初二数学-梯形
初二数学培训讲义第11讲 梯形、重心
第十一讲梯形、重心一、主要知识点回顾1．一组对边_____另一组对边________的四边形叫做梯形。
2．两腰_______的梯形叫做等腰梯形。
3．有一个角是_____的梯形叫做直角梯形。
4．等腰梯形的性质：（1）等腰梯形同一底边上的两个角________。
（2）等腰梯形的两条对角线_________。
5．等腰梯形的判定：（1）同一底边上的两个角________的梯形是等腰梯形。
（2）两条对角线_________的梯形是等腰梯形。
6．线段的重心是_______。
7．平行四边形的重心是______，正方形，矩形，菱形的重心是_______。
8．三角形的重心是，等腰三角形的重心位置在_____，等边三角形的重心位置在___________________。
二、感悟与实践例题1：如图1，在△ABC中，∠B＝∠C，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，那么四边形BCED是什么形状的图形呢？变式练习1：如图2所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别为∠ABC ，∠ACB的平分线，说明四边形EBCD 为等腰梯形。
例题2：如图3所示，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，∠DAB ＝60°，若梯形ABCD 的周长为10cm ，求AB 的长。
变式练习2：已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，∠D ＝120°，对角线CA平分∠BCD ，且梯形的周长20，求AC 。
例题3：如图4所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，延长AB 到E ，使BE ＝DC ，连接AC ，CE ，AC 与CE 相等吗？为什么？图2图3 图4变式练习3：（2011安徽芜湖）如图5，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，BD平分∠ABC ，∠A ＝60°。
过点D 作D E ⊥AB ，过点C 作CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，连接EF ，求证：△DEF 为等边三角形。
人教版八年级数学讲义梯形及等腰梯形(含解析)(2020年最新)
第19讲梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦梯形的分类2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形等腰梯形AB//CD AB//CDAD≠BC AD=BCAD⊥CD AD不平行BC梯形的中位线3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CDEF=12（AB+CD）等腰梯形的性质和判定1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．∴AB=DE=CE=BC故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF?AH=xcm2，∴EF?AH=2xcm2，∴S梯形ABCD=（AD+BC）？AG=×2EF×2AH=2EF?AH=2×2xcm2=4xcm2．∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，，由已知再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，，∴AD+BC=2EF=12cm∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，﹣20，∴BC=AB+BC+CD+AD即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；，所以四边形AFCD是菱形．（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，，∴AD=DC=AF=CF∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED=S梯形ABCD=144，∵BE?DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
初中数学 什么是等腰梯形和等边梯形的性质
初中数学什么是等腰梯形和等边梯形的性质等腰梯形和等边梯形是初中数学中的重要概念。
它们是特殊的梯形，具有一些独特的性质。
在本文中，我们将详细讨论等腰梯形和等边梯形的定义、性质以及它们之间的关系。
一、等腰梯形的定义和性质：1. 等腰梯形的定义：等腰梯形是指具有两条腰相等的梯形。
在等腰梯形中，两边平行的边叫做底边和顶边，两边不平行的边叫做腰。
2. 等腰梯形的性质：- 等腰梯形的两个底角相等，两个顶角相等。
- 等腰梯形的对角线长度相等。
- 等腰梯形的中线平行于底边，且中线长度等于底边长度的一半。
二、等边梯形的定义和性质：1. 等边梯形的定义：等边梯形是指具有四条边都相等的梯形。
在等边梯形中，两边平行的边叫做底边和顶边，两边不平行的边叫做腰。
2. 等边梯形的性质：- 等边梯形的两个底角相等，两个顶角相等。
- 等边梯形的对角线长度相等。
- 等边梯形的中线平行于底边，且中线长度等于底边长度的一半。
三、等腰梯形和等边梯形的关系：等腰梯形和等边梯形都是特殊的梯形，它们具有一些共同的性质。
事实上，等边梯形是等腰梯形的一种特殊情况，即两个腰的长度相等。
通过等腰梯形和等边梯形的性质，我们可以解决一些与其相关的问题，例如计算等腰梯形或等边梯形的周长和面积。
对于等腰梯形，我们可以通过以下公式来计算其周长和面积：- 周长= 底边长度+ 两个腰的长度之和+ 顶边长度；- 面积= (底边长度+ 顶边长度) × 高的一半。
对于等边梯形，我们可以通过以下公式来计算其周长和面积：- 周长= 底边长度× 2 + 两个腰的长度之和；- 面积= (底边长度+ 顶边长度) × 高的一半。
通过以上的讨论，我们可以看到等腰梯形和等边梯形具有一些独特的性质，它们的定义和性质对于我们理解和解决与梯形相关的问题具有重要的意义。
在数学学习中，我们可以通过举一些具体的例题来加深对等腰梯形和等边梯形的理解和应用。
初二数学梯形练习题
初二数学梯形练习题梯形是初中数学的一个重要概念，通过学习梯形的性质和相关公式，我们可以解决很多与梯形相关的问题。
本篇文章将为大家提供一些初二数学梯形练习题，帮助大家巩固相关知识点。
练习题一：计算面积已知梯形ABCD，其中AB∥CD，AB=10cm，CD=16cm，AD=12cm。
求梯形ABCD的面积。
解答：梯形的面积可以通过上底和下底的平均值乘以高得到。
根据题目给出的信息，梯形ABCD的上底为10cm，下底为16cm，可以计算得到平均底长为(10+16)/2=13cm。
梯形的高为AD=12cm。
因此，梯形ABCD的面积为13cm×12cm=156cm²。
练习题二：计算周长已知梯形EFGH，其中EF∥GH，EF=6cm，GH=10cm，FG=3cm，EH是梯形的高。
求梯形EFGH的周长。
解答：梯形的周长可以通过将各边的长度相加得到。
根据题目给出的信息，梯形EFGH的边长分别是EF=6cm，GH=10cm，FG=3cm。
由于上底和下底不平行，我们无法直接得到梯形的高。
然而，根据题目中的信息，我们可以通过应用勾股定理求解。
根据勾股定理，我们可以得到：FG²+EH²=EF²。
代入已知的数值，可得3²+EH²=6²，即9+EH²=36。
解方程可得EH=√27=3√3。
因此，梯形EFGH的周长为6cm+10cm+3cm+3√3cm=19cm+3√3cm。
练习题三：已知面积和底长已知梯形IJKL的面积为40cm²，上底JK为8cm，下底IL为12cm。
求梯形IJKL的高。
解答：根据上面提到的梯形面积的计算方法，面积可以通过上底和下底的平均值乘以高得到。
根据题目给出的信息，梯形IJKL的上底为8cm，下底为12cm，可以计算得到平均底长为(8+12)/2=10cm。
梯形的面积为40cm²。
代入公式，可得40cm²=10cm×h，解方程可得h=4cm。
八年级数学等腰梯形的性质
思
考
1、用一块面积为800 cm 2 的等腰
梯形彩纸做风筝 ，为牢固起见，
用竹条作梯形的对角线，对角
线恰好互相垂直，那么至少需 要竹条 80 cm
A
D
解: ∵四边形ABCD是等腰梯形
∴设AC=BD=x
B
C
又∵AC⊥BD
∴ 1 x 2 = 800
2
解得：x=40
∴至少需要竹条 80 cm
“横断面”的概念
3
S2
5
4
D、S1 ＝ S2
7
练习二
3、如图：若a=4 , b=6 , c=7 ,d=3 , 以它们为边作梯形，其中a∥b , 你认为这样的梯形能作出吗？
若能请作出图形，若不能，
Aa D
c
d
请说明 解: 这样的梯形不能作出
B
Hb C
过A点作AH∥CD 交BC于H点,得到 AHCD
∴AH=CD=d=3 , AD=HC= a = 4
A、m>h B、m<h C、m=h D、不能确定 B 解：
D
h
EC H
2 1 2 1 2 1
∟
过D作DH∥AC交BC 延长线于H点 ∴ BD＝DH
∵AC⊥BD
又过D作DE ⊥ BH于E点
∴BD ⊥ DH
∴ DE＝ BH
又∵ AD ∥ BH ， DH ∥ AC ∴四边形ACHD是平行四边形
＝ （BC＋CH）
“横断面”的概念
梯形的性质应用1
横断面
梯形的性思质应用考
2、河流的一个横断面，如图，根据下表中的测量数据计算断面面积
离河一岸的距离（m） 0 2 3 5 9 11
水 深（m）
人教版初中八年级下册数学课件 《梯形》四边形课件
解：(1)36 平方单位
15 (2) 8
(3)当 P、Q、C 三点构成直角三角形时，有两种情况：
①PQ⊥BC 时，设 P 点离开 D 点 x 秒， 作 DE⊥BC 于 E，∴PQ∥DE. ∴CCDP ＝CCQE，5－5 x＝23x，∴x＝1153. ∴当 PQ⊥BC 时，P 点离开 D 点1153秒． ②当 QP⊥CD 时，设 P 点离开 D 点 x 秒．
5. （2）将①中的正方形改为矩形后（如图②），其 他条件不变，则（1）中的等量关系是否成立？
四、范例精析
4. （3）将（1）中的正方形改为平行四边形后（如 图③），仿照(1)写出一个命题并判断其真假（不 必说明理由）。
5. （4）如图④，设提醒面积为S。梯形的两条对角 线与两底边所围成的两个三角形面积分别为S1， S2，则，S ，之S1 间S有2 何等量关系？并说明你找到的 结论成立的理由。
4.如图，n+1个上底、两腰长皆为1，下底长为2
的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边
形面P1M积1N为1N，2 四边形S的1 面积为…P…2M，2N2四N3边形的
面积S2 记为，通过逐一PnM计n N算n N，n1可得=。 Sn
S, S2
Sn
四、范例精析
4. （1）如图①，设正方形的面积为S,它的两条对角 线与一组对边所围成的两个三角形的面积分别为 S1，S2,则S，，S1三者S2之间存在的等量关系为 _________________;
平移一腰
作两高
初二动点问题(梯形或等边三角形)
初二动点问题(梯形或等边三角形)引言本文将讨论初二数学中关于动点问题的两个类型：梯形和等边三角形。
我们将介绍这些问题的基本知识和解决策略，帮助学生更好地理解和应用。
梯形动点问题问题描述给定一个梯形，其中拥有两个平行边和两个非平行边，我们要研究一个点沿着梯形的非平行边移动的情况。
我们关心的是这个点的运动轨迹和特点。
解决策略要解决这类问题，我们可以使用几何图形的特征和性质，通过推导和观察来找到动点的运动规律。
以下是解决梯形动点问题的一般步骤：1.绘制梯形和动点的示意图。
2.观察动点与梯形各边的关系。
注意动点移动时各边的长度和夹角的变化。
3.推导动点的位置和运动规律的数学表达式。
可以使用几何图形的性质和已知条件来推导。
4.分析和讨论动点的运动轨迹。
考虑到梯形的特点，并将其应用于动点的运动规律。
示例这里我们举一个例子来说明：给定一个梯形ABCD，AB∥CD，点P在AD边上。
当点P沿着AD边移动时，我们想要研究点P的运动规律。
根据梯形的性质，我们可以得到以下结论：点P距离BC的垂线的距离是不变的。
点P离BC的距离越远，角∠BPC越小；反之，角∠BPC越大。
基于以上观察，我们可以推导出动点的位置和运动规律。
等边三角形动点问题问题描述给定一个等边三角形ABC，我们要研究一个点沿着三角形的边移动的情况。
我们关心的是这个点的运动轨迹和特点。
解决策略解决等边三角形动点问题的步骤和梯形类似。
我们可以通过观察和推导来找到动点的运动规律。
以下是解决等边三角形动点问题的一般步骤：1.绘制等边三角形和动点的示意图。
2.观察动点与三角形各边的关系。
注意动点移动时各边的长度和夹角的变化。
3.推导动点的位置和运动规律的数学表达式。
可以利用三角形的性质和已知条件来推导。
4.分析和讨论动点的运动轨迹。
考虑到等边三角形的特点，并将其应用于动点的运动规律。
示例这里我们举一个例子来说明：给定一个等边三角形ABC，点P在边AB上。
当点P沿着___移动时，我们想要研究点P的运动规律。
数学人教版八年级下册第十八章梯形的中位线和常用辅助线--
（A）ab/2 D （B） ab （C）（ a+b）/2 F （D） ab/4
C
2
（二）、选择题：
1. 梯形中位线的长是高的2倍，面 积是18cm ，则梯形的中位线的长 是（ B）.
（A）6√2 cm （B）6 cm （C）3√2 cm 3 cm
（ D）
2. 如图，直角梯形ABCD的中位线 EF的长为a，垂直于底的 腰长 AB 为b， 图中阴影部分的面积 为（ A ）.
A
E
A D
E
B
F
C
梯形的中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半·
A
E D
∵EF是梯形ABCD的中位线
F ∴
EF ∥A D∥ BC
B
C
1 EF （AD+BC） 2
已知，梯形ABCD中，AD∥BC，E是 腰AB的中点，DE ⊥CE, 求证： AD+BC=CD。
A E D
证明：（一） 延长DE交CB 延长线于F
A 15 B 8 F C ED Nhomakorabea构造旋转变换
其 他 方 法
F是梯形的腰DC的中点
A
D
F
B C
E
梯形ABCD面积与哪个图形面 积相等?
梯形中位线的定义
A D
E
B
F 连接梯形两腰中 点的线段叫梯形 的中位线
C
已知：点 E和F分别是梯形ABCD的腰 AB、DC的中点，猜想EF与AD+BC的 数量关系，以及EF与AD、BC的位置 关系，并加以证明。
54º
B
E
O
补 三 B
A
D C
角 1、 若梯形ABCD是等腰梯形时，
ΔOBC是什么三角形？
初二理实班数学竞赛 梯形
梯 形【知识提要】1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2．等腰梯形的性质：等腰梯形在同一底上的两个内角相等；两条对角线相等。
3．等腰梯形的判定定理：在同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
例1 如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，若∠B ＋∠C=90°AD=7，BC=15，则EF 的长是 。
例2 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，CE 恰好平分∠BCD ，若AD=3，BC=4，则CD 的长是（ ）。
（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8第11届（2000年）初二培训例3 用四条线段：a=14，b=13，c=9，d=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是（ ）。
（A ）13.5 （B ）11.5 （C ）11 （D ）10.5第11届（2000年）初二第1试例4 如图3，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的角平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，则AB 的长与AD ＋BC 的长的大小关系是（ ）。
（A ）AB>AD ＋BC （B ）AB=AD ＋BC （C ）AB<AB ＋BC （D ）无法确定第8届（1997年）初二第2试AB CDEF 图1A BCDE图2AＣＥＤ图3例5 在凸四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＋BC=CD ＋DA ，则（ ）。
（A ）AD>BC （B ）AD<BC（C ）AD=BC （D ）AD 与BC 的大小关系不能确定第13届（2002年）初二第1试例6 如图4，四边形ABCD 为等腰梯形，AD ∥BC ，AD<BC,点O 平分BC 且OA=OB ，若CD=54，BD=58，那么BC= 。
北师大版初中八年级数学上册-《梯形》课件-01
A
D
B
C
学习了本节课,你有什么收获?
1.梯形的定义及类型：
一组对边平行而 四边形 另一组对边不平行 梯形
2.等腰梯形的性质
(1)两底平行,两腰相等
A
AD∥BC, AB=CD
(2)同底上两角相等
∠A= ∠D, ∠B= ∠C
B
(3)对角线相等 AC=BD
(4)是轴对称图形
等腰梯形 直角梯形
D C
A
D
A
D
B 图1
C
B 图2 C
在图1中，AD∥BC，AD和BC能相等吗？
在图2中，AB⊥BC，那么，AB⊥AD吗？AB 叫梯形的高。 当AB ⊥BC时，CD也能垂直BC吗？
做一做:
在一张有平行线的纸上作一个等腰梯形, 连接两条对角线,仔细的观察图形,图中有哪些 相等的线段? 有哪些相等的角? 这个图形是轴对称图形吗? 设法验证你的猜想.
二：等腰梯形的性质
等腰梯形同一个底上的两个 内角相等，对角线相等.
书写格式：
在等腰梯形ABCD中，
∠BAD=∠ADC，∠ABC=∠BCD，AC=BD
A
D
B
C
议一议:
在右下图中，四边形ABCD是等腰梯形，将腰AB 平移到DE的位置。
（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？
（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？
A
D
B
E
C
研究梯形时，常常移动一腰，把梯形转化为平
行四边形和三角形
三:应用：
例1 如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，BC=4， 高DF=2，求腰DC的长.你有几种方法?
A
D
A
数学 1梯形的认识-课件
图中有几个梯形？ A BCD E
1 34 6
2
5
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E 计数：21
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E 计数：342
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E 计数：54
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E 计数： 6
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E 计数：7896
梯形的认识
学生作业1
学生作业2
梯形的认识
学生作业2
在生活中哪些地方有梯形呢？
在生活中哪些地方有梯形呢？
在生活中哪些地方有梯形呢？
在生活中哪些地方有梯形呢？
生活中有很多梯形
生活中在哪些地方见过梯形呢？
梯形有什么特征？
有一可组以对拿边三平角行板、 尺子量一量，画一 画另。一组对边不平行 四边形
HGF
图中有几个梯形？ A BCD E
HGF
你有什么收获？
我会画梯形了。
我知道梯形有无数条 高。
你有什么收获？
我学会了梯形的各部分名 称。
我知道了怎么剪梯形。
我知道了怎么找梯形。
再见！
数阅
学读
使使
人人
精充
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
有一组对边平行，另一组 对边不平行的四边形叫做梯形。
下列图形中哪些是梯形？
请标在出方梯格形纸各上部画分一的个名梯称形
上底
腰
腰
高
下底
EF是梯形ABCD的高吗？
人教版 八年级数学讲义 梯形及等腰梯形 (含解析)
第19讲 梯形及等腰梯形知识定位讲解用时：3分钟A 、适用范围：人教版初二，基础较好；B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。
梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目.知识梳理讲解用时：20分钟梯形的认识1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形（概念记清楚哦）一般梯形梯形标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形） 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形直角梯形 等腰梯形AB//CD AB//CD AD ≠BC AD=BC AD ⊥CD AD 不平行BC3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半你知道怎么证明吗？EF//AB//CD EF=12（AB+CD ）1、等腰梯形的性质定理性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线）∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D2、等腰梯形的判定定理判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形判定3：利用定义课堂精讲精练【例题1】已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=6，∠B=60°，那么下底BC的长为．【答案】10【解析】首先过A作AE∥DC交BC与E，可以证明四边形ADCE是平行四边形，进而得到CE=AD=4，再证明△ABE是等边三角形，进而得到BE=AB=6，从而得到答案．解：如图，过A作AE∥DC交BC与E，∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD=EC=4，AE=CD，∵AB=CD=6，∴AE=AB=6，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴BE=AB=6，∴BC=6+4=10．故答案为：10．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查了梯形，关键是掌握梯形中的重要辅助线，过一个顶点作一腰的平行线得到一个平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形和等边三角形.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期中年份：2017【练习1.1】如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=75°，AD=2，BC=7，那么AB= ．【答案】5【解析】过点D作DE∥AB交BC于E，根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=30°，根据三角形的内角和定理，得∠EDC=75°，再根据等角对等边，得DE=CE．根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则AB=DE=CE=7﹣2=5，从而求解．解：过点D作DE∥AB交BC于E，∴∠DEC=∠B=30°．又∵∠C=75°，∴∠CDE=75°．∴DE=CE．∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD=BE=2．∴AB=DE=CE=BC﹣BE=BC﹣AD=7﹣2=5．故答案为：5．讲解用时：3分钟解题思路：此题综合考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质，解题的关键是作平行线构造平行四边形．教学建议：利用梯形的知识作辅助线构造出平行四边形进行求解.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：潍坊三模年份：2016【例题2】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，如果AB=5，BC=4，CD=3，那么AD= ．【答案】2【解析】试题分析：过点D作DE⊥AB于点E，后根据勾股定理即可得出答案．解：过点D作DE⊥AB于点E，如下图所示：则DE=BC=4，AE=AB﹣EB=AB﹣DC=2，AD==2．故答案为：2．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形及勾股定理的知识，难度不大，属于基础题．教学建议：利用梯形和勾股定理的知识进行求解.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：普陀区期末年份：2016【练习2.1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，DE⊥EC．求证：（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC．【答案】（1）DE平分∠ADC；（2）AD+BC=DC【解析】试题分析：（1）延长DE交CB的延长线于F，可证得△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，推出∠CDF=∠F，由∠ADF=∠F即可证明；（2）由△AED≌△BEF，根据三线合一的性质可得出CD=CF，进而利用等线段的代换可证得结论；证明：（1）延长DE交CB的延长线于F，∵AD∥CF，∴∠A=∠ABF，∠ADE=∠F．在△AED与△BEF中，，∴△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴∠CDF=∠F，∵AD∥CF，∴∠ADE=∠F，∴∠ADE=∠CDF，∴ED平分∠ADC．（2）∵△AED≌△BEF，∴AD=BF，DE=EF，∵CE⊥DF，∴CD=CF=BC+BF，∴AD+BC=DC．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查梯形、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是因为点E是中点，所以应该联想到构造全等三角形，这是经常用到的解题思路，同学们要注意掌握．教学建议：学会运用梯形、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：松江区期末年份：2017【例题3】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG= ．【答案】4【解析】试题分析：根据梯形中位线性质得出EF∥AD∥BC，推出DG=BG，则EG 是△ABD的中位线，即可求得EG的长，则FG即可求得．解：∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∴DG=BG，∴EG=AD=×2=1，∴FG=EF﹣EG=5﹣1=4．故答案是：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．教学建议：熟练掌握梯形的中位线、三角形的中位线知识并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习3.1】边长为8的正方形ABCD中，E、F是边AD、AB的中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= ．【答案】6【解析】试题分析：根据题意，正方形ABCD的边长为8，E边AD的中点，可得出AE、BC的长；又由点F、G分别是AB、CE的中点，根据梯形的中位线定理，可得出FG的长；解：如图，∵正方形ABCD的边长为8，E、F是边AD、AB的中点，∴AE=4，BC=8，又∵点G是CE的中点，∴FG为梯形ABCE的中位线，∴EF==×（4+8）=6．故答案为：6．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟练掌握梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】在梯形ABCD中．AB∥CD，EF为中位线，则△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比是．【答案】1：4【解析】试题分析：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，再根据梯形的中位线定理及面积公式解答即可．解：过A作AG⊥BC于G，交EF于H，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴AD+BC=2EF，AG=2AH，设△AEF的面积为xcm2，即EF•AH=xcm2，∴EF•AH=2xcm2，∴S=（AD+BC）•AG=×2EF×2AH=2EF•AH=2×2xcm2=4xcm2．梯形ABCD∴△AEF的面积与梯形ABCD的面积之比为：1：4．故答案为：1：4．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了梯形的中位线定理，比较简单，注意掌握梯形的中位线定理即是梯形的中位线等于上下底和的一半．教学建议：学会应用梯形的中位线定理.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：六安期末年份：2013【练习4.1】在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是边AB、CD的中点．如果AD=5，EF=11，那么BC= ．【答案】17【解析】试题分析：根据梯形中位线定理“梯形的中位线长是上下底和的一半”，进行计算．解：根据梯形中位线定理，得EF=（AD+BC），则BC=2EF﹣AD=2×11﹣5=17．讲解用时：2分钟解题思路：考查了梯形的中位线定理．教学建议：熟练掌握并应用梯形的中位线定理.难度： 2 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC，∠A=60°．求：梯形ABCD的周长．【答案】10【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出∴∠ABC=∠A=60°．周长∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=90°，由直角三角形的性质得出AD=AB．AB=2AD=4．证出∠CDB=∠CBD．得出CD=BC=2．即可求出梯形ABCD的周长．解：在梯形ABCD中，∵DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°．∴∠ABC=∠A=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ADB=90°，∴AD=AB．∴AB=2AD=4．又 DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD，又∠ABD=∠CBD，∴∠CDB=∠CBD．∴CD=BC=2．∴梯形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=4+2+2+2=10．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质和判定并灵活运用.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习5.1】已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC．（1）求对角线BD的长；（2）求梯形ABCD的面积．【答案】（1）2√3；（2）3√3【解析】试题分析：（1）根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解；（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：（1）∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．（2）过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在RT△ADH和RT△BCG中，，∴RT△ADH≌RT△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴．讲解用时：3分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：掌握等腰梯形的性质并灵活应用.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，BD平分∠ABC．∠A=60°，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积．【答案】3√3【解析】根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解，过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解．解：∵DC∥AB，AD=BC，∴∠A=∠ABC．∵BD平分∠ABC，∠A=60°，∴∠ABD=∠ABC=30°．∴∠ADB=90°．∵AD=2，∴AB=2AD=4．∴BD=．过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G．∵DC∥AB，BD平分∠ABC，∴∠CDB=∠ABD=∠CBD．∵BC=2，∴DC=BC=2．在Rt△ADH和Rt△BCG中，，∴Rt△ADH≌Rt△BCG．∴AH=BG．∵∠A=60°，∴∠ADH=30°．∴AH=AD=1，DH=．∵DC=HG=2，∴AB=4．∴梯形ABCD的面积=．讲解用时：4分钟解题思路：本题主要考查对等腰梯形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能求出DC=BC是解此题的关键．教学建议：熟练地运用等腰梯形、平行线、等腰三角形的性质进行解题.难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习6.1】已知：如图，等腰梯形ABCD的中位线EF的长为6cm，对角线BD平分∠ADC，下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，求上底AD的长．【答案】4cm【解析】试题分析：由等腰梯形的性质得出AB=DC，AD∥BC，得出∠ADB=∠CBD，再由已知条件得出BC=DC=AB，由梯形中位线定理得出AD+BC=2EF=12cm，由已知条件求出BC，即可得出AD的长．解：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=DC=AB，∵EF是等腰梯形的中位线，∴AD+BC=2EF=12cm，∵下底BC的长比等腰梯形的周长小20cm，∴BC=AB+BC+CD+AD﹣20，即BC=AB+DC﹣8，∴BC=8cm，∴AD=4cm．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定、梯形中位线定理；熟练掌握等腰梯形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．教学建议：利用等腰梯形、等腰三角形的判定、梯形中位线等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点E为边BC上一点，且AE=DC．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）当∠B=2∠DCA时，求证：四边形AECD是菱形．【答案】（1）四边形AECD是平行四边形；（2）四边形AECD是菱形【解析】试题分析：（1）由等腰梯形的性质（等腰梯形同一底上的角相等），可得∠B=∠DCB，又由等腰三角形的性质（等边对等角）证得∠DCB=∠AEB，即可得AE∥DC，则四边形AECD为平行四边形；（2）根据平行线的性质，易得∠EAC=∠DCA，又由已知，由等量代换即可证得∠EAC=∠ECA，根据等角对等边，即可得AE=CE，则四边形AECD为菱形．证明：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠DCB，∵AE=DC，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴四边形AECD为平行四边形；（2）∵AE∥DC，∴∠EAC=∠DCA，∵∠B=2∠DCA，∠B=∠DCB，∴∠DCB=2∠DCA，∴∠ECA=∠DCA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∵四边形AECD为平行四边形，∴四边形AECD为菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定以及等腰三角形的判定与性质．解题的关键是仔细识图，应用数形结合思想解答．教学建议：利用等腰梯形、平行四边形的判定、菱形的判定等知识点进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：连云港校级模拟年份：2010【练习7.1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC，点E在边CB的延长线上，并且BE=AD，点F在边BC上．（1）求证：AC=AE；（2）如果∠AFB=2∠AEF，求证：四边形AFCD是菱形．【答案】（1）AC=AE；（2）四边形AFCD是菱形【解析】试题分析：（1）由已知条件可判定四边形ABCD是等腰梯形，利用等腰梯形的性质以及给出的条件利用SAS可判定△ABE≌△ADC，从而可证得结论；（2）由（1）和外角和定理可证得AD=DC=AF=CF，所以四边形AFCD是菱形．证明：（1）∵AD∥BC，BA=AD=DC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCE，∵∠ABE+∠ABC=180°，∠DCE+∠D=180°，∴∠D=∠ABE，又∵BE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴AC=AE．（2）∵∠AFB=∠CAF+∠FCA，∠AFB=2∠E，∴2∠E=∠CAF+∠FCA，∵∠E=∠DAC=∠DCA，又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠FCA，∴AD=DC=AF=CF，∴四边形AFCD是菱形．讲解用时：3分钟解题思路：此题主要考查等腰梯形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用，难度较大，解答此类综合题目还需从基本做起，掌握一些基本性质是解答此类题目必备的．教学建议：利用等腰梯形的性质、全等三角形的判定等知识点进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于．【答案】4【解析】只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算．解：根据梯形的中位线定理，得另一底边长=中位线×2﹣一底边长=2×6﹣8=4．故答案为：4难度：2 适应场景：练习题例题来源：金山区二模年份：2018【作业2】如图，等腰梯形ABCD的面积为144，AD∥BC，AB=DC，且AC⊥BD．求等腰梯形ABCD的高．【答案】12【解析】过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F，将等腰梯形的面积转化为△DBE的面积，从而求得三角形的高即可得到等腰梯形的高．解：过点D 分别作DE∥AC与BC的延长线交于点E，DF⊥BC，垂足为点F．∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形．∴AD=CE，AC=DE．又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD．∴BD=DE．∴BF=FE．∵AC⊥BD，∴∠BGC=∠BDE=90°．∴．又∵AB=CD，∴△ADB≌△CED．∴S△BED =S梯形ABCD=144，∵BE•DF=144，∴×2DF2=144∴等腰梯形ABCD的高等于12．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：普陀区期末年份：2014【作业3】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC、BD是对角线，△ABD≌△ABE．求证：四边形AEBC是平行四边形．【答案】四边形AEBC是平行四边形【解析】根据等腰梯形的对角线相等，易得AC=BD，又由△ABD≌△ABE，易得AD=AE，BD=BE，则可证得AE=BC，AC=BE，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AD=BC，AC=BD，又∵△ABD≌△ABE，∴AD=AE，BD=BE，∴AE=BC，AC=BE，∴四边形AEBC是平行四边形．难度： 3 适应场景：练习题例题来源：香坊区期末年份：2011。
初二数学梯形试题
初二数学梯形试题1.下列说法正确的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形B．有两个角是直角的四边形是直角梯形C．只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形D．一组对边平行另一组对边相等的四边形是等腰梯形【答案】C【解析】根据梯形，直角梯形，等腰梯形的判定定理依次分析即可.A.一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故本选项错误；B.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，故本选项错误；C.只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，本选项正确；D.一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；故选C.【考点】本题考查的是梯形，直角梯形，等腰梯形点评：解答本题的关键是熟练掌握一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，只有相邻的两个角是直角的四边形是直角梯形，一组对边平行另一组对边不平行，但相等的四边形是等腰梯形.2.以线段a=16，b=13为梯形的两底，c=10，d=6为腰画梯形，这样的梯形（）A．只能画出一个B．能画出2个C．能画出无数个D．不能画出【答案】D【解析】过点B作BE∥AD，则出现▱ABED和一个△BEC，此外的关键是根据已知求得CE的长，然后判断BE，CE，BC是否能构成三角形，能构成则能做一个梯形，否则不能做一个梯形．如图，过点B作BE∥AD，则出现平行四边形ABED和一个△BEC，∵AB=13，CD=16，AD=10，BC=6∴CE=3，BE=10，∵3+6＜10，∴BE，CE，BC不能构成三角形∴这样的梯形一个也不能作．故选D．【考点】此题主要考查平行四边形的判定与性质及三角形的三边关系点评：解答本题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，同时利用三角形的三边关系判定是否能构成三角形．3.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解析】依题意画出图形，根据AD∥BC，∠D+∠BCD=180°，可得∠ACD，从而在等腰三角形△ABC中可求出∠BAC．∵∠D+∠BCD=180°，∠D=110°，∴∠BCD=180°-110°=70°，∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=70°-30°=40°，∵AB=AC，△ABC是等腰三角形，∠B=∠ACD=40°，∴∠BAC=180°-80°=100°．故选C．【考点】本题考查了梯形和平行线的性质点评：解答本题的关键是准确画出图形，在等腰三角形△ABC中可求出∠BAC．4.若等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于点O，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对.【答案】3，3【解析】根据等腰梯形的性质及全等三角形的判定进行分析，即可判断．（1）3对，分别是△ABO≌△DCO，△ABD≌△DCA，△BDC≌△CAB．（2）3对，分别是△ABD和△DCA，△BDC和△CAB，△AOB和△DOC．【考点】此题主要考查等腰梯形的性质，全等三角形的判定点评：解答本题的关键是熟练掌握平行线间的距离相等，同时熟记同底等高的三角形的面积相等.5.梯形的上底长为5cm，将一腰平移到上底的另一端点位置后与另一腰和下底所构成的三角形的周长为20cm，那么梯形的周长为_______.【答案】30cm【解析】由题意可知该平移的腰将梯形分为一个平行四边形和一个三角形，根据梯形的周长=三角形的周长+2×上底，即可求得．根据平移一腰，得到平行四边形和一个三角形．已知三角形的周长是20和上底是5，则梯形的周长=20+5×2=30．【考点】此题主要考查梯形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握平移的腰将梯形分为一个平行四边形和一个三角形.6.在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=8，BC=11，则CD=_______.【答案】3【解析】已知∠B=50°，∠C=80°，过A点作AE∥CD，交BC于E点，利用平移将两个角“移”到同一个三角形中，证明△ABE为等腰三角形，得出线段的相等关系及和差关系．过A点作AE∥CD，交BC于E点，∵AD∥BC，∴四边形ADCE为平行四边形，CD=AE，AD=EC；又∵∠C=80°，∴∠AEB=80°，在△ABE中，∠BAE=180°-∠B-∠AEB=50°∴AE=BE，CD=BE=BC-EC=BC-AD=3．【考点】此题主要考查梯形的性质点评：解答本题的关键是熟练掌握平移的腰将梯形分为一个平行四边形和一个三角形.7.在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∠C=45°，CD=10cm，BC=2AD，则梯形的面积为_______.【答案】75cm2【解析】过点D作DE⊥BC于点E，此时DE将梯形分为一个矩形和一个等腰梯形，根据已知求得CE，BC的长，再根据梯形的面积公式计算即可．过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ABED是矩形∴AD=BE，DE=AB∵BC=2AD∴BE=EC∵∠C=45°∴△CDE是等腰直角三角形∴CE=DE=AD=BE=AB∵CD=10cm∴CE=DE=AD=BE=AB=CDsin45°=∴∴梯形的面积【考点】本题考查的是梯形，矩形、直角三角形点评：解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．8.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD、AB中点，且MN⊥AB.梯形ABCD一定为等腰梯形，请你用两种不同的方法说明理由.【答案】见解析【解析】证法一：连接AM、BM，先证明△AMN≌△BMN，再证明△ADM≌△BCM即可证明；证法二：根据轴对称的性质进行说明.证法一：连接AM、BM，∵N为AB中点，∴AN=BN，又∵MN⊥AB，∴AM=BM，∠AMN=∠BMN，∵M为CD中点，∴CM=DM，又∵AM=BM，∴∠MAB=∠MBA，又∵DC∥AB，∴∠MAB=∠AMD，∠MBA=∠BMC，∴∠AMD=∠BMC，∴△ADM≌△BCM，∴AD=BC，∴梯形ABCD为等腰梯形．证法二：∵M、N分别为CD、AB中点，又MN⊥AB，∴MN梯形ABCD的对称轴，根据对称的性质，∴AD=BC，∴梯形ABCD为等腰梯形．【考点】本题考查了等腰梯形的判定及全等三角形的判定与性质点评：解答本题的关键是作出辅助线，连接AM、BM，证明三角形全等．9.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE，你能用几种方法说明AC与CE相等？请你写出一种推理过程.【答案】见解析【解析】①直接证明△ACD≌△CEB，②连接BD，证明四边形CDBE为平行四边形，可得BD=CE，再根据梯形对角线相等，得BD=AC；③作DG⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为G，F，证明AF=FE即可．有三种方法证明AC=CE．方法①：∵ABCD为等腰梯形，∴∠ADC=∠DCB=∠CBE，又∵AD=BC，CD=BE，∴△ADC≌△CBE，∴AC=CE；方法②：如图，连接BD，证明四边形CDBE为平行四边形，可得BD=CE，再根据梯形对角线相等，得BD=AC；∴AC=CE；方法③：作DG⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为G，F，证明AF=FE即可．【考点】本题考查了等腰梯形的性质点评：此类问题可以从等腰梯形的角，对角线，高的性质等方面考虑证题方法．10.在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积.【答案】（1）8；（2）24【解析】过D作DE∥AC，交BC延长线于E，过D作DF⊥BE于F，首先证明四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得到CE=AD，进而可算出BE的长，再利用勾股定理算出DE的长，根据三角形的面积公式可以计算出梯形的高DF的长，最后利用梯形的面积公式可以计算出梯形ABCD面积．（1）过D作DE∥AC，交BC延长线于E，过D作DF⊥BE于F，∵AD∥CB，∴AD∥CE，∴四边形ADEC是平行四边形，∴AD=CE=2，AC=DE，∵BC=8，∴BE=BC+CE=10，∵AC⊥BD，∴∠1=90°，∵AC∥DE，∴∠1=∠2=90°，在R t△BDE中，，∴AC=DE=8，（2）∵△BDE的面积为×DB×DE=×6×8=24，∴×DF×BE=24，∴DF=，∴梯形ABCD面积为：（AD+BC）×DF=×10×=24．【考点】此题主要考查了梯形的面积公式，三角形的面积公式，平行四边形的判定与性质点评：解答本题的关键是作对角线的平行线，构造平行四边形，求出梯形的高DF的长度解题的突破口．。
沪科版数学八年级下册1《等腰梯形》-课件
∴ ∠ B= ∠EAD ∠ C = ∠EDA
又∵ ∠ B= ∠ C
B
C
∴∠EAD = ∠EDA（等量代换）
∴EA = ED（等角对等边）
即 △ EAD是等腰三角形
如图：已知在等腰梯形ABCD中， AD ∥ BC， AB=DC =4，AD =3，BC =7，求∠ B的度数。
A
3D
4
4
4
B4
E3
C
如图：已知在等腰梯形ABCD中， AD ∥ BC， AB=DC =4，AD =3，BC =7，求∠ B的度数。
D E
1
C
等腰梯形的性质定理：
等腰梯形同一底边上的两个内角相等
已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥ BC，AB=DC 求证： ∠ B= ∠ C ∠ A = ∠ D 证明：分别过点A、D作AE⊥ BC于E，DF⊥ BC于F
A
D
B E
C F
性质定理 等腰梯形的对角线相等
A B1
已知：在等腰梯形ABCD中，AD ∥ BC，AB=DC 求证： AC=BD
D 证明： ∵ ABCD是等腰梯形
O
∴ ∠ ABC= ∠ DCB
2
C （等腰梯形同一条底边上的两个内角相等）
又∵ AB=DC BC=CB
∴ △ ABC≌△DCB（SAS） ∴AC=BD（全等三角形的对应边相等）
（OB = OC OA = OD）
判定定理 同一底上的两个内角相等的
梯 形是等腰梯形
已知:在梯形ABCD中， AD∥BC，∠B＝ ∠C .
∴ ∠ B= ∠C（---） 又∵ ∠ A 与∠ B、∠ C与 ∠ ADC互补
∴ ∠ A = ∠ ADC
A B
初二下册数学梯形练习题
初二下册数学梯形练习题梯形是初中数学中常见的一个几何形状，具有四边形的特点，并且两边是平行的，但长度不一样。
学习和掌握梯形的性质和计算是数学学习中的基础，下面将给出一些初二下册数学梯形练习题，以帮助同学们更好地理解和应用这些知识点。
1. 计算下面梯形的面积：4cm|─────|6cm| ||─────|9cm解析：首先，我们需要找出梯形的上底和下底的长度。
根据图示可知，梯形的上底为4cm，下底为9cm。
其次，我们需要确定梯形的高。
从图中可以看到，梯形的高为6cm。
根据梯形面积公式：面积 = (上底+ 下底) ×高 ÷ 2，代入已知数值进行计算：面积 = (4 + 9) × 6 ÷ 2 = 13 ×6 ÷ 2 = 78 ÷ 2 = 39cm²。
所以，这个梯形的面积为39cm²。
2. 已知一个梯形的上底为12cm，下底为8cm，面积为60cm²，求其高的长度。
解析：设梯形的高为h。
根据梯形的面积公式可得：60 = (12 + 8) ×h ÷ 2，化简得：60 = 20h ÷ 2，进一步计算得：60 = 10h。
将方程两边除以10，得到：h = 6。
所以，这个梯形的高为6cm。
3. 如图，已知ABCD为梯形，AB平行于DC，AB = 5cm，BC =7cm，AD = 4cm，求梯形ABCD的面积。
A────B╱╲D────────────C解析：根据题意，我们可以知道梯形的上底为AB = 5cm，下底为CD = 7cm。
接下来，我们需要找到梯形的高。
根据题目中给出的信息，AD为梯形的高，AD = 4cm。
根据梯形面积公式：面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2，代入已知数值进行计算：面积 = (5 + 7) × 4 ÷ 2 = 12 × 4 ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24cm²。
沪科版初中数学初二数学下册《梯形》评课稿
沪科版初中数学初二数学下册《梯形》评课稿一、课程概述本节课是沪科版初中数学初二数学下册《梯形》的评课稿。
该课程主要讲解梯形的定义、性质和相关定理，帮助学生全面理解和掌握梯形的特征和应用。
在本节课中，我将通过引入实际生活中的梯形例子，让学生了解梯形的基本概念，并通过多种教学方法帮助学生掌握梯形的性质和定理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
二、教学目标本节课的教学目标主要包括：1.理解梯形的定义和性质。
2.掌握梯形中的各类定理和公式。
3.能够运用所学概念和方法解决梯形相关的问题。
4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学重点本节课的教学重点主要包括：1.梯形的定义和性质。
2.梯形的面积计算公式。
3.梯形内角和的求解方法。
4.梯形中的等腰梯形和平行四边形的特征和性质。
四、教学内容1. 梯形的定义和性质首先，我将向学生介绍梯形的定义和性质。
梯形是指有两个平行边的四边形，其中两个非平行边称为梯形的腰，两个平行边称为梯形的底。
我会通过展示图片和实物梯形，让学生直观地理解梯形的形状和特征。
接着，我将讲解梯形的性质，包括： - 梯形的对角线相交于一点。
- 梯形的内角和等于360度。
- 梯形的对边平行。
- 梯形的上底和下底平行且等于两腰长度之差。
- 梯形的高是两腰之间的垂直距离。
2. 梯形的面积计算公式接下来，我将介绍梯形的面积计算公式。
梯形的面积可以通过公式：(上底 + 下底) × 高 / 2 来计算。
我会给学生提供一些实际问题，让他们运用这个公式进行实际计算，加深对面积计算的理解。
3. 梯形内角和的求解方法然后，我将教授梯形内角和的求解方法。
通过将梯形分解成两个三角形，学生可以利用三角形内角和的知识求解梯形内角和。
我会通过示例和练习让学生熟悉这个求解方法，并培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
4. 梯形中的等腰梯形和平行四边形的特征和性质最后，我会向学生介绍梯形中的等腰梯形和平行四边形的特征和性质。
初二数学--梯形问题
[初二数学]梯形问题1．解决梯形问题的基本思路解决梯形的问题的基本圆桌会议把梯形问题转化为三角形、矩形或平行四边形问题常用的转化方法如下：（1）过上底一端点，作一腰的平行线，使两腰及两底角集中在一个三角形中。
如图1（2）分别过梯形上底两端点作梯形的高，将梯形转化为矩形和直角三角形。
如图2（3）向上延长两腰交于一点，将梯形转化为三角形。
如图3（4）过上底一端点作一对角线的平行线，使这条线与另一条对角线及两底和构成一个三角形。
如图4（5）连接上底一端点和一腰中点并延长与下底延长线相交，通过构造全等三角形，将梯形转化成三角形。
如图52．处理梯形问题的“一移二延三作”解决梯形的有关问题，常常需要添加辅助线将梯形问题转化为三角形和平行四边形问题。
添加辅助线的口诀是：一平移（平移腰或对角线），二延长（延长腰），三作高（作上、下底边上的高）。
（1）平移腰[例1] 如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=9，AB=6，CD=5，∠B=53o，求∠D的度数。
[解析]：欲求∠D的度数，可将∠D转化为平行四边形或三角形中的角，为此可过顶点A作AE∥DC，交BC于点E，则四边形AECD是平行四边形，故∠D=∠AEC，AE=CD=5，CE=AD=4，所以BE=BC-CE=9-4=5，所以AE=BE。
则∠EAB=∠B=53o，所以∠AEC=106o，所以∠D=∠AEC=106o[评注]：本题通过平移一腰，将梯形问题转化为等腰三角形和平行四边形问题来解决。
[例2] 如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45o，AD=，BC=，求DC的长。
[解析]：过点D作AB的平行线，构造以CD为斜边的直角三角形，再借助勾股定理来求解。
过点D作DF∥AB，交AC于点E，交BC于点F。
因为AB⊥AC，所以∠AED=∠BAC=90o。
因为AD∥BC，所以∠DAE=∠ACB=180o-∠B-∠BAC=45o。
在Rt△ABC中，∠B=45o，BC=，由勾股定理得，AC=4。
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三、典型例题
三、典型例题
在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＋CD＝ 例3. 在梯形 中 ∥ ， ＋ ＝ AD，Mபைடு நூலகம்BC中点 求证：DM平分∠ADC. 中点.求证 平分∠ ， 为 中点 求证： 平分
思路分析: 依据AB∥ ， 为 中 思路分析 依据 ∥DC，M为BC中 可以通过延长AM构造全等三角形 构造全等三角形, 点,可以通过延长 可以通过延长 构造全等三角形 在利用等腰三角形三线合一的知识来 解题。 解题。
• 思路分析：此题用逆向思维的方法， 思路分析：此题用逆向思维的方法， 即当梯形PQCD为等腰梯形时，t的 为等腰梯形时， 即当梯形 为等腰梯形时 的 值是多少？ 值是多少？这就需要考虑等腰梯形 的特征，通过下列方程求解。 的特征，通过下列方程求解。
三、典型例题
三、典型例题
如图， 以点B为旋转中心 例11.如图，将正方形 如图 将正方形ABCD以点 为旋转中心 以点 顺时针旋转120°得到正方形 顺时针旋转 °得到正方形A’BC’D’， ， DO⊥C’A’于O，若A’O= 3 − 1 ，求正方形 ⊥ 于 ， ABCD的边长。 的边长。 的边长
二、基础知识点
2. 等腰梯形的性质 （1）两腰相等； ）两腰相等； （2）在同一底上的两个角相等； ）在同一底上的两个角相等； （3）两条对角线相等； ）两条对角线相等；
二、基础知识点
3. 等腰梯形的判定 (1)定义 (1)定义 (2)判定：在同一底上的两个底角相等的梯形 判定： 判定 是等腰梯形。 是等腰梯形。 (3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 两条对角线相等的梯形是等腰梯形
思路分析：梯形的问题中， 思路分析：梯形的问题中，若已 知条件是同一底上的两角， 知条件是同一底上的两角，通 常过顶点作底边上的高将梯形 分解成矩形和两个直角三角形， 分解成矩形和两个直角三角形， 再利用矩形、 再利用矩形、直角三角形的有 关知识解决问题。 关知识解决问题。
三、典型例题
解：分别过A、B作AF⊥CD，BE⊥CD，垂足为 、F 分别过 、 作 ⊥ ， ⊥ ，垂足为E、 ∴BE//AF 又∵AB//CD 四边形ABEF是矩形 ∴四边形 是矩形 ∴EF=AB=5，AF=BE ， 在Rt△AFD中，AD=6，∠D=60° △ 中 ， °
而AD∥BC， ∥ ，
课间休息五分钟…… 课间休息五分钟
三、典型例题
已知： ∥ ， ＝ ， ⊥ 例5. 已知：AD∥BC，DE＝EC，EF⊥AB 于点F， ＝ ， ＝ ， 于点 ，AB＝a，EF＝h，求 S 梯形ABCD 。
思路分析:本题可以通过平 思路分析 本题可以通过平 移一腰AB至E,构造平行四 移一腰 至 构造平行四 边形,并证明梯形 并证明梯形ABCD的 边形 并证明梯形 的 面积与该平行四边形的面 积相等. 积相等
三、典型例题
三、典型例题
年北京中考题） 例7. （2006年北京中考题）已知：如图，在 年北京中考题 已知：如图， 梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90° 梯形 中 ∥ ， ＝ ° 于点E， ＝ ， ，∠C＝45°，BE⊥CD于点 ，AD＝1， ＝ ° ⊥ 于点 CD＝，求：BE的长． ＝，求 的长． ＝， 的长
分析：这是一道与梯形有关的中考题， 分析：这是一道与梯形有关的中考题，梯形问 题常常通过分割和拼接转化为三角形、 题常常通过分割和拼接转化为三角形、平行四 边形来解决.本题要求 的长，考虑到∠C＝ 边形来解决 本题要求BE的长，考虑到∠ ＝ 本题要求 的长 45°，BE⊥CD于点 ，只要设法求出BC的长 ° ⊥ 于点E，只要设法求出 的长 于点 即可.通过作辅助线转化梯形为三角形和平行四 即可 通过作辅助线转化梯形为三角形和平行四 边形可使问题得以解决． 边形可使问题得以解决．
三、典型例题
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°， 例10. 如图，梯形 中 ∥ ， ° AB=14cm，AD=18cm，BC=21cm，点P从点 开 从点A开 ， ， ， 从点 始沿AD边向点 以 1cm/s的速度移动 ， 点 Q从点 边向点D以 的速度移动， 从点C 始沿 边向点 的速度移动 从点 开始沿CB向 B点以 点以2cm/s的速度移动 ， 如果 、 Q 的速度移动， 开始沿 向 点以 的速度移动 如果P、 分别从A、 同时出发 设移动t ， 为何值时 同时出发， 为何值时， 分别从 、C同时出发，设移动 s，求t为何值时， 梯形PQCD是等腰梯形？ 梯形 是等腰梯形？ 是等腰梯形
三、典型例题
证明：连结 并延长交 并延长交BC于 。 证明：连结AE并延长交 于G。 ∵∠1＝ ∵∠ ＝∠2，∠3＝∠4，DE＝EB， ， ＝ ， ＝ ， ∴△ADE≌△GBE。 ≌ 。 则AE＝EG，AD＝BG。 ＝ ， ＝ 。 ∴GC＝BC－BG＝BC－AD。 ＝ － ＝ － 。 的中位线， ∵EF是△AGC的中位线， 是 的中位线
三、典型例题
已知：如图，等腰梯形ABCD中， 例2. 已知：如图，等腰梯形 中 AD//BC，AC、BD交于点 ，BD=6cm， 交于点O， ， 、 交于点 ， 的面积。 ∠BOC=120°，求梯形 ° 求梯形ABCD的面积。 的面积
思路分析：分析： 思路分析：分析：当题中涉及 有对角线的关系时， 有对角线的关系时，我们常过 某个顶点作梯形对角线的平行 从而构造平行四边形， 线，从而构造平行四边形，等 腰三角形等来解决问题。 腰三角形等来解决问题。
三、典型例题
于点F． 解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于点 ． 如图，过点 作 ∥ ， 于点 ∵AD∥BC， ∥ ， 四边形ABFD是平行四边形． 是平行四边形． ∴四边形 是平行四边形 ∴BF＝AD＝1 ＝ ＝ 由DF∥AB，得∠DFC＝∠ABC＝90° ∥ ， ＝ ＝ ° 2 2 在Rt∆DFC中，∠C＝45°，CD＝ 中 ＝ ° ＝ 根据勾股定理， 根据勾股定理，得FC＝2 ＝ 又由BE⊥ ，所以在Rt∆BEC中，∠C＝45°， 又由 ⊥CD，所以在 中 ＝ ° 3 BC＝1＋2＝3 ＝ ＋ ＝ 2 根据勾股定理，得BE＝CE＝ 2 根据勾股定理， ＝ ＝
三、典型例题
• 证：延长 延长AM交DC的延长线于 。 的延长线于E。 交 的延长线于 • ∵M是BC中点，易证 是 中点， 中点 • M是AE的中点，AB＝CE。 的中点， ＝ 。 是 的中点 • 又DE＝DC＋CE， ＝ ＋ ， • AB＋CD＝AD，∴AD＝DE。 ＋ ＝ ， ＝ 。 • 是等腰三角形， △ADE是等腰三角形，故DM平 是等腰三角形 平 分∠ADC。 。
三、典型例题
分别交BC， 的延长线于 的延长线于G， 解：过E作GH∥BA分别交 ，AD的延长线于 ，H 作 ∥ 分别交 中点， 由E为DC中点，可证△GCE≌△HDE 为 中点 可证△ ≌
S 梯形ABCD = S 平行四边形ABGH = AB·EF = a·h
∴
S 梯形ABCD = ah ∴
三、典型例题
三、典型例题
如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E 例4. 如图所示，梯形 中 ∥ ， 的中点， 是 的中点 的中点。 是BD的中点，F是AC的中点。 的中点
思路分析: 通过E是 的中点 思路分析 通过 是BD的中点 的中点,提示我们可 ，F是AC的中点 提示我们可 是 的中点 以构造三角形的中位线。 以构造三角形的中位线。
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请同学们准备好笔和纸， 请同学们准备好笔和纸，认真听讲
一、本单元考点
1. 梯形判定及性质的应用 2.化归思想，即将梯形转化成平行四边形和 化归思想， 化归思想 三角形。 三角形。
二、基础知识点
• 1. 定义：有一组对边平行，另一组对边不 定义：有一组对边平行， 平行的四边形叫做梯形。 平行的四边形叫做梯形。 • 其中：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 其中：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
二、基础知识点
二、基础知识点
梯形中常用的辅助线添法有： 梯形中常用的辅助线添法有：
三、典型例题
已知：如图，梯形ABCD中， AB//CD， 例 1. 已知 ： 如图 ， 梯形 中 ， AB=5， AD=6， ∠ C=45° ， ∠ D=60° ， 求 ， ， ° ° CD的长。． 的长。． 的长
三、典型例题
• 证：作AE⊥BC于E，易证AE＝DC。 • ∵∠AMB＝180°－(75°＋45°) • ＝60°，MA＝MB。 • ∴△AMB为等边三角形。 • ∴AB＝BM。 • ∵∠ABE＝60°＋15° • ＝75°＝∠BMC， • ∴Rt△ABE≌Rt△BMC。 • ∴AE＝BC，又DC＝AE， • 故BC＝CD。
， ，
∴ FD =
1 1 AD = × 6 = 3 （直角三角形中30°角所对的直角边等于斜 边的一半） 2 2
AF = 3 3， BE = 3 3 ∴
，
在Rt∆BEC中，∠C = 45°
∴ CE = BE = 3 3 （等腰直角三角形的两 腰相等）
．
∴ CD = CE + EF + FD = 3 3 + 5 + 3 = 8 + 3 3
三、典型例题
如图所示，在直角梯形ABCD中， 例9. 如图所示，在直角梯形 中 AD∥BC，∠D＝∠C＝90°，MA＝MB， ∥ ， ＝ ＝ ° ＝ ， ∠BMC＝75°，∠AMD＝45°。求证： ＝ ° ＝ ° 求证： BC＝CD。 ＝ 。
分析：通过添加适当的辅助线， 分析：通过添加适当的辅助线， 从而把它转化成三角形和矩形的 有关知识． 有关知识．本题通过平移对角线 构造全等的直角三角来解题． 构造全等的直角三角来解题．
三、典型例题
分析：解梯形的关键，往往就是通过添加适当的辅助线， 分析：解梯形的关键，往往就是通过添加适当的辅助线，从 而把它转化成三角形和平行四边形的有关知识． 而把它转化成三角形和平行四边形的有关知识．本题通过 平移对角线构造直角三角形， 平移对角线构造直角三角形，再根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半来解题． 中线等于斜边的一半来解题．