沪教版八年级数学-代数方程复习-学生版讲义

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沪教版八年级下册数学第二十一章《代数方程》全章复习与巩固知识讲解(提高)

《代数方程》全章复习与巩固知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法.2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数.3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）.4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）.5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念.6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组.7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程.要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略.要点诠释：解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次.用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解.要点二、分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程.2.分式方程的解法1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.2、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点诠释：1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法.2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）.3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法.3.解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点三、无理方程1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.要点诠释：简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程．2.有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程.3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程.要点诠释：代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算.4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边；②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程；③解整式方程；④验根；⑤写答案.要点诠释：解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为：5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤：①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边；②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程；以下与1步骤相同.要点诠释：解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施.要点四、二元二次方程组1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程.要点诠释：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.4. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2. 因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.5.方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、方程的判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义.【答案与解析】（1）是，二次项2x 、一次项y ，常数项-1.（2）不是，因为只含一个未知数.（3）不是，因为不是整式方程.（4）不是，因为不含二次项.【总结升华】对于二元二次方程的定义要加深全面的理解．举一反三：【变式】（2015秋•黄浦区期中）在方程2x 2﹣3x=4，xy=1，x 2﹣4y 2=9，中，是二元二次方程的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B.解：2x 2﹣3x=4是一元二次方程；xy=1，x 2﹣4y 2=9是二元二次方程；是分式方程．故是二元二次方程的只有：xy=1，x 2﹣4y 2=9．故选B ．2．（2016春•上海校级月考）下列关于x 的方程中，无理方程是（）A ．B ．C ．D ．+2x=7 【思路点拨】根号下含有未知数的方程是无理方程，依据定义即可作出判断．【答案】C ．【解析】解：A 、x 2+x+1=0是一元二次方程，选项错误；B 、x+1=0是一元一次方程，选项错误；C 、+=0是无理方程，选项正确；D 、+2x=7是关于x 的一元一次方程，选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了无理方程的定义，无理方程与整式方程的区别在于被开方数中是否含有未知数，理解定义是关键．举一反三：【变式】（2015春•闵行区期末）已知下列关于x 的方程：①；②+1=0；③+2x=7；④﹣7=0；⑤+=2；⑥﹣=．其中，是无理方程的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B.解：①根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；②根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；③根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；④根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑤根号内含未知数，所以，是无理方程；故本项符合题意；⑥根号内不含未知数，所以，不是无理方程；故本项不符合题意；所以，②④⑤是无理方程；故选B．类型二、判断方程解的情况3．（2016春•上海校级月考）下列关于x的方程中，一定有实数根的是（）A． B．x2+x+1=0 C． D．【思路点拨】根据表示a的算术平方根，一定是非负数，以及一元二次方程根的判别式即可作出判断．【答案】C．【解析】解：A、≥0，4＞0，则原式一定不成立，则方程没有实数根，选项错误；B、a=1，b=1，c=1，则△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，则方程无实数根，选项错误；C、当x=0时，=﹣x一定成立，即方程有实数根0，选项正确；D、≥0，≥0，则+≥0，因而+=﹣1一定不成立，没有实数根，选项错误．故选C．【总结升华】本题考查了算术平方根的定义以及一元二次方程根的判别式，理解任何非负数的算术平方根是非负数是关键．举一反三：【变式】（2016春•南京校级月考）下列方程中，有实数根的是（）A．x2﹣3x+5=0 B．C． D．【答案】C．解：A、△=9﹣20=﹣11＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、方程=﹣1没有实数解，所以B选项错误；C 、解得x=﹣1，正确；D 、去分母得x=1，经检验x=1是不是原方程的解，所以D 选项错误；故选C ．类型三、解方程4. 解关于x 的方程：1mx nx -=【思路点拨】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再考虑有解、无解、无穷多解的模式.然后进行分类讨论．【答案与解析】原方程可化为：()1m n x -=当0m n -≠，即m n ≠时，方程有唯一解为：1x m n=-；当0m n -=，即m n =时，方程无解．【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax b =，再根据x 系数a 是否为零进行分类讨论．举一反三：【变式】若关于x 的方程(k-4)x =6有正整数解，求自然数k 的值.【答案】解：∵原方程有解，∴ 40k -≠原方程的解为：64x k =-为正整数，∴4k -应为6的正约数，即4k -可为：1，2，3，6 ∴k 为：5，6，7，10答：自然数k 的值为：5，6，7，105.（2016春•长宁区期末）解方程：2220383x x x x +-=+．【思路点拨】根据换元法，设213u x x=+，可得关于u 的分式方程，根据解方程，可得答案．【答案与解析】解：设213u x x =+，则原方程化为：1208u u-=，解得：1211102u ,u ==-，当110u =时，2310x x +=，解得：1252x ,x =-=，经检验1252x ,x =-=是原分式方程的解；当12u =-时，232x x +=-，解得：12317317x -+--==，经检验12317317x ,x -+--==是原分式方程的解；所以原方程的解为：1252x ,x =-=，3431731722x ,x -+-==．【总结升华】本题考查了解分式方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度适中．6. 解方程 223152512x x x x ++++=【答案与解析】 251x x y ++=，则2222513153(1)x x y x x y ++=⇒+=-原方程可化为：23(1)22y y -+=，即23250y y +-=，解得：1y =或53y =-．(1)当1y =225115010x x x x x x ++=⇒+=⇒=-=或；(2)当53y =-2510x x y ++=≥，所以方程无解．检验：把1,0x x =-=分别代入原方程，都适合．所以，原方程的解是1,0x x =-=．【总结升华】本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)x x x x ++=++．因此，251x x y ++=，这样就可将原方程先转化为关于y 的一元二次方程进行处理．举一反三：【变式】解方程()223323532x x x x +-+=+ 【答案】解：原方程变形为，22352354022x x x x -++-+=， 2235x x -+，则23522x x -+=22y ，则方程可化为，22y +y-4=0, 整理得，2280y y +-=，解得，122,4,y y ==-当y=22235x x -+，解得，1211,2x x ==；当y=-42235x x -+=-4，无解. 经检验，1211,2x x ==都是原方程的解，所以原方程的解为1211,2x x ==. 7、解方程49324492x x x x +-=+. 【答案与解析】解：设494x y x +=，则214+9x x y=，原方程可化为，y-1y =32, 整理得，22320y y --=，解得，12,y =21,2y =-当y=2时，492,4x x +=解得，x=34；当y=－12时，491,42x x +=-无解；经检验，x=34是原方程的解，所以原方程的解为x=34. 【总结升华】本题中494x x +与24+9x x 之间互为倒数，采用倒数换元法是本题的最佳选择. 举一反三：【变式】（杨浦区校级期中）解方程：4x 2﹣10x+=17．【答案】解：方程变形为2（2x 2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t ，则原方程转化为2t 2+t ﹣21=0，（t ﹣3）（2t+7）=0，解得t 1=3，t2=﹣，当t=3时，=3，则2x 2﹣5x+2=9，整理得2x 2﹣5x ﹣7=0，解得x 1=，x 2=﹣1；当t=﹣时，=﹣，则方程无解，经检验原方程的解为x 1=，x 2=﹣1．类型四、解方程组 8. 解方程组【答案与解析】解：设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程组可化为 80+42=7,40+70=7.u v u v ⎧⎨⎩解得 1=,201=.14u v ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 于是，得 11=,+2011=.-14x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 因此 +=20,-=14.x y x y ⎧⎨⎩解得 =17,=3.x y ⎧⎨⎩检验：把x=17，y=3代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值都不为零. 所以，原方程组的解是=17,=3.x y ⎧⎨⎩【总结升华】本题中直接去分母解比较麻烦，通过观察发现两个方程所含的分式的分母分别是x+y 和x-y ，所以想到“换元”，设1=+u x y ，1=-v x y，则原方程得以简化. 【变式】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩【答案与解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，解方程得：4z =或z=7．∴ 原方程组的解是：1147x y =⎧⎨=⎩或2274x y =⎧⎨=⎩．【总结升华】本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解． (1) 对于这种对称性的方程组x y a xy b+=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ． (2) 对称形方程组的解也应是对称的，即有解47x y =⎧⎨=⎩，则必有解74x y =⎧⎨=⎩． 9.（2016•黄浦区二模）解方程式：．【答案与解析】解：由②可得，（x+y ）（x ﹣5y ）=0，即x+y=0或x ﹣5y=0，∴x=﹣y 或x=5y ，当x=﹣y 时，把x=﹣y 代入①，得：2y 2=26，解得：y=±，故方程组的解为：或；当x=5y 时，把x=5y 代入①，得：25y 2+y 2=26，解得：y=±1，故方程组的解为：或；综上，该方程组的解为：或或或．【总结升华】本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．类型五、应用10.（2016•黄埔区模拟）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．【思路点拨】设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x 个、y 个，根据各加工30个零件甲比乙少用1小时完成任务，改进操作方法之后，乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时，列方程组求解．【答案与解析】解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，由题意得，，解得：．经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．【总结升华】本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解，注意检验．举一反三：【变式】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？【答案与解析】解：设乙每小时走x千米，那么甲每小时走（x+1）千米，根据题意，得去分母，整理，得 x2+x-30=0．解这个方程，得 x1=5，x2=-6．经检验，x1=5，x2=-6都是原方程的根．但速度为负数不合题意，所以只取x=5，这时x+1=6．答：甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【总结升华】本题当中要特别注意理解“甲结果比乙早到半小时”这句话，说明乙用的时间长，要在乙的时间上减去12小时，才和甲所用的时间相等.11.k为何值时，方程组.（1）有两组相等的实数解；（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解.【答案与解析】解：将(2)代入(1)，整理得k2x2+(2k-4)x+1=0 (3)（1）当时，方程(3)有两个相等的实数根.即解得：，∴k=1.∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根.（2）当时，方程(3)有两个不相等的实数根.即解得：，∴k<1且k ≠0.∴当k<1且k ≠0时，原方程组有两组不等实根.（3）①若方程(3)是一元二次方程，无解条件是，即解得：， ∴k ＞1.②若方程(3)不是二次方程，则k=0，此时方程(3)为-4x+1=0，它有实数根x=. 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根.【总结升华】因为在（1）、（2）中已知方程组有两组解，可以确定方程(3)是一元二次方程，但在（3）问中不能确定方程(3)是否是二次方程，所以需要分两种情况讨论.使用判别式“Δ”的前提条件是能确定方程为一元二次方程，不是一元二次方程不能使用Δ.12. 求直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标．【答案与解析】解：设满足题意的点为A(x,y)，由题意得，2222(15)15(9)15x y x y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩，解得，93x y =⎧⎨=⎩或93x y =-⎧⎨=⎩，经检验，两组都是方程组的解，所以A （9,3）或A （-9,3）.答：直角坐标平面内到()()0,15,0,9P Q -的距离都等于15的点的坐标为（9,3）或（-9,3）.。

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第十六章二次根式第一节二次根式【知识要点】1.二次根式代数式0)a ≥叫做二次根式。

读作“根号a ”，其中a 叫被开方数. 2.二次根式有意义0a ≥3．二次根式的性质性质一 (0)a a =≥性质二 2(0)a a =≥性质三 )a 0,b 0=≥≥性质四0,0)a b =≥> 4.最简二次根式在化简后的二次根式里：(1)被开方数中各因式的指数都为1；(2)被开方数中不含分母.被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.5.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【学习目标】1.掌握二次根式有意义的条件及性质.2.掌握最简二次根式及同类二次根式.【典型例题】1.二次根式的判定【例1】下列式子中哪些是二次根式？（1 （2 （3）；（4 （5（61)x >；（7；（80)a <；（9 （10【答案】（1）、（3）、（5）、（7）、（8）是二次根式.【分析】二次根式要求根指数为2，所以（4）就不是二次根式，同时二次根式的被开方数必须是非负数，所以（2）、（6）显然不是，（9）中只有当10x +≠即1x ≠-时，才是二次根式，（10）中只有当0x =时，才是二次根式.2.二次根式有意义的条件【例2】当实数x 取何值时，下列各式有意义？（1 （2 （3（4；（5）1x +；（6 【答案】（1）12x ≥；（2）x 取任何实数；（3）0x =；（4）5x ≤-；（5）32x ≤ 且1x ≠-；（6）23x >-。

【分析】（1）由210x -≥，得12x ≥，所以当12x ≥（2）无论x 取什么实数，都有2(2)0x -≥，所以当x（3）由0x ≥，且0x -≥，得0x =，所以当0x =（4）由502x +≥-，即50x +≤，得5x ≤-，所以当5x ≤-（5）由320x -≥且10x +≠，得32x ≤且1x ≠-，所以当32x ≤且1x ≠-有意义；（6）由1064x ≥+且640x +≠，即640x +>，得23x >-，所以当23x >-有意义;3.二次根式的化简【例3】化简下列二次根式；（1）；（2；（30)y <；（40,0)a b <<。

上海八年级代数方程知识点

上海八年级代数方程知识点代数方程作为中学数学的重要组成部分，在上海市八年级数学教学中占有重要地位。

学好代数方程对于学习高中数学以及其他学科都有很大的帮助。

本文将对上海八年级代数方程知识点进行详细介绍。

一、基本概念首先，我们需要了解代数方程的基本概念。

代数方程就是一个含有未知数的等式，其中，未知数是我们要求解的数。

通常使用字母表示未知数，例如x，y等。

代数方程可以用来表示很多问题，例如求根问题、图形问题等。

二、一元一次方程1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，即未知数的最高次数为1。

一元一次方程的一般形式为ax+b=0，其中a、b为已知数，a≠0。

2. 解一元一次方程的方法解一元一次方程的方法有两种：移项法和消元法。

移项法是指将等式两边的项移到同一边，最终使得未知数所在的项在等式的一侧，而常数项在另一侧。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以将3移到等式右侧，得到2x=4，然后将2x除以2，得到x=2。

消元法是指通过加减乘除等运算，使得方程中未知数的系数相等，从而消去未知数。

例如，对于方程3x-2=5x+10，我们可以将等式两边减去5x，得到-2x-2=10，然后将等式两边加上2，得到-2x=12，最终将等式两边除以-2，得到x=-6。

三、二元一次方程组1. 二元一次方程组的定义二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，即未知数的最高次数为1。

二元一次方程组一般写成以下形式：a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2都是已知数。

2. 解二元一次方程组的方法解二元一次方程组的方法有三种：代入法、消元法和加减消元法。

代入法是指将一个方程的一个未知数表示成另一个方程的未知数的函数，然后代入到另一个方程中进行求解。

例如，对于方程组2x-3y=5和x+2y=7，我们可以将第一个方程中的x表示成第二个方程中的y的函数，即x=7-2y，然后代入第一个方程，得到2(7-2y)-3y=5，最终解得y=1，然后再代入x=7-2y，得到x=5。

沪教版(五四制)八年级数学下册第二十一章代数方程讲义(无答案)

（一）介绍：整式方程和分式方程统称为有理方程，有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程.（二）解方程的基本思想：①化分式方程为整式方程②化高次方程为一次或二次方程③化多元为一元④化无理方程为有理方程总之：最后转化为一元一次方程或一元二次方程.（三）解方程的基本方法：解整式方程：一般采用消元（加减消元、代入消元、因式分解消元、换元法消元等），降次（换元降次、因式分解降次、辅助式降次等）等方法. 板块一：整式方程【例题1】【基础、提高】解下列关于x 的方程：（1）2(231a x a x -=+）-（2）2(1(12)ax a x -=-）（3） 22(4(52)60k x k x ---+=）第十三讲代数方程（一）【尖子】解下列方程（1）21)2(1)( 1.5)a x x a -=-≠（（2）(1)42a ax x -=-（3）22(0)b x x a a b a b-+=<<（4）2222()()(0)ax b a bx a b ab ++-=+≠【例题2】【基础、提高】如果m 、n 为常数，关于x 的方程2(+2)32x km kx n --=，无论k 为何值，方程的解总是12，则m = ，n = .【尖子】解方程：22(1)1x x x +--=【例题3】【基础、提高】解下列方程：（1）31250x -=（2）43270x -=（3）528033x +=（4）810x +=【尖子】解下列关于x 的方程（a ≠0且b ≠0）（1）20ax b +=（2）30ax b +=（3）20n ax b +=（n 为正整数）（4）2+10n ax b +=（n 为正整数）板块二：分式方程（不要忘记经检验）【例题4】【基础、提高】解下列方程（1）321273x x x x +-=--（2）715443x x =++-（3）202114x x x x+=--（4）2715326x x x x x -=-+--（5）510211033x x x -=++-【尖子】解下列分式方程：（1）651(1)x x x x +=++ （2）2141111x x x x +-=--+【例题5】【基础、提高】已知方程22101x x k x x x x+--=++有增根，求k 的值并解方程.【尖子】若方程222312122x b b x x x x +-+=---有增根，求b 的值.【例题6】解方程：34x x x x-=【例题7】【基础、提高】解下列关于x 的方程（1）2211233x x x x +=+-+ （2）22161242x x x x +-=--+【尖子】解下列关于x 的方程：（1）2321x x -=+ （2）26311933x x x x +=---+（3）226123(4)x x x x --=-- （4）2116122312x x x x --=----（5）11118475x x x x +=+----【例题8】【基础、提高】m 为何值时，分式方程2122212x x x m x x x x --++=-+--的解为负数.【尖子】当a 为何值时，关于x 的方程21212x x a x x x x +-=+-+-的根为正数.【例题9】【基础、提高】已知3x =是方程1012k x x +=+的一个根，求k 的值和这个方程其余的根.【尖子】若关于x 的方程2211k x kx x x x x +-=--只有一个根，求k 的值.【例题10】【基础、提高】形如11x a x a +=+的方程的解为：121,x a x a== 解方程：222212219116x x x x x x x +++++=+++【尖子】解下列关于x 的方程：（1）2231712x x x x -+=- （2）22110x x x x+++=【例题11】【基础、提高】解下列方程（组）（1）2331332x x x x -+=-（2）221812023x x -+=-（3）112151115x y x y x y x y ⎧+=⎪-+--⎪⎨⎪+=⎪-++-⎩（4）3192543132531y x x y +⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪-+⎩（5）6512743xy x y yz y z xzx z ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩（6）222111011828138x x x x x x ++=+-+---【尖子】倒数方程：一个整式方程，按照未知数的降幂排列后，若与首尾两项等距的两项的系数相等，或都互为相反数，这样的方程叫做倒数方程，倒数方程的特点是：如果m 是方程的根，则1m 也是方程的根. 解方程：4322914920x x x x -+-+=解：0x =不是原方程的解，∴方程的等号两边同时除以2x 得229229140x x x x-+-+=/ 设1x y x +=，则22212x y x+=-，则原方程可化为：229100y y -+=. 解得1252,2y y ==，当12y =时，1x =；当52y =时， 1212,2x x == 经检验：12312,,12x x x ===是原方程的解，∴原方程的解是12312,,12x x x === 请按照上述解法解关于x 的方程：432625122560x x x x -+++=【例题12】【基础】已知0x >，且11x x --=，求21x --的值.【提高】当实数a 、b 满足a b ≠，且0ab ≠时，关于x 的方程(1)(1)(1)(1)222a b a b ab x x x ++--+=+-无解，求b a a b+的值.【尖子】已知实数x 、y 满足42423x x -=，423y y +=，求444y x+的值.【例题13】（第十届“五羊杯”初中数学竞赛初三第二（9）题）求方程(x 3-3x 2+x-2)( x 3-x 2-4x+7)+6x 2-15x+18=0全部相异实根.【练习1】下列方程是分式方程的是（） A.5034x x -+= B.11211x x x +=+--. C. 21-= D.关于x 的方程3(2)5124x x m --=【练习2】当a 取何值时，方程2233x a x x-=---有增根.【练习3】（1）解分式方程：21421242x x x x x x +-=---+（2）解分式方程：22(1)120x x x x----=【练习4】（1）解方程：23182)512x x x x-++=（（2）解方程：61257236x x x x x x x x +++++=+++++【练习5】（1）解方程组：321122323123x y x y ⎧-=-⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩（2）解方程组：13614334326933434y x y x x y y x ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩（3）解方程组11815554x y y x x y y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪-=-⎪+⎩【练习6】（1）已知关于x的方程：24(2)2x x ax x x x+-=--无解，求a的值.（2）当a为何值时，关于x的方程222(2)x x x ax x x x-+--=--只有一个实数根?。

完整版沪科版八年级数学下册复习讲义

一元二次方程一、知识结构：一元二次方程二、考点精析考点一、看法解与解法根的鉴识韦达定理(1) 定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．次方程。

(2) 一般表达式：ax2 bx c 0(a 0)典型例题：例 1、以下方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A 、3 x 12 2 x 1 B、11 2 0 C、ax2 bx c 0 D、x2 2x x2 1 x2 x变式：当 k 时，关于 x 的方程kx2 2x x 2 3 是一元二次方程。

例 2、方程m 2 x m 3mx 1 0 是关于x的一元二次方程，则m 的值为。

考点二、方程的解⑴看法：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的看法求代数式的值；典型例题：例 1、已知2 y2y 3 的值为2，则 4 y22y 1 的值为。

考点三、解法⑴方法：①直接开平方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵要点点：降次种类一、直接开方法：x 2 m m 0 , xm※※关于 x a 2 m ，ax m 2 bx n 2 等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程： 1 2 x 2 8 0; 2 4 1 x 2 9 0;例 2、若 9 x 1 216 x 2 2，则 x 的值为。

种类二、因式分解法:x x1x x20x x1 ,或 x x2※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，典型例题：例 1、2x x 3 5 x 3 的根为（）A x 5B x 3C x15, x2 3 D x2 2 2 5例 2、若4x y 2 3 4 x y 4 0 ，则4x+y的值为。

例 3、方程 x2 x 6 0 的解为（）A.x1 3，x2 2 B. x 3 2 C.x1 3，x2 3D. x 2，x 21 ，x2 1 2例 4、已知 2 x2 3 xy 2 y 2 0 ,则x y的值为。

专题02代数方程(考点串讲)-八年级数学下学期期中考点大串讲(沪教版)

际行驶的速度每小时比原计划快20千米，所以提前3小时到达B地．求汽车原计划的
速度．
【解析】解：设汽车原计划的速度为x千米/时，则汽车实际行驶的速度为(x+20)千
米/时，
根据题意得：
2

-

+
=3，
整理得：x +20x-2400=0，
解得：x1=40，x2=-60，
经检验，x1=40，x2=-60均为所列方程的解，x1=40符合题意，x2=-60不符合题意，舍
去分母
因式分解
换元
低次方程
整式方程
求解
原方程的根
无理方程
去根号
由两个二元二次方
程组成的方程组
有理方程
因式分解
求解
求解
检验
检验
舍去增根
原方程的根
特殊的二元
二次方程组
舍去增根
原方程的根
含一次方程的
二元二次方程组
代入消元求出一
个未知数的值
回代求出另一
个未知数的值
原方程组的解
典例剖析
1、字母系数方程的讨论
x 1
解得y1 3, y2 5
x
3
当y= 3时,
3, 解得x =
x 1
4
x
5
当y=5时，
5，解得x =
x 1
4
3
5
经检验:x1 = ，x2 = 是原方程的根
4
4
题型二：倒数换元
例题2
解方程：
x2 3
x
1
解：设
y, 则 2

x
x 3 y
3 13
原方程变为：y+ =

沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-学生版

x.则k的210、已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．11、若关于x 的一元二次方程220x x k +-=没有实数根，则k 的取值范围是． 12、写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________。

13、已知25-是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是．三、解答题1、解方程：2410x x +-=．2、解方程：x 2＋3＝3(x ＋1)．3、已知x ＝1是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b--的值.精解名题【例1】关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是；k ＝。

【例2】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221x x + （2）21x x - （3）2222133x x x -+【例3】已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。

16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____. 17.已知3-2是方程x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______.18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = .三、用适当方法解方程：21.22(3)5x x -+= 22.22330x x ++=四、列方程解应用题：23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.6 代数方程复习(二) 课件

( A)x2 3x 1 0 (B)x2 2x 3 0
(C) 4x 1 1 (D) x 1
x 1 x 1
4、若关于x的方程 2x 3 m
无实数根，则m的取值范围是（ B ）
（A）大于零
（B）小于零
（C）不大于零（D）不小于零
5、下列方程组中，属于二元二次
方程组的是（ C ）
A x2 y2 2x
4、写出原方程的根.
换元法呢?
例题：
1、解方程：
1 x2
1 x2
4 1 x2 4
例题： 2、解方程：x 2 x 1 2
x2 x
解:设x2+x=y,则原方程可化为
2 y+1=
y
去分母并整理得 y2+y-2=0
解得 y1=-2, y2=1 当y1=-2时, x2+x=-2, △<0,无实数根
经检验x1=2,x2=-1是原方程的根. ∴原方程的根是 x1=2,x2=-1
1.解无理方程的思路是：
无理方程
平方
有理方程
2.解无理方程的一般步骤
1、通过两边同平方去掉根号，转化为有理方程。 2、解有理方程. 3、代入原方程进行检验。 4、写出原方程的根.
例题：
解方程 (1) x 1 x 7
代数方程复习（二）
分式方程、无理方程、二元二次方程组
相关概念
分式方程：分母中含有未知数的有理方程。
无理方程：根号内xx含1y有未yx知6数5的3 方程。
x
二元二次方程组4中x含有两1个未知数3，
方程组：并且含有未知数的项的最高次数为两次，这样的整式方程组叫做二元二次方程组．
练习
1.下列方程中，不是分式方程的是( D )

上海初二数学讲义之代数方程复习

数学辅导讲义学科组长签名组长备注课题代数方程授课时间：备课时间：教学目标1、会求解整式方程2、会求解分式方程3、会求解无理方程4、会求解二元二次方程组5、会求解方程的应用重点、难点1、分式方程的灵活求解方法2、二元二次方程组的求解3、方程的应用考点及考试要求考点1、分式方程考点2、无理方程考点3、方程组的解法考点4、方程的应用教学内容知识精要一、整式方程1、一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方曾叫做一元整式方程。

2、一元n 次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），这个方程就叫做一元n 次方程。

3、其中n 大于2的方程统称为一元高次方程。

4、二项方程：如果一元n 次方程的一边只有含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。

一般形式为n b a b x n ,0,0( 0a ≠≠=+是正整数）。

对于二项方程）0,0( 0a ≠≠=+b a b x n ，当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根。

当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个跟互为相反数；如果ab>0,那么方程没有实数根。

5、双二次方程：一般地，只含有偶次项的一元四次方程，叫做双二次方程。

其一般形式为 )0( 024≠=++a c bx ax二、分式方程1、解法①在分式方程的两边同乘以最简公分母，化去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③验根。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

2、增根使整式方程成立而分式方程无意义的未知数的值3、应用①审找题中基本数量关系，用适当名称给数量关系分类②设不好想时就设，问什么设什么③列纵向寻找同类数量关系列方程，以用过的数量关系不可以列方程④解⑤验看根是否满足题意⑥答三、无理方程1、无理方程：方程中含有根式，且被开放书是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程。

沪教版(上海)八年级第一学期辅导讲义17.4一元二次方程的应用1一2星

我来试一试！
把下列各式分解因式：
（1） a 2 − 2 3a + 3 答案 (a − 3 − 6)(a − 3 + 6)
（2） 2x 2 − 3xy − y 2
(x − 3 + 17 y)(x − 3 − 17 y)
4
4
3/6
例题2
证明：关于 x 的二次三项式 x2 + 2mx + 2m − 2 ，不论 m 取任何实数，一定可以在实数范围内分解因式。 (★★) 解答方法：根据二次三项式的分解条件可以得知 b2 − 4ac 0 ，进行求解答案： 4m2 − 8m + 8 = 4m2 − 8m + 4 + 4 = 4(m2 + 2m +1) + 4 = 4(m +1)2 + 4 0 ，得证。
答案：3
我来试一试！上述例题中的方程，根据方程求解 1 + 1 (★★)
x1 x2
解答方法：根据韦达定理求出两根和与两根差，然后根据通分后凑韦达定理。
x1 + x2 = −1 x1 • x2 = −1 1 + 1 = x1 + x2 = −1 = 1 x1 x2 x1 • x2 −1
解答：1
4/6
二次三项式 ax2 + bx + c 的因式分解
2/6
例题 1
把下列各式分解因式：
（1） x 2 − 8x + 3
（2） x 2 − 2 2x − 3(★)
解答方法：可以通过求根公式计算二次三项式的解，然后进行因式分解
答案： (x − 4 − 13)(x − 4 + 13)
(x − 2 − 15)(x − 2 + 5)

2019-2020学年沪教版(上海) 八年级第二学期同步教学案代数方程综合复习之一

沪教版（上海）初中数学2019-2020学年度八年级数学同步教学案代数方程综合复习之一【知识梳理】【典型类型讲解】题型一：解方程（组）中贯穿“化归”思想【例l 】解下列关于x 的方程：(1)()1m x m -=; (2)3271250x -=; (3)42690x x -+=. 【分析】(1)解含有字母的整式方程，如果它在形式上类似一元一次方程，和解只含数字系数的_元一次方程一样，通过去括号、合并同类项、移项等步骤，把原方程化简为形如ax m =的方程，然后根据字母系数a 、m 的取值的不同情况求解：当0a ≠时，方程ax m =是一元一次方程，它的根为m x a=；当0a =且m ≠0时，方程ax m =无解；当0a =且0m =时，方程ax m =有无数多个解，任何实数都是它的根．(2)如果所得的根是有理数，一般要求出它的值；如果所得的根是无理数，可以用根式表示．(3)设2x y =利用换元法解方程．【答案】(1)原方程可以化为21mx m =+．当m ≠0时，原方程两边都除以m ，得21m x m+=．当m =0时，原方程可以化为01x =．这时，不论x 取什么值时，等式01x =都不成立，因此这个方程无解.所以，当m ≠0时，原方程的根为21m x m+=；当m =0时，原方程无解． (2)原方程可变形为312527x =．解得53x ===．所以，原方程的根为53x =． (3)设2x y =，原方程可化为2690y y -+=．解这个方程，得123y y ==．由23x =，解得3x =±所以，原方程的根为1234x x x x ===【例2】解下列分式方程：(1)6114x x =-+；(2)2411x x x -+=-；(3)256011x x x x ⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭；(4)2221x x x x ++=+．【答案】(1)方程的两边都乘以()()14x x -+，约去分母，得()641x x +=-．整理后，得525x =-．解这个方程，得5x =-．代入原方程检验，知5x =-是原方程的根，所以，原方程的根为5x =-．(2)方程两边同乘以1x -，约去分母，得()()4112x x x +-=-. 整理后，得24410x x -+=．解这个方程，得1212x x ==代人原方程检验，知12x =是原方程的根．所以，原方程的根为12x =． (3)设1x y x =-，则原方程可化为2560y y -+=. 解这个方程，得122,3y y ==．由12y =，得21x x =-①，解得12x =；由23y =，得31x x =-②，解得232x =．经检验，12x =是方程①的根，232x =是方程②的根．所以，原方程的根是1232,2x x ==．(4)设2x x y +=，则原方程可化为21y y+=…①，方程①可以化为()12y y +=，即220y y +-=…②，解方程②，得121,2y y ==-．经检验，121,2y y ==-都是方程①的根．由11y =，得21x x +=，即210x x +-=．解得12x -±=．由22y =-，得22x x +=-，即220x x ++=．因0∆<，故这个方程没有实数根．所以，原方程的根是1211,22x x -+-==【例3】解无理方程：11x =.【答案】11x =-两边平方，得()24312122x x x -=-+ 整理，得2261330x x -+=. 解得127,19x x ==.经检验：17x =是原方程的根；219x =是原方程的增根，舍去.∴原方程的根为7x =.【借题发挥】1.2x =.【答案】1x =.【例4】解下列方程组：（1）224310210x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ (2)222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ 【答案】(1) 224310210x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩①② 由②，得 21y x =-． ③把③代人①，得()()2242132110x x x x --++--=. 整理，得2152380x x -+=．解这个方程，得1281,15x x ==．把11x =代人③，得11y =;把2815x =代人③，得2115y = 所以，原方程组的解为21128115;1115x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩(2)把方程22560x xy y -+=的左边分解因式，得()()230x y x y --=．所以，20x y -=或30x y -=．因此，原方程组可化为222220,20,20;30.x y x y x y x y ⎧⎧+=+=⎨⎨-=-=⎩⎩分别解这两个方程组，得原方程组的解为3124123444;;22x x x x y y y y ⎧⎧===-=-⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎩⎩⎪⎪⎩⎩【借题发挥】1.解下列方程组：（1）246902y x y y x ⎧+-+=⎨=+⎩； (2)()()22229320x xy y x y x y ⎧++=⎪⎨---+=⎪⎩ 【答案】(1)246902y x y y x ⎧+-+=⎨=+⎩①② 由②，得 2x y =-． ③把③代人①，得()242690y y y +--+=．整理，得2210y y -+=．解这个方程，得121y y ==．把y=l 代人③，得1x =-．所以，原方程组的解为121211;11x x y y =-=-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩. (2)把方程2229x xy y ++=的左边分解因式，得()29x y +=．所以，3x y +=或3x y +=-.把方程()()2320x y x y ---+=的左边分解因式，得()()120x y x y ----=．所以10x y --=或20x y --=．因此，原方程组可化为3333;;;10201020x y x y x y x y x y x y x y x y +=+=+=-+=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--=--=--=--=⎩⎩⎩⎩．分别解这四个方程组，得原方程组的解为24313124511222;;;211522x x x x y y y y ⎧⎧==-⎪⎪=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=⎩⎩⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩. 题型二：列方程（组）解应用题【例6】某商厦今年七月销售额为60万元．八月由于经营不善，销售额下降了10%．后来改进了管理，大大激发了员工的积极性，月销售额大幅度上升，到十月销售额猛增到96万元，求九月、十月平均每月增长的百分率．（精确到0.1%）【分析】这是一个增长率问题，有以下两个等量关系：①八月销售额=七月销售额×（1+月增长率）；②十月销售额=八月销售额×（1+月平均增长率）2．由①可求得八月的销售额，于是可直接设元，由②列出方程．【答案】设九月、十月平均每月增长率为x ．根据题意，列出方程：()()2601010196x -%+=，即 ()21619x +=．解得1217,33x x ==-（不合题意，舍去）．答：商厦九月、十月平均每月销售增长33. 3%．【借题发挥】1．某校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动，如果甲班做2小时，乙班做3小时，那么可完成全部工作的一半；如果甲班先做2小时后另有任务，剩下工作由乙班单独完成，那么乙班所用时间恰好比甲班单独完成全部工作的时间多l 小时，甲、乙两班单独完成这项工作各需多少小时？【答案】甲、乙两班单独完成这项工作各需8小时、12小时.【随堂练习】一、填空题1．方程42320x x -+=的解是 . 2．若分式2562x x x -+-的值是零，则x = ． 3．在解方程221232x x x x+=--时，如果设22y x x =-，那么原方程可化为关于y 的一元二次方程的一般形式是．40=实数根的个数有____个．5．二元二次方程22736543x xy y x y +-+-=中，二次项是，一次项是，常数项是____．6．方程组()22102x y x y ⎧-=⎨+=⎩的解是．7．如果方程组22y x y x b⎧=⎨=+⎩有两个相等的实数解，那么b = ．8．已知直角三角形两条直角边的差是2cm ，其面积是242cm ，则两条直角边的长为.【答案】1．1±；；2．3x =；3．2310y y --=；4．2；5．227,3,6;5,4;3x xy y x y --- 6．12341234111100x x x x y y y y ⎧==⎧⎧==⎪⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎩⎩⎩⎩7．12b = 8．6cm 和8cm. 二、选择题9．解方程4111x x -=-时，需将方程两边都乘以同一个整式（各分母的最简公分母），约去分母，所乘的这个整式为 ( )A ．1x -B ．()1x x -C ．xD ．1x +10．党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番，在本世纪的头二十年（2001 - 2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每个十年国民生产总值的增长率都是x ，那么x 满足的方程为 ( )A ．()212x +=B ．()214x +=C ．122x +=D ．()()1214x x +++=11．下列方程有实数解的是 ( )54= 0= C.2240x x -+= D.2236111x x x +=+-- 12．把1y x =-代人方程2230x xy +-=所得的结果是 ( ) A.2220x xy ++= B.230x x --= C.2330x x --= D.()()221130x x x -+--= 13．二元二次方程组22441050x y xy xy ⎧+--=⎨=⎩的解有 ( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组14．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米／时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是 ( )A ．312312126x x -=-B ．312312126x x-=+ C ．312312126x x -=+ D ．312312126x x -=- 【答案】9.B 10.B 11.B 12.C 13.D 14.C三、解答题15．解分式方程：222241422x x x x x x-+=-+-．【答案】123,2x x ==(舍去).16．解无理方程：1210x x --+=．【答案】120,4x x ==-(舍去)17解方程组：2220920x y x y y -=⎧⎨+--=⎩. 【答案】1221245,215x x y y ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=-⎪⎩. 18．社区艺术节需用红纸花3000朵，某班集体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵．这个班级共有多少名同学？【答案】设有x 名同学，123000300015,50,4010x x x x-===--（舍去） 19．如图所示，△ABC 中， ∠B= 90°，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．(1)如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经几秒钟，使△PBQ 的面积等于82cm ？ (2)如果P 、Q 分别从A 、B ，同时出发．（经过几秒钟PQ 的长为42cm ）【答案】设y 秒后PQ 长为42，()()()2221226242,,25y y y y -+=== 20．已知：方程组21020x y x y a -+=⎧⎨-++=⎩①②，有两个实数解．(1)求a 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数解，求方程的解．【答案】（1）①代入②得，210x x a -++=，30,4a ∆≥≤-（2）12121122,3322x x y y ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩. 【课堂总结】【课后作业】一、基础复习巩固一、填空题1x =的解为 .2．两个数的和为5，两个数的积为6，则这两个数是．3．方程2221122x x x x x x-=+-+的最简公分母是． 4．方程组115125334x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩的解为。

沪教版(上海)数学八年级第二学期-21章小结代数方程复习课教案 (1)

代数方程复习课教学目标:（1）进一步理解代数方程的概念；会用换元法、因式分解的方法解某些简单的高次方程。

掌握分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤及验根的基本方法。

掌握代入消元法、因式分解法解二元二次方程组。

（2）通过对本章的复习，经历整式方程从低次到高次以及从整式方程到分式方程、再到无理方程的扩展过程，探索并获得各类简单方程的解法，领会贯穿其中中化归的数学思想和消元、降次的数学方法。

教学重点重点是进一步复习巩固特殊的高次方程的解法和简单的分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法。

教学难点:难点是对分式方程和无理方程有可能产生增根的理解。

221619.,242x x x x +-=--+分式方程原方程可化为整式方程为_____________ 223310.20,+1__________y x x x xy +-+==用换元法解分式方程设原方程可化为关于的整式方程为_____________11.3-2x-3,x =无理方程原方程可化为整式方程为_____________2x 3012.,_______20y y x y -=⎧⎨+=⎩解方程组本题宜采用法消元后关于的方程是_____________22222222x 32013.,50x 2055xy y x y x y y x y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩-=-=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩解方程组本题宜采用__________法，原方程可化为以下两个方程组或可化为整式方程为_____________ （二）请同学们判断解题过程的正确性，如果错误请指出错误的地方下面是平时作业中同学的解题过程，请大家观察，找出解题过程中的错误，并说出为什么错，如何改正（题目附在PPT 上学生通过观察找错，并说明错误原因．展示平时作业中容易出现的问题，以轻松的形式找错，激发学生学习的兴趣，反思自己解题过程中的错误．三、课堂小结通过学习这节课，你有什么收获吗？1.代数方程的分类.2.代数方程概念及解法复习学生自谈收获学生整理思路，及时查漏补缺. 四、思考提高21.(2)31x a x a x --=+解关于的方程22.y y=4290x a xx y -⎧⎨-+=⎩讨论关于，的二元二次的方程组解的情况应用知识思考作答展示学生答案拓展提高五、作业布置一课一练单元二十一328.20,x x --=解方程x 本题可以采用____________法板书：代数方程复习课后反思本节课的亮点在于利用类比思想对代数方程进行分类,利用化归思想对代数方程进行求解,通过学生实践,潜移默化地掌握数学思想的运用,遗憾的是纠错部分由于时间问题,没有让学生的思维进行充分碰撞,可能仅仅适合于部分学生.。

沪教八年级上第十七章《一元二次方程》全章复习讲义

《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解(提高)【学习目标】1、了解一元二次方程及有关概念;2。

掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程;3、掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法、【知识网络】【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1、一元二次方程的概念:通过化简后,只含有一个未知数(一元),同时未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程、ﻫ2。

一元二次方程的一般式:ﻫ3、一元二次方程的解:ﻫ使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根、要点诠释:判断一个方程是否为一元二次方程时,首先观察其是否是整式方程,否则一定不是一元二次方程;其次再将整式方程整理化简使方程的右边为０,看是否具备另两个条件:①一个未知数;②未知数的最高次数为2。

对有关一元二次方程定义的题目,要充分考虑定义的三个特点,不要忽视二次项系数不为０、要点二、一元二次方程的解法1。

基本思想一元二次方程一元一次方程2、基本解法直截了当开平方法、配方法、公式法、因式分解法、要点诠释:解一元二次方程时,依照方程特点,灵活选择解题方法,先考虑能否用直截了当开平方法和因式分解法,再考虑用公式法、要点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1。

一元二次方程根的判别式一元二次方程中,叫做一元二次方程的根的判别式,通常用“"来表示,即、(1)当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;(２)当△=０时,一元二次方程有2个相等的实数根;(3)当△<0时,一元二次方程没有实数根。

２。

一元二次方程的根与系数的关系假如一元二次方程的两个实数根是,那么,。

注意它的使用条件为a≠0, Δ≥0、要点诠释:1。

一元二次方程的根的判别式正反都成立、利用其能够解决以下问题:(1)不解方程判定方程根的情况;ﻫ (2)依照参系数的性质确定根的范围;ﻫ (３)解与根有关的证明题、ﻫ2。

沪教版八年级数学-代数方程1-整式和分式方程-学生

代数方程（一）知识精要一、一元整式方程1、定义：方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式。

一元一次方程解法：含字母系数的一元一次方程要讨论字母是否为零。

一元二次方程的解法主要有四种：（1）直接开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分解法2、高次方程如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这个方程叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，简称高次方程。

（1）二项方程：一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边为零的方程。

其一般式为 0nax b +=(其中a ≠0, b ≠0,n 是正整数).（2）双二次方程:只含有偶数次项的一元四次方程.一般形式为 420(0)ax bx c a ++=≠解双二次方程方法：换元法。

二、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解法：去分母法（方程两边都乘以最简公分母）；换元法。

3、检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。

热身练习1、判断下列关于x 的方程，是哪种代数方程？（1）111y z x y x z+=---（2）6640x-=;（3）212x ax+=+;2、方程()()3230x x x--=的根是3、方程4243x x=的根是4、已知2+xa与2-xb的和等于442-xx，则=a，=b .5、若关于x方程2332+-=--xmxx无解，则m的值是．6、用换元法解22114x xx x+++=，可设1y xx=+，则原方程可化为关于y的方程是_____________．7、若解关于x的方程2133=+++xaxx有增根x= —1，则a的值为（）A、0或—1 （B）0 （C）3 （D）3或—18、如果用换元法解方程0213122=+---xxxx，设xxy12-=，那么原方程可化为（）9、用换元法解方程()()426767720x x+-+-=10、当a为何值时，方程2233x ax x-=---有增根？。

沪教版(五四学制)八年级数学下册教案：20代数方程复习

课题代数方程教学目标1、无理方程的解法2、二元二次方程组的解法3、列方程解解应用题重点、难点重点：方程的解法难点：列方程解应用题考点及考试要求熟练掌握无理，二元二次方程组的解法，会列方程解应用题。

教学内容一、课堂导入二、知识精讲1.分式方程的解法2．无理方程的解法3.列方程解应用题三、典例精析例1-1、例1-2、；答案 X=2 或9 答案 x=- 或练习：1、 2、答案X=或-3 或- 答案 x= y=例2-1、已知下列关于的方程，其中无理方程是____________________(填序号)答案②③⑤例2-2、例2-3、例2-4、答案 X=2或6（舍去）答案 x= 答案 x=0或2练习1、 2、 3、答案 X=3 答案 x=12 或4（舍去）答案 x=0或-5 例3-1、解方程组：例3-2、答案X=-1，y=0或x=- y= 答案 x=2 y=-1 或x=- 2 y=1 或x=6 y=3或x=-6 y=-3练习1、 2、答案 X=0 y=0 答案 x=2 y=1 或x=-2 y=-1 或x=y=或x=- y=-例4-1、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成。

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在70天完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？答案：（1）设乙队单独完成需天根据题意，得解这个方程，得=90经检验， =90是原方程的解∴乙队单独完成需90天（2）设甲、乙合作完成需天，则有解得（天）甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）．甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元）答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱例4-2、甲、乙两站相距30千米，根据火车运行时刻表，火车按规定的速度从甲站驶向乙站，当火车行驶到一半路程时，因故临时停车2分钟，然后把时速提高5千米，才能准时到达乙站，求火车规定的速度是多少千米/时？答案设规定速度x千米/小时=++X=45 或x=-50（舍）练习1、某区需修建一条2400米长的封闭式污水处理管道．为了尽量减少施工对市民生活等的影响，实际施工比原计划每天多修10米，结果提前20天完成了任务．试问实际每天修多少米？答案设实际每天x米+20=X=402、今年新型“和谐号”高速列车正式投入沪宁线运行，已知上海到南京全程约300公里，如果新型“和谐号”高速列车行驶的平均速度比原来的“和谐号”动车行驶的平均速度每分钟快2公里，那么从上海到南京比原来“和谐号”动车少用40分钟，问新型“和谐号”高速列车从上海到达南京大约需要多少分钟？答案设现在的速度是x 则原来的速度是x千米每分钟40=X=5 60分钟总结：四、课堂巩固练习1.二项方程的解是_________答案x=+-22. _________方程组的解（填“是”或者“不是”）答案不是3.用换元法解方程组时，可设，，则原方程组可化为关于的整式方程组为_________答案4.如果关于的方程有实数根2，那么________答案_-15．方程的解是 _ _答案．X=16．方程组的解为．答案或7．用换元法解方程.如果设，则原方程可化为y的整式方程是．答案2y2-13y+6=08．解方程组时，可先化为和两个方程组．答案9.下列方程中，二元二次方程是（）答案CA. B. C. D.10.下列关于的方程中，一定有实数根的是（）答案AA. B. C. D.11.下列方程中，是二项方程的为（）答案CA.；B.；C.；D.．12.下列方程中, 有实数解的是（）答案DA.；B.；C.；D.．13. 某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了x天，则可列方程（）答案DA.；B.；C.；D.14.下列方程中，属于无理方程的是（）答案DA.；B.；C.；D.．15.对于二项方程，当为偶数时，已知方程有两个实数根，那么下列不等式成立的是（）答案AA.；B.；C.；D.．16.为了解决“看病贵，药价高”的问题，国家相继降低了一批药品的价格，某种药品经过两次降价后，每盒的价格由原来的元降至元，如果平均每次降价的百分率为，则根据题意所列方程为答案60×（1-x）2=48.617．“五一”期间，几名同学租一辆面包前去旅游，面包车的租价为元，出发时，又增加了两名同学，结果每名同学比原来少分摊了元车费，若设参加旅游的学生总数共有人，则依题意所列方程为（）答案DA、 B、C、 D、五、课后作业1.解关于x的方程：(1)． (2)答案 X= 答案 x=2(3) (4)答案 X=3或-1 答案 x=1(5)． (6)答案 X=1或-1 答案 x=-5或1(7) (8)答案 X=2或0（舍去）答案 x=3(9)(10)答案 X=2或6（舍去）答案 x=2.解方程组：(1) (2)答案答案(3) (4)答案答案3.为了支援青海省玉树县人民抗震救灾，急需生产顶帐篷，若由甲公司单独生产要超出规定时间天完成，若从乙公司抽调一批工人参加生产，每天将比原来多生产顶帐篷，这样恰好按期完成任务，求这项工作的规定期限是多少天？答案：设规定时间为x5000\x=5000\x+2+125解x1=-10。

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代数方程复习
知识精要
热身练习
1、直接写出方程0)4)(5(=-+x x x 的根，它们是
2、解下列方程：
（1）0233
=-x x （2）0562
3
=+-y y y
（3）;323x x =--
（4）.12=-+x x
（5）2711322
=-+-x x x x （6）32
22=+x x
（7）⎩⎨⎧=+--=-01101222x y x y x ；（8）⎩
⎨⎧=++=--4168062
222y xy x y xy x
备选例题例1、
巩固练习
1. 解方程：
x
x x
-
-
+
=
1
2
1
1
7、小刚、小明一起去精品文具店买同种钢笔和同种练习本，根据下面的对话解答问题：
小刚：阿姨，我买3支钢笔，2个练习本，共需多少钱？
售货员：刚好19元．
小明：阿姨，那我买1支钢笔，3个练习本，需多少钱呢？
售货员：正好需11元．
（1）求出1支钢笔和1个练习本各需多少钱？
（2）小明现有20元钱，需买1支钢笔，还想买一些练习本，那么他最多可买练习本多少个？
精品文具店。