ＝1 1＋a n －1＞12，又a 1＝12，∴n ≥2时， (1＋a n ) (1＋a n －1)＝(1＋11＋a n －1) (1＋a n －1)＝2＋a n －1≥52，...................8分 ∴｜a n ＋1－a n ｜＝｜a n －a n －1｜(1＋a n ) (1＋a n －1)≤25｜a n －a n －1｜≤(25)2｜a n －1－a n －2｜≤…≤(25)n －1｜a 2－a 1｜＝16×(25)n －1， ........................12分数列{16×(25)n －1}递减，16×(25)7－1＜0．001，只要N ≥7，当n ≥N 时必有｜a n ＋1－a n ｜＜0．001，即｜a n －5－12｜＋｜a n ＋1－5－12｜＜0．001成立． ........................16分。
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高一第二学期期中考试（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55P -，则cos α的值为( )A ．35B ．35-C ．45D ．45-2. 等比数列{}n a 中，258,64a a ==，则{}n a 的前4项和为（ ） A. 48 B. 60 C.81 D.1243. 将函数sin y x =的图像向右平移6π个单位，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的图像，则( )A ．2,3πωϕ==-B ．2,6πωϕ==- C ．1,23πωϕ==- D ．1,26πωϕ==-4. 已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，4,43,30a b A ===︒，则B 等于（ ）A ．60︒或120︒B ．60︒C ．30︒或150︒D ．30︒ 5. 已知数列{}n a 满足111,2(*)n n a a a n N +=-≥∈，则（ ）A. 12n n a -≥B. 21n a n ≥+C. 12n n S -≥D. 2n S n ≥6. 已知1cos()123πθ-=， 则5sin()12πθ+=( )A. 13B. 223C.13- D. 223-7. 已知等差数列{}n a 中，263,7a a ==，1n n b na =，则使1299100n b b b +++<L 成立的最大n 的值为（ ）A.97B.98C.99D.1008. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n S 为等差数列，则等比数列{}n a 的公比q （ ） A ．可以取无数个值 B ．只可以取两个值 C ．只可以取一个值 D ．不存在9. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222018a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅⋅+的值为（ ）A. 1008B. 1009C.2017D.201810. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数0M >，使得对任意的*n N ∈，都有||n S M <，则称数列{}n a 为“和有界数列”. 下列命题正确的是( )A ．若{}n a 是等差数列，且首项10a =，则{}n a 是“和有界数列”B ．若{}n a 是等差数列，且公差0d =，则{}n a 是“和有界数列”C ．若{}n a 是等比数列，且公比||1q <，则{}n a 是“和有界数列”D ．若{}n a 是等比数列，且{}n a 是“和有界数列”，则{}n a 的公比||1q <二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。
11. 已知2cos()3cos()02x x ππ-+-=，则tan _____x =.12. 等比数列{}n a 中，315,a a 是方程2680x x -+=的两根，则1179a a a =______. 13. 如图是函数()()2sin ,0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭的部分图象，已知函数图象经过57,2,,0126P Q ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点，则ϕ= ．14.在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C所对的边，若60,1,ABC A b S ∆=︒==，则a = .15. 在一个数列中，如果对任意的*n N ∈，都有12n n n a a a k ++⋅⋅=（k 为常数）,那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列{}n a 是等积数列，且121,2a a ==，公积为8，则12312a a a a ++++=L .16. 数列{},{}n n a b 满足111111211332,1,(2,*)12133n n n n n n a a b a b n n N b a b ----⎧=++⎪⎪==≥∈⎨⎪=++⎪⎩，则1008100820182018()()a b a b +-=_____.17.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =-+，数列{}n b 的通项公式为33n n b -=，设||22n n n n n a b a b c +-=+，若对数列{}n c ，3(*)n c c n N ≥∈恒成立，则实数t 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共49分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的最大值与最小值.19. 单调递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且245,,3a a a +依次成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12n a n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n S .20.如图,正三角形ABC 的边长为2，,,D E F 分别在三边,,AB BC CA 上，且D 为AB 的中点，90,(090)EDF BDE θθ∠=︒∠=︒<<︒. （1）若30θ=︒，求DEF ∆的面积；（2）求DEF ∆的面积S 的最小值，及使得S 取得最小值时θ的值.21.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，它满足条件1(1)1(0,1)n n a S t t t=-+>≠，数列{}n b 满足lg n n n b a t =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是一个单调递增数列，求实数t 的取值范围.22.已知数列{}n a 中，111,2(1)n n n a a a +==+-.（1）证明： (1){}3nn a -+是等比数列；（2）当k 是奇数时，证明：111192k k k a a +++<；（3）证明：121113na a a +++<L .A期中答卷（数学）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合二、填空题：本大题共7小题，每题3分，共21分。
11. 2312. 3π-15. 28 16. 20172017317. [3,6]三、解答题：本大题共5小题，共49分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. 解:（1）1cos 62π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 62π=，所以111216222f π⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………3分（2）()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin cos cos 2x x x x ⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦)3sin 21cos22x x =+-26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. …………7分因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以52666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，.又因为sin y z =在区间62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是递增，在区间526ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减.所以，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x ； 当266x ππ-=-，即0x =时，()f x 有最小值0. …………9分19．解：（1）由题意可知2425(3)a a a =+，所以2(13)(1)(44)d d d +=++，解得1d =或35-因为{}n a 单调递增，所以1d =，因此n a n = …………4分（2）12n n b n -=⋅∴01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯L 12121222(1)22n n n S n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯L两式相减得：1211212222221212nn nn n n n S n n n ---=++++-⨯=-⨯=--⨯-L所以，(1)21n n S n =-⨯+ …………10分20.解：（1）若30θ=︒，1DE DF ==，所以12S DE DF =⋅=…………3分（2）在BDE ∆中，由正弦定理得sin 60sin(120)BD DE θ︒==︒-在ADF ∆中，由正弦定理得sin 60sin(30)AD DF θ︒==︒+…………7分所以1328sin(60)sin(30)S DE DF θθ=⋅=︒+︒+=== 当45θ=︒时，min S =…………10分21. 解：（1）1111(1)1,(1)1(2)n n n n a S a S n t t--=-+∴=-+≥Q两式相减得：111(1)()(2)n n n n a a S S n t---=--≥，即：1(2)n n a ta n -=≥又因为1a t =，且0,1t t >≠，所以{}n a 是首项和公比均为t 的等比数列因此，n n a t = …………4分 （2）lg lg n n n n b t t nt t =⋅=⋅，由1n n b b +>得：1(1)lg lg n n n t t nt t ++⋅>⋅对*n N ∈恒成立○1若1,lg 0t t >>，则1(1)n n n t nt ++>对一切*n N ∈恒成立，即1nt n >+恒成立因为1,11n t n <>+，所以1nt n >+恒成立； ○2若01,lg 0t t <<<，则1(1)n n n t nt ++<对一切*n N ∈恒成立，即1n t n <+恒成立，即min ()1nt n <+，因为1n n +随着n 的增大而增大，所以min 1()12n n =+，所以11022t t <⇒<<；由○1○2可知，102t <<或1t >. …………10分22.解：（1）12(1)nn n a a +=+-Q ,11(1)(1)2[]33n n n n a a ++--∴+=+,且1(1)233a -+=所以，数列(1){}3n n a -+是首项为23，公比为2的等比数列. …………3分(2)由（1）可知(1)22(1)333n n n nn n a a ---+=⇒=当k 是奇数时， 111111111333(21)3(21)929292121(21)(21)2221222k k k k k k k k k k k k k k k k a a +++++++-++⋅⋅+=+==<=+-+-⋅+-⋅ …………6分 (3)由（2）可知，当n 为偶数时，11192n n n a a -+< 24121234111(1)111111*********()()()9()93(1)31222214n n nnn n a a a a a a a a a --+++=+++++=+++=⨯=-<-L L L 当n 为奇数时，111192n nn a a +++<，且111113302(1)21n n n n a ++++==>--- 12111n a a a +++<L 121123411111111111()()()n n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++++L L 1241111(1)1111429()93(1)31222214n n n +++-<+++=⨯=-<-L因此，121113na a a +++<L . …………10分。