7.5向量的应用
向量的应用
向量的应用
向量是数学中的一个重要概念，它被广泛应用于各种领域。
向量通常表示为有向线段，包含了大小和方向两个信息。
以下是向量的一些应用。
1. 物理学中的向量应用
向量在物理学中的应用十分广泛。
在运动学中，速度和加速度都是向量的概念。
在静
力学中，力和力矩也都是向量的概念。
向量可以帮助我们描述物体在空间中的运动，为物
理学研究提供了基础。
向量在工程学中同样也有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，工程师需要使用向量来
表示建筑物中的各种力和负载。
在机械设计中，向量被用来描述机器的运动和力的方向。
向量也被用来设计各种照明系统、电器和电子设备。
在统计学中，向量被用来表示数据集合。
数据可以被看作是一个n维向量，其中每个
元素代表数据中的一个量。
例如在机器学习和人工智能领域，向量经常被用来表示图像和
语音等数据。
向量在计算机科学中也有广泛的应用。
例如，向量被用来表示计算机中各种图形对象
的位置和大小。
在图像处理中，向量被用来表示颜色和灰度等图像特征。
在计算机网络中，向量被用来表示各种网络节点之间的连接关系。
向量的应用
向量的应用
向量是几何中重要的概念，也是数学中常常用到的工具，广泛应用于物理、工程、计
算机科学等各个领域。
下面将介绍一些向量的常见应用。
1. 平面几何中的向量应用：
在平面几何中，向量可以表示平面上的点、线段、三角形等。
我们可以用两个向量表
示平面上的一条直线，可以用三个向量表示一个平面，可以用向量的线段来表示一个位移
和距离等。
向量的叉积可以用来判断两个向量是否平行、垂直，以及求解平面上的面积
等。
2. 物理学中的向量应用：
在物理学中，向量被广泛应用于描述力、速度、加速度等物理量的大小和方向。
位移
向量可以用来表示物体的位置变化，速度向量可以用来表示物体的运动速度和方向，加速
度向量可以用来表示物体的速度变化率等。
通过向量的运算，可以方便地计算物体之间的
相对速度、加速度，以及其他相关的物理量。
4. 计算机科学中的向量应用：
在计算机科学中，向量被广泛应用于描述二维和三维图形的坐标和方向。
我们可以用
二维向量表示平面上的一个点的坐标，用三维向量表示空间中的一个点的坐标，用向量的
加法和减法进行坐标的变换和计算。
向量的点乘和叉乘可以用来计算向量之间的夹角、距
离和面积等。
向量是数学中非常重要的概念和工具，被广泛应用于物理、工程、计算机科学等各个
领域。
通过对向量的运算和应用，我们可以更方便地描述和计算各种物理量、几何关系和
图形形状等。
向量的应用不仅仅局限于上述几个领域，还有很多其他的应用，如信号处理、优化问题等，具有非常广泛的应用前景。
向量的应用
向量的应用向量是数学中重要的概念，它广泛应用于物理学、工程学等各个领域。
在这个话题中，我们将介绍向量的定义、性质以及一些与向量相关的应用。
我们来定义向量。
向量是一个有方向和大小的量，通常用一个有箭头的线段来表示。
向量的大小叫做向量的模，记作||A||，表示为非负实数。
向量的方向可以用两个点A和A来确定，即从点A指向点A的箭头。
我们可以用一个有向线段来表示向量AA，记作→AA。
向量有一些重要的性质。
向量的大小可以为零，即只有方向的向量。
向量加法满足交换律和结合律。
即A+A=A+A，(A+A)+A=A+(A+A)，其中A、A和A为向量。
向量积（又称点积）满足交换律和分配律，即A·A=A·A，(A+A)·A=A·A+A·A。
接下来，我们来介绍一些与向量相关的应用。
第一个应用是平面几何。
在平面几何中，向量可以用来表示平面上的线段、直线和平面图形。
在平面上，两点A和A之间的向量可以用向量→AA表示。
我们可以用向量表示平面上的位移、速度和加速度等物理量。
第二个应用是力学。
在力学中，向量可以用来表示力的大小和方向。
一个物体在直线上受到的作用力可以用向量表示。
刚体的转动也可以通过向量来描述。
角速度可以用矢量的方向和大小来表示。
第三个应用是电磁学。
在电磁学中，向量可以用来表示电场和磁场的强度和方向。
电场可以用电场强度向量来表示，磁场可以用磁场强度向量来表示。
电流和电压也可以用向量表示。
第四个应用是统计学。
在统计学中，向量可以用来表示数据集中的样本。
一个由A个样本组成的数据集可以用一个A维向量来表示。
由此，我们可以通过向量来进行数据的分析和计算。
第五个应用是计算机图形学。
在计算机图形学中，向量可以用来表示图像的位置和旋转等信息。
在三维计算机图形学中，一个点在三维空间中的位置可以用一个三维向量来表示。
高考数学一轮复习全套课时作业7-5空间向量及应用
题组层级快练7.5空间向量及应用一、单项选择题1．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是()A.OA→ B.OB→ C.OC→ D.OA →或OB→2．(2021·福建南安一中段考)在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，则x ＋y ＋z ＝()A.23B.56C.76D.1163．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 在平面α内的是()A ．P(2，3，3)B ．P(－2，0，1)C ．P(－4，4，0)D ．P(3，－3，4)4．(2021·广西桂林一中期中)若a ＝(2，3，m)，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为()A ．7B.52C ．6D ．85．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是()A.33，33，－33B.33，－33，33C.－33，33，33D.－33，－33，－336.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，如图，则正确用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →的是()A.OG →＝OA →＋23OB →＋23OC→B.OG →＝12OA →＋23OB →＋23OC→C.OG →＝16OA →＋13OB →＋13OC→D.OG →＝16OA →＋13OB →＋23OC→7．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为()A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4D ．4，407，－158.(2021·成都调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内9.(2021·长沙模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1，1，1)，23，，22，，24，二、多项选择题10．下面四个命题中，真命题是()A ．若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面B ．若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y bC ．若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A ，B 共面D ．若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB→三、解答题11.(2021·石家庄市高三一检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N为PC 上的点，且PC ＝3PN.求证：MN ∥平面PAB.12.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?13．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°的角．求证：(1)CM ∥平面PAD ；(2)平面PAB ⊥平面PAD.14．(2021·湖北襄阳模拟)如图，多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是正方形．(1)求证：CF ∥平面AED ；(2)在线段EC 上是否存在点P ，使得AP ⊥平面CEF ？若存在，求出EPPC的值；若不存在，说明理由．7.5空间向量及应用参考答案1．答案C解析根据题意得OC →＝12(a －b )，∴OC →，a ，b 共面．2．答案D解析∵AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→，又AC ′→＝xAB →＋2yBC →＋3zCC ′→，∴x ＝1，2y ＝1，3z ＝1，即x ＝1，y ＝12，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝1＋12＋13＝116，选D.3．答案A解析∵n ＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1，4，1)，∴n ·MP →＝0.4．答案C解析由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.5．答案D解析AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)．单位法向量为：±n|n |＝±33，33，33.6.答案C解析OG →＝OM →＋MG→＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋12OC →－12OA ＝16OA →＋13OB →＋13OC →.选C.7．答案B解析∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，x －1）＋5y ＋6＝0，（x －1）＋y －12＝0，＝407，＝－157.8.答案B解析∵MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN→＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→，∴MN →，B 1B →，B 1C 1→共面．又MN ⊄平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面BB 1C 1C.9.答案C解析∵面ABCD ⊥面ACEF ，面ABCD ∩面ACEF ＝AC ，EC ⊥CA ，∴CE ⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝O ，连接OE.∵AM ∥平面BDE ，面BDE ∩面ACEF ＝OE ，∴AM ∥OE.∵O 是AC 的中点，∴M 为EF 中点．∵E(0，0，1)，F(2，2，1)，∴M ，22，选C.10．答案AC解析A 正确．B 中若a ，b 共线，p 与a 不共线，则p ＝x a ＋y b 就不成立．C 正确．D 中若M ，A ，B 共线，点P 不在此直线上，则MP →＝xMA →＋y MB →不成立．11.答案略证明方法一(传统法)：如图，在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM＝12AD ＝1，又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形，∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法二(向量法)：在平面ABCD 内作AE ∥CD 交BC 于点E ，则AE ⊥AD.分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(22，2，0)，，23，B(22，－1，0)，A(0，0，0)，MN →，－13，AP →＝(0，0，4)，AB →＝(22，－1，0)．设MN →＝mAB →＋nAP →，，－13，m(22，－1，0)＋n(0，0，4)，∴m ＝13，n ＝23，∴MN →，AB →，AP →共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法三(法向量)：建系写点坐标如方法二．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAB 的一个法向量，则由m ⊥AP →，m ⊥AB →1＝0，22x 1－y 1＝0，1＝0，1＝22x 1.令x 1＝1，则m ＝(1，22，0)．∴MN →·m ＝223×1－13×22＋83×0＝0.∴m ⊥MN →，∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.方法四(基底法)：设BE →＝13BC →.由题知PC →＝3PN →.MN →＝AN →－AM →＝AP →＋PN →－BE →＝AP →＋13PC →－13BC→＝AP →－13(CP →－CB →)＝AP →－13BP→＝AP →－13(AP →－AB →)＝23AP →＋13AB →，∴MN →，AP →，AB →三向量共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ，∴MN ∥平面PAB.12.答案(1)略(2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析(1)证明：以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，3)，－12，2∴BE →－32，0PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →－32，0(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →－32，0(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD.(2)设平面BDE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0.－32x ＋32z ＝0，＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)．取PB 的中点F ，则有1又A(1，0，0)，∴AF →－12，1∵AF →·n－12，1(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的一个法向量，且AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.故存在PB 的中点F 使AF ∥平面BDE.13．答案(1)略(2)略证明以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CD 为y 轴，CP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.∵PC ⊥平面ABCD ，∴∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，∴∠PBC ＝30°.∵PC ＝2，∴BC ＝23，PB ＝4，∴D(0，1，0)，B(23，0，0)，A(23，4，0)，P(0，0，2)，M(32，0，32)，∴DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝(32，0，32)．(1)设n ＝(x ，y ，z)为平面PAD 的一个法向量，·n ＝0，·n ＝0，y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．∵n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，∴n ⊥CM →.又CM ⊄平面PAD ，∴CM ∥平面PAD.(2)方法一：由(1)知，BA →＝(0，4，0)，PB →＝(23，0，－2)，设平面PAB 的一个法向量m ＝(x 0，y 0，z 0)，·m ＝0，·m ＝0，0＝0，23x 0－2z 0＝0，令x 0＝1，得m ＝(1，0，3)，又∵平面PAD 的一个法向量n ＝(－3，2，1)，∴m ·n ＝1×(－3)＋0×2＋3×1＝0，∴m ⊥n ，∴平面PAB ⊥平面PAD.方法二：如图，取AP 的中点E ，连接BE ，则E(3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．∵PB ＝AB ，∴BE ⊥PA.又∵BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0，∴BE →⊥DA →，∴BE ⊥DA.又PA ∩DA ＝A ，PA ，DA ⊂平面PAD ，∴BE ⊥平面PAD.又∵BE ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD.14．答案(1)略(2)不存在点P解析(1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BC ∥AD.又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，又四边形BDEF 是正方形，所以BF ∥DE.因为BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ，因为BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ，所以平面BCF ∥平面AED ，因为CF ⊂平面BCF ，所以CF ∥平面AED.(2)不存在，理由如下：因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°，所以△BCD 为等边三角形，取BD 的中点O ，连接CO ，所以CO ⊥BD ，取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE ，因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD ，故可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)，所以AF →＝(1，3，2)，FE →＝(－2，0，0)，FC →＝(－1，3，－2)．设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，·FE →＝0，·FC →＝0，2x ＝0，x ＋3y －2z ＝0.令y ＝1，则n，1又EC →＝(1，3，－2)，AE →＝(－1，3，2)，设EP →＝λEC →(0≤λ≤1)，由AP →＝AE →＋EP →＝AE →＋λEC →，得AP →＝(λ－1，3λ＋3，2－2λ)，又平面CEF 的一个法向量为n ，1若AP ⊥平面CEF ，则AP →∥n ，令AP →＝μn ，1＝0，λ＋3＝μ，2λ＝32μ.方程组无解，故线段EC 上不存在点P ，使得AP ⊥平面CEF.。
向量的应用
向量的应用向量是数学中一个非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
从最基础的物理学到高级的工程学，向量都扮演着至关重要的角色。
本文将介绍一些向量的应用，并探讨它们在不同领域中的作用。
在物理学中，向量常常被用来描述力、速度、加速度等物理量。
当我们讨论一个力对一个物体的作用时，我们往往用一个有大小和方向的箭头表示这个力，这个箭头就是一个向量。
通过对这些向量进行运算，我们可以计算出物体受力后的加速度，速度等物理量。
在力学、动力学等领域，向量的应用是不可或缺的。
在工程学中，向量也有着广泛的应用。
在建筑设计中，通过向量的运算可以计算出结构物体受力后的变形情况，从而保证建筑的安全性。
在电子工程中，向量被用来描述电流、电压的方向和大小，通过向量的运算可以计算出电路中的电流、电压分布，从而设计出更加高效的电路结构。
在计算机图形学中，向量被用来表示图形的平移、旋转、缩放等操作，通过对向量的运算可以实现图形的变换和渲染，从而构建出更加逼真的图形场景。
在地理学中，向量也有着重要的应用。
通过对地球表面的各种地理现象进行测量和分析，可以得到各种地理信息的向量表示，比如地球表面的高度、温度、湿度分布等。
通过对这些向量进行运算，可以进行地形分析、气候模拟等研究，从而为地理学研究提供了重要的工具和方法。
在经济学中，向量被广泛用来描述各种经济现象。
比如用向量表示不同经济指标的变化趋势，通过对这些向量进行运算，可以分析经济的发展趋势、预测经济指标的变化等。
在金融学中，向量也被用来分析金融市场的走势、风险等，为投资决策提供重要的参考。
向量在各个领域都有着广泛的应用，它可以用来描述和分析各种复杂的现象，为我们提供了重要的工具和方法。
通过对向量的运算，我们可以得到对各种现象的深入理解，从而为科学研究和工程技术提供重要支持。
深入理解和熟练运用向量的方法和技巧对我们来说是非常重要的。
希望通过本文的介绍，读者们能够对向量有一个更加深入的了解，从而更好地应用它们在各种领域的工作和研究中。
高中数学知识点归纳向量的应用
高中数学知识点归纳向量的应用高中数学知识点归纳：向量的应用向量是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
在高中数学中，向量有着丰富的应用。
本文将系统地总结和归纳高中数学中与向量应用相关的知识点。
一、向量的定义和性质向量可以用有方向和大小表示，常用箭头或者字母加上箭头来表示一个向量。
向量可以进行加法和乘法运算，具有以下性质：1. 向量加法具有交换律和结合律。
2. 向量的数量积满足分配律和结合律。
二、向量的坐标表示向量可以用坐标表示，主要有二维和三维向量。
1. 二维向量的坐标表示为 (x, y)。
2. 三维向量的坐标表示为 (x, y, z)。
三、向量的基本运算向量的基本运算主要包括向量的加法、减法和数量积。
1. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即两个向量相加，可以将它们的起点放在一起，然后沿着第一个向量的方向依次绘制第二个向量的箭头，连接起始点和终止点即得到它们的和向量。
2. 向量的减法：向量的减法等价于加上它的相反向量。
3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为向量的点积结果是一个标量，满足交换律、分配律和结合律。
四、向量的应用1. 向量的平移运动：可以使用向量来描述物体的平移运动，在平面上，平行四边形法则可以用于计算物体平移后的位置。
2. 向量的投影：投影是向量的重要应用之一，可以用于计算向量在某个方向上的分量。
投影的计算常用到数量积的性质。
3. 向量的垂直和平行判定：可以使用向量的数量积来判断两个向量是否垂直或平行。
若两个向量的数量积为0，则表示它们垂直；若两个向量的数量积非零且它们的方向相同或相反，则表示它们平行。
4. 向量的等角问题：向量的数量积可以用于解决等角问题，即判断两个向量之间的夹角。
5. 向量的线性组合：向量的线性组合是指通过对若干个向量进行数乘和加法运算得到的新向量。
线性组合在向量空间的生成和线性相关性的研究中有着重要的应用。
结论：向量的应用非常广泛，不仅仅在数学中，还广泛应用于物理、几何、工程等领域。
本征值和本征向量
例2、令 F[ x] 是数域 F 上一切一元多项 : f ( x) xf ( x) 是 F [ x] 式所成的向量空间， 的一个线性变换。求 的本征值和本 征向量。
2 、求法 现设 V 是数域 F 上一个 n 维向量空 间。取定 V 的一个基 { , ,, } ,令 线性 变换 关于这个基的矩阵为 A (aij ) nn 设 0 是 的属于本征值 的本征向 量。
A A
A
例3、设 R 上三维向量空间的线性变 换 关于基{1 , 2 , 3 } 的矩阵是
， 求 的本征值和相应的本征向量。 例4、求矩阵
0 5 0 A 0 3 2 0 2 3 3 2 3 A 1 1 2 3 1 0
(1)
0 以上齐次线性方程组 (1) 有非零解 系数行列式
a11
a12 an2 a1n a 21 det(I A) a n1
a 22
a2n 0
( 2)
a nn
反过来，若 F 满足等式 (2) ，则齐 次线性方程组有非零解 ( x1 , x2 ,, xn ) ，因 为 x x x 满足 ( ) ，即 是 的一个本征值。
的迹 trA 与 f
A
( x)
的常
数项
f A (0)
。
的 特征根和相应的特征向量。
二、相似矩阵的特征多项式的关系 定理：相似的矩阵有相同的特征多 项式。 例5、已知
2 0 0 A 0 0 1 0 1 a
Hale Waihona Puke 与2 0 0 B 0 b 0 0 0 1
相似，
向量的应用
向量的应用向量是在数学中非常广泛使用的一个概念，向量在不同领域都有着重要的应用。
本文将通过具体的案例，介绍向量在不同领域的应用。
1.物理学中的应用物理学中，向量广泛应用于描述物体的运动状态和力的作用方向和大小。
例如，在力学中，我们可以利用向量来描述质点的位置、速度、加速度等运动状态量。
在动力学中，向量也被用来描述物体外力的作用方向和大小。
在工程学中，向量是最为重要的数学工具之一。
在机械工程中，通过向量可以与直接解决相交和相互作用的问题，这些可以用于机械结构的设计和研究。
在质量控制中，向量可以用来描述相关的质量因素，例如已知产品质量的某些属性以便对其进行监管。
在地理学中，向量广泛应用于描述地球上不同地点间的关系。
例如，向量可以用来描述地球上经称和纬度的变化，这对于航空和海洋导航非常重要。
在地图上，向量也常被用来描述地形高度、冰冻覆盖区域等。
4.计算机图像处理中的应用在计算机图像处理中，向量是最为重要的数学概念之一。
向量在计算机图形学中被用来描述图像和图形的几何特性，如位置、大小、方向和形状等。
计算机图形学中，向量也用于告诉计算机图形应该绘制哪些位置和图形以及怎样进行缩放和旋转。
在金融学中，向量是非常重要的工具之一。
在金融学中，常用向量来描述各种金融产品的操作和管理。
例如，在投资组合理论中，向量用于识别投资组合中风险和收益之间的关系，其使用可以使投资者更好地理解和掌握风险和收益的关系，进而制定更有益的投资决策。
总之，向量在不同领域中都有着广泛应用。
通过向量的概念可以更好地描述和识别不同领域中的问题和现象，进而提高我们对于这些问题的理解和应对能力，并使我们更好地进行相关领域的工作和研究。
向量的应用
向量的应用向量是数学中一个重要的概念，也是物理、工程等领域常用的工具。
它具有大小和方向两个方面的特性，常用箭头表示。
在现实生活中，向量的应用非常广泛。
下面将以几个具体的例子来介绍向量在不同领域的应用。
首先是物理领域。
向量在力学中起着重要的作用。
力的大小和方向可以用向量来表示。
当多个力作用在同一物体上时，可以将这些力的向量叠加得到合力的向量。
利用向量的性质，可以方便地求解物体的运动、受力情况等问题。
在电磁学中，向量也扮演着重要角色。
磁场与电流之间的关系可以用安培环路定理来描述，该定理可以通过将电流元素所产生的磁场的向量叠加来求解。
向量的应用不仅限于物理领域，还涉及到工程、计算机图形学等领域。
在工程中，向量被广泛用于描述力、速度、加速度等物理量。
当我们需要分析一座桥的受力情况时，可以将每个力都用向量表示，并通过向量叠加的方法来得到整体的受力情况。
在计算机图形学中，向量被用于描述空间中的点和矢量。
三维空间中的一个点可以用三个坐标表示，而两个点之间的方向和距离可以用向量表示。
除了上述领域，向量还可以应用于统计学、经济学等领域。
在统计学中，向量可以用于表示数据集合。
在多元线性回归中，可以将自变量和因变量表示为向量，并通过求解向量的线性关系来分析数据。
在经济学中，向量可以用于描述供给和需求的关系。
在供求模型中，可以将供给和需求的量表示为向量，并通过求解向量的平衡来确定市场的价格和数量。
向量是数学中一个重要的概念，在物理、工程、计算机图形学、统计学、经济学等领域都有广泛的应用。
通过应用向量，我们可以方便地描述和分析许多现实生活中的问题，为科学研究和工程实践提供了有效的工具。
7.5-线性映射与向量空间的同构(参考模板)
§7.5 线性映射和向量空间的同构 本节内容需分两次课上完1. 线性映射的定义和基本性质如何建立两个集合之间的联系呢？映射。
当然向量空间之间也可以通过映射相互联系，但映射只是给出元素之间的对应，在向量空间中，向量之间还有线性关系，我们自然希望映射和线性关系之间能“和谐”相处。
由此有了线性映射的概念。
定义1 设,V W 是域K 上的两个向量空间, 如果存在映射:V W σ→使得 (1) 保持加法运算: 即对任意,V αβ∈, 有()()();σαβσασβ+=+ (2) 保持纯量乘积: 即对任意V α∈和k K ∈, 有()().k k σασα= 则称σ是从V 到W 的线性映射.注1 定义的第(1)条中，()σαβ+中的“+”是向量空间V 中的加法，而()()σασβ+中的“+”是向量空间W 中的加法. 同理, 定义中的第(2)条，()k σα中的纯量乘积是域K 与向量空间V 的纯量乘积，而()k σα中的纯量乘积是域K 与向量空间的纯量乘积.注2 保持加法和纯量乘积合称为保持线性运算, 可以统一起来, 用(3)来取代: (3) 对任意,V αβ∈和12,k k K ∈，有1212()()().k k k k σαβσασβ+=+线性映射有下面基本性质. 以下均设:V W σ→是域K 上向量空间V 到W 的线性映射. 性质1 (0)0;σ=证明：因为(0)(00)(0)(0),σσσσ=+=+故(0)0.σ= 性质2 ()();σασα-=-证明：()((1))(1)()().σασασασα-=-=-=- 性质3 11221122()()()().n n n n k k k k k k σααασασασα+++=+++2n =的情形即为上面注2，一般的n 可以采用归纳法得到（略）. 性质4 按映射合成法则, 线性映射合成还是线性映射, 而且满足结合律. 证明：设:,:V W W U στ→ →都是线性映射, 则:V U τσ→使得121212()(()())()()k k k k k k τσαβτσασβτσατσβ+=+=+作为映射合成有结合律, 所以作为线性映射合成仍然有结合律. □例1 设2V F =, 3W F =分别是数域F 上的2维和3维向量空间. 令::(,)(2,,2)V W a b a b a a b σ→+-则σ是从V 到W 的线性映射.证明：因为V 中每一个向量(,)a b 在对应法则σ下唯一地对应到W 中的一个向量(2,,2)a b a a b +-，所以σ是映射.对于(,),(,)a b c d V ∀ ∈，k K ∀∈，有((,)(,))(,)(2()(),,2()())(2,,2)(2,,2)(,)(,)a b c d a c b d a c b d a c a c b d a b a a b c d c c d a b c d σσσσ+=++=+++++-+=+-++-=+((,))(,)(2,,2)(2,,2)(,)k a b ka kb ka kb ka ka kb k a b a a b k a b σσσ==+-=+-=所以σ是线性映射. □ 课堂练习：课后习题1.观察上面的例子. V 中有标准基12(1,0),(0,1).εε= = 标准基在线性映射σ下的象为：12()(2,1,2),()(1,0,1)σεσε = =-. 考察V 中的任意向量12(,)a b a b αεε==+在σ下的象为：12()(,)(2,,2)(2,1,2)(1,0,1)()()a b a b a a b a b a b σασσεσε==+-=+-=+因此σ是由1()σε和2()σε唯一确定.从上可看出，性质 5 如果V 是有限维的，则σ完全由它作用于基上的像所决定. 即若dim V n =，设12{,,,}n S ααα=为V 的一个基，则σ完全由12(),(),,()n σασασα 确定.证明：对于V 中任意向量α，α可唯一地表示为11n n k k ααα=++，于是，1111()()()()n n n n k k k k σασαασασα=++=++反过来，如果指定基向量的像，是否一定存在一个线性映射，恰好将基向量对应到这些像上？回答是肯定的.性质6 设V 和W 是域K 上的两个向量空间，dim V n =，12{,,,}n S ααα=为V 的一个基，任意给定的12,,,n W βββ∈（i β可以重复），则一定存在唯一的线性映射:V W σ→，使得()i i σαβ=，1,2,,i n =.证明：由于12{,,,}n S ααα=为V 的一个基，故对任意V α∈，都存在唯一一组12,,,n k k k K ∈使得1ni i i k αα==∑，于是令11:nni i i ii i V Wk k σααβ== → = ∑∑则可验证，:V W σ→是线性映射（是映射，且保持线性性质），且使得()i i σαβ=，1,2,,i n =.由于线性映射完全由它作用在基上的像所决定，从而唯一性是自然的. □注3：实际上，性质5和性质6对于V 是无限维的情形也是成立的，课本将性质5和性质6合写为定理1. （自行看看，实在不理解可暂放一边，这里是改造过的定理1）定理1 设V 和W 是域K 上的两个向量空间. 如果S 是V 的基，T 是W 的任意一个非空子集，则对S 到T 的任意一个映射:g S T →都能唯一地扩充成为V 到W 的线性映射，即存在V 到W 的线性映射:V W σ→使得()(),g S σααα= ∀∈. 反之, 若:V W σ→是V 到W 的线性映射，S 是V 的基，则σ由它作用在S 上的象完全确定，即只需知道σ作用在S 上的象就能知道σ作用在每个向量上的象.那么线性映射是否能保持线性相关性呢？性质7 设:V W σ→是域K 上向量空间V 到W 的线性映射, V 中向量组12,,,n ααα线性相关，则它们的象12(),(),,()n σασασα （在W 中）也线性相关. 反之不然.举反例说明反之不然. 比如高维空间到低维空间的投射. 当然，一定条件下，反之也成立. 这个条件就是:V W σ→为单射，而且是充分必要条件. 2. 线性映射的核与象一个线性映射:V W σ→, 如果又是单射, 称之为单线性映射. 如果又是满射, 称之为满线性映射. 特别地, 如果线性映射:V W σ→是单射又是满射, 称之为同构(映射), 并称两个向量空间是同构的，记为V W ≅，需要强调线性映射σ时, 可记:V W σ≅或V W σ≅.设:V W σ→是线性映射, 记Ker {|()0}V σασα=∈=, 称之为σ的核；Im {()|}V σσαα=∈, 称之为σ的象, 有时也记Im ()V σσ=.注意，Ker V σ⊆，Im W σ⊆.关于线性映射的核与象，有如下两个结论：命题1 设:V W σ→是线性映射，则Im σ是W 的子空间. 如果S 是V 的一个基，则Im ()|()S S σσαασ= <∈> = <>. 特别地, 如果12,,,n ααα是V 的基, 则12Im (),(),,()n σσασασα= <>.此外，σ为满射⇔Im W σ=.证明：因为0(0)Im σσ=∈, 所以Im σ≠∅. 又()()()Im σασβσαβσ+=+∈, ()()Im k k σασασ=∈,所以Im σ是W 的子空间. 任意V β∈, 存在有限个12,,,n S ααα∈以及12,,,n k k k K ∈使得1ni i i k βα==∑, 所以1()()()|ni i i k S σβσασαα==∈ <∈> ∑. □命题2 设:V W σ→是线性映射, 则Ker σ是V 的子空间. 且以下等价： 1° Ker 0σ=. 2° σ为单射.3° σ将V 的任意线性无关向量组对应到线性无关向量组.4° σ将V 的基对应为W 中的线性无关集. (这一点是对无限维空间说的，因为有限维的情形包含在3°中)证明： Ker σ是V 的子空间这一结论易证（直接按定义证明）.1°⇔2°：(⇒) 设()()σασβ=，则()0σαβ-=，于是Ker 0αβσ-∈=，即0αβ-=，亦即αβ=. (⇐) 设Ker ασ∈，即()0(0)σασ==，由σ为单射可得，0α=，故Ker 0σ=.1°⇔3°：(⇒) 设12,,,n ααα是V 的任意线性无关向量组，则12(),(),,()n σασασα为W 中的向量组. 设1122()()()0n n k k k σασασα+++=，则1122()0n n k k k σααα+++=，由于Ker 0σ=，有11220n n k k k ααα+++=，而12,,,n ααα线性无关，故120n k k k ====，因此，12(),(),,()n σασασα线性无关. (⇐) 设Ker ασ∈，则()0σα=，若0α≠，则α是V 中线性无关向量组（只有单个向量），则()σα是W 中的线性无关组，这与()0σα=矛盾，故0α=，因此，Ker 0σ=.1°⇔4°：(⇒) 设S 是V 的一个基. 任取有限个向量12(),(),,()()n S σασασασ∈，其中12,,,n S ααα∈，类似上面做法，可得12(),(),,()n σασασα线性无关，因此，()S σ是W 中的线性无关集. (⇐) 设Ker ασ∈，由于S 是V 的一个基，故存在12,,,m S ααα∈，以及12,,,m k k k K ∈使得1122m m k k k αααα=+++，于是有11220()()()()m m k k k σασασασα==+++但是()S σ是W 中的线性无关集，12(),(),,()n σασασα为()S σ中有限个向量，必线性无关，从而120n k k k ====，于是，11220m m k k k αααα=+++=，因此，Ker 0σ=. □定理1 设:V W σ→是线性映射，dim V n =，则dim Ker dim Im n σσ + =. 证明：由于核空间Ker V σ⊆，故设1,,m αα是Ker σ的基，于是1,,m αα可扩充为V 的一个基11,,,,,m n m βααβ-（若Ker 0σ=，则设1,,n ββ为V 的一个基）. 于是，由命题1，1111Im (),,(),((0,),,)),,)),,,0,(((()m n m n m n m ββββββσσασασσσσσσ---= <>= <> = <>下证1),,(()n m ββσσ-线性无关：设11(0())n m n m k k σσββ--++=，则 11()0n m n m k k ββσ--++= 即11K er n m n m k k ββσ--++∈，于是，1111n m m m n m l l k k βααβ--++=++，即1111)()(0m n m m n m k k l l βααβ--+++-++-=而11,,,,,m n m βααβ-是V 的基，是线性无关的，故110m n m l k k l -======. 因此，1),,(()n m ββσσ-线性无关. 故1),,(()n m ββσσ-是Im σ 的基，即dim Im n m σ =-. 所以，dim Ker dim Im n σσ + =. □注4：这是一个有趣的结论，Ker σ是V 的子空间，Im σ 是W 的子空间，但是它们的维数之和等于V 的维数. 这就是课后习题第8题，也是课本的定理3，课本用了另一种证明方法.今后常称dim Ker σ 为线性映射σ的零度，dim Im σ 为线性映射σ的秩. 由定理1可直接得到以下推论。
向量的应用
向量的应用
向量是二维或三维空间中向特定方向延伸的箭头，具有模长和方向。
向量可以在各种领域中应用，包括物理学、数学、计算机图形学、游戏开发等等。
在物理学中，向量被广泛应用于描述物理量的大小和方向。
例如，位移、速度、加速度、力等物理量都可以用向量表示。
在运动学中，我们使用位移向量来描述物体在空间中的位置变化。
速度向量则表示物体的运动方向和速度大小，而加速度向量则表示物体在单位时间内速度的变化量。
在计算机图形学和游戏开发中，向量也是不可或缺的。
例如，我们可以使用向量来表示3D场景中的点、向量和法线。
在3D建模中，使用向量进行表面法线计算可以实现更加真实的光线反射和折射效果。
此外，游戏中的角色、汽车和飞机等都可以使用向量来表示其位置和方向，以便在程序中进行适当的计算和渲染。
向量的另一个应用是在机器学习和数据分析领域。
例如，在数据处理中，可以使用向量来表示图像特征、文本特征等信息。
向量空间模型是一种广泛使用的技术，用于将文本转换为向量形式，并在文本分类、推荐系统等领域中进行应用。
最后，向量的应用也涉及到微积分。
在微积分中，向量被用来表示曲线的切线。
通过将曲线表示为向量函数，并对其进行求导操作，我们可以计算曲线上每个点的切线方向和斜率。
这对于解决曲线相关问题非常有用，例如：最小二乘法、最大似然估计等等。
总的来说，向量在各个领域中都被广泛应用，因为它们可以更好地描述物理量、计量数据和计算解决问题。
因此，学习向量的数学原理和相关应用，对于提高我们的数学和科学水平非常重要。
向量的应用
向量的应用向量是数学中的重要概念，它不仅在数学理论中有着重要的应用，也在现实生活中广泛应用。
在物理、工程、计算机等领域，向量都扮演着重要的角色。
本文将探讨向量的概念及其在现实生活中的应用。
一、向量的概念向量是数学中的一个重要概念，它表示具有大小和方向的物理量。
向量通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量常表示为(A, B)，其中A表示向量的横坐标，B表示向量的纵坐标。
向量可以进行加法、减法、数乘等运算，具有一些特有的性质。
向量的大小可以用勾股定理计算，即向量的大小等于横纵坐标的平方和的平方根。
二、向量在物理中的应用在物理中，向量有着广泛的应用。
比如在力学中，力是一个常见的向量，它有大小和方向，并且可以叠加。
两个力的合力可以通过向量的加法计算得出。
在矢量场中，向量也被广泛应用，比如电场、磁场等都是矢量场，可以用向量来描述。
在运动学中，速度、加速度等物理量也是向量，可以用向量来描述物体的运动状态。
三、向量在工程中的应用在工程领域，向量也有着广泛的应用。
比如在建筑设计中，力的分解和合成是一个重要的问题，工程师需要通过向量的知识来计算各个力的合力，以确保建筑结构的稳定性。
在电路分析中，电流、电压等物理量也可以用向量来描述，工程师需要通过向量的运算来解决电路中的问题。
在机械设计中，力矩、力的方向等物理量也是向量，需要用向量的知识来进行计算，以确保机械结构的稳定性和可靠性。
四、向量在计算机图形学中的应用在计算机图形学中，向量也有着广泛的应用。
比如在计算机游戏中，游戏角色的移动、碰撞检测等都需要通过向量计算来实现。
在计算机动画中，物体的运动、变形等也需要通过向量来描述和计算。
在计算机辅助设计中，各种图形的平移、旋转、缩放等操作也需要通过向量计算来实现。
向量在计算机图形学中有着非常重要的应用。
五、向量在现实生活中的应用在现实生活中，向量也有着广泛的应用。
比如在导航中，我们需要通过向量来描述和计算车辆的方向和速度，以便进行导航和路径规划。
向量的应用
向量的应用向量在数学中是一个非常重要的概念，它不仅在数学理论中有着深刻的意义，还广泛应用于各种实际问题中。
本文将介绍向量在几何、物理、工程等领域的应用，展示向量的重要性和广泛性。
我们来了解一下向量的基本概念。
向量是有大小和方向的量，在几何上可以用箭头表示。
向量的大小叫做模，表示向量的长度；向量的方向由箭头的指向决定。
在数学上，向量通常用坐标表示，如(a, b)，表示向量的起点在原点，终点在(a, b)处。
除了坐标表示，向量还可以用分量表示，即用一个有序数对表示向量的各个分量。
在一个二维平面上，向量a可以用(a1, a2)表示，在三维空间中可以用(a1, a2, a3)表示。
向量的表示方法还有矩阵表示、单位向量表示等，不同的表示方法在不同的问题中有不同的应用。
在几何学中，向量有广泛的应用。
向量可以表示线段的方向和长度，用于解决几何问题。
求两个向量的和、差，求两向量的夹角、平行、垂直关系等。
向量还可以表示几何图形的位置和形状，解决空间中的旋转、平移、缩放等问题。
几何向量还可以表示各种曲线的切线和法线，用于求解曲线的切点、切圆、曲率等问题。
在三维空间中，向量还可以表示立体图形的体积、表面积、体心、重心等特性。
向量在解决几何问题中有着举足轻重的地位，是几何学中不可或缺的工具。
在物理学中，向量是描述力、速度、加速度等物理量的重要工具。
力是一个有大小和方向的物理量，它可以用向量表示。
根据牛顿第二定律，物体受到的合外力等于物体的质量乘以加速度，力和加速度的关系可以用向量描述。
速度也是一个向量，它的大小是速度的大小，方向是速度的方向。
加速度也是一个向量，它和速度有着密切的联系，可以表示物体的加速度方向和大小。
向量在物理学中的应用还包括力矩、动能、动量、角动量等物理量的研究。
向量理论为物理学提供了强大的工具，为物理学的发展做出了重要贡献。
在工程学中，向量也有广泛的应用。
在机械工程中，向量可以表示力、力矩、弯矩等物理量，用于分析机械结构的受力情况。
向量的应用
向量的应用向量是数学中的重要概念，它在很多领域中都有着广泛的应用。
在物理学、工程学、计算机科学等领域中，向量被用来描述和求解各种问题。
一、物理学中的向量应用在物理学中，向量被用来描述物体的位置、速度、加速度等物理量。
一个物体在二维平面上的位置可以用一个二维向量表示，其中向量的两个分量分别表示物体在 x 方向和y 方向上的位置，这样可以方便地描述物体的位置关系和运动轨迹。
速度和加速度也是向量，它们的方向和大小可以通过向量的几何性质进行分析和计算。
二、工程学中的向量应用工程学中的向量应用主要集中在力学、电路分析和信号处理等方面。
在力学中，向量被用来描述力的大小和方向，可以方便地求解物体的平衡和运动问题。
在电路分析中，向量被用来描述电压和电流的相位关系，可以通过向量运算方便地分析电路中的功率和效率。
在信号处理中，向量被用来描述信号的幅度和相位，可以方便地进行滤波和频谱分析等操作。
三、计算机科学中的向量应用在计算机科学中，向量被广泛应用于图像处理、机器学习等领域中。
在图像处理中，向量被用来表示图像的像素值，在图像的压缩、增强和分析等操作中起到关键作用。
在机器学习中，向量被用来表示样本的特征向量，通过向量的相似性和距离度量可以进行分类和聚类等操作。
四、其他领域中的向量应用除了上述领域外，向量还在金融学、经济学、生物学等领域中有着广泛的应用。
在金融学中，向量被用来描述资产的收益和风险，可以通过向量运算进行资产组合和风险管理等操作。
在经济学中，向量被用来描述经济指标和变量之间的关系，可以进行经济模型和政策分析等操作。
在生物学中，向量被用来描述基因组的序列，可以进行基因组测序和突变检测等操作。
向量在各个科学和工程领域中都有着广泛的应用。
通过向量的几何性质和运算规律，可以方便地描述和求解各种问题，扩展了数学在实际问题中的应用范围，提高了问题的求解效率和精度。
深入理解和掌握向量的概念和应用是学习数学和科学的重要基础。
向量的应用
向量的应用向量在数学中是一个非常重要的概念，它不仅在数学理论中有着广泛的应用，还在实际生活和工程技术中有着很多实际的应用。
本文将从多个角度探讨向量的应用，希望能够帮助读者深入理解向量的重要性和实际应用价值。
一、向量的定义和基本性质向量是数学中的一个基本概念，它可以用有向线段来表示。
通常情况下，我们用一个带箭头的线段来表示一个向量，箭头表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
在数学中，向量通常用字母加上一个上方的小箭头来表示，比如a→，b→。
向量有两个重要的性质：大小和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
两个向量相等当且仅当它们的大小和方向都相同。
向量既有大小也有方向，所以向量在数学中经常被用来表示力、速度、位移等概念。
向量的运算包括加法、减法和数量乘法。
向量的加法和减法都是按照平行四边形法则进行的。
即如果我们要计算向量a→和b→的和，首先将b→的起点移动到a→的终点，然后以这两个线段的起点和终点为对角线，构成的平行四边形的对角线即为a→和b→的和。
数量乘法是指向量与一个数相乘，它表示将向量放大或缩小为原来的n倍。
二、向量的几何意义在几何中，向量通常用来表示位移、速度、力等概念。
比如一个物体在空间中运动，我们可以用一个位移向量来表示它的位置变化；一辆车在匀速运动，我们可以用速度向量来表示它的运动状态；一个受力物体在受力作用下产生加速度，我们可以用力向量来表示受力的大小和方向。
几何中的向量还能够用来表示线段、直线、平面等几何图形。
两个点之间的位移可以用一个位移向量来表示，一条直线上的点可以用一个位置向量来表示，一个平面上的直线可以用一个方向向量来表示。
三、向量的物理应用在物理学中，向量是一个非常重要的概念，它被广泛应用于力学、电磁学、流体力学等多个领域。
力学中的受力可以用向量表示，力的合成和分解可以用向量运算来解决；电磁学中的电场、磁场也可以用向量表示，电磁场的叠加也需要用向量求和来解决；流体力学中的速度、加速度也可以用向量来表示，流体的运动状态可以用流体速度场来描述。
7.5-4向量的模、方向角与方向余弦
向量的模、方向角与方向余弦第七章第5节向量及其线性运算向量的模、方向角与方向余弦一、向量的模向量的模222zy x ++=则有xOy zM NQ R P由勾股定理得NM ON +=),,,(z y x r =设OM r =OMr =OROQ OP ++=xOy zM NQ R P因得两点间的距离公式:212212212)()()(z z y y x x -+-+-=对两点与例3求证以证:1M 2M 3M 12M M = 2)47(-2)31(-+2)12(-+14=23M M =2)75(-2)12(-+2)23(-+6=13M M =2)45(-2)32(-+2)13(-+6=2313.M M M M =所以，故321M M M ∆为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点例4在z 轴上求与两点等距解设该点为,),0,0(z M ,B M A M =因为 2)4(-21+2)7(z -+ =2325+2)2(z --+解得故所求点为及.),0,0(914M 离的点.提示:(1)设动点为,)0,,(y x M 利用,B M A M =得(2)设动点为,),,(z y x M 利用,B M A M =得且思考:(1) 如何求在xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等距离之点的轨迹方程?例5已知两点解141=)2,1,3(-()142,141,143-=BA B A 求AB 的单位向量 e .=e向量的模、方向角与方向余弦二、向量的方向角与方向余弦oγxyz∙0M ∙M非零向量的方向角：a r非零向量与三条坐标轴的正向的夹角.α、β、γ,0π≤α≤,0π≤β≤.0π≤γ≤βαya xa z a0222≠++z y x a a a 当时，,cos 222zy x xa a a a ++=α,cos 222zy x ya a a a ++=β.cos 222z y x za a a a ++=γ向量的方向余弦o γx y z∙0M ∙M βαy a x a z a方向余弦的特征特殊地单位向量与方向余弦的关系为:}cos ,cos ,{cos 0γβα=a例6已知两点和的模、方向余弦和方向角.解,21-,23-)20-计算向量)2,1,1(--=222)2(1)1(-++-2=,21cos =β22cos -=γ,3π2,3π3π.4(21=M M例7设点A 位于第一卦限,解已知角依次为,,4π3π求点 A 的坐标. ,4π,3π==βα则βαγ222cos cos 1cos --=41=因点A 在第一卦限,故,21cos =γ于是(6=,cos α,cos β)γcos )3,23,3(=故点A 的坐标为.)3,23,3(向径OA 与x 轴y 轴的夹,6=A O 且OA (6=,21,22)210OA OA=谢谢THANK YOU。
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291 .4 tan 2.4611． 118 .4 又由 f 的坐标知是 第一象限的角，所以
f 118.4 2 291.4 2 314.5． 设 f 与 x 轴的正向夹角为 ，则 f
2
y
f1 f 2
f1
45o
O
30o
x
6753/ ，
b1 200cos135 141.4，
45o
O
30o
x
b2 200sin 135 141 .4， 所以 f1 ( 259.8, 150 ) f 2 (−141.4, 141.4 ) f f1 f 2 (259.8,150) (141.4,141.4) (118.4,291.4)．
F
F 1
F2
G
1．力向量
例1 已知两个力 f1，f 2 的大小和方向如图所示，求两个 力的合力 f 的大小和方向． y f1 f 2 解：设 f1 (a1 , a2 )，f 2 (b1 , b2 )， 则 a1 300cos30 259.8， f2 f1 a2 300sin 30 150 ，
所以轮船实际航行速度为“向西北方向， 2.8m/s”．
b
河水从西向东流，流速为3m/s,一轮船以5m/s 向西北方向航行，求轮船的实际航行的方向和航速．
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤 如下：
1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.
2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型.
向 量 7.5 向量的应用
向量 向量
1.什么是向量？在物理学中碰到过哪些？
2.什么是向量加法的平行四边形法则和三角形法则？
3.物理学中力、速度是怎样分解和合成？
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一 个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，
两臂的夹角越小越省力型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
教材P60，练习 第 1 、2题
即两个力的合力约为 314.5N，与 x 轴的正方向的夹角约为 67º 53 与 y 轴的正方向的夹角约为 22º 7．
如图，两条绳提一个物体，每条绳用力5N，这时 两条绳的夹角为60o ，求物体所受的重力W．
5N
60O
5N
W
2．速度向量
例2 河水从东向西流，流速为2m/s,一轮船以2m/s垂直
水流方向向北航行，求轮船的实际航行的方向和航速．
众 a 划算 众划算官网 token 解：设 a “向西方向， 2m/s”, b “向北方向， 2m/s”, 则 a b 22 22 2 2 2.8(m/s)， 由 a b .可得 a b 的方向为西北方向．