高一数学 集合、函数的易错题型分析

集合、函数易错点1. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是 ( A ) A. M=P B. P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2.已知由实数组成的集合A 满足:若x A ∈,则11A x∈-. (1)设A 中含有3个元素,且2,A ∈求A;(2)A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由. [解析]：（1）2A ∈ 112A ∴∈-,即1A -∈,11(1)A ∴∈--, 12A ∈即,1{2,1,}.2A ∴=- （2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a, 则1,1a A A a ∈∈-有,又A 中只有一个元素11a a∴=-, 即210a a -+=,此方程0∆<即方程无实数根 ∴不存在这样的a.3.设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值[解析]：∵B B A =⋂ ∴ B ⊆A , 由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}(1)当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △=0)1(4)1(422<--+a a ,解得 1-<a ；(2)当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a , 解得 1-=a ；(3)当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解； (4)当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得 1=a 综上所述：11=-≤a a 或4、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R ==∈==∈，则A B ⋂= （ C ）A 、{}0,1B 、(){}0,1C 、{}0y y ≥D 、∅[解析]：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞5、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （ C ）A 、}1,0{B 、)}0,1{(C 、]0,1[-D 、]1,1[- [解析]：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=- 6、已知集合M ＝｛x |0)1(3≥-x x ｝，N ＝｛y |y ＝3x 2＋1，x ∈R ｝，则M ⋂N ＝ （ C ） A 、∅ B 、{x |x ≥1} C 、｛x |x >1｝ D 、{x | x ≥1或x <0} [解析]：M ＝｛x |x >1或x ≤0｝，N ＝｛y |y ≥1｝故选C7、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( A )A 、 {|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x x D 、}121|{<<x x [解析]：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<易错点1、忽略φ的存在：例题1、已知A ={x|121m x m +≤≤-}，B ={x|25x -≤≤}，若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．【错解】A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －【分析】忽略A =φ的情况.【正解】（1）A ≠φ时，A ⊆B ⎩⎨⎧≤-+≤-⇔51212m m ，解得：33≤≤m －；（2）A =φ 时，121->+m m ，得2<m .综上所述，m 的取值范围是（∞-,3]2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ）（A ） 1 （B ）0 （C ）1或0 （D ） 1或2【错解】：不知题意，无从下手,蒙出答案D .【分析】：集合的代表元，决定集合的意义，这是集合语言的特征.事实上，{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥分别表示函数)(x f y =定义域，值域，图象上的点的坐标，和不等式()()g x f x ≥的解集. 【正解】：本题中集合的含义是两个图象的交点的个数.从函数值的唯一性可知，两个集合的交中至多有一个交点.即本题选C .3、搞不清楚是否能取得边界值：例题3、A ={x |x <－2或x >10}，B ={x |x <1－m 或x >1＋m }且B ⊆A ，求m 的范围.【错解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -<-⎧⇒>⎨+>⎩.【分析】两个不等式中是否有等号，常常搞不清楚.【正解】因为B ⊆A ，所以：129110m m m -≤-⎧⇒≥⎨+≥⎩.4、不注意数形结合，导致解题错误.例题4、曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个不同交点的充要条件是 【错解】误将半圆241x y -+=认为是圆.【分析】利用“数形结合”易于找到正确的解题思路.【正解】可得正确答案为：53124k <≤5、忽略函数具有奇偶性的必要条件是：定义域关于原点对称. 例题1、函数xxx x f -+-=11)1()(的奇偶性为 【错解】偶函数.【分析】判断函数的奇偶性不考虑函数的定义域是否关于原点对称而导致错误. 【正解】实际上，此函数的定义域为[－1，1），正确答案为：非奇非偶函数 6、缺乏利用函数的图象和性质解题的意识： 例题2、()sin f x x x =⋅，若12,[,]22x x ππ∈-时，12()()f x f x >，则x 1、x 2满足的条件是 ；【错解】不知如何下手，不会利用函数图象及单调性、奇偶性等性质去解题. 【分析】可以判断出f (x )是偶函数，且在[0,]2π上是增函数.【正解】由f (x )在[,]22ππ-上的图象可知答案为12 || ||2x x π≥≥.7、指、对数函数的底数为字母时，缺乏分类讨论的意识：例3、函数log (01),a y x a a =>≠且当[)2,x ∈+∞时，1,y ≥则a 的取值范围是…（ ） （A ）2102≤<≥a a 或（B ）212≥≤a a 或 （C ） 21121≤<<≤a a 或 （D ） 221≤≤a 【错解】只想到1a >一种情况，选D【分析】指、对数函数的底数是字母而没分类讨论.【正解】正确答案为：C 8、不理解函数的定义：例4、函数y =f (x )的图象与一条直线x=a 有交点个数是……………………………（ ） （A ）至少有一个 （B ） 至多有一个 （C ）必有一个 （D ） 有一个或两个 【错解】选A 、C 或D【分析】不理解函数的定义（函数是从非空数集A 到非空数集B 的映射，故定义域内的一个x 值只能对应一个y 值）.【正解】正确答案为：B变式、在同一坐标系内，函数11()2,()2x x f x g x +-==的图象关于…………………（ ） （A ） 原点对称 （B ）x 轴对称 （C ）y 轴对称 （D ） 直线y =x 对称【错解】没有思路.【分析】要知道1()2,()2xx f x g x ⎛⎫== ⎪⎝⎭两函数的图象关于y 轴对称.【正解】1()2x f x +=的图象由的图象向左平移1个单位而得到，1()2xg x -=＝112x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象由12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象向右平移一个单位而得到.故选C.综合训练题：1、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x 中元素的个数为（ ） A. 1 B. 0 C. 1或0 D. 1或22、已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]3、已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x+=的图象必定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4、将函数()xx f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ）A. ()11log 2+-=x yB. ()11log 2--=x yC. ()11log 2++=x yD. ()11log 2-+=x y5、已知函数()()x x f a-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()21log x x g a -=的单调减区间是（ ） A. (]0,∞- B. ()0,1- C. [)+∞,0 D. [)1,0 6、函数x x x y sin cos -=在下面的哪个区间上是增函数（ ）A. ⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ B. ()ππ2, C. ⎪⎭⎫⎝⎛25,23ππ D. ()ππ3,27、设()x x x f sin =，1x 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,22ππx ，且()1x f ＞()2x f ，则下列结论必成立的是（ ）A. 1x ＞2xB. 1x +2x ＞0C. 1x ＜2xD. 21x ＞22x 8、方程2log 2=+x x 和2log 3=+x x 的根分别是α、β，则有（ ）A. α＜βB. α＞βC. α=βD. 无法确定α与β的大小9、若α、β是关于x 的方程()053222=+++--k k x k x （R k ∈）的两个实根，则22βα+的最大值等于（ ）A. 6B. 950C. 18D. 19 10、若ax y =与xby -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是（ ） A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数11、已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是（ ） A. ()1,3-- B. ()()3,11,1 - C. ()()+∞-,30,3 D. ()()+∞-,21,3 12、不等式()32log 2+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)+∞,2B. (]2,1C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,013、方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a ＜1C.a ≤1D. 0<a ≤1或a < 0 14、在同一坐标系中，函数1+=ax y 与1-=x a y （a >0且a ≠1）的图象可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ） 15、函数()x f y =是R 上的奇函数，满足()()x f x f -=+33，当x ∈（0，3）时()xx f 2=，x ∈（6-，3-）时，()x f =（ ）A. 62+x B. 62+-x C. 62-x D. 62--x16、函数()()()b x b x a ax x f +-+-+=348123的图象关于原点中心对称，则()x f A. 在[]34,34-上为增函数 B. 在[]34,34-上为减函数C. 在[)+∞,34上为增函数，在(]34,-∞-上为减函数 D. 在(]34,-∞-上为增函数，在[)+∞,34上为减函数17、ααcos sin +=t 且αα33cos sin +＜0，则t 的取值范围是（ ）A. [)0,2- B. []2,2- C. ()(]2,10,1 - D. ()()+∞-,30,318、二次函数()x f 满足()()22+-=+x f x f ，又()30=f ，()12=f ，若在[0，m ]上有最大值3，最小值1，则m 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B. [)+∞,2C. (]2,0D. [2,4]19“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴M 的元素都不是P 的元素；⑵M 中有不属于P 元素；⑶M 中有P 的元素；⑷M 的元素不都是P 的元素，其中真命题的个数有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 20、使不等式0)1|)(|1(>+-x x 成立的充分而不必要的条件是（ ）（A ）}11|{>-<x x x 或 （B ） }11|{<<-x x （C ） }11|{≠->x x x 且 （D ）}11|{-≠<x x x 且二、填空题：21、函数xy 1=（x ＞-4）的值域是____________________ 22、函数52--+=x x y 的值域是________________________.23、函数x x y -+=3的值域是_________________________.24、若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x =__________.25、设定义在区间[]222,22---a a 上的函数()x x x f --=33是奇函数，则实数a 的值是_______________________. 26、函数()12-=x x f （x <-1）的反函数是_______. 27、函数()2px p x x f +-=在（1，+∞）上是增函数，则实数p 的取值范围是____________________.28、已知集合{}a x ax x x A -≤-=2，集合(){}21log 12≤+≤=x x B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_______.29、已知函数()x f y =是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，()x f 是单调递增的，则不等式()1+x f ＞()x f 21-的解集是_________________.30、已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是______________31、函数432--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--4,425，则实数m 的取值范围是______________________. 32、函数()coxx xcoxx f ++=sin 1sin 的值域是______.33、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f的最小值是____________________________.34、已知a ＞1，m ＞p ＞0，若方程m x x a =+log 的解是p ，则方程m a x x=+的解是_______.35、已知函数()()3122--+=x a ax x f （a ≠0）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为1，则实数 a 的值是____34或.36、对于任意实数x 、y ，定义运算x *y 为：x *y =cxy by ax ++，其中a 、b 、c 为常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算，现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零常数m ，使得对于任意实数x ，都有x *m =x ，则m =____________. 37、已知函数()()()[]111lg 22+++-=x a x a x f 的定义域为()+∞∞-,，则实数a 的取值范围是_____. 38、若函数())4(log -+=xax x f a （a >0且a ≠1）的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____. 39、若曲线()21a x y --=与2+=x y 有且只有一个公共点P ，O 为坐标原点，则OP 的取值范围是________.40、若定义在区间D 上的函数()x f 对D 上的任意n 个值1x ，2x ，…，n x ，总满足()()()[]n x f x f x f n ++211≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n x x x f n 21，则称()x f 为D 上的凸函数.已知函数x y sin =在区间()π,0上是“凸函数”，则在△ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是____________.41、正实数x 1，x 2及函数，f (x )满足1)()(,)(1)(1421=+-+=x f x f x f x f x且，则)(21x x f +的最小值为 （ ）A ．4B ．54C ．2D ．4142、已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“b > 2a ”是“f (－2) < 0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件43、一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立.你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个44、已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____；45、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f (x )的图象恰好通过k 个 格点，则称函数f (x )为k 阶格点函数.下列函数：①x x f sin )(=；②3)1()(2+-=x x f π ③xx f )31()(=；④.log )(6.0x x f =其中是一阶格点函数的有 .（填上 所有满足题意的序号）46、已知二次函数)1(,)(2++=x f bx ax x f 为偶函数，函数f （x ）的图象与直线y=x 相切. （1）求f （x ）的解析式（2）若函数),(])([)(+∞-∞-=在x k x f x g 上是单调减函数，求k 的取值范围.（1）∵f （x+1）为偶函数，∴即),1()1(+=+-x f x f )1()1()1()1(22+++=+-++-x b x a x b x a 恒成立，即（2a+b ）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a ∴ax ax x f 2)(2-=∵函数f （x ）的图象与直线y=x 相切，∴二次方程0)12(2=+-x a ax 有两相等实数根，∴004)12(2=⨯-+=∆a a ，x x x f a +-=-=∴221)(,21（2）∵kx x x x g -+-=2321)(，'23()2,()(,)2g x x x k g x ∴=-+--∞+∞ 在上是单调减函数上恒成立，在),(0)('+∞-∞≤∴x g 32,0))(23(44≥≤---=∆∴k k 得，故k 的取值范围为),32[+∞ 48、定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为____ (答：(sin )(cos )f f αβ>)； 49、函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有_______个(答：2)50、如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_____________(答：12x =-)．51、已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程（答：30x y +=或24540x y --=）。