2021红桥区数学二模答案(1)
2023年天津市红桥区中考数学二模试卷(含解析)
2023年天津市红桥区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 计算5+(−3)的结果等于( )A. −2B. 2C. −8D. 82. tan 30°的值等于( )A.33B.32C. 1D. 33. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )A. B. C. D.4. 将5980000用科学记数法表示应为( )A. 0.598×107B. 5.98×106C. 59.8×105D. 598×1045.如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6. 估计 53的值在( )A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间7. 计算1x−1−x1−x 的结果为( )A. 1B. 1−xC. x +1D.x +1x−18. 已知点A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(6,y3)在反比例函数y=−12x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A. y3<y1<y2B. y1<y3<y2C. y1<y2<y3D. y2<y1<y39. 若一元二次方程2x2+x−3=0的两个根分别为x1，x2，则x1⋅x2的值为( )A. −12B. 12C. −32D. 3210.如图，将▱OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点B，C在第一象限，若点A(3,0)，点C(2,3)，则点B的坐标为( )A. (3,3)B. (4,3)C. (5,3)D. (3,5)11.如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接BE，当点D落在AB的延长线上时，下列结论一定正确的是( )A. ∠ABC=∠BCEB. AC=ADC. ∠ADC=∠CBED. CD=BE12. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)经过点(1,0)，有下列结论：①若抛物线经过点(−3,0)，则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=−2；③若点A (x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线上，且0<a<c，则当x1<x2<1时，y1>y2，其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算(2x3)2的结果等于______．14. 计算(6+2)(6−2)的结果等于______ ．15. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个红球、4个黑球和3个蓝球，这能球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是______ ．16. 若一次函数y=(m−1)x+3(m为常数，m≠1)的函数值y随x的增大而减小，则m的值可以是______ (写出一个即可)．17. 如图，E是矩形纸片ABCD的边BC上一点，沿DE折叠该纸片，使点C的对应点F恰好落在AB上，若AB=5，AD=3，则DE的长为______ ．18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点C在格点上，顶点B在网格线上，以AB为直径的⊙O经过点C，(1)∠ACB的大小等于______ (度)；(2)在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，在⊙O上画出点P，使∠PBA=∠PBC，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)______ ．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
天津市红桥区高三二模(图片)——数学理数学(理)
参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9． 10．1411． 12．1 13． 14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：(1)f(x)＝sin 2x·ππcos sin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝ (6)所以，f(x)的最小正周期T ＝＝π (7)（Ⅱ）因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，，，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2 (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：, (1)甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=×+×+×= (4)（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8.....................................................5 P(ξ=0)=×=P(ξ=2)=×+×=P(ξ=4)=×+×+×=P(ξ=6)=×+×=P(ξ=8)=×= (10)数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8= (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接， 为正方形， 为 中点， 为 中点．所以在 中，，且，所以． (3)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (4)所以， (5)又，所以是等腰直角三角形，且即 (6)，且所以又，所以． (7)（Ⅲ）如图，取的中点，连接，．因为，所以．因为，所以， (8)而，分别为，的中点，所以，又是正方形，故．因为，所以，．以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， (9)则有，，，．若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接，设．由（Ⅱ）知平面的法向量为．设平面的法向量为．因为，，所以由，可得，令，则，，故，所以， (12)解得，．所以，在线段 上存在点，使得二面角的余弦值为． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当不存在时，，1324OAB S ∆∴== ..........................5 ②当存在时，设直线为，222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................7 212122263313,13km m x x x x k k --+==++..........................8 2243(1)d r m k =⇒=+ .. (9)||AB ===2=≤...........................11 当且仅当即时等号成立 (12)11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=， ∴面积的最大值为，此时直线方程. (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由得， (1)相减并整理得又由于，则，故是等差数列． (3)因为，所以故． (5)（Ⅱ）当，时，，，可解得，， (7)猜想使成立． (8)证明：恒成立．令②﹣①得：，故存在等比数列符合题意． (10)（Ⅲ） (12)则故． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）法一：根据题意：令，可得，所以经验证，可得当时，对任意，都有，所以 (3)法二：因为所以要使上式对任意恒成立，则须有即 (3)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以， (4)令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以解得或无解，所以的取值范围，可得， (7)由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，． (10)（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点．又因为，所以在上递增，即时，恒成立．根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，恰有三个不同的零点． (14)。
天津市红桥区2021届新高考适应性测试卷数学试题(2)含解析
天津市红桥区2021届新高考适应性测试卷数学试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B ．63C ．3 D ．23【答案】A 【解析】 【分析】首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【详解】由题知ABC V 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6PO =，2CO =同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，有22222cos 23PO CO PC POC PO CO +-∠==⋅， 故1sin 1cos 3POC POC ∠=-∠=.故选：A. 【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题.2．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.3． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】D 【解析】 【分析】直接根据几何概型公式计算得到答案. 【详解】根据几何概型：809200S p ==，故185S =. 故选：D . 【点睛】本题考查了根据几何概型求面积，意在考查学生的计算能力和应用能力.4．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2 B ．53C ．43D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值. 【详解】如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，由题知222294cos 607212AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅则外接圆半径212sin 603BC r ==⋅︒， 因为⊥OD AB ，所以22212319OD AO AD =-=-=， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =⇒=，43MO AN ==，由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r， 所以16AM x AB ==，49AN y AC ==， 所以5233x y +=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.5．已知函数()()4,2xf x xg x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤ D ．0a ≥【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2xg x a =+为单调递增函数，所以()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．6．在ABC V 中，12BD DC =u u u v u u u v ，则AD uuu v=（ ）A ．1344+AB AC u u u v u u u v B ．21+33AB AC u u uv u u u vC ．12+33AB AC u u uv u u u v D ．1233AB AC -u u u v u u u v 【答案】B 【解析】【分析】在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EBAF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,可知AEDF 为平行四边形，从而可得到2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+，即可得到答案．【详解】如下图，12BD DC =u u u r u u u r ，在,AB AC 上分别取点E F 、,使得12,2AE EB AF FC ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AEDF 为平行四边形，故2133AD AE AF AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=+=+,故答案为B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了学生逻辑推理能力，属于基础题．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞ B ．()3,+∞C ．(,3-∞-D ．(),3-∞-【答案】D 【解析】 【分析】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t >，将其代入双曲线可解得． 【详解】因为双曲线分左右支，所以0a <，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为(1t +，3)(0)t >，将其代入双曲线方程得：223(1)()1t a ++=， 即2113t a -=+，由0t >得3a <-．故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．8．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B9．已知函数2()4ln f x ax ax x =--，则()f x 在(1,4)上不单调的一个充分不必要条件可以是（ ） A ．12a >-B ．1016a <<C ．116a >或102a -<< D ．116a >【答案】D 【解析】 【分析】先求函数在(1,4)上不单调的充要条件，即()0f x '=在(1,4)上有解，即可得出结论. 【详解】21241()24--'=--=ax ax f x ax a x x， 若()f x 在(1,4)上不单调，令2()241=--g x ax ax ，则函数2()241=--g x ax ax 对称轴方程为1x =在区间(1,4)上有零点（可以用二分法求得）. 当0a =时，显然不成立；当0a ≠时，只需0(1)210(4)1610a g a g a >⎧⎪=--<⎨⎪=->⎩或0(1)210(4)1610a g a g a <⎧⎪=-->⎨⎪=-<⎩，解得116a >或12a <-.故选:D. 【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件，要注意二次函数零点的求法，属于中档题. 10．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.11．已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3π的交点，若函数()g x 的图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D ．2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出6π=ϕ，所以()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据三角函数图像平移伸缩，即可求出ω的取值范围. 【详解】已知()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<…的图象有一个横坐标为3π的交点， 则2cossin 33ππϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，225,333πππϕ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Q， 2536ππϕ∴+=，6πϕ∴=， ()sin 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω倍， 则sin 26y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 所以当[0,2]x πÎ时，2,4666x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ()f x Q 在[0,2]π有且仅有5个零点，5466πππωπ∴+<…，29352424ω∴<…. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数图象的性质、三角函数的平移伸缩以及零点个数问题，考查转化思想和计算能力. 12．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A 33263cm B 36463cm C 33223cm D 36423cm 【答案】B 【解析】设折成的四棱锥的底面边长为a ，高为h ，则3h =，故由题设可得1212422a a a +=⇒=所以四棱锥的体积2313646=(42)42323V cm ⨯=，应选答案B ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷(解析版)
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题（共9小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，3，4} 2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（）A．650B．660C．680D．7005．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD 的体积为（）A．B．C．D．126．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x8．设函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在[，]单调递减；③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，e+3]B．[4，4+e）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝．11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）12．过点（1，）的直线l，截圆x2+y2＝4所得弦长为，则直线l的方程为．13．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为．14．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为．15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝2，．（Ⅰ）求边a及角B的值；（Ⅱ）求的值．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．18．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．19．已知等比数列{a n}的公比为3，且a4﹣a3＝30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n，及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足﹣1，且b1＝1．（ⅰ）求数列{b n}的通项公式b n；（ⅱ）求．20．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0），g（x）＝（b﹣1）x﹣xe x﹣（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣2恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{4}，则（∁U A）∩B＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{1，3，4}解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，∴∁U A＝{2，4}∵B＝{4}，∴（∁U A）∩B＝{4}故选：B．2．设x∈R，则“x2﹣3x＜0”是“1＜x＜2”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：∵x2﹣3x＜0，∴0＜x＜3，∵{x|1＜x＜2}⊊{x|0＜x＜3}，∴x2﹣3x＜0是1＜x＜2的必要不充分条件．故选：C．3．函数（其中e为自然对数的底）的图象大致是（）A．B．C．D．解：显然y＝是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，当x＞0时，y′＝，∴当0＜x＜2时，y′＞0，当x＞2时，y′＜0，∴y＝在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，排除B，C，故选：A．4．2021年4月23日是第26个世界读书日，某市举行以“颂读百年路，展阅新征程”为主题的读书大赛活动．比赛分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则该校获得复赛资格的人数为（）A．650B．660C．680D．700解：由频率分布直方图可得，学生初赛成绩在（30，90]分的频率为（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.35，所以学生初赛成绩大于90分的频率为1﹣0.35＝0.65，则该校获得复赛资格的人数为0.65×1000＝650．故选：A．5．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，则棱锥O﹣ABCD 的体积为（）A．B．C．D．12解：∵矩形ABCD的顶点都在半径为4的球面上，且AB＝6，，∴矩形的对角线的长为：＝4，∴球心到矩形的距离为：＝2，所以棱锥O﹣ABCD的体积为：V O﹣ABCD＝＝8．故选：A．6．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．7．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y2＝4x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若|PF|＝，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x解：∵抛物线y2＝4x的焦点坐标F（1，0），p＝2，抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c，即c＝1，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|＝m+＝m+1＝，∴m＝．∴P点的坐标为（，±）∴解得：，则渐近线方程为y＝±x，故选：C．8．设函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，给出下列结论：①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在[，]单调递减；③y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；④把函数y＝cos2x图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝f（x）的图象．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：对于①：f（x）＝cos2x+sin x•cos x＝cos2x+sin2x＝cos（2x﹣），最小正周期T＝＝＝π，故①对．对于②：令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，k为整数，解得kπ+≤x≤kπ+，令k＝0得≤x≤，故f（x）在[，]上单调递减．令2kπ+π≤2x﹣≤2kπ+2π，k为整数，解得+kπ≤x≤+kπ，令k＝0得x∈[，]，故f（x）在[，]上单调递增．故x∈[，]时，f（x）在[]上单调递减，在[，]上单调递增，故②错误．对于③：令2x﹣＝kπ，k为整数，解得x＝，k为整数．令k＝0，故x＝即f（x）图象关于x＝对称，③对．对于④：把函数y＝cos2x图象上点向右平移个单位长度，则得到y＝cos2（）＝cos（2x﹣）＝f（x）的图象，故④对．综上所述，正确结论有①，③，④这三个．故选：C．9．已知函数f（x）＝，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1x2+x3+x4的取值范围为（）A．（5，e+3]B．[4，4+e）C．[4，+∞）D．（﹣∞，4]解：函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，即两函数y＝f（x）与y＝a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a≤e，x1，x2是方程的两根，即x2+2x+1﹣lna＝0的两根，∴x1x2＝1﹣lna，x3，x4是方程的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，∴x1x2+x3+x4＝4+a﹣lna，∵函数y＝a﹣lna，在（1，e]上单调递增，∴4+a﹣lna∈（5，e+3]，∴x1x2+x3+x4的取值范围为（5，e+3]．故选：A．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i为虚数单位，复数z＝，则z＝4﹣3i．解：复数z＝＝＝＝4﹣3i，故答案为：4﹣3i．11．在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）解：（x﹣）7的展开式的通项为＝，由7﹣3r＝1，得r＝2，∴一次项的系数是．故答案为：21．12．过点（1，）的直线l，截圆x2+y2＝4所得弦长为，则直线l的方程为或x＝1．解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝1，代入x2+y2＝4，得y＝，则弦长为，符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y﹣，即kx﹣＝0．由，解得k＝．此时直线方程为．综上，所求直线方程为或x＝1．故答案为：或x＝1．13．在抗击新冠肺炎疫情期间，甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为．解：甲、乙两所医院各选派了6名医护人员加入“援鄂医疗队”，其中甲院选派人员中有4名男医生、2名女医生，乙院选派人员中有1名男医生、5名女医生．现需要分别从甲、乙两院选派的人员中各随机抽调出一名医生作为联络人，基本事件总数n＝6×6＝36，其中抽调出的两名医生都是男医生包含的基本事件个数m＝4×1＝4，则抽调出的两名医生都是男医生的概率为P＝＝＝．故答案为：．14．已知正实数a，b满足a+b＝1，则的最小值为10．解：已知正实数a，b满足a+b＝1，则＝a++b+＝a+b++＝1++＝1+（a+b）（+）＝1+5++≥6+2＝10，当且仅当＝且a+b＝1时，取等号，即a＝，b＝时取等号，则的最小值为10；故答案为：10．15．如图，在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝CD＝1，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足OM⊥BD，则的值为﹣．解：如图以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系；则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1）；则＝（﹣2，1），由相似三角形易得O（，）．设M（λ，0），则＝（λ﹣，﹣），因为OM⊥BD，所以＝﹣2（λ﹣）﹣＝0，解得λ＝．则＝（，0），所以＝（，0）（﹣2，1）＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，c＝2，．（Ⅰ）求边a及角B的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc⋅cos A，可得，sin A＝＝，由正弦定理＝，可得sin B＝1．B∈（0，π），所以．（Ⅱ）由于，，所以sin2C＝2sin C•cos C＝2××＝，，所以．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2，AB＝1，BC＝2，PA＝1，AB⊥BC，N为PD的中点．（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；（Ⅱ）求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，如图，以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，1，0），，，，P（0，0，1），由N为PD的中点，∴，则＝（，﹣，），设平面PBC的一个法向量为，，，则，令y＝1，解得：，，∴，又AN⊄平面PBC，所以AN∥平面PBC．（Ⅱ）解：设平面PAD的一个法向量为：，，，，令a＝1，解得，∴，即平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值为．18．已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．解：（Ⅰ）当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，即，又因为，a2＝b2+c2，解得：，b＝1，c＝1，所以椭圆方程为．（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，设直线，B（x0，y0），联立，得，，即，由题意得：，，所以直线，令x＝0，则，＝，即8k4+18k2﹣5＝0，解得：（舍），所以：，直线或．19．已知等比数列{a n}的公比为3，且a4﹣a3＝30．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式a n，及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足﹣1，且b1＝1．（ⅰ）求数列{b n}的通项公式b n；（ⅱ）求．解：（Ⅰ）由等比数列{a n}的公比为3，，∴，解得所以，．（Ⅱ）（i）由b1＝1，且，当n＝1，b1＝b2﹣1，即b2＝2当n≥2时，，又，两式相减可得方法一：化为（方法二：化为，累乘）所以b n＝n，上式对n＝1也成立，所以b n＝n，n∈N*．（ii）＝，①，②①﹣②可得：＝，化简可得．20．已知函数f（x）＝lnx+（a∈R且a≠0），g（x）＝（b﹣1）x﹣xe x﹣（b∈R）（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+g（x）≤﹣2恒成立，求实数b的取值范围．解：（Ⅰ）∵，当a＜0时，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得：；由f'（x）＜0得：，∴f（x）在单调递减，在单调递增综上：当a＜0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，f（x）在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由题意：当a＜0时，不等式f（x）+g（x）≤﹣2，即．即在（0，+∞）恒成立，令，则，令u（x）＝x2e x+lnx，则，∴u（x）在（0，+∞）单调递增又，所以，u（x）有唯一零点x0（）所以，u（x0）＝0，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（※）当x∈（0，x0）时，u（x）＜0即h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（x0，+∞）时，u（x）＞0即h'（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x0）为h（x）在定义域内的最小值．令则方程（※）等价于k（x）＝k（﹣lnx）又易知k（x）单调递增，所以x＝﹣lnx，，所以，h（x）的最小值所以b﹣1≤1，即b≤2，所以实数b的取值范围是（﹣∞，2]．。
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷(有答案)
2021年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{−1, 0, 1, 2}，则A∩B＝（）A.{−1, 0, 1}B.{0, 1}C.{0, −1}D.{−1, 0, 1, 2}2. 设数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，且S3＝3a3，则公比q的值为（）A.−12B.12C.1或−12D.1或123. 已知a=log1312，b=log1213，c=log323，则（）A.b>a>cB.a>b>cC.c>b>aD.a>c>b4. 设p:log2x<0，q:2x−1<1，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 若直线x−y=2被圆(x−a)2+y2=4所截得的弦长为2√2，则实数a的值为()A.−1或√3B.1或3C.−2或6D.0或46. 已知正方体的体积是8，则这个正方体的外接球的体积是（）A.2√3πB.4√3πC.4√33π D.8√3π7. 将函数y＝sin x−√3cos x的图象向右平移a(a>0)个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是（）A.π3B.7π6C.π6D.π28. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−2, −1)，则双曲线的焦距为（）A.2√5B.2√3C.4√3D.4√59. 已知函数f(x)={2x −1,x >0−x 2−2x,x ≤0 ，若函数g(x)＝f(x)−m 有三个零点，则实数m的取值范围是（ ） A.(−∞, 0) B.(1, +∞) C.(0, 1) D.[0, 1]二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．若i 为虚单位，则复数3(1−i)2=________．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有________．已知二项式(x 2+1x )n 的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是________．已知实数a ，b 满足条件：ab <0，且1是a 2与b 2的等比中项，又是1a 与1b 的等差中项，则a+ba 2+b 2=________．曲线y ＝x(3ln x +1)在点(1, 1)处的切线方程为________．已知a →、b →是单位向量，a →⋅b →=0．若向量c →满足|c →−a →−b →|＝1，则|c →|的最大值是________．三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C =14． (Ⅰ)求c 的值；(Ⅱ)求sin (2C +π3)的值．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为23和34，且各次射击互相独立．(Ⅰ)若甲、乙两人各射击1次，求至少有一人命中目标的概率；(Ⅱ)若甲连续射击3次，设命中目标次数为ξ，求命中目标次数ξ的分布列及数学期望．四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，且PA ＝AB ＝2，AD ＝3，E 是线段BC 上的动点，F 是线段PE 的中点． (Ⅰ)求证：PB ⊥平面ADF ；(Ⅱ)若直线DE 与平面ADF 所成角为30∘，（1）求线段CE 的长；（2）求二面角P −ED −A 的余弦值．如图，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P(1, 32)，离心率e =12，直线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1+k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．设a ∈R ，函数f(x)＝ln x −ax ．(Ⅱ)已知x1=√e（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2>e32．参考答案与试题解析2021年天津市红桥区高考数学二模试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−2<x<2}，B＝{−1, 0, 1, 2}，∴A∩B＝{−1, 0, 1}．2.【答案】C【考点】等比数列的性质【解析】分两种情况：当q＝1时，得到此等比数列为常数列，各项都等于第一项，已知的等式显然成立；当q＝不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式公式化简已知的等式，得到关于q的方程，根据q不等于解出q的值，综上，得到所有满足题意的等比q的值．【解答】当q＝1时，S3＝a1+a2+a3＝3a1＝3a3，成立；当q≠1时，得到S3=a1(1−q3)1−q，a3＝a1q2，又S3＝3a3，所以1−q 31−q=3q2，化简得：2q2−q−1＝0，即(q−1)(2q+1)＝0，由q≠1即q−1≠0，解得q=−12．综上，公比q的值为1或−12．3.【答案】A【考点】对数值大小的比较【解析】可以得出0<log1312<1,log1213>1,log323<0，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】∴b>a>c．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】x<0，得0<x<1，得2x−1<1，反之不成立，再由充分必要条件的判定得结由log2论．【解答】x<0，得0<x<1，则x−1<0，∴2x−1<1；由log2反之，由2x−1<1，得x−1<0，则x<1，当x<0时，log2x<0不成立．∴logx<0⇒2x−1<1，反之不成立．2即p是q的充分而不必要条件．5.【答案】D【考点】直线与圆相交的性质圆的标准方程点到直线的距离公式【解析】)2=r2求解．由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，由d2+(l2【解答】解：∵圆(x−a)2+y2=4，∴圆心为：(a, 0)，半径为：2，圆心到直线的距离为：d=，√2∵d2+(2√2)2=r2，2解得a=4，或a=0.故选D．6.【答案】B【考点】球的表面积和体积球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】利用正方体的体积，求出棱长，然后求解外接球的半径，然后求外接球的体积即可．【解答】正方体的体积是8，这个正方体的外接球的半径为：12×2√3=√3．这个正方体的外接球的体积是：4π3×R3=4√3π．7.【答案】C【考点】三角函数中的恒等变换应用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，可得y＝2sin(x−a−π3)的图象关于y轴对称，可得a+π3=kπ+π2，k∈Z，从而求得a的最小值．【解答】将函数y＝sin x−√3cos x＝2sin(x−π3)的图象向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝2sin(x−a−π3)的图象，根据所得函数的图象关于y轴对称，可得a+π3=kπ+π2，k∈Z，即a＝kπ+π6，k∈Z．则a的最小值为π6，8.【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】根据题意，点(−2, −1)在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p＝4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点(−2, −1)在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(−2, −1)，即点(−2, −1)在抛物线的准线上，又由抛物线y2＝2px的准线方程为x=−p2，则p＝4，则抛物线的焦点为(2, 0)；则双曲线的左顶点为(−2, 0)，即a＝2；点(−2, −1)在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y＝±12x，由双曲线的性质，可得b＝1；则c=√5，则焦距为2c＝2√59.C【考点】指数函数的图象与性质函数零点的判定定理【解析】先画出函数的图象，然后根据函数g(x)＝f(x)−m有3个零点即y＝f(x)与y＝m有3个交点即可，结合图象可求出m的取值范围．【解答】画出函数f(x)={2x−1,x>0−x2−2x,x≤0的图象，如下图函数g(x)＝f(x)−m有3个零点即y＝f(x)与y＝m有3个交点即可根据图象可知0<m<1二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．【答案】32i【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】3 (1−i)2=3−2i=3i−2i2=32i．【答案】150【考点】分层抽样方法【解析】根据每个个体被抽到的概率都相等可得3045+15+30+10+a+20=1245+15，属于基础题．【解答】根据分层抽样的定义和方法可得3045+15+30+10+a+20=1245+15，解得a＝30，故这三个社团人数共有45+15+30+10+30+20＝150人，【答案】10二项式定理的应用【解析】【解答】解：由题意可得2n=32，即n=5，所以二项式(x2+1x )5的通项为：C5r(x2)5−r(1x )r=C5r x10−3r．令10−3r=1，得r=3，所以展开式中含x项的系数是C53=10．故答案为：10．【答案】−1 3【考点】等差数列的通项公式等比数列的通项公式【解析】利用等比中项的定义得到ab＝−1，再利用等差中项的定义得到a+b＝−2，代入所求式子即可求出结果．【解答】∵1是a2与b2的等比中项，∴a2b2＝1，又∵ab<0，∴ab＝−1，∵1又是1a 与1b的等差中项，∴1a+1b=2，∴b+aab=2，∴a+b＝−2，∴a+ba2+b2=a+b(a+b)2−2ab=−24+2=−13，【答案】y＝4x−3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程．【解答】求导函数，可得y′＝3ln x+4，当x＝1时，y′＝4，∴曲线y＝x(3ln x+1)在点(1, 1)处的切线方程为y−1＝4(x−1)，即y＝4x−3．【答案】√2+1【考点】向量的概念与向量的模【解析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．∵ a →、b →是单位向量，a →⋅b →=0．若向量c →满足|c →−a →−b →|＝1， ∴ 设a →=(1, 0)，b →=(0, 1)，c →=(x, y)， 则c →−a →−b →=(x −1, y −1)， ∵ |c →−a →−b →|＝1， ∴ (x −1)2+(y −1)2＝1，故向量|c →|的轨迹是在以(1, 1)为圆心，半径等于1的圆上， ∴ |c →|的最大值为√12+12+1=√2+1，三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【答案】（1）由余弦定理可知，c 2＝a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ c 2=1+4−2×1×2×14=4，解得c ＝2．（2）∵ sin 2C +cos 2C ＝1，且C ∈(0, π)，∴ sin C =√1−cos 2C =√154， ∴ sin 2C ＝2sin C cos C =√158，cos 2C =2cos 2C −1=−78，∴ sin (2C +π3)=sin 2C cos π3+cos 2C sin π3=√158×12+(−78)×√32=√15−7√316． 【考点】两角和与差的三角函数 余弦定理【解析】(Ⅰ)由余弦定理可知，c 2＝a 2+b 2−2ab cos C ，代入已知数据即可得解； (Ⅱ)由同角三角函数的平方关系可知，sin C =√1−cos 2C =√154，再结合二倍角公式可得，sin 2C =√158，cos 2C =−78，最后利用正弦的两角和公式将sin (2C +π3)展开后，代入数据即可得解．【解答】（1）由余弦定理可知，c 2＝a 2+b 2−2ab cos C ， ∴ c 2=1+4−2×1×2×14=4，解得c ＝2．（2）∵ sin 2C +cos 2C ＝1，且C ∈(0, π)，∴ sin C =√1−cos 2C =√154， ∴ sin 2C ＝2sin C cos C =√158，cos 2C =2cos 2C −1=−78，∴ sin (2C +π3)=sin 2C cos π3+cos 2C sin π3=√158×12+(−78)×√32=√15−7√316． 【答案】23132111（或设“两人都没命中目标”为事件B ，P(B)=13×14=112，“至少有一人命中目标”为事件A ，则P(A)＝1−P(B)=1112．(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ∼B(3,23)，∴ P(ξ＝0)=C 30(13)3=127，P(ξ＝1)=C 31×(23)1×(13)2=627=29，P(ξ＝2)=C 32(23)2(13)1=1227=49，P(ξ＝3)=C 33(23)3=827．∴ ξ的分布列为∴ 数学期望Eξ=1×627+2×1227+3×827=2..【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差【解析】(Ⅰ)从正面考虑，分三种情况：甲乙均命中、甲中乙未中、甲未中乙中，再求出三种情况的概率和即可；（或从反面考虑，先求出甲乙均未中的概率，在利用对立事件的概率求解即可）； (Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ∼B(3,23)，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望，也可以根据二项分布的性质求数学期望． 【解答】（1）设“至少有一人命中目标”为事件A ，则P(A)=23×34+13×34+23×14=1112．（或设“两人都没命中目标”为事件B ，P(B)=13×14=112，“至少有一人命中目标”为事件A ，则P(A)＝1−P(B)=1112．(2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ∼B(3,23)，∴ P(ξ＝0)=C 30(13)3=127，P(ξ＝1)=C 31×(23)1×(13)2=627=29，P(ξ＝2)=C 32(23)2(13)1=1227=49，P(ξ＝3)=C 33(23)3=827．∴ ξ的分布列为∴ 数学期望Eξ=1×627+2×1227+3×827=2..【答案】证明：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 3, 0)，D(0, 3, 0)，E(2, y, 0)，F(1,m2,1)，P(0, 0, 2)． 向量PB →=(2,0,−2)，向量AD →=(0,3,0)，AF →=(1,m2,1)，PB →⋅AD →=0，PB →⋅AF →=0，即PB ⊥AD ，PB ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ， 所以PB ⊥平面ADF ．（1）设n →=(x,y,z)为平面ADF 的法向量， 则{AD →⋅n →=3y =0AF →⋅n →=x +m2y +z =0， 不妨令x ＝1，可得n →=(1,0,−1)为平面ADF 的一个法向量， 向量DE →=(2,y −3,0)∵ 直线DE 与平面ADF 所成角为30∘，于是有cos ⟨n →⋅DE →⟩=n →⋅DE→|n →|⋅|DE →|=12，所以√1+0+1⋅√22+(y−3)2+0=12，得y ＝1，y ＝5（舍）E(2, 1, 0)，C(2, 3, 0)，线段CE 的长为2．（1）设n →=(a, b, c)为平面PED 的法向量， PE →=(2,1,−2)，PD →=(0,3,−2) 则{PE →⋅m →=2a +y −2c =0PD →⋅m →=3b −2c =0，不妨令a ＝2，可得n →=(2,2,3)为平面ADF 的一个法向量， 又AP →=(0,0,2)为平面ADE 的一个法向量，∴ 二面角P −ED −A 的余弦值为：cos <n →,AP →>=n →⋅AP →n →⋅AP→=3√1717．【考点】直线与平面垂直 直线与平面所成的角 二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PB ⊥平面ADF ．(Ⅱ)(1)求出平面ADF 的法向量和平面ADF 的一个法向量，利用向量法能求出线段CE 的长．（2）求出平面PED 的法向量，和平面ADF 的一个法向量，平面ADE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角P −ED −A 的余弦值． 【解答】证明：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，C(2, 3, 0)，D(0, 3, 0)，E(2, y, 0)，F(1,m2,1)，P(0, 0, 2)．向量PB →=(2,0,−2)，向量AD →=(0,3,0)，AF →=(1,m2,1)，PB →⋅AD →=0，PB →⋅AF →=0，即PB ⊥AD ，PB ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ， 所以PB ⊥平面ADF ．（1）设n →=(x,y,z)为平面ADF 的法向量， 则{AD →⋅n →=3y =0AF →⋅n →=x +m2y +z =0， 不妨令x ＝1，可得n →=(1,0,−1)为平面ADF 的一个法向量， 向量DE →=(2,y −3,0)∵ 直线DE 与平面ADF 所成角为30∘，于是有cos ⟨n →⋅DE →⟩=n →⋅DE→|n →|⋅|DE →|=12，所以√1+0+1⋅√22+(y−3)2+0=12，得y ＝1，y ＝5（舍）E(2, 1, 0)，C(2, 3, 0)，线段CE 的长为2．（1）设n →=(a, b, c)为平面PED 的法向量， PE →=(2,1,−2)，PD →=(0,3,−2)则{PE →⋅m →=2a +y −2c =0PD →⋅m →=3b −2c =0，不妨令a ＝2，可得n →=(2,2,3)为平面ADF 的一个法向量， 又AP →=(0,0,2)为平面ADE 的一个法向量，∴ 二面角P −ED −A 的余弦值为：cos <n →,AP →>=n →⋅AP →n →⋅AP→=3√1717．【答案】 椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (1, 32)，可得1a 2+94b 2=1(a >b >0)①由离心率e =12得ca =12，即a ＝2c ，则b 2＝3c 2②，代入①解得c ＝1，a ＝2，b =√3 故椭圆的方程为x 24+y 23=1方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x −1)③ 代入椭圆方程x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3④在方程③中，令x ＝4得，M 的坐标为(4, 3k)， 从而k 1=y 1−32x1−1，k 2=y 2−32x 2−1，k 3=3k−324−1=k −12注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1−1=y 2x 2−1=k所以k 1+k 2=y 1−32x 1−1+y 2−32x 2−1=y 1x 1−1+y 2x 2−1−32(1x 1−1+1x 2−1)＝2k −32×x 1+x 2−2x1x 2−(x 1+x 2)+1⑤④代入⑤得k 1+k 2＝2k −32×8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=2k −1又k 3＝k −12，所以k 1+k 2＝2k 3 故存在常数λ＝2符合题意方法二：设B(x 0, y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)令x ＝4，求得M(4, 3y 0x 0−1)从而直线PM 的斜率为k 3=2y 0−x 0+12(x 0−1)，联立{x 24+y 23=1y =y 0x 0−1(x −1)，得A(5x 0−82x 0−5, 3y2x 0−5)， 则直线PA 的斜率k 1=2y 0−2x 0+52(x 0−1)，直线PB 的斜率为k 2=2y 0−32(x 0−1)所以k 1+k 2=2y 0−2x 0+52(x 0−1)+2y 0−32(x 0−1)=2×2y 0−x 0+12(x 0−1)=2k 3，故存在常数λ＝2符合题意【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）由题意将点P (1, 32)代入椭圆的方程，得到1a 2+94b 2=1(a >b >0)，再由离心率为e =12，将a ，b 用c 表示出来代入方程，解得c ，从而解得a ，b ，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB 的方程为y ＝k(x −1)，代入椭圆的方程并整理成关于x 的一元二次方程，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，利用根与系数的关系求得x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3，再求点M 的坐标，分别表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2＝λk 3即可求得参数的值；方法二：设B(x 0, y 0)(x 0≠1)，以之表示出直线FB 的方程为y =y 0x0−1(x −1)，由此方程求得M 的坐标，再与椭圆方程联立，求得A 的坐标，由此表示出k 1，k 2，k 3．比较k 1+k 2＝λk 3即可求得参数的值 【解答】椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)经过点P (1, 32)，可得1a 2+94b 2=1(a >b >0)① 由离心率e =12得ca =12，即a ＝2c ，则b 2＝3c 2②，代入①解得c ＝1，a ＝2，b =√3 故椭圆的方程为x 24+y 23=1方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k(x −1)③代入椭圆方程x 24+y 23=1并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3④在方程③中，令x ＝4得，M 的坐标为(4, 3k)， 从而k 1=y 1−32x 1−1，k 2=y 2−32x 2−1，k 3=3k−324−1=k −12注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1−1=y 2x 2−1=k所以k 1+k 2=y 1−32x 1−1+y 2−32x 2−1=y 1x 1−1+y 2x 2−1−32(1x 1−1+1x 2−1)＝2k −32×x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1⑤④代入⑤得k 1+k 2＝2k −32×8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=2k −1又k 3＝k −12，所以k 1+k 2＝2k 3 故存在常数λ＝2符合题意方法二：设B(x 0, y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y =y 0x 0−1(x −1)令x ＝4，求得M(4, 3y 0x 0−1)从而直线PM 的斜率为k 3=2y 0−x 0+12(x 0−1)，联立{x 24+y 23=1y =y 0x 0−1(x −1)，得A(5x 0−82x 0−5, 3y 02x 0−5)，则直线PA 的斜率k 1=2y 0−2x 0+52(x 0−1)，直线PB 的斜率为k 2=2y 0−32(x 0−1)所以k 1+k 2=2y 0−2x 0+52(x 0−1)+2y 0−32(x 0−1)=2×2y 0−x 0+12(x 0−1)=2k 3，故存在常数λ＝2符合题意【答案】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)． 求导数，得f′(x)=1x −a =1−ax x．①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)是(0, +∞)上的增函数，无极值； ②若a >0，令f′(x)＝0，得x =1a ．当x∈(0, 1a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1a, +∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴当x=1a 时，f(x)有极大值，极大值为f(1a)＝ln1a−1＝−ln a−1．综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0, +∞)，无极值；当a>0时，f(x)的递增区间为(0, 1a )，递减区间为(1a, +∞)，极大值为−ln a−1（2）∵x1=√e是函数f(x)的零点，∴f (√e)＝0，即12−a√e=0，解得a=2√e=√e2e．∴f(x)＝ln x2√e．∵f(e32)=32−e2>0，f(e52)=52−e22<0，∴f(e32)⋅f(e52)<0．由(Ⅰ)知，函数f(x)在(2√e, +∞)上单调递减，∴函数f(x)在区间(e32, e52)上有唯一零点，因此x2>e32．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】（I）先求函数f(x)的导函数f′(x)，并确定函数的定义域，再解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，即可分别求得函数f(x)的单调增区间和单调减区间，进而利用极值定义求得函数的极值，由于导函数中含有参数a，故为解不等式的需要，需讨论a的正负；(II)将x1=√e代入函数f(x)，即可得a的值，再利用(I)中的单调性和函数的零点存在性定理，证明函数的另一个零点x2是在区间(e 32, e52)上，即可证明结论【解答】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)．求导数，得f′(x)=1x −a=1−axx．①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)是(0, +∞)上的增函数，无极值；②若a>0，令f′(x)＝0，得x=1a．当x∈(0, 1a)时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈(1a, +∞)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴当x=1a 时，f(x)有极大值，极大值为f(1a)＝ln1a−1＝−ln a−1．综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0, +∞)，无极值；当a>0时，f(x)的递增区间为(0, 1a )，递减区间为(1a, +∞)，极大值为−ln a−1（2）∵x1=√e是函数f(x)的零点，∴f (√e)＝0，即12−a√e=0，解得a=2√e=√e2e．∴f(x)＝ln x2√e．∵f(e32)=32−e2>0，f(e52)=52−e22<0，∴f(e32)⋅f(e52)<0．由(Ⅰ)知，函数f(x)在(2√e, +∞)上单调递减，∴函数f(x)在区间(e32, e52)上有唯一零点，因此x2>e32．。
2023年天津市红桥区高三二模数学试题+答案解析(附后)
天津市红桥区2023届高三二模数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为( )A. B.C.D.4.函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.5.若，则( )A. 8B. 25C. 16D. 46.设函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位得函数的图象，则( )A. 上单调递减B. 上单调递减C.上单调递增D.上单调递增7.已知双曲线的右焦点F 与抛物线的焦点重合，过F 作与一条渐近线平行的直线l ，交另一条渐近线于点A ，交抛物线的准线于点B ，若三角形为原点的面积，则双曲线的方程为( )A. B.C.D.8.已知是定义在R 上的偶函数且在上为减函数，若，，，则( )A. B. C. D.9.已知菱形ABCD 的边长为2，，点E 在边BC 上，，若G 为线段DC 上的动点，则的最大值为( )A. 2B.C.D. 4二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若i 是虚数单位，则复数__________.11.若二项式的展开式共7项，则展开式的常数项为__________.12.已知直线和圆相交于A ，B 两点．若，则r 的值为__________.13.已知x ，，，则的最小值__________.14.若函数，函数有两个零点，则实数k 的取值是__________.15.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从“天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区”这6个景点中随机选择1个景点游玩，记事件A 为“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件B 为“两位游客选择的景点不同”，则__________，__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
天津市红桥区2021届新高考数学模拟试题(2)含解析
天津市红桥区2021届新高考数学模拟试题（2）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.2．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】因为1i 2i 13i z =--=-，所以z 的虚部是3-.故选B ．3．已知向量()1,2a =-v，(),1b x x =-v ，若()2//b a a -v v v ，则x =（ ）A ．13B ．23C ．1D ．3【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量平行的坐标条件得到参数x 的值. 【详解】由题意得，()22,5b a x x -=+-v v， ()2//b a a v v Q v -，()2250x x ∴++-=，解得13x =. 故选A. 【点睛】本题考查向量平行定理，考查向量的坐标运算，属于基础题.4．若AB 为过椭圆22116925x y +=中心的弦，1F 为椭圆的焦点，则△1F AB 面积的最大值为（ ）A ．20B ．30C ．50D ．60【答案】D 【解析】 【分析】先设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --，在表示出1F AB ∆面积，由图象遏制，当点A 在椭圆的顶点时，此时1F AB ∆面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解. 【详解】由题意，设A 点的坐标为(,)x y ，根据对称性可得(,)B x y --， 则1F AB ∆的面积为122S OF y c y =⨯⨯=，当y 最大时，1F AB ∆的面积最大，由图象可知，当点A 在椭圆的上下顶点时，此时1F AB ∆的面积最大，又由22116925x y +=，可得椭圆的上下顶点坐标为(0,5),(0,5)-，所以1F AB ∆的面积的最大值为16925560S cb ==-⨯=. 故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.5．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 【答案】A 【解析】A 项，由a b >得到a b -<-，则c a c b -<-，故A 项正确；B 项，当0c =时，该不等式不成立，故B 项错误；C 项，当1a =，2b =-时，112>-，即不等式11a b<不成立，故C 项错误；D 项，当1a =-，2b =-时，21ba =>，即不等式1b a<不成立，故D 项错误．综上所述，故选A ．6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A 【解析】 【分析】通过方差公式分析可知方差没有改变，中位数、众数和平均数都发生了改变. 【详解】由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以2)n x x -（没有改变， 根据方差公式222181[()()]8S x x x x =-++-L 可知方差不变. 故选：A 【点睛】本题主要考查样本的数字特征，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．已知函数()e ln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞【答案】A 【解析】 【分析】分析可得0m >,显然e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立,只需讨论1x >时的情况即可,()0f x >⇔e ln mx m x >⇔ln e e ln mx x mx x >,然后构造函数()e (0)xg x x x =>,结合()g x 的单调性,不等式等价于ln mx x >,进而求得m 的取值范围即可. 【详解】由题意,若0m ≤,显然()f x 不是恒大于零,故0m >.0m >,则e ln 0mx m x ->在(]0,1上恒成立;当1x >时,()0f x >等价于e ln mx m x >, 因为1x >,所以ln e e ln mx x mx x >.设()e (0)xg x x x =>,由()e (1)x g x x '+=,显然()g x 在(0,)+∞上单调递增,因为0,ln 0mx x >>,所以ln e e ln mx x mx x >等价于()(ln )g mx g x >,即ln mx x >,则ln xm x>. 设ln ()(0)x h x x x=>,则21ln ()(0)xh x x x '-=>. 令()0h x '=,解得e x =,易得()h x 在(0,e)上单调递增,在(e,)+∞上单调递减, 从而max 1()(e)e h x h ==，故1em >. 故选:A. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.8．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．9．已知向量a r ，b r 满足|a r |＝1，|b r |＝2，且a r 与b r的夹角为120°，则3a b -r r ＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅r r，然后将3a b -r r 进行平方，，可得结果.【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭o r r r r∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=r r r r r r∴则3a b -=r r 故选：D. 【点睛】本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。
天津市红桥区高考数学二模试卷(理科)解析版
，则目标函数 z=2x-y 的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D. 2
3. 已知 a=21.2，b=2log52，c=ln ，则（ ）
A. a＞b＞c
B. a＞c＞b
C. b＞a＞c
D. c＞a＞b
4. 已知 α，β 是相交平面，直线 l⊂平面 α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A. 充分不必要条件
（3）在线段 PC 上是否存在一点 M，使直线 FM 与直线 PA 所成的角为 ？若存在，
求出线段 PM 的长；若不存在，请说明理由．
18. 已知数列{an}是公比大于 1 的等比数列（n∈
差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
），a2=4，且 1+a2 是 a1 与 a3 的等
（Ⅱ）设 bn=log2an，Sn 为数列{bn}的前 n 项和，记 Tn=
12. 从 0，1，2，3，4，5 共 6 个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被 5 整除的三位数的个数为______．
13. 设 a、b 是正实数，且 a+b=2，则 的最小值是______．
14. 已知 ≤k＜1，函数 f（x）=|2x-1|-k 的零点分别为 x1，x2（x1＜x2），函数 g（x）=|2x-1|-
，证明：
1≤Tn＜2．
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19. 已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点 A 为椭圆的右项点，点 B 为椭
圆的上顶点，点 F 为椭圆的左焦点，且△FAB 的面积是 1+ ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设直线 x=my+1 与椭圆 C 交于 P、Q 两点，点 P 关于 x 轴的对称点为 P1（P1 与 Q 不重合），则直线 P1Q 与 x 轴交于点 H，求△PQH 面积的取值范围．
2020-2021学年最新天津市红桥区中考数学二模试卷及答案
天津市红桥区中考数学二模试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1．计算15÷（﹣3）的结果等于（）A．﹣5 B．5 C．﹣D．2．sin45°的值等于（）A．B．1 C．D．3．如图图形中，可以看作中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．2017年“智慧天津”建设成效显著，互联网出口带宽达到17200吉比特每秒．将17200用科学记数法表示应为（）A．172×102B．17.2×103C．1.72×104D．0.172×1055．如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．计算﹣的结果是（）A．1 B．﹣1 C．1﹣x D．7．方程2x2﹣x﹣3=0的两个根为（）A．x1=，x2=﹣1 B．x1=﹣，x2=1C．x1=，x2=﹣3 D．x1=﹣，x2=38．已知a=（+1）2，估计a的值在（）A．3 和4之间 B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间9．一个圆的内接正六边形的边长为2，则该圆的内接正方形的边长为（）A．B．2C．2D．410．已知点P（m，n），为是反比例函数y=﹣图象上一点，当﹣3≤n＜﹣1时，m的取值范围是（）A．1≤m＜3 B．﹣3≤m＜﹣1 C．1＜m≤3 D．﹣3＜m≤﹣111．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，AC=3，cosA=，将△DAC沿着CD折叠后，点A落在点E处，则BE的长为（）A．5 B．4C．7 D．512．若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A．a＜3 B．a＞3 C．a＜﹣3 D．a＞﹣3二、填空题（每小题3分，共18分）13．计算a5÷a2的结果等于．14．一个不透明的袋子中装有5个球，其中3个红球、2个黑球，这些球除颜色外无其它差别，现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是．15．若一次函数y=﹣x+b（b为常数）的图象经过点（1，2），则b的值为．16．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE=2EB，S△AFD=9，则S△EFC等于．17．已知抛物线y=x2﹣x+3与y轴相交于点M，其顶点为N，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′与点N重合，则平移后的抛物线的解析式为．18．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、点B、点C 均落在格点上．（I）计算△ABC的边AC的长为．（II）点P、Q分别为边AB、AC上的动点，连接PQ、QB．当PQ+QB取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ、QB，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（66分）19．（8分）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（I）解不等式（1），得；（II）解不等式（2），得；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为．20．（8分）为了了解初一年级学生每学期参加综合实践活动的情况，某区教育行政部门随机抽样调查了部分初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：（I）本次随机抽样调查的学生人数为，图①中的m的值为；（II）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；（III）若该区初一年级共有学生2500人，请估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生人数．21．（10分）在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B作⊙O的切线BF交CD的延长线于点F．（I）如图①，若∠F=50°，求∠BGF的大小；（II）如图②，连接BD，AC，若∠F=36°，AC∥BF，求∠BDG的大小．22．（10分）五一期间，小红到郊野公园游玩，在景点P处测得景点B位于南偏东45°方向，然后沿北偏东37°方向走200m米到达景点A，此时测得景点B正好位于景点A的正南方向，求景点A与景点B之间的距离．（结果保留整数）参考数据：sin37≈0.60，cos37°=0.80，tan37°≈0.7523．（10分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．若用户的月用水量不超过15吨，每吨收水费4元；用户的月用水量超过15吨，超过15吨的部分，按每吨6元收费．（I）根据题意，填写下表：月用水量（吨/户） 4 10 16 ……应收水费（元/户）40 ……（II）设一户居民的月用水量为x吨，应收水费y元，写出y关于x的函数关系式；（III）已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨，两户共收水费126元，求他们上个月分别用水多少吨？24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0）、点B（0，4），点C、D分别是边OA、AB的中点．将△ACD绕点A顺时针方向旋转，得△AC′D′，记旋转角为α．（I）如图①，连接BD′，当BD′∥OA时，求点D′的坐标；（II）如图②，当α=60°时，求点C′的坐标；（III）当点B，D′，C′共线时，求点C的坐标（直接写出结果即可）．25．（10分）如图，经过原点的抛物线y=﹣x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过点P（1，m）作直线PA⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（点B、C不重合），连接CB、CP．（I）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（II）当m＞1时，连接CA，若CA⊥CP，求m的值；（III）过点P作PE⊥PC，且PE=PC，当点E落在坐标轴上时，求m的值，并确定相对应的点E的坐标．参考答案与试题解析一、选择题1．【解答】解：15÷（﹣3）=﹣（15÷3）=﹣5，故选：A．2．【解答】解：sin45°=，故选：D．3．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．【解答】解：将17200用科学记数法表示为1.72×104．故选：C．5．【解答】解：这个几何体的主视图为：．故选：D．6．【解答】解：原式====﹣1，故选：B．7．【解答】解：（2x﹣3）（x+1）=0，2x﹣3=0或x+1=0，所以x1=，x2=﹣1．故选：A．8．【解答】解：a=×（7+1+2）=4+，∵2＜＜3，∴6＜4+＜7，∴a的值在6和7之间，故选：D．9．【解答】解：∵圆内接正六边形的边长是2，∴圆的半径为2．那么直径为4．圆的内接正方形的对角线长为圆的直径，等于4．∴圆的内接正方形的边长是2．故选：B．10．【解答】解：∵点P（m，n），为是反比例函数y=﹣图象上一点，∴当﹣3≤n＜﹣1时，∴n=﹣3时，m=1，n=﹣1时，m=3，则m的取值范围是：1≤m＜3．故选：A．11．【解答】解：连接AE，∵AC=3，cos∠CAB=，∴AB=3AC=9，由勾股定理得，BC==6，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AB=，S△ABC=×3×6=9，∵点D为AB的中点，∴S△ACD=S△ABC=，由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9，AE⊥CD，则×CD×AE=9，解得，AE=4，∴AF=2，由勾股定理得，DF==，∵AF=FE，AD=DB，∴BE=2DF=7，故选：C．12．【解答】解：依题意得：当x=0时，函数y=ax2+2x﹣5=﹣5；当x=1时，函数y=a+2﹣5=a﹣3．又关于x的一元二次方程ax2+2x﹣5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），所以当x=1时，函数图象必在x轴的上方，所以y=a﹣3＞0，即a＞3．故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）13．【解答】解：a5÷a2=a3．故答案为：a3．14．【解答】解：∵袋子中共有5个球，有2个黑球，∴从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为；故答案为：．15．【解答】解：把点（1，2）代入解析式y=﹣x+b，可得：2=﹣1+b，解得：b=3，故答案为：316．【解答】解：∵四边形ABC D是平行四边形，∴BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为2：1，∴S△AFD：S△EFC=（）2，而S△AFD=9，∴S△EFC=4．故答案为：4．17．【解答】解：y=x2﹣x+3=（x﹣）2+，∴N点坐标为：（，），令x=0，则y=3，∴M点的坐标是（0，3）．∵平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′与点N重合，∴抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y=（x﹣1）2+．故答案是：y=（x﹣1）2+．18．【解答】解：（1）AC==．故答案为．（2）作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．故答案为：作线段AB关于AC的对称线段AB′，作BQ′⊥AB′于Q′交AC于P，作PQ⊥AB于Q，此时PQ+QB的值最小．[来源:]三、解答题（66分）19．【解答】解：（I）解不等式（1），得x≥；（II）解不等式（2），得x≤2；（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV）原不等式组的解集为：≤x≤2．故答案为：x≥、x≤2、≤x≤2．20．【解答】解：（I）本次随机抽样调查的学生人数为18÷12%=150人，m=100﹣（12+10+18+22+24）=14，故答案为：150、14；（II）众数为3天、中位数为第75、76个数据的平均数，即平均数为=4天，平均数为=3.5天；（III）估计该区初一年级这个学期参加综合实践活动的天数大于4天的学生有2500×（18%+10%）=700人．21．【解答】解：（I）如图①，连接OB，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∴∠OBF=90°，[来源:]∵OA⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣50°=130°，∵OA=OB，∴∠1=∠A=（180°﹣130°）=25°，∴∠2=90°﹣∠1=65°，∴∠BGF=180°﹣∠2﹣∠F=180°﹣65°﹣50°=65°；（II）如图②，连接OB，BO的延长线交AC于H，∵BF为⊙O的切线，∴OB⊥BF，∵AC∥BF，∴BH⊥AC，与（Ⅰ）方法可得到∠AOB=180°﹣∠F=180°﹣36°=144°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=（180°﹣144°）=18°，∵∠AOB=∠OHA+∠OAH，∴∠OAH=144°﹣90°=54°，∴∠BAC=∠OAH+∠OAB=54°+18°=72°，∴∠BDG=∠BAC=72°．22．【解答】解：如图，作PC⊥AB于C，则∠ACP=∠BCP=90°，由题意，可得∠A=37°，∠B=45°，PA=200m．在Rt△ACP中，∵∠ACP=90°，∠A=37°，∴AC=AP•cosA=200×0.80=160，PC=AP•sinA=200×0.60=120．在Rt△BPC中，∵∠BCP=90°，∠B=45°，∴BC=PC=120．∴AB=AC+BC=160+120=280（米）．答：景点A与B之间的距离大约为280米．23．【解答】解：（Ⅰ）当月用水量为4吨时，应收水费=4×4=16元；当月用水量为16吨时，应收水费=15×4+1×6=66元；故答案为：16；66；（Ⅱ）当x≤15时，y=4x；当x＞15时，y=15×4+（x﹣15）×6=6x﹣30；（Ⅲ）设居民甲上月用水量为X吨，居民乙用水（X﹣6）吨．由题意：X﹣6＜15且X＞15时，4（X﹣6）+15×4+（X﹣15）×6=126[来X=18，∴居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨．24．【解答】解：（I）如图①，∵A（8，0），B（0，4），∴OB=4，OA=8，∵AC=OC=AC′=4，∴当OB∥AC′，四边形OBC′A是平行四边形，∵∠AOB=90°，∴四边形OBC′A是矩形，∴∠AC′B=90°，∵∠AC′D′=90°，∴B、C′、D′共线，∴BD′∥OA，∵AC=CO，BD=AD，∴CD=C′D′=OB=2，∴D′（10，4），根据对称性可知，点D″在线段BC′上时，D″（6，4）也满足条件．综上所述，满足条件的点D坐标（10，4）或（6，4）．（II）如图②，当α=60°时，作C′K⊥AC于K．在Rt△AC′K中，∵∠KAC′=60°，AC′=4，∴AK=2，C′K=2，∴OK=6，∴C′（6，2）．（III）①如图③中，当B、C′、D′共线时，由（Ⅰ）可知，C′（8，4）．②如图④中，当B、C′、D′共线时，BD′交OA于F，易证△BOF≌△AC′F，∴OF=FC′，设OF=FC′=x，在Rt△ABC′中，BC′==8，在RT△BOF中，OB=4，OF=x，BF=8﹣x，∴（8﹣x）2=42+x2，解得x=3，∴OF=FC′=3，BF=5，作C′K⊥OA于K，∵OB∥KC′，∴==，∴==，∴KC′=，KF=，∴OK=，∴C′（，﹣）．25．【解答】解：（I）当m=3时，抛物线解析式为y=﹣x2+6x，当y=0时，﹣x2+6x=0，解得x1=0，x2=6，则A（6，0），抛物线的对称轴为直线x=3，∵P（1，3），∴B（1，5），∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C∴C（5，5），∴BC=5﹣1=4；（II）当y=0时，﹣x2+2mx=0，解得x1=0，x2=2m，则A（2m，0），B（1，2m﹣1），∵点B关于抛物线对称轴的对称点为C，而抛物线的对称轴为直线x=m，∴C（2m﹣1，2m﹣1），∵PC⊥PA，∴PC2+AC2=PA2，∴（2m﹣2）2+（m﹣1）2+12+（2m﹣1）2=（2m﹣1）2+m2，整理得2m2﹣5m+3=0，解得m1=1，m2=，即m的值为；（III）如图，∵PE⊥PC，PE=PC，∴△PME≌△CBP，∴PM=BC=2m﹣2，ME=BP=2m﹣1﹣m=m﹣1，而P（1，m）∴2m﹣2=m，解得m=2，∴ME=m﹣1=1，∴E（2，0）；作PH⊥y轴于H，如图，易得△PHE′≌△PBC，∴PH=PB=m﹣1，HE′=BC=2m﹣2，而P（1，m）∴m﹣1=1，解得m=2，∴HE′=2m﹣2=2，∴E′（0，4）；综上所述，m的值为2，点E的坐标为（2，0）或（0，4）．。
2021年5月天津市红桥区普通高中2021届高三毕业班下学期第二次高考模拟考试数学答案
+ ＝bn+1﹣1，
两式相减可得
＝ bn+1﹣1﹣（bn﹣1），
方法一：化为 ＝ ＝…＝ ＝1……………………9
高三数学答案 第3页 （共5页）
（方法二：化为
，累乘…………9）
所以 bn＝n ……………………………………………10
上式对 n＝1 也成立，所以 bn＝n，n∈N*………………11
（ⅱ）Mn＝
（
1 2
x0
1）
( ) 所以， u
x0
= 0 ，即 x0ex0
= − lnx0 x0
--------（※）
令 k ( x) = xex (1 x 1) ，则方程（※）等价于 k ( x) = k (−lnx)
2
又易知 k ( x) 单调递增，所以 x = −lnx ， ex = 1
x
当 x (0, x0 ) 时， u ( x) 0 即 h( x) 0 ， h ( x) 单调递减； x ( x0, +) 时， u ( x) 0 即
所以 所以
， ……………12
．………………14
（17）（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ）证明：过 A 作 AE ⊥ CD ，垂足为 E ，则 DE = 1， 如图，以 A 为坐标原点，分別以 AE ，AB ， AP 为 x,……1
( ) ( ) 则 A(0,0,0) ，B(0,1,0) ，E 2 2,0,0 ，D 2 2, −1,0 ，
………………15 ………………1
解得
……………………………………………………………2
所以 an＝5•3n﹣2，Sn＝
＝ （3n﹣1）………………6
（Ⅱ）（ⅰ）由 b1＝1，且
天津市红桥区普通高中2021届高三毕业班上学期期末考试数学试题(解析版)
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶函数可得 , ,再根据单调性即可判断.
【详解】 是偶函数, , ,
当 时, 是增函数,且 ,
,
.
故选：B.
6.设函数 ,下列结论中错误的是（）
A. 的一个周期为
B. 的最大值为2
C. 在区间 上单调递减
D. 的一个零点为
【答案】D
【解析】Байду номын сангаас
【分析】
根据解析式即可得出周期和最大值,即可判断AB；求出函数的单调递减区间即可判断C；将 代入即可验证D.
【答案】
【解析】
【分析】
根据抛物线的焦点,可求得圆心坐标,根据弦长为2,结合弦长公式,可求得 ,代入方程,即可得答案.
【详解】因为 的焦点为（0,1）,
所以所求圆的圆心为（0,1）,设该圆半径为r,
则圆心（0,1）到直线 的距离 ,
所以弦长 ,解得 ,
故该圆的标准方程为： ,
故选：C
第II卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11题,共105分.
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.
10.已知 ,且复数 是纯虚数,则 ________.
【答案】
【解析】
分析】
根据复数的四则运算进行化简得 ,又由于该复数为纯虚数,故 ,解得 .
【详解】解： ,
【答案】24
【解析】
试题分析：设正方体的外接球的半径为 ,由： ,解得： ,设该正方体的边长为 ,根据 解得 ,所以正方体的表面积为： ,所以答案为 .
考点：1.求的体积公式；2.正方体的外接球；3.球的表面积和体积公式.
天津市红桥区2021年高考复习数学二模试卷(文科)
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调增区间； （Ⅱ）是否存在负实数 a，使 x∈[﹣1，0]，函数有最小值﹣3．
4
2021 年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）（2021•红桥区二模）已知集合 A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤3}，则 A∩B＝ （）
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
4．（5 分）（2021•红桥区二模）已知a
=
(13)12，b
=
1 ln3，c
=
1
푒3，则（
）
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．b＞a＞c
D．b＞c＞a
【考点】4M：对数值大小的比较．
【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．
2021 年天津市红桥区高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5 分）已知集合 A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤3}，则 A∩B＝（ ）
A．{0，2}
B．{﹣1，0，1}
C．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}
D．[0，2]
Hale Waihona Puke {2y - x ≥ 0{2y - x ≥ 0
【解答】解：变量
x，y
满足约束条件
3푥 + 2푦 ≥ 푥 ‒ 3푦 + 9
6 ≥
0，不等式组表示的平面区域如图所示，
푥≤3
当直线 z＝2x﹣y 过点 A 时，z 取得最大值，
2020-2021学年天津市红桥区名校数学八年级第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析
2020-2021学年天津市红桥区名校数学八年级第二学期期末学业质量监测模拟试题 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根分别为x 1，x 2，则1211+x x 的值为( ) A ．2B ．－1C ．－12D ．－22．四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且AO CO =，那么下列条件不能判断四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．OB OD = B ．AB CD ∥ C ．AB CD = D ．ADB DBC ∠=∠3．如图，点C 是线段BE 的中点，分别以BC CE 、为边作等腰ABC ∆和等腰CDE ∆，90BAC CDE ∠=∠=，连接AD BD AE 、、，且BD AE 、相交于点G ，CG 交AD 于点F ，则下列说法中，不正确的是（ ）A ．CF 是ACD ∆的中线B ．四边形ABCD 是平行四边形C ．AE BD =D ．AG 平分CAD ∠ 4．如图，直线483y x =-+与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，∠BAO 的平分线所在的直线AM 的解析式是（ ）A ．1522y x =-+B ．132y x =-+C ．1722y x =-+D ．142y x =-+ 582m n =n 为整数），则m 的值可以是（ ）A ．6B ．12C ．18D ．246．若a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．66a b ->-B ．33a b >C ．22a b -<-D ．0a b -<7．如果不等式（a+1）x ＜a+1的解集为x ＞1，那么a 的取值范围是（ ）A ．a ＜1B ．a ＜﹣1C ．a ＞1D ．a ＞﹣18．用配方法解一元二次方程2640x x -+=，下列变形正确的是（ ）A ．2(3)13x -=B ．5)3(2=-xC ．2(6)13x -=D ．2(6)5x -=9．下列图案中，中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下列式子中，属于最简二次根式的是( )A ．12B ．23C ．0.3D ．7二、填空题(每小题3分,共24分)11．分解因式：3a 2﹣12=___．12．如图，1角硬币边缘镌刻的是正九边形，则这个正九边形每个内角的度数是________．13．一组数据3，2，4，5，2的众数是______．14．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，若AB ＝5，OA ＝4，则菱形ABCD 的面积_____．15．点(),5A m m +在函数21y x =-+的图象上，则m =__________16．如果一个多边形的每个外角都等于40，那么这个多边形的内角和是______度．17．如果43mn=，那么m nn-的值是___________．18．《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有___亩（1亩＝240平方步）．三、解答题(共66分)19．（10分）武汉某文化旅游公司为了在军运会期间更好地宣传武汉，在工厂定制了一批具有浓郁的武汉特色的商品．为了了解市场情况，该公司向市场投放A，B型商品共250件进行试销，A型商品成本价160元/件，B商品成本价150元/件，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元／件，B型商品的售价为220元／件，且全部售出．设投放A型商品x件，该公司销售这批商品的利润y元．（1）直接写出y与x之间的函数关系式：_______；（2）为了使这批商品的利润最大，该公司应该向市场投放多少件A型商品？最大利润是多少？（3）该公司决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，当该公司售完这250件商品并捐献资金后获得的最大收益为18000元时，求a的值．20．（6分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为时，四边形AMDN 是菱形．21．（6分）已知：线段a，c．求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠C＝90°22．（8分）如图，正方形ABCD和正方形CEFC中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，EH与CF 交于点O．（1）求证：HC＝HF．（2）求HE的长．23．（8分）先化简，再求值：2144133++⎛⎫-÷⎪++⎝⎭x xx x，其中x=20160+424．（8分）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC分别交射线AD与射线CB于点E和点F，联结CE、AF．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）当点E、F分别在边AD和BC上时，如果设AD＝x，菱形AFCE的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△ODE是等腰三角形，求AD的长度．25．（10分）如图，C地到A，B两地分别有笔直的道路CA，CB相连，A地与B地之间有一条河流通过，A，B，C 三地的距离如图所示．（1）如果A地在C地的正东方向，那么B地在C地的什么方向？（2）现计划把河水从河道AB段的点D引到C地，求C，D两点间的最短距离．26．（10分）如图，已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，求BE的长.参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】由题意得，12221x x -+=-=，12111x x -⋅==-， ∴1211x x +=1212221x x x x +==-⋅-. 故选D.点睛:本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个根，则x 1,x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a⋅= . 2、C【解析】【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可.【详解】解：A 、加上BO=DO 可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B 、加上条件AB ∥CD 可证明△AOB ≌△COD 可得BO=DO ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C 、加上条件AB=CD 不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意；D 、加上条件∠ADB=∠DBC 可利用ASA 证明△AOD ≌△COB ，可证明BO=DO ，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选：C ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．3、D【解析】【分析】根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可.【详解】∵点C 是线段BE 的中点，∴BC=EC∵等腰ABC ∆和等腰CDE ∆，90BAC CDE ∠=∠=，∴AB=AC=CD=DE ，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠DEC=45°∴∠ACD=90°，AD=BC=EC∴∠CAD=∠CDA=45°∴AD ∥BE∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 选项正确；在△ABE 和△DEB 中，AB DEABE DEB BE EB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DEB （SAS ）∴AE BD =，故C 选项正确；∴∠DBE=∠AEB∴FC ⊥BE∵AD ∥BE∴FC ⊥AD∴CF 是ACD ∆的中线，故A 选项正确；∵AC≠CE∴AG 不可能平分CAD ∠，故D 选项错误；故选：D.【点睛】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解题.4、B【解析】【分析】对于已知直线，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B 的坐标，在x 轴上取一点B′，使AB=AB′，连接MB′，由AM 为∠BAO 的平分线，得到∠BAM=∠B′AM ，利用SAS 得出两三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM=B′M ，设BM=B′M=x ，可得出OM=8-x ，在Rt △B′OM 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出M 坐标，设直线AM 解析式为y=kx+b ，将A 与M 坐标代入求出k 与b 的值，即可确定出直线AM 解析式．【详解】 对于直线483y x =-+， 令x ＝0，求出y ＝8；令y ＝0求出x ＝6，∴A （6，0），B （0，8），即OA ＝6，OB ＝8，根据勾股定理得：AB ＝10，在x 轴上取一点B ′，使AB ＝AB ′，连接MB ′，∵AM 为∠BAO 的平分线，∴∠BAM ＝∠B ′AM ，∵在△ABM 和△AB ′M 中，AB AB BAM B ?AM?AM AM '⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩'， ∴△ABM ≌△AB ′M （SAS ），∴BM ＝B ′M ，设BM ＝B ′M ＝x ，则OM ＝OB ﹣BM ＝8﹣x ，在Rt △B ′OM 中，B ′O ＝AB ′﹣OA ＝10﹣6＝4，根据勾股定理得：x 2＝42+（8﹣x ）2，解得：x＝5，∴OM＝1，即M（0，1），设直线AM解析式为y＝kx+b，将A与M坐标代入得：603k bb+=⎧⎨=⎩，解得：1k2b3⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AM解析式为y＝﹣12x+1．故选B．【点睛】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5、C【解析】【分析】=n为整数），可得：m的值等于一个整数的平方与2的乘积，据此求解即可．【详解】=（n为整数），∴m的值等于一个整数的平方与2的乘积，∵12=22×3，1=32×2，24=22×6，∴m的值可以是1．故选：C．【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．6、D【解析】【分析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】解：∵a ＜b ，∴A.a−6＜b-6，故A 错误；B.3a ＜3b,，故B 错误;C.-2a ＞-2b ，故C 错误;D. 0a b -<，故D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．7、B【解析】（a+1）x ＜a+1，当a+1＜0时x ＞1，所以a+1＜0，解得a ＜-1，故选B ．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．8、B【解析】【分析】移项、方程两边同时加上一次项系数一半的平方，根据完全平方公式进行配方即可.【详解】移项,得：264x x -=-，配方,2695x x -+=，即2(3) 5.x -=,故选B.【点睛】考查配方法解一元二次方程，解题的关键是把方程的左边化成含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数形式. 9、A【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10、D【解析】分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．详解：A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；B. 被开方数含分母，故不符合题意；C.被开方数含分母，故不符合题意；D. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；故选D.点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式.二、填空题(每小题3分,共24分)11、3（a+2）（a﹣2）【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，3a2﹣12=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）．12、140°【解析】【分析】先根据多边形内角和定理：180(2)n ︒•-求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【详解】解：该正九边形内角和=180°×（9-2）=1260°，则每个内角的度数=12601409︒=︒． 故答案为：140°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n-2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．13、1【解析】【分析】从一组数据中找出出现次数最多的数就是众数，发现1出现次数最多，因此1是众数．【详解】解：出现次数最多的是1，因此众数是1，故答案为：1．【点睛】本题考查了众数的意义，从一组数据中找到出现次数最多的数就是众数．14、3【解析】【分析】根据菱形的性质：菱形的两条对角线互相垂直可计算出该菱形的面积.【详解】解：因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．在Rt △AOB 中，利用勾股定理求得BO ＝1．∴BD ＝6，AC ＝2．∴菱形ABCD 面积为12×AC ×BD ＝3． 故答案为3．【点睛】本题考查了菱形的性质的灵活运用，熟练运行菱形的性质来求其面积是解决此题的关键.15、4 3-【解析】【分析】把点A （m ，m+5）代入21y x =-+得到关于m 的一元一次方程，解之即可．【详解】解：把点A （m ，m+5）代入21y x =-+得：m+5=-2m+1解得：m=4 3-.【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键．16、1260【解析】【分析】首先根据外角和与外角和及每个外角的度数可得多边形的边数，再根据多边形内角和公式180（n-2）计算出答案．【详解】解：∵多边形的每一个外角都等于40︒，∴它的边数为：360409︒÷︒=，∴它的内角和：180(92)1260︒⨯-=︒，故答案为：1260．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和与外角和，根据多边形的外角和计算出多边形的边数是解题关键．17、13【解析】【分析】 由43m n =得到43m n =再代入所求的代数式进行计算. 【详解】 ∵43m n =，∴43m n =， ∴4133n n m n n n --==， 故答案为：13. 【点睛】此题考查分式的求值计算，根据已知条件求出m 与n 的等量关系是解题的关键.18、1．【解析】【分析】根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式解答．【详解】设该矩形的宽为x 步，则对角线为（50﹣x ）步，由勾股定理，得301+x 1＝（50﹣x ）1，解得x ＝16故该矩形的面积＝30×16＝480（平方步），480平方步＝1亩．故答案是：1．【点睛】考查了勾股定理的应用，此题利用方程思想求得矩形的宽．三、解答题(共66分)19、（1）()101750080125y x x =+≤≤；（2）应投放125件A ，最大利润为18750元；（3）满足条件时a 的值为6【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-成本）⨯数量即可求出y 与x 之间的函数关系式.（2）y 与x 之间是一次函数关系式，根据一次函数的性质可知当x=125时y 有最大值；（3）捐献资金后获得的收益为1017500y x ax =+-()1017500a x =-+；当100a ->时125x =时y 有最大值18000，即可求出a 值.【详解】（1）()101750080125y x x =+≤≤（2）由题意可知80250x x -≤≤，即80125x ≤≤由一次函数的性质可知．x 越大，y 越大当125x =时 12501750018750y =+=∴应投放125件A ，最大利润为18750元．（3）一共捐出ax 元∴1017500y x ax =+-()1017500a x =-+∴当100a -<时()1017500y a x =-+最大值小于18000当100a ->时125x =时y 有最大值．即()12510500a -=∴6a =即满足条件时a 的值为6.【点睛】本题考查一次函数的应用知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题．20、（1）见解析（2）①1；②2【解析】试题分析：（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN 的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN 是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=12AD=1时即可； ②当平行四边形AMND 的邻边AM=DM 时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD 是等边三角形即可． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM ，∴∠NDE=∠MAE ，∠DNE=∠AME ，又∵点E 是AD 边的中点，∴DE=AE ，∴△NDE ≌△MAE ，∴ND=MA ，∴四边形AMDN 是平行四边形；（2）解：①当AM 的值为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM=1=12 AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定；3．矩形的判定．21、详见解析【解析】【分析】过直线m上点C作直线n⊥m，再在m上截取CB＝a，然后以B点为圆心，c为半径画弧交直线n于A，则△ABC满足条件．【详解】解：如图，△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．22、（1）见解析；（2）HE＝.【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可；（2）分别求得HO和OE的长后即可求得HE的长．【详解】（1）证明：∵AC、CF分别是正方形ABCD和正方形CGFE的对角线，∴∠ACD＝∠GCF＝45°，∴∠ACF＝90°，又∵H是AF的中点，∴CH＝HF；（2）∵CH＝HF，EC＝EF，∴点H和点E都在线段CF的中垂线上，∴HE是CF的中垂线，∴点H和点O是线段AF和CF的中点，∴OH＝AC，在Rt△ACD和Rt△CEF中，AD＝DC＝1，CE＝EF＝3，∴AC＝，∴CF＝3，又OE是等腰直角△CEF斜边上的高，∴OE＝，∴HE＝HO+OE＝2；【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线，垂直平分线，勾股定理，解题的关键是根据题干与图形中角和边的关系，找到解决问题的条件.23、12x，17.【解析】【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可．【详解】解：原式2(232132)x x x x x ++=⋅=+++， ∵x=20160+4=5，∴原式=17. 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．24、（1）见解析；（2）21(1)2x y x x +=≥；（3）AD 的值为3或33. 【解析】【分析】（1）由△DOE ≌△BOF ，推出EO=OF ，∵OB=OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB=ED 即可． （2）由cos ∠DAC=AD OA AC AE=，求出AE 即可解决问题； （3）分两种情形分别讨论求解即可.【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，∴∠EDO ＝∠FBO ，在△DOE 和△BOF 中，EDO FBO OD OBEOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△DOE ≌△BOF ，∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．（2）由题意可知：21AC x =+，21OA OC 1x 2==⋅+， ∵AD OA cos DAC AC AE∠==， ∴21x AE 2x+=， ∴21x y AE CD 2x+=⋅=， ∵AE≤AD ，∴212x x x+，∴x 2≥1，∵x ＞0，∴x≥1． 即21x y 2x+=（x≥1）． （3）①如图2中，当点E 在线段AD 上时，ED ＝EO ，则Rt △CED ≌Rt △CEO ，∴CD ＝CO ＝AO ＝1，在Rt △ADC 中，AD 2222213AC DC -=-如图3中，当的E 在线段AD 的延长线上时，DE ＝DO ，∵DE ＝DO ＝OC ，EC ＝CE ，∴Rt △ECD ≌Rt △CEO ，∴CD ＝EO ，∵∠DAC ＝∠EAO ，∠ADC ＝∠AOE ＝90°，∴△ADC ≌△AOE ，∴AE ＝AC ，∵EO 垂直平分线段AC ，∴EA ＝EC ，∴EA ＝EC ＝AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AD ＝CD•tan30°＝3 综上所述，满足条件的AD 3或33． 【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．25、 (1) B 地在C 地的正北方向;(2)4.8km【解析】【分析】（1）首先根据三地距离关系，可判定其为直角三角形，然后即可判定方位；（2）首先作CD AB ⊥，即可得出最短距离为CD ，然后根据直角三角形的面积列出关系式，即可得解.【详解】（1）∵2226810+=，即222BC AC AB +=，∴ABC是直角三角形∴B地在C地的正北方向（2）作CD AB⊥，垂足为D，∴线段CD的长就是C，D两点间的最短距离．∵ABC是直角三角形∴1122ABC AB CD AC BC S∆⋅=⋅=∴所求的最短距离为864.8km10AC BCCDAB⋅⨯===【点睛】此题主要考查直角三角形的实际应用，熟练运用，即可解题.26、BE=422-【解析】【分析】根据正方形的性质得到CD=2，BD=2，∠EBD=45°，根据折叠的性质得到DC′=DC=2，∠DC′E=∠C=90°，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在正方形ABCD中，AD=AB=2，∠A=90°，∴BD=2EBD=45°，∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，∴C′D=CD=2，∠DC′E=∠C=90°，∴CE=C′E=CB=222，∴22(222)42CE==-【点睛】本题考查了正方形中的折叠问题，熟练掌握正方形，等腰直角三角形及折叠的性质是解题的关键．。
2021年红桥区初三期末考试数学试卷参考答案
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
…………………………………… 4 分
（Ⅱ ）∵ 两次取出的小球标号相同的情况有 种，∴
．
…………… 6 分
（Ⅲ）∵ 两次取出的小球标号的和等于 的情况有 种，∴
．
……… 8 分
（20）（本小题 8 分）
得
，
，知
．
．
由
，解得
（舍）或
．
此时，点
．
②当
时，则
．
在
中，由勾股定理，得
．
由
，解得 （舍）或 ．此时，点
．
③当
时，
，
．
由
，解得
（舍）．
综上所述，所求点 的坐标为
或
．
………………… 10 分
第 4⻚
红桥区 2020~2021 学年度第一学期九年级期末检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．
（1）A
（2）D
（3）B
（4）C
（7）D
（8）B
（9）D
（10）B
二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．
（13）
（14）
（5）C （11）A
．
∵
，
∴
．∴
．
∵
，
∴
．∴
是等腰三⻆形．
………………………………… 5 分 …………………………… 10 分
第 2⻚
（24）（本小题 10 分）
解：（Ⅰ ）如图，过点 作
轴，垂足为 ．
2021年天津市部分区高考数学二模及答案
2021年天津市部分区高考数学二模一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合M ＝{﹣2，0，1}，N ＝{﹣1，0，1，2}，则M ∪N ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0，2} B ．{﹣2，0，1}C ．{﹣2，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知a ，b ∈R ，“a ＞b ”是“b a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件3．函数y ＝x ﹣||x a（0＜a ＜1）的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥M ﹣ABCD 为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且MA ＝1，BC ＝2，AB ＝3．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．14πB ．20πC ．25πD ．28π5．某工厂对一批新研发产品的长度（单位：mm ）进行测量，将所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，据此图估计这批产品长度的中位数是（ ）A ．23.25mmB ．22.50mmC ．21.75mmD ．21.25mm6．已知23log )23(22223===c ba ，，，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a7．设F （c ，0）为双曲线E ：12222=-by a x （a ＞0．b ＞0）的右焦点，圆x 2+y 2＝c 2与E 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若四边形OAFB 是边长为4的菱形，则E 的方程为（ ）A ．12622=-y xB ．16222=-y xC ．131222=-y xD ．112422=-y x8．下面四个命题，其中所有真命题的编号为（ ） ①函数y ＝sin 2x ﹣cos 2x 的最小正周期是2π； ②终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }； ③把函数)32sin(3π+=x y 的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度后，得到函数y ＝3sin2x 的图象； ④函数)2sin(π-=x y 在区间[0，π]上单调递减．A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④9．已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）＝⎩⎨⎧>+-≤<3430|log |3x x x x ，，，若函数y＝f （x ）﹣a （a ∈R ）恰有六个零点，且分别记为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1•x 2•x 3•x 4•x 5•x 6的取值范围是（ ） A ．（﹣9，﹣4）B ．（﹣4，9）C ．（﹣16，﹣9）D ．（﹣16，﹣4）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10．i 是虚数单位，则|121|ii--＝ ． 11．（x ﹣x1）6的展开式中的常数项是 （用数字作答）．12．已知过点P （0，1）的直线l 与直线4x ﹣3y ＝0垂直，l 与圆x 2+y 2+2x ﹣6y +6＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．13．某学校团委在2021年春节前夕举办教师“学习强国”知识答题赛，其中高一年级的甲、乙两名教师组队参加答题赛，比赛共分两轮，每轮比赛甲、乙两人各答一题．已知甲答对每个题的概率为32，乙答对每个题的概率为21．假定甲、乙两人答题正确与否互不影响，则比赛结束时，甲、乙两人共答对三个题的概率为 ．14．已知a ＞0，b ＞0，且4a 2+9b 2﹣2ab ＝20，则ab 的最大值为 ． 15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD ＝4，向量，DC 的 夹角为3π．若E ，F 分别是边AD 的三等分点和中点，M ，N 分别 是边BC 的三等分点和中点，则||＝ ，⋅＝ ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤.16．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝8，BD ＝5，∠DBC ＝3π，∠ADB ＝32π． （1）求边CD 的长； （2）设∠BAD ＝θ，求)6sin(πθ-的值．17．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，CA ＝CB ＝2，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝1，M 是A 1B 1的中点．（1）求证：A 1B ⊥C 1M ；（2）求直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值； （3）求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的正弦值．18．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝1，a 4是a 2和a 8的等比中项，数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足3b n ﹣2S n ＝2（n ∈N *）．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设c n ＝⎩⎨⎧+为偶数，为奇数，n b n a nn 2，求数列{c n }的前2n +1项和．19．设椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2.已知C 的离心率为21，过焦点F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，当焦点F 1到直线l 的距离最大时，恰有|AF 2|＝23． （1）求C 的方程；（2）过点（a ，b ）且斜率为3的直线交C 于E ，F 两点，E 在第一象限，点P 在C 上．若线段EF 的中点为M ，线段EM 的中点为N ，求PN PM ⋅的取值范围．20．已知函数f （x ）＝（2x 2﹣3x ）e x ，g （x ）＝alnx ，其中a ≤e ． （1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求f （x ）的最小值；（3）记f '（x ）为f （x ）的导函数，设函数)(32)(')(x g x x f x h -+=的图象与x 轴有且仅有一个公共点，求a 的取值范围．2021年天津市部分区高考数学二模参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．A 9．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10．21011．15 12．23 13．3114．2 15．7；6三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、推证过程或演算步骤. 16．解：（1）在△BCD 中，BC ＝8，BD ＝5，∠ADB ＝32π ∴∠DBC=3π 由余弦定理，得，CD 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ⋅BC cos ∠DBC 即493cos 85285222=⨯⨯⨯-+=πCD∴CD ＝7．（2）在△ABD 中，AB ＝7，BD ＝5，∠ADB=32π，∠BAD ＝θ， 由正弦定理，得θsin sin BDADB AB =∠ ∴1435732sin5sin sin =⨯=∠⋅=πθABADB BD ∴1411)1435(1sin 1cos 22=-=-=θθ∴712114112314356sincos 6cossin )6sin(=⨯-⨯=-=-πθπθπθ 17．（1）证明：依题意，以点C 为坐标原点，分别以1CC CB CA ，，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C ﹣xyz则B （0，2，0），C （0，0，0），A 1（2，0，1）， M （1，1，1），C 1（0，0，1），B 1（0，2，1）． ∴A 1＝（-2，2，-1），C 1＝（1，1，0）， ∴⋅A 1C 1＝-2+2+0=0 ∴A 1⊥C 1，即A 1B ⊥C 1M ．（2）解：由（1），得==C B B A 113||，（0，-2，-1）， ∴311-=⋅B A ，5||1=B ， ∴55|533|||cos 111111=⨯-=>=<C B B A ， 即所求直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为55（3）解：依题意及（1），得=1CA （2，0，1）． 设平面A 1BC 的法向量为＝（x ，y ，z ）则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-+-=⋅0202211z x CA z y x A 令x ＝1，得z ＝﹣2，y ＝0，∴＝（1，0，2-）， 由（1）及题意知，C 1M ⊥平面ABB 1A 1， ∴平面AA 1B 的法向量是，=M C 1（1，1，0）． ∴，5||=2||1=C 11=⋅C ，∴1010251||||cos 111=⨯=>=<M C n C ， 设二面角A ﹣A 1B ﹣C 的平面角为φ，由于0＜φ＜π，∴10103)1010(1sin 2=-==Φ ∴所求二面角A ﹣A 1B ﹣C 的正弦值为10103． 18．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝1，a 4是a 2和a 8的等比中项，所以8224a a a ⋅= 即（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1或d ＝0． 又∵d ≠0，所以d ＝1． ∴a n ＝1+（n ﹣1）×1＝n ． ∵)(223*∈=-N n S b n n∴当n ≥2时，3b n ﹣1﹣2S n ﹣1＝2，∴3（b n ﹣b n ﹣1）﹣2（S n ﹣S n ﹣1）＝0，所以3（b n ﹣b n ﹣1）﹣2b n ＝0，即)2(31≥=-n b b n n．当n ＝1时，3b 1﹣2S 1＝2， 又∵S 1＝b 1，所以b 1＝2，∴数列{b n }是以2为首项、3为公比的等比数列． ∴11132--⨯=⋅=n n n q b b（2）∵⎩⎨⎧⨯+=-为偶数，为奇数，n n n c n n 1322 ∴数列{c n }的前2n +1项和为T 2n +1＝（3+5+7+⋯+2n +3）+2（31+33+35+⋯+32n ﹣1）＝4349491)91(62)323)(1(122++++=--++++n n n n n n ． 19．解：（1）设椭圆C 的半焦距为c ，当焦点F 1到直线l 的距离取最大值时，l ⊥x 轴，此时23||22==a b AF ①又C 的离心率21=e ，∴222222)21(1=-==ab ac e ，②解①②，得a 2＝4，b 2＝3．所以椭圆C 的方程为13422=+y x（2）依题意及（1），得直线EF 的方程为)2(33-=-x y ，即33-=x y 由E ，F 为直线交椭圆C 的两个交点，且点E 在第一象限，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1343322y x x y ，得点)30()53358(-，，，F E又∵线段EF 的中点为M ，线段EM 的中点为N ， ∴点M 的坐标为)5354(-，，点N 的坐标为)5356(， 设点P 的坐标为（x 0，y 0），则﹣2≤x 0≤2且)5356()5354(0000y x PN y x PM --=---=，，，∴2521202020+-+=⋅x y x PN PM ③ ∵点P 在椭圆C 上，∴1342020=+y x∴)41(32020x y -=④将④代入③，得254)4(41259624125212)41(32002002020--=+-=+--+=⋅x x x x x x PN PM∵﹣2≤x 0≤2，∴当x 0＝2时，PM ⋅取得最小值2521 当x 0＝﹣2时，PM ⋅取得最大值25221∴所求PM ⋅的取值范围为]252212521[，20．解：（1）易知函数f （x ）的定义域为R ，且f '（x ）＝（2x +3）（x ﹣1）e x ， ∴f '（1）＝0， ∵因为f （1）＝﹣e∴曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ＝﹣e ． （2）由（1）得x e x x x f )1)(23(2)('-+=，令f '（x ）＝0，得23-=x ，x ＝1， ∴当)23(--∞∈，x 时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， 当)123(，-∈x 时，f '（x ）＜0，函数f （x ）单调递减， 当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＞0，函数f （x ）单调递增， ∴x ＝1是f （x ）的极小值点；又当x ＜0时，f （x ）＞0，当230<<x 时，f （x ）＜0，当23>x 时，f （x ）＞0， ∴f （x ）只能在)230(，)230(，内取得最小值，因为x ＝1是f （x ）在)230(，内的极小值点，也是最小值点，∴f （x ）min ＝f （1）＝﹣e ．（3）由（1）及题意，得h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣alnx ，x ＞0， ∵h （1）＝0且曲线y ＝h （x ）与x 轴有且仅有一个公共点， ∴函数h （x ）有且仅有1个零点，且这个零点为1，且xae x x a xe x h x x-=-=2)('①当a ≤0时，h '（x ）＞0，函数h （x ）在（0，+∞）上单调递增，且h （1）＝0， ∴符合函数h （x ）有且仅有1个零点，且这个零点为1； ②当0＜a ＜e 时，令m （x ）＝x 2e x ﹣a ，（x ＞0）， m '（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ＞0， ∴在（0，+∞）上，函数m （x ）单调递增， ∵m （0）＝﹣a ＜0，m （1）＝e ﹣a ＞0，所以∃x 0∈（0，1），使得m （x 0）＝0，即a e x x =020， ∴在（0，x 0）上m （x ）＜0，即h '（x ）＜0，∴h （x ）单调递减；在（x 0，1）上m （x ）＞0， ∵0＜a ＜e ，所以在[1，+∞）上也有m （x ）＞0，∴在（x 0，+∞）上m （x ）＞0，即h '（x ）＞0，所以h （x ）单调递增，∴)11(ln ln )1()()(020202000min 000x x x e x x e x e x x h x h x x x -+-=--==令)10(11ln )(2<<-+=x x x x x t 则0)11)(12(1121)('23<-+-=+-=x x x xx x x t∴t （x ）在区间（0，1）上单调递减，所以t （x ）＞t （1）＝0， ∴011ln 020>-+x x x ，即h （x 0）＜0， ∵0＜a ＜e 且a 为常数，显然当x →0时，h （x ）→+∞，当x →+∞时，h （x ）→+∞， ∴函数h （x ）在区间（0，x 0）和（x 0，+∞）上各有一个零点； ③当a ＝e 时，h （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣elnx ，x ＞0，∴xee x x e xe x h x x-=-=2)('，令n （x ）＝x 2e x ﹣e ，（x ＞0），∴n '（x ）＝2xe x +x 2e x ＝（x 2+2x ）e x ＞0， ∴在（0，+∞）上，n （x ）单调递增，∵n （1）＝e ﹣e ＝0，故在（0，1）上n （x ）＜0，即h '（x ）＜0，所以在区间（0，1）上h （x ）单调递减， 在（1，+∞）上n （x ）＞0，即h '（x ）＞0，所以在区间（1，+∞）上h （x ）单调递增， ∴h （x ）min ＝h （1）＝0，符合题意， ∴所求a 的取值范围是{a |a ≤0}∪{e }．。
天津市红桥区2024届高三下学期二模 数学试卷(含解析)
高三数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式：·柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高．·锥体体积公式：13V sh =，其中表示锥体底面积，h 表示锥体的高．·球体表面积公式：24S R π=，其中R 表示球体的半径．·球体体积公式：343V R π=，其中R 表示球体的半径．·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ ．·对于事件A ，B ，()0P A >，那么()()()P AB P A P B A =⋅.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,2A =，{}0,2,3B =，则()U A B ⋃=ð（）A ．{}4B ．{}1,3,4C ．{}0,2D ．{}0,1,2,32．下列条件中，使得“a b >”成立的充分不必要条件是（）A ．33a b >B ．1122log log a b<C ．11a b <D ．a b >3．函数()()22e xf x x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D．4．某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为1.75%，以后按约定自动转存，那么该同学在2025年元旦可以得到本利和为（）A ．6100001.0175⨯B ．7100001.0175⨯C ．()61000011.75%11.75%--D ．()71000011.75%11.75%--5．如图，圆锥形脆皮筒上面放半球形的冰淇淋，为了保障冰淇淋融化后能落在脆皮筒里，不溢出来，某规格的脆皮筒规定其侧面面积是冰淇淋半球面面积的2倍，则此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为（）A．4B．2CD．26．若132()3a =，122log 5b =，143c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．b a c>>D ．a b c<<7．已知2π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()()()2sin 20πf x x ϕϕ=+<<图象的一个对称中心，则（）A ．函数()f x 的图象可由2cos2y x =向左平移π6个单位长度得到B ．函数()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭上有两个极值点C ．直线7π6x =是函数()f x 图象的对称轴D ．函数()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减8．2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示：有下列说法：①从2022年7月到2023年7月，这13个月的PMI 的极差为5.6%；②PMI 大于50%，表示经济处于扩张活跃的状态，PMI 小于50%，表示经济处于低迷萎缩的状态，则2023年1月到2023年3月，经济处于扩张活跃的状态；③从2023年1月到2023年7月，这7个月的PMI 的第75百分位数为51.9%；④2023年7月份，PMI 为49.3%，比上月上升0.3个百分点．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．过抛物线235y =焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，3AF FB =，抛物线的准线与x 轴交于点C ，则ABC 的面积为（）A ．1534B ．1532C ．1574D ．1572第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共11小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10．i 是虚数单位，则复数43i2i+=-．11．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为.（用数字作答）12．已知lg 2a b +=-，10b a =，则=a ．13．某同学高考后参加国内3所名牌大学,,A B C 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学,,A B C 招生考试的概率分别为1,,2x y ，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为38，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为；该同学恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率最大值为．14．太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.如图所示的图形是由半径为2的大圆O 和两个对称的半圆弧组成的，线段MN 过点O且两端点M ，N 分别在两个半圆上，点P 是大圆上一动点，令PM a = ，PN b =，若12PO a b λλ=+，则1λ=；a b ⋅的最小值为．15．函数()2ln f x x m x =--有且只有一个零点，则m 的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6a =，1cos 3B =，且sin 3sin b A c B =．(1)求c 的值；(2)求b 的值；(3)求πcos 26B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．在如图所示的几何体中，PA ⊥平面ABCD ，//PA QD ，四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，1AB PA ==，PQ =(1)求证：直线//PB 平面DCQ ；(2)求直线PB 与平面PCQ 所成角的正弦值；(3)求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的正弦值．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1A --，长轴长为42(1)求椭圆C 的方程；(2)直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，直线AM 、AN 分别与直线4x =-交于点P 、Q ，O 为坐标原点且OP OQ =，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．19．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比为正数的等比数列，且11b =，2321b b +=，()2641a a b +=，4253a b a a =-．(1)求数列{{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设()112n n n c a a =++，()*123n n S c c c c n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈N（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求()*11ni i i ib b n iS +=-∈∑N ．20．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =-，设函数()f x 在(0,1)上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-.1．A【分析】根据并集、补集的定义计算可得.【详解】因为{}0,1,2A =，{}0,2,3B =，所以{}0,1,2,3A B ⋃=，又{}0,1,2,3,4U =，所以(){}4U A B = ð.故选：A 2．B【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】对于A ：因为3y x =在定义域R 上单调递增，所以由33a b >可以得到a b >，故充分性成立，由a b >可以推得出33a b >，故必要性成立，所以33a b >是a b >的充要条件，故A 错误；对于B ：因为12log y x =在定义域()0,∞+上单调递减，由1122log log a b <可得0a b >>，故充分性成立，由a b >不一定得到1122log log a b <，故必要性不成立，故1122log log a b <是a b >的充分不必要条件，故B 正确；对于C ：当1a =-，1b =时满足11a b <，但是a b >不成立，即充分性不成立，当1a =，1b =-时满足a b >，但是11a b>，故必要性不成立，所以11a b<是a b >的既不充分又不必要条件，故C 错误；对于D ：当2a =-，1b =时满足a b >，但是a b >不成立，即充分性不成立，当2a =，4b =-时满足a b >，但是a b >不成立，即必要性不成立，所以a b >是a b >的既不充分又不必要条件，故D 错误.故选：B 3．C【分析】由()00f =可排除A ，再求导分析单调性可得C 正确，BD 错误.【详解】当0x =时，()00f =，可排除A ，()()()()2222e 2e 2e x x x f x x x x x '=-+-=-，令()0f x ¢>，解得x >x <，所以()f x在(,-∞和)+∞上单调递增；在(上单调递减；结合图象可得C 正确；故选：C.4．A【分析】记n 年后得到的本利和为n a ，依题意可得()100001 1.75%nn a =⨯+，即可判断.【详解】记n 年后得到的本利和为n a ，根据题意知()100001 1.75%10000 1.0175nn n a =⨯+=⨯，即数列{}n a 是一个首项为110175a =，公比为 1.0175q =的等比数列，∴该同学2019年元旦在银行存款1万元，2025年元旦即6年后得到的本利和为：66100001.0175a =⨯（元）.故选：A 5．B【分析】设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l，结合题意面积比得到h =，再计算二者的体积比即可.【详解】设圆锥的半径为r ，高为h ，母线长为l ，则母线长为l =所以圆锥的侧面积是ππrl =半球的面积22πr ，由题意可得2π22πr =⨯，解得h =，所以圆锥的体积为231π3r h r =，半球的体积为3314π2π233r r ⨯=，所以此规格脆皮筒的体积与冰淇淋的体积之比为33π32π3rr 故选：B.6．C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【详解】112221log log 152b =>=，111121411214321631[()()()818122()()]333c a ==>===，而1312()3a =<，所以a ，b ，c 的大小关系为b a c >>.故选：C 7．D【分析】先由正弦函数的对称中心解出2π3ϕ=，再由图象平移得到A 错误；整体代入结合正弦函数图象可得B 错误；整体代入可得C 错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D 正确.【详解】由已知可得22sin 2π03ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，因为0πϕ<<，所以2π3ϕ=，所以()22sin 2π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：由2cos2y x =向左平移π6个单位长度得到ππ2cos22cos 263y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ：当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2π5π2π,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，设22π3u x =+，则由正弦函数图像sin y u =可知，只有一个极值点，故B 错误；对于C ：07π7π6622sin 2π2sin 3π3f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线7π6x =不是函数()f x 图象的对称轴，故C 错误；对于D ：当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，22π3π2π,233x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数的单调性可得()f x 在此区间内单调递减，故D 正确；故选：D.8．D【分析】由极差的定义结合图中数据可得①正确；由图可得②正确；由百分位数的计算可得③正确；由图可得④正确.【详解】①由图可得这13个月的PMI 的最大值为52.6%，最小为47.0%，所以极差为52.6%47.0% 5.6%-=，故①正确；②由图可得，2023年1月到2023年3月的PMI 分别为50.1%，52.6%，51.9%均大于50%，故②正确；③从2023年1月到2023年7月的PMI 的值从小到大排列为48.8%,49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%,52.6%，因为775%0.525⨯=，所以这7个月的PMI 的第75百分位数为第六个数是51.9%，故③正确；④2023年7月份，PMI 为49.3%，6月份PMI 为49.0%，所以比上月上升0.3个百分点，故④正确；所以正确的个数为4个，故选：D.9．B【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离作出图形，结合图形得到322m CF BN DF BF DF =+=+=解出m 从而确定BK 的长度，再利用三角形面积和之间的关系ABC AFC BFC S S S =+ 求出即可.【详解】设抛物线的准线为l ，过A 作AM l ⊥于M ，过B 作BN l ⊥于N 点，过B 作BK AM ⊥于K ，设BF m =，因为3AF FB =，所以3AF m =，所以4AB m =，所以2AK AM BN AF BF m =-=-=，在Rt AKB 中，21cos 42AK m BAK ABm ∠===，所以60BAK ∠=︒，因为//AM CF ，所以60OFB ∠=︒，又BF m =，所以12FD m =，又由2y =，可得CF =所以32m CF BN DF BF DF =+=+==m =所以sin 60BK AB =︒=所以11222ABC AFC BFC S S S CF BK =+=⋅=⨯⨯ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线的定义建立方程322m CF BN DF BF DF =+=+=，解出m .10．12i+【分析】直接利用复数的四则运算求解即可.【详解】()()()()43i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 5++++===+--+.故答案为：12i +11．80-【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --，令52r -=，得3r =，此时2x 的系数为()335280C -=-.故答案为：80-.12．110##0.1【分析】根据指对数互化可得1lg b a =，结合1lg 2lg a a+=-求参数值即可.【详解】由题设1log 10lg a b a ==，则1lg 2lg a a+=-且0a >，所以22lg 2lg 1(lg 1)0a a a ++=+=，即lg 1a =-，故110a =.故答案为：11013．78##0.87518##0.125【分析】根据恰好能通过其中2所大学招生考试的概率列方程，通过整体代入可得该同学至少通过1所大学招生考试的概率，再利用基本不等式可得恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率最大值.【详解】 该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，∴该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率1111113(1)(1)2222228P xy x y y x x y xy =+-+-=+-=所以该同学至少通过1所大学招生考试的概率为111111718(1)(1)22222832x y x y xy ---=++-=+=，由11122283x y xy +-=得，34x y xy +-=，所以34xy x y +=+≥，即304xy -+≥，12≤32≥，即14≤xy 或94xy ≥，又∵01x <<，01y <<，01xy ∴<<，104xy ∴<≤，∴当12x y ==时，该同学恰好通过,A B 两所大学招生考试的概率取得最大值18．故答案为：71,88．14．12##0.50【分析】第一空结合图形由向量的线性运算可得；第二空先由向量的线性运算得到24a b OM⋅=- ，再当OM 取得最大值时计算可得.【详解】由圆的对称性可得O 为MN 的中点，所以()()121111122222PO PN NO b NM b PM PN b a b a b a b λλ=+=+=+-=+-=+=+，112λ=；()()a b PO OM PO ON ⋅=+⋅+ ，因为OM ON =-，所以()()2224a b PO OM PO OM PO OM OM ⋅=+⋅-=-=- ，所以当OM 取得最大值2时，a b ⋅的最小值为0,；故答案为：12；0.15．(),ln 21-∞+【分析】作出图象，问题等价于2y x m =-与ln y x =有且只有一个交点，考虑相切时的情况，利用导数的意义求出切线方程，再求出结果即可.【详解】由题意可得，问题等价于2y x m =-与ln y x =有且只有一个交点.分别作图如下：考虑他们的临界情况，即2y x m =-与ln y x =相切时，如上图，即2y m x =-与ln y x =-相切时，仅有一个交点.设切点为()00,x y ，则012y x '=-=-，所以012x =，01ln ln 22y =-=，所以1ln 2212m m =-⨯=-，即ln 21m =+，但因为2y x m =-与ln y x =有且仅有一个交点，所以ln 21m >-，即ln 21m <+，故答案为：(),ln 21∞-+.【点睛】关键点点睛：在求切线方程时设切点，利用导数的意义求切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.16．(1)2(2)(3)18-【分析】（1）利用正弦定理将角化边，即可得解；（2）利用余弦定理计算可得；（3）根据平方关系求出sin B ，即可求出sin 2B 、cos 2B ，最后由两角和的余弦公式计算可得.【详解】（1）因为sin 3sin b A c B =，由正弦定理可得3ab cb =，所以3a c =，又6a =，所以2c =；（2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即222162262323b =+-⨯⨯⨯=，所以b =；（3）由1cos 3B =，()0,πB ∈，所以sin 3B =，所以1sin 22sin cos 2339B B B ==⨯⨯=，2217cos 22cos 12139B B ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，所以πππcos 2cos 2cos sin 2sin666B B B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭19218792+⨯=-=-⨯.17．(1)证明见解析31【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面DCQ 的法向量n ，由0n PB ⋅=r uu r即可证明；（2）求出平面PCQ 的法向量m ，再求出cos ,m PB，即可得解；（3）设平面PCQ 与平面DCQ 夹角为θ，由cos m nm nθ⋅=⋅求出cos θ，从而求出sin θ.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，90BAC ∠=︒，如图建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为平行四边形，60ABC ∠=︒，90BAC ∠=︒，1AB PA ==，PQ =，则tan 60AC AB =︒=2BC ==，()(22212DQ -+=，解得3DQ =（负值已舍去），则()0,0,1P ，()1,0,0B，()C，()D -，()Q -，所以()1,0,0CD =- ，()0,0,3DQ = ，()1,0,1PB =-，设平面DCQ 的法向量为(),,n x y z = ，则030n CD x n DQ z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取()0,1,0n = ，所以0n PB ⋅=r uu r，即n PB ⊥ ，又PB ⊄平面DCQ ，所以//PB 平面DCQ .（2）因为()1,0,3CQ =-，()1PC =- ，设平面PCQ 的法向量为(),,m a b c =，则30m CQ a c m CQ c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取()m = ，所以cos ,m PB m PB m PB⋅===⋅所以直线PB 与平面PCQ 所成角的正弦值为31.（3）设平面PCQ 与平面DCQ 夹角为θ，则cos m n m n θ⋅===⋅所以sin 31θ==，所以平面PCQ 与平面DCQ 18．(1)22182x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()4,0-【分析】（1）根据已知条件求出a 的值，将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，可得出b 的值，由此可得出椭圆C 的标准方程；（2）设()11,M x y 、()22,N x y ，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，再求出点P 、Q 的坐标，根据已知得到()()1212212111022y y x x -+-+-+-=++，再把韦达定理代入化简即得证.【详解】（1）解：因为椭圆C的长轴为2a =，可得a =将点A 的坐标代入椭圆C 的方程可的24118b+=，可得b =因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）解：如图，直线:l y kx m =+与椭圆方程22182x y+=联立，化简得()222418480k x kmx m +++-=，()()()222222644414816820k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22820k m -+>.设()11,M x y 、()22,N x y ，则122841km x x k -+=+，21224841m x x k -=+．直线MA 的方程为()111122y y x x ++=++，则()11214,12y P x -+⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，直线NA 的方程为()221122y y x x ++=++，则()22214,12y Q x -+⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，因为OP OQ =，所以()()1212212111022y y x x -+-+-+-=++，所以121211122kx m kx m x x +++++=-++，所以()()()12122123480k x x k m x x m +⋅++++++=，把韦达定理代入整理得()()2140m k m k -+-=，所以，21m k =-或4m k =，当21m k =-时，直线方程为()2121y kx k k x =+-=+-，此时，直线l 过定点()2,1A --，不符合题意，所以舍去；当4m k =时，直线方程为()44y kx k k x =+=+，直线l 过定点()4,0-，合乎题意.综上所述，直线l 经过定点，且定点坐标为()4,0-.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．(1)n a n =；112n n b -⎛⎫ ⎪⎝⎭=(2)（ⅰ）()212n n S n +=+；（ⅱ）()11111212ni i n i i b b is n ++=-=-+⨯∑【分析】（1）利用递推公式，等差数列，等比数列的性质解方程即可求出1a 、d 、q ，再由基本量法写出通项即可；（2）（ⅰ）先化简可得()()()112n n n c n n ++=+由累乘法求出即可；（ⅱ）先裂项化简可得()1111212i i i i i b b is i i ++-=-⨯+⨯，再用分组求和即可.【详解】（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，{}n b 的公比为q ，因为11b =，2321b b +=，所以221q q +=，解得12q =或1q =-（舍），所以11112n n n b b q--⎛⎫== ⎪⎝⎭，即112n n b -⎛⎫⎪⎝⎭=，所以4211,82b b ==，又()2641a a b +=，4253a b a a =-，即()()11115181322a d a d a d d⎧+++⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯=⎪⎩，解得11,1a d ==，所以()1111n a a n d n n =+-=+-=，即n a n =（2）（ⅰ）因为()112n n n c a a =++，则()()()()111122n n n c n n n n ++=+=++，则()()()()12311212233132422n n n n n S c c c c n n n +++⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⨯⨯++ ；（ⅱ）因为()()()111111112112221122122i i i i i i i ib b i i is i i i i i i -+-+++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭===-++⨯⨯+⨯⨯+，所以()()112231111111111112222232212212ni i n n n i i b b is n n n +++=⎡⎤⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ .【点睛】关键点点睛：本题第二问对于分式形式的数列求出可采用裂项相消法.20．(1)当x ()f x 的极大值为12e，无极小值；(2)122a e -≤-；(3)证明见解析.【详解】试题分析：（1）求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调性，进而得到函数的极值；（2）求导，将函数在某区间上单调递增转化为导函数非负恒成立，分离参数，构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题；（3）连续两次求导，分别通过研究导函数的符号变化研究函数的极值，再作差构造函数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用求导进行求解.试题解析：（1）当0a =时，()ln xf x x=，定义域为()0,+∞，()312ln 'xf xx-=，令()'0f x =，得x =∴当x =()f x 的极大值为2e，无极小值.（2）()()312ln 'ax x f x x a +-=+，由题意()'0f x ≥对()0,x a ∈-恒成立.()0,x a ∈-，()30x a ∴+<，∴12ln 0ax x+-≤对()0,x a ∈-恒成立，∴2ln a x x x ≤-对()0,x a ∈-恒成立.令()2ln g x x x x =-，()0,x a ∈-，则()'2ln 1g x x =+，①若120a e -<-≤，即120a e ->≥-，则()'2ln 10g x x =+<对()0,x a ∈-恒成立，∴()2ln g x x x x =-在()0,a -上单调递减，则()()()2ln a a a a ≤----，()0ln a ∴≤-，1a ∴≤-与12a e -≥-矛盾，舍去；②若12a e -->，即12a e -<-，令()'2ln 10g x x =+=，得12x e -=，当120x e -<<时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递减，当12e x a -<<-时，()'2ln 10g x x =+>，()2ln g x x x x ∴=-单调递增，∴当12x e -=时，()12ming x g e -⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭111122222ln 2e e e e ----⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，122a e-∴≤-.综上122a e -≤-.（3）当1a =-时，()()2ln 1xf x x =-，()()312ln '1x x x f x x x --=-，令()12ln h x x x x =--，()0,1x ∈，则()()'12ln 1h x x =-+2ln 1x =--，令()'0h x =，得12x e -=，①当121ex -≤<时，()'0h x ≤，()12ln h x x x x ∴=--单调递减，()120,21h x e -⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，()()312ln '01x x x f x x x --∴=<-恒成立，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.②当120x e -<≤时，()'0h x ≥，()12ln h x x x x ∴=--单调递增，1111222212ln h e e e e ----⎛⎫⎛⎫∴=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12210e -=->又()()222212ln h eee e ----=--⋅2510e =-<，∴存在唯一1200,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，()0'0f x ∴=，当00x x <<时，()0'0f x >，()()2ln 1xf x x ∴=-单调递增，当120x x e -<≤时，()0'0f x <，()()2ln 1x f x x ∴=-单调递减，且()12f x f e -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，由①和②可知，()()2ln 1xf x x =-在()00,x 单调递增，在()0,1x 上单调递减，∴当0x x =时，()()2ln 1xf x x =-取极大值.()000012ln 0h x x x x =--= ，0001ln 2x x x -∴=，()()020ln 1x f x x ∴=-()2000112111222x x x ==-⎛⎫--⎪⎝⎭，又1200,2x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，201112,0222x ⎛⎫⎛⎫∴--∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()020*******f x x ∴=<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.。
2021年天津市红桥区中考数学二模试卷(附详解)
2021年天津市红桥区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 计算(−3)×(−2)的结果等于( )A. −6B. 6C. −5D. 52. sin30°的值是( )A. 12B. √22C. √32D. 13. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是( )A.B.C.D.4. 据2021年4月12日《天津日报》报道，今年一季度天津港完成集装箱吞吐量4469000标准箱，同比增长20.4%，创出历史同期最高纪录.将4469000用科学记数法表示应为( )A. 0.4469×107B. 4.469×106C. 44.69×105D. 446.9×1045. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是( )A.B.C.D.6. 估计√43的值在( )A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间7. 方程组{2x −3y =13x −2y =4的解是( )A. {x =2y =1B. {x =5y =3C. {x =1y =2D. {x =0y =−28. 已知点A(x 1,−2)，B(x 2,−√2)，C(x 3,3)在反比例函数y =2x 的图象上，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A. x 1<x 2<x 3B. x 2<x 1<x 3C. x 3<x 2<x 1D. x 3<x 1<x 29. 计算1(m−2)2−m−1(m−2)2的结果是( )A. 1B. m −2C. 1m−2D. 12−m10. 如图，在正方形ABCD 内作∠EAF =45°，AE 交BC于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF.将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG.则下列结论一定正确的是( )A. ∠EFC =∠AFDB. AG =AEC. ∠AGE =∠AFED. AB =AF11. 如图，在△ABC 中，AB =2，∠ABC =60°，∠ACB =45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE +BF 的最大值为( )A. √6B. 2√2C. 2√3D. 3√212. 函数y =ax 2+bx +c(a,b ，c 为常数，a ≠0)的图象与x 轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n >0.有下列结论： ①abc >0；②函数y =ax 2+bx +c 在x =1和x =−2处的函数值相等；③点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)在函数y =ax 2+bx +c 的图象上，若−3<x 1<1<x 2，则y 1>y 2．其中，正确结论的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算2x 2−3x 2+x 2的结果等于______ ． 14. 计算(√6+2)(√6−2)的结果等于______ ．15. 不透明袋子中装有8个球，其中有2个红球，3个绿球和3个黑球，这些球除颜色外无其它差别从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是______． 16. 直线y =3x +6与x 轴的交点坐标是______．17. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，斜边AB =√2，过点C 作CF//AB ，以AB 为边作菱形ABEF ，若∠F =30°，则Rt △ABC 的面积为______．18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，B 在格点上，∠ABC =30°，以BC 为直径的圆经过点A ．(Ⅰ)AC 的长等于______ ；(Ⅱ)P 是边AB 上的动点，当PB +√2PC 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明) ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共66.0分） 19. 解不等式组{2x −3≥−5,①3x −1≤8,②请结合题意填空，完成本题的解答． (Ⅰ)解不等式①，得______ ； (Ⅱ)解不等式②，得______ ；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．20.为增强学生预防新冠肺炎的安全意识，某校开展了疫情防控知识答题活动.为了解答题活动的得分情况(满分100分)，随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：(Ⅰ)本次随机抽样抽取的学生人数为______ ，图①中的m的值为______ ；(Ⅱ)求本次随机抽样获取的样本数据的众数、中位数和平均数；(Ⅲ)若该校有360名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数．21.在△ABC中，∠B=90°，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，与BC相交于点F，连接CE．(Ⅰ)如图①，若∠ACE=27°，求∠A和∠ECB的大小；(Ⅱ)如图②，连接EF，若EF//AC，求∠A的大小．22.如图，为了加快5G网络信号覆盖，某地在附近小山的顶部架设信号发射塔为了知道信号发射塔的高度，在地面上的A处测得塔顶P处的仰角是31°，向发射塔方向前行100m到达地面上的B处，测得塔顶P处的仰角是58°，塔底Q处的仰角是45°.根据测得的数据，求信号发射塔P的高度(结果取整数)．参考数据：tan31°≈0.60，tan58°≈1.60．23.4月23日是“世界读书日”，甲、乙两个书店在这一天举行了购书优惠活动.在甲书店，所有书籍按标价总额的8折出售.在乙书店，一次购书的标价总额不超过100元的按标价总额计费，超过100元后的部分打6折．设在同一家书店一次购书的标价总额为x(单位：元，x>0)．(Ⅰ)根据题意，填写表格：(Ⅱ)设在甲书店应支付金额y1元，在乙书店应支付金额y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；(Ⅲ)根据题意填空：在甲书店和在乙书店一次购书的标价总额相同，且应支付的金额相同，则在同一个书店一次购书的标价总额______ 元；②若在同一个书店一次购书应支付金额为280元，则在甲、乙两个书店中的______书店购书的标价总额多；③若在同一个书店一次购书的标价总额120元，则在甲、乙两个书店中的______ 书店购书应支付的金额少．24.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(−4,0)，点B(0,3).将△AOB绕点O顺时针旋转，得△A′OB′，点A，B的对应点分别为A′，B′，记旋转角为α(0°<α<90°)．(Ⅰ)如图①，当α=30°时，求点A′的坐标；(Ⅱ)如图②，A′B′与y轴相交于点C，当A′B′//x轴时，求点A′的坐标；(Ⅲ)当A′B′过点B时，求点A′的坐标.(直接写出结果即可)25.顶点为B的抛物线y=ax2−2√3x+c(a≠0)经过点O(0,0)和点A(6,0)，连接OB．(Ⅰ)求该抛物线的解析式；(Ⅱ)D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与OD交于点E．①若∠BOD=30°，求点D的坐标；②在①的条件下，点F是线段OB上的动点(点F不与点和点B重合)，连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B′，△EFB′与△OBE的重叠部分为△EFG.是否存在一点H，使四边形EGFH为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：(−3)×(−2)=+(3×2)=6．故选：B．根据有理数的乘法法则计算即可解答本题．本题考查了有理数的乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．2.【答案】A．【解析】解：sin30°=12故选：A．直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；D.是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．4.【答案】B【解析】解：将4469000用科学记数法表示应为4.469×106，故选：B．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．5.【答案】D【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左右两边分别是一个小正方形． 故选：D ．根据主视图即从物体的正面观察进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵6<√43<7， ∴√43在6和7之间， 故选：C ．先估算出√43的范围，再得出选项即可．本题考查了估算无理数的大小，能估算出√43的范围是解此题的关键．7.【答案】A【解析】解：{2x −3y =1①3x −2y =4②，①×2−②×3得， −5x =−10， 解得x =2，把x =2代入①式得， 4−3y =1， 解得y =1，所以方程组的解为{x =2y =1．故选：A ．由①×2−②×3，消去y ，再根据二元一次方程组的解法进行求解即可得出答案． 本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的解进行计算是解决本题的关键．8.【答案】B【解析】解：当y=−2时，2x1=−2，解得：x1=−1；当y=−√2时，2x2=−√2，解得：x2=−√2；当y=3时，2x3=3，解得：x3=32．∴x2<x1<x3．故选：B．利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出x1，x2，x3的值，比较后即可得出结论．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出x1，x2，x3的值是解题的关键．9.【答案】D【解析】解：1(m−2)2−m−1(m−2)2=1−(m−1)(m−2)2=2−m(m−2)2=−(m−2)(m−2)2=12−m．故选：D．先化简，再进行分式的加减．此题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减法则是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：∵△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，∵四边形ABCD是正方形，△∴BC=CD，∠BAD=∠BCD=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∴∠BAG+∠BAF=90°，∴∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=45°，∴∠EAF=∠EAG，在△AEG和△AEF中，{AG=AF∠EAG=∠EAF AE=AE，∴△AEG≌△AEF，∴∠AGE=∠AFE，∴C正确，∵AB=AD，在△ADF中，AF为斜边，∴AF>AD，即AF>AB，故D错误，无法证得：△AGE是等腰三角形，∴AG≠AE，∴B错误，∵∠EFC≠∠AFD无法证得，∴A错误，故选：C．△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，根据旋转的性质知△ADF≌△ABG，即对应边，对应角分别相等，即AG=AF，根据旋转90°可得∠EAF=∠EAG=45°，即△AEG≌△AEF(SAS)，即对应角相等，所以C正确，在直角△ADF中，斜边大于直角边故D错误，无法证明A、B正确．本题主要考查全等三角形的判定和性质，解本题的关键要掌握全等三角形的判定和性质，以及旋转前后对应的图形全等．11.【答案】A【解析】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=√3，在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴AC=√AH2+CH2=√(√3)2+(√3)2=√6，∵点D为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，{∠BFD=∠CKD=90°∠BDF=∠CDKBD=CD，∴△BFD≌△CKD(AAS)，∴BF=CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△ACN中，AN<AC，当直线l⊥AC时，最大值为√6，综上所述，AE+BF的最大值为√6．故选：A．把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．12.【答案】C【解析】解：依照题意，画出图形如下：∵函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，顶点坐标为(−1,n)，其中n>0．=−1，∴a<0，c>0，对称轴为直线x=−b2a∴b=2a<0，∴abc>0，故①正确，∵对称轴为直线x=−1，∴x=1与x=−3的函数值是相等的，故②错误；观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小．∵−3<x1<1，x2>1，∴M点距离对称轴的距离小于2，N点距离对称轴的距离大于2，∴y1>y2，故③正确．故选：C．①根据开口方向，对称轴，与y轴交点的位置判断a，b，c的正负即可；②根据图象的对称性判断即可；③根据横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小，观察图象即可．本题考查了二次函数图象与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，能根据题中条件画出图象是解题的关键．13.【答案】0【解析】解：2x2−3x2+x2=(2−3+1)x2=0．故答案为：0．合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．14.【答案】2【解析】解：原式=(√6)2−22=6−4=2．故答案为2．利用平方差公式计算．本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15.【答案】38【解析】解：取出绿球的概率为3．8．故答案为：38利用取出绿球概率=口袋中绿球的个数÷所有球的个数，即可求出结论．本题考查了概率公式，牢记随机事件的概率公式是解题的关键．16.【答案】(−2,0)【解析】解：在y=3x+6中，令y=0，可得3x+6=0，解得x=−2，∴直线y=3x+6与x轴的交点坐标为(−2,0)，故答案为：(−2,0)．令y=0可求得x的值，则可求得直线与x轴的交点坐标．本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，注意函数图象与坐标轴交点的求法即可．17.【答案】12【解析】解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，∵根据题意四边形ABEF为菱形，∴AB=BE=√2，又∵∠ABE=30°∴在RT△BHE中，EH=√2，2根据题意，AB//CF，根据平行线间的距离处处相等，∴HE=CG=√2，2∴Rt△ABC的面积为12×√2×√22=12．故答案为：12．先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE=CG，最终求出直角三角形面积．18.【答案】√303取格点D，连接BD与圆相较于点E，连接EC交AB于点P，则点P即为所求作【解析】解：(Ⅰ)∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∵AB=√12+32=√10，∠ABC=30°，∴AC=BC⋅tan30°=√303．故答案为：√303．(Ⅱ)取格点D，连接BD与圆相较于点E，连接EC交AB于点P，则点P即为所求作．故答案为：取格点D，连接BD与圆相较于点E，连接EC交AB于点P，则点P即为所求作．(Ⅰ)利用勾股定理求出AB，解直角三角形求出AC即可．(Ⅱ)取格点D，连接BD交圆于E，连接EC交AB于点P即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．19.【答案】x≥−1x≤3−1≤x≤3【解析】解：{2x−3≥−5,①3x−1≤8,②解不等式①，得x≥−1，解不等式②，得x≤3，把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：故原不等式组的解集为−1≤x≤3．故答案为：x≥−1，x≤3，−1≤x≤3．根据解一元一次不等式组的方法，可以解答本题．本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．20.【答案】30 30【解析】解：(Ⅰ)本次随机抽样抽取的学生人数为：3÷10%=30，m%=9÷30×100%=30%，即m的值是30，故答案为：30，30；(Ⅱ)由图②，可得本次随机抽样获取的样本数据的众数是96分，中位数是(92+96)÷2=94(分)，平均数是：84×3+88×3+92×9+96×12+100×330=93.2(分)，即本次随机抽样获取的样本数据的众数是96分，中位数是94分，平均数是93.2分；(Ⅲ)360×10%=36(人)，即估计其中获得满分的学生有36人．(Ⅰ)根据得分为84分的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出m的值；(Ⅱ)根据条形统计图中的数据，可以写出众数，计算出中位数和平均数；(Ⅲ)根据扇形统计图中的数据，可以计算出获得满分的学生人数．本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数、平均数，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：(Ⅰ)∵AB与⊙O相切，∴OE⊥AB，∴∠AEO=90°，∵∠ACE=27°，∴∠AOE=2∠ACE=54°，∴∠A=90°−∠AOE=36°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠B=90°，∴OE//BC，∴∠ECB=∠OEC，∴∠ECB=27°；(Ⅱ)如图②，连接OF，∵OE//BC，EF//AC，∴四边形OEFC为平行四边形，∴OE=CF，∴OC=OF=CF，∴∠ACB=60°，∴∠A=90°−∠ACB=30°．【解析】(Ⅰ)根据切线的性质得到OE⊥AB，求得∠AEO=90°，根据圆周角定理得到∠AOE=2∠ACE=54°，得到∠A=90°−∠AOE=36°，根据平行线的判定和性质即可得到结论；(Ⅱ)如图②，连接OF，根据平行四边形的判定定理得到四边形OEFC为平行四边形，求得OE=CF，于是得到OC=OF=CF，根据三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22.【答案】解：根据题意得，∠PAC=31°，∠PBC=58°，∠QBC=45°，AB=100m，在Rt△PAC中，tan∠PAC=PC，AC∴AC=PC，tan31∘在Rt△PBC中，tan∠PBC=PC，BC∴BC =PC tan58∘，∵AC =AB +BC ，∴PCtan31∘=100+PC tan58∘，∴PC =100⋅tan31°⋅tan58°tan58∘−tan31∘≈100×1.60×0.601.60−0.60=96(m)， 在Rt △QBC 中，tan∠QBC =QC BC ，∴QC =BC ≈961.60=60(m)，∴PQ =PC −QC =96−60=36(m)，答：信号发射塔P 的高度约为36m ．【解析】由三角函数的定义得到tan∠PAC =PC AC ，tan∠PBC =PC BC ，tan∠QBC =QC BC ，结合AC =AB +BC 求出PC ，QC ，即可得到PQ ．本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 23.【答案】200 乙 甲【解析】解：(Ⅰ)由题意得：一次性购书的标价总额为50元时，在甲书店应支付：50×0.8=40(元)，在乙书店应支付：50(元)，一次性购书的标价总额为300元时，在甲书店应支付：300×0.8=240(元)，在乙书店应支付：100+(300−100)×0.6=220(元)，故答案为：甲书店：40，240；乙书店：50，220；(Ⅱ)y 1=0.8x(x >0)，当0<x ≤100时，y 2=x ，当x >100时，y 2=0.6(x −100)+100=0.6x +40，∴y 2={x(0<x ≤100)0.6x +40(x >100)； (Ⅲ)①依题意，y 1=y 2，即0.8x =0.6x +40，解得：x =200，∴标价总额为200元时，应支付的金额相同；②甲书店标价总额为：280÷0.8=350(元)，乙书店的标价总额为：280=0.6x+40，即x=400(元)，∵350<400，∴在乙书店购书标价总额多；③在甲书店应支付：120×0.8=96(元)，在乙书店应支付：120×0.6+40=112(元)，∵112>96，∴在甲书店购书应支付金额少．故答案为：①200，②甲，③乙．(Ⅰ)由题意直接求解即可；(Ⅱ)根据题意，可以分别写出甲、乙两家书店y与x的函数关系式；(Ⅲ)由(Ⅱ)中解析式对①②③逐个分析即可．本题主要考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．24.【答案】解：(Ⅰ)如图①，过点A′作A′H⊥OA于H．∵A(−4,0)，∴OA=OA′=4，∵∠A′OH=30°，∴A′H=1OA′=2，OH=√3A′H=2√3，2∴A′(−2√3,2)．(Ⅱ)如图②，过点A′作A′T⊥OA于T．∵A(−4,0)，B(0,3)， ∴OA =4，OB =3， ∴AB =√OA 2+OB 2=√42+32=5， ∵OC ⊥A′B′，∴12⋅OA′⋅OB′=12⋅A′B′⋅OC ， ∴OC =125，∴CA′=√42−(125)2=165，∵四边形A′TOC 是矩形， ∴A′T =OC =125，OT =CA′=165，∴A′(−165,125).(Ⅲ)如图③中，过点A′作A′J ⊥OB 于J ，过点O 作OP ⊥A′B′于P ．∵OP =125，AP =165，A′B′=5， ∴PB′=5−165=95， ∵OB =OB′，OP ⊥BB′， ∴PB =PB′=95， ∴A′B =5−185=75， ∵∠A′JB =∠OPB =90°，∠A′BJ =∠OBP ，∴△A′JB∽△OPB ， ∴A′J OP =BJ BP =A′B OB ， ∴A′J 125=BJ 95=753，∴A′J =2825，BJ =2125，∴OJ =OB +BJ =9625，∴A′(−2825,9625).【解析】(Ⅰ)如图①，过点A′作A′H ⊥OA 于H.解直角三角形求出A′H ，OH ，可得结论．(Ⅱ)如图②，过点A′作A′T ⊥OA 于T.解直角三角形以及面积法求出A′T ，OT ，可得结论．(Ⅲ)如图③中，过点A′作A′J ⊥OB 于J ，过点O 作OP ⊥A′B′于P.解直角三角形以及相似三角形的性质求出A′J ，OJ ，可得结论．本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】解：(Ⅰ)把点O(0,0)和A(6,0)代入y =ax 2−2√3x +c 中，得{c =036a −12√3+c =0，解得{a =√33c =0， ∴抛物线的解析式为y =√33x 2−2√3x①．(Ⅱ)①如图①中，设抛物线的对称轴交x 轴于M ，与OD 交于点N ．∵y =√33x 2−2√3x =√33(x −3)2−3√3，∴顶点B(3,−3√3)，M(3,0)，∴OM =3.BM =3√3，∴tan∠MOB =BM OM =√3， ∴∠MOB =60°， ∵∠BOD =30°，∴∠MON =∠MOB −∠BOD =30°，∴MN =OM ⋅tan30°=√3，∴N(3,−√3)，∴直线ON 的解析式为y =−√33x②， 联立①②并解得{x =5y =−5√33(不合题意的值已舍去)， ∴D(5,−5√33).②如图②−1中，当∠EFG =90°时，点H 在第一象限，此时G ，B′，O 重合， 由题意OF =BF ，由中点坐标公式得：，由点O 、D 的坐标得，直线OD 的表达式为y =−√33x ， 当x =3时，y =−√33x =√3， ∴E(3,−√3)，∵四边形EGFH 为矩形，则利用平移的性质得H(32,√32). ∵四边形EGFH 为矩形，而这里是四边形EHGF ，故不符合题意，舍去；如图②−2中，当∠EGF =90°时，点H 在对称轴右侧，由题意，∠EBF =∠FEB =30°，∴EF =BF ，同理可得F(2,−2√3)，H(72,−3√32).如图②−3中当∠FGE=90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，由题意EF⊥BE，同理可得F(1,−√3)，G(32,−√32)，利用平移的性质，同理可得H(52,−3√32).综上所述，满足条件的点H的坐标为(52,−3√32)或(72,−3√32).【解析】(Ⅰ)利用待定系数法解决问题即可．(Ⅱ)①如图①中，设抛物线的对称轴交x轴于M，与OD交于点N.解直角三角形求出点N的坐标，求出直线ON的解析式，构建方程组确定点D坐标即可．②分三种情形：如图②−1中，当∠EFG=90°时，点H在第一象限，此时G，B′，O 重合．如图②−2中，当∠EGF=90°时，点H在对称轴右侧．如图②−3中当∠FEG=90°时，点H在对称轴左侧，点B′在对称轴上，分别求解即可．本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
天津市红桥区2021届新高考数学第二次调研试卷含解析
天津市红桥区2021届新高考数学第二次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v，222AF F B =u u u u v u u u u v，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率. 【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u rQ ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==故选C 项. 【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.2．5G 网络是一种先进的高频传输技术，我国的5G 技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款5G 手机，现调查得到该款5G 手机上市时间x 和市场占有率y （单位：%）的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出y 关于x 的线性回归方程为$$0.042y x a=+.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款5G 手机市场占有率能超过0.5%（精确到月）（ ）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，计算出,x y ，然后解不等式即可. 【详解】 解：1(12345)35x =⨯++++=，1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++= 点()3,0.1在直线ˆˆ0.042yx a =+上 ˆ0.10.0423a=⨯+，ˆ0.026a =- ˆ0.0420.026yx =- 令ˆ0.0420.0260.5yx =-> 13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月， 故选：C 【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用，基础题.3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若存在点P 满足1212::4:6:5PF PF F F =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．53D ．5【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求. 【详解】122155642F FePF PF===--.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c的关系式.4．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（）A．22B．23C．4D．26【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC是等腰直角三角形，PC⊥平面ABC,结合三视图求出每个面的面积即可.【详解】由三视图可知，该三棱锥如图所示：其中底面ABC是等腰直角三角形，PC⊥平面ABC,由三视图知，2,22,PC AB==因为,PC BC PC AC⊥⊥,,AC BC AC CB=⊥,所以2,2AC BC PA PB AB=====所以12222PAC PCB ACBS S S∆∆∆===⨯⨯=,因为PAB ∆为等边三角形，所以(2244PAB S AB ∆==⨯=所以该三棱锥的四个面中，最大面积为故选：B 【点睛】本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 5．若θ是第二象限角且sinθ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sinθ =1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒．6．已知函数3(1),1()ln ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若()()f a f b >，则下列不等关系正确的是（ ）A ．221111a b <++ B C ．2a ab < D ．()()22ln 1ln 1a b +>+【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性得到,a b 的大小关系，再利用不等式的性质，即可得答案. 【详解】∵()f x 在R 上单调递增，且()()f a f b >，∴a b >.∵,a b 的符号无法判断，故2a 与2b ，2a 与ab 的大小不确定， 对A ，当1,1a b ==-时，221111a b =++，故A 错误； 对C ，当1,1a b ==-时，21,1a ab ==-，故C 错误；对D ，当1,1a b ==-时，()()22ln 1ln 1a b +=+，故D 错误；对B ，对a b >B 正确. 故选：B. 【点睛】本题考查分段函数的单调性、不等式性质的运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 7．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 的方差()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-都成立，则（ ） A ．13b ≤B ．23b ≤C ．13b ≥D ．23b ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据X 的分布列列式求出期望,方差,再利用1a b c ++=将方差变形为21()412b D X a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,从而可以利用二次函数的性质求出其最大值为113b -≤,进而得出结论. 【详解】由X 的分布列可得X 的期望为()E X a c =-+, 又1a b c ++=,所以X 的方差()()()()22211D X a c a a c b a c c =-+-+-++-()()()222a c a b c a c a c =-++--++ ()2a c a c =--++()2211a b b =--++- 21412b a b -⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,因为()0,1a b ∈-,所以当且仅当12ba -=时,()D X 取最大值1b -, 又()13D X ≤对所有()0,1a b ∈-成立, 所以113b -≤,解得23b ≥,故选:D. 【点睛】本题综合考查了随机变量的期望､方差的求法,结合了概率､二次函数等相关知识,需要学生具备一定的计算能力,属于中档题.8．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 9．已知1sin 243απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ） A ．79-B ．29-C ．29D ．79【答案】A 【解析】 【分析】由余弦公式的二倍角可得，27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，再由诱导公式有 cos()sin 2παα+=-，所以7sin 9α=-【详解】 ∵1sin 243απ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ∴由余弦公式的二倍角展开式有27cos()12sin 2249παπα⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭又∵cos()sin 2παα+=-∴7sin 9α=- 故选：A 【点睛】本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 10．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求x π=时的函数值，再排除一个，得正确选项． 【详解】 分析知，函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）为偶函数，所以图象关于y 轴对称，排除B ，C ，当x π=时，sin 0xx=，排除D ， 故选：A ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论．11．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案. 【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.12．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π B ．2πC ．3π D ．4π 【答案】A 【解析】 【分析】先化简已知得()2sin()6f x wx π=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．【详解】由题得()2sin()6f x wx π=-,设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T=1，解得T=2； ∴2πω=2，解得ω=π． 故选A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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260 1 2 3 4 5AMPOGHB N红桥区 2021~2021 学年度第二学期九年级二模检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12 个小题，每小题3 分，共36 分．（1）B （2）A （3）D （4）C （5）D （6）B （7）A （8）A （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分．（13）a4（14）7 （15）5D 7（16）y =x + 2（答案不惟一）（17）3 55（18）（Ⅰ）；（Ⅱ）如图，取格点C，连接AC；取格点D，E，连接DE与AC交于点M．取格点F，G，连F接FG并延长，交网格线于点H，连接BH；取格点I，连接GI与BH交于点N．连接MN与⊙O相交，得点I P．连接AP，BP，△PAB即为所求．三、解答题：本大题共7 个小题，共66 分．（19）（本小题8 分）解：（Ⅰ）x ≥ - 1；……………………………………………………………… 2 分（Ⅱ）x ≤4；…………………………………………………………… 4 分（Ⅲ）…………………… 6 分（Ⅳ）-1≤x ≤4．……………………………………………………… 8 分（20）（本小题8 分）解：（Ⅰ）50，28．………………………………………………………………2 分（Ⅱ）∵ 在这组样本数据中，18出现了14次，出现的次数最多，∴ 这组样本数据的众数为18．………………………………………… 3 分∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是18，有18 +18=18，2∴ 这组样本数据的中位数为18．……………………………………… 4 分观察条形统计图，x =16 ⨯9 +17 ⨯12 +18 ⨯14 +19 ⨯10 + 20 ⨯5=17.8，50∴ 这组数据的平均数是17.8．………………………………………… 6 分（Ⅲ）∵在这组样本数据中，成绩达到18分（含18分）及以上的人数占28% + 20% +10% = 58%，∴ 估计该校八年级300名学生中，在本次科普竞赛中成绩优秀的人数占58%．有300 ⨯ 58% = 174．∴ 该校八年级学生在本次科普竞赛中成绩优秀的人数约为174人．……… 8 分42︒37︒（21）（本小题 10 分）解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙ O 的直径，∴ ∠ACB = 90︒． (1)分∴ ∠BAC + ∠ABC = 90︒．∵ ∠BAC = 52︒，∴ ∠ABC = 90︒ - 52︒ = 38︒． … 2 分由 D 为 AB 的中点，得 AD = B D ．∴ ∠ACD = ∠BCD = 1∠ACB = 45︒．………… 3 分2 ∴ ∠ABD = ∠ACD = 45︒．……………………… 4 分（Ⅱ）如图，连接OD ， OC ．…………………… 5 分∵ AE = AC ，∴ ∠ACE = ∠AEC = 64︒． …… 6 分∵ OA = OC ，∴ ∠ACO = ∠CAO = 52︒．∴ ∠OCD = ∠ACE - ∠ACO = 12︒．………… 7 分∵ OC = OD ，∴ ∠ODC = ∠OCD = 12︒．∴ ∠POD = ∠AEC - ∠ODC = 52︒．………… 8 分∵ DP 切⊙ O 于点 D ，∴ OD ⊥ DP ，即∠ODP = 90︒． …………………… 9 分∴ ∠P = 90︒ - ∠POD = 38︒．………………………………………………… 10 分（22）（本小题 10 分）解： 如图，过C 作CH ⊥ AB ，垂足为 H ．B根据题意， ∠HBC = 42︒， ∠HAC = 37︒， AB = 22．…… 2 分∵ 在Rt △CBH 中， tan ∠HBC = CH ，∴ BH ∵ 在Rt △ACH 中， tan ∠HAC = CH，∴ AH BH = AH = CH tan 42︒ CH tan 37︒．… 4 分．… 6 分HC∵ AB = AH + BH ，∴CH +tan 42︒ CH tan 37︒= AB ．………… 7 分∴ CH = AB ⋅ tan 42︒ ⋅ tan 37︒ ≈ 22 ⨯ 0.90 ⨯ 0.75= 9.00．… 8 分tan 42︒ + tan 37︒ 0.90 + 0.75A∵ 在Rt △CBH 中， sin ∠HBC = CH，∴ BC BC = CH sin 42︒≈ 13.4．答： B 处距离灯塔C 的距离 BC 约为13.4 n mile ．……………………… 10 分（23）（本小题 10 分）解：（Ⅰ） 31 500， 49 500； 33 000， 49 000．……………………………………… 4 分（Ⅱ）根据题意，得 y 1 = 9x ， x ≥ 3 000； y 2 = 8x + 5 000， x ≥ 3 000．……… 7 分（Ⅲ）① 5 000；②乙；③甲．………………………………………………… 10 分2 2 23 3 5 O 'BA ' OCA x⎨ （24）（本小题 10 分）解：（Ⅰ）如图，过点 A '作 A 'C ⊥ OA ，垂足为C ．y∵ 点 A （2 ，0），点 B （2， 2）， ∴ OA = AB = 2， ∠OAB = 90︒． ……………… 1 分∴ ∠AOB = ∠ABO = 45︒， OB = 2 ． ……… 2 分 ∵ △O 'A 'B 是△OAB 绕点 B 顺时针旋转得到的，= 45︒，∴ A 'B = AB = 2，点 A '在线段OB 上． ∴ OA ' = OB - A 'B = 2 - 2．………………………………………………… 3 分在Rt △OA 'C 中， A 'C = OA ' ⋅ sin ∠AOB = 2 -， OC = A 'C = 2 -． ∴ 点 A '的坐标为（2 - 2 ，2 - 2）． ……………………………………… 4 分（Ⅱ）如图，连接 AA '，过点 A '作 A 'D ⊥ OA ，垂足为 D ． O 'y∵ A 'B = AB = 2， ∠ABA ' == 60︒，B∴ ∠A 'AB = ∠AA 'B = 60︒， AA ' = AB = A 'B = 2．…… 5 分A '∴ ∠A 'AO = ∠OAB - ∠A 'AB = 30︒． ………………… 6 分在Rt △A 'AD 中， A 'D = 1AA ' = 1， AD = 2 AA ' =．2 O DA x∴ OD = OA - AD = 2 - ∴ 点 A '的坐标为（2 - ． ………………………………………………… 7 分 3 ，1）．…………………………………………… 8 分（Ⅲ） - ． …………………………………………………………… 10 分（25）（本小题 10 分）解：（Ⅰ）∵ 点 A （ - 2 ，0）， B （6 ，0）在抛物线上，∴⎧4a - 2b + 3 = 0 ， ⎩36a + 6b + 3 = 0 ．解得 a = - 1， b = 1． 4∴ 该抛物线的解析式为 y = - 1x 2 + x + 3． ………………………………… 3 分4 （Ⅱ）① 由 y = - 1 x 2 + x + 3 = - 1 x - 2）2+ 4，得 M （2 ，4）． ……………… 4 分（4 4y设 P 点坐标为（2 ，m ），其中0 ≤ m ≤ 4． M CP 则 PC 2 = 22 +（m - 3）2， PQ 2 = m 2 +（n - 2）2， CQ 2 = 32 + n 2． ∵ PQ ⊥ PC ，∴ PC 2 + PQ 2 = CQ 2．A ON QB x即22 +（m - 3）2 + m 2 +（n - 2）2 = 32 + n 2． 整理得 n = 1 m 2 - 3m + 4 = 1 m - 3）2 + 7． …… 5 分（ ） （ 2 2 2 8 ∴ 当 m = 3时， n 取得最小值为 7；当 m = 4时， n 取得最大值为4．2 8∴ n 的取值范围是 7≤ n ≤ 4． …………………………………………… 7 分82 3 2⎪ ② 由①知，当 n 取最大值 4 时， m = 4．此时Q （4 ，0）．∵ 点C （0 ，3），∴ 线段CQ 的解析式为 y = - 3x + 3． ………………………… 8 分4设CQ 向上平移t 个单位长度后的解析式为 y = - 3x + 3 + t ．y4 C ' 如图，当线段CQ 向上平移，使点Q 恰好在抛物线上时，线段CQ C与抛物线有两个交点，此时点Q '的坐标Q （' 4 ，3）．将Q （' 4 ，3）代入 y = - 3x + 3 + t ，得t = 3．…… 9 分A O4当线段 CQ 继续向上平移，线段 CQ 与抛物线只有一个交点Q 'Q B x时，⎧y = - 1 x 2 + x + 3，⎪ 4 ⎨⎪ y = - 3 ⎩ 4x + 3 + t ，得- 1 (x + 2)(x - 6) = - 3 x + 3 + t ．化简，得 x 2 - 7x + 4t = 0． 4 4 由∆ = 49 - 16t = 0，解得t = 49．16∴ t 的取值范围是3 … t < 49．…………………………………………… 10 分16由。