图形的几何变换
几何变换的认识和基本原理
几何变换的认识和基本原理几何变换是指通过对平面上的点、线、面进行位置、形状或尺寸上的改变，从而得到一个新的图形。
在计算机图形学和计算机视觉等领域，几何变换是非常重要的基础知识。
本文将介绍几何变换的认识和基本原理。
一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着某个方向平行移动一定的距离。
平移变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x + dx, y + dy]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，(dx, dy)是平移的距离，(x', y')是平移后得到的新点的坐标。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点按照一定的角度旋转。
旋转变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [x*cosθ - y*sinθ, x*sinθ + y*cosθ]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，θ是旋转的角度，(x', y')是旋转后得到的新点的坐标。
三、缩放变换缩放变换是指将一个图形按照一定的比例因子放大或缩小。
缩放变换可以用以下公式表示：[x', y'] = [s*x, s*y]其中，(x, y)是原始图形上的一个点，s是缩放的比例因子，(x', y')是缩放后得到的新点的坐标。
四、对称变换对称变换是指将一个图形关于某一直线或某一点进行对称。
对称变换可以分为关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
不同类型的对称变换具体的公式略有不同，但原理都是将图形上的点映射到其关于对称轴的对称位置。
五、仿射变换仿射变换是指将一个图形通过平移、旋转和缩放等基本变换来进行综合变换。
仿射变换可以用以下矩阵表示：[x', y'] = [a*x + b*y + c, d*x + e*y + f]其中，a、b、c、d、e、f为变换矩阵中的参数，(x, y)是原始图形上的一个点，(x', y')是变换后得到的新点的坐标。
图形的几何变换
图形的几何变换图形的几何变换是指对于一个图形，在平面上或空间中进行比例、旋转、平移、对称等操作后，得到的新图形。
这种操作可以改变图形的大小、方向、位置等特征，广泛运用于数学、物理、美术、计算机图形等领域。
以下从不同变换类型的角度分析图形的几何变换。
一、比例变换比例变换是指将一个图形沿着某个中心点或轴线进行等比例伸缩的变换。
其结果通常是一个形状相似但大小不同的新图形。
比例变换可以分为放大和缩小两种情况，当比例因子大于1时，为放大；比例因子小于1时，为缩小。
比例变换常见的应用包括模型制作、图形的等比例缩放等。
二、旋转变换旋转变换是指将一个图形沿着某个轴心或轴线进行旋转的变换。
旋转变换可分为顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，其结果是一个相似但方向不同的新图形。
旋转变换的角度通常用弧度制表示，旋转角度为正时为逆时针旋转，为负时为顺时针旋转，常见的应用包括风车的运动、建筑设计的转角变换等。
三、平移变换平移变换又叫做移动变换，是指将一个图形沿着某个方向进行平移的变换。
平移变换可以将图形整体沿着平移向量的方向进行移动，其结果是一个与原图形相同但位置不同的新图形。
平移变换常见的应用包括机器人的运动、物体的位移等。
平移变换也可以看作是比例变换的特殊情况，比例因子为1，即不改变图形的大小。
四、对称变换对称变换是指将一个图形沿着某个轴线进行翻折的操作。
对称变换可以分为对称、反对称和正交对称三种类型。
对称变换的结果通常是一个与原图形相等但位置镜像对称的新图形。
对称变换在分形几何、美术设计等领域都有着广泛的应用。
五、仿射变换仿射变换是指图形在平面上或空间中进行非等比例伸缩、旋转、平移和投影等操作时的变换。
仿射变换的结果通常是一个与原图形相似但有略微变形的新图形。
仿射变换包括平移变换、旋转变换、比例变换和剪切变换等。
其应用领域包括医学图像处理、计算机图形学等。
总结图形的几何变换在现代科技和艺术中有着广泛的应用。
比例变换常用于造型、模型制作和图形的等比例缩放；旋转变换常用于旋转花纹、风车运动、建筑转角的变化等；平移变换常用于运动控制、物体的位移等；对称变换常用于几何分形、美术设计等领域；仿射变换则是结合了以上变换操作的高级变换，其应用范围更加广泛。
图形几何变换
例. 相对直线y=1/2*x的反射变换
Y
Y
Y
原图
X
Y
平移
X
旋转
X
Y Y
反射
X
逆向旋转 X
逆向平移 X
1 0 x cos sin 0 1 0 0 T 0 1 y sin cos 0 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 0 1
cos sin 0 1 0 x
•sin
0
cos 0 0 1 y
0
1
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
(4)关于y=x轴对称
x=y p(x, y)
p ' (y, x)
X
p'x 0 1 0 px (d)关于x=y对称
p'
y
1
0
0
p
y
1 0 0 1 1
Y
x=-y (5)关于y=-x轴对称
P(x, y)
X P' (-y, -x)
( e) 关于x=- y对称
px sin( ) py cos( )
写成矩阵表达式为：
p'x cos sin 0 px
p'
y
sin
cos
0
p
y
1 0
0 1 1
当
p'x cos
p'
y
sin
1 0
sin cos
0
0 px
0
p
y
1 1
其逆变换
px cos sin 0 p'x
•sin
0
cos 0
0 1
取 45o，s1 1，s2 2
计算机图形学之图形变换
4 T
3
2 p
1
0
012 34 567 8
线段和多边形的平移可以通过顶点的
平移来实现。同样线段和多边形的其它几 何变换也可以通过对顶点的几何变换来实 现。
2. 旋转变换(Rotation) 二维旋转有两个参数：
旋转中心： 旋转角：
？
6 P’
5
4
3
P
2
1
0
012 34 567 8
设OP与x轴的夹角为 则：
由于采用齐次坐标矩阵表示几何变换， 多个变换的序列相应地可以用矩阵链乘来表 示。
需要注意：先作用的变换其矩阵在右边， 后作用的变换其矩阵在左边。
变换函数
平移变换 void glTanslate{fd}(TYPE x, TYPE y, TYPE z);
旋转变换 void glRotate{fd}(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z); 绕矢量v=(x,y,z)T逆时针方向旋转angle指定的角度。 旋转角度的范围是0~360度。当angle=0时， glRotate()不起作用。
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
上述变换可以分解为三个基本变换：
•平移：
•旋转：
•平移： 回原位。
使旋转中心移到坐标原点； 使旋转中心再移
二维旋转有两个参数： 旋转中心： 旋转角：
因此上述变换可以写成矩阵乘积形式：
4. 5 基本三维几何变换(Basic three-dimensional geometric transformation)
1. 矩阵表示(Matrix representation) 前面三种变换都可以表示为如下的矩
阵形式
几何变换
CBACHBA几何变换几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。
对称、平移、旋转变换是几何变换中的差不多变换。
对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，如此的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。
在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH = 3求⊿ABC 的面积。
旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种专门的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。
旋转性质有：（1）在旋OCBADFNE BA F CBEADM N转变换下两点之间的距离不变。
（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。
设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。
求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N两点求证：∠AME =∠BNE练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是OCBAO BCDA5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。
几何形的变换
几何形的变换几何形的变换是指通过平移、旋转、翻转和放缩等操作，使得原有的几何形状发生变化。
这些变换可以用来探索几何美学、解决几何问题以及创造出各种奇妙的图案。
一、平移变换平移变换是指将几何形状沿着一个方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变。
在平面几何中，平移只有一个参数，即平移向量的大小和方向。
平移变换可以用于构造对称图形，移动点的位置以及改变空间内的物体位置。
例如，我们可以通过平移变换在平面上构造一个正方形。
首先，选择一个点作为正方形的顶点，将这个点平移到正方形的另一个顶点位置，然后将这个新位置的点再次平移，如此重复直到构成正方形的四个顶点。
二、旋转变换旋转变换是指绕一个固定点按照一定的角度将几何形状旋转。
旋转变换可以是顺时针或逆时针方向，可以是一个完整的圆周旋转，也可以是一个部分角度的旋转。
旋转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及在计算机图形学中进行三维模型的旋转操作。
例如，在制作花纹图案时，可以通过旋转一个花朵的形状重复堆叠得到整个图案。
三、翻转变换翻转变换是指将几何形状绕一个固定的线对称翻转，使得形状按照对称轴左右对称。
翻转变换有水平翻转和垂直翻转两种形式。
翻转变换常用于制作对称图形、解决几何问题以及进行三维模型的对称操作。
例如，在制作字母、数字或者其他具有对称特点的图形时，可以通过水平或垂直翻转得到完整的图形。
四、放缩变换放缩变换是指按照一定的比例因子调整几何形状的大小。
放缩变换可以是增大或缩小形状的尺寸，比例因子可以是一个常数或者一个向量。
放缩变换常用于调整图像的大小、制作图形的透视效果以及在几何问题中进行比例关系的推导。
例如，在绘制地图时，可以通过放缩变换将地球的三维形状映射到平面上，从而得到精确的地理信息。
综上所述，几何形的变换是通过平移、旋转、翻转和放缩等操作使得形状发生变化的过程。
这些变换可以应用于各个领域，包括几何美学、几何问题的解决以及计算机图形学等。
通过灵活运用几何形的变换，我们能够创造出丰富多样的图案和形状，带来视觉上的享受和数学上的挑战。
基本的几何变换
基本的几何变换几何变换是数学中一个重要的概念，指的是通过平移、旋转、缩放等操作来改变几何图形的形状、大小或位置。
在计算机图形学和计算机视觉领域，几何变换也扮演着至关重要的角色。
本文将介绍几个基本的几何变换，包括平移、旋转、缩放和镜像。
1. 平移在几何变换中，平移是指通过将图形沿着指定的方向移动一定的距离来改变图形的位置。
平移操作可以用以下公式表示：x' = x + dxy' = y + dy其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是平移后的坐标，dx和dy 分别是在x和y方向上的平移量。
2. 旋转旋转是指通过围绕一个指定的点或轴旋转图形来改变图形的方向或角度。
旋转操作可以用以下公式表示：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是旋转后的坐标，θ表示旋转的角度。
3. 缩放缩放是指通过改变图形的尺寸来改变图形的大小。
缩放操作可以用以下公式表示：x' = x * scaleXy' = y * scaleY其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是缩放后的坐标，scaleX和scaleY分别表示在x和y方向上的缩放比例。
4. 镜像镜像是指通过将图形沿着一个轴对称折叠来改变图形的位置或方向。
镜像操作可以用以下公式表示：x' = -xy' = -y其中(x, y)是原始图形上的坐标，(x', y')是镜像后的坐标。
这些基本的几何变换可以单独应用于图形，也可以组合在一起以实现更复杂的效果。
通过灵活组合这些变换操作，我们可以实现各种各样的几何变换，用于图像处理、游戏开发、计算机辅助设计等领域。
总结几何变换是一种重要的数学概念，可以通过平移、旋转、缩放和镜像等操作来改变几何图形的形状、大小和位置。
几何变换的基本概念与性质
几何变换的基本概念与性质几何变换是指在平面或空间中对图形进行变换的操作。
通过对图形的平移、旋转、缩放和对称等操作，可以改变图形的位置、形状和大小。
几何变换在数学、物理和计算机图形学等领域都有广泛应用，具有重要的理论和实际价值。
本文将介绍几何变换的基本概念和性质，以及其在不同领域的应用。
一、平移变换平移变换是指将图形按照指定的方向和距离进行移动的操作。
在平面几何中，平移变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(x+a,y+b)}，其中a和b分别表示沿x轴和y轴的平移距离。
平移变换可以保持图形的形状和大小不变，只改变其位置。
例如，将一个矩形图形沿x轴平移10个单位，结果是矩形整体右移10个单位。
平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的形状和大小。
2. 平移变换满足平移合成律，即多次平移变换的结果与一个平移变换等效。
二、旋转变换旋转变换是指将图形按照指定的中心点和角度进行旋转的操作。
在平面几何中，旋转变换在坐标系中的表示为{(x,y)→[x*cosθ-y*sinθ,x*sinθ+y*cosθ]}，其中θ表示旋转的角度。
旋转变换可以改变图形的位置、形状和大小，但保持图形的某些性质不变，如图形的对称性或平行关系。
旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的对称性和重心位置。
2. 旋转变换满足旋转合成律，即多次旋转变换的结果与一个旋转变换等效。
3. 在平面几何中，任意图形都可以通过旋转变换得到相似图形。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照指定的比例进行放大或缩小的操作。
在平面几何中，缩放变换在坐标系中的表示为{(x,y)→(kx,ky)}，其中k表示缩放的比例因子。
缩放变换可以改变图形的大小，但保持图形的形状和对称性不变。
缩放变换具有以下性质：1. 缩放变换不改变图形的形状和对称性。
2. 缩放变换满足缩放合成律，即多次缩放变换的结果与一个缩放变换等效。
四、对称变换对称变换是指将图形按照指定的直线对称、点对称或中心对称进行镜像的操作。
初中数学知识归纳几何变换的应用
初中数学知识归纳几何变换的应用几何变换是数学中一个重要的概念，初中数学课程中的几何变换有平移、旋转、翻折和对称四种。
这些几何变换不仅可以帮助我们理解和描述图形的变化，还在实际生活和各行各业中有着广泛的应用。
本文将对初中数学知识中的几何变换及其应用进行归纳总结。
一、平移变换的应用平移变换是指将一个图形沿着同一方向上的直线运动，并保持其大小和形状不变。
在实际应用中，平移变换经常用于描述物体的位置变化和路径规划等问题。
例如，在城市规划中，为了使交通更加便捷，我们需要将道路进行平移，以便打通交通瓶颈。
在此过程中，我们需要准确计算平移的距离和方向，确保道路的位置变化合理。
另外，在日常生活中，我们也可以运用平移变换解决一些问题。
比如，在设计家居布局时，我们可以通过平移变换将家具摆放在合适的位置，以满足生活的需求。
二、旋转变换的应用旋转变换是指将一个图形绕着某个中心点旋转一定角度，并保持其大小和形状不变。
在几何变换中，旋转变换是一种常见且重要的变换方式，其应用广泛。
举个例子，在航空航天领域，飞机的起飞和着陆过程中会采用旋转变换。
当飞机起飞时，经过旋转变换，使得飞机的机头朝上，以便获得升力。
同样地，当飞机着陆时，也需要通过旋转变换来平稳地降落。
此外，旋转变换还可以应用于建筑设计、机械工程和艺术创作等领域。
在建筑设计中，通过对建筑物进行旋转变换，可以改变建筑物的朝向和视角，增加建筑物的美感和实用性。
三、翻折变换的应用翻折变换是指将一个图形沿着一条直线翻转，并保持其大小和形状不变。
翻折变换也被广泛应用于数学和实际生活中。
举个例子，在纸牌游戏中，我们经常会翻折纸牌来完成洗牌或发牌的过程。
通过翻折变换，可以改变纸牌的顺序，并使洗牌和发牌过程更加随机。
此外，在制作对称图案和装饰品时，翻折变换也很常见。
通过翻折变换，我们可以将一半的图案复制到另一半，从而快速制作出对称美观的图案和装饰品。
四、对称变换的应用对称变换是指将一个图形关于某个中心点对称，使得图形的两侧完全一致。
几何变换
专题 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角. 旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC -FE=ED -AB=AF -CD ＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1） 如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2） 如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.图2图1MA B BA能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题） （第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题）4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（ ）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDADD A'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A B C D''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '1. 其中正确的结论有（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（ ）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（ ）.A.x y < B. x y = C. x y > D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）B10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）A B C A'B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B。
几何变换
几何变换在几何的解题中，当题目给出的条件显得不够或者不明显时，我们可以将图形作一定的变换，这样将有利于发现问题的隐含条件，抓住问题的关键和实质，使问题得以突破，找到满意的解答．图形变换是一种重要的思想方法，它是一种以变化的、运动的观点来处理孤立的、离散的问题的思想，很好地领会这种解题的思想实质，并能准确合理地使用，在解题中会收到奇效，也将有效地提高思维品质．初中图形变换包含平移、翻折和旋转，我们要通过实验、操作、观察和想象的方法掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。
几何变换的定义几何变换是建立在集合的变换与映射基础上的。
设T是平面pai的一个变换，F是平面上的一个图形（即平面的一个子集），令F'=T（F）={T（A）|A属于F}那么，图形F'称为图形F在变换T下的像,T是一个几何变换。
基本性质如果平面上一个点A满足T(A)=A,那么A称为T的不动点;如果图形F满足T(F)=F,那么F是T 的不变图形。
如果对于平面上任意两点A,B与其象点T(A),T(B),总有AB=T(A)T(B),那么称T为合同变换如果存在一个常数k，使AB=T(A)T(B)/k,那么称T为相似变换，k为相似系数或相似比保持角的方向不变的相似变换为真正相似变换，角的方向相反的为镜像相似变换。
两图形真正相似也称顺相似或同向相似，镜像相似也称逆相似。
一、翻折变换内容提要：翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P′，其连线PP′都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线l称为对称轴．翻折变换有如下性质：(1)把图形变为与之全等的图形；(2)关于l对称的两点连线被l垂直平分．证题过程中使用翻折变换，可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决．二、平移变换内容提要：平移变换是平面到自身的变换，将平面上任一点P变换到P′，使得：(1)射线PP′有给定的方向；(2)线段PP′有给定的长度．则称这种变换为平移变换．在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线．在解几何问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形．三、旋转变换内容提要：旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到X′，使得：(1)OX′=OX；(2)∠XOX′=θ(定角)．则称这样的变换为旋转变换，O称为旋转中心．旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化．在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形．【竞赛知识点拨】一、平移变换1．定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X 变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。
二维图形几何变换-PPT
cos sin 0
sin cos 0
0
0 1
旋转变换
简化计算(θ很小)
1 0
x' y' 1 x y 1 1 0
0 0 1
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
Y
Y
Y
X (a)关于x轴对称
X (b)关于y轴对称
X (c)关于原点对称
对称变换
对称变换后得图形就是原图形关于某一轴线或原点得镜像。
光栅变换
任意角度得Байду номын сангаас栅旋转变换:
旋转的 象素阵列
A
1A 3
光栅网格
2
n
Gray(A)=∑ [Gray(i) × A在i上得覆盖率](Gray(x)表示某点得灰度等级)
i=1 Gray(A)=Gray(1) × A在1上得覆盖率+ Gray(2) × A在2上得覆盖率+ Gray(3) × A在3上得覆盖率
光栅变换
光栅比例变换:
n
∑ [Gray(i) × Si] Gray(A)= i=1
n
∑ Si
i=1
缩小时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1/2,Xy=1/2
(b)原图
12
1
43
2
放大时原图 中的相应象 素区域
(a)Sx=1,Xy=3/2
G=(G1+G2+G3+G4)/4
G=(G1×S1 + G2×S2)/(S1 + S2)
O
x0
x
图6-9 坐标系间的变换
坐标系之间得变换
分析: y
y'
p,也即p' x'
几何变换和对称性
几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。
几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。
在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。
例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。
二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。
在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。
例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。
三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。
在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。
例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。
在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。
例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。
五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。
对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。
在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。
点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。
轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。
几何图形的旋转和平移变换
几何图形的旋转和平移变换几何图形的旋转和平移变换是几何学中重要的概念和技巧。
旋转变换是指将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度，而平移变换是指将一个图形沿着一个固定向量方向平行移动一段距离。
这两种变换可以用来改变图形的位置、形状和方向，为几何学的研究和实际应用提供了基础。
1. 旋转变换旋转变换是将一个图形绕着一个固定点旋转一定角度。
在平面几何中，旋转变换通常以原点为中心进行，而在三维几何中，旋转可以以任意点为中心。
旋转变换可以用一个角度来描述，通常以度数或弧度表示。
以顺时针方向为正向，逆时针方向为负向。
当我们进行旋转变换时，可以通过确定旋转中心和旋转角度来确定图形在平面上的位置和方向。
2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着一个向量方向平行移动一段距离。
平移变换可以用两个参数来描述，即平移的横向和纵向距离。
平移变换不改变图形的形状和方向，只改变其位置。
通过平移变换，我们可以将图形从一个位置移动到另一个位置，或者在平面上进行相对位置的调整。
3. 旋转和平移的组合变换旋转和平移变换常常被组合使用，以实现更复杂的图形变换。
在进行组合变换时，应先进行旋转变换，然后再进行平移变换。
组合变换可以通过矩阵运算来实现。
旋转变换可以用旋转矩阵来表示，平移变换可以用平移矩阵来表示。
将旋转矩阵和平移矩阵相乘，即可得到组合变换的矩阵表示。
4. 应用举例几何图形的旋转和平移变换在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用举例：4.1 地图制作在地图制作过程中，经常需要进行旋转和平移变换。
例如，将真实地图上的各种要素转换为平面上的投影图时，就需要进行坐标系的旋转和平移变换，以保证图上各个物体的位置和方位准确。
4.2 计算机图形学在计算机图形学中，旋转和平移变换是基本的图形操作。
通过对图形进行旋转和平移变换，可以实现三维模型的展示、动画效果的制作等功能。
4.3 机器人运动规划在机器人运动规划中，旋转和平移变换用于描述机器人的运动轨迹。
几何图形的对称性与变换
几何图形的对称性与变换是几何学中的重要概念，它们在数学、艺术、工程设计等多个领域都有着广泛的应用。
对称性是指物体或图形在某种变换下保持不变的性质，而变换则是指图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
一、对称性对称性是几何图形的一种基本属性，它反映了图形在某种对称变换下的不变性。
对称性可以分为两种基本类型：轴对称和中心对称。
1. 轴对称：如果一个几何图形关于一条直线（对称轴）对称，即在直线两侧的部分能够通过这条直线对折而完全重合，那么这个图形具有轴对称性。
轴对称的图形在日常生活中非常常见，如蝴蝶、叶子等。
轴对称的性质在数学上有助于简化一些问题的求解，如计算图形的面积或周长等。
2. 中心对称：如果一个几何图形关于一个点（对称中心）对称，即图形上的每一点与对称中心连接形成的线段都被该点平分，那么这个图形具有中心对称性。
中心对称的图形如圆形、正方形等，它们在视觉上呈现出一种平衡和稳定感。
中心对称的性质在数学上也有着广泛的应用，如计算图形的旋转、平移等变换后的位置。
对称性不仅存在于二维平面图形中，还存在于三维立体图形中。
在三维空间中，几何图形的对称性可以表现为面对称、线对称和旋转对称等多种形式。
这些对称性质在工程设计、建筑设计等领域中具有重要的应用价值，可以帮助设计师创造出美观且结构稳定的作品。
二、变换变换是指几何图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。
常见的变换包括平移、旋转、缩放等。
1. 平移：平移是指图形在空间中沿某一方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的操作。
平移是一种简单的变换，它不会改变图形的任何内在属性，只是改变了图形在空间中的位置。
平移在数学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，如在动画制作中通过平移实现物体的运动效果。
2. 旋转：旋转是指图形在空间中以某一点为中心，沿某一方向旋转一定的角度，而形状和大小保持不变的操作。
旋转变换可以改变图形的方向，但不会改变图形的大小和形状。
在日常生活中，许多物体都具有旋转对称性，如轮子、表盘等。
初中数学教案：几何图形的性质和变换
初中数学教案：几何图形的性质和变换一、几何图形的性质1.1 点、线、面的概念在几何学中，点、线、面是最基本且不可分割的概念。
1.2 直线和曲线的区别与性质直线是由无限多个点按一定方向延伸而成的，是最短的路径。
曲线则具有弯曲或环绕的特点，长度与形状可以各不相同。
1.3 角的定义及分类角是由两条射线共同确定且不重合于其公共端点。
根据大小可将角分为锐角、直角和钝角。
1.4 同位角和对顶角同位角指当有一条直线与两条平行直线相交时，在这两条平行直线之间的对应位置上所成的各对内错角。
对顶角指当两条直线相交时，在相交点处互为补角。
二、几何图形的变换2.1 平移平移是指将一个物体沿着某个方向上移动一段距离而不改变其形状和大小。
在平移中，每一个点都沿着相同方向和相等距离进行移动。
2.2 旋转旋转是指围绕某个固定点按照一定规律将物体转动一定角度。
旋转可以绕一个点、绕一条直线或绕一个中心等进行。
2.3 对称对称是指物体相对于某个中心轴或平面，两侧的形状和大小完全相同。
对称包括中心对称和轴对称两种形式。
2.4 放缩放缩是指根据一定比例改变图形的大小。
放大使图形变大，而缩小则使图形变小。
三、几何图形的性质与变换的应用3.1 性质的应用几何图形的性质在解决实际问题时具有广泛的应用。
例如，在设计建筑物或布置房间时，需要考虑到几何图形的特性来确定布局与结构。
3.2 变换的应用几何图形的变换不仅有助于我们观察和理解它们之间的关系，还被广泛应用于艺术、设计和工程等领域。
例如，在计算机生成动画或制作游戏场景时，常常使用旋转、平移和放缩等变换来创建各种视觉效果。
3.3 几何问题的解决方法在解决几何问题时，我们可以通过利用几何图形性质进行推理和证明来得出结论。
例如，通过对等角三角形的性质进行分析，可以证明两条线段平行。
3.4 几何图形与实际生活的联系几何图形在我们日常生活中无处不在。
我们可以通过观察周围的建筑物、家具和自然界中的对象来发现各种各样的几何图形，并了解它们之间的关系和特点。
几何变换和相似三角形的判定
几何变换和相似三角形的判定几何变换是指将一个图形通过平移、旋转、放缩或镜像等操作，得到一个新的图形的过程。
而相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否相似是一项基本的问题。
本文将介绍几何变换和相似三角形的判定方法。
一、平移平移是指将一个图形按照指定的方向和距离移动到新的位置，而不改变其形状和大小。
设平面上有线段AB和平移向量→AD，其中→AD 代表从点A到点D的向量。
那么平移线段AB得到线段CD的过程可以表示为：CD=AB+→AD。
二、旋转旋转是指以某个点为中心，按照一定的角度将图形旋转到新的位置，而不改变其形状和大小。
设旋转中心为O，顺时针旋转角度为θ，对于点A，其旋转后的位置可以由坐标公式得到：(x', y') = (x - h)cosθ - (y - k)sinθ, (x' - h)sinθ + (y' - k)cosθ)。
三、放缩放缩是指将一个图形按照一定的比例因子进行缩小或放大，而不改变其形状。
设图形的变换比例为k，对于点A，其放缩后的位置可以通过坐标公式得到：(x', y') = (kx, ky)。
四、镜像镜像是指将一个图形按照一条直线作为镜面进行折射，得到与原图形相似但形状相反的新图形。
设镜像直线为l，点A关于直线l的镜像点记为A'，那么在二维坐标系中，点A与A'的关系可以由坐标公式得到：(x', y') = (2m - x, y) 或 (x', y') = (x, 2n - y)，其中m和n分别表示镜像直线l与坐标轴的交点坐标。
五、相似三角形的判定相似三角形的判定有以下几种常见方法：1. AA判定法：若两个三角形的两个对应角分别相等，则这两个三角形相似。
2. SSS判定法：若两个三角形的三个对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
3. SAS判定法：若两个三角形的一个对应角相等，而且两个对应边的比值相等，则这两个三角形相似。
几何变换思想-
在推导平行四边形、三角形和梯形得面积公式时,包括在计算组 合图形得面积时,都用到了变换思想。如三角形面积公式得推导, 是把任意两个完全相同三角形拼成一个平行四边形,再利用三角 形和平行四边形得关系,求出三角形得面积公式。这实际上是把 任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个 平行四边形。也就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换, 就变换成了平行四边形。梯形面积公式得推导也是利用了这个原 理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形得面 积,实际上也利用到了旋转变换、
第二,注意图形变换与其它几何知识得联系 小学几何中得很多平面图形都是轴对称图形,如长
方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、 菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形 得对称轴和轴对称得有关性质得认识,另一方面要在学 习轴对称时加强对这些图形得概念和性质时进一步体会 它们得轴对称特点。
学段
内容和目标
第一 结合生活实例,感知平移、旋转和轴对称现象 学段
在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方 向平移后得图形
认识轴对称图形,在方格纸上画出一个简单轴对称 图形
学段
内容和目标
第二 学段
认识图形得平移和旋转,体会图形得相似
确定轴对称图形得对称轴, 在方格纸上画出一 个图形得轴对称图形 在方格纸上画出一个简单图形平移或旋转90° 后得图形;在方格纸上画出一个简单图形按一定 比例放大或缩小后得图形
案例4 、案例5
第三,对教学要求和解题方法得准确把握 如前所述,课程标准对图形变换得内容和教
学要求有比较清晰得描述,尤其是要把握好两个 学段得内容,教学要求和解题方法。
首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要 判断哪些图形经过平移可以互相重合,对于小学生来说 很难用任何一对对应点得连线平行且相等来判断,只能 通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任 何转动得情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够 与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中 得道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后 它得对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平 移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移 6格,得到平移后得图形。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、要求
实现平移变换、比例变换、旋转变换三种基本几何变换；
实现镜像变换、错切变换；
二、运行环境
本次上机在WIN-TC 中进行。
三、直线的生成——用Bresenham算法实现
1、算法基本原理
图形的几何变换一般是指对图形的几何信息经过变换后产生新的图形，图形几何变换既可以看作是坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化；出可以看作图形不动而坐标系变动，变动后的图形在新坐标系下具有新的坐标值。这两种情况本质上都是一样的，都是图形由新的坐标值表示，因此是新产生的图形。图形几何变换包括比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换及其复合变换。图形上所有的点在几何变换前后的坐标关系一般用解析几何方法可以求得，但这些几何关系用矩阵方法表示，运算更为方便。
沿y轴方向关于x的错切
2、对程序中变量的说明
3、源程序
4、运行结果
5、个人总结
图形基本几何变换是指比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换和平移变换等。变换通过矩阵运算均可以表示为表示几何图形的点阵的一维矩阵和表示变换的三维矩阵相乘的形式，即P’=P·T，具体如下：
平移变换
比例变换
旋转变换
对称变换
对称于x轴 对称于y轴 对称于原点
对称于y=x 对称于y=-x
错切变换
沿x轴方向关于y的错切
《计算机图形学》上机实习报告（一）——基本图形的生成
一、实习目的和要求
1、目的
深入学习三种基本几何变换的原理和方法，实现机制，掌握几何变换的共同特点；
通过程序的编写和运行，学习基本几何变换在程序上的实现方法，这就要求掌握结构体、一维数组的基本性质和使用方法；