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无锡大桥中学2015届九年级上期中考试数学试题及答案

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江苏省无锡市新区2015届九年级上期中考试数学试题及答案

江苏省无锡市新区2015届九年级上期中考试数学试题及答案

2014-2015学年第一学期初三数学期中试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两条弧是等弧．其中正确的有 （ ）A ．4个B ．3个C ． 2个D ． 1个2. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为 （ ）A ．()216x -= B ．()216x += C ．()229x += D ．()229x -=3. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程212350x x -+=的根，则该三角形的周长为 （ ）A ．12B ．14C ．12或14D ．以上都不对4. 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC ＝4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是 （ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交5. 如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 （ ） A.k ＞14-B. 14k ≥-且0k ≠C.k ＜14-D. k ＞14-且0k ≠6．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台。

设二三月份每月的平均增长率为x ，根据题意列出的方程是 （ ） A ．300（1+x ）2=980 B ．300（1-x ）2=980C ．300（1+x ）+300（1+x ）2=980D ．300+300（1+x ）+300（1+x ）2=9807. 如图，将量角器按所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A 、B 的读数分别为86°、30°，则∠ACB 的大小为 （ ） A ．15︒ B ．28︒ C ．29︒ D ．34︒8．如图，等边三角形ABC 的周长为6π，半径是1的⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，则⊙O 自转了 （ ）A ．2周B ． 3周C ．4周D ．5周 二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共26分）9．将一元二次方程x 2＋1=2x 化成一般形式可得 ,它的解是 ． 10．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于 .班级 姓名 学号 .……………………………………………………………装……………订……………线…………………………………………………………（第8题） O D AB C（第7题）11. 一元二次方程220x x +-=的两根之和是 ，两根之积是 .12. 方程x 2－6x +k =0的一根是4，则k = ,另一个根是______．13. 如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，若∠BAC = 24°，则∠OBC = °．14. 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 为直径，∠C =130°，则∠ADB 的度数为 ．15．如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点A ，B ，C ，其中B 点坐标为（3，4），则该弧所在圆心的坐标是 ．16．若一元二次方程ax 2=b （ab ＞0）的两个根分别是m +1与2m ﹣4，则ab= ．17. 如图，一张圆心角为45°的扇形纸板按如图方式剪得一个正方形，正方形的边长为1，则扇形纸板的面积是 .18. 如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是 .三、解答题（本大题共7小题，共50分） 19（本题满分12分，每小题3分）解下列方程： （1）042=-x x （2）x 2-8x-10=0(配方法)（3）x 2+6x －1=0 （4）2x 2+5x －3=0（第13题）OB C D A（第14题） O x y A B C（第15题）（第17题） （第18题）A BC P O 20（本题满分6分）如图，已知：⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角∠A=30°，AC ＝CP ． (1) 求证：CP 是⊙O 的切线；(2) 若PC ＝6,AB=43求图中阴影部分的面积．21（本题满分4分）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD =52°，∠ADC =26°.求∠CEB 的度数.22（本题满分4分）某商店经销一批小家电，每个小家电的成本为40元。

江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

江苏省无锡 九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.如图，CD是⊙O的直径，弦DE∥OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A.B.C.D.3.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．其中正确的有（）A. 0个B. 1个C. 2个D.3个4.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A. 6B. 5C. 4D. 35.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（）A. cmB.C. cmD. 1cm6.如图，在一幅长80cm，宽50cm的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则满足的方程是（）A. B.C. D.7.下列命题是真命题的是（）A. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线B. 经过半径外端的直线是圆的切线C. 直线上一点到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线D. 到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线8.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于（）A.B.C.D.9.如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A.B.C.D.10.如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，若AD=2，线段CP的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.已知=，则= ______ ．12.近年来全国房价不断上涨，我市2013年的房价平均每平方米为7000元，经过两年的上涨，2015年房价平均每平方米为8500元，设这两年房价的年平均增长率均为x，则关于的方程为______ ．13.若关于x的一元二次方程（k-1）x2+2x-2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．14.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA= ______ °．15.小红需要用扇形薄纸板制作成底面半径为9厘米，高为12厘米的圆锥形生日帽，如图所示，则该扇形薄纸板的圆心角为______ ．16.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是______．17.如图，平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，坐标为（a，0），半径为1，直线l为y=2x-2，若⊙A沿x轴向右运动，当⊙A与直线l有公共点时，点A横坐标a 的取值范围是______ ．18.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，点B落在点D的位置，且AD交y轴于点E，那么点D的坐标为______ ．三、解答题（本大题共10小题，共84.0分）19.（1）3y（y-1）=2（y-1）（2）（x-1）（x+2）=70（3）2y2-3=4y（配方法）20.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离EA=21米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米．请你帮助小玲计算出教学大楼的高度AB是多少米？（注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角）．21.在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．22.如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．（1）请找出该圆弧所在圆的圆心O的位置；（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：①⊙O的半径为______ （结果保留根号）；②的长为______ （结果保留π）；③试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．23.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．24.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4，以BC为直径的半圆交AB于点D，以A为圆心，AC为半径的扇形交AB 于点E．（1）以BC为直径的圆与AC所在的直线有何位置关系？请说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．25.某公司销售一种进价为20（元/个）的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）之间为一次函数关系，其变化如下表：40万元的净利润，且尽可能让顾客得到实惠，那么销售价格应定为多少？（注：净利润=总销售额-总进价-其他开支）26.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC 内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．27.如图1，小红将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=15，AD=12．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E 点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2）求FB的长度；（2）在（1）的条件下，小红想用△EFG包裹矩形ABCD，她想了两种包裹的方法如图3、图4，请问哪种包裹纸片的方法使得未包裹住的面积大？（纸片厚度忽略不计）请你通过计算说服小红．28.对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C 在点D的左侧．（1）当r=4时，①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是______；②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为______；（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是______．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、由原方程得到2x+1=0，即未知数的最高次数是1．故本选项错误；B、当a=0时．该方程不是一元二次方程．故本选项错误；C、由原方程得到x2-x-1=0，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；D、该方程中含有两个未知数．故本选项错误；故选C．本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．本题考查了利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2.【答案】A【解析】解：∵DE∥OA，∴∠AOD=∠D=50°，∴∠C=∠AOD=25°，故选：A．根据平行线的性质可得∠AOD=∠D，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.【答案】D【解析】解：∵等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，∴DE=1，DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE：AB=1：2，∴△CDE的面积与△CAB的面积之比为1：4．故选D．由题意即可推出DE∥AB，推出DE=1，△CDE∽△CAB，△CDE的面积与△CAB 的面积之比为相似比的平方，即为1：4．本题主要考查相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理，关键在于推出DE∥AB．4.【答案】B【解析】解：过O作OC⊥AB于C，∵OC过O，∴AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．故选：B．过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC即可．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长．5.【答案】A【解析】解：连接AC，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∠ABC==120°，∴∠ABD=×120°=60°，∴∠BAD=30°，AD=AB•cos30°=2×=，∴a=2cm．故选A．连接AC，作BD⊥AC于D；根据正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由特殊角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．6.【答案】B【解析】解：依题意，设金色纸边的宽为xcm，则（80+2x）（50+2x）=5400．故选：B．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（树叶画的长+2个纸边的宽度）×（树叶画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．7.【答案】D【解析】解：A、应经过此半径的外端，故本选项错误；B、应该垂直于此半径，故本选项错误．C、应是圆心到直线的距离等于圆的半径，故本选项错误；D、根据切线的判定方法，故本选项正确；故选D．要正确理解切线的定义：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线．掌握切线的判定：①经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线，是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是该圆的切线．本题考查了命题和定理，知识点有：切线的判定方法．8.【答案】D【解析】解：∵∠C=∠E，且∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴=，∵BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，AD=4，∴=，解得DE=，故选：D．由条件可证明△BDE∽△ADC，且可求得BD和DC的长度，利用相似三角形的对应边的比相等可求得DE．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．9.【答案】B【解析】解：小正方形的面积是：1；当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是．则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×（1-）=4-π．故选：B．这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差的4倍．本题主要考查了轨迹、正方形和圆的面积的计算公式，正确记忆公式是关键．10.【答案】B【解析】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，∴DE=CF，在△ADE和△DCF中，，∴∠DAE=∠CDF，∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴∠ADF+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，则OP=AD=×2=1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO===，所以，CP=CO-OP=-1．故选B．根据点E、F的运动速度判断出DE=CF，然后利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠CDF，然后求出∠APD=90°，取AD的中点O，连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到AD的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，然后根据勾股定理列式求出CO，再求解即可．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到AD的中点的距离是定值是解题的关键，也是本题的难点．11.【答案】【解析】解；由=，得=．由合比性质，得=．=，故答案为：．根据比例的性质，可得y：x的值，再根据倒数的意义，可得答案．本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单12.【答案】7000（1+x）2=8500【解析】解：设这两年房价的年平均增长率均为x，根据题意，可列方程：7000（1+x）2=8500，故答案为：7000（1+x）2=8500．由于设这两年房价的平均增长率均为x，那么2014年房价平均每平方米为7000（1+x）元，2015年的房价平均每平方米为7000（1+x）（1+x）元，然后根据2015年房价平均每平方米为8500元即可列出方程．此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．13.【答案】k＞且k≠1【解析】解：根据题意得k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，解得：k＞且k≠1．故答案为：k＞且k≠1．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14.【答案】67.5【解析】解：∵PD切⊙O于点C，∴∠OCD=90°；又∵CO=CD，∴∠COD=∠D=45°；∴∠A=∠COD=22.5°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∵OA=OC，∴∠A=∠ACO=22.5°（等边对等角），∴∠PCA=180°-∠ACO-∠OCD=67.5°．故答案是：67.5°．根据切线的性质知∠OCD=90°，然后在等腰直角三角形OCD中∠COD=∠D=45°；再由圆周角定理求得∠ACO=22.5°；最后由平角的定义即可求得∠PCA的度数．本题考查了圆的切线．解题的关键是根据切线的定义推知∠OCD=90°．15.【答案】216°【解析】解：母线长==15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，所以2π•9=，解得n=216，即该扇形薄纸板的圆心角为216°．故答案为216°．利用勾股定理计算出母线长=15，设该扇形薄纸板的圆心角为n°，利用弧长公式得到2π•9=，解得n=216．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．16.【答案】4π【解析】解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案为：4π．弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．17.【答案】1-≤a≤1+【解析】解：如图：当⊙A在直线L的左侧，⊙A与直线L相切时，△BOD∽△ABC，∵直线l为y=2x-2，∴B（1，0），D（0，-2），∴OB=1，OD=2，∴，即，∴BC=，∴AB=，当⊙A在直线L的右侧，⊙A与直线L相切时，同理A′B=，∴A横坐标a的取值范围是1-≤a≤1+，故答案为：1-≤a≤1+．根据⊙A与L有公共点从左相切开始，到相交，到右相切，所以A移动的距离是左相切到右相切时的距离．此题主要考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系，关键是知道点A 移动距离．18.【答案】（-，）【解析】解：如图，过D作DF⊥AF于F，∵点B的坐标为（1，3），∴AO=1，AB=3，根据折叠可知：CD=OA，而∠D=∠AOE=90°，∠DEC=∠AEO，∴△CDE≌△AOE，∴OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，∴在Rt△DCE中，CE2=DE2+CD2，∴（3-x）2=x2+12，∴x=．又DF⊥AF，∴DF∥EO，∴△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，∴AE=CE=3-=，∴==，即==．∴DF=，AF=．∴OF=-1=．∴点D的坐标为（-，）．故答案为：（-，）．如图，过D作DF⊥AF于F，根据折叠可以证明△CDE≌△AOE，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE，OA=CD=1，设OE=x，那么CE=3-x，DE=x，利用勾股定理即可求出OE的长度，而利用已知条件可以证明△AEO∽△ADF，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度，也就求出了D的坐标．此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．19.【答案】解：（1）∵3y（y-1）=2（y-1），∴（y-1）（3y-2）=0，∴y-1=0或3y-2=0，∴y1=1，y2=；（2）∵（x-1）（x+2）=70，∴x2+x-2=70，∴x2+x-72=0，∴（x+9）（x-8）=0，∴x+9=0或x-8=0，∴x1=-9，x2=8；（3）∵2y2-3=4y，∴2（y2-2y+1-1）-3=0，∴2（y-1）2=5，y=1±，y1=1+，y2=1-．【解析】（1）移项将方程右边化简为0，然后在提取公因式即可求解；（2）将方程左边去括号然后再化简成x2+x-72=0，利用因式分解即可求解；（3）移项然后在利用配方法即可求解．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20.【答案】解：根据题意可得：∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE=90°，（2分）∴△ABE∽△CDE，（5分）∴，（7分）∴，（8分）∴AB=13.44（米）．（11分）答：教学大楼的高度AB是13.44米．（12分）【解析】根据反射定律，∠1=∠2，又因为FE⊥EC，所以∠3=∠4，再根据垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．21.【答案】解：∵关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，∴△=（b+2）2-4（6-b）=0，即b2+8b-20=0；解得b=2，b=-10（舍去）；①当a为底，b为腰时，则2+2＜5，构不成三角形，此种情况不成立；②当b为底，a为腰时，则5-2＜5＜5+2，能够构成三角形；此时△ABC的周长为：5+5+2=12；答：△ABC的周长是12．【解析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=0，据此可求出b的值；进而可由三角形三边关系定理确定等腰三角形的三边长，即可求得其周长．此题考查了根与系数的关系、等腰三角形的性质及三角形三边关系定理；在求三角形的周长时，不能盲目的将三边相加，而应在三角形三边关系定理为前提条件下分类讨论，以免造成多解、错解．22.【答案】2；π【解析】解：（1）如图所示：连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心；（2）①在Rt△OCF中，∵CF=2，OF=4，∴OC===2；②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2，∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，∴∠AOG+∠COF=90°，∴∠AOC=90°，∴===π；③直线DC与⊙O相切．理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=，CO=2，DO=5，∴CD2+CO2=25=DO2．∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．∴CD与⊙O相切．（1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出的度数；③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．23.【答案】（1）证明：连接OA．∵AE是⊙O切线，∴OA⊥AE，∴∠OAE=90°，∴∠EAD+∠OAD=90°，∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，∴∠EAD+∠ADE=90°，∴∠AED=90°，∴AE⊥CD；（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四边形AOFE是矩形．∴OF=AE=4cm．又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm．在Rt△ODF中，OD==5cm，即⊙O的半径为5cm．【解析】（1）欲证明AE⊥CD，只要证明∠EAD+∠ADE=90°即可；（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE，根据垂径定理得出DF=CD，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．24.【答案】解：（1）相切，理由是：∵∠ACB=90°，BC为半圆的直径，∴以BC为直径的圆与AC所在的直线相切；（2）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠A=90°-30°=60°，AC=AB=×4=2，由勾股定理得：BC==2，∴S阴影=S半圆-（S△ABC-S扇形AEC），=π-×2×+，=-2，答：图中阴影部分的面积是-2．【解析】（1）切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，满足这两个条件，则与圆相切；（2）先根据条件求直角三角形的各边长和锐角∠A的度数，再利用差求阴影部分的面积．本题考查了直线和圆的位置关系、勾股定理及扇形的面积，属于常考题型，难度不大；熟练掌握直线和圆的位置关系，在求阴影部分面积时，要注意利用和或差来求解．25.【答案】解：设y与x的解析式为：y=ax+b，则，解得：，∴y=-0.1x+8，根据题意，得：（x-20）（-0.1x+8）-40=40，∴x1=40，x2=60，∵尽可能让顾客得到实惠，∴价格应定为40元．答：价格应定为40元．【解析】设y与x的解析式为：y=ax+b，将表格中的数代入解析式，求出a、b的值，求出解析式，然后表示出利润，根据利润为40万元，求出销售价格．本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．26.【答案】解：（1）设运动的时间为t秒，由勾股定理得，OC==10，当CQ=CP时，2t=10-4t，解得，t=，此时CP=2×=，∴AP=8-=，P点坐标为（，6），当PC=PQ时，如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．∵△CEQ∽△CAO，∴EQ=CQ=（10-4t）=6-t，PE=（10-4t）-2t=8-t-2t=8-t，由勾股定理得，（6-t）2+（8-t）2=（2t）2，整理得：36t2-140t+125=0，解得，t1=，t2=（舍去），此时，AP=8××2=，∴P点坐标为（，6），当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，CQ=10-4t，CP=2t，∵△CFQ∽△CAO，∴QF═（10-4t）=6-t，PF=2t-（10-4t）=t-8，则（6-t）2+（t-8）2=（10-4t）2，整理得，21t2-40t=0，解得，t1=，t2=0（舍去），此时，AP=8-×2=，则P点坐标为（，6），综上所述，P点坐标为（，6），（，6），（，6）；（2））如图③，连接EG，由题意得：△AOE≌△AFE，∴∠EFG=∠OBC=90°，∵E是OB的中点，∴EG=EG，EF=EB=4，在Rt△EFG和Rt△EBG中，，∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，∴△AOE∽△AEG，∴AE2=AO•AG，即36+16=6×AG，解得，AG=，由勾股定理得，CG==，∴BG=6-=，G的坐标为（8，）．【解析】（1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．27.【答案】解：（1）∵BE=AB=15，在直角△BCE中，CE===9∴DE =6，∵∠EAD +∠BAE =90°，∠BAE =∠BEF ，∴∠EAD +∠BEF =90°，∵∠BEF +∠F =90°，∴∠EAD =∠F∵∠ADE =∠FBE∴△ADE ∽△FBE ，∴ ，， ∴BF =30；（2）①如图1，将矩形ABCD 和直角△FBE 以CD 为轴翻折，则△AMH 即为未包裹住的面积，∵Rt △F ′HN ∽Rt △F ′EG ，∴ ′ ′ = ，即 ，解得：HN =3，∴S △AMH = •AM •MH = ×12×24=144； ②如图2，将矩形ABCD 和Rt △ECF 以AD 为轴翻折，∵Rt △GBE ∽Rt △GB ′C ′，∴ ′ ′ ′，即′ ′ ，解得：GB ′=24， ∴S △B ′C ′G = •B ′C ′•B ′G = ×12×24=144， ∴按照两种包裹方法的未包裹面积相等．【解析】（1）先证明△ADE ∽△FBE ，利用相似的性质得BF ；（2）①利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果；②利用相似三角形的判定，证明Rt △F′HN ∽Rt △F′EG ，利用相似三角形的性质，求得HN ，利用三角形的面积公式得结果．本题主要考查了相似三角形的判定和性质及翻折变化，以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形是解答此题的关键．28.【答案】P 2，P 3；（4，-2）或P （-4，6）；0＜r ＜ 或r ＞2 +2【解析】解：（1）①连接AC和BD，交于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴M到正方形ABCD四条边距离都相等∴⊙P一定通过点M，∵A（2，4）∴M（0，2）设⊙P的圆心坐标是（x，y），∴r=4时，∴x2+（y-2）2=（4）2，即，x2+（y-2）2=32，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，只有P2，P3成立，∴可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2，P3，故答案为：P2，P3；②∵点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，∴把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，得x2+x2=32，解得x=±4，∴y=-2或6，∴P（4，-2）或P（-4，6）．故答案为：（4，-2）或P（-4，6）．（2）如下图：①∵⊙P同时为正方形ABCD与正方形EFGH的“等距圆”，∴⊙P同时过正方形ABCD的对称中心E和正方形EFGH的对称中心I．∴点P在线段EI的中垂线上．∵A（2，4），正方形ABCD的边CD在x轴上；F（6，2），正方形EFGH的边HE 在y轴上，∴E（0，2），I（3，5）∴∠IEH=45°，设线段EI的中垂线与y轴交于点L，与x轴交于点M，∴△LIE为等腰直角三角形，LI⊥y轴，∴L（0，5），∴△LOM为等腰直角三角形，LO=OM∴M（5，0），∴P在直线y=-x+5上，∴设P（p，-p+5）过P作PQ⊥直线BC于Q，连结PE，∵⊙P与BC所在直线相切，∴PE=PQ，∴p2+（-p+5-2）2=（p+2）2，解得：P1=5+2，P2=5-2，∴P1（5+2，-2），P2（5-2，2），∵⊙P过点E，且E点在y轴上，∴⊙P在y轴上截得的弦长为2|-2-2|=4或2|2-2|=4-4．②如图2，连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HF所在的直线为：y=-x+8，DT所在的直线为：y=x-2，∴T（5，3），∵D（2，0），∴DT==3，∵DE=DE1∴DT-DE=DT-DE=3-2=，1∴当0＜r＜时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．∵HE2=HD+DE2，DE2=DE，∴HE=HD+DE=+2=2+2，2∴当r＞2+2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．综上可知当0＜r＜或r＞2+2时线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，故答案为：0＜r＜或r＞2+2．（1）①连接AC和BD，交于点M，设⊙P的圆心坐标是（x，y），列出圆心到M的关系式，把P1（0，-3），P2（4，6），P3（4，2）代入，看是否成立来逆定，②把y=-x+2代入x2+（y-2）2=32，求出x和y的值，再写出坐标．（2）①先求出△LIE为等腰直角三角形，得到L（0，5），进而得出△LOM为等腰直角三角形，设P（p，-p+5）据关系列出方程求了圆心，的坐标，最后得出弦长．②连接DH，作DT⊥HF，以D为圆心，DE为半径作圆，交DT于点E1，交HD于E2，当0＜r＜DT-DE1时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．当r＞HE2时，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心．据此求解．本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．此外对本题中的“等距圆”的定义正确理解也是解题的关键．。

江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷

江苏省无锡市九年级(上)期中数学试卷

江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程①7x2﹣8x=1 ②2x2﹣5xy+6y2=0 ③5x2﹣﹣1=0 ④=3y中是一元二次方程的为（）A．①②B．①③C．①④D．①②③2．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程中两根之和等于1的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x=﹣1 C．x2﹣x﹣100=0 D．3．（3分）（2015秋•无锡期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定4．（3分）（2010•芜湖）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠55．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：3 6．（3分）（2011•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对7．（3分）（2015秋•无锡期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（）A．6 B．2 C．2或3 D．4或68．（3分）（2016•湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定10．（3分）（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是______．12．（2分）（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=______．13．（2分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是______．14．（2分）（2011秋•香河县期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值等于______．15．（2分）（2015秋•宜兴市校级期末）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b=______．16．（2分）（2011•津南区一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为______cm．17．（2分）（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是______cm．18．（2分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为______．三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19．（16分）（2015秋•无锡期中）用适当的方法解下列方程（1）4x2﹣1=0（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x2﹣2x﹣3=0．20．（8分）（2015秋•揭阳校级期末）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．21．（8分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______；（3）△A2B2C2的面积是______平方单位．22．（8分）（2015秋•无锡期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．（1）求⊙O的半径；（2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围．23．（8分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．24．（8分）（2015秋•无锡期中）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？25．（8分）（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．26．（10分）（2002•陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1______S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画______个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出______个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．（10分）（2015•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．江苏省无锡市九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个符合题意）1．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程①7x2﹣8x=1 ②2x2﹣5xy+6y2=0 ③5x2﹣﹣1=0 ④=3y中是一元二次方程的为（）A．①②B．①③C．①④D．①②③【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：①7x2﹣8x=1是一元二次方程，②2x2﹣5xy+6y2=0 是二元二次方程，③5x2﹣﹣1=0是分式方程，④=3y是一元二次方程，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．（3分）（2015秋•无锡期中）下列方程中两根之和等于1的是（）A．x2+x+1=0 B．x2﹣x=﹣1 C．x2﹣x﹣100=0 D．【分析】根据根的判别式对A、B、D进行判断；根据根与系数的关系对C进行判断．【解答】解：A、△=12﹣4×1＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、x2﹣x+1=0，△=（﹣1）2﹣4×1＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、x1+x2=1，所以C选项正确；D、△=12﹣4×＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．3．（3分）（2015秋•无锡期中）在平面直角坐标系中，以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），则点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．无法确定【分析】由已知条件可知圆的半径为4，再根据勾股定理可求出OB的长，和圆的半径4比较大小即可判断点B和⊙O的位置关系．【解答】解：∵以O为圆心的圆过点A（0，﹣4），∴圆的半径r=4，∵点B（﹣2，3），∴OB==＜4，∴点B（﹣2，3）与⊙O的位置关系是在圆内，故选A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．4．（3分）（2010•芜湖）关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．5．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，△ABC中，DE∥BC，且DE：BC=2：3，则下列结论一定正确的是（）A．AD：DE=2：3 B．AD：BD=2：3 C．AD：AE=2：3 D．AD：AB=2：3 【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∴AD：AB=2：3，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，由平行线得出比例式是解题的关键．6．（3分）（2011•海南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD，所以有三对相似三角形．故选C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．7．（3分）（2015秋•无锡期中）已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（）A．6 B．2 C．2或3 D．4或6【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；②当点在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点M在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，∴直径AB=1+5=6，∴半径r=3；②当点M在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离MB=1，最大距离MA=5，∴直径AB=5﹣1=4，∴半径r=2．故选C．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．8．（3分）（2016•湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．9．（3分）（2015秋•无锡期中）如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在弧MN上，且不与M，N重合，当P点在弧MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则PA2+PB2的值（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定【分析】连接OP，根据勾股定理以及矩形的性质定理即可求解．【解答】解：∵直角△PAB中，AB2=PA2+PB2，又∵矩形PAOB中，OP=AB，∴PA2+PB2=AB2=OP2．故选C．【点评】本题考查的是圆的认识，涉及到矩形的性质定理以及勾股定理，正确作出辅助线是关键．10．（3分）（2012•南京）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D 分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．【分析】首先延长DC与A′D′交于点M，由四边形ABCD是菱形与折叠的性质，易求得△BCM是等腰三角形，△D′FM是含30°角的直角三角形，然后设CF=x，D′F=DF=y，利用正切函数的知识，即可求得答案．【解答】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M=30°，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tanM=tan30°==，∴x=y，∴==．故选：A．【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．二、仔细填一填（本大题共8小题，每空2分，共16分）11．（2分）（2015•东莞）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．12．（2分）（2015•兰州）如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=3．【分析】根据等比性质，可得答案．【解答】解：由等比性质，得k===3，故答案为：3．【点评】本题考查了比例的性质，利用了等比性质：===k⇒k==．13．（2分）（2014•泰州一模）某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20%．【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故25（1﹣x）2=16，解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），故该药品平均每次降价的百分率为20%．【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．14．（2分）（2011秋•香河县期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）=5，则x2+y2的值等于4．【分析】首先把x2+y2当作一个整体，设x2+y2=k，方程即可变形为关于k的一元二次方程，解方程即可求得k即x2+y2的值．【解答】解：设x2+y2=k∴（k+1）（k﹣3）=5∴k2﹣2k﹣3=5，即k2﹣2k﹣8=0∴k=4，或k=﹣2又∵x2+y2的值一定是非负数∴x2+y2的值是4．故答案为：4．【点评】此题注意把x2+y2看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．15．（2分）（2015秋•宜兴市校级期末）若a，b是方程x2+x﹣2015=0的两实数根，则a2+2a+b= 2014．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b可化为a2+a+a+b=2015+a+b，然后利用根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2015+a+b，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=2015+（﹣1）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．16．（2分）（2011•津南区一模）如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为cm．【分析】已知小正方形的面积即可求得边长，在直角△ACE中，利用勾股定理即可求解．【解答】解：如图，圆心为A，设大正方形的边长为2x，圆的半径为R，∵正方形有两个顶点在半圆上，另外两个顶点在圆心两侧，∴AE=BC=x，CE=2x；∵小正方形的面积为16cm2，∴小正方形的边长EF=DF=4，由勾股定理得，R2=AE2+CE2=AF2+DF2，即x2+4x2=（x+4）2+42，解得，x=4，∴R=4cm，故答案为：4【点评】本题考查了勾股定理的运用和正方形的性质，解题的关键是正确的做出辅助线构造直角三角形．17．（2分）（2015•永春县校级自主招生）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是cm．【分析】本题的综合性质较强，根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质可知．【解答】解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，则四边形AECB是矩形，CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，∵∠AOD=90°，AO=OD，所以△AOD是等腰直角三角形，AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°∴∠ODC+∠OAB=90°，∵∠ODC+∠DOC=90°，∴∠DOC=∠BAO，∵∠B=∠C=90°∴△ABO≌△OCD，∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，得AD=2cm，∴AO=OD=2cm，S△AOD=AO•DO=AD•OF，∴OF=cm．【点评】本题利用了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形的性质求解．18．（2分）（2015•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案．【解答】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°，当PM⊥AB时，PM最短，因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3），在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB==5，∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7，∴△PBM∽△ABO，∴=，即：，所以可得：PM=．【点评】本题主要考查了垂线段最短，以及三角形相似的性质与判定等知识点，是综合性比较强的题目，注意认真总结．三、精心做一做（本大题共9小题，满分84分）19．（16分）（2015秋•无锡期中）用适当的方法解下列方程（1）4x2﹣1=0（2）x2﹣4x+1=0（配方法）（3）5（x+2）=4x（x+2）（4）x2﹣2x﹣3=0．【分析】（1）通过移项，化二次项系数为1，利用直接开平方法解方程；（2）解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数；（3）方程移项分解后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（4）等式的左边利用“十字相乘法”进行因式分解．【解答】解：（1）由原方程，得4x2=1，x2=，解得x1=，x2=﹣；（2）方程变形得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=3，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，则x1=2+，x2=2﹣．（3）移项得：5（x+2）﹣4x（x+2）=0，分解因式得：（5﹣4x）（x+2）=0，可得5﹣4x=0或x+2=0，解得：x1=，x2=﹣2．（4）x2﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，则x﹣3=0或x+1=0，解得x1=3，x2=﹣1．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．20．（8分）（2015秋•揭阳校级期末）已知x=﹣1是方程x2+mx﹣5=0的一个根，求m的值及方程的另一个根．【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=﹣1代入关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根．【解答】解：设方程的另一根为x2．∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根是﹣1，∴x=﹣1满足关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0，∴（﹣1）2﹣m﹣5=0，解得m=﹣4；又由韦达定理知﹣1×x2=﹣5，解得x2=5．即方程的另一根是5．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．21．（8分）（2015•枣庄）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0）；（3）△A2B2C2的面积是10平方单位．【分析】（1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．【解答】解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为：（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：×20=10平方单位．故答案为：10．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及平移的性质和三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．22．（8分）（2015秋•无锡期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3．（1）求⊙O的半径；（2）若点P是AB上的一动点，试求线段OP的取值范围．【分析】（1）作OC⊥AB于点C，构造直角三角形，利用勾股定理求得半径即可；（2）最长等于半径，最小等于弦心距．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，∵圆心O到AB的距离为3，∴OC=3，∵弦AB的长为8，∴AC=BC=4，∴OA==5，∴⊙O的半径为5；（2）∵点P是AB上的一动点，∴3≤PO≤5．【点评】本题考查了垂径定理的知识，平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，需要同学们熟练掌握．23．（8分）（2015•泰安）如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．【分析】（1）易证∠APD=∠B=∠C，从而可证到△ABP∽△PCD，即可得到=，即AB•CD=CP•BP，由AB=AC即可得到AC•CD=CP•BP；（2）由PD∥AB可得∠APD=∠BAP，即可得到∠BAP=∠C，从而可证到△BAP∽△BCA，然后运用相似三角形的性质即可求出BP的长．【解答】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴=，∴AB•CD=CP•BP．∵AB=AC，∴AC•CD=CP•BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴=．∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把证明AC•CD=CP•BP转化为证明AB•CD=CP•BP是解决第（1）小题的关键，证到∠BAP=∠C进而得到△BAP∽△BCA是解决第（2）小题的关键．24．（8分）（2015秋•无锡期中）万圣节两周前，某商店购进1000个万圣节面具，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；随着万圣节的临近，预计第二周若按每个10元的价格销售可售出400个，但商店为了尽快减少库存，决定单价降价x元销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价）；节后，商店对剩余面具清仓处理，以第一周售价的四折全部售出．（1）当单价降低2元时，计算第二周的销售量和售完这批面具的总利润；（2）如果销售完这批面具共获利1300元，问第二周每个面具的销售价格为多少元？【分析】（1）第二周的销售量=400+100x．利润=售价﹣成本价；（2）根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．【解答】解：（1）第二周的销售量为：400+100x=400+100x=400+100×2=600．总利润为：200×（10﹣6）+（8﹣6）×600+200（4﹣6）=1600．答：当单价降低2元时，第二周的销售量为600和售完这批面具的总利润1600；（2）由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（400+100x）+（4﹣6）[（1000﹣200）﹣（400+100x）]=1300，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=3；x2=﹣1（舍去），∴10﹣3=7（元）．答：第二周的销售价格为7元．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．25．（8分）（2014•防城港）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“边角边”证明△ABM 和△BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，从而得到MN∥BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根据相似三角形对应边成比例可得=，从而得到=，即可得解．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠ABC=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，（1）求出两个三角形全等是解题的关键，（2）根据相似于同一个三角形的两个三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解题的关键．26．（10分）（2002•陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1=S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画1个，利用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出3个，利用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？【分析】（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．【解答】解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，∴L1=+2a；L2=+2b；L3=+2c．∵L1﹣L2=2（a﹣b）而a﹣b＞0，ab﹣s＞0，ab＞0∴L1﹣L2＞0，∴L1＞L2，同理可得L2＞L3∴以AB为边长的矩形周长最小．【点评】注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．27．（10分）（2015•南通）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P，Q分别在BC，AC上，CP=3x，CQ=4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．（1）求证：PQ∥AB；（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定定理得出△PQC∽△BAC，由相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出结论；（2）连接AD，根据PQ∥AB可知∠ADQ=∠DAB，再由点D在∠BAC的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB，故∠ADQ=∠DAQ，AQ=DQ．在Rt△CPQ中根据勾股定理可知，AQ=12﹣4x，故可得出x的值，进而得出结论；（3）当点E在AB上时，根据等腰三角形的性质求出x的值，再分0＜x≤；＜x＜3两种情况进行分类讨论．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=15，BC=9，∴AC===12．∵==，==，∴=．∵∠C=∠C，∴△PQC∽△BAC，∴∠CPQ=∠B，∴PQ∥AB；（2）解：连接AD，∵PQ∥AB，∴∠ADQ=∠DAB．∵点D在∠BAC的平分线上，∴∠DAQ=∠DAB，∴∠ADQ=∠DAQ，∴AQ=DQ．在Rt△CPQ中，PQ=5x，∵PD=PC=3x，∴DQ=2x．∵AQ=12﹣4x，∴12﹣4x=2x，解得x=2，∴CP=3x=6．（3）解：当点E在AB上时，∵PQ∥AB，∴∠DPE=∠PGB．∵∠CPQ=∠DPE，∠CPQ=∠B，∴∠B=∠PGB，∴PB=PG=5x，∴3x+5x=9，解得x=．①当0＜x≤时，T=PD+DE+PE=3x+4x+5x=12x，此时0＜T≤；②当＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥FQ，垂足为H，∴HG=DF，FG=DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，∴==．∵PG=PB=9﹣3x，∴==，∴GH=（9﹣3x），PH=（9﹣3x），∴FG=DH=3x﹣（9﹣3x），∴T=PG+PD+DF+FG=（9﹣3x）+3x+（9﹣3x）+[3x﹣（9﹣3x）]=x+，此时，＜T＜18．∴当0＜x＜3时，T随x的增大而增大，∴T=12时，即12x=12，解得x=1；T=16时，即x+=16，解得x=．∵12≤T≤16，∴x的取值范围是1≤x≤．【点评】本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。

江苏省无锡大桥中学2015届九年级上期中考试数学试题及答案

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ABCO（第6题图）2014~2015学年度第一学期期中考试初三数学面卷一、选择题1．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =2．若关于x 的方程022=+-n x x 无实数根，则一次函数n x n y --=)1(的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；（6）方程x 2＋4x ―1＝0的两个实数根的和为4．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 （ ） A ． 9B ． 11C ．13D ． 11或135． 如图，AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，∠BOC =70°，则∠ABD =（ ） A ．20°B ．46°C ．55°D ．70°6．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°7．关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．−18．在平面直角坐标系中，以点（3，－5）为圆心，r 为半径的圆上有且仅有两点到x 轴所在直线 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是( ) A ．r>4B ．0<r<6C ．4≤r<6D ．4<r<69．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB =PB =1，OA 绕点O 逆时针方向旋转 60°到OD ，则PD 的长为（ ）A ．7B ．231C ．5D ．22 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。

苏科版2015九年级上期中考试数学试题(含答案)

苏科版2015九年级上期中考试数学试题(含答案)

第一学期初三数学期中考试试卷注意事项：1．本试卷共6页，全卷满分130分，考试时间为120分钟． 2．考生答题全部答在答题卷上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．四个选项中，只有一项是正确的）1．若等腰三角形的两边长为3、6，则它的周长为 （ ） A ．12 B ．15 C ．12或15 D ．以上都不对 2．下列说法正确的是 （ ） A ．形状相同的两个三角形是全等三角形 B ．面积相等的两个三角形是全等三角形 C ．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形 D ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形3．下列四种说法：① 矩形的两条对角线相等且互相垂直；② 菱形的对角线相等且互相平分； ③ 有两边相等的平行四边形是菱形； ④ 有一组邻边相等的菱形是正方形．其中正确的有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4. 已知一组数据：15，13，16，17，14，则这组数据的极差与方差分别是 （ ） A ．4，3 B ．3，3C ．3，2D ．4，25．若1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞1B ．x ≥1C ．x ≤1D ．1≠x6. 下列方程是一元二次方程的是 （ ）A ．2)1(x x x =- B ．02=++c bx ax C ．01122=++xx D ．012=+x 7．下列一元二次方程中，有实数根的是 （ ）A ．x 2－x ＋1=0B ．x 2－2x+3= 0C ．x 2+x －1=0D ． x 2＋4=0 8．在一幅长为80cm 、宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩 形挂图．如右图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是 （ ）A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --= D ．2653500x x --=9．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点P 在BC 上，点Q 在CD 上，若∠PAQ=450，那么△PCQ 的周长为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．510．如图，平行四边形ABCD 中，AB ∶BC =3∶2，∠DAB =60°，E 在AB 上，且AE ∶EB =1∶2，F 是BC 的中点，过D 分别作DP ⊥AF 于P ，DQ ⊥CE 于Q ，则DP ∶DQ 等于 （ ）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分共16分）11．若等腰三角形的一个角为1000，则其余两个角为_____________．12．如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么图中共有 对全等三角形．13．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于O ．如果090=∠+∠ADO ABO ，那么平行四边形ABCD 一定是_____形．14．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 交BD 于O ，AB =8， E 是CD 的中点，则OE 的长等于 ．15．如图，△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC = °． 16．若一等腰梯形的对角线互相垂直，且它的高为5，则该梯形的面积为________． 17．若关于x 的方程042=+-mx x 有两个相等的实数根，则m =________．18．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（5，3），且这3点是一个平行四边形的顶点，请写出第四点D 的坐标为 ．三、解答题（本大题共10小题，共84分）19．（本题满分8分）计算：（1）21)1(320-++-π （2） 22523352-33）（）（+20. （本题满分8分） 解方程：（1）0232=-+x x （用公式法） （2） 01432=-+x x （用配方法）21．（本题满分10分）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，在①AB ∥CD ；②AO ＝CO ；③AD＝BC 中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD 是平行四边形”为结论构成命题．（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例； （2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）OD BA22．（本题满分9分）甲、乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下： 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179； 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180； （1）将下表填完整：（2）甲队队员身高的平均数为______厘米，乙队队员身高的平均数为______厘米；（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由．23．（本题满分8分）如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根是x 1、x 2，那么利用公式法写出两个根x 1、x 2，通过计算可以得出：x 1+x 2=ab -，x 1x 2=a c．由此可见，一元二次方程两个根的和与积是由方程的系数决定的．这就是一元二次方程根与系数的关系．请利用上述知识解决下列问题： （1）若方程2x 2-4x-1=0的两根是x 1、x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=______．（2）已知方程x 2-4x+c=0的一个根是32+，请求出该方程的另一个根和c 的值．24．（本题满分8分）如图，将矩形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C ’，BC 交AD 于E ， （1）试判断△BDE 的形状，并说明理由； （2）若AB=3，BC=5，试求△BDE 的面积．25．（本题满分6分）已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x 。

江苏省无锡大桥中学2014-2015学年八年级上期中考试数学试题

江苏省无锡大桥中学2014-2015学年八年级上期中考试数学试题

2014～2015学年第一学期期中试卷初 二 数 学一、选择题1.下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.在14.3722-3030030003.076433，，，，，π-中，无理数的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个3.如图，∠CAB=∠DBA ，再添一个条件，不一定能判定△ABC ≌△BAD 的是( ) ）A. AC=BDB. ∠1=∠2C. AD=BCD. ∠C=∠D4.下列命题中，正确的是（ ） A. 有理数和数轴上的点一一对应 B. 到角两边距离相等的点在这个角的平分线上C. 全等的两个图形一定成轴对称D. 实数不是有理数就是无理数5.将△ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合．已知AC=5cm ，△ADC 的周长为17cm ，则BC 的长为（ ）A. 7cmB. 10cmC. 12cmD. 22cm6.已知等腰三角形的两边长分别为b 、a ，且b 、a 满足0)1332(5322=-+++-b a b a 则此等腰三角形的周长为（ ）A. 7或8B. 6或10C. 6或7D. 7或107.如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是（ ） A. 15+ B. 15+- C. 15- D. 58.如图，已知等腰△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP=OC ，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC 是等边三角形；③AC=AO+AP ；④AOCP ABC 四边形S S =∆．其中正确的为（ ）．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④二、填空题9.16的平方根是_____；_____的立方根是21-；立方根等于本身的数为_________. 10.奥运会火炬接力活动的传递总路程约为137000000米，这个数保留两个有效数字并用科学记数法表示约为_____________米,该近似数精确到_________位.11.（1）在实数范围内因式分解：x x 53-=____________；（2）若3-<x ，则化简22)3()2(+--x x 为________. 第3题 第5题第8题 第7题12.(1)若等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为______________度；（2)若直角三角形两边长为3和4，则斜边上的中线为____________． 13.如图，△OAD ≌△OBC ，且∠O=72°，∠C=20°，则∠AEB=_____度.14.如图，a ∥b ，点A 在直线a 上，点C 在直线b 上，∠BAC=90°，AB=AC ，若∠1=20°，则∠2的度数为______度.15.如图，OP 平分∠AOB ，PB ⊥OB ，OA=8cm ，PB=3cm ，则△POA 的面积等于______cm 2 .16.如图，一圆柱高8cm ，底面半径为π6 cm ，一只蚂蚁沿着外表面从点A 爬到点B 处吃食，则要爬行的最短路程是_______cm.17.如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 是AB 上一点，将矩形ABCD 沿CE 折叠后，点B 落在AD 边的F 点，则BE 的长为________.18.如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的动点，E 是AC 边上的动点，则CF+EF 的最小值为__________.19.如图，在△ABC 中，AD 为∠CAB 平分线，BE ⊥AD 于E ，EF ⊥AB 于F ，∠DBE=∠C=15°，AE=2，则BF=___________.*20.如图，点P 、Q 是边长为4cm 的等边△ABC 边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点A 出发，沿线段AB 运动，点Q 从顶点B 出发，沿线段BC 运动，且它们的速度都为1cm/s ，连接AQ 、CP 交于点M ，在P 、Q 运动的过程中，假设运动时间为t 秒，则当t=_________时，△PBQ 为直角三角形.三、解答题21.计算:0332)10(821)3(-----+-π第13题 第14题 第15题 第16题 第18题 第20题 第19题 第17题22. 已知：如图，在△ABC 、△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C 、D 、E 三点在同一直线上，连接BD ．求证：（1）△BAD ≌△CAE ；（2）试猜想BD 、CE 有何特殊位置关系，并证明你的结论．23.如图，方格纸上画有AB 、CD 两条线段，按下列要求作图．（1）请你在图（1）中画出线段AB 关于CD 所在直线成轴对称的图形；（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，请画出所有．．情形．24.【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.【小试牛刀】把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a 、b 、c 。

【精品】2015年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期中数学试卷带解析答案

【精品】2015年江苏省无锡市滨湖区九年级上学期期中数学试卷带解析答案

2014-2015学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．22．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解4．（3分）三角形的外心是（）A．各内角的平分线的交点B．各边中线的交点C．各边垂线的交点 D．各边垂直平分线的交点5．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°6．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定8．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知方程a1x2+b1x+c1=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a1=b1B．a1=c1C．b1=c1D．a1=b1=c19．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3 D．10．（3分）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．（2分）若，则=．12．（2分）将一元二次方程2x（x﹣3）=1化成一般形式为．13．（2分）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为m．14．（2分）关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．15．（2分）如图，MA、MB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠ACB=65°，则∠AMB=°．16．（2分）在△ABC中，点D是AB边的中点，且DE∥BC，则S△ADE：S梯形DBCE=．17．（2分）若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是．18．（2分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE ∽△BCA时，点E的坐标为．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在指定区域内作答）19．（16分）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）．20．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x 1﹣2）（x2﹣2）（2）x+x．21．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．22．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；（2）点B′的坐标为（，）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（，）．23．（7分）果农李明种植的草莓计划以每千克20元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克12.8元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买2吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金1800元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．24．（7分）如图，点D、E分别为AB、AC边上两点，且AD=4，BD=2，AE=2，CE=10．试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长．25．（7分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的长．26．（8分）如图所示，AC⊥AB，AB=2，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O 上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α（0°＜α＜90°）．（1）当α=18°时，求的长；（2）当α=30°时，求线段BE的长；（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是．（直接写出答案）27．（10分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n 的值．28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？2014-2015学年江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣2a=0的一个解，则a的值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵x=2是方程的解，∴4﹣2﹣2a=0∴a=1．故选：C．2．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．3．（3分）关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（）A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解【解答】解：由题意得：m2+1=2，m+1≠0，解得m=±1且m≠﹣1，所以m=1，故选：B．4．（3分）三角形的外心是（）A．各内角的平分线的交点B．各边中线的交点C．各边垂线的交点 D．各边垂直平分线的交点【解答】解：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点．故选：D．5．（3分）如图，AB是⊙O直径，∠AOC=130°，则∠D=（）A．65°B．25°C．15°D．35°【解答】解：∵∠AOC=130°，∴∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣130°=50°，∴∠D=×50°=25°．故选：B．6．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，连接OA，AM=AB=4，由勾股定理知，OM=3．故选：B．7．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM==4.8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=5，∴AN=MN=AM，∴MN=2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r=2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选：A．8．（3分）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知方程a1x2+b1x+c1=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a1=b1B．a1=c1C．b1=c1D．a1=b1=c1【解答】解：由条件可知a1+b1+c1=0，所以﹣b1=a1+c1，又因为方程有两个相等的实数根，所以△=0，即b12﹣4a1c1=0，所以（a1+c1）2﹣4a1c1=0，整理可得（a1﹣c1）2=0，所以a1=c1，故选：B．9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（6，0）、B（0，6），⊙O的半径为2（O为坐标原点），点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．B．3 C．3 D．【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；又∵A（﹣6，0）、B（0，6），∴OA=OB=6，∴AB=6∴OP=AB=3，∵OQ=2，∴PQ==，故选：D．10．（3分）如图，在直角坐标系中放置一个边长为的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为（）A．π+πB．2π+2 C．3π+3πD．6π+6【解答】解：点A第一次回到x轴上时，点A的路径为：开始以B点为圆心，BA为半径，圆心角为90°的弧；再以C1为圆心，C1C为半径，圆心角为90°的弧；然后以D2点为圆心，D2A2为半径，圆心角为90°的弧，所以点A第一次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和=×2++2×××=2π+2，所以点A第三次回到x轴上时，点A运动的路线与x轴围成的图形的面积和为3（2π+2）=6π+6．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）11．（2分）若，则=．【解答】解：设x=4k，y=3k，∴==．12．（2分）将一元二次方程2x（x﹣3）=1化成一般形式为2x2﹣6x﹣1=0．【解答】解：方程去括号得：2x2﹣6x=1，即2x2﹣6x﹣1=0．故答案为：2x2﹣6x﹣1=013．（2分）在比例尺为1：200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5cm，则A，B两地间的实际距离为9m．【解答】解：设A，B两地间的实际距离为xcm，∴1：200=4.5：x，∴x=900cm，∵900cm=9m，∴A，B两地间的实际距离为9m．故答案为：914．（2分）关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即（﹣3）2+4k＞0，解得k＞﹣，故答案为：﹣．15．（2分）如图，MA、MB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若∠ACB=65°，则∠AMB=50°．【解答】解：连接OA，OB，∵MA、MB是⊙O的切线，∴∠MAO=∠MBO=90°，∵∠ACB=65°，∴∠AOB=2∠ACB=130°，∴∠AMB=360°﹣∠AOB﹣∠MAO﹣∠MBO=50°．故答案是：50．16．（2分）在△ABC中，点D是AB边的中点，且DE∥BC，则S△ADE：S梯形DBCE= 1：3．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，且△ADE∽△ABC，∴=，∴S△ADE=S△ABC，S梯形DBCE=S△ABC，∴S△ADE ：S梯形DBCE=1：3，故答案为：1：3．17．（2分）若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是3．【解答】解：设圆锥的母线长为R，π×R2÷2=18π，解得：R=6，∴圆锥侧面展开图的弧长为：6π，∴圆锥的底面圆半径是6π÷2π=3．18．（2分）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE ∽△BCA时，点E的坐标为（，）．【解答】解：如图1，∵点D、E是反比例函数y=（x＞0）的图象上的点，∴设点D的坐标是（m，），点E的坐标是（n，），又∵∠BCA=90°，AC=BC=2，∴C（n，0），B（n，2），A（n﹣2，0），设直线AB的解析式是：y=ax+b，则解得∴直线AB的解析式是：y=x+2﹣n．又∵△BDE∽△BCA，∴∠BDE=∠BCA=90°，∴直线y=x与直线DE垂直，∴点D、E关于直线y=x对称，∴=，∴mn=3，或m+n=0（舍去），又∵点D在直线AB上，∴=m+2﹣n，mn=3，整理，可得2n2﹣2n﹣3=0，解得n=或n=﹣（舍去），∴点E的坐标是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在指定区域内作答）19．（16分）解下列方程（1）2x2﹣=0；（2）2x2﹣4x+1=0（配方法）（3）2（x﹣3）2=x（x﹣3）；（4）3y2+5（2y+1）=0 （公式法）．【解答】解：（1）方程变形得：x2=，开方得：x=±；（2）方程变形得：x2﹣2x=﹣，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=1+，x2=1﹣；（3）方程变形得：2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x）=0，解得：x1=3，x2=6；（4）方程整理得：3y2+10y+5=0，这里a=3，b=10，c=5，∵△=100﹣60=40，∴y==．20．（6分）设x1，x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值．（1）（x1﹣2）（x2﹣2）（2）x+x．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣2，x1x2=﹣（1）原式=x1x2﹣2（x1+x2）+4=﹣﹣2×（﹣2）+4=；（2）原式=（x1+x2）2﹣2x1x2=（﹣2）2﹣2×（﹣）=7．21．（7分）已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k=0（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：△=（k+2）2﹣4•2k=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当b=c时，△=（k﹣2）2=0，则k=2，方程化为x2﹣4x+4=0，解得x1=x2=2，∴△ABC的周长=2+2+1=5；当b=a=1或c=a=1时，把x=1代入方程得1﹣（k+2）+2k=0，解得k=1，方程化为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，不符合三角形三边的关系，此情况舍去，∴△ABC的周长为5．22．（6分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有△ABC，建立平面直角坐标系后，点O的坐标是（0，0）．（1）以O为位似中心，作△A′B′C′∽△ABC，相似比为1：2，且保证△A′B′C′在第三象限；（2）点B′的坐标为（﹣2，﹣1）；（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为（﹣，﹣）．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；（2）点B′的坐标为：（﹣2，﹣1）；故答案为：﹣2，﹣1．（3）若线段BC上有一点D，它的坐标为（a，b），那么它的对应点D′的坐标为：（﹣，﹣）．故答案为：﹣，﹣．23．（7分）果农李明种植的草莓计划以每千克20元的单价对外批发销售，由于部分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．李明为了加快销售，减少损失，价格连续两次下调后，以每千克12.8元的单价对外批发销售．（1）求李明平均每次下调的百分率；（2）小刘准备到李明处购买2吨该草莓，因数量多，李明决定再给予两种优惠方案以供其选择：方案一：在原下调后价格的基础上，再次以相同的百分率降价；方案二：不打折，每吨优惠现金1800元．试问小刘选择哪种方案更优惠，请说明理由．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x．由题意，得20（1﹣x）2=12.8．解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，符合题目要求的是x1=0.2=20%．答：平均每次下调的百分率是20%．（2）小刘选择方案一购买更优惠．理由：方案一所需费用为：12.8×0.8×2000=20480（元），方案二所需费用为：12.8×2000﹣1800×2=22000（元）．∵20480＜22000，∴小刘选择方案一购买更优惠．24．（7分）如图，点D、E分别为AB、AC边上两点，且AD=4，BD=2，AE=2，CE=10．试说明：（1）△ADE∽△ACB；（2）若BC=9，求DE的长．【解答】解：（1）∵AD=4，BD=2，AE=2，CE=10，∴AB=6，AC=12，∴==，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ADE∽△ACB，∴==，∵BC=9，∴DE=3．25．（7分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，∠B=∠CAD=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OD⊥AB，BC=4，求AD的长．【解答】（1）证明：连接OA，∵∠B=30°，∴∠AOC=60°，可得∠OAC=60°，又∵∠CAD=30°，∴∠OAD=90°，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥AB，∴弧BC=弧AC，∴BC=AC=4，∵△OAC是等边三角形，∴OA=AC=4，在Rt△OAD中，∠D=30°，OA=4，∴AD=4．26．（8分）如图所示，AC⊥AB，AB=2，AC=2，点D是以AB为直径的半圆O 上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB=α（0°＜α＜90°）．（1）当α=18°时，求的长；（2）当α=30°时，求线段BE的长；（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是60°＜α＜90°．（直接写出答案）【解答】解：（1）连接OD，∵α=18°，∴∠DOB=2α=36°，∵AB=2，∴⊙O的半径为：，∴的长为：=π；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵α=30°，∴∠B=60°，∵AC⊥AB，DE⊥CD，∴∠CAB=∠CDE=90°，∴∠CAD=90°﹣α=60°，∴∠CAD=∠B，∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，∴∠CDA=∠BDE，∴△ACD∽△BED，∴，∵AB=2，α=30°，∴BD=AB=，∴AD==3，∴，∴BE=；经检验，BE=是原分式方程的解．（3）如图，当E与A重合时，∵AB是直径，AD⊥CD，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴C，D，B共线，∵AC⊥AB，∴在Rt△ABC中，AB=2，AC=2，∴tan∠ABC==，∴∠ABC=30°，∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，∵0°＜α＜90°，∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．故答案为：60°＜α＜90°．27．（10分）将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．（1）如图①，对△ABC作变换[60°，]得△AB′C′，则S△AB′C′：S△ABC=3：1；直线BC与直线B′C′所夹的锐角为60度；（2）如图②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n的值；（3）如图③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，对△ABC作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B、C、B′在同一直线上，且四边形ABB′C′为平行四边形，求θ和n 的值．【解答】解：（1）根据题意得：△ABC∽△AB′C′，∴S△AB′C′：S△ABC=（）2=（）2=3，∠B=∠B′，∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°；故答案为：3：1，60；（2）∵四边形ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90﹣30=60°．在Rt△ABB′中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°，∴n==2；（3）∵四边形ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′，又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠AC′B′=72°．∴∠BB′A=∠BAC=36°，而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA，∴AB：BB′=CB：AB，∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′），而CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB），∴AB=，∵AB＞0，∴n==．28．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．（1）求证：△DHQ∽△ABC；（2）求y关于x的函数解析式；（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？【解答】（1）证明：∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，∴∠HQD=∠C=90°，HD=HA，∴∠HDQ=∠A，∴△DHQ∽△ABC．（2）解：①如图1，当0＜x≤时，ED=5﹣4x，QH=AQtanA=x，此时y=（5﹣4x）×x=﹣+x，②如图2，当＜x≤时，ED=4x﹣5，QH=AQtanA=x，此时y=（4x﹣5）×x=x2﹣x，（3）解：①如图1，当0＜x＜时，若DE=DH，∵DH=AH==x，DE=10﹣4x，∴5﹣4x=x，x=．∵∠EDH＞90°，∴EH＞ED，EH＞DH，即ED=EH，HD=HE不可能；②如图2，当＜x≤时，若DE=DH，4x﹣5=x，x=；若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，x=；若ED=EH，则∠ADH=∠DHE，又∵点A、D关于点Q对称，∴∠A=∠ADH，∴△EDH∽△HDA，∴=，x=，∴当x的值为，，，时，△HDE是等腰三角形．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：l运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

无锡市2015届九年级上期中考试数学试题及答案

无锡市2015届九年级上期中考试数学试题及答案

学校 班级 姓名 考试号………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………（第4题图）（第5题图）（第7题图）2014～2015学年第一学期期中试卷初三数学 2014.11（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．下列方程中，一元二次方程的是…………………………………………………（ ）A .3x －2x ＝0 B .x (x －1)＝1 C .x 2＝(x －1)2 D .ax 2＋bx ＋c ＝02．若△ABC ∽△DEF ，相似比为1:2．若BC ＝1，则EF 的长是…………………（ ）A . 12 B . 1 C . 2 D . 43．原价168元的商品连续两次降价a %后售价为128元，下列方程正确的是…（ ）A . 128(1＋a %)2＝168B . 168(1－a 2%)＝128C . 168(1－2a %)＝128D . 168(1－a %)2＝1284．如图，⊙O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且CE ＝2，DE ＝8，则AB 的长为（ ）A .2B .4C .6D .85．如图，在⊙O 中，AB 是直径，BC 是弦，点P 是 ⌒BC上任意一点．若AB ＝5，BC ＝3，则AP 的长不可能为………………………………………………………………（ ） A . 3 B . 4 C . 4.5 D . 56．已知扇形的圆心角为45º，半径长为12，则该扇形的弧长为…………………（ ）A . 34π B . 2π C . 3π D . 12π7．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接OC 交⊙O 于点D ，连接BD ， ∠C ＝40º，则∠ABD 的度数是……………………………………………………（ ） A . 25º B . 20º C .30º D .15º8．如图，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则S 阴影S 空白的值为……（ ）A . 3B . 4C . 5D . 69．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，则CF 等于…………………………………………………………（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 410．如图，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AD 交AB 于点E ，M 为AE 的中点，BF ⊥BC 交CM 的延长线于点F ，BD ＝4，CD ＝3．下列结论：①∠AED ＝∠ADC ；②DEDA ＝12；③AC ·BE ＝12；④3BF ＝4AC ．其中正确结论的个数有（ ）（第8题图）（第9题图）FB A CD E M（第10题图）（第15题图）（第14题图）（第16题图）（第17题图）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.）11．方程x 2＝0的解是 .12．一元二次方程(a ＋1)x 2－ax ＋a 2＝1的一个根为0，则a ＝ .13．若一元二次方程mx 2＝n （mn ＞0）的两个根分别是k ＋1与2k －4，则nm ＝ .14．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A ＝35º，则∠B 的度数是 . 15．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ．若AD ＝4，DB ＝2，则DEBC的值为 .16．如图，AB 、AC 、BD 是⊙O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果AB ＝5，AC ＝3，则BD 的长为 . 17．如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD :DE ＝3:5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是 ⌒CD上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是 .19．如图，A 、B 、C 、D 依次为一直线上4个点，BC ＝2，△BCE 为等边三角形，⊙O 过A 、D 、E 3点，且∠AOD ＝120º．设AB ＝x ，CD ＝y ，则y 与x 的函数关系式为 .20．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝8，E 是边AB 上一点，且AE ＝14AB ．⊙O 经过点E ，与边CD 所在直线相切于点G （∠GEB 为锐角），与边AB 所在直线交于另一点F ，且 EG :EF ＝5:2．当边AD 或BC 所在的直线与⊙O 相切时，AB 的长是 .三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤）21．（16分）解方程：（1）x 2－5x －6＝0 （2）2x 2－4x －1＝0（3）(x －7)2＋2(x －7)＝0 （4）(3x ＋2)2＝4(x －3)2（第19题图）（第18题图） （第20题图）C B F E AD G O ·22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0. （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值.23．（8分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于点D ，且∠D ＝2∠A ．（1）求∠D 的度数；（2）若CD ＝2，求BD 的长．24．（10分）如图，在□ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD 于E ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C . （1）求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB ＝4，∠BAE ＝30º，求AE 的长； （3）在（1）（2）的条件下，若AD ＝3，求BF 的长.25．（8分）某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？ACEF DBOABCDP。

2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级(上)数学期中试卷带解析答案

2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=12．（3分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣5，则这个一元二次方程是（）A．x2﹣2x+15=0 B．x2+2x﹣15=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2﹣2x﹣15=04．（3分）如图，已知DE∥BC，AD=2，BD=3，则△ADE和△ABC的面积比是（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：255．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A．12 B．6 C．5 D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°7．（3分）如图，△ABC的高CD和高BE相交于D，则与△DOB相似的三角形个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个8．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；②CE平分∠DCF；③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；④直线EF是△DCE的外接圆的切线；其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．二．填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是．12．（2分）若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的全面积等于．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=°．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..16．（2分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为cm．17．（2分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=．18．（2分）直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（0，﹣1）、D（0，k），以点D为圆心、DC为半径作⊙D，当⊙D与直线AB相切时，k的值为．三．解答题：（本大题共10小题，共84分）．19．（16分）（1）计算：（）2﹣4sin60°﹣tan45°（2）化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．（3）解方程：x2+4x﹣2=0；（4）解不等式组：．20．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；（2）求∠D的正弦值；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为．21．（6分）（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．（2）在你所作的图中，①AB与⊙O的位置关系是；（直接写出答案）②若AC=6，BC=8，求⊙O的半径．22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k．23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．24．（6分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CE=1，sinF=，求⊙O的半径．25．（8分）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C 地共锻炼多少分钟？26．（10分）如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．（1）求点C、点D的坐标；（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.4个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.4个单位长速度增加改为多少时就存在．（3）若线段AB绕点O顺时针旋转180°，线段AB扫过的面积是多少．27．（10分）如图，点A（0，1）、B（2，0），点P从（4，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB 的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜2）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式及t 的取值范围．28．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求OC的长；（2）若将△PCO沿着射线PA方向平移，设平移的距离为n（平移距离指点P沿PA方向所经过的线段长度）．当点C分别平移到线段PO、AO上时，直接写出相应的n的值；（3）如图2，将△PCO绕点O逆时针旋转一个角α，记旋转中的△PCO为△P′OC′．在旋转过程中，设P′O所在的直线与线段AP交于点Q，与射线AD交于点H．是否存在这样的Q、H两点，使△AQH为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省无锡市江阴中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）关于x的方程ax2﹣3x+1=0是一元二次方程，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a≠0 D．a=1【解答】解：使x的方程ax2﹣3x﹣2=0是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠0．故选：C．2．（3分）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB===13，∴sinA==．故选：B．3．（3分）已知一元二次方程的两根分别是3和﹣5，则这个一元二次方程是（）A．x2﹣2x+15=0 B．x2+2x﹣15=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2﹣2x﹣15=0【解答】解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，∵二次项系数为1，两根分别为﹣5，3，∴p=﹣（﹣5+3）=2，q=（﹣5）×3=﹣15，∴这个方程为：x2+2x﹣15=0．故选：B．4．（3分）如图，已知DE∥BC，AD=2，BD=3，则△ADE和△ABC的面积比是（）A．2：3 B．2：5 C．4：9 D．4：25【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE∽△ABC，∴=（）2，∵AD=2，BD=3，∴AB=5，∴=（）2=（）2=，故选：D．5．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，则这个直角三角形的斜边上的高为（）A．12 B．6 C．5 D．【解答】解：x2﹣7x+12=0，方程左边因式分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0，解得：x=3或x=4，∵方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是一个直角三角形的两条直角边的长，∴斜边长==5，设这个直角三角形的斜边上的高为h，根据题意得：×5×h=×3×4，解得：h=．故选：D．6．（3分）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（）A．20°B．40°C．50°D．80°【解答】解：∵弦AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD，∴∠BOD=2∠ABC=2×40°=80°．故选：D．7．（3分）如图，△ABC的高CD和高BE相交于D，则与△DOB相似的三角形个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：由∠DOB与∠EOC是对顶角，得∠DOB=∠EOC．由△ABC的高CD和高BE相交于D，得∠ODB=∠OEC=90°，∴△DOB∽△EOC；由∠DBO=∠EBA，∠ODB=AEO，得△DOB∽△EAO；由∠A+∠DBO=90°，∠A+∠ACD=90°，得∠DBO=∠ADC，又∠ODB=∠ADC，得△DBO∽△DCA；故选：B．8．（3分）如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM×BC=AC×AB，∴AM==4.8，∵D、E分别是AC、AB的中点，∴DE∥BC，DE=BC=5，∴AN=MN=AM，∴MN=2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r=2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是：相交．故选：A．9．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是AB边上一点，BF=3AF，则下列四个结论：①△AEF∽△DCE；②CE平分∠DCF；③点B、C、E、F四个点在同一个圆上；④直线EF是△DCE的外接圆的切线；其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠D=90°，∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵BF=3AF，设AF=a，则BF=3a，AB=BC=CD=AD=4a，∵AF：DE=1：2，AE：CD=1：2，∴AE：DE=AE：CD，∴△AEF∽△DCE，∴①正确；∠AEF=∠DCE，∵∠DEC+∠DCE=90°，∴∠AEF+∠DEC=90°，∴∠CEF=90°，∵EF==a，CE==2a，∴EF：CE=1：2=DE：CD，∴△CEF∽△CDE，∴∠FCE=∠DCE，∴CE平分∠DCF，∴②正确；∵∠B=90°，∠CEF=90°，∴∠B+∠CEF=180°，∴B、C、E、F四个点在同一个圆上，∴③正确；∵△DCE是直角三角形，∴外接圆的圆心是斜边CE的中点，CE是直径，∵∠CEF=90°，∴EF⊥CE，∴直线EF是△DCE的外接圆的切线，∴④正确，正确的结论有4个．故选：D．10．（3分）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．【解答】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，∵AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M=30°，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tanM=tan30°==，∴x=y，∴==．故选：A．二．填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）11．（2分）如图，在△ABC中，点D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么可添加的条件是∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB．【解答】解：∵∠DAC=∠CAB，∴当∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB时，均可得出△ADC∽△ACB．故答案为：∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AC2=AD•AB12．（2分）若圆锥的底面半径为2，母线长为3，则圆锥的全面积等于10π．【解答】解：底面积是：4，底面周长是4π，则侧面积是：×4π×3=6π，则这个圆锥的全面积为：4π+6π=10．故答案是：10π．13．（2分）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得，1000（1+x）2=1210，解得x1=0.1，x2=﹣2.1（负值舍去），所以该厂四、五月份的月平均增长率为10%．14．（2分）在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2=0，则∠C=75°．【解答】解：由题意得，tanA=1，cosB=，则∠A=45°，∠B=60°，则∠C=180°﹣45°﹣60°=75°．故答案为：75．15．（2分）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．16．（2分）当宽为2cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与图的两个交点处的度数如图，那么该圆的半径为5cm．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，∵OD⊥AB，∴AD=AB=（9﹣1）=4cm，设OA=r，则OD=r﹣3，在Rt△OAD中，OA2﹣OD2=AD2，即r2﹣（r﹣2）2=42，解得r=5．故答案是：5．17．（2分）如图，⊙O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与⊙O相切于E点．若正方形ABCD的周长为28，且DE=4，则sin∠ODE=．【解答】解：设切线AD的切点为M，切线AB的切点为N，连接OM、ON、OE，∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的周长为28，∴AD=AB=7，∠A=90°，∵圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∵AD和DE与圆O相切，∴OE⊥DE，DM=DE=4，∴AM=7﹣4=3，∴OM=ON=OE=3，在RT△ODM中，OD==5，∵OE=OM=5，∴sin∠ODE==．故答案为．18．（2分）直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，已知点C（0，﹣1）、D（0，k），以点D为圆心、DC为半径作⊙D，当⊙D与直线AB相切时，k的值为．【解答】解：如图所示：在y=﹣x+3 中，令x=0，得y=3；令y=0，得x=4，故A，B两点的坐标分别为A（4，0），B（0，3）．若动圆的圆心在E处时与直线l相切，设切点为E，如图所示，连接ED，则ED⊥AB．可知代入数据得k=故答案为：．三．解答题：（本大题共10小题，共84分）．19．（16分）（1）计算：（）2﹣4sin60°﹣tan45°（2）化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．（3）解方程：x2+4x﹣2=0；（4）解不等式组：．【解答】解：（1）（）2﹣4sin60°﹣tan45°=﹣4×﹣1=﹣﹣2；（2）（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5；（3）x2+4x﹣2=0b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣2）=24，x=，x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（4）∵解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为x＞5．20．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．（1）若D（2，3），请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2：1；（2）求∠D的正弦值；（3）若△ABC外接圆的圆心为P，则点P的坐标为（2，6）．【解答】解：（1）如下图所示，△DEF即为所求；（2）如图，作FG⊥DE于G，∵在Rt△DFG中，FG=2，DG=6，∴DF===2，∴sin∠D===；（3）设点P的坐标为（x，y）；∵△ABC外接圆的圆心为P，∴PA=PB=PC，∵A（1，8），B（3，8），C（4，7），∴（1﹣x）2+（8﹣y）2=（3﹣x）2+（8﹣y）2=（4﹣x）2+（7﹣y）2，化简后得x=2，y=6，因此点P的坐标为（2，6）．故答案为（2，6）．21．（6分）（1）如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规，按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作∠BAC 的平分，交BC 于点O ；②以O 为圆心，OC 为半径作圆．（2）在你所作的图中，①AB 与⊙O 的位置关系是 相切 ；（直接写出答案）②若AC=6，BC=8，求⊙O 的半径．【解答】解：（1）如图；（2）①作OD ⊥AB 于D ，∵AO 平分∠BAC ，而OD ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴OD=OC ，∴AB 为⊙O 的切线；故答案为相切；②设⊙O 的半径为r ，则OC=OD=r ，在Rt △ABC 中，∵AC=6，BC=8，∴AB==10，∵S △AOB +S △AOC =S △ABC ， ∴•10•r +•6•r=•6•8，解得r=3，即⊙O 的半径为3．22．（6分）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根x1，x2恰好是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求k．【解答】解：（1）依题意△=[﹣（k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=2k﹣3≥0，∴k≥；（2）设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=（）2，∵x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k2+1）=5，整理得：k2+4k﹣12=0，∴k=﹣6或k=2，当k=﹣6时，x1+x2=k+1=﹣5＜0，舍去，∴k=2．23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）△ADF与△DEC相似吗？为什么？（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．【解答】解：（1）△ADF∽△DEC；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD=AB=4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE===6，∵△ADF∽△DEC，∴=，∴=，解得：AF=2．24．（6分）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边BC交于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长AB、ED交于点F，AD平分∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若CE=1，sinF=，求⊙O的半径．【解答】解：（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠DAE，又∵∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠DAE，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为x．∵OD∥AE，OA=OB，∴BD=CD，∵EF是⊙O的切线；∴∠BDF=∠BAD，∵∠BAD=∠CAD，∠BDF=∠EDC，∴∠EDC=∠CAD，∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠C=90°，∴∠CAD+∠C=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥DB，∴AC=AB，∵sinF=，∴OF=OD=x，∴BF=x﹣x=x，AF=x+2x=x，∴AE=AF=×x=x，∵AC=AB，∴AE+EC=2x，即x+1=2x，解得：x=．∴⊙O的半径为．25．（8分）小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟．若返回时，发现走一小路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5分钟．（1）求返回时A、B两地间的路程；（2）若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地（整个锻炼过程不休息）．据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟（含第30分钟），步行平均每分钟消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里．测试结果，在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量．问：小明从A地到C 地共锻炼多少分钟？【解答】解：（1）设返回时A，B两地间的路程为x米，由题意得：=，解得x=1800．答：A、B两地间的路程为1800米；（2）设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：25×6+5×10+[10+（y﹣30）×1]（y﹣30）=904，整理得y2﹣50y﹣104=0，解得y1=52，y2=﹣2（舍去）．答：小明从A地到C地共锻炼52分钟．26．（10分）如图，已知线段AB长为6，点A在x轴负半轴，B在y轴正半轴，绕A点顺时针旋转60°，B点恰好落在x轴上D点处，点C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形．（1）求点C、点D的坐标；（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A﹣B﹣D﹣C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.4个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时，①t为何值时，⊙P与y轴相切？②在运动过程中，是否存在一个时刻，⊙P与四边形ABCD四边都相切？若存在，说出理由；若不存在，问题中⊙P的半径以每秒0.4个单位长速度增加改为多少时就存在．（3）若线段AB绕点O顺时针旋转180°，线段AB扫过的面积是多少．【解答】解（1）∵OB==3，∴点C的坐标是（6，3），∵AD=AB=6，∴点D的坐标是（3，0），（2）①当P在AB上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.4t=3﹣2t，t=，当P在BD上时，若⊙P与y轴相切，则1+0.4t=2t﹣3，t=，②不存在设⊙P的半径以acm/s的速度增加，当点P在菱形ABCD的对角线交点时，到ABCD的距离相等，即与四边形ABCD 都相切，此时t=，⊙P的半径1+a，设BD的解析式为：y=kx+b，AC的解析式为：y=ax+c，解得：BD的解析式为：y=﹣x+3，AC的解析式为：y=x+，﹣x+3=x+，解得；x=，则y=1.5，若⊙P与四边形ABCD相切，则1+a=1.5，解得：a=，则⊙P的半径以cm/s的速度运动时就存在，（3）过O作OE⊥AB，则△BOA∽△OEA，=，解得；OE=1.5，S=[（3）2π﹣（1.5）2π]=π，则线段AB扫过的面积是π．27．（10分）如图，点A（0，1）、B（2，0），点P从（4，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB 的垂线l2，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜2）秒（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式及t 的取值范围．【解答】解：（1）由题意得：P（4﹣2t，0），Q（2﹣t，0），∴PQ=2﹣t，∵△OAB∽△QPM，∴=2，∴PM=2PQ=4﹣2t，∴M（4﹣2t，4﹣2t）；（2）设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式为y=﹣x+1，∴4﹣2t=﹣（4﹣2t）+1，解得：t=；（i）当0＜t≤1时，如图1所示，在Rt△OAB中，AB=，由△OAB∽△CQB，得到，=××1×2=；∴S=S△CQB（ii）当1＜t＜时，如图2所示，PD=2t﹣2，由△OAB∽△PDB，得到PB=t﹣1，=S△CQB﹣S△PDB==•（2t﹣2）•（t﹣1）═﹣+2t ∴S=S四边形CQPD﹣1；=PQ•PM=•（2﹣t）•（4﹣2t）=t2﹣4t+4．（iii）当≤t＜2时，S=S△PQM28．（10分）如图1，矩形ABCD中，AB=10，AD=8．将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕AO与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．（1）求OC的长；（2）若将△PCO沿着射线PA方向平移，设平移的距离为n（平移距离指点P沿PA方向所经过的线段长度）．当点C分别平移到线段PO、AO上时，直接写出相应的n的值；（3）如图2，将△PCO绕点O逆时针旋转一个角α，记旋转中的△PCO为△P′OC′．在旋转过程中，设P′O所在的直线与线段AP交于点Q，与射线AD交于点H．是否存在这样的Q、H两点，使△AQH为等腰三角形？若存在，求出此时AQ的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵折叠，∴AP=AB=10，AD=8，∴DP==6，∴CP=4，设OC=x，在直角三角形中，（8﹣x）2=x2+42解得：x=3∴OC=3；（2）如图1，①过C作CC1∥PA，交PO于C2，∵AP⊥PO，∴CC1⊥PO，∴CC1===n；②作P2C2∥AB，则∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AP2=P2C2=4，∴PP2=10﹣4=n．（3）①当QA=QH时，∠DAQ=∠AHQ，又∠AHQ=∠P′OC，∵∠POC＞∠DAP，∴不存在．②当AH=AQ时，如图，∵∠AQH=∠H，∠H=∠QOC，∴△EQO是等腰三角形，∵∠EAB=∠APO，∴tan∠EAB=，∴AE=，OE=﹣5=，AE=，∴AQ=﹣=．③当HA=HQ时，如图，∠2=∠3．又∵∠2=∠1，∴∠1=∠4，∵∠C=∠APO，∴△PCO∽△QPO，∴=，即PQ==，∴AQ=10﹣=．。

无锡市惠山区2015-2016学年九年级(上)期中数学试题及答案

无锡市惠山区2015-2016学年九年级(上)期中数学试题及答案

九年级数学期中考试试卷2015.11(所有答案写在答卷纸上.考试时间为120分钟．试卷满分130分)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知x ＝1是一元二次方程x 2－2mx ＋1＝0的一个解，则m 的值是（ ）A . 1B . 0C . 0或1D . 0或－12．若43=x y ，则xy x +的值为 （ ）A ．1B ．74C ．45D ．473.如图，在⊙O 中，∠ABC =50°，则∠AOC 等于 （ ）A ．50°B ．80°C ．90°D ．100°4. 已知圆锥的底面半径为3cm ，母线为5cm ，则圆锥的侧面积是 （ ）A ．20cm 2B ．π20cm 2C ．15cm 2D ．π15cm 25.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为 ( )A ．12．36 cmB ．13．6 cmC ．32．36 cmD ．7．64 cm第3题 第6题 第7题6.如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，若21=DB AD ，则BCDE的值为 （ ）A ．1:2B ．2:1C ．1:3D ．3:17. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P•是AB•延长线上一点，•BP=2cm ，则tan ∠OPA等于 （ ） A ．32 B ．23 C ．2 D ．128．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =12AB ，点E 、F 分别为AB 、AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为 （ ） A 、71 B 、61 C 、51 D 、41 9. 一块含30°角的直角三角板（如图），它的斜边AB=8cm ，里面空心△DEF 的各边与△ABC 的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm ，那么△DEF 的周长是（ ）A ．5cmB ．6cm C．(6 D．(310. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx －3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 （ ）BA．22 B ． 24 C ． 10 D ．12第8题 第9题 第10题二、填空题（本大题共9小题，每小题2分，共18分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．） 11．．在比例尺是1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km12. 已知α为锐角，1)30tan(=︒-α，则α的度数为________. 13．一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，设平均每次降价的百分率是x,则可列出方程 ．14．如图，在直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（0，3）、（4，3）、（0，－1），则△ABC 外接圆的圆心坐标为 ．15．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，则劣弧 ⌒MN 的长度为 ．16.如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB 的长为 ． 17. 如图,△ABC 中,BC=7,cosB ＝22,sinC ＝53，则△ABC 的面积是 。

大桥中学九年级(上)第一次月考数学试题.doc

大桥中学九年级(上)第一次月考数学试题.doc

2011－2012学年度第一学期大桥中学第一次月考九年级数学试卷班级_______ 姓名_________ 学号______ 成绩___________一、 选择题（每小题3分，共30分） 1、 若1-a 有意义，则ａ的取值范围是 （ ）A 、任意实数B 、ａ1≥C 、ａ1≤D 、ａ0≥ 2．在15，61，211，40中最简二次根式的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．化简)22(28+-得（ ）A ．—2B ．22-C ．2D ． 224- 4、下列计算正确的是（ ）A 、2+3=5B 、2+2=22C 、32－2=22D 、2818-5．已知直角三角形的一条直角边为9，斜边长为10，则另一条直角边长为（ ） A.1 B.19 C.19 D. 296、关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程,则（ ）A 、0a >；B 、0a ≠；C 、1a =；D 、a ≥0． 7．一元二次方程22(32)(1)0x x x --++=化为一般形式为（ ） A.2550x x -+= B.2550x x +-= C.2550x x ++= D.250x += 8．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（ ） A ．522=-x x B ．5422=-x x C ．542=+x x D ．522=+x x 9.已知一元二次方程 x 2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）A.该方程有两个相等的实数根B.该方程有两个不相等的实数根C.该方程无实数根D.该方程根的情况不确定10. 已知1x 、2x 是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值（ ） A ．37 B ．26 C ．13 D ．10二、填空题（每小题2分，共12分） 1、计算：()25＝ ，()25-＝.2．=∙y xy 82 ， =∙2712 ．3．三角形的三边长分别是：20cm ，40cm ，45cm,则这个三角形的周长为 ．4．方程2x 2 = 8 ─3x 化成一般形式后，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．5、配方：x 2－3x + __ = (x － __ )26．已知关于x 一元二次方程02=++c bx ax 有一个根为1，则=++c b a __________.三、解答题1、计算（每小题5分，共20分） (1) 324b a （2）2484554+-+(3) (12+58)3⋅ ﹙4﹚()223-2.按要求解答下列方程，没指定的方法不限（每题5分，共30分）（1）220x x -=（因式分解法） （2）4x 2－8x －1=0（用配方法）（3）x x 4132=-（公式法） （4）0342=--x x（5）01072=+-x x （6）)12(3)12(2+=+x x3．美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容。

江苏省无锡九年级上学期期中考试数学试卷1有答案

江苏省无锡九年级上学期期中考试数学试卷1有答案

（第8题图）A BCO（第9题图）（第10题图）CBA DO江苏省无锡市东林中学九年级上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟 满分：130分）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分.）1．若式子x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是………………………（ ）A . x ≥3B . x ≤3C . x ＞3D . x ＜32．下列计算正确的是……………………………………………………………… （ ）A . 43－33＝1B . 2＋3＝ 5C . 212＝ 2 D . 3＋22＝5 23．用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后所得的方程为…………………… （ ） A ．(x ＋1) 2＝0 B ．(x －1) 2＝0 C ．(x ＋1) 2＝2 D ．(x －1) 2＝2 4．矩形具有而菱形不一定具有的性质是…………………………………………… （ ）错误！未找到引用源。

A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等 C ．对角线互相平分错误！未找到引用源。

D ．两组对角分别相等5．下列说法中，不正确的是…………………………………………………………（ ） A ．过圆心的弦是圆的直径 B ．等弧的长度一定相等C ．周长相等的两个圆是等圆D ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧6．若x ＋1与x －1互为倒数，则实数x 为………………………………………… （ ） A ．0错误！未找到引用源。

B ． 2 C ．±1错误！未找到引用源。

D ．± 27．一元二次方程2x 2－5x ＋1＝0的根的情况是……………………………………（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定8． 如图，DC 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于F ，连结BC 、DB ，则下列结论错误的是（ ） A ． ⌒AD＝ ⌒BD B ．AF ＝BF C ．OF ＝CF D ．∠DBC ＝90º9．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为……… （ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°10. 如图，已知BO 是△ABC 的外接圆的半径，CD ⊥AB 于D ．若AD ＝3，BD ＝8，CD ＝6，则BO 的长为……………………………………………………… （ ）A ．6B ．525 C ．4 2 D ．458二．填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分.）11. 比较大小：3 3 27.12. 在实数范围内分解因式：a 3－3a ＝ ． 13．若实数a 、b 满足(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)－8＝0，则a 2＋b 2＝ . 14．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AB ∥CO ，∠A ＝38º，则∠B ＝ º.15. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF .若菱形ABCD 的边长为2 cm ，∠A ＝120︒，则EF ＝ cm.16．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝ °.17．⊙O 的半径OA ＝1，弦AB 、AC 的长分别是2、3，则∠BAC 的度数为 .18．若a －4＋||b －1＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值范围是 .19．如果一组数据－1、0、3、5、x 的极差为7，那么x 的值可以是 ．20．如图，平面直角坐标系的长度单位是厘米，直线y ＝－33x ＋6分别与x 轴、y 轴相交于B 、A 两点．点C 在射线BA 上以3厘米/秒的速度运动，以C 点为圆心作半径为1厘米的⊙C ．点P以2厘米/秒的速度在线段OA 上来回运动，过点P 作直线l ∥x 轴．若点C 与点P 同时从点B 、点O 开始运动，设运动时间为t 秒，则在整个运动过程中直线l 与⊙C 最后一次相切时t ＝秒.三．解答题（本大题共8小题，共80分. 解答需写出必要的文字说明或演算步骤） 21．（12分）计算：① 8－||―2＋(－12)0 ② (63－213＋48)÷12 ③ 3a 2÷(－3a 2)×122a322．（16分）解方程：① x 2－10x ＋9＝0 ② 2x 2－2x －5＝0③ x 2＋5＝25x ④ x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0 （a 为常数）23．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N . （1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；A BC DN MPBO · CA （第14题图）（第15题图）A BCDE FO FEDC B A（第16题图）COPABxl y（第20题图）（2）若∠ADC ＝90︒，求证：四边形MPND 是正方形.24．（8分）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲 10 8 9 8 10 9 乙107101098（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． 计算方差的公式：s 2＝1n [(x 1－-x )2＋(x 2－-x )2＋…＋(x n－-x )2]25.（8分）已知□ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个实数根.（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB 的边长为2，那么□ABCD 的周长是多少？26.（8分）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如下所示为正视图.已知EF ＝CD ＝16厘米，求出这个球的半径．27.（10分）如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，过点B 作⊙O 的切线，C 是切线上一点，且BC ＝2，P 是线段OA 上一动点，连结PC 交⊙O 于点D ，过点P 作PC 的垂线，交切线BC 于点E ，交⊙O 于点F ，连结DF 交AB 于点G ．（1）当P 是OA 的中点时，求PE 的长； （2）若∠PDF ＝∠E ，求△PDF 的面积．CA BD OP EFG28. （10分）已知A （23，0），直线y ＝(2－3)x －2与x 轴交于点F ，与y 轴交于点B ，直线l ∥AB 且交y 轴于点C ，交x 轴于点D ，点A 关于直线l 的对称点为A ′，连接AA ′、A ′D ．直线l 从AB 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向向上平移，设移动时间为t ． （1）求点A ′ 的坐标（用含t 的代数式表示）； （2）求证：AB ＝AF ；（3）过点C 作直线AB 的垂线交直线y ＝(2－3)x －2于点E ，以点C 为圆心CE 为半径作⊙C ，求当t 为何值时，⊙C 与△AA ′D 三边所在直线相切？O xyCAA ′BDF初三数学期中考试参考答案与评分标准一、选择题（每题3分）A C D B D D A C A B 二、填空题（每空2分）11. ＜ 12. a (a ＋3)(a －3) 13. 4 14. 19º 15. 316. 45º 17. 75º或15º 18. k ≤14 19. 6或－2 20. 267三、解答题21. ①原式＝22－2＋1＝2＋1 ②原式＝3－13＋2＝423③原式＝－163a 2×2×2a a ×3＝－a322. ① x 1＝1，x 2＝9 ② x 1,2＝1±112 ③x 1＝x 2＝5④x 1＝a ， x 2＝1…………………………………（21、22每小题4分，分步酌情给分） 23. （1）易证△ABD ≌△CBD （SAS ）………………………………………………（3分）∴∠ADB ＝∠CDB ……………………………………………………………（4分） （2）∵∠ADB ＝∠CDB ，且PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴PM ＝PN ……………………（5分）又∵∠ADC ＝∠PMD ＝∠PND ＝90º，∴四边形MPND 是矩形………………（7分） 而PM ＝PN ，∴矩形MPND 是正方形……………………………………（8分）24.（1）9，9 ……………………………………………………………………………（2分）（2）s 2甲＝16[(10－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2]＝16(1＋1＋0＋1＋1＋0)＝23 ………………………………………………（4分） s 2乙＝16[(10－9)2＋(7－9)2＋(10－9)2＋(10－9)2＋(9－9)2＋(8－9)2]＝16(1＋4＋1＋1＋0＋1)＝43………………………………………………（6分） （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲．………（8分）25.（1）令△＝m 2－4(m 2－14)＝m 2－2m ＋1＝(m －1)2＝0……………………………… （2分）∴m ＝1，此时菱形边长为12…………………………………………………… （4分）（2）当AB ＝2时，22－2m ＋m 2－14＝0……………（5分）解得m ＝52………… （6分）∴C ＝2(AB ＋AD )＝2m ＝5…………………………………………………… （8分）26. 由题意，⊙O 与BC 相切…………………………………………………………… （1分） 不妨记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧 ⌒EF于点H 、I ，再连结OF ……（2分） 在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，而IG ⊥BC ，∴IG ⊥AD ……………………………（3分）∴在⊙O 中，FH ＝12EF ＝8…………………………………………………………（4分）设求半径为r ，则OH ＝16－r ，在Rt △OFH 中，r 2－(16－r )2＝82……………（6分）A (P )BD COF EABCEDF G O (P )（第26题图）（第27题图①）（第27题图②）解得r ＝10，这个球的半径是10厘米……………………………………………（8分）27.（1）当P 是OA 的中点时，PB ＝3………………………………………………（1分） ∵CE 是⊙O 的切线，∴AB ⊥CE ……………………………………………（2分）又∵CP ⊥PE ，∠CPB ＝∠E ，∴△CBP ∽△PBE …………………………（3分）∴CB BP ＝PB BE ，∴BE ＝PB 2BC ＝92…………………………………………………（4分） ∴在Rt △PBE 中，PE ＝32＋(92)2＝3132……………………………………（5分）（2）在Rt △PDG 中，由∠PDF ＝∠E ＝∠CPB ，可知∠GPF ＝∠GFP于是GD ＝GP ＝GF ……………………………………………………………（6分） 直径AB 平分弦DF ，有两种可能.（ⅰ）弦DF 不是直径，如图①，则AB ⊥DF ，于是PD ＝PF ，∠GPD ＝∠GDP ＝45º∴BP ＝BC ＝2＝BO ，点P 与点O 重合. S △PDF ＝12×2×2＝2………………（8分）（ⅱ）弦DF 恰为直径，如图②，则点P 即为点A . 而BC ＝2，BP ＝4，∴BE ＝8S △PCE ＝12×10×4＝20，∴S △PDF ＝(410)2×20＝165……………………………（10分）28.（1）∵A (23，0)，B (0，－2)，∴∠OAB ＝30°……………………………………（1分）∵点A 关于直线l 的对称点为A ’，且l ∥AB ，∴DA ’＝DA ，∠A ’DA ＝2∠OAB ＝60° 可得等边△A ’DA ，其中A ’A ＝2BC ＝3t ，∴A ’(23－3t 2，3t2)…………（3分） （2）∵F (4＋23，0)，A (23，0)，B (0，－2)，∴AF ＝4，AB ＝4，∴AB ＝AF （5分）（3）∵直线l 是点A 和A ’的对称轴，∴直线l 是∠A ’DA 的平分线，∴点C 到直线AD 和A ’D 的距离相等，∴当⊙C 与AD （x 轴）相切时，也一定与A ’D 相切．图①∵∠OAB ＝30°且AB ＝AF ，∴∠ABF ＝15°，∴∠CBF ＝75°＝∠CEB ，∴CB ＝CE ． 题中所指CE 为半径，即以CB 为半径.又⊙C 与AD 相切，∴CO ＝CE ＝CB ，∴t ＝1………………………………（7分） 如图②，当⊙C 与AA ’相切于点M 时，DM ＝2(t －2)＋t ＝3t 2，解得t ＝83…（10分）综上所述，符合要求的t 的值有两个，t ＝1或83.C图1 图2。

2015-2016年江苏省无锡市惠山区九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016年江苏省无锡市惠山区九年级上学期期中数学试卷及参考答案

2015-2016学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．）1．（3分）锐角30°的正弦值为（）A．B．C．D．2．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=3．（3分）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，904．（3分）一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有3种可能情况：红球，黄球和绿球，则随机摸出一球是红球的概率为（）A．0 B．C．D．无法确定5．（3分）点P为半径为3的⊙O上一点，若PQ=3，则点Q与⊙O的位置关系为（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．都有可能6．（3分）在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心O到AB的距离为（）A．5 B．10 C．12 D．137．（3分）下列命题：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③直径所对的圆周角是直角；④直角三角形的外心是斜边的中点．真命题为（）A．①②③④B．②③④C．③④D．①③8．（3分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．9．（3分）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10 B．4C．10或4D．10或210．（3分）如图，点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则平行四边形ABCD面积的最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．3二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（2分）已知α为锐角，且tanα﹣1=0，则α=．12．（2分）用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为．13．（2分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是分．14．（2分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．15．（2分）△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以A为圆心，以2.3cm为半径作圆，则C点和⊙A的关系是．16．（2分）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=．17．（2分）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB 是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB=．18．（2分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（8分）计算：（1）+（﹣1）2015﹣|﹣|；（2）2sin30°﹣sin45°．20．（8分）解方程（组）：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=，求BC的长和tan ∠B的值．22．（8分）如图所示，A、B两个旅游点从2011年至2015年“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？23．（8分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为x；再在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，得到点P的坐标（x，y）．（1）请用“列表”或“画树状图”等方法表示出点P（x，y）所有可能的结果；（2）求出点P（x，y）在第一象限或第三象限的概率．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E．（1）若∠CAB=65°，求∠D的度数；（2）若AE=10，EB=2，且∠AEC=30°，求CD的长．25．（8分）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）26．（8分）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．⊙O的半径为r．（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；（2）若弦CP=2.5时，求AP的长；（3）当切点P运动到点B处时，⊙O的半径r有最大值，试求出这个最大值．27．（10分）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°=．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．28．（10分）如图，▱ABCD中，A（0，3），C（6，0），∠DCB=45°，点P从点E （﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t（秒）．（1）D点坐标为．（2）当∠PAB=15°时，求点P的坐标．（3）以点P为圆心，PA长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与▱ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．2015-2016学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．）1．（3分）锐角30°的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：sin30°=．故选：A．2．（3分）如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，则下列结论正确的是（）A．sinA=B．tanA=C．cosB=D．tanB=【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，∴AC==4，∴sinA==，tanA==，cosB=，tanB=，故选：D．3．（3分）在以下数据75，80，80，85，90中，众数、中位数分别是（）A．75，80 B．80，80 C．80，85 D．80，90【解答】解：∵数据75，80，80，85，90中，80出现的次数最多，出现了2次，∴这组数据的众数是80；把数据75，80，80，85，90从小到大排列，可得75，80，80，85，90，所以这组数据的中位数是80．故选：B．4．（3分）一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有3种可能情况：红球，黄球和绿球，则随机摸出一球是红球的概率为（）A．0 B．C．D．无法确定【解答】解：∵一个不透明的盒子中装一些球（除了颜色外无其他差别），从中随机摸出一个小球，共有3种可能情况：红球，黄球和绿球，但不知各小球的个数；∴随机摸出一球是红球的概率：无法确定．故选：D．5．（3分）点P为半径为3的⊙O上一点，若PQ=3，则点Q与⊙O的位置关系为（）A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．都有可能【解答】解：∵PQ=OP，OQ的大小不能确定，∴点Q与⊙O的位置关系不能确定．故选：D．6．（3分）在⊙O中，r=13，弦AB=24，则圆心O到AB的距离为（）A．5 B．10 C．12 D．13【解答】解：如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=24，r=13，∴BD=AB=12，OB=r=13，∴OD===5．故选：A．7．（3分）下列命题：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弦相等；③直径所对的圆周角是直角；④直角三角形的外心是斜边的中点．真命题为（）A．①②③④B．②③④C．③④D．①③【解答】解：①不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，为假命题；②在等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故错误，为假命题；③直径所对的圆周角是直角，正确，为真命题；④直角三角形的外心是斜边的中点，正确，为真命题，故选：C．8．（3分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB=（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意得：OA=OB=AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．故选：B．9．（3分）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若AB=24，则CD的长为（）A．10 B．4C．10或4D．10或2【解答】解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12，在Rt△AOE中，OE===5，∴OF=OE+EF=5+7=12，在Rt△OCF中，CF===5，∴CD=2CF=2×5=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12，在Rt△AOE中，OE===5，∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2，在Rt△OCF中，CF===，∴CD=2CF=2×=2．故CD的长为10或2．故选：D．10．（3分）如图，点P是半径为1的⊙A上一点，延长AP到C，使PC=AP，以AC为对角线作▱ABCD．若AB=，则平行四边形ABCD面积的最大值为（）A．2 B．2 C．3 D．3【解答】解：如图1所示：当AC=2为△ABC的底边，△ABC的高线越大则其面积越大，作BE⊥AC于点E，∵BE≤AB，∴当点E与点A重合时，BE=AB，此时底边AC上的高最大，即△ABC的面积最大时，AB⊥AC，如图2，故当AB⊥AC时，▱ABCD的面积最大，∴S=AB•AC=，△ABC∴S▱ABCD=2S△ABC=2，∴▱ABCD面积的最大值为2．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）11．（2分）已知α为锐角，且tanα﹣1=0，则α=45°．【解答】解：∵tanα﹣1=0，α为锐角，∴tanα=1，∴α=45°．故答案为：45°．12．（2分）用单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为．【解答】解：∵单词“happy”中有2个p，∴从单词“happy”中随机抽取一个字母为p的概率为：．故答案为：．13．（2分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是86分．【解答】解：根据题意得：85×+80×+90×=17+24+45=86（分），答：小王的成绩是86分．故答案为：86．14．（2分）如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，∴CD=BD，∵BE=9，BC=12，∴CD=6，CE=9，∴cosC===，故答案为．15．（2分）△ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以A为圆心，以2.3cm为半径作圆，则C点和⊙A的关系是点C在圆外．【解答】解：如图所示，∵△ABC中∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，∴AC===，∵2.3＞，∴点C在圆外．故答案为：点C在圆外．16．（2分）四边形ABCD为圆O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD=130°或50°．【解答】解：如图∵弧BAD的度数为100°，∴∠BOD=100°，∴∠BCD=∠BOD=50°，∴∠BAD=180°﹣∠ACD=130°．同理，当点A是优弧上时，∠BAD=50°．故答案为：130°或50°．17．（2分）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB 是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB=1或．【解答】解：连接OA，（1）如图1，连接OA，∵OB=AO=1，AB=，∴OB2+OA2=AB2，∴∠AOB=90°，∵PA是⊙的切线，∴∠PAO=90°，∵PA∥OB，∵PA=1，∴PA=OB，∴四边形PAOB是平行四边形，∴PB=OA=1；（2）如图2，连接OA，与PB交于C，∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA，而PA=AO=1∴OP=；∵AB=，而OA=OB=1，∴AO⊥BO，∴四边形PABO是平行四边形，∴PB，AO互相平分；设AO交PB与点C，即OC=，∴BC=，∴PB=．故答案为：1或．18．（2分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值2+4．【解答】解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．∵BC是圆O的切线，M为切点，∴OM⊥BC．∴∠OMG=∠GCD=90°．由翻折的性质可知：OG=DG．∵OG⊥GD，∴∠OGM+∠DGC=90°．又∵∠MOG+∠OGM=90°，∴∠MOG=∠DGC．在△OMG和△GCD中，，∴△OMG≌△GCD．∴OM=GC=1．CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．∵AB=CD，∴BC﹣AB=2．设AB=a，则BC=a+2．∵圆O是△ABC的内切圆，∴AC=AB+BC﹣2r．∴AC=2a．∴．∴∠ACB=30°．∴，即．解得：a=．∴AB=，BC=AB+2=．所有AB+BC=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤.）19．（8分）计算：（1）+（﹣1）2015﹣|﹣|；（2）2sin30°﹣sin45°．【解答】解：（1）原式=2﹣1﹣=﹣1；（2）原式=2×﹣×=1﹣1=0．20．（8分）解方程（组）：（1）x2﹣2x﹣3=0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣3=0，（x+1）（x﹣3）=0，x+1=0，x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3．（2）．②﹣①得，5y=5，解得y=1，把y=1代入①得，x=10，故原方程组的解为．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin∠A=，求BC的长和tan ∠B的值．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA===，∴BC=4，根据勾股定理得：AC==2，则tanB===．22．（8分）如图所示，A、B两个旅游点从2011年至2015年“清明小长假”期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示，请解答以下问题：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？（2）求A、B两个旅游点从2011年到2015年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；（3）A旅游点现在的门票价格为每人80元，为保护旅游点环境和游客的安全，A旅游点的最佳接待人数为4万人．A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量．已知游客数量y（万人）与门票价格x（元）之间满足函数关系y=5﹣．若要使A旅游点的游客人数不超过4万人，则门票价格至少应提高多少元？【解答】解：（1）B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2014年；（2）==3（万人），==3（万人）．S A2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，S B2=[（3﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=．从2011至2015年清明小长假期间，A、B两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人，但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些；（3）由题意，得5﹣≤4，解得x≥100，x﹣80≥100﹣80=20．答：A旅游点的门票至少要提高20元．23．（8分）一个不透明的口袋中装有4个分别标有数字﹣1，﹣2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同．先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字为x；再在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，得到点P的坐标（x，y）．（1）请用“列表”或“画树状图”等方法表示出点P （x ，y ）所有可能的结果；（2）求出点P （x ，y ）在第一象限或第三象限的概率．【解答】解：（1）列表如下：（2）从上面的表格可以看出，所有可能出现的结果共有12种，且每种结果出现的可能性相同，其中点（x ，y ）在第一象限或第三象限的结果有4种，所以其的概率==．24．（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ．（1）若∠CAB=65°，求∠D 的度数；（2）若AE=10，EB=2，且∠AEC=30°，求CD 的长．【解答】解：（1）连接BC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠B=25°，∴∠D=∠B=25°；（2）连接OC，过点O作OF⊥CD于点F；∵AE=10，BE=2，∴OC=OA=6，OE=6﹣2=4；∵∠AEC=30°，∴OF=2，由勾股定理得：CF2=OC2﹣OF2，解得：CF=，∴CD=2CF=2．25．（8分）如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡长AB=10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．，∴BE=8，AE=6．∵DG=1.5，BG=1，∴DH=DG+GH=1.5+8=9.5，AH=AE+EH=6+1=7．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5，tan30°=，∴CH=9.5．又∵CH=CA+7，即9.5=CA+7，∴CA≈9.435≈9.4（米）．答：CA的长约是9.4米．26．（8分）如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，有一过点C的动圆⊙O与斜边AB相切于动点P，连接CP．⊙O的半径为r．（1）当⊙O与直角边AC相切时，如图2所示，求此时⊙O的半径r的长；（2）若弦CP=2.5时，求AP的长；（3）当切点P运动到点B处时，⊙O的半径r有最大值，试求出这个最大值．【解答】解：（1）如图1，∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5．∵AC、AP都是圆的切线，圆心在BC上，AP=AC=3，∴PB=2，过P作PQ⊥BC于Q，过O作OR⊥PC于R，∵PQ∥AC，∴===，∴PQ=，BQ=，∴CQ=BC﹣BQ=，∴PC==，∵点O是CE的中点，∴CR=PC=，∴∠PCE=∠PCE，∠CRO=∠CQP，∴△COR∽△CPQ，∴=，即=，解得r=；（2）如图2，过C作CD⊥AB于D，∴CD==2.4，∴AD==1.8，PD==0.7，∴AP1=AD﹣P1D=1.1；AP2=AD+P2D=2.5；（3）如图3，当P与B重合时，圆最大．O在BC的垂直平分线上，过O作OD⊥BC于D，由BD=BC=2，∵AB是切线，∴∠ABO=90°，∴∠ABD+∠OBD=∠BOD+∠OBD=90°，∴∠ABC=∠BOD，∴=sin∠BOD=sin∠ABC==，∴OB=，即半径最大值为．27．（10分）阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=﹣1小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题．于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：tan22.5°=﹣1．参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．【解答】解：如图2，设CD=CA=a，则AD=a，∵∠B=22.5°，∠ADC=45°，∴∠DAB=22.5°，∴∠DAB=∠B，∴DB=DA=a，∴BC=BD+CD=（+1）a，在Rt△ABC中，tanB===﹣1，即tan22.5°=﹣1；故答案为﹣1；﹣1；如图3，延长BA到D，使AD=AB，则AB=AD=AC，∴∠D=∠ACD，∵∠CAB=∠D+∠ACD=30°，∴∠D=15°，作CH⊥AB于H，设CH=x，则AC=2x，AH=x，∴AD=AC=2x，∴DH=AD+AH=（2+）x，在Rt△DCH中，tanD===2﹣，即tan15°=2﹣．28．（10分）如图，▱ABCD中，A（0，3），C（6，0），∠DCB=45°，点P从点E （﹣4，0）出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t（秒）．（1）D点坐标为（3，3）．（2）当∠PAB=15°时，求点P的坐标．（3）以点P为圆心，PA长为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与▱ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【解答】解：（1）过点D作DF⊥BC于点F，∵∠DCB=45°，∴∠CDB=45°，∴DB=FC，∵A（0，3），C（6，0），∴DB=FC=3，∴AD=BO=3，此时F，B重合，∴D（3，3）；故答案为：（3，3）；（2）当P点在B点左侧，且∠P′AB=15°时，由题意可得：AO=BO=3，∴∠OAB=45°，∵∠P′AB=15°，∴∠OAP′=30°，∴tan30°=，∴OP′=AO×=，∴P′（，0），当P点在B点右侧，且∠P″AB=15°时，由题意可得：AO=BO=3，∴∠OAB=45°，∵∠P″AB=15°，∴∠OAP″=60°，∴tan60°==，∴OP″=3，∴P″（3，0），综上所述：P′（，0）或P″（3，0）；（3）①当⊙P与AB相切时，此时PA=AB=3，则PE=1，故t=1，②当⊙P与AD相切时，此时P与O重合，则t=4，③如图备用图：当⊙P与CD相切时，过P作PM⊥CD于点M，PA2=32+（t﹣4）2，PM2=[（10﹣t）]2，则：32+（t﹣4）2=（10﹣t）2，解得：t=﹣2±3（负值舍去），∴t=3﹣2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

2014-2015学年江苏省无锡市惠山区九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年江苏省无锡市惠山区九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．43．（3分）下列一元二次方程中，无实数根的方程是（）A．x2+2=0 B．x2﹣x﹣2=0 C．x2+x﹣2=0 D．x2+x=04．（3分）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：15．（3分）下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等6．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=（）A．60°B．65°C．50°D．40°8．（3分）如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（）A．3：5 B．4：5 C．3：4 D．4：39．（3分）如图，点D为△ABC的边AB上的一点，连结CD，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E，且∠ACD=∠DBC，S△ADC ：S△BED=4：9，AB=10，则AC的长为（）A．2 B．2C．6 D．10．（3分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AD=2﹣2．动点P在折线BA﹣AD﹣DC上移动，若存在∠BPC=120°，且这样的P点恰好出现3次，则梯形ABCD的面积是（）A．2﹣1 B．2﹣2 C．2 D．2+1二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.）11．（2分）在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm，那么等地铁造好后实际长约为千米．12．（2分）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是m．13．（2分）网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：．14．（2分）用计算器计算：3sin38°﹣≈（精确到0.01）．15．（2分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连接PA、PB．则∠APB的大小为度．16．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．17．（2分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为．18．（2分）如图，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，点P是射线AB上的一个动点，cos∠CPM=，点Q是射线PM上的一个动点．则CQ长度的最小值是．三、解答题（本大题共10小题，满分84分）19．（8分）解方程（1）x2﹣4x+2=0；（2）3x（x﹣3）=2（x﹣3）．20．（8分）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1+2a=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．21．（6分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．（1）P（a，b）是△AOB的边AB上一点，△AOB经平移后点P的对应点为P2（a﹣3，b+1），请画出上述平移后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．23．（8分）电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？24．（6分）进入3月份，我市“两横三纵”快速路系统全线开工．为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警部门在一些主要路口设立了如图所示的交通路况显示牌．已知立杆AB的高度是3米，从地面上某处D点测得显示牌顶端C 点和底端B点的仰角分别是62°和45°．求路况显示牌BC的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin62°=0.83，cos62°=0.47，tan62°=1.88）25．（8分）如图，有一地面为长方形的仓库，一边长为5m，现在将它改建为简易住房，改建后分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形，若已知卫生间的面积为6平方米，试求长方形仓库的另一边的长．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，2）．（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q坐标；如果不存在，请说明理由．27．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC 上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D 出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S （cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象．（1）CD=，a=；（2）当点P在边AB上时，为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O （0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN 平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M 的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．（1）求S与t的函数关系式；（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．2014-2015学年江苏省无锡市惠山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：sin30°=．故选：A．2．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：根据韦达定理得x1•x2=1．故选：C．3．（3分）下列一元二次方程中，无实数根的方程是（）A．x2+2=0 B．x2﹣x﹣2=0 C．x2+x﹣2=0 D．x2+x=0【解答】解：A、∵a=1，b=0，c=2，∴△=b2﹣4ac=02﹣4×1×2=﹣8＜0，∴方程没有实数根；B、∵a=1，b=﹣1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2+4×1×2=9＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C、∵a=1，b=1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=12+4×1×2=9＞0，∴方程有两个不相等的实数根；D、∵a=1，b=1，c=0，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×0=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；故选：A．4．（3分）若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．5．（3分）下列说法正确的是（）A．经过三点可以作一个圆B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等C．等弧所对的圆心角相等D．相等的圆心角所对的弧相等【解答】解：A、经过不共线的三点可以作一个圆，所以A选项错误；B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；C、等弧所对的圆心角相等，所以C选项正确；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．故选：C．6．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，∵d=5，r=6，∴d＜r，∴直线l与圆相交．故选：A．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，则∠D=（）A．60°B．65°C．50°D．40°【解答】解：连接OC，∵∠A=25°，∴∠DOC=2∠A=50°，又∵∠OCD=90°，∴∠D=40°．故选：D．8．（3分）如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（）A．3：5 B．4：5 C．3：4 D．4：3【解答】解：由题意可得：AB=10m，AD=6m，则BD==8（m），故斜坡AB的坡度是：AD：BD=6：8=3：4．故选：C．9．（3分）如图，点D为△ABC的边AB上的一点，连结CD，过点B作BE∥AC交CD的延长线于点E，且∠ACD=∠DBC，S△ADC ：S△BED=4：9，AB=10，则AC的长为（）A．2 B．2C．6 D．【解答】解：∵BE∥AC，∴△ADC∽△BDE，且S△ADC：S△BED=4：9，∴AD：BD=2：3，且AB=10，∴AD=4，又∵∠ACD=∠DBC，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，即AC2=10×4=40，∴AC=2．故选：B．10．（3分）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AD=2﹣2．动点P在折线BA﹣AD﹣DC上移动，若存在∠BPC=120°，且这样的P点恰好出现3次，则梯形ABCD的面积是（）A．2﹣1 B．2﹣2 C．2 D．2+1【解答】解：根据题意P点正好是AD的中点时∠BPC=120°，∴∠PBC=∠PCB=30°，AP=AD=﹣1，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠APB=∠PBC=30°，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵∠B=45°，∴AE=BE=DF=CF，AM=AP=（﹣1），设AE=BE=x，∵AD∥BC，∴=，即=，解得x=1，∴AE=BE=DF=CF=1，BC=2，∴梯形ABCD的面积=（AD+BC）•AE=××1=2﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.）11．（2分）在1：500000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长4.5cm，那么等地铁造好后实际长约为22.5千米．【解答】解：设地铁造好后实际长约x厘米，则4.5：x=1：500000，解得x=2250000，即x=22.5千米．故答案是：22.5．12．（2分）在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5 m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是18m．【解答】解：∵，∴，解得旗杆的高度==18m．故答案为：18．13．（2分）网民小李的QQ群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的QQ群里共有好友x个，可列方程为：x（x﹣1）=90．【解答】解：设有x个好友，依题意，x（x﹣1）=90，故答案为：x（x﹣1）=90．14．（2分）用计算器计算：3sin38°﹣≈0.43（精确到0.01）．【解答】解：3sin38°﹣≈3×0.616﹣1.414≈0.43．故答案为：0.43．15．（2分）如图，将三角板的直角顶点放在⊙O的圆心上，两条直角边分别交⊙O于A、B两点，点P在优弧AB上，且与点A、B不重合，连接PA、PB．则∠APB的大小为45度．【解答】解：∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角，∴∠APB=∠AOB=×90°=45°．故答案为：45．16．（2分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．【解答】解：如图所示：点O为△ABC外接圆圆心，则AO为外接圆半径，故能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是：．故答案为：．17．（2分）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为2m．【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）=540整理得：x2﹣52x+100=0解得：x1=50（舍去），x2=2故答案为：218．（2分）如图，△ABC中，AC=10，∠BAC=30°，点P是射线AB上的一个动点，cos∠CPM=，点Q是射线PM上的一个动点．则CQ长度的最小值是3．【解答】解：由题意可知当CP最小时，可知在△CPQ中当CQ⊥PM时，CQ有最小值，当CP⊥AN，CQ⊥PM时，如图，在Rt△APC中，AC=10，∠BAC=30°，∴PC=5，在Rt△CPQ中，cos∠CPM=，∴PQ=4，则可求得CQ=3，故答案为：3．三、解答题（本大题共10小题，满分84分）19．（8分）解方程（1）x2﹣4x+2=0；（2）3x（x﹣3）=2（x﹣3）．【解答】解：（1）这里a=1，b=﹣4，c=2，∵△=16﹣8=8，∴x=2±；（2）方程变形得：3x（x﹣3）﹣2（x﹣3）=0，分解因式得：（3x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=．20．（8分）已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣4x﹣1+2a=0的一个根为x=3．（1）求a的值及方程的另一个根；（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长．【解答】解：（1）由题设，得9（a﹣1）﹣4×3﹣1+2a=0．解得a=2．所以原方程为x2﹣4x+3=0．（x﹣1）（x﹣3）=0∴x1=1，x2=3．故它的另一个根是1．（2）由题设知，三角形的三边中至少有两条边相等，则有下列两种情形：①三边相等，边长为1，1，1；或3，3，3．那么三角形的周长是3或9；②仅有两边相等，因为1+1=2＜3，所以三角形的边长只能为3，3，1．那么三角形的周长是7．由①、②知，三角形的周长可以是3，或7，或9．21．（6分）如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB=6，AD=12，BE=8，求DF的长．【解答】（1）证明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°．（1分）∴∠B=∠AFD=90°．（2分）又∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．（3分）∴△ABE∽△DFA．（4分）（2）解：∵AB=6，BE=8，∠B=90°，∴AE=10．（6分）∵△ABE∽△DFA，∴=．（7分）即=．∴DF=7.2．（8分）22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）．（1）P（a，b）是△AOB的边AB上一点，△AOB经平移后点P的对应点为P2（a﹣3，b+1），请画出上述平移后的△A1O1B1，并写出点A1的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；（3）判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．【解答】解：（1）如图所示，A1（﹣1，2）；（2）如图所示，A2（4，2），P2（2a，2b）；（3）如图所示，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形．此时Q （﹣6，2）．23．（8分）电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价为2800元，则该经销商1至3月共盈利多少元？【解答】解：（1）设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，根据题意列方程：150（1+x）2=216，解得x1=﹣220%（不合题意，舍去），x2=20%．答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率20%．（2）二月份的销量是：150×（1+20%）=180（辆）．所以该经销商1至3月共盈利：（2800﹣2300）×（150+180+216）=500×546=273000（元）．24．（6分）进入3月份，我市“两横三纵”快速路系统全线开工．为缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警部门在一些主要路口设立了如图所示的交通路况显示牌．已知立杆AB的高度是3米，从地面上某处D点测得显示牌顶端C 点和底端B点的仰角分别是62°和45°．求路况显示牌BC的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin62°=0.83，cos62°=0.47，tan62°=1.88）【解答】解：在Rt△ADB中，∵∠BDA=45°，∴AD=AB=3．在Rt△ADC中，AC=ADtan62°=3×1.88=5.64．BC=AC﹣AD=5.64﹣3=2.64≈2.6（米）．答：路况显示牌BC的高度是2.6米．25．（8分）如图，有一地面为长方形的仓库，一边长为5m，现在将它改建为简易住房，改建后分为客厅、卧室和卫生间三部分，其中客厅和卧室都为正方形，若已知卫生间的面积为6平方米，试求长方形仓库的另一边的长．【解答】解：设长方形的另一边的长为x米，由题意得：（x﹣5）[5﹣（x﹣5）]=6，整理得：x2﹣15x+56=0，解之得：x1=7，x2=8，x1，x2都符合题意．答：长方形的另一边的长为7米或8米．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，2）．（1）请用尺规作出△ABC的外接圆⊙P（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求出（1）中外接圆圆心P的坐标；（3）⊙P上是否存在一点Q，使得△QBC与△AOC相似？如果存在，请直接写出点Q坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2，过点P做PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，连接PC、PE．∵PD⊥AB，∴AD=BD=3．∵OB=4，∴OD=OB﹣BD=1．∴PE=OD=1．设DP=x，则OE=PD=x．在Rt△BPD中，BP2=x2+32．在Rt△CEP中，CP2=（x+2）2+12．∵BP=CP，∴x2+32=（x+2）2+12．解得：x=1．∴点P坐标为（1，﹣1）．（3）如图2，连接BP并延长到⊙P于一点Q1，连接CQ1，则BQ1是直径，∴∠Q1CB=90°，又∵∠CAB=∠CQ1B，∴△Q1BC∽△ACO，此时连接AQ1则∠Q1AB=90°，∴Q1横坐标为：﹣2，∵AB=6，BQ1=2BP=2，∴AQ1=2，∴Q1（﹣2，﹣2），同理构造直角三角形CFQ2，可得出：CF=6，CQ2=2，∴FQ2=2，FO=4，则Q2（2，﹣4），综上所述：⊙P上存在一点Q（﹣2，﹣2），（2，﹣4），使得△QBC与△AOC相似．27．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是BC 上一定点．动点P从C出发，以2cm/s的速度沿C→A→B方向运动，动点Q从D 出发，以1cm/s的速度沿D→B方向运动．点P出发5s后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当0≤t≤5时△BPQ的面积S （cm2）与点P的运动时间t（s）的函数图象．（1）CD=2，a=；（2）当点P在边AB上时，为何值时，使得△BPQ与△ABC为相似？（3）运动过程中，求出当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值．【解答】解：（1）当点P运动到点A时，△BPQ的面积为18，∴•6•BD=18，解得BD=6，∴CD=BC﹣BD=2，当t=5s时，AP=2×5﹣6=4，点Q在D点，点P在AB上如图①，作PH⊥BC于H，在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PH∥AC，∴△BPH∽△BAC，∴=，即=，解得PH=，∴S=×6×=，△PBQ即a=；故答案为：2，；（2）点P在边AB上，当3＜t≤5，点Q在D点，BP=16﹣2t，若PD⊥BC，△BPQ∽△BAC，∴=，即=，解得t=；当5＜t≤8，DQ=t﹣5，则BQ=8﹣2﹣（t﹣5）=11﹣t，BP=16﹣2t，当∠PQB=90°时，△BPQ∽△BAC，如图②，∵△BPQ∽△BAC，∴=，即=，解得t=3，不合题意舍去；当∠BPQ=90°时，△BPQ∽△BAC，如图③，∵△BPQ∽△BCA，∴=，即=，解得t=6，综上所述，当t为或6时，△BPQ与△ABC为相似；（3）PB=16﹣2t，BQ=11﹣t，当BP=BQ，则16﹣2t=11﹣t，解得t=5；当PB=PQ，作PM⊥BC于M，如图④，则BM=BQ=（11﹣t），∵PM∥AC，∴△BPM∽△BAC，∴=，即=，解得t=，综上所述，当△BPQ是以BP为腰的等腰三角形时t的值为5或．28．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O （0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN 平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M 的坐标为（0，t），△EFG的面积为S．（1）求S与t的函数关系式；（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接写出t的值．【解答】解：（1）①当0＜t＜3时，如图1，过E作EH⊥CA于H，∵A（4，0），B（4，3），C（0，3），∴OA=4，OC=3，AC=5，∵MN∥CA，∴△OEF∽△OCA，∴OE：OC=EF：CA，即t：3=EF：5，∴EF=t，∵EH⊥CA，∴∠ECH=∠OCA，∴sin∠ECH=sin∠OCA，∴EG：EC=OA：CA，即EH：（3﹣t）=4：5，∴EH=（3﹣t），∴S=×EF×HE=×t×（3﹣t）=﹣t2+2t；②当3＜t＜6时，如图2，过C作CH⊥MN于H，则MC=t﹣3，∵CH⊥MN，∴∠CMH=∠OCA，∴sin∠CMH=sin∠OCA，∴CH：MC=OA：CA，即CH：（t﹣3）=4：5，∴CH=（t﹣3），易求直线AC解析式为：y=﹣x+3，∵MN∥CA，∴直线MN的解析式为：y=﹣x+t，令y=3，可得3=﹣x+t，解得x=（t﹣3）=t﹣4，∴E（t﹣4，3），在y=﹣x+t中，令x=4可得：y=t﹣3，∴F（4，t﹣3），∴EF==（6﹣t），S=×EF×GH=×（t﹣3）=﹣t2+6t﹣12；综上可知S=；（2）①当0＜t＜3时，E（0，t），F（t，0），G（2，），∴EF2=t2，EG2=22+（t﹣）2，GF2=（t﹣2）2+（）2，若EF2+EG2=GF2，则有t2+22+（t﹣）2=（t﹣2）2+（）2，解得t=0（舍去），t=﹣（舍去），若EF2+FG2=EG2，则有t2+（t﹣2）2+（）2=22+（t﹣）2，解得t=0（舍去），t=，若EG2+GF2=EF2，则有22+（t﹣）2+（t﹣2）2+（）2=t2，解得t=，②当3＜t＜6时，E（t﹣4，3），F（4，t﹣3），G（2，），∴EF2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，EG2=（t﹣6）2+（）2，GF2=22+（t﹣）2，若EF2+EG2=GF2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+（t﹣6）2+（）2=22+（t﹣）2，整理得32t2﹣363t+1026=0，△=441，解得t=，t=6（舍去），若EF2+FG2=EG2，则有（t﹣8）2+（t﹣6）2+22+（t﹣）2=（t﹣6）2+（）2，整理得6t2﹣79t+258=0，△=49，解得t=6（舍去），t=＞6（舍去），若EG2+GF2=EF2，则有（t﹣6）2+（）2+22+（t﹣）2=（t﹣8）2+（t﹣6）2，解得t=，综上可知当△EFG为直角三角形时，t=或t=或t=或t=；（3）直线MN为y=﹣x+t，G（2，），GG′所在的直线与直线CA垂直，且过G点，故表达式为y=x﹣，在y=x﹣中，令x=0，可得：y=﹣，∴G′（0，﹣），GG′中点（1，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，令y=0，可得：x=，∴G′（，0），GG′中点（，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，令x=4，可得：y=，∴G′（4，），GG′中点（3，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，令y=3，可得：x=，∴G′（，3），GG′中点（，），代入直线MN为y=﹣x+t，解得t=，综上可知满足条件的t的值为或或或．。

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ABCO（第6题图）2014~2015学年度第一学期期中考试初三数学面卷一、选择题1．方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ）A ．0x =B ．3x =C ．3x =或1x =-D ．3x =或0x =2．若关于x 的方程022=+-n x x 无实数根，则一次函数n x n y --=)1(的图像不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；（6）方程x 2＋4x ―1＝0的两个实数根的和为4．其中正确的有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 （ ） A ． 9B ． 11C ．13D ． 11或135． 如图，AB 是⊙O 的直径，AB 垂直于弦CD ，∠BOC =70°，则∠ABD =（ ） A ．20°B ．46°C ．55°D ．70°6．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝80°，则∠BOC 为（ ）A ．130°B ．100°C ．50°D ．65°7．关于x 的一元二次方程（a −1）x 2−2x +3=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．−18．在平面直角坐标系中，以点（3，－5）为圆心，r 为半径的圆上有且仅有两点到x 轴所在直线 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是( ) A ．r>4B ．0<r<6C ．4≤r<6D ．4<r<69．如图，P A 切⊙O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB =PB =1，OA 绕点O 逆时针方向旋转 60°到OD ，则PD 的长为（ ）A ．7B ．231C ．5D ．22 10．我们知道，一元二次方程21x =-没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1-．若我们规定一个新数“i ”,使其满足21i =-（即方程21x =-有一个根为i ）。

并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，（第5题图）（第9题图）,1)1()(,)1(,1,22242321=-==-=⋅-=⋅=-==i i i i i i i i i i 从而对于任意正整数n ，我们可以得到 ()4144nn n i i i i i i +=⋅=⋅=，同理可得421n i +=-，43n i i +=-，41n i = ．那么23420122013i i i i ii ++++⋅⋅⋅+++2014i 的值为( )A ． -1B ．i --1C ．i +-1D ． i 二、填空题11．关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，k 的取值范围是 ． 12．已知关于x 的一元二次方程x 2−x −3=0的两个实数根分别为α、β，则22βα+=_____________． 13．某城市居民最低生活保障在2012年是600元，经过连续两年的增加，到2014年提高到864元，则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是_______________．14．若⊙O 的半径是方程(2x ＋1)(x －4)＝0的一个根，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O的位置关系是 ．15．如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边AB 重合，其中量角器0刻度线的端点N 与点A 重合，射线CP 从CA 处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点E ，第27秒，点E 在量角器上对应的读数是度．16．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD =12，BE =3，则⊙O 的直径为 ． 17．Rt △ABC 中，∠C =90°，两直角边a ，b 分别是方程0552=+-x x 的两个根，则AB 边上的中 线长为 ．18．△ABC 是直径为10cm 的圆的内接等腰三角形，△ABC 的底边BC =8cm ，则S △ABC = cm 2． 19．已知一个三角形纸片的两边长是5和6，第三边的长是方程0562=+-x x的一个根，若用此三角形纸片剪出一个圆，则剪出的圆的半径最大是 ．20．如图，在平面直角坐标系中，直线)0(2:≥+-=b b x y l 的位置随b 的不同取值而变化， 已知⊙M 的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b = 时，直线l 与 ⊙M 相切． 三、解答题21．解关于x 的方程：(1)025)32(42=-+x (2))3()3(22-=-x x x(3)06)1(5)1(2=--+-x x (4)（3x －1）(x ＋1)＝3(第16题图)xyl : y = -2x +bMO(第20题图)（第15题图）22．己知关于x 的一元二次方程x 2＋m 2＝(1－2m )x 有两个实数根x 1和x 2． (1)求实数m 的取值范围：(2)当x 12＝x 22时，求m 的值．23．某市的特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中属于菌类的一种猴头菇远销国外，上市时， 有一外商按市场价格10元/千克收购了2000千克猴头菇存入冷库中，据预测，猴头菇的市场价格每天每千克上涨0．5元，但冷库存放这批猴头菇时每天需要支出各种费用合计220元，而且这种猴头菇在冷库中最多能保存130天，同时，平均每天有6千克的猴头菇损坏不能出售． （1）若外商要将这批猴头菇存放x 天后一次性出售，则x 天后这批猴头菇的销售单价 为 元，销售量是 千克（用含x 的代数式表示）； （2）如果这位外商想获得利润24000元，需将这批猴头菇存放多少天后出售？ （利润＝销售总金额―收购成本―各种费用）24．如图，AD 是⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦．过点B 作BC //AD ，交⊙O 于点C ，连接AC ，过点C 作CD //AB ，交AD 于点D ．连接AO 并延长交BC 于点M ，交过点C 的直线于点P ，且∠BCP =∠ACD ．(1) 判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2) 若AB =9，BC =6，求⊙O 的半径及PC 的长．25．把一边长为40cm 的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子。

要使折成的长方体盒子的底面积为484cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm 2，求此时长方体盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．A BC D O M PABO MCx y ABO MCxy ABO MCxy26．如图，直角坐标系中，以点A （1，0）为圆心画圆，点M （4，4）在⊙A 上，直线y=－43x +b 过点M ，分别交x 轴、y 轴于B 、C 两点． (1)求⊙A 的半径和b 的值；(2)判断直线BC 与⊙A 的位置关系，并说明理由；(3)若点P 在⊙A 上，点Q 是y 轴上C 点下方的一点，当△PQM 为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q 坐标．27． 已知A （23，0），直线y ＝(2－3)x －2与x 轴交于点F ，与y 轴交于点B ，直线l ∥AB 且交y 轴于点C ，交x 轴于点D ，点A 关于直线l 的对称点为A ′，连接AA ′、A ′D ．直线l 从AB 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向向上平移，设移动时间为t ． （1）求证：AB ＝AF ；（2）求点A ′ 的坐标（用含t 的代数式表示）； （3）过点C 作直线AB 的垂线交直线y ＝(2－3)x －2于点E ，以点C 为圆心CE 为半径作⊙C ，求当t 为何值时，⊙C 与△AA ′D 三边所在直线相切？O x y C A A ′ BD F初三数学答案及评分标准一、选择题(3分×10=30分) DBCCC ACDAC二、填空题(2分×10=20分)11.01≠<k k 且 12.7 13.20% 14.相交 15.108 16.15 17.215 18.32或8 19.2320.528±=b 21.(4分×4=16分)(1)411,4121-=-=x x (2)6,321==x x (3)0,721==x x (4)3131±-=x22.(10分)(1)41≤m （4分）(2)41=m （6分）23．（10分） 解：（1）10＋0.5x ，2000―6x ； （4分） （2）由题意得：（10＋0.5x ）（2000―6x ）―10×2000―220x ＝24000． （3分） 解得x 1=40，x 2=200（不合题意，舍去）（2分）答：存放40天后出售。

（1分） 24.（10分）（1）略（5分） （2）8227=r （3分），727=PC （2分） 25.（10分）（1）正方形边长为9cm （5分） （2）长、宽、高为15cm 、10cm 、5cm （5分） 26.（12分）（1）r=5,b=7（4分） (2)相切（理由略）（4分）（3）））或（，）或（或（41-3,08-02,0)0,0(Q （4分） 27.（12分）（1）∵F (4＋23，0)，A (23，0)，B (0，－2)，∴AF ＝4，AB ＝4，∴AB ＝AF （3分） （2）∵A (23，0)，B (0，－2)，∴∠OAB ＝30°∵点A 关于直线l 的对称点为A ’，且l ∥AB ，∴DA ’＝DA ，∠A ’DA ＝2∠OAB ＝60° 可得等边△A ’DA ，其中A ’A ＝2BC ＝3t ，∴A ’(23－3t 2，3t2)（3分） （3）∵直线l 是点A 和A ’的对称轴，∴直线l 是∠A ’DA 的平分线，∴点C 到直线AD 和A ’D 的距离相等，∴当⊙C 与AD （x 轴）相切时，也一定与A ’D 相切．图①∵∠OAB ＝30°且AB ＝AF ，∴∠ABF ＝15°，∴∠CBF ＝75°＝∠CEB ，∴CB ＝CE ． 题中所指CE 为半径，即以CB 为半径.又⊙C 与AD 相切，∴CO ＝CE ＝CB ，∴t ＝1如图②，当⊙C 与AA ’相切于点M 时，DM ＝2(t －2)＋t ＝3t 2，解得t ＝83综上所述，符合要求的t 的值有两个，t ＝1或83.（6分）图1 图2C。

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