11.3_角平分线的性质课件
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11.3角平分线的性质(1)
B D A E C A D E C
A
E B D
F C
当堂训练 暗线:课本P22 第2 、3题
1、《全品》P13-14课时作业（七） 2、预习P19
4．如图，已知：E是∠AOB的平分 线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， 求证:OD=OC
D O
C A
E B
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在 AC上，BD=DF， A 求证CF=EB.
课堂练习:
1.如图,P是∠ACB平分线cM上的一点, 则利用角平分线的性质要使PD=PE,需 满足的条件是_____________.
E C D A
M P B
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 如果AB=10cm， EC=4cm，那么S△ABE=（ ） A.20cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.无法确定 B
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , 点D即为所求。 O
D
s
C
探究P20.动手做一做,画一画.
画∠AOB的平分线OC,在OC上找一点P,过 点P作PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E. 比较折纸过程, PD和PE有什么数量关系?
你能得出什么结论?
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
得到_____=_____。
1
C
3 4
A
2 2
B
D
例题选讲一
例1、已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O， 且AO平分∠BAC，求证：OB=OC
A D O E C
课本P22【练习】
B
A
E B D
F C
当堂训练 暗线:课本P22 第2 、3题
1、《全品》P13-14课时作业（七） 2、预习P19
4．如图，已知：E是∠AOB的平分 线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， 求证:OD=OC
D O
C A
E B
应用与提高
例：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是 △ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在 AC上，BD=DF， A 求证CF=EB.
课堂练习:
1.如图,P是∠ACB平分线cM上的一点, 则利用角平分线的性质要使PD=PE,需 满足的条件是_____________.
E C D A
M P B
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC 如果AB=10cm， EC=4cm，那么S△ABE=（ ） A.20cm2 B.30cm2 C.40cm2 D.无法确定 B
s
解： 作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm , 点D即为所求。 O
D
s
C
探究P20.动手做一做,画一画.
画∠AOB的平分线OC,在OC上找一点P,过 点P作PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别为D、E. 比较折纸过程, PD和PE有什么数量关系?
你能得出什么结论?
角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
得到_____=_____。
1
C
3 4
A
2 2
B
D
例题选讲一
例1、已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD、BE交于点O， 且AO平分∠BAC，求证：OB=OC
A D O E C
课本P22【练习】
B
《角平分线的性质》PPT优秀课件
现？
B 由此，你能得到什么结论？
M在ABiblioteka 上另取一点Q,试一试，D 你能得出同样的结论吗？ P
A
N
C
角平分线上的点，到这个角的两边的 距离相等。
M性质主要B用于证已 线知 ，：P为AADD为上B任A意C角一平点分， 明两线段相等，使 PM AB, PN AC, A 用平的分前线提，P 是关D有 键角 是试的 图说明：PM=PN 中是N否有“垂直”。
PPT素材：/sucai/ PPT图表：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ 范文下载：/fanwen/ 教案下载：/jiaoan/ PPT课件：/kejian/ 数学课件：/kejian/shu xue/ 美术课件：/kejian/me ishu/ 物理课件：/kejian/wul i/ 生物课件：/kejian/she ngwu/ 历史课件：/kejian/lish i/
情境引入
天泉农副产品集散基地M位于李庄A、 王庄B、赵庄C三个村庄之间，其位 置到三条公路AB、AC、BC的距离
相等。你能在图中 ABC 内部画出
M的位置吗？
C
A
B
动动手 画一画
请同学们拿出一张纸，在纸
上任意画出一个角 BAC ,
把它剪下并对折，使角的两
边重合，然后展开铺平，你
有什么发现？
B
（1）思考：角是轴对称图形吗？
否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠BAC的
随 练习
A
12
一 填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴(_角____D_平__C___分=__D__线_E____上____的__点___到__角__的__两___边__的__距_C__离__相__等D_____) B
11.3角平分线的性质(1)课件
⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ （2）求证： △DBC ≌△DEB
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
作法： １．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
几何语言：Biblioteka ∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
A
E D
B
C
练一练
2. 在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
在∠AOB的平分线 OC上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
作法： １．以Ｏ为圆心，适当长 为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２.分别以Ｍ,Ｎ为圆心.
A
Ｍ
Ｃ
大于 1ＭＮ的长为半径作
弧．两弧在∠AOB的内部
2
交于Ｃ．
３.画射线OC．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
动手折一折
• 发现规律：
角平分线上的点到角两边的 距离相等。 A
D O E
P ·
B
C
角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
从这节课中你 有哪些收获？
课堂小测
• 堂堂清
作 业
• 1.课本22页第2题。（作业本） • 2.练习册 • 3.预习教材21页。自学例题并思考点P在角 A的平分线上吗？ • 能力提升题：
课本23页第5题。（作业本）
几何语言：Biblioteka ∵OC是∠AOB的平分线，
A
D C
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
B
P
·
E
O
一起来证明这个性质：
已知： ∠AOC= ∠BOC,点P 在OC上， PD ⊥OA,PE ⊥OB, 求证: PD=PE
12.3角的平分线的性质 课件(人教版八年级上册)5
E
B
A
已知：如图，OC平分∠AOB， 点P在OC上，PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E。 求证: PD=PE。 证明： PD OA ,PE OB
D
1 2
P E
C B
O
∠ODP=∠OEP=90 OC平分∠AOB ∠1= ∠2 在△ ODP和△OEP中 ∠ODP=∠OEP ∠1 = ∠2 OP=OP △ ODP PD=PE △OEP AAS S
A
BБайду номын сангаас
M
A
练一练
填空：
1 2
E C D B
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
④ ① ②
③
由上面两个定理可知：到角的两边的距离 相等的点，都在这个角平分线上；反过来， 角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线是到角的两边距离相 等的所有点的集合.
练习３：
如图：在△ ABC 中，∠ C=90 ° AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
角平分线的性质 课件
05
角平分线的习题与解析
基础习题
1 3
基础习题1
已知角平分线AD，点E在AD上，若∠BAC=50°， ∠CAD=25°，求∠BCA的度数。
基础习题2
2
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠B=40°，∠C=70°，
求∠BAD的度数。
基础习题3
在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，若∠BAC=120°， ∠C=30°，求∠BAD的度数。
03
角平分线将一个多边形分成面积相等的两部分。
02
角平分线的性质证明
性质1的证明
总结词
角平分线将相对边分成两段相等 的线段
详细描述
根据角平分线的定义，我们知道 角平分线将一个角分为两个相等 的子角。因此，相对边被角平分 线分成两段相等的线段。
性质2的证明
总结词
角平分线上的点到角的两边距离相等
详细描述
总结词
基于角平分线定理，我们可以推导出 一些重要的推论，这些推论在解决几 何问题时非常有用。
详细描述
推论一，若AD为角BAC的角平分线，则有 AB/BD = AC/CD。这个推论可以直接从角平 分线定理得出。推论二，若AD为角BAC的角平 分线，且在点D上作线段DE平行于AB交AC于 点E，则有AE =EB。这个推论可以用于证明线 段的等分。
角平分线定理的应用
要点一
总结词
角平分线定理在实际问题中有着广泛的应用，它可以用于 解决各种与角度和线段比例相关的几何问题。
要点二
详细描述
应用一，在建筑设计时，可以利用角平分线定理来确定建 筑物的位置和角度，以确保建筑物的美观和功能性。应用 二，在地图绘制时，可以利用角平分线定理来确定道路、 河流等地理要素的走向和分布，以保证地图的准确性和实 用性。应用三，在土地测量时，可以利用角平分线定理来 确定土地的边界和面积，以确保土地测量的准确性和公正性。
新人教版11.3角的平分线的性质第二课时
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明: 证明 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ⊥ ， ⊥ （已知）， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义） ＝ ＝ ° 垂直的定义） 在Rt△PDO和Rt△PEO中 △ 和 △ 中 PO＝PO（公共边） ＝ （公共边） PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） △ ≌ △ （ ） ∴ ∠ POD＝∠POE ＝ ∴点P在∠AOB的平分线上
Hale Waihona Puke 2、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, BM上 ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上, 的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 结论：三角形的三条角平分线交于一点， 并且交点到三角形三边的距离相等。 并且交点到三角形三边的距离相等。
角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD＝PE ＝
O 1 2 E B D P C A
反过来， 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？ 否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足， PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
11.3角平分线的性质(第二课时)
2008年下期八年一期数学师生共用讲学稿（NO:10）
执笔：刘伟平审核：吴光丁姓名
学习课题：11.3角的平分线的性质（第二课时）
学习内容：教材P21
学习目标：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤
2、进一步理解角平分线的性质及运用
学习重点：角平分线的性质及运用
学习难点：角平分线的性质的灵活运用
学习方法：探究、交流、练习
学习过程：
一、课前巩固
1、画出三角形三个内角的平分线
你发现了什么特点吗？
2、如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等
二、学习新知
（一）思考：教材P21
1、求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
2、完成思考中的问题（完成于书上）
（二）应用
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求
证∠1＝∠2
三、总结
四、作业
1、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB 交OB于E，F是OC上的另一点，连接DF，EF，
求证DF＝EF
2、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等。
10 11.3 角的平分线的性质(1)
已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 已知:如图,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB, ,P 上一点 垂足分别是D,E D,E， PD=PE。 垂足分别是D,E，且PD=PE。 求证:OC :OC是 AOB的平分线 的平分线. 求证:OC是∠AOB的平分线. A
D O 1 2 E B P C
分析:要证明PD=PE, PD=PE,只要证 分析:要证明PD=PE,只要证 明它们所在的△OPD≌△OPB， 明它们所在的△OPD≌△OPB，而 OPD≌△OPB的条件由已知易知 △OPD≌△OPB的条件由已知易知 它满足AAS. 故结论得证。 它满足AAS. 故结论得证。
D O 1 2 E B P C
A
已知:如图,OC是 已知:如图,OC是∠AOB ,OC 的平分线,P OC上任意一点 ,P是 的平分线,P是OC上任意一点 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别 是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE.
D O 1 2 E B P C
已知:如图,OC是 AOB的平分线,P是OC上 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上 ,OC 的平分线,P 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. 求证:PD=PE. A
O
B
巩固练习
作一个平角∠AOB， 作一个平角∠AOB，作出它的角平分线 OC，反向延长OC得到直线CD。 OC，反向延长OC得到直线CD。你能说出直线 OC得到直线CD CD与直线AB的关系吗？ CD与直线AB的关系吗？ 与直线AB的关系吗
A
· O
角平分线的性质第一课时优质课件PPT
则我们得到作一条直线垂线的方法．
2021/02/02
6
相信自己!
4、将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第
一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
A
C
O
B
O
由此我们得到角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边距离相等．
2021/02/02
7
你能用三角 形全等证明 这个性质吗？
Ｃ
Ｍ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ
Ｎ
ＯO
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
2021/02/02
5
其实你能做得更好
3、练习： (1)平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC 以后,把它反向延长得到直线ＣＤ，直线ＣＤ与直 线ＡＢ是什么关系？ (2)在(1)的基础上,作出一个45º的角.
∴PD=PE
2021/02/02
8
A
随 练习
12
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴_D_C__=_D_E_____
C
D
B
(__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的___距__离__相___等____)
× 2、判断题（ ）
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
铁路
解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cm
ＳＡ
则点Ａ即为所求的点
2021/02/02
10
1：画一个已知角的角平分线；
画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图 并会画一条已知直线的垂线；
2021/02/02
6
相信自己!
4、将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第
一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？
A
C
O
B
O
由此我们得到角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边距离相等．
2021/02/02
7
你能用三角 形全等证明 这个性质吗？
Ｃ
Ｍ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS） Ｂ
Ｎ
ＯO
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB
2021/02/02
5
其实你能做得更好
3、练习： (1)平分平角∠AOB．通过上面的步骤得到射线OC 以后,把它反向延长得到直线ＣＤ，直线ＣＤ与直 线ＡＢ是什么关系？ (2)在(1)的基础上,作出一个45º的角.
∴PD=PE
2021/02/02
8
A
随 练习
12
1、 ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
E
∴_D_C__=_D_E_____
C
D
B
(__角__平__分___线__上__的___点__到__角___的__两__边__的___距__离__相___等____)
× 2、判断题（ ）
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
铁路
解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cm
ＳＡ
则点Ａ即为所求的点
2021/02/02
10
1：画一个已知角的角平分线；
画法：①量角器；②平分角的仪器；③尺规作图 并会画一条已知直线的垂线；
13[1].].3角平分线的性质(1)
![13[1].].3角平分线的性质(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/e0b342f7700abb68a982fbb8.png)
定理的作用： 证明线段相等。
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 角的平分线上的点到角的 )
两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ BD = CD ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
求证：CF=EB
A
F C
E
D
B
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这节课我们学习了哪些知识？◆
角的平分线的性质： 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言: ∵ OC是∠AOB的平分线, 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
O
E A C P B
11.3角平分线的性质
教学目标
• 1、会画角的平分线。 • 2、掌握角的平分线的性质，并应用性质解 决简单问题。 • 重点：角平分线的性质及其应用。 • 难点：灵活应用两个性质解决问题。
角平分线的性质
折一折
A A D P O B O E B C
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折 痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕, 你能得出什么结论? 可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第 二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一 点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
..角平分线的性质() 优秀课特等奖 课件
Ｂ
Ｎ
Ｏ
则射线ＯＣ即为所求．
角平分线上的点到角的两 边的距离相等。
在∠AOB的平分线OC 上任取一点P，然后， 作点P到∠AOB两边的 垂线段PD、PE，画一 画，量一量，从中你有 O 什么新发现？你能说明 其中的道理吗？
A D P · E
C
B
随堂练习
1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
C
A
D
P
B
·
E
O
动脑筋
2.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。
A D
B
E
C
练一练
A
E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB， AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
小结
角平分线的性质() 公开课一等奖课件
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CAABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
角平分线的性质课件
角平分线的性质
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：
A D
因为∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
1
C P
2
所以PD=PE.
O
EB
【跟踪训练】
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和 公路的距离相等， 离公路与铁路交叉处500 m，这个 集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20 000）
在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE（已知）
所以 Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） 所以∠ QOD＝∠QOE 所以点Q在∠AOB的平分线上
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示为： 因为 QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． 所以点Q在∠AOB的平分线上．
2.分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1 ＭＮ的长
2
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
为什么OC是∠AOB的平分线?
【解析】连接MC,NC.由作法知:
在△OMC和△ONC中
A
OM=ON MC=NC
M
C
OC=OC O
所以△OMC≌△ONC(SSS)
N
B
所以∠AOC=∠BOC
如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的
角，又该怎么办呢？
视察下面简易的平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
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角两边的距离相等。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 角平分线上的任意一点到 )
角两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC
角平分线上的任意一点到角 ，两边的距离相等。
B
√
A
D
C
3.已知：△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB, 且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
A
E
B
4 .已知：如图，在△ABC中，∠C=90° AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
A
F C
E
D
B
◆这节课我们学习了哪些知识？
角平分线的性质
温故知新 什么是点到直线距离？ 从直线外一点 到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
垂线段的长 度
A
O
B
角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE
D A
C
P
O E B
以后不必再证全等！
如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB 又 ________________
A
∴PD=PE
(
角平分线上的任意一点 到角两边的距离相等
D
C
)
B
P
O
E
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BLeabharlann 的长。AEC
D
B
A
1 .如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分 别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
E
C D
BE=
BF
。
B F C
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线 ，AE+DE= 6cm 。
角平分线的性质
定理：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
用几何语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完整，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角平分线上的任意一点到角两 边的距离相等)
O
1 2
E
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 角平分线上的任意一点到 )
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 角平分线上的任意一点到 )
角两边的距离相等。
A B C
（×）
D
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ DB = DC
角平分线上的任意一点到角 ，两边的距离相等。
B
√
A
D
C
3.已知：△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB, 且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
C
D
A
E
B
4 .已知：如图，在△ABC中，∠C=90° AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF； 求证：CF=EB
A
F C
E
D
B
◆这节课我们学习了哪些知识？
角平分线的性质
温故知新 什么是点到直线距离？ 从直线外一点 到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。
P
垂线段的长 度
A
O
B
角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。 求证：PD=PE
D A
C
P
O E B
以后不必再证全等！
如图， ∵ OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB 又 ________________
A
∴PD=PE
(
角平分线上的任意一点 到角两边的距离相等
D
C
)
B
P
O
E
在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BLeabharlann 的长。AEC
D
B
A
1 .如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分 别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 60 度，
E
C D
BE=
BF
。
B F C
2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角平分线 ，AE+DE= 6cm 。
角平分线的性质
定理：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
用几何语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
推理的理由有三个， 必须写完整，不能 少了任何一个。
A D P
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角平分线上的任意一点到角两 边的距离相等)
O
1 2
E
B
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ BD = CD ，( 角平分线上的任意一点到 )