江西省信丰中学2020届高三数学上学期第一次周考理A层13班

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2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RAB ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞，所以(),3RB =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =，所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2，故选：C 【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆=⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+，所以该复数位于第四象限，故选D ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.6．已知集合{}2|4120A x x x =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则AB =（）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB==,所以()()()4|5P ABP B AP A==，故选A.【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（）①若mα⊥，nβ⊥，则//m n；②若mαγ=，nβγ=，//m n，则//αβ；③若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果. 【详解】因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，由22y x x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，所以(],1t ∉-∞，因此1t >. 故选：A. 【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型.11．已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =在区间(),-∞+∞上既是奇函A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象. 【详解】解：函数()(2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()(2log a f x x x b =+在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a g x x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（）555【答案】C【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围．【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤，又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-．由()g x 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立，可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：C ．【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．二、填空题13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案；【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式6(2x x展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个．【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果. 【详解】由()()()0h x f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期；又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．（1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤．【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式；（2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅；当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-；当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-； ∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x a xa R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->．（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B ⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果；（2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又由()3122x a x a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-，所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭，又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆，所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-．（2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-，对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆；②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩，又因为2m >，所以23m <≤，综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件．【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-；当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭．即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±．此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）．当80x ≥时，10000()120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）．因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26．【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第二次周考理A层13班[含答案]

故
1 x1
1 x4
2 ，1； 1 a2b x2
1 x3
2 1 a2b
故1 x1
1 x2
1 x3
1 x4
2 1 a2b
1
2 a 2b
2 1 a2b
2a2b a2b 1
2
故选
A．
Tπ
π
6 解析：选 A 由题意得2＝ 2 ，T＝π，ω＝2.又 2x0＋ 6 ＝kπ(k∈Z)，
[ ] kπ π
π
5π
0，
x0＝ 2 －12(k∈Z)，而 x0∈ 2 ，所以 x0＝ 12 .
B．f(0)＜f(2)＜f(－2)
C．f(－2)＜f(0)＜f(2)
D．f(2)＜f(0)＜f(－2)
二填空题（20 分）
( ) [ ] π
π
π
2x＋
－，α
11．已知函数 f(x)＝sin 6 ，其中 x∈ 6 .当 α＝ 3 时，f(x)的值域是
[ ] 1
－，1 ______；若 f(x)的值域是 2 ，则 a 的取值范围是______．
π 2π π
2π
的 x 的值相差 3 ，即3ω＝ 3 ，解得 ω＝2，所以 f(x)的最小正周期是 T＝ ω ＝π.
2π 10 解析：选 A 由题意，得 T＝ ω ＝π，∴ω＝2，
∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，
2π
2π
3π
而当 x＝ 3 时，2× 3 ＋φ＝2kπ＋ 2 (k∈Z)，
π ∴φ＝2kπ＋ 6 (k∈Z)，
π A．向左平移12个单位
π B．向右平移12个单位
π
π
C．向左平移 3 个单位
D．向右平移 3 个单位

2020届江西省信丰中学高三(13)班上学期数学(理A层)第五次周考

2020届江西省信丰中学高三（13）班上学期数学（理A 层）第五次周考命题人：一选择题（50分）)23sin(2.1x y -=π单调增区间为（）A.)(125,12z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππB.)(1211,125z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ C.)(6,3z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ D.)(32,6z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ 2已知函数()()()sin 20,0f x A x A ϕϕπ=+><<的图像经过点,012⎛⎫-⎪⎝⎭和122⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()23f x a =-有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是（）A.3,2⎡⎤⎣⎦B.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,2D.33,3⎡⎤⎢⎥⎣ 3．已知()2cos f x x x =+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则t 的范围是（）A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()()2,0,3-∞+∞ D ．(]2,0,03⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭4．函数，若有8个不相等的实数根，则的范围是（） A.B.C.D.5已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.386如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图像大致为( )7．已知ln ln3ln ,3a c bd -==-，则22()()a b d c -+-的最小值为（）A 310B ．185C ．165D ．1258若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎡⎦⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝( )A.12B.22C.32D ．19已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.510．如图，1F ,2F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22e 3a b+(e 为椭圆的离心率)，的最小值为 OxyP QF 1F 2A 5B 5C 6D 6 二填空题（20分）11.设函数f (x )=(x +1)2+sin xx 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M+m =____12.已知0w >，顺次连接函数sin y wx =与cos y wx =的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则w =______13在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是 .14设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且4sin ,3cos ==A b B a ．若△ABC 的面积S=10，则△ABC 的周长为．三。

江西省信丰中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案

姓名，年级：时间：信丰中学2020届高三年级第一学期第一次月考数学试卷（理）命题人审题人一、选择题:（本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1全集U＝R，集合A＝｛1，2，3，4，5｝,B＝［3，＋∞）,则图1中阴影部分所表示的集合为( )A．{0，1,2} B．{0,1} C．{1,2｝ D．｛1} 2、已知直线l:y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1"是“△OAB的面积为错误!”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3、已知集合A＝{x|x<a｝，B＝{x|1≤x〈2｝，且A∪(∁R B）＝R,则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>24．已知i是虚数单位，若32i2iii12iz++=+-(i为虚数单位）所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限5、已知命题p:若x＞y,则－x＜－y，命题q:若x＞y，则x2＞y2.在命题：①p∧q；②p∨q;③p∧(非q)；④（非p)∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6、已知集合{}{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，则=⋂B A （）A ．{6}x x <B ．{12}x x <<C ．{62}x x -<<D ．{2}x x <7、某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。

75，连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ )A ．0.8B ．0.75C ．0。

6D ．0.458、如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第九次周考理A层13班[含答案]

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第九次周考（理A层）（13班）一。

选择题（50分）1．如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面2下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )A．①③ B．②③C．①④ D．②④3已知直线a，b异面，给出以下命题：①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；②一定存在平行于a的平面α使b∥α；③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中论断正确的是( )A．①④ B．②③C．①②③ D．②③④4.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,O 是底面ABCD 的中心,E ,F 分别是CC 1,AD 的中点,则异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为( ) A..5 B.5C .45D .235．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是（）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F（C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变6. 已知函数222sin 2(,,0)2cos 2a a y a a a a θθθ++=∈≠++R .那么对于任意的,a θ，函数y 的最大值与最小值分别为（） A. 22+ B.122+-C.3+-D. 3,17.已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于 ( )A. 32B. 13C.23D.38.如右图所示，正三棱锥Ｖ－ＡＢＣ中，Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是VC ，VA,AC 的中点，Ｐ为ＶＢ上任意一点，则直线ＤＥ与ＰF 所成的角的大小是（）A. 6πB. 3πC. 2πD.随Ｐ点的变化而变化9. 高为42的四棱锥ABCD S -的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、 B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（） A ．42 B. 22 C D. 1 AF ED 1C 1B 1A 1DCBA10已知二面角βα--AB 的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么θtan 的值等于 ( ) A ．43 B ． 53 C ．77 D ．773二．填空题（20分）11如图，三棱锥V ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为________．12.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥ 平面,,SCB SA AC SB BC ==，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为________ 13如图,四棱锥O-ABCD 中,AC 垂直平分BD ,||=2,||=1,则()·()的值是 .14．如图所示，正方体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA ′，CC ′的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB ′、DD ′分别交于M ，N 两点，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD ′B ′； ②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C ′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常数；以上结论正确的是．三．解答题（48分）15．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.(1)当点M在何位置时，BM∥平面AEF?(2)若BM∥平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值．16．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF⊥PB．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求三棱锥B﹣ADF的体积．17如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE∥平面BCF.18. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB 1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．2019年高三（13）班第九次周考卷答案一．选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDBBAACDD二．填空题1133 1236π 13 3 14 ①②④ 三．解答题15解：(1)法一：如图(1)所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M . 因为侧棱A 1A ⊥底面ABC ，所以侧面A 1ACC 1⊥底面ABC . 又因为EC ＝2FB ＝2，所以OM ∥FB ∥EC 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．法二：如图(2)所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ . 因为EC ＝2FB ＝2，所以PE 綊BF ，所以PQ ∥AE ，PB ∥EF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF . 又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.16．明：（1）连接AC 交BD 于点G ，连接EG ．（1分）因为四边形ABCD 是正方形，所以点G 是AC 的中点，又因为E 为PC 的中点，因此EG ∥PA ．（2分）而EG ⊂平面EDB ，所以PA ∥平面EDB ．（4分）（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且DC ⊂底面ABCD ，∴PD ⊥DC ∵PD=DC ，可知△PDC 是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥PC ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而DE ⊂平面PDC ，∴BC ⊥DE ②由①和②推得DE ⊥平面PBC 而PB ⊂平面PBC ，∴DE ⊥PB 又EF ⊥PB 且DE ∩EF=E ，所以PB ⊥平面EFD …（9分）（3）解：过点F 作FH ∥PD ，交BD 于H ．因为PD ⊥底面ABCD ，FH ∥PD ，所以FH ⊥底面ABCD ．由题意，可得，，．由Rt △PFE ∽Rt △PCF ，得，．由Rt △BFH ∽Rt △BPD ，得，．所以，（10分）所以，即三棱锥B ﹣ADF 的体积为…（12分）17解：(1)取BC 的中点O ，ED 的中点G ，连接AO ，OF ，FG ，AG . ∵AO ⊥BC ，AO ⊂平面ABC ，平面BCED ⊥平面ABC ， ∴AO ⊥平面BCED .同理FG ⊥平面BCED .∵AO ＝FG ＝3，∴V ABCDFE ＝13×4×3×2＝833. (2)证明：由(1)知AO ∥FG ，AO ＝FG ， ∴四边形AOFG 为平行四边形， ∴AG ∥OF .又∵DE ∥BC ，DE ∩AG ＝G ，DE ⊂平面ADE ，AG ⊂平面ADE ，FO ∩BC ＝O ，FO ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴平面ADE ∥平面BCF .18（I ）证明：由题意，因为ABB 1A 1是矩形， D 为AA 1中点，AB=2，AA 1=2，AD=，所以在直角三角形ABB 1中，tan ∠AB 1B==，在直角三角形ABD 中，tan ∠ABD==，所以∠AB 1B=∠ABD ，又∠BAB 1+∠AB 1B=90°，∠BAB 1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO 中，故∠BOA=90°，即BD ⊥AB 1，又因为CO ⊥侧面ABB 1A 1，AB 1⊂侧面ABB 1A 1，所以CO ⊥AB 1所以，AB 1⊥面BCD ，因为BC ⊂面BCD ，所以BC ⊥AB 1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD ，OB 1，OC 所在的直线为x ，y ，z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系，则A （0，﹣，0），B （﹣，0，0），C （0，0，），B 1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC 的法向量为=（x ，y ，z ），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC 的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…。

江西省信丰中学2020届高三上学期数学(理B层)周练十三Word版含答案

信丰中学2021－2021学年高三上学期周练十三试题〔理数〕命题人：审题人：一．选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．1．公差不为零的等差数列的前n项和为，且成等比数列，那么的值为〔〕A. B.0 C.22．一个简单几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.3．假设，那么〔〕A.或B. 或或或，，和平面，，，那么以下命题正确的选项是〔〕A．假设与为异面直线，，，那么；B．假设，，，那么；C．假设，，，，那么；D．假设，，那么5．设A，B，C，D是同一个球面上四点，是斜边长为6的等腰直角三角形，假设三棱锥D—ABC体积的最大值为27，那么该球的外表积为〔〕A．B．C．D．6．假设正数满足，那么的最小值为〔〕A.4B.8C.7．过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作〔〕条．8．如图，在边长为2的正方形中，，分别为，的中点，为的中点，沿，，将正方形折起，使，，重合于点，在构成的四面体中，以下结论中错误的选项是〔〕A．平面B．直线与平面所成角的正切值为C．异面直线和求所成角为D．四面体的外接球外表积为二．填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．9．实数满足约束条件，那么的最小值是．10．在平面内，三角形的面积为，周长为，那么它的内切圆的半径．在空间中，三棱锥的体积为，外表积为，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球〔球面与三棱锥的各个面均相切〕的半径=______________________．11.如图，在三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，那么异面直线AN 、CM 所成的角的余弦值是___12．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个正方体后的剩余局部〔正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上〕，圆锥底面直径为，高为10 cm.打印所用材料密度为．不考虑打印损耗．制作该模型所需原料的质量为________g ．〔取，精确到〕三、解答题：(本大题共2小题，共24分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤〕。

江西省信丰中学2020届高三数学第一次半月考试题(答案不全)

信丰中学2020届高三年级第一次半月考试卷数学（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡的表内（每小题5分，共50分）。

1.已知m R ∈，复数21m i z i-=-（i 为复数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则m 的值为（A ） A ．2- B ．12- C ．12 D ．2 2.若()f x =()f x 的定义域为（ A ） A.1(,1)2B.1(,1]2C.1(,)2+∞D.(1,)+∞ 3.已知向量,||2,||3,|2|a b a b a b a b ==+=r r r r r r r r 满足与的夹角为（ C ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4.已知π1sin()44α+=，则sin 2α的值是（ D ） A.78C. D.78- 5．在ABC ∆中，若222sin sin sin sin ,A B C B C =++则角A 的值为（ B ） A ．23π B ．56π C ．3π D ．6π 6.7.已知()f x 是R 上的偶函数，且满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()7f =（ B ）A ．2-B ．2C ．98-D ．98 8．9. 已知函数2()1,()43x f x e g x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（B ）A. 22⎡-+⎣B. (22C. []1,3D. ()1,3二、填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题5分，共20分）11. 已知||2,||3,(2)(2)1a b a b a b ==-⋅+=-r r r u u r u u r r ，则a b r r 与的夹角为 120o . 12.13．14．已知函数x ax x x f 331)(23++=在（0， 1）上不是单调函数，则实数a 的取值范围为 )2,(--∞ .15．若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ()()+∞⋃-∞-,01, .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共计74分）.16．17.在锐角三角形ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且tan tan (1tan tan )3A B A B -=+，（1）若c 2＝a 2＋b 2—a b ，求角A 、B 、C 的大小；（2）已知向量(sin ,cos ),(cos ,sin ),|32|m A A n B B m n ==-u v v u v v 求的取值范围。

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十四次周考理A层13班[含答案]

18 5 A． 5
B． 8
16 3 C． 3 x2
D．10
DQ
C
P
A
B
(第 9 题图)
10．如图，F1，F2 是椭圆 C1： 4 ＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、
四象限的公共点．若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )
3
6
A. 2
B. 3
| cos | 42
（2）设二面角 A CF D 的大小为，若
14 ，
求 PA 的长．
x2 16．如图,已知椭圆 C ： a 2
y2 b2
1(a b 0) 的上顶点为 A(0,1) ,离心率为
3 2.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若过点 A 作圆 M : x 12 y2 r 2
0 r 1的两条切线分别与椭圆 C 相交于点 B, D (不同于点 A ).当 r 变化时,试问
得∠APB＝90°，则 m 的最大值为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
x2 5.已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：a2＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭圆于
A，B 两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )
3 A. 2
1 B.2
15
5
C. 4 D. 3
15
3 y cz 0
所以 x 3 y cz 0 ，取 m (0, c, 3) ．
| cos | n m 42
n m 14
由
，得
23
42
c 2 4 c 2 3 14 ．
c 4 7c 2 44 0 ， c 2 ，所以 PA 2 .

江西省信丰中学2020届高三数学上学期周末巩固训练一理[含答案]

| AB |
所以
t1 t2
t1 t2 2 4t1 t2
256 16
.
由极坐标与直角坐标互化公式得点 G 的直角坐标为(－2，0)，易求点 G 到直线 l 的距离
d | PG | sin 45 4
2 2 2
2
SGAB
，所以
1d 2
AB
1 12 2 2
2 16
2
.
f x 5 2x 3 x 1 5
c 1
2，a 3,
又 a2 c2 b2 a 3 ，b 2 2 ，
x2 + y2 =1
椭圆 C 的方程为 9 8
（2）由（1）可知：
A
3,0
，
B
3,
0
，
F1
1,
0 ，
F2
1,
0
由题意，设直线 F1M 的方程为 x my 1
记直线
F1M
与椭圆的另一交点为
M
，设
M
x1,
y1
y1
0
，
M
x2 ,
y2
A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]
6．若“
x
1 2
，2
使得
2x2
x
1
0
成立”是假命题，则实数
的取值范围为（
）
A． , 2 2
B． 2 2，3
C． 2 2，3
D． 3
7．已知定义在 R 上的奇函数
f
x 满足
f
x 2
f
x，当 0
x
1时，
5 7 A.f(1)＜f 2 ＜f 2

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考理A层13班[含答案]

江西省信丰中学2020届高三数学上学期第四次周考（理A 层）（13班）一．选择题（50分）1若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图像的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B.32 C.22 D ．13已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期是π，若将f (x )的图像向右平移π3个单位后得到的图像关于原点对称，则函数f (x )的图像( )A ．关于直线x ＝π12对称B ．关于直线x ＝5π12对称 C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称 D ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0对称4已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－455已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.9B.3 C ．－13D ．－796若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π47设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．38设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43AC C ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC9设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE ＝λ1AB ＋λ2AC (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为（）A.12 B.32 C.22 D ．110设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB ＋32MA ＋32MC ＝0，D 是AC 的中点，则|MD ||BM |的值为( )A.3B.2 C ．1D ．2二．填空题（20分）11已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________ 12化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________13图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________.14图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.三．解答题（36分）15．（12分）如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．16．（12分）在平面直角坐标系中，曲线2cos :x C y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程：cos 044πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （1）写出曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程；（2）设11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求||||PA PB ⋅的值.17（12分）已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+（其中0a >）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若21()()2ag x x f x -+=+，设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32a ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的取值范围.2019年高三（13）班第四次周考卷答案10解析：选A ∵D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，∴四边形MAEC 为平行四边形，∴MD ＝12ME ＝12(MA ＋MC )．∵MB ＋32MA ＋32MC ＝0，∴MB ＝－32(MA ＋MC )＝－3MD ，∴|MD ||BM |＝|MD ||－3MD|＝13，故选A11答案：012答案：1213解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223. 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b＝－b 2＋163－a 2833b，所以3b 2－a 2＝－6，②联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.答案：7914解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°， ∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝100 6(m)．答案：100 615解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2∠B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2∠D ＝223.因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos∠D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝ABsin ∠ACB ，所以23sin ∠B ＝AB sin (π－2∠B )＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin ∠B cos ∠B ＝AB 233sin ∠B ，所以AB ＝4.16.解：（1）曲线C 的普通方程是22143x y +=，直线l 的直角坐标方程为2230x y -+=．（2）直线l 经过点11,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且倾斜角是45︒∴直线l的参数方程是12122x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入22143x y +=，整理得27160t --=，∴1212167t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴由参数t 的几何意义可知：12167PA PB t t ⋅==． 17. 解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，1(1)(1)()(1)x ax f x ax a x x'--=+-+= （i ）若01a <<，则11a >.由()0f x '>得01x <<或1x a>；由()0f x '<得11x a <<∴()f x 在(0,1)，1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；（ii ）若1a =，则()0f x '≥，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增；（iii ）若1a >，则101a <<，由()0f x '>得10x a<<或1x >；由()0f x '<得11x a <<∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞上单调递增，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+，21(1)1()(1)x a x g x x a x x-++'=+-+=，由()0g x '=得2(1)10x a x -++=，∴121x x a +=+，121=x x ，∴211x x =∵32a ≥ ∴111115210x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得1102x <≤∴()()()()222112121211221111ln(1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭设2211()2ln 2h x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 102x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则()2233121()0x h x x x x x '--=--=<∴()h x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；当112x =时，min 115()2ln 228h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭。

信丰中学2020届高三(13)班上学期数学(理A层)周考11含答案

江西省信丰中学2020届高三（13）班上学期数学（理A 层）周考11含答案2019—2020学年高三上学期高三（13）班数学周考11(理)命题人:一、单选题(50分）1．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ) A ．11a b< B ．22a b > C ．a c b c > D ．2211a bc c >++ 2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且55S =，1030S =，则15S =（）. A ．90B ．125C ．155D ．1803直线x ＋（a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（）A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪错误!D ．错误!∪错误!4．已知等比数列{a n ｝的前n 项和2155n n S t -=⋅-，则实数t 的值为(）A ．4B ．5C ．45D ．05已知P (x 0,y 0）是直线L ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示（ )A ．过点P 且与L 垂直的直线B ．过点P 且与L 平行的直线C ．不过点P 且与L 垂直的直线D ．不过点P 且与L 平行的直线6．已知数列{}n a 的通项公式()*2log 1n na n N n =∈+,设其前n 项和为n S , 则使4n S <-成立的自然数n 有（）A ．最大值15B ．最小值15C ．最大值16D ．最小值16 7．不等式()()0x b x c a x++≤-的解集为[)[)1,23,-+∞,则b c +=（)A ．5-B ．2-C ．1D ．38．已知变量x ,y 满足约束条件240150x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =+的最小值为(）A ．6B ．7C ．8D ．99．数列{}n a 中，111,,n n a a a +=是方程()21210nx n x b -++=的两根，则数列{}n b 的前n 项和n S =（） A ．121n + B ．11n + C ．21nn + D．1n n + 10．设()'f x 是函数()y f x =的导数， ()''f x 是()'f x 的导数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心．设()32182133f x x x x =-++，数列{}n a 的通项公式为27n a n =-，则()()()128f a f a f a ++⋯+=（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题（20分)11．若不等式210mx mx -->解集为∅，则m 的取值范围是． 12．已知点是不等式组，所表示的平面区域内的一个动点，点，为坐标原点，则OP OQ -的最大值是。

江西省赣州市信丰县信丰中学2020学年高一数学上学期周练试题(一)(无答案)

信丰中学2020学年第一学期高一数学周练试题（一）一、选择题：（每小题5分，共计30分）1、如果集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(A U )B I 等于（）A 、{}5B 、{}8,7,6,5,4,3,1 C 、{}8,2 D 、{}7,3,1 2、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N I 为（）A.3,1x y ==-B.(3,1)-C.{3,1}-D.{(3,1)}-3. 2{4,21,}A a a =--,B={5,1,9},a a --且{9}A B ⋂=,则a 的值是( )A. 3a =B. 3a =-C. 3a =±D. 53a a ==±或4.若集合2{440,}A x kx x x R =++=∈中只有一个元素,则实数k 的值为( )A.0B. 1C. 0或1D. 1k <5. 集合2{4,,}A y y x x N y N ==-+∈∈的真子集的个数为( )A. 9B. 8C. 7D. 66. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（）A ．9B ．8C ．7D ．6二、选择题：（每小题5分，满分20分）7. 已知集合A =｛2,3,4-｝，B =｛2,x x t t A =∈｝，用列举法表示集合B=8．某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.9. 若{}{}21,4,,1,A x B x ==且A B B =I ，则x =10.如果U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为信丰中学2020学年第一学期高一数学周练（一）答题卷班级：姓名：座号：得分：二.填空题（每小题5分，共20分）7. 8.9. 10.三、解答题（11题12分，12题13分，共25分）11.（本题满分12分）已知,}221{},102{P Q a x a x Q x x P ⊆+≤≤-=≤≤=若求a 的范围12．（本小题满分13分）已知函数2212y x mx m m =-+-，222(41)4y x m x m m =-+++，2234(124)9812y x m x m m =-++++，令集合123{0}M x y y y =⋅⋅=，且M 为非空集合，求实数m 的取值范围。

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江西省信丰中学2020届高三数学上学期第一次周考（理A 层）（13班）一．选择题（50分）1．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图像的对称轴方程是( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－12 C ．x ＝12 D ．x ＝13若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1 4若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)5已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)6函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )7已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)8．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．09已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－210已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32二．填空题11设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．12已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．13已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．三．解答题14在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．15在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．2019-2020年高三上学期高三（13）班第一次周考试卷（理A ）命题人：二．选择题（50分）1．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图像的对称轴方程是( c ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－12 C ．x ＝12 D ．x ＝13若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( A ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－14若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( C ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)5已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( D )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)6函数y ＝x 33x －1的图像大致是( c )7已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( D )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)8．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选B 因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；因y ＝lg x ―――――――――――→图象向左平移1个单位长度y ＝lg(x ＋1)―――――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象y ＝lg(|x |＋1)―――――――――――→图象向右平移2个单位长度y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值为0. 所以①②正确．9已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( D )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－210已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ； 2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；….f (x )＝[x ]x －a 的图像是把y ＝[x ]x 的图像进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x 的图像，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32.二．填空题11设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．－3或3812已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案：5解析：方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零点的个数为5.13已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)三．解答题14在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.15在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 . 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.。