【高中数学】2018-2019学年人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章圆的切线(可直接打印)
高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1.3平行截割定理学案新人教B版选修4-1(2021学年)
2017－２０18学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理１.1．3 平行截割定理学案新人教B版选修4-1编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2０17-2018学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1．３平行截割定理学案新人教B版选修4-１)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.1。
3 平行截割定理错误!［读教材·填要点]1.平行截割定理(1)定理的内容:三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例.(２）符号语言表示：如图,若l1∥ｌ2∥l3,则错误!=错误!。
２．平行截割定理的推论(1）推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线）,所得的对应线段成比例．（2)符号语言表示:如图,若l1∥l2∥l3,则错误!＝错误!=错误!。
［小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m,n应满足什么条件？提示:被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交,但它们必须与已知的平行直线a、b、c都相交．２．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”,是否仍然成立?提示:仍然成立.错误!利用定理证明“比例式”[例１］已知：如图,l1∥ｌ2∥ｌ3,＼f（ＡB，BC）=错误!。
求证：＼f（ＤE,DＦ）＝错误!。
［思路点拨］本题考查平行截割定理及比例的基本性质.解答本题需要利用定理证得错误!=错误!，然后利用比例的有关性质求出错误!即可.［精解详析] ∵ｌ1∥ｌ2∥ｌ3,∴ＡBBC＝错误!=错误!.∴错误!＝错误!,错误!=错误!,即错误!＝错误!,∴错误!=错误!。
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理
2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ， 即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ， 所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点， 所以AC ＝CD ，BC ＝CE ， 所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为 ．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为 ．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝ ；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为 ．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ， 即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ， 所以C 是AB 的中点． 因为AD 是大圆的直径， 所以O 是AD 的中点． 所以OC 是△ABD 的中位线． 所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点． 同理F 是BE 的中点． 即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ， 由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中， 因为OB ＝13，OC ＝5， 所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ， 所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE， 把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°， 所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4， 解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ， 因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ， 则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2， 即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158， 则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆 幂 定 理 (Word)
_1.3圆幂定理与圆内接四边形1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ，所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线PA ，切点为A ，M 为PA 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为PA 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．。
人教版B版高中数学选修4-1(B版)平行投影的性质
水 平 面 又 是 什 么 图 形?
可以看出 ,图3 2 2的水
平面是一个椭圆. 定义 平面上到两个定
点的距离之和等于定长 的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆.
1
2
平行投影的性质
一、重难点： 通过圆柱与平面的位置关系，
体会平行投影； 探讨直线与球的位置关系，平
面与球的位置关系，并归纳出结论。
二、教学过程
（一）、探索直线与球、平面与球的位置关系
1、直线与球的位置关系：类比直线与圆的位置 关系的研究方法来探究直线与球的位置关系。 学生探究交流，并阅读课本，归纳结论。
结论：把球心O到直线L的距离记为OH，当 OH>R时，相离，直线与球没有公共点；当 OH=R时，相切，直线与球只有一个公共点； 当OH<R时，相切，直线与球有两个公共点。
提出问题：
（1）在平面内，过圆外一点可以作两条相等
的切线。
（2）过球外一点能作多少条切线呢？所有的 切线长相等吗？所有的切点组成什么图形？
垂 足 为 点A`.称 点A`为 点A在 平 面上 的 正
射 影 .一个图形上各点在平面上的正射影 所组成的图形, 称为这个图形在平面上的
正 射 影.
2、思考 一个圆所在的平面 与平面 平行时, 该
圆在 上的正射影是什么图形?当与 不平行 时,圆在上的正射影是什么图形?如果与 垂 直 时, 圆 在上 的 正 射 影 又 是 什 么 图形 ?
*
如 果 取 消" 垂 直"的 限 定, 那 么 正 射 影 的 概 念 可 以 作 进 一步 推 广.
L
A
设直线l与平面 相交图3 1, A`
高中数学教材新课标人教B版目录完整版
高中数学（B版）必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ）高中数学（B版）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系高中数学（B版）必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用高中数学（B版）必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积高中数学（B版）必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（B版）选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用高中数学（B版）选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图高中数学（B版）选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词 1.2 基本逻辑联结词1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线2.4 抛物线 2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用高中数学（B版）选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数 1.2 导数的运算1.3 导数的应用 1.4 定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（B版）选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理 1.2排列与组合1.3二项式定理第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列 2.2条件概率与事件的独立性2.3随机变量的数字特征 2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验 3.2回归分析高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程 2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学)2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
人教B版高中数学选修4-1习题课件：1.1.4 锐角三角函数与射影定理
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
A.点
B.线段
C.与MN等长的线段 D.直线
解析:当MN⊥l时,射影是一个点;当MN与l不垂直时,射影是一条
线段;特别地,当MN∥l或MN在l上时,射影与MN等长,线段MN的射影
不可能是直线.
答案:D
-4-
1.1.4 锐角三角函数 与射影定理
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知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
3.射影定理
文字 语言
在直角三角形中,每一条直角边是这条直角边在斜边上的 射影和斜边的比例中项;斜边上的高是两条直角边在斜边 上的射影的比例中项
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练
UITANGYANLIAN
名师点拨(1)勾股定理:
AC2+BC2=AB2,AD2+CD2=AC2,BD2+CD2=BC2.
(2)面积关系:AC·BC=AB·CD=2S△ABC,
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������2 ������������2
-6-
1.1.4 锐角三角函数 与射影定理
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高中数学选修41教案
高中数学选修41教案高中数学选修41教案1上个学期，依据需要，学校安排我上高二数学文科，在这一学期里我从各方面严格要求自己，在教学上虚心向老老师请教，结合本校和班级同学的实际状况，针对性的开展教学工作，使工作有计划，有组织，有步骤。
经过了一学期，我对教学工作有了如下感想：一、仔细备课，做到既备同学又备教材与备教法。
上学期我依据教材资料及同学的实际状况设计课程教学，拟定教学方法，并对教学过程中遇到的问题尽可能的预先思索到，仔细写好教案。
每一课都做到“有备而去”，每堂课都在课前做好充分的预备，课后实时对该课作出小结，并仔细整理每一章节的知识要点，帮忙同学进行归纳总结。
二、加强上课技能，提高教学质量。
加强上课技能，提高教学质量是我们每一名新老师不断努力的目标。
由于应对的是文科生，基础普遍比较差，所以我主要是立足于基础，让同学学得简约，学得开心。
留意精讲精练，在课堂上讲得尽量少些，而让同学自己动口动手动脑尽量多些;同时在每一堂课上都充分思索每一个层次的同学学习需求和理解潜力，让各个层次的同学都得到提高。
三、虚心向其他老师学习，在教学上做到有疑必问。
在每个章节的学习上都上心征求其他有阅历老师的看法，学习他们的方法。
同时多听老老师的课，做到边听边学，给自己不断充电，弥补自己在教学上的不足，征求他们的看法，改善教学工作。
四、仔细批改作业、布置作业有针对性，有层次性。
作业是同学对所学知识巩固的过程。
为了做到布置作业有针对性，有层次性，我经常多方面的搜集资料，对各种辅导资料进行筛选，力求每一次练习都能让同学起到的效果。
同时对同学的作业批改实时、仔细，并分析同学的作业状况，将他们在作业过程涌现的问题实时评讲，并针对反映出的状况实时改善自己的教学方法，做到有的放矢。
然而，在确定成果、总结阅历的同时，我清晰地认识到我所获得的教学阅历还是肤浅的，在教学中存在的问题也不容忽视，也有一些困惑有待解决今后我将努力工作，上心向老老师学习以提高自己的教学水平。
2018_2019学年高中数学第一章不等式的基本性质和证明的基本方法本章复习课课件新人教B版选修4_
知识结构
知识梳理 1.实数的运算性质与大小顺序的关系：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a －b＝0，a<b⇔a－b<0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差 的符号即可. 2.不等式的 6 个基本性质是不等式的基础. 3.一元一次、一元二次不等式的解法是解不等式的基础，各类 不等式的求解都转化为一元一次不等式、一元二次不等式，一元二 次不等式都可化为两种类型，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)或 ax2＋bx＋c≤0 (a>0)，ax2＋bx＋c≥0 (a>0)的解集实质上是函数 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0)的函数值 f(x)≥0 对应的自变量 x 的取值范围，方程 ax2＋bx ＋c＝0 (a>0)的根实质上是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方 程的根也是方程对应的一元二次不等式解集的端点值.
5.绝对值不等式的解法：解含绝对值的不等式的基本思想是通过 去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一 元二次不等式.去绝对值符号常见的方法有：
(1)根据绝对值的定义；(2)平方法；(3)分区间讨论. 6.绝对值三角不等式： (1)|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义 表示数轴上两点间的距离. (2)|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，ab≥0 时等号成立). (3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c| (a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0 等号成立). (4)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≤0，右边“＝”成立的条件是 ab≥0). (5)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| (a，b∈R，左边“＝”成立的条件是 ab≥0，右边“＝”成立的条件是 ab≤0).
高中选修4数学教案
高中选修4数学教案
教师：XXX
第一课时：立体几何的基本概念
目标：了解立体几何的基本概念，掌握立体几何的相关术语。
教学重点：球、柱、锥的表面积和体积的计算。
教学难点：利用给定条件计算球、柱、锥的体积。
教学准备：教科书、教学PPT、黑板、粉笔。
教学过程：
1. 导入：通过图片展示不同的立体几何图形，让学生猜测它们的名称。
2. 引入：介绍球、柱、锥的定义和特点，让学生看视频了解它们的表面积和体积计算方法。
3. 实例讲解：以一个具体的例子说明如何计算球、柱、锥的体积。
4. 练习：让学生自行计算几个给定图形的体积，并进行讲解和讨论。
5. 拓展：引导学生思考如何计算其他立体几何图形的体积，并鼓励他们尝试解决问题。
6. 总结：回顾本节课的内容，强调立体几何的重要性，并对下节课的内容做简单预告。
板书设计：
立体几何的基本概念
- 球的表面积和体积的计算
- 柱的表面积和体积的计算
- 锥的表面积和体积的计算
作业布置：布置一些练习题，巩固本节课所学知识。
教学反思：本节课主要介绍了立体几何的基本概念和相关计算方法，通过实例讲解和练习，学生对立体几何的理解有了一定的提高。
在接下来的教学中，需要继续引导学生理解和应
用这些知识，提高他们的数学解题能力。
高中数学选修4 1教案
高中数学选修4 1教案在高中数学的教学过程中，编写一份优质的教案对于指导学生理解和掌握知识点至关重要。
今天，我们就来探讨如何编写一份高中数学选修4-1的教案范本。
## 教学目标在编写教案之前，首先要明确教学目标。
这些目标应当包括知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三个维度。
例如，对于选修4-1的内容，教学目标可以是：- 理解并掌握相关数学概念和定理。
- 能够运用所学知识解决实际问题。
- 培养学生的逻辑推理能力和数学思维。
- 激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
## 教学内容接下来，要根据教学大纲和教材内容，确定本节课的教学内容。
例如，如果本节是关于“函数的概念与性质”，那么教学内容应包括：- 函数的定义- 函数的表示方法- 函数的性质（如单调性、周期性等）## 教学方法选择合适的教学方法对于提高教学效果至关重要。
可以采用以下几种方法：- 讲授法：用于讲解基本概念和定理。
- 探究法：引导学生通过问题解决学习新知识。
- 合作学习：鼓励学生小组讨论，共同解决问题。
## 教学过程教学过程是教案的核心部分，需要详细规划。
一般包括以下几个环节：1. 导入新课：可以通过提出问题、回顾旧知识或展示实际应用案例来引入新课内容。
2. 新课讲解：根据教学内容，系统地讲解新知识点。
3. 学生练习：设计适当的练习题，让学生巩固和应用所学知识。
4. 小结反馈：总结课堂重点，解答学生疑问，并进行形成性评价。
## 教学评价教学评价是检验教学效果的重要环节。
可以通过以下方式进行：- 随堂测验：通过小测试了解学生对知识点的掌握情况。
- 作业布置：布置适量作业，既能够巩固课堂所学，又能够检验学生的学习效果。
- 自我反思：教师应对自己的教学过程进行反思，以便不断改进教学方法和策略。
## 教学资源最后，不要忘记准备必要的教学资源，如多媒体课件、实物模型、数学工具软件等，这些都能有效辅助教学，提高学生的学习兴趣。
总之，一份好的教案应该是结构清晰、内容丰富、符合学生实际水平的。
人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-弦切角定理 (Word)
1．2.3弦切角定理[对应学生用书P22][读教材·填要点]1．弦切角顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．2．弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半．3．弦切角定理的推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．[小问题·大思维]一边和圆相交，另一边和圆相切的角是弦切角吗？提示：不一定．弦切角必须同时具备三点：①顶点在圆上；②一边和圆相交；③一边和圆相切．[对应学生用书P23][例1]如图，AB、CB分别切⊙O于D、E，试写出图中所有的弦切角．[思路点拨]本题考查弦切角的定义．解答本题需要明确构成弦切角的三个条件，然后依据定义作出判断．[精解详析]由弦切角的定义可知，∠ADE、∠BDE、∠BED、∠CED都是弦切角．解决此类问题的关键是把握弦切角的三个要素：(1)顶点在圆上(顶点为圆切线的切点)；(2)一边和圆相切(一边所在直线为圆的切线)；(3)一边和圆相交(一边为圆的过切点的弦)．三者缺一不可，例如上图中，∠CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因为AD与圆相交，∠BAE也不一定是弦切角，只有已知AE切圆于点A，才能确定它是弦切角．1．如图，NA与⊙O切于点A，AB和AD是⊙O的弦，AC为直径，试指出图中有哪几个弦切角？解：弦切角分三类：如题图：(1)圆心在角的外部；(2)圆心在角的一边上；(3)圆心在角的内部．即∠BAN、∠CAN、∠DAN为弦切角.[例2]已知：AB切⊙O于A，OB交⊙O于C，AD⊥OB于D.求证：∠DAC＝∠CAB.[思路点拨]本题考查弦切角定理的应用．解答本题需要根据题意画出图形，然后利用相关定理解决．[精解详析]法一：如图(1)，延长AD交⊙O于E，AB切⊙O于A，∵CD⊥AE，∴AC＝CE.又∵∠DAC的度数＝1CE的度数．2∠CAB的度数＝1AC的度数．2∴∠DAC＝∠CAB.法二：如图(2)，延长BO交⊙O于E，连接AE，则∠CAE＝90°.又∵AD⊥CE，∴∠DAC＝∠E.∵AB是⊙O的切线，∴∠CAB＝∠E.∴∠DAC＝∠CAB.法三：如图(3)，连接OA.∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB.∴∠CAB与∠OAC互余．又∵AD⊥OB，∴∠DAC与∠ACO互余．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACO.∴∠DAC＝∠CAB.法四：如图(4)，过C作⊙O的切线交AB于G∵AB是⊙O的切线，∠CAG＝∠ACG，又∵OC⊥CG，AD⊥OB，∴CG∥AD.∴∠ACG＝∠DAC，即∠DAC＝∠CAB.(1)由弦切角定理及其推论可直接得到角相等，在与弦切角有关的几何问题中，往往还需要借助其它几何知识来综合解答，由弦切角得到的角相等只是推理论证中的一个条件．(2)借助弦切角定理及其推论和圆的其他性质(如等弧所对的弦相等)以及三角形有关知识我们可以得到特殊三角形或全等三角形，从而证得线段相等．2．如图，△ABD的边AB为直径，作⊙O交AD于C，过点C的切线CE和BD互相垂直，垂足为E.证明：AB＝BD.证明：如图所示，连接BC，延长EC至F.。
人民教育出版社B版高中数学目录(全)
人民教育出版社B版高中数学目录(全)高中数学（B版）必修一第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算整合提升第二章函数2.1 函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（I）2.4函数与方程2.4.1函数的零点2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法整合提升第三章基本初等函数（I）3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数-3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）整合提升高中数学（B版）必修二第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4投影与直观图1.1.5三视图1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7柱、锥、台和球的体积1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系(第1课时)空间中的平行关系(第2课时)1.2.3空间中的垂直关系(第1课时)空间中的垂直关系(第2课时)综合测试阶段性综合评估检测(一)第2章平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2.4空间直角坐标系综合测试高中数学（B版）必修三第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例单元回眸第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体的分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关单元回眸第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用单元回眸高中数学（B版）必修四第一章基本初等函数(2)1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图象与性质1.3.1 正弦函数的图象与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3 已知三角函数值求角单元回眸第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用单元回眸第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积单元回眸高中数学（B版）必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例复习与小结第一章综合测试第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和复习与小结第二章综合测试第三章不等式. 3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.2 简单的线性规划复习与小结第三章综合测试高中数学（人教B）选修2-1第1章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.2 基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件1.3.2命题的四种形式第1章综合测试题第2章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性2.2 椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质.2.5直线与圆锥曲线第2章综合测试题阶段性综合评估检测（一）第3章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离第3章综合测试题阶段性综合评估检测（二）高中数学人教B选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理本章整合提升第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法本章整合提升第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法本章整合提升高中数学人教B选修2-3第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角单元回眸第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数字特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布单元回眸第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析单元回眸高中数学（B版）选修4－4第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.2极坐标系本章小结第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程本章小结附录部分中英文词汇对照表后记高中数学（B版）选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法本章小结第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型本章小结阅读与欣赏著名数学家柯西第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.2用数学归纳法证明不等式、贝努利不等式本章小结。
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系(Word)
【2019-2020年度】人教B 版高中数学-选修4-4教学案-第一章球坐标系（Word ）[读教材·填要点]1．球坐标系设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M0，连接OM 和OM0，设z 轴的正向与向量的夹角为φ，x 轴的正向与0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.OM OM2．直角坐标与球坐标的转化空间点M 的直角坐标(x ，y ，z)与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎨⎧x ＝rsin φ·cos θ，y ＝rsin φ·sin θ，z ＝rcos φ. [小问题·大思维]球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.[例1][思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．[精解详析] ∵M 的球坐标为，∴r ＝5，φ＝，θ＝.由变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，z ＝5cos 5π6＝－532.故它的直角坐标为. 已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.1．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：由变换公式得x ＝rsin φcos θ＝4sin cos ＝2，y ＝rsin φsin θ＝4sin sin ＝2，z ＝rcos φ＝4cos ＝－2.∴它的直角坐标为(2,2，－2).[例[思路点拨] 本题考查直角坐标与球坐标的变换关系．解答本题只需将已知条件代入变换公式求解即可，但应注意θ与φ的取值范围．[精解详析] 由坐标变换公式，可得r ＝＝＝2.由rcos φ＝z ＝，得cos φ＝＝，φ＝.又tan θ＝＝1，θ＝(x>0，y>0)，所以知M点的球坐标为.由直角坐标化为球坐标时，我们可以先设点M的球坐标为(r，θ，φ)，再利用变换公式求出r，θ，φ代入点的球坐标即可；也可以利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝求解．特别注意由直角坐标求球坐标时，θ和φ的取值应首先看清点所在的象限，准确取值，才能无误．2．设点M的直角坐标为，求它的球坐标．解：由变换公式得r＝＝＝1.由rcos φ＝z＝－得cos φ＝－，φ＝.又tan θ＝＝(r>0，y>0)，得θ＝，∴M的球坐标为.[例3] O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系．有A，B两个城市，它们的球坐标分别为AR，，，BR，，.飞机沿球的大圆圆弧飞行时，航线最短，求最短的路程．[思路点拨] 本题考查球坐标系的应用以及球面上的最短距离．解答本题需要搞清球的大圆的圆心角及求法．[精解详析] 如图所示，因为A，B，可知∠AOO1＝∠O1OB＝，∴∠O1AO＝∠O1BO＝.又∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.故飞机沿经过A，B两地的大圆飞行，航线最短，其路程为R.我们根据A，B两地的球坐标找到纬度和经度，当飞机沿着过A，B两地的大圆飞行时，飞行最快．求所飞行的路程实际上是要求我们求出过A，B两地的球面距离．3.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A，B8，θB，，求出这两个截面间的距离．解：由已知，OA＝OB＝8，∠AOO1＝，∠BOO1＝.∴在△AOO1中，OO1＝4.在△BOO2中，∠BOO2＝，OB＝8，∴OO2＝4，则O1O2＝OO1＋OO2＝8.即两个截面间的距离O1O2为8.一、选择题1．已知一个点P的球坐标为，点P在xOy平面上的投影点为P0，则与的夹角为( )OPA．－ B.3π4C.D.π3解析：选A ∵φ＝，∴OP 与OP0之间的夹角为＝. 2．点M 的球坐标为(r ，φ，θ)(φ，θ∈(0，π))，则其关于点(0,0,0)的对称点的坐标为( )A ．(－r ，－φ，－θ)B ．(r ，π－φ，π－θ)C ．(r ，π＋φ，θ)D ．(r ，π－φ，π＋θ)解析：选D 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z)，则点M 关于(0,0,0)的对称点M′的直角坐标为(－x ，－y ，－z)，设M′的球坐标为(r′，φ′，θ′)，因为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，所以⎩⎨⎧ r′sin φ′cos θ′＝－rsin φcos θ，r′sin φ′sin θ′＝－rsin φsin θ，r′cos φ′＝－rcos φ，可得⎩⎨⎧ r′＝r ，φ′＝π－φ，θ′＝π＋θ，即M′的球坐标为(r ，π－φ，π＋θ)．3．点P 的球坐标为，则它的直角坐标为( )A ．(1,0,0)B ．(－1，－1,0)C ．(0，－1,0)D ．(－1,0,0)解析：选D x ＝rsin φcos θ＝1·sin ·cos π＝－1， y ＝rsin φsin θ＝1·sinsin π＝0，z ＝rcos φ＝1·cos＝0，∴它的直角坐标为(－1,0,0)．4．已知点P 的柱坐标为，点B 的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )A ．P(5,1,1)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 B ．P(1,1,5)，B ⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62 C ．P ，B(1,1,5)D ．P(1,1,5)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324 解析：选B 球坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，柱坐标与直角坐标的互化公式为⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.设P 点的直角坐标为(x ，y ，z)，则x ＝cos ＝×＝1， y ＝sin ＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x′，y′，z′)，则x′＝sin cos ＝××＝，y′＝sin sin ＝××＝，z′＝cos ＝×＝.所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为.二、填空题5．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为xOy 坐标面，由原点指向北极点的连线方向为z 轴正向，本初子午线所在平面为zOx坐标面，如图所示．若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R ，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为R ，，.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，5π3，3π4 6．已知点M 的球坐标为，则它的直角坐标为________，它的柱坐标是________．解析：由坐标变换公式直接得直角坐标和柱坐标．答案：(－2,2,2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，22 7．设点M 的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为________． 解析：由坐标变换公式，得r ＝＝＝2，cos φ＝＝，∴φ＝.∵tan θ＝＝＝1，又∵x<0，y<0，∴θ＝.∴M 的球坐标为.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，π4 8．在球坐标系中，方程r ＝1表示________，方程φ＝表示空间的________．解析：数形结合，根据球坐标的定义判断形状．答案：球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥面三、解答题9．如图，请你说出点M 的球坐标．解：由球坐标的定义，记|OM|＝R ，OM 与z 轴正向所夹的角为φ.设M 在xOy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点M 的位置就可以用有序数组(R ，θ，φ)表示．∴M 点的球坐标为M(R ，θ，φ)．10．已知点P 的球坐标为，求它的直角坐标．解：根据坐标变换公式⎩⎨⎧ x ＝rsin φcos θ，y ＝rsin φsin θ，z ＝rcos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2sin 3π4cos 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－62，y ＝2sin 3π4sin 7π6＝2·22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－22，z ＝2·cos 3π4＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，∴点P 的直角坐标为. 11．如图，建立球坐标系，正四面体ABCD 的棱长为1，求A ，B ，C ，D 的球坐标．(其中O 是△BCD 的中心)解：O 是△BCD 的中心，则OC ＝OD ＝OB ＝，AO ＝.∴C ，D ，B，A.[对应学生用书P19][对应学生用书P19]1的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x 轴，y 轴(坐标原点)．2．坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．[例1] 线段AB 与CD 互相垂直且平分于点O ，|AB|＝2a ，|CD|＝2b ，动点P 满足|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|，求动点P 的轨迹方程．[解] 以AB 的中点O 为原点，直线AB 为x 轴建立直角坐标系，如图所示．设P(x ，y)，则A(－a,0)，B(a,0)，C(0，－b)，D(0，b)，由题设，知|PA|·|PB|＝|PC|·|PD|.∴ ·错误!＝ ·.化简得x2－y2＝，∴动点P 的轨迹方程为x2－y2＝.设点点P(X ，Y)对应点P′(x′，y′)，称这种变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．[例2] 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C 变为曲线(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将代入(X －5)2＋(Y ＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋(y ＋3)2＝. 该曲线是以为圆心，为半径的圆.1F(ρ，θ)＝0.如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．2．平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处．一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．3．求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，其在极坐标中仍然适用．注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ，θ的关系．[例3] △ABC的底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．[解] 如图，令A(ρ，θ)．△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，又|BC|＝10，|AB|＝ρ，所以由正弦定理，得＝.化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.1x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．2．互化公式为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ3．直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．[例4] 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；(3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ，得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.它是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，即x2＋y2＝9x＋9y，又可化为2＋2＝.它是以为圆心，以为半径的圆．(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.它是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5.它是一条直线.1M0，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点M0在平面xOy上的极坐标．这时点M的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点M的柱坐标．2．球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设M是空间任意一点，连接OM，记|OM|＝r，OM与Oz轴正向所夹的角为φ，设M在xOy平面上的射影为M0.Ox轴按逆时针方向旋转到OM0时，所转过的最小正角为θ，则M(r，θ，φ)为M点的球坐标．[例5] 在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．[解] 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1,0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，如图所示，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V＝Sh ＝πr2h ＝2π.[例6] 如图，长方体OABC —D′A′B′C′中，OA ＝OC ＝a ，BB′＝OA ，对角线OB′与BD′相交于点P ，顶点O 为坐标原点，OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，而|OP|＝a ，∠D′OP＝∠OB′B，tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，θ＝∠AOB＝.∴点P 的球坐标为.[对应学生用书P21]一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1，)，则点M 的极坐标为( )A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3C.D.，k∈Z解析：选C ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.又∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝－12，sin θ＝32.∴θ＝π＋2k π，k ∈Z.即点M 的极坐标为，k∈Z.2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1解析：选 C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.4．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最近距离等于( )A.－1B.－1C．1 D.2解析：选A 将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0,1)，则P到Q的最短距离为点Q与圆心的距离减去半径，即－1.二、填空题5．极坐标方程5ρ2cos2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为________________．解析：原方程化为直角坐标方程为－＝1，∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．答案：(，0)，(，π)6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．解析：x＝6·sin·cos ＝3，y＝6sinsin＝3，z＝6cos＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．答案：(3,3，0)7．在极坐标系中，若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A，B两点，则|AB|＝________.解析：过点(3,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.答案：238．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，故切线长为＝＝2.答案：23三、解答题9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换．解：设变换为将其代入方程X2＋Y2＝1，得a2x2＋b2y2＝1.又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1，∴又∵a>0，b>0，∴a＝，b＝.∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线X2＋Y2＝1的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧ X ＝13x ，Y ＝12y.10．已知A ，B 两点的极坐标分别是，，求A ，B 两点间的距离和△AOB 的面积．解：求两点间的距离可用如下公式：|AB|＝＝＝2.S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝2×4×sin＝×2×4＝4.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足＝，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C 上任意一点．在△OCM 中，可知|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM ＝.根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos .化简整理，得ρ2－6·ρcos ＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos ＋8＝0.①设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ， 又θ1＝θ，所以⎩⎨⎧ ρ1＝25ρ，θ1＝θ.代入①得ρ2－6·ρcos ＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos ＋50＝0为P 点的轨迹方程．。
2017-2018学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案
2017-2018学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案目录第一章1.1 1.1.1相似三角形判定定理第一章1.1 1.1.2相似三角形的性质第一章1.1 1.1.3平行截割定理第一章1.1 1.1.4锐角三角函数与射影定理第一章1.2 1.2.1圆的切线第一章1.2 1.2.2圆周角定理第一章1.2 1.2.3弦切角定理第一章1.3 1.3.1圆幂定理第一章1.3 1.3.2圆内接四边形的性质与判定第一章章末小结第二章2.1 平行投影与圆柱面的平面截线第二章2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质第二章章末小结_1.1相似三角形1．1.1相似三角形判定定理[对应学生用书P1][读教材·填要点]1．相似三角形的定义及相关概念如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形．设相似三角形对应边的比值为k，则k叫做相似比(或相似系数)．2．相似三角形判定定理(1)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似．(2)判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．(3)判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．[小问题·大思维]1．两个三角形“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系？提示：两个三角形全等是两个三角形相似的一种特殊情况．相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，当两个相似三角形的相似比为1时，两个三角形全等．2．如果两个三角形的两边对应成比例，且有一角相等，那么这两个三角形相似吗？提示：不一定．只有当这个角是对应成比例的两边的夹角时，这两个三角形才相似．[对应学生用书P1][例1]如图，若O是△ABC内任一点，D，E，F分别是OA，OB，OC的靠近O的三等分点．求证：△DEF∽△ABC.[思路点拨]本题考查相似三角形判定定理2的应用．解答此题需要根据已知条件，寻找三角形相似的条件．利用三等分点找出对应边成比例即可．[精解详析] ∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 靠近点O 的三等分点，∴DE ＝13AB ，EF＝13BC ，FD ＝13CA . ∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝13. 由三角形相似的判定定理得△DEF ∽△ABC .在相似三角形的判定中，应用最多的是判定定理1，因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2、3则常见于连续两次证明相似时，在第二次使用的情况较多．1．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证： (1)△BPE ∽△CPF ； (2)△EFP ∽△BCP .证明：(1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ， ∴∠BFC ＝∠CEB . 又∵∠CPF ＝∠BPE ， ∴△CPF ∽△BPE .(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ， ∴EP BP ＝FP CP. 又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .[例2] 如图所示，∠ABC ＝∠CDB ＝90°，AC ＝a ，BC ＝b ，求当BD 与a ，b 之间满足怎样的关系时，△ABC 与△CDB 相似？[思路点拨] 由于△ABC 与△CDB 相似且都是直角三角形，因此，只要对应边成比例即可．而斜边肯定是三角形的最大边，所以AC 一定与BC 对应，这里要注意分类讨论的运用．[精解详析] ∵∠ABC ＝∠CDB ＝90°，斜边AC 与BC 为对应边，以下分两种情况讨论． ①当AC BC ＝BC BD 时，△ABC ∽△CDB ，即a b ＝b BD .∴BD ＝b 2a时，△ABC ∽△CDB .②当AC BC ＝AB BD 时，△ABC ∽△BDC ，即ab ＝a 2－b 2BD.∴当BD ＝b a 2－b 2a 时，△ABC ∽△BDC .故当BD ＝b 2a 或BD ＝b a 2－b 2a 时，△ABC 与△CDB 相似．(1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的应用． (2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．2．如图，BD 、CE 是△ABC 的高． 求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵BD 、CE 是△ABC 的高， ∴∠AEC ＝∠ADB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△AEC ∽△ADB . ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC .[例3] 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，CF ∥BA ，BF 交AD 于点P ，交AC 于点E .求证：BP 2＝PE ·PF .[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及其应用，解答本题需要注意AD 是等腰△ABC 底边上的高，所以PB ＝PC ，从而将所求证的结论转化为PC 2＝PE ·PF .进而可以证明△PCE ∽△PFC 来解决问题．[精解详析] 连接PC ，在△ABC 中， 因为AB ＝AC ，D 为BC 中点， 所以AD 垂直平分BC .所以PB ＝PC ，∠1＝∠2. 因为AB ＝AC ， 所以∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ABC －∠1＝∠ACB －∠2， 即∠3＝∠4. 因为CF ∥AB ，所以∠3＝∠F ，所以∠4＝∠F . 又因为∠EPC ＝∠CPF ， 所以△PCE ∽△PFC ，所以PC PE ＝PFPC ，所以PC 2＝PE ·PF .因为PC ＝PB ， 所以PB 2＝PE ·PF.(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．(2)要说明线段的乘积式ab ＝cd ，或平方式a 2＝bc ，一般都是证明比例式a c ＝d b 或b a ＝a c ，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．3．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，当△ADP 与△QCP 相似时，求BQ 的值．解：由题知∠D ＝∠C ＝90°， ①当△ADP ∽△PCQ 时，AD PC ＝DP CQ ，∴112＝12CQ ，∴CQ ＝14，∴BQ ＝1－14＝34. ②当△ADP ∽△QCP 时，AD QC ＝DP CP ，∴1QC ＝1212，∴CQ ＝1，∴BQ ＝0.综上可知，当△ADP 与△QCP 相似时，BQ ＝0或34.[对应学生用书P3]一、选择题1．如图，锐角三角形ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴△ODB，△ABE，△ADC，△OCE都是直角三角形．又∵∠DBO＝∠EBA，∠A＝∠A，∠DOB＝∠EOC，∴△ODB∽△AEB∽△ADC，△ODB∽△OEC.∴与△ODB相似的三角形有3个．答案：C2．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，图形中共有x个三角形与△ABC相似，则x 的值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知，△ACD与△CBD与△ABC相似，故x＝2.答案：B3．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．答案：D4．如图所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是()A．△DAB∽△OCAB．△OAB∽△ODAC．△BAC∽△BDAD．△OAC∽△ABD解析：设OA＝OB＝BC＝CD＝a，则AB＝2a，BD＝2a.∴AB BD ＝22，BC AB ＝a 2a ＝22. ∴AB BD ＝BCAB，且∠ABC ＝∠DBA . ∴△BAC ∽△BDA . 答案：C 二、填空题5．如图，已知△ABC ，△DEF 均为正三角形，D ，E 分别在AB ，BC 上，与△DBE 相似的三角形的个数为________．解析：在△DBE 与△ECH 中， ∵∠B ＝∠C ＝60°，∠BDE ＋∠BED ＝120°，∠BED ＋∠CEH ＝120°， ∴∠BDE ＝∠CEH .∴△DBE ∽△ECH .同理可证△ADG 和△FHG 也都和△BED 相似． 答案：36．如图所示，在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，那么CD ＝________.解析：先根据已知条件和隐含条件证明△ABC ∽△DAC .再根据相似建立比例式，根据给出的线段易求出未知线段．答案：47．如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.解析：∵∠ACD ＝∠AEB ＝90°，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC .又AC ＝4，AD ＝12，AB ＝6，∴AE ＝AB ·AC AD ＝6×412＝2.答案：28．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：∵DE ∥BC ，EF ∥CD ， ∴∠FDE ＝∠DBC ，∠DFE ＝∠BDC . ∴△FDE ∽△DBC ∴FD DB ＝DE BC ，即BD ＝32.由AE AC ＝DE BC ＝23，得AE EC ＝2＝AFFD. ∴AF ＝2，AB ＝92.答案：92三、解答题9．如图，已知：D 是△ABC 内的一点，在△ABC 外取一点E ，使∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD .求证：△ABC ∽△DBE . 证明：∵∠CBE ＝∠ABD ， ∠BCE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△CBE ，∠ABC ＝∠DBE . ∴AB BC ＝BD BE ，即AB BD ＝BCBE，∴△ABC ∽△DBE . 10．如图，已知▱ABCD 中，G 是DC 延长线上一点，AG 分别交BD 和BC 于E ，F 两点．证明：AF ·AD ＝AG ·BF .证明：因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AB ∥DC ，AD ∥BC .所以△ABF ∽△GCF ，△GCF ∽△GDA . 所以△ABF ∽△GDA . 从而有AF AG ＝BF AD， 即AF ·AD ＝AG ·BF .11．如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α.且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ，(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM . 以下证明：△AMF ∽△BGM .∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ， ∴△AMF ∽△BGM .(2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC . ∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝2 2. 又∴△AMF ∽△BGM ， ∴AF AM ＝BMBG. ∴BG ＝AM ·BM AF ＝22×223＝83.又AC ＝BC ＝42×sin 45°＝4， ∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1.∴FG ＝CF 2＋CG 2＝1＋⎝⎛⎭⎫432＝53.1．1.2 相似三角形的性质[对应学生用书P4][读教材·填要点]相似三角形的性质定理(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比． (2)性质定理2：相似三角形面积的比等于相似比的平方．[小问题·大思维]1．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比有什么关系？ 提示：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比之间又有什么关系？ 提示：相似三角形内切圆的直径比、周长比等于相似比，内切圆的面积比等于相似比的平方．[对应学生用书P5][例1] 如图，梯形ABCD ，AB ∥CD ，E 是对角线AC 和BD 的交点，S △DEC ∶S △DBC ＝1∶3，求：S △DECS △ABD的值．[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的应用．解答本题需要利用相似三角形的性质求得DEBE 之比，进而求得S △ABE S △ABD 的值，最后求得S △DEC S △ABD的值．[精解详析] ∵S △DEC ∶S △DBC ＝1∶3， ∴DE ∶DB ＝1∶3，即DE ∶EB ＝1∶2. 又∵DC ∥AB ， ∴△DEC ∽△BEA . ∴S △DEC ∶S △BEA ＝1∶4.又∵DE ∶EB ＝CE ∶EA ＝1∶2， ∴S △DEC ∶S △DEA ＝1∶2. ∴S △DEC ∶S △ABD ＝1∶6.S△ABD6相似三角形的性质把相似三角形对应边上的高、中线，以及周长、面积都与相似三角形的对应边的比(相似比)联系起来，利用相似三角形的性质可得到线段的比例，线段的平方比或角相等，有时还可用来计算三角形的面积、周长和边长．1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AD∶A′D′＝7∶3，下面给出四个结论：①BC∶B′C′＝7∶3；②△ABC的周长与△A′B′C′的周长之比为7∶3；③△ABC与△A′B′C′的对应高之比为7∶3；④△ABC与△A′B′C′的对应中线之比为7∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：由相似三角形的性质知4个命题均正确，故选D.答案：D[例2]如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个矩形零件的边长．[思路点拨]本题考查相似三角形性质的应用．解答本题需要设出所求矩形零件的某一边长，然后借助△AEH∽△ABC求解．[精解详析]设矩形EFGH为加工成的矩形零件，边FG在BC上，则点E、H分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边EH相交于点P，设矩形的边EH的长为x mm.因为EH∥BC，所以△AEH∽△ABC.AD BC 所以300－2x 300＝x 200，解得x ＝6007(mm)，2x ＝1 2007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007 mm 和1 2007mm.将实际问题转化为平面几何问题是解决此题的关键，要注意相似三角形的性质在实际问题中的作用．2．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ，已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE . ∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ， ∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△ADE .(2)由(1)得△ABC ∽△ADE ， ∴AC AE ＝BCDE. ∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20 m ，BC ＝1.6 m. ∴220＝1.6DE ， ∴DE ＝16 m.答：古塔的高度为16 m.[例3] 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝3，点P 是AD 边上的一动点(P 异于A 、D )，Q 是BC 边上的任意一点．连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F .(1)求证：△APE ∽△ADQ ；(2)设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？(3)当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？(必须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明)[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及性质的综合应用．解答问题(1)只需证明△APE 和△ADQ 中有两个角对应相等即可；解答问题(2)要注意△ADQ 的面积为定值，且S △PEF ＝12(S △ADQ －S △APE －S △PDF )；解答问题(3)可作点A 关于直线BC 的对称点A ′，利用三点共线解决．[精解详析] (1)证明：因为PE ∥DQ ， 所以∠APE ＝∠ADQ ，∠AEP ＝∠AQD ， 所以△APE ∽△ADQ .(2)因为△APE ∽△ADQ ，所以S △APE S △ADQ ＝⎝⎛⎭⎫AP AD 2.因为AD ∥BC ，所以△ADQ 的高等于AB . 所以S △ADQ ＝3.所以S △APE ＝13x 2.同理，由PF ∥AQ ，可证得△PDF ∽△ADQ ， 所以S △PDF S △ADQ ＝⎝⎛⎭⎫PD AD 2.因为PD ＝3－x ，所以S △PDF ＝13(3－x )2.因为PE ∥DQ ，PF ∥AQ ， 所以四边形PEQF 是平行四边形． 所以S △PEF ＝12S ▱PEQF＝12(S △ADQ －S △APE －S △PDF ) ＝－13x 2＋x ＝－13⎝⎛⎭⎫x －322＋34. 所以当x ＝32时，即P 是AD 的中点时，S △PEF 取得最大值，最大值为34.(3)作A 关于直线BC 的对称点A ′，连接DA ′交BC 于Q ，则这个Q 点就是使△ADQ 周长最小的点，此时Q 是BC 的中点．在三角形中有平行于一边的直线时，通常考虑三角形相似，利用比值获得线段的长或三角形的面积．3．如图(1)，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，点M 在对角线AC 上，AM ＝14AC ，直线l 过点M 且与AC 垂直，与边AD 相交于点E .(1)如果AD ＝3，求证点B 在直线l 上；(2)如图(2)，如果直线l 与边BC 相交于点H ，直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD 的长；(3)如果直线l 分别与边AD ，AB 相交于E ，G .当直线l 把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE 的长是多少？ 解：(1)证明：连接BD ，交AC 于O 点， ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝12AC .∵AM ＝14AC ，∴AM ＝OM .在Rt △ABD 中，AB ＝1，AD ＝3， ∴BD ＝AB 2＋AD 2＝2. ∴BO ＝OA ＝AB ＝1，∴△AOB 是等边三角形，又AM ＝OM ， ∴BM ⊥AO ，∴点B 在直线l 上．(2)设AD ＝a ，则AC ＝1＋a 2.∵∠EAM ＝∠CAD ，∠AME ＝∠D ＝90°，∴△AEM ∽△ACD ，∴AE AC ＝AMAD .又AM ＝14AC ＝141＋a 2，∴AE ＝AC ·AM AD ＝1＋a24a.由AE ∥HC ，得△AEM ∽△CHM ， ∴AE HC ＝AM MC ＝13，∴HC ＝3AE . 又BH ＝BC －HC ＝a －3(1＋a 2)4a ＝a 2－34a ，而S 梯形ABHE ＝12(AE ＋BH )·AB＝12(1＋a 24a ＋a 2－34a )·1＝a 2－14a. ∵S 梯形ABHE ∶S 梯形EHCD ＝2∶7， ∴S 梯形ABHE ＝29S 矩形ABCD ＝29a ，∴a 2－14a ＝29a ，解得a ＝3，即AD ＝3.(3)如图，设l 分别交AD 、AC 、AB 于E 、M 、G 三点， 则有△AEG ∽△DCA ， ∴AG AD ＝AE DC. ∵DC ＝1，∴AE ＝AGAD.∵S △AEG ＝12AE ·AG ，S △AEG S 多边形EGBCD ＝16，∴S △AEG S 矩形ABCD ＝17.∴12AE ·AG AD ·DC ＝17，即AE ·AG AD ＝27. ∴AE 2＝27，AE ＝147.[对应学生用书P7]一、选择题1．在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，如果△ABC 的周长是16，面积是12，那么△DEF 的周长、面积依次为( )A ．8,3B ．8,6C ．4,3D ．4,6解析：∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ，且相似比为2. ∵△ABC 的周长是16，面积是12， ∴△DEF 的周长是8，面积是3. 答案：A2．如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD＝( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：∵EF ∥BC ，∴EF BC ＝AFAC ，又∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝CFAC ，∴EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋CF AC ＝AC AC＝1. 答案：A3．如图所示，已知在△ABC 中，∠C ＝90°，正方形DEFG 内接于△ABC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AC ＝1，BC ＝2，则AF ∶FC 等于( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶2D ．2∶3解析：设正方形边长为x ，则由△AFE ∽△ACB ， 可得AF ∶AC ＝FE ∶CB ，即x 2＝1－x 1.所以x ＝23，于是AF FC ＝12.答案：C4．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE与四边形DBCE 的面积比是( )A.23B ．25C.45 D ．49解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：C 二、填空题5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，直线EF ∥BD ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F .若S △AEG ＝13S 四边形EGCB ，则CFAD＝________.解析：∵S △AEG ＝13S 四边形EGCB ，∴S △AEG S △ABC ＝14. 由相似三角形的性质定理，得AE AB ＝12，∴E 为AB 的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G 为AC 的中点． ∵EF ∥BC ，AC ⊥BC ，∴FG ⊥AC .又点G 为AC 的中点， ∴FG 为AC 的中垂线．∴FC ＝F A .∵EF ∥BD ，E 为AB 的中点，∴F 为AD 的中点， ∴CF AD ＝AF AD ＝12. 答案：126．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．解析：∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE . ∴BF ∶AE ＝BG ∶GA ＝3∶1. ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝ADDC ＝1.∴AE ＝CF .∴BC ∶AE ＝2∶1，∵BC ＝10，∴AE ＝5. 答案：57．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________.解析：由CD ∥AE ，得△CDF ∽△AEF ， 于是△CDF 的面积△AEF 的面积＝⎝⎛⎭⎫CD AE 2＝⎝⎛⎭⎫AB AE 2＝9.答案：98．△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上，则这个正方形的边长为________ cm.解析：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件，边QM 在BC 上，顶点P ，N 分别在AB ，AC 上，△ABC 的高AD 与边PN 相交于点E ，设正方形的边长为x cm.∵PN ∥BC ， ∴△APN ∽△ABC . ∴AE AD ＝PNBC ，∴8－x 8＝x 12. 解得x ＝4.8.即加工成的正方形零件的边长为4.8 cm. 答案：4.8 三、解答题9．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE 的延长线交BC 于F ，求S △BEFS 四边形DEFC的值．解：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ， 因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ， 所以S △BEF S BDM ＝19，即S △BDM ＝9S △BEF ，因为D 为AC 的中心，且AF ∥DM ，则M 为FC 的中点． 所以S △DMC S △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ， 因此S △BEF S 四边形DEFC ＝114.10．有一块三角形铁片ABC ，已知最长边BC ＝12 cm ，高AD ＝8 cm ，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？解：本题有图(1)和图(2)两种情况．如图(1)，矩形的长EF 在BC 上，G 、H 分别在AC 、AB 上，高AD 交GH 于K ， 设矩形的宽为x cm ，则长为2x cm. 由HG ∥BC ，得△AHG ∽△ABC . 得AK ∶AD ＝HG ∶BC ，所以(8－x )∶8＝2x ∶12，即x ＝247(cm)．则S 矩形EFGH ＝2x 2＝115249(cm 2)．如图(2)，矩形的宽MN 在BC 上，类似地可求得 S 矩形MNPQ ＝18(cm 2)．即加工成的铁片的面积为115249cm 2或18 cm 2.11．如图所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE )．(1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由． (2)设ABBC＝k ，是否存在这样的k 值，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，说明理由．解：(1)相似．在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥EC ，A 、D 、E 共线， ∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°. 又∵∠DCE ＋∠DEC ＝90°， ∴∠AEF ＝∠DCE .∴△AEF ∽△DCE ，∴EF EC ＝AF DE .∵AE ＝DE ，∴EF EC ＝AF AE. 又∵∠A ＝∠FEC ＝90°， ∴△AEF ∽△ECF .(2)存在，由于∠AEF ＝90°－∠AFE <180°－∠CFE －∠AFE ＝∠BFC ， ∴只能是△AEF ∽△BCF ，∠AEF ＝∠BCF . 由(1)知∠AEF ＝∠DCE ＝∠ECF ＝∠FCB ＝30°. ∴AB BC ＝CD BC ＝CD 2DE ＝32，即k ＝32. 反过来，在k ＝32时，DE CD ＝13，∠DCE ＝30°， ∠AEF ＝∠DCE ＝30°， ∠ECF ＝∠AEF ＝30°，∠BCF ＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF . ∴△AEF ∽△BCF .1．1.3 平行截割定理[对应学生用书P8][读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例． (2)符号语言表示：如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AB BC ＝DEEF.2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：如图，若l 1∥l 2∥l 3，则AD AB ＝AE AC ＝DEBC.[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m ，n 应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m 、n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a 、b 、c 都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？ 提示：仍然成立．[对应学生用书P9][例1] 已知：如图，l1∥l 2∥l 3， AB BC ＝m n. 求证：DE DF ＝m m ＋n.[思路点拨] 本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得DEEF ＝AB BC ，然后利用比例的有关性质求出DEDF 即可． [精解详析] ∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DE EF ＝mn. ∴EF DE ＝n m ，EF ＋DE DE ＝n ＋m m ， 即DF DE ＝m ＋n m ，∴DE DF ＝m m ＋n.解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有： (1)比例的基本性质： a b ＝cd(bd ≠0)⇔ad ＝bc ； a b ＝bc(bc ≠0)⇔b 2＝ac ； a b ＝c d (abcd ≠0)⇔b a ＝d c. (2)合分比性质：如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±d d.(3)等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝mn (bd …n ≠0，b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.1．如图，已知在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC 交BC于D .求证：1AD ＝1AB ＋1AC. 证明：过D 点作DE ∥AB 交AC 于E 点，∵∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ， ∴∠DAE ＝60°，∠BAD ＝60°.∵DE ∥AB ，∴∠ADE ＝60°， ∴AD ＝DE ＝AE ， ∴AD AB ＝DE AB ＝CEAC. ∴AD AB ＋AD AC ＝CE AC ＋AD AC ＝CE AC ＋AE AC . ∵CE AC ＋AE AC ＝AC AC ＝1，∴AD AB ＋AD AC ＝1. ∴1AB ＋1AC ＝1AD.[例2] 如图所示，已知直线l 截△ABC 三边所在的直线分别于E ，F ，D 三点，且AD＝BE .求证：EF ·CB ＝FD ·CA .[思路点拨] 借助平行线分线段成比例定理即可证得．[精解详析] 法一：如图1，过D 作DK ∥AB 交EC 于点K ，则EF FD ＝EB BK ，CA AD ＝BC BK ，即CA BC ＝AD BK. ∵AD ＝BE ， ∴CA BC ＝BE BK ，∴EF FD ＝CA CB. 即EF ·CB ＝FD ·CA .图1法二：如图2，过E 作EP ∥AB ，交CA 的延长线于点P . ∵AB ∥EP ， ∴CB BE ＝CA AP ，即CA CB ＝AP BE. 在△DPE 中，∵AF ∥PE ， ∴EF FD ＝AP AD. ∵AD ＝BE ，∴CA CB ＝EFFD.∴EF ·CB ＝FD ·CA .图2法三：如图3，过D 作DN ∥BC ，交AB 于N . ∵ND ∥EB ，∴EB DN ＝EFDF ，∵DN ∥BC ，∴BC DN ＝CAAD ，即CA CB ＝AD DN. ∵AD ＝EB ，∴EF FD ＝CACB，即EF ·CB ＝FD ·CA .图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到CA CB 与EFFD的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．2.如图所示，已知直线FD 和△ABC 的BC 边交于D ，与AC 边交于E ，与BA 的延长线交于F ，且BD ＝DC ，求证：AE ·FB ＝EC ·F A .证明：过A 作AG ∥BC ，交DF 于G 点． ∵AG ∥BD ，∴F A FB ＝AG BD .又∵BD ＝DC ，∴F A FB ＝AG DC. ∵AG ∥DC ，∴AG DC ＝AEEC .∴AE EC ＝F AFB，即AE ·FB ＝EC ·F A .[例3] 如图，已知▱ABCD 中，延长AB 到E ，使BE ＝12AB ，连接ED交BC 、AC 于F 、G .求EF ∶FG ∶GD 的值．[思路点拨] 本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF ∶FG ，EF ∶GD 的比值，进而求出EF ∶FG ∶GD 的值．[精解详析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC . ∵BE ＝12AB ，∴EF ED ＝BE AE ＝13＝BF AD. 设EF ＝k ，ED ＝3k ，∴FD ＝2k . ∵BC ∥AD ，∴FG GD ＝FC AD ＝23.∴FG FD ＝25，∴FG ＝45k ，GD ＝65k ， ∴EF ∶FG ∶GD ＝k ∶45k ∶65k ，即EF ∶FG ∶GD ＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k ，然后用所设的参数k 表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k 即可得到所求结论．3.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE ＝________.解析：设DE ＝x ，∵DE ∥AC ，EF ∥BC ， ∴BE 15＝x x ＋4，解得BE ＝15x x ＋4. ∴BD DC ＝BE EA ＝BE 15－BE ＝x 4. 又∵AD 平分∠BAC ， ∴BD DC ＝BA AC ＝15x ＋4＝x 4， 解得x ＝6. 答案：6[对应学生用书P11]一、选择题1．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF ，BE 相交于O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO 的长为( )A.103 cm B ．5 cm C.52cm D ．3 cm解析：∵CD ∥EF ，OD ＝DF ， ∴C 为OE 中点，∴OC ＝CE .∵AB ∥CD ，AO ＝OD ，∴O 为BC 中点， ∴BO ＝OC ，∴OB ＝13BE ＝103 cm.答案：A2．如图，AD 是△ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点，BE 交AD 于点F ，则AF ∶FD 为( )A ．2∶1B ．3∶1C ．4∶1D ．5∶1 解析：要求AF ∶FD 的比，需要添加平行线寻找与之相等的比． 过D 作DG ∥AC 交BE 于G ，如图，因为D 是BC 的中点， 所以DG ＝12EC ，又AE ＝2EC ，故AF ∶FD ＝AE ∶DG ＝2EC ∶12EC ＝4∶1.答案：C3.如图，梯形ABCD 中，E 是DC 延长线上一点，AE 交BD 于G ，交BC于F ，下列结论：①EC CD ＝EF AF ；②FG AG ＝BG GD ；③AE AG ＝BD DG ； ④AF CD ＝AEDE，其中正确的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：∵BC ∥AD ，∴EC CD ＝EF AF ，FG AG ＝BGGD，∴①、②正确．由BC ∥AD 得AF EF ＝CDCE ，∴AF AF ＋EF ＝CDCD ＋CE.即AF AE ＝CD DE ，即AF CD ＝AEDE，∴④正确． 答案：C4．如图，已知P 、Q 分别在BC 和AC 上，BP CP ＝25，CQ QA ＝34，则ARRP＝( )A ．3∶14B ．14∶3C ．17∶3D ．17∶14解析：过点P 作PM ∥AC ， 交BQ 于M ， 则AR RP ＝AQPM.∵PM ∥AC 且BP CP ＝25， ∴QC PM ＝BC BP ＝72. 又∵CQ QA ＝34，∴AQ PM ＝QC PM ·AQ QC ＝72×43＝143. 即AR RP ＝143. 答案：B 二、填空题5．如图，AB ∥EM ∥DC .AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为________．解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点． EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm.∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：24 cm6．如图，▱ABCD 中，N 是AB 延长线上一点，BC BM －ABBN 的值为________．解析：∵AD ∥BM ，∴AB BN ＝DMMN .又∵DC ∥AN ，∴DM MN ＝MCMB ，∴DM ＋MN MN ＝MC ＋MB MB ，即DN MN ＝BCBM . ∴BC BM －AB BN ＝DN MN －DM MN ＝MN MN＝1. 答案：17.如图所示，l 1∥l 2∥l 3，若CH ＝4.5 cm ，AG ＝3 cm ，BG ＝5 cm ，EF ＝12.9 cm ，则DH ＝________，EK ＝________.解析：由l 1∥l 2∥l 3，可得DH CH ＝BGAG ，所以DH ＝BG ·CH AG ＝5×4.53＝7.5 (cm)，同理可得EK 的长度． 答案：7.5 cm 34.4 cm8.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ∶BC ＝a ∶b .中位线EF ＝m ，则MN 的长是________．解析：易知EF ＝12(AD ＋BC )，EM ＝FN ＝12AD .又AD ∶BC ＝a ∶b ，设AD ＝ak ，则BC ＝bk . ∵EF ＝12(AD ＋BC )，∴m ＝k 2(a ＋b )，∴k ＝2m a ＋b.∴MN ＝EF －EM －NF ＝m －12ak －12ak＝m －ak ＝m (b －a )a ＋b .答案：m (b －a )a ＋b三、解答题9．如图，M 是▱ABCD 的边AB 的中点，直线l 过M 分别交AD 、AC 于E 、F ，交CB 的延长线于N .若AE ＝2，AD ＝6.求：AF ∶AC 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴AF FC ＝AE NC ，∴AF AF ＋FC ＝AE AE ＋NC. ∵AM ＝MB ， ∴AE BN ＝AMMB＝1，∴AE ＝BN . ∴AF AC ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6，∴AF AC ＝22×2＋6＝15. 即AF ∶AC ＝1∶5.10．如图，在▱ABCD 中，E 和F 分别是边BC 和AD 的中点，BF 和DE 分别交AC 于P ，Q 两点．求证：AP ＝PQ ＝QC .证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，E ，F 分别是BC ，AD 边上的中点， ∴DF 綊BE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． ∵在△ADQ 中，F 是AD 的中点，FP ∥DQ ， ∴P 是AQ 的中点，∴AP ＝PQ .∵在△CPB 中，E 是BC 的中点，EQ ∥BP ， ∴Q 是CP 的中点，∴CQ ＝PQ . ∴AP ＝PQ ＝QC .11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF ∥AD . (1)求证：OE ＝OF ； (2)求OE AD ＋OEBC的值； (3)求证：1AD ＋1BC ＝2EF.解：(1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ， ∴EF ∥AD ∥BC .∵EF ∥BC ，∴OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DFDC .∵EF ∥AD ∥BC ，∴AE AB ＝DFDC .∴OE BC ＝OFBC，∴OE ＝OF . (2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BEAB .由(1)知OE BC ＝AEAB ，∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB＝1. (3)证明：由(2)知OE AD ＋OEBC ＝1，∴2OE AD ＋2OEBC ＝2.又EF ＝2OE ， ∴EF AD ＋EFBC ＝2， ∴1AD ＋1BC ＝2EF.1．1.4 锐角三角函数与射影定理[对应学生用书P12][读教材·填要点]1．锐角三角函数的定义含有相等锐角α的所有直角三角形都相似，锐角三角函数(或三角比)为： sin α＝α的对边斜边，cos α＝α的邻边斜边，tan α＝对边邻边.2．射影定理(1)定理的内容：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．(2)符号语言表示：如图若CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则：①AC2＝AD·AB②BC2＝BD·AB③CD2＝AD·BD[小问题·大思维]1．线段的正射影还是线段吗？提示：不一定．当该线段所在的直线与已知直线垂直时，线段的正射影为一个点．2．如何用勾股定理证明射影定理？提示：如图，在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，∴(AD＋DB)2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2·AD·DB＋DB2＝AC2＋BC2，即2AD·DB＝AC2－AD2＋BC2－DB2.∵AC2－AD2＝CD2，BC2－DB2＝CD2，∴2AD·DB＝2CD2，即CD2＝AD·DB.在Rt△ACD中，AC2＝AD2＋CD2＝AD2＋AD·DB＝AD(AD＋DB)＝AD·AB，即AC2＝AD·AB.在Rt△BCD中，BC2＝CD2＋BD2＝AD·DB＋BD2＝BD(AD＋DB)＝BD·AB，即BC2＝BD·AB.[对应学生用书P13][例1] 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，已知BD ＝4，AB ＝29，试求BC ，AC 和CD 的长度．[思路点拨] 本题考查射影定理与勾股定理的应用．解答本题可由已知条件先求出AD ，然后利用射影定理求BC ，AC 和CD 的长度．[精解详析] ∵BD ＝4，AB ＝29，∴AD ＝25. 由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝25×4＝100， ∴CD ＝10.BC 2＝BD ·BA ＝4×29. ∴BC ＝229.AC 2＝AD ·AB ＝25×29，∴AC ＝529.运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，不具备时可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理．1．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ， 又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2，CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13[例2] 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F .求证：DF AF ＝AE EC.[思路点拨] 本题考查射影定理的应用，利用三角形的内角平分线定理及射影定理可证得．[精解详析] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC ，②在Rt △ABC 中，由射影定理知， AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC.③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类问题时，一定要注意对图形进行剖析．2．如图，AD 、BE 是△ABC 的高，DF ⊥AB 于F ，交BE 于G ，FD 的延长线交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝FG ·FH . 证明：∵BE ⊥AC ， ∴∠ABE ＋∠BAE ＝90°. 同理，∠H ＋∠HAF ＝90°∴∠ABE ＝∠H .又∠BFG ＝∠HF A ， ∴△BFG ∽△HF A . ∴BF ∶HF ＝FG ∶AF . ∴BF ·AF ＝FG ·FH .Rt △ADB 中，DF 2＝BF ·AF ， ∴DF 2＝FG ·FH .[对应学生用书P14]一、选择题1．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC 等于( )A.53B.213C.523 D ．13解析：由射影定理知， CD 2＝BD ·AD ，∴AD ＝43.∴AB ＝AD ＋BD ＝133.∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529.∴AC ＝523. 答案：C2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的值是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t . 又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 答案：B3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD ＝( )A.34 B ．43C.169D ．916解析：如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC . ∴AC 2AB 2＝CD BD ＝⎝⎛⎭⎫342.即CD BD ＝916. ∴BD CD ＝169. 答案：C4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 周长的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定解析：如图，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得，CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD.又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD . 又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)， ∴CD 2＝6x 2.∴CD ＝6x .∴△ACD 与△CBD 周长的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63，即相似比为6∶3. 答案：C 二、填空题5．如果两条直角边在斜边上的射影分别是4和16，则此直角三角形的面积是________． 解析：由题意知，直角三角形斜边长为20，根据射影定理知，斜边上的高为4×16＝8，所以直角三角形的面积为12×20×8＝80.答案：806．已知：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，则AD 的长是________．解析：∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，∴AB ＝5(cm)． ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)． 答案：2 cm7．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析：连接DE ，可知△AED 为直角三角形，则EF 是Rt △DEA 斜边上的中线，其长等于斜边长的一半，为a2.答案：a 28．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C 作CE ⊥AB 于E .。
人教B版高中数学选修4-1导学案：第一章 平面几何选讲
§1.1相似三角形学习目标1、理解相似三角形的判定定理与性质定理，并会利用定理解决三角形边的比例关系；2、理解相似三角形的性质定理，并会应用该定理；学习过程【任务一】知识准备相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理：预备定理：_____于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理 1：_____对应相等，两三角形相似． 判定定理 2：__________________的两个三角形相似． 判定定理 3：_____对应成比例且_____相等，两三角形相似． 判定定理 4：两直角三角形有一个______对应相等，则它们相似． 判定定理 5：两直角三角形的_________对应成比例，则它们相似．判定定理 6：如果一个直角三角形的_____和___________与另一个直角三角形的_____和____________对应成比例，则它们相似． (2)相似三角形的性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于________； ②相似三角形周长的比等于________ ③相似三角形面积的比等于_______________ 射影定理的结论在直角三角形 ABC 中，∠BAC 为直角，AD ⊥BC 于 D.则：AB2＝_________，AC2＝_________；AD2＝_________. 【任务二】典型例题分析【例1】在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB ＝34，则EF 的长为________．变式训练1：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．【例2】已知，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，点D 是垂足．求证：BC 2＝2CD ·AC .变式训练2：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________. 【例3】:已知圆的直径AB ＝13，C 为圆上一点，过C 作CD ⊥AB 于D (AD ＞BD )，若CD ＝6，则AD ＝________.变式训练3： 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．【任务四】课堂达标练习1．如图所示，已知a ∥b ∥c ，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于点A ，B ，C 和A ′，B ′，C ′，如果AB ＝BC ＝1，A ′B ′＝32，则B ′C ′＝________.2．如图所示，BD 、CE 是△ABC 的高，BD 、CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形_． 3．如图，在△ABC 中，M 、N 分别是AB 、BC 的中点，AN 、CM 交于点O ，那么△MON 与△AOC 面积的比是________．4．如图所示，已知DE ∥BC ，BF ∶EF ＝3∶2，则AC ∶AE ＝______，AD ∶DB ＝________.5．如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E 、F 分别为线段AB 、AD的中点，则EF ＝________.§1.2圆周角与弦切角及圆幂定理学习目标1、理解圆周角、圆心角、弦切角定理，并会在具体问题中应用；2、理解相交弦、切割线定理，并会利用定理求线段的长度；A学习过程【任务一】知识准备(1)圆周角定理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的_____.圆心角的度数等于它所对弧的____.(2)弦切角定理：弦切角等于________________________. (3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线 段的_____相等．(4)切割线定理：从圆外一点引圆的两条切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的_________【任务二】典型例题分析例1：．如图，AB 是⊙O 的直径，BC AC , 是⊙O 的弦，PC 是⊙O 的切线，切点为C ，35=∠BAC ，那么=∠A C P例2：如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D ．过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ，3AF =，1FB =，32EF =，则线段CD 的长为 ．【任务三】课堂达标练习1如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA =4PC =，圆心O 到BCO 的半径为_____.2.如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 ．的点，020=∠BAC ，弧3、如图，AB 是⊙O 的直径，D C ,是⊙O 上DC AD = ，DE 是⊙O 的切线，则EDC ∠的度数是____.4.如图所示，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ．5、如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ，则=CD .6、如上右图：AB 是O 的直径，点P 在AB 的延长线上，且2PB OB ==，PC 切O 于点C ，CD AB ⊥于点D ，则PC = ；CD = ．7、如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．§1.3圆内接四边形学习目标1、理解圆内接四边形的性质，并能利用性质解决相关问题；学习过程【任务一】知识准备APEDClBOA(第15题图）圆内接四边形的判定和性质： (1)四点共圆判定方法：①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；②如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形四个顶点共圆． (2)性质：①对角互补；②外角等于其内对角． 2．切线的判定和性质定理：(1)判定方法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径； ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 【任务二】探究新知 例1：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于 A ，∠MAB ＝25°，则∠D ＝_______；例2：已知 PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 分别为切点，C 为⊙O 上不与 A 、B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________度．例3：如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，AC=2， 则BD 等于 .【任务三】课堂达标练习 1、如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于点025,=∠MAB A ，则=∠D .ABCDE例4图2、已知ABC∆中，DAC,AB=是ABC∆外接圆劣弧AC上的点（不与点CA,重合），延长BD 至E.若030BAC=∠，求=∠CDE3、如图，AB是圆O的直径，DC,是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，025PCB=∠，则=∠ADC4、如图：ECEB,是⊙O的两条切线，CB,是切点，DA,是⊙O上两点，如果032DCF,46E=∠=∠，则=∠A .5、如图，E是⊙O内接四边形ABCD两条对角线的交点，CD延长线与过A点的⊙O的切线交于F点，若,100AED,44ABD00=∠=∠ABAD弧弧=，则=∠AFC6、已知：如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点DCB,的延长线交AB于点020AA,=∠，则=∠DBE________.§平面几何选讲综合练习1.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA PE=，60ABC︒∠=，1PD=，9PB=，则PA=_____；EC=_____．3题图ABC DEFABCOM NFEDC BA2.如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且2AD BD =，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F．若CD =AB =_______，EF =_________． 3.如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ， AP 交圆于D ，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．4.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 切⊙O 于点D ，CA 切⊙O 于点A ，CD 交AB 的延长线于点E .若3AC =，2ED =，则BE =________;AO =________.5. 如图，直线PC 与O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．6.如图， 圆O 的直径AB 与弦CD 交于点P ，7, 5, 15CP PD AP ===，则=∠DCB ______. 7．如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB ^于点F ，3AF BF =，22BE EC ==，那么CDE Ð= ，CD = .8 、如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M．若OC =1OM =， 则MN =_____．PBAE AB9．如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =1CB =，则ADE ∠= ．10.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．。
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_1.2圆周角与弦切角
1．2.1圆的切线
[对应学生用书P15]
[读教材·填要点]
1．直线与圆的位置关系
(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．
(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．
2．圆的切线判定定理
经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3．圆的切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．
推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．
4．三角形的内切圆、旁切圆
(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．
(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．
[小问题·大思维]
1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．
提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．。