高三复习之解析几何测试题
高中数学解析几何测试题(答案版)
高中数学解析几何测试题(答案版)高中数学解析几何测试题(答案版)第一部分：平面解析几何1. 已知平面P1：2x + 3y - 4 = 0和平面P2：5x - 7y + 2z + 6 = 0，求平面P1和平面P2的夹角。
解析：首先，我们需要根据平面的一般式方程确定法向量。
对于平面P1，法向量为(n1, n2, n3) = (2, 3, 0)，对于平面P2，法向量为(n4, n5,n6) = (5, -7, 2)。
根据向量的内积公式，平面P1和平面P2的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (n1 * n4 + n2 * n5 + n3 * n6) / √[(n1^2 + n2^2 + n3^2) * (n4^2 + n5^2 + n6^2)]代入数值计算，得到cosθ ≈ 0.760，因此夹角θ ≈ 40.985°。
2. 已知四边形ABCD的顶点坐标为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)和D(10, 11, 12)，判断四边形ABCD是否为平行四边形，并说明理由。
解析：要判断四边形ABCD是否为平行四边形，我们需要比较四边形的对角线的斜率。
四边形ABCD的对角线分别为AC和BD。
根据两点间距离公式，我们可以计算出AC的长度为√99，BD的长度为√99。
同时，我们还需要计算坐标向量AC = (6, 6, 6)和坐标向量BD = (9, 9, 9)。
由于AC和BD的长度相等，且坐标向量AC与坐标向量BD的比值为1∶1∶1，因此四边形ABCD是一个平行四边形。
第二部分：空间解析几何3. 已知直线L1：(x - 1) / 2 = y / 3 = (z + 2) / -1和直线L2：(x - 4) / 3= (y - 2) / 1 = (z + 6) / 2，判断直线L1和直线L2是否相交，并说明理由。
解析：为了判断直线L1和直线L2是否相交，我们可以通过解方程组的方法来求解交点。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知椭圆:的焦点分别为、，点在椭圆上，满足，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点，试探究是否存在直线与椭圆交于、两点，且使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）本题求椭圆的方程只需确定一个未知数，建立一个方程即可，利用椭圆定义及焦点三角形,结合余弦定理可解：由，得，由余弦定理得，（Ⅱ）表明点在线段DE中垂线上，利用韦达定理列等量关系，求出与的关系，再根据判别式大于零，可解出的取值范围试题解析：（1）由，得，由余弦定理得，∴所求的方程为．（2）假设存在直线满足题设，设，将代入并整理得，由，得①又设中点为，，得②将②代入①得化简得，解得或所以存在直线，使得，此时的取值范围为．【考点】直线与椭圆位置关系2.抛物线：的准线的方程是____；以的焦点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____．【答案】，．【解析】分析题意可知，∴准线方程为，焦点为，半径，∴所求圆方程为．【考点】1．抛物线的标准方程；2．直线与圆的位置关系．3.如图，为外一点，是切线，为切点，割线与相交于点，，且，为线段的中点，的延长线交于点，若，则__________；_________．【答案】，．【解析】由切割线定理，∴，，再由相交弦定理，∵是的中点，∴，，则．【考点】1．切割线定理；2．相交弦定理．4.椭圆的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】设关于直线的对称点的坐标为，则，所以，，将其代入椭圆方程可得，化简可得，解得，故应选．【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的简单几何性质；5.如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP·NP= ．【答案】【解析】由已知及圆的弦切割线定理得，，又知点P是CD的中点，所以，再由相交弦定理得；故答案为：．【考点】圆的性质．6.已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点距轴的距离为，因为IG∥，则点距轴的距离为，连接，则，，所以，所以，所以椭圆方程为．【考点】椭圆的标准方程．7.已知双曲线（，）的焦距为，若、、顺次组成一个等比数列，则其离心率为．【答案】【解析】根据题意，有，即，式子两边同时除以，得，结合双曲线的离心率的取值范围，可求得．【考点】双曲线的离心率．8.设椭圆E：的右顶点为A、右焦点为F，B为椭圆E在第二象限上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC，则椭圆E的离心率是．【答案】【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，则OM为的中位线，于是，且，即．【考点】椭圆的离心率．9.点M（χ，）是抛物线χ2=2P（P＞0）上一点，若点M到该抛物线的焦点的距离为2，则点M到坐标原点的距离为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线（）的准线方程是，因为点到该抛物线的焦点的距离为，所以，解得：，所以该抛物线的方程是，因为点是抛物线上的一点，所以，所以点到坐标原点的距离是，故选D．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程．10.已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，过点作准线的垂线，垂足为，当点的坐标为时，为正三角形，则此时的面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，过点作的垂线，垂足为，则为的中点．因为点的坐标为，所以，，所以，即，所以抛物线的方程为，此时，，所以直线的方程为，将其代入抛物线方程可得，，解得或，所以或，所以的面积为，故应选．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的简单几何性质．【思路点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，属中档题．其解题的一般思路为：首先过点作的垂线，垂足为，则为的中点，然后利用点的坐标为，可求出，进而得出抛物线的方程，从而得出直线的方程，最后将其与抛物线的方程联立求出点的坐标，即可求出的面积．其解题的关键是求出抛物线的方程和直线的方程．11.已知、、c为正数，（1）若直线2x－（b－3）y＋6＝0与直线bx＋ay－5＝0互相垂直，试求的最小值；（2）求证：．【答案】（1）25；（2）证明见解析．【解析】（1）先利用两直线垂直得到关于正数的关系，再利用基本不等式进行求解；（2）先对不等式左边的每个括号进行因式分解，再利用基本不等式进行证明．试题解析：（1）由已知，有：即：、为正数，当且仅当时取等号，此时：故当时，的最小值是25．（2）、、c为正数，【考点】基本不等式．12.如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）面积的最大值为．【解析】（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．由已知，点，则．设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，则，．据椭圆定义，得，则．从而，所以椭圆的标准方式是．（2）设点，，，则．两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，则．所以．设点到直线的距离为，则．所以．由，得．令，则．设，则．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．【考点】1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】本题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比较大，不容易拿高分．13.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线为．双曲线的右焦点为，所以，即，即，过作准线的垂线，垂足为，则，即，设，则代入，解得．故应选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．14.已知抛物线：，过焦点F的直线与抛物线交于两点（在第一象限）．（1）当时，求直线的方程；（2）过点作抛物线的切线与圆交于不同的两点，设到的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，设，，则可得则，由此可求直线的方程；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得，则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离，则，然后再根据基本不等式即可求出结果．试题解析：（1）因为，故设，，则故则因此直线的方程为；（2）由于，因此故切线的方程为，化简得则圆心（0，-1）到的距离为，且，故则，则点F到距离则今则，故．【考点】1．直线与抛物线的位置关系；2．点到直线的距离公式；2．基本不等式．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线将于点、，若点的坐标为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）极坐标与直角坐标之间的关系是，由此可实现极坐标方程与直角坐标方程的转化；（2）由直线参数方程的标准形式（即参数的几何意义），直线过点，直线上的标准参数方程为，把它代入圆的方程，其解满足，．试题解析：（1）由得，又，则有，配方得圆的标准方程为．（2）直线的普通方程为，点在直线上的标准参数方程为，代入圆方程得：．设对应的参数分别为，则，，于是．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用．16.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．（1）求椭圆的方程；（2）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；（3）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）确定椭圆标准方程，只需两个独立条件即可：一个是左顶点为，所以，另一个是，所以，（2）实质利用斜率k表示点，P ，E，假设存在定点，使得，因此，即恒成立，从而即（3）利用斜率k表示点M，因此，本题思路简单，但运算量较大．试题解析：（1）因为左顶点为，所以，又，所以又因为，所以椭圆C的标准方程为．（2）直线的方程为，由消元得，．化简得，，所以，．当时，，所以．因为点为的中点，所以的坐标为，则．直线的方程为，令，得点坐标为，假设存在定点，使得，则，即恒成立，所以恒成立，所以即因此定点的坐标为．（3）因为，所以的方程可设为，由得点的横坐标为，由，得，当且仅当即时取等号，所以当时，的最小值为．【考点】直线与椭圆位置关系17.选修4－4：坐标系与参数方程：在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C的方程为。
高三数学解析几何试题
高三数学解析几何试题1.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】均为直线，其中平行，可以相交也可以异面，故A不正确；m，n⊥α，则同垂直于一个平面的两条直线平行，选D。
2.已知圆的圆心在直线上，则；圆被直线截得的弦长为____________.【答案】2；8.【解析】标准方程为，可得圆心把圆心坐标代入直线方程中得；即圆心为，圆心到直线的距离，所以弦长等于故答案为2；8.【考点】1.圆的标准方程；2.弦长公式.3.若椭圆：（）和椭圆：（）的焦点相同且．给出如下四个结论：①圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】B【解析】因为椭圆和椭圆的焦点相同且．，所以，，∴①③正确；又，，∴④正确，故选B．【考点】椭圆的简单性质．4.已知双曲线C：，点P与双曲线C的焦点不重合，若点P关于双曲线C的上、下焦，则点的对称点分别为A、B，点Q在双曲线C的上支上，点P关于点Q的对称点P1．【答案】-16【解析】设双曲线的上下焦点分别为F，F'，连接QF，QF'．由点P关于双曲线C的上、下焦点的对称点分别为A、B，则F为PA的中点，F'为PB的中点，由点Q在双曲线C的上支上，点P ，关于点Q的对称点P1则Q为PP的中点，由中位线定理可得，，，由双曲线的定义可得1，则．故答案为：﹣16．【考点】双曲线的简单性质．5.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为χ轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，试求实数m的值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或．【解析】（Ⅰ）利用，代入曲线的方程可得曲线的直角坐标方程，消去可得直线的普通方程；（Ⅱ）先将直线的参数方程代入曲线的方程可得，再利用参数的几何意义可得实数的值．试题解析：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程是ρ=4cos化为直角坐标方程为：直线的直角坐标方程为：（5分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，圆心到直线的距离，∴∴（10分）解法二：把（是参数）代人方程得∵∴∴∴（10分）【考点】1、极坐标方程与直角坐标方程的互化；2、参数方程与普通方程的互化；3、参数的几何意义．6.选修4—4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线，，与曲线交于（不包括极点）三点．（1）求证：；（2）当时，两点在曲线上，求与的值．【答案】（1）证明过程详见试题解析；（2）的值为2，的值为．【解析】（1）依题意先表示出，，，根据三角函数公式得．（2）把两点的极坐标，化为直角坐标为，又因为经过点的直线方程为，所以．试题解析：（1）依题意，，．则．（2）当时，两点的极坐标分别为，化为直角坐标为，是经过点且倾斜角为的直线，又因为经过点的直线方程为，所以．【考点】1、极坐标与直角坐标；2、参数方程．7.如图，四边形内接于⊙，过点作⊙的切线交的延长线于，已知．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由弦切角定理及已知条件可得，然后由等角对等弧，等弧对等弦使问题得证；（2）易证得∽，根据三角形相似可得比例相等，从而可证得．试题解析：（1）∵与⊙相切于点，∴．又，∴，∴．（2）∵四边形内接于⊙，∴，又，∴∽．∴，即，∴．【考点】1、弦切角定理；2、圆周角定理；3、三角形相似．8.已知为椭圆内一定点，经过引一弦，使此弦在点被平分，则此弦所在的直线方程是 .【答案】【解析】由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为，且设弦的两端点坐标为，，则，两式相减得．∵，∴，∴，∴此弦所在的直线方程为．【考点】直线与椭圆的位置关系.【思路点睛】设出两个交点的坐标，将它们代入椭圆的方程，将两个式子相减得到有关相交弦的中点与相减弦所在直线的斜率关系，求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程．在解决直线与圆锥曲线相交关于相交弦的问题时，一般利用将交点坐标代入圆锥曲线的方程，两个式子相减得到中点与斜率的关系．9.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线（t为参数），（为参数）．（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若上的点P对应的参数方程为，Q为上的动点，求PQ中点M到直线的距离的最小值．【答案】（Ⅰ）为圆心是，半径是1的圆．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆；（Ⅱ）．【解析】第一问将所给的参数方程消参，得到相应的普通方程，利用所得的普通方程可以判断出方程所对应的曲线的类型，第二问根据题中所给的参数值，求得点的坐标，设出动点的坐标，利用中点坐标公式求得，将直线方程化成平面直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合辅助角公式化简，利用三角函数的性质得出其最小值为．试题解析：（Ⅰ）．为圆心是，半径是1的圆．为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当时，，故，为直线，M到的距离显然，取得最小值．【考点】参数方程与普通方程的转化，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，动点到定直线的距离的最值．10.已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且经过点．（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相切，点是直线上的两点，且，，求四边形的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用椭圆的离心率和椭圆的关系和点满足椭圆方程，即可解得的值，进而得到椭圆的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件，利用判别式等于，求解实数的值，在由点到直线的距离公式和直角梯形的面积公式即可求得四边形的面积．试题解析：（1）依题意，设椭圆的方程为．因为，又，所以，又点在该椭圆上，所以．解得，．所以椭圆的方程为．将直线的方程，代入椭圆的方程中，得,由直线与椭圆仅有一个公共点可知，，化简得，．设，，又因为，所以．故四边形的面积为．【考点】椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线问题．【方法点晴】本题主要考察了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，着重考查了直线与圆锥曲线的位置关系及应用，把直线方程与圆锥曲线方程联立，根据方程的根与系数的关系是解答此类问题的常用方法和关键，但此类问题思维量和计算量较大，平时主要方法的积累和总结，本题的解答中，把直线的方程代入椭圆的方程，利用的值，利用点到直线的距离公式和，利用梯形的面积公式，从求解四边形的面积．11.（2015秋•通渭县校级期末）抛物线y=x2在点（﹣1，1）处的切线方程为．【答案】2x+y+1=0【解析】直接求出抛物线在点（﹣1，1）处的导数，即切线的斜率，由直线方程的点斜式写出切线方程，化为一般式．解：由y=x2，得：y′=2x，∴y′|x=﹣1=﹣2，所以，抛物线y=x2在点（﹣1，1）处的切线方程为y﹣1=﹣2（x+1），即2x+y+1=0．故答案为2x+y+1=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．12.在极坐标系中，设曲线和相交于点，则＝___________．【答案】【解析】曲线和的直角坐标方程分别为和，把代入方程，得，所以．【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相交弦长．13.（2015秋•栖霞市期末）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（0，﹣），（0，），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．（1）求顶点C的轨迹λ的方程，并判断轨迹λ为何种曲线；（2）当m=﹣时，设点P（0，1），过点P作直线l与曲线λ交于E，F两点，且=，求直线l的方程．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）令C点坐标为（x，y），QC 直线AC，直线BC的斜率，利用AC，BC所在直线的斜率之积等于m，求出轨迹方程，分类讨论图形．（2）求出曲线C的方程，通过直线l的斜率不存在时，以及斜率垂直时，直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，设E（x1，y1），F（x2，y2），通过得，以及韦达定理求解直线l的方程．解：（1）令C点坐标为（x，y），则直线AC的斜率，直线BC的斜率，所以有，化简得，．所以当m=﹣1时，λ表示以（0，0）为圆心，为半径的圆，且除去两点；当m ＜﹣1时，轨迹λ表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去两点；当﹣1＜m ＜0时，轨迹λ表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去两点； 当m ＞0时，轨迹λ表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去两点．（2）由题意知当时曲线C 为，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．设直线l 的方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理得（3+4k 2）x 2+8kx ﹣8=0． 设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），由得，x 1=﹣3x 2． 由韦达定理得，，所以，，消去x 2，解得，所以直线l 的方程为．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．14. 已知直线l ：y ＝x ＋，圆O ：x 2＋y 2＝4，椭圆E ：＋＝1(a>b>0)的离心率e ＝，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． （1）求椭圆E 的方程；（2）已知动直线l 1 (斜率存在)与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝1，若N 为线段PQ 的中点，问：在x 轴上是否存在两个定点A ，B ，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值？若存在，求出A ，B 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在两定点，，使得直线与的斜率之积为定值．【解析】（1）由椭圆的离心率可列方程，直线被圆所截弦长等于椭圆短轴长，则可列方程求得，从而求得，得到椭圆标准方程；（2）先假设直线，与椭圆方程联立可求得长度（用表示），在利用点到直线的距离求得三角形边上的高，从而利用面积为求得的关系，又因为为中点，所以可用来表示其坐标，并且可求得其轨迹方程，然后再假设坐标，表示出的斜率，并且使斜率之积为定值，从而求得坐标． 试题解析：(1)设椭圆半焦距为c ， 圆心O 到l 的距离d ＝，则l 被圆O 截得的弦长为2，所以b ＝1，由题意得e ＝，∵b ＝1，∴a 2＝4，b 2＝1.∴椭圆E 的方程为(2)设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，直线l 1的方程为：y ＝kx ＋m. 则消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. x 1＋x 2＝，x 1.x 2＝.|PQ|＝.|x 1－x 2|＝原点O 到直线l 1的距离d ＝，则S △OPQ ＝|PQ|.d ＝＝1，∴2|m|.＝1＋4k 2，令1＋4k 2＝n ，∴2|m|.＝n ，∴n ＝2m 2，1＋4k 2＝2m 2. ∵N 为PQ 中点，∴x N ＝＝，y N ＝＝，∵1＋4k 2＝2m 2，∴x N ＝，y N ＝.∴假设x 轴上存在两定点A(s ，0)，B(t ，0)(s≠t)，则直线NA 的斜率k 1＝，直线NB 的斜率k 2＝，∴k 1k 2＝＝＝.当且仅当s ＋t ＝0，st ＝－2时，k 1k 2＝，则s ＝，t ＝.综上所述，存在两定点A(，0)，B(，0)，使得直线NA 与NB 的斜率之积为定值. 【考点】点到直线的距离，离心率，两点间距离，求动点的轨迹方程．15. 若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m= ．【答案】【解析】利用离心率公式，建立方程，即可求得双曲线的实轴长． 解：∵，且m ＞0，∴，解得或（舍去）．故答案为：【考点】双曲线的简单性质．16. 如图，正方形边长为2，以为圆心、为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．（1）求证：； （2）求的值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】对于问题（1）主要利用两次切割线定理，再结合等量代换即可证明结论；对于问题（2），可由（1）的结论并结合直角三角形的射影定理及等面积法即可得到所求. 试题解析：（1）由以为圆心为半径作圆，而为正方形，所以为圆的切线，依据切割线定理得 另外圆以为直径，所以是圆的切线，同样依据切割线定理得，故． （2）连结，因为为圆直径，所以，由得又在中，由射影定理得，【考点】1、切割线定理；2、直角三角形的射影定理．17. 如图所示，在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．【答案】【解析】令，则，，则，∴，，∴，∴，故答案为．【考点】椭圆的定义．18.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.【考点】1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.19.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】画出图象如下图所示，依题意可知四边形为菱形，所以,设，则，且，解得,则.【考点】1.双曲线；2.向量运算.【思路点晴】有关圆锥曲线的题目，由图双曲线的方程已经知道了，那么我们就先按题意将图形画出来，这是做圆锥曲线题目的时候第一步要做的.由于题目中，也就是平行四边形的对角线相互垂直，所以可以判断它为菱形，这样它的一组邻边就相等，设出点的坐标，然后解出点的坐标，题目就解决出来了.20.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，选D.【考点】双曲线的离心率【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.21.圆的圆心到直线的距离为1，则a=A．B．C．D．2【答案】A【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得，解得，故选A．【考点】圆的方程、点到直线的距离公式【名师】直线与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．（2）代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数（也就是方程组解的个数）来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．22.设是坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，且是椭圆上不同的两点。
高三数学解析几何试题
高三数学解析几何试题1.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以为直径的圆经过定点：，证明见解析【解析】第一问根据椭圆的离心率和对应的弦长，求出对应的的值，从而得出椭圆的方程，第二问设出两点的坐标，从而求得直线和直线的方程，从而求得点的坐标，从而写出以为直径的圆的方程，根据点在椭圆上，以及曲线过定点的条件，从而求得所过的定点的坐标．试题解析：（Ⅰ）设，∵直线斜率为时，，∴，∴∴，∵，∴．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）以为直径的圆过定点．设，则，且，即，∵，∴直线方程为：，∴，直线方程为：，∴，以为直径的圆为即，∵，∴，令，，解得，∴以为直径的圆经过定点：．【考点】椭圆的方程，曲线过定点问题．2.已知圆C的方程为，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．【答案】【解析】在直线上至存一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，所以圆心到直线的距离，解之得，故的最大值为．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．圆与圆的位置关系．3.参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是（）A．圆和直线B．直线和直线C．椭圆和直线D．椭圆和圆【答案】D【解析】由题可知，由参数方程可得，极坐标方程，两端同时乘以，可得，由于，化简可得；【考点】•简单曲线的极坐标方程 椭圆的参数方程4.（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为．（Ⅰ）若为等边三角形,求椭圆的方程;（Ⅱ）若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，设出椭圆的标准方程，根据焦点坐标以及为等边三角形，列出a与b的关系式，解出a和b的值，从而得出椭圆的标准方程；第二问，通过短轴长为2，得到椭圆的标准方程，再讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率存在时，与椭圆的方程联立，消参，得出、，利用向量垂直的充要条件，列出表达式，解出k的值，从而得到直线的方程．试题解析：（Ⅰ）设椭圆的方程为．根据题意知, 解得,故椭圆的方程为．（Ⅱ）容易求得椭圆的方程为．当直线的斜率不存在时,其方程为,不符合题意;当直线的斜率存在时,设直线的方程为．由得．设,则对任意都成立，因为,所以,即,解得,即．故直线的方程为或．【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．5.（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在实数使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a和c的值，再利用计算b的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到、，由于以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即，代入和，解出k的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得，解得，所以，故所求椭圆C的方程为．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点，，将直线的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即．又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．【考点】椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．6.已知双曲线（，）的离心率为，若抛物线（）的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则．【答案】【解析】,所以双曲线的渐近线方程为，又抛物线的焦点坐标为，由点到直线的距离公式得.【考点】双曲线、抛物线的几何性质.7.已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆C上一点，若过点的直线与椭圆C相交于不同的两点S和T，满足（O为坐标原点），求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形可得，，再根据直线与圆相切可得的一个关系式，解方程组可得的值．（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，与椭圆方程联立消去整理为关于的一元二次方程，由题意可知其判别式大于0，从而可得的范围．再由韦达定理可得两根之和，两根之积．设，根据可得间的关系式．可解得．将其代入椭圆方程可得的关系式，根据的范围可得的范围．试题解析：解：（Ⅰ）由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，∴圆心到直线的距离（*）∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴，，代入（*）式得，∴，故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设，将直线方程代入椭圆方程得：，∴，∴．设，，则，由，当，直线为轴，点在椭圆上适合题意；当，得∴．将上式代入椭圆方程得：，整理得：，由知，，所以，综上可得．【考点】1椭圆的方程；2直线与椭圆的位置关系问题．8.已知椭圆，斜率为1的直线交E于A，B两点，若AB的中点为P，O为坐标原点，则直线OP的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设交点、中点，把A、B两点坐标代入椭圆方程，用点差法可得，因此，故B为正确答案．【考点】1、斜率的求法；2、中点弦问题．9.已知是直线上一动点，是圆C：的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为（）A．3B．C．D．2【答案】D【解析】圆的方程可化为，因为四边形的最小面积是，且此时切线长为，故圆心到直线的距离为，即，解得，又，所以．【考点】直线与圆的位置关系．【思路点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，解决本题时先求圆的半径，四边形的最小面积是，转化为三角形的面积是，求出切线长，再求的距离也就是圆心到直线的距离，可解的值．10.已知是双曲线（，）的左顶点，、分别为左、右焦点，为双曲线上一点，是的重心，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．与的取值有关【答案】B【解析】因为，所以，所以，即，所以，故选B．【考点】1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．11.若直线与曲线相交于两点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，满足条件的斜率存在，直线过点，且在图中阴影中，此时的倾斜角范围为，故选B．【考点】直线与双曲线的位置关系．12.椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2），恒过定点．【解析】（1）因为，左焦点到的距离，解得，，，所以椭圆的方程为；（2）设，联立直线方程与椭圆方程得：，根据直线与圆锥曲线的位置关系得：，，因为为直径的圆过椭圆右顶点，所以，将坐标代入结合根与系数的关系化简得：，解得或都满足，分析两种情况，时，，恒过点，当时，，恒过点．试题解析：（1）由题意得：e＝＝，①左焦点（－c，0）到点P（2，1）的距离为＝，②由①②可解得c＝1，a＝2，b2＝a2－c2＝3．∴所求椭圆C的方程为＋＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y＝kx＋m代入椭圆方程得，（4k2＋3）x2＋8kmx＋4m2－12＝0．∴x1＋x2＝－，x1x2＝，且y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m．∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2（2，0），∴·＝0．∴（x1－2，y1）·（x2－2，y2）＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2＝（x1－2）（x2－2）＋（kx1＋m）（kx2＋m）＝（k2＋1）x1x2＋（km－2）（x1＋x2）＋m2＋4＝（k2＋1）·－（km－2）·＋m2＋4＝0．整理得7m2＋16km＋4k2＝0．∴m＝－k或m＝－2k都满足Δ＞0．当m＝－2k时，直线l的方程为y＝kx－2k＝k（x－2），恒过定点A2（2，0），不合题意，舍去．当m＝－k时，直线l的方程为y＝kx－k，即y＝k（x－），恒过定点（，0）．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、直线系过定点．【方法点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，利用向量研究垂直关系和直线系恒过定点问题，属于难题．解题时一定要注意涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，联立方程组，得一元二次方程后，根据根与系数的关系得：，，待用；过定点问题，需将两参数化为一个，转化为直线系，得出所求定点．13.已知F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点，A为右顶点，B为上顶点），则该椭圆的离心率是______．【答案】【解析】把x c代入椭圆方程求得y=±，∴|PF|=，∵OP∥AB， PF∥OB，∴△PFO∽△ABO，∴，求得b=c，∴e=．【考点】椭圆的离心率．14.已知椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又点A，B的中点横坐标为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求直线l的方程．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）y=（x﹣4）．【解析】（Ⅰ）运用离心率公式和椭圆的a，b，c的关系，解得a，b，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，求出直线的斜率，即可得到所直线方程．试题解析：（Ⅰ）由条件椭圆C：，其中（e为椭圆离心率），焦距为2，可得c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，椭圆的标准方程是．（Ⅱ）由过点M（4，0）的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．，可知A，B，M三点共线，设点A（x1，y1），点B（x2，y2）．若直线AB⊥x轴，则x1=x2=4，不合题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由消去y得，（3+4k2）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①由①的判别式△=322k4﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）=144（1﹣4k2）＞0，解得k2＜，x 1+x2=，由又点A，B的中点横坐标为．可得解得k2=，即有k=±．y=（x﹣4）．直线l的方程：y=（x﹣4）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．15.在直角坐标系中，直线的参数方程为,（为参数），在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)直接写出直线、曲线的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线上的点到与直线的距离为，求的取值范围.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．【解析】（Ⅰ）两式相加消去参数，即得直线的普通方程，利用二倍角公式和进行求解；（Ⅱ）设出椭圆上点的参数坐标，再利用点到直线的距离公式和配角公式、三角函数的性质进行求解．试题解析：（Ⅰ）直线的直角坐标方程为，因为，所以，则，即曲线的直角坐标方程为.（Ⅱ）∵曲线的直角坐标方程为，即，∴曲线上的点的坐标可表示为.∵，∴，∴的最小值为，的最大值为.∴，即的取值范围为.【考点】1.曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的转化；2.点到直线的距离公式．16.如图,以的边为直径作圆,圆与边的交点恰为边的中点,过点作于点．（I）求证：是圆的切线；（II）若,求的值．【答案】. （I）见试题解析；（II）【解析】（Ⅰ）由//,可得,所以是⊙的切线.（Ⅱ）根据.是的中点,可得,.再由,所得在直角三角形中,；在直角三角形中,. 故.试题解析：（Ⅰ）如图,连接.因为是的中点,是的中点,所以//.因为,所以,所以是⊙的切线.（Ⅱ）因为是⊙的直径,点在⊙上,所以.又是的中点,所以. 故.因为,所以. 在直角三角形中,；在直角三角形中,.于是.【考点】圆的性质.17.已知直线l的方程为y=x+4，圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴．建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l与圆C的交点的极坐标；（Ⅱ）若P为圆C上的动点．求P到直线l的距离d的最大值．【答案】（Ⅰ），．（Ⅱ）+2．【解析】（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程，与直线方程联立解得交点坐标，利用可得极坐标．（II）圆心（0，2）到直线l的距离为d1，可得P到直线l的距离d的最大值为d1+r．解：（I）由圆C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为：x2+（y﹣2）2=4，联立，解得或．可得极坐标分别为：，．（II）圆心（0，2）到直线l的距离=，∴P到直线l的距离d的最大值为+r=+2．【考点】参数方程化成普通方程．18.已知抛物线C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为18．（1）求抛物线C的标准方程；（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．【答案】（1）;（2）时，不是“稳定点”;时，与无关.【解析】（1）过抛物线的焦点且和抛物线的对称轴垂直的直线被抛物线截得的弦长等于.所以得底,高为.根据面积可求得的值.从而可得抛物线方程. （2）设出直线方程,与抛物线方程联立,消去可得关于的一元二次方程.由题意可知其判别式大于0,由韦达定理可得两根之和,两根之积.从而可求得.注意讨论的正负.试题解析：（Ⅰ）由题意，，，抛物线C的标准方程为．（Ⅱ）设，设直线的方程为，联立得，，，，由对称性，不妨设，（ⅰ）时，，同号，又，，不论取何值，均与有关，即时，不是“稳定点”；（ⅱ）时，，异号，又，，仅当，即时，与无关，【考点】直线与抛物线的位置关系问题.19.设为抛物线的焦点，为该抛物线上不同的三点，，为坐标原点，且的面积分别为，则（）A．2B．3C．6D．9【答案】B【解析】由题意可知，设，则，由得，即，又在抛物线上，所以，，所以，故选B.【考点】1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.【名师】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.20.若直线上存在点可作圆的两条切线，切点为，且，则实数的取值范围为．【答案】【解析】若, 则.直线上存在点可作和的两条切线、等价于直线与圆有公共点,由圆心到直线的距离公式可得,解之可得.【考点】点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系的运用.21.已知为椭圆上一点，是焦点，取最大值时的余弦值为，则此椭圆的离心率为______.【答案】【解析】由已知由于为椭圆上一动点，所以当是短轴端点时，有最大值，所以，解得，故答案填.【考点】1、椭圆的几何性质；2、离心率.22.已知椭圆的左焦点和右焦点，上顶点为，的中垂线交椭圆于点，若左焦点在线段上，则椭圆离心率为．【答案】【解析】由题意知，设，则，所以，故，易求得，代入椭圆方程得，解得，所以．【考点】椭圆离心率23.过双曲线的左焦点作圆⊙的切线，且点为，延长交双曲线右支于点，若为的中点，，则双曲线的离心率为（ ) A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的右焦点为，依题意可得，，则∴，即.【考点】双曲线的几何性质．【名师】在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程．(1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．(2)求曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令＝0，即得两渐近线方程＝0. 24.选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P．（1）求证：PM2=PA·PC；（2）若⊙O的半径为，OA=OM，求：MN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）做出辅助线连接，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即且，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论；（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即，代入所给的条件，得到要求线段的长．试题解析：（1）连结，则，且为等腰三角形，则，，，．由条件，根据切割线定理，有，所以．（2），在中，．延长交⊙于点，连结．由条件易知∽，于是，即，得．所以．【考点】与圆有关的比例线段．25.选修4-1：几何证明选讲如图, 已知为圆的直径,为圆上一点, 连接并延长使,连接并延长交圆于点,过点作圆的切线, 切点为.（1）证明：；（2）若,求的长度.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，然后由直径的性质结合已知条件推出，从而可利用切割线定理证明得结果；（2）首先利用切割线定理求得的长，从而利用勾股定理求得的长．试题解析：（1）连接,为圆的直径,.是圆的切线, 是圆的割线,（2）是圆的切线,是圆的割线,.,得.【考点】1、直径的性质；2、切割线定理．26.已知圆截直线所得弦长为6，则实数的值为（）A．8B．11C．14D．17【答案】B【解析】圆，圆心，半径．故弦心距．再由弦长公式可得；故选B．【考点】直线与圆的位置关系．27.选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，是的切线，交于点.（1）过做的切线，交与点，证明：是的中点；（2）若，求的大小.【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）连接，然后利用弦切角定理证得是等腰三角形，再结合直径的性质可使问题得证；（2）首先利用三角函数的定义得到的表达式，然后根据线段间的关系建立方程求解即可．试题解析：（1）证明：连接，∵是的切线，也是的切线，∴弦切角，∴是等腰，，∵是的直径，∴.∴是的外心，即是的中点.（2）解：，中，,，∴；解方程的，∴锐角.【考点】1、弦切角定理；2、直径的性质；3、三角函数的定义．28.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（1）求曲线的普通方程，并将的方程化为极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.【答案】（1）的普通方程，的极坐标方程;（2）.【解析】（1）因为为参数，所以利用，消元得到曲线的普通方程，并根据公式，以及代入得到曲线的极坐标方程；（2）联立曲线和的极坐标方程，并消去得到的三角函数，利用，计算三角函数值，并且得到的值.试题解析：（1）消去参数得到的普通方程，将，代入的普通方程，得到的极坐标方程.（2）曲线的公共点的极坐标满足方程组，若，由方程组得，由已知，可解得，根据，得到，当时，极点也为的公共点，在上，所以.【考点】1.参数方程与普通方程以及极坐标方程的互化；（2）极坐标方程的综合应用.29.已知双曲线的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】渐近线方程为,故选C．【考点】双曲线．30.选修4 - 1：几何证明选讲如图，EF是⊙O的直径，AB∥EF，点M在EF上，AM、BM分别交⊙O于点C、D。
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练习
高三数学习题集：解析几何与立体几何综合练
习
解析几何与立体几何是高中数学中的重要内容之一，对于高三学生来说，掌握这两个领域的知识和技巧至关重要。
为了帮助同学们更好地复习与训练，以下是一些解析几何与立体几何综合练习题。
一、解析几何部分
1. 已知点A(2,3)、B(5,7)，求直线AB的斜率和方程。
2. 设直线L1过点A(1,2)，斜率为1，求L1与x轴、y轴的交点坐标。
3. 已知直线L2的方程为y=2x-3，求L2与y轴的交点坐标。
4. 设四边形ABCD的顶点分别为A(1,2)、B(4,5)、C(6,1)、D(3,-2)，求四边形ABCD的周长和面积。
二、立体几何部分
1. 已知圆柱体的高为8cm，底面直径为6cm，求圆柱体的表面积和体积。
2. 设正方体的边长为3cm，求正方体的表面积和体积。
3. 设棱长为5cm的正六面体A，另有一条边长为4cm的直线段BC平行于A的一条棱，求BC与正六面体A的交点坐标。
4. 已知圆锥的高为12cm，底面半径为4cm，求圆锥的表面积和体积。
以上是一些解析几何与立体几何的综合练习题，希望同学们能够认真思考并灵活运用所学知识来解答这些问题。
通过不断练习，相信你们对解析几何与立体几何的理解和掌握会更上一层楼，为应对高考数学提供有力的支持。
加油！。
高三复习解析几何练习题
高三复习解析几何练习题解析几何是高中数学的重要内容之一，也是高考数学中的重点和难点。
在高三阶段，解析几何是学生们需要加强练习和熟练掌握的内容之一。
下面将为大家介绍几个高三复习解析几何的练习题。
一、平面几何题1. 已知四边形ABCD，AB=BC=CD=DA，以BC和AD为边，平分角AOK，角AOK的度数是多少？解析：由已知条件可知，ABCD为菱形。
菱形的性质是对角线互相垂直且互相平分。
因此，角AOK为90度。
2. 给定平面直角坐标系，点A(2,-3)在直线y=x上，点B(4,-2)在直线y=-2x上，求直线AB的斜率。
解析：直线AB的斜率等于两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
点A与点B的纵坐标之差为-2-(-3)=-2+3=1，横坐标之差为4-2=2，因此直线AB的斜率为1/2。
二、空间几何题1. 已知四面体ABCD，面ABCD的中心为O，直线AD与平面ABC垂直，求证AB与平面OBC平行。
解析：根据已知条件，AD与平面ABC垂直，即AD与平面ABC的法线向量垂直。
而面ABCD的中心O位于平面ABC上，所以向量OB与向量OA垂直。
由于向量OA与向量AD平行，所以向量OB与向量AD也平行，即平面OBC与平面ABC平行。
2. 设P为正方体ABCD-A1B1C1D1的重心，求证向量CBD与向量PP1平行。
解析：根据重心的定义，重心是由正方体八个顶点连接到重心的向量的和的平凡中心，即向量AP+向量BP1+向量CP+向量DP1=0。
因正方体其中一对相对的棱平行于向量CBD，并且向量AP+向量CP平行于向量APA1，所以向量CBD与向量PP1平行。
通过以上的几个解析几何练习题，可以帮助高三学生们加强对解析几何知识点的理解和运用。
解析几何作为高考数学中的重点和难点，需要同学们进行大量的练习和总结，提高解题策略和解题能力。
希望同学们通过不断的练习和理解，能够在高考中取得优异的成绩。
高中数学解析几何训练题(带答案)
高中数学解析几何训练题（带答案）试卷分析高中数学习题精选第三部分解析几何一、选择题：1、直线的倾斜角是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．2、直线m、l关于直线_ = y对称，若l的方程为，则m的方程为＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．3、已知平面内有一长为4的定线段AB，动点P满足|PA||PB|=3，O为AB中点，则|OP|的最小值为＿＿＿＿＿＿。
A．1 B． C．2 D．34、点P分有向线段成定比，若，则所对应的点P的集合是＿＿＿。
A．线段 B．线段的延长线 C．射线 D．线段的反向延长线5 、已知直线L经过点A 与点B ，则该直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A．150 B．135 C．75 D．456、经过点A 且与直线垂直的直线为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．7、经过点且与直线所成角为30的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B．或C． D．或8、已知点A 和点B ，直线m过点P 且与线段AB相交，则直线m的斜率k的取值范围是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．9、两不重合直线和相互平行的条件是＿＿＿＿＿＿。
A． B．或 C． D．10、过且倾斜角为15的直线方程为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．11、a = 1是直线和互相垂直的＿＿＿。
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也非必要条件12、与曲线关于直线对称的曲线方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．13、曲线关于点对称的曲线的方程是＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．14、实数a = 0是和平行的＿＿＿＿＿＿A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也非必要条件15、已知m和n的斜率分别是方程的两根，则m和n所成角为＿＿＿＿＿＿。
A．15 B．30 C．45 D．6016、直线的倾斜角为＿＿＿＿＿＿。
A． B． C． D．17、a为非负实数，直线不通过的象限是＿＿＿＿＿＿。
高三数学 解析几何综合练习(附答案)
解析几何综合练习一．选择题：（每小题4分，共4×10=40分）将正确答案填入下表中1．),(21x x P 是直线：0),(:=y x f l 上一点，),(22y x Q 是l 外一点，则方程),(),(),(2211y x f y x f y x f +=表示的直线（A ）与l 重合（B ）与l 相交于P 点（C ）过Q 点且与l 平行（D ）过Q 点且与l 相交2．已知椭圆1522=+my x 的离心率510=e ，则m 的值为 （A ）3 （B ）15（C ）3或325（D ）15或3155 3．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条准线与两条渐近线交于A ，B 两点，相应的焦点为F ，若△ABF 是正三角形，则双曲线的离心率为（A ）3（B ）3（C ）2（D ）24．（理）参数方程⎩⎨⎧=-=|sin |cos 22θθy x )02(≤≤-θπ，它所表示的曲线是 （A ）圆周（B ）椭圆（C ）二分之一椭圆（D ）四分之一椭圆（文）与直线2x+3y-6=0关于点（1,-1）对称的直线是（A ）3x-2y+2=0（B ）3x+4y+7=0（C ）3x-2y-12=0（D ）2x+3y+8=05．把直线x xy 3=绕原点逆时针方向旋转，使它与圆0323222=+-++y x y x 相切，则直线旋转的最小正角是（A ）3π（B ）2π （C ）32π（D ）65π 6．平移坐标系，使原点移至（-2,0），这时双曲线02222=--ax y x 化为标准方程，则此双曲线在原坐标系中的渐近线方程是（A ）)2(22+±=x y （B ）)2(21+±=x y（C ）)2(2+±=x y（D ）)2(2-±=x y7．若直线：1:1+=kx y l 与圆04:22=--++y kx y x C 的两个交点关于直线0:2=+y x l 对称，那么这两个交点的坐标是（A ）（3,-2）(-2,-3)（B ）(3,-2),(2,-3)（C ）(1,2),(-2,-1)（D ）(-1,2),(1,-2)8．AB 是抛物线2x y =的一条弦。
高三数学解析几何试题
高三数学解析几何试题1.（本小题满分14分）已知椭圆：的一个焦点为，且过点，右顶点为，经过点的动直线与椭圆交于两点．（1）求椭圆方程；（2）记和的面积分别为，求的最大值；（3）在轴上是否存在一点，使得点关于轴的对称点落在直线上？若存在，则求出点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在点满足条件．【解析】（1）求椭圆的标准方程，只要把点的坐标代入方程，再结合关系式关系式，列方程组可解得；（2）由于和有一条公共边，因此只要设，则有，从而我们只要设直线方程为，代入椭圆方程，由韦达定理可把用表示出来，再应用基本不等式可得最值（注意讨论的情形）；（3）本题是存在性命题，一般是假设其存在，假设在轴上存在一点满足已知条件，则，即，由（2）得，代入上式，应该是关于的恒等式，由此求得（若无解，说明假设错误，即不存在）．试题解析：（1）由已知得，解得∴椭圆方程为：（2）设直线方程为：联立得设，则当时，显然；当时，当且仅当，即时取等号综合得时，的最大值为．（3）假设在轴上存在一点满足已知条件，则即整理得：，任意，﹒故存在点满足条件﹒【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，解析几何中存在性问题的探讨．2. （本小题满分12分）已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2截直线x ＋y －＝0所得的弦长为．抛物线C 2：x 2＝2py （p>0）的焦点在圆C 1上． （1）求抛物线C 2的方程；（2）过点A （－1,0）的直线l 与抛物线C 2交于B ，C 两点，又分别过B 、C 两点作抛物线C 2的切线，当两条切线互相垂直时，求直线l 的方程． 【答案】（1）;（2）．【解析】（1）根据直线被圆所截得的弦长公式，计算圆的半径，抛物线的焦点在圆上，指的是圆与轴的交点，求参数；（2）因为涉及函数图像的切线，所以利用导数的几何意义，第一步，先设直线，与抛物线方程联立，根据韦达定理，计算两根之积，第二步，求切点处的导数，即为切线的斜率，两切线互相垂直，所以斜率乘积为-1，即导数乘积为-1，最后两步相结合，求参数和直线方程．试题解析：（1）易求得圆心到直线的距离为， 所以半径．∴圆C 1：x 2＋y 2＝1．抛物线的焦点（0，）在圆x 2＋y 2＝1上，得p ＝2， 所以x 2＝4y ．（2）设所求直线的方程为y ＝k （x ＋1）， B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）．将直线方程代入抛物线方程可得x 2－4kx －4k ＝0， ∴x 1x 2＝－4k ． 因为抛物线y ＝，所以y′＝，所以两条切线的斜率分别为、，所以=－1＝，所以k ＝1．故所求直线方程为x －y ＋1＝0．【考点】1．圆的性质；2．抛物线的性质；3．直线与抛物线相交的综合问题4．导数的几何意义．3. （本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED ．（1）证明：CD∥AB；（2）延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析【解析】（1）利用圆内接四边形外角等于对角得：∠EDC＝∠EBA，而因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．故∠ECD＝∠EBA．所以CD∥AB．（2）由作图可知：△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE．从而∠AFG＋∠GBA＝180°，进而A，B，G，F四点共圆．试题解析：证明：（1）因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD．因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA．所以CD∥AB．（2）由（1）知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC．连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE．又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．【考点】圆内接四边形4.已知椭圆：的离心率为，右顶点是抛物线的焦点．直线：与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如果，点关于直线的对称点在轴上，求的值．【答案】（Ⅰ）方程为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由抛物线的焦点坐标求出a的值，然后由离心率求出c的值，从而求出b的值及椭圆方程；（Ⅱ）设出点P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求出点M的坐标，然后利用对称性即MN的中垂线是直线，从而列出关于k的方程，最后求解即可．试题解析：（Ⅰ）抛物线，所以焦点坐标为，即，所以．又因为，所以．所以，所以椭圆的方程为．（Ⅱ）设，，因为，，所以，，所以，所以．由，得（判别式），得，，即．设，则中点坐标为，因为，关于直线对称，所以的中点在直线上，所以，解得，即．由于，关于直线对称，所以，所在直线与直线垂直，所以，解得．【考点】①求椭圆方程；②直线与椭圆的综合应用．【方法点睛】直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于x（或y）的一元二次方程，设出交点坐标P（），Q（），利用韦达定理得出坐标的关系，同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题利用中垂线得到关于参数k的方程，然后求解即可．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．5.直线过抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是6，AB的中点到x轴的距离是1，则此抛物线方程是（）A．x2＝12y B．x2＝8y C．x2＝6y D．x2＝4y【答案】B【解析】直线经过焦点，所以（为两点的纵坐标），故依题意中点的纵坐标为，即，解得，所以选B．【考点】1、圆锥曲线——抛物线；2、数形结合的思想．6.选修4-4 极坐标与参数方程已知曲线的极坐标方程为，曲线（为参数）．（1）求曲线的普通方程；（2）若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由得，代入公式可得普通方程；（2）曲线是直线，其直角坐标方程为，点的坐标可表示为，由点到直线距离公式可得到直线的距离为，显然当时取得最小值．试题解析：（1）由得，代入得（2）曲线的普通方程是：设点，由点到直线的距离公式得：其中时，，此时【考点】椭圆的参数方程，坐标变换，点到直线距离公式．7.已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．【考点】1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．8.已知直线经过抛物线的焦点，则直线与抛物线相交弦弦长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】抛物线的焦点为，准线方程为，所以由题意可得，即，于是联立直线和抛物线方程可得：，设，则，所以由抛物线的定义可得，故应选．【考点】1、直线与抛物线的位置关系；2、抛物线的定义．9.双曲线的焦点到渐近线的距离为 .【答案】4【解析】焦点，渐近线，即，则【考点】双曲线渐近线10.选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，锐角∠ABC的平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）连接，交与点，由弦切角定理得，，由角平分线可得，可得，所以，由已知，可知是直径，再利用直角三角形得证；（Ⅱ）由上一问可知是的垂直平分线，即可得到，设的中点为，连接，可得，从而，可得，进而得到的外接圆的半径．试题解析：证明：连接，交与点，由弦切角定理得，因为所以，所以又因为，所以是直径，，由勾股定理可得……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故是的中垂线，所以设中点为，连接，则，所以，所以的外接圆半径等于【考点】1．弦切角定理；2．与圆有关的知识．11.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数）．（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得普通方程为，的普通方程为．联立方程组，即可求出结果；（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，从而点到直线的距离，根据三角函数的性质即可求出结果．试题解析：（1）的普通方程为，的普通方程为，联立方程组，解得交点坐标为，，所以；（2）曲线（为参数）．设所求的点为，则到直线的距离当时，取得最小值．【考点】1．极坐标；2．参数方程．12.选修4-1：几何证明选讲如图，是圆的直径，为圆上的点，是的角平分线，与圆切于点，且交的延长线于点，，垂足为点．（1）求证：；（2）若圆的半径为，，试求线段的长．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）连接，可得四点共圆，可得，又，．于是，即可得出；（2）在中，根据余项公式即可求出结果．试题解析：解：（1）连接，，∵，∴．又∵，∴．∴．∵是圆的切线，∴，∴．∴，∴．又，，∴．∴，．∵是圆的切线，由切割线定理，得．在中，由射影定理，得．∵，∴，∴．（2）在中，，∴．于是．【考点】1．切割线定理；2．弦切角．13.（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O 引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．【答案】（1）2a+b﹣3=0．（2）．（3）+=．【解析】（1）由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于 PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P 的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函数的性质求得OP=的最小值为，此时，求得b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1，从而得到圆的标准方程．解：（1）连接OQ，∵切点为Q，PQ⊥OQ，由勾股定理可得 PQ2=OP2﹣OQ2．由已知PQ=PA，可得 PQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2．化简可得 2a+b﹣3=0．（2）∵PQ====，故当a=时，线段PQ取得最小值为．（3）若以P为圆心所作的⊙P 的半径为R，由于⊙O的半径为1，∴|R﹣1|≤PO≤R+1．而OP===，故当a=时，PO取得最小值为，此时，b=﹣2a+3=，R取得最小值为﹣1．故半径最小时⊙P 的方程为+=．【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．14.已知圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，若离心率为的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）A．1B．C．2D．4【答案】D【解析】由圆的对称性可得圆心在直线x﹣y﹣2=0，可得m=2，由离心率公式及a，b，c的关系，可得a=b，求得渐近线方程，代入圆的方程解得交点，由三角形的面积公式即可得到所求值．解：圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，可得直线x﹣y﹣2=0经过圆心（m，0），可得m=2，由e==，a2+b2=c2，可得a=b，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，将直线y=±x代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4，解得交点为（0，0），（2，﹣2），（2，2），可得围成的三角形的面积为×2×4=4．故选：D．【考点】双曲线的简单性质．15.定义：在平面内，点到曲线上的点的距离的最小值称为点到曲线的距离.在平面直角坐标系中，已知圆：及点，动点到圆的距离与到点的距离相等，记点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过原点的直线（不与坐标轴重合）与曲线交于不同的两点，点在曲线上，且，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由点到曲线的距离的定义可知，到圆的距离，所以，所以有，由椭圆定义可得点的轨迹为以、为焦点的椭圆，从而可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，由可得直线的斜率是，记，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理用表示与即可得到结论.试题解析：（Ⅰ）由分析知：点在圆内且不为圆心，故,所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆，设椭圆方程为，则，所以，故曲线的方程为（Ⅱ）设,则,则直线的斜率为，又，所以直线的斜率是，记，设直线的方程为，由题意知，由得：.∴，∴，由题意知，，所以，所以直线的方程为，令，得，即.可得.所以，即（其他方法相应给分）【考点】1.椭圆的定义与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.16.已知抛物线C：y2 =8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP=3FQ，则|QF|=A．B．C．3D．2【答案】A【解析】过点作由抛物线定义知，由三角形相似得，所以；故选A．【考点】1.抛物线的定义；2.相似三角形.17.已知椭圆与x轴负半轴交于点C，A为椭圆第一象限上的点，直线OA交椭圆于另一点B，椭圆的左焦点为F，若直线AF平分线段BC，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，连接，因为平分，即为的中点，所以为的中位线，所以，所以，即，所以，故选A.【考点】椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用、离心率的而求解，属于中档试题，解题时注意认真审题，同时注意椭圆对称性和三角形中位线的灵活运用，同时着重考查了数形结合的思想方法的应用，本题的解答中，推得为的中点，得出为的中位线，从而，在借助三角形相似的比例关系，即可得到的关系式，从而求解离心率的值.18.已知椭圆（）经过点，且其离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点．设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点．（I）求椭圆的标准方程；（II）当时，求的面积的最大值；（III）以线段，为邻边作平行四边形，若点在椭圆上，且满足，求实数的取值范围．【答案】（I）；（II）；（III）且．【解析】（I）根据离心率为可得，把点代入椭圆方程结合即可求得椭圆方程；（II）先验证轴时，不合题意，整理直线与椭圆方程构成的方程组，利用韦达定理求出弦的长，利用点到直线的距离公式求出点到的距离，从而表示出的面积，通过换元利用基本不等式即可求得其最大值；（III）由向量加法的几何意义可知即为，由此可得坐标与坐标间的关系，整理直线与椭圆方程构成的方程组，写出韦达定理即坐标间的关系，根据点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程即得的关系式，利用方程有解即可求得的范围.试题解析：（I）由题意得：，，．又椭圆经过点，则，解得，所以，椭圆的标准方程为．（II）当时，即直线，依题意知若轴时，不存在，所以不合题意．设点，的坐标分别为，，由得，，得，，，所以．又点到直线的距离为，的面积．令（），得，则，当且仅当，即时等号成立，此时且满足，所以的最大值为．（III）由得，，，可得．由向量加法得，，．①当时，点，关于原点对称，则，此时不构成平行四边形，舍去；②当时，点，不关于原点对称，设点，则由得（），即．由点在椭圆上，得，化简得．，．①又，得，②联立①、②得，，，即且．综上：且．【考点】椭圆方程及直线与椭圆位置关系的综合应用.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆位置关系的综合应用，属于难题.求椭圆方程最常用的方法是待定系数法，根据题目条件建立待定系数的方程组，解方程组即可；最值问题通常是设而不解，根据韦达定理和判别式表示出要求最值的量，利用基本不等式或函数的知识来求出最值；本题解答的难点是第三问，根据向量加法的坐标运算和韦达定理求出的坐标，代入椭圆方程构造参数间的关系式，利用方程有解求出参数的范围.19.已知直线（为参数），曲线（为参数）.（1）设与相交于两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它的直线的距离的最小值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）将直线中的与代入到直线，即可得到焦点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出；（2）将直线的参数方程化为普通方程，曲线任意点的坐标，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母的分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离的最小值．试题解析：（1）的普通方程为的普通方程为联立方程组解得与的交点为,,则.（2）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是,由此当时,取得最小值,且最小值为.【考点】圆的参数方程；函数的图象与图象的变化；直线与圆相交的性质．20.在平面直角坐标系中，已知点，直线，点是圆上的动点，垂足分别为，则线段的最大值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆，即.如图，过点作直线的垂线，交于点，则，所以此问题转化为求圆上的点到直线的距离的最大值，即圆心到直线的距离加半径.易知直线的方程是，点到直线的距离是，所以的最大值是+=，故选D.【考点】直线与圆的位置关系的应用.21.已知是抛物线的一个动点，是圆上的一个动点，定点，若轴，且，则的周长的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】抛物线的准线,焦点,由抛物线定义可得,圆的圆心为,半径为,的周长，由抛物线及因为在圆上., 故选C.【考点】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的简单性质及定义.【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及抛物线的定义，属于难题.与抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题求三角形周长时就是将转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.22.抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，，．故选B．【考点】抛物线的定义．23.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为，点，（参数）.（1）求点轨迹的直角坐标方程；（2）求点到直线距离的最大值.【答案】（1）（2）6.【解析】（1）利用消去参数得（2）根据将直线极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆位置关系得点到直线距离的最大值为半径加点到直线距离.试题解析：解：（1）设点，则且，消去参数得点的轨迹方程：；（2）由得：，即，所以直线的直角坐标方程为；由于的轨迹为圆，圆心到直线距离为，由数形结合得点到直线距离的最大值为【考点】参数方程化普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，直线与圆位置关系24.在平面直角坐标系中，已知椭圆（）过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点．①若直线过椭圆的右焦点，记三条边所在直线的斜率的乘积为，求的最大值；②若直线的斜率为，试探究是否为定值，若是定值，则求出此定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）运用椭圆标准方程中基本量之间的关系建立方程即可得到答案；（2）①运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，借助根与系数的关系构建函数可获解；②运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，借助根与系数的关系及欲证目标进行运算求解即可获解.试题解析：（1），，得，．所以椭圆．（2）①设直线的方程为，直线与椭圆的交点为，．由，化简得，易知，所以，．所以，所以，所以当时，有最大值．②设直线的方程为，直线与椭圆的交点为、，，得，，即．，，．【考点】椭圆的标准方程及及运用、直线与椭圆的位置关系和解方程、借助二次函数求最值的能力及函数方程思想的运用.25.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求C的普通方程和直线的倾斜角；（Ⅱ）设点(0，2)，和交于两点，求.【答案】（Ⅰ）,．（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）由参数方程消去参数即得；由极坐标方程化为直角坐标方程，根据斜率即得倾斜角（Ⅱ）根据在直线上，可设直线的参数方程代入椭圆方程化简，根据一元二次方程根与系数的关系，利用参数的几何意义求解.试题解析：解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，由，得，（＊）将代入（＊），化简得，所以直线的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数），代入并化简，得．．设两点对应的参数分别为，则，所以所以．解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）直线的普通方程为.由消去得，于是.设，则，所以.故.【考点】1、参数方程；2、极坐标方程．26.已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，证明：直线过定点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）求椭圆标准方程就是利用条件确定，由是等腰直角三角形，得（Ⅱ）直线过定点问题，实质是先求直线方程，再证过定点,以算代证. 当直线的斜率不存在时，易得方程为，显然过点.当直线的斜率存在时，设方程为，由，可得，即，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y得一元二次方程，利用韦达定理可得.代入化简得，从而直线的方程为，过定点试题解析：解：（Ⅰ）由是等腰直角三角形，得，故椭圆方程为.（Ⅱ）（1）若直线的斜率存在，设方程为，依题意.设，由得.则.由已知，可得，所以.所以，整理得.故直线的方程为，即.所以直线过定点.（2）若直线的斜率不存在，设方程为，设，由已知，得，此时方程为，显然过点.综上，直线过定点.【考点】椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.27.设，分别是双曲线（，）的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分交轴于点,过原点作的平行线交于点,若,则的离心率为（）A．B．3C．D．【答案】A【解析】因为设双曲线的顶点为，考察特殊位置，当时，射线直线，此时，即，特别地，与重合时，所以由得，，，故选A.【考点】1、双曲线的几何性质；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.28.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，在椭圆中，，在中，，且，代入解得，所以椭圆的离心率为，故选B.【考点】椭圆的几何性质【名师】求椭圆或双曲线的离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e .29.抛物线的焦点坐标是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】又焦点在轴，故选C.【考点】抛物线的标准方程及其性质.【易错点晴】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质，题型较简单，但很容易犯错，属于易错题型.要解好此类题型应牢牢掌握抛物线方程的四种标准形式：，在解题之前应先判断题干中的方程是否是标准方程，如果不是标准方程应将其化为标准方程，并应注意：焦点中非零坐标是一次项系数的四分之一.30.选修4-1：几何证明选讲如图，等边三角形内接于圆，以为切点的圆的两条切线交于点，交圆于点.（1）求证：四边形为菱形；（2）若，求等边三角形的面积.【答案】（１）证明见解析；（２）．【解析】（１）先证四边形为平行四边形，再证明邻边相等即可；（２）利用根据切割线定理得：整理成只含的等式，可求得的值，进而得，可得三角形的面积．试题解析：（1）证明：∵三角形为等边三角形，∴，又∵分别为以为切点的圆的切线，∴，且，∴三点共线.∵，∴，又∵四点共圆，∴，∴为等边三角形，∴可得，，∴，，∴四边形为平行四边形，又∵，∴四边形为菱形.（2）解：∵是圆的切线，根据切割线定理得：在直角三角形中，，∴.又∵，∴，∵，∴，即，解得，∴，∴等边三角形的面积为.【考点】与圆有关的比例线段．31.已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的离心率为，若双曲线上一点使，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，在中，由正弦定理得，，又因为,结合这两个条件得，,由余弦定理可得，,，则综合选B．【考点】1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用；3．双曲线的性质；4．平面向量的数量积．【思路点晴】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，双曲线的性质，平面向量的数量积，属于中档题，本题给的已知条件看似比较抽象，其实画出草图会发现，点在双曲线的右支上，由中，利用正弦定理可将已知条件转化点，再结合双曲线的性质，得，进而可求出的值，再解这个三角形即可求出所需要求的值，本题中，正确对已知条件进行转化是解题的关键．32.已知椭圆的左焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设右焦点为，则,因此可设，从而由得，选C.。
高三数学解析几何习题及答案
数学试卷〔解析几何综合卷〕时间：90分钟，满分：120分一、选择题〔共60分，每小题5分，说明：选做题3选2〕1. 从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n,则能组成落在矩形区域{(,)|||11,||9}B x y x y =<<且内的椭圆个数为A.43B. 72C. 86D. 902. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆12622=+y x 的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．43. 短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为〕A ．3B ．6C ．12D ．244. 以双曲线1322=-x y 的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是A ．4)2(22=+-y xB ．2)2(22=-+y xC ．2)2(22=+-y xD ．4)2(22=-+y x5. 抛物线241x y =的焦点坐标是 A ．〔161，0〕B ．〔0，161〕C ．〔0，1〕D ．〔1，0〕6. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且34παπ<<，则双曲线的离心率的取值X 围是A ．)2,1(B ．)2,2(C ．〔1，2〕D ．)2,1(7.〔选作〕设21,F F 分别是双曲线1922=-y x 的左右焦点．若点P 在双曲线上,且021=•PF PF =+A ．10B ．102C ．5D ．528. 已知直线422=+=+y x a y x 与圆交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB 满足||||OB OA OB OA -=+，则实数a 的值是A ．2B ．－2C ．6或－6D ．2或－29. 直角坐标平面内，过点P 〔2，1〕且与圆 224x y +=相切的直线 A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定10. 双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为A ．23B ．2C ．3D ．111. 〔选作〕点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点〞，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点〞 B ．直线l 上仅有有限个点是“点〞 C ．直线l 上的所有点都不是“点〞D ．直线l 上有无穷多个点〔点不是所有的点〕是“点〞12. 6A ．22124x y -=B ．22142x y -=C ．22146x y -=D ．221410x y -= 13. 经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 A ．30x y -+=B ．30x y --= C ．10x y +-=D ．30x y ++=二、填空题〔共30分，每小题5分，说明：选作题4选2，注明所选题号。
高三文科数学解析几何专题
高三文科数学解析几何专题一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1直线1:1+=mx y l ，直线2l 的方向向量为)2,1(=a ，且21l l ⊥，则=m ( )A ．21B ．21-C ．2 D ．-22双曲线121022=-y x 离心率为( )A ．56B ．552 C ．54D ．530 3直线x 3+1=0的倾斜角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4抛物线22(0)y px p =>的准线经过等轴双曲线221x y -=的左焦点，则p =( )A ．22B 2C ．22D ．425已知点)0,1(M ，直线1:-=x l ，点B 是l 上的动点， 过点B 垂直于y 轴的直线与线段BM 的垂直平分线交于点P ，则点P 的轨迹是 ( )（A ）抛物线 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）直线6已知倾斜角0≠α的直线l 过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则APB ∠为 ( ) A ．钝角 B ．直角 C ．锐角D ．都有可能7经过圆:C 22(1)(2)4x y ++-=的圆心且斜率为1的直线方程为 ( )A ．30x y -+=B ．30x y --=C ．10x y +-=D ．30x y ++=8直线1:20l kx y -+=到直线2:230l x y +-=的角为45，则k =（ ）A.－3B. －2C. 2D. 39直线)=-y x 2截圓+=22x y 4所得的劣弧所对的圆心角为( )A ．π6B ．π3C ．π23D ．π5310焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是( )A ．1241222=-y xB ．1241222=-x y C．1122422=-x yD ．1122422=-y x11双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的两个焦点为1F 、2F ，若P 为其上一点，且||2||21PF PF =，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(]3,1B ．()3,1C ．()+∞,3D ．[)+∞,312过双曲线22221(0,)x y a b b a-=>>的左焦点1F 作圆222x y a +=的切线，切点为T 且与双曲线的右支交于,P M 为线段1PF 的中点，则||||()OM MT O -为坐标原点的值为（ ）A ．2aB ．a+bC ．b a -D ．2b二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13已知直线:30l x y +-=与圆22:(1)(2)2,C x y -++=则圆C 上各点到l 距离的最大值为_____________;14双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的离心率是2，则a b 312+的最小值是15．已知圆x 2+y 2－2x+4y+1=0和直线2x+y+c=0，若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则c= .16若x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≥N y x y x x y ,16||22，则y x z +=2的最大值为 。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高三数学解析几何专题练习题
高三数学解析几何专题练习题解析几何是数学中的一个重要分支，也是高中数学中的一大难点。
高三学生正是备战高考的重要阶段，因此针对解析几何的专题练习尤为关键。
本文将为大家提供一些高三数学解析几何专题练习题，帮助学生们更好地掌握解析几何的知识点。
1. 直线的方程已知直线L1过点A(1, 2)和点B(3, 4)，直线L2过点C(2, -1)且与L1垂直。
求直线L2的方程。
解：首先求L1的斜率k1：k1 = (4 - 2) / (3 - 1) = 1由于L2与L1垂直，所以L2的斜率k2 = -1 / k1 = -1L2通过点C(2, -1)，所以L2的方程为y - (-1) = -1(x - 2)，即y + 1 = -x + 2，化简得到y = -x + 1。
所以直线L2的方程为y = -x + 1。
2. 面积计算已知△ABC的顶点A(1, 2)、B(3, 4)、C(5, 6)，求△ABC的面积。
解：设△ABC的底边为BC，设直线BC的方程为y = kx + b。
已知B(3, 4)，C(5, 6)，代入直线方程可得4 = 3k + b，6 = 5k + b。
解得k = 1，b = 1。
所以直线BC的方程为y = x + 1。
记△ABC的高为h，直线BC的斜率为k，则有h = k × AB。
已知A(1, 2)，B(3, 4)，AB的斜率k = (4 - 2) / (3 - 1) = 1。
所以h = 1 × AB = 1 × √[(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2] = 1 × √8 = 2√2。
△ABC的面积S = 1/2 × BC × h = 1/2 × √[(3 - 5)^2 + (4 - 6)^2] × 2√2 = 2√2。
所以△ABC的面积为2√2。
3. 直线和圆的交点已知直线L通过点A(-1, 2)和点B(3, 4)，圆C的圆心为O(2, 1)，半径为2。
[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)
![[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/17973334001ca300a6c30c22590102020640f250.png)
[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。
（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。
（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。
（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，记，则当最小时的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意可知，当点距离圆心越远时，越小，所以当点距离圆心最远时，即点落在处时角达到最小，此时，所以，故选C．【考点】圆的有关性质．2.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线（为参数），（为参数）．（1）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若上的点对应的参数为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值．【答案】（1），，是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆；（2）【解析】第一问将参数消掉，求得其普通方程，根据方程确定出曲线的类型，第二问根据确定出的坐标，利用中点坐标公式，确定出，将的方程消参，求得直线的普通方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的最值，求得距离的最小值．试题解析：（1），是以为圆心，半径为的圆；为中心在坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是的椭圆（2）当时，，，故；为直线，到的距离当，时，取最小值【考点】参数方程向普通方程转化，中点坐标公式，点到直线的距离的最小值．3.（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，长轴长为8．。
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若不垂直于坐标轴的直线经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求的值。
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程；（Ⅱ）根据已知设出直线方程为（），并记，于是联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再由已知直线AQ，BQ的斜率之和为0，可得方程，将上述求得的的值直接代入即可求出参数的值．试题解析：（Ⅰ）由题意①，②，又③，由①②③解得：，所以求椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线方程为（），且，直线的斜率分别为，将代入得：，由韦达定理可得：．由得，，将代入，整理得：即将代入，整理可解得【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；4.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是弧的中点，，垂足为，交于点．（1）求证：；（2）若，⊙的半径为6，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】第一问连结CO交BD于点M，根据弧的中点，结合三角形全等，从而证得结果，也可以延长CE 交圆O于点N，连接BN，根据角相等，证得结果，第二问根据圆中的直角三角形，利用勾股定理，求得结果．试题解析：（1）证法一:连接CO交BD于点M，如图1∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO∴∠OCE=∠OBM又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2∵AB是直径且CN⊥AB于点E．∴∠NCB=∠CNB又∵C为弧BD的中点∴∠CBD=∠CNB∴∠NCB=∠CBD即∠FCB=∠CBF∴CF=BF（2）∵O,M分别为AB,BD的中点∴OM=2OE∴EB=4在Rt△COE中，∴在Rt△CEB中，【考点】圆的性质．5.已知抛物线（）的焦点与双曲线的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，点在抛物线上且，则点的横坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵双曲线，其右焦点坐标为．∴抛物线，准线为，∴,设，过点向准线作垂线，则，又，∴由得，从而，即，解得．故选B．【考点】圆锥曲线的性质.【思路点睛】根据双曲线得出其右焦点坐标，可知抛物线的焦点坐标，从而得到抛物线的方程和准线方程，进而可求得的坐标，设，过点向准线作垂线，则，根据及，进而可求得点坐标．6.抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，）B．（0，）C．（，0）D．（，0）【答案】B【解析】先将抛物线的方程化为标准形式，所以焦点坐标为（）．故选B．【考点】求抛物线的焦点．7.设是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，若（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】由题意得，是直角三角形，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴．故选：D．【考点】双曲线的简单性质．8.已知椭圆C: 的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆相切的直线交椭圆C与A,B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）利用题设条件可列出关于、、的方程组，从而可得、、的值．（2）因为直线与圆相切，所以欲求面积的最大值，只需求弦长的最大值，所以可求出弦长关于斜率的解析式，利用基本式可求得其最大值．试题解析：（1）由题意可得：．（2）①当不存在时，，②当存在时，设直线为，当且仅当即时等号成立，∴面积的最大值为，此时直线方程．【考点】求椭圆方程，直线与圆相切，弦长公式，基本不等式．【方法点睛】（1）对于直线的斜率，需要分类讨论斜率存在与不存在，这也是易忘易错之处．（2）注意到直线与圆相切，那么的高就是圆的半径，所以欲求面积的最大值，只需求弦长AB的最大值，也是本题的难点之一．（3）关于的化简，变形，进而结合基本不等式求解，是本题另一个难点．9.如图所示，一个酒杯的轴截面是一条抛物线的一部分，它的方程是：．在杯内放一个清洁球，要使清洁球能擦净酒杯的底部，则清洁球的最大半径为________．【答案】1【解析】球的截面大圆半径为，圆方程为，圆心为，设是抛物线上任意一点，由，由题意，最小值是与原点重合时取得，即时取得，因为，所以，，因此清洁球的最大半径为1．【考点】柱、锥、台、球的结构特征，圆的标准方程与一般方程，直线与抛物线的应用．【名师】本题考查圆与抛物线的位置关系，本题具有实际意义，从数学上讲，本题就是圆与抛物线切于抛物线的顶点处，从生活常识中可知，圆的半径很小时，圆一定与抛物线切于其顶点处，当圆半径很大时，圆不可能与抛物线切于顶点处，要满足题意，这个半径一定有最大值，从数学上来解，设圆心为，则抛物线上点到的距离的最小值在原点处取得，实质上本题转化为二次函数在上的最大值在自变量为0时取得，由此可得的最大值（范围）．10.已知抛物线与圆的两个交点之间的距离为4．（1）求的值；（2）设过抛物线的焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点，当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用圆与抛物线可求交点为，据此即可求出的值；（2）直线的方程为，分别于抛物线、圆的方程联立，求出，利用时，即可求的取值范围．试题解析：（1）由题意知交点坐标为代入抛物线解得（2）抛物线的焦点，设直线方程为与抛物线联立化简得设，则圆心到直线的距离为又，所以的取值范围为．【考点】1．抛物线的简单性质；2．直线与抛物线、圆的位置关系．11. 选修4-1：几何证明选讲 如图，⊙是的外接圆，平分交于，交的外接圆于．（1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）． 【解析】（1）过作交于，连接，则可得，再利用条件可证明；（2）利用，可得对应线段成比例，即可建立关于的方程，从而求解．试题解析：（1）如图，过作交于，连接，∴①， 又∵平分，∴，又∵，∴，∴，∴，∴②，由①②知；（2）∵，又∵， ∵，∴，∴，∴，∴，∴．【考点】1．圆的基本性质；2．相似三角形的判定与性质．12. 已知椭圆C ：的离心率为，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【解析】（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可． 试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得，a 2=b 2+c 2，又因为点在椭圆C 上， 所以，解得a=2，b=1，，所以椭圆C 的方程为．（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5． 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）． 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ． 由方程组得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点， 所以，即m 2=4k 2+1． 由方程组得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，则．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则，，设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以，将m 2=4k 2+1代入上式，得．要使得k 1k 2为定值，则，即r 2=5，验证符合题意．所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值．当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2， 此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足．综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．13. 已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】，不妨设的方程为，设由．得，故到轴的距离为，故选C ．【考点】1．双曲线的性质；2．向量的数量积．14. 已知圆：和抛物线，圆的切线与抛物线交于不同的两点.（1）当切线斜率为-1时，求线段的长；（2）设点和点关于直线对称，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】试题解析：（1）圆的圆心为，，设，设的方程，利用直线是圆的切线，求得的值，从而可得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）设直线的方程为，由直线是圆的切线，得到，解得此时直线的方程为；设直线的斜率不存在时，的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.（1）因为圆，所以圆心为，半径.设，当直线的斜率为-1时，设的方程为.由，解得或，所以由消去得，所以弦长；（2）（i）当直线的斜率不存在时，因为直线是圆的切线，所以的方程为，与联立，则得，即，.不符合题意.（ii）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即.由题意知，得①，由，消去得.由直线l是圆的切线，得到，解得此时直线l的方程为；设直线l的斜率不存在时，l的方程为则得不成立，总上所述，存在满足条件其方程为.【考点】1、抛物线的简单性质；2、直线方程.【思路点睛】（1）本题主要考察抛物线简单的性质，得到的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，求出；（2）将直线与抛物线联立，韦达定理，求出，点到直线的的距离公式，直线的方程的基础知识．主要考察学生的分析问题解决问题的能力，转化能力，计算能力.15.如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y2=4x的焦点F．（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析【解析】法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l 的方程．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y），则．因为|BF|=|AF|=x+1，所以B（﹣x，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）所以，，解得：．…（5分）故直线l的方程为：，即．…（6分）（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）（法一）：设A（x0，y），则．…（8分）因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为：，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）设A（x0，y），则．…（8分）设圆的方程为：，…（9分）当y=0时，得x=1±（x+1），因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x，0）．…（9分）所以直线AB的方程为，整理得： (1)把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分），所以直线AB与抛物线相切．…（12分）【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．16.如图，中，以为直径的⊙分别交于点交于点.求证：（Ⅰ）过点平行于的直线是⊙的切线；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）连结，延长交于，利用圆内接四边形的性质证明三角形相似，再证明线线垂直；（Ⅱ）连续利用割线定理进行证明．试题解析：（Ⅰ）连结，延长交于，过点平行于的直线是，∵是直径，∴，∴，∵四点共圆，∴，又∵是圆内接四边形，∴，∴，而,∴∽, ∴,∴, ∴,∴是⊙的切线．（Ⅱ）∵,∴四点共圆，∴, 同理,两式相加【考点】圆内接四边形．17.双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，故选C.【考点】双曲线的性质.18.已知圆内接中，为上一点，且为正三角形，点为的延长线上一点，为圆的切线.（Ⅰ）求的度数；（Ⅱ）求证：【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】对于（Ⅰ）可由与相似，并结合即可求出的度数；对于（Ⅱ）可先证明，再结合为等边三角形，进而可以证明所需结论.试题解析：证明：（Ⅰ）在与中，因为为圆的切线，所以，又公用，所以，因为为等边三角形，所以，（Ⅱ）因为为圆的切线，所以，因为为等边三角形，所以，所以，所以，所以，即，因为为等边三角形，所以，所以.【考点】几何证明.19.抛物线上的点P到它的焦点F的最短距离为________．【答案】1【解析】，根据焦半径公式．【考点】抛物线的几何性质.20.圆被直线分成两段圆弧，则较长弧长与较短弧长之比为（）A．1:1B．2:1C．3:1D．4:1【答案】C【解析】圆心到直线的距离为，半径为，则截圆的弦所对的劣弧的圆心角为，则较长弧长与较短弧长之比.故选C.【考点】直线与圆的位置关系.21.已知双曲线的一条渐近线与平行，且它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】抛物线的准线为，由题意可得，设双曲线的一条渐近线与平行，由题意可得，即，解得，∴双曲线的标准方程为．所以答案应填：．【考点】1、双曲线的简单性质；2、抛物线的性质．【思路点睛】求出抛物线的准线方程，可得，根据双曲线的方程为，求出渐近线方程，由题意可得的方程，解方程可得或，进而得到双曲线的方程．正确运用双曲线的性质是解题的关键，本题考查双曲线的方程的求法、抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查逻辑思维能力和计算能力，属于基础题．22.如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆方程；（2）椭圆内接四边形的对角线交于原点，且，求四边形周长的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值是，最小值是.【解析】（1）由题意得，利用离心率可得，利用的关系，即可求解椭圆的标准方程；（2）由题意得对称性可得四边形为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得，即有四边形为菱形，既有，讨论直线的斜率为，可得最大值；不为时，设出直线方程，与椭圆方程联立，运用两点间的距离公式，化简整理，再借助二次函数的性质，即可求得最小值.试题解析：（1）由题意可知，所以.又因为，所以，所以椭圆方程是.（2）由题意可设，则，因为所以，所以四边形是平行四边形.因为，所以，所以四边形是菱形.设直线的方程是，则直线的方程是，并且由椭圆的对称性不妨设，由，得，所以，所以由，得，所以，所以所以，所以令，则，令，因为，所以，即时，.，即时，.所以四边形周长的最大值是，最小值是.【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质、直线与椭圆位置关系的综合应用，其中直线与椭圆方程联立相交问题转化为联立方程组求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值是解答的关键，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归思想的应用，试题运算量与思维量较大，需要平时注意总结和积累，属于难题.23.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，直线的方程是，因为圆与直线相切，所以点到直线的距离等于半径，即，又，得，，，故选B.【考点】1、双曲线的性质；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.24.已知椭圆的两个焦点，，且椭圆过点，，且是椭圆上位于第一象限的点，且的面积.（1）求点的坐标；（2）过点的直线与椭圆相交于点，，直线，与轴相交于，两点，点，则是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得的坐标；（2）将直线的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.试题解析：（1）∵椭圆过点，，∴，计算得，，∴椭圆的方程为.∵的面积，∴，∴，代入椭圆方程.∵，∴，∴；（2）法一：设直线的方程为，，，直线的方程为，可得，即，直线的方程为，可得，即.联立，消去，整理，得.由，可得，，，∴为定值，且.法二：设，，，，直线，，的斜率分别为，，，由，得，，可得，，，，由，令，得，即，同理得，即，则∴为定值，该定值为.【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.25.已知圆的方程为，定直线的方程为．动圆与圆外切，且与直线相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）直线与轨迹相切于第一象限的点，过点作直线的垂线恰好经过点，并交轨迹于异于点的点，记为（为坐标原点）的面积，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由圆与圆外切得圆心距为半径之和，即得，用坐标表示，化简得（2）按条件依次表示点的坐标及三角形面积：设点，则由导数几何意义得切线斜率，根据垂直关系得，再由直线方程过点得，即得点坐标为，直线的方程为，最后根据直线方程与抛物线方程解出点的坐标为，计算出三角形面积试题解析：解：（1）设动圆圆心的坐标为，动圆半径为，则，且，可得．由于圆在直线的上方，所以动圆的圆心应该在直线的上方，所以有，，整理得，即为动圆圆心的轨迹的方程．（2）设点的坐标为，则，，，所以直线的方程为．又，∴，∵点在第一象限，∴，点坐标为，直线的方程为．联立得，解得或4，∴点的坐标为．所以．【考点】直接法求轨迹方程，导数几何意义，直线与抛物线位置关系26.已知圆方程为：，直线过点，且与圆交于两点，若，则直线的方程是_______.【答案】或【解析】①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为满足题意.②若直线不垂直于轴，设其方程为，即，设圆心到此直线的距离为，则，得，∴，解得，故所求直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.【考点】直线与圆位置关系27.已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得又，所以所以双曲线的方程为，选A.【考点】双曲线【名师】求双曲线的标准方程的关注点：（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．28.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出的极坐标方程，并求与的交点的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求的面积的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）借助题设将建直角坐标化为极坐标求解；（2）借助题设条件参数方程建立目标函数求解.试题解析:（1）因为，所以的极坐标方程为，直线的直角坐标方程为，联立方程组，解得或，所以点的极坐标分别为.（2）因为是椭圆上的点，设点坐标为，则到直线的距离，所以，当时，取得最大值1.【考点】极坐标方程和参数方程等知识及运用．29.平面直角坐标系中，点、是方程表示的曲线上不同两点，且以为直径的圆过坐标原点，则到直线的距离为（）A．2B．C．3D．【答案】D【解析】由题设可得,注意到,由椭圆的定义可知动点的轨迹是以焦点,长轴长为的椭圆,所以其标准方程为.因为是椭圆上点,且以为直径的圆过坐标原点,所以,设,将这两点坐标代入可得, ,所以.即也即,设原点到直线的距离为,则,即,应选D.【考点】椭圆的标准方程和参数方程．【易错点晴】本题以方程的形式为背景考查的是圆锥曲线的几何性质与运用.解答本题的难点是如何建立两个动点的坐标的形式,将两点之间的距离表示出来,以便求坐标原点到这条直线的距离.解答时充分利用题设条件,先运用椭圆的定义将其标准方程求出来,再将两动点的坐标巧妙地设为,这也是解答本题的关键之所在.进而将这两点的坐标代入椭圆的方程并进行化简求得的长度之间的关系.最后运用等积法求出了坐标原点到直线的距离.30.选修4-1：几何证明选讲如图, 圆是的外接圆,垂直平分并交圆于点, 直线与圆相切于点,与的延长线交于点.（1）求的大小；（2）若,求的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用弦切角与三角形的内角和定理求解；（2）借助题设条件和切割线定理求解. 试题解析:（1）设,为圆的切线, ,由垂直平分并交圆于点,可得,,则,由,得,即的大小为.（2）为圆的切线,. 由（1）知,又,即.【考点】圆幂定理中切割线定理及运用．31.过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，若，且，则抛物线的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，与双曲线的渐近线方程为，由于过抛物线的焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交抛物线于两点，且，所以可设直线方程为：，设，则，由可得，所以，由得或（舍去），所以抛物线方程为，故选A.【考点】1.直线与抛物线的位置关系；2.抛物线和双曲线的定义与性质.【名师】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线和双曲线的定义与性质，属中档题；解决抛物线弦长相关问题时，要注意抛物线定义的应用，即将到焦点的距离转化为到准线的距离，通过解方程组求解相关问题即可。
高三数学练习题：解析几何专项
高三数学练习题：解析几何专项
一、直线与平面的关系
1. 设直线L的方程为2x+y=5，平面α的方程为x-y+z=3，求直线L与平面α的交点坐标。
2. 已知直线L过点A(1,2,3)，且与平面α：2x-y+3z=7垂直，求直线L的方程。
二、线段与平面的关系
1. 在直角坐标系中，已知线段AB的中点坐标为M(-3,4,5)，A点坐标为(-5,2,3)，求B点坐标。
2. 平面α:2x+y-z+4=0与平面β：-x+2y+2z-5=0相交于直线L，求直线L的方程。
三、二次曲线与直线的关系
1. 已知抛物线C：y=ax^2+bx+c，其中a<0，顶点坐标为(1,2)，与直线L：y=2x-1相切于点P，求抛物线的方程。
2. 设曲线C为椭圆，焦点坐标为F1(2,0)和F2(4,0)，且过点P(3,6)的准线与曲线C 相交于点Q，求点Q的坐标。
四、平面与平面的关系
1. 已知平面α的法向量为n1=(1,2,-3)，平面β过点A(-1,1,2)且与平面α垂直，求平面β的方程。
2. 平面α过点A(1,2,3)且与直线L：x=2t,y=-t,z=4t相交，求平面α的方程。
以上就是解析几何专项的高三数学练习题。
希望同学们能结合所学知识，认真思考并解答出题目中的问题，提升自己的解析几何能力。
祝愿大家在数学学习上取得优异的成绩！。
高三解析几何测试卷
高三解析几何测试卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ）Ａ．Ｃ．2．椭圆2214xy +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF=（ ）2Ｃ．72Ｄ．43．双曲线22221124xym m-=+-的焦距是（ ）Ａ．8Ｂ．4Ｃ． Ｄ．与m 有关4．焦点为(06)，且与双曲线2212xy -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．2211224xy-= Ｂ．2212412yx-= Ｃ．2212412xy-= Ｄ．2211224yx-=5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x =Ｂ．28y x =Ｃ．24y x =-Ｄ．28y x =-6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ）Ａ．216y x = 或212x y =- Ｂ．216y x =或216x y = Ｃ．216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y =7．椭圆22213x ymm+=-的一个焦点为(01)，，则m 等于（ ）Ａ．1Ｂ．2-或1Ｃ．2Ｄ．538．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14Ｂ．12229．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．2211612xy+= Ｂ．221164xy+= Ｃ．2211216xy+= Ｄ．221416xy+=10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ）3Ｂ．3Ｃ．Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)，Ｂ．(02)-，Ｃ．(20)，Ｄ．(40)，12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16Ｂ．12Ｃ．9Ｄ．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
高三数学解析几何试题答案及解析
高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。
高中数学解析几何测试题(答案版)
解析几何练习题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ）A 、12B 、12- C 、13D 、13-3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ）A ．21B ．21- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y xB ．032=--y xC ．210x y ++=D ．210x y +-=6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( )A ．0,4B ．0,2C ．2,4D ．4,27．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为31，则m ，n 的值分别为A.4和3B.-4和3C.- 4和-3D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ）A.（x －2)2+(y+3)2=12B.（x －2)2+(y+3)2=2C.（x ＋2)2+(y －3)2=12D.（x ＋2)2+(y －3)2=210．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为( )A ．2B ．32C ．12D ．211．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --=B ．50x y -+=C ．50x y ++=D ．50x y +-=12．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的值最小时，点P 的坐标是 。
高三解析几何测试题
高三解析几何测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13 B．－13C．－32 D.23解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为()A．2 B．1或2C．1 D．0或1解析：依题意，得(－a)－1a－2＝－1，解得a＝1.答案：C3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx ＋3与直线x＝5的夹角为6，则半径r的值为()A.32B.332C.32或332D.32或3解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为6，k＝3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.答案：C4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是()A．y2＝－x，或y2＝5x B．y2＝－xC．y2＝x，或y2＝－5x D．y2＝5x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A正确．答案：A5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为()A．106 B．206C．306 D．406解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为124610＝206，故应选B.答案：B6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是()A．3 B．5C.3D.5解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.答案：C7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m, 0)(m0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM＝ME，PN＝，则＋＝()A．1 B．－12C．－1 D．－2解析：设过点E的直线方程为y＝k(x－m)．代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(－2mk2－2p)x＋m2k2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2mk2k2，x1x2＝m2.由PM＝ME，PN＝，可得x1＝(m－x1)，x2＝(m－x2)，则＋＝x1m－x1＋x2m－x2＝x1(m－x2)＋x2(m－x1)(m－x1)(m－x2)＝m(x1＋x2)－2x1x2m2＋x1x2－m(x1＋x2)＝m(x1＋x2)－2m22m2－m(x1＋x2)＝－1.答案：C9．直线MN与双曲线C：x2a2－y2b2＝1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又NP＝PM(R)，则实数的值为()A.12 B．1C．2 D.13解析：如图所示，分别过点M、N作MBl于点B，NAl于点A. 由双曲线的第二定义，可得 = =e，则 = =2.∵△MPB∽△NPA， = = ，即 = .答案：A10．在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x＝－1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a＝( )A．1 B．2C．2或－2 D．1或－1解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y－2＝－a－14x－a＋12上．由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组y2＝4x，y－2＝－a－14x－a＋12有唯一的实数解．结合选项进行检验即可．当a＝1时，抛物线y2＝4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a＝－1时，线段AB的中垂线方程是y＝12x＋2，易知方程组y2＝4x，y＝12x＋2有唯一实数解．综上所述，a＝1，或a＝－1.答案：D11．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1||PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”．下列结论正确的是()A．椭圆C上的所有点都是“★点”B．椭圆C上仅有有限个点是“★点”C．椭圆C上的所有点都不是“★点”D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”解析：设椭圆C：x24＋y2＝1上点P的坐标为(2cos，sin)，由|PO|2＝|PF1||PF2|，可得4cos2＋sin2＝(2cos＋3)2＋sin2(2cos－3)2＋sin2，整理可得cos2＝12，即可得cos＝22，sin＝22，由此可得点P的坐标为2，22，即椭圆C上有4个点是“★点”．答案：B12．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P 为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O 为坐标原点，则|OP|2与|OQ||OR|的大小关系为()A．|OP|2＜|OQ||OR| B．|OP|2＞|OQ||OR|C．|OP|2＝|OQ||OR| D．不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ||OR|.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．解析：如图所示，过点M作MBl于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MB||CB|－1＝4＋1－1＝4.答案：415．若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于P、Q两点，则OPOQ＝__________.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OPOQ＝x1x 2＋y1y2是引发思路的关键．答案：－316．如果F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x －1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为__________．解析：将l：y＝x－1代入椭圆C：x22＋y2＝1，可得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0，解之得x＝0，或x ＝43. 可得A(0，－1)，B43，13.又F1(－1,0)，则|F1A|＋|F1B|＝(－1)2＋12＋43＋12＋132＝823.答案：823三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知椭圆 C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPMkPN＝－14时，求椭圆的方程．解析：(1)由b＝21＋1，得b＝2，又 2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x ＋x0，kPMkPN＝y－y0x－x0y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14.由a＝2，得b＝1.故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||NP|＝MNMP.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．解析：(1)设P(x，y)，则MN＝(2,0)，NP＝(x－1，y)，MP＝(x＋1，y)．由|MN||NP|＝MNMP，得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，化简，得y2＝4x.故动点P的轨迹方程为y2＝4x.(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．当m4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即4x＋m(m－4)y－4m＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2，令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且MA＝1AF，MB＝2BF，当m变化时，求1＋2的值．解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.又∵F(1,0)，c＝1，a2＝b2＋c2＝4，椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝ 0，＝144(m2＋1)＞0，于是1y1＋1y2＝2m3.(*)∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA＝1AF，x1，y1＋1m＝1(1－x1，－y1)，1＝1－1my1.同理2＝－1－1my2.从而1＋2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.即1＋2＝－83.20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM＝AB(R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP|＝|AQ |，试求k的取值范围．解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.∵GM＝AB，(R)，GM∥AB.∵点M是三角形的外心，M点在x轴上，即Mx3，0.又∵|MA|＝|MC|，x32＋(0＋1)2＝ x3－x2＋y2，整理，得x23＋y2＝1，(x0)，即为曲线C的方程．(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP|＝|AQ|.②当k0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)∵直线l和椭圆C交于不同两点，＝(6km)2－4(1＋3k2)(m2－1)＞0，即1＋3k2－m2＞0.(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，又∵|AP|＝|AQ|，ANPQ，kkAN＝km1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，m＝1＋3k22.将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k0)，即k2＜1，得k(－1,0)(0,1)．综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB 的距离为63，求AOB的大小．解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝63，或y＝kx＋b.当直线AB的方程为x＝63时，由x＝63，x22＋y2＝1，可求A63，63，B63，－63.从而OAOB＝0，可得AOB＝2.同理可知当直线AB的方程为x＝－63时，和椭圆交得两点A、B.可得AOB＝2.当直线AB的方程为y＝kx＋b.由原点到直线的距离为63，得b1＋k2＝63.即1＋k2＝32b2.又由y＝kx＋b，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kbx ＋2b2－2＝0.得x1＋x2＝－4kb1＋2k2，x1x2＝2b2－21＋2k2，从而y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－2k21＋2k2.OAOB＝x1x2＋y1y2＝2b2－21＋2k2＋b2－2k21＋2k2＝3b2－2(1＋k2)1＋2k2，将1＋k2＝32b2代入上式，得OAOB＝0，AOB＝90.22．(12分)已知动点P与双曲线x2－y23＝1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1||PF2|的最大值为9.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，－2)满足AM＝MB，求实数的取值范围．解析：(1)双曲线x2－y23＝1的两焦点F1(－2,0)、F2(2,0)．设已知定值为2a，则|PF1|＋|PF2|＝2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵|PF1||PF2|PF1|＋|PF2|22＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，a2＝9，b2＝a2－c2＝5，动点P的轨迹E的方程是x29＋y25＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝MB，得－x1＝x2，－2－y1＝(y2＋2)，且M、A、B三点共线，设直线为l，①当直线l的斜率存在时，设 l：y＝kx－2，由y＝kx－2，x29＋y25＝1，得(5＋9k2)x2－36kx－9＝0，＝(－36k)2－4(5＋9k2)(－9)＞0恒成立．由韦达定理，得x1＋x2＝36k5＋9k2，x1x2＝－95＋9k2. 将x1＝－x2代入，消去x2得(1－)2＝144k25＋9k2.当k＝0时，得＝1；当k0时，(1－)2＝1445k2＋9，由k2＞0，得0＜(1－)2＜16，得9－45＜＜9＋45，且1.②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时＝－2－y12＋y2＝945.综上所述，的取值范围是[9－45，9＋45]．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13 B．－13C．－32 D.23解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为()A．2 B．1或2C．1 D．0或1解析：依题意，得(－a)－1a－2＝－1，解得a＝1.答案：C3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx ＋3与直线x＝5的夹角为6，则半径r的值为()A.32B.332C.32或332D.32或3解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为6，k＝3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.答案：C4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是()A．y2＝－x，或y2＝5x B．y2＝－xC．y2＝x，或y2＝－5x D．y2＝5x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A正确．答案：A5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为()A．106 B．206C．306 D．406解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为124610＝206，故应选B.答案：B6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是()A．3 B．5C.3D.5解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.答案：C7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m, 0)(m0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM＝ME，PN＝，则＋＝()A．1 B．－12C．－1 D．－2解析：设过点E的直线方程为y＝k(x－m)．代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(－2mk2－2p)x＋m2k2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2mk2k2，x1x2＝m2.由PM＝ME，PN＝，可得x1＝(m－x1)，x2＝(m－x2)，则＋＝x1m－x1＋x2m－x2＝x1(m－x2)＋x2(m－x1)(m－x1)(m－x2)＝m(x1＋x2)－2x1x2m2＋x1x2－m(x1＋x2)＝m(x1＋x2)－2m22m2－m(x1＋x2)＝－1.答案：C9．直线MN与双曲线C：x2a2－y2b2＝1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又NP＝PM(R)，则实数的值为()A.12 B．1C．2 D.13解析：如图所示，分别过点M、N作MBl于点B，NAl于点A. 由双曲线的第二定义，可得 = =e，则 = =2.∵△MPB∽△NPA， = = ，即 = .答案：A10．在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x＝－1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a＝( )A．1 B．2C．2或－2 D．1或－1解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y－2＝－a－14x－a＋12上．由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组y2＝4x，y－2＝－a－14x－a＋12有唯一的实数解．结合选项进行检验即可．当a＝1时，抛物线y2＝4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a＝－1时，线段AB的中垂线方程是y＝12x＋2，易知方程组y2＝4x，y＝12x＋2有唯一实数解．综上所述，a＝1，或a＝－1.答案：D11．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1||PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”．下列结论正确的是()A．椭圆C上的所有点都是“★点”B．椭圆C上仅有有限个点是“★点”C．椭圆C上的所有点都不是“★点”D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”解析：设椭圆C：x24＋y2＝1上点P的坐标为(2cos，sin)，由|PO|2＝|PF1||PF2|，可得4cos2＋sin2＝(2cos＋3)2＋sin2(2cos－3)2＋sin2，整理可得cos2＝12，即可得cos＝22，sin＝22，由此可得点P的坐标为2，22，即椭圆C上有4个点是“★点”．答案：B12．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P 为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O 为坐标原点，则|OP|2与|OQ||OR|的大小关系为()A．|OP|2＜|OQ||OR| B．|OP|2＞|OQ||OR|C．|OP|2＝|OQ||OR| D．不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ||OR|.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．解析：如图所示，过点M作MBl于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MB||CB|－1＝4＋1－1＝4.答案：415．若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于P、Q两点，则OPOQ＝__________.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OPOQ＝x1x 2＋y1y2是引发思路的关键．答案：－316．如果F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x －1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为__________．解析：将l：y＝x－1代入椭圆C：x22＋y2＝1，可得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0，解之得x＝0，或x ＝43. 可得A(0，－1)，B43，13.又F1(－1,0)，则|F1A|＋|F1B|＝(－1)2＋12＋43＋12＋132＝823.答案：823三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知椭圆 C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPMkPN＝－14时，求椭圆的方程．解析：(1)由b＝21＋1，得b＝2，又 2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x ＋x0，kPMkPN＝y－y0x－x0y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14.由a＝2，得b＝1.故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN||NP|＝MNMP.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．解析：(1)设P(x，y)，则MN＝(2,0)，NP＝(x－1，y)，MP＝(x＋1，y)．由|MN||NP|＝MNMP，得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，化简，得y2＝4x.故动点P的轨迹方程为y2＝4x.(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．当m4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即4x＋m(m－4)y－4m＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2，令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且MA＝1AF，MB＝2BF，当m变化时，求1＋2的值．解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.又∵F(1,0)，c＝1，a2＝b2＋c2＝4，椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝ 0，＝144(m2＋1)＞0，于是1y1＋1y2＝2m3.(*)∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA＝1AF，x1，y1＋1m＝1(1－x1，－y1)，1＝1－1my1.同理2＝－1－1my2.从而1＋2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.即1＋2＝－83.20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM＝AB(R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP|＝|AQ |，试求k的取值范围．解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.∵GM＝AB，(R)，GM∥AB.∵点M是三角形的外心，M点在x轴上，即Mx3，0.又∵|MA|＝|MC|，x32＋(0＋1)2＝ x3－x2＋y2，整理，得x23＋y2＝1，(x0)，即为曲线C的方程．(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP|＝|AQ|.②当k0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)∵直线l和椭圆C交于不同两点，＝(6km)2－4(1＋3k2)(m2－1)＞0，即1＋3k2－m2＞0.(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，又∵|AP|＝|AQ|，ANPQ，kkAN＝km1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，m＝1＋3k22.将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k0)，即k2＜1，得k(－1,0)(0,1)．综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB 的距离为63，求AOB的大小．解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝63，或y＝kx＋b.当直线AB的方程为x＝63时，由x＝63，x22＋y2＝1，可求A63，63，B63，－63.从而OAOB＝0，可得AOB＝2.同理可知当直线AB的方程为x＝－63时，和椭圆交得两点A、B.可得AOB＝2.当直线AB的方程为y＝kx＋b.由原点到直线的距离为63，得b1＋k2＝63.即1＋k2＝32b2.又由y＝kx＋b，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kbx ＋2b2－2＝0.得x1＋x2＝－4kb1＋2k2，x1x2＝2b2－21＋2k2，从而y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－2k21＋2k2.OAOB＝x1x2＋y1y2＝2b2－21＋2k2＋b2－2k21＋2k2＝3b2－2(1＋k2)1＋2k2，将1＋k2＝32b2代入上式，得OAOB＝0，AOB＝90.22．(12分)已知动点P与双曲线x2－y23＝1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1||PF2|的最大值为9.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，－2)满足AM＝MB，求实数的取值范围．解析：(1)双曲线x2－y23＝1的两焦点F1(－2,0)、F2(2,0)．设已知定值为2a，则|PF1|＋|PF2|＝2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵|PF1||PF2|PF1|＋|PF2|22＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，a2＝9，b2＝a2－c2＝5，动点P的轨迹E的方程是x29＋y25＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝MB，得－x1＝x2，－2－y1＝(y2＋2)，且M、A、B三点共线，设直线为l，①当直线l的斜率存在时，设 l：y＝kx－2，由y＝kx－2，x29＋y25＝1，得(5＋9k2)x2－36kx－9＝0，＝(－36k)2－4(5＋9k2)(－9)＞0恒成立．由韦达定理，得x1＋x2＝36k5＋9k2，x1x2＝－95＋9k2. 将x1＝－x2代入，消去x2得(1－)2＝144k25＋9k2.当k＝0时，得＝1；当k0时，(1－)2＝1445k2＋9，由k2＞0，得0＜(1－)2＜16，得9－45＜＜9＋45，且1.②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时＝－2－y12＋y2＝945.综上所述，的取值范围是[9－45，9＋45]．。
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高三解析几何测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32 D.23解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为() A．2 B．1或2C．1 D．0或1解析：依题意，得(－a)×－1a－2＝－1，解得a＝1.答案：C3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx＋3与直线x＝5的夹角为π6，则半径r的值为()A.32B.332C.32或332D.32或3解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为π6，∴k＝±3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.答案：C4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是()A．y2＝－x，或y2＝5x B．y2＝－xC．y2＝x，或y2＝－5x D．y2＝5x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A 正确．答案：A5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为() A．106 B．206C．306 D．406解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.答案：B6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是()A．3 B．5C.3D.5解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.答案：C7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→＝λME→，PN→＝μNE→，则λ＋μ＝()A．1 B．－12C．－1 D．－2解析：设过点E的直线方程为y＝k(x－m)．代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(－2mk2－2p)x＋m2k2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2mk2k2，x1x2＝m2.由PM→＝λME→，PN→＝μNE→，可得x1＝λ(m－x1)，x2＝μ(m－x2)，则λ＋μ＝x1m－x1＋x2m－x2＝x1(m－x2)＋x2(m－x1)(m－x1)(m－x2)＝m(x1＋x2)－2x1x2m2＋x1x2－m(x1＋x2)＝m(x1＋x2)－2m22m2－m(x1＋x2)＝－1.答案：C9．直线MN与双曲线C：x2a2－y2b2＝1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又NP→＝λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为()A.12 B．1C．2 D.13解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由双曲线的第二定义，可得= =e，则= =2.∵△MPB∽△NPA，∴= = ，即= .答案：A10．在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x＝－1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a＝()A．1 B．2C．2或－2 D．1或－1解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y－2＝－a－14x －a＋12上．由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组y2＝4x，y－2＝－a－14x－a＋12有唯一的实数解．结合选项进行检验即可．当a＝1时，抛物线y2＝4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a＝－1时，线段AB的中垂线方程是y＝12x＋2，易知方程组y2＝4x，y＝12x＋2有唯一实数解．综上所述，a＝1，或a＝－1.答案：D11．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1|•|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”．下列结论正确的是() A．椭圆C上的所有点都是“★点”B．椭圆C上仅有有限个点是“★点”C．椭圆C上的所有点都不是“★点”D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”解析：设椭圆C：x24＋y2＝1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2＝|PF1|•|PF2|，可得4cos2α＋sin2α＝(2cosα＋3)2＋sin2α•(2cosα－3)2＋sin2α，整理可得cos2α＝12，即可得cosα＝±22，sinα＝±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”．答案：B12．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为() A．|OP|2＜|OQ|•|OR| B．|OP|2＞|OQ|•|OR|C．|OP|2＝|OQ|•|OR| D．不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝±bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ|•|OR|.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MB|≥|CB|－1＝4＋1－1＝4.答案：415．若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于P、Q 两点，则OP→•OQ→＝__________.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→•OQ →＝x1x 2＋y1y2是引发思路的关键．答案：－316．如果F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为__________．解析：将l：y＝x－1代入椭圆C：x22＋y2＝1，可得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0，解之得x＝0，或x ＝43.可得A(0，－1)，B43，13.又F1(－1,0)，则|F1A|＋|F1B|＝(－1)2＋12＋43＋12＋132＝823.答案：823三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM•kPN＝－14时，求椭圆的方程．解析：(1)由b＝21＋1，得b＝2，又2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，kPM•kPN＝y－y0x－x0•y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14.由a＝2，得b＝1.故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．解析：(1)设P(x，y)，则MN→＝(2,0)，NP→＝(x－1，y)，MP→＝(x＋1，y)．由|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→，得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，化简，得y2＝4x.故动点P的轨迹方程为y2＝4x.(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即4x＋m(m－4)y－4m＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2，令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，当m变化时，求λ1＋λ2的值．解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.又∵F(1,0)，∴c＝1，a2＝b2＋c2＝4，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)＞0，于是1y1＋1y2＝2m3.(*)∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA→＝λ1AF→，∴x1，y1＋1m＝λ1(1－x1，－y1)，∴λ1＝1－1my1.同理λ2＝－1－1my2.从而λ1＋λ2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.即λ1＋λ2＝－83.20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM→＝λAB→(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|＝|AQ →|，试求k的取值范围．解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.∵GM→＝λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.又∵|MA→|＝|MC→|，∴x32＋(0＋1)2＝x3－x2＋y2，整理，得x23＋y2＝1，(x≠0)，即为曲线C的方程．(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|＝|AQ →|.②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)∵直线l和椭圆C交于不同两点，∴Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)×(m2－1)＞0，即1＋3k2－m2＞0.(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，又∵|AP→|＝|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，∴k•kAN＝k•m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m＝1＋3k22.将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k≠0)，即k2＜1，得k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB 的大小．解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝±63，或y＝kx＋b.当直线AB的方程为x＝63时，由x＝63，x22＋y2＝1，可求A63，63，B63，－63.从而OA→•OB→＝0，可得∠AOB＝π2.同理可知当直线AB的方程为x＝－63时，和椭圆交得两点A、B.可得∠AOB＝π2.当直线AB的方程为y＝kx＋b.由原点到直线的距离为63，得b1＋k2＝63.即1＋k2＝32b2.又由y＝kx＋b，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0.得x1＋x2＝－4kb1＋2k2，x1x2＝2b2－21＋2k2，从而y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－2k21＋2k2.OA→•OB→＝x1x2＋y1y2＝2b2－21＋2k2＋b2－2k21＋2k2＝3b2－2(1＋k2)1＋2k2，将1＋k2＝32b2代入上式，得OA→•OB→＝0，∠AOB＝90°.22．(12分)已知动点P与双曲线x2－y23＝1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|•|PF2→|的最大值为9.[来(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，－2)满足AM→＝λMB→，求实数λ的取值范围．解析：(1)双曲线x2－y23＝1的两焦点F1(－2,0)、F2(2,0)．设已知定值为2a，则|PF1→|＋|PF2→|＝2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵|PF1→|•|PF2→|≤|PF1→|＋|PF2→|22＝a2，当且仅当|PF1→|＝|PF2→|时等号成立，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝5，∴动点P的轨迹E的方程是x29＋y25＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→＝λMB→，得－x1＝λx2，－2－y1＝λ(y2＋2)，且M、A、B三点共线，设直线为l，①当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx－2，由y＝kx－2，x29＋y25＝1，得(5＋9k2)x2－36kx－9＝0，Δ＝(－36k)2－4(5＋9k2)(－9)＞0恒成立．由韦达定理，得x1＋x2＝36k5＋9k2，x1x2＝－95＋9k2.将x1＝－λx2代入，消去x2得(1－λ)2λ＝144k25＋9k2.当k＝0时，得λ＝1；当k≠0时，(1－λ)2λ＝1445k2＋9，由k2＞0，得0＜(1－λ)2λ＜16，得9－45＜λ＜9＋45，且λ≠1.②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ＝－2－y12＋y2＝9±45.综上所述，λ的取值范围是[9－45，9＋45]．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．若直线l与直线y＝1、x＝7分别交于点P、Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32 D.23解析：设P点坐标为(a,1)，Q点坐标为(7，b)，则PQ中点坐标为a＋72，1＋b2，则a＋72＝1，1＋b2＝－1，解得a＝－5，b＝－3，即可得P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率为kPQ＝1＋3－5－7＝－13.答案：B2．若直线x＋(a－2)y－a＝0与直线ax＋y－1＝0互相垂直，则a的值为() A．2 B．1或2C．1 D．0或1解析：依题意，得(－a)×－1a－2＝－1，解得a＝1.答案：C3．已知圆(x－1)2＋(y－33)2＝r2(r＞0)的一条切线y＝kx＋3与直线x＝5的夹角为π6，则半径r的值为()A.32B.332C.32或332D.32或3解析：∵直线y＝kx＋3与x＝5的夹角为π6，∴k＝±3.由直线和圆相切的条件得r＝32或332.答案：C4．顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线被直线y＝x＋1截得的弦长是10，则抛物线的方程是()A．y2＝－x，或y2＝5x B．y2＝－xC．y2＝x，或y2＝－5x D．y2＝5x解析：由题意，可知抛物线的焦点在x轴上时应有两种形式，此时应设为y2＝mx(m≠0)，联立两个方程，利用弦长公式，解得m＝－1，或m＝5，从而选项A 正确．答案：A5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，若该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD，则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为() A．106 B．206C．306 D．406解析：已知圆的圆心为(3,4)，半径为5，则最短的弦长为252－12＝46，最长的弦为圆的直径为10，则四边形的面积为12×46×10＝206，故应选B.答案：B6．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为2∶3，则双曲线的离心率是()A．3 B．5C.3D.5解析：焦点到准线的距离为c－a2c＝b2c，焦点到渐近线的距离为bca2＋b2＝b，bc＝23，e＝3.答案：C7．若圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2解析：如图，据题意知圆的直径为两平行直线x-y=0，x-y-4=0之间的距离2 ，故圆的半径为，又A(2，-2)，故圆心C(1，-1)，即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.答案：C8．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点E(m, 0)(m≠0)的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若PM→＝λME→，PN→＝μNE→，则λ＋μ＝()A．1 B．－12C．－1 D．－2解析：设过点E的直线方程为y＝k(x－m)．代入抛物线方程，整理可得k2x2＋(－2mk2－2p)x＋m2k2＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝2p＋2mk2k2，x1x2＝m2.由PM→＝λME→，PN→＝μNE→，可得x1＝λ(m－x1)，x2＝μ(m－x2)，则λ＋μ＝x1m－x1＋x2m－x2＝x1(m－x2)＋x2(m－x1)(m－x1)(m－x2)＝m(x1＋x2)－2x1x2m2＋x1x2－m(x1＋x2)＝m(x1＋x2)－2m22m2－m(x1＋x2)＝－1.答案：C9．直线MN与双曲线C：x2a2－y2b2＝1的左、右支分别交于M、N点，与双曲线C的右准线相交于P点，F为右焦点，若|FM|＝2|FN|，又NP→＝λPM→(λ∈R)，则实数λ的值为()A.12 B．1C．2 D.13解析：如图所示，分别过点M、N作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由双曲线的第二定义，可得= =e，则= =2.∵△MPB∽△NPA，∴= = ，即= .答案：A10．在平面直角坐标系内，点P到点A(1,0)，B(a,4)及到直线x＝－1的距离都相等，如果这样的点P恰好只有一个，那么a＝()A．1 B．2C．2或－2 D．1或－1解析：依题意得，一方面，点P应位于以点A(1,0 )为焦点、直线x＝－1为准线的抛物线y2＝4x上；另一方面，点P应位于线段AB的中垂线y－2＝－a－14x －a＋12上．由于要使这样的点P是唯一的，因此要求方程组y2＝4x，y－2＝－a－14x－a＋12有唯一的实数解．结合选项进行检验即可．当a＝1时，抛物线y2＝4x与线段AB的中垂线有唯一的公共点，适合题意；当a＝－1时，线段AB的中垂线方程是y＝12x＋2，易知方程组y2＝4x，y＝12x＋2有唯一实数解．综上所述，a＝1，或a＝－1.答案：D11．已知椭圆C：x24＋y2＝1的焦点为F1、F2，若点P在椭圆上，且满足|PO|2＝|PF1|•|PF2|(其中O为坐标原点)，则称点P为“★点”．下列结论正确的是() A．椭圆C上的所有点都是“★点”B．椭圆C上仅有有限个点是“★点”C．椭圆C上的所有点都不是“★点”D．椭圆C上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点”解析：设椭圆C：x24＋y2＝1上点P的坐标为(2cosα，sinα)，由|PO|2＝|PF1|•|PF2|，可得4cos2α＋sin2α＝(2cosα＋3)2＋sin2α•(2cosα－3)2＋sin2α，整理可得cos2α＝12，即可得cosα＝±22，sinα＝±22，由此可得点P的坐标为±2，±22，即椭圆C上有4个点是“★点”．答案：B12．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，P为双曲线上的一个动点(不是顶点)，若从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q、R两点，其中O为坐标原点，则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为() A．|OP|2＜|OQ|•|OR| B．|OP|2＞|OQ|•|OR|C．|OP|2＝|OQ|•|OR| D．不确定解析：设P(x0，y0)，双曲线的渐近线方程是y＝±bax，直线AQ的方程是y＝ba(x－a)，直线AR的方程是y＝－ba(x－a)，直线OP的方程是y＝y0x0x，可得Qabx0bx0－ay0，aby0bx0－ay0，Rabx0bx0＋ay0，aby0bx0＋ay0.又x02a2－y02b2＝1，可得|OP|2＝|OQ|•|OR|.答案：C第Ⅱ卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．若两直线2x＋y＋2＝0与ax＋4y－2＝0互相垂直，则其交点的坐标为__________．解析：由已知两直线互相垂直可得a＝－2，则由2x＋y＋2＝0，－x＋2y－1＝0得两直线的交点坐标为(－1,0)．答案：(－1,0)14．如果点M是抛物线y2＝4x的一点，F为抛物线的焦点，A在圆C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上，那么|MA|＋|MF|的最小值为__________．解析：如图所示，过点M作MB⊥l于点B.由抛物线定义，可得|MF|＝|MB|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MB|≥|CB|－1＝4＋1－1＝4.答案：415．若过原点O且方向向量为(m,1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于P、Q 两点，则OP→•OQ→＝__________.解析：可由条件设出直线方程，联立方程运用韦达定理可求解，其中OP→•OQ →＝x1x 2＋y1y2是引发思路的关键．答案：－316．如果F1为椭圆C：x22＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为__________．解析：将l：y＝x－1代入椭圆C：x22＋y2＝1，可得x2＋2(x－1)2－2＝0，即3x2－4x＝0，解之得x＝0，或x ＝43.可得A(0，－1)，B43，13.又F1(－1,0)，则|F1A|＋|F1B|＝(－1)2＋12＋43＋12＋132＝823.答案：823三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆焦点坐标；(2)若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，当kPM•kPN＝－14时，求椭圆的方程．解析：(1)由b＝21＋1，得b＝2，又2a＝4，a＝2，a2＝4，b2＝2，c2＝a2－b2＝2，故两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．点M、N、P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，kPM•kPN＝y－y0x－x0•y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，则－b2a2＝－14.由a＝2，得b＝1.故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．解析：(1)设P(x，y)，则MN→＝(2,0)，NP→＝(x－1，y)，MP→＝(x＋1，y)．由|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→，得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，化简，得y2＝4x.故动点P的轨迹方程为y2＝4x.(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，即4x＋m(m－4)y－4m＝0，圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2，令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切；当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线L交y轴于点M，且MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，当m变化时，求λ1＋λ2的值．解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.又∵F(1,0)，∴c＝1，a2＝b2＋c2＝4，∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)＞0，于是1y1＋1y2＝2m3.(*)∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA→＝λ1AF→，∴x1，y1＋1m＝λ1(1－x1，－y1)，∴λ1＝1－1my1.同理λ2＝－1－1my2.从而λ1＋λ2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.即λ1＋λ2＝－83.20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM→＝λAB→(λ∈R)．(1)求点C的轨迹方程；(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|＝|AQ →|，试求k的取值范围．解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.∵GM→＝λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.又∵|MA→|＝|MC→|，∴x32＋(0＋1)2＝x3－x2＋y2，整理，得x23＋y2＝1，(x≠0)，即为曲线C的方程．(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|＝|AQ →|.②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)∵直线l和椭圆C交于不同两点，∴Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)×(m2－1)＞0，即1＋3k2－m2＞0.(**)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是x0＝x1＋x22＝－3km1＋3k2，y0＝kx0＋m＝m1＋3k2，即N－3km1＋3k2，m1＋3k2，又∵|AP→|＝|AQ→|，∴AN→⊥PQ→，∴k•kAN＝k•m1＋3k2＋1－3km1＋3k2＝－1，∴m＝1＋3k22.将m＝1＋3k22代入(**)式，得1＋3k2－1＋3k222＞0(k≠0)，即k2＜1，得k∈(－1,0)∪(0,1)．综合①②得，k的取值范围是(－1,1)．21．(12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，它的一条准线方程为x＝2.(1)求椭圆C的方程；(2)若点A、B为椭圆上的两个动点，椭圆的中心到直线AB的距离为63，求∠AOB 的大小．解析：(1)由题意，知ca＝22，a2c＝2，得a＝2，c＝1，故a2＝2，b2＝1，故椭圆方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线AB的方程为x＝±63，或y＝kx＋b.当直线AB的方程为x＝63时，由x＝63，x22＋y2＝1，可求A63，63，B63，－63.从而OA→•OB→＝0，可得∠AOB＝π2.同理可知当直线AB的方程为x＝－63时，和椭圆交得两点A、B.可得∠AOB＝π2.当直线AB的方程为y＝kx＋b.由原点到直线的距离为63，得b1＋k2＝63.即1＋k2＝32b2.又由y＝kx＋b，x22＋y2＝1，消去y，得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－2＝0.得x1＋x2＝－4kb1＋2k2，x1x2＝2b2－21＋2k2，从而y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝b2－2k21＋2k2.OA→•OB→＝x1x2＋y1y2＝2b2－21＋2k2＋b2－2k21＋2k2＝3b2－2(1＋k2)1＋2k2，将1＋k2＝32b2代入上式，得OA→•OB→＝0，∠AOB＝90°.22．(12分)已知动点P与双曲线x2－y23＝1的两焦点F1、F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1→|•|PF2→|的最大值为9.[来(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若A、B是曲线E上相异两点，点M(0，－2)满足AM→＝λMB→，求实数λ的取值范围．解析：(1)双曲线x2－y23＝1的两焦点F1(－2,0)、F2(2,0)．设已知定值为2a，则|PF1→|＋|PF2→|＝2a，因此，动点P的轨迹E是以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点，长轴长为2a的椭圆．设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵|PF1→|•|PF2→|≤|PF1→|＋|PF2→|22＝a2，当且仅当|PF1→|＝|PF2→|时等号成立，∴a2＝9，b2＝a2－c2＝5，∴动点P的轨迹E的方程是x29＋y25＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM→＝λMB→，得－x1＝λx2，－2－y1＝λ(y2＋2)，且M、A、B三点共线，设直线为l，①当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx－2，由y＝kx－2，x29＋y25＝1，得(5＋9k2)x2－36kx－9＝0，Δ＝(－36k)2－4(5＋9k2)(－9)＞0恒成立．由韦达定理，得x1＋x2＝36k5＋9k2，x1x2＝－95＋9k2.将x1＝－λx2代入，消去x2得(1－λ)2λ＝144k25＋9k2.当k＝0时，得λ＝1；当k≠0时，(1－λ)2λ＝1445k2＋9，由k2＞0，得0＜(1－λ)2λ＜16，得9－45＜λ＜9＋45，且λ≠1.②当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴端点，此时λ＝－2－y12＋y2＝9±45.综上所述，λ的取值范围是[9－45，9＋45]．。