6.2.1 排列教案学案
高中数学排列的教案
高中数学排列的教案教学目标：1. 了解排列的定义和性质。
2. 掌握排列的计算方法。
3. 能够应用排列解决实际问题。
教学重点：1. 排列的定义。
2. 排列的计算公式。
3. 排列的实际应用。
教学难点：1. 排列的组合计算。
2. 排列的应用题解决。
教学过程：一、导入教学（5分钟）通过一个生活中的例子引入排列的概念，让学生了解排列是指一组事物按照一定规律排列的方式。
二、讲解排列的定义和性质（15分钟）1. 讲解排列的定义：排列是指从一组事物中选择若干个事物按照一定的顺序排列的方式。
2. 性质：包括排列的计算公式和性质，如排列的计算方法和排列的性质等。
三、示范排列的计算方法（20分钟）1. 讲解排列的计算方法：根据排列的性质，介绍排列的计算方法，例如使用排列公式计算排列数量。
2. 给出几个简单的排列题目，让学生通过实际计算来理解排列的计算过程。
四、练习与讨论（15分钟）1. 给学生几道排列计算题目进行练习，帮助学生掌握排列的计算方法。
2. 利用实际生活中的问题，让学生应用排列解决实际问题，提高学生的应用能力。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结本节课的内容，强调排列的重要性和应用。
2. 展示排列在实际生活中的应用，拓展学生对排列的理解和应用。
六、课堂作业（5分钟）布置相关的排列计算的作业，巩固学生的学习成果。
教学反思：通过本节课的教学，让学生对排列的概念和计算方法有了一定的了解，但仍需通过更多的练习和实践来加深对排列的理解和应用。
在以后的教学中，可以结合更多实际生活中的问题，让学生更好地理解排列的应用。
《排列》导学案2.doc
复习引入《排列》导学案2教学目标:知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪1分类加法计数原理：做-•件事情，完成它可以有n类办法，在笫一类办法屮有" 种不同的方法，在笫二类办法屮有加2种不同的方法，……，在笫n类办法屮有加”种不同的方法那么完成这件事共有N = +加2 +・・・+加〃种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有"种不同的方法，做第二步有加2种不同的方法，……，做第n步有加”种不同的方法，那么完成这件事有N = m[xm2x--xm n 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于:分类加法计数原理针対的是“分类”问题，其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存,某一步骤屮的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：1•分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1问题：问题1.从甲、乙、丙3名同学屮选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学小每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对彖叫做元素解决这一问题可分两个步骤:第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人, 有3种方法；笫2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人屮去选，于是有2种方法.根据分步乘法计数原理，在3 名同学屮选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3X2=6种，如图1.2—1所示.上午下午相应的排法甲V：■一乙甲乙-7丙甲丙乙V —甲乙甲■丙乙丙丙V —-甲丙甲7丙乙图1.2—1把上面问题屮被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素a, b , 0 中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？所有不同的排列是ab, ac, ba, be, ca, cb,共有3X2=6种.问题2.从1,2,3, 4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的数，在4个字母中任取1个，有4种方法；第二步确定中间的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定右边的数, 从余下的2个数中取，有2种方法由分步计数原理共有：4X3X2=24种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1 ,2,3, 4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后,十位上的数字只能从余下的3个从4个不同的元素a, b, c,数字中去取，有3种方法;第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下 的2个数字屮去取，有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1 ,2,3, 4这4个不同的数字中，每次取出3个数 字，按“百” “十” “个”位的顺序排成一列，共有4X3X2 二 24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图1. 2-2所示.由此对写出所有的三位数:123, 124,132, 134,142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324, 341, 342, 412,413, 421, 423, 431, 432 o同样，问题2可以归结为:d 屮任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？ 所有不同排列是abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, boa, bed, bda, bd c, cab, cad, cba, cbd, eda, ed b,dab , dac, dba, dbc, dca, de b. 共有4X3X2二24种.\34\4/ 2/2树形图如下2.排列的概念： 从力个不同元素中，任取加(m<n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从刃个不同元素屮取出m 个元素的一个排列 • • • • • • •说明：(1)排列的定义包插两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同3. 排列数的定义：从斤个不同元素屮，任取加(m< n)个元素的所有排列的个数叫做从〃个元素屮取出 加元素的排列数，用符号表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从比个不同元素中，任取加个元 素按照二底旳顺序排成一列,不是数；“排列数”是指从刃个不同元素中，任取加(m<w) 个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号只表示排列数，而不表示具体的排列4. 排列数公式及其推导：由的意义：假定有排好顺序的2个空位，从个元素勺卫2••…匕中任取2个元素去 填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这 样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数盂.由分步计数原理完成上 述填空共有n{n -1)种填法，・・・A ； =n(n-1)由此 求可以按依次填3个空位来考虑，・・・崙"(斤-1)5-2), 求以按依次填m 个空位来考虑A ： = n(n 一l)(n 一2)・・・⑺_加+1), 排列数公式：A ： = 7?(72 - l)(n-2)--(n-m + l) (m, n e N\m <n)说明：(1)公式特征：第一个因数是72,后面每一个因数比它前面一个 少1,最后一个因数是/i-m + l,共有加个因数；(2)全排列：当n = m 时即舁个不同元素全部取出的一个排列•全排列数：= (叫做 n 的阶乘) 另外，我们规定0!=1 . 例1.用计算器计算：(1) A 加 (2) £1； (3) A ：D由(2 ) ( 3 )我们看到，A ；* = 那么，这个结果有没有一般性呢？即占,A ；；—川“ A ；M (n-m)l'排列数的另一个计算公式：第1位第2位第3位第in 位图 1(b5A： = n(n -1)(/? -2)-••(/:- m +1)加・1・3・・・(2〃—3)(2〃—1) n\1・3・5…（2料一1）=右边n{n - l)(n _ 2)…(n —加 + l)(n _ 加)…3 • 2 • 1/?! A：(/?- m)(« _ 加 _ 1) • • • 3 • 2 • 1(n-m)! A；；［：即A：二——(n-m)\例2.解方程：3A>2A；+1+6A；.解：由排列数公式得：3x(x-l)(x-2) = 2(x + l)x + 6x(x-l),T 兀n 3 ,・°・ 3(兀一1)(兀一2) = 2(兀 +1) + 6(x — 1),即3x~ — 17x +10 = 0,2解得兀=5或兀二一，・・・兀»3, HxeN\ :.原方程的解为兀=5・3例3.解不等式：& >6爲解：原不等式即一>6 -------------------- - -- ,(9 — Q! (11-x)!也就是一'—> ----------------- - ----------- ,化简得：X2-21X +104>0,(9-x)! (ll-x)(10-x)(9-x)!解得xv8或兀>13, XV2<x<9, I XG 7V\所以，原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}.例4.求证：（1）A；： = A；：• A；；］；：；（2）字1 = 1・3・5…（2〃一1）・2" • n!72丨证明：（1）A；・A；：［；：=—（n-m）! = n! = A；；9 A原式成立（n-m）!/ 、（2n）l2〃（2〃一1）・（2〃一2）・・・4・3212”・川2"・川25" —1)…2・1・(2〃—1)(2兀一3)…3 12“・川•••原式成立说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数中,且加这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式船二斤⑺-1）（川-2）・・・（斤-加+ 1）常用來求值，特别是加‘均为己知时，公式A：二—,常用来证明或化简（n-m）!；(2)lxl!+2x2!+3x3!+・・・+ 〃x 川q/1 1 2 3 n — 1例 5 • 化 阳j: ⑴ ---- 1 --- 1 ---- --- ---------2! 3! 4! n\⑴解: 原式 =1! --------- 1 ---------- 1 ---------- ---- ------------------ =1 -------2! 2! 3! 3! 4! (H -1)! n\ n\⑵提示：由(n +1)! = (/? +1)n! = /?x H !+/?!,得HXH ! =+,说明:77 —1_ 1 1n\ (M-1)! n\。
排列问题集体备课教案及反思
排列问题集体备课教案及反思教案标题：排列问题集体备课教案及反思教案目标：1. 理解排列问题的基本概念和解题方法。
2. 能够应用排列问题的解题方法解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教师需要提前准备好教案、教学课件、白板、黑板、彩色粉笔等教学工具。
2. 学生准备：学生需要准备好课本、笔记本等学习工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师可以通过提问的方式引入本节课的主题，例如：“同学们，你们知道什么是排列问题吗？”2. 学生回答后，教师可以简要解释排列问题的概念，并给出一些实际例子。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过课件或黑板将排列问题的基本概念和解题方法进行讲解。
2. 教师可以通过示例演示排列问题的解题步骤和思路，引导学生理解和掌握解题方法。
三、练习与巩固（20分钟）1. 教师设计一些排列问题的练习题，让学生进行个人或小组练习。
2. 学生完成后，教师进行讲解和答疑，帮助学生理解和掌握解题方法。
四、拓展与应用（15分钟）1. 教师设计一些拓展性的排列问题，让学生进行个人或小组讨论和解答。
2. 学生完成后，教师组织学生进行展示和分享，促进学生之间的交流和合作。
五、反思（5分钟）1. 教师与学生共同回顾本节课的教学内容和学习收获。
2. 学生可以提出对本节课的建议和意见，教师进行总结和反思。
教学反思：本节课通过导入、知识讲解、练习与巩固、拓展与应用等环节，全面培养学生的排列问题解题能力。
教师在课堂上采用了多种教学方法，如示例演示、个人练习、小组讨论等，提高了学生的参与度和学习效果。
在教学过程中，教师注重与学生的互动和交流，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握解题方法。
通过本节课的教学，学生对排列问题有了更深入的理解，提高了解决问题的能力。
在今后的教学中，可以进一步拓展排列问题的应用场景，激发学生的兴趣和创造力。
排列问题教案
排列问题教案教案标题：排列问题教案教案目标：1. 学生能够理解排列问题的基本概念和解题方法。
2. 学生能够应用排列问题的解题方法解决实际问题。
3. 学生能够培养逻辑思维和问题解决能力。
教案步骤：引入活动：1. 引入排列问题的概念，例如：你有3种不同颜色的球，你可以用这些球排列出多少种不同的顺序？2. 引导学生思考和讨论，激发学生对排列问题的兴趣和好奇心。
知识讲解：1. 解释排列问题的定义：排列是指将一组元素按照一定的顺序进行组合。
2. 讲解排列问题的基本概念，例如：元素的个数、元素的选择范围等。
3. 介绍排列问题的解题方法，例如：穷举法、公式法等。
示例演练：1. 给出一些简单的排列问题示例，例如：有4个不同的字母，可以组成多少个不同的3位数？2. 引导学生使用解题方法解决示例问题，并讨论解题过程和答案。
拓展活动：1. 提供更复杂的排列问题，例如：有5个不同的数字，可以组成多少个不同的4位数？2. 鼓励学生尝试不同的解题方法，比较它们的效率和准确性。
3. 分组讨论并展示解题过程和答案，促进学生之间的合作和交流。
总结回顾：1. 总结排列问题的基本概念和解题方法。
2. 强调解题思路和方法的重要性，鼓励学生在遇到排列问题时灵活运用所学知识。
评估反馈：1. 设计一些排列问题的小练习，让学生独立完成并提交答案。
2. 对学生的答案进行评估，并给予针对性的反馈和指导。
教案扩展：1. 将排列问题与实际生活中的情境相结合，例如：排队、座位安排等，引导学生思考和解决相关问题。
2. 引导学生尝试更复杂的排列问题，例如：有重复元素的排列问题，或是带有限制条件的排列问题。
注意事项：1. 根据学生的学习进度和能力，适当调整教案的难易程度。
2. 鼓励学生多思考和尝试不同的解题方法，培养他们的创新思维和问题解决能力。
3. 在教学过程中，及时给予学生积极的鼓励和肯定，激发他们的学习兴趣和自信心。
高中数学选修2-3精品教案6：1.2.1 排列(二)教学设计
1.2.1 排列（二）知识与技能利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学难点：利用排列和排列数公式解决简单的计数问题．教学过程复习回顾提出问题1：判断下列两个问题是不是排列问题，若是求出排列数，若不是，说明理由．(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？活动设计：学生自己独立思考，教师提问．活动成果：解：(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．本题中两个小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1种，各人得到哪种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算．设计意图：引导学生通过具体实例回顾排列的概念和排列数公式．典型例题类型一：直接抽象为排列问题的计数问题例1.某年全国足球甲级(A组)联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？解：任意两队间进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是A214＝14×13＝182.点评：要学会把具体问题抽象为从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同元素，按一定顺序排成一列的问题．巩固练习某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号有A13种；第二类用2面旗表示的信号有A23种；第三类用3面旗表示的信号有A33种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是：A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15种不同的信号．变式演练将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从4个不同元素中取出4个元素排成一列，有A44种方法；第二步：把4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有A44种方法．利用分步乘法计数原理即得分配方案的种数．解：由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A44·A44＝576.即共有576种不同的分配方案．类型二：有约束条件的排列问题(特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2.用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？思路分析：在本问题的0到9这10个数字中，因为0不能排在百位上，而其他数可以排在任意位置上，因此0是一个特殊的元素．一般的，我们可以从特殊元素的排列位置入手来考虑问题．解法一：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是0，因此可以分两步完成排列．第1步，排百位上的数字，可以从1到9这九个数字中任选1个，有A19种选法；第2步，排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A29种选法(如图)．根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为A19×A29＝9×9×8＝648.解法二：如图所示，符合条件的三位数可分成3类．每一位数字都不是0的三位数有A39个，个位数字是0的三位数有A29个，十位数字是0的三位数有A29个．根据分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数为A39＋A29＋A29＝648.解法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A310，其中0在百位上的排列数是A29，它们的差就是用这10个数字组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求的三位数的个数是A310－A29＝10×9×8－9×8＝648.点评：对于例2这类计数问题，可用适当的方法将问题分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解题方法．解法一根据百位数字不能是0的要求，分步完成选3个数组成没有重复数字的三位数这件事，依据的是分步乘法计数原理；解法二以0是否出现以及出现的位置为标准，分类完成这件事情，依据的是分类加法计数原理；解法三是一种逆向思考方法：先求出从10个不同数字中选3个不重复数字的排列数，然后从中减去百位是0的排列数(即不是三位数的个数)，就得到没有重复数字的三位数的个数．从上述问题的解答过程可以看到，引进排列的概念，以及推导求排列数的公式，可以更加简便、快捷地求解“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题．巩固练习从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：(从特殊位置考虑)A19A59＝136 080；解法二：(从特殊元素考虑)若选：5·A59；若不选：A69，则共有5·A59＋A69＝136 080种；解法三：(间接法)A610－A59＝136 080.变式演练A、B、C、D、E五个人排成一排照相，其中A、B不能排在两端，C不能排在中间，共有多少种不同的排法？解法一：若A、B排在中间，则从A、B中选一个排在中间有A12种排法，另一个不在两端的位置上有A12种排法，其余三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若A、B不排在中间，则有A22种排法，C不排在中间有A12种排法，其余两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．解法二：若C排在两端，有A12种排法，另一端从D、E中选一个人，有A12种排法，剩下三个人排在剩下的三个位置上有A33种排法，根据分步乘法计数原理，共有A12A12A33＝24种不同的排法．若C不排在两端，有A12种排法，两端排列D、E，有A12种排法，剩下两个人排在剩下的两个位置上有A22种排法，根据分步乘法计数原理，共有A22A12A22＝8种不同的排法．根据分类加法计数原理，共有24＋8＝32种不同的排法．达标检测1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法(假定每股岔道只能停放1列火车)?2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？3．6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有…() A．30种B．360种C．720种D．1 440种【答案】1.A48＝8×7×6×5＝1 680 2.A44＝4×3×2×1＝24 3.C课堂小结1．知识收获：对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是“正面凑”，一个是“反过来剔”．前者指，按照要求，一点点选出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算．2．方法收获：“化归”的数学思想方法．3．思维收获：“化归”的数学思想方法．补充练习基础练习1．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有__________种不同的种植方法．2．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有__________种不同的方法．3．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能打出不同的信号有__________种．4．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有多少个？【答案】1.24 2.60 3.6解答：4.解法一：(正向思维法)个位数上的数字排列数有A12种(从2、4中选)；万位上的数字排列数有A13种(5不能选)，十位、百位、千位上的排列数有A33种，故符合题意的偶数有A12A13A33＝36个．解法二：(逆向思维法)由1、2、3、4、5组成无重复数字的5位数有A55个，减去其中奇数的个数A13A44个，再减去偶数中大于50 000的数A12A33个，符合题意的偶数共有：A55－A13A44－A12A33＝36个．拓展练习5．一天要排语、数、英、化、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？解：若数学排在第一节，班会课的排法为A12种，其余4节课的排法有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A12A44＝48种；若第一节课不排数学，第一节课的排法有A13种，数学课的排法有A13种，班会课的排法为A12种，其余3节课的排法有A33种，根据分步乘法计数原理，共有A13A13A12 A33＝108种．根据分类加法计数原理得，共有48＋108＝156种．设计说明本节课是排列的第二课时，本节课的主要目标是在老师的带领下，体会排列数公式的应用，体会把具体计数问题划归为排列问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料多排问题单排法：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理．例1.(1)6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是()A．36种B．120种C．720种D．1 440种(2)把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法种数为()A．A515A510B．A515A510A55A33C．A1515D．A515A510A55÷A33(3)8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？【解析】(1)前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A66＝720种排法，选C.【答案】C(2) 【答案】C(3)解：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A24种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A14种，其余5个元素任排在5个位置上有A55种，故共有A14A24A55＝5 760种排法．。
高中数学排列概念导入教案
高中数学排列概念导入教案
1. 引入话题：今天我们将学习排列的概念。
在生活中，我们经常会遇到各种排列的情况，比如排队买票、整理书架等。
那么你们知道什么是排列吗？排列又有哪些特点呢？
2. 引入例子：比如有5只不同的颜色的气球，我们想要将这5只气球排成一排，这种排列方式有多少种呢？我们要如何计算呢？
3. 引入问题：现在，请大家思考一下，如果有n个不同的物品，要将它们排成一列，共有多少种不同的排列方式呢？
【概念引入】
1. 什么是排列：排列是指将一组不同的元素按照一定的顺序排列起来的方式。
2. 排列的特点：排列的元素是不同的，且顺序是有固定要求的。
3. 讨论排列的应用场景，如组合问题、密码锁的密码等。
【小结】
在今天的课程中，我们学习了排列的概念，了解了排列的特点和应用场景。
接下来，我们将进一步学习排列的计算方法和相关性质。
希望大家能够认真学习，掌握排列的基本概念和方法。
教案《排列》
《排列》教案一、教学目标1. 知识目标：了解排列的概念，能够利用排列的方法计算不同情景下的项数和种类。
2. 能力目标：培养学生分析问题、归纳总结的能力，提高解决问题的能力和思维能力。
3. 情感目标：培养学生合作学习和互相协作的意识，增强学生解决问题的自信心。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握排列的定义和基本计算方法。
2. 教学难点：在复杂问题中应用排列的方法进行计算。
三、教学过程1. 导入新课引入排列的概念，通过问题引入，让学生感受排列的应用场景。
例如：小明手里有3种颜色的糖果，他想把这些糖果放进一袋子里，问他一共有多少种不同的放法呢？2. 讲解排列的定义和性质向学生介绍排列的概念，即从给定的元素中按一定的顺序选取若干个进行排列。
同时解释排列的两个基本要素：元素的个数和选取元素的顺序。
3. 讲解排列的计算方法以简单的问题为例，向学生讲解如何计算排列的种类。
通过分析问题，归纳总结出排列的计算方法，如利用等差数列的性质或乘法原理进行计算。
4. 练习排列的计算让学生进行一些基础的排列计算练习，通过练习巩固掌握排列的计算方法。
5. 拓展排列的应用引导学生思考排列在日常生活中的应用场景，例如：某活动有5个游戏项目，一共有10位同学参加，每位同学只能参加一个项目，问共有多少种不同的组队方式？6. 讨论排列问题将学生分成小组，让小组成员之间互相讨论和比较不同排列问题的计算方法，并交流解题思路。
7. 解决实际问题教师出示一些实际的排列问题，让学生利用所学的排列计算方法进行解决。
并进行讨论和总结。
8. 知识点总结再次总结排列的概念、性质和计算方法，并进行知识点的梳理和归纳。
9. 课堂作业布置相关的课后作业，巩固学生对排列知识的掌握程度。
四、教学反思通过本节教学，学生能够了解排列的概念、性质和计算方法，并能够应用排列的思维解决问题。
同时，通过小组合作和讨论的形式，培养了学生合作学习和互相协作的意识。
为了提高教学效果，可以在课堂中提供更多的排列应用案例，并采用更多的互动方式培养学生的解决问题的能力和思维能力。
学案1：6.2.1 排列
6.2.1 排 列学习目标1.理解排列的概念.2.能用“树型图”写出一个排列中所有的排列.创设情景5月1日,小王、小刘、小赵等6名同学与李老师一起外出郊游.在游兴正浓之际,小王提议大家一起合影,把美好的山水风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家齐声叫好,并一致提议李老师排中间.小王说:“我与老师排在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.”而小赵说:“我要与小刘排在一起.”其他三位同学说:“我们随便.”于是,大家排了队,合了影,高兴极了.在回学校的路上,李老师提了一个问题:“我们7个人排队,刚才大家提出了各自的要求,那么,符合你们这些要求的排法共有多少种呢?”你能帮他们计算一下吗?知识导学问题1:排列的概念从n 个 元素中,任取m (m ≤n )个元素,按照 排成一列,叫作从n 个不 同元素中取出m 个元素的 .说明:(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列.(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.问题2:阶乘的概念n 个不同元素全部取出的一个排列,叫作n 个不同元素的一个 ,这时 A n n = .把正整数1到n 的连乘积,叫作 ,表示 , 即A n n = ,规定: .基础学习交流1.89×90×91×92×…×100可表示为( ).A.A 10010B.A 10011C.A 10012D.A 100132.甲、乙、丙、丁四人轮流读同一本书,则甲首先读的安排方法种数为( ).A.24B.12C.6D.33.若A n m=17×16×15×…×5×4,则n=,m=.4.从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,不同值的分数共有多少个?典例精析无限制条件的排列问题例1 有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人.变式训练6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是.有限制条件的排列问题例2 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法?(1)甲不在中间也不在两端;(2)甲、乙两人必须排在两端;(3)男女相间.变式训练把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.(1)43251是这个数列的第几项?(2)这个数列的第97项是多少?当堂检测1.四支足球队进行主客场制的足球比赛,比赛的总场次为().A.6B.12C.16D.242.在数字1,2,3与符号“+”,“-”五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是().A.6B.12C.18D.243.有8人排成一排,甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁,排法共有种.4.有5个人并排站成一排,如果甲必须在乙的右边,则不同的排法有多少种?参考答案知识导学问题1:【答案】不同一定的顺序一个排列问题2: 【答案】全排列n·(n-1)· (n-2) · (n-3) ·…·2·1n的阶乘n!n!0!=1基础学习交流1.【解析】由题意知n=100,∴100-m+1=89,∴m=12.【答案】C2.【解析】甲在首位,相当于乙、丙、丁全排,即3!=3×2×1=6.【答案】C3.【解析】由题易知n=17,又∵4=17-m+1,∴m=14.【答案】17144.解:因为从2,3,5,7,11这五个数字中,任取2个数字组成分数,分数的值各不相同,所以不同值的分数的个数等于从这五个数字中任取2个数字的排列数A52=5×4=20.典例精析例1 解：(1)从7个人中选5个人来排列,有A75=7×6×5×4×3=2 520种.(2)分两步完成,先选3人排在前排,有A73种方法;余下4人排在后排,有A44种方法,故共有A73·A44=5040种.事实上,本小题即为7人排成一排的全排列A77=5040种,属于无任何限制条件的排列问题.【小结】对于无限制条件的排列问题,常用直接法,即把符合条件的排列数直接列式计算.变式训练【解析】前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共A66=720种.【答案】720例2 解：(1)(法一)(元素分析法)先排甲有6种,其余有A88种,故共有6·A88=241 920种排法.(法二)(位置分析法)中间和两端有A83种排法,包括甲在内的其余6人有A66种排法,故共有A83·A66=336×720=241 920种排法.(法三)(等机会法)9个人的全排列数有A99种,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在中间及两端的=241920(种).排法总数是A99×69(法四)(间接法)A99-3·A88=6A88=241 920种.(2)先排甲、乙,再排其余7人,共有A22·A77=10 080种排法.(3)(插空法)先排4名男生有A44种方法,再将5名女生插空,有A55种方法,故共有A44·A55=2 880种排法.【小结】本题集排列多种类型于一题,充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位置分析法(优先考虑特殊位置)、直接法、间接法(排除法)、等机会法、插空法等常见的解题思路.变式训练解：(1)不大于43 251的五位数有A55-(A44+A33+A22)=88个,即为此数列的第88项. (2)此数列共有120项,而以5开头的五位数恰好有A44=24个,所以以5开头的五位数中最小的一个就是该数列的第97项,即51 234.当堂检测1.【解析】相当于从4支球队中选出2支球队的排列,共有A42=12场比赛.【答案】B2.【解析】先排列1,2,3,有A33=6种排法,再将“+”,“-”两个符号插入,有A22=2种方法,共有12种方法,故选B.【答案】B3.【解析】把甲、乙、丙先排好,有A22种排法,把这三个人“捆绑”在一起看成是一个,与其余5个人相当于6个人排成一排,有A66种排法,所以一共有A22A66=1 440种排法.【答案】1 440A55=60种.4.解:∵总的排法数为A55=120种,∴甲在乙的右边的排法数为12。
完整版)《排列》教学设计
完整版)《排列》教学设计本节课的教学对象为XXX高二（1）学生，是临界班学生，因此需要根据学生的实际情况进行教学设计和教学方法的选择。
本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第二节的第一节课，是排列的研究任务，是一类特殊而重要的计数问题。
本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。
因此，本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念。
排列的概念有一定的抽象性，需要采取由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，引导学生分析典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，为后面组合概念的提出埋下伏笔。
教学目标包括理解并能熟练掌握求排列的一般方法，对不同题型寻求到一种恰当的解答方式，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，体会数学的实用价值和魅力。
教学重点为常见排列题型的归纳求解，几类思想方法的传授，教学难点为解题过程中分类为加、分步为乘，有序排列的区分联系。
根据学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的研究过程中，逐步加深理解和灵活运用。
因此，需要在教学中注重引导学生思考和解决问题的能力的培养，同时体验数学思想方法的发现和运用带来的解题便利，让学生体会数学的实用价值和魅力。
最后，需要根据学生的实际情况进行教学设计和教学方法的选择，让学生在教学中积极参与，理解和掌握排列的概念和排列数公式，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学思维水平。
高中数学中的排列问题与生活有着密切的联系，同时也是高中学生研究的重难点，也是高考的必考内容。
但现在很多学生对这部分内容感到困难，不会做题，这成为研究中的难点。
因此，本课将探究高中数学教学中排列应用问题。
教学方法与手段采用以教师为引导，学生为主体，讨论为主线的教学原则，采用情境教学、操作发现、直观演示的教学方法。
高中数学选修2-3优质学案6：1.2.1 排列(二)
1.2.1 排列（二）[学习目标]熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题[复习回顾]1.排列的概念：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．.2.排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（m n≤）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示.3.排列数公式：!(1)(2)(1)=()!=---+-mnnn n n n mn mA（,,m n m n*∈≤N）4.阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1=．一、没有限制条件的排列问题[例1]从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?二、有限制条件的排列问题[例2]用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数?三、处理排列问题的典型问题和方法[例3]三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法?(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法?[变式演练1]5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的选法?[变式提升1]某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?[变式演练2]某年级开设语文、政治、外语、体育、数学、物理、化学七门课程，依下列条件课程表有多少种不同排法.(1)一天开设七门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第七节；(2)一天开设四门不同课程，其中体育不排第一节也不排在第四节.[变式提升2]用0，1，2，…9十个数字可组成多少个没有重复数字的：(1)五位奇数?(2)大于30 000的五位偶数?[变式演练3]从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法?[变式提升3]信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是( )(用数字作答)随堂练习1.某节假日，某校校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表，要求每一位领导值班一天，但校长甲与乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有()种不同的安排方法．A．240 B．264C．336 D．4082.某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒3.(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？4.某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？——★参考答案★——[例1]解：从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个元A=3×2=6种不同的方法.素中任取2个元素的一个排列，因此共有23温馨提示判断是否是排列问题，关键是看是否与顺序有关.此问题的活动分上午和下午.甲参加上午的活动，乙参加下午的活动与甲参加下午的活动，乙参加上午的活动是不同的选派方法，与顺序有关.因此，此题是排列问题.[例2]解法一：从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成156566A A A •+=4 320个没有重复数字的六位数.解法二：从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成1566A A •=4 320(个)没有重复数字的六位数.解法三：用排除法：先不考虑任何限制条件，共组成67A 个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有56A 种，故共有67A -56A =4 320(个)没有重复数字的六位数. 温馨提示有限制条件的排列问题，往往先考虑有限制条件的特殊元素或特殊位置，这可叫“特殊元素(位置)优先法”.[例3]解：(1)(捆绑法)因为三个女生必须在一起，所以可以把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排共有66A 种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有66A ·33A =4 320种不同的排法. (2)(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间一个空，这样共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，使得每个位置至多有一个女生插入，就能保证任意两个女生都不相邻，因此共有55A ·36A =14 400种不同的排法. (3)(位置分析法)：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2人，有25A 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余6位都有66A 种排法，所以共有25A ·66A =14 400种不同的排法.(4)因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可以有15A ·77A 种不同的排法；如果首位是女生，有13A 种排法，这时末位就只能排男生，共有13A ·15A ·66A 种不同的排法，所以共有15A ·77A +13A ·15A ·66A =36 000种不同的排法. [变式演练1]解：不同选法的种数有35A =5×4×3=60(种).[变式提升1]解：用1面旗表示的信号有13A 种，用2面旗表示的信号有23A 种，用3面旗表示的信号有33A 种，根据分类计数原理，所求的信号数是13A +23A +33A=3+3×2+3×2×1=15(种). [变式演练2]解：(1)从元素考虑先满足体育后再安排其他课，从2-6节中任取一节排体育有15A 种排法，再从剩下的6节课中排其它课程有66A 种排法.依乘法原理有15A ·66A =3 600(种). [变式提升2]解：(1)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有15A 种取法.取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的八种不同取法.首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位，百位与千位三个数位选取，共有38A 种不同的安排方法.因此由分步计数原理共有5×8×38A =13 440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类： ①末位数字从0，2中选取，则首位可取3、4、5、6、7、8、9中任一个，共7种选取方法，其余三个数位就有除首末两个数位上的数字之外的八个数字可以选取，共38A 种取法.所以共有2×7×38A 种不同情况.②末位数字从4、6、8中选取，则首位应从3、4、5、6、7、8、9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有38A 种选法，所以共有3×6×38A 种不同情况.由分类计数原理，共有2×7×38A +3×6×38A =10 752个比30 000大的无重复数字的五位偶数. [变式演练3]解：设全集U ={6人中任取4人参赛的排列}，A ={甲跑第一棒的排列}， B ={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元集个数的公式可得参赛方法共有：card(U )-card(A )-card(B )+card(A ∩B )=43326554A A A A --+=252(种).[变式提升3]解：5面旗全排列有55A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是553232A A A •=10(种).随堂练习1.[[解析]](用排除法)6252522462525224A A A A A +A A A 336--=．[[答案]]C2.[[解析]]由题意知，共有55A ＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1 195秒． [[答案]]C3.解：由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有34A ＝24种． ∵总的排法数为55A ＝120种， ∴甲在乙的右边的排法数为551A 602=种． 4.解：解法一：依排第一节课的情形进行分类． ∵第一节排数学，第六节排体育的排法有44A 种； 第一节排数学，第六节不排体育的排法有1444A A ⨯种； 第一节不排数学，第六节排体育的排法有1444A A ⨯种； 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有2444A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同的排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法二：依数学课的排法进行分类．∵数学排在第一节，体育排在第六节的排法有44A 种； 数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有1444A A ⨯种； 数学不排第一节，体育排在第六节的排法有1444A A ⨯种； 数学、体育都不排在第一节和第六节的排法有2444A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同排法有4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．解法三：∵不考虑任何限制条件的排法有66A 种，其中数学在第六节有55A 种，体育在第一节有55A 种，但上面两种排法中都含有数学在第六节，体育在第一节的排法有44A 种．∴所求的不同的排法有654654A 2A +A 504-=种．答：一共有504种不同的排法．。
人教版高中数学选修三6.2.1 排列教学设计
6.2.1排列教学设计
2.从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成一个三
位数,共可得到多少个不同的三位数?
答:
因此可写出所有的三位数:
123,124,132,134,142,143;
213,214,231,234,241,243;312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432.所以共可得到24个不同的三位数.
拓展提高:
3.写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在
两端的所有可能站法．
答:
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DAB C,DACB,DBAC,DCAB,共12种．
链接高考:
4. (2019 天津和平区二模)7人站成两排队列,前排3人,后排4人,现将甲、乙、丙三人加入队列,前排加一人,后排加两人,其他人保持相对位置不变,则不同的加入方法种数为(C)
A.120
B.240
C.360
D.480
答:解析:第一步,从甲、乙、丙三人选一个加到前排,有3种,第二步,前排3人形成了4个空,任选一个空加一人,有4种,第三步,后排4人形成了5个空,任选一个空加一人有5种,此时形成6个空,任选一个空学生对本节课知识点的掌握及运用.。
6.2.1排列 6.2.2排列数 学案-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
高中数学人教A 版（2019）选择性必修第三册6.2.1排列 6.2.2排列数 学案一、学习目标1.理解排列、排列数的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.4.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力. 二、基础梳理1.排列的概念：一般地，从n 个不同元素中取出()m m n 个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.3.排列数的概念：我们把从n 个不同元素中取出()m mn 个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m n 表示.4.排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+.这里m n *∈N ，，并且m n .排列数公式还可以写成!A ()!m n n n m =-.5.全排列的概念：特别地，我们把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列.正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，于是，n 个元素的全排列数公式可以写成A !n n n =.另外，我们规定，0!1=. 三、巩固练习1.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为( ) A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B.甲乙丙，乙丙甲C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D.甲乙，甲丙，乙丙 2.已知2A 132n =，则n =( ) A.11B.12C.13D.143.用四个数字1，2，3，4组成没有重复数字的两位数的个数为( ) A.6B.12C.16D.204.54886599A A A A +=-( ) A.527B.2554C.310D.3205.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法种数为( ) A.240B.360C.480D.7206.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为( )A.3565A A ⋅B.863863A A A -⋅C.3353A A ⋅D.8486A A -7.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位男家长，另外两个小孩儿要排在一起，则所有的排法种数为( ) A.12B.24C.36D.488.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，并决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形共有( ) A.30种B.36种C.48种D.54种9.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为________________.(用数字作答)10.已知332A 10A n n ，则n 的值为______________.11.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为__________________.12.某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有__________种.(用数字作答) 13.有4名男生，5名女生，全排成一行，下列情形各有多少种排法. (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间.14.5名师生站成一排照相留念，其中教师1人，男生2人，女生2人.(1)求两名女生相邻而站的概率；(2)求教师不站中间且女生不站两端的概率.答案以及解析1.答案：C解析：若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；若选出的是甲丙，则站法有甲丙、丙甲；若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.故选C. 2.答案：B 解析：2A 132n =，(1)132n n ∴-=，整理得21320n n --=，解得12n =或11n =-（不合题意，舍去），n ∴的值为12，故选B. 3.答案：B解析：根据题意，一共有24A 4312=⨯=个不同的两位数. 4.答案：A解析：54886599A A 876548765415A A 9876549876594927+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+===-⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯-.故选A. 5.答案：C解析：先将4名志愿者排成一排，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有4245A A 480=种，故选C.6.答案：B解析：在8个人全排列的方法数中减去甲，乙，丙全相邻的方法数，就得到甲，乙，丙三人不全相邻的方法数，即863863A A A -⋅，故选B.7.答案：B解析：先安排首尾两个位置的男家长，共有22A 种方法；将两个小孩儿作为一个整体，与剩下的另两位女家长一同安排在两位男家长的中间，共有2323A A 种方法.由分步乘法计数原理可得所有的排法种数为223223A A A 24=.故选B.8.答案：D解析：先排乙，有3种情形，再排甲，有3种情形，最后排剩余三人，有33A 种情形，因此共有3333A 54⨯⨯=种情形，故选D. 9.答案：18解析：①从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，奇数23A 个.②从0，2中选一个数字2，若2排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，奇数有23A 个；若2排在百位，从1，3，5中选两个数字排在个位与十位，奇数有23A 个.故奇数共有233A 18=个. 10.答案：8解析：332A 10A n n =，3n ∴，2(21)(22)10(1)(2)n n n n n n ∴--=--，2(21)5(2)n n ∴-=-，解得8n =. 11.答案：96解析：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人中没有甲，即选出其他4人即可，有44A 24=种参赛方案；②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有34A 24=种，则此时共有32472⨯=种参赛方案.综上，总共有247296+=种不同的参赛方案. 12.答案：72解析：先安排除甲、乙之外的3人，然后利用插空法安排甲、乙两人，故不同的安排方案共有3234A A 72=种，故答案为72.13.答案：（1）方法一（元素分析法）：先排甲有6种排法，再排其余人有88A 种排法，故共有886A 241920=种排法.方法二（位置分析法）：中间和两端有38A 种排法，包括甲在内的其余6人有66A 种排法，故共有3686A A 336720241920⨯=⨯=种排法.方法三（等机会法）：9个人全排列有99A 种.因为甲排在每一个位置的机会都是均等的，所以甲不在中间及两端的排法种数是996A 2419209⨯=. 方法四（间接法）：988988A 3A 6A 241920-==种.（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有2727A A 10080⨯=种排法.（3）（插空法）先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插空，有55A 种方法，故共有4545A A 2880⨯=种排法.14.答案：(1)5名师生站成一排照相留念共有55A 120=种站法，记“两名女生相邻而站”为事件A ，易知两名女生相邻而站有22A 种站法，将其视为一个整体与其余3个人全排列，有44A 种排法，所以共有2424A A 48=种不同站法，则482()1205P A ==， 即两名女生相邻而站的概率为25. (2)记“教师不站中间且女生不站两端”为事件B ，事件B 分两类：①教师站在一端，另一端由男生站，有113223A A A 24=种站法；②两端全由男生站，教师站除两端和正中间外的2个位置之一，有212222A A A 8=种站法，所以，事件B共包含24832+=种站法，则324 ()12015P B==，即教师不站中间且女生不站两端的概率为4 15.。
排列教案教学
排列教案教案排列教案一、教学内容：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级上册第五单元《排列》。
具体章节为“排列的意义和排列数”。
教学内容包括：1. 理解排列的意义，掌握排列数的计算方法。
2. 学会用列举法解决排列问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。
二、教学目标：1. 学生能够理解排列的意义，掌握排列数的计算方法。
2. 学生能够运用排列知识解决实际问题。
3. 培养学生合作、交流、探究的学习习惯，提高学生的数学素养。
三、教学难点与重点：重点：理解排列的意义，掌握排列数的计算方法。
难点：运用排列知识解决实际问题，尤其是排列数较大的情况。
四、教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、课件学具：练习本、铅笔、橡皮五、教学过程：1. 实践情景引入：教师展示情境：学校举行运动会，有跳高、跳远、铅球三个项目，每个项目有3名运动员参加，问：有多少种不同的比赛顺序？2. 自主探究：学生思考问题，尝试列举出所有可能的比赛顺序。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享各自的列举结果，互相纠正、补充。
4. 讲解排列的意义和排列数的计算方法：教师引导学生理解排列的意义，讲解排列数的计算方法，即：排列数 = 项目数× 每项目的参赛人数。
5. 例题讲解：教师讲解一道典型例题，如：有4名同学参加唱歌、跳舞、器乐三个项目的比赛，每个项目有2名同学参加，问：有多少种不同的比赛顺序？6. 随堂练习：学生独立完成练习题，教师巡回指导。
六、板书设计：排列的意义排列数 = 项目数× 每项目的参赛人数七、作业设计：1. 完成练习册第14页的习题。
答案：（1）6种（2）12种（3）24种2. 运用排列知识解决实际问题：学校举行篮球、足球、乒乓球三个项目的比赛，每个项目有4名运动员参加，请问有多少种不同的比赛顺序？答案：16种八、课后反思及拓展延伸：1. 教师反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
2. 学生课后拓展延伸：研究排列数在实际生活中的应用，如：举办文艺晚会、安排座位等。
高二数学排列教案
高二数学排列教案教案名称：高二数学排列教案教案目标：1. 理解排列的概念和基本性质。
2. 掌握排列的计算方法。
3. 能够应用排列解决实际问题。
教案内容：一、引入（10分钟）1. 利用一个实际生活中的例子引入排列的概念，如从一堆书中选取几本进行排列的情景。
2. 引导学生思考排列的定义和性质。
二、讲解排列的基本概念（15分钟）1. 定义排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序进行排列。
2. 讲解排列的符号表示和计数方法。
3. 引导学生通过例题理解排列的计算方法。
三、排列的计算方法（30分钟）1. 计算全排列：介绍全排列的计算公式和步骤。
示例：从5个不同的元素中取出3个进行排列，计算方法为5P3=60。
2. 计算部分排列：介绍部分排列的计算公式和步骤。
示例：从8个不同的元素中取出3个进行排列，计算方法为A(8,3)=336。
3. 讲解排列中的特殊情况，如有重复元素的排列和循环排列。
四、排列的应用（20分钟）1. 通过实际问题引导学生应用排列解决问题，如选取幸运彩票的方法、座位安排等。
2. 引导学生分析问题，确定问题中的排列元素和计算方法。
3. 练习解决相关的应用题。
五、巩固练习（20分钟）1. 给学生一些排列相关的练习题，包括计算全排列和部分排列的题目。
2. 分析学生的错误原因，进行讲解和指导。
3. 鼓励学生独立思考和解决问题。
六、总结与拓展（10分钟）1. 对本节课的内容进行总结，强调排列的概念和计算方法。
2. 提醒学生在实际生活中灵活运用排列的知识。
3. 鼓励学生拓展思维，探索更多与排列相关的问题。
教学资源准备：1. PowerPoint或者白板、黑板等教学工具。
2. 教学用的实物或者图片，用于引入排列的概念。
3. 教学用的排列计算例题和应用题。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生的积极参与程度和回答问题的准确性。
2. 练习题成绩：对学生完成的练习题进行评分，分析学生的掌握程度。
3. 课堂讨论：通过与学生的互动讨论，了解学生对排列概念和计算方法的理解。
《排列》教案
（Байду номын сангаас）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《排列》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要排序的情况？”比如，排队、编号等。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索排列的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
举例：通过实际操作，让学生从5个不同元素中取出3个元素，观察有多少种不同的取法，引导学生发现重复的现象，从而理解除以(n-m)!的原理。
（2）排列的计数方法：掌握排列的计数方法，能解决较复杂的排列问题。
举例：从6本不同的书中选择4本，要求这4本书的编号必须是连续的，如何计算排列数？引导学生先从6本书中选择连续的4本，再计算这4本书的排列数。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了排列的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对排列的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
《排列》教案核心素养目标：
1.培养学生逻辑推理能力：通过探究排列的定义和排列数公式，使学生能够运用逻辑推理分析问题，培养其逻辑思维。
2.提高学生数据分析能力：引导学生运用排列知识解决实际问题，学会收集、整理和分析数据，提高数据处理能力。
3.增强学生数学应用意识：让学生在实际情境中发现排列的应用，培养数学应用意识，提高解决实际问题的能力。
五、教学反思
在上完《排列》这节课后，我进行了深入的反思。首先，我觉得在导入新课环节，通过提问同学们日常生活中的排序问题，成功引起了他们的兴趣和好奇心。这种方法使得学生能够更快地进入课堂氛围，为后续的教学奠定了基础。
高中数学 第一章《排列》教案1 新人教A版选修2-3
1.2.1排列（第一课时）教学目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学重点：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导教学过程一、复习引入：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k 种途径，由第1种途径有n 1种方法可以完成，由第2种途径有n 2种方法可以完成，……由第k 种途径有n k 种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n 1+n 2+……+n k 种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K 个步骤，完成第1步有n 1种不同的方法，完成第2步有n 2种不同的方法，……，完成第K 步有nK 种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n 1×n 2×……×n k 种不同方法二、讲解新课：1．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填m 个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+，排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -（,,m n N m n *∈≤） 说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）316A ； （2）66A ； （3）46A ．解：（1）316A ＝161514⨯⨯＝3360 ；（2）66A ＝6!＝720 ；（3）46A ＝6543⨯⨯⨯＝360例2．（1）若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示 ． 解：（1）n = 17 ，m = 14 ．（2）若,n N ∈则(55)(56)(68)(69)n n n n ----＝ 1569n A -．例3．（1）从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）255420A =⨯=；（2）5554321120A =⨯⨯⨯⨯=；（3）2141413A =⨯=课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导课堂练习：课后作业：。
人教A版选择性必修第三册6.2.1排列学案
6.2排列与组合6．2.1排列知识点排列的定义一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个________．特别地，我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个________．答案：排成一列排列全排列[重点理解](1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”．(2)只有当元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列．(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质：有序．(4)判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出m个元素后，在安排这m个元素时是有序还是无序，有序就是排列问题，无序就不是排列问题．(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有：字典排序法、树形图法、框图法．[自我排查]1．(2021·浙江杭州高二检测)已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B解析：①中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题；②中，因为两名同学参加的活动与顺序无关，不是排列问题；③中，因为取出的两个字母与顺序无关，不是排列问题；④中，因为取出的两个数字还需要按顺序排列，是排列问题．故选B.2．(2021·浙江杭州高二检测)三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种答案：C解析：若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式．故共有6种不同的传递方式．3．由1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数分别是________．答案：123,132,213,231,312,321解析：用树形图表示为由“树形图”可知组成的三位数为123,132,213,231,312,321，共6个．课堂篇·重点难点要突破研习1 排列的概念[典例1]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组去种菜；(3)选10人组成一个学习小组；(4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(5)某班40名学生在假期相互通信．思路点拨：判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．解：(1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(2)(3)不存在顺序问题，不属于排列问题．(4)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中，(1)(4)(5)属于排列问题．[巧归纳]1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[练习1]下列问题中属于排列问题的是()A．从10个人中选出2人去劳动B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数答案：D解析：A.从10个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；C．从班级内30名男生中选出5人组成一个学习小组，与顺序无关，故错误；D．从数字5,6,7,8中任取2个不同的数做log a b中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确．故选D.研习2 排列的列举问题[典例2](教材P16例2改编)写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．思路点拨：(1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个．[巧归纳]利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略1．适用范围：“树形图”在解决排列对象个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．2．策略：在操作中先将对象按一定顺序排出，然后以先安排哪个对象为分类标准进行分类，再安排第二个对象，并按此对象分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[练习2]某班上午要上语文、数学、体育和外语4门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是() A．24 B．22C．20 D．12答案：D解析：分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语；语文、外语、数学；数学、语文、外语；数学、外语、语文；外语、语文、数学；外语、数学、语文共6种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2×6＝12(种)排课方案．课后篇·基础达标延伸阅读1．(2021·安徽蚌埠第三中学高二月考)算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示：如果把5根算筹以适当的方式全部放入三个格子中，那么可以表示的三位数的个数为()A．46 B．44C．42 D．40答案：B解析：按每一位数上算筹的根数分类，一共有15种情况：(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)，由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分别为2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2，故5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选B.2．(2021·四川绵阳高二期末)由1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是________．(用数字作答) 答案：12解析：由题意，1,2,3,4这四个数组成的没有重复数字的四位数，其中能被2整除，先排个位数字，从2和4中任意一个排在个位数上，共有2种排法，剩余的3个数字，共有3×2×1＝6(种)排法，由分步乘法计数原理可得，共有2×6＝12(种)不同的排法，即四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是12个．故答案为12.3．(2021·贵州高二期末(理))用0,2,4,6,8这五个数字，可以组成________个三位正整数．答案：100解析：百位不能为0，有4种选法，十位有5种选法，个位有5种选法，所以共有4×5×5＝100(种)选法．故答案为100.4．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数．解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有：201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.[误区警示]重复计数与遗漏计数[示例]6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法共有________种．[错解]错解一：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理可知，不同排法共有30×12＝360(种)．错解二：分步完成，第一步，安排第一排的2人，有6×5＝30(种)排法；第二步，安排中间一排的2人，有4×3＝12(种)排法；第三步，安排余下的2人，有2×1＝2(种)排法．因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有3×2×1＝6(种)排法．由分步乘法计数原理可知，不同排法有30×12×2×6＝4 320(种)．错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置．错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了．[错因分析]排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重复或遗漏．[正解]16个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有6×5×4×3×2×1＝720(种)．[答案]720。
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6．2排列与组合6.2.1排列课标要求素养要求1.通过实例理解排列的概念.2.能应用排列知识解决简单的实际问题. 通过学习排列的概念，进一步提升数学抽象及逻辑推理素养.新知探究“排列三”是中国福利彩票的一种，它是使用摇奖机、摇奖球进行摇奖的，“排列三”，“排列五”共同摇奖，一次摇出5个号码，“排列三”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码的前3位，“排列五”的中奖号码为当期摇出的全部中奖号码，每日进行开奖．问题福彩3D即“排列三”摇出的号码的总的结果数是多少？提示以第1位数为例，第1位的奖号是从0到9这10个数字中摇出一个，每个数字都有相同概率摇出，所以第1位上就有10种可能，同理第2位、第3位都各有10种可能，前3位总共就有1 000种组合方法．排列的定义排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序”一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．拓展深化[微判断]1．在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．(×)提示在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列与原来的排列不同．2．在一个排列中，同一个元素不能重复出现．(√)3．从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列．(×)提示从1，2，3，4中任选两个元素并按照一定的顺序排成一列，才能组成一个排列．4．从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．(√)[微训练]1．有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，则送法共有() A．5种B．3种C．60种D．15种解析从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学的一种送法，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列，因此，共有送法5×4×3＝60(种)．答案 C2．从5名同学中选出正、副组长各1名，有__________种不同的选法(用数字作答)．解析从5名同学中选出正、副组长各1名，即从5个不同元素中选出2个元素进行排列，不同的选法种数为5×4＝20.答案20[微思考]用1，2，3这三个数字共可以排成多少个无重复数字的三位数？123与321是不是相同的排列？提示共可以得到6个三位数，123与321是不同的排列，只有两个排列元素相同，顺序也相同时，才是同一个排列.题型一排列的概念【例1】判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)，(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)，(5)，(6)属于排列问题.规律方法判断一个具体问题是否为排列问题的方法【训练1】下列问题是排列问题吗？(1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)不是；(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．选出3个座位与顺序无关，“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题．题型二排列的列举问题【例2】(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成无重复数字的两位数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．解(1)由题意作“树状图”，如下．故组成的所有两位数为12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共有12个．(2)由题意作“树状图”，如下．故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.规律方法利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．【训练2】写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解由题意作“树状图”，如下，故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB.题型三排列的简单应用【例3】用具体数字表示下列问题．(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．解(1)从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99＝9 900(个)．(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1＝6(个)．(3)可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2＝120(个)分配方案．规律方法要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么.【训练3】(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个不同元素中任取3个元素的一个排列，所以共有7×6×5＝210(种)不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理知，共有7×7×7＝343(种)不同的送法.一、素养落地1．通过本节课的学习，进一步提升数学抽象素养及数学运算素养．2．排列有两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序排成一列”．这里“一定的顺序”是指每次取出的元素与它所排的“位置”有关，所以，取出的元素与“顺序”有无关系就成为判断问题是否为排列问题的标准．二、素养训练1．从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A．1 B．3C．2 D．4解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题．答案 C2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙解析选出两人，两人的不同顺序都要考虑．答案 C3．某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A．8种B．16种C．18种D．24种解析可分三步：第一步，排最后一个商业广告，有2种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告，有2种；第三步，余下的两个排公益宣传广告，有2种．根据分步计数原理，不同的播放方式共有2×2×2＝8(种)．故选A.答案 A4．8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有__________种不同的种法(用数字作答)．解析本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题，所以不同的种法共有8×7×6×5＝1 680(种)．答案 1 6805．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示______种不同的信号．解析第1类，挂1面旗表示信号，有3种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有3×2＝6(种)不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有3×2×1＝6(种)不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有3＋6＋6＝15(种)．答案15基础达标一、选择题1．(多选题)下面问题中，不是排列问题的是()A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案BCD2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为() A．6 B．4C．8 D．10解析列“树状图”如下：故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4种排列方法．答案 B3．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有() A．6个B．10个C．12个D．16个解析不同结果有4×3＝12(个)．答案 C4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20解析lg a－lg b＝lg ab，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg 13＝lg 39，lg31＝lg 93，故其可得到18种结果．答案 C5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6 B．9C．12 D．24解析组成的四位数列举如下：1 012，1 021，1 102，1 120，1 201，1 210，2 011，2 101，2 110，共9个．答案 B二、填空题6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言(用数字作答)．解析根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案 1 5607．2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为__________．解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．答案608．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有__________种不同的招聘方案(用数字作答)．解析 将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．答案 60三、解答题9．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？(4)从集合M ＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1？可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1?解 (1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．(4)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a ＞b ，a ，b 的大小关系一定；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，不管a＞b 还是a ＜b ，方程x 2a 2－y 2b 2＝1均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．10．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．能力提升11．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．答案 D12．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．解由题意作“树状图”，如下：故所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种．创新猜想13．(多选题)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C．从a，b，c，d中选出3个字母D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数解析由排列的定义知AD是排列问题．答案AD14．(多空题)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____________个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________．解析画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed。