最新泰勒展开式在高考题中的应用

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泰勒展开式与超越不等式在高考中的应用

泰勒展开式与超越不等式在高考中的应用王文琦(江苏省扬州大学数学科学学院ꎬ江苏扬州２２５００２)摘㊀要:泰勒公式是逼近㊁近似函数的重要工具ꎬ并由此引出高考数学中不等式及其他的众多题型.了解泰勒展开式对学生理解命题背景㊁快速解题有着重要的意义.关键词:泰勒展开式ꎻ超越不等式ꎻ不等式放缩中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１９－００３１－０３收稿日期:２０２３－０４－０５作者简介:王文琦(２００２－)ꎬ男ꎬ江苏省泰州人ꎬ本科在读ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:２０２２年扬州大学大学生科创基金项目泰勒公式与泰勒级数的应用探究 (项目编号:Ｘ２０２２０２２２)ꎻ江苏高校品牌专业建设工程资助项目(项目编号:ＰＰＺＹ２０１５Ｂ１０９)㊀㊀笔者从泰勒公式基本形式出发ꎬ证明了两大超越不等式.笔者接着举例分析了高考中以泰勒展开为背景的试题ꎬ并总结了高考中五大应用题型ꎬ以期抛砖引玉.１泰勒展开式与超越不等式１.１泰勒公式形式若函数ｆ(ｘ)在包含ｘ０的某个闭区间[ａꎬｂ]上具有ｎ阶导数ꎬ且在开区间(ａꎬｂ)上具有(ｎ＋１)阶导数ꎬ则对闭区间[ａꎬｂ]上任意一点ｘꎬ有ｆｘ()＝ｆｘ０()＋ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０()＋ｆᵡｘ０()２!(ｘ－ｘ０)２＋＋ｆｎ()ｘ０()ｎ!ｘ－ｘ０()ｎ＋Ｒｎ(ｘ).其中:ｆ(ｎ)(ｘ０)表示ｆ(ｘ)在包含ｘ０的某个闭区间[ａꎬｂ]上具有ｎ阶导数ꎬ等号后的多项式称为函数ｆ(ｘ)在ｘ０处的泰勒展开式ꎬ剩余的Ｒｎ(ｘ)是泰勒公式的余项ꎬ是(ｘ－ｘ０)ｎ的高阶无穷小量[１].１.２两个超越不等式(１)对数型超越放缩:ｘ－１ｘɤｌｎｘɤｘ－１(ｘ>０).证明㊀因为ｌｎｘ＋１()＝ｘ－１２ｘ２＋１３ｘ３－＋－１()ｎ－１１ｎｘｎ＋Ｒｎ(ｘ)ꎬ①①中等号右边只取第一项ꎬ得ｌｎｘ＋１()ɤｘ(ｘ>－１).②用ｘ－１替代②中的ｘꎬ得ｌｎｘɤｘ－１(ｘ>０).③③式左右两边同乘－１ ꎬ有ｌｎ１ｘȡ１－ｘ(ｘ>０)④用１ｘ替代④中的ｘꎬ得ｘ－１ｘɤｌｎｘ(ｘ>０).(２)指数型超越放缩:ｘ＋１ɤｅｘɤ１１－ｘｘ<１()证明㊀因为ｅｘ＝１＋ｘ＋１２!ｘ２＋＋１ｎ!ｘｎ＋Ｒｎ(ｘ)ꎬ⑤⑤式等号右边取前两项ꎬ得ｅｘȡｘ＋１(ｘɪＲ).⑥用－ｘ替代⑥式中的ｘꎬ得ｅ－ｘȡ－ｘ＋１(ｘɪＲ).⑦当ｘ<１时ꎬ由⑦得ｅｘɤ１１－ｘｘ<１().当ｘ>１时ꎬ由⑦得ｅｘȡ１１－ｘｘ>１().２举例分析泰勒展开与高考题的联系２.１一阶导数放缩例１㊀(２０１３年新课标Ⅱ卷)已知函数ｆｘ()＝ｅｘ１３－ｌｎｘ＋ｍ()ꎬ(１)设ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ求ｍꎬ并讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)当ｍɤ２时ꎬ证明ｆ(ｘ)>０.命题手法分析㊀第(２)问考查泰勒一阶展开式:ｅｘȡｘ＋１>ｘ－１ȡｌｎｘꎬ所以可得ｅｘ－ｌｎｘ＋２()>０ꎬ这就是第(２)问的命题背景.２.２二阶导数放缩例２㊀(２０２０年全国Ⅰ卷)已知函数ｆｘ()＝ｅｘ＋ａｘ２－ｘ.(１)当ａ＝１时ꎬ讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)当ｘȡ０时ꎬｆｘ()ȡ１２ｘ３＋１ꎬ求ａ的取值范围.命题手法分析㊀第(２)问需证明ｅｘ＋ａｘ２－ｘ－１２ｘ３－１ȡ０ꎬ所证不等式是ｅｘ与三次多项式ꎬ我们可以由ｅｘȡ１２ｘ２＋ｘ＋１(ｘȡ０)来构造ꎬ再通过积分包装难度.显然ꎬｅｘ－１２ｘ２－ｘ－１ȡ０(ｘȡ０)ꎬ若用其作为导函数的一部分ꎬ我们可以用一个变号零点来做极值点(最值点)ꎬ处理变号零点最简单的方式就是一次函数ꎬ故可选２－ｘ()ｅｘ－１２ｘ２－ｘ－１æèçöø÷(ｘȡ０).这个式子使得ｘ＝２是一个极大值点(最大值点).但是ꎬ这样构造的导函数其原函数过于简单ꎬ不能满足压轴题的难度ꎬ那就增加一个分母[１]:如ｆᶄｘ()＝２－ｘ()ｅｘ－ｘ２/２－ｘ－１()ｘ３(ｘȡ０)ꎬ这样我们再将ｆᶄｘ()积分整理可得ｆｘ()＝－ｅｘ＋ｘ３/２＋ｘ＋１ｘ２.由导数可知ｆ(ｘ)在ｘ＝２处有最大值ꎬ故可得ｆ(ｘ)ɤａ恒成立ꎬ转化即可得到这道高考试题:当ｘȡ０时ꎬｆｘ()ȡ１２ｘ３＋１ꎬ求ａ的取值范围.而由上述分析可知ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝２处取得最大值ꎬ故ａȡ７－ｅ２４ꎬ此题的结果就出来了.３具体应用３.１利用泰勒展开式证明不等式例１㊀证明:ｌｎ１＋ｘ()ɤｘ－ｘ２２＋ｘ３３(－１<ｘ<１).证明㊀设ｆ(ｘ)＝ｌｎ(１＋ｘ)(－１<ｘ<１)ꎬ则ｆ(ｘ)在ｘ＝０处有泰勒公式ｌｎ１＋ｘ()＝ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ｘ４４１＋ξ()４(－１<ξ<１)ꎬ因为－ｘ４４１＋ξ()４ɤ０ꎬ所以ｌｎ１＋ｘ()ɤｘ－ｘ２２＋ｘ３３.３.２泰勒展开式与函数的极值界定例２㊀已知ｘ＝０是函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ａｘ－ｔａｎｘ)的极大值点ꎬ则ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.－¥ꎬ０(]㊀㊀㊀Ｂ.－¥ꎬ１(]Ｃ.０ꎬ＋¥[)㊀Ｄ.[１ꎬ＋¥)解析㊀ｘ＝０是函数ｆ(ｘ)＝ｘ(ａｘ－ｔａｎｘ)的极大值点ꎬ等价于ｘ＝０是函数ｇ(ｘ)＝ｘ(ａｘｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ)的极大值点.由ｆ(ｘ)在ｘ＝０的泰勒展开为ｇｘ()ʈｘａｘ１－ｘ２２æèçöø÷－ｘ＋ｘ３６[]ꎬ化简ꎬ得ｇｘ()ʈａ－１()ｘ２－ａ２－１６æèçöø÷ｘ４.因为ｘ＝０是ｆ(ｘ)的一个极大值点ꎬ所以二次项系数必须小于零ꎬ即ａ－１<０.当ａ＝１时ꎬ也满足最低偶次项即－１３ｘ４系数小于零ꎬ所以ａɤ１.故选Ｂ.３.３利用超越不等式比较大小例３㊀设ａ＝ｌｎ１.０１ꎬｂ＝１.０１３０ｅꎬｃ＝１１０１(其中自然对数的底数ｅ＝２.７１８２８ )ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａ<ｂ<ｃ㊀Ｂ.ａ<ｃ<ｂ㊀Ｃ.ｃ<ｂ<ａ㊀Ｄ.ｃ<ａ<ｂ解析㊀令ｘ＝１.０１ꎬ则ａ＝ｌｎｘꎬｂ＝ｘ３０ｅꎬｃ＝１－１ｘ－１.考虑到ｌｎｘɤｘ－１ꎬ可得－ｌｎｘɤ１ｘ－１.化简ꎬ得ｌｎｘȡ１－１ｘꎬ当且仅当ｘ＝１时等号成立ꎬ故ｘ＝１.０１２３时ꎬａ>ｃ.由ｌｎｘɤｘ－１ꎬ得ｌｎ１.０１<０.０１<１.０１３０ｅ.故ｂ>ａ.综上ꎬｂ>ａ>ｃꎬ故选Ｂ.３.４利用对数型超越放缩证明不等式例４㊀已知函数ｆｘ()＝ｌｎｘ－ｋｘ＋１.(１)若ｆｘ()ɤ０恒成立ꎬ求实数ｋ的取值范围ꎻ(２)证明:１＋１２２æèçöø÷１＋１３２æèçöø÷ １＋１ｎ２æèçöø÷<ｅ２３(ｎɪＮ∗ꎬｎ>１).解析㊀(１)由ｆｘ()ɤ０ꎬ得ｋȡｌｎｘ＋１ｘ.令ｇｘ()＝ｌｎｘ＋１ｘ(ｘ>０)ꎬ则ｇᶄｘ()＝－ｌｎｘｘ２.当０<ｘ<１时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬｇｘ()单调递增ꎬ当ｘ>１时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬｇｘ()单调递减ꎬ所以ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ１()＝１.从而ｋȡ１.(２)由(１)知ꎬｋ＝１时ꎬ有不等式ｌｎｘɤｘ－１对任意ｘɪ(０ꎬ＋¥)恒成立ꎬ当且仅当ｘ＝１时ꎬ取等号ꎬ所以不等式ｌｎｘ<ｘ－１对任意ｘɪ(１ꎬ＋¥)恒成立.令ｘ＝１＋１ｎ２(ｎ>１ꎬ且ｎɪＮ∗)ꎬ则ｌｎ１＋１ｎ２æèçöø÷<１ｎ２<１ｎ２－１＝１２１ｎ－１－１ｎ＋１æèçöø÷.则ｌｎ１＋１２２æèçöø÷＋ｌｎ１＋１３２æèçöø÷＋＋ｌｎ１＋１ｎ２æèçöø÷<１２２＋１２１２－１４æèçöø÷＋＋１ｎ－２－１ｎæèçöø÷＋１ｎ－１－１ｎ＋１æèçöø÷[]＝１４＋１２１２＋１３－１ｎ－１ｎ＋１[]<１４＋１２１２＋１３[]＝２３.即１＋１２２æèçöø÷１＋１３２æèçöø÷ １＋１ｎ２æèçöø÷<ｅ２３(ｎɪＮ∗ꎬｎ>１).㊀３.５利用指数型超越放缩证明不等式例５㊀已知函数ｆｘ()＝ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘꎬ(１)设ｇｘ()＝ｆ２ｘ()－４ｂｆ(ｘ)ꎬ当ｘ>０时ꎬｇｘ()>０ꎬ求ｂ的最大值ꎻ(２)已知１.４１４２<２<１.４１４３ꎬ估计ｌｎ２的近似值.(精确到０.００１)解析㊀(１)函数ｇｘ()＝ｆ２ｘ()－４ｂｆｘ()＝ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｂｅｘ－ｅ－ｘ()＋８ｂ－４()ｘꎬ求导得ｇᶄｘ()＝２ｅｘ＋ｅ－ｘ－２()ｅｘ＋ｅ－ｘ＋２－２ｂ().①由ｅｘ＋ｅ－ｘ>２ꎬ则ｅｘ＋ｅ－ｘ＋２>４.当２ｂɤ４ꎬ即ｂɤ２时ꎬｇᶄｘ()ȡ０ꎬ当且仅当ｘ＝０时取等号.从而ｇ(ｘ)在Ｒ上为增函数ꎬ而ｇ(０)＝０ꎬ所以ｘ>０时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬ符合题意.②当ｂ>２时ꎬ若ｘ满足２<ｅｘ＋ｅ－ｘ<２ｂ－２ꎬ则ｌｎｂ－１－ｂ２－２ｂ()<ｘ<ｌｎｂ－１＋ｂ２－２ｂ().又由ｇ(０)＝０知ꎬ当０<ｘɤｌｎｂ－１＋ｂ２－２ｂ()时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬ不符合题意.综合①②知ꎬｂɤ２ꎬ即ｂ的最大值为２.(２)因为１.４１４２<２<１.４１４３ꎬ根据(２)中ｇｘ()＝ｅ２ｘ－ｅ－２ｘ－４ｂｅｘ－ｅ－ｘ()＋８ｂ－４()ｘꎬ为了凑配ｌｎ２ꎬ并利用２的近似值ꎬ故将ｌｎ２即１２ｌｎ２代入ｇ(ｘ)的解析式中ꎬ得ｇｌｎ２()＝３２－２２ｂ＋２２ｂ－１()ｌｎ２.当ｂ＝２时ꎬ由ｇ(ｘ)>０ꎬ得ｇｌｎ２()＝３２－４２＋６ｌｎ２>０ꎬ则ｌｎ２>８２－３１２>８ˑ１.４１４２－３１２＝０.６９２８.令ｌｎｂ－１＋ｂ２－２ｂ()＝ｌｎ２ꎬ得ｂ＝３２４＋１>２.当０<ｘɤｌｎｂ－１＋ｂ２－２ｂ()时ꎬ由ｇｘ()<０ꎬ得ｇｌｎ２()＝－３２－２２＋３２＋２()ｌｎ２<０.得ｌｎ２<１８＋２２８<１８＋１.４１４３２８<０.６９３４.所以ｌｎ２的近似值为０.６９３.总结㊀泰勒公式是高等数学中的重要知识ꎬ它构成了众多高考数学题中的命题背景.所以知道常见函数的泰勒展开式ꎬ就能捕捉到试题背后蕴藏的不等式ꎬ应用时用初等数学的方法证明即可.在高中数学学习的过程中适当扩展与了解一些高等数学的知识ꎬ对于高中生尤其是优等生是必要的.参考文献:[１]华东师范大学数学科学学院.数学分析(第五版上册)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１９.[责任编辑:李㊀璟]３３。

泰勒公式在高考中的应用之终极版

泰勒公式在高考中的应用之终极版泰勒公式是微积分中非常重要的一个定理，它在高考中的应用非常广泛。

本文将从终极版的角度，详细介绍泰勒公式在高考中的应用。

首先，我们来回顾一下泰勒公式的表达式。

泰勒公式是一个函数在一些点附近的展开式，它可以将一个函数表示成无穷个项的无穷级数。

泰勒公式的一般形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(x)是f(x)的一阶导数，f''(x)是f(x)的二阶导数，以此类推，f^n(x)是f(x)的n阶导数，Rn(x)是余项。

高考中最常见的泰勒公式是二阶泰勒公式，即：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)应用方面，泰勒公式可以用于求函数的近似值、计算复杂函数的导数、证明恒等式等等。

首先，泰勒公式可以帮助我们计算函数的近似值。

当我们需要计算一个复杂函数的值时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后取前几项进行计算。

由于泰勒公式是一个无穷级数，所以当我们取到一定阶数的时候，剩下的余项非常小，可以忽略不计，从而得到较为准确的结果。

其次，泰勒公式可以用于计算复杂函数的导数。

根据泰勒公式的定义，我们可以得到一个函数在一些点处的导数与该点周围的函数值之间的关系。

这样，当我们需要计算一个复杂函数的导数时，可以利用泰勒公式将该函数展开，然后对展开后的每一项求导，最终求得函数的导数。

另外，泰勒公式也可以用于证明恒等式。

对于一些复杂的恒等式，我们可以利用泰勒公式将其中的函数进行展开，然后比较两边展开后的项，从而得到相等的结论。

这样，我们就能够通过泰勒公式证明一些复杂的恒等式。

综上所述，泰勒公式在高考中的应用非常广泛。

泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用莲塘一中李树森高中数学中函数导数部分占据了重要的位置 , 高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现 . 如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通 , 本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题.如果函数f ( x) 在定义域 I 上有定义 , 且有 n 1阶导数存在 , x, x 0 I , 则 f (x) f( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 )2 ... f (n ) ( x 0 ) ( x x 0 )n R n 1 ,1! 2! n! 其中 R 1 f( n1) ( )( x x )n 1, 其中介于 x 和 x 0 间 . 上式即为函数 f ( x) 在x 0 点处的泰勒展开式 .[1] n ( n 1)! 0令 f(x)ln( x 1) , x 0 0 , 有 ln( x 1) x x 2 x 3... ( 1)n 1 x n R n 1 . x 2 2 3 n上式可以进行放缩, 比较 ln( x 1) 和 x 、 x 的大小 , 2 可以得到不等式：x x 2ln( x 1) x , ( x0) .（ *）2下面证明该不等式 .证明：设 h( x) x x 2 ln( x 1), h( x) 1 x 1x 2 ) 单调递 2 x 1 x 0,( x 0) , 则 h( x) 在[0,x 21减 , h( x) h(0) ln( x1) , 当 x 0 时取等号 . 0 , 即有x 2 1 x设 f (x)ln( x 1) x , f ( x) 1 0,( x 0) , 则 f (x) 在 [0, ) 单调递减 , x 1x 1f ( x) f (0) 0 , 即有 ln( x 1) x , 当x 0 时取等号 . 综上所述 , 有不等式： x x 21) x , ( x 0) , 当x 0 时取等号 . ln( x 2如图所示：例题展示考题 1 （ 2015 年福建卷理科 20 题）已知函数 f ( x) ln(1 x),g(x) kx,( k R)（ 1）证明：当x 0 时 , f( x) x ；（ 2）证明：当k 1 时 , 存在x00 , 使得对任意的x(0, x0 ) , 恒有 f( x)g ( x) ；（ 3）确定 k 的所有可能取值 , 使得存在 t 0 , 对任意的x(0, t) , 恒有 f (x)g( x) x 2.解析：（ 1）在对（ * ）式的证明过程中已经体现 .（ 2）设 h(x) ln(1 x) kx , h (x)1k x 1当 k 0 时 , h (x) 0, 则 h( x) 在(0, ) 单调递增即 f(x) g(x) , 此时 x0可以取任意正实数 .当 0 k 1时 ,令 h ( x)0 , 解得k (x 1k )k.x 1, 则有 h( x) h(0) 0 ,有x 1 1, 0 k 1, 1 10 k1k取 x0则有对任意的 x (0, x0 ) , 有1 ,kf (x) g( x) .分析：第（ 2）问的结论可以从图2中解释 .（3） ln(1 x) kx x2可化为kx x2ln(1 x) kx x2 , 此不等式要求在某个区间(0, t) 成立即可 ,而不等式 x x20 时恒成立 .ln( x 1) x 在x2kx x2x x2, 其中x,因此可以得到 2kx x2xk x 1, 即有k 1因此有 k 1 .化简,得 2k,k x 11考题2 （ 2015 年山东卷理科21题）设函数 f( x)ln( x 1) a( x2x), 其中 a R .（ 1）讨论函数 f ( x) 的极值点的个数 , 并说明理由；（ 2）若x 0, f (x) 0 成立 , 求 a 的取值范围 .第（ 1）问利用导数求函数的极值, 需要对 a 进行讨论 , 这里不再赘述 .（ 2）由 f ( x) 0, 得a( x2x) ln( x 1) ,利用不等式ln( x 1) x , 有a( x2x)ln(x1) x ,对上式进行适当放缩, 即利用a(x2x) x 求 a 的取值范围 .当 x (0,1)时 , a xx1 ,由于h( x) 1在 (0,1) 上单调递增 ,有 a h(0) 1；x2x 1 x 1当 x 1 时 , 有 a0 1 , 此时 a R ；当 x (1, ) 时 , a 2 x 1 , h( x)1 在(1, )上单调递增 , 有 a lim 1 0 . x x x 1 x 1 x x 1综上所述 , x 0 , 要使 f (x)0 恒成立 , a 的取值范围 . 是[0,1] 考题 1 的第（ 3）问 , 考题 2 的第（ 2）问都是恒成立问题 , 求参数的取值范围 . 本文这两问的做法 , 都是先对不等式适当放缩后进行求解 , 这在平时求解参数范围时是不常见的. 之所以这两个题能够利用上述想法进行求解 , 是因为泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数 f ( x) 近似表示为一个多项式函数 , 是一种函数逼近的思想. 该多项式函数与函数 f ( x) 之间的误差是非常小的 . 本文出现的不等式（ * ）式中的 x 与 x 2分别是泰勒展开式的第一项和前两项 . 这两个函数与函数y ln x 1 之间的相差是比较多的，但 x2是在原点附近的较小区间内这两个函数与函数 y ln x 1 误差是很小的 . 因此本文是利用了这一点，对x 2. 通过放缩将 ln x 1 转化成 x 或者 x 这种多项式函数形式，利用多项式函数求参 2数范围是相对简单的 .应用举例1 （ 2014 年陕西卷理科21 题）设函数 f ( x) ln(1 x), g( x) x f ( x), x 0 . 其中 f ( x) 是 f ( x) 的导函数 . （ 1）令 g 1( x) g (x), g n 1 ( x) g (g n ( x)),n N , 求 g n ( x) 的表达式；（）若 f (x) ag( x) 恒成立 , 求实数 a 的取值范围； 2（ 3）设 n N , 比较 g(1) g(2) ... g( n) 与 n f ( n) 的大小关系 , 并加以证明 .分析：第（ 2）问需ln( x1) ax , x 0恒成立 , x 1应用不等式 ln( x 1) x , 有xln( x 1) ax , x 0 , ax x 1 对上式进行放缩 , 利用x, x 0 求 a 的取值范围 . x 1当 x 0 时 , 上式化简为0 a 0 , 此时 a R ；当 x 0 时 , 上式化简为 1 a x 1, 则有 a 1 ；x , 即 a1综上所述 , 有 a 的取值范围是 (,1] . 2 （ 2013 年全国大纲卷理科 22 题）已知函数 f ( x)ln(1 x) x(1 x) .（ 1）若 x 0 时 f ( x) 0 1 x,求的最小值；（ 2）设数列a n 的通项 a n 1 11 ... 1 , 证明： a 2n a n 1 ln 2 . 2 3 x(1 n x) 4n分析：第（ 1）问需要 f( x) ln(1 x) 0 时恒成立 , 1 0 在 xx利用不等式 x x 2ln( x 1) , 有 x x 2ln( x1) x(1 x) , 该不等式在x 0 时取等号对上式进行x 2 221 x放缩 , 利用xx(1 x), x 0求的最小值 .2 1 x当 x 0 时 , 上式化简为 0, 此时 R ；当 x 0 时 , 上式化简为 1x , 则有1 ； 22 综上所述 , 当 x 0 时 , 若 f ( x) 0 ,则[ 1) , 其最小值为1 .,2 2。

泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用(高阶拓展、竞赛适用)(学生版) 25年高考数学一轮复习学案

第13讲泰勒展开式及相关不等式放缩在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题不定，难度较大，分值为5分【备考策略】1能理解泰勒公式的本质2能运用泰勒公式求解【命题预测】泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终．泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ，去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数，所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓．泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了．但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用．运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想．在高中阶段，会基本运用即可知识讲解1．（2023·辽宁·二模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式234e 12!3!4!!nxx x x x x n =+++++++L L()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n -+=-+-++-+-L L由此可以判断下列各式正确的是（）．A ．i e cos isin x x x =+（i 是虚数单位）B ．i e x i =-（i 是虚数单位）C ．()()2ln 221ln 202x x x x ³++³D ．()()24cos 10,1224x x x x £-+Î2．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在高等数学中，我们将()y f x =在0x x =处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：()()()()()()()()()200000002!!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n ¢¢=+¢-+-+×××+-+×××（其中()()n f x 表示()f x 的n 次导数），以上公式我们称为函数()f x 在0x x =处的泰勒展开式.(1)分别求e x ，sin x ，cos x 在0x =处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：i e 10p +=.（其中i 为虚数单位）；(3)若30,2x æö"Îç÷èø，sin e 1a x x >+恒成立，求a 的范围.（参考数据5ln 0.92»）1．（2023·辽宁丹东·一模）计算器计算e x ，ln x ，sin x ，cos x 等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(),a b 内可以多次进行求导数运算，则当(),x a b Î，且0x x ¹时，有()()()()()()()()()02300000000''''''0!1!2!3!f x f x f x f x f x x x x x x x x x =-+-+-+-+L ．其中()'f x 是()f x 的导数，()''f x 是()'f x 的导数，()'''f x 是()''f x 的导数……．取00x =，则sin x 的“泰勒展开式”中第三个非零项为，sin1精确到0.01的近似值为．2．（23-24高二下·山西长治·期末）对于函数()f x ，规定()()f x f x ¢=¢éùëû，()()()2f x f x ¢¢éù=ëû，…，()()()()1n n f x f x ¢-éù=ëû，()()n f x 叫做函数()f x 的n 阶导数．若函数()f x 在包含0x 的某个闭区间[],a b 上具有n 阶导数，且在开区间(),a b 上具有()1n +阶导数，则对闭区间[],a b 上任意一点x ，()()()()000f x f x f x x x ¢=+-+()()()()()()()()2200002!!n nn f x f x x x x x R x n -++-+L ，该公式称为函数()f x 在0x x =处的n 阶泰勒展开式，()()n R x 是此泰勒展开式的n 阶余项．已知函数()()ln 1f x x =+．(1)写出函数()f x 在1x =处的3阶泰勒展开式（()()n R x 用()()3R x 表示即可）；(2)设函数()f x 在0x =处的3阶余项为()g x ，求证：对任意的()1,1x Î-，()0g x £；(3)求证：()27*222311111111e N 2222nn æöæöæöæö++++<Îç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．1．（2022年新Ⅰ卷高考真题第7题）设0.10.1e a =，19b =，ln 0.9c =-则（）A ．cb a <>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．a c b>>3．（2021·全国·统考高考真题）设2ln1.01a =，ln1.02b =，1c =-．则（）A ．a b c<<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．c<a<b1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知134e 3a =，2e eb =，则（）A ．2a b <>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a c b>>4．（2023高三·全国·专题练习）已知453ln 4a =+，15b =-，43ln 54c =+，则（）A ．c a b>>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>5．（2024·陕西商洛·模拟预测）设13sin0.2,0.16,ln 22a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．c a b>>1．（2024·辽宁·一模）设123322e 1e 3a b c -==-=-，，则（）A ．a b c <>B ．a c b >>C ．c b a>>D ．c a b>>3．（2024·山西·二模）设202310121011a æö=ç÷èø，202510131012b æö=ç÷èø，则下列关系正确的是（）A ．2e a b<<B ．2e b a <<C ．2e a b <<D ．2e b a <<4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b5．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）若ln 4a =，32b =，33sin tan 44c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b <<D ．c<a<b6．（2023·全国·模拟预测）已知4ln 3a =，83b =，1sin 3c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b a c <<D ．b c a<<7．（2024·全国·模拟预测）已知20222023e a -=，ln2024ln2023b =-，1sin 2023c =，则（）A ．c<a<bB ．a c b<<C ．c b a <<D ．b c a<<8．（2024·全国·模拟预测）已知π10e a =，9π1sin 10b =+，61.1c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b >>D ．c b a>>9．（2024·湖南邵阳·一模）设e56a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c<<D ．c<a<b10．（23-24高三上·安徽·期末）已知61log 4=a ，41log 3b =，()1e 1e c =+，则（）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．b a c<<D ．a c b<<11．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设ln 2a =，b =c =，则（）A ．c b a <>B ．a b c>>C ．a c b>>D ．c b a>>14．（23-24高三下·安徽·阶段练习）设ln1.01a =，1101b =，tan 0.01c =，则（）A ．a b c<>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．a c b>>16．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知()616,ln ,log 71ln555a b c ===-，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>17．（2024·辽宁沈阳·一模）已知πππ3642e ,e ,m n p -===，则（）A ．n m p >>B ．m p n >>C ．p n m>>D ．m n p>>1．2．3．4．18．（2024·全国·模拟预测）下列正确结论的个数为（）①13sin1010π> ②141sin sin 334< ③16tan 16> ④()tan π3sin 3->A ．1B ．2C ．3D ．419．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知函数()ln(1)f x x x =+-.(1)求()f x 的单调区间；(2)试证明11111ln(1)234n n+++++>+L ，*N n Î.20．（21-22高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：()*1ln2ln3ln4ln (N ,1)34514n n n n n n -+++×××+<Î>+.。

泰勒公式(Taylor'stheorem)在高考中的应用之终极版

摘要（Abstract）：对历年以来高考数学导数题（主要是全国卷，因为笔者今年高考考全国卷）进行了研究，进行了导数题题设题背景的调查，发现大多导数题题设背景是由泰勒（Taylor）展开式（实则为麦克劳林（Maclaurin）展开式，由于笔者很喜欢霉霉，故称之为泰勒）进行变形、赋值、换元、放缩、累加、累乘等变换的方法衍生出来的。

关键词（Key words）:•泰勒展开式•放缩引言（Introduction）：高等数学中，e^{某} 的幂级数展开式是像霉霉一样特别优美。

具体表现为通过泰勒展开式能将一些较为复杂的函数e^{某} ,\ln(1+某)用较为简单的函数1+某,某-\frac{某^{2}}{2} （二阶展开式）表示之。

这颇有一番以直代曲的韵味。

上图为f(某)=e^{某} (yellow )和它在某=0处的线性逼近P_{1}=1+某（blue ），通俗来说就是f(某)=e^{某} 在某=0处的切线方程为P_{1}=1+某。

由上图可直观感知到一个重要的不等关系：e^{某}\geq 1+某 (某\in R)，可以毫不夸张的说，高考导数涉及到的以泰勒展开式为题设背景的题都是以这个重要不等式变换而来的。

例如：•15年福建卷理20题•14年全国卷新课标I理21题•14年全国卷新课标III理22题•13年全国卷新课标II理21题•13年辽宁卷理21题•12年辽宁卷理21题•11年全国卷新课标II文导数题•10年全国大纲卷22题•07年辽宁卷理22题•06年全国卷II22题可见，以泰勒展开式为背景命制的导数题的地位在高考压轴题中还是较高的。

当然，有关试题并一一例举完，读者可以把自己做过的有关试题的出题处在评论区向大家分享。

在未了解泰勒展开式之前，解决相关导数题时往往采用不等式和导数为工具，进行逻辑推理来解决问题。

正所谓：“会当凌绝顶，一览众山小”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么很难轻松地看透问题的本质。

泰勒公式在高考数学命题中的地位

40指习学导。

，就应当把它传给别人人接受了太阳的光和热勒公式在高考命题中的地位（上）泰ｎ（１＋ｘ）＞l 证欲∴ｘ２＋２ｘｎ（１＋ｘ）＞l ∵（２）分析：２；≤ａ≤：（１）由例１已求得：０解．１－ｘｅ２ｘｎ（１＋ｘ）＞l （２）证明：ｘ＞０时，（１）求ａ的取值范围；立，于ｘ＞０恒成对ｘａ＋ａｘｎ（１＋ｘ）＞l 已知：变式１：等形式转化．技巧进行整形，从而完成超越形式的问题向初这个结论有很好的应用，可以通过放缩的０时恒成立．≥ｘ对ｘ２＋２ｘ≥ｎ（１＋ｘ）l 时，２．特别的，当ａ＝２≤ａ≤舍去．综上所述，０２ａ）上有ｆ＇（ｘ）＜０，得ｆ（ｘ）＜ｆ（０）＝０不合题意，－２ａ即ａ＜０或ａ＞２时，在区间（０，＜０２（２）当２ａ－ａ符合题意；０≥２时，ｆ＇（ｘ）≤ａ≤即００≥２１）当２ａ－ａ（，２ｘ＋１）（ｘ＋ａ）（）２（ｘ＋２ａ－ａｘ＝２ａ＋ｘ）（２ａ－ｘ１＋１而ｆ＇（ｘ）＝０，≥０成立的一个充分条件是：ｆ＇（ｘ）≥ｆ（ｘ）∴（０）＝０，ｆ∵，ｘａ＋ａｘｎ（１＋ｘ）－l 解：令ｆ（ｘ）＝成立，求ａ的取值范围．恒ｘａ＋ｘａ＝ａｘ１＋ｘ≥ｎ（１＋ｘ）l ０时，≥例１．当ｘ是，我们提出这样的问题：于，２ｘ＋１ｘ＝ｘ２＋２ｘｎ（１＋ｘ）＞l 申：ｘ＞０时，引．ｔ１＋ｔ１）＝－ｔ１＋１（１＋ｔ）＞－（ｎl １，故－ｔ１＋１１＋ｔ，则ｘ＝＝ｘ１＋１ｘ，令＞－ｘ１＋１ｎl ｎ（１＋ｘ）＞－ｘ，即l ｎ（１＋ｘ）＜ｘ得－l 下它的原型：由以下我们从模型演变的角度找一，ｘ１＋ｘ（１＋ｘ）＞ｎl 可知：ｆ（ｘ）＞ｆ（０）＝０，即＞０２１＋ｘ）（ｘ＝２１＋ｘ）（１－ｘ１＋１由ｆ＇（ｘ）＝，ｘ１＋ｘｎ（１＋ｘ）－l 令ｆ（ｘ）＝析与证明：分．ｘ１＋ｘｎ（１＋ｘ）＞l （一）证明：当ｘ＞０时，泰勒展开式变型、二．”泰勒不等式“为为叙述方便，在本篇对以上四个不等式称成立．０恒≥于ｘ对４２４ｘ＋２２ｘ１－≤ｘｃｏｓ≤２２ｘ（４）１－０恒成立．≥ｘ对于ｘ≤ｉｎｘｓ≤６３ｘ（３）ｘ－０恒成立．≥ｘ对于ｘ≤（１＋ｘ）ｎl ≤２２ｘ（２）ｘ－０恒成立．≥于ｘ对２２ｘ＋ｘ＋１≥ｘ（１）ｅ数的常见不等式：中截取片断，就构成了初等数学考查导从…－！４４ｘ＋！２２ｘ４）ｃｏｓｘ＝１－（…－！５５ｘ＋！３３ｘ３）ｓｉｎｘ＝ｘ－（…＋６３ｘ＋２２ｘｎ（１＋ｘ）＝ｘ－l ２）（…＋２２ｘ１＋ｘ＋＝ｘ（１）ｅ的展示如下：几个常见。

泰勒展开公式在高中的应用

泰勒展开公式在高中的应用1.近似计算：泰勒展开公式可以用来近似计算函数在其中一点的值。

对于一些比较复杂的函数，直接计算可能会比较困难，这时可以利用泰勒展开公式将函数在其中一点附近进行展开，然后用展开式进行计算，从而得到近似值。

近似计算在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

2.函数的性质研究：对于一些函数，我们希望研究它在其中一点的性质，比如函数的增减性、凸凹性等。

利用泰勒展开公式，我们可以将函数在该点附近进行展开，然后通过展开式的符号规律来研究函数的性质。

这种方法在高中数学的解析几何和微积分中有着广泛的应用。

3.极限计算：在高中数学中，我们经常需要计算各种极限。

有时候，直接计算极限会比较困难，这时可以利用泰勒展开公式将被计算函数在其中一点的附近进行展开，然后通过展开式来计算极限。

这种方法对于一些特殊的函数和复杂的极限计算非常有效。

4.解微分方程：微分方程是高中数学中一个重要的内容。

解微分方程通常需要利用一些数学方法。

泰勒展开公式可以用来求解一些特殊形式的微分方程。

通过将微分方程中的函数进行泰勒展开，可以将微分方程转化为对展开系数的求解，从而得到函数的近似解。

5.函数图像的绘制：在高中数学中，我们常常需要绘制各种函数的图像。

有时候，给定一个函数的解析式，却很难准确绘制其图像。

这时可以利用泰勒展开公式，将函数在其中一点附近进行展开，然后将展开式的图像作为近似图像。

通过将展开系数调整到合适的范围，可以得到足够精确的函数图像。

综上所述，泰勒展开公式在高中数学中有着广泛的应用。

它可以用于近似计算、函数的性质研究、极限计算、微分方程的解和函数图像的绘制等方面，为高中阶段的数学学习提供了有力的工具。

高考数学冲刺指南泰勒公式的展开与应用

高考数学冲刺指南泰勒公式的展开与应用高考数学冲刺指南：泰勒公式的展开与应用在高考数学的冲刺阶段，掌握泰勒公式的展开与应用对于提高成绩、拓展解题思路具有重要意义。

泰勒公式是高等数学中的一个重要工具，但在高考中，通常会以较为基础和简化的形式出现。

接下来，让我们一起深入了解泰勒公式的奥秘。

一、泰勒公式的基本概念泰勒公式是用一个多项式来近似表示一个函数。

简单来说，如果我们有一个函数 f(x)，在某个点 x ＝ a 附近，我们可以用一个多项式 P(x)来近似它，这个多项式就是泰勒展开式。

对于一个 n 次可导的函数 f(x)，在 x ＝ a 处的泰勒展开式为：f(x) ＝ f(a) ＋ f'（a)（x a) ＋ f'＇（a)／2!（x a)²＋ f'＇＇（a)／3!（x a)³＋＋fⁿ(a)／n!（x a)ⁿ ＋ Rₙ(x)其中，f'（a)、f'＇（a)、f'＇＇（a)等分别表示函数 f(x)在 x ＝ a 处的一阶导数、二阶导数、三阶导数……，n! 表示 n 的阶乘，Rₙ(x) 是余项，表示用多项式近似函数时产生的误差。

二、常见函数的泰勒展开1、指数函数 e^xe^x ＝ 1 ＋ x ＋ x²/2! ＋ x³/3! ＋ x⁴/4! ＋2、正弦函数 sin xsin x ＝ x x³/3! ＋ x⁵/5! x⁷/7! ＋3、余弦函数 cos xcos x ＝ 1 x²/2! ＋ x⁴/4! x⁶/6! ＋这些常见函数的泰勒展开式在解题中经常会用到，需要同学们牢记。

三、泰勒公式在高考中的应用1、函数的近似计算在某些题目中，可能需要对复杂函数进行近似计算，这时泰勒公式就派上用场了。

例如，计算 e^01 时，可以使用 e^x 的泰勒展开式，取前几项进行计算，就能得到较为精确的近似值。

2、证明不等式通过泰勒展开，可以将复杂的函数转化为多项式形式，从而更容易进行不等式的证明。

泰勒展开公式在高中的应用

泰勒展开公式在高中的应用第一个例子是函数逼近。

在高中数学中，我们经常需要用多项式函数来近似一些函数，比如三角函数、指数函数等等。

泰勒展开公式就可以帮助我们实现这个目标。

以正弦函数为例，我们知道在0附近，正弦函数可以用泰勒展开公式表示为：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...这个展开式无论在任何点附近都成立，所以我们可以用这个展开式来逼近正弦函数。

同理，其他的函数也可以用类似的方法来逼近。

第二个例子是计算极限。

在高中数学中，我们经常需要计算一些极限，比如求一个函数在其中一点的导数。

泰勒展开公式可以帮助我们将一个函数在这个点附近展开成多项式，从而可以更容易地计算出极限。

比如，如果我们要计算函数f(x)在x=a点的导数，那么我们可以使用泰勒展开公式将f(x)展开成一个多项式，然后求这个多项式在x=a点的导数，就等于求f(x)在x=a点的导数。

这样，我们就可以通过计算多项式的导数来得到原函数的导数。

第三个例子是求函数的近似值。

在高中数学中，我们经常需要求解一些复杂的方程，比如三角函数方程、指数函数方程等等。

有时候，这些方程的精确解并不容易得到，所以我们需要使用近似值来进行计算。

泰勒展开公式可以帮助我们将一个函数在其中一点附近展开成多项式，从而可以近似地求解这个方程，或者计算这个函数的值。

比如，我们可以使用泰勒展开公式来近似计算π的值，将sin(x)展开成一个多项式，然后将x取为π/6，就可以得到π的一个近似值。

除了上述例子，泰勒展开公式还有很多其他的应用。

比如，在物理学中，我们需要用多项式函数来近似描述一些物理过程，比如振动、辐射等等。

泰勒展开公式可以帮助我们实现这个目标。

在工程学中，我们经常需要用多项式函数来逼近一些复杂函数，比如电路中的电流、电压等等。

泰勒展开公式可以帮助我们实现这个目标。

总之，泰勒展开公式在高中数学中有着重要的应用。

它可以帮助我们近似描述函数、计算极限、求解方程、计算函数的近似值等等。

泰勒公式在高考中的应用之终极版

泰勒公式在高考中的应用之终极版泰勒公式是一个基本的数学工具，在高考数学考试中经常被使用。

它是由英国数学家布鲁克·泰勒在18世纪所发现和证明的。

泰勒公式可以将一个函数近似地表示为多项式的形式，从而方便进行计算和推导。

在高考中，泰勒公式可以用来求解一些复杂的数学问题，如函数的极限、导数、等等。

下面将介绍一些泰勒公式在高考中的应用。

首先，泰勒公式可以用来求解函数的极限。

在高考的数学竞赛中，常常会涉及到求解一些复杂函数的极限问题。

泰勒公式给出了一种求解这类问题的方法。

通过将函数在其中一点展开成多项式的形式，我们可以用多项式逼近原函数，并简化求解。

其次，泰勒公式可以用来推导函数的导数。

在高考的微积分考试中，导数是一个非常重要的概念。

泰勒公式可以用来推导函数的导数，从而帮助我们简化计算。

通过泰勒公式，我们可以将函数在其中一点的导数表示为多项式的形式，从而得到导数的表达式，进一步进行求解。

另外，泰勒公式还可以用来求解函数的泰勒级数。

在高考的数学竞赛中，经常会涉到求解一些复杂函数的泰勒级数问题。

泰勒级数是一种将函数展开成无穷级数的表示方法，可以方便进行计算和推导。

通过泰勒公式，我们可以得到函数在其中一点的泰勒级数表达式，从而进一步求解函数的性质和行为。

最后，泰勒公式还可以用来求解函数的逼近问题。

在高考的数学竞赛中，常常会涉及到求解一些复杂函数的逼近问题。

泰勒公式可以将一个函数近似地表示为多项式的形式，从而进行求解。

通过泰勒公式，我们可以用多项式逼近原函数，从而得到对原函数的近似解，进一步进行计算和推导。

综上所述，泰勒公式在高考中具有广泛的应用。

它可以用来求解函数的极限、推导函数的导数、求解函数的泰勒级数以及进行函数的逼近等。

在高考中，熟练掌握泰勒公式的应用，可以帮助我们更好地理解数学问题和解决数学问题，提高数学能力。

因此，学生们应该认真学习和掌握泰勒公式的理论知识和实际应用，以便在高考中取得更好的成绩。

泰勒公式在高考命题中的地位

泰勒公式在高考命题中的地位泰勒公式是描述周期性现象的数学公式，在高考命题中具有重要的地位。

它不仅在数学考试中作为知识点出现，还经常在物理、化学等其他学科中应用。

泰勒公式的引入，为解决周期性问题提供了一种有效的数学工具，使得相关的高考试题更加丰富和复杂。

首先，泰勒公式在高考的数学部分中被广泛地应用。

在数学考试中，泰勒公式通常是在学习了函数的极限、导数和积分等知识之后出现的。

考生需要了解泰勒公式的推导过程，并能够熟练地应用它来解决相关的实际问题。

泰勒公式不仅能够近似地表示一个函数，还能够用于求解函数在其中一点的值、极值和拐点等重要性质。

因此，熟练掌握泰勒公式对于学生在高考中取得高分起到了至关重要的作用。

其次，泰勒公式在高考的物理试题中也占有重要地位。

在物理学中，许多周期性现象都可以用正弦或余弦函数进行描述。

由于泰勒公式是对一个函数在其中一点附近的近似表达，因此，可以利用泰勒公式将周期性函数进行展开，以简化计算和推导过程。

例如，在谐振系统中，振动的位移随时间的变化遵循简谐振动的规律，这可以用正弦函数来表示。

在求解振动的一些特定性质时，可以利用泰勒公式将正弦函数进行展开，从而得到更加简单的表达式。

因此，泰勒公式的掌握对于解决物理学中的周期性问题是非常有帮助的。

此外，泰勒公式在高考的化学试题中也常常出现。

在化学中，许多反应速率和化学平衡的问题可以用反应动力学和化学热力学进行描述。

很多化学反应都具有周期性现象，例如在放烟花时，爆炸的光和声都有明显的周期性。

对于这类问题，可以利用泰勒公式对周期性函数进行近似展开，从而求解相应的问题。

另外，在化学平衡问题中，也可以利用泰勒公式对一些函数进行展开，从而得到更简化的求解过程。

总的来说，泰勒公式在高考命题中的地位是非常重要的。

它不仅体现在数学考试中作为一个知识点的出现，还贯穿于物理和化学等其他学科的考题中。

熟练掌握泰勒公式可以帮助考生解决各类周期性问题，提高解题的效率和准确性。

高考数学比大小泰勒公式

高考数学比大小泰勒公式高考数学中比大小题型常用的方法是利用泰勒公式进行近似求解。

泰勒公式是数学中用来近似计算函数值的一种方法，通过利用函数在其中一点附近的导数信息，可以用较低次数的多项式来逼近函数的真实取值。

下面将从定义、公式和应用三个方面详细介绍泰勒公式在高考数学中的比大小题型中的应用。

首先我们来看泰勒公式的定义。

给定一个函数f(x)，如果函数在x=a附近的一些区间上有无穷多阶导数，则对于该函数在x=a附近的任意点x，可以用以下形式的多项式近似表示：f(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^{2}+\frac{f^{\prime \prime\prime}(a)}{3 !}(x-a)^{3}\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数，f^{\prime\prime}(a)表示函数在点a处的二阶导数，f^{\prime \prime \prime}(a)表示函数在点a处的三阶导数，以此类推。

在高考数学中，会利用泰勒公式中的前几项来进行函数值的近似计算。

常用的近似形式有以下两种：1.二阶泰勒公式：对于一个二次可导函数f(x)，在点x=a附近的其中一区间上，可以用以下形式的二次多项式近似表示：f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2}(x-a)^{2}\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数，f^{\prime\prime}(a)表示函数在点a处的二阶导数。

2.一阶泰勒公式：对于一个一次可导函数f(x)，在点x=a附近的其中一区间上，可以用以下形式的一次多项式近似表示：f(x) \approx f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)\]其中，f^{\prime}(a)表示函数在点a处的一阶导数。

利用指数函数的泰勒展开解高考题恒成立问题

利用指数函数的泰勒展开解高考题恒成立问题在高中数学中，我们学习了指数函数的泰勒展开式，这也是一种重要的数学工具。

然而，在解决一些高考题目时，我们也会遇到类似于“对于所有的实数x，f(x)=g(x)”这类恒成立问题。

那么，如何利用指数函数的泰勒展开式来解决这类问题呢？首先，我们需要了解指数函数的泰勒展开式。

指数函数的泰勒展开式为：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...其中，e为自然对数的底数，x为自变量。

接下来，我们以一道高考题为例，来看看如何利用指数函数的泰勒展开式来解决恒成立问题。

“已知函数f(x)=e^x-1-x，则对于任意实数x，有f(x)+f(-x)=0。

请问f(x)是否单调递增？”首先，我们将f(x)+f(-x)写出来：f(x)+f(-x)=e^x-1-x+e^(-x)-1+x= e^x+e^(-x)-2接下来，我们可以利用指数函数的泰勒展开式，将e^x和e^(-x)分别展开，得到：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...e^(-x)=1-x+x^2/2!-x^3/3!+...将两式相加，得到：e^x+e^(-x)=2+2x^2/2!+2x^4/4!+...将其代入f(x)+f(-x)中，得到：f(x)+f(-x)=2x+x^3/3!+x^5/5!+...由于这个式子是一个奇函数，即f(x)+f(-x)是一个关于原点对称的函数，因此我们可以只考虑x>0的情况。

对于x>0，f(x)+f(-x)>0，因此当f(x)>0时，f(-x)<0，即f(x)单调递增；当f(x)<0时，f(-x)>0，即f(x)单调递减。

综上所述，我们可以利用指数函数的泰勒展开式，解决一些恒成立问题，并得出函数的单调性等性质。

高考数学冲刺泰勒公式考点精讲

高考数学冲刺泰勒公式考点精讲在高考数学的冲刺阶段，泰勒公式作为一个重要的考点，常常让许多同学感到困惑和棘手。

但其实，只要我们掌握了它的本质和应用方法，泰勒公式就能成为我们在考场上的得力工具。

一、什么是泰勒公式泰勒公式是用一个多项式来近似表示一个函数。

简单来说，就是把一个复杂的函数在某个点附近展开成一系列幂函数的和。

假设函数 f(x) 在点 x ＝ a 处具有 n 阶导数，那么就有泰勒公式：f(x) ＝ f(a) ＋ f'（a)（x a) ＋ f'＇（a)／2!（x a)＾2 ＋ f'＇＇（a)／3!（x a)＾3 ＋＋ f^（n)（a)／n!（x a)＾n ＋ Rn(x)其中，Rn(x) 被称为余项。

二、泰勒公式的重要性1、简化计算在某些复杂的函数计算中，直接计算可能非常困难，但通过泰勒公式将其展开成多项式后，计算就会变得简单许多。

2、近似求解可以用泰勒公式的多项式来近似地表示原函数，在一定精度要求下进行求解。

3、分析函数性质通过研究泰勒公式的展开式，我们能更深入地了解函数的性质，比如单调性、凹凸性等。

三、常见函数的泰勒展开式1、 e^x 的泰勒展开式e^x ＝ 1 ＋ x ＋ x^2/2! ＋ x^3/3! ＋＋ x^n/n! ＋2、 sin x 的泰勒展开式sin x ＝ x x^3/3! ＋ x^5/5! x^7/7! ＋3、 cos x 的泰勒展开式cos x ＝ 1 x^2/2! ＋ x^4/4! x^6/6! ＋4、 ln(1 ＋ x) 的泰勒展开式ln(1 ＋ x) ＝ x x^2/2 ＋ x^3/3 x^4/4 ＋这些常见函数的泰勒展开式在解题中经常会用到，同学们一定要牢记。

四、泰勒公式在高考中的应用1、求函数的近似值例如，给定一个函数 f(x)，要求在某点附近的近似值。

我们可以先将其展开成泰勒公式，然后根据精度要求截取前面的几项进行计算。

2、证明不等式通过将函数展开成泰勒公式，结合不等式的性质进行证明。

泰勒公式在高考数学中的应用探索

ｘ
４
４
４
ｇ( ｘ) ＝１－
ｈ(ｘ) ＝
在使用泰勒展开式时需要注意函数是否存在任
＋ ] ＝１－
意阶导数ꎬ还需要注意泰勒级数的收敛区间. 基于①
易得ｆ(
－ ⑥式ꎬ可以通过变量代换、四则运算或逐项求导、
逐项求积等方法ꎬ间接地求得其他函数的幂级数展
开形式. 如:
１
＝１＋ｘ２＋ｘ４＋＋
( ｘ－ｘ０ ) ＋
１!
２!
ｆ ( ｎ ) ( ｘ０ )
( ｘ－ｘ０ ) ｎ＋Ｒｎ ( ｘ－ｘ０ ) ｎ . ( ａ)
ｎ!
这里Ｒｎ ( ｘ－ｘ０ ) ｎ为拉格朗日余项. 如果在( ａ)
式中去掉Ｒｎ ( ｘ－ｘ０ ) ｎ ꎬ那么在ｘ０附近ｆ( ｘ) 可用( ａ)
[１] 华东师范大学数学系. 数学分析下册( 第三版)
分析由(１) 问联想到函数ｓｉｎｘ在ｘ＝０处的
[ 责任编辑:李璟]
＝０是ｆ( ｘ) 的极大值点ꎬ求ａ的取值范围.
— ３８ —
[ Ｍ] . 北京:高等教育出版社ꎬ２００６.
凸性ꎬ证明ｆ ′ ( ０ ) ＝０ꎬｆ " ( ０ ) < ０.
解析若利用泰勒公式将ｆ ( ｘ) 在ｘ＝０处展
开ꎬ则函数的一阶、二阶导函数性质清晰明了. 由泰
勒公式得ｆ ( ｘ ) ＝ [１－

( ａｘ )２ ( ａｘ )４
＋
＋＋ ( －１) ｎ
２!
４!
( ａｘ ) ２ｎ
ｘ
ｘ
＋＋
＋ ꎬ － ∞ < ｘ < ∞ ꎻ

泰勒公式解高考题

泰勒公式解高考题泰勒公式是高等数学中的一个重要概念，它可以将某些函数在一点附近进行近似求解。

在高考中，泰勒公式也是一个重要的考点，经常会涉及到求某个函数在某个点处的近似值或导数值等问题。

下面我们来看几个例题：1. 求$f(x)=sqrt{x}$在$x=4$处的二阶泰勒展开式。

解：首先求出$f(x)$在$x=4$处的一阶导数和二阶导数：$f'(x)=frac{1}{2sqrt{x}}$$f''(x)=-frac{1}{4xsqrt{x}}$然后带入泰勒公式的公式：$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+R_2(x)$ 得到：$f(x)=sqrt{4}+frac{1}{2sqrt{4}}(x-4)-frac{1}{2}cdotfrac{1}{ 4cdot4sqrt{4}}(x-4)^2+R_2(x)$化简后得到：$f(x)=1+frac{1}{4}(x-4)-frac{1}{32}(x-4)^2+R_2(x)$ 其中$R_2(x)$是余项，可以用拉格朗日余项公式计算。

2. 已知$f(x)=ln x$，求$f''(e)$的值。

解：由于$f(x)=ln x$在$x=e$处具有二阶连续导数，因此可以直接使用泰勒公式：$f(x)=f(e)+f'(e)(x-e)+frac{f''(e)}{2!}(x-e)^2+R_2(x)$化简得到：$f(x)=1+(x-e)-frac{1}{2}(x-e)^2+R_2(x)$由于$f(x)=ln x$，因此可以求出$f'(x)=frac{1}{x}$和$f''(x)=-frac{1}{x^2}$。

带入上式得到：$ln x=1+(x-e)-frac{1}{2}(x-e)^2+R_2(x)$$f''(e)=-frac{1}{e^2}=-frac{1}{e^2}cdotfrac{(e-e)^2}{2!}=-f rac{1}{2e^2}$因此$f''(e)$的值为$-frac{1}{2e^2}$。

利用指数函数的泰勒展开解高考题恒成立问题

利用指数函数的泰勒展开解高考题恒成立问题题目要求利用指数函数的泰勒展开解决高考题恒成立的问题。

本篇文章将分为以下几个部分进行解答：1.指数函数的泰勒展开2.高考题背景和问题分析3.利用指数函数的泰勒展开解决高考题4.结论1.指数函数的泰勒展开指数函数的泰勒展开公式如下：\[e^x = \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x^n}{n!}\]其中，$e$ 是自然对数的底数，也是一个常数，$x$ 是自变量，$\sum$ 表示对从 0 到无穷大的所有整数 $n$ 进行求和，$x^n$ 是 $x$ 的 $n$ 次方，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘。

该泰勒展开公式可以用于近似计算指数函数在一些点的值。

当$x$的绝对值较小时，只需取前几项进行计算就可以得到较高的精度。

2.高考题背景和问题分析假设一些高考题给出了一个函数$f(x)$，要求证明对于所有实数$x$都有$f(x)=g(x)$成立，其中$g(x)$是一个指数函数。

为了证明上述等式恒成立，我们可以考虑利用指数函数的泰勒展开。

通过适当选择展开的阶数和系数，可以近似地将函数$f(x)$表示为一个指数函数。

3.利用指数函数的泰勒展开解决高考题假设$f(x)$的泰勒展开为：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \cdots\]其中，$a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots$ 是待定系数。

我们可以选择一个适当的展开阶数 $n$，并令 $g(x) =e^{a_0}e^{a_1x}e^{a_2x^2}e^{a_3x^3} \cdots$。

根据指数函数的特性，我们知道：$e^x$的泰勒展开中，各项系数在阶数$n$之后均为0。

因此，我们可以考虑取 $a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots$ 来使得$a_n = 0$ 对于所有 $n > n_0$ 成立，其中 $n_0$ 是我们选择的展开阶数。