上海市2020届高三数学一模考试汇编：矩阵、行列式(解析版)
上海市浦东新区2020年高三第一学期期末(高考一模)学科质量检测数学试卷(word解析版)
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据题意：已知时间 时，点 的坐标是 ，得 ，再依据每12秒运动一周得出点 每秒旋转的角度，从而 秒旋转 ，利用三角函数的定义即可得出 关于 的函数解析式，进而可得出函数的单调增区间.
【详解】解：根据题意，
得 ，点 每秒旋转 ，
所以 秒旋转 ， ，
则 ．
【答案】（1） （2） （3）存在，实数 的取值集合为
【解析】
【分析】
（1）求出曲线 的焦点和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求求解即可；
（2）设 ， ，表示出直线 的斜率，根据 的范围，求出其范围，进而得到倾斜角的取值范围；
（3）直接求出当直线 ，直线 和当直线 ，直线 时， 的值，当 时，与双曲线联立可得 ，利用弦长公式求出 和 ，利用 列方程求出 的值，验证判别式成立即可得出结果.
11.已知数列 ， ， ，若对于任意的 ， ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为________
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得 ，运用累加法和裂项相消求和可得 ，再由不等式恒成立问题可得 恒成立，转化为最值问题可得实数 的取值范围．
【详解】解：由题意数列 中， ，
即
则有
则有
又对于任意的 ， ，不等式 恒成立，
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13.若命题甲： ，命题乙： ，则命题甲是命题乙的（）
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
分别分析甲能否推出乙，乙能否推出甲，即可得命题甲与命题乙的关系.
【详解】解：当 ，即 时， ，故命题甲可推出命题乙；
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2020届上海市黄浦区高三一模(期末)数学试题(解析版)
四边形ABCD外接圆的直径为 ，
所以四边形ABCD外接圆的面积为 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
二、填空题
5．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝_____.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充要条件的判定，明确条件间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
4．设曲线E的方程为 1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（）
对于④，由于 ，若y 具有性质M，所以 可得 ，故④不正确.
故答案为：②③.
【点睛】
本题主要考查对函数新定义的性质理解，深刻理解定义的本质是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.
16．已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ • • • • • • ，则σ的取值范围是_____.
【答案】（﹣1，3）.
【解析】先求出集合 ，再求解A∪B.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ；
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查集合的并集运算，化简集合结合并集的定义可求.
6．已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____.
【答案】﹣1.
【解析】先对复数 化简，结合纯虚数的定义可求.
2020年上海市宝山区高三上学期期末数学高考一模试卷含详解
上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。
2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析
绝密★启用前2020届上海市宝山区高三一模数学试题解析学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若函数1()ln f x x a x =-+在区间(1)e ，上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e -<<D ．111a e+<<解：函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， ∵(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e =-+>， 可得111a e -<<故选：C ．2．下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．2()log (41)x f x x =+-B ．()||2cos f x x x =-C ．2210()0x x f x x x ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩D ．|lg |()10x f x =解：对于2241:()log (41)log 4x xx A f x x x -+-=++=+2222log (41)log 2log (41)()x x x x x f x =+-+=+-=．且2222(2)11()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+， Q 当0x …时，函数122x xy =+单调递增，()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，故A 正确； :0B x >时，()2cos f x x x =-，令()12sin 0f x x '=->，得(0x ∈，52)(266k k ππππ++⋃，*22)()k k N ππ+∈，故B 不正确； :0C x ≠时，2212x x +…，当且仅当221x x =，即1x =±时，等号成立，∴不满足在[)0,+∞上单调递增，故C 不正确；对于D ：|lg |()10x f x =定义域为()0,∞+，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D 错；故选：A ． 点评：考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；3．已知平面γβα、、两两垂直，直线a b c 、、满足：,,a b c αβγ⊆⊆⊆，则直线a b c 、、不可能满足以下哪种关系（ ） A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面解：设l αβ=I ，且l 与,a b 均不重合假设：////a b c ，由//a b 可得：//a β，//b α 又l αβ=I ，可知//a l ，//b l 又////a b c ，可得：//c l因为,,αβγ两两互相垂直，可知l 与γ相交，即l 与c 相交或异面 若l 与a 或b 重合，同理可得l 与c 相交或异面 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 点评：本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x j ++，πϕπ-<<，下列判断错误的是（ ）A ．当0a >，0b >时，辅助角arctan baϕ=B ．当0a >，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=+ C ．当0a <，0b >时，辅助角arctan b aϕπ=+D ．当0a <，0b <时，辅助角arctan b aϕπ=- 解：解：因为cos ϕ=sin ϕ=tan baϕ=，(,]ϕππ∈- 对于A ，因为0a >，0b >，则辅助角ϕ在第一象限02πϕ∴<<，0b a>Q，arctan (0,)2b a π∴∈，故A 选项正确；对于B ，因为0a >，0b <，则辅助角ϕ在第四象限02πϕ∴-<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故B 选项错误； 对于C ，因为0a <，0b >，则辅助角ϕ在第二象限2πϕπ∴<<；0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴+∈，故C 选项正确； 对于D ，因为0a <，0b <，则辅助角ϕ在第三象限2ππϕ∴-<<-，0b a <Q， arctan (,)2b a πππ∴-∈--，故D 选项正确； 故选：B ． 点评：本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．二、填空题5．若(1)2z i i +=（i 是虚数单位），则||z =________．根据复数代数形式的运算性质先求出z ，再根据模的计算公式求解即可． 解：解：∵(1)2z i i +=，∴21iz i ==+()()()21111i i i i i -=++-，∴||z ==点评：本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题． 6．已知4251λλ-=-，则λ=________答案：3由行列式的计算公式化简求解即可． 解： 解：4251λλ-=-Q()()4125λλ∴-⨯-⨯-=，解得3λ=，故答案为：3． 点评：本题考查二阶行列式的计算，属于基础题． 7．函数13x y -=（1x ≤）的反函数是________ 答案：31log ,(0,1]y x x =+∈首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解x ，再对换x ，y ，求出即可． 解：解：13(1)x y x -=Q …，(]0,1y ∴∈，得31log x y -=，x ，y 对换，得31log y x =+，(]0,1x ∈，故答案为：31log y x =+，(]0,1x ∈， 点评：本题考查了反函数的求法，属于基础题．8．2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛. 答案：66直接利用组合数的应用求出结果． 解：解：根据题意利用组合数得2121211662C ⨯==．点评：本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________答案：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程． 解：解：抛物线26y x =-的焦点坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线的方程为32x =，所以焦点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．故答案为：22392x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．点评：本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 10．在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为________ 答案：9-利用二项展开式把5(1)x -展开，再求展开式中3x 的系数． 解：解：53(1)(1)x x -+()()2345315101051x x x x x x =-+-+-+()()23453234515101051510105x x x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-则含3x 的项有310x -与3x 两项∴展开式中3x 的系数为1109-=-．故答案为：9-．点评：本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题． 11．不等式22|2|36x x x x -->--的解集是________ 答案：(4,)-+∞将不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--，再根据220x x -+>恒成立，则原不等式等价于22236x x x x -+>--解得即可； 解：解：不等式22|2|36x x x x -->--转换为不等式22|2|36x x x x -+>--， 由于函数22y x x =-+的图象在x 轴上方，所以220x x -+>恒成立，所以22236x x x x -+>--， 解得4x >-，故不等式的解集为(4,)-+∞． 故答案为：(4,)-+∞ 点评：本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12．已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =_____ 答案：2±由题意设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈，利用根与系数的关系结合12||2x x -=求得a 与b 的值，则k 可求． 解：解：Q 方程程220x kx -+=的两个虚根为1x 、2x ， 可设1x a bi =+，2(,)x a bi a b R =-∈．122x x a k ∴+==，22122x x a b =+=，12||2x x -=Q ，|2|2bi ∴=， 联立解得：1b =±，1a =±．2k ∴=±．故答案为：2±． 点评：本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为__答案：先求出直线l 的方程，再求出圆心C 与半径r ，计算圆心到直线l 的距离d ，由垂径定理求弦长||AB ． 解：解：由题意可得，l 的方程为210x y ++=，22480x y x y +-+=Q 可化为22(2)(4)20x y -++=，圆心(2,4)-，半径r =，∴圆心(2,4)-到l 的距离d ==，AB ∴==故答案为： 点评：本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．14．有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是________cm （钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）答案：4.5直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果． 解：解：设钢球的内半径为r ，所以33457.9 3.1414232r ⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得 2.25r ≈． 故内直径为4.5cm ． 故答案为：4.5．点评：本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15．已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =_______ 答案：47-{}n a 、{}n b 均是等差数列，故{}n c 为二次函数，设2n c an bn c =++，根据前3项，求出a ，b ，c 的值，即可得到10c ． 解：解：因为{}n a 、{}n b 均是等差数列，其通项公式均为关于n 的一次式，所以n n n c a b =⋅为关于n 的二次式， 故设2n n n c c b n a an b =+⋅+=，17c =Q ，29c =，39c =则7429939a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得153a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩253n c n n ∴+-+=210110510347c ∴=-⨯+⨯+=-，故答案为：47-． 点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16．已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为________答案：先根据基本不等式得到22()24b a b a b a b +-⎛⎫-=⎪⎝⎭…；再利用基本不等式即可求解． 解：解：因为0:a b >>22()24b a b a b a b +-⎛⎫∴-≤=⎪⎝⎭；所以222166416()a a b a b a +≥+≥=-．当且仅当464a b a b ⎧=⎨=-⎩，即a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取等号，此时(,)P a b的坐标为：(．故答案为：(． 点评：本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．三、解答题17．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示） 答案：（1）2；（2）5arccos 8；（1）求解三角形求出底面梯形BCDE 的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，由题意可得11//AD B C ，则11B C E ∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，求解三角形得答案．解：解：（1）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，Q 底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，B ∴到DC，又E 是AB 的中点，1BE ∴=，则()1122BCDE S =+=梯形． 13DD =Q ，∴1111333C BCDE BCDE V S DD -=⨯==四边形；（2）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//AD B C Q ，11B C E ∴∠即为异面直线1C E 和AD 所成角，连接1B E ，在11C B E ∆中，112B C =，1B E ==14C E ．115cos 8B C E ∴∠==，∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8．点评：本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．18．已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=+.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.答案：（1）π，对称中心：1,,2122k k Z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭；（2）10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，123x x π+=（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a 的范围和12x x +的值． 解：解：（1）函数()sin cos cos 2f x x x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21cos 21sin 22sin 2262x x x x x π-⎛⎫=-+=-+=+- ⎪⎝⎭． 所以函数的最小正周期为22T ππ==， 令2()6x k k Z ππ+=∈，解得()212k x k Z ππ=-∈， 所以函数的对称中心为1,()2122k k Z ππ⎛⎫--∈⎪⎝⎭． （2）由于02x π剟，所以72666x πππ+剟，在区间[0,]2π上有两个解1x 、2x ，所以函数1sin 2126x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭…时，函数的图象有两个交点，故a 的范围为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．由于函数的图象在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上关于6x π=对称，故12263x x ππ+=⋅=．点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19．一家污水处理厂有AB 、两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A B 、两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）答案：（1）7小时；（2）17小时（1）由题意可得A 池每小时剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半，则0.90.5x =，两边取对数，计算可得所求值；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时剩余原来的81%，可得090.810.12x x+=g ，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值． 解：解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，剩余原来的90%，设A 池要用t 小时才能把污物的量减少一半， 则0.90.5x=，可得0.570.9lg x lg =≈， 则A 池要用7小时才能把污物的量减少一半；（2）设A 、B 两池同时工作，经过x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%，剩余原来的81%， 可得090.810.12x x+=g ，即20.90.90.20x x +-=，可得0.9x =，可得170.9lg x lg ⎝⎭=≈． 则A 、B 两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定． 点评：本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A B 、两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆1(,]2t ∈-∞的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M A 、关于y 轴对称，当MAB △的面积最大时，求直线MB 的方程； （3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P Q 、，证明：||||OP OQ ⋅为定值.答案：（1）6-+2）y x =；（3）证明见解析 （1）由题意可得焦点1F ，2F 的坐标，进而可求出A 的坐标，设M 的坐标，注意横坐标的范围[]22-,，在椭圆上，又M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等，可求出M 的横坐标；（2）M ，A ，3B 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB 的方程；（3）设M ，A 的坐标，得出直线MA ，MB 的方程，进而求出两条直线与x 轴的交点坐标，用M ，A 的坐标表示，而M ，A 又在椭圆上，进而求出结果． 解：（1）设1(,),(M x y F ，依题意得，||x t =-，联立椭圆方程：22:142x y Γ+=，把22122y x =-代入得：222212222x x x tx t +++-=-+，(22x t ∴=-；又因为t =，代入得：6M x =-+（2）设()()11,,A t y B t y -，则()1,M t y -，则12MAB S t y =⋅V ，又因为()1,A t y 在椭圆22:142x y Γ+=上，所以221142y t +=，11122t y ∴≥1ty ∴≤则 MAB S ≤V，当且仅当1t时，取等号，即t =，则(1)M B -，所以:2MB l y x =-； （3）设()()()1100,,,,,A t y B t y M x y -，则01100110:():()MA MB y y l y x t y x ty y l y x t y x t-⎧=-+⎪-⎪⎨+⎪=--⎪-⎩100101001,00,0d y t y x P y y y y t y x Q y y ⎧⎛⎫-⎪⎪-⎪⎝⎭=⎨⎛⎫+⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎩u u u u u u u r 令， 则22220102201||||=y t y x O Q y P O y --⋅，又因为2212200122122y t y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入得：2202222||||41122t x OP OQ t x -⋅==-，故为定值. 点评：考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21．已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e是自然对数的底数），且2n a +=ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b + （2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，12t ≤（1）由已知可得：1n a >．利用基本不等式的性质可得：1n n lna lna ++…得，代入化简即可得出．（2）设1+=-n n n c b b，由2n a +=*()n n b lna n N =∈．可得121112n n n n n nc b b c b b ++++-==--．即可证明211n n n n b b b b +++⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +…成立．由（2）可得：1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．1n =时，10t g …，解得t R ∈．2n …时，1min n n b t b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，利用单调性即可得出． 解：解：（1）依题意得，要证明2n b +21ln ln n n n a a ++>⋅，又因为2n a +=2ln n a +>要证明2ln n a +>>>()1ln n n a a +⋅>又因为1ln ln n n a a ++≥.（2）设1+=-n n n c b b，因为2n a +=*ln ()n n b a n N =∈，则2112111111lnln 212ln ln n n n n nn n n n n n n n n a ac b b a a a a c b b a a +++++++++--=⋅==--. 所以：{}1n n b b +-是公比为12的等比数列，则()111211122n n n n b b b b --+⎛⎫⎛⎫-=-⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()121321n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-L2211101()()()222n -=++-+-+⋯⋯+-11111221113212n n --⎡⎤⎛⎫⋅--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．{}n b ∴的通项公式是121132n n b -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）假设存在存在常数t ，对任意自然数*n N ∈均有1n n b tb +≥成立，由（2）知，1211032n n b -⎡⎤⎛⎫=--≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 1︒当1n =时，t R ∈；2︒当2n ≥时，1minn n b t b +⎛⎫≤⎪⎝⎭， 而1111(2)1(2)23321(2)2(2)2(2)2112nn n n n n n n b b +-⎛⎫-- ⎪---+-⎝⎭--==--+-+-+⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则当2n =时，m 132in12n n b b b b +⎛⎫== ⎪⎝⎭，故存在这样的t ，12t ≤ 点评：本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2020-2021学年上海市高三一模数学汇编-矩阵,行列式汇编--教师版
2020-2021学年一模汇编—矩阵、行列式汇编
一、填空题
【崇明7】若关于的方程组无解，则实数=__________
【参考答案】
【解析】
【虹口3】行列式的值等于．
【答案】1
【解析】考察三角比、行列式。
行列式展开得
【嘉定3】不等式的解为____________．
【答案】
【解析】由可得，所以
【浦东新区10】若等比数列的前项和为，且满足，则数列的
前项和为_________.
【参考答案】
【解析】
【青浦区3】行列式中，元素的代数余子式的值为．
【答案】
【解析】元素的代数余子式的值为
【徐汇区3】不等式的解集为
【参考答案】
【解析】也即，解得.
【杨浦区3】若关于的方程组无解，则实数_____________
【答案】
【解析】由方程组无解可知，
此时，方程组无解。
【长宁区7】若直线的法向量与直线的方向向量垂直，则实
数.
【答案】
【解析】易知直线直线平行，得.
二、选择题
【浦东新区14】若某线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解的个数为
（）
A.0个
B.1个
C.无数个
D.不确定
【参考答案】
【解析】由题目可知，两直线重合，故有无数个交点
【普陀区14】设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是（）
A. B. C. D.
【参考答案】B
【解析】，代入点的坐标可得。
上海市徐汇区2020届高三上学期第一次模拟考试数学试题 (含答案解析)
上海市徐汇区2020届高考一模试卷数学一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝．2．向量在向量方向上的投影为．3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为．4．复数的共轭复数为．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：415．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．上海市2020届徐汇区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝{x|x≤1或x＞2} ．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．向量在向量方向上的投影为 3 ．【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）＝＝＝，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）＝5×＝3，故答案为3；3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55 ．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r，令r＝2，可得中第3项的二项式系数为＝＝55，故答案为：55．4．复数的共轭复数为．【解答】解：∵＝，∴．故答案为：．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且它在[0，+∞）上单调递增，那么使得f（﹣2）≤f（a）成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2 ．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），即2≤|a|，∴a≤﹣2或a≥2，故答案为：a≤﹣2或a≥2．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1），则f﹣1（）＝．【解答】解：令arcsin（2x+1）＝即sin＝2x+1＝解得x＝故答案为：7．已知x∈R，条件p：x2＜x，条件q：≥a（a＞0），若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（0，1] ．【解答】解：因为x∈R，条件p：x2＜x，所以p对应的集合为A＝（0，1）；因为条件q：≥a（a＞0），所以q对应的集合为B＝（0，]；因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，所以，所以0＜a≤1，故答案为：（0，1]．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3，S n表示{a n}的前n项和，若数列{S n}是递增数列，则a1的取值范围是（﹣3，+∞）．【解答】解：S n＝na1+．∵数列{S n}是递增数列，∴S n+1＞S n，∴（n+1）a1+×3＞na1+．化为：a1＞﹣3n，对于∀n∈N*都成立．∴a1＞﹣3．故答案为：（﹣3，+∞）．9．数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为840 ．【解答】解：根据题意，0到9十个数字中之差的绝对值等于2的情况有8种：0与2，1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9分2种情况讨论：①当个位与千位数字为0，2时，只能千位为2，个位为0，有A82＝56种，②当个位与千位数字为1与3，2与4，3与5，4与6，5与7，6与8，7与9时，先排千位数字，再排十位数字，最后排个位与百位，有7×A82×A22＝784种，共784+56＝840；故答案为：840．10．过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且斜率为的直线交抛物线C于点M（M在x轴的上方），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为．【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点F（，0），且斜率为的直线方程为，所以，整理得9x2﹣15x+4＝0，解得，当x＝时，解得y＝，设点M（），l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，所以N（，）．所以NF的直线方程为，所以当M（）到直线的距离d＝＝．故答案为：11．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3且（a1﹣p）（a2﹣p）＜0，则实数p的取值范围是（）．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n＝（﹣1）n a n++n﹣3，当n＝1时，，解得，当n＝3时，，整理得，①当n＝4时，，整理得，②由①②得：，所以，整理得，解得，所以：实数p的取值范围是（），故答案为：（）．12．已知函数f（x）＝关于x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0的解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，则x1+x2+x3的取值范围是[2﹣12，+∞）．【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象，x的不等式f（x）﹣mx﹣2m﹣2＜0，即为f（x）＜m（x+2）+2，作出直线y＝m（x+2）+2，其恒过定点（﹣2，2），由解集是（x1，x2）∪（x3，+∞），若x1x2x3＞0，可得x1＜0，x2＜0，x3＞0，当x≤﹣1时，x1，x2，是方程x2+6x+10﹣mx﹣2m﹣2＝0的两个实根；即x2+（6﹣m）x+8﹣2m＝0的两个实根，∴x1+x2＝m﹣6；当x＞﹣1时，x3是方程﹣4x+1﹣mx﹣2m﹣2＝0的实根；∴x3＝；∴结合图象可得m＜0，当直线y＝m（x+2）+2经过（0，1）时，可得2m+2＝1，解得m＝﹣；当直线y＝m（x+2）+2与直线y＝1﹣4x平行时，m＝﹣4．由直线y＝m（x+2）+2在y＝f（x）的上方，可得﹣4＜m＜﹣．∴m+4＞0，∴x1+x2+x3＝m﹣6+＝m+4+﹣12≥2﹣12＝2﹣12；当且仅当m+4＝时，即m＝﹣4+时取等号；故答案为：[2﹣12，+∞）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．过点（﹣1，0），且与直线＝有相同方向向量的直线的方程为（）A．3x+5y﹣3＝0 B．3x+5y+3＝0 C．3x+5y﹣1＝0 D．5x﹣3y+5＝0 【解答】解：由＝可得，3x+5y+8＝0，即直线的斜率﹣，由题意可知所求直线的斜率率k＝﹣，故所求的直线方程为y＝﹣（x﹣1）即3x+5y+3＝0．故选：B．14．一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是（）A．1：2 B．1：8 C．：2 D．：4【解答】解：∵在棱锥中，平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面相似，相似比等于截得的小棱锥与原棱锥对应棱长之比．又∵一个棱锥被平行于底面的平面所截截面面积恰好是棱锥底面面积的一半，∴相似比为1：＝：2．则截得的小棱锥与原棱锥的高之比是：2．故选：C．15．若圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣9，11）B．（﹣25，﹣9）C．（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）D．（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）【解答】解：化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，则|C1C2|或|C1C2|＜，即5＞或5，解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．故选：D．16．设H是△ABC的垂心，且3+4+5＝，则cos∠BHC的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由三角形垂心性质可得，，不妨设＝x，∵3+4+5＝，∴，∴，同理可求得，∴．故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．如图所示，圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．（1）求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；（2）过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的大小．【解答】解：（1）圆锥SO的底面圆半径|OA|＝1，母线SA＝3．所以圆锥的高为h＝．所以，S圆锥侧＝π•1•3＝3π．（2）如图所示：在圆锥中，作MN∥SP，交OP于N，则异面直线AM与PS所成的角为∠AMN．依题意：AM＝，MN＝，AN＝，所以＝，所以面直线AM与PS所成角的大小．18．设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R，a为实数）．（1）若f（x）为偶函数，求实数a的值；（2）设a＞，求函数f（x）的最小值（用a表示）．【解答】解：（1）若函数f（x）为偶函数，则f（﹣x）＝f（x）对于任意实数恒成立．即：x2+|﹣x﹣a|＝x2+|x﹣a|，所以|x+a|＝|x﹣a|恒成立，即a＝0．（2）在的基础上，讨论x﹣a的符号，①当x≥a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．②当x＜a时，f（x）＝x2+x﹣a，所以函数f（x）的对称轴为x＝，此时．又由于a时，，所以函数f（x）的最小值为．19．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB＝5km．（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到0.1km）【解答】解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F在Rt△DAF中，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝×8＝4，∴DF＝；在Rt△ABF中，BF＝＝3，∴BD＝DF﹣BF＝4﹣3sin∠ABF＝，在Rt△DBE中，sin∠DBE＝，∵∠ABF＝∠DBE，∴sin∠DBE＝，∴DE＝BD•sin∠DBE＝×（4﹣3）＝≈3.1（km）∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；（2）由题意可知∠CDB＝75°，由（1）可知sin∠DBE＝＝0.8，所以∠DBE＝53°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣53°＝52°在Rt△DCE中，sin∠DCE＝，∴DC＝≈4（km）∴景点C与景点D之间的距离约为4km．20．（16分）给正有理数、（i≠j，i，j∈N*，m i，n i，m j，n j∈N*，且m i＝m j和n i ＝n j不同时成立），按以下规则P排列：①若m i+n i＜m j+n j，则排在前面；②若m i+n i ＝m j+n j，且n i＜n j，则排在的前面，按此规则排列得到数列{a n}．（例如：，，，……）．（1）依次写出数列{a n}的前10项；（2）对数列{a n}中小于1的各项，按以下规则Q排列：①各项不做化简运算；②分母小的项排在前面；③分母相同的两项，分子小的项排在前面，得到数列{b n}，求数列{b n}的前10项的和S10，前2019项的和S2019；（3）对数列{a n}中所有整数项，由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合A＝{c1，c2，c3，…，c2019}，A的子集B满足：对任意的x，y∈B，有x+y∉B，求集合B中元素个数的最大值．【解答】解：（1）依题意，数列{a n}的前10项为：，，，，，，，，，；（2）依题意按规则Q排列后得：{，，，，，，，，，，…}，∴前10项和为：S10＝+++＝5；求前2019项的和S2019时，先确定最后一个分数的值，令2019＝1+2+3+…+n即＝2019，∴n∈（63，64），数列分母取慢2﹣64时，共有＝2016项，所有分母为65的还有3项，即：，，，∴数列{b n}前2019项为：{，，，，，，，，，，…，，，，}，当n∈[2，64]时，对分母为n的小段求和：S＝+++…+＝，∴当n∈[2，64]时，对63个小段相加求和：S′＝+++…+＝•＝1008，S2019＝S′+＝1008，（3）依题意：A＝{1，2，3，…，2019}，B＝{2019，2018，2107，2016，…，1010}共1010项，这种情况B中的元素最多．21．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（a＞b＞0），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知b＝2．（1）若a＝，判断椭圆Γ是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆Γ是“圆椭圆”，求a的取值范围；（3）若椭圆Γ是“圆椭圆”，且a取最大值，Q为P关于原点O的对称点，Q也异于A 点，直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，试问以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得椭圆方程：＝1，所以A（0，2），设P（x，y）则|PA|2＝x2++（y﹣2）2＝5•（1﹣）+（y﹣2）2＝﹣y2﹣4y+9，y∈[﹣2，2]，二次函数开口向下，对称轴y＝﹣8，y∈[﹣2，2]上函数单调递减，所以y＝﹣2时，函数值最大，此时P为椭圆的短轴的另一个端点，∴椭圆是“圆椭圆”；（2）由（1）的方法：椭圆方程：+＝1，A（0，2）设P（（x，y），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2＝a2•（1﹣）+（y﹣2）2＝（﹣+1）y2﹣4y+4+a2，y∈[﹣2，2]，由题意得，当且仅当y＝﹣2时，函数值达到最大，讨论：①当开口向上时，满足：⇒⇒﹣2＜a＜2（舍）；②当开口向下时，满足⇒2＜a≤2，综上a的范围：（2，2]．（3）a＝2，椭圆方程：+＝1，由题意：设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，2π]，且，则Q（﹣2cosθ，﹣sinθ），则直线AP：y＝x+2⇒M （，0）则直线AQ：y＝+2⇒N（，0），MN为直径的圆过定点C（m，n）则，＝0，所以得定点（0，2）．。
上海市黄浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市黄浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2020. 01一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1. 设集合A ={()()2|10x x x +-<}，集合B ={3|1x x <<}，则A ⋃B =______2. 已知z =()()i 1i a -+(a ∈R ，i 为虚数单位)为纯虚数，则a =______3. 抛物线28x y =的焦点到准线的距离为______4. 281()x x-的展开式中的系数为______ 5. 设θ为第二象限的角，3sin 5θ=则tan 2θ的值为______ 6. 母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为______7. 若无穷等比数列{n a }满足：234a a a =，5116a =且n a ∈R (n ∈N *)，则数列{21n a -}的所有项的和为______8. 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是______ (结果用数字作答)9. 已知A 、B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的两条渐近线的夹角为______10. 已知函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线yx 对称，若()()2log 22x f x x =++，则满足()()2log 3f x g x >>的x 的取值范围是______11. 设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的x ∈D ，总存在x ∈D ，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：①函数3y x x =-具有性质M ；②函数35x x y =+具有性质M ；③若函数()8log 2y x =+，x ∈[0,t ]具有性质M ，则t =510；④若3sin 4x a y +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是______12. 已知正六边形123456A A A A A A 的边长为2，点P 是该正六边形上的动点，记122334455661A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P σ=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，则σ的取值范围是______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 方程2153x x =的解集是( )A. {2}B. {2,2-}C. {1,1-}D. {i,i -}14. 将函数sin 43y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移3π三个单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为( ) A. 12x π=- B. 16x π= C. 4x π= D. 2x π= 15. 若函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是偶函数”是“()()f x f x =对一切x ∈R 恒成立”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件16. 设曲线E 的方程为22491x y +=，动点A (,m n )、B (,m n -)、C (,m n --)、D (,m n -)在E 上，对于结论：①四边形ABCD 的面积的最小值为48；②四边形ABCD 外接圆的面积的最小值为25π；下面说法正确的是( )A. ①错②对B. ①对②错C. ①②都错D. ①②都对三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 在三棱锥P ABC -中，已知P A 、PB 、PC 两两垂直，PB =3，PC =4，且三棱锥P ABC -的体积为10.(1)求点A 到直线BC 的距离；(2)若D 是棱BC 的中点，求异面直线PB 、AD 所成角大小（结果用反三角函数值表示）.18. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()cos 2cos a C b c A =-.(1)若AB AC ⋅=3，求△ABC 的面积；(2)若∠B <∠C ，求222cos cos B C +的取值范围.19. 某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y (微克/毫升)与给药时间x (小时)之间的若干组数据，并由此得出y 与x 之间的一个拟合函数()2400. 60. 6x x y =-(x ∈[0，12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：(1)求药峰浓度与药峰时间(精确到0. 01小时)，并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2)求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0. 01小时）.20. 已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上一点A (231-，)到两焦点距离之和为8，若点B 是椭圆C 的上顶点，点P 、Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)若BP ⊥BQ ，且满足32PD DQ =的点D 在y 轴上，求直线BP 的方程；(3)若直线BP 与BQ 的斜率乘积为常数λ（0λ<），试判断直线PQ 是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由.21. 对于数列{n a }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{n a }为P 数列.(1) 若{n a }的前n 项和32n n S =+，试判断{n a }是否是P 数列，并说明理由； (2 )设数列12310,,,,a a a a 是首项为1-，公差为d 的等比数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；(3) 设无穷数列{n a }是首项为a ,公比为q 的等比数列，有穷数列{n b }、{n c }是从{n a }中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别为1T 、2T ，求{n a }是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{n a }，不是P 数列”.上海市黄浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。
2020届上海市嘉定区高三一模数学试题(解析版)
2020届上海市嘉定区高三一模数学试题一、单选题1．已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】解：由题意可知，x ∈R ，{}|0x x >⫌{}|1x x >∴“0x >”是“1x >”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，是基础题． 2．下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ） A ．2xy = B ．12y x =C ．ln y x =D ．cos y x =【答案】A【解析】由指数函数，幂函数，对数函数及余弦函数的性质直接得解． 【详解】解：选项A.2xy =的值域为()0,∞+，选项B. 12y x =的值域为[)0,+∞，选项C.ln y x =的值域为R ，选项D. cos y x =的值域为[]1,1-．故选：A ． 【点睛】本题考查常见函数的值域，属于简单题．3．已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45︒角.以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题B ．①为真命题，②为假命题C ．①为假命题，②为真命题D ．①为假命题，②为假命题【答案】B【解析】作出过P 与两直线相交的直线l 判断①；通过平移直线a ，b ，结合异面直线所成角的概念判断②． 【详解】解：直线AB 与A 1D 1 是两条互相垂直的异面直线，点P 不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB 1的中点Q ，则PQ ∥A 1D 1，且 PQ ＝A 1D 1，设A 1Q 与AB 交于E ，则点A 1、D 1、Q 、E 、P 共面，直线EP 必与A 1D 1 相交于某点F ，则过P 点有且只有一条直线EF 与a 、b 都相交，故①为真命题；分别平移a ，b ，使a 与b 均经过P ，则有两条互相垂直的直线与a ，b 都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题． 故选：B ．【点睛】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，是中档题．4．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A ．16时 B．17时C ．18时D ．19时【答案】D【解析】本题是单选题，利用回代验证法，结合五点法作图以及函数的最值的位置，判断即可． 【详解】解：由题意可知，0x =时，0.5sin 0 3.24 3.496y πωπ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭， 由五点法作图可知：如果当16x =时，函数取得最小值可得：51662ππωπ+=，可得748ω=， 此时函数70.5sin 3.24486y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：296147748T ππ==≈， 该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当19x =时，函数取得最小值可得：51962ππωπ+=，可得757ω=，此时函数70.5sin 3.24576y x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的周期为：21147757T ππ==， 24x =时，70.5sin 24 3.243576y ππ⎛⎫=⨯++> ⎪⎝⎭，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的模型以及应用，三角函数的周期的判断与函数的最值的求法，考查转化思想以及数形结合思想的应用，是难题．二、填空题5．已知集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==，则AB =________．【答案】{}1,3,5【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】解：∵集合{}{}1,2,3,4,5,1,3,5,7A B ==， ∴{}1,3,5AB =．故答案为：{}1,3,5． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集的运算等基础知识，是基础题． 6．方程27x =的解为________． 【答案】2log 7x =【解析】利用指对数的互化即可解答. 【详解】根据对数的概念可得方程27x =的解为：2log 7x =， 故答案为：2log 7x =． 【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题． 7．行列式2113-的值为________．【答案】7【解析】直接展开二阶行列式得答案． 【详解】 解：21231(1)713-=⨯-⨯-=．故答案为：7． 【点睛】本题考查行列式的运算，是基础题． 8．23lim1n n n →∞+=+___________【答案】2【解析】上下同除以n 求解即可.【详解】32232lim lim 21111n n n n n n→∞→∞++===++ 故答案为2 【点睛】本题主要考查分式类的极限,属于基础题型.9．已知母线长为6cm 的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________cm ． 【答案】2【解析】设底面半径为r ，由两个面积的关系可得底面半径的值． 【详解】解：设底面半径为r ，则由题意，可得213262r r ππ=⨯⨯，解得2r ，故答案为：2． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．10．已知向量1,22AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________．【答案】6π【解析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC∠的大小. 【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．11．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：①、将3位男生排成一排，有336A =种情况，②、3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有2412A =种情况，则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种； 故答案为：72 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 12．已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=______.【答案】3【解析】结合三角函数的定义及诱导公式可求y ，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得，tan 2y α=-， ()tan tan παα-=-=tan 2y α∴=-=-解得y =sin 3α∴==故答案为：3． 【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查．13．近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______. 【答案】310【解析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率． 【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=， 使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=， 又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=， 所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．14．已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－3【解析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解．【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.15．已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________【答案】1078【解析】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），分别令2,3,4,5n =，求得{}n a 的前5项，观察得到最小值12310m =++++，最大值291222M =++++，计算可得M m +的值. 【详解】由11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ）， 可得211a a a -=，解得2122a a ==，又3212{,}a a a a -∈，可得3213a a a =+=或3224a a ==，又43123{,,}a a a a a -∈，可得4314a a a =+=或5； 4325a a a =+=或6；4326a a ==或8；又541234{,,,}a a a a a a -∈，可得5415a a a =+=或6或7；5426a a a =+=或7或8；5437a a a =+=或8或9或10或12；5328a a ==或9或10或12或16，综上所示可得10S 的最大值为()10291121222102312M ⨯-=++++==-，最小值为()1101012310552m +⨯=++++==，所以1023551078M m +=+=. 故答案为：1078 【点睛】本题是一道数列的新定义，考查了根据递推关系式求数列中的项以及等差数列、等比数列的求和公式，属于中档题. 16．已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的取值范围为______. 【答案】2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】本题要根据数形结合法将函数1y x x=+的图象向下平移到一定的程度，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m 的取值范围． 【详解】解：由题意，1y x x =+在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则只要找到其中一个实数a ，使得函数()1f x x a x=++的最大值最小即可， 如图，函数1y x x=+向下平移到一定才程度时，函数()1f x x a x =++的最大值最小．此时只有当()()13f f =时，才能保证函数()f x 的最大值最小．设函数1y x x=+图象向下平移了t 个单位，（0t >）． ()1023t t ∴-=--，解得83t =. ∴此时函数()f x 的最大值为1082333-=． 根据绝对值函数的特点，可知 实数m 的取值范围为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故答案为：2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．三、解答题17．如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小；（2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 【答案】（1）2arctan5θ=；（2）证明详见解析，4V =. 【解析】（1）说明1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ，通过求解三角形，推出结果即可．（2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，由于底面积和高都不变，故体积不变. 【详解】解：（1）由直棱柱知1A A ⊥平面ABCD ，所以1A A CD ⊥， 又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， 所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=. （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅，由已知3d =，112442A MM S ∆=⨯⨯=,所以13443V =⨯⨯=为定值.【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．18．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时. 【解析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图.其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB边上，要求4MDNπ∠=.（1）若2AN CM==百米，判断DMN∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDMθ∠=，写出DMN∆面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值.【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2）32cos cos4Sπθθ=⎛⎫-⎪⎝⎭，最小值为)1221.【解析】（1）通过求解三角形的边长，利用余弦定理求解MDN∠，判断MDN∆是否符合要求，即可．（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，求出132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．【详解】解：（1）由题意5MN13DN=25DN=所以2cos22251365MDN∠==≠⨯⨯所以4MDNπ∠≠，DMN∆不符合要求（2）CDMθ∠=，4ADNπθ∠=-，所以cos4DMθ=，3cos4DNπθ=⎛⎫-⎪⎝⎭132sin24cos cos4S DN DMππθθ=⋅⋅=⎛⎫-⎪⎝⎭，()cos cos cos sin 42πθθθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭)sin 2cos 214θθ=++11sin 224424πθ⎛⎫=++≤+⎪⎝⎭所以)121S ≥，S 的最小值为)121.【点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且()2*,,n n n a S a n N∈成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设1(0)n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈，都有{}*|n m T b m N ∈∈，求实数t 的值.【答案】（1）11a =，22a =，33a =，n a n =；（2）详见解析；（3）1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【解析】（1）代入22n nn a a S +=，求出1a ，2a ，3a ，猜想出即可；（2）利用等差数列的定义证明即可；（3）由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-，因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t 是整数，所以1t k=，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--，因为n 的任意性，不妨设2m b T =，求出即可． 【详解】（1）解：由已知22n nn a a S +=，所以11a =，22a =，33a =， 猜想n a n =证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以()*n a n n =∈N（3）解由（2）知1m b mt =-，(1)2n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-， 因为m ，n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t-都是整数，进而1t 是整数所以1t k =，k Z ∈，此时()()112n n m k n +=--， 设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【点睛】考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，含参问题的数列前n 项和公式的应用，中档题．21．已知函数()f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =.若0a <，且3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数；（3）若在[]0,2上存在n 个不同的点()1,2,,.3i x i n n =⋅⋅⋅≥，12n x x x <<⋅⋅⋅<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(),2-∞；（2）[])30,3y x =∈；（3）(][),26,-∞-+∞.【解析】（1）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果． （2）利用函数的周期和函数的关系式的应用求出函数的反函数．（3）利用绝对值不等式的应用和函数的性质的应用，利用分类讨论思想的应用求出结果． 【详解】解：（1）解不等式12x x -<当1≥x 时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <， 综上，该不等式的解集为(),2-∞ （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-， 因为()g x 是以2为周期的偶函数， 所以3111122222g g g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由3524g ⎛⎫=⎪⎝⎭，且0a <，得2a =-， 所以当01x ≤≤时，()()2g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈，所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-；②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥；③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()1223m 1ax 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2424a a f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()2224f a =-<， 在[]0,2上，()()max max ,242a f x f f ⎧⎫⎛⎫=<⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.③当24a ≤<时，则122a ≤<，所以()f x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，于是()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()22max 22(0)2242a a a f x f f ⎛⎫⎛⎫≤=-=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令282a ≥，解得4a ≤-或4a ≥，不符合题意；④当02a <<时，()f x 分别在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[],2a 上单调递增，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-()()()2(0)22a f f f f a ⎛⎫⎛⎫≤-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()222222224242a a a f f a a ⎛⎫=+=⨯+-=-+ ⎪⎝⎭令22482a a -+≥，解得2a ≤-2a ≥+.综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.【点睛】本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法及应用，函数的性质的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
2020届上海市徐汇区高三上学期第一次模拟数学试题(解析版)
4
5
0，
HA
HB
HC
2
∴3
4
5
0，
HAHBHBHCHB
7x
2x
∴HB
，同理可求得HC
，
5
HBHC
70
cosBHC
∴
．
14
HBHC
故选：．
D
【点睛】
本题考查平面向量的运用及向量的夹角公式，解题的关键是由三角形的垂心性质，进而
HB，HC
用同一变量表示出
，要求学生有较充实的知识储备，属于中档题．
二、填空题
y
26
3
，3
即点（
M
），
2
为抛物线的准线，点在上且
N
⊥，
MNl
l
C
l
1
2
3
）．
所以（
N
，
1
2
y3x
所以
的直线方程为
，
NF
313
1(3)2
3
1
，3
3
d
3
．
y
x
所以当（
M
）到直线
的距离
2
2
3
故答案为：
【点睛】
本题考查的知识要点：直线的方程的应用，一元二次方程的解法和应用，点到直线的距
离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|），
即2≤||，
a
∴a≤﹣2或a≥2，
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故答案为：(,2][2,)
【点睛】
．
本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用函数是偶函数的性质得到（）＝（||）
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
上海市闵行区2020年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试卷(逐题精解版)
上海市闵行区2020届高三一模数学试卷2019.12一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{3,1,0,1,2}A =--，{|||1}B x x =>，则A B =I 2.复数5i 2-的共轭复数是3.计算：23lim 13(21)n n n →∞=++⋅⋅⋅+-4.已知01x <<x =5.在△ABC 中，已知AB a =uu u r r ，BC b =uu u r r ，G 为△ABC 的重心，用向量a r 、b r表示向量AG =uuu r 6.设函数22log (1)1()log 1x f x x--=，则方程()1f x =的解为7.已知2824160128(1)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a =（结果用数字表示）8.若首项为正数的等比数列{}n a ，公比lg q x =，且10099101a a a <<，则实数x 的取值范围是9.如图，在三棱锥D AEF -中，1A 、1B 、1C 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是AE 、AF的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥D AEF -的体积为2V ，则12:V V =10.若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{|1,2,3,4,5,6}i Q OA i ==uuu r，,,a b c Q ∈r r r ，且a r 、b r 、c r互不相同，要使得()0a b c +⋅=r r r ，则有序向量组(,,)a b c r r r 的个数为11.若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是12.设函数()sin(6f x A x πω=-（0ω>，0A >），[0,2]x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①若0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②()f x 在8[0,19π上单调递增；③存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意[0,2]x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程1()2f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（）A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)- D.(2,1)-14.命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（）A.(0,)+∞ B.(,1]-∞ C.[1,)+∞ D.(,0]-∞15.在正四面体A BCD -中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，(0,2πθ∈，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线16.已知各项为正数的非常数数列{}n a 满足11n an a a +=，有以下两个结论：①若32a a >，则数列{}n a 是递增数列；②数列{}n a 奇数项是递增数列；则（）A.①对②错B.①错②对C.①②均错误D.①②均正确三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB 、CD 是底面的两条直径，且4AB =，AB CD ⊥，圆柱与圆锥的公共点F 恰好为其所在母线PA 的中点，点O 是底面的圆心.（1）求圆柱的侧面积；（2）求异面直线OF 和PC 所成的角的大小.18.已知函数()22x x a f x =+.（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()3f x <在[1,3]x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.19.某地实行垃圾分类后，政府决定为A 、B 、C 三个校区建造一座垃圾处理站M ，集中处理三个小区的湿垃圾，已知A 在B 的正西方向，C 在B 的北偏东30°方向，M 在B 的北偏西20°方向，且在C 的北偏西45°方向，小区A 与B 相距2km ，B 与C 相距3km .（1）求垃圾处理站M 与小区C 之间的距离；（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a 元，一辆小车的行车费用为每公里a λ元（其中λ为满足100λ是1-99内的正整数），现有两种运输湿垃圾的方案：方案1：只用一辆大车运输，从M 出发，依次经A 、B 、C 再由C 返回到M ；方案2：先用两辆小车分别从A 、C 运送到B ，然后并各自返回到A 、C ，一辆大车从M 直接到B 再返回到M ；试比较哪种方案更合算？请说明理由.（结果精确到小数点后两位）20.已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F .（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(,)T x y 在抛物线Γ上，且满足[1,4]x ∈，过点T 作圆Ω的两条切线，记切线为A 、B ，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M 、P 、Q 、N 四点，证明：“1||||||2MP QN PQ ==”的充要条件是“直线l 的方程为2x =”.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a a =（1a >），211||||n n n n a a a a d +++-=-+（0d >），*n ∈N .（1）当2d a ==时，写出4a 所有可能的值；（2）当1d =时，若221n n a a ->且221n n a a +>对任意*n ∈N 恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2{}n a 、21{}n a -分别构成等差数列，求2n S .上海市闵行区2020届高三一模数学试卷答案解析版一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合{}{}3,1,0,1,2,1A B x x =--=>，则A B =__________.【答案】{}3,2-【解析】【分析】将A 中元素逐个代入判断1x >是否成立即可得解.【详解】将A 中元素逐个代入1x >，符合的有3-、2，即{}3,2A B ⋂=-.故答案为：{}3,2-.【点睛】本题考查了描述法表示集合和集合的交集运算，属于基础题.2.复数52i -的共轭复数是___________.【答案】2i -+【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可．【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--，∴复数52i -的共轭复数是2i -+故答案为2i-+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．3.计算：()23lim 1321n n n →∞=++++__________.【答案】3【解析】【分析】原式化简为223lim n n n→∞后即可得解.【详解】()()212113212n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，∴()23lim 1321n n n →∞=++++223lim 3n n n →∞=.故答案为：3.【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式以及极限的求法，属于基础题.4.已知01x <<取到最大值时，x =__________.【答案】12【解析】【分析】利用基本不等式即可得()1x x +-≥，当1x x =-等号成立，即可得解.【详解】01x <<，∴()1x x +-≥12≤，当且仅当112x x =-=时等号成立.故答案为：12.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题.5.在ABC ∆中，已知 AB a =，BC b =，G 为ABC ∆的重心，用向量,a b 表示向量AG =___________【答案】2133a b+rr 【解析】【分析】利用平面向量的基本定理，结合重心性质即可得解.【详解】由重心的性质可知()111333BG BA BC b a =+=-，所以11213333AG AB BG a b a a b =+=+-=+.故答案为：2133a b+rr 【点睛】本题考查了重心的几何性质和平面向量基本定理，属于基础题.6.设函数()()22log 1log x f x x-=11-，则方程()1f x =的解为____________【答案】2x =【解析】【分析】转化条件得()()22log f x x x =-，即可得解.【详解】由题意得()()()2222log 1log log 1f x x x x x =-+=-=，即22x x -=，解得2x =或1x =-，由函数定义域可知2x =.故答案为：2x =.【点睛】本题考查了二阶行列式的计算和对数的运算性质，属于基础题.7.已知()82241601281x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则3a =____________（结果用数字表示）【答案】56-【解析】【分析】转化条件可得()()35652381a x C x =-，运算即可得解.【详解】由题意得()()35652638156a x C x x =-=-，∴356a =-.故答案为：56-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.8.若首项为正数的等比数列{}n a ，公比lg q x =，且10099101a a a <<，则实数x 的取值范围是____________【答案】10,10⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】转化条件得2999999a q a a q <<，即可得解.【详解】10a >，∴989910a a q =>，由题意可得2999999a q a a q<<∴21q q <<，1q ∴<-，即lg 1x <-，∴1010x <<.故答案为：10,10⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了等比数列的通项和性质、对数函数的性质，属于基础题.9.如图，在三棱锥D AEF -中，111,,A B C 分别是, , DA DE DF 的中点，,B C 分别是,AE AF 的中点，设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V ，三棱锥 D AEF -的体积为2V ，则12:V V =____________【答案】3:8【解析】【分析】分别找到底面积和高的比值即可得解.【详解】设ABCS S =，点1A 到平面ABC 的距离为h ，由题意易知4AEFSS =，点D 到平面ABC 的距离为2h ，∴1V Sh =，2184233V S h Sh ==，∴12:3:8V V =.故答案为：3:8【点睛】本题考查了立体图形体积的计算，属于基础题.10.若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，{}1,2,3,4,5,6,,,i Q OA i a b c Q ==∈，且,,a b c 互不相同，要使得()0c a b +=，则有序向量组(),,a b c 的个数为____________【答案】48【解析】【分析】按照a ，b 的夹角为π和3π两种情况讨论，再求和即可得解.【详解】①如左图，这样的a ，b 有6对，且a ，b 可交换，此时c 有2种情况，∴有序向量组(),,a b c 个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a ，b 有3对，且a ，b 可交换，此时c 有4种情况，∴有序向量组(),,a b c 个数为32424⨯⨯=个.综上所述，总数为242448+=个.故答案为：48.【点睛】本题考查了分类加法和分布乘法的应用，考查了分类讨论的思想，属于中档题.11.若()3f x x a x a =--，且[]0,1x ∈上的值域为()0, 1f ⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是____________【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】转化条件得()()()3f x x a x a =--，根据a 的取值范围画出图像即可得解.【详解】由题意()()()3f x x a x a =--，当0a <，函数图像如左图，()()2min 030f x f a ==>，不符合题；当0a ≥，函数图像如右图，()()22032f a f a a =≥=，∴结合图像，当[]0,1x ∈，()()max 0f x f =或()1f ，值域为()0,1f ⎡⎤⎣⎦，∴()()10f f ≥，即()()21313a a a --≥，∴14a ≤.综上10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数图像的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.12.设函数()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭，若()f x 恰有4个零点，.则下述结论中:①若()()0f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③存在ω和1x ，使得()()11(2f f x f x x π≤+≤对任意[]0,2x π∈恒成立；④“1A ≥”是“方程()12f x =-在[0,2]π内恰有五个解”的必要条件.所有正确结论的编号是______________；【答案】①③④【解析】【分析】根据条件画出()()[]0,0,0,26f x Asin x A x πωωπ⎛⎫=->>∈ ⎪⎝⎭的图像，结合图像和1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭逐一判断即可.【详解】()f x 恰有4个零点，∴3246πππωπ≤-<，∴1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，函数的图像如图：①如图，即()f x A =有两个交点，正确；②结合右图，且当2512ω=时，()f x 在80,25π⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，错误；③1925,1212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，∴1212,22519T πππω⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，1212,22519πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，∴存在()1f x 为最小值，12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为最大值，正确；④结合右图，若方程()12f x =-在[]0,2π内恰有五个解，需满足()102f ≤-，即1A ≥，同时结合左图，当1A ≥，()12f x =-不一定有五个解，正确.故答案为：①③④.【点睛】本题考查了三角函数的图像和性质，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于难题.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（）A.()1,2 B.()2,1 C.()1,2- D.()2,1-【答案】D 【解析】【分析】把斜率转化为直线方向向量()1,2即可得解.【详解】直线l 斜率为2，∴直线的一个方向向量可以为()1,2，∴法向量可以是()2,1-.故选：D.【点睛】本题考查了直线的斜率和方向向量的关系以及法向量的求解，属于基础题.14.命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.(],1-∞ C.[)1,+∞ D.(],0-∞【答案】C 【解析】【分析】转化条件得{1x x >或}{}0x x x a <⊇>，即可得解.【详解】10x x->，∴1x >或0x <，∴{1x x >或}{}0x x x a <⊇>，∴1a ≥.故选：C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法和条件之间的关系，属于基础题.15.在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B 【解析】【分析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆.面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为θ=时，轨迹为抛物线，arctan θ≠时，轨迹为椭圆，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以轨迹为椭圆.故选：B.【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题.16.已知各项为正数的非常数数列{}n a 满足11na n a a +=，有以下两个结论:①若32a a >，则数列{}n a 是递增数列；②数列{}n a 奇数项是递增数列则（）A.①对②错B.①错②对C.①②均错误D.①②均正确【答案】D 【解析】【分析】按照11a >和101a <<分类讨论，分别判断①②即可得解.【详解】{}n a 为各项为正数的非常数数列，∴10a >且11a ≠，()1当11a >时，显然{}n a 为递增数列，①②均正确；()2当101a <<时，()()1212113111,1,,a a a a a a a a a a =∈=∈，不满足①的前提32a a >；()()321411132,,a a a a a a a a a =∈=，()()342511134,,a a a a a a a a a =∈=，依此类推，()22122,k k k a a a --∈，()21212,k k k a a a +-∈即偶数项递减，奇数项递增.故选：D.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4,,AB CD 是底面的两条直径，且4,AB AB CD =⊥，圆柱与圆锥的公共点F 恰好为其所在母线PA 的中点，点O 是底面的圆心.（1）求圆柱的侧面积；（2）求异面直线OF 和PC 所成的角的大小.【答案】（1）；（2）3arccos 4【解析】【分析】（1）求出圆柱的底面半径和高即可求解；（2）把异面直线OF 和PC 所成的角转化为PB 和PC 的夹角BPC ∠即可得解.【详解】（1）设圆柱上底面的圆心为O '，连接FO '、PO ，在PAO ∆中，F 是PA 的中点，//FO AO '，2OA =∴112FO OA '==，132OO PO '==，∴2=23S O F O O ππ''⋅⋅=圆柱侧.（2） F ，O 分别是PA 、AB 的中点，∴//FO PB ，∴异面直线OF 和PC 所成的角等于PB 和PC 的夹角BPC ∠， 4PB PC ==，2BC =222161683cos 22444PB PC CBBPC PB PC+-+-∠===⋅⨯⨯.∴异面直线OF 和PC 所成的角为3arccos 4.【点睛】本题考查了圆柱的侧面积公式和异面直线所成的角的求法，属于基础题.18.已知函数()22xxa f x =+（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()3f x <在[]1,3x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =-；（2）40a <-【解析】【分析】（1）利用奇函数性质()00f =即可得解；（2）转化条件为2322x x a <⋅-在[]1,3x ∈恒成立即可得解.【详解】（1）x ∈R ，()f x 为奇函数∴()00f =，即10a +=，∴1a =-.（2）[]1,3x ∈，()3f x <恒成立，∴232x x a+<即2322x x a <⋅-恒成立，令2239322224xxx y ⎛⎫=⋅-=--+ ⎪⎝⎭，又[]22,8x ∈∴min 40y =-，∴40a <-.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和恒成立问题的解决方法，考查了转化与化归思想，属于中档题.19.某地实行垃圾分类后，政府决定为, ,A B C 三个小区建造一座垃圾处理站M ，集中处理三个小区的湿垃圾.已知A 在B 的正西方向，C 在B 的北偏东30方向，M 在B 的北偏西20方向，且在C 的北偏西45方向，小区A 与B 相距2,km B 与C 相距3 km .（1）求垃圾处理站M 与小区C 之间的距离；（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a 元，一辆小车的行车费用为每公里λa 元(其中λ为满足100λ是199-内的正整数).现有两种运输湿垃圾的方案：方案1:只用一辆大车运输，从M 出发，依次经,,A B C 再由C 返回到M ；方案2:先用两辆小车分别从A C 、运送到B ，然后并各自返回到A C 、，一辆大车从M 直接到B 再返回到M .试比较哪种方案更合算?请说明理由.结果精确到小数点后两位【答案】（1）5.44公里；（2）当00.32λ<<时，方案二合算；当0.321λ≤<时，方案一合算.【解析】【分析】（1）算出MBC ∆的所有内角后，利用正弦定理即可得解；（2）计算出路线长度后分别写出两种方案的成本，比较大小即可得解.【详解】（1）在MBC ∆中，50MBC ∠=，105MCB =，3BC =， 25BMC ∠=.由正弦定理得：3sin 50sin 25MC =，3sin 505.438 5.44sin 25MC ∴=≈≈.所以垃圾处理站M 与小区C 间的距离为5.44公里.（2）在MBC ∆中，由3sin105sin 25MB =得：3sin1056.857sin 25MB ==在MBC ∆中，70MBA ∠=，2AB =，∴2222cos70MA AB MB AB MB =+-⋅⋅，∴ 6.452MA ≈.方案一费用:()()1 6.45223 5.43816.890y a MA AB BC CMa a =+++=+++=，方案二费用:()()22213.71310y a MB a AB BC a λλ=++=+当12y y >时，方案二合算，此时00.32λ<<；当12y y <时，方案一合算，此时0.321λ≤<；综上，当00.32λ<<时，方案二合算；当0.321λ≤<时，方案一合算.【点睛】本题考查了解三角形的应用和函数的应用，属于基础题.20.已知抛物线2:8y x Γ=和圆22:40x y x Ω+-=，抛物线Γ的焦点为F .（1）求Ω的圆心到Γ的准线的距离；（2）若点(),T x y 在抛物线Γ上，且满足[]1,4x ∈，过点Γ作圆Ω的两条切线，记切点为A B 、，求四边形TAFB 的面积的取值范围；（3）如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M P Q N 、、、四点，证明:12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”【答案】（1）4；（2）[25,82]；（3）见解析【解析】【分析】（1）分别求出圆心和准线方程即可得解；（2）根据条件可表示出四边形TAFB 的面积224S x x =+，利用函数的单调性即可得解；（3）充分性：令直线l 的方程为2x =，分别求出M 、P 、Q 、N 四点坐标后即可证明12MP QN PQ ==；必要性：设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，由12MP QN PQ ==可得1234y y y y +=+，即可得出t 与m 的关系，进而可得出直线l 的方程为2x =.【详解】（1）由2240x y x +-=可得:()22 24x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心()2,0到Γ的准线2x =-的距离为4.（2）四边形TAFB 的面积为:()22212242242S TF x y =⨯⨯-=-+-()22228424x x x x =-+-=+，∴当[]1,4x ∈时，四边形TAFB 的面积的取值范围为.（2）证明(充分性):若直线l 的方程为2x =，将2x =分别代入28y x=2240x y x +-=得()2,4M ，()2,2P ，()2,2Q -，()2,4N -.∴122MP ON PQ ===，∴12MP QN PQ ==.(必要性):若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合，设l 的方程为x ty m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则1234y y y y +=+，将x ty m =+代入28y x =得2880y ty m --=，128y y t +=，264320t m ∆=+>即220t m +>，同理可得，()342221t m y y t-+=-+，∴()22281t m t t --=+即0t =或242m t =--，而当242m t =--时，将其代入220t m +>得2220t -->不可能成立；.当0t =时，由280y m -=得：1y =2y =-，将x m =代入2240x y x +-=得3y =，4y =，12MP PQ =，∴12=⋅，∴220m m -=，∴2m =或0m =（舍去）∴直线l 的方程为2x =.12MP QN PQ ==的充要条件是“直线l 的方程为2x =”.【点睛】本题考查了抛物线和圆的性质、直线与圆锥曲线的综合、条件之间的关系，考查了转化化归的思想和计算能力，属于难题.21.已知数列{}n a 满足()211*121,1,,n n n n a a a a a a a N a d n +++-=-+==>∈（1）当2d a ==时，写出4a 所有可能的值；（2）当1d =时，若221n n a a ->且221n n a a +>对任意*n N ∈恒成立，求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}{}221,n n a a -分别构成等差数列，求2n S .【答案】（1）410a =或44a =或46a =-或40a =；（2）3,21,2n nn a n a n -⎧⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数；（3）()1n a +【解析】【分析】（1）构造新数列{}1n n a a +-后分类讨论即可得解；（2）转化条件得22122n n a a a n +-=-+，22132n n a a a n --=-+，作差得21211n n a a +--=-，求出21n a -后再求出2n a 即可得解；（3）转化条件得()()*2111n a n d n N -=--∈，()()*21naa n d n N =+-∈，分组求和即可得解.【详解】（1）当2d a ==时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{}1n n a a +-是以1为首项、2为公差的等差数列，∴121n n a a n +-=-，可得：323a a -=±，435a a -=±，∴332a =±+，435a a =±，∴410a =或44a =或46a =-或40a =.（2）当1d =时，2111n n n n a a a a +++-=-+即{}1n n a a +-是首项为1a -.公差为1的等差数列，∴1112n n a a a n a n +-=-+-=-+，∴21222n n a a a n +-=-+，22132n n a a a n --=-+，221n n a a +>且221n n a a ->，22122n n a a a n +∴-=-+，22132n n a a a n --=-+，∴21211n n a a +--=-，212n a n -=-，221321n n a a n a a n -=-++=-+，3,21,2n n n a n a n -⎧⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数.（3）由己知得()()*111n n a a a n d n N+-=-+-∈①若{}2n a ，{}21n a -分别构成等差数列，则()()2211222n n a a a n d n --=±-+-≥⎡⎤⎣⎦，②()()2121211n n a a a n d n +-=±-+-≥⎡⎤⎣⎦，③()()2221121n n a a a nd n ++-=±-+≥，④由②+③得:()()()21211211221n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦{}21n a -是等差数列，2121n n a a +--必为定值，∴()()2121121122n n a a a n d a n d +--=-+---+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦或()()2121121122n n a a a n d a n d +--=--+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()21212n n a a d n +--=≥或()21212n n a a d n +--=-≥，而由①知321a a a d -=-+，即()321a a a d -=±-+()3111a a a a d ∴-=-±-+，即31a a d -=-或()3121a a a d -=-+（舍）∴()*2121n n a a d n N +--=-∈，∴()()*2111n a n d n N -=--∈.同理，由③+④得:[]()()222121211n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥⎡⎤⎣⎦∴222n n a a d +-=或222n n a a d +-=-，由上面的分析可知:311a a a d-=-+-而()4312a a a d -=±-+，∴()42112a a a d a d -=-+-±-+，即42a a d -=或42222a a a d -=-+-（舍）∴222n n a a d+-=∴()()*21n a a n d n N =+-∈，从而()*21221221k k k k a a a a a k N -+++=+=+∈()()()()2122···1+111n n S a a a a a a n a ∴=+++=+++⋅⋅⋅++=+.【点睛】本题考查了数列递推公式的应用、数列的通项公式和数列求和，考查了分类讨论思想和计算能力，属于难题.。
上海高三一模汇编(数学)矩阵、行列式
2021 一模真题汇编上海(高三·数学)1一、2020-2021 学年高三数学一模卷汇编4.矩阵、行列式一、填空题：【虹口 03】行列式sin α sin α − cos α cos α sin α + cos α的值等于____________【金山 03】若矩阵 ⎛ sin θ A =n ⎝ m cos θ⎫ ⎪ ⎭ ， ⎛ m B =cos θ⎝ sin θ n ⎫ ⎪⎭ ，且 A = B ，则 m 2 + n 2 =【青浦 03】行列式 1 2 4 5 7 8 36 9中，元素 3 的代数余子式的值为____________【杨浦 03】若关于 x,y 的方程组 ⎧2 x ⎨ ⎩3x+ y = 4 − ay = 8无解，则实数 a =__________【松江 09】在 ∆ABC 中，角 A 、 B、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且3b + 2c cos B 2a = 1，则角 A =_二、选择题：⎛ 1 2 8 ⎫ 【浦东 14】若某线性方程组的增广矩阵为2 4 16 ⎪ ，则该线性方程组的解的个数（）⎝ ⎭A.0个B.1个C.无数个D.不确定【普陀 14】设 x 、y 均为实数，且x 3 − 1 4 = 7 ，则在以下各项中 ( x , y ) 的可能取值只6 2 5 y能是（ ） A . (2,1)B .(2, −1)C .(−1,2) D .(−1,−2)2二、参考答案4. 矩阵、行列式一、填空题【虹口 03】1【金山 03】1【青浦 03】−3【杨浦 03】−3 2【松江 09】5 6二、选择题【浦东 14】C【普陀 14】B3。
2020届上海市徐汇区普通高中高三上学期第一次高考模拟考试数学试题(解析版)
绝密★启用前上海市徐汇区普通高中2020届高三毕业班上学期第一次高考模拟考试数学试题(解析版)2020年1月一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．已知集合M＝{x|x＞2}，集合N＝{x|x≤1}，则M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．【解答】解：∵M＝{x|x＞2}，N＝{x|x≤1}，∴M∪N＝{x|x≤1或x＞2}．故答案为：{x|x≤1或x＞2}．2．向量在向量方向上的投影为3．【解答】解：∵向量在向量,∴cos（,）＝＝＝,∴向量在向量方向上的投影为：cos（,）＝5×＝3,故答案为3；3．二项式（3x﹣1）11的二项展开式中第3项的二项式系数为55．【解答】解：二项式（3x﹣1）11的二项展开式的通项公式T r+1＝•（3x）11﹣r•（﹣1）r,令r＝2,可得中第3项的二项式系数为＝＝55,故答案为：55．4．复数的共轭复数为．【解答】解：∵＝,∴．故答案为：．5．已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数,且它在[0,+∞）上单调递增,那么使得f（﹣2）≤f （a）成立的实数a的取值范围是a≤﹣2或a≥2．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞）上单调递增．∴不等式f（﹣2）≤f（a）等价为f（2）≤f（|a|）,即2≤|a|,∴a≤﹣2或a≥2,故答案为：a≤﹣2或a≥2．6．已知函数f（x）＝arcsin（2x+1）,则f﹣1（）＝．【解答】解：令arcsin（2x+1）＝即sin＝2x+1＝解得x＝故答案为：7．已知x∈R,条件p：x2＜x,条件q：≥a（a＞0）,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是（0,1]．【解答】解：因为x∈R,条件p：x2＜x,所以p对应的集合为A＝（0,1）；因为条件q：≥a（a＞0）,所以q对应的集合为B＝（0,]；因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B,所以,所以0＜a≤1,故答案为：（0,1]．8．已知等差数列{a n}的公差d＝3,S n表示{a n}的前n项和,若数列{S n}是递增数列,则a1的取值范围是（﹣3,+∞）．【解答】解：S n＝na1+．∵数列{S n}是递增数列,。