人教a版数学【选修1-1】作业：3.3.3函数的最大(小)值与导数(含答案)

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2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：3.3.3函数的最大(小)值与导数 Word版含答案

►基础梳理1．函数的最大值与最小值．一般地，假如在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的一般步骤：(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.3．极值与最值的区分与联系：(1)极值与最值是不同的，极值只是相对一点四周的局部性质，而最值是相对于整个定义域或所争辩问题的整体性质；(2)函数的最值通常在极值点或区间端点取得，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值；(3)求函数的最值一般需要先确定函数的极值．因此函数极值的推断是关键，假如仅仅是求最值，可将导数值为零的点或区间端点的函数值直接求出并进行比较，也可以依据函数的单调性求最值．,►自测自评1．函数f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C.无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3.当|x|＜1，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－1，1)上单调递减，故选C.2．函数f(x)＝－x2＋4x＋1在区间[3，5]上的最大值和最小值分别是4，－4．解析：令f′(x)＝－2x＋4＝0，则x＝2，f(x)在[3，5]上是单调函数，排解f(2)，比较f(3)，f(5)，即得．3．函数y＝x ln x在[1，3]内的最小值为0．解析：y′＝ln x＋1，∵x∈[1，3]，∴y′＞0，∴函数y＝x ln x在[1，3]内是递增函数，∴当x＝1时，y min＝0.1. 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是(C)A．1，－1B．1，－17C．3，－17 D．9，－19解析：依据求最值的步骤，直接计算即可得答案为C.2．已知f(x)＝12x2－cos x，x∈[－1，1]，则导函数f′(x)是(D)A．仅有最小值的奇函数B．既有最大值又有最小值的偶函数C．仅有最大值的偶函数D．既有最大值又有最小值的奇函数解析：求导可得f′(x)＝x＋sin x，明显f′(x)是奇函数，令h(x)＝f′(x)，则h(x)＝x＋sin x，求导得h′(x)＝1＋cos x，当x∈[－1，1]时，h′(x)＞0，所以h(x)在[－1，1]上单调递增，有最大值和最小值．所以f′(x)是既有最大值又有最小值的奇函数．故选D.3．函数f(x)＝x2＋ax＋1在点[0，1]上的最大值为f(0)，则实数a的取值范围是________．解析：依题意有：f(0)≥f(1)，即1≥2＋a，所以a≤－1.答案：(－∞，－1]4．求下列函数的最值：(1)f(x)＝x3＋2x，x∈[－1，1]；(2)f(x)＝(x－1)(x－2)2，x∈[0，3]，解析：(1)当x∈[－1，1]时，f′(x)＝3x2＋2＞0，则f(x)＝x3＋2x在x∈[－1，1]上单调递增．因而f(x)的最小值时f(－1)＝－3，最大值是f(1)＝3.(2)由于f(x)＝(x－1)(x－2)2＝x3－5x2＋8x－4，所以f′(x)＝(3x－4)(x－2)令f′(x)＝(3x－4)(x－2)＝0，得x＝43或x＝2，∵f(0)＝－4，f⎝⎛⎭⎫43＝427，f(2)＝0，f(3)＝2，∴f(x)的最大值是2，最小值时－4.5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1，1]，求f(m)＋f′(n)的最小值．解析：求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，易知f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，∴当m∈[－1，1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.又f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，且对称轴为x＝1.∴当n∈[－1，1]时，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.1．函数f(x)＝x3＋3x在(0，＋∞)上的最小值是(A)A．4 B．5。

人教A版高中数学选修一3.3.3函数的最大(小)值与导数.docx

知能巩固提升(二十四)/课后巩固作业(二十四)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.函数f(x)在［a,b ］上的图象连续不断，则下列说法正确的是( ) (A)f(x)的极值点一定是最值点 (B)f(x)的最值点一定是极值点 (C)f(x)在［a,b ］上可能没有极值 (D)f(x)在［a,b ］上可能没有最值2.函数f(x)=x 3-3x+3，当x ∈［-32,52］时，函数f(x)的最小值是( ) (A)338(B)1 (C)-5 (D)8983.（2012·临沂高二检测）函数y=x+2cosx 在［0,2π］上取最大值时，x 的值为( )(A)0 (B)6π (C)3π (D)2π4.（2011·湖南高考）设直线x=t 与函数f(x)=x 2，g(x)=lnx 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为( )(A)1 (B)12(C)2(D)2二、填空题（每小题4分，共8分）5.函数f(x)=ax 4-4ax 2+b(a ＞0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为-5，则a= _______,b=_______.6.(易错题）已知f(x)=-x2+mx+1在区间［-2,-1］上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知函数f(x)=13x3-4x+4.(1)求函数的极值；(2)求函数在区间［-3,4］上的最大值和最小值．8.若方程3x4-4mx3+1=0没有实数根，求实数m的取值范围．【挑战能力】（10分）已知f(x)=x2-alnx,求f(x)在［1,+∞）上的最小值.答案解析1.【解析】选C.函数最值可在极值点处取得，也可在端点处取得，所以A，B不正确，当f(x)在［a，b］上单调或f(x)为常数函数时，f(x)在［a,b］上无极值，故C正确，闭区间［a,b］上f(x)一定有最值，所以D不正确.2.【解析】选B.令f′(x)=3x2-3=0，得x1=-1，x2=1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：由上表可知当x=1时，f(x)取最小值1.3.【解析】选B.∵y′=1-2sinx,解y′＞0得sinx＜12，故0≤x＜6，解y′＜0得sinx ＞12，故6π＜x ≤2π,∴原函数在［0, 6π)上单调递增,在（6π,2π］上单调递减,当x=6π时函数取极大值,同时也为最大值.4.【解题指南】用转化的思想：直线x=t 与函数f(x)=x 2，g(x)=lnx 的图象分别交于M ，N ，而|MN|的最小值实际是函数F(t)=t 2-lnt(t ＞0)时的最小值．【解析】选D.由题意，设|MN|=F(t)=t 2-lnt(t ＞0)，令F ′(t)=2t-1t=0，得或(舍去)．F （t)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故t=2时，F(t)=t 2-lnt(t ＞0)有极小值，也为最小值.即|MN|达到最小值，故选D.【变式训练】曲线y=3-x 2(x ＞0)上与定点P(0,2)距离最近的点的坐标为______. 【解析】设曲线上任一点Q(x,y)，且|PQ|的平方为f(x)=(x-0)2+(y-2)2=x 2+(1-x 2)2=x 4-x 2+1（x ＞0），则f ′(x)=4x 3-2x=2x(2x 2-1)，令f ′(x)=0，得x 1=0，x 2=2,x 3=-2.∵x ＞0,∴x=2.令f ′(x)＞0，得x ∈,+∞)；令f′(x)＜0，得x∈(0,2).∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，∴f(x)的极小值，也为最小值为)4)2+1=34.此时点Q(2,52).答案:(2,52)5.【解析】令f′(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2)=0，得x1=0,x2,x3又∵1≤x≤2,∴.又f(1)=a-4a+b=b-3a，f(2)=16a-16a+b=b，)=b-4a，∵a＞0,∴b4a5b3,-=-⎧⎨=⎩,∴a=2,b=3.答案:2 3【方法技巧】求函数在闭区间上的最值时的技巧求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．6.【解析】f′(x)=m-2x,令f′(x)=0,得x=m2.由题设得-2＜m2＜-1,故m∈(-4,-2).答案:(-4,-2)【误区警示】本题极易扩大极值点的范围得到m∈［-4,-2］，这是因为由极值定义，不难发现极值点在区间［-2,-1］的内部（即不能是区间［-2,-1］的端点），而函数f(x)的最值是函数f(x)在x 的某个区间上的所有函数值比较而言的. 7.【解析】(1)f ′(x)=x 2-4, 解方程x 2-4=0,得x=-2或x=2.当x 变化时，f ′(x)与f(x)的变化情况如下表：x (-∞,-2)-2 (-2,2) 2 (2,+∞) f ′(x)+-0 +f(x) ↗ 283↘ -43↗从上表可看出，当x=-2时，函数有极大值，且极大值为3；当x=2时，函数有极小值，且极小值为-43.(2)f(-3)=13×(-3)3-4×(-3)+4=7，f(4)=13×43-4×4+4=283，与极值比较，得函数在区间［-3,4］上的最大值是283，最小值是-43.8.【解析】令f(x)=3x 4-4mx 3+1，则f ′(x)=12x 3-12mx 2=12x 2(x-m)．令f ′(x)＞0，得x ＞m ；令f ′(x)＜0，得x ＜m. ∴y=f(x)在(-∞,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增，即函数在x=m 处取得极小值，同时也是函数在定义域R 上的最小值，f(m)=-m 4+1. 要使方程没有实数根，如图，应有f(m)=-m 4+1＞0,解得-1＜m ＜1. 【挑战能力】【解析】f ′(x)=2x-2a 2x ax x-=①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在［1,+∞）上单调递增，故f(x)min=f(1)=1；②当a＞0时，令f′(x)=0得x1 (舍去)，x21即0＜a≤2时，f(x)在［1,+∞）上单调递增，故f(x)min=f(1)=1;1即a＞2时，f′(x),f(x)随x的变化情况如下表：故在f(x)取极小值也为最小值,∴f(x)min a2-a2ln a2.综上所述：当a≤2时，f(x)min=f(1)=1;当a＞2时，f(x)min a2-a2ln a2.。

人教a版数学【选修1-1】：3.3.3函数的最大(小)值与导数(含答案)

3.3.3 函数的最大(小)值与导数课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )的图象是一条______________的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的________；(2)将f (x )的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D ．－12或－32题号 1 2 3 4 5 6 答案7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3 函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断定义域极值点附近3．(1)极值 (2)端点处的函数值f (a )，f (b ) 最大最小1．D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．D [f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6.∴最大值为f (5)，最小值为f (2)．]3．A [y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－x e x ，令y ′＝0得x ＝1. ∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2， ∴最大值为1e(x ＝1时取得)．] 4．A [y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12. 又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0，所以y max ＝ 12＋ 1－12＝ 2.] 5．B [∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎡⎦⎤12，12e π2解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤12e π2. 9．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.11．解由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．12．解 (1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2x (x ＋2)．由e x2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间，由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， ∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0.故m 的取值范围为(－∞，0)．13．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4.∵4∉ [－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ，f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3，最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－29，综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

人教A版高中数学选修1-1课时自测当堂达标：3.3.3 函数的最大(小)值与导数精讲优练课型 Word版含答案

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课时自测·当堂达标1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.2.函数y=的最大值为( )A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以y max=.3.f(x)=x3-12x+8在上的最大值为M,最小值为m,则M-m= .【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:324.函数f(x)=的最大值为.【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.进一步分析,最大值为f(1)=.方法二:f(x)==≤,当且仅当=时,即x=1时,等号成立,故f(x)max=.答案:5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在上的最大值.【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表:所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取到最大值3.关闭Word文档返回原板块高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。

高中数学 3.3.3函数的最大(小)值与导数练习新人教A版高二选修1-1数学试题

3.3.3函数的最大（小）值与导数一、选择题1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分别是( )A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案] A[解析] y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时y＝1，x＝－1时y＝12，x＝1时y＝－8.∴y max＝12，y min＝－8.故选A．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值[答案] D[解析] f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函数在(－1,1)上是减少的，∴既无最大值，也无最小值．3．函数f(x)＝3x－x3(－3≤x≤3)的最大值为( )A．18 B．2C．0 D．－18[答案] B[解析] f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－3≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0,1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x＝－1处取极小值，在x＝1处取极大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－3)＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．(2015·东城区联考)如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数B．在(1,3)上f(x)是减函数C ．在(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C[解析] 由导函数y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－2,1)上先减后增，在(1,3)上先增后减，在(4,5)上单调递增，x ＝4是f (x )的极小值点，故A 、B 、D 错误，选C ．5．下列说法正确的是( ) A ．函数的极大值就是函数的最大值 B ．函数的极小值就是函数的最小值 C ．函数的最值一定是极值D ．在闭区间上的连续函数一定存在最值 [答案] D6．函数y ＝x ＋2cos x 在[0，π2]上取最大值时，x 的值为( ) A ．0 B ．π6C ．π3D ．π2[答案] B[解析] y ′＝1－2sin x ，由y ′>0可知0<x <π6，由y ′<0可知π6<x <π2，所以函数在(0，π6)上单调递增，在(π6，π2)上单调递减，故y ＝x ＋2cos x 在x ＝π6时取得最大值．二、填空题7．函数y ＝x 4－2x 2＋5在区间[－2,2]上的最大值为__________ ________. [答案] 13[解析] y ′＝4x 3－4x ，令y ′＝0，即4x 3－4x ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，又f (－2)＝13，f (－1)＝4，f (0)＝5，f (1)＝4，f (2)＝13，故最大值为13.8．若函数f (x )＝3x －x 3＋a ，－3≤x ≤3的最小值为8，则a 的值是__________ ________.[答案] 26[解析] f ′(x )＝3－3x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.f (1)＝2＋a ，f (－1)＝－2＋a .又f (－3)＝a ，f (3)＝－18＋a .∴f (x )min ＝－18＋a .由－18＋a ＝8.得a ＝26.9．(2014·某某市一中月考)曲线y ＝x2x －1在点(1,1)处的切线为l ，则l 上的点到圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0上的点的最近距离是__________ ________.[答案] 22－1 [解析] y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d ＝22，圆的半径r ＝1，∴所求最近距离为22－1. 三、解答题10．(2015·某某市临淄中学学分认定考试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，曲线y ＝f (x )在点P (1，f (1))处的切线方程为y ＝3x ＋1.(1)求a 、b 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值．[解析] (1)依题意可知点P (1，f (1))为切点，代入切线方程y ＝3x ＋1可得，f (1)＝3×1＋1＝4，∴f (1)＝1＋a ＋b ＋5＝4，即a ＋b ＝－2，又由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5得，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，而由切线方程y ＝3x ＋1的斜率可知f ′(1)＝3， ∴3＋2a ＋b ＝3，即2a ＋b ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－2，2a ＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4，∴a ＝2，b ＝－4.(2)由(1)知f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(3x －2)(x ＋2)，令f ′(x )＝0，得x ＝23或x ＝－2.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：x －3 (－3，－2)－2 (－2，23)23 (23，1) 1 f ′(x )＋ 0 － 0 ＋ f (x )8增极大值减极小值增4∴f (x )的极大值为f (－2)＝13，极小值为f (23)＝9527，又f (－3)＝8，f (1)＝4， ∴f (x )在[－3,1]上的最大值为13.一、选择题1．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．239B ．229C ．329D ．38[答案] A[解析] f ′(x )＝1－3x 2＝0，得x ＝33∈[0,1]， ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫33＝239，f (0)＝f (1)＝0. ∴f (x )max ＝239.2．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上图象连续不断且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )[答案] A[解析] 令u (x )＝f (x )－g (x )，则u ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0， ∴u (x )在[a ，b ]上为单调减少的， ∴u (x )的最大值为u (a )＝f (a )－g (a )．3．设在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，且在区间[a ，b ]上存在导数，有下列三个命题：①若f (x )在[a ，b ]上有最大值，则这个最大值必是[a ，b ]上的极大值； ②若f (x )在[a ，b ]上有最小值，则这个最小值必是[a ，b ]上的极小值； ③若f (x )在[a ，b ]上有最值，则最值必在x ＝a 或x ＝b 处取得．其中正确的命题个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] 由于函数的最值可能在区间[a ，b ]的端点处取得，也可能在区间[a ，b ]内取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此3个命题都是假命题．4．当x ∈[0,5]时，函数f (x )＝3x 2－4x ＋c 的值域为( )A ．[f (0)，f (5)]B ．[f (0)，f (23)]C ．[f (23)，f (5)]D ．[c ，f (5)][答案] C[解析] f ′(x )＝6x －4，令f ′(x )＝0，则x ＝23，0<x <23时，f ′(x )<0，x >23时，f ′(x )>0，得f (23)为极小值，再比较f (0)和f (5)与f (23)的大小即可．二、填空题5．函数f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是__________ ________.[答案] －10[解析] f ′(x )＝6x 2－6x －12，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝2.但x ∈[0,3]，∴x ＝－1舍去，∴x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：减少增加max min 所以f (x )max ＋f (x )min ＝－10.6．函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a >0)，x ∈[1,4]，f (x )的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝__________ ________.[答案]103[解析] f ′(x )＝4ax 3－12ax 2.令f ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)，或x ＝3.1<x <3时，f ′(x )<0,3<x <4时，f ′(x )>0，故x ＝3为极小值点． ∵f (3)＝b －27a ，f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (x )的最小值为f (3)＝b －27a ，最大值为f (4)＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝3，∴a ＋b ＝103.三、解答题7．(2015·全国卷Ⅱ文)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值X 围．[解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ，若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)单调递增；若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时f ′(x )<0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞单调递减．(2)由(1)知a ≤0时f (x )在(0，＋∞)无最大值．当a >0时f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2⇔ln a ＋a －1<0，令g (a )＝ln a ＋a －1.则g (a )在(0，＋∞)是增函数，且g (1)＝0，于是，当0<a <1时，g (a )<0，当a >1时，g (a )>0.因此a 的取值X 围是(0,1)．8．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .(1)若f (x )在(23，＋∞)上存在递增区间，求a 的取值X 围；(2)当0<a <2时，f (x )在[1,4]上的最小值为－163，求f (x )在该区间上的最大值．[分析] 对函数求导后，利用最值建立关于参数的方程或不等式求解．注意第(1)问中，单调递增区间不一定是(23，＋∞)，而是其子集．[解析] (1)由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a .当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19.所以当a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在递增区间．即f (x )在(23，＋∞)上存在递增区间时，a 的取值X 围为(－19，＋∞)．(2)令f ′(x )＝0，得两根x 1＝1－1＋8a 2，x 2＝1＋1＋8a2，所以f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a <2时，有x 1<1<x 2<4，所以f (x )在[1,4]上的最大值为f (x 2)．又f (4)－f (1)＝－272＋6a <0，即f (4)<f (1)．所以f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f (x )在[1,4]上的最大值为f (2)＝103.。

2019-2020学年高中人教A版数学选修1-1学案：3.3.3 函数的最大(小)值与导数含解析

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3.3函数的最大(小)值与导数Q错误!错误!城市街道路灯是一道亮丽的风景线，路灯的设计既要考虑景观效果，又要实用和节能,因此路灯的高度、路灯之间的距离与道路的宽度等等要有合适的比例，才能取得最好效果．若要取得良好效果，则设计人员需要一定的数学知识．X错误!错误!1．函数y＝f（x）在闭区间［a，b]上取得最值的条件如果在区间［a，b]上函数y＝f(x）的图象是__一条连续不断__的曲线，那么它必有最大值和最小值．2．求函数y＝f（x）在［a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数y＝f(x）在__（a，b)__内的极值．（2）将函数y＝f(x)的__各极值__与端点处的__函数值f(a)、_f(b）__比较，其中__最大__的一个是最大值，__最小__的一个是最小值．Y错误!错误!1．若函数f（x)＝－x4＋2x2＋3，则f(x）（ B ）A．最大值为4，最小值为－4 B．最大值为4，无最小值C．最小值为－4，无最大值D．既无最大值，也无最小值[解析］f′(x）＝－4x3＋4x,由f′（x）＝0得x＝±1或x＝0.易知f(－1)＝f(1)＝4为极大值也是最大值，故应选B。

2．函数y＝x＋2cos x在[0，错误!]上取最大值时，x的值为( B ）A．0 B．错误!C．错误!D．错误![解析] y′＝1－2sin x，由y′>0可知0〈x<错误!，由y′〈0可知错误!〈x<错误!,所以函数在（0，错误!)上单调递增，在(错误!,错误!)上单调递减，故y＝x＋2cos x在x＝错误!时取得最大值．3．函数f(x）＝x3－3x2＋2在区间[－1，1］上的最大值是（ C )A．－2 B．0C．2 D．4［解析] 对函数求导f′(x)＝3x2－6x＝3x（x－2）,则f(x）在区间[－1,0］上递增，在［0，1]上递减，因此最大值是f（0)＝2，故选C．4．函数y＝x4－2x2＋5在区间[－2,2］上的最大值为__13__.[解析] y′＝4x3－4x,令y′＝0,即4x3－4x＝0,解得x1＝－1，x2＝0，x3＝1，又f(－2)＝13，f（－1)＝4，f（0）＝5，f（1）＝4，f(2)＝13，故最大值为13。

人教A版高中数学选修一3.3.3 函数的最大(小)值与导数.docx

3．3．3函数的最大(小)值与导数双基达标（限时20分钟）1．函数y＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为()．A.29 3 B.29 2 C.49 2 D.38解析y′＝1－3x2＝0，∴x＝±33.当0<x<33时，y′>0；当33<x<1时，y′<0.所以当x＝33时，y极大值＝293；当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0.所以当x＝33时，y max＝29 3.答案 A2．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围为()．A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<1 2解析∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0，可得a＝x2，又∵x∈(0，1)，∴0<a<1，故选B.答案 B3．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()．A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 解析 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系知1－1＝－2b3a ，所以b ＝0，故选A. 答案 A4．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．解析 y ′＝1－2sin x ＝0，x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋ 3. 答案 π6＋ 35．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大、最小值分别是________．解析 f ′(x )＝cos x －sin x ＝0，即tan x ＝1， x ＝k π＋π4，(k ∈Z )，而x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，当－π2＜x ＜π4时，f ′(x )＞0；当π4＜x ＜π2时，f ′(x )＜0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4是极大值．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴函数最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1.答案2 －16．求函数f (x )＝x 5＋5x 4＋5x 3＋1在区间[－1，4]上的最大值与最小值．解 f ′(x )＝5x 4＋20x 3＋15x 2＝5x 2(x ＋3)(x ＋1)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－1或x ＝－3(舍)，列表：x －1 (－1，0)0 (0，4)4f ′(x ) 0 ＋0 ＋f (x )12 625又f (0)＝1，f (－1)＝0，右端点处f (4)＝2 625，∴函数y＝x5＋5x4＋5x3＋1在区间[－1，4]上的最大值为2 625，最小值为0.综合提高（限时25分钟）7．函数y＝x33＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是()．A．－173B．－103C．－4 D．－643解析y′＝x2＋2x－3(x∈[0，2])，令x2＋2x－3＝0，知x＝－3或x＝1为极值点．当x＝1时，y min＝－173，故选A.答案 A8．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()．A．－37 B．－29 C．－5 D．－11解析∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37.答案 A9．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2，2]的最大值是________，最小值是________．解析∵y′＝4（x2＋1）－2x·4x（x2＋1）2＝－4x2＋4（x2＋1）2，令y′＝0可得x＝1或－1.又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝85，f(－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.答案2－210．如果函数f(x)＝x3－32x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.∵f(0)＝a，f(－1)＝－52＋a，f(1)＝－12＋a，∴f(x)max＝a＝2.∴f(x)min＝－52＋a＝－12.答案－1 211．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．解(1)∵f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)＞f(－2)．于是有22＋a＝20，∴a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∵在(－1，3)上f′(x)＞0，∴f(x)在[－1，2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即f(x)最小值为－7.12．(创新拓展)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝23时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝23时，y＝f(x)有极值，则f′⎝⎛⎭⎪⎫23＝0.可得4a ＋3b ＋4＝0. ②由①②解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为x ＝1，代入3x －y ＋1＝0得切点坐标(1，4)，∴f (1)＝4. ∴1＋a ＋b ＋c ＝4，∴c ＝5. (2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝－2，x ＝23. 当x ∈[－3，－2)，⎝ ⎛⎦⎥⎤23，1时f ′(x )>0，函数是增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23时f ′(x )<0，函数是减函数，∴f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝13. 在x ＝23处取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝9527.又f (－3)＝8，f (1)＝4.∴y ＝f (x )在[－3，1]上的最大值为13，最小值为9527.。

高中数学选修1-1课时作业15：3.3.3 函数的最大(小)值与导数

3.3.3 函数的最大(小)值与导数基础过关1.函数y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A.极大值一定比极小值大 B.极大值一定是最大值 C.最大值一定是极大值 D.最大值一定大于极小值[[解析]] 由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值. [[答案]] D2.函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A.[0，1) B.(0，1) C.(－1，1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [[解析]] ∵f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0，1)，∴0<a <1，故选B. [[答案]] B3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最小值是( )A.－π2B.2C.π6＋ 3D.π3＋1[[解析]] f ′(x )＝1－2sin x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以sin x ∈[－1，0]，所以－2sin x ∈[0，2]. 所以f ′(x )＝1－2sin x ＞0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上恒成立.所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上单调递增.所以f (x )min ＝－π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－π2.[[答案]] A4.已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a ，2]上的最大值为154，则a 等于________. [[解析]] 当a ≤－1时，最大值为4，不符合题意；当－1<a <2时，f (x )在[a ，2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去). [[答案]] －125.函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是______________.[[解析]] 令y ′＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6，比较0，π6，π2处的函数值，得y max ＝π6＋3.[[答案]] π6＋ 36.求函数f (x )＝e x (3－x 2)，x ∈[2，5]的最值. 解 ∵f (x )＝3e x －e x x 2，∴f ′(x )＝3e x －(e x x 2＋2e x x )＝－e x (x 2＋2x －3) ＝－e x (x ＋3)(x －1).∵在区间[2，5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)＜0， ∴函数f (x )在区间[2，5]上单调递减， ∴x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 7.已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a ＞0)内存在最大值，求实数a 的取值范围.解因为f (x )＝1＋ln xx ，x ＞0，所以f ′(x )＝－ln xx 2. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0；当x ＞1时，f ′(x )＜0.所以f (x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减. 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值.因为函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a ＞0)内存在最大值，所以⎩⎨⎧a ＜1，a ＋12＞1，解得12＜a ＜1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.能力提升8.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)[[解析]] 方法一不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，如图所示.由题意，知在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方.观察可知，有－a ＜1，所以a ＞－1.方法二不等式2x(x －a )＜1可变形为a ＞x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .记g (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ＞0)，易知当x 增大时，y ＝x 与y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的函数值都增大，故g (x )为增函数.因为g (0)＝－1，所以g (x )∈(－1，＋∞).故a ＞－1. [[答案]] D9.设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小值时t 的值为( ) A.1B.12C.52D.22[[解析]] 由题意画出函数图象如图所示，由图可以看出|MN |＝y ＝t 2－ln t (t >0).y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t＝2（t ＋22）（t －22）t.当0<t <22时，y ′<0，可知y 在(0，22)上单调递减；当t >22时，y ′>0，可知y 在(22，＋∞)上单调递增. 故当t ＝22时，|MN |有最小值. [[答案]] D10.设a ∈R ，函数f (x )＝ax 3－3x 2，若函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈[0，2]在x ＝0处取得最大值，则a 的取值范围是________.[[解析]] 因为f ′(x )＝3ax 2－6x ，所以g (x )＝ax 3－3x 2＋3ax 2－6x ＝ax 2(x ＋3)－3x (x ＋2).当g (x )在区间[0，2]上的最大值为g (0)时，g (0)≥g (2)，即0≥20a －24，解得a ≤65.反之，当a ≤65时，对任意x ∈[0，2]， g (x )≤65x 2(x ＋3)－3x (x ＋2)＝3x 5(2x 2＋x －10)＝3x5(2x ＋5)(x －2)≤0，而g (0)＝0，故g (x )在区间[0，2]上的最大值为g (0). 综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，65.[[答案]] ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，6511.已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2(a ＞0)，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥2恒成立，则实数a 的取值范围是________.[[解析]] 由f (x )≥2，得a ≥2x 2－2x 2ln x . 设g (x )＝2x 2－2x 2ln x ，则g ′(x )＝2x (1－2ln x ).令g ′(x )＝0，得x ＝e 12或x ＝0(舍去)，因为当0＜x ＜e 12时，g ′(x )＞0；当x ＞e 12时，g ′(x )＜0. 所以当x ＝e 12时，g (x )取得最大值g (e 12)＝e ，故a ≥e. [[答案]] [e ，＋∞)12.已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R ).(1)若函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2，6]时，f (x )<2|c |恒成立，求c 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1，3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根. ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋c ， f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3).当x 变化时，f ′(x )，f (x )随x 的变化如下表：Z 而f (－2)＝c －2，f (6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2，6]时，f (x )的最大值为c ＋54，要使f (x )<2|c |恒成立，只要c ＋54<2|c |即可，当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c >54；当c <0时，c ＋54<－2c ，∴c <－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围. 13.(选做题)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x ). (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立. 解 (1)由题设，知g (x )＝ln x ＋1x (x ＞0)，所以g ′(x )＝x －1x 2.令g ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故g (x )的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞).因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g (x )的最小值为g (1)＝1. (2)g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－（x －1）2x 2.当x ∈(0，1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；当0＜x ＜1时，h (x )＞h (1)＝0，即g (x )＞g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ；当x ＞1时，h (x )＜h (1)＝0，即g (x )＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x .(3)由(1)，知g (x )的最小值为1. 因为g (a )－g (x )＜1a 对任意x ＞0成立，所以g (a )－1＜1a ，即ln a ＜1，解得0＜a ＜e.∴a 的取值范围为(0，e).。

高中数学人教A版选修1-1第3章3-3-3函数的最大(小)值与导数课时测试及解析

高中数学人教A版选修1-1 第三章导数及其应用3.3.3 函数的最大（小）值与导数课时测试（1）1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) ( )A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,但有最小值D.既无最大值,也无最小值【解析】选D.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,所以f(x)在(-1,1)上是单调递减函数,无最大值和最小值,故选D.2.函数y=的最大值为( )A.e-1B.eC.e2D.【解析】选A.令y′==0,解得x=e.当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以y=的极大值为,因为y=在其定义域内只有一个极值,所以y max=.3.f(x)=x3-12x+8在上的最大值为M,最小值为m,则M-m= .【解析】f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0得x=2或x=-2.又f(-3)=17,f(-2)=24,f(2)=-8,f(3)=-1,所以M=24,m=-8,所以M-m=32.答案:324.函数f(x)=的最大值为.【解析】方法一:f′(x)==0⇒x=1.进一步分析,最大值为f(1)=.方法二:f(x)==≤,当且仅当=时,即x=1时,等号成立,故f(x)max=.答案:5.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在上有最小值-37,求a的值,并求f(x)在上的最大值.【解析】f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).由f′(x)=0,得x=0或x=2.当x变化时,f′(x), f(x)的变化情况如下表:x -2 (-2,0) 0 (0,2) 2 f′(x) + 0 - 0 f(x) -40+a ↗极大值a ↘-8+a 所以当x=-2时,f(x)min=-40+a=-37,所以a=3.所以当x=0时,f(x)取到最大值3.课时测试（2）一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·临沂高二检测)函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值和最小值分别是( )A.5,-15B.5,4C.-4,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1),令y′=0,得x=2或x=-1(舍).因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,所以y max=5,y min=-15.【补偿训练】函数y=在区间上的最小值为( )A.2B.e2C.D.e【解析】选D.y′=,令y′=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.(2016·德州高二检测)已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.′=f′(x)-g′(x)<0,所以函数f(x)-g(x)在上单调递减,所以f(x)-g(x)的最大值为f(a)-g(a).3.(2016·长春高二检测)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)【解析】选D.因为2x(x-a)<1,所以a>x-.令f(x)=x-,所以f′(x)=1+2-x ln2>0.所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0-1=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).4.(2016·安庆高二检测)已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f′(x)的最大值为5,则在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是( )A.3x-15y+4=0B.15x-3y-2=0C.15x-3y+2=0D.3x-y+1=0【解题指南】首先由导函数的最大值可以求出a值,再求切线方程.【解析】选B.因为f(x)=-x3+2ax2+3x,所以f′(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+2a2+3,因为导数f′(x)的最大值为5,所以2a2+3=5,因为a>0,所以a=1,所以f′(1)=5,f(1)=,所以在函数f(x)图象上的点(1,f(1))处的切线方程是y-=5(x-1),即15x-3y-2=0.5.(2016·潍坊高二检测)已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在上有最大值3,那么此函数在上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.以上都不对【解题指南】先根据最大值求出m,再求出f(x)在上的最小值.【解析】选A.因为f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),因为f(x)在上为增函数,在上为减函数,所以当x=0时,f(x)=m最大.所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.所以最小值为-37.二、填空题(每小题5分,共15分)6.当x∈时,函数f(x)=的值域为.【解析】f′(x)==,令f′(x)=0,得x1=0,x2=2(舍去)当x∈时,f′(x)>0,所以当x=0时,f(x)取极小值f(0)=0,也是最小值;而f(-1)=e,f(1)=,所以f(x)的最大值为f(-1)=e.所以f(x)的值域为.答案:7.(2016·洛阳高二检测)函数f(x)=(x∈)的最大值是,最小值是. 【解析】因为f′(x)==,令f′(x)=0,得x=1或x=-1.又因为f(1)=2,f(-1)=-2,f(2)=,f(-2)=-,所以f(x)在上的最大值为2,最小值为-2.答案:2 -28.若函数f(x)=(a>0)在时,求函数f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)f′(x)=e x(sinx+cosx)=e x sin.f′(x)≥0,所以sin≥0,所以2kπ≤x+≤2kπ+π,k∈Z,即2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z.f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)由(1)知当x∈时,是单调增区间,是单调减区间.f(0)=0,f(π)=0,f=,所以f(x)max=f=,f(x)min=f(0)=f(π)=0.10.(2015·全国卷Ⅱ)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性.(2)当f(x)有最大值,且最大值大于2a-2时,求a的取值范围.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=-a.若a≤0,则f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则当x∈时,f′(x)>0;x∈时,f′(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上无最大值;当a>0时,f(x)在x=处取得最大值,最大值为f=ln+a=-lna+a-1.因此f>2a-2等价于lna+a-1<0,令g(a)=lna+a-1,则g(a)在(0,+∞)上单调递增,g(1)=0.于是,当0<a<1时,g(a)<0;当a>1时,g(a)>0.因此,a的取值范围是(0,1).一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·长沙高二检测)设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为( )A.1B.C.D.【解析】选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-lnx的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内惟一的极小值点,也是最小值点,故t=.【补偿训练】函数f(x)=e x(sinx+cosx),x∈的值域为.【解析】当0≤x≤1时,f′(x)=e x(sinx+cosx)+e x(cosx-sinx)=e x cosx>0,所以f(x)在上单调递增,则f(0)≤f(x)≤f(1),即函数f(x)的值域为.答案:2.(2016·武汉高二检测)当x∈时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选C.当x=0时,3≥0恒成立,a∈R.当0<x≤1时,a≥.设h(x)=,则h′(x)==.因为x∈(0,1],所以h′(x)>0,h(x)递增,所以h(x)max=h(1)=-6,所以a≥-6.当-2≤x<0时,a≤.易知h(x)=在4.定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf′(2)+15,在闭区间上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是.【解析】函数f(x)=x2+2xf′(2)+15的导函数为f′(x)=2x+2f′(2),所以f′(2)=4+2f′(2),所以f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x+15,且对称轴为x=4.又因为在闭区间上有最大值15,最小值-1,且f(0)=15,f(4)=-1,所以⊆,且f(m)≤f(0)=15,所以4≤m≤8.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·江苏高考改编)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).设a=2,b=.(1)求方程f(x)=2的根.(2)若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值.【解题指南】(1)应用指数的运算性质求方程的根.(2)分离变量m,应用基本不等式求最值.【解析】(1)f(x)=2x+,由f(x)=2可得2x+=2⇒=0⇒2x=1⇒x=0.(2)由题意得22x+≥m-6恒成立,令t=2x+,则由2x>0可得t≥2=2,此时t2-2≥mt-6恒成立,即m≤=t+恒成立,因为t≥2时t+≥2=4,当且仅当t=2时等号成立,因此实数m的最大值为4.6.(2016·郑州高二检测)设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.(1)讨论f(x)的单调性.(2)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a),由a>1知,2a>2,当x<2时,f′(x)>0,故f(x)在区间(-∞,2)上是增函数;当2<x<2a时,f′(x)<0,故f(x)在区间(2,2a)上是减函数;当x>2a时,f′(x)>0,故f(x)在区间(2a,+∞)上是增函数.综上,当a>1时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数. (2)由(1)知,当x≥0时,f(x)在x=2a或x=0处取得最小值.f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a=-a3+4a2+24a,f(0)=24a.由假设知即解得1<a<6.故a的取值范围是(1,6).课时测试（3）(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值、最小值分别是( )A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以y max=12,y min=-8.2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.【补偿训练】函数f(x)=e x-x在区间上的最大值是( )A.1+B.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f′(x)=e x-1.令f′(x)=0,得x=0.当x∈时,f′(x)≤0;当x∈时,f′(x)≥0.所以f(x)在上递减,在上递增.又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,所以f(-1)<f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( )A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】选A.因为f(x)=2x-cosx,所以f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.4.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为( )A.2B.3C.D.2+【解析】选 B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在上的最大值为,则m等于( ) A.0 B.1 C.2 D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x(x∈)的值域为________.【解析】f′(x)=-+1=,所以在上f′(x)>0恒成立,即f(x)在上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.答案:7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.【解析】因为f′(x)=3x2-3,所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)<f(3),所以f(x)max=f(3)=18-a=m,所以m-n=18-a-(-2-a)=20.答案:208.函数f(x)=e x(sinx+cosx)在区间上的值域为________.【解析】因为x∈,所以f′(x)=e x cosx≥0,所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值.【解析】f′(x)=+=.由f′(x)=0,得x=1.所以在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:x 1 (1,2) 2 f′(x) - 0 +单调f(x) 1-ln2极小值0 单调递增↗-+ln2递减↘因为f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e3>16,所以f>f(2)>0.所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在(t>0)上的最小值.【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.由于t>0,所以t+2>.①当0<t<<t+2时,即0<t<时,则在x∈上,f(x)递减;在x∈上,f (x)递增,f(x)min=f=-.②当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.综上所述,当0<t<时,f(x)min=-;当t≥时,f(x)min=tlnt.10.(2015·广州高二检测)已知函数f(x)=2ax-x2-3lnx,其中a∈R,为常数.(1)若f(x)在x∈上的最大值.【解析】f′(x)=2a-3x-=.(1)由题意知f′(x)≤0对x∈时f′(x)≥0,原函数递增,x∈时,f′(x)≤0,原函数递减;所以最大值为f(3)=-3ln3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在上的最大值为,则a等于( )A.-B.C.-D.-或-【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1<a<2时,f(x)在上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=,解得a=-或a=-(舍去).2.已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南京高二检测)函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为________.【解析】f′(x)=-1=,令f′(x)>0得0<x<1,令f′(x)<0得x<0(舍)或x>1,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.答案:-14.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)=+2lnx,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围. 【解析】由f(x)=+2lnx,得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0<x<时,f′(x)<0;当x>时,f′(x)>0,故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a≥e.答案:上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f′(x)=6x2-12x+6,所以f′(2)=6.又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间上的最小值.f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a.当a>1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f′(x) + 0 - 0 +f(x) 0 单调极大值单调极小值单调4a3递增↗3a-1 递减↘a2(3-a) 递增↗比较f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得,g(a)=当a<-1时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f′(x) - 0 +f(x) 0单调递减↘极小值3a-1单调递增↗-28a3-24a2得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为g(a)=。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：3.3.3 函数的最大(小)值与导数 Word版含解析

3.3.3　函数的最大(小)值与导数课时过关·能力提升一、基础巩固1.函数y=x-sin x ,x ∈[π2,π]的最大值是( )A.π-1B .π2‒1C.πD.π+1y'=1-cos x ,x ∈≥0.[π2,π],∴y '∴y=x-sin x .在[π2,π]上是增函数∴当x=π时,y max =π.2.函数f (x )=4x-x 4在x ∈[-1,2]上的最大值、最小值分别是( )A.f (1)与f (-1)B.f (1)与f (2)C.f (-1)与f (2)D.f (2)与f (-1)(x )=4-4x 3,由f'(x )>0,得x<1;由f'(x )<0,得x>1.所以f (x )=4x-x 4在x=1时取极大值f (1)=3.而f (-1)=-5,f (2)=-8,所以f (x )=4x-x 4在[-1,2]上的最大值为f (1),最小值为f (2).3.函数y=x 3-3x+3在区间[-3,3]上的最小值是( )A.1B.5C.12D.-153x 2-3,令y'=0,得3x 2-3=0,解得x=1或x=-1.∵当-1<x<1时,y'<0;当x>1或x<-1时,y'>0.∴y 极小值=y|x=1=1,y 极大值=y|x=-1=5,而端点值y|x=-3=-15,y|x=3=21,∴y min =-15.4.已知函数f (x )=2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,则此函数在[-2,2]上的最小值是( )A.-37B.-29C.-5D.-11f'(x )=6x 2-12x=6x (x-2)=0,解得x=0或x=2.因为f (0)=m ,f (2)=m-8,f (-2)=m-40,所以f (x )max =m=3,f (x )min =f (-2)=m-40=3-40=-37.5.设函数f (x )=ax 3+3bx (a ,b 为实数,a<0,b>0),当x ∈[0,1]时,有f (x )∈[0,1],则b 的最大值是( )A .12B.24C.32D.3+146.函数f (x )=x ex 在[0,4]上的最小值是___________________.(x )f'(x )>0,得x<1.=1-xe x ,由∴f (x )在(0,1)内单调递增,在(1,4)内单调递减.∵f (0)=0,f (4)=4e 4,∴f (x )在[0,4]上的最小值为0.7.若函数f (x )=13x 3‒x 在(a ,10‒a 2)内有最小值,则实数a 的取值范围为_________________.f (x )f'(x )=x 2-1.=13x 3‒x ,所以由f'(x )>0,得x>1或x<-1;由f'(x )<0,得-1<x<1.所以x=1是函数的极小值点.因为函数f (x )在开区间内有最小值,所以1∈(a ,10-a 2),即a<1<10-a 2,解得-3<a<1.-3,1)8.已知函数f (x )≥2恒成立,则实数a 的取值范围是 =a x 2+2ln x ,当a >0时,f (x ).f (x )x ,得f'(x )=ax 2+2ln =2(x 2-a )x 3,f (x )的定义域为(0,+∞),且a>0,令f'(x )=0,得x=)或x 又函数‒a (舍去=a .当0<x ,f'(x )<0;<a 时当x ,f'(x )>0,故x f (x )的极小值点,也是最小值点,且f >a 时=a 是函数(a )=ln a+1.要使f (x )≥2恒成立,需ln a+1≥2恒成立,则a ≥e .+∞)9.已知函数f (x )=x 3-3x 2-9x+k ,对任意x ∈[-4,4],都有f (x )≥0成立,求实数k 的取值范围.(x )=3x 2-6x-9=3(x-3)(x+1).由f'(x )=0,得x=3或x=-1.∵f (-4)=k-76,f (3)=k-27,f (-1)=k+5,f (4)=k-20.∴f (x )min =k-76.由k-76≥0,得k ≥76.∴k 的取值范围是[76,+∞).10.设f (x )=ln x ,g (x )=f (x )+f'(x ).(1)求g (x )的单调区间和最小值.(2)若g (a )-g (x )<1a 对任意x >0恒成立,求a 的取值范围.由题设知f'(x )g (x )=ln x =1x ,则+1x (x >0).所以g'(x )g'(x )=0得x=1.=x -1x 2,令当x ∈(0,1)时,g'(x )<0,故g (x )的单调递减区间是(0,1);当x ∈(1,+∞)时,g'(x )>0,故g (x )的单调递增区间是(1,+∞).因此,x=1是g (x )在(0,+∞)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为g (1)=1.(2)由(1)知g (x )的最小值为1,所以g (a )-g (x )x>0恒成立可转化为g (a )-1<1a 对任意<ln a<1,从而得0<a<e .1a ,即故实数a 的取值范围为(0,e).二、能力提升1.函数f (x )=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A.12,-15B.-4,-15C.12,-4D.5,-15(x )=6x 2-6x-12=6(x+1)(x-2),令f'(x )=0,得x=-1或x=2.因为f (0)=5,f (2)=-15,f (3)=-4,所以f (2)<f (3)<f (0).所以f (x )max =f (0)=5,f (x )min =f (2)=-15.2.已知a ≤1-x x +ln x 对任意x ∈[12,2]恒成立,则a 的最大值是( )A.0 B.1C.2D.3f (x )x ,则f'(x )f'(x )=0,解得x=1.当x ∈=1-xx +ln =-x +x -1x 2+1x =x -1x 2.令[12,1),f'(x )<0,故函数f (x );当x ∈(1,2]时,f'(x )>0,故函数f (x )在(1,2]上单时在[12,1)内单调递减调递增,∴f (x )min =f (1)=0,∴a ≤0,即a 的最大值为0.3.若函数f (x )=x 3-3ax-a 在(0,1)内有最小值,则a 的取值范围是( )A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D .(0,12)(x )=3x 2-3a=3(x 2-a ).若a ≤0,则f'(x )>0,即f (x )在(0,1)内单调递增,f (x )无最小值.若a>0,由f'(x )>0,得x f (x )在(0,.>a ,则,a )内单调递减在[a ,+∞)内单调递增≥1,则f (x )在(0,1)内单调递减,f (x )无最小值.若a 0<a<1.此时,f (x )在(0,,当x 故a <1,即,a )内单调递减在(a ,1)内单调递增=a 时,f (x )取最小值.4.设直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小值时t 的值为( )A.1B .12C.52D.22,由图可以看出|MN|=y=t 2-ln t (t>0).y'=2t ‒1t =2t 2-1t =2(t +2)(t -2)t .当0<t ,y'<0,可知y ;<22时在(0,22)内单调递减当t ,y'>0,可知y .故当t ,|MN|有最小值.>22时在(22,+∞)内单调递增=22时5.已知定义在R上的可导函数f(x)=x2+2xf'(2)+15,在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,则m的取值范围是 .★6.已知函数f(x)的定义域为[-2,6],x与f(x)的部分对应值如表,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.给出下列说法:x-2056f(x)3-2-23①函数f(x)在(0,3)内是增函数;②曲线y=f(x)在x=4处的切线可能与y轴垂直;③如果当x∈[-2,t]时,f(x)的最小值是-2,那么t的最大值为5;④若∀x1,x2∈[-2,6],都有|f(x1)-f(x2)|≤a恒成立,则实数a的最小值是5.正确的个数是 .7.已知函数f(x)=(x-k)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.f'(x)=(x-k+1)e x.由f'(x)>0,得x>k-1.所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1)内单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e k-1;当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.★8.已知函数f(x)=ax4ln x+bx4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)讨论函数f(x)的单调区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥-2c2恒成立,求c的取值范围.∵f (1)=-3-c ,即b-c=-3-c ,∴b=-3.又f'(x )=4ax 3ln x+ax 3+4bx 3=x 3(4a ln x+a+4b ),由f'(1)=0,得a+4b=0,∴a=12.(2)由(1)知,f'(x )=48x 3·ln x (x>0).由f'(x )>0,得x>1.∴f (x )在(0,1)内是减函数,在(1,+∞)内是增函数.∴f (x )的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞).(3)由(2)知f (x )在x=1处取最小值-3-c ,要使f (x )≥-2c 2恒成立,只需-3-c ≥-2c 2,即2c 2-c-3≥0,解得c ≥c ≤-1.32或故c 的取值范围是(-∞,-1]∪[32,+∞).。

2019年人教A版选修1-1高中数学拔高习题(二十四) 3.3.3 函数的最大(小)值与导数及答案

拔高习题(二十四)函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=2x3-3x2-12x+5在上的最大值、最小值分别是( )A.12,-8B.1,-8C.12,-15D.5,-16【解析】选A.y′=6x2-6x-12,由y′=0⇒x=-1或x=2(舍去).x=-2时y=1,x=-1时y=12,x=1时y=-8.所以y max=12,y min=-8.2.(2015·聊城高二检测)函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )A.0≤a<1B.0<a<1C.-1<a<1D.0<a<【解析】选B.因为f(x)=x3-3ax-a,所以f′(x)=3x2-3a,令f′(x)=0,可得a=x2,又因为x∈(0,1),所以0<a<1.【补偿训练】函数f(x)=e x-x在区间上的最大值是( )A.1+B.1C.e+1D.e-1【解析】选D.f′(x)=e x-1.令f′(x)=0,得x=0.当x∈时,f′(x)≤0;当x∈时,f′(x)≥0.所以f(x)在上递减,在上递增.又因为f(-1)=+1,f(1)=e-1,所以f(-1)-f(1)=2+-e<0,所以f(-1)<f(1).所以f(x)max=f(1)=e-1.3.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( )A.无最值B.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】选A.因为f(x)=2x-cosx,所以f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值.4.函数f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值为( )A.2B.3C.D.2+【解析】选 B.由f′(x)=-==0,得x=1,且x∈(0,1)时,f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,所以x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.5.(2015·大庆高二检测)若函数y=x3+x2+m在上的最大值为,则m等于( )A.0B.1C.2D.【解题指南】先求出函数y=x3+x2+m在上的最大值,再依据题设条件可得到关于m的方程,解方程即得出m的值.【解析】选 C.y′=′=3x2+3x=3x(x+1).由y′=0,得x=0或x=-1.因为f(0)=m,f(-1)=m+.f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大.所以m+=.所以m=2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=+x(x∈)的值域为________.【解析】f′(x)=-+1=,所以在上f′(x)>0恒成立,即f(x)在上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=,最小值是f(1)=.故函数f(x)的值域为.答案:7.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=x3-3x-a在区间上的最大值、最小值分别为m,n,则m-n=________.【解析】因为f′(x)=3x2-3,所以当x>1或x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<1时,f′(x)<0.所以f(x)在上单调递减,在上单调递增.所以f(x)min=f(1)=1-3-a=-2-a=n.又因为f(0)=-a,f(3)=18-a,所以f(0)<f(3),所以f(x)max=f(3)=18-a=m,所以m-n=18-a-(-2-a)=20.答案:208.函数f(x)=e x(sinx+cosx)在区间上的值域为________. 【解析】因为x∈,所以f′(x)=e x cosx≥0,所以f(0)≤f(x)≤f.即≤f(x)≤.答案:【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是导函数易求错;二是忽略函数的定义域区间.三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=+lnx,求f(x)在上的最大值和最小值. 【解析】f′(x)=+=.由f′(x)=0,得x=1.所以在上,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:-因为f-f(2)=-2ln2=(lne3-ln16),而e3>16,所以f>f(2)>0. 所以f(x)在上的最大值为f=1-ln2,最小值为0.【补偿训练】已知f(x)=xlnx,求函数f(x)在(t>0)上的最小值. 【解析】f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,得x=.当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.由于t>0,所以t+2>.①当0<t<<t+2时,即0<t<时,则在x∈上,f(x)递减;在x∈上,f (x)递增,f(x)min=f=-.②当≤t<t+2,即t≥时,f(x)在上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.综上所述,当0<t<时,f(x)min=-;当t≥时,f(x)min=tlnt.10.(2015·广州高二检测)已知函数f(x)=2ax-x2-3lnx,其中a∈R,为常数.(1)若f(x)在x∈上的最大值.【解析】f′(x)=2a-3x-=.(1)由题意知f′(x)≤0对x∈时f′(x)≥0,原函数递增,x∈时,f′(x)≤0,原函数递减;所以最大值为f(3)=-3ln3.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知函数y=-x2-2x+3在上的最大值为,则a等于( )A.-B.C.-D.-或-【解析】选C.y′=-2x-2,令y′=0,得x=-1.当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.当-1<a<2时,f(x)在上单调递减,最大值为f(a)=-a2-2a+3=,解得a=-或a=-(舍去).2.已知函数f(x),g(x)均为上的可导函数,在上连续且f′(x)<g′(x),则f(x)-g(x)的最大值为( )A.f(a)-g(a)B.f(b)-g(b)C.f(a)-g(b)D.f(b)-g(a)【解析】选A.令u(x)=f(x)-g(x),则u′(x)=f′(x)-g′(x)<0,所以u(x)在上为减函数,所以u(x)的最大值为u(a)=f(a)-g(a).二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·南京高二检测)函数f(x)=lnx-x在(0,e]上的最大值为________.【解析】f′(x)=-1=,令f′(x)>0得0<x<1,令f′(x)<0得x<0(舍)或x>1,所以f(x)在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数.所以当x=1时,f(x)有最大值f(1)=-1.答案:-14.(2015·福州高二检测)已知函数f(x)=+2lnx,若当a>0时,f(x)≥2恒成立,则实数a的取值范围是________.【解题指南】可先求出f(x)的最小值,使其最小值大于等于2,解不等式即可求出a的范围.【解析】由f(x)=+2lnx,得f′(x)=,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),且a>0,令f ′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.当0<x<时,f ′(x)<0;当x>时,f ′(x)>0,故x=是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,且f()=lna+1.要使f(x)≥2恒成立,需lna+1≥2恒成立,则a ≥e. 答案:上的最小值.【解析】(1)当a=1时,f ′(x)=6x 2-12x+6, 所以f ′(2)=6. 又因为f(2)=4, 所以切线方程为y=6x-8.(2)记g(a)为f(x)在闭区间上的最小值. f ′(x)=6x 2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令f ′(x)=0,得到x 1=1,x 2=a.当a>1时, 当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:比较f(0)=0和f(a)=a 2(3-a)的大小可得,g(a)=当a<-1时,当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:得g(a)=3a-1.综上所述,f(x)在闭区间上的最小值为g(a)=。

高中数学人教A版选修1-1课时作业3.3.3 函数的极值与导数 Word版含解析

课时作业一、选择题．函数()＝－＋取极小值时，的值是( )．．，－．－．－解析：′()＝－＋＝－(－)(＋)，′()的图象如下图．∵在＝－的附近左侧′()<，右侧′()>，∴＝－时取极小值．答案：. [·陕西高考]设函数()＝＋，则( ). ＝为()的极大值点. ＝为()的极小值点. ＝为()的极大值点. ＝为()的极小值点解析：函数()的定义域为(，＋∞)，′()＝－＋＝，当＝时，′()＝；当>时，′()>，函数()为增函数；当<<时，′()<，函数()为减函数，所以＝为函数()的极小值点．答案：. 设∈，若函数＝＋，∈有大于零的极值点，则( ). >－. <－. <－. >－解析：′＝＋，由＋＝得＝－，＝(－)．可知＝(－)为函数的极值点．∴(－)>，即(－)>.∴<－.答案：. 已知函数()＝＋＋的图象如图所示，则＋等于( ). .. .解析：由图可知()＝，()＝，∴(\\(＋＋＝，＋＋＝，))解得(\\(＝－，＝.))∴()＝－＋，∴′()＝－＋.由图可知，为()的极值点，∴＋＝，＝.∴＋＝(＋)－＝－＝.答案：二、填空题．若函数＝－＋＋的极大值等于，则实数等于．解析：′＝－＋，由′＝，得＝或＝，容易得出当＝时函数取得极大值，所以－＋×＋＝，解得＝－.答案：－．已知实数，，，成等比数列，且曲线＝－的极大值点坐标为(，)，则＝.解析：∵′＝－，令′＝得＝±，且当>时，′<，当－≤≤时，′≥，当<－时，′<，故＝为＝－的极大值点，即＝.又＝－＝×－＝，∴＝.又∵，，，成等比数列，∴＝＝.答案：．已知函数＝′()的图象如下图所示(其中′()是函数()的导函数)，给出以下说法：①函数()在区间(，＋∞)上是增函数；②函数()在区间(－)上单调递增；③函数()在＝－处取得极大值；④函数()在＝处取得极小值．其中正确的说法是．解析：。

人教A版选修1-1教案：3.3函数的最大(小)值与导数(含答案)

§1．3．3函数的最大（小）值与导数（1课时）【学情分析】：这部分是在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法，然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法，最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法【教学目标】：（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤【教学重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．【教学难点】：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤课后练习：1、函数32()23125f x x x x =--+在区间[]0,3上的最大值和最小值分别为（）A 5，-15B 5，-4C -4，-15D 5，-16 答案 D2、函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A 72B 36C 12D 0答案D '3'3''44,0,440,1,1,0;1,0y x y x x x y x y =-=-==<<>>令当时当时3、函数xxy ln =的最大值为（） A 1-e B e C 2e D310 答案A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x xy x e x x-⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e =4、函数()cos sin f x x x x =-在[]0,2π上的最大值是__________最小值是__________ 答案5、函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是答案36+π'12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 6y π=6、求函数32()39f x x x x a =-+++ （1）求函数()y f x =的单调递减区间（2）函数()y f x =在区间[]2,2-上的最大值是20，求它在该区间上的最小值答案：'2()3693(3)(1)0f x x x x x =-++=--+<(),1-∞-，()3,+∞为减区间 ()1,3-为增区间(2)8349222f a a =-+⨯+⨯+=+>(2)8349(2)2f a a -=+⨯+⨯-+=+ 所以(2)834922220f a a =-+⨯+⨯+=+=a=-2,所以最小值为(1)1319(2)216f -=+⨯+⨯--=-。

高二数学人教A版选修1-1学案第三章3-33-3-3函数的最大(小)值与导数Word版含答案

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3.3.3函数的最大(小)值与导数1.最值与导数有什么关系？导思2．如何利用导数求连续函数的最值？1.函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(1)在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，反之成立吗？(2)函数的极值与最值有什么区别？提示：(1)反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值一定有最值，但有最值不一定有极值．(2)①函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得．2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]端点的函数值f(a)，f(b).(3)比较各极值以及f(a)，f(b)的值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．函数的最值一定在区间端点处取得吗？提示：不一定，当函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数时，函数最值在区间端点取得，否则，函数最值不一定在区间端点取得．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值．(×)提示：函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值．(×)提示：闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.(3)若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值．(×)提示：若函数在其定义域上有最值，则不一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值.(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值. (√)提示：若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.2．关于函数f(x)＝x3＋x，下列说法正确的是()A．没有最小值，有最大值B.有最小值，没有最大值C.有最小值，有最大值D.没有最小值，也没有最大值【解析】选D.依题意f′(x)＝3x2＋1>0，所以f(x)在R上递增，没有最小值，也没有最大值．3．(教材二次开发：练习改编)若函数f(x)＝13x3－x2定义在[－1，1]上，则函数的最小值是________；最大值是________．【解析】由题得f′(x)＝x2－2x，令f′(x)＝x2－2x＝0得x＝2(舍去)或0，因为f(－1)＝－43，f(0)＝0，f(1)＝－2 3，所以函数的最小值是－43，最大值为0.答案：－430类型一求函数的最值(数学运算)【典例】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()A．1，－1 B．1，－17C.3，－17 D．9，－19【思路导引】求导，求极值，求区间端点的函数值，通过比较求函数的最值．【解析】选C.因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，所以函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，且f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，所以f(x)在区间[－3，0]上的最大值为3，最小值为－17.求函数最值的四个步骤第一步，求函数f(x)的定义域．第二步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.第三步，列出关于x ，f(x)，f′(x)的变化表．第四步，求极值、端点值，确定最值．警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．1．函数f(x)＝ln x －x 在⎝⎛⎦⎤0，e 上的最大值为( )A.－1B ．1－e C.－e D ．0【解析】选A.f′(x)＝1x －1＝1－x x ，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x≤e ，所以函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，1 上单调递增，在⎝⎛⎦⎤1，e 上单调递减，所以当x ＝1时，函数f(x)取极大值，这个极大值也是函数f(x)在⎝⎛⎦⎤0，e上的最大值，所以f(x)max ＝f ()1 ＝－1.2．(2021·乐山模拟)已知函数f(x)＝3x 3－9x ＋5.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤－3，3 上的最大值和最小值．【解析】(1)f′(x)＝9x 2－9＝9(x ＋1)(x －1)，x ∈R ，令f′(x)<0，得－1<x<1，所以f(x)的减区间为⎝⎛⎭⎫－1，1 . (2)由(1)，令f′(x)>0，得x<－1或x>1知：x ∈⎣⎡⎦⎤－3，－1 ，f(x)为增函数，x ∈⎣⎡⎦⎤－1，1 ，f(x)为减函数，x ∈⎣⎡⎦⎤1，3 ，f(x)为增函数．f ⎝⎛⎭⎫－3 ＝－49，f ⎝⎛⎭⎫－1 ＝11，f(1)＝－1，f(3)＝59.所以f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－3，3 上的最大值为59，最小值为－49.【补偿训练】1.函数f(x)＝3x －x 3(－ 3 ≤x≤3)的最大值为( )A ．18B ．2C ．0D ．－18【解析】选B.f′(x)＝3－3x 2，令f′(x)＝0，得x ＝±1，－ 3 ≤x<－1时，f′(x)<0，－1<x<1时，f′(x)>0，1<x≤3时，f′(x)<0，故函数在x ＝－1处取极小值，在x ＝1处取极大值．因为f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－ 3 )＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max ＝2，f(x)min ＝－18.2．已知函数f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为( )A.－37 B．－29 C．－5 D．－11【解析】选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，显然f(0)>f(2)>f(－2)，所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.类型二含参数的最值问题(数学运算、逻辑推理)【典例】已知函数f(x)＝ax－1e x.当a<0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．x 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1a 1+1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ，1 1 f'(x)- 0 + f(x) 递减极小值递增②所以f(x)min =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＝11+aa e . 综上,-1≤a<0时,f(x)min =-1,a<-1时,f(x)min =11+a ae .注意书写的规范性:①字母的不同取值影响到最值的求解,要对字母进行讨论;②讨论x,f'(x),f(x)的变化情况时,要注意列表.题后反思利用导数求函数的最值,求导是关键,但要对字母的取值分类讨论.1．含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题．(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2．已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．已知函数f(x)＝ln x －ax(a ∈R ).(1)求函数f(x)的单调区间．(2)当a>0时，求函数f(x)在[1，2]上的最小值．【解析】(1)f′(x)＝1x －a(x ＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝1x －a ＞0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞).②当a>0时，令f′(x)＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f′(x)＝1－ax x ＞0；当x>1a 时，f′(x)＝1－ax x ＜0，故函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞ . (2)①当1a ≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1，2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②当1a ≥2，即0<a≤12 时，函数f(x)在区间[1，2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当1<1a <2，即12 <a<1时，函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1a ，2 上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a.所以当12 <a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a ；当a≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.类型三与函数最值有关的综合问题(数学抽象、逻辑推理) 与零点有关的综合问题【典例】已知函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，求a 的取值范围．【思维导引】求导，判断函数单调性，结合图象求解．【解析】函数f(x)＝e x －2x ＋a 有零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有实根，即函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有交点，而g′(x)＝2－e x ，易知函数g(x)＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x －e x 的值域为 (－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有交点，只需a≤2ln 2－2即可．所以实数a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2].若将本例条件改为“函数f(x)＝e x －2x ＋a 有两个零点”结果如何？【解析】由典例知函数g(x)＝2x －e x 在(－∞，ln 2)上递增，函数值由－∞增大到2ln 2－2，在(ln 2，＋∞)上递减，函数值由2ln 2－2递减到－∞，函数f(x)＝e x －2x ＋a 有两个零点，即方程e x －2x ＋a ＝0有两个实数根，即函数g(x)＝2x －e x ，y ＝a 有两个交点，所以所求实数a 的取值范围为(－∞，2ln 2－2).有关恒成立问题【典例】(2021·玉林高二检测)已知函数f(x)＝x 33 －a ＋12 x 2＋ax ＋1(a ∈R ).(1)若x ＝2是函数f(x)的一个极值点，求a 的值；(2)当a<2时，∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，⎪⎪⎪⎪f ()x 1－f ()x 2 ≤23 恒成立，求a 的取值范围．【思路导引】(1)由解析式得到导函数f′(x)，结合x ＝2是函数f(x)的一个极值点，f′()2 ＝0即可求a 的值；(2)由题设分析知，在x ∈⎣⎡⎦⎤0，2 内有f(x)max －f(x)min ≤23 ，结合已知a<2，讨论a≤0，0<a<1，a ＝1，1<a<2时a 的具体范围，然后求并集即可．【解析】(1)由函数解析式知：f′(x)＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1 x ＋a ，由题意，得f′()2 ＝4－2⎝⎛⎭⎫a ＋1 ＋a ＝0，故a ＝2.经检验，a ＝2满足题意．(2)由已知，当a<2时，要使∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，|f(x 1)－f(x 2)|≤23 ，只需x ∈⎣⎡⎦⎤0，2 ，f(x)max －f(x)min ≤23 .f′(x)＝x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1 x ＋a ＝⎝⎛⎭⎫x －1 ⎝⎛⎭⎫x －a .①当a≤0时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1，2 上单调递增．所以f(x)min ＝f(1)＝56 ＋a 2 ，而f ()0 ＝1，f ()2 ＝53 ，故f(x)max ＝53 .所以f(x)max －f(x)min ＝53 －56 －a 2 ≤23 ，解得a≥13 (舍去).②当0<a<1时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，a 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤a ，1 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1，2 上单调递增．由于f ()2 －f ()0 ＝23 ，所以只需⎩⎨⎧f （a ）≤f ()2f （1）≥f ()0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫a ＋1⎝⎛⎭⎫a 2－4a ＋4≥0a ≥13，所以13 ≤a<1.③当a ＝1时，f′(x)＝⎝⎛⎭⎫x －1 2≥0，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，2 上单调递增，所以f(x)max －f(x)min ＝f ()2 －f ()0 ＝23 ，满足题意．④当1<a<2时，f(x)在⎣⎡⎦⎤0，1 上单调递增，在⎣⎡⎦⎤1，a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤a ，2 上单调递增．由于f ()2 －f ()0 ＝23 ，所以只需⎩⎨⎧f （1）≤f ()2f （a ）≥f ()0 ，即⎩⎨⎧a ≤53a≤3，所以1<a≤53 .综上，知：a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，53 .1．已知函数极值点求参数时，一般应用极值点处的导数为0列方程注意要检验；2．函数在闭区间内任意两个函数值的差小于定值问题，可转化为最值间的距离小于该定值，(1)当x ＝x 0有极值则f′(x 0)＝0，即可得有关参数的方程；(2)∀x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤a ，b ，⎪⎪⎪⎪f ()x 1－f ()x 2 ≤c 恒成立转化为x ∈⎣⎡⎦⎤a ，b ，f(x)max－f(x)min ≤c.3．分离参数求解不等式恒成立问题1．已知函数f(x)＝ax 2 ＋2ln x ，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a 的取值范围是__________．【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2a x 3 ＋2x ＝2（x 2－a ）x 3. 由f′(x)<0得0<x< a ，由f′(x)>0得x> a ，所以f(x)在(0，a )上单调递减，在( a ，＋∞)上单调递增，所以f(x)min ＝f( a )＝1＋2lna ＝1＋ln a.由f(x)≥2恒成立可得f(x)min ≥2，即1＋ln a≥2，所以a≥e. 答案：[e ，＋∞)2．已知函数f(x)＝13 x 3＋1－a 2 x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0. (1)求函数f(x)的单调区间．(2)若函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝x 2＋(1－a)x －a ＝(x ＋1)(x －a).由f′(x)＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：↗↘↗故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a).(2)由(1)知f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＜0，f （－1）＞0，f （0）＜0，解得0＜a ＜13 .所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 . 3．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－4.(1)若f(x)在x ＝43 处取得极值，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的方程f(x)＝m 在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围．【解析】(1)f′(x)＝－3x 2＋2ax ，由题意得f′⎝ ⎛⎭⎪⎫43 ＝0，解得a ＝2，经检验满足条件．(2)由(1)知f(x)＝－x 3＋2x 2－4，则f′(x)＝－3x 2＋4x ，令f′(x)＝0，则x ＝0，x ＝43 (舍去)，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：x －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 f′(x) － 0 ＋ f(x)－1↘－4↗－3因为关于x 的方程f(x)＝m 在[－1，1]上恰有两个不同的实数根，所以－4＜m≤－3，所以实数m 的取值范围是(－4，－3].1．函数f(x)＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为( )A ．2B ．π6 ＋ 3 C ．π3 ＋1D ．π3 ＋ 3【解析】选B.f(x)＝x ＋2cos x ⇒f′(x)＝1－2sin x ，当f′(x)>0时，有1－2sin x>0⇒sin x<12 ，又因为x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 ，因此当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6 时，函数f(x)单调递增；当f′(x)<0时，有1－2sin x<0⇒sin x>12 ，又因为x ∈[0，π]，所以x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 ，因此当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 时，函数f(x)单调递减，因此x ＝π6 是函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的极大值点，极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝π6 ＋2cos π6 ＝π6 ＋2×32 ＝π6 ＋ 3 ，而f ()0 ＝0＋2cos 0＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝π2 ＋2cos π2 ＝π2 ，因为π6 ＋ 3 >2>π2 ，所以f(x)＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2 上的最大值为π6 ＋ 3 .2．函数f(x)＝(1－x)e x 有( ) A ．最大值为1B ．最小值为1C ．最大值为eD ．最小值为e【解析】选A.f′(x)＝－e x ＋(1－x)e x ＝－xe x ，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)有最大值为f(0)＝1.3．(教材二次开发：例题改编)函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2在⎣⎡⎦⎤－4，2 上的最大值和最小值分别是( ) A ．25，－2 B ．50，14 C ．50，－2D ．50，－14【解析】选C.因为函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2，所以f′(x)＝6x 2＋18x ，当x ∈[－4，－3)或x ∈(0，2]时，f′(x)>0，函数为增函数；当x ∈(－3，0)时，f′(x)<0，函数为减函数；由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x 3＋9x 2－2在区间[－4，2]上的最大值和最小值分别为50，－2. 4．函数f(x)＝x 3－12 x 2－2x ＋5，若对于任意x ∈[－1，2]，都有f(x)＜m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】f′(x)＝3x 2－x －2，令f′(x)＝0，得x ＝－23 或x ＝1.可求得f(x)max＝f(2)＝7.所以对于任意x ∈[－1，2]，f(x)＜m 恒成立时，m ＞7. 答案：m ＞75．设函数f(x)＝x 2＋1－ln x ， (1)求f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)＝f(x)－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上的最小值．【解析】(1)定义域为⎝⎛⎭⎫0，＋∞ ，f′(x)＝2x －1x ，由f′(x)>0得x>22 ，所以f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ ；(2)g(x)＝x 2＋1－ln x －x ，g′(x)＝2x －1x －1＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1⎝⎛⎭⎫x －1x ，由g′(x)>0得x>1，所以g(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 上单调递减，在(1，2)上单调递增，所以g(x)的最小值为g(1)＝1.关闭Word 文档返回原板块。

人教A版选修1-1第三章3.3.3函数的最大(小)值与导数达标过关训练

3.3.3 函数的最大(小)值与导数一、选择题1.函数y ＝x 4－4x ＋5在区间[－2,3]上的最小值为( ) A.0 B.2 C.37D.74解析：由y ＝x 4－4x ＋5，得y ′＝4x 3－4.令y ′＝0，得x ＝1，当x ∈[－2,1)时，y ′＜0，当x ∈(1,3]时，y ′＞0，所以当x ＝1时，函数y 有最小值2.答案：B2.(2019·湖北孝感八校期末)函数f (x )＝－13x 3＋4x －4在[0,3]上的最大值和最小值分别为( )A.2，－283B.43，－283C.43，－4D.2，－1解析：f ′(x )＝－x 2＋4＝－(x －2)(x ＋2)，当0<x <2时，f ′(x )>0，当2<x <3时，f ′(x )<0. ∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (0)＝－4，f (3)＝－1， ∴f (x )min ＝f (0)＝－4，故选C. 答案：C3.函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为( )A.0B.π6C.π3D.π2解析：∵f (x )＝x ＋2cos x ，∴令f ′(x )＝1－2sin x ＝0，得x ＝π6.又f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2，∴最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴x ＝π6.答案：B4.(2019·六安一中月考)已知函数f (x )＝e 2－x ＋x ，x ∈[1,3]，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )的最大值为3＋1eB.函数f (x )的最小值为3＋1e C.函数f (x )的最大值为3 D.函数f (x )的最小值为3 解析：f (x )＝e2－x＋x ＝e 2e x ＋x ，f ′(x )＝－e 2e x (e x )2＋1＝－e 2e x ＋1＝e x －e 2e x ，∴当1<x <2时，f ′(x )<0，当2<x <3时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时，f (x )取得最小值.f (2)＝e 0＋2＝3，故选D. 答案：D5.(2019·重庆铜梁月考)若x ＝1是函数f (x )＝ax 2＋ln x 的一个极值点，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 时，f (x )的最小值为( ) A.e 2－1 B.－e ＋1e C.－12e 2－1D.1－e 22解析：∵x ＝1是函数f (x )＝ax 2＋ln x 的一个极值点， f ′(x )＝2ax ＋1x ，∴f ′(1)＝2a ＋1＝0，∴a ＝－12， ∴f ′(x )＝－x ＋1x ＝(1－x )(1＋x )x，∴当1e <x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当1<x <e 时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，f (e)＝1－e 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12e 2－2，f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，∴f (x )的最小值为1－e 22，故选D. 答案：D 二、填空题6.已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，函数的最大值、最小值分别为 .解析：∵f (x )＝sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，令f ′(x )＝0，得tan x ＝1，∴x ＝π4.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，∴最大值为2，最小值为－1. 答案：2，－17.设函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：∵f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5， ∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1). 令f ′(x )＝0，得x ＝－23或x ＝1.∵f (－1)＝112，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，f (2)＝7.∴当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值为7.∴m ＞7.答案：(7，＋∞)8.已知函数f (x )＝(x 2－2x )e x ，下列说法中正确的有 . ①f (x )在R 上有两个极值点； ②f (x )在x ＝2处取得最大值； ③f (x )在x ＝2处取得最小值； ④f (x )在x ＝2处取得极小值； ⑤函数f (x )在R 上有三个不同的零点.解析：f (x )＝(x 2－2x )e x ，f ′(x )＝(x 2－2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝±2，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以函数在x ＝2处取得极小值，在x ＝－2处取得极大值.又f (－2)＝(2＋22)e －2>0，f (2)＝(2－22)e2<0，故函数f (x )在R 上有三个不同的零点.答案：①④⑤ 三、解答题9.已知函数f (x )的导数f ′(x )＝3x 2－2x ，f (0)＝1，求函数f (x )在[－1,1]上的最值.解：由已知得f (x )＝x 3－x 2＋b ，又f (0)＝b ＝1，所以f (x )＝x 3－x 2＋1. 令f ′(x )＝3x 2－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝23. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表，得函数f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2327，极大值为f (0)＝1.又f (－1)＝－1，f (1)＝1，所以函数f (x )在区间[－1,1]上的最小值为－1，最大值为1.10.(2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值是M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围.解：(1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3. 若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时， f ′(x )>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，0单调递减.(2)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，1单调递增，所以f (x )在[0,1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋2，最大值为f (0)＝2或f (1)＝4－a ，于是m ＝－a 327＋2，M ＝⎩⎨⎧4－a ，0<a <2，2，2≤a <3.所以M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＋a 327，0<a <2，a 327，2≤a <3.当0<a <2时，可知2－a ＋a 327单调递减，所以M －m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫827，2.当2≤a <3时，a 327单调递增，所以M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，1.综上，M －m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫827，2.。

2019_2020学年高中数学3.3.3函数的最大(小)值与导数课时作业(含解析)新人教A版选修1_1

课时作业29 函数的最大(小)值与导数知识点一函数最值的概念1.设f(x)是[a，b]上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是( )A．f(x)的极值点一定是最值点B．f(x)的最值点一定是极值点C．f(x)在此区间上可能没有极值点D．f(x)在此区间上可能没有最值点答案 C解析根据函数的极值与最值的概念判断知选项A，B，D都不正确，只有选项C正确．2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．无最值B．有极值C．有最大值D．有最小值答案 A解析f′(x)＝2＋sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞，＋∞)上无最值．知识点二求函数的最值3.函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( )A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16答案 A解析∵f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)，令f′(x)＝0，则x＝2或x＝－1(舍)．又f(2)＝－15，f(0)＝5，f(3)＝－4，故选A.4．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________.答案20解析∵f′(x)＝3x2－3，∴当x>1或x<－1时f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，∴f(0)<f(3)．∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m.∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20.5．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]； (2)f (x )＝5－36x ＋3x 2＋4x 3，x ∈(－2,2)．解 (1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2.(2)f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0，即12x 2＋6x －36＝0，解得x 1＝32，x 2＝－2(舍去)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－2，32时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，f ′(x )>0，函数单调递增． ∴函数f (x )在x ＝32时取得极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－2834，无极大值，即在(－2,2)上函数f (x )的最小值为－2834.易错点对“存在型”和“任意性”认识不到位6.已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．易错分析误解“任意性”与“存在型”的关系．实际上本题是双变量恒成立问题，对于这类问题有如下结论：记区间D 1，D 2分别是函数y ＝f (x )，y ＝g (x )定义域的子区间．双变量的恒成立与能成立问题包含以下四种基本类型：类型1 ∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )max .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任一函数值均大于函数y ＝g (x )的任一函数值，只需f (x )min >g (x )max 即可．同理有：∀x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)<g (x 2)⇔f (x )max <g (x )min .类型2 ∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )min >g (x )min .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的任一函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值，但并不要求大于y ＝g (x )的所有函数值，故只需f (x )min >g (x )min 即可．类型3 ∃x 1∈D 1，∀x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )max >g (x )max .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的某些函数值大于函数y ＝g (x )的任一函数值，只要求y ＝f (x )有函数值大于y ＝g (x )的函数值即可，故只需f (x )max >g (x )max 即可．类型4 ∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)>g (x 2)⇔f (x )max >g (x )min .其等价转化的基本思想是：函数y ＝f (x )的某些函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值，都只要求有这样的函数值，不要求所有的函数值，故只需f (x )max >g (x )min .同理有：∃x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，f (x 1)<g (x 2)⇔f (x )min <g (x )max .答案 m ≥－52解析由∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[－1,1]使f (x 1)≥g (x 2)知，只需f (x )min ≥g (x )min .因为f ′(x )＝2x 3－1x 2，x ∈[1,2]，所以f ′(x )≥0，f (x )在[1,2]上为增函数，f (x )min ＝f (1)＝3.又在[－1,1]上g (x )min ＝g (1)＝12－m ，所以12－m ≤3，即m ≥－52.一、选择题1．函数f (x )＝2x ＋1x，x ∈(0,5]的最小值为( )A ．2B ．3 C.174D ．22＋12答案 B解析由f ′(x )＝1x －1x2＝x 32－1x2＝0，得x ＝1，且x ∈(0,1]时，f ′(x )<0；x ∈(1,5]时，f ′(x )>0，∴x ＝1时，f (x )最小，最小值为f (1)＝3.2．函数f (x )＝13x 3－2x 2在区间[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值答案 B解析 f ′(x )＝x 2－4x ＝x (x －4)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝4，而f (0)＝0，f (4)＝－323，f (－1)＝－73，f (5)＝－253，∴f (x )max ＝f (0)＝0，f (x )min ＝f (4)＝－323.3．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1 B.π2－1 C ．πD ．π＋1答案 C解析 y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数．当x ＝π时，y max ＝π.4．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a 在区间[0,2]上的最大值是3，则a 的值为( ) A ．3 B ．1 C ．2 D ．－1答案 B解析 f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13(舍去)或x ＝1，又f (0)＝a ，f (1)＝a －1，f (2)＝a ＋2，则f (2)最大，即a ＋2＝3，所以a ＝1.二、填空题5．若F (x )＝x －2ln x ＋2a ，则F (x )在(0，＋∞)上的最小值是________．答案 2＋2a －2ln 2解析令F ′(x )＝1－2x ＝x －2x＝0，得x ＝2.当x ∈(0,2)时，F ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，F ′(x )>0，∴当x ＝2时，F (x )min ＝F (2)＝2－2ln 2＋2a .6．设函数f (x )＝12x 2e x，若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，0)解析 f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2·x (x ＋2)，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝－2.当x ∈[－2,2]时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 f ′(x ) 0－ 0＋ f (x )递减递增∴当x ＝0时，f (x )min ＝f (0)＝0，要使f (x )>m 对x ∈[－2,2]恒成立，只需m <f (x )min ， ∴m <0.7．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )，x ∈[0,1]的值域为__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12esin1＋cos1解析当0≤x ≤1时，f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x >0，所以f (x )在[0,1]上单调递增，则f (0)≤f (x )≤f (1)，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e sin1＋cos1.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，且f (x )的导函数f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称． (1)求导函数f ′(x )及实数a 的值；(2)求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋2得：f ′(x )＝3x 2＋2ax .∵f ′(x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴－a3＝1.∴a ＝－3，f ′(x )＝3x 2－6x . (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2.当x 在[－1,2]上变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：2. 9．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a ，b 的值．解 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3a (x 2－4x )．令f ′(x )＝0，得x ＝0，x ＝4. ∵x ∈[－1,2]，∴x ＝0. 由题意知a ≠0.①若a >0，则f (x )，f ′(x )随x 变化的情况如下表：单调递增单调递减∴当x 又f (2)＝8a －24a ＋3＝－16a ＋3，f (－1)＝－7a ＋3>f (2)，∴当x ＝2时，f (x )取最小值，－16a ＋3＝－29， ∴a ＝2.②若a <0，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：单调递减单调递增又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29<f (2)， ∴当x ＝2时，f (x )取最大值，即－16a －29＝3，综上：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－29.。

2019数学人教a版选修1-1优化练习：3.3 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 word版含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．函数f(x)＝xe －x ，x ∈[0,4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2解析：f ′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x e x ′＝e x －xe x (e x )2＝1－x e x ，当x ∈[0,1)时，f ′(x)>0，f(x)是增函数；当x ∈(1,2]时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．∴f(x)的最大值为f(1)＝1e . 答案：B2．已知函数f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．－11解析：∵f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，由f ′(x)＝0得x ＝0或2.∵f(0)＝m ，f(2)＝－8＋m ，f(－2)＝－40＋m ，显然f(0)>f(2)>f(－2)，∴m ＝3，最小值为f(－2)＝－37. 答案：A3．函数f(x)＝x 3－3x(|x|<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值解析：f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f ′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值．答案：D4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )A．1 B．4 C．－1 D．0解析：∵f ′(x)＝3ax2，∴f ′(1)＝3a＝6，∴a＝2.当x∈[1,2]时，f ′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1,2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4.答案：B5．函数f(x)＝－x3＋3x在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )A．(－1，11) B．(－1,2)C．(－1,2] D．(1,4)解析：f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝±1.f(x)在R 上的极小值f(－1)＝－2，极大值＝f(1)＝2. 令－x 3＋3x ＝－2，即x 3－3x －2＝0，(x ＋1)2(x －2)＝0， ∴x ＝－1或x ＝2.∵f(x)在区间(a 2－12，a)上有最小值，∴a 2－12＜－1＜a ≤2，解得－1＜a ≤2. 答案：C6．函数y ＝ln x x的最大值为________．解析：函数的定义域为x ＞0.y ′＝1－ln x x 2，令y ′＝0得x ＝e ，当0＜x ＜e 时，f ′(x)＞0，当x ＞e 时，f ′(x)＜0，∴y 最大＝ln e e ＝1e .答案：1e7．当x ∈[－1,1]时，函数f(x)＝x 2e x 的值域是________．解析：f ′(x)＝2xe x －x 2(e x )′(e x )2＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x .令f ′(x)＝0得x ＝0或x ＝2(舍)，又f(0)＝0，f(－1)＝e ，f(1)＝1e ，故f(x)在(－1≤x ≤1)的值域为[0，e]．答案：[0，e]8．设函数f(x)＝ax 3－3x ＋1(x ∈R)，若对于任意的x ∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈(0,1]，f(x)≥0可化为a ≥3x 2－1x3.设g(x)＝3x 2－1x 3.则g ′(x)＝3(1－2x )x4.令g ′(x)＝0，得x ＝12.当0<x<12时，g ′(x)>0；当12<x ≤1时，g ′(x)<0. 所以g(x)在(0,1]上有极大值g(12)＝4，它也是最大值，所以a ≥4. 答案：[4，＋∞)9．设f(x)＝－13x 3＋12x 2＋2ax.(1)若f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；(2)当0<a<2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－163，求f(x)在该区间上的最大值．解析：(1)f ′(x)＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋14＋2a.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞时，f ′(x)的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23＝29＋2a.令29＋2a>0，得a>－19.所以当a>－19时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，即f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－19，＋∞.(2)令f ′(x)＝0，得两根x 1＝1－1＋8a2， x 2＝1＋1＋8a2，所以f ′(x)在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增．当0<a<2时，有x 1<1<x 2<4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x 2)，又f(4)－f(1)＝－272＋6a<0，即f(4)<f(1)．所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a －403＝－163，得a ＝1，x 2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝103.10．已知f(x)＝ln x －x ＋a ，x ∈(0,2]． (1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)f ′(x)＝1x －1，令f ′(x)＝0，∴x ＝1.当0<x<1时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x ≤2时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．∴f(x)的单调增区间为(0,1)，f(x)的单调减区间为(1,2]． (2)由(1)知x ＝1时，f(x)取得最大值，即f(x)max ＝a －1. ∵f(x)<a 2－3对任意的x ∈(0,2]恒成立， ∴a －1<a 2－3，解得a>2或a<－1. ∴a 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． [B 组能力提升]1．设函数f n (x)＝n 2x 2(1－x)n (n 为正整数)，则f n (x)在[0,1]上的最大值为( ) A ．0B ．1C ．1－22＋n D ．4(nn ＋2)n ＋2解析：因为f n ′(x)＝2xn 2(1－x)n －n 3x 2(1－x)n －1 ＝n 2x(1－x)n －1[2(1－x)－nx]，令f n ′(x)＝0，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝22＋n，易知f n (x)在x ＝22＋n时取得最大值，最大值为 f n (22＋n)＝n 2(22＋n)2(1－22＋n)n ＝4(n2＋n)n ＋2. 答案：D2．函数f(x)＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a<1B ．0<a<1C ．－1<a<1D ．0<a<12解析：∵f ′(x)＝3x 2－3a ，令f ′(x)＝0，可得a ＝x 2，又∵x ∈(0,1)，∴0<a<1，故选B. 答案：B3．函数f(x)＝12x 2－ln x 的最小值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )＝x －1x >0，x>0得x>1，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x )<0，x>0，得0<x<1.∴f(x)在x ＝1时取最小值f(1)＝12－ln 1＝12.答案：124．设直线x ＝t 与函数f(x)＝x 2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为________．解析：|MN|的最小值，即函数h(x)＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22.答案：225．已知函数f(x)＝ln x －ax(a ∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．解析：(1)f ′(x)＝1x－a(x>0)，①当a ≤0时，f ′(x)＝1x －a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．②当a>0时，令f ′(x)＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x<1a 时，f ′(x)＝1－axx >0；当x>1a 时，f ′(x)＝1－axx <0，故函数f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ，＋∞.(2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，∴f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，∴f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当1<1a <2，即12<a<1时，函数f(x)在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1a ，2上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln 2－a.∴当12<a<ln 2时，最小值是f(1)＝－a ；当ln 2≤a<1时，最小值为f(2)＝ln 2－2a. 综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f(x)的最小值是ln 2－2a.6．设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间Ⅰ＝{x|f(x)＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a1＋a 2，故f(x)＞0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}．因此区间I ＝(0，a1＋a 2)，区间I 的长度为a1＋a 2.(2)设d(a)＝a1＋a 2，则d ′(a)＝1－a 2(1＋a 2)2(a ＞0)．令d ′(a)＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a)＜0，d(a)单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d(a)的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k3＜1，故d(1－k)＜d(1＋k)．因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k,1＋k]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2，即I 长度的最小值为1－k2－2k ＋k2.Module 1HobbiesUnit 1 What’s your hobby?一、兴趣爱好的词组：1.play computer games玩电脑游戏2.play music玩音乐3. collect stamps 集邮4.keep pets养宠物5.make model ships做轮船模型6. read books读书7.take photos 照相8.make cakes做蛋糕9. plant trees种树10. grow flowers 种花11.listen to music听音乐12. singing,唱歌13.dancing跳舞14.drawing 画画15.play the piano弹钢琴16.play chess下棋17. play basketball 打篮球…二、课文短语：1.make model ships 做轮船模型2.love making 喜欢制作3.more than 20 ships 超过20艘轮船4.collect stamps 集邮5.keep pets 养宠物6. Three birds 三只鸟7.play music 玩音乐8. every day 每天9.read books 读书10. every night 每天晚上11.play computer games 玩电脑游戏12.about 50 games 大约50个游戏13.take photos 照相14.during my holiday 在我的假期里三、句型:1. What’s your hobby?2. Do you like…?Yes, I do. / No, I don’t.3. I love/like…I like/love dancing .4. I enjoy …I enjoy listening to music.5. My (favourite) hobby is …6. …is my (favourite) hobby.7. Is your hobby keeping pets?Yes, it’s. / No, it isn’t.Unit 2 His hobby is drawing一、课文短语：1.a great painter 一个伟大的画家2.draw cartoons 画漫画3.coloured pencils 彩色的铅笔4.his pet dog 他的宠物狗5.in the sky 在天空中6.birthday cards 生日卡片7.for his friends 给他的朋友们8.on their birthday 在他们的生日9.interesting people 有趣的人物10.beautiful places 美丽的风景11.in every room 在每一个房间12.in her house 在她的房子里13.二、句型：14.1. What’s Mike’s hobby?His hobby is …15.2. When does Mike usually draw? Mike通常在什么时候画画？He usually draws ….16.3. What does Mike give his friends for their birthday?17.4. What present does Amy give to Tom?18.5. What does she want to do when she grows up?She wants to be a writer.19.三、重点精析：20.1. grow up 成长，长大want to do…想要做…21.如：When Lucy grows up she wants to be an English teacher.22.当露丝长大后，她想成为一名英语教师。

高中数学选修1-1 专题3.3.3 函数的最大(小)值与导数-高二数学(文)人教版

1．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．2．求函数最值的步骤求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的________；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．K 知识参考答案：1．连续不断2．极值K —重点利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用K —难点函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题 K —易错求最值时，易忽略函数的定义域求函数的最值求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．已知函数2()e 1xf x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=⋅⋅⋅为自然对数的底数．设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值．【答案】见解析．【解析】由2()e 1xf x ax bx =---，有()()e 2xg x f x ax b '==--，所以()e 2xg x a '=-．因此，当[0,1]x ∈时，()[12,e 2]g x a a '∈--．当12a ≤时，()0g x '≥，所以()g x 在区间[0,1]上单调递增．因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-；当e2a ≥时，()0g x '≤，所以()g x 在区间[0,1]上单调递减．因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--；当1e22a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈．所以函数()g x 在区间[0,ln(2)]a 上单调递减，在区间(ln(2),1]a 上单调递增．于是，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--．综上所述，当12a ≤时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1gb =-；当1e22a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a ab =--；当e2a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g ab =--．【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个．函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．已知函数1()ln ,f x a x a x=+∈R ．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当1[,1]2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】（1）见解析；（2）2ln 2a =．【解析】（1）2211()a ax f x x x x-'=-+=，0x >，当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间为(0,)+∞；当0a >时，令()0f x '<，得10x a <<，则()f x 的单调递减区间为1(0,)a．【名师点睛】本题中的参数a 对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a 进行分类讨论．恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．若函数21e (2)xf x k x =-在区间(0,)+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是 A ．1(,)e +∞ B ．(0,)+∞ C ．1[,)e+∞D ．[0,)+∞【答案】C【解析】因为21e (2)xf x k x =-，所以()e x 'x x f k =-．因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以e 0()xx k f x '=-≥在(0,)+∞上恒成立，即e x x k ≥在(0,)+∞上恒成立．令()e x x g x =，则()1exxg x -='，所以当01x <<时，0()g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，0()g x '<，()g x 单调递减，所以max 1()1e )(g x g ==，所以1e k ≥．故实数k 的取值范围是1[,)e+∞．故选C ．已知函数()e xf x x =-．（1）求()f x 的极小值；（2）对(0,),()x f x ax ∀∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极小值为1；（2）(,e 1)-∞-．【解析】（1）'()e 1xf x =-，令'()0f x =，得0x =．当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：则()f x 的极小值为(0)1f =．（2）当0x >时，e 1xa x->恒成立．令e ()1,0x g x x x =->，则2e (1)'()x x g x x-=，令'()0g x =，得1x =．当x 变化时，'()g x 与()g x 的变化情况如下表：则min ()(1)e 1g x g ==-，故实数a 的取值范围是(,e 1)-∞-．【名师点睛】对于由不等式恒成立求参的问题，可采用分离参数法，即将参数移至不等式的一端，化成()a f x ≥或()a f x ≤的形式，然后利用导数求出函数()f x 的最值，则由max ()a f x ≥或min ()a f x ≤即可求出参数a 的取值范围．因未验根而致误已知3223()f x ax bx a x =+++在1x =-时有极值0，求常数a ，b 的值．【错解】因为()f x 在1x =-时有极值0且2()36f x x ax b '=++，所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩．【错因分析】解出a ，b 的值后，未验证1x =-两侧函数的单调性而导致产生增根．【正解】因为()f x 在1x =-时有极值0，且2()36f x x ax b '=++．所以(1)0(1)0f f '-=⎧⎨-=⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩．当1a =，3b =时，22()3630(1)3f x x x x '=++=+≥，所以()f x 在R 上为增函数，无极值，故舍去．当2a =，9b =时，2312931(()()3)f x x x x x =++=++'．当3()x ∈∞--，时，()f x 为增函数；当3()1x ∈--，时，()f x 为减函数；当1()x ∈-+∞，时，()f x 为增函数．所以()f x 在1x =-时取得极小值，因此2a =，9b =．【名师点睛】可导函数在0x x =处的导数为0是该函数在0x x =处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由()0f x '=求出的参数需要检验，以免出错．1．下列说法正确的是A ．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B ．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C ．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D ．若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2．定义在闭区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )有唯一的极值点x ＝x 0，且y 极小值＝f (x 0)，则下列说法正确的是 A ．函数f (x )有最小值f (x 0)B ．函数f (x )有最小值，但不一定是f (x 0)C ．函数f (x )的最大值也可能是f (x 0)D ．函数f (x )不一定有最小值3．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值D ．既无最大值，也无最小值4．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[－2，1]上的最大值，最小值分别是 A ．12，－8B ．1，－8C ．12，－15D ．5，－165．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1，1]，则其导函数()f 'x 是 A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值又有最小值的奇函数6．已知f x x x m ()=-+2632（m 为常数）在区间[]-22，上有最大值3，那么此函数在[]-22，上的最小值为 A ．-5B ．-11C ．-29D ．-377．若函数323()12f x x x =-+，则 A ．最大值为1，最小值为12B ．最大值为1，无最小值C ．最小值为12，无最大值D ．既无最大值也无最小值8．函数()e x f x x =-在]1,1[-上的最小值是________________． 9．函数ln xy x=的最大值为________________． 10．函数2()(1)f x x x =-在[0，1]上的最大值为________________． 11．函数52)(24--=x x x f 在]2,1[-上的最小值为________________．12．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ．若()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切．（1）求b a ,的值；（2）求()f x13．已知函数()ln (1)f x a x x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求实数a 的取值范围．14．函数.)(223m x a ax x x f +-+=（1）若函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围．15．已知函数3()31f x x x =--，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是 A ．20 B ．18 C ．3D ．016．函数32231(0)()e (0)ax x x x f x x ⎧++≤=⎨>⎩在[2,2]-上的最大值为2，则a 的取值范围是A ．1[ln 2,)2+∞ B ．1[0,ln 2]2 C ．(,0)-∞D ．1(,ln 2]2-∞17．已知32()6f k x x x =-+在[1，5]上有最小值为0，则()f x 在[1，5]上的最大值为________________． 18．已知2()(1),()e x f x x m g x x =--+=，若12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，则实数m 的取值范围是________________．19．已知函数2e (1)x f x x =--，若()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，则实数k 的取值范围为________________．20．已知函数()g x 的导函数e ()x g x '=，且()0)1e (g g ='，其中e 为自然对数的底数．若存在[0,)x ∈+∞，m 的取值范围为________________． 21．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值16c -．（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 有极大值28，求()f x 在[3,3]-上的最小值．22．已知函数()ln (,0)f x ax a x x =-∈>R ．（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 在[1,2]上的最小值．23．已知函数(2)ln ()1f x x x ax =--+．（1）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若存在正数0x ，使得001()ln f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围．24．（2017新课标全国III ）已知函数211()2(e e)x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13C ．12D ．1 25．（2018新课标全国Ⅰ）已知函数，则的最小值是________________． 26．（2018江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________________．27．（2017新课标全国III 文节选）已知函数2ln )1(()2x ax f x a x =+++，当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．28．（2017北京文）已知函数()e cos xf x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．29．（2017新课标全国I 文）已知函数2e e ()()x xf x a a x =--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．30．（2017新课标全国II ）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．31．（2018新课标全国Ⅱ）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．1．【答案】D【解析】由极值与最值的概念可知应选D ． 2．【答案】A【解析】函数f (x )在闭区间[a ，b ]上一定存在最大值和最小值，又f (x )有唯一的极小值f (x 0)，则f (x 0)一定是最小值．故选A ． 3．【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵x ∈(－1，1)，∴f ′(x )<0，即函数在(－1，1)上是递减的， ∴函数f (x )在区间(－1，1)上既无最大值，也无最小值．故选D ． 4．【答案】A【解析】y ′＝6x 2－6x －12，由y ′＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)．当x ＝－2时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝12；当x ＝1时，y ＝－8．∴y max ＝12，y min ＝－8．故选A ． 5．【答案】D6．【答案】D【解析】令2()6126(2)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或2x =，当20x -≤<时，()0f 'x >，当02x <<时，()0f 'x <，所以最大值在0x =处取得，即(30)f m ==，又()37(2)52,f f -=-=-，所以最小值为37-．故选D ． 7．【答案】D【解析】2()333(1)f x x x x x '=-=-，令()0f x '>，得0x <或1x >，令()0f x '<，得01x <<，因此函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以在0x =时，函数()f x 取得极大值1，在1x =时，函数()f x 取得极小值12，但是函数()f x 在(,)-∞+∞上，既无最大值也无最小值，故选D ．8．【答案】1【解析】()e 1xf x '=-，()00,()00f x x f x x ''>⇒><⇒<，所以()f x 在[1,0]-上单调递减，在[0,1]上单调递增，从而函数()e xf x x =-在]1,1[-上的最小值是0(0)e 01f =-=． 9．【答案】1e【解析】2ln 1xxy -='，当0e x <<时，0>'y ，当e x >时，0<'y ，所以当e x =时，取得最大值，max e1ex y y===． 10．【答案】2311．【答案】6-【解析】4232()25,()444(1)f x x x f x x x x x '=--∴=-=-，令()0f x '=，得1x =-或0x =或1x =．列表如下：x 1-(1,0)-0 (0，1) 1 (1，2) 2 ()f x ' 0+ 0-+ ()f x6- 增5- 减6-增3由表可知，函数的最小值为6-． 12．【答案】（1）11,2a b ==（2）最大值为12-．【解析】（1）由题可得()2af x bx x'=-．由函数()f x 的图象在1x =处与直线12y =-相切，可得(1)01(1)2f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩，即2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩．（2）由（1）得21()ln 2f x x x =-，其定义域为(0,)+∞，所以211()x f x x x x-'=-=，令()0f x '>，解得01x <<，令()0f x '<，得1x >．所以()f x 在1[,1)e 上单调递增，在(1,e]上单调递减，所以()f x 在1[,e]e上的最大值为1(1)2f =-．13．【答案】（1）见解析；（2）(0,1)．（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上无最大值；当0a >时，()f x 在1x a =处取得最大值，最大值为111()ln()(1)ln 1f a a a a a a=+-=-+-．因此，1()22ln 10f a a a a>-⇔+-<．令()ln 1g a a a =+-，则()g a 在(0,)+∞上是增函数，(1)0g =，于是，当01a <<时，()0g a <；当1a >时，()0g a >，因此实数a 的取值范围是(0,1)． 14．【答案】（1）(,3){0}(3,)-∞-+∞；（2）(,87]-∞-．【解析】（1）由题意知，22()32f x x ax a '=+-，当0=a 时，()0f 'x ≥恒成立，在定义域上没有极值，符合题意；当0≠a 时，因为0)0(<'f ，所以(1)0(1)0f f '<⎧⎨'-<⎩，解得3>a 或3-<a ．综上，实数a 的取值范围为(,3){0}(3,)-∞-+∞．15．【答案】A【解析】2()333(1)(1)x f 'x x x =-=-+，所以()f x 在区间[3,1]--，[1,2]上单调递增，在区间(1,1)-上单调递减．(3)19f -=-，(12)f =，(1)1f -=，(31)f =-，可知12|()()|f x f x -的最大值为20，故t 的最小值为20．故选A ． 16．【答案】D【解析】当0x ≤时，()()61f x x x '=+，令()0,f x '>得1x <-，令()0f x '<，得10x -<<，则在[]2,0-上的最大值为()12f -=．欲使得函数()f x 在[2,2]-上的最大值为2，则当2x =时，2e a 的值必须小于或等于2，即2e 2a ≤，解得1(,ln 2]2a ∈-∞，故选D ． 17．【答案】27【解析】令2()3123(4)0f x x x x x '=-=-=，得0x =或4x =，当14x ≤<时，()0f 'x <，当45x <≤时，()0f 'x >，所以()f x 在4x =处取得最小值，即()3204f k =-+=，所以32k =，又(21)7f =，(5)7f =，所以函数()f x 在[1，5]上的最大值为27．18．【答案】1[,)e-+∞【解析】易知2()(1)f x x m =--+的最大值为m ，()e e e (1)xxxg x x x '=+=+，当1x <-时，()0g x '<，()g x 减函数，当1x >-时，()0g x '>，()g x 为增函数，所以()g x 的最小值为1(1)e g -=-．12,x x ∃∈R ，使得12()()f x g x ≥成立，只需1e m ≥-．故实数m 的取值范围是1[,)e-+∞． 19．【答案】(,e 2]-∞-【解析】()f x kx ≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立等价于()f x k x≥对任意的(0,)x ∈+∞恒成立．令()()f x x x ϕ=，0x >，则22(1)1()()(e )()x x x f x x x 'x x f x'ϕ----==，（8分）易知当(0,)x ∈+∞时，e 10x x -->恒成立，令0()'x ϕ>，得1x >；令0()'x ϕ<，得01x <<，所以函数()x ϕ的单调增区间为(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，所以min 1e 2()()x ϕϕ==-，所以min e ()2k x ϕ≤=-，故实数k 的取值范围为(,e 2]-∞-．20．【答案】(,3)-∞21．【答案】（1）1a =，12b =-；（2）4-．【解析】（1）因为3()f x ax bx c =++，所以2()3f x ax b '=+．由于()f x 在点2x =处取得极值16c -，故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩，即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩，化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得112a b =⎧⎨=-⎩．（2）由（1）知3()12f x x x c =-+，2()312f x x '=-．令()0f x '=，得122,2x x =-=．当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '>，故()f x 在(,2)-∞-上为增函数；当(2,2)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 在(2,2)-上为减函数；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(2,)+∞上为增函数．由此可知()f x 在12x =-处取得极大值(2)16f c -=+，()f x 在22x =处取得极小值(2)16f c =-．由题设条件知1628c +=，得12c =，此时(3)921,(3)93,(2)164f c f c f c -=+==-+==-=-，因此()f x 在[3,3]-上的最小值为(2)4f =-．22．【答案】（1）单调递增区间为1(0,)2，单调减区间为1(,)2+∞；（2）当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-．（2）由()ln f x x ax =-得11()ax f x a x x-+'=-=，令()0f x '>得10x a <<，令()0f x '<得1x a>， ()f x ∴在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a+∞上单调递减．①当11a≤，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1，2]上是减函数， ∴()f x 的最小值是()l 2n 22f a =-．②当12a≥，即102a <≤时，函数()f x 在区间[1，2]上是增函数，∴()f x 的最小值是()1f a =-．③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a 是减函数．又21()()ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时，ln 20,a ->最小值是()1f a =-；当ln 21a ≤<时，最小值为()l 2n 22f a =-．综上，当0ln 2a <<时，min ()x f a =-；当ln 2a ≥时，min ()ln 22f x a =-． 23．【答案】（1）(,1]-∞-；（2）[0,)+∞．（2）不等式001()ln f x x ≤-即0000(2)ln 11ln x x ax x --+≤-，即000ln ln a x x x ≥-，令ln ln ()xg x x x=-，由题意可得min ()x a g ≥，易得221ln 1l 1)n (x x xg x x x x --+=-='，令1(n )l x x x h -+=，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，又11110(ln )h -+==，所以当01x <<时，()0h x <；当1x >时，()0h x >，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>，故函数()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()()ln 11ln 110x g g ==-=，所以0a ≥．故实数a 的取值范围为[0,)+∞．24．【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足2112(e e)x x x x a --+-=-+，设11e e ()eee ex x x x g x --+=+=+，则2(1)1e 1()e x x g x ---'=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为(1)2g =．设2()2h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 与函数()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =．故选C ． 25．【答案】【名师点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 26．【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，27．【答案】证明见解析．【思路分析】证明3()24f x a ≤--，即证max 3()24f x a≤--，而)21()(max a f x f -=，所以需证11ln 1022a a-++≤，设ln ()1g x x x =-+，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证．28．【答案】（1）1y =；（2）最大值为1；最小值为π2-．【分析】（1）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()(000)y f f x '-=-中即可；（2）设()()h f 'x x =，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为(00)h =，从而可以知道()()0h f 'x x =<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值．【解析】（1）因为()e cos xf x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=．又(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（2）设()e (cos sin )1xh x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x xh x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<，所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-． 29．【答案】（1）见解析；（2）34[2e ,1]-．【分析】（1）分0a =，0a >，0a <分别讨论函数)(x f 的单调性；（2）分0a =，0a >，0a <分别解0)(≥x f ，从而确定a 的取值范围．（2）①若0a =，则2()e xf x =，所以()0f x ≥．②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-．从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥．③若0a <，则由（1）得，当ln()2a x =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--．从而当且仅当23[ln()]042a a --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥．综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-．【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出()f x '，由()f x '的正负，得出函数()f x 的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数()f x 的极值或最值．30．【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．【分析】（1）根据题意结合导函数与原函数的关系可求得1a =，注意验证结果的正确性；（2）结合（1）的结论构造函数()22ln h x x x =--，结合()h x 的单调性和()f x 的解析式即可证得题中的不等式成立．（2）由（1）知 2()ln x x f x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >，所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又2(e )0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当0(0,)x x ∈时，()0h x >；当0(,1)x x ∈时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >．因为()()'x f h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点．由0()0f 'x =得00ln 2(1)x x =-，故000()(1)f x x x =-．由0(0,1)x ∈可得01()4f x <，因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点，由1e (0,1)-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=，所以220e ()2f x --<<．31．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式；（2）研究零点，等价研究的零点，先求导数：，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当时，，没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值．（2）设函数2()1e xh x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()(2)e xh'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e 4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。

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