国脉09-10年第学期线性代数期末考试(A)卷用8开印1100份
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。
x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。
5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。
二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。
a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
数学实验2009-2010第一学期期末试题A卷(附答案)
湛江师范学院2009年－ 2010学年度第 一 学期考试科目： 数 学 实 验说明：把操作步骤(命令)及必要的运行结果写在纸上，操作过程中所得到的图形不用画在纸上。
仅有结果而无操作(命令)步骤的，该小题成绩以零分计算，请抄写工整。
(题目中,数据没有指定输出格式的,用默认格式,即小数格式)一、数值运算（每小题8分,共32分）已知有以下矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=314020112-H ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1413012014260121A 1. 求矩阵A 的逆矩阵及与A 同阶的单位矩阵A=[1 2 1 0;6 2 4 1;0 2 1 0;3 1 4 1]; C=inv(A)B=eye(size(A))H=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V ,D]=eig(H)2. 求矩阵H 的特征值与特征向量,并判断H 是否可以相似对角化。
H=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3];[V ,D]=eig(H),det(V)3. 讨论下列向量组是否线性相关,并找出向量组的最大无关组,并将其余向量用该最大无关组线性表示;β1=(2 -1 3 5 ),β2=(4 -3 1 3); β3=(1 -1 -1 -1),β4=(3 -2 3 4) ,β5=(7 -6 -7 0);b=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;1 -1 -1 -1;3 -2 3 4;7 -6 -7 0]; l=rank(b),m=rank(b(1:3,:)),n=rank(b([1 2 4],:))c=b([1 2 4],:)'; %转秩 d=b([3 5],:)'; h=c\d4. (1)求数值积分(假奇异积分)dxx x⎰11-2.0cos ;syms x; s=int(x^0.2*cos(x),-1,1);simplify(s) (2)二重积分⎰⎰+πππ20)cos sin (dxy x x y dysyms x y; s=int(int(y*sin(x)+x*cos(y),pi,2*pi),0,pi)二、符号运算(每小题8分,共32分)以下出现的字母均设为符号变量 1. 求二元函数的极限：33221)lim y x xy y x y x ++→-→（syms x y;f=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3; limit(limit(f,x,-1),y ,2) 2. 设z=e 2xcos(3y)，求yx z ∂∂∂2,并求π==∂∂∂y x y x z,12(1)>>syms x y; f=diff(exp(2*x)*cos(3*y),x); f=diff(f,y)(2)>> syms x y; f=diff(exp(2*x)*cos(3*y),x); f=diff(f,y),subs(x,1);subs(y ,pi)3. 求幂级数∑∞=+++012)12)(12n 1n n x （的和函数(注意最后结果要化简!)syms x n;g=symsum(1/((2*n+1)*((2*x+1)^(2*n+1))),n,0,inf);g=simple(g)4. 问k 为何值时，下面的方程组有非零解？请写出相应的MATLAB 命令x 1 -3x 3=0x 1+2x 2+kx 3=0 2x 1+kx 2 - x 3=0syms kA=[1 0 -3;1 2 k;2 k -1]; D=det(A); factor(D) ans= -(k+5)*(k-2)从上式分解可得：当k=-5 or k=2时,det(A)=0,从而有非零解。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ） A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ 三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线性代数期末考试试卷+答案
×××大学线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题 2分，共10分）1 -3 1P X IX 2 X 3 =02 .若齐次线性方程组 J x 1+χx 2+x 3=0只有零解，则 扎应满足X 1亠 X 2亠 X 3= 05. n 阶方阵 A 满足 A 2-3A-E = 0 ,贝U A J = _____________________ 。
、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“X” 。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D 0。
（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（）3. 向量组a 1, a 2,…,a m中，如果a 1与a m对应的分量成比例，则向量组 a 1, a 2,…，a s线性相关。
■为可逆矩阵A 的特征值，贝U A J 的特征值为’。
（）若三、单项选择题（每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题1.设A 为n 阶矩阵，且A = 2 ,则I AA T =（ ）。
①2n②2n'③2n1④42. n 维向量组:∙1,:-2, , ：■ S （ 3 < S < n ）线性无关的充要条件是（）。
-0 11 0 0 0 0 04. A =0 0 0 10 1 0①：'1, ：'2 ,'：'S 中任意两个向量都线性无关②＞1,-：：S 中存在一个向量不能用其余向量线性表示③：'1, -'2 ,-■ S中任一个向量都不能用其余向量线性表示1.若0 5 -12x =0,则= —23•已知矩阵A ,B ,C = (C ij )s n ,满足AC =CB ,则A 与B 分别是 _____________ 阶矩阵。
a124 .矩阵 A= a21a 22的行向量组线性31a32丿2分，共10分）11,贝U A A =A 。
《线性代数》国际09-10A期末试卷
云南财经大学20020099至20201010学年第二学期《线性代数》课程期末考试试卷（A ）（试）得分一二三四五六七八总分复核人阅卷人6小题，每小题2分，共12分，对的打√，错的打×）.若≠A O ，则||0≠A ；（）.设A 为n 阶矩阵，则T ||||=A A ；（）．当向量组中向量的维数大于向量的个数时向量组必线性相关；（）．设A 为n 阶矩阵，且||0=A ，则A 中必有一列向量可由其它列向量线性表示；）．设A 为m n ×矩阵，r()r =A ，则当r n =时非齐次方程组=Ax b 有唯一解；（）．设1λ，2λ是矩阵A 的特征值，1α，2α分别是A 的对应于1λ，2λ的特征向量，12≠λλ，则1α，2α必不成比例．（）6小题，每小题2分，共12分）.若排列38i 7j 625为奇排列，则i =；.已知1P AP B −=，且||0B ≠，则||||A B =；.设A 为三阶矩阵，且||2A =，*A 为A 的伴随矩阵，则行列式1*32|A A −−=；．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为－1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，－7，4，则D =；5.若向量组T 1(1,11)α=，，T 2(1,2,3)=α，T 3(1,3)=，αt 线性相关，则t 的取值满足；6．设A 为n 阶方阵，且齐次线性方程组AX =O 有非零解，则A 必有一个特征值为．三、单项选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1.设D 为n 阶行列式，则D 为零的充分必要条件是（）；（A ）D 中有两行（列）的对应元素成比例；（B ）D 中有一行（列）的所有元素均为零；（C ）D 中有一行（列）的所有元素均为可化零；（D ）D 中有一行（列）的所有元素的代数余子式均为零．2．若n 阶矩阵A 满足2230A A I −−=，则矩阵A 可逆，且1A −=（）；（A ）2A I −；（B ）2I A −；（C ）1(2)3A I −−；（D ）1(2)3A I −．3．设矩阵111213212223313233A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠a a a a a a a a a ，313233312122232111121311333B −⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠a a a a a a a a a a a a ，1103010001P −⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，2001010100P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠，则B =（）；（A ）21P AP ；（B ）12AP P ；（C ）12P AP ；（D ）12P P A ．4．设n 元齐次线性方程组Ax O =，r()3A =−n ，且1α，2α，3α是其3个线性无关的解，则方程组的基础解系是（）；（A ）1α，2α，12+αα；（B ）12−αα，23−αα，31−αα；（C ）1α，12+αα，123++ααα；（D ）123++ααα，12−αα．5．设n 阶方阵A ，B 满足AB O =，则必有（）；（A ）A O =或B O =；（B ）A B O +=；（C ）|A |+|B |=0；（D ）|A |=0或|B |=0．6．三阶矩阵A 的特征值为2−，1，3，I 为三阶单位矩阵，则||A I −=（）．（A ）6−；（B ）0；（C ）2；（D ）1−．四、（10分）已知行列式1040211206002412−−=−−D ，4j A （1,2,3,4=j ）为D 的第四行第j 列元素的代数余子式，求41424344+++A A A A ．五、（12分）设矩阵A ，B 为n 阶矩阵，且满足2A B I AB −=+，其中100031062A ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠，I 为n 阶单位矩阵，求矩阵B ．六、（16分）已知向量组T 1(2,1,3,0)α=，T 2(1,0,0,1)α=，T 3(0,1,0,1)α=，T 4(0,0,1,1)α=−．求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示．七、（16分）用基础解系表示下列线性方程组的全部解12341234123412342122233224+−+=⎧⎪++−=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩x x x x x x x x x x x x x x x x ．八、（10分）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，求证：2λ是2A 的一个特征值．。
线性代数期末考试试卷(doc 6页)
线性代数期末考试试卷(doc 6页)学院：专业：班级：2009-2010-2线性代数期末试卷(本科A)考试方式：闭卷统考考试时间：2010.6.5一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列行列式的值不一定为零的是（）。
A．n阶行列式中，零的个数多于2n n-个；B．行列式中每行元素之和为a；C．行列式中两行元素完全相同；D．行列式中两行元素成比例。
2．若A是（），则A不一定为方阵。
A．初等矩阵；B．对称矩阵；C．可逆矩阵的转置矩阵；D．线性方程组的系数矩阵。
3．若A、B均为n阶方阵，则有（）。
A．()()(){}maxR A B R A R B+≥；B．()()(){}minR A B R A R B+≤；C．()()()R A B R A R B+>+；D．()()()R A B R A R B+≤+。
4．下列条件不是向量组12.nααα⋅⋅⋅线性无关的必要条件的是（）。
A．12.nααα⋅⋅⋅都不是零向量；B．12.nααα⋅⋅⋅中任意两个都不成比例；C．12.nααα⋅⋅⋅中至少有一个向量可由其它向量线性表示；题号一二三四五总分：总分人：复核人：11 12 13 14 15 16 17 18得分签名得分12．已知111022003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求()1*A -、()*1A -、1A -。
13．问,a b 各取何值时，线性方程组1231231232021324x x x x x ax x x x b ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解？无解？有无穷多解？有无穷多解时求其通解。
得分 得分14．设向量组()131T a α=，()223T b α=，()3121T α=，()4231T α=的秩为2，求,a b 。
15. 设n 维向量(),0,0,T a a α=⋅⋅⋅，0a <，且T A E αα=-⋅,11T A E a αα-=+⋅,求a 。
得分得分学院：专业：班级：四、解答题（10分）16．设3阶对称矩阵A的特征值为6、3、3，与6对应的特征向量为()1111TP=,,，求矩阵A。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ） A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t 7．已知矩阵B A x B A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ）A. 0≠AB. 01≠-AC.n A r =)(D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y x C.14322+=+=-z y x D.24322+=+=z y x 10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式EX B C T =-)(， 求X 。
《线性代数》期末考试题及详细答案(本科A、B试卷)
XXX 学年期末考试试卷《线性代数》期末考试题及详细答案（本科A 、B 试卷）A 卷一、填空题 （将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）。
1、设1D =3512， 2D =345510200，则D =12DD OO=_____________。
2、四阶方阵A B 、，已知A =116，且=B ()1-12A 2A --，则B =_____________。
3、三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，且32B=A -5A ，则B 的特征值为_____________。
4、若n 阶方阵A 满足关系式2A -3A-2E O =，若其中E 是单位阵，那么1A -=_____________。
5、设()11,1,1α=，()21,2,3α=，()31,3,t α=线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）。
1、若方程13213602214x x xx -+-=---成立，则x 是：课程代码： 适用班级：命题教师：任课教师：（A ）-2或3； （B ）-3或2； （C ）-2或-3； （D ）3或2； 2、设A 、B 均为n 阶方阵，则下列正确的公式为： （A ）()332233A B+3AB +B A B A +=+； B ）()()22A B A+B =A B --； （C ）()()2A E=A E A+E --； （D ）()222AB =A B ； 3、设A 为可逆n 阶方阵，则()**A=？（A ）A E ； （B ）A ； （C ）nA A ； （D ）2n A A -；4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵：（A ）100002⎛⎫ ⎪⎝⎭； （B ）100010011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭； （C ）011101001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； （D ）010002100⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；5、下列命题正确的是：（A ）如果有全为零的数1,k 2k 3,,,m k k 使1122m m k k k αααθ+++=，则1,α2α，，m α 线性无关； （B ）向量组1,α2α，，m α 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则1,α2α，，m α线性相关；（C ）向量组1,α2α，，m α 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关； （D ）向量组1,α2α，，m α线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
线性代数期末复习试卷及答案
线性代数 期末练习（三）一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知110,122x A B y --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且A B =，则x = , y = .2. 计算行列式222233331111a b c d abcd a b c d = .3. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322101,且0,0AB B =≠,则t = .4. 设ξ为齐次线性方程组0=AX 的解，*η为非齐次线性方程组AX =b 的解，则*2ξη+ 为 的解.5. 设123410120010121D =--，求11121314A A A A +++= .6. 已知1100120000210031A ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则1A -= . 7. 设三阶方阵()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==-，其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则A B += .8. 设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则12A-= .9. 已知向量(4,1,1),(,2,2)TTa a αβ=--=-正交，则a = . 10. n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是 . 二、选择题（每题3分，共15分）1. 若齐次线性方程组1231231232000x x x x kx x kx x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解，则k 必须满足（ ）. ()4A k = ()1B k =- ()41C k k ==-或 ()41D k k ≠≠-且2. 设,,A B X 为同阶矩阵，且,A B 可逆，则下列结论错误的是（ ）.1()=,A AX B X A B -=若则 1()=,B XA B X BA -=若则11(),C AXB C X A CB --==若则 11(),D ABX C X A B C --==若则 3. 向量组12(2)s s ααα≥，，，线性相关的充分必要条件是（ ）.12()s A ααα，，，中至少有一个零向量12()s B ααα，，，中任意一个向量可由其余向量线性表示12()s C ααα，，，中至少有一个向量可由其余向量线性表示12()s D ααα，，，中任意一个部分组线性相关4. 已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,3-，I 为单位矩阵，则下列矩阵中可逆矩阵是（ ）. ()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -5. 设A 为n 阶实对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是（ ）.()T A x Ax 二次型的负惯性指数为零 ()B A 没有负特征值() T C n C A C C =存在阶矩阵，使得 ()D A 与单位矩阵合同三、计算题（每题8分，共40分）1. 计算行列式112233100110011011a a a a a a ------2. 设033110,2123A AB A B ⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求B . 3. 问常数k 取何值时, 方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩无解，有唯一解，或有无穷多解，并在有无穷多解时写出其全部解. 4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),T T αα=--=-3(2,3,1,1,2),T α=--4(3,6,9,7,9)T α=-的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.5. 求一个正交变换，将二次型22212312233(,,)2363f x x x x x x x x =+++化为标准形.四、综合题（每题5分，共15分）1. 已知n 阶矩阵A 满足220A A I --=，证明A I -可逆，并求其逆（其中I 为单位矩阵）. 2.判断向量组112,βαα=+223,βαα=+334,βαα=+441βαα=+的线性相关性.3. 如果n 阶矩阵A 满足2A I =（其中I 为单位矩阵），证明()()r A I r A I n ++-=（r 表示矩阵的秩）.线性代数 期末练习（三） (参考答案)一、填空题（每题3分，共30分） 1. 已知110,122x A B y --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且B A =，则x = 0 , y = 1 .2. 计算行列式222233331111a b c d abcd a b c d = (d-a )(d-b )(d-c )(c-a )(c-b )(b-a ) .3. 若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t A 31322101,且0,0AB B =≠,则t =52.4. 设ξ为齐次线性方程组0=AX 的解，*η为非齐次线性方程组AX =b 的解，则*2ξη+为____AX =b _____的解5. 设123410120010121D =--，求11121314A A A A +++= --1 .6. 已知1100120000210031A ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则1A -=210011000011032-⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭7. 设三阶方阵 ()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==-，其中αβγγ,,,12 均是三维列向量且1,33A B =-=, 则5A B +=.8. 设3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则12A -= --4 . 9. 已知向量(4,1,1),(,2,2)TTa a αβ=--=-正交，则a = -2 .10. n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是 A 有n 个线性无关的特征向量 . 二、选择题（每题3分，共15分）1. 若齐次线性方程组1231231232000x x x x kx x kx x x -+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩有非零解，则k 必须满足（ C ）.()4A k = ()1B k =- ()41C k k ==-或 ()41D k k ≠≠-且2. 设,,A B X 为同阶矩阵，且,A B 可逆，则下列结论错误的是（ D ）.1()=,A AX B X A B -=若则 1()=,B XA B X BA -=若则11(),C AXB C X A CB --==若则 11(),D ABX C X A B C --==若则3. 向量组12(2)s s ααα≥，，，线性相关的充分必要条件是（ C ）.12()s A ααα，，，中至少有一个零向量12()s B ααα，，，中任意一个向量可由其余向量线性表示 12()s C ααα，，，中至少有一个向量可由其余向量线性表示12()s D ααα，，，中任意一个部分组线性相关4. 已知三阶矩阵A 的特征值为2,1,3-，则下列矩阵中非奇异矩阵是（ A ）. ()2A I A - ()2B I A + ()C I A - ()3D A I -5. 设A 为n 阶对称矩阵，则A 是正定矩阵的充分必要条件是（ D ）.()T A x Ax 二次型的负惯性指数为零 ()B A 没有负特征值() T C n C A C C =存在阶矩阵，使得 ()D A 与单位矩阵合同三、计算题（每题8分，共40分）1.计算行列式 112233100110011011a a a a a a ------解：122332110001====0110011r r a a a a a +----原式123233100010010011a a r r a a +=====--14323100010100101a r r a a +======.2.设033110,2123A AB A B ⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求B .解：由2AB A B =+，得(2)A I B A -=，即：1(2)B A I A -=- .而112331331(2)1101132121111A I ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 则1(2)B A I A -=-1330330331113110=1232111123110-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.问常数k 取何值时, 方程组1232123123424x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其全部解.解：系数矩阵行列式为()()111114112kA k k k =-=-+--当0A ≠时，即1k ≠-且4k ≠，有唯一解; 当1k =-时，2131111411141111,000511240238r r r r --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--+- ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，无解； 当4k =时，213111441144141160552011240228r r r r ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭21232114410301501140114200000000r r r r r ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭ 方程组有无穷多解，其全部解为：1233,4,,x k x k x k k =-=-=为任意常数.4.求向量组12(2,1,1,1,2),(1,1,2,1,4),T T αα=--=-3(2,3,1,1,2),T α=-- 4(3,6,9,7,9)Tα=-的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.解：对1234(,,,)αααα=A 进行初等行变换，得2123111711171117113611360241300491219121901020102111721230141100492429242902450049A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-------- ⎪ ⎪⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭191110011011174401020102010290019900100144400000000000000000000000⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪→→→--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为321,,ααα,并且4123119244αααα=+-．5. 求一个正交变换，将二次型222122332363f x x x x x =+++化为标准形. 解：二次型的矩阵为200033033A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200||033(2)(6)033A E λλλλλλλ--=-=---，得矩阵A 的特征值为1230,2,6λλλ===.对特征值10λ=，解方程0Ax =，因200100033~011033000r ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1(0,1,1)T ξ=-.对特征值22λ=，解方程(2)0A E X -=，因000013013~001031000r ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2(1,0,0)T ξ=.对特征值36λ=，解方程(6)0A E X -=，因400100033~011033000r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得3(0,1,1)T ξ=.由于123,,ξξξ是属于矩阵A 的三个不同特征值的特征向量，故它们必两两正交，将它们单位化得111(0,||||T p ξξ==，222(1,0,0)||||T p ξξ==，333||||p ξξ==T .令123(,,)P p p p =，则P 为正交矩阵，且有1T P AP P AP -==Λ=000020006⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭. 四、综合题（每题5分，共15分）1. 已知n 阶矩阵A 满足220A A I --=，证明A I -可逆，并求其逆. 解：由 (),2AA I I -=得1()2A A I --=.2. 判断向量组112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+的线性相关性. 解：线性相关.3. 如果n 阶矩阵A 满足I A =2，证明()()r I A r I A n ++-=. 证明：（1）()()()(2)r I A r I A r I A I A r I n ++-≥++-==（2）由I A =2知()()0I A I A +-=，故I A -的列向量组是方程组()0I A x +=的解，因此能由其基础解系线性表出，从而()()r I A n r I A -≤-+，因此()()r I A r I A n ++-≤.综上所述，()()r I A r I A n ++-=.。
大学线性代数期末考试试卷+答案
大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
2009-2010学年第一学期线性代数A期末试卷A卷及参考答案
2.（6 分）设 n 阶方阵 A 满足 A2 + 9 A + 7 E = 0, ，求证 A − 2 E 可逆且求其逆．
⎛ 0 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 1 −4 3 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3、 （8 分）解矩阵方程 ⎜ 1 0 0 ⎟ X ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 2 0 −1 ⎟ ． ⎜ 0 0 1 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 1 −2 0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
浙江科技学院 2009-2010 学年第一学期线性代数A考试试卷A卷 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 已知 4 阶行列式 D 的第二行元素分别为 1、2、3、4，与它们对应的余子式依次 为 4、 −3 、2、 −1 ，则 D =__________ . 2. 设 A 是三阶方阵, A* 是其伴随矩阵, | A |=
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⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 1 2 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ −1 5.（8 分）解： A= (α 1 , α 2 , α 3 )= ⎜ 1 2 3 ⎟ ， B= ( β1 , β 2 , β 3 )= ⎜ ⎜- 1 1 3 ⎟， P = A B ， ⎜1 3 4 ⎟ ⎜ 0 1 - 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 由 ( A, B ) ⎯⎯ →( E , A B ), 求得P = A B = ⎜ 5 1 −14 ⎟ ⎜ −4 −1 10 ⎟ ⎝ ⎠
第 4 页
⎛ 1 0 5 ⎜ ⎜ 令 P = ( p1 , p2 , p3 ) = ⎜ −2 0 5 ⎜ 1 ⎜ 0 ⎝ 2 ⎞ 5⎟ 1 ⎟ ，则 P 为正交矩阵， 5⎟ ⎟ 0 ⎟ ⎠
从而 x = Py 为正交变换，使 f = − y12 + 2 y2 2 + 4 y32 四、证明题（6 分） 证：设 k1α1 + k 2α 2 + k3α 3 + k 4 (α 5 − α 4 ) = 0, 由 R(I)=R(II)=3， 得 α 4 可由 α 1 ,α 2 ,α 3 惟一线性表示， 设为 α 4 = l1α1 + l2α 2 + l3α 3 , 代入得 (k1 − l1 k 4 )α 1 + (k 2 − l 2 k 4 )α 2 + (k 3 − l3 k 4 )α 3 + k 4α 5 = 0, 因为 α1 , α 2 , α 3 , α 5 线性无关, 所以 k1 − l1 k 4 = k 2 − l 2 k 4 = k 3 − l 3 k 4 = k 4 = 0, 从而 k1 = k 2 = k 3 = k 4 = 0 ,得证。
线性代数期末测试题及其答案
线性代数期末测试题及其答案一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵ns ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．已知矩阵A 为3⨯3的矩阵，且3||=A ，则=|2|A 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、选择题 （每小题5分，共25分）6．已知二次型3231212322214225x x x x x tx x x x f +-+++=,当t 取何值时，该二次型为正定？（ ）A.054<<-t B.5454<<-t C.540<<t D.2154-<<-t7．已知矩阵BA xB A ~,50060321,340430241且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，求x 的值（ ）A.3B.-2C.5D.-58．设A 为n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（ ） A. 0≠A B.1≠-A C.n A r =)( D.A 的行向量组线性相关9．过点（0，2，4）且与两平面2312=-=+z y z x 和的交线平行的直线方程为（ ）A.14322-=-=-z y x B.24322-=-=z y xC.14322+=+=-z y xD.24322+=+=z y x10．已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1513A ,其特征值为（ ） A.4,221==λλ B.4,221-=-=λλ C.4,221=-=λλ D.4,221-==λλ三、解答题 （每小题10分，共50分）11.设,1000110001100011⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2000120031204312C 且矩阵X 满足关系式E X B C T =-)(， 求X 。
线代期末考试试卷(2009-2010)
底 .
T T
年级：
2、设α = ( a1 ,..., an ) , β = (b1 ,..., bn ) 是两个非零的复向量，且 设 A = αβ T .则 A 的 Jordan 标准型为 .
华中师范大学 2009–2010 学年第一学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
专业：
院（系） ：
Α(ε1 − 2ε 2 ) = 3ε1 + 2ε 2 .A 在基底 ε 1，ε 2 下的矩阵为 Α(3ε1 − ε 2 ) = −ε1 + ε 2
.
T
5、设V = M n (C ) （所有 n 阶复方阵构成的线性空间） ，定义内积 A, B = tr ( A B ) ，则对角方阵所成子空间W 的正交补子空间W 为
0 1 0 是一个 14 阶方阵，求 N 4 的 Jordan 标准型 J ，并求可逆矩阵 P ，使得 2、设 N = ... ... 1 0
P −1 N 4 P = J .
2
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(本科)线性代数期末考试题及答案AB卷
线性代数试题测试卷及答案2套一、填空题1.四阶行列式中含有因子112432a a a 的项为_________.2.行列式222111ab c a b c 的值为_________. 3.设矩阵1000010000210022⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，则1-=A _________.4.设四元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为1，则其解空间的维数为_________.5.设矩阵1234(,,,)=A αααα，其中234,,ααα线性无关，12342=-+αααα，向量41i i ==∑βα，则方程=AX β的通解为_________.6.已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3，则32--=A A E _________.二、选择题1.若两个三阶行列式1D 与2D 有两列元素对应相同，且123,2D D ==-，则12D D +的值为( ).A.1B.6-C.5D.02.对任意的n 阶方阵,A B 总有 ( ). A.=AB BA B.=AB BA C.()111---=AB B A D.()222=AB A B3.若矩阵X 满足方程=AXB C ，则矩阵X 为（ ）.A.11--A B C B.11--A CB C.11--CA B D.条件不足，无法求解4.设矩阵A 为四阶方阵，且()3R =A ，则*()R =A （ ）. A.4 B.3 C.2 D.15.下列说法与非齐次线性方程组=AX β有解不等价的命题是（ ）.A.向量β可由A 的列向量组线性表示B.矩阵A 的列向量组与(,)A β的列向量组等价C.矩阵A 的行向量组与(,)A β的行向量组等价D.(,)A β的列向量组可由A 的列向量组线性表示6.设n 阶矩阵A 和B 相似，则下列说法错误的是（ ）. A.=A B B.()()R R =A BC.A 与B 等价D.A 与B 具有相同的特征向量7.设222123121323()224f x x x x ax x x x x x =+++-+为正定二次型，则a 满足（ ）.A.11a a ><-或B.12a <<C.11a -<<D.21a -<<- 三、计算题1.已知12111111111n na a D a ++=+，其中120n a a a ≠，求12n n nn A A A +++.2.设矩阵022110123⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，且2=+AX A X ，求X .3.求矩阵123451122102151(,,,,)2031311041⎛⎫ ⎪-⎪== ⎪- ⎪-⎝⎭A ααααα的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.4.求非齐次线性方程组12341234123431,3344,5980x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩的通解.5.求一个正交变换=X PY ，将二次型123121323(,,)222f x x x x x x x x x =--化成标准形.四、证明题已知n 阶方阵A 和B 满足124-=-A B B E ，证明2不是A 的特征值。
（完整版）全国自考历年线性代数试题及答案
（完整版）全国⾃考历年线性代数试题及答案浙02198# 线性代数试卷第1页（共54页）全国2010年1⽉⾼等教育⾃学考试《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表⽰矩阵A 的转置，αT 表⽰向量α的转置，E 表⽰单位矩阵，|A |表⽰⽅阵A 的⾏列式，A -1表⽰⽅阵A 的逆矩阵，r （A ）表⽰矩阵A 的秩.⼀、单项选择题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共30分）在每⼩题列出的四个备选项中只有⼀个是符合题⽬要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均⽆分。
1.设⾏列式==1111034222,1111304z y x zy x则⾏列式（）A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆⽅阵，则（ABC ）-1=（） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（） A. α1，α2，α3，α4⼀定线性⽆关 B. α1⼀定可由α2，α3，α4线性表出 C.α1，α2，α3，α4⼀定线性相关D. α1，α2，α3⼀定线性⽆关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性⽅程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（） A.m ≥nB.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯⼀解浙02198# 线性代数试卷第2页（共54页）C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =??---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（） A.（1，1，1）T B.（1，1，3）T C.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （）A.4B.5C.6D.710.三元⼆次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（）A.??963642321 B.??963640341 C.??960642621 D.??9123042321⼆、填空题（本⼤题共10⼩题，每⼩题2分，共20分）请在每⼩题的空格中填上正确答案。
线性代数期末考试试卷及答案
一、 填空题(每空3分，共15分)1、设A 为n 阶方阵，且3A =，则|3A |= 。
2、设矩阵5678A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A *= 。
（其中A *是A 的伴随矩阵） 3、已知n 阶矩阵A 满足2A A =，则A 的特征值为 。
4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是 。
5、二次型22212312133428f x x x x x x x =-+-+的实对称矩阵为 。
二、选择题(每小题3分，共15分)1、12021k k +≠+的充要条件是（ ）（A ）1k ≠ （B ）3k ≠-（C ）1k ≠且3k ≠- （D ）1k ≠或3k ≠-2、若111221226a a a a =，则121122212020021a a a a --的值为（ ） ()A 12 ()B -12 ()C 18 ()D 03、设,A B 都是n 阶方阵，且0AB =，则下列一定成立的是（ ）()A 0A =或0B = (),B A B 都不可逆 (),C A B 中至少有一个不可逆 ()0D A B += 4、向量组()12,,,2s s ααα≥ 线性相关的充分必要条件是（ ）()A 12,,,s ααα 中含有零向量。
()B 12,,,s ααα 中有两个向量的对应分量成比例。
()C 12,,,s ααα 中每一个向量都可由其余1s -个向量线性表示。
()D 12,,,s ααα 中至少有一个向量可由其余1s -个向量线性表示。
5、当ad ≠bc 时，1a b c d -⎡⎤⎢⎥⎣⎦=（ ） （A ）d c b a -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦（B ）1d b c a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（C ）1d b c a bc ad ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦（D ）1d c b a ad bc -⎡⎤⎢⎥--⎣⎦三、（8分）计算行列式411102*********23D -=-四、（11分）求向量组()()()()12342,1,1,1,1,1,7,10,3,1,1,2,8,5,9,11αααα==-=--=的一个最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示。
同济大学线性代数期末考试试题(多套)
证明向量组 b1, b2 , b3 , b4 线性无关．
铺
货
杂
料
资
习
同济大学课程考学核试卷（A 卷）
2009—20号10：学年第二学期
众 一、(24 分) 填空与选择题，其中选择题均为单选题.
⎛6
1、
设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 x
y 5⎞
公 0 微信 2
4 3
⎟ ⎟⎟⎠
，则
A
中元素
y
的代数余子式的值为
.
⎛1 0 0⎞
6 0
−11⎟⎟⎟⎠ 有两重特征值-1，则行列式 A − 5E =
.
5 、 设 A 为 3× 4 阵 ， 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = b 有 解 ， 其 解 向 量 组 的 秩 为 2 ， 则
R(A) =
.
⎛ 1 0 2⎞
6、
设矩阵
A
=
⎜ ⎜
k
3
3
⎟ ⎟
可对角化，则
k
=
.
⎜⎝ −1 0 4 ⎟⎠
时,推理“若 AB = O ， 则 B = O ”可成
微 立. （注：此题可多选）
(A). A 可逆
(B). A 为列满秩（即 A 的秩等于 A 的列
数）
(C). A 的列向量组线性无关
(D). A ≠ O
7、 设矩阵 A, B 分别为 3 维线性空间V 中的线性变换T 在某两组基下的矩阵，已知1, −2 为
(B) 对任一个α j (1≤ j ≤ s ) ，向量组α j ，β 2 ，L，β s 线性相关；
(C) 向量组α 1 ，α 2 ，L，α s 与向量组 β 1 ，β 2 ，L，β s 等价.
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第1页 福建工程学院国脉信息学院 2009-2010学年第1学期期末考试 《线性代数 》课程考试试题 ( A 卷) 共 7页 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一.单项选择题（15分，每小题3分） 1．矩阵,A B 都是n 阶方阵，则下列等式正确的是（ ） ()A 222()2A B A AB B +=++ ()B ||||||n A B A B = ()C ||||||A B A B +=+ ()D 1111(2)()2A B B A T T ---T = 2．设四阶方阵()()234234,,,,,,,A B αγγγβγγγ== ，其中234,,,,αβγγγ 均为4维列向量，且已知行列式4,2A B == ，则行列式A B +=（ ） ()A 6 ()B 12 ()C 36 ()D 48 3. 若A 是n 阶方阵，b 是n 维非零向量，且齐次线性方程组0Ax =有非零解，则下列结论中不会发生的是（ ） ()A Ax b =无解 ()B A x b =有唯一解 ()C Ax b =有无穷多解 ()D ()R A n < 4. 设12(1,1,0),(2,0,1)ααT T ==，则与12,αα都正交的单位向量是（ ） ()A (0,0,1)αT = ()B (1,1,2)αT =-- ()C 11(,,0)22αT =- ()D 112(,,)666αT =- 5. 设12,,,m ααα 是一n 维向量组，12(,,,)m R r m ααα=< ，下面说法错误的是（ ） ()A 向量组12,,,m ααα 线性相关.
()B 向量组12,,,m ααα 中任意r 个线性无关的向量都构成其极大无关组.
()C 向量组12,,,m ααα 中任意一个向量都能由其余向量线性表示. ()D 向量组12,,,m ααα 与其任一极大无关组等价. 第2页 二．填空题（15分，每小题3分） 1.已知11,23A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭12,03B ⎛⎫= ⎪⎝⎭则1(2)B A A --⋅= _______. 2.在多项式()f x =1002141322011x x x --中含3x 项的系数是______. 3．已知二阶方阵A 的特征值为1，2，则32|3|A A E -+=______. 4.已知三阶方阵A 的秩()1R A =，且2(1,1,2),(2,0,1),ααT T 1==3(1,2,3)αT =是方程组Ax b =的三个特解，则0Ax =的基础解系是 . 5.已知三阶方阵A 相似于对角矩阵100020,000⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭则()R A =____. 三.（6分）计算行列式：100110011001a b D c d -=--
密
封
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班级
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＿＿＿＿姓
名:＿
＿＿＿
＿
＿学
号
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＿＿
＿
＿
四. (10分)已知110011102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，121011B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且AX B =，求X . 五. (8分)判断向量组123(1,3,1),(2,1,0),(1,4,1)T T T ααα=-==是线性相关，还是线性无关？
六 (12分)已知1(1,1,2,3)T α=-,2(0,3,1,2)T α=,3(3,0,7,11)T α=,4(2,1,5,8)T α=,求： （1）向量组1234,,,αααα的秩（2）向量组1234,,,αααα的一最大无关组， （3）并把其余的向量用此最大无关组线性表示.
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名:＿
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＿学
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七. （12分）已知方程组 121232324323293x x x x ax ax x +=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩ (1)问a 分别为何值时，方程组有唯一解，无解，无穷多解？ (2)当方程组有无穷解时，求其通解. 八. （12分）设实对称矩阵400031013A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ.
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＿学
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第7页 九．证明题：（每题5分，共10分） 1.设n 阶矩阵A 满足225A A E O +-=，E 为n 阶单位阵，证明A E -可逆，并求其逆矩阵. 2.设η*是非齐次线性方程组AX b =的一个解，1,,n r ξξ- 是其对应的齐次线性方程组的一个基础解系，证明η*,1,,n r ξξ- 线性无关.
密
封
线
班级:＿＿＿＿＿＿姓
名:＿＿＿＿＿
＿学号:＿＿＿＿＿＿。