2019届高考数学一轮总复习冲刺第四章三角函数层级快练27文
2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节三角函数的
当t=1时,ymax=1;当t=- 2 时,ymin=- - 2 .
∴函数的值域为 2,1 . 1 2
1 2
x . 1-2 (2018北京海淀期末)已知函数f(x)=cos 2x· tan 4
(1)求函数f(x)的定义域; (2)求函数f(x)的值域.
答案 D 由3x≠ +kπ(k∈Z),得x≠ + ,k∈Z.故选D.
2 6
k 3
3.(2016北京东城(上)期中)函数y=cos 2x的图象的一条对称轴方程是
( A ) A.x=
2
B.x=
8
C.x=-
8
D.x=-
4 k 令2x=kπ(k∈Z),得x= (k∈Z), 2 k 2
3 4
所以,函数f(x)的定义域为 x | x k
=-(cos x-sin x)2=2sin xcos x-1=sin 2x-1. 因为x≠kπ+ π,k∈Z, 所以2x≠2kπ+ π,k∈Z, 所以sin 2x≠-1,
3 2 3 4
所以函数f(x)的值域为(-2,0].
3 2
3 2
所以f(x)的最小正周期为2π. (2)因为 ≤x≤ ,所以 ≤x- ≤ .
2
所以当x- = ,即x= 时,
3 2
3 2
5 6
6
3
7 6
f(x)取得最大值,最大值是2; 当x- = ,即x= 时, f(x)取得最小值,最小值是-1.
3
7 6
(新课标)2019届高考数学一轮复习第四章三角函数(基本初等函数Ⅱ)4.4三角函数的
2π (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线 C1：y＝cosx，C2：y＝sin 2x＋ 3 ，则 下面结论正确的是( ) A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 B．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得 π 到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12 1 C．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 C2 6 1 D．把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得 2 π 到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线 C2 12
π 解：函数 y＝2sin 2x＋6 的周期为 π，将函数 y π 1 π ＝2sin 2x＋6 的图象向右平移 个周期即 个单位， 4 4 π π π 所得函数为 y ＝2sin 2 x－4 ＋6 ＝ 2sin 2x－3 . 故 选 D.
π (南京市、盐城市 2017 届高三一模)将函数 y＝3sin 2x＋3 π 0< φ < 的图象向右平移 φ 2个单位后，所得函数为偶函数，则 φ＝ ________.
π π 2 x ＋ 0< φ < 解：因为 y＝3sin 3的图象向右平移 φ 2个单位后， π π 所得函数为 y＝3sin 2（x－φ）＋3 ，即 y＝3sin 2x＋3－2φ是偶函
π 解： 因为 y＝sinx＋ 3cosx＝2sin x＋3 ， y＝sinx－ 3cosx π 2π π ＝2sin x－3 ＝2sin x＋3 － 3 ，所以函数 y＝sinx－ 3cosx
2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结含解析
❶ 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x＝tan x . ❷ 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝－2，2⎭内的单调性..A.－ B ．－ 9 9章末总结知识点考纲展示任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数同角三角函 数的基本关 系式与诱导公式和与差的三 角函数公式简单的三角 恒等变换三角函数的 图象与性质函数 y ＝ A sin(ω x ＋φ) 的图象及三 角函数模型 的简单应用正弦定理和 余弦定理解三角形应 用举例❶ 了解任意角的概念．❷ 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．❸ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.cos xπ2导公式.❶ 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．❷ 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．❸ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式， 但对这三组公式不要求记忆).❶ 能画出 y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． ❷ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最⎛ π π⎫❶ 了解函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A ，ω，φ 对函数图象变化的影响．❷ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一 些简单实际问题.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关 的实际问题.一、点在纲上，源在本里 考点考题4(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 4，5 分)已知 sin α－cos α＝3，则 sin 2α＝考源三角函数的基本关系( )7 2 9 92 7 C. D.必修 4 P 146A 组T 6(2)(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 3，5 分)函数 f (x )＝sin ⎝2x ＋3⎭的最小正周期A.4π B ．2π C ．πD. A. B ．1 C. D. sin ⎝2x ＋ 3 ⎭，则下面结论正确的是( 分别为 a ，b ，c 已知△. ABC 的面积为 .1．(必修 4 P 146A 组 T 6(3)改编)已知 sin 2θ＝ ，则 sin 4θ＋cos 4θ 的值为()3A ． 9C ． 9三角函数 的周期三角函数 值域三角函数 图象正余弦定理与面积公式 的应用⎛ π⎫为( )π 21 π π(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 6，5 分)函数 f (x )＝5sin(x ＋3)＋cos(x －6)的最大值为( )6 3 15 5 5(2017·高考全国卷Ⅰ，T 9，5 分)已知曲线 C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝⎛ 2π⎫ )A ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把π得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 2B ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把 π得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 21C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C 21D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得π到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线 C 2(2017· 高考全国卷Ⅱ，T 16，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c ，若 2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则 B ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅲ，T 15，5 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分 别为 a ，b ，c .已知 C ＝60°，b ＝ 6，c ＝3，则 A ＝________.(2017· 高考全国卷Ⅰ，T 17，12 分△) ABC 的内角 A ，B ，C 的对边 a 23sin A(1)求 sin B sin C ；必修 4 P 35 例2(2)必修 4 P 143A 组T 5必修 4 P 55 练习T 2(2)必修 5 P 18 练习T 3 必修 5 P 10A 组 T 2(1)必修 5 P 20B 组T 1(2)若 6cos B cos C ＝1，a ＝△3，求 ABC 的周长.二、根置教材，考在变中 一、选择题24 92 35 B.7 D.解析：选D.因为sin2θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×＝.故选D.2．(必修4P147A组T12改编)已知函数f(x)＝sin⎝x＋6⎭＋sin⎝x－6⎭＋cos x＋a的最大值为解析：选A.f(x)＝sin x cos＋cos x sin＋sin x cos－cos x sin＋cos x＋a＝3sin x＋cos x3．(必修4P69A组T8改编)已知tanα＝3，则sin⎝2α＋4⎭的值为(10B．－2A．2C．D．－sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋32522⎛34⎫π⎫cos2α－sin2α1－tan2α1－324＝－，所以sin⎝2α＋4⎭＝－＝－⎛52⎝55⎭sin2α＋cos2α1＋tan2α1＋322.选B.4．(必修4P58A组T2(3)改编)如图是y＝A sin(ωx＋φ)⎝ω＞0，－2＜φ＜2⎭的部分图象，则A．y＝2sin⎝x＋6⎭B．y＝2sin⎝2x－6⎭C．y＝2sin⎝x＋3⎭D．y＝2sin⎝2x＋6⎭解析：选D.由题图知＝－⎝－12⎭＝.所以T＝π，所以ω＝＝2.当x＝－时，y＝0，⎧⎪A sin⎛－π＋φ⎫＝0，所以φ＝，A＝2.所以y＝2sin⎝2x＋6⎭.故选D.⎝6⎭π⎛π⎫当x＝0时，y＝1.所以⎨⎪⎩A sinφ＝12132 147299⎛π⎫⎛π⎫1，则a的值为()A．－1C．1B．0D．2ππππ6666π＋a＝2sin(x＋6)＋a，所以f(x)max＝2＋a＝1.所以a＝－1.选A.⎛π⎫10)721072102sinαcosα2tanα2×33解析：选B.因为tanα＝3，所以sin2α＝＝＝＝，cos2α＝＝＝(sin2α＋cos2α)＝210⎛ππ⎫其解析式为()⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫⎛π⎫Tπ⎛π⎫π2ππ464T1265．(必修5P18练习T1(1)改编△)在锐角ABC中，a＝2，b＝3，S△ABC＝22，则c＝() A．2B．3解析：选 B.由已知得 ×2×3×sin C ＝2 2，所以 sin C ＝ .由于 C ＜90°，所以 cos C＝ 1－sin 2C ＝ .由余弦定理得 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3× ＝9，所以 c ＝3，A ． 3 C ． 即 3a cos A ＝b · ＋c · ＝a ，所以 cos A ＝ ，又 0＜A ＜π.所以 sin A ＝ .又 b ＝2，所以 a sin B ＝b sin A ＝2× ＝ .故选 C.cos 80° sin 80° cos 80°sin 80°cos 80°cos 80°－ sin 80°⎭ 4sin （60°－80°） 2⎝ 2 1 sin 160° sin 160° ＝－4sin 20°＝－4.( c 4解析：由题意得⎨2 ⎪ C ．4D. 171 2 22 31 13 3故选 B.6．(必修 5 P 18 练习 T 3 改编△)已知 ABC 三内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则 a sin B ＝()434 2 32 B. 2D ．6 2解析：选 C.因为 3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，a 2＋b 2－c 2 a 2＋c 2－b 22ab 2ac1 2 23 32 2 4 23 3二、填空题3 17．(必修 4 P 146A 组 T 5(1)改编)sin 80°－ ＝______．解析：⎛ 3 1 ⎫ 2＝ ＝2sin 20°答案：－4 8． 必修 5 P 20A 组 T 11(3)改编△) ABC 的三内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ， .A ＝120°，a ＝7，△S ABC ＝ 153，则 b ＋c ＝________．⎧⎪1bc sin 120°＝15 34，⎪⎩b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72⎧bc ＝15即⎨ ，所以 b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以 b ＋c ＝8.⎪⎩b 2＋c 2＋bc ＝49答案：82 1 π9．(必修 4 P 56 练习 T 3 改编)关于函数 f (x )＝3sin(2x －4)的下列结论：①f (x )的一个周期是－8π；②f (x )的图象关于 x ＝ 对称；③f (x )的图象关于点⎝2，0⎭对称；－ ，上单调递增；④f (x )在⎝2 2⎭⑤f (x )的图象可由 g (x )＝ cos x 向右平移 个单位得到．解析：f (x )的最小正周期 T ＝ ＝4π.所以 f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝2⎭＝0，故②错误．③正确．由 2k π－ ＜ x － ＜2k π＋ ，k ∈Z ，得4k π－ ＜x ＜4k π＋ π. － ， － ， .故④正确．令 k ＝0 得，－ ＜x ＜ π.⎝ 2 2⎭ ⎝ 2 2 ⎭x ＋g (x )＝ cos x ＝ sin ⎝2 2⎭x ＋π) ，(＝sin⎦⎣2 x － ＝ sin x －，f (x )＝ sin ⎝2 4⎭ ⎣2⎝ 2⎭⎦所以 g (x )的图象向右平移 －(－π)＝ π 即可得到 f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．(2)将函数 f (x )的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到函数 y ＝g (x )的图象，若 α 为锐角，g (α)＝ － 2，求 cos α.ωx － ·解：(1)f (x )＝4sin cos ωx －2 2cos 2ωx ＝ 2(sin 2ωx －cos 4⎭ cos ωx ＝2 2sin ωx ·⎝ 2ωx － － 2，2ωx )－ 2＝2sin4⎭⎝由于 f (x )在 x ＝ 处取得最值，因此 2ω· － ＝k π＋ ，k ∈Z ，所以 ω＝2k ＋ ，π2⎛π ⎫⎛ π π⎫2 1 π3 2 8其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．2π1 2⎛π⎫π 1 π π2 2 4 2π 3 2 2π 3 ⎛ π π⎫ ⎛ π 3π⎫2 22 1 2 ⎛1 π⎫3 2 3 2 ⎡1 ⎤ 3 2 ⎛1 π⎫ 2 ⎡1⎛ π⎫⎤ 3 3 π 32 2答案：①③④三、解答题π π10．(必修 4 P 147A 组 T 10 改编)已知函数 f (x )＝4sin(ωx －4)·cos ωx 在 x ＝4处取得最值，其中 ω∈(0，2)．(1)求函数 f (x )的最小正周期；π3643⎛ π⎫⎛ π⎫ π π π π 34 4 4 2 2因为 ω∈(0，2)，所以 ω＝ ，因此，f (x )＝2sin ⎝3x －4⎭－ 2，所以 T ＝ .个 单 位 ， 得 到h (x ) ＝ 2sin ⎣3⎝x ＋36⎭－4⎦ － 2 ＝ 2sin ⎝3x －6⎭－ 2的图象，再将 h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的 3 倍，纵坐标不变，得到 g (x )＝2sin ⎝x －6⎭－⎛ 故 g (α)＝2sin ⎝α－6⎭－ 2＝ － 2，可得 sin ⎝α－6⎭＝ ，因为 α 为锐角，所以－ ＜α－ ＜ ，因此 cos ⎝α－6⎭＝⎛2⎫2＝ 5， π π⎫ π⎫ π⎫ π π 5 3 2 1 15－2 故 cos α＝cos ⎝α－6＋6⎭＝cos ⎝α－6⎭cos －sin ⎝α－6⎭sin ＝ ⎛ ⎛ ⎛ 6 6 3 2 3 2 6①＋②得 m 2＝ ，所以 m ＝ 6，即 BC ＝ 6.sin ∠ACE sin ∠EAC sin ∠BCE sin ∠CBE 且 BC ＝ ，所以 ＝ ＝ .所以 BE ＝ 6AE ，所以 AE ＝ ( 6－1)．32⎛ π⎫ 2π 3(2) 将 函 数 f (x ) 的 图 象 向 左 平 移 π 36 ⎡ ⎛ π ⎫ π⎤⎛ π⎫⎛ π⎫2的图象，π⎫ 4 3⎛ π⎫ 2 3π π π6 6 3⎛ π⎫ 1－⎝3⎭ 3× － × ＝ .11．(必修 5 P 20A 组 T 13 改编)D 为△ABC 的边 BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求 BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交 AB 于 E ，求 △S ACE . 解：(1)由题意知 AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设 BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中， 由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD · B D cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD · D C cos ∠ADC . 即 1＋m 2－2m cos ∠ADB ＝4，① 1＋m 2＋2m cos ∠ADB ＝1.②3 22(2)在△ACE 与△BCE 中，由正弦定理得AE EC BE EC＝ ， ＝ ，由于∠ACE ＝∠BCE ，AC AE AC 6sin ∠BAC sin ∠CBABE BC 6252AB ·AC 2×2×1＝－ ，所以 sin ∠BAC ＝ ，＝ ×1× ( 6－1)× ＝ .AB 2＋AC 2－BC 2 22＋12－（ 6）2又 cos ∠BAC ＝ ＝1 154 41所以 △S ACE ＝2AC · AE ·sin ∠BAC1 2 15 3 10－ 15 2 5 4 20。
2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第4讲含解析.docx
2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题1．下列函数中，最小正周期为 π且图象关于原点对称的函数是 ()A ． y ＝ cos 2x ＋ πB ．y ＝ sin 2x ＋ π22C ．y ＝ sin 2x ＋ cos 2xD ． y ＝ sin x ＋ cos xπ2π解析： 选 A. y ＝cos 2x ＋ 2 ＝－ sin 2x ，最小正周期 T ＝ 2 ＝ π，且为奇函数 ，其图象关于π原点对称 ，故 A 正确； y ＝sin 2x ＋2 ＝ cos 2 x ，最小正周期为π，且为偶函数 ，其图象关于y 轴对称 ，故 B 不正确； C 、 D 均为非奇非偶函数 ，其图象不关于原点对称 ，故 C 、 D 不正确．2．函数 f(x)＝ 3sin 2x － π在区间 0， π上的值域为 ( )6 2A ． －3，3B. － 3， 3222 C ． －3 3，3 3D. －3 3， 3222解析：选 B. 当 x ∈ 0， π ππ 5π ，sin 2x － π 1，故 3sin 2x －π2 时，2x － ∈ － ， 6 ∈ － ，166 6 62 ∈ － 3， 3 ，即此时函数 f(x) 的值域是－3， 3 .22ππ3．若函数 y ＝cos ωx＋ 6 (ω∈ N * ) 图象的一个对称中心是 6， 0 ，则 ω的最小值为 () A ． 1 B ．2 C ．4D ． 8πωπ π ω＝ 6k ＋ 2(k ∈ Z )，又 ω∈ N * ，所以 ωmin ＝ 2，解析：选 B. 由题意知＋ ＝ k π＋ (k ∈ Z )?662故选 B.π4．函数 y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|在区间 ，3π内的图象是 ()2 2解析： 选 D. y ＝ tan x ＋ sin x － |tan x － sin x|π2tan x ， x ∈， π，2＝结合选项图形知 ， D 正确．3π2sin x ， x ∈ π， 2 .5． (2018 ·州第三次调研惠 )函数 y ＝cos 2x ＋ 2sin x 的最大值为 ( )12019 高考数学文一轮复习含答案3A ． 4B ．13C ．2D ． 2解析： 选 C. y ＝ cos 2x ＋ 2sin x ＝－ 2sin 2x ＋ 2sin x ＋ 1.2213法一： 设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为 y ＝－ 2t ＋ 2t ＋ 1＝－ 2 t －＋ ，所以当 t ＝1时，函数取得最大值322.法二：设 t ＝ sin x(－ 1≤ t ≤ 1)，则原函数可以化为y ＝－ 2t 2＋ 2t ＋ 1，y ′＝－ 4t ＋ 2.当 1≤ t ≤ 12 时， y ′≤ 0；当－ 1≤ t ≤1时， y ′≥ 0.2当 t ＝ 1时 y 取得最小值 ， y min ＝－ 2×1 2 ＋ 2×1＋ 1＝ 3，选 C.2 2 2 26． (2018 ·州综合测试广 (一 )) 已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋ φ)(ω＞ 0， 0＜φ＜ π)是π奇函数，直线 y ＝ 2与函数 f( x)的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2，则 ()πA ． f(x)在 0， 4 上单调递减π 3πB ．f(x)在 8， 8上单调递减πC ．f(x)在 0， 4 上单调递增π 3πD ． f(x)在，上单调递增88解析：选 D.f(x)＝ sin( ωx＋ φ)＋ cos(ωx＋φ)＝ 2sin(ωx＋ φ＋ π 0＜ φ＜ π且 f(x)为奇4 )，因为函数 ，所以 φ＝ 3πωx ，又直线 y ＝2与函数 f(x)的图象的两个相邻交点4 ，即 f(x)＝－ 2sinππ2π π的横坐标之差的绝对值为 2，所以函数 f(x)的最小正周期为 2，由ω＝2，可得 ω＝ 4，故 f( x) ＝－ 2sin 4 x ，由 π 3π k π π k π 3π π2k π＋ ≤ 4x ≤ 2k π＋ ，k ∈ Z ，即 ＋ ≤ x ≤ ＋ ，k ∈ Z ，令 k ＝0，得8 2 2 2 8 28 ≤x ≤ 3π π 3π8，，此时 f(x)在 8 8 上单调递增 ，故选 D.二、填空题π7．已知函数f(x)＝－ 2sin(2x ＋ φ)(|φ|＜ π)，若 f 8 ＝－ 2 ，则 f(x)的单调递减区间是________．π解析： 当 x ＝ 8时， f(x)有最小值－ 2，π π所以 2× ＋ φ＝－ ＋ 2k π，8222019 高考数学文一轮复习含答案即 φ＝－ 34π＋ 2k π，k ∈ Z ，又因为 |φ|＜ π，所以 φ＝－ 34π.所以 f(x)＝－ 2sin(2x －34π)．ππ由－ ＋ 2k π≤ 2x －3π≤ ＋ 2k π，242π5 π＋ k π，k ∈ Z ，得 ＋ k π≤x ≤8 8π5所以函数 f(x)的单调递减区间为 ＋ k π，8π＋ k π，k ∈ Z .8答案： π 5＋ k π， π＋ k π， k ∈ Z8 8π8．若函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0 且 |φ|＜ 2)在区间π等于 ________．1 减少到－ 1，则 f 4π πω＋φ＝ ＋ 2k π解析： 由题意知6 2， k ∈ Z ，2π3πω＋ φ＝＋ 2k π32π解之得 ω＝ 2， φ＝6＋ 2k π，ππ又因为 |φ|＜ ，所以 φ＝ .2 6所以 f(x)＝ sin 2x ＋ π6 .所以 f π π π π3＝sin ＋ ＝ cos ＝42×4 662.π 2π6， 3 上是单调减函数，且函数值从答案：32π9．已知函数 f(x) ＝3sin ωx－6 (ω>0)和 g(x)＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若 x ∈ 0， π，则 f(x)的取值范围是 ________． 2解析： 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同 ，故 ω＝ 2，所π以 f(x)＝ 3sin 2x － 6 ，π ππ 5π当 x ∈ 0， 2 时，－ 6≤ 2x －6≤ 6 ，所以－ 1≤ sin π≤ 1，故 f(x)∈ － 3， 3 .22x － 6232019 高考数学文一轮复习含答案答案： － 3， 3210． (2018 ·家庄质量检测石 (一 ))若函数 f(x)＝ 3sin(2 x ＋θ)＋ cos(2x ＋ θ)(0＜ θ＜ π)的图象π π π关于2， 0 对称，则函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值是 ________．解析： f(x)＝ 3sin(2x ＋ θ)＋ cos(2x ＋θ)＝ 2sin 2x ＋ θ＋π，则由题意 ，知 fπ＝ 2sin( π＋ θ 62 π 5π π π上是减函数 ，所以 ＋ )＝ 0，又 0＜ θ＜ π， 所以 θ＝ ，所以 f( x)＝－ 2sin 2x ， f(x)在 － ，4 6 6 4π π π π函数 f( x)在 －4， 6 上的最小值为 f 6 ＝－ 2sin 3＝－ 3.答案： － 3三、解答题π11． (2017 ·考北京卷高 )已知函数 f( x)＝3cos(2x － 3)－ 2sin xcos x.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求证：当 x ∈ π π1 .－ ， 时， f(x)≥－4 4 2 解： (1)f(x)＝332 cos 2x ＋ 2sin 2x － sin 2x1 3cos 2x＝ sin 2x ＋22π＝ sin(2x ＋ 3)．2π 所以 f(x)的最小正周期T ＝＝ π.2ππ(2)证明： 因为－ 4≤ x ≤4，π π 5π所以－ ≤ 2x ＋ ≤6.63ππ 1 .所以 sin(2x ＋ )≥ sin(－)＝－236所以当 x ∈ π π1 .[－ ， ]时， f(x)≥ －4 4 212．(2016 ·高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ 2sin ωxcos ω x ＋ cos 2ωx( ω＞0) 的最小正周期为π.(1)求 ω的值；(2)求 f(x)的单调递增区间．解： (1)因为 f(x)＝ 2sin ωxcos ωx ＋ cos 2ωxπ＝ sin 2ωx ＋ cos 2ωx ＝ 2sin(2 ωx＋ 4)，2ππ所以 f(x)的最小正周期T ＝2ω＝ ω.42019 高考数学文一轮复习含答案π依题意，ω＝π，解得ω＝1.π(2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin(2 x＋4)．函数 y＝sin x 的单调递增区间为ππ[2kπ－， 2kπ＋ ](k∈Z )．22πππ由 2kπ－≤ 2x＋≤ 2kπ＋ (k∈Z )，242得 kπ－3ππ≤ x≤ kπ＋(k∈Z )．88所以 f(x)的单调递增区间为[kπ－3ππ， kπ＋](k∈Z )．885。
[推荐学习]2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文
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[推荐学习]2019高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形章末总结分层演练文第4章三角函数与解三角形章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中 一、选择题1．(必修4 P 146A 组T 6(3)改编)已知sin 2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．49 B .59C ．23D.79解析：选D.因为sin 2θ＝23，所以sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝1－12×49＝79.故选D.2．(必修4 P 147A 组T 12改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A.f (x )＝sin x cos π6＋cos x sinπ6＋sin x cos π6－cos x sin π6＋cos x ＋a ＝3sinx ＋cos x ＋a ＝2sin(x ＋π6)＋a ，所以f (x )max ＝2＋a ＝1.所以a ＝－1.选A.3．(必修4 P 69A 组T 8改编)已知tan α＝3，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( )A ．210B ．－210C ．7210D ．－7210解析：选B.因为tan α＝3，所以sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×31＋32＝35，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－321＋32＝－45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210.选B. 4．(必修 4 P 58A 组T 2(3)改编)如图是y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象，则其解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：选 D.由题图知T4＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4.所以T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.当x ＝－π12时，y＝0，当x ＝0时，y ＝1.所以⎩⎪⎨⎪⎧A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0A sin φ＝1，所以φ＝π6，A ＝2.所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故选D.5．(必修5 P 18练习T 1(1)改编)在锐角△ABC 中，a ＝2，b ＝3，S △ABC ＝22，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D.17解析：选B.由已知得12×2×3×sin C ＝22，所以sin C ＝223.由于C ＜90°，所以cos C ＝1－sin 2C ＝13.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×13＝9，所以c ＝3，故选B.6．(必修5 P 18练习T 3改编)已知△ABC 三内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＝2，则a sin B ＝( )A．43B.232C．423D．6 2解析：选C.因为3a cos A＝b cos C＋c cos B，即3a cos A＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝a，所以cos A＝13，又0＜A＜π.所以sin A＝223.又b＝2，所以a sin B＝b sin A＝2×223＝423.故选C.二、填空题7．(必修 4 P146A组T5(1)改编)3sin 80°－1cos 80°＝______．解析：3sin 80°－1cos 80°＝3cos 80°－sin 80°sin 80°cos 80°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 80°－12sin 80°12sin 160°＝4sin （60°－80°）sin 160°＝－4sin 20°sin 20°＝－4.答案：－48．(必修5 P 20A 组T 11(3)改编)△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .A ＝120°，a ＝7，S △ABC ＝1543，则b ＋c ＝________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧12bc sin 120°＝1543b 2＋c 2－2bc cos 120°＝72，即⎩⎨⎧bc ＝15b 2＋c 2＋bc ＝49，所以b 2＋c 2＋2bc ＝64.所以b ＋c ＝8.答案：89．(必修4 P 56练习T 3改编)关于函数f (x )＝23sin(12x －π4)的下列结论： ①f (x )的一个周期是－8π； ②f (x )的图象关于x ＝π2对称；③f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增；⑤f (x )的图象可由g (x )＝23cos 12x 向右平移π8个单位得到． 其中正确的结论有____________(填上全部正确结论的序号)．解析：f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.所以f (x )的一个周期为－8π.①正确．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故②错误．③正确． 由2k π－π2＜12x －π4＜2k π＋π2，k ∈Z ，得4k π－π2＜x ＜4k π＋32π.令k ＝0得，－π2＜x ＜32π.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2.故④正确． g (x )＝23cos 12x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π， f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，所以g (x )的图象向右平移π2－(－π)＝32π即可得到f (x )的图象．故⑤错误，即①③④正确．答案：①③④ 三、解答题10．(必修4 P 147A 组T 10改编)已知函数f (x )＝4sin(ωx －π4)·cos ωx 在x ＝π4处取得最值，其中ω∈(0，2)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若α为锐角，g (α)＝43－2，求cos α.解：(1)f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4·cos ωx ＝22sin ωx ·cos ωx －22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx －cos 2ωx )－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π4－2，由于f (x )在x ＝π4处取得最值，因此2ω·π4－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝2k ＋32，因为ω∈(0，2)，所以ω＝32，因此，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4－2，所以T ＝2π3. (2)将函数f (x )的图象向左平移π36个单位，得到h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π36－π4－2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6－2的图象，再将h (x )图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－2的图象，故g (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6－2＝43－2，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝23，因为α为锐角，所以－π6＜α－π6＜π3，因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，故cos α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝53×32－23×12＝15－26. 11．(必修5 P 20A 组T 13改编)D 为△ABC 的边BC 的中点．AB ＝2AC ＝2AD ＝2. (1)求BC 的长；(2)若∠ACB 的平分线交AB 于E ，求S △ACE . 解：(1)由题意知AB ＝2，AC ＝AD ＝1. 设BD ＝DC ＝m .在△ADB 与△ADC 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC .即1＋m2－2m cos∠ADB＝4，①1＋m2＋2m cos∠ADB＝1.②①＋②得m2＝32，所以m＝62，即BC＝ 6.(2)在△ACE与△BCE中，由正弦定理得AE sin∠ACE ＝ECsin∠EAC，BEsin∠BCE＝ECsin∠CBE，由于∠ACE＝∠BCE，且BCsin∠BAC＝ACsin∠CBA，所以AEBE＝ACBC＝66.所以BE＝6AE，所以AE＝25(6－1)．又cos ∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝22＋12－（6）2 2×2×1＝－14，所以sin ∠BAC＝154，生活的色彩就是学习K12的学习需要努力专业专心坚持 所以S △ACE ＝12AC ·AE ·sin ∠BAC ＝12×1×25(6－1)×154＝310－1520.。
2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第2讲含解析.docx
2019 高考数学文一轮复习含答案一、选择题πα＝()1，且 ≤ α≤ π，则 cos1． (2018 石·家庄质量检测 (二 ))若 sin( π－ α)＝ 322 22 2A ． 3B ．－ 3C ．－ 4 9 2D ． 49 2解析： 选 B. 因为 sin( π－ α)＝ sin α＝1π22 3，且 ≤ α≤ π， 所以 cos α＝－，故选 B.232．已知 tan(α－ π)＝ 3，且 α∈ π 3π，则 sin α＋ π)， ＝ (4 2 2244 A. 5B ．－ 533 C.5D ．－ 533解析： 选 B. 由 tan(α－ π)＝ ? tan α＝ .44π 3π，又因为 α∈ 2 2 ，所以 α为第三象限的角 ， sin α＋ π42 ＝ cos α＝－ .54，θ∈ π，则 sin θ－cos θ的值为 ( )3．已知 sin θ＋ cos θ＝ 30，422A. 3B ．－ 311 C.3D ．－ 3解析： 选 B.因为 (sin θ＋ cos θ)2＝ sin 2θ＋ cos 2θ＋ 2sin θ·cos θ＝ 1＋2sin θcos θ＝169，所以722 222sin θcos θ＝ 9，则 (sin θ－ cos θ) ＝ sin θ＋ cos θ－ 2sin θcos θ＝ 1－ 2sin θcos θ＝ 9.又因为π 2 θ∈ 0， 4 ，所以 sin θ＜ cos θ， 即 sin θ－cos θ＜ 0，所以 sin θ－ cos θ＝－ 3.4．已知 f(x)＝ asin( πx ＋ α)＋bcos( πx ＋ β)＋ 4，若 f(2 018)＝5，则 f(2 019)的值是 ()A ． 2B ．3C ．4D ． 5解析： 选 B. 因为 f(2 018) ＝ 5，所以 asin(2 018 π＋ α)＋ bcos(2 018 π＋ β)＋ 4＝ 5，即 asin α＋ bcos β＝1.所以 f(2 019) ＝ asin(2 019 π＋ α)＋ bcos(2 019 π＋β)＋ 4＝－ asin α－ bcos β＋ 4＝－ 1＋ 4＝13.θ π11－ sin θ)5．当 θ为第二象限角，且 sin＋＝ 时，θ的值是 ( 2 2 3θcos － sin2 2 A ． 1 B ．－ 1C ．± 1D ． 0θ πθ 1，解析： 选 B. 因为 sin＋＝1，所以 cos ＝22 32 3θ θ θ所以 在第一象限 ，且 cos＜sin，222θ θ所以1－ sin θ －（ cos 2－sin 2）θ ＝ θθ ＝－ 1.θcos －sin2cos － sin2226．若 sin θcos θ＝ 1 ，则 tan θ＋ cos θ)2 的值是 (sin θA ．－ 2B ．21C ．± 2D ． 2解析： 选 B.tan θ＋ cos θ sin θ cos θ1＝ 2.sin ＝ ＋ ＝θ cos θ sin θ cos θsin θ二、填空题π7．已知函数 f(x) ＝2cos 3x ， x ≤ 2 000，则 f(f(2 018)) ＝________．x － 18，x ＞ 2 000，解析： f(2 018) ＝2 018－ 18＝ 2 000， f(f(2 018))＝ f(2 000)＝ 2cos2 00023 π＝ 2cos 3π＝－ 1.答案： － 18．已知 sin(3 π－ α)＝－ 2sin( π＋ α)，则 sin αcos α＝ ________．2π 解析： 因为 sin(3 π－ α)＝sin( π－ α)＝－ 2sin(2＋ α)，所以 sin α＝－ 2cos α， 所以 tan α＝－ 2，sin αcos α ＝ tan α ＝ － 22则 sin αcos α＝ 2 2 2 （－2）2 ＋ ＝－ .sin α＋ cos α tan α＋ 1 15答案： －25sin[ （ k ＋ 1） π＋ α] ·cos[（ k ＋ 1） π－ α]9．若 f(α)＝(k ∈ Z )，则 f(2 018) ＝ ________．sin （ k π－ α） ·cos （ k π＋ α）解析： ① 当 k 为偶数时 ，设 k ＝ 2n(n ∈ Z )，原式＝ sin （ 2n π＋ π＋ α） ·cos （ 2n π＋ π－ α）sin （－ α）· cos α＝sin （ π＋ α） ·cos （ π－ α）＝－ 1；－ sin α· cos α2②当 k 为奇数时 ，设 k ＝ 2n ＋ 1(n ∈ Z )，原式＝ sin[ （ 2n ＋ 2） π＋ α] ·cos[（2n ＋ 2） π－α]sin[ （ 2n ＋ 1） π－ α] ·cos[（2n ＋ 1） π＋α]sin α· cos （－ α）＝sin （ π－ α） ·cos （ π＋ α）＝－ 1.综上所述 ，当 k ∈ Z 时， f(α)＝－ 1，故 f(2 018) ＝－ 1. 答案： － 110．已知 sin α＋ 2cos α＝ 3，则 tan α＝ ________．解析： 因为 sin α＋ 2cos α＝ 3，所以 (sin α＋ 2cos α)2＝ 3，所以 sin 2α＋ 22sin αcos α＋ 2cos 2α＝ 3，2α＋ 2 2sin αcos α＋ 2cos 2α所以 sin22＝ 3，sin α＋ cos α所以 tan 2α＋ 2 2 2tan α＋ 2＝ 3，tan α＋ 1所以 2tan 2α－ 2 2tan α＋1＝ 0，所以 tan α＝ 22.2答案： 2三、解答题5πsin＋ α211．已知 sin α＝ 2 5 5，求 tan(α＋ π)＋ 5π的值．cos － α2解： 因为 sin α＝2 55＞ 0，所以 α为第一或第二象限角．5πsin ＋ αcos α2tan(α＋ π)＋ 5π＝ tan α＋ sin αcos － α2＝ sin α cos α 1.＋ ＝cos α sin α sin αcos α(1)当 α是第一象限角时 ，cos α＝ 25，1－ sin α＝ 5原式＝ 1 5＝ .sin αcos α 2(2)当 α是第二象限角时 ，cos α＝－1－sin 2α＝－ 5，5 原式＝1 ＝－ 5 .sin αcos α 2112．已知 x ∈ (－ π， 0)， sin x ＋ cos x ＝ 5.(1)求 sin x －cos x 的值；(2)求 sin 2x ＋ 2sin 2x 的值． 1－ tan x3解： (1)由 sin x ＋ cos x ＝15，平方得 sin 2x ＋ 2sin xcos x ＋cos2x ＝ 251，24整理得 2sin xcos x ＝－.所以 (sin x － cos x)2＝ 1－ 2sin xcos x ＝4925.由 x ∈ (－ π， 0)，知 sin x<0，又 sin x ＋ cos x>0，所以 cos x>0， sin x － cos x<0 ，7故 sin x － cos x ＝－ 5.(2)sin 2x ＋2sin 2x ＝ 2sin x （ cos x ＋ sin x ） 1－ tan xsin x1－cos x＝2sin xcos x （ cos x ＋ sin x ）cos x － sin x－24× 125 5 24＝7 ＝－ 175.54。
精选2019高考数学一轮复习第四章三角函数4-4解三角形练习文(1)
§4.4解三角形考纲解读分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·=a·+c·,即b·=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°<B<180°,所以B=60°.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C=( )A. B. C. D.答案 B2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=( )A. B. C. D.答案 C3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=( )A.3B.2C.2D.答案 C4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则的值为( )A.-B.C.1D.答案 D5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( )A. B. C. D.答案 B6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=.答案75°7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=.答案 18.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=. 答案 49.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,。
2019-2020最新高三数学一轮总复习第四章三角函数解三角形第四节函数y=Asinωx+φ的图象及三角函数模型的简
所以cos φ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1<x0<2，
故<πx0＋<，
由f(x0)＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos
＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f ＝cos－sin πx＝cos πxcos－sin πxsin －sin πx
(2)求函数g(x)＝f(x) ＋f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)由图可得A＝3，
f(x)的周期为8，则＝8，即ω＝.
又f(－1)＝f(3)＝0，则f(1)＝3，
所以sin＝1，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又φ∈[0，π)，故φ＝.
综上所述，f(x)的解析式为f(x)＝3sin.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物
＝sin，
当x∈时，2x－∈，
sin∈，
此时g(x)的值域是.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(20xx·济南模拟)将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的解析式为________．
解析：将函数y＝cos 2x＋1的图象向右平移个单位得到y＝cos 2＋1＝sin 2x＋1，再向下平移1个单位得到y＝sin 2x.
答案：右
4.(20xx·贵阳监测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(x∈R)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：由图可知，＝－＝，
2019届高考数学一轮复习 第四章 三角函数层级快练26 文
层级快练(二十六)1．(2018·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.2．(2018·山西五校联考)在△ABC 中，a ＝3b ，A ＝120°，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°答案 A解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB 得3b 32＝12.因为A ＝120°，所以B ＝30°.3中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范A B ．[π6，π)C D ．[π3，π)，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.4．(2018·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×2×6＋24＝3＋1.故选A.5．(2018·东北八校联考)已知△ABC 三边a ，b ，c 上的高分别为12，22，1，则cosA ＝( )A.32 B ．－22C ．－24D 答案 C解析 设△ABC 的面积为S ，则a ＝4S ，B ＝22S ，c －24.故选C. 6．(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C sinA)．则A ＝( )A.3π4 C.π ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－，又0<A<π，所以A ＝π4.A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则B.13 C ．1 D.72答案 D解析 由正弦定理可得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2(sinB sinA )2－1＝2(b a )2－1，因为3a ＝2b ，所以b a ＝32，所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2×(32)2－1＝72. 8．(2018·安徽合肥检测)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC.若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( ) A ．(3，6] B ．(3，5) C ．(5，6] D ．[5，6]答案 C解析 ∵(a－b)(sinA ＋sinB)＝(c －b)sinC ，∴由正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝(c －b)c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3.又△ABC 为锐角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<B<π2，A ＋B ＝π3＋B>π2，解得π6<B<π2.由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝332＝2，得b ＝2sinB ，c ＝2sinC ，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C)＝4[sin 2B ＋sin 2(2π3－B)]＝4－2cos(2B ＋π3)．又π6<B<π2，∴2π3<2B ＋π3<4π3， 可得b 2＋c 2∈(5，6]．故选C.9．在△ABC 中，若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为________． 答案34或32解析 如图所示，由正弦定理，得sinC ＝c·sinB b ＝32.而c>b ，∴C ＝60°或C ＝120°. ∴A ＝90°或A ＝30°. ∴S △ABC ＝12bcsinA ＝32或34.10．(2018·河南信阳调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，则C 的大小为________． 答案π3解析 ∵△ABC 的面积为S ＝12absinC ，∴由S ＝34(a 2＋b 2－c 2)，得34(a 2＋b 2－c 2)＝12absinC ， 即absinC ＝32(a 2＋b 2－c 2)．根据余弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ， ∴absinC ＝32×2abcosC ，得sinC ＝3cosC ，即tanC ＝sinC cosC＝ 3. ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.11．(2017·甘肃定西统考)在△ABC 中，若a 2b 2＝tanAtanB ，则△ABC 的形状为________．答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin 2A sin 2B ＝tanA tanB ，即sin 2A sin 2B ＝sinA cosA ·cosBsinB .∵sinA>0，sinB>0，∴sinAcosA＝sinBcosB ，即sin2A ＝sin2B.∴2A ＝2k π＋2B 或2A ＝2k π＋π－2B(k∈Z )．∵0<A<π，0<B<π，∴k ＝0，则A ＝B 或A ＝π2－B.故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________． 3a ＋c. ＋sinC. ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin(90°－B2)．∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2018·广东揭阳一模)在△ABC 中，∠B ＝π6，AC ＝1，点D 在边AB 上，且DA ＝DC ，BD＝1，则∠DCA＝________． 答案π3或π9解析 如图，过点C 作CE⊥AB 于E.设∠A＝∠ACD＝θ，则∠CDB＝2θ.在Rt △AEC 中，CE ＝sin θ，则在Rt △CED 中，DE ＝－CE tan2θ＝－sin θtan2θ.在Rt △CEB 中，BE ＝CE tanπ6＝3sin θ.由BD ＝1，得sin θtan2θ＋3sin θ＝1⇒sin θcos2θ＋3sin θsin2θ＝sin2θ⇒cos2θ＋3sin2θ＝2cos θ⇒cos θ＝cos(2θ－π3)⇒2θ－π3＝±θ⇒θ＝π3或π9.14．(2017·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314(2)6 3解析 (1)根据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314.(2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437，∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3. 15．(2018·河南豫南九校质量考评)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2－c 2a 2＋c 2－b 2＝2sinA －sinC sinC ，且b ＝4. (1)求角B ；(2)求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π3(2)4 3解析 (1)根据题意，由余弦定理得2abcosC 2accosB ＝2sinA －sinC sinC ，再由正弦定理得sinBcosCsinCcosB＝2sinA －sinCsinC ，整理得sinBcosC ＝2sinAcosB －cosBsinC ，∴sinBcosC ＋cosBsinC ＝2sinAcosB.即sin(B ＋C)＝2sinAcosB ，又sin(B ＋C)＝sinA ≠0， ∴cosB ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得16＝a 2＋c 2－ac≥2ac－ac ， ∴ac ≤16，当且仅当a ＝c ＝4时取等号．则△ABC 的面积S ＝12acsinB ≤12×16×sin π3＝43，即△ABC 16．(2017·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c C)＝8sin 2B2.(1)求cosB ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b. 答案 (1)1517(2)2解析 (1)依题意，得sinB ＝8sin 2B2＝8·－cosB)．∵sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴16(1－cosB)2＝1517.∴a 2＋c 2－b 2＝15，∴(a ＋c)2－2ac －b 2＝15， ∴36－17－b 2＝15，∴b ＝2.17．(2018·福建高中毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值．答案 (1)2π3(2)5解析 (1)∵2b cosC －c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c22ab －c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.18．(2018·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB ≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.(第二次作业)1．(2015·广东，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝2，c ＝23，cosA ＝32且b<c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D. 3答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b<c ，得b ＝2.2．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B A.32C.3＋62cos60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3.故3a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A 等于( ) A B ．90° C D ．30°sinA ＝12.又a<b ，∴A<B ＝45°.∴A ＝30°，故选D.4．(2018·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3C ．2 3D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC cos60°＝3. 所以BC ＝ 3.5．在△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上均有可能答案 A解析 由题意可知c>a ，c>b ，即角C 最大，所以a 3＋b 3＝a·a 2＋b·b 2<ca 2＋cb 2，即c 3<ca 2＋cb 2，所以c 2<a 2＋b 2.根据余弦定理，得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，则0<C<π2，即三角形为锐角三角形．6．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．答案 1解析 ∵a＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C 必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B＋∠C＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C，∴b ＝c ，∴bc ＝1.7．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，则△ABC 周长取值范围是________． 答案 (2，3]解析 在△ABC 中，由余弦定理可得2cosC ＝a 2＋b 2－c 2ab ，∵a ＝1，2cosC ＋c ＝2b ，∴1＋b 2－c2b＋c ＝2b ，化简可得(b ＋c)2－1＝3bc.∵bc≤(b ＋c 2)2，∴(b ＋c)2－1≤3×(b ＋c 2)2，解得b ＋c≤2(当且仅当b ＝c 时，取等号)．故a ＋b ＋c≤3.再由任意两边之和大于第三边可得b ＋c>a ＝1，故有a ＋b ＋c>2，所以△ABC 的周长的取值范围是(2，3]．8．(2015·广东，理)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a ＝3，sinB ＝12，C ＝π6，则b ＝________．答案 1解析 由sinB ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin2π3＝b12，所以b ＝1.9．(2018·湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(sinB ，1－cosB)与向量n ＝(2，0)的夹角θ的余弦值为12.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围． 答案 (1)23π (2)(3，2]解析 (1)∵m ＝(sinB ，1－cosB)，n ＝(2，0)， ∴m ·n ＝2sinB ，|m |＝sin 2B ＋（1－cosB ）2＝2－2cosB ＝2|sin B 2|.∵0<B<π，∴0<B 2<π2.∴sin B2>0.∴|m |＝2sin B.又∵|n |＝2，b ＋c)2－ac≥(a＋c)2－(a ＋c 2)2＝34(a ＋c)2，当且仅当a＋c≤2. 又a ＋c>b ＝3，∴a ＋c∈(3，2]．10.如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．答案 (1)3314(2)BD ＝3，AC ＝7 解析 (1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17， 所以sin ∠ADC ＝437. 所以sin ∠BAD ＝sin (∠ADC－∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△A BC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.11.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ上．(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．答案 (1)MP ＝1或MP ＝3 (2)∠POM＝30°时，△OMN 面积最小值为8－4 3解析 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP×MP×cos45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OP sin ∠OMP ， ∴OM ＝OPsin45°sin （45°＋α），同理ON ＝OPsin45°sin （75°＋α）. 故S△OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°） ＝1sin （45°＋α）[32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）] ＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α） ＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α） ＝134＋34sin2α＋14cos2α＝∵0°≤α≤60°，30°≤2α∴当α＝30°时，sin(2α＋＝30°时，△OMN 的面积的最小值为12．(2017·课标全国Ⅲ，理)△ABC a ，b ，c ，已知sinA ＋3的面积．A ＝2π3. 4ccos 2π3，即c 2＋2c －24＝0. (2)由题设可得∠CAD＝2，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π6.故△ABD 面积与△ACD 面积的比值为12AB·AD·sin π612AC ·AD ＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23，所以△ABD 的面积为3.13．(2017·山东，文)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC→＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a.答案 3π4；29 解析 因为AB →·AC →＝－6，所以bccosA ＝－6，又S △ABC ＝3，所以bcsinA ＝6，因此tanA ＝－1，又0<A<π，所以A ＝3π4. 又b ＝3，所以c ＝2 2.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得a 2＝9＋8－2×3×22×(－22)＝29， 所以a ＝29.14．(2017·天津，文)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asinA ＝4bsinB ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)．(1)求cosA 的值；(2)求sin(2B －A)的值．答案 (1)－55 (2)－255 解析 (1)由asinA ＝4bsinB ，及a sinA ＝b sinB，得a ＝2b.由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，及余弦定理，得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－55ac ac ＝－55. (2)由(1)，可得sinA ＝255，代入asinA ＝4bsinB ，得sinB ＝asinA 4b ＝55.由(1)知，A 为钝角，所以cosB ＝1－sin 2B ＝255.于是sin2B ＝2sinBcosB ＝45，cos2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A)＝sin2BcosA －cos2BsinA ＝45×(－55)－35×255＝－255.1．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0，2)答案 A解析 由a sinA ＝b sinB ＝b sin2A，得b ＝2cosA. π2<A ＋B ＝3A<π，从而π6<A<π3.又2A<π2， 所以A<π4，所以π6<A<π4，22<cosA<32，所以2<b< 3. 2．已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( )A ．2 5B. 5 C ．25或 5D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝b sinB ，∴＝60°或120°. 若B ＝60°，C ＝90°，∴c 若B ＝120°，C ＝30°，∴a 3．(2015·课标全国Ⅰ，理°，BC ＝2，则ABBC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、75°，则四边形ABCD 就是符合于点Q ，在△PBC 中，可求得BP ＝6所以AB 的取值范围是(6－2，64内一动点，且∠CMB＝120°，则AM MC 的最小值为________．答案 32解析 如图，在正△ABC 中，设∠MBC＝θ，则∠ACM＝θ，在△BMC 中，根据正弦定理可得MC sin θ＝BC sin120°.① 在△AMC 中，根据正弦定理可得AM sin θ＝AC sin ∠AMC.② ②÷①得AM MC ＝sin120°sin ∠AMC ≥32. 5．(2015·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________． 答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B ＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.。
2019高考数学一轮复习 第四章 基本初等函数Ⅱ(三角函数)4.2 三角函数的图象与性质练习 理
§4.2三角函数的图象与性质考纲解读分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.五年高考考点一三角函数的图象及其变换1.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是( )A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2答案 D2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin 2x的图象上,则( )A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为答案 A3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=( )A. B. C. D.答案 D4.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.答案5.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f =0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.解析本题考查了y=Asin(ωx+φ)的图象和性质.(1)因为f(x)=sin+sin,所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx==sin.由题设知f=0,所以-=kπ,k∈Z.故ω=6k+2,k∈Z,又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin,所以g(x)=sin=sin.因为x∈,所以x-∈,当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.教师用书专用(6—15)6.(2016四川,3,5分)为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度D.向右平行移动个单位长度答案 D7.(2015四川,4,5分)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x答案 A8.(2015山东,3,5分)要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin 4x的图象( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位答案 B9.(2014浙江,4,5分)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图象,可以将函数y=cos 3x的图象( )A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位答案 C10.(2014辽宁,9,5分)将函数y=3sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增答案 B11.(2013湖北,4,5分)将函数y=cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( )A. B. C. D.答案 B12.(2013山东,5,5分)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A. B. C.0 D.-答案 B13.(2013四川,5,5分)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案 A14.(2016江苏,9,5分)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.答案715.(2015湖北,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=- .且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知 f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sin x的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,令+-θ=,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.考点二三角函数的性质及其应用1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减答案 D2.(2016课标全国Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)答案 B3.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案 B4.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z答案 D5.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为.答案π6.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2·sin xcos x(x∈R).(1)求f 的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin=,cos=-,f=--2××,得f=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以, f(x)的单调递增区间是(k∈Z).教师用书专用(7—16)7.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( )A. B.π C. D.2π答案 B8.(2014陕西,2,5分)函数f(x)=cos的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π答案 B9.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 A10.(2013浙江,4,5分)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B11.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案π;(k∈Z)12.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.答案13.(2016天津,15,13分)已知函数f(x)=4tan xsincos-.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为.f(x)=4tan xcos xcos-=4sin xcos-=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin.所以, f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,易知函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=.所以,当x∈时, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.14.(2015重庆,18,12分)已知函数f(x)=sinsin x-cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在上的单调性.解析(1)f(x)=sinsin x-cos2x=cos xsin x-(1+cos 2x)=sin 2x-cos 2x-=sin-,因此f(x)的最小正周期为π,最大值为.(2)当x∈时,0≤2x-≤π,从而当0≤2x-≤,即≤x≤时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值. 解析(1)由题意知f(x)=-=-=sin 2x-.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);单调递减区间是(k∈Z).(2)由f=sin A-=0,得sin A=,由题意知A为锐角,所以cos A=.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+bc=b2+c2≥2bc,即bc≤2+,且当b=c时等号成立.因此bcsin A≤.所以△ABC面积的最大值为.16.(2013安徽,16,12分)已知函数f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.解析(1)f(x)=4cos ωx·sin=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin+.因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,从而有=π,故ω=1.(2)由(1)知, f(x)=2sin+.若0≤x≤,则≤2x+≤.当≤2x+≤,即0≤x≤时, f(x)单调递增;当≤2x+≤,即≤x≤时, f(x)单调递减.综上可知, f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一三角函数的图象及其变换1.(2018四川德阳三校联考,5)将函数f(x)=sin 2x图象上的点保持纵坐标不变,将横坐标缩短为原来的,再将图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )A.g(x)=sinB.g(x)=sinC.g(x)=sinD.g(x)=sin答案 C2.(2017河南百校联考,6)已知将函数f(x)=tan(2<ω<10)的图象向右平移个单位后与f(x)的图象重合,则ω=( )A.9B.6C.4D.8答案 B3.(2016福建福州一中1月模拟,6)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,为了得到函数g(x)=Asin ωx的图象,只需要将y=f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 D考点二三角函数的性质及其应用4.(2018辽宁鞍山一中一模,4)函数f(x)=2sin xcos x+cos 2x图象的对称轴为( )A.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)答案 D5.(2017豫南九校2月联考,7)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x,下列结论错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)的图象关于直线x=对称C.函数f(x)在区间上是增函数D.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位长度得到答案 D6.(2017河北武邑第三次调研,4)已知函数f(x)=sin x+λcos x的图象的一个对称中心是点,则函数g(x)=λsin xcos x+sin2x的图象的一条对称轴是直线( )A.x=B.x=C.x=D.x=-答案 D7.(人教A必4,一,1-4A,3,变式)函数f(x)=sin+cos 2x的振幅和最小正周期分别是( )A.,B.,πC.,D.,π答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018河北衡水模拟,9)设函数f(x)=2cos(ωx+φ)对任意的x∈R,都有f=f,若函数g(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)+2,则g的值是( )A.2B.0C.2或4D.1或3答案 D2.(2018广东广雅中学、华东中学、河南名校第一次联考,12)已知函数f(x)=(1-2cos2x)sin-2sin xcos xcos, f(x)在上单调递增,若f≤m恒成立,则实数m的取值范围为( )A. B. C.[1,+∞) D.答案 C3.(2017山西五校3月联考,8)设k∈R,则函数f(x)=sin+k的部分图象不可能为( )答案 D4.(2017河北名校二模,8)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数ω的值为( )A. B. C.2 D.答案 C5.(2016福建龙岩一模,11)已知函数f(x)=Asin(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,△EFG是边长为2 的等边三角形,为了得到g(x)=Asin ωx的图象,只需将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案 A二、解答题(共20分)6.(2018江苏常州武进期中,15)如图为函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图象的一部分,其中点P是图象上的一个最高点,点Q是与点P相邻的与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题图可知A=2,T=4×=4π,∴ω==,故f(x)=2sin.又∵点P在函数图象上,∴2sin=2,即+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z),又∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin.(2)由(1)得, f(x)=2sin,把函数f(x)的图象沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin的图象,再把所得图象上每一点的横坐标都缩短为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin的图象,由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故g(x)的单调递增区间是(k∈Z).7.(2017山西临汾一中等五校第二次联考,17)已知函数f(x)=2sin xcos x-cos 2x(x∈R).(1)若f(α)=且α∈,求cos 2α;(2)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(3)记函数f(x)在x∈上的最大值为b,且函数f(x)在[aπ,bπ](a<b)上单调递增,求实数a的最小值.解析(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin.∵f(α)=,∴sin=,又α∈,∴2α-∈,∴cos=-.∴cos 2α=cos=-×-×=-.(2)∵f '(x)=4cos,∴f '(0)=2,又f(0)=-,∴所求切线方程为y=2x-.(3)当x∈时,2x-∈,f(x)∈[1,2],∴b=2.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).又函数f(x)在[aπ,2π](a<2)上单调递增,∴[aπ,2π]⊆,∴-+2π≤aπ<2π,∴a min=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 根据图象确定函数解析式1.(2018广东茂名化州二模,9)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,且f(α)=1,α∈,则cos=( )A.±B.C.-D.答案 C2.(2017湖北七市3月联考,6)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若x1,x2∈,x1≠x2且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=( )A.1B.C.D.答案 D方法2 三角函数的单调性问题的常见类型及解题策略3.(2017河北衡水中学三调考试,7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8,则f(x)的单调递减区间是( )A.[6kπ,6kπ+3],k∈ZB.[6kπ-3,6kπ],k∈ZC.[6k,6k+3],k∈ZD.[6k-3,6k],k∈Z答案 D方法3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性的求解方法4.(2018广东东莞二调,10)已知函数f(x)=sin x+λcos x(λ∈R)的图象关于x=-对称,若把函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴方程为( )A.x=B.x=C.x=D.x=答案 D5.(2017广东清远清城期末,9)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<,其图象相邻两条对称轴之间的距离为,且函数f是偶函数,下列判断正确的是( )A.函数f(x)的最小正周期为2πB.函数f(x)的图象关于点对称C.函数f(x)的图象关于直线x=-对称D.函数f(x)在上单调递增答案 D。
近年高考数学一轮总复习第四章三角函数题组训练26正、余弦定理理(2021年整理)
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题组训练26 正、余弦定理1．函数y＝cos(x＋错误!），x∈[0，错误!］的值域是( ）A．(－32，12] B．[－12，错误!］C．［12，错误!］D．［－错误!，－错误!］答案B解析x∈［0，错误!］,x＋错误!∈[错误!，错误!π］,∴y∈[－错误!，错误!］．2．如果｜x｜≤错误!,那么函数f（x）＝cos2x＋sinx的最小值是( )A。
错误!B．－错误!C．－1 D.错误!答案D解析f(x)＝－sin2x＋sinx＋1＝－（sinx－12）2＋错误!,当sinx＝－错误!时,有最小值,y min＝错误!－错误!＝错误!.3．（2018·湖南衡阳月考)定义运算：a＊b＝错误!例如1*2＝1,则函数f(x）＝sinx＊cosx的值域为( ）A．[－错误!，错误!] B．[－1，1］C．[错误!，1] D．[－1，错误!]答案D解析根据三角函数的周期性，我们只看在一个最小正周期内的情况即可．设x∈[0,2π],当错误!≤x≤错误!时，sinx≥cosx，f(x）＝cosx，f(x)∈[－1,错误!］,当0≤x〈错误!或错误!〈x≤2π时,cosx>sinx，f(x）＝sinx，f（x)∈[0,错误!）∪［－1，0］．综上知f(x）的值域为[－1，错误!]．4．（2018·河北石家庄一检）若函数f(x)＝错误!sin（2x＋θ）＋cos（2x＋θ）（0〈θ<π)的图像关于点(错误!,0)对称，则函数f(x)在[－错误!，错误!]上的最小值是( )A．－1 B．－3C ．－错误!D ．－错误!答案 B 解析 因为f （x)＝3sin （2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin(2x ＋θ＋错误!)，则由题意，知f （错误!)＝2sin(π＋θ＋错误!）＝0.又0<θ〈π，所以θ＝错误!,所以f （x ）＝－2sin2x ，则f （x)在[－错误!，错误!]上是减函数,所以函数f(x)在[－错误!，错误!］上的最小值为f （错误!)＝－2sin 错误!＝－错误!。
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层级快练(二十七)1.如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A ，C ，b ；②测量a ，b ，C ；③测量A ，B ，a ，则一定能确定A ，B 间的距离的所有方案的序号为( ) A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③答案 D解析 由题意可知，在①②③三个条件下三角形均可唯一确定，通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017·广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522m答案 A解析 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝AC sinB ，∴AB ＝AC·sin ∠ACBsinB ＝50×2212＝50 2 (m)．故选A.3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15米 B ．5米 C ．10米 D ．1米答案 C解析 如图所示，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h.在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC·CD cos ∠OCD ，即(3h)2＝h 2＋102－2h×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．4．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1千米B ．2sin10° 千米C ．2cos10° 千米D ．cos20° 千米答案 C解析 由题意知DC ＝BC ＝1，∠BCD ＝160°， ∴BD 2＝DC 2＋CB 2－2DC·CB·cos160° ＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°) ＝2＋2cos20°＝4cos 210°， ∴BD ＝2cos10°.5.(2017·湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以测量与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝( ) A ．5 6 B ．15 3 C ．5 2 D ．15 6答案 D解析 在△BC D 中，∠CBD ＝180°－45°＝135°. 由正弦定理得BC sin30°＝30sin135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BCtan ∠ACB ＝152×3＝15 6.故选D.6．在200 m 高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.40033 m C.20033 m D.2003 m答案 A解析 如图，在Rt △BAC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝200， ∴BC ＝AB cos30°＝40033.∵∠EBD＝30°，∠EBC ＝60°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°. 在△BDC 中，DC sin30°＝BCsin120°.∴DC ＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．7．(2018·广东佛山二模)某沿海四个城市A ，B ，C ，D 的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD ＝135°，AB ＝80 n mile ，BC ＝(40＋303) n mile ，CD ＝250 6 n mile ，D 位于A 的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从城市A 出发以50 n mile/h 的速度向城市D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________．答案6－24解析 设轮船行驶至F 时收到指令，则AF ＝50 n mile.连接AC ，CF ，过A 作AE⊥BC 于E ，则AE ＝ABsin60°＝403(n mile)，BE ＝ABcos60°＝40(n mile)，CE ＝BC －BE ＝303(n mile)，AC ＝AE 2＋CE 2＝503(n mile)，所以cos ∠ACE ＝35，sin ∠ACE ＝45，所以cos ∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝－22×35＋22×45＝210＝ACCD，所以∠CAD＝90°.因为AF ＝50 n mile ，AC ＝50 3 n mile ，可得∠AFC＝60°，所以θ＝75°－∠AFC＝15°，故sin θ＝6－24. 8．要测底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度．答案 40米解析 如图设电视塔AB 高为x ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB＝45°，得BC ＝x.在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x. 在△BDC 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC·CD·cos120°. 即(3x)2＝x 2＋402－2·x·40·cos120°， 解得x ＝40，∴电视塔高为40米．9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D. (1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414) 答案 (1)7米(2)小李的设计建造费用低，86 600元解析 (1)在△ABC 中，由余弦定理，得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB22×8×5.①在△ABD 中，由余弦定理，得cosD ＝72＋72－AB22×7×7.②由∠C＝∠D，得cosC ＝cosD. ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．(2)小李的设计建造费用较低，理由如下： S △ABD ＝12AD ·BD ·sinD ，S △ABC ＝12AC ·BC ·sinC.∵AD ·BD>AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC . 故选择△ABC 建造环境标志费用较低．∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32. ∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．10．(2017·盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N(异于村庄A)，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案 当设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小 解析 设∠AMN＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AM sin （120°－θ）.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM·MP·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3. 所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．为了测量两山顶M ，N 之间的距离，飞机沿水平方向在A ，B 两点进行测量．A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤． 答案 略解析 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1，B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d(如图所示)．②第一步：计算AM.由正弦定理，得AM ＝dsin α2sin （α1＋α2）；第二步：计算AN.由正弦定理，得AN ＝dsin β2sin （β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM×AN cos （α1－β1）.方案二：①需要测量的数据有：A 到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 点的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d(如图所示)． ②第一步：计算BM.由正弦定理，得BM ＝dsin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN ＝dsin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN.由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM×BN cos （β2＋α2）.。