2015-2016学年广东始兴风度中学高一数学课件：2.3.2《方差与标准差》(苏教版必修3)
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广东省始兴县风度中学高中数学 2.3.2方差与标准差课件 苏教版必修3
准差, 分别简称样本方差、样本标准差.
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两种样 本的方差分别为50 和165, 故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种钢筋 .
例 4 甲、乙两种水稻试验品 种连续5年的平均单位面积 产量如下 单位：t / hm 2 , 试 根 据这组数据估计哪一种 水 稻品种的产量比较稳定 .
7 345 268 2 375 268 2128.60 天2 ,
2 2
故所求的标准差为 2128.6 46 天. 答 估计这种日光灯的平使用寿命约为268 天, 标准差约 为46 天.
1
11
18
20
25
16
7
2
分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使 用寿命, 再求平均寿命 .
解 各组中值分别为165, 195, 225, 255, 285, 315, 345, 375, 由此算得平均数为 165 1 % 195 11 % 225 18 % 255 20 % 285 25 % 315 16 % 345 7 % 375 2 %
因为方差与原始数据的 单位不同 , 且平方后可能夸 大了离差的程度 , 我们将方差的算术平方 根称为这 .标 准 差也可 组数据的 标准差 s tandard deviation 以刻画数据的稳定性 .
一般地, 设一组样本数据 x1 , x2 , , xn , 其平均数为 x, 则称 n 2 1 2 s xi x 为这个样本的方差, n i 1 2 1 n xi x 其算术平方根 s 为样本的标 n i 1
2. 3. 2 方 差 与 标 准 差
有甲、乙两种钢筋 , 现从中各抽取一个样本如表 检查它们的抗拉程度 单位 : kg / mm2 , 通过计算发 现,两个样本的平均数均为 125 .
高中数学 2.3.2 方差与标准差课件 苏教版必修3
1．理解方差，标准差的定义． 2．掌握方差，标准差的计算公式，并能用样本的 方差与标准差估计(gūjì)总体的方差与标准差．
第三页，共26页。
栏 目 链 接
第四页，共26页。
自主 学习
1．数据的离散程度可以用极差、方_差__(_f_ā_n_ɡ_或ch_à_)__标__准__差来
描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波__动__(_b_ō_d_ò的ng) 大小．一般地，样本的标准差用s表示，s＝_____
离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度
越小；②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)；标准
差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波
动幅度，数据
第九页，共26页。
要点 导航
没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平
方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在
栏
刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际
________．,
n
平均数
方差 标准差
第五页，共26页。
栏 目 链 接
第六页，共26页。
要点 导航
标准差与方差(fānɡ chà)
总体的标准差与方差通常是用样本的标准差与方差去估计的．
(1)标准差的平方就是方差，即 s2＝n1[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn
栏
－x)2]．
目 链
接
(2)方
40)＝110×310＝31(cm)．
∴x 甲<x 乙，乙种玉米的苗长得高．
第二十一页，共26页。
典例 剖析
(2)s
2
甲
＝
1 10
×
[(25
－
30)2
＋
第三页，共26页。
栏 目 链 接
第四页，共26页。
自主 学习
1．数据的离散程度可以用极差、方_差__(_f_ā_n_ɡ_或ch_à_)__标__准__差来
描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波__动__(_b_ō_d_ò的ng) 大小．一般地，样本的标准差用s表示，s＝_____
离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度
越小；②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)；标准
差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波
动幅度，数据
第九页，共26页。
要点 导航
没有离散性；③因为方差与原始数据的单位不同，且平
方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在
栏
刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际
________．,
n
平均数
方差 标准差
第五页，共26页。
栏 目 链 接
第六页，共26页。
要点 导航
标准差与方差(fānɡ chà)
总体的标准差与方差通常是用样本的标准差与方差去估计的．
(1)标准差的平方就是方差，即 s2＝n1[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn
栏
－x)2]．
目 链
接
(2)方
40)＝110×310＝31(cm)．
∴x 甲<x 乙，乙种玉米的苗长得高．
第二十一页，共26页。
典例 剖析
(2)s
2
甲
＝
1 10
×
[(25
－
30)2
＋
广东省始兴县风度中学高中数学 2
第三步，确定分点，将数据分组.
第四步，统计频数，计算频率，制成表格. （频数=样本数据落在各小组内的个数， 频率=频数÷样本容量）
知识探究（二）：频率分布直方图
思考1：为了直观反映样本数据在各组中 的分布情况，我们将上述频率分布表中 的有关信息用下面的图形表示：
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
思考8：对样本数据进行分组，其组数 是由哪些因素确定的？
思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没 有固定的标准，组数太多或太少，都会影响 我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与 样本容量有关，一般样本容量越大，所分组 数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分
组数一般在（1+3.3lgn）附近选取.当样本容
思考1：上述100个数据中的最大值和最 小值分别是什么？由此说明样本数据的 变化范围是什么？
0.2～4.3
思考2：样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差.如果将上述100个数据 按组距为0.5进行分组，那么这些数据 共分为多少组？
（4.3-0.2）÷0.5=8.2
思考3：以组距为0.5进行分组，上述100 个数据共分为9组，各组数据的取值范围 可以如何设定？
(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.
样本频率分布表：
分组 [27，32） [32，37） [37，42） [42，47） [47，52） [52，57） [57，62） [62，67）
合计
频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50
频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00
量不超过100时，按照数据的多少，常分成 5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样 本数据分组合适吗？
第四步，统计频数，计算频率，制成表格. （频数=样本数据落在各小组内的个数， 频率=频数÷样本容量）
知识探究（二）：频率分布直方图
思考1：为了直观反映样本数据在各组中 的分布情况，我们将上述频率分布表中 的有关信息用下面的图形表示：
频率 组距 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
思考8：对样本数据进行分组，其组数 是由哪些因素确定的？
思考9：对样本数据进行分组，组距的确定没 有固定的标准，组数太多或太少，都会影响 我们了解数据的分布情况.数据分组的组数与 样本容量有关，一般样本容量越大，所分组 数越多.按统计原理，若样本的容量为n，分
组数一般在（1+3.3lgn）附近选取.当样本容
思考1：上述100个数据中的最大值和最 小值分别是什么？由此说明样本数据的 变化范围是什么？
0.2～4.3
思考2：样本数据中的最大值和最小值 的差称为极差.如果将上述100个数据 按组距为0.5进行分组，那么这些数据 共分为多少组？
（4.3-0.2）÷0.5=8.2
思考3：以组距为0.5进行分组，上述100 个数据共分为9组，各组数据的取值范围 可以如何设定？
(1)极差为67-28=39，取组距为5，分为8组.
样本频率分布表：
分组 [27，32） [32，37） [37，42） [42，47） [47，52） [52，57） [57，62） [62，67）
合计
频数 3 3 9 16 7 5 4 3 50
频率 0.06 0.06 0.18 0.32 0.14 0.10 0.08 0.06 1.00
量不超过100时，按照数据的多少，常分成 5～12组.若以0.1或1.5为组距对上述100个样 本数据分组合适吗？
方差和标准差-PPT课件
P 1 0.3 2 0.7
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
50 Dx=____, 2.已知x~B(100,0.5),则Ex=___, 25 99 D(2x-1)=____ E(2x-1)=____, 100
3、有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现 从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为 X，求EX和DX. 2，1.98
新课
对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方 差或标准差来刻画的.
一组数据的方差：
在一组数：x1,x2 ,…,xn 中，各数据的平均数为 则这组数据的方差为： x
2
，
1 2 2 2 S [ ( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差.. 5
下面的分析对吗？ ∵ E 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9 E2 8 0.4 9 0.2 10 0.4 9 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. （你赞成吗？为什么？）
显然两名选手 的水平是不同的, 这里要进一步去 分析他们的成绩 的稳定性. 4
(1)均值是算术平均值概念的推广，是概率意义上的平均； (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，也就是说随 机变量X可以取不同的值，而E(X)是不变的，它描述的是 X取值的平均状态； (3)E(X)的公式直接给出了E(X)的求法．
18
例1. (2019· 衡阳模拟)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，
27
题型三 期望与方差的综合应用 【例3】(14分)（2019· 广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质
检，其中有一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件.已知
生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而 生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为ξ .
广东省始兴县风度中学高中数学2.3.2方差及标准差课件苏教版必修3
天数 151 ~ 181 ~ 211 ~ 241 ~ 271 ~ 301 ~ 331 ~ 361 ~
180 210 240 270 300 330 360 390
灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2
分析用每一区间内的 作组 为中 相值 应日光灯的 用寿,命 再求平均.寿命
解各组中 1值 6 ,159 ,2 分 52 ,25 别 5 ,258 ,为 351 ,354 ,357 , 5 由此算得平均数为 1 6 1 % 5 1 9 1% 5 1 2 2 1% 5 8 2 5 2% 5 0 2 8 2% 5 5 3 1 1% 5 6 3 4 7 % 5 3 7 2 % 5
2.3.2方 差 与 标 准 差
有 甲 、 乙,现 两从 种中 钢 取各 筋 一抽 个 如样 表本
检查它们的 单抗 :位 k拉 g/m程 2 m,通度 过计算
现 ,两个 样本 的1平 2.5均 数均 为
甲 111021031021521021531521531525 乙 111501021531011521521541521545
rang,e从图中可以看 ,乙出 的极差较大 ,数据点较分
散;甲的极差,数小据点集 较中,这说明甲比稳 乙定.运
用极差对两 数据 组进行比 较,操作简单方,但 便若两 组数据的集中程不 度大 差时 ,异 就不容易得出. 结论
我们还可以考每虑一抗拉强 度与平均抗拉强度的 离差,离差越小,稳定性就越高.结合上节有离 关差 的讨论,可用各次抗拉强度与 均平 抗拉强度的差的 平方和表.示 由于两组数据的容量 能可 不同,因此应 将上述平方和除以数 的据 个数,我们把由此所得的
s2
1
n
n i1
2
xi x
180 210 240 270 300 330 360 390
灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2
分析用每一区间内的 作组 为中 相值 应日光灯的 用寿,命 再求平均.寿命
解各组中 1值 6 ,159 ,2 分 52 ,25 别 5 ,258 ,为 351 ,354 ,357 , 5 由此算得平均数为 1 6 1 % 5 1 9 1% 5 1 2 2 1% 5 8 2 5 2% 5 0 2 8 2% 5 5 3 1 1% 5 6 3 4 7 % 5 3 7 2 % 5
2.3.2方 差 与 标 准 差
有 甲 、 乙,现 两从 种中 钢 取各 筋 一抽 个 如样 表本
检查它们的 单抗 :位 k拉 g/m程 2 m,通度 过计算
现 ,两个 样本 的1平 2.5均 数均 为
甲 111021031021521021531521531525 乙 111501021531011521521541521545
rang,e从图中可以看 ,乙出 的极差较大 ,数据点较分
散;甲的极差,数小据点集 较中,这说明甲比稳 乙定.运
用极差对两 数据 组进行比 较,操作简单方,但 便若两 组数据的集中程不 度大 差时 ,异 就不容易得出. 结论
我们还可以考每虑一抗拉强 度与平均抗拉强度的 离差,离差越小,稳定性就越高.结合上节有离 关差 的讨论,可用各次抗拉强度与 均平 抗拉强度的差的 平方和表.示 由于两组数据的容量 能可 不同,因此应 将上述平方和除以数 的据 个数,我们把由此所得的
s2
1
n
n i1
2
xi x
《方差与标准差》课件
方差的意义
01
方差是衡量数据分散程度的重要指标，可以用 于比较不同数据集的离散程度。
02
方差在统计学中有着广泛的应用，如回归分析 、假设检验等。
03
通过对方差的分析，可以了解数据的波动情况 ，为决策提供依据。
02
标准差的概念
标准差的定义
01
标准差是用来衡量一组数据离散 程度的统计量，其计算方法为各 数据与平均数之差的平方的平均 数再取平方根。
方差与标准差的联系
方差和标准差都是衡量数据离散程度的统计量，它们之间存 在密切的联系。具体来说，标准差是方差的平方根，因此方 差和标准差的值会随着数据的波动而变化，但方向是一致的 。
当我们比较不同数据集的离散程度时，可以使用方差或标准 差来进行比较。由于标准差具有单位，因此在比较不同数据 集时，使用标准差更为直观和方便。
05
方差与标准差的实例分析
方差实例分析
1 2
3
方差实例1
一组学生的考试成绩，通过计算方差，可以了解成绩的离散 程度，即学生的成绩分布情况。
方差实例2
股票价格的波动，通过计算股票价格的方差，可以了解价格 的波动情况，从而评估投资风险。
方差实例3
体育比赛中的射击或者投篮成绩，通过计算方差，可以了解 运动员的技术稳定程度。
方差的大小表示数据点与平均值之间的离散程度，方差越大，数据点越离散；方 差越小，数据点越集中。
方差的计算方法
01
计算每个数据点与平均值的差值，即(x_i - μ) 。
03
将所有差值的平方相加，即Σ[(x_i - μ)^2]。
02
将每个差值平方，即(x_i - μ)^2。
04
将总和除以数据的数量减一，即Σ[(x_i - μ)^2] / (n1)，得到方差。
高一数学必修三课件第章方差与标准差
极差、四分位数间距应用
01
02
03
极差
一组数据中最大值与最小 值之差，反映数据的波动 范围。
四分位数间距
上四分位数与下四分位数 之差，反映中间50%数据 的离散程度。
应用
在数据分析中，极差和四 分位数间距常用于初步了 解数据的分布情况和离散 程度。
平均差、方差和标准差比较
平均差
所有数据与平均数之差的绝对值的平 均数，反映数据离散程度的另一种方 法。
04
概率论中方差与标准差应用
随机变量及其分布概述
随机变量定义
随机变量是描述随机试 验结果的变量，常用大
写字母表示。
离散型随机变量
取值可数的随机变量， 如抛硬币试验中的正面
、反面次数。
连续型随机变量
取值充满某个区间的随 机变量，如测量误差、
气温等。
随机变量的分布
描述随机变量取值的概 率分布，包括离散型分
的平均数。
性质
01
02
03
方差非负。
方差反映了一组数据与其平 均数的偏离程度。
04
05
如果一组数据中的每一个数 都加上或减去一个常数，方
差不变。
标准差定义及性质
定义：标准差是方差的算术平方根，用s 表示。
对于同一组数据，标准差越小，说明数 据越集中；标准差越大，说明数据越分 散。
标准差反映了数据与平均数的偏离程度 ，但与方差相比，它提供了更直观的度 量单位。
标准差
标准差是方差的算术平方根，用s表示。标准差用s表示。标 准差在数学上定义为方差的平方根，标准差与方差一样，表 示的也是数据点的离散程度。
样本波动大小描述方法
样本方差
样本方差是各样本数据与其平均 数差的平方和的平均数，用s^2 表示。样本方差用于描述样本数 据的离散程度。
【完整】高一数学标准差资料PPT
s甲
s乙 4 5 6 7 8 9 10
例题1:画出下列四组样本数据的直方图,说明它们的异同点. (1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; (2) 4, 4, 4, 5 , 5, 5, 6, 6, 6; (3) 3 , 3 , 4 , 4 , 5, 6 , 6, 7 , 7;
(4) 2 , 2 , 2 , 2, 5 , 8 , 8 , 8 , 8 ;
解:四组样本数据的直方图是:
频率
1.0 0.9 0.8
x5
0.7
0.6
0.5 S=0.00
0.4
0.3
0.2
0.1
o 1 2 3 45 6 7 8
(1)
频率
x5
S=0.82
o 1 2 3 45 6 7 8 (2)
频率
1.0 0.9 0.8
x5
0.7
0.6 S=1.49
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
x1x2,其样本的 x22 标 x1,记 准 ax差 22 x1.为
a
x1
x1 x2
x2
2
显然,标准差越大,则a越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据 的离散程度越小.
用计算器可算出甲,乙两人的的成绩的标准差
s甲2，s乙1095
由 s甲 s乙 可以知道,甲的成绩离散程度大,乙的成绩离散
程度小.由此可以估计,乙比甲的射击成绩稳定. 上面两组数据的离散程度与标准差之间的关系可用 图直观地表示出来.
高一数学标准差
2.标准差
平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是 平均有时也会使我们作出对总体的片面判断．因 为这个平均数掩盖了一些极端的情况，而这些极 端情况显然是不能忽的．因此，只有平均数还难 以概括样本数据的实际状态．
广东省始兴县风度中学高中数学《第一章 集合与函数概念》课件 新人教A必修1
•
U
数
语 3
10
10
12 8
10 外2
5
作业： P44 复习参考题A组：2，3，4，5.
B组：1，3.
• 谢谢观看
•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
例4 已知两个集合 A={x∈R|x2+(a+2)x+1=0}, B={x|x>0}, 若A B，求实数a的取值范围.
(4, )
例5 某班共有学生60人，语、数、外三科毕 业会考90分以上（含90分）的人数统计如 下：
语
数 外 语数 语外 数外 语数外
35
40 32
22
22
20
12
求该班三科成绩都在90分以下的人数.
{1，2，3}
例2 已知集合A={x|0< ax+1≤5}， 集合B={x|-1< 2x≤4}，若 B A ，求 实数a的取值范围.
U
数
语 3
10
10
12 8
10 外2
5
作业： P44 复习参考题A组：2，3，4，5.
B组：1，3.
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•11、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/1/162022/1/16January 16, 2022 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。 •17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年1月2022/1/162022/1/162022/1/161/16/2022 •18、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2022/1/162022/1/16
例4 已知两个集合 A={x∈R|x2+(a+2)x+1=0}, B={x|x>0}, 若A B，求实数a的取值范围.
(4, )
例5 某班共有学生60人，语、数、外三科毕 业会考90分以上（含90分）的人数统计如 下：
语
数 外 语数 语外 数外 语数外
35
40 32
22
22
20
12
求该班三科成绩都在90分以下的人数.
{1，2，3}
例2 已知集合A={x|0< ax+1≤5}， 集合B={x|-1< 2x≤4}，若 B A ，求 实数a的取值范围.
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2. 3. 2 方 差 与 标 准 差
有甲、乙两种钢筋 , 现从中各抽取一个样本如表 检查它们的抗拉程度 单位 : kg / mm2 , 通过计算发 现,两个样本的平均数均为 125 .
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
因为方差与原始数据的 单位不同 , 且平方后可能夸 大了离差的程度 , 我们将方差的算术平方 根称为这 .标 准 差也可 组数据的 标准差 s tandard deviation 以刻画数据的稳定性 .
一般地, 设一组样本数据 x1 , x2 , , xn , 其平均数为 x, 则称 n 2 1 2 s xi x 为这个样本的方差, n i 1 2 1 n xi x 其算术平方根 s 为样本的标 n i 1
1
11
18
20
25
16
7
2
分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯组中值分别为165, 195, 225, 255, 285, 315, 345, 375, 由此算得平均数为 165 1 % 195 11 % 225 18 % 255 20 % 285 25 % 315 16 % 345 7 % 375 2 %
267.9 268 天. 这些组中值的方差为 1 2 2 2 1 165 268 11 195 268 18 225 268 100 2 2 2 20 255 268 25 285 268 16 315 268
准差, 分别简称样本方差、样本标准差.
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两种样 本的方差分别为50 和165, 故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种钢筋 .
例 4 甲、乙两种水稻试验品 种连续5年的平均单位面积 产量如下 单位：t / hm 2 , 试 根 据这组数据估计哪一种 水 稻品种的产量比较稳定 .
哪一种钢筋的质量较好 ?
将甲、乙两个样本数据 分别标在数轴上 , 如下图所示 .
105 110 115 120 125 130 135 140
极差
极差
甲
乙 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
从图中可以看出 ,乙样本的最小值 100低于甲样本的最 小值 110, 最大值 145高于甲样本的最大值 135, 这说明 乙种钢筋没有甲种钢筋 的抗拉强度稳定 . 我 们 把 一 组 数 据的最 大 值与最 小 值的差 称 为极差 range, 从 图中可以看出 ,乙的 极 差较大 , 数据点较分 散;甲的极差小 , 数据点较 集中, 这说 明甲比乙 稳定.运 用极差对两组 数 据 进行比 较, 操 作 简单方便 , 但若两 组数据的集中程度差异 不大时 , 就不容易得出结论 .
例5 为了保护好学生的视力 , 教室内的日光灯在 使用一段时间后必须更 换. 已知某学校使用的 100 只日光灯在必须 换 掉前的使用天数如下 , 试 估计 这种日光灯的平均使用寿命和标 准差.
天数
灯泡数
151 ~ 181 ~ 211 ~ 241 ~ 271 ~ 301 ~ 331 ~ 361 ~ 180 210 240 270 300 330 360 390
7 345 268 2 375 268 2128.60 天2 ,
2 2
故所求的标准差为 2128.6 46 天. 答 估计这种日光灯的平使用寿命约为268 天, 标准差约 为46 天.
品 种 第1年 第2 年 第3 年 第4 年 第5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解 甲品种的样本平均数为 10, 样本方差为 9.8 102 9.9 102 10.1 102 10 102 10.2 102 5 0.02 乙品种的样本平均数也 为10, 样本方差为 9.4 102 10.3 102 10.8 102 9.7 102 9.8 102 5 0.24 因为 0.24 0.02, 所以,由这组数据可以认为甲 种水稻的产量 比较稳定 .
我们还可以考虑 每一抗拉强 度与平均 抗拉强 度的 离差, 离差越小 , 稳定 性 就 越 高.结合上节有关 离差 的讨论 , 可用各次抗拉强度与平 均抗拉强度的差的 平方和表示 .由于两组数据的容量可 能不同,因此应 将上述平方和除以数据 的个数 , 我们把由此所得的 值称为这组数据的 方差 varirnce.
有甲、乙两种钢筋 , 现从中各抽取一个样本如表 检查它们的抗拉程度 单位 : kg / mm2 , 通过计算发 现,两个样本的平均数均为 125 .
甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145
因为方差与原始数据的 单位不同 , 且平方后可能夸 大了离差的程度 , 我们将方差的算术平方 根称为这 .标 准 差也可 组数据的 标准差 s tandard deviation 以刻画数据的稳定性 .
一般地, 设一组样本数据 x1 , x2 , , xn , 其平均数为 x, 则称 n 2 1 2 s xi x 为这个样本的方差, n i 1 2 1 n xi x 其算术平方根 s 为样本的标 n i 1
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分析 用每一区间内的组中值作为相应日光灯组中值分别为165, 195, 225, 255, 285, 315, 345, 375, 由此算得平均数为 165 1 % 195 11 % 225 18 % 255 20 % 285 25 % 315 16 % 345 7 % 375 2 %
267.9 268 天. 这些组中值的方差为 1 2 2 2 1 165 268 11 195 268 18 225 268 100 2 2 2 20 255 268 25 285 268 16 315 268
准差, 分别简称样本方差、样本标准差.
根据上述方差计算公式可算得甲、乙两种样 本的方差分别为50 和165, 故可以认为甲种钢 筋的质量好于乙种钢筋 .
例 4 甲、乙两种水稻试验品 种连续5年的平均单位面积 产量如下 单位：t / hm 2 , 试 根 据这组数据估计哪一种 水 稻品种的产量比较稳定 .
哪一种钢筋的质量较好 ?
将甲、乙两个样本数据 分别标在数轴上 , 如下图所示 .
105 110 115 120 125 130 135 140
极差
极差
甲
乙 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145
从图中可以看出 ,乙样本的最小值 100低于甲样本的最 小值 110, 最大值 145高于甲样本的最大值 135, 这说明 乙种钢筋没有甲种钢筋 的抗拉强度稳定 . 我 们 把 一 组 数 据的最 大 值与最 小 值的差 称 为极差 range, 从 图中可以看出 ,乙的 极 差较大 , 数据点较分 散;甲的极差小 , 数据点较 集中, 这说 明甲比乙 稳定.运 用极差对两组 数 据 进行比 较, 操 作 简单方便 , 但若两 组数据的集中程度差异 不大时 , 就不容易得出结论 .
例5 为了保护好学生的视力 , 教室内的日光灯在 使用一段时间后必须更 换. 已知某学校使用的 100 只日光灯在必须 换 掉前的使用天数如下 , 试 估计 这种日光灯的平均使用寿命和标 准差.
天数
灯泡数
151 ~ 181 ~ 211 ~ 241 ~ 271 ~ 301 ~ 331 ~ 361 ~ 180 210 240 270 300 330 360 390
7 345 268 2 375 268 2128.60 天2 ,
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故所求的标准差为 2128.6 46 天. 答 估计这种日光灯的平使用寿命约为268 天, 标准差约 为46 天.
品 种 第1年 第2 年 第3 年 第4 年 第5 年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解 甲品种的样本平均数为 10, 样本方差为 9.8 102 9.9 102 10.1 102 10 102 10.2 102 5 0.02 乙品种的样本平均数也 为10, 样本方差为 9.4 102 10.3 102 10.8 102 9.7 102 9.8 102 5 0.24 因为 0.24 0.02, 所以,由这组数据可以认为甲 种水稻的产量 比较稳定 .
我们还可以考虑 每一抗拉强 度与平均 抗拉强 度的 离差, 离差越小 , 稳定 性 就 越 高.结合上节有关 离差 的讨论 , 可用各次抗拉强度与平 均抗拉强度的差的 平方和表示 .由于两组数据的容量可 能不同,因此应 将上述平方和除以数据 的个数 , 我们把由此所得的 值称为这组数据的 方差 varirnce.